1

ANÁLISE DIMENSIONAL E

TEORIA DA SEMELHANÇA

- GENERALIDADES - PARÂMETROS - PRINCÍPIO DA HOMOGENEIDADE O princípio da homogeneidade estabelece que os dois membros de uma qualquer relação de carácter físico devem ter as mesmas dimensões. Daí que a relação teórica que descreve o fenómeno físico permanece independente do sistema de unidades. Uma relação deste tipo diz-se dimensionalmente homogénea . Exemplo de aplicação: Considere um escoamento através de um descarregador triangular com abertura de ângulo θ. O caudal Q escoado será proporcional à carga hidráulica H sobre o descarregador, à aceleração da gravidade g e ao ângulo θ. Se considerarmos k um coeficiente sem dimensões, poderemos escrever a seguinte relação:

βαθ= gH )(f kQ

O princípio da homogeneidade permite determinar os valores de α e β.

2

Teremos então:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]β−α

− = 21

1000013 TL L TL TL TL

O expoente de L do 1º membro deverá ser igual ao expoente de L do 2º membro o mesmo sucedendo com o expoente de T. Teremos então, o seguinte sistema de equações:

β−=−β+α=

21

3 resultando

=β

=α

2125

A relação será

gH2H )(f gH2H 2

)(f kgH )(f kQ 2

222

125

θ=θ=θ=

A função 2)(f

k)(f2θ=θ , adimensional será determinada

experimentalmente, servindo para descarregadores deste tipo, geometricamente semelhantes, dentro das hipóteses consideradas.

3

TEOREMA DE VASCHY-BUCKINGAN OU TEOREMA DOS ππ

Considere-se um fenómeno envolvendo n grandezas físicas U1…Un . Poderemos escrever:

0 )U,...U,U,U(f n 321 = Por aplicação do teorema dos ππ, é possível transformar esta função de grandezas dimensionais (n) noutra função envolvendo (n-r) relações adimensionais entre cada uma dessas grandezas e as grandezas escolhidas para constituírem um sistema de unidades fundamentais com ( r) elementos.

0 ),...,, ,...,1,1(f rn 321

r

=ππππ −876

Considerando o sistema L, M, T como referência, poderemos ter um sistema de unidades fundamentais constituído no máximo por 3 elementos. Sendo n as grandezas envolvidas teremos n-3 relações adimensionais, que designaremos por iπ onde i varia de 1 a (n-3). Cada uma dessas relações adimensionais envolve as unidades que constituem o sistema de unidades fundamentais e uma grandeza das restantes (n-3) grandezas. A relação passará a ter o seguinte aspecto:

0 ),...,,,1,1,1(f 3-n 321 =ππππ Os elementos das grandezas que constituem o sistema de unidades fundamentais têm de ser independentes entre si, pelo

4

que os expoentes das dimensões de cada uma dessas grandezas no sistema de referência L, M, T, terão de constituir uma matriz quadrada cujo determinante terá de ser diferente de zero. Vejamos um exemplo de aplicação : Num escoamento turbulento liso numa conduta de diâmetro D, a perda de carga por unidade de comprimento j depende da velocidade média V, da massa volúmica ρρρρ e do coeficiente de viscosidade cinemática νννν do líquido, e da aceleração da gravidade g. Recorrendo à Análise Dimensional, através do Teorema dos ππ, exprima j em função das restantes grandezas. Neste caso concreto temos 6 grandezas físicas: D, j, V, ρρρρ, νννν e g. Poderemos definir uma função envolvendo as 6 grandezas com dimensões:

0 )g,,,V,j,D(f =νρ Esta função pode ser transformada numa função de (n-r) relações adimensonais envolvendo as 6 grandezas em que o valor máximo de r é 3, tendo como referência o sistema (L,M,T).

0 ),...,, ,...,1,1(f rn 321

r

=ππππ −876

O primeiro passo é escrever as dimensões de todas as grandezas intervenientes no fenómeno em estudo.

