ANALISE MATEMATICA 1

EXERCıCIOS

Maria do Rosario de Pinho

e

Maria Margarida Ferreira

Julho 2001

Faculdade de Engenharia da Universidade do PortoLicenciatura em Engenharia Electrotecnica

e deComputadores

Indice

1 Nocoes de Matematica Elementar 3

2 Sucessoes e Series Numericas 5

3 Funcoes 11

4 Integral Indefinido 18

5 Integral Definido 27

6 Equacoes Diferenciais 30

2

Capıtulo 1

Nocoes de Matematica Elementar

1. Efectue as seguintes operacoes:

(a)∑4

i=2 (axi + bxi−2) +∑3

i=1 (axi−1 + bxi+1)

(b)(

4x−52 + 1

3

) (

13x− 1

)

(c) (x2 + 3) : (x− 1)

2. Factorize as seguintes expressoes:

(a) x3 + x2 + x

(b) 3(x− 4)− (x− 4)2

(c) y2 − 4y + 4− 2(y − 2)

(d) a4 − a2

3. Simplifique as expressoes:

(a) t2+3tt3+5t

(b) (x+1)3−3x(x+1)2

(x+1)6

(c) sin (3π − a) + cos (a− 7π) + tg(a− 9π2 ) + cotg(π + a)

4. Calcule a, b, c, d e g, reais tais que a(x− d)2 − b(y − g)2 − c = 12x

2 − y2 − 2x− 2y

5. Calcule A,B e C tais que

(a) 5x2−2x−1(x+1)(x2+1)

= Ax+1 + Bx+C

x2+1

(b) 1x(x−3)(x+3) = A

x + Bx−3 + C

x+3

6. Mostre que:

(a) x2 = y2 =⇒ x = y ∨ x = −y(b) xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)

(c) Se x < y e n ımpar =⇒ xn < yn

3

Capıtulo 1. Nocoes de Matematica Elementar Pag. 4

(d) Se xn = yn e n ımpar =⇒ x = y

(e) Se x2n = y2n e n ımpar =⇒ x = y ∨ x = −y(f) max(a, b) = a+b+|a−b|

2

7. Encontre o(s) erro(s) das seguintes resolucoes:

(a) x+ 1 + 1x−2 = 3 + 1

x−2 =⇒ x+ 1 = 3 =⇒ x = 2

(b) (x− 3)(

x−2x−3

)

= 0 =⇒ x = 3 ∨ x = 2

8. Descubra o erro da seguinte demonstracao:

Seja x = y 6= 0. Entao:

x2 = y2 ⇒ x2 − y2 = xy − y2 ⇒ (x− y)(x+ y) = y(x− y)

⇒ x+ y = y ⇒ 2y − y = 0⇒ y = 0

9. Sabendo que | a+ b | ≤ | a | + | b |, mostre que

(a) | x | − | y | ≤ | x− y |(b) | | x | − | y | | ≤ | x− y |

10. Resolva as seguintes inequacoes:

(a) 2x >| x+ 3 |(b) | 2x+ 1 |>| x+ 2 |(c)

∣

∣

∣

2x+5x2+4

∣

∣

∣ ≥ 15

(d)∣

∣

∣

x−3x

∣

∣

∣ ≥∣

∣

∣

x2−3xx+1

∣

∣

∣

11. A partir de sin (a+ b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a) mostre que

(a) sin (a− b) = sin (a) cos (b)− sin (b) cos (a)

(b) cos (a+ b) = cos (a) cos (b)− sin (a) sin (b)

(c) cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)

(d) sin (a) + sin (b) = 2 sin(

a+b2

)

cos(

a−b2

)

(e) sin (a)− sin (b) = 2 sin(

a−b2

)

cos(

a+b2

)

(f) cos (a) + cos (b) = 2 cos(

a+b2

)

cos(

a−b2

)

(g) cos (a)− cos (b) = 2 sin(

a+b2

)

sin(

a−b2

)

Capıtulo 2

Sucessoes e Series Numericas

1. Calcule os seguintes limites:

(a) limn→∞ nn+1

(b) limn→∞ n+3n3+4

(c) limn→∞ n!nn .

2. Mostre que a) se p > 0, limn→∞ n√p = 1 b) limn→∞ n

√n = 1.

3. Seja Sn+1 =√2 + Sn.

(a) Seja S1 = 2. Que pode dizer sobre Sn?

(b) Seja S1 =√2. Mostre que

√2 ≤ Sn ≤ 2, ∀n ∈ IN . Mostre ainda que Sn e monotona.

Que pode concluir?

4. Considere a sucessao Sn+1 =√

2 +√

S2n − 2, S1 = 2.

(a) Determine uma forma fechada para Sn.

(b) Calcule o limite de Sn.

5. Seja α > 0 fixo, a1 >√α e an+1 = 1

2

(

an + αan

)

.

(a) Mostre que an decrescente e que limn→∞ an =√α.

(b) Seja εn = an −√α. Mostre que

εn+1 =ε2n2an

<ε2n

2√α

(c) Seja β = 2√α. Deduza que εn+1 < β

(

ε1β

)2n

, n = 1, 2, ... .

(d) Este um bom algoritmo para calcular raızes, uma vez que a relacao de recorrenciae simples e a convergencia extremamente rapida. Por exemplo, se α = 3 e a1 = 2,mostre que ε1

β < 110 e que ε5 < 4× 10−16, ε6 < 4× 10−32.

