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Andando na Superfície de resposta
Profa Daniele Toniolo Dias F. Rosa
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/danieletdias
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM
Sumário
• Metodologia de superfície de resposta
• (a) Modelagem inicial
• (b) Como determinar o caminho de máxima inclinação
• (c) Localização do ponto ótimo
• A importância do planejamento inicial
• Um experimento com três fatores e duas respostas
• Planejamentos compostos centrais
Metodologia de superfícies de resposta
• A metodologia de superfícies de resposta (ou RSM, de Response Surface Methodology) é uma técnica de otimização baseada em planejamentos fatoriais que foi introduzida por G. E.P. Box nos anos cinquenta.
• A RSM tem duas etapas distintas – modelagem e deslocamento-, que são repetidas tantas vezes quantas forem necessárias, com o objetivo de atingir uma região ótima da superfície investigada.
• A modelagem normalmente é feita ajustando-se modelos simples (lineares ou quadráticos) a respostas obtidas com planejamentos fatoriais ou com planejamentos fatoriais ampliados.
• O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de máxima inclinação de um determinado modelo, que é a trajetória na qual a resposta varia de forma mais pronunciada.
• Exemplo numérico:
• Supondo que um pesquisador esteja avaliando o efeito de dois fatores, concentração de um reagente e velocidade de agitação, no rendimento de uma reação.
• Ele já sabe que o processo vem funcionando há algum tempo com os valores desses fatores fixados em 50% e 100 rpm, e que os rendimentos médios são obtidos em torno de 68%.
• Agora ele gostaria de saber se não seria possível melhorar o rendimento, escolhendo outros níveis para os fatores.
(a) Modelagem inicial • O 1º passo, para atacar o problema, é investigar a superfície
de resposta em torno das condições habituais de funcionamento do processo, usando um:
• Planejamento fatorial de dois níveis com ponto central.
Com três níveis podemos verificar se há ou não falta de ajuste para um modelo linear.
• A Tabela 6.1 mostra a matriz de planejamento e os rendimentos observados experimentalmente em cada combinação de níveis.
• Ao todo foram realizados 7 ensaios com 3 repetições no ponto central.
• Começaremos nossa análise admitindo que a superfície de resposta na região investigada é uma função linear dos fatores.
• Portanto a resposta pode ser estimada pela equação:
em que b0, b1 e b2 são os estimadores dos parâmetros do modelo e x1 e x2 representam os fatores codificados.
• É visto no Exercício 5.4, que os valores de b0, b1 e b2 podem ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados.
• Neste caso a matriz X será dada por
,ˆ 22110 xbxbby (6.1)
.
001
001
001
111
111
111
111
X
A 1ª coluna corresponde ao termo b0, e as outras duas contêm os valores codificados dos fatores.
• Teremos também
• Seguindo o procedimento usual, calculamos
• Usando a Eq. (5.12) temos então
.
69
66
68
67
78
59
69
y
400
040
007
XXt
17
21
467
yXt
e
25,4
25,5
00,68
17
21
476
4/100
04/10
007/11
yXXXbtt
(6.2)
• Dos três ensaios repetidos no ponto central, calculamos s2=2,33 como uma estimativa da variância das observações.
• Substituindo este valor na Eq. (5.30), obtemos uma estimativa da variância dos elementos do vetor b:
• Fazendo as raízes quadradas chegaremos aos erros padrão de b0, b1 e b2. Com eles e com as estimativas obtidas na Eq. (6.2) podemos finalmente escrever a equação do modelo ajustado:
• O tamanho relativamente pequeno dos erros indica que este modelo é significativo (para um tratamento quantitativo, veja os Exercícios 6.2 e 6.4).
• A análise da variância encontra-se na Tabela 6.2.
.
58,000
058,00
0033,0
33,2
4/100
04/10
007/1
ˆ 21
stXXbV
.25,425,500,68ˆ
76,02
76,01
58,0
xxy (6.3)
• Como o valor de MQfaj/MQep não é estatisticamente significativo (0,42/2,34=0,18), não há evidência de falta de ajuste.
