ANDERSON DOURADO SISNANDO OTIMIZAÇÃO DE …€¦ · com banda fotônica proibida maior que as encontradas na literatura, ... Evolution algorithm (DE) ... Esquema de um algoritmo

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA

ANDERSON DOURADO SISNANDO

OTIMIZAÇÃO DE DISPOSITIVOS FOTÔNICOS

UTILIZANDO ALGORITMOS BIO-INSPIRADOS

Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica

Orientador

Vitaly Félix Rodríguez Esquerre

SALVADOR, 2015

i


ESCOLA POLITÉCNICA






Aluno: Anderson Dourado Sisnando

Orientador: Prof. Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre

Tese submetida ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Elétrica da

Universidade Federal da Bahia como parte

dos requisitos necessários para obtenção do

grau de Doutor em Engenharia Elétrica, sob a

orientação do professor Dr. Vitaly Félix

Rodríguez Esquerre.

Área de Concentração: Processamento de Informação e Energia

Linha de Pesquisa: Processamento e Transmissão da Informação

SALVADOR – BA

Fevereiro de 2015

S622 Sisnando, Anderson Dourado

Otimização de dispositivos fotônicos utilizando

algoritmos bio-inspirados/Anderson Dourado Sisnando. –

Salvador, 2014.

171 f. : il. color.

Orientador: Prof. Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre

Tese (doutorado) – Universidade Federal da Bahia.

Escola Politécnica, 2014.

1. Computação Bio-inspirada. 2. Otimização. 3.

Sistemas de Comunicação. I. Esquerre, Vitaly Félix

Rodriguez . II. Universidade Federal da Bahia. III. Título.

CDD: 621.382

ii


ESCOLA POLITÉCNICA




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TESE DE DOUTORADO

Autor: Anderson Dourado Sisnando

Orientador: Vitaly Félix Rodriguez Esquerre

Tese de Doutorado aprovada em 17 de Dezembro de 2014 pela banca examinadora composta

pelos seguintes membros:

iii

A Deus, minha família, amigos e colegas pelo apoio, muito obrigado!

iv

AGRADECIMENTOS

Ao professor Dr. Vitaly Félix Rodríguez Esquerre pelas orientações, oportunidades em

seus projetos de pesquisa e, principalmente, pela importante amizade.

Aos amigos que fiz ao longo do doutorado Karolinne Brito, Francismari, Igor

Leonardo e Davi por dividirem as alegrias e angústias durante esses anos. As secretárias do

programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica, Janaína, Agatha e Ingrid, agradeço pela

paciência e informações importantíssimas que me ajudaram a concluir mais esta etapa em

minha formação.

Aos amigos Michel Lima, Joaquim Lima, Fabrício Simões e Edson pelo

incomensurável apoio durante a realização desse projeto.

Aos meus pais Francisco Demontier e Eva Chirlen, aos meus irmãos Rômulo, Natali e

Priscila, meus sobrinhos Sabrina e Felipe, minhas primas Aline Akemi, Beatriz, Larissa,

Débora, Kelly, Kátia e Karine, cunhados Ivan e Kelly, minhas tias Vera Lúcia, Maria Sônia,

Rosemeire Nagata e Expedita Berenice e aos meus tios Roberto e Joel, por serem a razão de

tudo isso, amo vocês.

A Manuela, minha mulher e companheira, que sempre esteve presente para me apoiar

nos momentos de revés e me dar forças para prosseguir.

Aos professores Karcius Day, Ana Isabela e Trazíbulo Henrique pelo apoio e

recomendações, e a todos os outros amigos, colegas, professores e funcionários da UFBA, um

muito obrigado de coração.

Agradeço a FAPESB - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia pelo apoio

e suporte financeiro.

v

“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas Graças a Deus, não sou o que era antes.”

Marthin Luther King

vi

RESUMO

A presente tese consiste em um estudo das técnicas de Computação Bio-Inspirada para

otimizar dispositivos fotônicos, em conjunto com o método dos elementos finitos (FEM) no

domínio da frequência. O estudo dessas técnicas é muito promissor para diversas áreas, em

particular, a Fotônica, pois possui muitos dispositivos e fenômenos que necessitam de um

tratamento matemático eficiente com esforço computacional reduzido. Desenvolveram-se

algoritmos genéticos (AG) e algoritmos evolutivos baseados em sistemas imunológicos

artificiais (SIA-AV e SIA-ALV), os quais foram aplicados na otimização das bandas fotônicas

proibidas de cristais fotônicos compostos por materiais isotrópicos e anisotrópicos. Esses

algoritmos e um algoritmo de Evolução Diferencial (ED), concebido, são utilizados em

conjunto com o programa FEM-2D (cálculo dos campos e potência) para a otimização da

eficiência de acoplamento de tapers entre guias de onda contínuos e segmentados. Os

algoritmos foram escolhidos devido à flexibilidade em se ajustar a parâmetros, os resultados

podem ser melhorados significativamente. Nesse trabalho, avaliou-se a introdução de novos

passos (cruzamento, clonagem, elitismo, mutação, etc.) nos algoritmos concebidos e a junção

de mais de uma técnica (rede imunológica e seleção clonal), visando a eficiência (tempo de

processamento e esforço computacional) dos mesmos e sua utilização para a otimização e

concepção de novos dispositivos. Os algoritmos desenvolvidos são utilizados para encontrar

soluções para problemas atuais na área de Fotônica que são: aumento da largura de banda dos

dispositivos para atender demandas de altas taxas de transmissão, e minimizar as perdas de

acoplamento entre guias com diferentes propriedades. Como resultado dessa pesquisa, além

de algoritmos eficientes e flexíveis, são obtidas estruturas otimizadas de cristais fotônicos,

com banda fotônica proibida maior que as encontradas na literatura, para materiais isotrópicos

e anisotrópicos, as quais possibilitam uma maior quantidade de canais a serem utilizados nos

sistemas de comunicações ópticas. E também, são obtidos tapers (contínuo e segmentado)

otimizados, ambos com eficiência de acoplamento maior que as encontradas na literatura e

com o tamanho físico reduzido, validando assim a pesquisa.

Palavras-chave: Computação Bio-Inspirada, Otimização, Cristais Fotônicos, Materiais

Isotrópicos e Anisotrópicos, Tapers.

vii

ABSTRACT

This aims of this thesis is the study of Bio-Inspired Computation techniques to optimize

photonic devices in conjunction with the finite element method (FEM) in the frequency

domain. The study of these techniques are very promising for different areas, particularly

Photonic, where there are several devices and phenomena that require an efficient

mathematical treatment with reduced computational effort. Genetic algorithms (GA) and

evolutionary algorithms based on artificial immune systems (AIS-AV e AIS-ALV) have been

developed and they have been applied in the optimization of photonic bandgaps of photonic

crystals composed of isotropic and anisotropic materials. These algorithms and an Differential

Evolution algorithm (DE) conceived, are used in conjunction with the 2D-FEM (program for

calculation of fields and power), for optimizing the power coupling efficiency of Tapers

between continuous and segmented waveguides. These algorithms were chosen because of the

flexibility in adjusting their parameters can be significantly to improved their results. In this

work, we evaluate the introduction of further steps (crossover, cloning, elitism, mutation, etc.)

in the proposed algorithms and put together more than one technique (immune network and

clonal selection), to improve the efficiency (processing time and computational effort), then,

and their use for the optimization and design of new devices. The developed algorithms are

used to find solutions for existing problems in the area of photonics that are: increasing the

devices operating bandwidth to meet high transmission rates demands and minimizing the

coupling losses between waveguides with different properties. As a result of this research, in

addition to efficient and flexible algorithms, we are obtained optimized structures of photonic

crystals with photonic bandgaps greater than those found in the literature for isotropic and

anisotropic materials, which allow a more number of channels to be used in systems optical

communications. Also, are obtained optimized tapers (continuous and segmented), both with

coupling efficiency higher than those found in the literature and with reduced physical size,

thereby validating this research.

Keywords: Bio-Inspired Computation, Optimization, Photonic Crystals, Anisotropic and

Isotropic materials, Tapers.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Tipos de Algoritmos Bio-Inspirados disponíveis .................................................... 3

Figura 1.2. Processo de otimização dos Cristais Fotônicos desenvolvido com uso dos

Algoritmos Bio-Inspirados ........................................................................................................ 8

Figura 1.3. Processo de otimização do Acoplamento entre Guias por meio de Algoritmos Bio-

Inspirados .................................................................................................................................. 9

Figura 2.1. Cristal Fotônico, (a) e (d) unidimensional, (b) e (e) bidimensional e (c) e (f)

tridimensional .......................................................................................................................... 14

Figura 2.2. (a) Célula unitária do arranjo quadrado, (b) região de Brillouin, (c) estrutura de

banda fotônica para um arranjo quadrado formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em ar

e r/a=0,35, (d) célula unitária do arranjo triangular, (e) região de Brillouin e (f) estrutura de

banda fotônica para um arranjo triangular formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em

ar e r/a=0,33 ........................................................................................................................... 17

Figura 2.3. Modos de propagação no cristal, (a) TE e (TM) ................................................ 23

Figura 2.4. Célula unitária dividida em 200 triângulos, (a) arranjo quadrado e (b) arranjo

triangular ................................................................................................................................ 23

Figura 2.5. Elipsóide e elipse dos índices de refração ........................................................... 27

Figura 2.6. Esquemático do taper contínuo entre os guias de onda L e S .............................. 28

Figura 2.7. Esquemático do taper segmentado entre os guias de onda C e O ....................... 29

Figura 2.8. Esquemático do (a) guia reto PSW 2D e (b) o guia CWG equivalente. O índice de

refração neq do guia contínuo equivalente é determinado através da Equação (2.37) ......... 30

Figura 2.9. Estrutura conceitual para a análise dos elementos finitos FE. A junção é dentro

da região Ω, a qual pode ser alimentada por até quatro guias de onda de acesso ................ 32

Figura 2.10. Estruturas utilizadas para a análise dos elementos finitos FE com o domínio

computacional e as regiões da PML ...................................................................................... 34

Figura 2.11. Esquema das estruturas para a análise no FEM-2D e cálculo da potência ...... 38

Figura 3.1. Representação de um cromossomo ...................................................................... 46

Figura 3.2. Seleção por Roleta (Amostragem estocástica universal) ...................................... 49

Figura 3.3. Seleção por Torneios ............................................................................................ 51

Figura 3.4. Crossover de um ponto ......................................................................................... 52

Figura 3.5. Crossover com 2 pontos de corte ......................................................................... 53

Figura 3.6. Crossover do tipo uniforme .................................................................................. 54

ix

Figura 3.7. Operador de mutação ............................................................................................ 54

Figura 3.8. Ciclo básico de funcionamento de um AG ............................................................ 56

Figura 3.9. Camadas de defesa do sistema imunológico ......................................................... 58

Figura 3.10. Princípio da Seleção Clonal ............................................................................... 60

Figura 3.11. Esquema de um algoritmo de seleção clonal, CLONALG ................................. 64

Figura 3.12. Esquema de um algoritmo de evolução diferencial ........................................... 66

Figura 3.13. Operador de mutação do ED .............................................................................. 68

Figura 3.14. Operador de cruzamento do tipo binomial ......................................................... 69

Figura 3.15. Operador de cruzamento do tipo exponencial .................................................... 70

Figura 3.16. Fluxograma do (a) Algoritmo Genético (AG) e (b) Algoritmo Baseado em SIA,

implementados e (c) representação do fitness em ambos os algoritmos ................................. 74

Figura 3.17. Tipo de codificação implementada e a malha de FE da célula unitária de um

cristal fotônico dividida em 200 triângulos ............................................................................. 75

Figura 3.18. Operadores de cruzamento implementados, (a) dois pontos, as linhas

representam os pontos de corte e (b) uniforme, máscara binária determina os genes que irão

formar os novos indivíduos ..................................................................................................... 76

Figura 3.19. Fluxograma dos algoritmos evolutivos baseados em Sistemas Imunológicos

Artificiais implementados, (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV, e (c) fitness utilizado, para o cálculo da

PBG absoluta, pelos algoritmos ............................................................................................. 79

Figura 3.20. (a) Fluxograma do Algoritmo de Evolução Diferencial, implementado e (b)

fitness utilizado para o cálculo da eficiência de acoplamento ................................................ 80

Figura 4.1. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo

quadrado para o modo TE12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50

indivíduos ................................................................................................................................ 85

Figura 4.2. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo

triangular para o modo TM12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50

indivíduos ................................................................................................................................ 85

Figura 4.3. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para

o modo TE12 com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ................ 86


o modo TE12 com população de 50 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ................ 87


o modo TM12 com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ............... 87

x


o modo TM12 com população de 50 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme ............... 87

Figura 4.7. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo quadrado e população

de 20 indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV ..................................... 89

Figura 4.8. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo triangular e população

de 20 indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV . .................................... 89

Figura 4.9. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TE12 com arranjo quadrado com

elementos triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e

(c) SIA-AV . ............................................................................................................................... 90

Figura 4.10. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TM12 com arranjo quadrado com

elementos triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e

(c) SIA-AV . ............................................................................................................................... 90

Figura 4.11. Evoluções dos diferentes tamanhos da população do AG em função do melhor

indivíduo e do número de gerações para o Arranjo Triangular, no problema da PBG absoluta

de cristais compostos por material isotrópico imerso em ar .................................................. 92

Figura 4.12. Evolução do fitness do melhor indivíduo encontrado e a respectiva célula

unitária resultante (como inserção na figura) para o arranjo triangular (a) SIA-AV 17,53% e

(b) SIA-ALV 18,81%, respectivamente .................................................................................... 93

Figura 4.13. Estruturas cristalinas otimizadas para o arranjo triangular (a) SIA-AV e (b)

SIA-ALV, respectivamente, (PBG absoluta silício) ................................................................. 93

Figura 4.14. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do

número de gerações para o Arranjo Triangular com SIA-ALV (a) 10 com 19,13% e (b) 20

indivíduos com 18,86%, respectivamente ................................................................................ 94

Figura 4.15. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM do arranjo triangular

encontrados com (a) o AG, (b) o SIA-ALV e o encontrado em (c) Joannopoulos et al. [33].

