DEA - Anlise Envoltria de Dados (Data Envelopment Analysis)

AVALIAO DE EFICINCIA ORGANIZACIONAL ATRAVS DE ANLISE ENVOLTRIA DE DADOS

Marcelo Alvaro da Silva Macedo

Brasil NEGEN/DCAC/ICHS/UFRuralRJ alvaro@ufrrj.brMrcia da Costa Bengio

Brasil NEGEN/DCAC/ICHS/UFRuralRJ alvaro@ufrrj.brPalavras-Chave: Avaliao de Eficincia; Anlise Envoltria de Dados; Performance Organizacional

Tema: Aplicaciones Matemticas a la Contabilidad de Gestin

Recursos Audiovisuales: Microcomputador e Canho de Projeo (Data Show)

AVALIAO DE EFICINCIA ORGANIZACIONAL ATRAVS DE ANLISE ENVOLTRIA DE DADOS

Palavras-Chave: Avaliao de Eficincia; Anlise Envoltria de Dados; Performance Organizacional

Tema: Aplicaciones Matemticas a la Contabilidad de Gestin

Resumo:

A Contabilidade Gerencial deve se preocupar, dentre outros propsitos, com a avaliao da eficincia organizacional, ou seja, em avaliar como a empresa utiliza seus recursos (inputs) para obteno de seus produtos (outputs). A finalidade deste trabalho , ento, contribuir para uma avaliao das tcnicas de Anlise Envoltria de Dados (DEA Data Envelopment Analysis) na elucidao do funcionamento da empresa, no que tange sua performance. Sob o enfoque dos modelos DEA, tratar-se- a problemtica deste trabalho atravs de um exemplo ilustrativo, no qual ser aplicado o modelo de Retorno Constante de Escala (CRS Constant Returns to Scale), tambm conhecido como modelo CCR (Charnes, Cooper e Rhodes 1978). Analisar-se- a utilizao deste modelo como ferramenta gerencial no estabelecimento de uma ordem de eficincia relativa dentre as unidades (empresas, unidades de negcio, filiais, etc) avaliadas, que fornece tambm as razes pelas quais uma unidade ineficiente, bem como quais unidades eficientes podem servir de benchmark para cada uma destas. De forma geral, busca-se entender como esta tcnica, baseada em programao linear, pode servir de parmetro no processo de tomada de deciso, avaliando a eficincia relativa de cada unidade, destacando as eficientes e as ineficientes, analisando os motivos pelos quais as unidades ineficientes no alcanaram o ndice de 100 % (eficincia) e quais seriam as unidades eficientes que poderiam ser utilizadas como referncia para as ineficientes.

1. Introduo

A globalizao da economia e a abertura de mercados vm alterando o perfil da atividade das empresas, que cada vez mais precisam encontrar formas de se adaptarem aos novos tempos. Desta forma, o mundo atual impe s empresas uma busca pela vantagem comparativa a ser percebida pelos clientes. O ganho da produtividade das empresas arma mais poderosa para atrair e manter a clientela, com melhores produtos e servios a custos e preos menores. E os empresrios devem buscar maiores ndices de produtividade para conseguirem se manter num mercado to competitivo, emergindo nessa perspectiva a seguinte questo: Como medir na prtica, a produtividade? As dificuldades na medio da produtividade podem ser desdobradas em trs partes:

quais so as entradas apropriadas para o sistema e os medidores para as mesmas?

quais so as sadas apropriadas do sistema e os medidores para as mesmas?

quais so as formas apropriadas para medir o relacionamento entre essas entradas e sadas?

Felizmente, desenvolveu-se uma tcnica com capacidade de comparar a eficincia de mltiplas unidades de servio que fornecem servios similares mediante a considerao explcita do uso de suas mltiplas entradas (isto , recursos) na produo de mltiplas sadas (isto , servios).

