Análise Espacial de Áreas: Regressão

Análise Espacial de Áreas: Regressão

Análise Espacial de Dados Geográficos

SER-303

Novembro/2009

Análise de Regressão

Análise de regressão é uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada (variável dependente) pela outra ou outras (variáveis explicativas,independentes).

Y = aX + bExemplos:

Explicar vendas pelos gastos em propaganda.

Incidência de câncer com consumo de cigarro

Consumo x renda

Objetivos da Análise de Regressão

Determinar como duas ou mais variáveis se relacionam.

Estimar a função que determina a relação entre duas variáveis.

Usar a equação para prever valores futuros da variável dependente.

Suposições

1) Distribuição Normal Para um valor fixo da variável aleatória X, Y é uma variável aleatória com distribuição Normal (com média e variâncias finitas);

Yi ~ N(E(y/x); σ2)2) Linearidade

Todos os valores médios de Y (E(y/x)=μY/x) permanecem sobre uma reta, para um particular valor de X.

E(y/x)=μy/x = 0 + 1x

3) IndependênciaOs valores de Y são estatisticamente independentes.

4) HomocedasticidadeA variância de Y é igual, qq que seja X.

Modelos de Regressão

Um modelo de regressão contendo somente uma variável independente é denominado modelo de regressão simples.

Modelos de Regressão

Um modelo com mais de uma variável independente é denominado modelo de regressão múltiplo.

Regressão Linear Simples

onde:

Yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação;

0 e 1 são parâmetros;

Xi é uma constante conhecida; é o valor da variável independente na i-ésima observação;

i é um termo de erro aleatório com média zero e variância constante 2 (E(i)=0 e 2 (i)= 2 )

i e j são não correlacionados (independentes) para i j (2 (i,j)= 0 )

iii XY 10

Modelo de Regressão Linear

Yi

i

X

Y

0

1 Coeficienteangular

Y = E(Y) = 0 + 1 X

InclinaçãoPopulacional

InterceptoPopulacional

Erro Aleatório

Variável Independente

Variável Dependente Yi=0+1Xi +i

Ŷi=b0+b1Xi

i =Yi-Ŷi

Modelo estimado

Resíduo

Os parâmetros 0 e 1 são denominados coeficientes de regressão.

1 é a inclinação da reta de regressão. Ela indica a mudança na média de Y quando X é acrescido de uma unidade.

0 é o intercepto em Y da equação de regressão (é o valor de Y quando X = 0.

0 só tem significado se o modelo incluir X = 0.

Significado de 0 e 1

0

1

iXiYE10

][ Y

X0

Regressão Linear Múltipla

Yi=0+1Xi1 + 2Xi2 +…+ pXip + i

Yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação

0, …, p são parâmetros

Xi1 ,…,Xip são os valores das variáveis independentes na i-ésima observação

i é um termo de erro aleatório com distribuição normal, média zero e variância constante 2 (E(i )=0 e 2 (i )= 2 )

i e j são não correlacionados (independentes) para i j

Estimação dos parâmetros

Em geral não se conhece os valores de 0 e 1 .

Eles podem ser estimados através de dados obtidos por amostras.

O método utilizado na estimação dos parâmetros é o método dos mínimos quadrados, o qual considera os desvios dos Yi de seu valor esperado:

i = Yi – (0 + 1 Xi)

Em particular, o método dos mínimos quadrados requer que c a soma dos n desvios quadrados, denotado por Q:

210

1

][ ii

n

i

XYQ

Estimação

A soma dos quadrados dos desvios (єi) é dada por:

)XββY()(ε i10

n

1i

n

1i

i2

i

A equação deve ser derivada em relação a 0 e 1, igualando-as a zero para se obter os valores estimados de 0 e 1.

n

i

i

n

i

ii

XX

YYXX

1

2

11

)(

))((XY 10 ˆˆ

Inferência

construir intervalos de confiança para :

Teste de hipótese para :

1

0ˆ:

0ˆ:

1

10

Ha

H

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0 t1-/2;n-2

tn-2

-t1-/2;n-2

1

/2/2

Se = 0 , Y e X são não correlacionadosRejeitar que o modelo que inclui X é melhor do que o modelo que não inclui X mesmo que a linha retanão não seja a relação mais apropriada.