• Tabela 6.2 ANOVA para o ajuste do modelo aos dados da Tabela 6.1. (n=7, p=3 e m=5)
Fonte de variação
Soma Quadrática
No de g. l. Média Quadrática
Regressão 182,50 p-1= 2 91,25
Resíduos 5,50 n-p= 4 1,38
F. Ajuste 0,83 m-p= 2 0,42
Erro puro 4,67 n-m= 2 2,34
Total 188,00 n-1= 6
% de variação explicada: 97,07% % máxima de variação explicável:97,52
22110ˆ xbxbby
R2=SQR/SQT coef. de determinação
(SQT – SQep)/SQT
• Na região investigada, a superfície de resposta é descrita satisfatoriamente pela Eq. (6.3), que define o plano representado em perspectiva na figura abaixo.
• Plano descrito pela Eq. (6.3), .25,425,500,68ˆ 21 xxy
Sentido ascendente
C
v
Exercícios 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4
• Podemos obter uma representação bidimensional da superfície modelada desenhando suas curvas de nível, que são linhas em que a resposta é constante.
• As curvas de nível de um plano são segmentos de retas.
• Por ex, se fizermos na Eq. (6.3) chegaremos à expressão:
que descreve uma reta sobre a qual o valor de deve ser igual a 70, de acordo com o modelo ajustado.
• Fazendo o mesmo para outros valores de obteremos outras curvas de nível, que em conjunto darão uma imagem da superfície de resposta na região investigada (ver próxima Fig).
• Podemos ver claramente, tanto numa figura quanto na outra, que se trata de um plano inclinado obliquamente em relação aos eixos, e com sentido ascendente indo da direita para a esquerda.
,47,024,1 12 xx
70ˆ y
y
y
• Assim se desejarmos obter maiores rendimentos, devemos deslocar a região experimental para menores valores de x1 e maiores valores de x2.
• Curvas de nível do plano descrito pela Eq. 6.3. Os valores entre parênteses são as respostas determinadas experimentalmente.
O progresso será mais rápido se o deslocamento for realizado ao longo da uma trajetória perpendicular às curvas de nível, isto é, se seguirmos um caminho de máxima inclinação da superfície ajustada.
(b) Como determinar o caminho de máxima inclinação
• O caminho de máxima inclinação saindo do ponto central do planejamento está indicado pela linha tracejada na figura anterior.
• Ele pode ser determinado algebricamente a partir dos coeficientes do modelo.
• Para termos a máxima inclinação, devemos fazer deslocamentos ao longo dos eixos x2 e x1 na proporção b2/b1.
• Da Eq. 6.3 temos b2/b1=4,25/(-5,25)=-0,81, o que significa que para cada unidade recuada no eixo x1 devemos avançar 0,81 unidades ao longo do eixo x2.
• As coordenadas de vários pontos ao longo dessa trajetória estão na Tabela 6.3, tanto nas variáveis codificadas quanto nas unidades reais de concentração e velocidade de agitação.
• Tabela 6.3 Caminho de máxima inclinação para o modelo das figuras anteriores.
Etapa x1 x2 C(%) v(rpm) y(%)
Centro 0 0,00 50 100,0 68, 66, 69
Centro+ -1 0,81 45 108,1 77
Centro+2 -2 1,62 40 116,2 86
Centro+3 -3 2,43 35 124,3 88
Centro+4 -4 3,24 30 132,4 80
Centro+5 -5 4,05 25 140,5 70
Obtida pela Eq (6.3) usando as codificações de máxima
inclinação
• Podemos traçá-lo usando o seguinte procedimento:
1. Escolhemos um dos fatores, digamos i, como base e mudamos seu nível numa certa extensão, para mais ou para menos, dependendo do sinal de seu coeficiente e do objetivo do experimento – maximização ou minimização da resposta. Recomenda-se escolher o fator de maior coeficiente, em módulo, no modelo ajustado. Tipicamente, o seu deslocamento inicial é de uma unidade (na escala codificada).
2. Determinamos os deslocamentos dos outros fatores ji, em unidades codificadas, através de
3. Convertemos os deslocamentos codificados de volta às unidades originais, e determinamos os novos níveis dos fatores.
ii
jj x
b
bx (6.4)
• Vejamos um exemplo com 3 fatores: Num estudo para avaliar a influência de alguns nutrientes na produção de quitina pelo fungo Cunninghamella elegans (Andrade et al., 2000) utilizou-se um planejamento fatorial 23 com os níveis da Tabela 6.4, cujos resultados se ajustaram ao modelo
em que a resposta y é o teor de quitina produzido.
• Tabela 6.4 Níveis de um planejamento 23 com ponto central, para estudar como o teor de quitina produzido pelo fungo varia com as concentrações de glicose, asparagina e tiamina no meio de cultura.