A tcnica, referida como Anlise Envoltria de Dados (DEA), contabiliza explicitamente o mix de entradas e sadas, e mais abrangente e confivel que o conjunto de taxas operacionais ou medidores de lucratividade. Ento, o mtodo DEA pode ser utilizado para comparar um grupo de unidades de servios a fim de identificar as unidades relativamente ineficientes, medindo a magnitude das ineficincias, e, pela comparao das unidades ineficientes com as eficientes, descobrir formas para reduzir as ineficincias.

O objetivo deste trabalho , ento, efetuar uma avaliao da potencialidade da metodologia de DEA, bem como suas aplicaes, em oferecer subsdios s empresas para realizarem diagnsticos de eficincia em suas unidades, em termos do uso de insumos (inputs) para obteno de produtos (outputs).

A literatura se refere a dois tipos bsicos de mtodos que trabalham com o objetivo de mensurar eficincia e produtividade e, embora usem tcnicas distintas para efetuar a mensurao, os dois tipos convergem no fato de estimar uma fronteira relativa ao mximo de produto possvel de se obter utilizando os insumos disponveis. O primeiro conjunto de mtodos formado por modelos paramtricos. O segundo conjunto de mtodos, que o objetivo deste nosso estudo, estabelece fronteira de produo baseada em programao matemtica. Tais mtodos so tcnicas no-paramtricas, descritas na literatura e tratadas freqentemente sob o ttulo de DEA (Data Envelopment Analysis).

2. Programao Linear

De acordo com Bronson (1985), a Pesquisa Operacional (PO) diz respeito locao eficiente de recursos escassos como capital, pessoal, etc.; que so importantes para a tomada de deciso, pois congrega diversas tcnicas da modelagem matemtica, que se consagraram devido sua grande utilidade na soluo de problemas de otimizao. Os principais modelos de PO so denominados de Programao Matemtica e constituem uma das mais importantes variedades de modelos quantitativos. Um problema de Programao Matemtica um problema de otimizao no qual o objetivo e as restries so expressas como funes matemticas e relaes funcionais.

Segundo Goldbarg e Luna (2000), as tcnicas de soluo do processo de modelagem matemtica foram agrupadas em vrias subreas como:

Programao linear;

Programa no-linear;

Programao inteira; e

Programao quadrtica.

Contudo, dentre os modelos citados, nosso estudo abranger unicamente mtodos determinsticos em Programao Linear, que so um tipo especial de modelo de otimizao.

Segundo Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000), a Programao Linear (PL) uma ferramenta computacional de modelagem para tomadas de deciso associadas alocao de recursos que transcendem todos os aspectos de gerenciamento de geraes de servios. Ela se refere ao planejamento que utiliza modelos matemticos que consistem em expresses lineares. Este o modelo bsico para a compreenso de todos os outros. Um modelo um veculo para uma viso bem estruturada da realidade, ou seja, uma abstrao seletiva da realidade. A modelagem seleciona as caractersticas da realidade mais importantes para o problema de interesse. Sendo assim, a Programao Matemtica fortemente direcionada ao apoio da tomada de deciso no gerenciamento de sistemas de grande porte, principalmente no tratamento de variveis quantificadas. No que diz respeito tomada de deciso como o nome mesmo j diz o ato de selecionar, dentre vrias decises possveis, a mais adequada para o alcance de certo objetivo.

Ainda conforme Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000), modelos de programao linear so uma classe especial de modelos de otimizao com restries e para que um determinado sistema possa ser representado por meio de um modelo PL todas as relaes entre variveis so expressas com funes lineares e todos os modelos de PL possuem a seguinte forma algbrica:

e s restries de no-negatividade

.

Esta estrutura de problema contm as seguintes caractersticas:

Variveis de Deciso: as variveis x1, x2,..., xn so denominadas variveis de deciso, as quais assumem valores reais maiores ou iguais a zero.

Funo Objetivo: a funo c1x1+c2x2+...+cnxn denominada funo objetivo, a qual pode ser maximizada (por exemplo, lucros) ou minimizada (por exemplo, custos), isso vai depender da natureza dos coeficientes c1, c2,..., cn, onde esta funo deve ser maior ou menor possvel, atendendo s seguintes restries do sistema.

