Análise praxeológica das tarefas de área e perímetro ... · A Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1992) foi o principal aporte teórico que orientou a

Análise praxeológica das tarefas de área

e perímetro

DÉBORA VIRGILIA CANNE

ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DAS

TAREFAS DE ÁREA E PERÍMETRO

Débora Virgilia Canne

Profa Dra Cintia Ap. Bento dos Santos

ANÁLISE PRAXEOLÓGICA DAS

TAREFAS DE ÁREA E PERÍMETRO

Universidade Cruzeiro Do Sul

2015

© 2015

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa Dra Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Profa. Dra. Tania Cristina Pithon-Curi

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Banca examinadora

Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos

Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Prof. Dr. Barbara Lutaif Bianchini

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

C228a

Canne, Débora Virgilia.

Análise praxeológica das tarefas de área e perímetro / Débora

Virgilia Canne. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2015. 27 p. : il. Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e

Matemática). 1. Ensino de matemática 2. Área e perímetro (Grandezas e

medidas) 3. Matemática – Processo de ensino - aprendizagem. I. Título II. Série.

CDU: 51

Lista de Figuras

Figura 1 – Organização Praxeológica................................................................ 9

Figura 2 – Quadro resumo da praxeologia ...................................................... 12

Figura 3 – Exemplo de uma pré-análise .......................................................... 15

Figura 4 – Resolução da tarefa 3 .........................................................................................23

Lista de Quadros

Quadro 1 – Tarefa 1 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 31) .......... 17

Quadro 2 – Tarefa 2 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 33) .......... 19

Quadro 3 – Tarefa 3 .................................................................................................... 21

Sumário

1 APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................5

2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁREA E PERÍMETRO ................................................6

3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO .................................................................9

3.1 OBJETOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS ........................................................10

3.2 PRAXEOLOGIA ................................................................................................................11

3.3 PRAXEOLOGIA DIDÁTICA OU ORGANIZAÇÃO MATEMÁTICA .............................13

4 ANÁLISE DE TAREFAS......................................................................................................16

4.1 ATIVIDADE 1 .....................................................................................................................17

4.2 ATIVIDADE 2 .....................................................................................................................18

4.3 ATIVIDADE 3 .....................................................................................................................20

5 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ...................................................................................24

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................25

REFERÊNCIAS .......................................................................................................................27


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1 APRESENTAÇÃO

Este produto educacional é fruto de nossa pesquisa de mestrado

(CANNE, 2015), que teve como título “Uma análise praxeológica das tarefas

referentes à abordagem de área e perímetro nos anos finais do Ensino

Fundamental”, defendida no mês de março de 2015.

O objetivo dessa pesquisa foi investigar como são institucionalizados os

conteúdos de área e perímetro nos Cadernos de Matemática do Aluno e do

Professor, elaborados pela Secretaria Estadual de Educação do Estado de São

Paulo.

A Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1992) foi

o principal aporte teórico que orientou a pesquisa, complementado pelos

Objetos ostensivos e Objetos não ostensivos, de Marianna Bosch e Yves

Chevallard (1999).

As praxeologias ou organizações matemáticas auxiliam o professor a

fazer análises mais detalhadas das tarefas (exercícios) antes de aplicá-las em

sala de aula para seus alunos, isto é, possibilita selecionar melhor as tarefas e

modificá-las de acordo com a necessidade dos educandos.

Inicialmente, faremos uma apresentação das pesquisas de Baltar e Lima

(2010) referentes à importância do ensino de Grandezas e Medidas, em

especial sobre os conteúdos de área e perímetro.

O objetivo deste produto educacional é apresentar a Teoria

Antropológica do Didático ao professor, numa linguagem mais simples,

permitindo ao mesmo entender e fazer futuras análises de exercícios ou

tarefas, antes de aplicar em sala de aula.


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2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁREA E PERÍMETRO

Área e perímetro são conceitos indispensáveis no ensino e

aprendizagem de Matemática e podem ser trabalhados associando-os a outros

conhecimentos matemáticos, ou seja, são utilizados como apoio para o ensino

de outros conteúdos.

A inclusão dos conteúdos de área e perímetro no Campo de Grandezas

e Medidas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental se justifica pelas

seguintes razões: o uso social, suas utilizações nas técnicas e nas ciências, as

conexões com outras disciplinas escolares e as articulações com outros

conteúdos da Matemática. Atualmente, percebemos que nossos alunos não

conseguem relacionar as Grandezas e Medidas com as atividades do

cotidiano, por isso, reforçamos a importância do ensino dos conteúdos desse

bloco, conforme os documentos oficiais: Parâmetros Curriculares de

Matemática (1998), Currículo do Estado de São Paulo (2012).