1Testando se a inclinação é zero

10H

)( 1

1*

bs

bt

Inferência

0:H

0:H

01

00

Se a hipótese nula = 0 não for rejeitada, pode-se excluir a constante do modelo, já que a reta inclui a origem.Esse teste é muitas vezes de pouca utilidade. Ex, idade (X) ePressão sanguinea.

0De forma semelhante testa-se é zero

0H

Inferência

Inferência

)ˆ()ˆ( YYYYYY iii

Elevando-se ao quadrado os dois lados da igualdade e fazendo-se a soma para todas as observações de uma determinada amostra tem-se que:

2

1

2

1 1

2 )ˆ()ˆ()(

n

i

i

n

i

n

i

ii YYYYYY

Soma de quadrados total (SQT)

Soma de quadradosdevido ao modelo (SQM)

Soma de quadrados devido Aos resíduos (SQR)

Particionando a soma dos quadrados

Y

2

1

2

1 1

)ˆ()ˆ()(

n

i

i

n

i

n

i

ii YYYYYY

•Se SQT=0, então todas as observações são iguais. •Quanto maior for SQT, maior será a variação entre os Y´s.•SQT é uma medida da variação dos Y´s quando não se leva em consideração a variável independente X.

Se SQR = 0, então as observações caem na linha de regressão.Quanto maior SQR, maior será a variação das observações Y ao redor da linha de regressão.

Se a linha de regressão for horizontal, de modo

que então SQM = 0.

0^

YY i

SQT = SQM + SQR.

Um modo de se saber quão útil será a linha de regressão para a predição é verificar quanto da SQT está na SQM e quanto está na SQR.

Idealmente, gostaríamos que SQM fosse muito maior que SQR.

Gostaríamos, portanto, que fosse próximo de 1.SQT

SQM

Particionando a Soma de Quadrados

Coeficiente de determinaçãoUma medida do efeito de X em reduzir a variabilidade do Y é:

Note que: 0 R2 1

R2 é denominada coeficiente de determinação. Em um modelo de regressão simples, o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação (r) entre Y e X. Note que em um modelo

de regressão simples

Temos dois casos extremos: R2 = 1 todas as observações caem na linha de regressão

ajustada. A variável independente X explica toda a variação nas observações.

R2 = 0 isto ocorre quando b1 = 0. Não existe relação linear em Y e X. A variável X não ajuda a explicar a variação dos Yi .

SQT

SQR1

SQT

SQR-SQT

SQT

SQM2 R

112 rRr

Inferência

0:

0ˆ...ˆˆ: 210

jdosummenospeloexisteHa

H k

Testes de significância do modelo geral

Fo = MQM/MQR onde Fc ~ F k, n-k-1

Teste do F parcial

0ˆ:

0ˆ:*

*0

Ha

HHa: X* melhora significativamente a predição de Y, dado que X1, X2,...Xp já estão no modelo

Modelo Y=0+1X1+...pXp+*X*

Fpc(x*/x1,x2,...xp) ~ F 1,n-(p+1)-1

Tabela ANOVA - FGraus de

Liberdade

(df)

Soma dos quadrados

(SQ)

Quadrado médio

SQM=SQ/df

Razão da variância

Regressão(X)

Residuo

1

28

SQT-SQR= 6394.02

SQR=

8393.44

6394.02

299.77

21.33(p<0.001)

Total 29 SQT = 14787.46

SST

SSRSSTR

2 43.0

46.14787

02.63942 R)1/(

/)(

knSSR

kSSRSSTF

)1/(1(

/2

2

knR

kRF

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Verificar:

Se função de regressão é linear

Não Linearidade

0

X

Res

íduo


Se os erros possuem variância constante (homocedasticidade)