5

Capıtulo 2. Sucessoes Pag. 6

6. Ao deixar cair uma bola de tenis de um muro de 1 metro de altura, sabe-se que a bolatoca no chao e salta outra vez, atingindo uma altura total igual a 60% da altura do saltoanterior, tal como se representa na figura:

...

0.6

0.62

1

0.63

Seja h0 a altura inicial da bola e seja hn a altura maxima da bola no salto n. Entao:

h0 = 1hn+1 = 0.6hn

(a) Mostre por inducao matematica que hn = (0.6)n ∀n∈IN(b) Calcule a soma da serie

∑∞n=0(0.6)

n e relacione a soma com o problema descrito emcima.

7. Prove a seguinte formula por inducao matematica:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ∀n∈IN

8. Considere os rectangulos da seguinte figura:

1

1

2 3

1/2

1/4

1

2

3

Capıtulo 2. Sucessoes Pag. 7

Cada rectangulo tem largura igual a 1 e altura igual a metade da altura do rectangulo asua esquerda. Seja A1 a area do rectangulo 1 e seja An a area do rectangulo n.

(a) Verifique quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras e quais sao falsas:

A area do rectangulo n, An = 122 V F

A area do rectangulo n+ 1, An+1 = An12 V F

A area do rectangulo n, An = 12n+1 V F

A area do rectangulo n+ 1, An+1 = 12n V F

(b) Considere a serie∑∞

n=012n . Verifique se a serie converge.

(c) Relacione a serie em (b) com o problema dado e diga qual o significado que tera asoma se esta convergir.

9. Considere uma sequencia de rectangulos tal como se representa na figura:

1

1

2 3

1/2

1/4

1

3

2

Cada rectangulo n tem uma altura hn que e igual a metade da altura do rectangulo anteriore tem um comprimento n. Seja An = nhn a area do rectangulo n.

(a) Defina as alturas por recorrencia, sabendo que h1 = 12 .

(b) Mostre, por inducao matematica, que An = n2n ∀n∈N

(c) Considere a serie∑∞

n=1n2n e mostre que a serie converge.

10. Prove a seguinte formula por inducao matematica:

12 + 2

22 + 323 + · · ·+ n

2n = 2− n+22n ∀n∈IN

11. Se um doente tomar A gramas de um medicamento no instante t = 0, a quantidade Sde dose activa que tera no corpo ao fim de t horas sera igual a Ae−6t gramas. Considereque o doente toma o medicamento de hora a hora. Seja Sn a quantidade de dose activade medicamento no corpo imediatamente a seguir ao doente ter tomado A gramas pela(n+ 1)-esima vez. Tem-se que:

Capıtulo 2. Sucessoes Pag. 8

S0 = AS1 = A+Ae−6

(a) Deduza que Sn = A+∑n

k=1Ae−6k.

(b) O doente morre se limn→∞ Sn = +∞. Estude a convergencia da serie∑∞

n=1 Ae−6n e

conclua que o doente nao morre.

(c) Determine limn→∞ Sn.

12. Considere a sucessao seguinte definida por recorrencia:

yn+1 = Ayn +Bcom 0 ≤ A < 1 e y1 = B > 0

(a) Mostre, por inducao matematica, que yn = BA−1(A

n − 1) ∀n∈N .

(b) Verifique que a sucessao e limitada e monotona.

(c) Calcule limn→∞ yn.

13. Num texto da area economica pode-se ler que o valor real de um terreno agrıcola, se forplantado um cereal em cada ano, sera, no fim do 10 ano:

P1 = ge−1

no fim do 20 ano:

P2 = ge−1 + ge−2

no fim do n-esimo ano:

Pn = Pn−1 + ge−n

(a) Deduza que o valor do terreno ao fim do n-esimo ano e:

Pn = g(e−1 + e−2 + · · ·+ e−n)

(b) Estude a convergencia da serie∑∞

n=1 ge−n.

(c) Relacione a serie em (b) com o problema dado e determine limn→∞ Pn.

14. Seja S ={

n ∈ N : 1 + 2 + · · ·+ n = 18(2n+ 1)2

}

(a) Prove que se k ∈ S entao (k + 1) ∈ S

(b) Critique a seguinte afirmacao:

”Por (a) e tendo em conta o Princıpio da Inducao Matematica, podemos concluir queN ⊂ S”

15. Estude a convergencia das seguintes series:

(a)∑∞

n=1n2

(n+1)(n2−3)

(b)∑∞

n=1(−1)n+1(

2n+15n+7

)n

Capıtulo 2. Sucessoes Pag. 9

16. Imagine que decidiu comprar um automovel em “leasing”. Suponha que lhe vao cobrarJ% de juros ao ano, o que corresponde a um juro mensal de r = J

12%. Seja D0 o valorinicial do automovel e x a prestacao mensal. Suponha ainda que o juro e cobrado depoisde efectuar o pagamento da prestacao.

(a) Mostre que a sua dıvida no mes j se pode escrever em funcao da dıvida no mesanterior segundo a seguinte forma:

Dj = (1 + r)(Dj−1 − x) ∀j∈N(b) Mostre por inducao matematica que ao fim de n meses a sua dıvida e:

Dn = D0βn − x

[

β 1−βn1−β

]

onde β = 1 + r

17. Considere a serie∑∞

n=11n .