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática

(BRASIL,1998), o professor pode aproveitar o fato de que, na Antiguidade,

muitas civilizações utilizavam partes do corpo e outros objetos para fazer

medições e também para abordar aspectos históricos nas atividades de

construção da noção de medidas.

Baltar e Lima (2010) afirmam que o estudante, mesmo antes de chegar

à escola, participa de situações do dia a dia nas quais ele próprio, seus colegas

ou familiares também lidam com essas noções matemáticas de Grandezas e

Medidas. Essa proposição pode ser presenciada nas próprias brincadeiras, nas

falas das crianças e, também nas falas dos adultos: “Quem está mais longe?”,

“Qual é a marca mais barata?”, “Quanto tempo demora para limpar o roçado?”,

“Quanto custa?”, “Quanto você pesa?”, “O meu carrinho é maior que o seu!”, “A

minha boneca é pequena”.

O trabalho com área e perímetro no Ensino Fundamental, segundo

Baltar e Lima (2010), por um longo período foi marcado pela ênfase no ensino


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de fórmulas relacionadas às áreas das figuras geométricas usuais (triângulo,

quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo e losango) e, também, das

conversões de unidades de medidas de área e comprimento (converter metros

(m) em centímetros (cm), metros (m) em quilômetros (km), converter resultados

obtidos de áreas e volumes). Com base nas leituras desses autores, é

perceptível a insistência na repetição de exercícios que valorizam a utilização

das fórmulas para os cálculos de área e conversões de unidades. Esses tipos

de exercícios têm se mostrado, na maioria das vezes, ineficazes e geradores

de entraves futuros para a aprendizagem dos alunos, causando uma grande

confusão entre as noções de área e perímetro. Os alunos tentam decorar as

fórmulas de cada figura, sem saber relacioná-la com os cálculos, confundem

área com o perímetro da figura, não sabendo diferenciar uma da outra, ou seja,

não há uma compreensão conceitual quanto a essas duas noções.

Baltar e Lima (2010) afirmam que no ensino e aprendizagem de

medidas é comum a confusão entre as noções de área e de perímetro por

parte dos alunos, pois, muitas vezes, eles empregam relações errôneas, como

ao compararem duas superfícies; concluem que aquela que possui maior área

necessariamente também terá maior perímetro e vice-versa. Uma das

possíveis justificativas para essas conclusões por parte do aluno pode ser a

ausência de situações-problema em que essas duas concepções estejam

presentes, ou seja, atividades que explorem situações de comparação em que

duas figuras tenham o mesmo perímetro e áreas diferentes, mesma área e

perímetros diferentes, ou perímetros e áreas iguais.

Baltar e Lima (2010) também atribuem a confusão entre área e

perímetro ao emprego das palavras no cotidiano com múltiplos sentidos, como,

por exemplo: “vende-se esta área”; “área de serviço”; “área da casa (varanda)”;

“grande área (campo de futebol)”; “área de atuação”. É indispensável ter muita

clareza sobre os sentidos matemáticos e sobre as possibilidades de os alunos

confundi-los com outros sentidos.

As análises praxeológicas, apresentadas nesse produto educacional,


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poderão auxiliar o professor tanto na escolha como na elaboração de novas

tarefas (exercícios), podendo evitar a repetição de exercícios que privilegiam

fórmulas, enunciados duvidosos ou incompletos.


9


3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO

Yves Chevallard é um pesquisador francês da área de Educação

Matemática, que mostrou a necessidade de associar a análise do

conhecimento matemático com o estudo das práticas institucionais em que

seus elementos são criados, desenvolvidos, usados, ensinados e aprendidos.

Essa teoria considera os objetos matemáticos, não como existentes em

si, mas como entidades que emergem de sistemas de práticas que existem em

dadas instituições. Esses sistemas ou praxeologias são descritos em termos de

tarefas específicas (exercícios) daquele objeto, das técnicas que permitem

resolvê-las e através dos discursos que servem para explicar e justificar as

técnicas.

O ponto de partida dessa teoria é que “tudo é objeto”. O autor distingue,

porém, tipos de objetos específicos: instituições (I), pessoas (X) e as posições

que ocupam as pessoas nas instituições, de que trataremos mais adiante.