0

X

Variância Não Constante

Res

íduo


Se os erros são independentes

X

0

Erros Correlacionados

Res

íduo


A presença de outliers

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

150 155 160 165 170 175 180 185

X

Res

ídu

os

Pad

ron

izad

os

Gráfico dos Resíduos


Se erros são normalmente distribuídos

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos – Modelo Adequado:

0

Res

íduo

X

Análise da Aptidão do Modelo Análise dos Resíduos : DADOS ESPACIAIS

Hipótese de independência das observações em geral é Falsa Dependência Espacial

Efeitos Espaciais Se existir forte tendência ou correlação espacial, os

resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa).

Como verificar? Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da

regressão (Índice de Moran dos resíduos)

Exemplo São José dos Campos

Crescimento Populacional 91-00 X Densidade Populacional 91

Mapear os resíduos da regressão – índícios de correlação

Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0,45

Testes de pseudo-significância indicam autocorrelação espacial

Regressão Espacial

Autocorrelação espacial constatada!

E agora?

Modelos de regressão que incorporam efeitos espaciais: Globais: utilizam um único parâmetro para capturar a

estrutura de correlação espacial Locais: parâmetros variam continuamente no espaço

Modelos com Efeitos Espaciais Globais

Suposição: É possível capturar a estrutura de correlação espacial

num único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão).

Alternativas:

Spatial Lag Models (SAR): atribuem a autocorrelação espacial à variável dependente Y.

Spatial Error Models (CAR): atribuem a autocorrelação ao erro.

Spatial Lag Model (LAG)

Suposição

a variável Yi depende dos valores da variável dependente nas áreas vizinhas a i:

Y = WY + X + = coeficiente espacial autoregressivo - medida de

correlação espacial = 0, se autocorrelação é nula (hipótese nula) W = matriz de proximidade espacial WY expressa a dependência espacial em Y

Spatial Error Model (CAR)

Efeitos espaciais são um ruído

Y = X + = W + ξ

W = erro com efeitos espaciais = medida de correlação espacial ξ = componente do erro com variância constante e

não correlacionada.

Spatial Lag Model X Spatial Error Model

Motivações diferentes, porém próximos em termos formais.

Premissa: processo espacial analisado é estacionário e pode ser capturado em um único parâmetro.

Porém isto nem sempre é verdade! Verificar se padões diversos de associação

espacial estão presentes. Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial

distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão

Não significantes

p = 0.05 [95% (1,96)]p = 0.01 [99% (2,54)]p = 0.001 [99,9% (3,2)]

% Exclusão

Indicadores Locais de Variabilidade Indicadores Locais de Variabilidade EspacialEspacial

Modelos com Efeitos Espaciais Locais

Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Discretos variações espaciais modeladas de maneira discreta. Regimes espaciais

Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais Contínuos variações espaciais modeladas de forma contínua, com

parâmetros variando no espaço. “Geographically Weighted Regression” – GWR.

Regimes espaciais A idéia é regionalizar a área de estudo obtendo sub-

regiões com seu padrão próprio. Realizar regressões separadas para cada sub-região. Utilizam-se variáveis indicadoras para classificar os

subconjuntos

2222 XY

3333 XY

1111 XY para Ind =1

para Ind=2

para Ind=3

Esses valores são estimados conjuntamente em um modelo de regressão usando as variáveis indicadoras

Regimes Espaciais

Regionalizações da área de estudo

Diferentes tipos de variabilidade espacial

Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais – regionalização tipo k-medias espacial

Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão

Regimes Espaciais x Regiões Administrativas

Impacto de Regimes Espaciais

Análise de Regressão Idosos = f ( Domicílios Sem Esgoto)

Regressão Linear R2 = 0,35

Regressão Espacial Regiões Adm (R2 = 0,72) Regimes Espaciais (R2 = 0,83)

Para dados socioeconômicos: modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados

melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais.