(a) Verifique que a sucessao an = 1n converge para 0 mas que a serie diverge.

Sug: verifique que

S2n = 1 + 12 + (1

3 + 14) + (1

5 + 16 + 1

7 + 18) + ...+ ( 1

2n−1+1+ ...+ 1

2n )

≥ 1 + n2

(b) Conclua de a) que para 0 < r < 1 a serie∑∞

n=11nr diverge.

18. Verifique que a serie∑∞

n=11nr e convergente se r > 1.

Sug: Verifique que

S2n−1 = 1 + ( 12r + 1

3r ) + ( 14r + 1

5r + 16r + 1

7r ) + ...+ ( 12(n−1)r + ...+ 1

(2n−1)r )

≤ 1 + 22r + 4

4r + ...+ 2n−1

2(n−1)r =∑n−1

i=0 ( 22r )

i

19. Estude a natureza das series:

(a)∑∞

n=15n+1−2n+1

5n+2n

(b)∑∞

n=11

n(n+1)(n+2)

(c)∑∞

n=1n!nn

(d)∑∞

n=1

[

nrn+1

]r

(e)∑∞

n=13nn!nn

(f)∑∞

n=11

(n+1)2−1

(g)∑∞

n=1sin (nπ)

n

(h)∑∞

n=1sin (nβ)n2

(i)∑∞

n=1e−n

n cos (nπ)

(j)∑∞

n=1 (−1)n n!nn

20. Mostre que a serie∑∞

n=1 log(

nn+1

)

e divergente.

21. (a) Mostre que o integral∫∞2

ex

xx existe.

Capıtulo 2. Sucessoes Pag. 10

(b) Mostre que a serie∑∞

n=21

(logn)log (n) converge.

22. Mostre que as seguintes series convergem para as somas indicadas:

(a)∑∞

n=11

(2n−1)(2n+1) = 12

(b)∑∞

n=12

3n−1 = 3

(c)∑∞

n=21

n2−1= 3

4

(d)∑∞

n=12n+3n

6n = 32

(e)∑∞

n=1

√n+1−√n√n2+n

= 1

(f)∑∞

n=1 (−1)n−1 2n+1n(n+1) = 1

23. Para a ∈ (−1, 1), sabe-se que∑∞

n=0 an converge e a sua soma 11−a . Calcule a soma das

seguintes series quando a ∈ (−1, 1).

(a)∑∞

n=1 a2n

(b)∑∞

n=0 a2n+1

(c)∑∞

n=0 (−1)nan

(d)∑∞

n=0 (−1)na2n

24. Seja x = a0.a1a2a3a4... > 0, onde 0 ≤ ak ≤ 9, ∀k ∈ IN . Entao

a0 +a1

10+ · · ·+ an

10n≤ x ≤ a0 +

a1

10+ · · ·+ an + 1

10n

Seja Sn =∑n

k=0ak10k

. Entao 0 ≤ x− Sn ≤ 10−n. Observe que:

limn→∞ Sn = x e x =

∞∑

k=0

ak10k

Nas alıneas seguintes os numeros x dados sao dızimas infinitas. Em cada caso, expresseos numeros x como series, encontre as respectivas somas e expresse finalmente x como oquociente de dois inteiros.

(a) x = 0.4444...

(b) x = 0.515151...

(c) x = 2.020202...

(d) x = 0.123123...

Capıtulo 3

Funcoes

1. (a) Considere os esbocos da figura da pag. seguinte. Indique aqueles que nao podem sergraficos de funcoes reais de variavel real, justificando.

(b) De entre as funcoes representadas determine os respectivos domınios, contradomıniose pronuncie-se sobre a continuidade e derivabilidade.

(c) Complete o seguinte quadro, usando o sımbolo X para relacionar o grafico com arespectiva funcao, ou indicar que nao e funcao, e O para relacionar a funcao com arespectiva inversa, caso esta esteja tambem representada e esteja definida em todo odomınio da funcao.

fig/func 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

sen(x)

ex

1/x

cos(x)

ex/x

tg(x)

x

|x|log(x)

nao e funcao.

11

Capıtulo 3. Funcoes Page 12

x

y

x

y

x

y

1 1

-1

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

x

y

x

y

x

y

1

1-1

Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6

-1

1

x

y

x

y

x

yFig. 7 Fig. 8 Fig. 9

e

x

y

x

y

x

yFig. 10 Fig. 11 Fig. 12

1

1

1 1

Capıtulo 3. Funcoes Page 13

2. A figura 13 representa o grafico de uma funcao f : < → <. Qual dos graficos seguintespodera ser o grafico de |f |?

E o de g(x) =

{

|f(x)| se f(x) ≥ 00 se f(x) < 0

?

E o de h(x) =

{

|f(x)| se f(x) ≤ 00 se f(x) > 0

?

x

yFig. 13

Fig. 14

x

y

x

yFig. 15

Fig. 16

x

yFig. 17

x

y

Capıtulo 3. Funcoes Page 14

3. As figuras 18 e 19 representam graficos de funcoes f, g : < → <. Qual dos graficos seguintespodera ser o grafico da funcao g ◦ f?