Segundo Chevallard (1992), para determinado tema de estudo deve-se

considerar, em primeiro lugar, a realidade matemática que pode ser construída,

a qual chama de Praxeologia Matemática ou Organização Matemática (OM);

em segundo lugar, a maneira como essa realidade pode ser estudada, que

será denominada Organização Didática (OD).

Figura 1 – Organização Praxeológica

Fonte: Autora


10


3.1 OBJETOS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS

Segundo a Teoria Antropológica do Didático, na cultura escolar, ocorre o

desenvolvimento de uma infinidade de atividades de estudo, onde é verificada

a existência de uma pluralidade de registros das mesmas. Esses registros

podem se apresentar sob a forma escritural, gráfica, verbal, gestual, etc., e são

denominados linguagens dos objetos ostensivos, visto que a Teoria

Antropológica assume o seu valor semiótico (simbólico). O modelo proposto

pela TAD estabelece uma distinção dentro do conjunto de objetos que

compõem os elementos das organizações matemáticas: as tarefas, as

técnicas, as tecnologias e as teorias são feitas de objetos ostensivos e de

objetos não ostensivos.

Segundo Bosch (1999), a palavra ostensivo tem sua origem na palavra

latina ostendere, que é tudo aquilo que se mostra, que se percebe, que se vê e

ouve, dotado de certa materialidade, como as escritas, os gráficos, os

desenhos, os experimentos, os sons, os gestos, os discursos, dentre outros; e

que faz parte da cultura humana corrente e que pode ser manipulado.

Os objetos não ostensivos são aqueles que existem institucionalmente,

mas que não podem ser percebidos, não se mostram por si mesmos. Exemplos

deles são as ideias, os conceitos, as crenças. Esses objetos emergem da

manipulação de objetos ostensivos, que será sempre controlada por objetos

não ostensivos.

A dialética entre os ostensivos e não ostensivos provavelmente é

conduzida pelo professor por meio dos registros oral e escrito; por exemplo, ao

registrar no quadro a//b, suponhamos que ele diga para os alunos que se trata

do conceito de paralelismo (não ostensivo) entre as retas a e b.

Conforme os teóricos, em uma determinada tarefa, os ostensivos

constituem a parte visível, que podem ser observados por qualquer pessoa,

especificamente pelos atores envolvidos diretamente com a tarefa. Em outras

palavras, esses objetos fazem parte do real empírico, acessível aos sentidos.


11


A ostensividade que Bosch e Chevallard (1999) sustentam se refere,

mais geralmente, ao conjunto dos sentidos ou significações, no qual a visão e a

audição desempenham um papel fundamental. Chevallard utiliza o termo

manipulação para designar os diversos usos possíveis de objetos ostensivos

pelo homem. É através dessa manipulação concreta que se permite distinguir

os objetos ostensivos dos não ostensivos.

Podemos observar, através das ideias dos autores, que a Teoria

Antropológica do Didático (TAD) procura explicar a origem dos conceitos

matemáticos (não ostensivos) e sua relação com os objetos que representam

(ostensivos). De acordo com Bosch (2000), os conceitos surgem do trabalho

com os ostensivos, isto é, em resposta a certas questões e tarefas em um dado

entorno tecnológico-teórico.

3.2 PRAXEOLOGIA

O significado de praxeologia pode ser traduzido por: prática calcada em

conhecimentos, ou seja, na junção das palavras gregas práxis (prática, ação) e

logos (fundamentos, conhecimentos). Conforme a TAD, a práxis é constituída

pelas tarefas (questões/atividades) e pelas técnicas (maneira de fazer algo), e

o logos, pelo discurso matemático que justifica e interpreta a prática, sendo

denominados tecnologias e teorias (CHEVALLARD, 1996).

Uma organização praxeológica sempre surge como resposta a uma

questão ou a um conjunto de questões. Desse modo, estabelece-se um

processo em que se deve buscar ou criar meios para respondê-la(s). Essa

questão é denominada, segundo a TAD, uma tarefa problemática ou não. A

praxeologia atua justamente nesse momento, tentando encontrar uma ou mais

formas de resolvê-la(s), regularmente e com sucesso. (CHEVALLARD, BOSCH

e GASCÓN, 2001)

Desse modo, estabelece-se um processo que para responder a uma

tarefa, ou a um tipo de tarefa, é necessário que a(s) resposta(s) seja(m)

segura(s), sistemática(s) e rotineira(s). Isso pode ocorrer por meio de uma ou


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mais técnicas. Elas devem parecer ao mesmo tempo corretas, compreensíveis

e justificáveis. Além disso, necessitam possuir uma tecnologia capaz de

compreender e validar a sua utilização, e uma teoria que fundamente essa

tecnologia (CHEVALLARD et al., 2001). Esses elementos, agrupados,

procedem a uma organização praxeológica (OP) na forma de um bloco prático-

técnico, no qual encontramos o tipo de tarefa e a técnica, e um bloco

tecnológico-teórico, através da tecnologia e da teoria (BOSCH e

CHEVALLARD, 1999).