Fator Nível
-1 0 +1
G(x1) D-glicose (g L-1) 20 40 60
A(x2) L-asparagina (g L-1) 1 2 3
T(x3) Tiamina (mg L-1) 0,02 0,05 0,08
,5,20,50,28,19ˆ 321 xxxy (6.5)
• Como os coeficientes do modelo são todos positivos e o objetivo do estudo era maximizar a produção de quitina, devemos aumentar os níveis de todos os fatores.
• Partindo do fator x2 (o de maior coeficiente) teríamos, como deslocamentos para localizar o 1º ponto ao longo do caminho de máxima inclinação,
• Nas unidades verdadeiras, onde o ponto central é dado por (G, A, T)=(40, 2, 0,05), isto corresponde às seguintes condições experimentais:
4,015
21 x 1)1(
5
52 x 5,01
5
5,23 x
1
1 48204,04040G gLGx
1
2 31122A gLAx
1
3 065,003,05,005,005,0T mgLTx
,i
i
j
j xb
bx
321 5,20,50,28,19ˆ xxxy Lembrando que:
Exercício 6.5
• Imagine que, no exemplo da C. elegans, os pesquisadores tenham preferido tomar a concentração de glicose como fator de partida para determinar o caminho de máxima inclinação, com um deslocamento inicial de +25 gL-1 (note que estas são as unidades reais). Calcule as coordenadas do 3º ponto ao longo do novo caminho, e use a Eq. 6.5 para fazer uma estimativa do rendimento de quitina nessas condições.
• Voltamos agora ao 1º exemplo.
• Tendo realizado a modelagem inicial e determinado o caminho de máxima inclinação, passamos à etapa de deslocamento ao longo desse caminho.
• E vamos realizando experimentos nas condições especificadas na Tabela 6.3.
• Com isso obtemos os resultados da última coluna da tabela, que também estão indicados na próxima figura.
• Resultados dos ensaios realizados na trajetória de máxima inclinação da figura anterior.
• Inicialmente os rendimentos aumentam, mas depois do 3º ensaio começam a diminuir.
“morro”
• Podemos interpretar esses resultados imaginando que a superfície de resposta é como um morro.
• Pelos valores iniciais, começamos a nos deslocar ladeira acima, mas depois do 3º ensaio já estamos começando a descer o morro pelo lado oposto.
• É hora, portanto, de parar com os deslocamentos e examinar a região que apresentou melhores rendimentos.
• Para isso fazemos um novo planejamento, idêntico ao primeiro, porém centrado em torno do melhor ensaio, que é o terceiro (35 % e cerca de 125 rpm).
• A nova matriz de planejamento é apresentada na Tabela 6.5, juntamente com as novas respostas observadas.
• Resultados de um novo planejamento 22 com ponto central. x1 e x2 agora representam os valores das variáveis codificadas pelas equações x1 = (C-35)/5 e x2 =(v-125)/10.
• O ajuste de um modelo linear aos dados da Tabela 6.5 resulta na equação
onde os erros padrão foram calculados a partir de uma estimativa conjunta da variância, combinando os ensaios repetidos dos dois planejamentos.
Ensaio C(%) v(rpm) x1 x2 Y(%)
1 30 115 -1 -1 86
2 40 115 1 -1 85
3 30 135 -1 1 78
4 40 135 1 1 84
5 35 125 0 0 90
6 35 125 0 0 88
7 35 125 0 0 89
,25,225,171,85ˆ
65,02
65,01
49,0
xxy (6.6)
Exercício 6.6
• Use os erros dos coeficientes na Eq. 6.6 para calcular intervalos de 95% de confiança para 0, 1 e 2. Esses parâmetros são estatisticamente significativos?
• Em comparação com os valores dos coeficientes, os erros são bem mais importantes do que no caso da Eq. (6.3), e a dependência linear da resposta em relação a x1 e x2 já não parece segura.
• A Tabela 6.6, mostra que a situação agora é bem diferente.
• E o valor de MQfaj/MQep subiu para 34,46 que é maior que F2,2 (19,0 no nível de 95 % de confiança). Portanto,
• na região onde o caminho de máxima inclinação indicou, o modelo linear não descreve a superfície de resposta.
• Tabela 6.6 ANOVA para o ajuste do modelo aos dados da Tabela 6.5.