Fig. 18y

2

-2

-2-4 0 x

Fig. 19 y

x

1

1

Fig. 20y

x

Fig. 21y

x

Fig. 22y

x

Fig. 23y

x

Capıtulo 3. Funcoes Page 15

4. Seja f : < → < tal que f(a) = limn→∞ a2n−1a2n+1

. Qual dos seguintes esbocos podera ser ografico de f?

Fig. 24y

x

Fig. 25y

x

Fig. 26y

x

Fig. 27y

x

5. Seja f(x) = 2sen(2x)cotg(x) .

(a) Determine o domınio, D, de f e os seus zeros.

(b) Mostre que para todo o x ∈ D, f(x) = 4sen2(x).

(c) Seja g(x) = 4sen2(x). Determine o domınio de g e diga porque e que f e g nao saoa mesma funcao.

6. Seja f(x) = |x| e g(x) = 1 + cos(x).

(a) Caracterize g ◦ f e f ◦ g.(b) Esboce o grafico de g ◦ f a partir dos graficosde f e de g.

7. Quais as condicoes que tem de satisfazer m e n para que os graficos de f(x) = mx + b eg(x) = nx+ c sejam:

(a) paralelos;

(b) perpendiculares;

8. Diga quais das afirmacoes sao verdadeiras e quais sao falsas, justificando.

(a) Se f e contınua e injectiva, definida num intervalo I, entao e monotona.

(b) Se f : < → < e contınua e tem mınimo, entao e nao injectiva.

(c) Se f : I → < e contınua e I e um intervalo limitado, entao f e limitada.

(d) Se f : I → < e contınua e I e um intervalo fechado, entao f e limitada.

9. Mostre que existe um numero x ∈ < tal que:

Capıtulo 3. Funcoes Page 16

(a) sen(x) = x− 1

(b) x179 + 1631+x2+sen2(x)

= 119

10. Seja f : < → <, uma funcao contınua. Considere a seguinte sucessao, para um dado x ∈ <,

x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))), ...

Suponha que esta sucessao converge para a. Mostre que a e um ponto fixo de f , i.e.,f(a) = a.

11. Seja f : < → < uma funcao contınua tal que f = f−1.

(a) De uma interpretacao geometrica a condicao f = f−1 e mostre que existe pelo menosum c tal que f(c) = c (c e um ponto fixo de f).

(b) De exemplos de funcoes contınuas tais que f = f−1 e f(c) = c para exactamente umc.

(c) Mostre que se f e uma funcao contınua e crescente tal que f = f−1, entao f(x) = xpara todo o x.

12. (a) Usando o exercıcio 9 do capıtulo 1, obtenha uma expressao para tg(x+y) e tg(x−y).(b) Mostre que

arctg

(

1

x

)

=π

2− arctg(x) , x > 0

(c) Que podera dizer sobre a equacao

arctg

(

1

x

)

=3π

2− arctg(x) , x > 0

13. O Teorema de Lagrange nao e aplicavel as seguintes funcoes nos respectivos intervalos; emcada caso indique porque.

(a) f(x) = |x|, (−1, 3).

(b) f(x) = x+ 1x , (−1, 2).

(c) f(x) = x2

x−1 , (0, 2).

14. Encontre o(s) erro(s) na resolucao apresentada para os seguintes problemas:

(a) Calcule limx→+∞x+sen2(x)

x+1 .

Resolucao:

limx→+∞

x+ sen2(x)

x+ 1= lim

x→+∞1 + 2sen(x)cos(x)

1= lim

x→+∞(1 + sen(2x))

Este ultimo limite nao existe; portanto nao existe o limite dado.

(b) Calcule limx→22x2+5xx+1 .

Capıtulo 3. Funcoes Page 17

Resolucao:

limx→2

2x2 + 5x

x+ 1= lim

x→2

4x+ 5

1= 13

15. Calcule as derivadas de

(a) sen(x2)sen2(x)1+sen(x)

(b) sen

(

x

x−sen(

xx−sen(x)

)

)

16. (a) Seja p(x) = xn+an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0. Suponha que p tem K pontos de maximo

e M pontos de mınimo. Mostre que M = K + 1 se n e par e M = K se n e ımpar.

(b) Seja r uma raiz dupla do polinomio p, i.e.,

p(x) = (x− r)2q(x)

e q(r) 6= 0. Mostre que r e raız dupla de p se e so se for raız de p e de p (derivada dep).

(c) Quando e que p(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0 tem raiz dupla? Qual o significadogeometrico?

(d) Suponha que a e b sao zeros consecutivos de uma funcao polinomial da forma

f(x) = (x− a)(x− b)g(x) (0.1)

e g(a) 6= 0, g(b) 6= 0. Mostre que g(a)g(b) > 0 e que existe c entre a e b tal quef ′(c) = 0.

17. Sejam f e g tais que para todo o x, f ′(x) > g′(x) e existe um y ∈ < tal que f(y) = g(y).Mostre que f(x) > g(x) se x > y e f(x) < g(x) se x < y.

18. Seja

f(x) =

xex se x < 0x2 − x se x ∈ [0, 3]3x− 1 se x > 3

(a) Estude a continuidade de f .

(b) Defina a funcao f ′.

19. (a) Determine dois numeros positivos cuja soma seja 1000 e tal que a soma dos seusquadrados seja mınima.