Para Chevallard (1996), toda atividade humana consiste em quatro

conceitos básicos, que são: tarefa (Τ), técnica (𝜏), tecnologia (𝜃) e teoria (Θ).

Nesse sentido, pode-se dizer que toda atividade humana coloca em ação uma

organização envolvendo [Τ, 𝜏, 𝜃, Θ ], a qual Chevallard (1998) nomeia

praxeologia, ou organização praxeológica.

Conforme mostra a Figura 2, cada elemento da praxeologia é nomeado

por uma letra do alfabeto grego, a saber: o tipo de tarefa é representado pela

letra Τ (Tau maiúscula); a técnica, pela letra 𝜏 (tau minúscula); a tecnologia,

pela letra θ (theta minúscula); e a teoria, pela letra Θ (teta maiúscula).

Figura 2 - Quadro resumo da praxeologia

Fonte: Autora.

Uma organização praxeológica é composta de um bloco prático-técnico

[T/𝝉 ], identificado pelo autor como um saber fazer, e de um bloco

tecnológico- teórico [𝜽/𝚯], normalmente identificado como um saber. Nessa


13


perspectiva, no estudo do conceito de área e perímetro, não se pergunta mais

o que é área ou o que é perímetro, mas sim, quais são os tipos de tarefas a

serem executadas e de técnicas envolvidas, e quais são as respectivas

justificativas tecnológicas e teóricas. O conceito de área e perímetro emerge

dessas praxeologias. A ideia de perímetro emerge quando precisamos saber a

medida do contorno de um determinado objeto, e a ideia de área, do espaço

ocupado por tal objeto.

É importante enfatizar que, conforme a TAD, o bloco tecnológico-teórico

viabiliza a compreensão da técnica utilizada, pois, a partir dele podem-se

agregar elementos para modificar a técnica empregada, se preciso for, ou até

mesmo produzir uma nova técnica. Salientamos, então, que a tecnologia

justifica e explica a técnica, e a teoria fundamenta a tecnologia. O bloco

tecnológico-teórico representa nesse contexto o saber, e o bloco prático-

técnico é denominado saber fazer.

O emprego da TAD, em particular, a organização matemática proposta

por Chevallard (1996) se justifica nesta pesquisa por ser uma teoria que tem

por objetivo fornecer princípios de base que podem ser empregados no estudo

dos conteúdos de Grandezas e Medidas, especificamente os de área e

perímetro, contidos nos Cadernos de Matemática do Aluno e Professor dos

anos finais do Ensino Fundamental.

3.3 PRAXEOLOGIA DIDÁTICA OU ORGANIZAÇÃO MATEMÁTICA

A praxeologia didática tem por objetivo permitir a existência de uma

praxeologia matemática relativa a um determinado saber, isto é, ela permite a

(re)construção de uma determinada praxeologia matemática, articulando-se

também em torno de tipos de tarefas, de técnicas, de tecnologias e de teorias.

De acordo com Chevallard (1998), as praxeologias didáticas ou

organizações didáticas (OD) são as respostas às questões do tipo: Como

realizar o estudo do objeto área e perímetro nos Cadernos de Matemática da

Rede Pública do Estado de São Paulo? Quais critérios se devem usar para

selecionar as tarefas de área e perímetro? Como podemos montar o quadro de


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análise para facilitar a compreensão dos dados mostrados?

Dessa forma, o que possibilita a realização do estudo de determinado

tema é o conjunto de tipos de tarefas, de técnicas e de tecnologias nessa

praxeologia didática.

De acordo com Chevallard (1999), qualquer que seja o caminho de

estudo, certo tipos de situações estão necessariamente presentes, que serão

chamadas de momentos de estudo ou momentos didáticos, porque qualquer

que seja o caminho seguido, o objetivo de ensinar deve ser concretizado.