As linhas em azul representam as bandas do modo TM e as linhas em vermelho, as bandas do

modo TE ................................................................................................................................... 96

Figura 4.16. Desvio padrão em função de 1000 gerações fixas e curvas de repetição do

fitness em função do número de gerações, dos melhores algoritmos implementados com

Arranjos Triangulares (a) AG e (b) SIA-ALV, respectivamente . ............................................ 96

Figura 4.17. Evoluções dos diferentes tamanhos da população em função do melhor

indivíduo e do número de gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV;

Arranjo Triangular (c) SIA-AV e (d) SIA-ALV ........................................................................ 99

xi


número de gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV; Arranjo Triangular

(c) SIA-AV e (d) SIA-ALV ....................................................................................................... 101

Figura 4.19. Evoluções do fitness dos melhores indivíduos e suas respectivas células

unitárias (inserções nos respectivos gráficos) encontrados para o Arranjo (a) Quadrado e (b)

Triangular, respectivamente .................................................................................................. 102

Figura 4.20. Estruturas cristalinas encontradas a partir dos melhores indivíduos do Arranjo

(a) quadrado e (b) triangular, respectivamente ..................................................................... 102

Figura 4.21. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM para os arranjos quadrados

(a) SIA-ALV e (b) encontrado em [19], e para os arranjos triangulares (c) SIA-ALV e (d)

encontrado em [19]. As linhas contínuas representam as bandas do modo TM e as linhas

pontilhadas, as bandas do modo TE ....................................................................................... 103

Figura 4.22. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a)

cristal exibindo os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 2

triângulos, respectivamente ................................................................................................... 104

Figura 4.23. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a)

cristal exibindo os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 4

triângulos, respectivamente ................................................................................................... 104

Figura 4.24. Evolução do fitness em função de 500 gerações fixas, dos melhores algoritmos

com Arranjos Quadrados (a) SIA-ALV e (b) SIA-AV; Arranjos Triangulares (c) SIA-ALV e (d)

SIA-AV, respectivamente ....................................................................................................... 106

Figura 4.25. Esquema da configuração do Taper Contínuo, analisado ............................... 108

Figura 4.26. Malha base com configuração do Taper Contínuo, analisado ........................ 109

Figura 4.27. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV,

com taxas de mutação de 0,5-5% .......................................................................................... 110

Figura 4.28. Estrutura do melhores taper otimizado encontrado através do SIA-ALV com taxa

de mutação de 5% ................................................................................................................. 111

Figura 4.29. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através

do SIA-ALV com taxa de mutação de 5% .............................................................................. 111

Figura 4.30. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com

diferentes populações ............................................................................................................ 112

Figura 4.31. Estrutura do melhores taper otimizado encontrado através do AG com 20

indivíduos .............................................................................................................................. 113

xii


do AG com 20 indivíduos ...................................................................................................... 113

Figura 4.33. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e

do número de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 3% .................................. 114


número de gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,7 ................... 115

Figura 4.35. Estrutura otimizada do taper encontrado através do ED com taxa de mutação

2% e probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de W=[1,10; 6,10; 5,10;

5,10; 5,10; 6,10; 4,10; 4,10; 0,13 ] ....................................................................................... 116


do ED ..................................................................................................................................... 116

Figura 4.37. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,5-2μm)

para os dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG (20 e 100 indivíduos) e ED,

respectivamente ..................................................................................................................... 117

Figura 4.38. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em

função de 200 gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG,

(b) SIA-ALV e (c) ED, respectivamente ................................................................................. 119

Figura 4.39. Esquema da configuração do Taper Segmentado, analisado ........................... 120

Figura 4.40. Malha base com configuração do Taper Segmentado, analisado .................... 121

Figura 4.41. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV,

com taxas de mutação de 1-9% ............................................................................................. 122

Figura 4.42. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do SIA-ALV com

taxa de mutação 3% e seus respectivos valores de a =[ 0,2662; 0,2316; 0,1856; 0,1734;

0,1458; 0,1538; 0,1416; 0,1275; 0,1669; 0,1125; 0,1453; 0,1031; 0,1603; 0,1284;

0,1650 ] ................................................................................................................................... 123


do SIA-ALV ............................................................................................................................ 123

Figura 4.44. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com

diferentes populações ............................................................................................................ 124

Figura 4.45. Estrutura do melhore taper otimizado encontrado através do AG com 20

indivíduos e seus respectivos valores de a =[0,2653; 0,2278; 0,1969; 0,1838; 0,1622; 0,1697;

0,1659; 0,1603; 0,1500; 0,1425; 0,1509; 0,1003; 0,1659; 0,1528; 0,1509] ......................... 125


do AG com 20 indivíduos ...................................................................................................... 125

xiii

Figura 4.47. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e

do número de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 7% .................................. 126


número de gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,3 ................... 127

Figura 4.49. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do ED com taxa

de mutação 2% e probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de a

=[0,2662; 0,2081; 0,1444; 0,15; 0,0703; 0,1219; 0,1547; 0,0703; 0,1462; 0,1378; 0,12;

0,0862; 0,0731; 0,1631; 0,1369] ............................................................................................ 128

Figura 4.50. Propagação dos campos da melhor configuração de taper segmentado

encontrada através do ED ..................................................................................................... 128

Figura 4.51. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,4-2μm)

para os dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG e ED, respectivamente ......................... 129

Figura 4.52. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em

função de 200 gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG,

(b) SIA-ALV e (c) ED, respectivamente ................................................................................. 130

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1. Similaridade Sistema Natural × AG ..................................................................... 46

Tabela 3.2. Representações de cromossomos ......................................................................... 47

Tabela 3.3. Comparação de aptidões ....................................................................................... 49

Tabela 3.4. Notação das estratégias de ED ............................................................................. 72

Tabela 4.1. Comparação dos valores das Bandas Fotônicas Proibidas com elementos

triângulos (%) .......................................................................................................................... 86

Tabela 4.2. Tempo médio de processamento para cada geração. ........................................... 88

Tabela 4.3. Banda Proibida Relativa para o modo TM12 ........................................................ 90

Tabela 4.4. PBG Absoluta e número de canais para o Arranjo Triangular ............................ 95

Tabela 4.5. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular com diferentes

tamanhos de população utilizando o SIA-AV e SIA-ALV ......................................................... 99

Tabela 4.6. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular variando as taxas

de Mutação ............................................................................................................................. 101

Tabela 4.7. Comparação de PBG’s Absolutas e quantidade de canais (DWDM) para os

Arranjos Quadrados e Arranjos Triangulares ....................................................................... 105

Tabela 4.8. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de

mutação para o SIA-ALV. ....................................................................................................... 110

Tabela 4.9. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho da

população para o AG ............................................................................................................. 112

Tabela 4.10. Eficiência de acoplamento do Taper contínuo variando as probabilidades de

cruzamento no ED .................................................................................................................. 114

Tabela 4.11. Eficiência de acoplamento do Taper contínuo variando as taxas de mutação no

ED .......................................................................................................................................... 115

Tabela 4.12. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de

mutação para o SIA-ALV ........................................................................................................ 122

Tabela 4.13. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho

da população para o AG ........................................................................................................ 124

Tabela 4.14. Eficiência de acoplamento do Taper segmentado variando as probabilidades de

cruzamento no ED .................................................................................................................. 126

Tabela 4.15. Eficiência de acoplamento do Taper segmentado variando as taxas de mutação

no ED ..................................................................................................................................... 127

xv

LISTA DE SÍMBOLOS

FEM Método dos Elementos Finitos

PBG Photonic Band Gap (Banda fotônica proibida)

TM Transversal Magnético

TE Transversal Elétrico

V Frequência Normalizada

AG Algoritmo Genético

PC Photonic Crystal (Cristal Fotônico)

AE Algoritmo Evolutivo (Evolucionário)

SI Sistema Imunológico

SIA Sistema Imunológico Artificial

RI Rede Imunológica

RNA Rede Neural Artificial

Te Telúrio

Si Silício

no Índice Ordinário

ne Índice Extraordinário

n Índice de Refração

neff Índice de Refração Efetivo

neq Índice de Refração Equivalente

HIC High-index contrast (índice de alto contraste)

SWG Subwavelength grating (grade menor a um comprimento de onda)

PSW Periodically Segmented Waveguide (Guia de onda periodicamente segmentado)

PCW Photonic Crystal Waveguide (guia de onda de cristal fotônico)

CWG Continuous Waveguide (guia de onda contínuo)

PML Perfectly Matched Layer (camada de casamento perfeito)

WDM Wavelength Division Multiplexed (multiplexação por divisão de comprimento de

onda)

DWDM Dense Wavelength Division Multiplexed (multiplexação por divisão de comprimento

de onda densa)

SiO2 Sílica

ED Evolução Diferencial

xvi

Λ Período de um PSW

Δn Diferença (contraste) de índice de refração

η Duty cycle (ciclo de serviço/trabalho)

Γ Fator de Confinamento

a Comprimento do Segmento de um PSW

xvii

SUMÁRIO

Capítulo 1 - Introdução ........................................................................................................ 1

1.1. Tema e Justificativa..... .................................................................................................. 1

1.2. Objetivos Gerais ........................................................................................................... 9

1.2.1. Objetivos Específicos ................................................................................................ 9

1.3. Contribuições do Trabalho ......................................................................................... 11

1.4. Organização do Trabalho ............................................................................................ 11

Capítulo 2 – Dispositivos Fotônicos Utilizados nesse Trabalho ....................................... 13

2.1. Cristais Fotônicos ....................................................................................................... 13

2.1.1. Cristais Fotônicos Bidimensionais ........................................................................... 16

2.1.2. Análise dos Arranjos Cristalinos ............................................................................. 16

2.1.3. Formulação por Elementos Finitos .......................................................................... 18

2.1.3.1. Polarização H (Modos TE) ................................................................................... 18

2.1.3.2. Polarização E (Modos TM) .................................................................................. 20

2.1.4. Materiais Isotrópicos e Anisotrópicos ..................................................................... 24

2.1.4.1. Elipsóide de Índices .............................................................................................. 26

2.2. Acopladores entre Guias de Ondas com Características Diferentes............................ 27

2.2.1. O Taper Contínuo e o Taper Segmentado ................................................................ 28

2.2.1.1. Equação de Onda Escalar 2-D ............................................................................... 31

2.2.1.2. Cálculo da Potência .............................................................................................. 35

Conclusão do Capítulo ...................................................................................................... 41

Capítulo 3 – Computação Bio-Inspirada ............................................................................ 42

3.1. Algoritmos Genéticos (AG) ........................................................................................ 45

3.1.1. Problema a ser otimizado ......................................................................................... 47

3.1.2. Representação das possíveis soluções ...................................................................... 47

3.1.3. Decodificação do cromossomo ................................................................................. 48

xviii

3.1.4. Avaliação .................................................................................................................. 48

3.1.5. Seleção ...................................................................................................................... 49

3.1.6. Operadores Genéticos ............................................................................................... 52

3.1.7. Inicialização da População ....................................................................................... 54

3.1.8. Parâmetros e Critérios de Parada .............................................................................. 55

3.2. Sistema Imunológico (SI) ............................................................................................ 56

3.2.1. Sistemas Imunológicos Biológicos ........................................................................... 56

3.2.1.1. Seleção Clonal e Maturação da Afinidade ........................................................... 59

3.2.1.2. Redes Imunológicas (RI) ....................................................................................... 60

3.2.2. Sistemas Imunológicos Artificial (SIA) ................................................................... 61

3.3. Evolução Diferencial ................................................................................................... 66

3.3.1. Mutação .................................................................................................................... 68

3.3.2. Cruzamento ............................................................................................................... 69

3.3.3. Seleção ...................................................................................................................... 71

3.3.4. Estratégias ................................................................................................................. 71

3.4. Algoritmos Bio-Inspirados Implementados ................................................................ 72

Conclusão do Capítulo ...................................................................................................... 82

Capítulo 4 – Resultados Encontrados e Publicações Associadas ....................................... 83

4.1. Material Isotrópico (Silício e ar) ................................................................................. 83

4.2. Material Anisotrópico (Telúrio e ar) ........................................................................... 97

4.3. Tapers ........................................................................................................................ 107

4.3.1. Taper Contínuo ....................................................................................................... 107

4.3.2. Taper Segmentado .................................................................................................. 119

4.4. Publicações Associadas ............................................................................................. 131

Conclusão do Capítulo .................................................................................................... 134

Capítulo 5 – Conclusões ................................................................................................... 137

Referências ....................................................................................................................... 141

1

INTRODUÇÃO

1.1. Tema e Justificativa

Desde a sua invenção, nos anos 60, o laser consiste numa fonte óptica coerente

(formada por ondas de mesma frequência e direção que mantêm uma relação de fase

constante entre si), que possibilitou o uso de uma nova faixa do espectro

eletromagnético de frequências, tornando-se o principal meio de emissão de luz em

comunicações de longas distâncias, surgindo, assim, o interesse nas comunicações

ópticas [1]. O laser permitiu o incremento de várias ordens de magnitude, ou seja, uma

maior largura de banda nas taxas de transmissão de fótons em meios dielétricos, em

comparação com a transmissão de elétrons em metais através da eletricidade,

contribuindo com o desenvolvimento de novas áreas de pesquisas e de aplicações, até

então, não estudadas, como a óptica integrada e a fotônica.

A óptica integrada surgiu devido à necessidade da busca por novos dispositivos

no domínio óptico que possibilitassem o processamento de sinais nesse campo. Neste

sentido, miniaturizar e integrar os dispositivos, os quais são utilizados para o

processamento desses sinais ópticos é de suma importância, porém, o projeto desses

componentes para que realizem várias funções (guiamento de ondas, acoplamento

modal, chaveamento, modulação) com altas taxas de transmissão e baixas perdas é cada

vez mais complexo. Para desempenhar essas funções a óptica integrada envolve outras

tecnologias, o que possibilita a combinação de componentes ópticos, eletro-ópticos e

elétricos em um mesmo substrato, aumentando a flexibilidade e a estrutura analítica do

componente óptico integrado [2, 3].

Devido ao custo elevado para se fabricar tais dispositivos devido a redução da

área e das perdas por propagação, utiliza-se métodos numéricos na simulação desses

componentes ópticos integrados os quais permitem maneiras diferentes de se explorar

novas ideias para esses dispositivos, reduzindo os custos através da redução dos

processos de fabricação e testes [4-6]. Porém, visando melhorar ainda mais o

funcionamento, o comportamento e a redução do tamanho desses dispositivos, devido

ao avanço da tecnologia e dos materiais, os quais serão utilizados nas comunicações

ópticas, fotônica, óptica integrada e microondas, podem-se associar os métodos

2

numéricos a algoritmos de otimização. Nesse trabalho são utilizados algoritmos de

otimização baseados em computação bio-inspirada.

Conceitos de computação bio-inspirada estão sendo empregados em uma

variedade de disciplinas e áreas, desde ciências naturais e engenharias até biologia e

ciências da computação. Isso acontece porque os sistemas biológicos são auto-

organizados e capazes de se adaptar ao ambiente, ao invés de serem apenas

programados [7, 8]. Pensando nisso, nos anos 50, surgiu a ideia de aplicar o processo de

evolução natural como um modelo de solução de problemas de otimização, a partir de

sua implementação em computadores [7, 8].

A principal vantagem da associação do método numérico com a computação

bio-inspirada está na possibilidade de resolver problemas pela descrição matemática na

solução, sem a necessidade de indicação explícita dos passos até o resultado, os quais,

certamente seriam específicos para cada caso. No entanto, os algoritmos bio-inspirados

seguem uma sequência de passos até a solução, essas etapas são as mesmas para uma

grande quantidade de problemas, fornecendo flexibilidade e robustez. Sendo assim, a

computação bio-inspirada pode ser vista como a união de técnicas e procedimentos

genéricos e ajustáveis que podem ser aplicados na solução de problemas complexos, os

quais outras técnicas conhecidas não são eficazes ou não se aplicam [7-9].