(b) Pretende-se cercar um pedaco rectangular de terra por um muro e depois dividi-lo aomeio por um muro paralelo a um dos lados. A area do terreno e 1350m2. Quais asdimensoes do terreno que requerem menos muro?

(c) Um lavrador tem uma manada de animais, cada um pesando 300kg. A manutencaodiaria de cada um custa-lhe 200 esc. e o peso deles aumenta a razao de 4kg por dia.O preco do animal, por kilo, no mercado, e de 500 esc mas esta a decrescer 5 esc.por dia. Quanto tempo deve o lavrador esperar de modo a obter o lucro maximo navenda dos animais?

Capıtulo 4

Integral Indefinido

Calculo de Integrais Indefinidos: transformar a funcao a integrar numa decomposicao de funcoestal que, cada uma delas, denuncie, pelo seu aspecto, qual a derivacao que a ela conduziu.

Tabela de Integrais Imediatos

∫

dx = x+K∫

xndx = xn+1

n+1 +K, n 6= −1∫ 1xdx = log|x|+K

∫

exdx = ex +K∫

axdx = ax

log(a) +K, a > 0 e a 6= 1∫ 1√

1−x2dx = arcsen(x) +K

∫ 11+x2dx = arctg(x) +K

∫

sen(x)dx = −cos(x) +K∫

cos(x)dx = sen(x) +K∫

sec2(x)dx = tg(x) +K∫

cosec2(x)dx = −cotg(x) +K∫

sec(x)dx = log|sec(x) + tg(x)|+K∫

cosec(x)dx = log|cosec(x) + cotg(x)|+K∫

unu′dx = un+1

n+1 +K, n 6= −1∫ 1uu′dx = log|u|+K

∫

euu′dx = eu +K∫

auu′dx = au

log(a) +K∫ 1√

1−u2u′dx = arcsen(u) +K

∫ 11+u2u

′dx = arctg(u) +K

etc.

18

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 19

Integracao por Partes

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′ logo f ′ · g = (f · g)′ − f · g′.Assim

∫

f ′ · g dx =

∫

(f · g)′ dx−∫

f · g′ dx

Mudanca de Variavel

Seja x = φ(t) uma funcao bijectiva e derivavel. Entao:∫

f(x) dx =

∫

f(φ(t)).φ′(t) dt

Algumas mudancas de variavel:

Seja f uma funcao racional da forma f(x,√a2 − b2x2). A mudanca de variavel normalmente

utilizada e:

x =a

bsen(t) ou x =

a

bcos(t)

Seja f uma funcao racional da forma f(x,√a2 + b2x2). A mudanca de variavel normalmente

utilizada e:

x =a

btg(t) ou x =

a

bcotg(t)

Seja f uma funcao racional da forma f(x,√b2x2 − a2). A mudanca de variavel normalmente

utilizada e:

x =a

bsec(t) ou x =

a

bcosec(t)

Seja R uma funcao racional da forma R(sen(x), cos(x)).

a) Se R(−sen(x), cos(x)) = −R(sen(x), cos(x)) faz-se a mudanca de variavel cos(x) = t.

b) Se R(sen(x),−cos(x)) = −R(sen(x), cos(x)) faz-se a mudanca de variavel sen(x) = t.

c) Se R(−sen(x),−cos(x)) = R(sen(x), cos(x)) faz-se a mudanca de variavel tg(x) = t.

d) No caso global (que engloba os precedentes) faz-se a mudanca de variavel tg(x/2) = t.

Se R e uma funcao racional da forma R(arx, asx, · · ·) onde r, s, · · · sao numeros inteiros, faz-sea mudanca de variavel t = amx onde m = m.d.c.{r, s, · · ·}.

Integrais envolvendo funcoes trigonometricas

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 20

a) Funcoes da forma senm(u)cosp(u) quando:

(i) m ou p inteiro positivo ımpar: seja m = 2k + 1. Entao

sen2k+1(u)cosp(u) = sen2k(u)sen(u)cosp(u)

= (1− cos2(u))ksen(u)cosp(u)

(ii) m e p sao inteiros positivos pares: usar as formulas

sen2(u) = (1/2)(1− cos(2u))

cos2(u) = (1/2)(1 + cos(2u))

sen(u)cos(u) = (1/2)sen(2u)

b) Funcoes da forma tgm(u) ou cotgm(u), com m inteiro positivo. Usar a formula:

1 + tg2(u) = sec2(u) ou 1 + cotg2(u) = cosec2(u)

c) Funcoes da forma secm(u) ou cosecm(u).

(i) m e inteiro positivo par. Por em evidencia sec2(u) ou cosec2(u) e passa-se para tg usando asformulas:

1 + tg2(u) = sec2(u) ou 1 + cotg2(u) = cosec2(u)

(ii) m e inteiro positivo ımpar. Por em evidencia sec2(u) ou cosec2(u), integrar por partes econsidera-se:

tg2(u) = sec2(u)− 1 ou cotg2(u) = cosec2(u)− 1

d) Funcoes da forma tgm(u).secp(u) ou cotgm(u).cosecp(u).

(i) m e inteiro positivo par. Como em c) (i).

(ii) m e inteiro positivo ımpar. Transformar o produto de modo a obter sec(u).tg(u) oucosec(u).cotg(u) e utilizar as formulas de c) (ii).