A noção de momento foi introduzida por Chevallard (1999) para

descrever uma organização didática, e remete, apenas aparentemente, à

estrutura temporal do processo de estudo. O sentido da palavra “momento” é,

de início, multidimensional, um fator no processo multifatorial. Os momentos

didáticos são, primeiramente, uma realidade funcional do estudo, antes de

serem uma realidade cronológica. Segundo a Teoria Antropológica do Didático

(TAD), quando se pretende descrever uma organização didática em torno de

um objeto matemático, qualquer que seja o caminho desse estudo, certos tipos

de situações, momentos de estudo ou momentos didáticos podem ocorrer

simultaneamente, pois, como não existe uma sequência pré-definida para sua

ocorrência, podem-se repetir no decorrer do estudo.

A Figura 3 exemplifica como iniciar a análise praxeológica de uma tarefa

(exercício). Usamos a expressão “tarefa” para ficar mais próxima à Teoria

Antropológica do Didático (TAD), podendo representar um exercício ou um

problema. Chevallard (1996) usa a expressão “tarefa”, porém nada impede de

usar a expressão “exercício”.


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Figura 3 – Exemplo de uma pré-análise

Fonte: Autora.

Fazer uma análise praxeológica é muito mais do que está apresentado

na Figura 3. Uma praxeologia consiste em um discurso que será organizado

em uma escrita para garantir que todas as observações foram feitas e

descritas, permitindo ao professor novas observações e adaptações.

Apresentaremos a seguir algumas análises apresentadas por Canne

(2015) em sua dissertação.


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4 ANÁLISE DE TAREFAS

A palavra “tarefa” é usada neste texto para representar um exercício ou

um problema. Chevallard (1996) utiliza esse termo em sua TAD (Teoria

Antropológica do Didático), porém há pesquisadores que preferem usar a

expressão exercício. Com o recurso de análise de tarefas, tipos de tarefas, de

técnicas, tecnologias e das teorias aplicadas nessa abordagem, temos o

objetivo de descrever como se articulam as organizações matemáticas, as

quais constituem as praxeologias pontuais que modelam o estudo do nosso

objeto de pesquisa, que são as noções de área e perímetro. De acordo com a

Teoria Antropológica do Didático, a praxeologia matemática está diretamente

ligada ao saber-fazer no sentido de produzir; porém, a praxeologia didática se

refere ao fazer no sentido de agir. Nesse contexto, para elaborar uma

praxeologia matemática, o matemático ou a pessoa interessada precisa de

uma praxeologia didática (CHEVALLARD, 2001). Vale relembrar que os objetos

ostensivos e não ostensivos fazem parte das praxeologias e que esses objetos

ostensivos estão associados à tarefa e à técnica utilizada (linguagens da

praxeologia: escritural, figural, gráfica, verbal, gestual entre outras).

Bloco prático-técnico: nesse bloco, pretendemos mostrar quais técnicas

foram associadas para a resolução da tarefa. De acordo com Chevallard

(1999), uma praxeologia relativa à tarefa T precisa (em princípio) de uma

maneira de realizar, ou seja, uma forma de executar determinada tarefa.

Bloco tecnológico-teórico: é nesse bloco que justificamos as técnicas

empregadas para a realização de um determinado tipo de tarefa. Para

Chevallard (1999), uma tecnologia é um discurso racional, que tem como

primeira função justificar a técnica, de modo que ela permita executar tarefas

do tipo Ti. Assim, definimos o bloco tecnológico-teórico como sendo aquele que

justifica a técnica em uma tarefa.

De acordo com a Teoria Antropológica do Didático (TAD), os objetos

ostensivos são as ferramentas das técnicas, tecnologias e teorias, pois sem o

emprego dessas ferramentas a ação não pode ser realizada. A identificação


17


dos objetos ostensivos (linguagem escritural, figural, gráfica) nas tarefas pode

ser percebida em seus enunciados, ou seja, pela forma como a tarefa é

apresentada. Os objetos não ostensivos estão relacionados aos conhecimentos

teóricos envolvidos na resolução de cada tarefa, ou seja, as ideias, os

conceitos, as noções. Todo discurso tecnológico se concretiza pela

manipulação de objetos ostensivos e não ostensivos. Os objetos ostensivos

permitem materializar as explicações e justificativas necessárias ao

desenvolvimento da tarefa.

A seguir apresentaremos a análise praxeológica de três tarefas

apresentadas em Canne (2015).

4.1 ATIVIDADE 1

O Quadro 1 apresenta a pré-análise de uma organização matemática ou

praxeologia matemática. Em seguida apresentamos a análise praxeológica

separada em dois blocos: saber fazer (tarefa, técnica) e saber (tecnologia e

teoria).