A computação bio-inspirada envolve uma família de algoritmos inspirados na

teoria da seleção natural de Charles Darwin e também em processos existentes na

natureza, podendo ser definida como a convergência da Ciência da Computação,

Biologia e Matemática para representar processos estocásticos observados na natureza

[7-12]. Suas aplicações são muitas, podendo ser utilizadas na representação de sistemas

e suas interações, e no desenvolvimento de ferramentas computacionais para a

Engenharia. Existem, porém, mecanismos diferenciados de representação e solução de

problemas. Grupos de técnicas associadas biologicamente à computação bio-inspirada

estão apresentados na Figura 1.1.

3

Figura 1.1. Tipos de Algoritmos Bio-Inspirados disponíveis [9, 10].

A realização desse trabalho é proposta com o objetivo de explorar técnicas de

computação bio-inspirada, através de algoritmos desenvolvidos para otimizar

dispositivos fotônicos. Nesse estudo, esses métodos são aplicados na otimização de

bandas fotônicas proibidas (PBG) de Cristais Fotônicos (CF), no projeto e otimização

do acoplamento da potência entre guias de ondas com larguras diferentes, também entre

guias de ondas contínuos e segmentados.

A escolha dos algoritmos bio-inspirados se justifica [13-18] pelos seguintes

motivos:

Otimizações com convergência eficiente;

Flexibilidade de aplicação em diferentes problemas de diversas áreas;

Boa integração com os métodos numéricos utilizados no eletromagnetismo

computacional;

Melhorias no desempenho de otimizações em eletromagnetismo computacional,

através da grande quantidade de recursos a serem explorados e otimizados;

Possibilidade de junção entre mais de um tipo de algoritmo bio-inspirado,

aproveitando as vantagens de cada um deles, o que aumenta o espaço de busca, a

diversidade das soluções e a convergência dos resultados (Híbridos).

Algoritmos Bio-Inspirados

Redes Neurais

Inteligência Coletiva

Sistemas Imunológicos Artificiais

Algoritmos Evolucionários

•MLP – Multi-Layer Perceptrons•RBF – Radio Basis Function Net•SOM – Self Organizing Maps•ARTMap

•Colônia de Formigas•Algoritmos de Enxames dePartículas - PSO

•AG – Algoritmos Genéticos•PG – Programação Genética•PE – Programação Evolutiva•Estratégias Evolucionárias

Evolução Diferencial

•Algoritmos de Expansão Clonal•Algoritmos de Seleção Negativa•Algoritmos de Redes – Imune Contínua e Imune Discreta

•Evolução Diferencial

4

A computação bio-inspirada tem como desvantagem a não garantia de

convergência para uma solução ótima global, entretanto, os resultados das otimizações,

utilizando essa técnica são satisfatórios devido à sua flexibilidade, possibilidade de

implementação de etapas e funções (recursos) que podem auxiliar na sua convergência

[10, 19].

A utilização da computação bio-inspirada para a otimização de dispositivos de

óptica integrada traz como alternativa o desenvolvimento de algoritmos, que

possibilitem a obtenção de novos e mais complexos dispositivos [10, 12-18], como, por

exemplo, dispositivos baseados em cristais fotônicos e tapers para acoplamento em

guias com estruturas segmentadas [18-32]. Os cristais fotônicos são utilizados em

consequência da sua ampla aplicação nas comunicações ópticas e na fotônica, tais

como: demultiplexadores, cavidades ressonantes, filtros, fibras, guias de onda, entre

outros. Além disso, a propagação de luz nessas estruturas cristalinas ocorre através das

bandas fotônicas proibidas, ou seja, apenas na região de interesse, possuindo menos

perdas por radiação [33].

Os cristais fotônicos podem ser compostos por materiais anisotrópicos, com a

consequente vantagem de se trabalhar com índices de refração diferentes para a mesma

estrutura, dependendo da polarização dos campos eletromagnéticos. Uma forma de

otimizar cristais fotônicos, implica em obter estruturas que apresentem uma maior

banda fotônica proibida (PBG) para os modos de propagação desejados, tanto com

campo transversal elétrico (TE) quanto para o campo transversal magnético (TM), que

são faixas de frequências nas quais a luz não se propaga em nenhuma direção do cristal.

Maximizar a PBG permite aumentar a largura da banda de operação, ou seja,

ampliar a quantidade de canais que podem ser utilizados nas comunicações ópticas [33].

Para a multiplexação DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing), com

espaçamento de canais de 0,8 nm, a quantidade de canais que um guia baseado em

cristais fotônicos suportaria pode ser calculada da seguinte maneira: a) utilizando o

comprimento de onda do LED (emissor de luz) λ = 1,55µm, pode-se encontrar o valor

da frequência média ( mediaf ) entre a frequência inferior ( inferiorf ) e a frequência superior (

superiorf ) da banda proibida do cristal otimizado, com esse valor, pode se determinar a

constante de rede do cristal (a):

2

a aV

c

(1.1)

5

na qual é a frequência angular, V é a frequência normalizada e c é a velocidade da luz

no vácuo [33]; b) a partir do valor da constante de rede e da Equação (1.1), encontram-

se os comprimentos de onda inferior inferior( ) e superior superior( ) ; c) logo, para obter a

quantidade de canais encontra-se a diferença = superior inferior( ) e divide o

resultado pelo valor do espaçamento desejado, Equação (1.2), que nesse caso foi de

0,8nm.

A PBG absoluta (ou completa) em um cristal fotônico acontece quando o mesmo

é projetado para possuir bandas proibidas para ambas as polarizações (TE e TM),

fazendo com que o dispositivo funcione independente da polarização [33].

Nesse trabalho é apresentado o uso da computação bio-inspirada, através dos

algoritmos desenvolvidos em conjunto com o método dos elementos finitos no domínio

da frequência (FEM), para resolver o problema inverso da banda fotônica proibida de

cristais fotônicos, compostos de materiais isotrópicos e anisotrópicos. Problema esse,

em que são considerados arranjos triangulares e quadrados para os modos TE e TM

separadamente e também o cálculo da PBG absoluta ou completa entre os modos TE e

TM, simultaneamente.

É apresentado também o uso da computação bio-inspirada na otimização da

eficiência de acoplamento entre guias de ondas com diferentes tamanhos e tipos. Para

isso, sabe-se que o estudo da óptica integrada permite compreender que a luz é

confinada em guias de onda dielétricos, através do guiamento pelo índice de refração,

ou através da banda fotônica proibida em um cristal fotônico (CF) [1-6, 33]. Um guia de

ondas convencional planar e contínuo (CWG) confina a luz no núcleo, o qual possui

índice de refração mais elevado do que o do revestimento que está ao seu redor.

No entanto, esse alto contraste de índice de refração (Δn) no CWG resulta em

uma grande dispersão devido às imperfeições das paredes de contorno do núcleo-

revestimento [34], logo, uma forma eficiente de reduzir a dispersão nesse tipo de guia

pode ser com a área do núcleo suficientemente pequena de forma que possibilite

deslocar o modo do guia de onda, de tal forma, que o campo na fronteira núcleo-

revestimento seja reduzido [34-36]. Porém, existem estudos prévios como o de Bock et

superior inferior

0,8 0,8Canais

nm nm

(1.2)

6

al. [35], que apresentam um tipo de guia de ondas que são periodicamente segmentados

(PSW) e que em trabalhos como [37-40] utilizaram particularizações no intuito de

encontrar o CWG equivalente de um guia periodicamente segmentado reto. Em Bock et

al [28] uma das vantagens em se utilizar os guias de ondas periodicamente segmentados

(PSW) retos é que as perdas por espalhamento, devido à imperfeições de fabricação da

parede lateral, são reduzidas porque o modo é deslocado do núcleo do guia, diferente do

que acontece com o guia do tipo CWG [34, 35, 41]. Ao pensar na aplicação dessas

estruturas convencionais (CWG) e não convencionais (PSW), encontramos um

problema associado ao acoplamento entre esses guias de ondas com características e

propriedades diferentes. Como acoplar luz (potência) entre guias do tipo CWG e PSW,

com diferentes tamanhos e materiais, com eficiência e menores perdas? Na prática são

utilizadas estruturas conhecidas como tapers ou acopladores de guias de ondas

dielétricos, que conectam diferentes estruturas ópticas tentando manter o máximo de

eficiência [41].

O taper consiste em um guia de ondas óptico, que varia seu formato ao longo do

seu comprimento (desde a sua entrada até a sua saída) e é utilizado desde 1982 [42].

Esse dispositivo pode ser utilizado, principalmente, para acoplar a luz entre guias de

ondas com diferentes seções transversais. Para tapers com comprimentos longos, a luz

pode ser acoplada com baixas perdas de potência de um guia para o outro [21, 36, 42],

ou seja, regime adiabático de acoplador de guias de onda. Um problema com esse tipo

de estrutura ocorre a medida em que é reduzido o seu tamanho (exigência da fotônica,

óptica integrada e dos custos de projeto) e consequentemente, aumentam-se as perdas de

potência entre os guias.

Em busca de uma solução para essa questão, os algoritmos bio-inspirados foram

também aplicados com o objetivo de maximizar a eficiência de acoplamento entre

guias, ocupando pouco espaço (com tamanhos reduzidos), com diferentes configurações

de tapers (contínuos e segmentados), redução das reflexões por acoplamento e com

esforço computacional reduzido.

Assim, são apresentados nesse trabalho, alguns algoritmos bio-inspirados

desenvolvidos e que foram associados (acoplados) a um programa FEM-2D [20, 43, 44]

e o software GiD® [45], com objetivo de encontrar estruturas otimizadas de

acopladores de guias ópticos (tapers), através do ajuste de suas formas (caso contínuo) e

da largura dos segmentos (caso segmentado), visando a redução das perdas por

acoplamento da potência e redução das reflexões.

7

A partir da análise e estudo de diferentes técnicas de computação bio-inspirada

encontrados na literatura [7-20, 22-25, 46-51], foram implementados algoritmos AG e

SIA que, com o passar do tempo e do uso, sofreram modificações, adicionando novas

e/ou removendo etapas de processamento em seus códigos. Modificações essas que

resultaram em algoritmos mais eficientes que os iniciais desenvolvidos e serão

apresentados seus respectivos resultados em diferentes aplicações. Os resultados obtidos

utilizando os códigos desenvolvidos são comparados com resultados existentes na

literatura, tendo como objetivo a validação do uso do método e a verificação da

eficiência dos algoritmos.

O projeto de dispositivos fotônicos é um tema importante no desenvolvimento

de sistemas atuais de telecomunicações, principalmente, visando atender as crescentes

necessidades de comunicação em todo o mundo, impulsionadas pela complexidade e

exigência dos serviços oferecidos como a Internet, TV, telecomunicações, etc. O

número de usuários da Internet, considerando que uma pessoa pode usar vários serviços

com contas diferentes, é outro fator que exige cada vez mais uma largura de banda

maior. Essa largura é disponibilizada pelos sistemas de alto desempenho, criando a

necessidade de fabricação de dispositivos ópticos mais eficientes e com tamanhos mais

reduzidos.

Essa importância é refletida no desenvolvimento de ferramentas de projeto que

possam tratar esses problemas de forma mais simples. Por isso, essa pesquisa contribui

com algoritmos eficientes para otimizar estruturas fotônicas, com o uso de computação

bio-inspirada, que possam de alguma forma, futuramente, contribuir como núcleo nas

ferramentas computacionais de novos projetos dessa área.

O uso de métodos computacionais na otimização de dispositivos fotônicos não

requer que o usuário seja um especialista em óptica integrada/fotônica/microondas para

realizar qualquer ajuste manual, reduzindo o custo do projeto. Em vez disso, os

algoritmos permitem ao usuário projetar dispositivos com base nas especificações de

desempenho desejadas para cada tipo de dispositivo.

Apesar de existirem outros métodos e algoritmos que, de forma analítica

aproximada solucionem problemas envolvendo dispositivos fotônicos, ainda assim são

necessárias novas abordagens, pois o projeto de tais dispositivos continua sendo

complexo de se conceber de forma eficiente com esforço computacional e custos

financeiros reduzidos. Essa complexidade se justifica por apresentarem dimensões cada

8

vez mais reduzidas, alto custo financeiro e esforço computacional, além de não

possuírem soluções ou mesmo algoritmos eficientes.

Para o processo de otimização das PBG’s dos cristais fotônicos com materiais

isotrópicos e anisotrópicos realizados nesse trabalho, segue a sequência de passos

apresentada na Figura 1.2, a qual é iniciada pelos algoritmos bio-inspirados através da

geração aleatória da população inicial que corresponde ao preenchimento do material

(isotrópico ou anisotrópico) na malha da célula unitária do cristal fotônico, concebida

com o auxílio do programa computacional GiD® [45]. Em seguida, os dados obtidos a

partir dessa malha são avaliados através do programa baseado no método dos elementos

finitos e novamente utilizados nos algoritmos bio-inspirados desenvolvidos com o

intuito de buscar por estruturas complexas com maior PBG. Por último, o cálculo dos

campos dessas estruturas resultantes é realizado novamente e caso o critério de parada

seja satisfeito o cristal otimizado é encontrado.

Figura 1.2. Processo de otimização dos Cristais Fotônicos desenvolvido com uso dos Algoritmos Bio-

Inspirados.

Para a otimização do acoplamento da potência entre guias de ondas, com

diferentes espessuras e entre guias contínuos e segmentados, a sequência das etapas do

processo de otimização são apresentadas na Figura 1.3. O algoritmo bio-inspirado gera

aleatoriamente dados das possíveis configurações dos dispositivos, em seguida, esses

dados, gerados aleatoriamente, são utilizados para a criação da estrutura e malha dos

elementos finitos no software GiD®, após a geração da malha é utilizado o programa

FEM-2D [20, 43, 44] para a avaliação da eficiência das estruturas resultantes através do

cálculo dos campos nas mesmas. Na sequência os algoritmos bio-inspirados utilizam

estas informações no intuito de buscar a melhor solução (estrutura com melhor

eficiência de acoplamento) repetindo este processo até que o critério de parada seja

satisfeito e a melhor estrutura otimizada seja encontrada.

9

Figura 1.3. Processo de otimização do Acoplamento entre Guias por meio de Algoritmos Bio-Inspirados.

Como citado anteriormente, o tema aqui proposto é de interesse atual e os

resultados obtidos são passíveis de publicação. Quanto à formação de recursos

humanos, as atividades se justificam na formação e habilitação para que se possibilite

trabalhar com técnicas convencionais de modelagem, assim como conhecimento e

domínio das técnicas de computação evolutiva.

1.2. Objetivos Gerais

O objetivo principal desse trabalho é desenvolver algoritmos bio-inspirados

(AG, Evolução Diferencial (ED), SIA) eficientes (menor tempo de processamento e

convergência) e flexíveis para serem utilizados na otimização de dispositivos fotônicos

no domínio da frequência.

Otimizar dispositivos fotônicos, visando melhorar as características de

transmissão, além da redução do tamanho físico dos mesmos com menores custos e

recursos computacionais possíveis.