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática
Regressão 26,50 2 13,25
Resíduos 70,93 4 17,73
F. Ajuste 68,93 2 34,46
Erro puro 2,00 2 1,00
Total 97,42 6
% de variação explicada: 27,20% % máxima de variação explicável:97,95
22110ˆ xbxbby
(c) Localização do ponto ótimo
• Como o modelo linear não serve mais, devemos partir para um modelo quadrático, cuja expressão geral para duas variáveis é:
• Este modelo tem seis parâmetros, e o nosso planejamento tem apenas 5 “níveis” (5 diferentes combinações de valores da concentração e da velocidade de agitação).
• Como não é possível determinar as estimativas quando há mais parâmetros do que níveis, precisamos ampliar o planejamento.
• A ampliação pode ser feita de várias maneiras, sendo a mais comum a construção do chamado planejamento em estrela.
.ˆ 21122
2222
11122110 xxbxbxbxbxbby (6.7)
• Para fazer um planejamento em estrela, acrescentamos ao planejamento inicial um planejamento idêntico, porém girado de 45 graus em relação à orientação de partida.
• O resultado é uma distribuição octogonal (ver figura abaixo).
• Planejamento em estrela para duas variáveis codificadas, correspondente à tabela 6.7.
Os novos pontos, assim como os primeiros, estão a uma distância de unidades codificadas do ponto central. Todos eles estão sobre uma circunferência de raio
2
.2
Coordenadas dos pontos em estrela.
Valores já mostrados na Tabela 6.5.
• O vetor y agora terá onze valores, e a matriz X terá dimensões 11 X 6, com suas seis colunas correspondendo aos seis termos do modelo quadrático.
• Para obter as colunas referentes a x12, x2
2 e x1x2, elevamos ao quadrado ou multiplicamos as colunas apropriadas na matriz de planejamento da Tabela 6.7. Assim podemos escrever
020201
002021
020201
002021
000001
000001
000001
111111
111111
111111
111111
X
87
86
80
81
89
88
90
84
78
85
86
ye
• Resolvendo as Eqs. (5.12) (algoritmo para os coeficientes) e (5.30) (algoritmo para a variância dos coeficientes), obtemos:
• Os erros padrão foram novamente calculados a partir de uma estimativa conjunta da variância, obtida de todos os ensaios repetidos, inclusive os da Tabela 6.1.
• A nova análise da variância está na Tabela 6.8.
.75,181,281,236,225,100,89ˆ
65,021
54,0
22
54,0
21
46,02
46,01
75,0
xxxxxxy (6.8)
• O valor de MQfaj/MQep agora é apenas 0,25, não havendo evidência de falta de ajuste do modelo quadrático.
• Isto quer dizer que o valor de 0,55 para a média quadrática residual total, MQr, também poderia ser usado como uma estimativa da variância, com cinco graus de liberdade.
• Tabela 6.8 ANOVA para o ajuste do modelo aos dados da Tabela 6.7.
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática
Regressão 144,15 5 28,83
Resíduos 2,76 5 0,55 =s2
F. Ajuste 0,76 3 0,25
Erro puro 2,00 2 1,00
Total 146,91 10
% de variação explicada: 98,12% % máxima de variação explicável:98,64
22110ˆ xbxbby
21122
2222
111 xxbxbxb
• (a) Superfície quadrática descrita pela Eq.(6.7). (b) Suas curvas de nível. O rendimento máximo (89,6%) ocorre em x1=0,15 e x2=-0,37 (C=3 6% e v=121 rpm).
Valor de acordo com a Eq. (6.8). E representa uma melhora de 32 % em relação ao valor de partida, que era 68 %.
• Como localizamos a região do máximo, a investigação termina por aqui.
• Poderia ter acontecido, no entanto, que a superfície de resposta ajustada aos dados segundo planejamento fosse uma nova ladeira, em vez de pico.
• Nesse caso, deveríamos nos deslocar novamente, seguindo o novo caminho de máxima inclinação, e repetir todo o processo de modelagem deslocamento modelagem... Até atingir a região procurada.
• Na prática não deve haver muitas dessas etapas, porque o modelo linear se torna menos eficaz à medida que nos aproximamos de um ponto extremo, onde a curvatura da superfície evidentemente passará a ter importância.
Exercícios 6.7 e 6.8
• Use os dados da Tabela 6.8 para calcular um valor que mostre que a Eq. 6.8 é estatisticamente significativa.