Quadro 1- Tarefa 1 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 31)

Tarefa (Τ)1

Geral: Geometria e frações com Geoplano ou malha quadriculada.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano figuras que

ocupam 4 quadradinhos.

Linguagem1: escritural e figural.

Tecnologia (𝜃) Manipulação de malha quadriculada ou geoplano.

Não ostensivos

Teoria (Θ) Fração. Conceito de área.

Fonte: Autora

1 Linguagem dos objetos ostensivos: De que forma a tarefa é apresentada e como pode ser resolvida.


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Discurso prático-técnico [T1,𝜏1]: tarefa T1 faz uso da malha quadriculada

para que o aluno desenhe figuras geométricas, ocupando apenas 4u². Para

que esta tarefa seja realizada com sucesso, é necessário mobilizar o conceito

de área (ou espaço ocupado), conhecer diferentes figuras geométricas

possíveis de ser desenhadas com área igual a 4 e deduzir que a diagonal

divide a área de um “quadradinho” ao meio; do contrário, de nada adiantaria a

tecnologia empregada na tarefa. De acordo com a praxeologia matemática, o

conjunto tecnologia-teoria deve justificar a técnica.

Discurso tecnológico-teórico [𝜃1, Θ1]: na resolução do tipo de tarefa T1, o

gênero da tarefa é “desenhar” e emprega o conceito de área já estudado em

anos anteriores, articulado com o estudo de frações, pois nem todas as figuras

ocupam um quadradinho inteiro, surgindo, então, a ideia de metade. É aplicada

apenas uma técnica, que é a utilização da malha quadriculada, com base no

fato de que ela seja suficiente para a visualização das frações. Os objetos

ostensivos e não ostensivos garantem a existência da tecnologia e teoria nesta

T1, pois, além de mobilizarem seus conhecimentos referentes às figuras

geométricas para poder reproduzi-las, devem evocar o conceito de área e

frações (ou a ideia de metade) para não limitar a resolução.

4.2 ATIVIDADE 2

No Quadro 2, a análise praxeológica deve contemplar todas as sub-

tarefas (itens de cada tarefa). Essa análise refere-se à tarefa 3 presente na

dissertação, mas para seguir a sequência, será considerada aqui como tarefa

2.


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Quadro 2- Tarefa 2 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 33)

Tarefa (Τ)2

Geral: Geometria e frações com Geoplano.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano polígonos

como retângulo, triângulo, hexágono, com as medidas dadas em

u² para cada um.

Linguagem: escritural e figural.

Tecnologia (𝜃) Identificar cada polígono pedido e desenhar cada um com a área

solicitada em uma malha quadriculada.

Não ostensivos

Teoria (Θ) Polígonos e Área.

Fonte: Autora

Na resolução do tipo de tarefa T2 (conjunto de tarefas) apresentada no

Caderno do Aluno, são empregados também conceitos de área de polígonos

regulares, com a ideia de espaço ocupado. Identificamos ainda que é aplicada

apenas uma técnica para resolver a tarefa.

Discurso prático-técnico [Τ2, 𝜏2]: discurso racional aplicado na resolução

deste tipo de tarefa T2 mobiliza o conceito de área a partir da ideia de espaço

ocupado. Isso pode garantir a representação correta da figura solicitada com

sua respectiva área em u². Ao empregar essa técnica, o aluno deverá ficar


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atento às medidas solicitadas, pois o triângulo, o paralelogramo e o hexágono

ocupam metade de alguns quadradinhos. O emprego dessa técnica deve levar

o aluno a deduzir posteriormente a fórmula para calcular a área. A aplicação

dessa técnica mostra que para calcular a área de um retângulo, por exemplo,

deve-se multiplicar a medida do comprimento pela largura, e que a área de um

triângulo corresponde à metade da área de um retângulo ou paralelogramo.

Outro modo de executar a tarefa T2 é contar a quantidade de quadradinhos e

perceber que a metade de um quadradinho mais a metade de outro

quadradinho corresponde a um inteiro.

Discurso tecnológico-teórico [𝜃2, Θ2]: o discurso que fundamenta o tipo

de técnica 𝜏3 baseia-se no fato de que a área ocupada por cada polígono

corresponde à quantidade de quadradinhos que compõem a figura, aplicando-

se os conhecimentos já adquiridos para cada polígono apresentado.

No Caderno do Professor, não identificamos outras técnicas para a

resolução das tarefas, mas sim, sugestões de como explorar as figuras para

somar e subtrair frações, através da malha quadriculada e posteriormente

relacionar os eixos (x, y).