1.2.1. Objetivos Específicos

Através desse estudo são promovidas soluções computacionais integradas com

sofisticados recursos e métodos para a obtenção de ferramentas flexíveis, com custos

financeiros e computacionais reduzidos. Sendo assim, os objetivos específicos desse

trabalho são:

Implementar algoritmos para a otimização de estruturas fotônicas, flexíveis e

eficientes, com esforço computacional reduzido e de fácil manipulação.

A otimização das bandas fotônicas proibidas (PBG) de cristais fotônicos

bidimensionais com arranjos quadrados e triangulares para polarizações TE e

TM, com material isotrópico através de algoritmos bio-inspirados (AG, SIA)

implementados. A realização dessas otimizações têm como objetivo validar os

10

algoritmos desenvolvidos e demonstrar a eficiência dos mesmos, através de

comparação com resultados encontrados na literatura [14].

Aprimoramento dos algoritmos desenvolvidos e validação, através da

otimização da PBG absoluta de cristais fotônicos compostos por materiais

isotrópicos e anisotrópicos e a comparação dos resultados com os encontrados

na literatura.

Variação dos principais parâmetros dos algoritmos desenvolvidos a fim de se

obter a melhor configuração dos mesmos para cada tipo de problema analisado.

Aplicação dos algoritmos bio-inspirados, desenvolvidos em associação com o

método dos elementos finitos no domínio da frequência, no projeto de diferentes

dispositivos fotônicos como: guias de onda, filtros, acopladores de guias

(tapers), guias segmentados, acopladores direcionais, multiplexadores, divisores

de potência, guias de cristais fotônicos, entre outros dispositivos.

No presente trabalho realizou-se uma pesquisa bibliográfica, na qual os resultados já

divulgados na literatura foram coletados e utilizados como referencial de validação e

comparação. Coletaram-se também resultados obtidos por simulações, nas quais as

técnicas de computação bio-inspirada (algoritmos desenvolvidos) foram aplicadas e

validadas a partir de resultados previamente obtidos durante a revisão bibliográfica e/ou

através de simulações.

As atividades realizadas nesse trabalho foram divididas em:

• Aquisição de dados sobre computação evolutiva, algoritmos bio-inspirados, cristais

fotônicos, guias ópticos, acopladores de guias ópticos, guias segmentados, dentre outros

conteúdos importantes, obtidos através de simulações eletromagnéticas, encontrados em

publicações de revistas, livros e periódicos especializados (Revistas da IEEE

(International Electrical and Electronics Engineering), OSA (Optical Society of

America), AIP (American Institute of Physics), IET Optoelectronics, etc).

• Concepção dos algoritmos bio-inspirados (AG, ED e SIA), que são analisados com

diferentes topologias e arquiteturas para obter a configuração mais eficiente. Entende‐se

por eficiência a relação entre o comportamento (se converge ou não), complexidade,

memória, esforço computacional e tempo de processamento dos algoritmos. São

utilizados algoritmos clássicos disponíveis na literatura e algoritmos implementados

durante o desenvolvimento desse trabalho.

11

1.3. Contribuições do Trabalho

-Concepção de algoritmos para otimização de dispositivos fotônicos baseados

em computação bio-inspirada (AG, SIA e ED), com introdução de novas etapas em um

mesmo algoritmo, sendo que os encontrados na literatura realizam separadamente as

etapas de mutação, seleção, entre outras, como sub-algoritmos;

-Análise do desempenho com a variação dos principais parâmetros dos

algoritmos concebidos, evidenciando o impacto desses recursos nas aplicações

abordadas e tornando-os adaptáveis, flexíveis e eficientes, explorando novos operadores

e mecanismos de seleção, os quais influenciam na convergência dos algoritmos;

-Otimização da banda fotônica proibida de cristais fotônicos compostos de

materiais isotrópicos e anisotrópicos para encontrar estruturas de cristais fotônicos com

PBG absoluta maior que as encontradas na literatura, e um teste do impacto da

disposição do material nessas estruturas cristalinas, através da remoção de alguns

elementos e calculando a PBG para comparação com a otimizada.

-Otimização da eficiência de acoplamento entre guias de ondas, através da

inserção de tapers baseados em guias contínuos e segmentados (estruturas periódicas

com o período menor que um comprimento de onda em guias de onda dielétricos);

-Estruturas otimizadas e eficientes que podem ser utilizadas em chips fotônicos, como

guias, substrato ou revestimento, acopladores, filtros, etc.

1.4. Organização do Trabalho

No Capítulo 2, são apresentadas as fundamentações teóricas das bandas

proibidas absolutas de cristais fotônicos bidimensionais e dos acopladores de guias de

ondas (tapers), que serão otimizados nesse trabalho, juntamente, com a formulação

FEM para as bandas proibidas dos cristais fotônicos e para o cálculo do campo e da

eficiência de acoplamento para os tapers.

No Capítulo 3, são apresentadas as fundamentações teóricas dos algoritmos bio-

inspirados (AG, SIA e ED), juntamente com os passos necessários para a sua

implementação e são apresentados também os algoritmos desenvolvidos e

implementados, suas arquiteturas e a análise das aplicações realizadas na área de

Fotônica.

12

No Capítulo 4, são apresentados os resultados encontrados na otimização de

PBG de cristais compostos por silício e ar, a PBG absoluta de cristais compostos por

material isotrópico e anisotrópico e a eficiência de acoplamento, utilizando acopladores

de guias (tapers), os quais foram publicados em congressos nacionais e internacionais,

juntamente com os resultados encaminhados para a publicação em periódicos.

No Capítulo 5, são apresentadas as conclusões dessa pesquisa e as sugestões de

trabalhos futuros.

13

Capítulo 2

2. Dispositivos Fotônicos Utilizados nesse Trabalho

Neste capítulo é apresentada uma revisão da literatura sobre cristais fotônicos

bidimensionais, suas propriedades, características e o seu respectivo modelo em FEM-

2D, bem como a teoria de acoplador de guias de ondas ópticos (tapers) juntamente com

o seu modelo em FEM-2D utilizado para o cálculo das potências. Essas são as estruturas

propostas para serem otimizadas nesse trabalho.

2.1. Cristais Fotônicos

Que tipo de material pode proporcionar o controle completo sobre a propagação da luz

[33]?

Para responder a essa questão é feita uma analogia ao sucesso com materiais

eletrônicos. Um cristal é um arranjo periódico, Figura 2.1, de átomos ou moléculas. O

padrão com o qual os átomos ou moléculas são repetidos no espaço é chamado de

arranjo cristalino. O cristal apresenta um potencial periódico a uma propagação através

do elétron, e ambos os constituintes do cristal e da geometria do arranjo ditam as

propriedades de condução do cristal. Importante, porém, o arranjo também pode proibir

a propagação de algumas ondas. Pode haver lacunas (gaps) na estrutura da banda de

energia do cristal, o que significa que os elétrons são proíbidos de se propagarem com

certas energias em determinadas direções. Se o potencial do arranjo (lattice) é forte o

suficiente, a diferença pode se estender para cobrir todas as direções de propagação

possíveis, resultando em um gap completo [33], como por exemplo, um material

semicondutor que possui uma banda proibida completa entre a valência e a condução de

bandas de energia.

14

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 2.1. Cristal Fotônico, (a) e (d) unidimensional, (b) e (e) bidimensional e (c) e (f) tridimensional

[33, 52-54].

A analogia óptica é o cristal fotônico, no qual o potencial periódico se deve a uma

estrutura de meios dielétricos macroscópicos ao invés de átomos. Se as constantes

dielétricas dos materiais no cristal são suficientemente diferentes e se a absorção da luz

pelos materiais é mínima, então as refrações e reflexões da luz de todas as interfaces

podem produzir muitos dos mesmos fenômenos para fótons (modos de luz), da mesma

forma que o potencial atômico produz para os elétrons.

Um cristal fotônico, estrutura periódica, com baixas perdas dielétricas, é uma

solução para o problema de manipulação e de controle óptico. Em particular, pode-se

projetar e construir cristais fotônicos com banda fotônica proibida, impedindo que a luz

se propague em determinadas direções com frequências específicas, isto é, de uma certa

faixa de comprimentos de onda, ou "cores", de luz [33].

Para aprofundar esse conceito foram considerados dois exemplos de dispositivos

diferentes, que são comumente utilizados (os guias de onda metálicos e espelhos

dielétricos) e se relacionam com os cristais fotônicos. As cavidades metálicas e os guias

de onda são amplamente utilizados para controlar a propagação em microondas. As

paredes de uma cavidade metálica não permitem a propagação de ondas

eletromagnéticas com frequências abaixo de um determinado limiar e um guia de onda

metálico permite a propagação apenas ao longo de seu eixo. Esses mesmos recursos,

15

utilizados para o controle da propagação, seriam extremamente úteis para ondas

eletromagnéticas com frequências fora do regime de microondas, como é o caso da luz

visível. No entanto, a energia da luz visível é rapidamente dissipada dentro de

componentes metálicos, o que torna esse método de controle óptico impossível de se

generalizar [33].

Cristais fotônicos permitem que as propriedades úteis de cavidades e guias de onda

sejam generalizadas e dimensionadas para abranger uma ampla gama de frequências. É

possível construir um cristal fotônico de uma determinada geometria com dimensões

milimétricas para controle de microondas ou com dimensões micrométricas para

controle infravermelho.

Outro dispositivo utilizado é um espelho óptico dielétrico multicamadas [33], como

um amontoado (stack) de quarto de ondas, consistindo de camadas alternadas de

materiais com constantes dielétricas diferentes. A luz de comprimento de onda

adequada, quando incidente sobre um material em camadas, é completamente refletida.

A razão é que a onda de luz é parcialmente refletida em cada interface de camada e, se o

espaçamento é periódico, as múltiplas reflexões da onda incidente interferem

destrutivamente dentro do material. Esse fenômeno é conhecido e forma a base de

muitos dispositivos, incluindo espelhos dielétricos, filtros dielétricos Fabry-Perot e

lasers de realimentação distribuída [33].

Todos os cristais que contêm baixas perdas dielétricas, pela definição [33], são

cristais fotônicos unidimensionais, Figuras 2.1(a) e 2.1(d), pois são periódicos em uma

dimensão. Mesmo o mais simples desses cristais fotônicos pode ter propriedades

surpreendentes, como, por exemplo, uma estrutura de múltiplas camadas, que pode ser

projetada para refletir a luz incidente a partir de qualquer ângulo e com qualquer

polarização, sendo que a reflexão pode ser organizada apenas para incidência quase

normal, ou seja, um refletor omnidirecional.

Se, numa faixa de frequências, um cristal fotônico não permite a propagação de

ondas eletromagnéticas de qualquer polarização (viaja em qualquer direção a partir de

qualquer fonte), isso significa que o cristal possui uma banda fotônica proibida

completa [33].

Um cristal com uma banda proibida completa será, obviamente, um refletor

omnidirecional. O inverso não é necessariamente verdadeiro, pois o meio dielétrico em

camadas mencionado possui interfaces de materiais somente ao longo de um eixo,

16

possibilitando a existência de um gap completo, podendo ser projetado para exibir a

reflexão omnidirecional apenas para fontes de luz muito longe do cristal.

2.1.1. Cristais Fotônicos Bidimensionais

Em um cristal fotônico, a luz que atravessa o mesmo é espalhada pela geometria

periódica, sendo refratada e parcialmente refletida nas interfaces entre os materiais. O

padrão resultante das ondas será reforçado ou cancelado, dependendo do comprimento

de onda da luz, do índice de refração dos materiais, da sua direção de propagação

através do cristal, do tamanho e arranjo das estruturas (geometria). Logo, a partir dessas

etapas (iterações), surge a banda fotônica proibida [33].

A banda fotônica proibida (PBG) é uma faixa de frequências em que a luz não se

propaga, sendo uma banda de rejeição onde a luz é altamente refletida. Quanto maior o

seu valor, maior o número de canais WDM (wavelength division multiplexing) que

podem ser suportados ou utilizados em comunicações ópticas [33, 55],ou seja, pode ser

utilizada para o guiamento e a confinação da luz através de defeitos nessas estruturas.

A utilização de cristais fotônicos se justifica devido à sua ampla aplicação em

dispositivos, tais como: demultiplexadores, cavidades ressonantes, filtros, fibras,

junções Y e T, guias com curvaturas de 60º e 90º, interferômetros Mach-Zehnder,

divisores de potências, entre outros [33, 56-59].

Modelar essas estruturas traz a vantagem de se trabalhar com índices de refração

diferentes para a mesma estrutura, dependendo da polarização dos campos

eletromagnéticos para o caso de materiais anisotrópicos [15,19, 26-30]. E, além disso, a

propagação de luz nessas estruturas cristalinas possui menos perdas por radiação, já que

ocorre a emissão de luz apenas na região de interesse.

2.1.2. Análise dos Arranjos Cristalinos

Devido à periodicidade e simetria das estruturas cristalinas [33], discretiza-se

apenas uma célula unitária para cada tipo de arranjo (quadrado e triangular), Figura 2.2,

e se aplicam condições de contorno periódicas para tornar iguais os campos do topo e da

parte inferior [14, 19, 33, 60], e os campos dos lados, esquerdo e direito, da célula

unitária Figuras 2.2(a) e 2.2(d). Os valores de xk e yk (constantes de propagação nas

direções x e y, respectivamente) são restritos à primeira região de Brillouin, Figuras

2.2(b) e 2.2(e). A estrutura de bandas é calculada ao longo das fronteiras dessas regiões

17

sombreadas [3].

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 2.2. (a) Célula unitária do arranjo quadrado, (b) região de Brillouin, (c) estrutura de banda fotônica

para um arranjo quadrado formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em ar e r/a=0,35, (d) célula

unitária do arranjo triangular, (e) região de Brillouin e (f) estrutura de banda fotônica para um arranjo

triangular formado por cilindros dielétricos com n=3,6 em ar e r/a=0,33, [14, 19, 60].

As regiões sombreadas (triângulo) nas Figuras 2.2(b) e 2.2(e) correspondem à

região (ou zona) irredutível de Brillouin, que define a região do espaço de vetores de

onda e que determina os modos de propagação, limitada para o arranjo quadrado em

Γ=(0,0)π/a, X=(1,0)π/a e M=(1,1)π/a , e por Γ=(0,0)π/a, K=(2/3, 2 3 3 )π/a e M=(0,

2 3 3 )π/a para o arranjo triangular.

Nas Figuras 2.2(c) e 2.2(f) são apresentados os comportamentos dos

vetores de onda para os modos TE e TM e as curvas de dispersão (que permitem

determinar as características das bandas proibidas, caso existam, frequência central e

largura de banda com relação a variação dos parâmetros eletromagnéticos da estrutura

sob análise) em um cristal com arranjo quadrado e triangular, respectivamente. Nelas,

são apresentadas as relações de dispersão entre a frequência normalizada e o vetor de

onda k. A obtenção de tais bandas é um processo semelhante ao da teoria da física do

estado sólido, isto é, uma equação mestre (equação de onda de Maxwell) é transformada

y

x

a

a

r

2 a

2 a

M M

M M

X

X

X

X

yk

xk

s

Fre

qu

ênci

a N

orm

aliz

ad

a

Vetor de Onda

i

PBG

a

y

x

a

r

yk

xk

M

M

M

M

KK

M

M

KK

KK

4 3a

4 3a

Fre

qu

ênci

a N

orm

aliz

ad

aVetor de Onda

s

i

PBG

18

em uma equação de autovalores com condição de contorno periódica e resolvida através

do cálculo. Devido ao tratamento rigoroso da propriedade vetorial de campos

eletromagnéticos, bandas fotônicas predizem com precisão o comportamento da luz.