5

[ ]001 TML D =

[ ]000 TML j =

[ ]101 TML V −=

[ ]013 TML −=ρ

[ ]201 TML g −= A matriz dimensional será:

−−

−−

ν

ρ

000

102

201

013

101

001

j

g

V

D

TML

Vou escolher três destas grandezas para constituírem o sistema de unidades fundamentais. Sejam D, V e ρρρρ

013

101

001

v

D

TML

−−

ρ

≠ 0

[ ]102 TML −=ν

6

O determinante é diferente de zero, o que prova que D, V e ρρρρ, são grandezas independentes entre si.

[ ] [ ] [ ] [ ]21 31 11 1111 LT ML LT LgVD −γ−β−αγβα =ρ=π

[ ] [ ] [ ] [ ]122 32 12 2222 TL ML LT LVD −γ−β−αγβα =νρ=π

[ ]0003333 TML JjVD ==ρ=π γβα , visto j ser adimensional

Para 1π , teremos:

−β−=γ+=

+γ−β+α=

20

0

130

1

1

111

=γ−=β

=α

0

2

1

1

1

1

[ ][ ] [ ] OKTL

TL

LLT

V

g DgVD 00

22

2

2021

1 ⇒===ρ=π−

−−

Analogamente para 2π :

−β−=γ+=

+γ−β+α=

10

0

230

2

2

222

=γ−=β−=α

0

1

1

2

2

2

7

[ ][ ] [ ] OKTL LLT

TL V D

VD 001

12011

2 ⇒==ν=νρ=π −

−−−

[ ] TML JjVD 0003333 ==ρ=π γβα , resultado esperado pois j já

é adimensional. Neste exemplo teremos

0j),DV

,V

Dg(1,1,1, f),,f(1,1,1, ),...,, ,...,1,1(f

2 321rn 321

r

=ν=πππ=ππππ −876

)j,V D

(f),(fV

g D132121

ν=ππ==π

)j,V

g D(f),(f

V D 213112 =ππ=ν=π

)V D

,V

g D(f),(fj

212113ν=ππ==π

Esta última relação é a solução do exemplo de aplicação apresentado.

Daqui se conclui que )V D

,V

g D(fj

21ν=

A forma desta função 1f terá de ser determinada experimentalmente.

8

Poderemos analisar outro exemplo. A velocidade de propagação de uma onda gravítica (celeridade) C, depende da aceleração da gravidade g, da profundidade da água H, do comprimento de onda L (distância entre duas cristas consecutivas), e do período T (intervalo de tempo necessário para percorrer a distância L). Recorrendo à Análise Dimensional, através do Teorema dos ππ, exprima C em função das restantes grandezas. Aqui temos cinco grandezas físicas, C, g, H, L e T. Do mesmo modo podemos escrever a matriz dimensional com as 5 grandezas no sistema L,M,T.

−

−

101

100

201

001

001

C

T

g

H

L

TML

Como se vê não há nenhuma unidade que tenha dimensões em M. Daí se conclui que só se consegue um sistema de unidades constituído por dois elementos. Vejamos se poderá ser L e g.

02

0

1

1

g

L

TL

≠−

9

Sendo assim na expressão geral o valor de r=2 e o número de iπ será (5-2)=3. O aspecto será:

0 ),, ,1,1(f 321 =πππ

[ ] [ ] [ ]LH

L LT LHgL 1 21 111 ===π

β−αβα , visto H ter a dimensão de L

[ ] [ ] [ ]T LT L TgL 2 22 222

β−αβα ==π

[ ] [ ] [ ]13 23 333 LT LT L CgL −β−αβα ==π

Para 2π

+β−=β+α=

120

0

2

22

=β

−=α

21

21

2

2

10

[ ] [ ][ ]

[ ] OKTL

L

LT TLg

T

L

TgTgL 002

1

21

2

21

21

21

21

2 ⇒=====π−−

Analogamente para 3π

−β−=+β+α=

120

1 0

3

33

−=β

−=α

21

21

3

3

[ ][ ] [ ]