Restries: quando valores numricos so designados para as variveis de deciso x1, x2,...,xn para influenciar a funo objetivo, estes valores tambm influenciam as restries. Os modelos requerem que os valores numricos sejam tais que no violem nenhuma restrio. O conjunto dos nmeros b1, b2,..., bn denominado lado direito da inequao, (RHS - Right-Hand Sides) que limitam indiretamente os possveis valores das variveis de deciso.

Parmetros: os coeficientes na funo objetivo e os valores RHS so parmetros. Os parmetros so entidades cujo valor permanece fixo durante a resoluo do problema, entretanto pode ser mudado depois.

Constantes: os coeficientes a11, a12,..., a1n representam o consumo do primeiro recurso RHS por unidade de cada varivel de deciso, que refletem uma taxa constante de utilizao do recurso.

Portanto o modelo de Programao Linear reduz um sistema real a um conjunto de equaes ou inequaes onde pretendemos otimizar uma funo objetivo. E uma das grandes contribuies Programao Matemtica desse sculo, segundo Goldbarg e Luna (2000) o algoritmo simplex. O estudo desse algoritmo na opinio dos autores indispensvel para quem deseja dominar as tcnicas quantitativas de anlise e soluo de problemas em um contexto razoavelmente avanado. Deste modo, eles definem simplex como um algoritmo que utiliza um ferramental baseado na lgebra Linear para determinar, por um mtodo iterativo, a soluo tima de um PPL. Em suma, simplex um algoritmo.

De acordo com os autores, dualidade um conceito amplo que engloba a possibilidade do tratamento de duas naturezas distintas de uma mesma entidade, ou seja, eles definem duais como um par de modelos de programao matemtica primal e dual. Este par de modelos preservam as seguintes condies:

as funes objetivos so simtricas, isto , se o primal for de minimizao o dual ser de maximizao, reciprocamente.

so simtricas as descries das restries, ou seja, se na forma cannica o primal possui restries ento o dual ter restries .

os termos independentes no primal surgem como os coeficientes da funo objetivo no dual, reciprocamente.

a matriz de restrio do primal a transposta da matriz de restrio do dual, reciprocamente.

Os PPLs abaixo generalizam o par de modelos primal x dual.

onde x um vetor coluna e u um vetor linha; A a matriz de restrio do primal e a matriz de restrio do dual; e b o coeficiente no primal que surge como coeficiente na funo objetivo.

Estes PPLs apresentam propriedades importantes como a que referencia ao valor das funes objetivo Z0 e W0 quando encontram seus valores timos x e u. Alm desses valores numricos, existe uma dependncia entre a condio de viabilidade de cada um desses modelos, que pode ser verificada atravs do Teorema das Folgas Complementares, que segundo o autor diz:

Dado um par de programas duais, uma condio necessria e suficiente para que as solues x e u sejam timas que se verifiquem as seguintes relaes de complementaridade de folga: u(Ax b) = 0e (c uA)x = 0. (Goldbarg e Luna, 2000, p.138).

O que foi dito at aqui, que existem mtodos aritmticos simples capazes de maximizar (ou minimizar) funes lineares sujeitas a restries em forma de desigualdades lineares. Porm existem mtodos para resolver problemas mais complexos, que exigem solues inteiras ou que envolvem funes no-lineares ou restries aleatrias, mas so muito complicados e no garantem muitas vezes a convergncia. Discutimos alguns mtodos de resoluo de problemas lineares, mas note que no caso de problemas grandes, com muitas variveis e restries, as dificuldades de computao so enormes.

3. Anlise Envoltria de Dados (DEA)

Lins e Meza (2000) relatam que, segundo CHARNES (1994) a histria da Analise Envoltria de Dados (DEA) teve incio com a dissertao de RHODES para obteno de grau Ph.D, que foi supervisionada por COOPER e publicada em 1978. O objetivo da tese foi desenvolver um mtodo para comparar a eficincia de escolas pblicas norte-americanas (Decision Making Units DMUs) levando em conta outputs como:

Scores aritmticos;

Melhoria de auto-estima medida em testes psicolgicos;

Habilidade psicomotora;

e inputs como:

Nmero de professor-hora;

Tempo gasto pela me em leituras com o filho.