É visível, através das faixas em destaque, que para esses casos existem bandas

fotônicas proibidas (PBG) entre as frequências normalizadas de 0,2-0,24 e 0,2-0,27,

respectivamente. O tamanho da banda fotônica proibida de um cristal fotônico (arranjo

quadrado ou triangular), faixa é descrito como gap-to-midgap e é encontrado através

[33]:

s i

m m

GMR

(2.1)

no qual, cé a frequência superior, i é a frequência inferior e m é o valor médio entre

s e i dado por 2m s i , Figuras 2.2(c) e 2.2(f). A Equação (2.1) é a

função objetivo utilizada nas otimizações e a responsável pelo cálculo das banda

proibidas das estruturas resultantes.

2.1.3. Formulação por Elementos Finitos

A formulação FEM utilizada para o cálculo da banda fotônica proibida dos

cristais fotônicos bidimensionais, tratando separadamente os modos TE e TM, foi

desenvolvida em [3] e está apresentada aqui. A estrutura cristalina é bidimensional,

janela computacional no plano xy. A propagação acontece na direção paralela a este

plano e o campo não varia na direção z, 0z

[3].

2.1.3.1. Polarização H (Modos TE)

Partindo das equações de Maxwell para o campo magnético temos:

2

0

2

10r

r

H Hc

(2.2)

onde H é o campo magnético, r é a permeabilidade magnética relativa, e r é o tensor

permissividade elétrica relativa, que é dado por:

19

0

0

0 0

xx xy

r yx yy

zz

(2.3)

r está relacionado com o índice de refração n através da relação 2

r n . Como não

existe variação na direção z, o operador é descrito como,

ˆ ˆx y

x y

(2.4)

escrevendo 1

rv

, obtêm-se:

0 01

0 0

0 0 10 0

xx xy xx xy

yx yy yx yy

xx yy xy yx

zz

zz

v v

v v v

v

em um meio não magnético 1,0r . Com isso, a Equação (2.2) pode ser escrita como:

2

0

2v H H

c

(2.5)

Substituindo o operador e simplificando, é obtido o seguinte conjunto de três

equações, uma para cada componente,

2

0

2

y xzz zz x

H Hv v H

y x y y c

(2.6)

2

0

2

y xzz zz y

H Hv v H

x x x y c

(2.7)

2

0

2

z z z zyy xx yx xy z

H H H Hv v v v H

x x y y x y y x c

(2.8)

Desse conjunto de equações, resolve-se apenas a Equação (2.8), pois a mesma

corresponde à componente do campo magnético H na direção z.

20

2.1.3.2. Polarização E (Modos TM)

Partindo das equações de Maxwell para o campo elétrico, chega-se a:

2

0

2

10r

r

E Ec

(2.9)

onde E é o campo elétrico, r é a permeabilidade relativa. Em um meio não magnético

1,0r , com isso, a Equação (2.9) pode ser escrita como:

2

0

2rE Ec

(2.10)

Substituindo o operador e simplificando, é obtido o seguinte conjunto de três

equações, uma para cada componente,

2

0

2

y xxx x xy x

E EE E

y x y y c

(2.11)

2

0

2

y xyx x yy y

E EE E

x x x y c

(2.12)

2

0

2

z zzz z

E EE

x x y y c

(2.13)

Desse conjunto de equações, resolve-se apenas a Equação (2.13), pois a mesma

corresponde à componente do campo elétrico E na direção z.

As Equações (2.8) e (2.13) são as duas equações resultantes para os modos TM e

TE, respectivamente.

Os campos E e H são escritos da seguinte forma:

e yxjk yjk x

z zE e e

(2.14)

yxjk yjk x

z zH h e e

(2.15)

onde e z e zh são as envoltórias de variação lenta dos campos elétrico e magnético,

respectivamente, e xk e yk são as constantes de propagação na direção x e y,

respectivamente. Substituindo estas expressões nas Equações (2.8) e (2.13), obtêm-se:

21

2

0

2

e eez z

zz zx x y y c

(2.16)

2

2

yy zz zyy x yy x x yy z

xx zz zxx y xx y y xx z

yx zz zyx x yx y x y yx z

zxy y xy

v hh hv jk v jk k v h

x x x x

v hh hv jk v jk k v h

y y y y

v hh hv jk v jk k k v h

x y y x

hv jk v

y x

2

0

2

xy zzx x y xy z z

v hhjk k k v h h

y y c

(2.17)

Aplicando-se o método convencional de Galerkin [3, 60] a estas equações, e

discretizando o domínio computacional, usando seis nós isoparamétricos com elementos

triangulares de segunda ordem [60, 61] obtém-se um problema de autovalores dado por,

2

A Bc

(2.18)

no qual, o vetor φ é o campo ez ou o campo hz. Para os modos TE, as matrizes [A] e

[B] são dadas por,

T T T

yy xx xy

e

T T

T

yx x yy

T T

T T

y xx x yx xy

y xy

N N N N N NA v x y v x y v x y

x x y y x y

N N N Nv x y jk v N N x y

y y x x

N N N Njk v N N x y jk v N v N x y

y y y y

Njk v

2 2

T

T T

yx x yy y xx x y xy x y yx

NN v N x y k v k v k k v k k v N N x y

x x

(2.19)

T

e

B N N x y (2.20)

Para os modos TM, as matrizes [A] e [B] são dadas por,

22

2 2

2

2

T T

T

x

e

T T

y x y

N N N N NA x y x y jk N x y

x x y y x

Njk N x y k k N N x y

y

(2.21)

T

zz

e

B N N x y (2.22)

A e B são matrizes esparsas simétricas. A matriz B é real positiva

definida, c

é o autovalor e N é a forma bidimensional do vetor função obtida na

discretização do domínio computacional . As condições de contorno periódicas

impostas são 0 0 0 0, ,x a y x y

e 0 0 0 0, ,x y a x y

para os arranjos quadrados e

0 0 0 0, ,x a y x y

e

0 0 0 0

30.5, ,

2x y x y

para os arranjos triangulares onde pode

ser tanto e z ou zh e a é a constante de periodicidade ou arranjo [3].

Uma propriedade importante das equações de Maxwell, e em particular das

Equações (2.2) e (2.5), é que elas são independentes de escala, ou seja, se todas as

dimensões do sistema são multiplicadas por 10, a solução é exatamente a mesma, com

exceção das frequências, que ficam divididas por 10 [3]. Portanto, pode-se resolver as

equações de Maxwell apenas uma vez e aplicar os mesmos resultados em todas as

escalas das dimensões e da frequência à muitos problemas. Assume-se a periodicidade a

como unidade de comprimento do sistema, e expressam-se todas as distâncias como

múltiplos de a e todas as frequências angulares como múltiplos de 2 c a [3]. Isso

equivale a escrever as frequências como a , sendo o comprimento de onda no

vácuo.

As geometrias (quadrada e triangular) são geradas no programa computacional

GiD® e as bandas proibidas são calculadas através do método dos elementos finitos no

domínio da frequência [14, 19, 60]. Nesse método, o sistema matricial resultante é um

problema de autovalores e autovetores, como apresentado nas Equações (2.19)-(2.22).

23

(a) (b)

Figura 2.3. Modos de propagação no cristal, (a) TE e (TM) [62].

Admitindo que o cristal fotônico seja homogêneo na direção z, e se a

componente kz=0, de forma que a onda se propague estritamente no plano xy, os modos

são classificados em duas polarizações distintas: TE (transversal elétrico) os modos

têm H normal ao plano, então Hz = H(r) e Ez= 0; e TM (transversal magnético), os

modos têm E normal ao plano, então Ez = E(r) e Hz= 0, Figura 2.3.

Como os modos de propagação no cristal são obtidos através da zona de

Brilloun, devido a sua simetria, com a discretização do domínio realizada pelo FEM,

tanto para o arranjo quadrado quanto para o arranjo triangular. Portanto as malhas

correspondentes às células unitárias são apresentadas na Figura 2.4. Sendo que cada

triângulo poderá ser preenchido de material (anisotrópico ou isotrópico) ou ar. Cada

uma dessas malhas possui 20X20 elementos triangulares quadráticos possuindo assim

cada célula unitária 441 nós.

(a) (b)

Figura 2.4. Célula unitária dividida em 200 triângulos, (a) arranjo quadrado e (b) arranjo

triangular.

24

Nessa pesquisa, as malhas da Figura 2.4 geram matrizes de dados, que são

manipulados pelos algoritmos bio-inspirados e servirão como base para a construção

das novas estruturas otimizadas e também para o cálculo dos campos através do FEM.

A configuração interna da célula unitária (disposição do material) é considerada

apresentando a geometria mais arbitrária, não sendo uma estrutura trivial, o que justifica

o uso do método. Em tal caso, é necessário apenas calcular as frequências que definam

as PBG’s em todos os nove (arranjo quadrado) e treze (arranjo triangular) pontos

marcados, porque a máxima e a mínima frequências estão nesses pontos [19, 33].

2.1.4. Materiais Isotrópicos e Anisotrópicos

O material isotrópico é aquele cuja característica básica é possuir o índice de

refração constante, ou seja, a velocidade de propagação da luz, nesse meio, é a mesma

em qualquer direção e é independente da polarização [61, 63-65]. A aplicação de um

campo elétrico em um meio isotrópico induz a uma polarização que é paralela ao campo

aplicado e proporcional à suscetibilidade , a qual é um escalar [66]. Porém, quando o

meio é anisotrópico isso não acontece.

Um meio dielétrico é dito anisotrópico se as suas propriedades macroscópicas

ópticas dependem da direção, ou seja, quando um raio não polarizado é decomposto em

duas componentes polarizadas, chamado de eixo ordinário e o eixo extraordinário.

Nesses materiais, as indicatrizes são representadas por elipsóides de revolução de dois

ou três eixos e cada um desses eixos representa um índice de refração, portanto, para

materiais anisotrópicos o índice de refração não depende somente do material, mas

também da polarização da luz [61, 63-65].

A polarização, representada por P , e o campo elétrico representado por E , são

relacionados através da susceptibilidade elétrica, representada por , a qual é

responsável pela quantificação da influência do campo elétrico sobre a polarização no

material [61, 63-65, 66], dada pela relação,

0P E (2.23)

na qual, 0 é a constante de permissividade elétrica no vácuo.

A susceptibilidade, nos materiais anisotrópicos, tem natureza tensorial [80]:

0 eP E (2.24)

Escrevendo essa expressão na forma matricial tem-se:

25

11 12 13

0 21 22 23

31 32 33

x x

y y

z z

P E

P E

P E

(2.25)

onde 1, 2 e 3 correspondem a x, y e z, respectivamente. O tensor possui nove termos,

no entanto, é possível fazer uma rotação do sistema de coordenadas tal que os elementos

fora da diagonal sejam todos nulos [66]. Nesse novo sistema de eixos, também

chamados de eixos dielétricos principais, as componentes da polarização são:

0 11

0 22

0 33

x x

y y

z z

P E

P E

P E

(2.26)

A permissividade do meio se relaciona com a suscetibilidade na forma:

01 (2.27)

onde é o tensor dielétrico, que possui nove elementos,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(2.28)

onde 1, 2 e 3 correspondem a x, y e z, respectivamente, mas que também pode ter o

número de componentes independentes reduzidas à três, mediante o uso dos eixos

dielétricos principais [66].

O índice de refração do meio é dependente de , portanto o mesmo também

varia com a direção de propagação e com a polarização da luz incidente [66]. Logo, é

possível expressar o tensor do índice de refração conforme a direção do campo elétrico

por:

2

0

ij

ijn

(2.29)

no qual, i=x, y, z e j= x, y, z.

A densidade de energia elétrica para um meio anisotrópico, homogêneo, não

magnético e não absorvedor é dada por:

201 1

2 2 2e i ij j ij i j

ij ij

U E D E E n E E

(2.30)

26

onde D é o vetor deslocamento elétrico, que se relaciona com a polarização e o campo

elétrico da forma:

0D E P (2.31)

D E

(2.32)

2.1.4.1. Elipsóide de Índices

Utilizando os eixos dielétricos principais, pode-se escrever:

j i ij

i

n n

(2.33)

o qual é substituído na Equação (2.30) resulta em:

2 2 2 2 2 2

0

2 ex x y y z z

Un E n E n E

(2.34)

Utilizando a Equação (2.32) na Equação (2.34) obtêm-se:

22 2

0 2 2 22

yx ze

x y z

DD DU

n n n

(2.35)

Admitindo uma superfície onde eU é constante e associando um vetor posição

02 er D U a cada ponto descrito pelo vetor D , pode-se reescrever a Equação

(2.35) como:

2 2 2

2 2 21

x y z

x y z

n n n

(2.36)

Portanto, obtêm-se a elipsóide dos índices de refração (ou indicatriz óptica) que

possui como eixos principais xn , yn e zn , os quais são importantes porque determinam

como uma onda eletromagnética se propaga no meio, como apresentado na Figura 2.5.

Logo, cristais que possuírem três índices de refração principais e diferentes são

chamados de anisotrópico biaxial. Para cristais com certas simetrias, nomeadamente em

um único eixo triplo, quádruplo ou seis vezes a simetria, dois dos índices de refração

são iguais ( x y zn n n ), nesse caso a seção transversal no plano xy é um círculo e os

cristais que possuem esse comportamento são chamados de uniaxiais. Nesse caso, os

27

índices são comumente denotados x y on n n e z en n , os quais são conhecidos

como índice ordinário on e índice extraordinário en .

Figura 2.5. Elipsóide e elipse dos índices de refração [61, 66].

O cristal é dito uniaxial positivo se e on n e uniaxial negativo se e on n . O

eixo z do cristal uniaxial é chamado de eixo óptico. Em alguns cristais com simetrias

ainda maiores aqueles com células unitárias cúbicas. Por exemplo [61, 64], todos os três

índices são iguais e o meio é opticamente isotrópico [61, 64].

O material anisotrópico utilizado nesse trabalho é o telúrio uniaxial, que possui

um modo (polarização) TE e índice de refração ordinário 6,2on . Para o modo

(polarização) TM o índice de refração extraordinário 4,8en . E o material isotrópico

utilizado é o silício com índice de refração 3,476n , sendo que ambos foram imersos

no ar, que possui 1,0n .