[ ] OKTL

L LT

LT H g

C

g L

CCgL 00

21

21

2

1

21

21

21

21

3 ⇒=====π−

−−−

0)H g

C,

Lg

T,LH

(1,1, f),, f(1,1, ),...,, ,...,1,1(f 321rn 321

r

==πππ=ππππ −876

11

)H g

C,

Lg

T(f),(fLH

13211 =ππ==π

)H g

C,

LH

(f),(fLg

T 13112 =ππ==π

)Lg

T,LH

(f),(fH g

C12113 =ππ==π

Como pretendemos a expressão que relaciona C com as restantes grandezas, interessa-nos

)Lg

T,LH

(f),(fH g

C12113 =ππ==π

)Lg

T,LH

(fH g

C1=

Daqui se conclui que )Lg

T,LH

(f H gC 1=

A forma da função )Lg

T,LH

(f1 terá de ser determinada

experimentalmente.

12

Teorema de VASCHY-BUCKINGAN ou Teorema dos ππ aplicado a um problema geral de Mecânica dos fluido s Consideremos agora um fenómeno hidráulico em que podem intervir as seguintes variáveis: 1. Variáveis geométricas , l, l1, l2, l3 2. Características cinemáticas e dinâmicas : f – frequência da vibração associada ao escoamento; V – Velocidade; ∆p – Variação de pressão; g – aceleração da gravidade 3. Propriedades físicas do fluido: ρ – Massa volúmica; µ – Coeficiente de viscosidade dinâmica ou absoluta; σ – Tensão superficial; ε – Módulo de elasticidade

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Temos então a função de n grandezas dimensionais.

0 )U,...U,U,U(f n 321 = com n =12 neste exemplo

0 ),,,,g,p,v,f,l,l,ll,(f 321 =εσνρ∆ Vejamos a s dimensões das grandezas intervenientes:

[ ]001321 TMLllll ====

[ ]100 TMLf −=

[ ]101 TMLV −=

[ ]211 TMLp −−=∆

[ ]201 TMLg −=

[ ]013 TML−=ρ

[ ]111 TML −−=µ

[ ]210 TML −=σ

[ ]211 TML −−=ε Vamos escolher 3 grandezas para constituírem o sistema de unidades fundamentais: Seja, l, V, ρ

0

013

101

001

V

l

TML

≠−

−ρ

14

0 ) ,, , ,1 ,1 ,1(f 98,7,6,5,4,321 =πππππππππ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]00011311111111 TMLll

LMLLTLlVl ===ρ=πγ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]00022321222222 TMLl

lLMLLTLlVl ===ρ=π

γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0003333133333

3 TMLl

lLMLLTLlVl ===ρ=π

γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0001434144444 TMLVlf

TMLLTLfVl ===ρ=π −γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0002

21535155555 TML

V

pMTLMLLTLpVl =

ρ

∆==∆ρ=π −−γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0002

201636166666 TML

V

lgTMLMLLTLgVl ===ρ=π −γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]00011737177777 TML

lVMTLMLLTLVl =

ρµ==µρ=π −−γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0002

20838188888 TML

V lMTLMLLTLVl =

ρ

σ==σρ=π −γ−β−αγβα

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0002

21939199999 TML

V MTLMLLTLVl =

ρ

ε==ερ=π −−γ−β−αγβα

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Analisemos estes números índices. Alguns deles podem traduzir relações entre forças de determinado tipo e forças de inércia.

Vlf

4 =π - Número índice de STROUHAL (St)

traduz uma relação entre forças elásticas e forças de inércia. As forças elásticas ( 42lf ρ ) e as forças de inércia ( 22lV ρ ) Daí que

Vlf

lV

lf

22

42

4 =ρ

ρ=π

Prosseguindo

ρ

∆=π25

V

p - Número índice de EULER (Eu)

traduz uma relação entre forças de pressão e forças de inércia.

As forças de pressão ( 2l p∆ ) e as forças de inércia ( 22lV ρ ) Daí que

ρ

∆=ρ

∆=π222

2

5V

p

lV

l p

26V

lg =π

traduz uma relação entre forças gravíticas e forças de inércia.