Inicialmente esta tcnica foi utilizada na avaliao de escolas pblicas norte-americanas, entretanto hoje aplicada em problemas diversos de cunho empresarial.

De acordo com Pereira (1995), a Anlise Envoltria de Dados (DEA) uma tcnica de Pesquisa Operacional, que tem como base a Programao Linear, e cujo objetivo analisar comparativamente unidades independentes (empresas, departamentos, etc) no que se refere ao seu desempenho operacional. Ela fornece uma medida para avaliar a eficincia relativa das unidades de tomada de deciso (DMUs). Definimos DMU, ou Decision Making Unit, como uma firma, departamento, diviso ou unidades administrativa ou operacional, cuja eficincia est sendo avaliada. Cada DMU representada por um conjunto de S outputs e um conjunto M de inputs. A idia bsica a comparao dos outputs com os inputs. Os outputs podem ser, por exemplo, os valores mensais de um faturamento da empresa com classes diversas de produtos. Para produzi-los as empresas tm que utilizar fatores de insumos diversos como rea da loja, grau de acessibilidade, dentre outros. Isto , tem-se um conjunto de inputs. Existe uma extensa literatura sobre a avaliao da produtividade, que se refere a dois conjuntos de mtodos bsicos para analisar a eficincia, ou produtividade, da utilizao dos recursos produtivos de organizaes ou empresas. So conhecidos como mtodos paramtricos e, no-paramtricos, onde estes tm o objetivo de estimar uma fronteira relativa que leve ao mximo de produo, utilizando o mnimo de insumos.

Ainda segundo Pereira (1995), os mtodos no-paramtricos se derivam das tcnicas de DEA, iniciadas por FARREL (1957) e ampliadas por CHARNES, COOPER e RHODES (1978) e BANKER, CHARNES e COOPER (1984). Os resultados de DEA so mais detalhados do que os obtidos na abordagem paramtrica, servindo melhor ao embasamento de recomendaes de natureza gerencial. Este conjunto de mtodos recebeu grande destaque depois da publicao do artigo introdutrio de CHARNES, COOPER e RHODES (1978) para a obteno de grau de Ph.D de RHODES, que ficou popularmente conhecido como DEA (Data Envelopment Analysis). A DEA representa uma das mais adequadas ferramentas para avaliar a eficincia, em comparao com ferramentas convencionais, sendo assim, so destacadas as seguintes caractersticas:

No requer a priori uma funo de produo explcita;

Examina a possibilidade de diferentes, mas igualmente eficientes, combinaes de inputs e outputs;

Localiza a fronteira eficiente dentro de um grupo analisado e as unidades includas;

Determina, para cada unidade ineficiente, subgrupos de unidades eficientes, os quais formam seu conjunto de referncia.

So vrias as formulaes dos modelos de DEA encontradas na literatura, conforme diz o Bandin (1997), entretanto dois modelos bsicos DEA so geralmente usados nas aplicaes. O primeiro modelo chamado de CCR (CHARNES, COOPER e RHODES, 1978), tambm conhecido como CRS (Constant Returns to Scale), avalia a eficincia total, identifica as DMUs eficientes e ineficientes e determina a que distncia da fronteira de eficincia esto s unidades ineficientes.

O segundo chamado de modelo BCC (BANKER, CHARNES e COOPER, 1984), tambm conhecido como VRS (Variable Returns to Scale), utiliza a formulao dual, sendo este normalmente usado no benchmarking. Este modelo permite a projeo de cada DMU ineficiente sobre a superfcie de fronteira (envoltria) determinada pelas DMUs eficientes.