4.3 ATIVIDADE 3

A terceira e última análise apresentada nesse produto educacional refere

à tarefa 16 descrita em Canne (2015).

A tarefa apresenta um erro na figura que pode induzir o aluno ao erro.

As informações, descritas no enunciado da tarefa, confirmam que se trata de

um polígono, no caso, uma caixa de pizza.


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Quadro 3 - Tarefa 3

Tarefa (T)3

Geral: Relações métricas no triângulo retângulo e Teorema de

Pitágoras.

“Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma

hexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado do hexágono

da base de 18 cm. Qual é a área de papelão para construir a

parte de baixo da caixa em que a pizza vem acomodada?”

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Calcular a área de um triângulo equilátero. Encontrar a área de

um prisma de base hexagonal a partir da área de um triângulo

equilátero.

Linguagem: escritural, algébrica e figural.

Tecnologia (𝜃) Aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos de

um triângulo retângulo.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Prisma. Área do triângulo equilátero. Relações métricas em um

triângulo retângulo.

Fonte: Autora

Na resolução do tipo de tarefa T3, emprega-se a noção de prisma,

articulada ao conceito de área por meio das relações métricas em um triângulo

retângulo. O Caderno do Professor apresenta apenas uma técnica de

resolução, que é a aplicação das relações métricas já apresentadas

anteriormente aos alunos.

Discurso prático-técnico [T3,𝜏3]: o discurso racional aplicado na

resolução deste tipo de tarefa T3 , mobiliza diversos conceitos matemáticos a


22


fim de garantir o emprego da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo

equilátero que forma o hexágono representado pelo fundo da caixa de pizza. O

emprego dessa técnica leva à dedução da fórmula da altura de um triângulo

equilátero: 𝑙√3

2, necessária para calcular a área do triângulo. A aplicação dessa

técnica mostra que é possível calcular a área de um hexágono regular através

da área de um triângulo equilátero, ou seja, essa área é seis vezes o valor da

medida da área de um de seus triângulos. A lateral total da caixa é formada por

seis retângulos, já que a figura é um prisma. A área total do fundo da caixa é a

soma da área do hexágono regular com a área da lateral.

Discurso tecnológico-teórico [𝜃3, Θ3]: o discurso que fundamenta o tipo

de técnica 𝜏 baseia-se no fato de que todo hexágono regular possui seis

triângulos equiláteros em sua formação. Conhecendo a medida do lado desse

triângulo, com a aplicação do Teorema de Pitágoras, encontra-se a medida da

altura para calcular a área de um triângulo. O procedimento é necessário para

calcular a área da figura hexagonal. As laterais da caixa de pizza são formadas

por retângulos, cujas dimensões foram dadas no enunciado da tarefa. Nesse

sentido, esse Teorema representa o discurso racional e justifica a técnica, a

qual garante a realização da tarefa.

A tarefa mobiliza diversos conhecimentos matemáticos, é aconselhável

que o professor certifique-se que os conteúdos já foram trabalhados em sala de

aula. Outro caminho é promover um desafio aos alunos e identificar se falta

algum conteúdo específico para resolver a tarefa ou se é possível resolver

utilizando outras técnicas. As técnicas devem ser justificadas pelas tecnologias

e teorias.

A Figura 4 apresenta a resolução dessa tarefa, retirada do Caderno de

Matemática do Professor, elaborado pela Secretaria Estadual de Educação do

Estado de São Paulo (2014).


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Figura 4 – Resolução da tarefa 3 Fonte: Caderno do Professor, 2014, v.2, p. 36


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5 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

O nosso objetivo nesse produto educacional foi apresentar ao professor

a Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1996) e sua

aplicação em uma análise de determinado conteúdo matemático.

A análise praxeológica permite ao professor refletir sobre cada tarefa

(exercício) a ser trabalhado, com isso podendo selecionar e modificar essas

tarefas para adaptar ao conteúdo trabalhado ou às dificuldades de seus alunos.

O exercício da análise praxeológica contribui para a mudança de postura

do professor em sala de aula, pois possibilita observar com mais atenção as

dificuldades de seus alunos ao resolver uma determinada tarefa ou se os

caminhos (técnicas) escolhidos por eles estão adequados.

O professor pode fazer as seguintes perguntas ao escolher uma tarefa:

Envolve o conhecimento (conteúdo) para resolver a tarefa?

As outras tarefas envolvem o mesmo gênero ou técnica, ou seja,

são semelhantes utilizando apenas valores diferentes?

A tarefa valoriza o conteúdo trabalhado?