2.2. Acopladores entre Guias de Ondas com Características Diferentes

Nesta seção é apresentada uma breve explicação das estruturas propostas e

otimizadas para interconexão entre guias de ondas ópticos (denominadas aqui de tapers)

com diferentes tamanhos, larguras e materiais. Será apresentada também uma proposta

de taper entre guias com diferentes larguras e outra proposta de taper utilizando guias

28

segmentados [20, 43], ambas visando a minimização das perdas e a maximização da

potência acoplada de um guia para o outro (eficiência de acoplamento). Isso é realizado

através da associação dos algoritmos bio-inspirados desenvolvidos em MATLAB®, em

associação com o software GiD®, o qual gera as malhas dos elementos finitos a partir

dos dados obtidos pelo algoritmo bio-inspirado e com o auxilio do programa FEM-2D

[20, 44] que será responsável pelo cálculo dos campos e da potência acoplada nessas

estruturas [43, 44], o qual sua formulação dos elementos finitos 2D no domínio da

frequência é apresentado.

2.2.1. O Taper Contínuo e o Taper Segmentado

O acoplador de guias de onda (taper) é um tipo genérico de guia de ondas óptico

que varia a sua forma ao longo do seu comprimento (distância entre a saída do guia de

onda de entrada até a entrada do guia de saída) na direção z. Em 1982, [42] guias de

ondas contínuos (CWG) foram usados como tapers, no intuito de melhorar a eficiência

de acoplamento da luz de um guia de ondas para o outro, ambos com diferentes larguras

de núcleo (diferentes seções transversais), mas o comprimento dessas estruturas eram

grandes e dependentes da transição adiabática ou regime adiabático de um acoplador de

guias de onda [21, 36]. Porém, se o comprimento do taper for reduzido,

consequentemente aumenta a perda de potência [36].

Figura 2.6. Esquemático do taper contínuo entre os guias de onda L e S.

L

S

Região do Taper

yx

29

Na Figura 2.6, é apresentado o diagrama de blocos da estrutura analisada, que é

denominada taper contínuo, entre dois guias de onda com diferentes tamanhos de

seções transversais (ou núcleos) que serão acoplados, L e S. Os principais objetivos da

utilização de um taper nesse tipo de problema são para reduzir as reflexões com o

acoplamento, melhorar a sobreposição dos modos nas interfaces e reduzir as perdas de

potência.

Uma outra alternativa para se obter uma maior eficiência de acoplamento entre

guias, é a utilização de um guia de onda segmentado (PSW) como taper entre os guias

de ondas. Estudos [20, 34, 35] apresentam que um dos benefícios de se utilizar guias

segmentados retos, ao invés de guias contínuos, é a redução das perdas por

espalhamento devido às imperfeições de fabricação da parede lateral [34, 35].

A possibilidade de manipulação do índice de refração do núcleo do guia de

onda, ao longo do circuito óptico, é uma grande vantagem em se trabalhar com

estruturas PSW's retas, e que pode prover várias aplicações, desde a estabilidade e

confinamento elevado da luz no guia até filtros de modos de ordens superiores [34, 35].

O taper segmentado proposto, Figura 2.7, permite através da redução gradual da

largura dos segmentos da região central, guia PSW, acoplar potência entre os guias de

onda ópticos C e O. Sendo que o guia O é um guia do tipo PSW, o que torna o problema

complexo, porém não impossível de se trabalhar.

Figura 2.7. Esquemático do taper segmentado entre os guias de onda C e O.

O uso de tapers a partir de guias segmentados já foi proposto por Bock et al.

[34], Weissman et al. [38, 67] e Cheben et al. [68], com objetivo de transformar os

modos entre os guias.

Para a modelagem dessas estruturas é utilizado o programa FEM-2D [20, 43, 44,

65], cuja formulação baseia-se no método dos elementos finitos no domínio da

Região do Taper

C O

y

x

30

frequência para calcular os campos, excitar os modos e calcular a potência acoplada

total nos mesmos, a qual é apresentada na próxima subseção.

Figura 2.8. Esquemático do (a) guia reto PSW 2D e (b) o guia CWG equivalente. O índice de

refração neq do guia contínuo equivalente é determinado através da Equação (2.37) [20].

O programa FEM-2D [20, 43, 44, 65] é, dentro de alguns limites de

aplicabilidade, confiável e preciso, particularmente, em estruturas planares e não

uniformes como em guias do tipo PSW da Figura 2.8 (a), na qual Λ é a periodicidade do

PSW, a representa o comprimento do segmento e o duty cicle (ciclo de serviço) η é

definido como a razão entre o comprimento do segmento de alto índice de refração e o

período, η=a/Λ. Para reduzir o domínio computacional e absorver as reflexões

indesejáveis nas fronteiras, com base em um cristal fotônico, camadas perfeitamente

casadas (combinadas) (PML) para guias de onda variando periodicamente, são

utilizadas na análise e no domínio da frequência [67].

yx

Plano de Incidência PML’s

PML’s

a

Λ

w

w

Si

neq

SiO2

SiO2Entrada

da luz

Saída

da luz

(a)

(b)

31

Para comprimentos de onda distantes da banda proibida, uma estrutura de PSW,

como apresentada na Figura. 2.8 (a), é equivalente ao CWG da Figura 2.8 (b) com o

mesmo comprimento e largura, mas com o índice de refração dado por [34, 35, 67, 69,

70]:

neq=nclad+ηΔn (2.37)

na qual, nclad é o índice de revestimento, η é o ciclo de serviço e Δn = nmax-nclad, é o

contraste (diferença) do índice de refração, ou seja, o neq é determinado pela média

espacial dos índices de refração do núcleo do guia de ondas e dos materiais de

revestimento numa escala de comprimento de onda.

2.2.1.1. Equação de Onda Escalar 2-D

Nesta subseção é apresentada a formulação de onda escalar para domínios

bidimensionais, bem como a sua discretização utilizando elementos finitos, os quais são

encontrados com maiores detalhes em [41, 44, 71]. A técnica consiste na aplicação do

FEM em regiões finitas (domínio Ω finito em R2),

que possuem descontinuidades e uma

expansão modal do campo para a representação em guias de onda infinitos às portas de

entrada e saída da região finita. Considera-se também o truncamento das portas usando

PML anisotrópica.

O termo PML anisotrópica surgiu como alternativa à formulação da PML de

Berenger [41] que envolve a modificação da equações de Maxwell. Mas, a abordagem

aqui, se baseia em usar propriedades anisotrópicas dos materiais: permissividade,

permeabilidade, condutividade elétrica e condutividade magnética para descrever a

camada absorvente. Essas propriedades podem ser escolhidas de tal forma que a

interface entre o material anisotrópico e o material da região do domínio computacional

Ω, esquematizado na Figura 2.9, seja perfeitamente casada ou sem reflexões. Logo,

como esse modelo não precisa modificar as equações de Maxwell, a aplicação é

simples, especialmente no domínio da frequência [41].

Essa técnica permite a simulação de dispositivos de área maior, o que reduz

possíveis problemas de redução significativa de domínio [41, 68].

32

Figura 2.9. Estrutura conceitual para a análise dos elementos finitos FE. A junção é dentro da região Ω, a

qual pode ser alimentada por até quatro guias de onda de acesso [44].

Considerando uma estrutura óptica 2-D generalizada de geometria arbitrária, de

domínio Ω finito em R2, limitada ou truncada por uma fronteira Γ, como apresentada na

Figura 2.9, na qual a janela computacional está no plano xy e não existe variação na

direção z, 0z

[3, 41, 44]. Por uma questão de simples ilustração, os acessos de

quatro guias são considerados. O limite do domínio Ω é então dado por

1 2 3 4 , Figura 2.9. Para reduzir a janela computacional, é utilizada

uma versão estendida no domínio da frequência de PML's com condutividades

artificiais elétricas e magnéticas de perfil parabólico [44]. São utilizados para um

correto tratamento de guias abertos, PML's juntamente com condições de campo nulo (

0 ) na fronteira Γ.

Encerrando o domínio Ω com PML de natureza anisotrópica [44], os tensores de

permeabilidade e permissividade na região de PML são expressos como:

yx

1 3

4

2

PML’s

Guia de Acesso

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

33

2

0 0

0 0 0 0

0 0 , 0 0

0 0 0 0

y x y x

z z

x z x z

PML PMLy y

z y z y

x x

s s s s

s s

s s s sn

s s

s s s s

s s

(2.37)

na qual 0 e 0 são a permeabilidade e permissividade do espaço livre,

respectivamente, n é o índice de refração, e os valores dos parâmetros de PML , s são

dados pela,

2

1

0

31 ln dentro da regiao de PML

2

1 fora da regiao de PML

tj Rs k n

(2.38)

onde k0=2π/λ é o número de onda no espaço livre, n é o índice de refração, δ é a

espessura das PML, é a distância do início da PML e Rt é o coeficiente de reflexão

teórico [44]. Para a PML perpendicular aos eixos x ou y, 1xs ou s e ys s ou 1, e

para a PML do canto, 1x ys s .

A equação escalar da forma de Helmholtz em coordenadas cartesianas, também

conhecida como equação de onda escalar, que modela a propagação da luz em Ω

apresenta-se como:

2

0 0y

y x

y x

s ps p s k qs

y s y x s x

(2.39)

onde

2

2

, 1 , 1, para modos TE

, 1, , para modos TM

z

z

H p n q

E p q n

e ,n z y é o índice de refração do guia de onda que possui uma variação longitudinal

abrupta em guias segmentados.

Como nesse trabalho é considerado um guia de entrada e um guia de saída a

34

junção da Figura 2.9 e para melhorar o entendimento da formulação apresenta-se a

Figura 2.10, que a representa os dois problemas. Considera-se o plano de incidência Γ,

que é normal ao eixo x, como apresentado na Figura 2.10 e divide-se Ω em dois

subdomínios Ω1 e Ω2.

Figura 2.10. Estruturas utilizadas para a análise dos elementos finitos FE com o domínio computacional e

as regiões da PML.

Dividindo Ω em elementos triangulares quadráticos, o campo dentro de cada

elemento pode ser escrito como:

T

eN (2.40)

na qual N é a função de forma para elementos quadráticos triangulares e é o vetor

nodal para cada elemento.

Considerando a Equação (2.40) e 0 no contorno externo da PML,

montando a matriz para Ω, somando em todos os diferentes elementos, exceto para o

plano de incidência Γ, obtêm-se a seguinte equação matricial:

,1 ,2

'y inc inc

ee z x

sA p N d

s s x x

(2.41)

2

0

e

T T

Tyx z

e z y x z x y

sN N N Ns sA p p k q N N dydx

s s z z s s y y s s

(2.42)

na qual as componentes do vetor são os valores de em todos os pontos nodais de

Ω, estende-se sobre todos os elementos, ' estende-se sobre os elementos

yx

PML’s

Plano de Incidência

1 2

PML’sPlano de Incidência

1 2

35

relacionados a Γ. Γ é um subconjunto de uma dimensão que possui a mesma direção do

vetor unitário de y. O campo na região i ( 1,2i ) é expresso como i .

O campo incidente é definido como inc e o campo espalhado como esp , o

campo i é expresso como ,i esp,ii inc e a condição de continuidade para os

campos eletromagnéticos no plano de incidência é dada por:

,1 ,2esp esp

x x

(2.43)

então a Equação (2.41) pode ser reescrita como:

,1 ,2y inc inc

ee z x

sA p N d

s s x x

(2.44)

Se expressarmos os campos incidentes arbitrários ,1inc e ,2inc usando os

autovalores:

,1 expinc m m m

m

A f y j x (2.45)

,2 expinc m m m

m

A f y j x (2.46)

obtêm-se:

2 m incA j B (2.47)

com

'

Ty

e z xe

sB p N N dy

s s

(2.48)

e inc é o campo incidente na região Γ. mA , mf e m são a amplitude, distribuição

transversal e constante de propagação do modo m, respectivamente, e N

é o vetor

da função de forma no plano incidente Γ.

36

2.2.1.2. Cálculo da Potência

A formulação FEM utilizada para o cálculo da potência, tratando separadamente

os modos TE e TM, foi desenvolvida em [44, 71] e está apresentada aqui.

Consideram-se as equações de Maxwell para coordenadas cartesianas:

E j H (2.49)

H j E (2.50)

Considerando x , y e z vetores unitários nas três direções do domínio cartesiano

3:

ˆ ˆ ˆ

x

y

zx y z

x y zE

j Ex y z

EH H H

(2.51)

ˆ ˆ ˆ , ,

y yx xz zx y z

H HH HH Hx y z j E E E

y z x z x y

(2.52)

Das Equações (2.49) e (2.50), respectivamente, e das Equações (2.51) e (2.52) chega-se

ao seguinte resultado:

yz

x

x zy

y xz

HHj E

y z

H Hj E

z x

H Hj E

x y

(2.53)

yz

x

x zy

y xz

EEj H

y z

E Ej H

z x

E Ej H

x y

(2.54)

37

Como o modelo é bidimensional e 0

z

, o domínio cartesiano reduz-se ao

plano (x,y). Assim, (2.53) e (2.54) reduzem-se às seguintes expressões:

z

x

zy

y xz

Hj E

y

Hj E

x

H Hj E

x y

(2.55)

z

x

zy

y xz

Ej H

y

Ej H

x

E Ej H

x y

(2.56)

São consideradas duas polarizações TE e TM, para as quais algumas

componentes dos campos elétrico e magnético são canceladas em cada caso. Para ondas

TE, , , 0x y zH H E

;, , 0z x yH E E

; para ondas TM, , , 0x y zE E H

;, , 0z x yE H H

.

Logo, as Equações (2.55) e (2.56) são reduzidas para o caso TE:

0

1 1y z

r

E H

x j x x

(2.57)

0

1 1x z

r

E H

y j y y

(2.58)

2

0

1 10z z

r z

r r

H Hk H

x x y y

(2.59)

Para o caso TM:

0

1 1x z

r

H E

y j y y

(2.57)

38

0

1 1y z

r

H E

x j x x

(2.58)

2

0

1 10z z

r z

r r

E Ek E

x x y y

(2.59)

Para o cálculo da potência, defini-se o vetor de Poynting:

zyx

zyx

zyx SzSySx

HHH

EEE

zyx

HES ˆˆˆ

ˆˆˆ

2

1

2

1

(2.60)

onde

2/)( yzZyx HEHES , 2/)( zxxzy HEHES ,

( ) / 2.z x y y xS E H E H

Os domínios bidimensionais utilizados nas simulações dos modelos encontram-

se esquematizados na Figura 2.11. Pode-se observar os subconjuntos in e out

na

direção do vetor unitário de y que serão utilizados para a inserção do perfil do modo e a

leitura da informação da onda de saída, respectivamente.

Figura 2.11. Esquema das estruturas para a análise no FEM-2D e cálculo da potência.

Portanto, a potência na direção de propagação x é dada por:

1 1 1ˆ.