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 21

Integrais de funcoes racionais

Funcoes da forma f(x)g(x) onde f e g sao polinomios em x.

(i) Se o grau de f e maior do que o grau de g, obter, por divisao polinomial, f(x)g(x) = p(x) + r(x)

g(x) .

Ir para (ii).

(ii) Seja r(x)g(x) uma fraccao irredutıvel, com grau de r menor que grau de g, onde

g(x) = a0(x− a)sa(x− b)sb · · · (x− l)sl

[(x− p)2 + q2]λ · · · [(x− u)2 + v2]µ

Entao r(x)g(x) e decomposta numa soma da forma:

r(x)

g(x)=

A1

(x− a)sa+ · · · Asa

(x− a)+

B1

(x− b)sb+ · · · Asb

(x− b)+

+M1x+N1

[(x− p)2 + q2]λ+ · · ·+ Mλx+Nλ

(x− p)2 + q2+ · · ·

+U1x+ V1

[(x− u)2 + v2]µ+ · · ·+ Uλx+ Vλ

(x− u)2 + v2

Calculo das primitivas :

∫

A

x− adx = A.log(|x− a|) +K

∫

A

(x− a)ndx =

A

1− n

1

(x− a)n−1+K

∫

Mx+N

[(x− u)2 + v2]ndx com mudanca de variavel x− u = vz

Integrais de funcoes irracionais

(i) Seja R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x, xp1q1 , x

p2q2 , · · ·) com

p1, p2, · · · , q1, q2, · · · inteiros nao nulos:

mudanca de variavel: x = tk onde k = m.m.c.{q1, q2, · · ·}.

(ii) R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x, ( ax+bcx+d)

p1q1 , (ax+b

cx+d)p2q2 , · · ·) com

p1, p2, · · · , q1, q2, · · · inteiros nao nulos:

mudanca de variavel: (ax+bcx+d) = tk onde k = m.m.c.{q1, q2, · · ·}.

(iii) R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x,√ax2 + bx+ c):

mudanca de variavel:

Se a > 0 faz-se ax2 + bx+ c =√ax+ t.

Se c > 0 faz-se ax2 + bx+ c =√c+ xt.

No caso geral ax2 + bx+ c = (x− α)t onde α raiz de ax2 + bx+ c.

(iv) Funcoes da Forma xm(a+ bxn)p/q, com m e n racionais e p e q inteiros nao nulos:

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 22

mudanca de variavel: Se p/q e inteiro a funcao e do tipo (i).

Se p/q nao e inteiro, mas (m+ 1)/n e inteiro faz-se a+ bx = tq.

Se p/q nao e inteiro, mas (m+ 1)/n+ (p/q) e inteiro faz-se a+ bxn = xntq.

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 23

Exercıcios

1. Calcule os seguintes integrais:

a)∫ 1x3dx b)

∫

3xexdx c)∫

7.x3dx

d)∫

(sen(x) + 31+x2 )dx e)

∫

(a+ bx3)2dx f)∫

tg(x)dx

g)∫ log(x)

x dx h)∫ 1√

16−9x2dx i)

∫ x√4−x4

dx

j)∫ x

9+4x2dx l)∫ cos(x)

1+sen2(x)dx m)

∫ 1√4−x2

dx

n)∫ arccos2(x)√

1−x2dx o)

∫ x2

1+x2dx p)∫ 1

1+cos(x)dx

q)∫ x3

x8+5dx r)

∫

sen(√2x)dx s)

∫ log(x)x(1−log2(x))

dx

t)∫ sen(x)

1+cos(x)dx u)∫ sen(x)cos(x)√

2−sen4(x)dx

2. Calcule os seguintes integrais:

a)∫

xlog(x)dx b)∫

(x+ 1)sen(x)dx c)∫

x.5xdx

d)∫

log(x)dx e)∫

e3x(2x+ 3)dx f)∫

sen(2x)cos(3x)dx

g)∫ log(log(x))

x dx h)∫ log2(x)

x2 dx i)∫ x.arctg(x)

(x2+1)2dx

3. a) Utilize integracao por partes para deduzir que

∫

senn(x)dx = − senn−1(x)cos(x)

n+n− 1

n

∫

senn−2(x)dx

b) Calcule∫

sen5(x)dx.

4. a) Seja In(x) =∫

xn(x2 + a2)−12dx. Utilize a integracao por partes para mostrar que se

n ≥ 2, entao

n.In(x) = xn−1√

x2 + a2 − (n− 1)a2In−2(x)

b) Calcule∫

x5(x2 + 52)−12dx

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 24

5. Utilize integracao por partes para calcular

a)∫

x.exdx b)∫

log(x2 + 1)dx c)∫

xnlog(x)dx

d)∫

log(x+√1 + x2)dx

6. Utilize a mudanca de variavel indicada para calcular os seguintes integrais:

a)∫ 1x√x2−2

dx, x = 1/t.

b)∫ x√

x+1dx, x = t2 − 1.

c)∫ 1

(x−2)ndx, para n 6= 1, x− 2 = t.

7. Calcule:

a)∫ x2−1

(1+x)√

2−4x2dx. b)

∫ 1√x2+2

dx. c)∫

x2√4− x2dx.

d)∫

√(1+x2)3

x4 dx. e)∫ 1x√x2+4

dx. f)∫ 1x√x2−9

dx.