• Uma representação gráfica, embora seja sempre conveniente, não é necessária para localizarmos o ponto máximo de uma superfície de resposta. Isso pode ser feito derivando-se a equação do modelo em relação a todas as variáveis e igualando-se as derivadas a zero. (a) Use esse procedimento para a Eq. 6.8, para confirmar os valores citados no texto. (b) O que aconteceria se você tentasse fazer o mesmo com a Eq. 6.6? Por quê?
A importância do planejamento inicial
• Uma questão muito importante na RSM é a escolha da faixa inicial de variação dos fatores, que determinará o tamanho do primeiro planejamento e consequentemente a escala de codificação e a velocidade relativa com que os experimentos seguintes se deslocarão ao longo da superfície de resposta.
• Suponhamos, por ex., que na Tabela 6.1 tivéssemos escolhido para o segundo fator – a velocidade de agitação - os limites de 95 e 105 rpm (ao invés de 90 e 110). Essa decisão teria as seguintes consequências:
1. O coeficiente de x2 na Eq. 6.3 se reduziria de 4,25 para 2,125, porque a variação unitária em x2 agora corresponderia, em unidades reais, a 5 rpm, e não mais a 10 rpm.
2. Com este novo coeficiente teríamos, na Eq. (6.4),
3. Consequentemente, o deslocamento x2 correspondente a x1 =-1 seria +0,405, que equivaleria agora a v=+0,4055= 0,203 rpm. Ou seja: em termos da velocidade de agitação, cada deslocamento seria apenas um quarto do deslocamento do planejamento original. Quando chegássemos à etapa Centro+5, ainda estaríamos com uma velocidade de 110,1 rpm.
.405,025,5
125,2112 xxx
• Se, ao contrário, tivéssemos preferido uma escala mais ampliada, evidentemente o deslocamento passaria a ser mais rápido. No entanto, também estaríamos correndo riscos.
• Dependendo da ampliação, poderíamos sair da região linear da superfície, ou mesmo encontrar “o outro lado do morro” já no 1º deslocamento, e assim perder a oportunidade de descobrir a direção do ponto ótimo.
• Como fazer, então para determinar a melhor escala?
• Infelizmente a resposta não está em nenhum livro de estatística, porque depende de cada problema, e muitas vezes não pode ser conhecida a priori.
• Os pesquisadores devem apoiar-se em todo o conhecimento disponível sobre o sistema em estudo e procurar escolher deslocamentos nem tão pequenos que não produzam efeitos significativos na resposta, nem tão grandes que varram faixas exageradas dos fatores.
• Deve-se fazer os experimentos de forma sequencial e iterativa.
• Caso a análise dos primeiros resultados nos leve a fazer modificações nos planejamentos originais, o prejuízo será menor se não nos apressarmos em fazer muitos experimentos logo de saída.
Um experimento com três fatores e duas respostas
• Na metodologia de superfícies de resposta o número de fatores não é uma restrição, nem o número de respostas.
• A RSM pode ser aplicada a qualquer número de fatores, assim como pode modelar várias respostas ao mesmo tempo.
• Esta é uma característica importante, porque muitas vezes um produto ou processo tem de satisfazer mais de um critério, como digamos, apresentar o máximo de rendimento com o mínimo de impurezas, ou ter custo mínimo porém mantendo os parâmetros de qualidade dentro das especificações.
• Para ilustrar essa flexibilidade da RSM, será apresentada uma aplicação real, cujo objetivo era a maximização simultânea de duas respostas distintas.
• R. A. Zoppi (Unicamp), realizou uma série de experimentos de síntese de polipirrol numa matriz de borracha de EPDM.
• O polipirrol é um polímero condutor mas é muito quebradiço, o que prejudica o seu uso em aplicações de interesse prático.
• O objetivo era conseguir um produto que tivesse ao mesmo tempo propriedades elétricas semelhantes às do polipirrol e propriedades mecânicas parecidas com as da borracha EPDM.
EPDM – Etileno Propileno Dieno
• Os fatores escolhidos para o estudo foram o tempo de reação (t), a concentração do agente oxidante (C) e a granulometria das partículas do oxidante (P).
• O pesquisador (que não tinha instrução formal em técnicas de planejamento de experimentos) decidiu realizar 27 ensaios em quadruplicata, seguindo o planejamento fatorial 33 da Tabela 6.9.
• Para cada ensaio foram registrados o rendimento da reação e os valores de várias propriedades mecânicas do produto final, entre as quais o Módulo de Young.