2 2 2x y z z yP E H xd S d E H E H d

(2.61)

Considerando as polarizações dadas pelas Equações (2.57) e (2.58), a Equação

(2.61) reduz-se para a polarização TE:

yx

PML’s

inout

Região de Descontinuidade

PML’s

inout

Região de Descontinuidade

39

2

y z

x

E HS

2

0

1

2

zx z

r

HS H

j n x

(2.62)

e para TM:

2

z y

z

E HS

2

0

1

2

zx z

r

ES E

j n x

(2.63)

Portanto, a potência de uma onda propagando-se na direção x é dada pela

integração no domínio linear transversal a x. Assim, considerando o domínio linear um

subconjunto na direção de y chamado de Γ, as Equações (2.62) e (2.63) podem ser

reescritas, para TE:

0

2

0

1

2

zz

r

Z HP H dy

jK n x

(2.64)

e para TM:

0

2

0

1

2

zz

r

Z EP E dy

jK n x

(2.65)

Supondo que em in da Figura 2.11 coloca-se uma entrada tal que o guia de

onda comporta-se como um guia monomodo, então o campo em in pode ser

representado pela equação:

01

01 01( , ) ( )j x

inH x y A y e

(2.66)

na qual 01 y

é o único modo do guia de onda e 01A é uma amplitude tal que

1inP .

40

Em outo campo pode ser expresso como a combinação linear de ondas como a

da Equação (2.66):

02 12

02 02 12 12( , ) ( ) ( ) ...j x j x

outH x y A y e A y e

(2.67)

Em um guia de onda monomodo apenas o modo fundamental, o primeiro termo

da combinação linear da Equação (2.67), é guiado e os outros termos representam os

modos radiados. Utilizando a condição de ortogonalidade dos modos descritos na

Equação (2.68), pode-se encontrar o coeficiente 02A.

mnnm

r

dyn

222

1

,

nm

nmmn

,0

,1

(2.68)

Se a potência na linha in é

1inP a eficiência de acoplamento é dada por:

0 02 0 02

02 02 02 022 2

0 0

1 1

2 2out out out

r rout out

Z ZP H H dy A A dy

K n K n

2

0 02 02

02

Z A

K

(2.69)

na qual 02 022

1

out

out

r

A H dyn

.

E, portanto a Equação (2.69) pode ser reescrita como:

2

0 02022

0

1

2out

out

r

ZH dy

K n

(2.70)

Porém, se a potência inP não for normalizada, ou seja, o valor da amplitude 01A

não for condicionado para 1inP

, a eficiência de acoplamento é expressa como:

41

2

02 022

01 2

1

1out

in

out

r

in in

r

H dyn

H H dyn

(2.71)

A vantagem de utilizar o FEM-2D, em vez do BPM (método de propagação de

feixes) é que o primeiro permite a modelagem da propagação de ondas em estruturas

PSW como um problema de espalhamento e, consequentemente, também considera a

volta das ondas refletidas. O BPM, por outro lado, é restrito para modelagem de

propagação direta de ondas e quaisquer reflexões posteriores (guiadas ou irradiadas) são

ignoradas [20, 44].

As duas aplicações sugeridas nesse trabalho, otimização da eficiência de

acoplamento de tapers contínuo e segmentado, são realizadas com o auxílio dos

algoritmos bio-inspirados em conjunto com o programa FEM-2D, que possibilita o

cálculo da potência e dos campos na entrada e saída das estruturas otimizadas

resultantes, minimizando a perda de energia. Em geral, técnicas numéricas, tais como o

método de elementos finitos, diferenças finitas, etc, são utilizadas para a modelagem de

tais estruturas, porém, requerem muito conhecimento da teoria eletromagnética e

também muito esforço e recurso computacional.

Conclusão do Capítulo

Foram apresentadas a teoria dos cristais fotônicos, juntamente com a modelagem

em elementos finitos 2D utilizada, os conceitos de material isotrópico e anisotrópico,

que serão utilizados nas estruturas otimizadas. Apresentaram-se também as

características dos guias segmentados, as estruturas de tapers contínuo e segmentados

propostos, juntamente, com a modelagem em elementos finitos 2D utilizada para o

calculo da potência, as principais justificativas da aplicação dos mesmos e as principais

vantagens e desvantagens.

42

Capítulo 3

3. Computação Bio-Inspirada

Antes de discorrer a respeito da computação bio-inspirada é importante abordar

os conceitos de heurísticas e meta-heurísticas, pois é a partir deles que se pode justificar

a utilização de algoritmos, visando otimizar problemas nas mais diversas áreas. Nas

telecomunicações, por exemplo, existe uma variedade muito grande de tipos de

problemas que podem ser otimizados utilizando meta-heurísticas como: otimização de

acopladores de guias de ondas, otimização da banda fotônica proibida de cristais

fotônicos, otimização de fibras ópticas, guias de ondas contínuos e segmentados, etc.

Algoritmos com componentes estocásticos foram muitas vezes referidos como

heurística no passado, embora a literatura recente tenda a se referir a eles como meta-

heurísticas. É considerada a convenção proposta por Glover [46, 47], a qual permite

considerar que todos os algoritmos modernos inspirados na natureza são meta-

heurísticas. Em geral, heurística significa encontrar ou descobrir por tentativa e erro.

Aqui meta significa além ou nível mais alto e o termo meta-heurísticas, como "simples

de executar". A palavra "meta-heurística" foi definida por Fred Glover em seu trabalho

[46], no qual, segundo o autor, uma meta-heurística pode ser considerada como uma

"estratégia de mestre que orienta e modifica outras heurísticas para produzir soluções

além das que são normalmente geradas em busca locais de otimização".

Além disso, as meta-heurísticas usam certa compensação de aleatorização e de

busca local. Soluções de qualidade e difíceis para os problemas de otimização podem

ser encontradas em uma quantidade razoável de tempo, mas, não há garantia de que as

melhores soluções possam ser alcançadas [47].

Dois componentes principais de qualquer algoritmo meta-heurístico são a

diversificação e a intensificação [48]. Diversificação significa gerar diversas soluções

aleatoriamente a fim de se explorar o espaço de busca em uma escala global, enquanto

que intensificação significa concentrar a pesquisa em uma região local sabendo que

pode ser encontrada uma boa solução atual nessa região. É necessário ter um bom

equilíbrio entre a intensificação e a diversificação para que possibilite, durante a

seleção, encontrar melhores soluções e melhorar a taxa de convergência do algoritmo. A

43

seleção do melhor pode assegurar que as soluções irão convergir para um valor ótimo,

enquanto que através da diversificação aleatória permitirá uma busca do mínimo ou

máximo local e, paralelo a isso, aumentar a diversidade de soluções. Portanto, uma boa

combinação desses dois componentes principais, geralmente, assegura que a otimização

global seja realizável [46, 49].

Assim, uma meta-heurística é um conjunto de mecanismos de gerenciamento

que atua sobre métodos heurísticos aplicáveis a um extenso conjunto de diferentes

problemas [47]. Em outras palavras, uma meta-heurística pode ser vista como uma

estrutura algorítmica geral que pode ser aplicada a diferentes problemas de otimização,

com poucas modificações, relativamente, que permitam a sua adaptação a um problema

específico.

Porém, existem algumas características indesejáveis que precisam ser verificadas

a fim de evitá-las e, dessa forma possibilitar ao algoritmo um bom funcionamento.

Dentre elas podem ser citadas:

Não possuir garantia de solução ótima;

Não possuir garantia de convergência;

Elevado custo computacional para se chegar a uma solução ótima.

O grande atrativo desse mecanismo de otimização e que em diversas aplicações

ainda não foram concebidos algoritmos exatos de solução ou mesmo heurísticas

específicas. Além disso, os métodos clássicos que garantem a localização da melhor

solução são muitas vezes impraticáveis. Nessas situações, as meta-heurísticas se tornam

candidatas interessantes, portanto, essa seria uma das justificativas para a utilização dos

algoritmos bio-inspirados na otimização de problemas nas mais diversas áreas, inclusive

na Fotônica.

A computação bio-inspirada é uma categoria de algoritmos, cujo funcionamento

é inspirado na natureza, podendo ser definida como sendo a convergência da Ciência da

Computação, Biologia e Matemática para representar processos observados na natureza

[7-12]. A denominação de computação evolutiva, uma das classes existentes na

computação bio-inspirada, foi proposta com o intuito de representar pesquisas sobre

aspectos específicos do processo evolutivo propostas a partir dos anos 50 [7, 8, 11, 72].

No problema da análise e síntese de dispositivos fotônicos e/ou microondas são

necessários conhecimentos avançados de eletromagnetismo, métodos numéricos e

programação, assim como recursos computacionais de grande porte e softwares

comerciais “caros”, tornando-se uma tarefa complexa que pode ser efetuada apenas por

44

especialistas na área. Entretanto, é possível usar outros métodos para tratar o problema,

como, por exemplo, a computação bio-inspirada.

A teoria e estruturas básicas dos algoritmos bio-inspirados clássicos, que

norteiam os algoritmos desenvolvidos nesse trabalho são apresentados e nota-se que

possuem uma mesma estrutura básica, pois realizam reprodução ou clonagem;

promovem competição entre indivíduos de uma dada população através da seleção;

realizam mudanças nos indivíduos através da mutação; e conservam-se os melhores

para as próximas gerações. Esses algoritmos também podem gerar aleatoriamente

populações iniciais de soluções candidatas. No entanto, enquanto o critério de parada

não for satisfeito, o algoritmo realiza os seguintes processos:

1. Recombina alguns indivíduos da população

2. Muta alguns indivíduos da população

3. Avalia todo o repertório de soluções candidatas

4. Seleciona as melhores soluções que irão para a próxima geração, seguindo

algum critério.

Esses processos resultarão em evolução sempre que estiverem presentes em uma

simulação computacional ou na natureza [7, 11, 50].

Nesse trabalho, é utilizada computação bio-inspirada, em particular as técnicas

de Algoritmos Genéticos (AG), Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA) e Evolução

Diferencial (ED), no desenvolvimento e implementação de algoritmos para a otimização

de dispositivos e estruturas fotônicas e/ou de microondas. Sendo assim, com o uso da

computação bio-inspirada, o problema a ser resolvido é o ambiente e cada indivíduo da

população é associado a uma solução-candidata, ou seja, o indivíduo mais adaptado ao

ambiente corresponderá a uma possível solução para o problema proposto [7, 11]. Sabe-

se que ao final do processo evolutivo dos algoritmos não se chegará a uma solução

global do problema proposto, mas com a evolução a cada geração obtêm-se soluções

candidatas locais, ótimas e eficazes.

Os algoritmos bio-inspirados, em particular os evolutivos, são um elenco de

procedimentos gerais que podem ser adaptados a cada contexto de aplicação [8, 51].

Basicamente, são modelos computacionais que possuem:

a- uma população de indivíduos (geração inicial), que corresponde a possíveis

soluções candidatas;

b- uma função que mede a aptidão relativa de cada indivíduo frente aos demais

(função de fitness).

45

Os indivíduos são inicializados aleatoriamente em um espaço D-dimensional. O

valor da função objetivo de cada indivíduo é calculado e o melhor indivíduo é, então,

encontrado. Quando o objetivo do problema de otimização é a maximização de uma

função, significa que quanto maior for o valor da função objetivo, melhor é o indivíduo.

Quando o objetivo do problema de otimização é a minimização de uma função, significa

que quanto menor o valor da função objetivo, melhor é o indivíduo.

Portanto, é possível resolver o problema de análise e síntese dos dispositivos e

estruturas fotônicas e/ou microondas pela descrição do funcionamento dos mesmos,

considerando apenas as relações entre suas variáveis de entrada e saída sem explicitar os

fenômenos físicos que regem essas variáveis [73].

Devido a essas características, a computação bio-inspirada tornou-se uma

ferramenta bem disseminada na solução de problemas de Telecomunicações, como por

exemplo, o uso de redes neurais artificiais na análise e projeto de antenas de microfita

[74]; no uso de algoritmos bio-inspirados na síntese de dispositivos e estruturas

fotônicas e/ou microondas como análise de estruturas metamateriais [10, 12, 13]; banda

fotônica proibida de cristais fotônicos [14-16, 19]; fibras ópticas [18, 46, 75],

multiplexadores e demultiplexadores [25], entre outros [17, 22-24, 76-82].

3.1. Algoritmos Genéticos (AG)

Nesta seção é apresentada a teoria sobre AG, suas principais características e os

procedimentos necessários para a sua utilização, sendo que os AG’s constituem uma

técnica muito utilizada em problemas de otimização, pois se baseiam na teoria da

seleção natural proposta por Charles Darwin [7], [11]. As respostas possíveis geradas

para o problema são definidas como indivíduos que competem entre si para se

reproduzir e os mais aptos, que representam melhores soluções, têm a maior chance de

perpetuar algumas de suas características, aumentando a probabilidade de adaptação da

população em geral.

As possíveis soluções para o problema são codificadas em genomas, uma

estrutura composta por uma cadeia finita de elementos (genes), o que justifica o termo

"genético" do AG. Ainda com analogia a natureza, há autores que classificam os

indivíduos da população como genótipos e a resposta de sua codificação como fenótipo

[7, 10, 11, 49-51, 83-86].

Os AG’s são muito utilizados como otimizadores de funções nos casos em que

46

os métodos de busca exaustiva falham e, por isso, é necessário o uso da busca

controlada em um determinado espaço. A sua vantagem nesse aspecto é o seu alto grau

de adaptabilidade, robustez e paralelismo [81, 83-86].

Em AG’s um cromossomo (Figura 3.1) é uma estrutura de dados que representa

uma das possíveis soluções contidas no espaço de busca do problema. Os cromossomos

são submetidos a um processo de evolução através de etapas como avaliação, seleção,

recombinação/cruzamento (crossover) e mutação. A população deverá conter, ao final

de vários ciclos evolutivos, indivíduos mais aptos [7, 11, 83].

Figura 3.1. Representação de um cromossomo [7]

Tabela 3.1. Similaridade Sistema Natural × AG [7, 83]

Natureza Algoritmos Genéticos

Cromossomo Palavra binária, vetor, etc.

Gene Característica do problema

Alelo Valor da característica

Locus Posição da palavra, vetor.

Genótipo Estrutura

Fenótipo Estrutura submetida ao problema

Indivíduo Solução

Geração Ciclo

Na literatura, [7, 11, 83], apresenta-se uma analogia entre Algoritmos Genéticos

e o sistema natural biológico, o qual pode ser observado através da Tabela 3.1.

A maioria dos AG’s são determinados através dos seguintes itens [7, 11, 83]:

O problema a ser otimizado;

Representação das possíveis soluções;

Decodificação do cromossomo;

47

Avaliação das possíveis soluções;

Seleção dos mais aptos;

Operadores genéticos (cruzamento, mutação);

Inicialização da população.

3.1.1. O problema a ser otimizado

O AG é uma técnica de otimização frequentemente utilizada em problemas

complexos, problemas esses com muitas restrições que não podem ser representadas

matematicamente, possuindo vários parâmetros que precisam ser combinados para

encontrar a melhor solução e com grandes espaços de buscas. É uma técnica aplicada

em problemas como otimização de funções matemáticas [87, 88]; combinatórias [89,

90]; otimização de planejamento [91]; problema do caixeiro viajante [92]; otimização

de rotas de veículos [93]; layout de circuitos e síntese de circuitos eletrônicos e óptico-

eletrônicos [94, 95].

O problema precisa estar bem definido, variáveis, parâmetros, etc., para que o

mesmo permita sua implementação via AG e outros tipos de algoritmos de otimização.