A autora define Benchmarking como um processo contnuo e sistemtico de avaliao de empresas e servios atravs de sua comparao com unidades consideradas eficientes, levando ao estabelecimento de aes gerenciais efetivas com o objetivo de aprimorar os resultados (reduo de custos, aumento de produo, etc). A DEA tem sido utilizada, igualmente, para o benchmarking das unidades ineficientes, relacionadas aos grupos de referncia formados por unidades eficientes (BANKER, CHARNES e COOPER, 1984). Trata-se de uma poderosa ferramenta para definir estratgias para o Benchmarking, com a finalidade de indicar linhas de ao para tornar eficientes empresas ineficientes.

Ainda de acordo com Bandin (1997), FARREL (1957) define uma organizao eficiente como aquela que consegue produzir o maior output dado um certo mix de inputs. Ento, a ineficincia tcnica pode ser associada ao fracasso em alcanar a fronteira de eficincia, ou seja, fracasso em alcanar o mximo de outputs dado um certo mix de inputs (CHARNES e COOPER, 1990). FARREL (1957) props que a eficincia de uma firma consiste de dois componentes: eficincia tcnica, que reflete a habilidade de uma firma para obter output mximo para um dado set de inputs e eficincia alocativa, que reflete a habilidade da firma em usar propores timas, dando seus respectivos preos e a produo tecnolgica. Essas duas medidas so combinadas para fornecer a medida de total eficincia econmica.

Conforme dito anteriormente, a Anlise Envoltria de Dados (DEA) envolve o uso de mtodos de programao linear para construir uma fronteira no-paramtrica sobre os dados. Medidas de eficincia so calculadas em relao a sua fronteira.

De acordo com Coelli, Rao e Baltese (1998), Charnes, Cooper e Rhodes (1978) propuseram um modelo que tinha uma orientao input e assumia CRS (ou CRST). Artigos subseqentes tem considerado vrias alternativas, assim como Banker, Charnes e Cooper (1984), em que o modelo de Retorno Varivel de Escala foi proposto. Segundo Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000), para generalizarmos o modelo DEA CRS/tica primal, definiremos algumas notaes:

Faa Ek, com k = 1,...,n DMUs, onde n o nmero total de unidades que esto sendo avaliadas, ser a razo de eficincia da unidade k, definida como a relao dos outputs sobre os inputs.

Faa uj, com j = 1,...,s outputs de cada DMU, ser um coeficiente de sada para j, onde s o nmero total de tipos de sadas sendo considerados. A varivel uj a medida da diminuio relativa na eficincia com cada unidade de reduo do valor de sada.

Faa vi, com i = 1,...,m inputs de cada DMU, ser um coeficiente de entrada para i, onde m o nmero total de tipos de entrada. A varivel vi mede o aumento relativo na eficincia com cada reduo unitria do valor de entrada.

Faa yjk ser o nmero observado de unidades de sada j, geradas pela unidade de servio k durante um perodo de tempo.

Faa xik ser o nmero real de unidades de entrada i, utilizadas pelas unidades de servios k durante um perodo de tempo.

Assim, segundo os autores, um caminho intuitivo para introduzir DEA por meio de forma de razo. Para cada DMU, gostaramos de obter uma medida de razo de todos os outputs sobre todos os inputs, ou seja, os pesos timos uj e vi so obtidos pela resoluo do problema de programao matemtica.

onde c o ndice da unidade que est sendo avaliada. O problema acima envolve a procura de valores para u e v, que so os pesos, de modo que maximize a soma ponderada dos outputs (output virtual) dividida pela soma ponderada dos inputs (input virtual) da DMU em estudo, sujeita a restrio de que esse quociente seja menor ou igual a 1, para todas as DMUs.

Esta funo est sujeita restrio de que, quando o mesmo conjunto de coeficientes de entrada e sada (vis e ujs) for aplicado a todas as outras unidades de servios que esto sendo comparadas, nenhuma unidade de servio exceder 100% de eficincia ou uma razo de 1,00. Um problema como este de formulao de razo particular possui infinitas solues timas. Para evitar isto, ainda segundo Coelli, Rao e Baltese (1998), uma possvel imposio seria vi xic = 1, pois alm disto, queremos linearizar as restries do problema, de modo a transform-lo em um Problema de Programao Linear (PPL). Ento introduzindo a transformao linear desenvolvida por Charnes e Cooper (1962) obtemos:

Esta forma do problema conhecida como problema dos multiplicadores, como tambm so chamados os pesos, uj e vi. Denotamos este primeiro PPL por CRS/M/I.

