ANÁLISE E PROJETO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

DIAGRAMA DE BODE

• Sistemas Dinâmicos Lineares, para entradas 𝑥 𝑡 =𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 geram uma saída 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) onde os

valores de 𝐴 e 𝜃 dependem apenas do valor de 𝜔.

• Faz sentido então definir um gráfico para as funções

𝐴 𝜔 e 𝜃 𝜔 .

DIAGRAMA DE BODE

• São dois gráficos:

• O gráfico de magnitude representa |𝐺(𝑗𝜔)|, mas é

plotado em escala logarítmica e a magnitude é

representada em decibéis (20 log10 |𝐺(𝑗𝜔)|)

• O gráfico de fase representa ∠𝐺 𝑗𝜔 em graus, com a

frequência também em escala logarítmica.

EXEMPLO

• Diagrama de Bode da

função de transferência:

𝐺 𝑠 =20

20 + 𝑠

ESBOÇO DO DIAGRAMA DE BODE

• É possível esboçar o Diagrama de Bode levando

em consideração a localização dos polos e zeros.

• A FT deve ser colocada na forma:

𝐺 𝑠 = 𝐾𝜏𝑧1𝑠 + 1 𝜏𝑧2𝑠 + 1 𝜏𝑧3𝑠 + 1 …

𝜏𝑝1𝑠 + 1 𝜏𝑝2𝑠 + 1 𝜏𝑝3𝑠 + 1 …

EFEITO DO GANHO CONSTANTE

• O ganho constante 𝐾 equivale no gráfico de

magnitude à uma reta em 20 log10 𝐾 .

• O ganho constante 𝐾 equivale no gráfico de fase à

um reta no ângulo 0° caso 𝐾 ≥ 0 ou uma reta no

ângulo −180° caso 𝑘 < 0

EFEITO DE POLOS REAIS

• Na frequência 𝜔 = 𝑝 o gráfico de magnitude do

diagrama de Bode começa a decair 20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐.

• O gráfico de fase do diagrama de Bode apresenta

uma queda de 90° entre 0,1𝑝 e 10𝑝, ficando

estável após esse intervalo.

EFEITO DE ZEROS REAIS

• Na frequência 𝜔 = 𝑧 o gráfico de magnitude do

diagrama de Bode começa a subir 20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐.

• O gráfico de fase do diagrama de Bode apresenta

uma subida de 90° entre 0,1𝑧 e 10𝑧, ficando

estável após esse intervalo.

PAR DE POLOS COMPLEXOS

• Um par de polos complexos pode ser representado na forma 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2

• No gráfico de magnitude, esse par de polos gera um

pico de −20 log10 2𝜁 1 − 𝜁2 [𝑑𝐵] na frequência

𝜔 = 𝜔𝑛.

• No gráfico de fase, ocorre uma queda de 180° entre as

frequências 𝜔𝑛

10𝜁e 𝜔𝑛10

𝜁

PAR DE ZEROS COMPLEXOS

• Um par de zeros complexos pode ser representado na forma 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2

• No gráfico de magnitude, esse par de zeros gera um

vale de −20 log10 2𝜁 1 − 𝜁2 [𝑑𝐵] na frequência

𝜔 = 𝜔𝑛.

• No gráfico de fase, ocorre uma subida de 180° entre as

frequências 𝜔𝑛

10𝜁e 𝜔𝑛10

𝜁

DIAGRAMA DE NYQUIST

• O Diagrama de Nyquist é uma representação

paramétrica de uma função de transferência,

usualmente utilizado para análise de estabilidade.

DIAGRAMA DE NYQUIST

• O denominador de uma Função de Transferência

em malha fechada é dado por:

𝐹 𝑠 = 1 + 𝐿 𝑠

Onde 𝐿 𝑠 = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑆)

Sendo 𝒑 o número de polos em 𝐿(𝑠) com parte real

positiva (polos instáveis).

DIAGRAMA DE NYQUIST

• Se 𝑝 = 0, o sistema em MF é estável quando a

curva do Diagrama de Nyquist não circula o ponto

(−1, 0).

• Para um 𝐿(𝑠) qualquer, o sistema em malha

fechada é estável se o número de vezes que o ponto

(−1,0) é circulado no sentido anti horário é igual a

𝑝.

MARGEM DE GANHO

• A Margem de Ganho é dada por 1

𝐿 𝑗𝜔𝑥, onde 𝜔𝑥

é a frequência na qual ∠𝐿(𝑠) = −180°. Se

aplicarmos um ganho em malha aberta igual à

Margem de Ganho torna o sistema em malha

fechada marginalmente estável.

MARGEM DE FASE

• A Margem de Fase é dada por 180° + ∠𝐿(𝑗𝜔𝑐), onde ωc é a frequência para a qual |𝐿(𝑗𝜔)| = 1.

Adicionando esse atraso de fase, o sistema fica

marginalmente estável em malha fechada. Para um

sistema de segunda ordem, 𝜁 ≈ 0,01𝜃𝑀𝐹, onde

𝜃𝑀𝐹 é o ângulo da margem de fase em graus.

MARGENS DE ESTABILIDADE

• Usualmente dizemos que um sistema é estável ou

instável, as margens de ganho e fase são margens de

segurança, que nos dão informações quanto a quão

estável o sistema é, ou seja, quanto maior as

margens de ganho e fase menos provável é que o

sistema fique instável por uma variação de

parâmetros.

MARGENS DE ESTABILIDADE

DIAGRAMAS DE NYQUIST

1 + 𝑠

4 + 𝑠210 1 + 3𝑠 1 + 4𝑠

1 + 𝑠 2 + 𝑠 5 + 𝑠 6 + 𝑠

100

𝑠 100 + 3𝑠 + 𝑠2