8. Calcule:

a)∫

sen3(x)cos2(x)dx. b)∫

cos3(x/2)dx. c)∫

sen4(x)cos2(x)dx.

d)∫

tg5(2x)dx. e)∫

sec6(x)dx. f)∫

tg5(x)sec3(x)dx.

9. Mostre que sendo Im(x) =∫

secm(x)dx, entao

(m− 1)Im(x) = tg(x)secm−2(x) + (m− 2)Im−2(x)

10. Calcule:

a)∫ 2x−1

(x−2)(x−3)(x+1)dx. b)∫ 1

(x−1)(x+1)3dx. c)

∫ x2−2x−1x(x2+2)(x+1)2

dx.

d)∫ 2x+1x(x−1)3(x2−2x+2)

dx. e)∫ x5+x4−8

x3−4xdx. f)

∫ x3+2x2+6(x−1)(x2+2)2

dx.

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 25

11. Calcule:

a)∫

√x

1+x3/4dx. b)∫

√1+x

1+(1+x)1/3dx. c)

∫ 1√x2−x+2

dx.

d)∫ 2x−8√

1+x−x2dx. e)

∫ 12+3x−2x2dx. f)

∫

√x√

1+√xdx.

12. Calcule:

a)∫ sen(x)

(1−cos(x))3dx. b)

∫ 1sen(x)sen(2x)dx. c)

∫ cos(x)sen(x)+cos(x)dx.

d)∫ 3+cos(x)

1+sen(x)dx.

13. Calcule:

a)∫ 2x

1−4xdx. b)∫ e2x−2ex+1

eAx−1dx.

14. Calcule os seguintes integrais:

a)∫ x2+3x+2

(1+x2)2dx

b)∫

sin3 x cos3 xdx

c)∫ x5

x3−3x2+2xdx

d)∫ sin2 x cosx

2−sinx dx

e)∫ x4−x3+x2+1

x4−2x3+x2 dx

f)∫ x2√

2−x2dx

g) (a) Mostre que:∫ dx

cos(x)+sin(x) =∫ 2−t2+2t+1

dt com t = tan x2

h)∫ 2−t2+2t+1

dt

i) A partir das alıneas (a) e (b) determine∫ dx

cos(x)+sin(x)

j) (a) Mostre que:∫ dx

(1+sinx) cosx = 2∫ 1+t2

(1−t)(1+t)3dt com t = tan x2

l) Calcule o seguinte integral:∫ 1+t2

(1−t)(1+t)3dt

m) A partir das alıneas (a) e (b) determine∫ dx

(1+sinx) cosx

n)∫ dxx4−16

o)∫ dxx4√x2−1

Capıtulo 4. Tecnicas de Integracao Page 26

p)∫ t

(t+1)(t2+1)2dt

q)∫ x2+

√1+x

3√1+xdx

Capıtulo 5

Integral Definido

1. Mostre que:

(a) Se f integravel em [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem m ≤ f(x) ≤ M , entaoexiste um µ : m ≤ µ ≤M tal que

∫ ba f(x)dx = µ(b− a).

(b) Se f e contınua em [a, b], entao existe µ ∈ [a, b] tal que∫ ba f(x)dx = f(µ)(b− a).

(c) Se f e contınua e g e integravel e nao negativa em [a, b], entao existe µ ∈ [a, b] tal que∫ ba f(x)g(x)dx = f(µ)

∫ ba g(x)dx.

2. Utilizando o exercıcio anterior mostre que:

1

2√2≤∫ 1

0

x√1 + x

dx ≤ 1

2.

3. Suponha que f e contınua em [a, b] e que∫ ba f(x)dx = 0. Mostre que existe um c ∈ [a, b]

tal que f(c) = 0.

4. Suponha que f e contınua e nao negativa em [a, b] e que∫ ba f(x)dx = 0. Mostre que

f(x) = 0 para todo o x ∈ [a, b].

5. Suponha que f e contınua em [a, b] e que∫ ba f(x)g(x)dx = 0 para todos as funcoes g

contınuas em [a, b]. Mostre que f(x) = 0 para todo o x ∈ [a, b].

6. Seja f definida e derivavel em < tal que f ′(x) = Kf(x). Seja x0 ∈ < tal que f(x0) = c.Mostre que f(x) = c.eK(x−x0).

7. Seja f definida e derivavel em <+ tal que f(xy) = f(x) + f(y) para todo o x e y em <+.Mostre que existe um c ∈ < tal que f(x) = c.log(x).

8. Calcule a area entre o grafico da funcao f dada e o eixo dos x(i) f(x) =

√x+ 1 onde x ∈ [3, 8] (ii) f(x) = (x+ 2)−2 onde x ∈ [0, 2]

9. Esboce a regiao limitada pelas curvas dadas e calcule a area dessa regiao:

27

Capıtulo 5. Integral Definido Page 28

a) y =√x y = x2

b) y = 5− x2 y = 3− xc) y = 8− x2 y = x2

d) y = cos(x) y = 4x2 − π2

e) y = x2 y = −√x x = 4f) y = x y = sen(x) x = π/2g) y = x3 y = 6 + x y = −x/2h) 2y2 = x+ 4 y2 = x

10. Um objecto move-se em linha recta com aceleracao a(t) = (t+ 2)3 m/s2.

a) Calcule a funcao velocidade sabendo que a velocidade inicial e de 3 m/s.

b) Encontre a funcao posicao sabendo que a velocidade inicial e de 3 m/s e a posicaoinicial e a origem.