Diagnóstico de modelos de efeitos espaciais

Análise gráfica dos resíduos Mapear os resíduos – concentração de resíduos

negativos ou positivos em parte do mapa indica presença de autocorrelação espacial

Índice de Moran dos resíduos Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos

baseados no coeficiente de determinação (R2) serão incorretos.

Utilização do AIC – critério de informação de Akaike, a avaliação do ajuste é penalizada por função do # de parâmentros

Comparação das regressões para SP

Longevidade X renda

Regressão simples

Spatial Lag Regimes espaciais (3)

R2 ajustado 0.280 0.586 0.80

Log verossimilhança (LIK)

-187.92 -150.02 -124.04

AIC 379.84 306.51 260.09

Indice Moran dos resíduos

0.620 0.020

GWR – geographically weighted regression

Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância a este ponto.

Y(s) = (s)X +

Y(s): variável que representa o processo no ponto s.

(s): parâmetros estimados no ponto s.

Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)


y = b0 + b1x1 + e # regressão simples com um preditorb0 , b1 é o mesmo para toda área

Se existe alguma variação geográfica na relação essa variação fica incluída como erro.

y(u,v) = b0(u,v) + b1(u,v) x1 + e(u,v) # GWR b0(u,v), b1(u,v) # para cada ponto do espaço há um b0 e b1 diferentes –

Existe uma função (kernel) sobre cada ponto do espaço que determina todos os pontos da regressão local que é poderada pela distância. Pontos mais próximos do ponto central tem maior peso.

Assim como o kernel – a escolha da largura da banda é importante

Há também o kernel adaptativo


Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis.

Ex: Crescimento Pop. (dependente) X Densidade Pop. (independente)


Ex: Crescimento Pop. (dependente) X Densidade Pop. (independente) Mapa de resíduos (I = 0,04) :

Softwares

GeoDa Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial

(Spatial Lag & Spatial Error)

SPRING e Terraview Índice de Moran, LISA maps

SpaceStat Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error)

R, aRT + TerraView Regressão Clássica, Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) e GWR

GWR 3.0 Regressão Clássica e Espacial (GWR)

Generalidades

Modelos estatísticos constituem ferramentas extremamente úteis para resumir e interpretar dados. Em particular, eles podem facilitar a avaliação da forma e da intensidade de associações de interesse em diversos tipos de estudos

Revista Brasileira de Epidemiologia Vol4, # 3,2001

Generalidades

Por exemplo, consideremos estudo epidemiológico em que o objetivo é avaliar os efeitos da poluição atmosférica sobre a saúde dos habitantes de grandes centros urbanos.

A variável resposta, nesses estudos, geralmente é alguma contagem de eventos que representam danos à saúde, como o número de óbitos ou o número de internações por determinada causa respiratória

A concentração de alguns gases como NOX, SO2 ou CO ou material particulado são candidatas a variáveis explicativas nesse tipo de estudo.


Generalidades

Existem evidências teóricas quanto empíricas de que as possíveis variáveis respostas citadas acima são fortemente influenciadas por fatores sazonais e pelas condições climáticas, como a temperatura e a umidade do ar. que apresentam correlação temporal e espacial.

Entretanto, a maneira como esses fatores exercem sua influência sob o desfecho não é tão óbvia. As relações entre as diversas variáveis intervenientes podem não apresentar o mesmo comportamento ao longo de todos os valores do seu domínio e, mesmo se o apresentarem, a intensidade da associação pode não ser constante; por exemplo, o número de óbitos pode variar linearmente numa determinada faixa de valores de temperatura,e quadrática ou exponencialmente em outras.


Generalidades

Dada a complexidade das relações de interesse, a escolha de modelos apropriados para a análise se reveste de bastante importância.

Por exemplo, modelos de regressão linear servem para investigar se uma variável reposta Y está associada com variáveis explicativas X1, X2,..., XN, mas este tipo de modelo avalia esta associação apenas sob a ótica linear.

Nem sempre é aquela que rege os fenômenos considerados.