A respostas são as médias e os desvios padrão dos quatro ensaios (em alguns casos três) realizados para cada combinação de níveis dos fatores, num total de 106 ensaios. Observe que o tamanho das partículas não é definido de forma precisa. Os 3 níveis representam intervalos granulométricos, e não tamanhos específicos.
• Após a análise da Tabela 6.9 o pesquisador percebeu que, com 27 ensaios diferentes, pode-se ajustar uma função com até 27 parâmetros.
• As funções lineares e quadráticas de 3 variáveis são definidas por apenas quatro e dez parâmetros, respectivamente.
• Se as usarmos para modelar os dados da tabela, ainda teremos muitos graus de liberdade sobrando para estimar a falta de ajuste.
• Os coeficientes do modelo e seu erros padrão foram calculados como de costume, por meio das equações 5.12 e 5.30.
• Para o Módulo de Young, o emprego do modelo linear resultou na equação
enquanto o modelo quadrático produziu a Eq. 6.10:
,15,074,001,013,1ˆ
04,004,004,003,0
PCtM
.18,001,007,005,044,002,016,074,001,086,0ˆ
05,005,007,007,0
2
07,0
2
07,0
2
04,004,004,009,0
CPtPtCPCtPCtM
(6.9)
(6.10)
• A análise da variância para os dois ajustes está na Tabela 6.10.
• Os valores de MQR/MQr são 141,5 (linear) e 171,4 (quadrático).
• Comparando com F3,102=2,71 e F9,96=2,00 , no nível de 95% de confiança, vemos que os dois modelos são altamente significativo.
• Tabela 6.10 ANOVA- ajuste de modelos linear e quadráticos (em parênteses) aos valores de M dados na Tabela 6.9. Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática
Regressão 37,34 (43,23) 3 (9) 12,45 (4,80)
Resíduos 8,44 (2,55) 102 (96) 0,088 (0,028)
F. Ajuste 6,76 (0,87) 23 (17) 0,29 (0,051)
Erro puro 1,68 79 0,023
Total 45,78 105
% de variação explicada: 81,56% (94,43) % máxima de variação explicável:96,33
• Embora não pareça haver muita diferença entre os dois modelos, um exame mais detalhado da Tabela 6.10 mostra que devemos preferir o modelo quadrático.
• Enquanto para o modelo linear a razão MQfaj/Mqep é igual a 12,61, valor bem superior a F23,79=1,67, o modelo quadrático tem MQfaj/Mqep =2,22, que está apenas um pouco acima de F17,79=1,75.
• A diferença entre os modelos fica ainda mais evidente nos gráficos dos resíduos (próxima figura).
• (a) Resíduos deixados pelo ajuste de um modelo linear aos valores do M dados na Tabela 6.9. (b) Resíduos deixados pelo ajuste de um modelo quadrático aos mesmos dados.
• (a) apresenta uma curvatura. Os valores passam de positivos para negativos e depois se tornam positivos novamente.
• (b) os resíduos parecem flutuar aleatoriamente em torno de 0
• (a) e (b) a variância residual aumenta com o valor da resposta.
• A preferência pelo modelo quadrático é confirmada pelos valores dos coeficientes de C2 e CP na Eq. (6.10), 0,44 e -0,18.
• Eles são significativamente superiores aos seu erros padrão e os dois termos devem ser incluídos no modelo.
• Como eles estão ausentes no modelo linear, o gráfico dos resíduos apresenta um comportamento sistemático.
• Após a validação estatística do modelo, podemos tentar interpretar a Eq. 6.10, para entender melhor o comportamento do Módulo de Young (propriedades mecânicas) das amostras em questão.
05,005,007,007,0
2
07,0
2
07,0
2
04,004,004,009,0
18,001,007,005,044,002,016,074,001,086,0ˆ CPtPtCPCtPCtM
• Os resultados mostram que o Módulo de Young só depende da concentração do oxidante e do tamanho de suas partículas (Exercício 6.10).
• Nenhum dos termos envolvendo o tempo de reação é estatisticamente significativo.
• Numa primeira aproximação, portanto, podemos eliminar os termos em t, reduzindo o modelo a
• A forma da superfície de resposta gerada por esta expressão é revelada pela próxima figura.
• Trata-se de uma espécie de vale, situado quase perpendicular ao eixo das concentrações.