11. Um objecto move-se em linha recta com velocidade v(t) = t(1 − t) m/s. A sua posicaoinicial e s(0) = 2 m.

a) Calcule a posicao do movel ao fim de 10 sec.

b) Qual a distancia percorrida pelo movel ao fim de 10 sec?

12. Um objecto move-se ao longo do eixo dos x com aceleracao constante a. Verifique que

v2(t) = v20 + 2a [x(t)− x0]

13. Um objecto move-se num dos eixos coordenados com velocidade v(t) = sen(t) m/s. Oobjecto passa na origem no instante t = π/6 sec. Quando e que o objecto passa na origemoutra vez? Quando o faz sera que se move da esquerda para a direita ou vice-versa?

14. Um automovel percorre uma distancia de 5 Km em 5 mn a uma velocidade v(t). Qualo resultado que lhe permite afirmar que pelo menos num instante o velocımetro deve termarcado 60 km/h?

15. Calcule a derivada da funcao g(x) definida por:

a)∫ x2

1dtt b)

∫ x2+11

dt√2t+5

c)∫ ax f(t)dt

d)∫ bx

dy1+sen2(y)

e)∫ x+11−x

t−1t dt f)

∫ x2+x√x

dt2+√

2

16. Calcule H ′(2) sendo H(x) =∫ x3−42x

x1+√tdt.

17. Calcule H ′(3) sendo H(x) = 1x

∫ x3 [2t− 3H ′(t)] dt.

18. Calcule (H−1)′ em funcao de H−1 sendo H(x) =∫ x1

dyy .

19. Mostre que∫+∞0

sen(x)x dx e convergente mas que

∫+∞0

∣

∣

∣

sen(x)x

∣

∣

∣ dx divergente.

20. Determine os valores de α, α 6= −1, para os quais o integral∫+∞1

dxxα e convergente e mostre

que∫+∞1

dxx e divergente.

Capıtulo 5. Integral Definido Page 29

21. Verifique se sao convergentes os seguintes integrais improprios e, em caso afirmativo,calcule-os:

a)∫+∞0 x3.ex

2dx b)

∫ 0−∞

ex

1+exdx c)∫ 10

dx√1−x

d)∫+∞−∞

dxx2+4x+9

e)∫+∞−∞ sen(2x)dx f)

∫+∞−∞

xx2+1

dx

22. Seja f contınua. Deduza que

∫ x

0f(µ)(x− µ)dµ =

∫ x

0

(∫ µ

0f(t)dt

)

dµ

Capıtulo 6

Equacoes Diferenciais

1. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:

(a) y′ = xy

(b) ydy + x2dx = 0

(c) y′ = yx

(d) dy = ytg(x)dx

(e) y′ + ysec(x) = 0

2. Determine as solucoes das seguintes equacoes diferenciais:

(a) y′ = yx+7 , y(1) = 2

(b) dxdt + x = e2t, x(0) = 1

(c) y′ = sec(x)y + cos (x), y(π2 ) = 0

3. Determine as solucoes de y′ sin (x) + y cos (x) = 1 em (0, π). Mostre que apenas uma dassolucoes tem limite finito quando x tende para 0 e que so uma outra tem limite finitoquando x tende para π.

4. Prove que existe uma so funcao f contınua em (0,∞) tal que f(x) = 1 + 1x

∫ x1 f(t)dt e

determine essa funcao.

5. Calcule a solucao de y′+2 yx = sin (x)x2 com x > 0; determine a solucao que satisfaz y(π) = 0.

6. Cada uma das equacoes diferenciais seguintes tem pelo menos um coeficiente com umadescontinuidade em x = 0. Resolva cada uma das equacoes para x > 0 e descreva ocomportamento da solucao respectiva quando x tende para 0, tomando varios valores paraa constante de integracao. Esboce os graficos de algumas dessas solucoes.

(a) y′ + 2xy = 1

x2 .

(b) y′ − 1xy = x.

(c) y′ − 1xy =

√x.

(d) y′ + 1xy = cos (x)

x .

30

Capıtulo 6. Equacoes Diferenciais Page 31

7. Resolva a seguinte equacao diferencial de 1a ordem: dydx + 2x

1+x2 y = 11+x2

8. Determine a solucao geral da equacao diferencial: dydx − 2xy = x

9. Resolva as equacoes diferenciais:

(a) y′ − 2 yx = x+1x .

(b) y′ − 2 yx = exx−2.

10. Encontre a solucao da equacao diferencial que satisfaz a condicao inicial dada:

(a) y′ − ytg(y) = sec(x); y(0) = 1.

(b) xy′ − yx+1 = x; y(1) = 0.

11. Resolva as equacoes diferenciais:

(a) y′′ − 3y′ + 2y = − e2x

ex+1 .

(b) y′′ + 2y′ + y = 4e−xlog(x).

(c) y′′ − 3y′ + 2y = 6e3x.

(d) y′′ − 5y′ + 6y = x+ sin (x).

(e) y′′ + y′ − 2y = x

(f) y′′ + y′ − 2y = 1