E importante ter em mente que as suposições usualmente empregadas na análise dificilmente corresponderão à realidade de modo exato, por mais sofisticado que seja o modelo em questão.


Generalidades Aspectos a serem considerados nos estudos que avaliam

os efeitos da poluição utilizando séries de contagens:

▪ distribuição da variável resposta

▪ presença de tendência e sazonalidade,

▪ variáveis de confundimento (geralmente temperatura e umidade),

▪ existência de defasagem entre o aumento da poluição e a ocorrência do evento

▪ possível existência de autocorrelação entre as observações medidas ao longo do tempo, do espaço, entre outros.


Generalidades

No exemplo visto anteriormente, a variável resposta ou a variável de interesse é uma contagem (por exemplo, o número diário de óbitos ou de internações hospitalares).

Essa resposta é supostamente influenciada pela concentração de poluentes na atmosfera,temperatura e umidade entre outros, que são as variáveis explicativas

Um modelo bastante simples, amplamente utilizado na análise de dados, é o modelo de regressão linear gaussiana. Este modelo é interessante por sua simplicidade,interpretabilidade e boas propriedades dos estimadores de seus parâmetros


Generalidades –

Como o número de óbitos é uma contagem, nem sempre as suposições de normalidade e homocedasticidade dos erros inerentes a esses modelos gaussianos são satisfeitas.

É possível utilizar métodos análogos àqueles desenvolvidos para o modelo de regressão linear gaussiana, em situações em que a variável resposta obedece a outras distribuições que não a Normal, ou em que a relação entre a variável resposta e as variáveis explicativas não é linear


Generalidades

muitas das boas propriedades da distribuição Normal são partilhadas por uma larga classe de distribuições chamada de família exponencial de distribuições.

Muitas distribuições conhecidas pertencem a essa família, como a própria Normal, a Poisson, a Binomial, a Gama.

Para trabalhar com dados dessas famílias utiliza-se o Modelo Linear Generalizado ( GLM)


O Modelo Linear Generalizado (MLG)

K valores independentes Y1, ..., YK, de uma variável resposta que segue uma distribuição da família exponencial, com valor esperado E(Yi) = μi;

K vetores Xi= (1 Xi1 Xi2 ….Xip)t, i=1, ..., K, contendo os valores das p variáveis explicativas;

Uma função monotônica e diferenciável g, chamada de função de ligação, tal que g(μi) = xi

tβ, i=1, ..., K ,

com β = (β1 β2 … βp) representando o vetor de parâmetros a serem estimados.


O Modelo Linear Generalizado (MLG)

Os modelos lineares generalizados englobam os modelos de regressão linear simples e múltipla, regressão logística, regressão de Poisson e muitos outros.

Se g é a função identidade, isto é, se g(μi) = μi, então

μi = E(Yi) = xitβ, e o modelo resultante,com algumas

suposições adicionais, é o modelo de regressão linear gaussiana visto anteriormente.

Se g é a função logarítmica e Yi tem distribuição de Poisson, o modelo resultante é o modelo de regressão de Poisson,comumente utilizado para avaliar efeitos da poluição entre outras aplicações


O Modelo Aditivo Generalizado (GAM)

O modelo aditivo generalizado é uma extensão do modelo linear generalizado, em que o termo xi

tβ = é substituído por , com fj(Xij) denotando uma

função não paramétrica (i.e. cuja forma não é especificada) estimada através de curvas de alisamento.

Com essa substituição, não é necessário assumir uma relação linear entre g(μi) e as variáveis explicativas, como no GLM.

ji

ijx )( ijj Xf


Modelos Lineares Generalizados Mistos

Esses modelos, também denominados de modelos de efeitos aleatórios, hierárquicos, são modelos estatísticos que contém efeitos fixos e efeitos aleatórios.

É uma extensão dos modelos lineares generalizados onde o preditor linear contém efeitos aleatórios além dos efeitos fixos usuais.

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Análise Espacial de Áreas: Regressão