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NÍVEL 4 Respostas sem justificativa não serão consideradas
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1. O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que 1 ou é primo ou
pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de potências de números
primos.
Assim, considere um número natural 𝑛, com 𝑛 > 1.
a) Determine o número de divisores naturais de 𝑛.
b) Determine o número de divisores naturais pares de 𝑛.
NOTA
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c) Determine o número de divisores naturais ímpares de 𝑛.
d) Sendo 𝑦 ∈ ℕ, encontre o número de divisores naturais pares do número natural 𝑛 = 2𝑦 ∙ 32 ∙ 5𝑦 ∙ 7,
sabendo que o número possui 30 divisores ímpares.
NOTA
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TOTAL
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2. Observe a sequência das potências de base 2:
20 = 1; 21 = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 24 = 16; 25 = 32; ⋯.
Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência
de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 20 pode ser escrito como
20 = 2² + 24 = 4 + 16, já o número 33 pode ser escrito por 33 = 20 + 25 = 1 + 32 = 33.
a) Encontre as somas das potências de base 2 que representam os números 44, 447 e 897.
b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base 2 podemos expressar qualquer
número natural de 1 a 1023 como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência.
Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = 20 + 24 + 26 + 28 + 29, sendo assim, chamamos
de número OMI do 849 o número 98640, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das
potências de 2 em ordem decrescente.
Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e 897.
NOTA
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c) Dos números naturais de 1 a 1023 o número 1 é o que tem o menor número OMI, a saber, o número
OMI 0, já o número 1023 possui o maior número OMI, 9876543210. O segundo menor número OMI é o
do número 2, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3,
conforme tabela a seguir.
Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 115º?
Ordem (posição)
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º ⋯ 1023º
Número Natural
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 3 5 6 ⋯ 1023
Número OMI
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 21 ⋯ 9876543210
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d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela?
NOTA
TOTAL
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3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore
natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo.
𝟏
𝟏 𝟏𝟎
𝟏 𝟗 𝟒𝟓
𝟏 𝟖 𝟑𝟔 𝟏𝟐𝟎
𝟏 𝟕 𝟐𝟖 𝟖𝟒 𝟐𝟏𝟎
𝟏 𝟔 𝟐𝟏 𝟓𝟔 𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟓𝟐
𝟏 𝟓 𝟏𝟓 𝟑𝟓 𝟕𝟎 𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟏𝟎
𝟏 𝟒 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟑𝟓 𝟓𝟔 𝟖𝟒 𝟏𝟐𝟎
𝟏 𝟑 𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟏 𝟐𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟓
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟏𝟎
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore.
NOTA
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b) Suponha uma árvore que tenha 𝑛 linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base
é dada por 𝑠(𝑛) =𝑛2−𝑛
2.
c) Considere ainda uma árvore com 𝑛 linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por
𝑆(𝑛) = 2𝑛 − 1.
NOTA
TOTAL
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4. Uma sequência numérica está distribuída na primeira fila da pirâmide abaixo. Para determinar o número
que está contido em um bloco, basta realizarmos a média aritmética dos dois blocos que servem de apoio
para o bloco em questão.
𝒏ª fileira
(𝒏 − 𝟏)ª fileira
(𝒏 − 𝟐)ª fileira
(𝒏 − 𝟑)ª fileira
⋮
𝟒ª fileira ⋯
𝟑ª fileira ⋯
𝟐ª fileira 127,5 ⋯
𝟏ª fileira 100 111 122 133 144 ⋯ 969 980
a) Qual é o valor contido no 1º bloco da esquerda na 4ª fileira?
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b) Determine o número contido no bloco do topo da pirâmide.
c) Qual é a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira?
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TOTAL
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5. A figura abaixo representa uma sequência de quadrados enfileirados horizontalmente da esquerda
para direita. O primeiro quadrado 𝐴𝐵𝐻𝐼 tem lado igual a 1, o segundo 𝐵𝐶𝐽𝐾 tem lado igual a 2, o terceiro
tem lado igual a 3 e assim sucessivamente.
a) Encontre as coordenadas dos quatro vértices do centésimo quadrado.
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b) Determine as coordenadas dos quatro vértices do n-ésimo quadrado.
c) Calcule a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência.
NOTA
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d) Mostre que a soma das áreas dos 𝑛 primeiros quadrados da sequência é dada por 𝑆(𝑛) =𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6.
NOTA
TOTAL