A tarefa apresenta algum problema no enunciado envolvendo o

conteúdo?

Qual técnica, tecnologia e teoria estão associadas à tarefa?

As técnicas escolhidas são justificadas pelas tecnologias e

teorias?


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6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nossa pesquisa obteve alguns resultados relevantes para o

conhecimento do professor, as quais passamos a descrever.

Quanto à análise das organizações matemáticas e das organizações

didáticas, permitiu-nos identificar que no estudo do objeto de pesquisa, os

autores desses Cadernos de Matemática apresentam esse conteúdo com

diferentes abordagens, pois as escolhas didáticas aplicadas na resolução das

tarefas contidas nesses Cadernos se diferenciam quanto aos tipos de técnicas

(𝜏), tecnologias (𝜃) e teorias (Θ), o que privilegia o estudo desse objeto de

pesquisa com a aplicação de diferentes tipos de praxeologias pontuais

[T,𝜏, 𝜃, Θ].

Nossa análise foi realizada em torno dessas praxeologias pontuais, as

quais modelam o estudo do conteúdo de área e perímetro nos Cadernos de

Matemática do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. A análise se deu em torno

desses Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor, uma vez que foram

esses os materiais disponibilizados para professores e alunos das Escolas

Públicas Estaduais do Estado de São Paulo.

A análise das tarefas presentes no Caderno do Aluno nos permitiu

observar algumas tendências:

o foco da maioria das discussões envolve a medida, trazendo

uma lacuna nas discussões envolvendo as grandezas.

o campo numérico é o mais privilegiado no 6º e 7º anos, apesar

de percebermos indícios de melhora nos tipos de tarefas

envolvendo a interação com outros campos.

as situações de comparação ainda permanecem com um

quantitativo preocupante, principalmente se essas situações não

envolvem medida.


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há erros nas escritas das resoluções das tarefas no Caderno do

Professor.

há ênfase nas aplicações algébricas envolvendo o cálculo de área

de retângulos e quadrados.

Quanto às organizações matemáticas e didáticas, entendemos que são

apresentadas de forma clara e bem definida, e são pertinentes na constituição

das praxeologias pontuais aplicadas no estudo de área e perímetro. Quanto às

técnicas aplicadas, são elaboradas, fidedignas e confiáveis no cumprimento

das tarefas (T) analisadas. Quanto às tecnologias utilizadas nas justificativas

dessas técnicas em seus argumentos matematicamente válidos, podem

conduzir à elaboração de novas técnicas para resolver essas tarefas, pois, de

acordo com a TAD, toda organização praxeológica é formada por um conjunto

de técnicas, de tecnologias e de teorias articuladas por objetos ostensivos na

resolução de um tipo de tarefa.


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REFERÊNCIAS

BALTAR, P. M.; LIMA, P. F. Matemática: Ensino Fundamental. Carvalho, João

Bosco Pitombeira Fernandes (org.). In: Coleção Explorando o Ensino:

Matemática. Brasília - DF. Ministério da Educação, SEB, volume 17, p. 167-

200, 2010.

BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y. La sensibiletè de l’activivitè mathématique

aux ostensifs. Recherches en Didactique des Mathématiques, 1999.

BRASIL, Ministério de Educação e Cultura. PARÂMETROS CURRICULARES

NACIONAIS: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental – Brasília:

MEC, 1998.

CANNE, D. V. Uma análise praxeológica das tarefas referentes à

abordagem de área e perímetro nos anos finais do Ensino Fundamental.

2015. 161 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) –

Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.

CHEVALLARD, Y. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des

mathématiques: L’approche anthropologique. Actes de I.U.E. de la

Rochelle. 1998, p. 91-118

CHEVALLARD, Y. Conceitos Fundamentais da Didática: as perspectivas

trazidas por uma abordagem antropológica. In: BRUM, Jean (Org.). Didática

das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.

CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didadique: perpectives

apportées par une aproche anthropologique. Recherches em didatique

des mathématiques. Paris, 1992, p. 73-112.

CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo

perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre, Artmed Editora,

2001.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e

Normas Pedagógicas. Caderno de Matemática do Professor e Caderno do

Aluno.(6º ao 9º ano). São Paulo: SEE/CENP, 2014-2017.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e

Normas Pedagógicas. Currículo de Matemática e suas Tecnologias do

Estado de São Paulo. São Paulo: SEE/CENP, 2012.

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Análise praxeológica das tarefas de área e perímetro ... · A Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1992) foi o principal aporte teórico que orientou a