16

As forças gravíticas ( 3l gρ ) e as forças de inércia ( 22lV ρ ) Daí que

222

3

6V

lg

lV

gl =

ρ

ρ=π =Fr1

Número índice de FROUDE (Fr)= (glV

2

)

ρµ=νν=

ρµ=π com

lV

lV 7

traduz uma relação entre forças de viscosidade e forças de inércia.

As forças de viscosidade ( l Vρν ) e as forças de inércia ( 22lV ρ ) Daí que

Re1

l V 7 =ν=π em que

Número índice de Reynolds (Re) = (ν

VD)

ρσ=

ρρν=π

2228V llV

Vl - Número índice de WEBER (We)

traduz uma relação entre forças de tensão e forças de inércia.

As forças de tensão ( l σ ) e as forças de inércia ( 22lV ρ ) Daí que

ρσ=

ρσ=π

2228V llV

l

17

ρ

ε=π29

V - Numero índice de CAUCHY (Ca)

traduz uma relação entre forças de elasticidade e forças de inércia.

As forças de elasticidade ( 2l ε ) e as forças de inércia ( 22lV ρ ) Daí que

ρ

ε=ρ

ε=π222

2

9V lV

l

A relação

0 ),,,,g,p,v,f,l,l,ll,(f 321 =εσνρ∆ Tinha ficado com este aspecto

0 ) ,, , ,1 ,1 ,1(f 98,7,6,5,4,321 =πππππππππ Poderá ficar com o seguinte aspecto:

0 )CaWe,Re, Fr,Eu, ,St,l

l,

ll

,ll

,1 ,1 ,1(f 321 =

Além destes números índices especiais existem outros, para determinados casos concretos.

a) Número índice de DEAN (De) = r2

DDVν

b) Utiliza-se no estudo de perdas de carga em curvas, em regime laminar, sendo r o raio de curvatura da curva.

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b) Número índice de LEROUX (Le) = ρ

−2

va

V

pp

Utiliza-se no estudo da cavitação; pa é a pressão absoluta e pv é a tensão do vapor à temperatura considerada.

c) Número índice de MACH (Ma) = cV

Utiliza-se para fluidos incompressíveis, onde c é a velocidade de propagação do som no fluido.

TEORIA DA SEMELHANÇA Para que se cumpram as condições de semelhança é necessário que a importância relativa das diferentes forças intervenientes seja a mesma no modelo e no protótipo, ou que equivale a dizer que as relações adimensionais definidas (πi) tenham o mesmo valor nomodelo e no protótipo. Vejamos a definição de escala de uma grandeza X , ( Xλ )

p

mX X

X=λ

Vamos retomar o primeiro exemplo e supor que se verifica semelhança completa . Isto significa que todos os números índices neste exemplo têm o mesmo valor no modelo e no protótipo. Podemos então definir a relação entre escalas neste exemplo.

19

2VgDprotótipo 1elomod 1 )(λ=λλ⇒π=π

VDprotótipo 2elomod 2 λλ=λ⇒π=π ν

1jprotótipo 3elomod 3 =λ⇒π=π

Teremos então três relações

=λλλ=λ

λ=λλ

ν1

)(

j

VD

2VgD

se admitirmos gm = gp

23

D3

V

j

VD

2VD

)(

1

)(

λ=λ

=λ=λλ=λ

λ=λ

ν

Ou ainda

23

D3

V

j

VD

21

DV

)(

1

λ=λ

=λ=λλ=λ

λ=λ

ν

Em geral escrevemos as grandezas em função de uma escala de comprimento.

20

Se se pretender conhecer as escalas, por exemplo, do caudal, do volume, da aceleração será:

VSQ =

25

D2

DVSVQ )()( λ=λλ=λλ=λ

3

Dvolume )(λ=λ

1)(

LV

tV

a

VL

t

D

D

D

2V

a

2

=λλ=

λλ=λ

==

=

NOTA: Obteve-se 1a =λ , o que já era de esperar pois por hipótese admitiu-se no início 1g =λ e g não é mais do que uma

aceleração particular, a aceleração da gravidade.