.18,044,016,074,086,0ˆ
05,007,0
2
04,004,009,0
CPCPCM (6.11)
• (a) Superfície de resposta descrita pela Eq. 6.11, que relaciona o Módulo de Young com a concentração e a granulometria do oxidante. (b) Curvas de nível para a superfície do item (a). Os valores entre parênteses são as respostas médias observadas.
Exercícios 6.9 e 6.10
• Use os dados da Tabela 6.10 para calcular uma estimativa do erro experimental com mais de 79 graus de liberdade.
• Sabendo que a estimativa do erro padrão foi obtida a partir do valor de MQep na Tabela 6.10, determine, no nível de 95% de confiança, quais são os coeficientes estatisticamente significativos na Eq. (6.10).
• A utilidade da Eq. (6.11) e da superfície é nos ajudar a prever que condições experimentais resultarão num valor de interesse para o Módulo de Young.
• A Tabela 6.11 mostra uma comparação dos valores médios observados com os valores previstos pela Eq. (6.11).
• A concordância é muito boa.
Erro médio absoluto não chega a 4 % da faixa de variação da Tabela 6.9.
• Isto comprova que quase toda a variação observada nos valores do Módulo de Young pode ser explicada pelas mudanças feitas na concentração e na granulometria.
• Se o objetivo é obter um produto com um alto valor de M, a figuras anteriores indicam que devemos usar um nível de concentração de cinquenta partes por cem e partículas com granulometria mais fina >150 mesh (partículas menores).
• Caso o modelo possa ser extrapolado, podemos obter valores ainda maiores continuando a aumentar a concentração e a diminuir a granulometria das partículas.
• Para obter pequenos valores de M devemos usar uma baixa concentração de oxidante, cerca de 10 ppc.
• Nesse caso, o tamanho da partícula não tem importância.
• Todos os resultados experimentais obtidos com 10 ppc estão no fundo do vale (granulometria varia sem afetar a resposta).
• Como o tempo de reação não alterou M, podemos usar qualquer valor entre 8 e 24 h.
• Se só estivermos interessados nesta resposta, não precisamos nos importar com o tempo.
• Porém, os pesquisadores também queriam aumentar o rendimento da reação, e fizeram para ele um ajuste semelhante ao M. Daí resultou a equação:
onde somente aparecem os termos estatisticamente significativos. Nessa expressão o tempo é um fator importante.
• Todos os termos em t têm coeficientes positivos, o que significa que tempos mais longos produzirão maiores rendimentos. Colocando o tempo no seu valor máximo:
• A superfície de resposta descrita por esta expressão está representada na próxima figura.
,26,128,147,181,693,124,9ˆ 2 tCCPCtR
.28,147,107,817,11ˆ 2CPCR (6.12)
• Superfície de resposta e curvas de nível para a Eq. 6.12, mostrando o rendimento após 24 h de reação, em função da concentração (C) e da granulometria do oxidante (P).
• Comparando com as anteriores podemos constatar que a região que produz altos M (canto inferior direito do gráfico de curvas de nível) também produz altos rendimento.
• E no fundo do vale: valores de M da ordem de 0,50 MPa correspondem a rendimentos baixos, de cerca de 5 %.
• O planejamento descreveu adequadamente as superfícies de resposta na região estudada, mas poderíamos chegar às mesmas conclusões com um planejamento mais econômico.
• Inicialmente, poderíamos fazer um planejamento fatorial com apenas dois níveis e tentar demarcar uma região de fatores para um estudo mais detalhado.
• Dependendo dos resultados poderíamos:
(a) ampliar o planejamento inicial com mais ensaios para transformá-lo num planejamento em estrela, ou
(b) deslocar os experimentos para uma região mais promissora, a ser investigada com um novo fatorial.
• Entretanto os experimentos apresentados foram feitos de acordo com um planejamento sistemático, que permitiu caracterizar a influência dos fatores investigados.
• Esse modo de proceder é superior à maneira intuitiva que ainda prevalece em muitos laboratórios de pesquisa.
Planejamentos compostos centrais
• O planejamento em estrela é um exemplo de planejamento composto central para dois fatores.
Planejamentos compostos centrais
• Em geral, um planejamento composto central para k fatores, devidamente codificados como (x1,..., xk), é formado de três partes:
1. Uma parte chamada de fatorial (ou cúbica), contendo um total de nfat pontos de coordenadas xi=-1 ou xi=+1, para todos os i=1,...,k;
2. Uma parte axial (ou em estrela), formada por nax=2k pontos com todas as coordenadas nulas exceto uma, que é igual a um certo valor (ou -);
3. Um total de ncentr ensaios realizados no ponto central, onde, é claro, x1=...xk=0.
• Para realizar um planejamento composto central, precisamos definir como será cada uma dessas três partes.