Usando a dualidade em programao linear, podemos derivar uma forma de envelopamento equivalente deste problema. O modelo do envelope, tambm, ser desenvolvido a partir da anlise de eficincia relativa as DMUs que esto sendo observadas. Desta forma o PPL ser expresso como:

onde E ser interpretado como o indicador de eficincia da DMU analisada, baseado na possibilidade da reduo de insumos para obter a eficincia mxima.

Esta forma de envelopamento envolve pouqussimas constantes do que a forma dos multiplicadores, (m + s < n + 1), e em geral recomendado que o nmero total de variveis, m + s, seja a metade do nmero de DMUs do modelo dos multiplicadores sendo esta a forma preferida para resoluo. O valor de E obtido ir satisfazer a restrio 1 e o conjunto de pontos, tais que E = 1 definido como a fronteira de eficincia . Observe que o problema de programao linear pode ser solucionado n vezes, para cada DMU. Este modelo denotado por CRS/E/I, sendo E a indicao para o modelo do envelope.

Os PPLs acima apresentados so modelos com orientao input (I) que procuraram identificar ineficincia tcnica como uma reduo proporcional em input usado, com nveis constantes de output. Isto corresponde ao output de Farrel baseado em medidas de ineficincia tcnica, que tambm possvel para medida de ineficincia tcnica como acrscimo na produo de output, com nveis de input fixado. As duas medidas provm o mesmo valor sobre CRS, mas no so iguais quando assumido VRS.

Coelli, Rao e Baltese (1998) relatam que em um certo nmero de estudos, verificou-se que os analistas tendem a selecionar modelos com orientao input porque muitas firmas tm ordens particulares para preencher e, portanto, as quantidades de input apresentam-se como variveis de deciso primria, ainda que este argumento no seja forte em todas as indstrias. Segundo eles em algumas indstrias, as firmas poderiam ter uma quantidade fixada de recursos e poderia ser perguntado: Como possvel produzir muito output? Neste caso, uma orientao output poderia ser mais apropriada, onde o objetivo maximizar os produtos obtidos sem alterar o nvel atual dos inputs. O modelo para este propsito se obtm invertendo o quociente do modelo apresentado inicialmente, na qual obtemos:

Assim, a eficincia pela tica dos outputs calculada pelo inverso da funo objetivo, ou seja , eficincia = . Este problema define a relao dos inputs sobre os outputs, onde c o ndice da unidade que est sendo avaliada. Temos neste problema as mesmas variveis de deciso ux e vy e podemos linearizar este da mesma forma que o primeiro, porm queremos minimizar a soma ponderada dos inputs (input virtual) dividida pela soma ponderada dos outputs (output virtual) da DMU em estudo, sujeita a restrio de que este quociente seja maior ou igual a 1, para todas as DMUs. Para transform-lo em um problema de programao linear, teremos que usar a imposio e ento, teremos:

Esta forma de problema conhecida como problema dos multiplicadores, entretanto com orientao output. Denotamos este PPL por CRS/M/O. Formulando o dual deste modelo obtemos o modelo do envelope (CRS/E/O):

Alguns autores fixam o primal como um problema de minimizao ou de maximizao, contudo isso no necessrio para caracterizar a dualidade. Fixar o modelo como representante de uma das classes dessa relao no mnimo inconveniente porque a relao reflexiva, ou seja, o dual do dual o primal. Ento temos a seguinte relao:

Quadro 01 Tipos de Modelos e Orientaes e a Funo Objetivo

Modelo/OrientaoFuno Objetivo

Envelope/OutputMaximizar

Envelope/InputMinimizar

Multiplicador/OutputMinimizar

Multiplicador/InputMaximizar

Lins e Moreira (2000) apresentam uma implementao da metodologia DEA que, segundo eles, foi desenvolvida por Golany e Roll (1989), e que utilizada largamente de maneira formal como intuitivamente. De acordo com os autores, Golany e Roll estabelecem trs principais fases. A primeira visa a determinao do conjunto de DMUs homogneas a serem avaliadas, ou seja, define e seleciona DMUs a entrarem na anlise. Lembrando que uma vez definidas as DMUs, estas devem ser no mnimo o dobro do nmero de variveis utilizadas no modelo.