• Precisamos decidir quantos e quais serão os pontos cúbicos, qual o valor de , e quantas repetições faremos no ponto central.
• No planejamento da Tabela 6.7, por exemplo, temos k=2.
• A parte cúbica é formada pelos quatro primeiros ensaios, a parte em estrela pelos quatro últimos (com ), e existem três ensaios repetidos no ponto central.
• O caso de três fatores é mostrado na próxima figura, onde podemos perceber a origem da terminologia empregada para as três partes do planejamento.
2
• Planejamento composto central para três fatores. As bolas cinzas são a parte cúbica – os ensaios de um fatorial 23. As bolas pretas representam a parte em estrela.
• Os pontos cúbicos são idênticos ao de um planejamento fatorial de dois níveis.
Parte axial, nax=2k=6
• Na Tabela 6.7 usamos um planejamento fatorial completo, mas isso não seria estritamente necessário.
• Dependendo do número de fatores, poderia nem ser aconselhável, porque produziria um número de ensaios inconvenientemente grande.
• O total de níveis distintos num planejamento composto central é nfat + 2k +1. Lembrando que nfat é o número de pontos da parte fatorial (ou cúbica) do planejamento.
• Portanto para fatorial da Tabela 6.7, nove níveis seriam suficientes.
• O modelo quadrático completo para k fatores é dado pela Eq. 6.13, que contém (k+1)(k+2)/2 parâmetros.
• Com dois fatores, temos 6 parâmetros.
• O planejamento da Tabela 6.7 tem 9 diferentes combinações de níveis, e a rigor poderíamos estimar todos os parâmetros do modelo usando apenas dois pontos cúbicos, correspondentes a uma das duas frações 22-1.
.20
ji jjiij
iiii
iii xxxxy
(6.13)
• Para um 22, a economia é muito pouca e dificilmente justificaria a destruição da simetria da porção cúbica.
• Entretanto, à medida que o número de fatores aumenta, escolher os pontos cúbicos como os de um planejamento fracionário e não de um planejamento completo torna-se cada vez mais indicado.
• Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um fatorial fracionário de resolução V, que permitirá estimar os efeitos principais e as interações de dois fatores com um confundimento relativamente baixo.
• Se decidirmos usar frações menores, porém, a escolha da fração apropriada não é trivial.
• Uma lista das frações mais adequadas pode ser encontrada em Wu e Hamada (2.000), Capítulo 9.
• O valor de costuma ficar entre 1 e . Quando como na Tabela 6.7, os pontos cúbicos e os pontos axiais ficam sobre a superfície de uma (hiper)esfera, e o planejamento é chamado de esférico.
• Na Tabela 6.7, por ex., todos os pontos periféricos estão sobre a mesma circunferência.
k ,k
• No outro extremo, quando =1, os pontos axiais se localizam nos centros das faces do (hiper)cubo definido pela parte cúbica do planejamento.
• Este tipo de planejamento é vantajoso quando o espaço experimental é cúbico, o que ocorre de forma natural quando os fatores são variados independentemente uns dos outros.
• Tem ainda a vantagem de só precisar de três níveis dos fatores, o que pode ser de grande ajuda no caso de algum fator ser qualitativo.
• Se escolhermos estaremos colocando os pontos em estrela cada vez mais distantes do ponto central, à medida que o número de fatores for crescendo.
• Essa escolha deve ser feita com muito cuidado, porque estaremos correndo o risco de deixar a região intermediária sem ser investigada.
• Com nove fatores, por ex., seria igual a 3. Não ficaríamos sabendo de nada sobre o comportamento da superfície de resposta no intervalo 1-3 ao longo de cada eixo.
,k
• Box e Hunter (1957) propuseram o conceito de rotabilidade como critério para escolher o valor de .
• Um planejamento é chamado de rodável se a variância de suas estimativas, , só depender da distância em relação ao ponto central, isto é, se a precisão da resposta prevista for a mesma em todos os pontos situados numa dada (hiper)esfera com centro no próprio centro do planejamento.
yV ˆ
• A Tabela 6.13 mostra como podemos construir planejamentos rodáveis para três (nax =2k= 6) e quatro (nax = 8) fatores.
kCoordenadas: centrais nulas e axiais iguais a