A segunda fase seleciona as variveis (input e output), considerando a princpio uma grande lista de possveis variveis a entrar no modelo. Estas variveis podem ser controlveis ou no, quantitativas ou qualitativas. Vale a pena ressaltar que, a introduo de um grande nmero de variveis reduz a capacidade do DEA de distinguir as DMUs eficientes das ineficientes e, portanto, o modelo deve ser o mais compacto possvel para maximizar o poder discriminatrio do DEA.

A terceira fase a aplicao dos modelos DEA. Conforme os autores, a literatura sobre DEA extensivamente referenciada por Charnes (1995) e Coelli (1998), no tem se dedicado muito a seleo de variveis para modelagem, pelo contrrio tm adotado uma abordagem baseada na opinio do interessado, usurio e/ou especialista. Desta forma, ou autores afirmam que no preciso se preocupar em utilizar alguma tcnica para seleo de variveis quando se tem uma pequena disponibilidade de variveis e grandes quantidades de observaes, ou at mesmo nos casos em que o nmero de DMUs pequeno em relao ao nmero de possveis inputs e outputs. Assim, eles limitam-se a afirmar que as variveis escolhidas so as que melhor descrevem a performance das DMUs sob anlise. Ao contrrio dos pesos, que representam um sistema de valor relativo para cada DMU o qual fornece o melhor escore possvel para a DMU. Na sua forma clssica DEA permite total flexibilidade na seleo dos pesos, que importante para identificar as DMUs ineficientes, que tem baixa performance , fazendo com que cada DMU atinja o escore mximo de eficincia vivel para seus nveis de inputs e outputs. Portanto o interesse aqui estabelecer limites, permitindo certa flexibilidade e certa incerteza sobre o valor real dos pesos.

4. Exemplo Numrico Ilustrativo

Para ilustrar a aplicao das tcnicas de Anlise Envoltria de Dados (DEA) vamos nos utilizar de um exemplo numrico. Cabe ressaltar que este s deve ser encarado como uma forma ilustrativa de demonstrar a aplicao do modelo apresentado anteriormente, procurando apresentar o conjunto de ferramentas gerenciais oriundas desta anlise. Este exemplo baseado no que proposto em Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000).

Uma nova rede de lanchonetes do tipo fast food estabeleceu seis unidades (filiais) em diferentes bairros do Rio de Janeiro. Cada unidade se localizou no estacionamento de um shopping. Somente uma refeio-padro era oferecida, consistindo de um hambrguer (carne bovina), batatas fritas e um refrigerante (300 ml). A tabela abaixo resume os dados de duas entradas (inputs): salrios (R$) e consumo de materiais (R$) durante um dia tpico, a fim de gerar uma sada (output) relativa venda de refeies.

Tabela 01 Dados das DMUs em termos de Outputs e Inputs

Unidade de ServioRefeies VendidasSalrios em R$Materiais em R$

DMUsOutput 1 (u1)Input 1 (v1)Input 2 (v2)

1208030

22210030

31810028

42513029

51715025

61916527

Para obtermos uma compreenso de DEA, iremos aplicar este exemplo nos PPLs formulados, e ento resolv-los a fim de determinar as taxas de eficincia e outras informaes pertinentes. Como qualquer modelo CRS gera a mesma resposta, vamos rodar apenas o CRS/M/I, onde a formulao para a DMU 01 fica da seguinte maneira:

Max 20 u1

st

20 u1 - 80 v1 - 30 v2