3.1.2. Representação das possíveis soluções

A estrutura do cromossomo que vai ser trabalhada pelo algoritmo depende da

representação adequada e utilizada nas possíveis soluções candidatas e do espaço de

busca, ou seja, esta representação depende do tipo de problema analisado, do tamanho

da população e do tipo de resposta a que se deseja encontrar.

As principais representações utilizadas em AG’s são apresentadas na Tabela 3.2.

Tabela 3.2. Representações de cromossomos [7, 83]

Tipo de cromossomo Problemas

Binário, Real Numérico

Vetor, Símbolos Repetidos Grupo

Permutação de Símbolos Baseados em ordem

A codificação do tipo binária é a mais simples e utilizada [83]. A manipulação

dos cromossomos desse tipo é mais simples ao longo do algoritmo, ou seja, através

desse tipo de codificação pode-se transformar com maior facilidade em inteiro ou real,

simplificando também a prova de alguns teoremas [83] e aplicações em problemas

48

combinatórios, mas esse tipo de representação tem dificuldades com múltiplas

dimensões de variáveis contínuas, especialmente quando uma grande precisão é

requerida, pois um grande número de bits será necessário para atingir tal precisão

tornando o cromossomo muito grande podendo assim dificultar as operações no AG

[96]. Logo, a representação por números reais, a depender do tipo de problema, oferece

o melhor desempenho do AG [7-12, 14-16, 83].

O tipo de representação pode variar, a depender da quantidade de símbolos que

se quer trabalhar. Portanto, o mais importante de uma representação aplicada é que ela

seja capaz de representar todo o espaço de busca a ser investigado com precisão

adequada.

3.1.3. Decodificação do cromossomo

A construção da solução do problema através do cromossomo é o que chamamos

de decodificar um cromossomo. A facilidade de se transformar binário em inteiro ou

real é a principal vantagem da sua utilização e esse processo constrói de maneira mais

simples a solução para ser avaliada pelo problema.

Logo, uma forma utilizada para decodificar números binários para números reais

é apresentada na Equação 3.1. Nela, deve-se considerar o intervalo de valores (C) dos

reais de tal forma que:

min2 1

R b n

Cx x x

(3.1)

Na qual min max,Rx x x ; bx é o inteiro correspondente ao binário; n é o numero de

bits do cromossomo; e C é o intervalo de valores dos reais da variável x , dado por

max minC x x .

Existem outras formas de decodificação, mas esta é a mais usual. Nesse estudo

utiliza-se esse tipo de decodificação também nos outros algoritmos bio-inspirados [83].

3.1.4. Avaliação

Esta etapa deverá conter a função que representa o elo entre o AG e o problema,

ou seja, da mesma forma que o meio ambiente é para os seres vivos, esta função é para

um AG. Ela tem como objetivo fornecer a medida de aptidão, ou seja, a capacidade de

que cada indivíduo da população irá direcionar o processo de busca, sendo realizada

49

através de uma função que melhor represente o problema a ser otimizado. Cada

problema possui ao menos uma função de avaliação (fitness) específica, ou seja, uma

função objetivo.

Na Tabela 3.3, é apresentado um exemplo com a função matemática 2f x x ,

a qual mede a aptidão de cada indivíduo. O indivíduo C1 é mais apto (possui maior

valor na função) que C2, se o objetivo do problema for a maximização, Tabela 2.3.

Tabela 3.3. Comparação de aptidões [83]

Indivíduo Cromossomo x f x

C1 0 0 1 0 0 1 9 81

C2 0 0 0 1 0 0 4 16

3.1.5. Seleção

Seleção é o processo de escolha dos indivíduos mais aptos para a etapa de

reprodução, ou cruzamento, em algoritmos genéticos e baseia-se na aptidão de cada um,

ou seja, os mais aptos têm maior probabilidade de serem escolhidos para a próxima

etapa.

Os principais mecanismos de seleção utilizados em algoritmos genéticos são:

proporcional, torneios, com truncamento, normalização linear ou por normalização

exponencial [7, 10, 83].

Figura 3.2. Seleção por Roleta (amostragem estocástica universal) [97].

Na seleção proporcional à aptidão (seleção por roleta) é considerado um círculo

dividido em n regiões (n = tamanho da população), na qual a área de cada região é

proporcional à aptidão de cada indivíduo da população conforme a Figura 3.2. Sobre

esse círculo é posicionada uma "roleta" com n cursores, igualmente espaçados, após um

50

giro da roleta a posição dos cursores indica os indivíduos selecionados. Esse processo é

intitulado amostragem universal estocástica [7, 83, 85, 86, 97], pois os indivíduos que

possuírem maior área na roleta terão chances de serem selecionados por mais vezes.

Logo, esse tipo de seleção pode conter muitas cópias de um mesmo indivíduo, o que

também pode causar o desaparecimento de outros

Portanto, nesse tipo de seleção, a probabilidade de seleção de um indivíduo é

proporcional ao seu valor de aptidão [83], conforme a Equação (3.2).

i

i

fp

NM

(3.2)

A variável ip é a probabilidade de seleção de um indivíduo i , if é a aptidão do

mesmo, N é o tamanho da população e M é a aptidão média da população. A

intensidade de seleção é dada pela Equação (3.3).

I

M

(3.3)

Isso indica que a pressão seletiva é dada pela razão entre o desvio padrão e a média das

aptidões [83].

Dois problemas podem acontecer na utilização desse método, o primeiro está

relacionado ao aparecimento de super indivíduos e o outro a competição próxima. O

primeiro ocorre quando um indivíduo possui uma aptidão muito maior que a dos

demais, podendo determinar uma convergência prematura do algoritmo. O segundo

problema ocorre quando indivíduos apresentam aptidões próximas diferentes,

resultando em uma intensidade de seleção bem menor do que a desejável [83] e

prejudicando a evolução e a convergência do algoritmo.

Na seleção por torneio é escolhido um grupo de t indivíduos (soluções)

aleatoriamente (geralmente 2 indivíduos) da população e o melhor é selecionado, Figura

3.3 [83].

51

Figura 3.3. Seleção por Torneios

No método de seleção por truncamento, seja T um limiar (entre 0 e 1), serão

selecionados apenas os T melhores indivíduos ambos com a mesma probabilidade de

seleção, [7, 11, 83] e os demais indivíduos serão descartados. Por exemplo, seja T=0,5,

isto implica que a seleção será realizada entre os 50% dos cromossomos e os outros

50% serão descartados.

No mecanismo de seleção por normalização linear (ranking), os indivíduos são

ordenados de acordo com sua aptidão, esses valores são alterados de acordo com a

posição relativa de cada indivíduo e ao melhor indivíduo é denominado como aptidão

máx e ao pior como min. Esses valores são determinados pelo usuário, mas o método

prevê que as condições máx=2-min e min 0, devem ser atendidas, o restante dos

indivíduos serão distribuídos linearmente entre o min e máx de acordo com a sua

posição relativa na ordenação, [83], ou seja, em ordem crescente ou decrescente de

acordo com o problema a ser resolvido.

A avaliação de cada indivíduo, nesse tipo de seleção, é determinada pela

Equação 3.4, onde o pior elemento acontece quando i=1.

1

1i

max minA min i

n

(3.4)

O método da seleção por normalização exponencial possui uma função de

mapeamento exponencial, o que difere do linear, aumentando a pressão seletiva (o

método tende a uma maior exploração das soluções já existentes, aumentando assim a

Indivíduos Aptidão (Fitness)

C1 9

C2 4

C3 1

C4 25

Torneio

C1 C3

C2 C1

C1 C4

C4 C4

Selecionados

C1

C1

C4

C4

Os indivíduos são selecionados coma mesma probabilidade para ostorneios.

52

velocidade de convergência) e reduzindo a diversidade da população resultante [83],

Equação (3.5).

11

1

N

i N

cp c

c

; 1i ,...,N

(3.5)

na qual c determina o grau de “exponencialidade” da função e varia de 0 a 1. À medida

que vai se aproximando de 1 a “exponencialidade” vai diminuindo [83].

O tipo de seleção sempre vai depender do tipo de problema a ser otimizado,

porém pode-se trabalhar não apenas com um tipo de seleção do início ao fim do

algoritmo. Pode-se variar o método escolhido aproveitando algumas características

presentes nos demais, desde que essa variação ajude na convergência e diversidade da

população.

3.1.6. Operadores Genéticos

São funções aplicadas às populações com o intuito de obter novas populações,

esses operadores, geralmente, são aplicados após a etapa de seleção. Realiza-se a

recombinação/cruzamento (crossover) dos indivíduos da população e depois aplica-se a

mutação nos mesmos, obtendo, assim, uma nova população com melhores indivíduos

ou não. Através de sucessivas gerações essas etapas são repetidas até que o resultado

seja satisfatório, ou seja, até que a população se diversifique e mantenha características

de adaptação adquiridas pelas gerações anteriores.

Figura 3.4. Crossover de um ponto

O operador de crossover (cruzamento) é a característica fundamental dos

algoritmos genéticos [7, 10, 11, 83-86]. Pares de indivíduos pais são escolhidos

aleatoriamente da população, através da aptidão, e novos indivíduos são criados depois

53

da troca e/ou mistura do material genético proveniente dos pais. Os descendentes

gerados (novos indivíduos) são diferentes dos pais, mas com características genéticas de

ambos.

A forma mais simples de crossover é com um ponto de corte, ou seja, dois

indivíduos pais são cortados em uma posição aleatória, criando dois possíveis

descendentes, Figura 3.4.

O cruzamento de dois pontos ocorre com o corte de dois indivíduos pais em duas

posições aleatórias e, assim como o de um ponto, cria descendentes a partir das

recombinações de suas partes, como apresentado na Figura 3.5.

Figura 3.5. Crossover com 2 pontos de corte

O crossover do tipo uniforme gera uma máscara binária de forma aleatória e essa

determinará de qual dos pais será selecionado o gene a ser preenchido nos cromossomos

filhos. Na Figura 3.6, a máscara utilizada no cruzamento uniforme foi [0,1,0,1,0,1].

Quando o valor da máscara é zero, o gene a ser herdado (utilizado) pelo filho será do

segundo pai, e caso esse valor seja um, herdará o gene do primeiro pai, ou vice-versa.

Devido ao fato de fazer um sorteio para cada posição, o cruzamento uniforme, em

média, tem o seu desempenho superior em relação a outros tipos de cruzamento, pois

garante maior diversidade a população e, portanto, amplia a varredura sobre o espaço de

busca. Esse tipo de cruzamento auxilia na convergência do algoritmo, porém pode

causar “destruição” ou perda de um indivíduo ótimo, mas isso pode ser evitado através

da utilização do elitismo.

54

Figura 3.6. Crossover do tipo uniforme

Após essa etapa os cromossomos criados são modificados através da mutação, a

qual torna a população mais diversificada, já que se trata de um operador exploratório.

O operador de mutação altera o conteúdo de uma ou mais posições do

cromossomo (alelo, símbolo, valor do gene), com uma probabilidade determinada

(geralmente ≤10%), [7, 10-12, 14-16, 18, 19, 51, 83-86], Figura 3.7.

Figura 3.7. Operador de mutação [48]

Para se realizar a mutação existem outras formas, como, por exemplo, a inversão

que permite a troca de posição de dois genes aleatoriamente, no entanto, esta é restrita a

problemas baseados em ordem [83-85].

3.1.7. Inicialização da População

Esta etapa determina o processo de criação dos indivíduos para o primeiro ciclo

do algoritmo, no qual a população inicial é, tipicamente, formada a partir de indivíduos

criados aleatoriamente. Nessas populações podem conter bons cromossomos, ocorrendo

assim uma evolução mais rápida.

55

Podem-se utilizar métodos de geração de números aleatórios, distribuição

uniforme, distribuição gaussiana e distribuição exponencial, para a criação das

populações iniciais de forma aleatória.

Executar evoluções (rodadas) sucessivas, conservando na população inicial da

evolução seguinte as melhores soluções encontradas na população anterior se torna uma

técnica eficiente para encontrar boas soluções em um problema, denominada elitismo.

3.1.8. Parâmetros e Critérios de Parada

São os parâmetros que controlam o processo evolucionário em um AG. Os dois

últimos geralmente são utilizados como critério de parada, [7, 10-12, 14-16, 18, 19, 51,

83-86]:

Tamanho da população: determina a quantidade de pontos do espaço de busca;

Taxa de cruzamento: parâmetro que determina a probabilidade de um indivíduo

recombinar com outro;

Taxa de mutação: determina qual a probabilidade do material genético de uma

determinada posição do cromossomo ser alterado;

Número de gerações: quantidade total de ciclos da evolução de um AG;

Total de indivíduos: total de tentativas em um experimento (tamanho da

população X número de gerações).

O número máximo de gerações é o critério de parada comumente utilizado

quando se aplica AG ou outro tipo de algoritmo bio-inspirado, a depender do tipo de

problema que se quer otimizar, pois oferece a vantagem de não interferir diretamente no

desempenho do algoritmo [83]. Ele pode ser alterado caso o seu valor seja inadequado a

resolução do problema, quando se é necessário mais iterações. Essa liberdade de

alteração do número máximo, em que o algoritmo vai funcionar, facilita o processo de

adaptação de cada ferramenta em que ele é empregado, pois as possíveis falhas de

desempenho estão mais ligadas ao conjunto de parâmetros e operadores escolhidos do

que ao critério de parada.

56

Figura 3.8. Ciclo básico de funcionamento de um AG.

Um AG pode ser descrito como um processo contínuo que repete ciclos de

evolução controlados por um critério de parada, conforme apresentado na Figura 3.8. As

aplicações de algoritmos genéticos são muito amplas e em diversas áreas, assim como

mencionado anteriormente. Na literatura, especificamente para as áreas de fotônica e

microondas, é possível encontrar trabalhos relacionados ao tema [14-16, 18, 19, 22-25,

51, 75, 78-82, 86].

3.2. Sistema Imunológico (SI)

3.2.1. Sistemas Imunológicos Biológicos

O ser vivo apresenta uma resistência frente aos agentes causadores de doenças,

conhecidos como patógenos, incluem-se os vírus, bactérias e outros parasitas. O tipo de

resistência vai depender do tipo de cada patógeno, o qual varia muito de uma espécie

para outra de ser vivo. Os seres humanos são grandes exemplos disso, porque possuem

um sistema imunológico de alta complexidade que, em conjunto com outros sistemas,

protege o corpo contra os agentes patogênicos, mantendo-se também o equilíbrio do

organismo [7, 11]. O sistema imune dos vertebrados é composto por uma grande

variedade de moléculas, células e órgãos espalhados por todo o corpo. Não há nenhum

órgão central controlando o funcionamento do sistema imunológico e existem vários

INÍCIO

FIM

POPULAÇÃO INICIAL

FITNESS

MUTAÇÃO

CRUZAMENTO

SELEÇÃO

NOVA POPULAÇÃO

CRITÉRIO DE PARADA SATISFEITO?

SIM

NÃO

FITNESS

57

elementos em movimento e em diferentes partes do corpo realizando papéis

complementares [98].

Esse controle distribuído significa que não há nenhum controlador central, ao

invés disso, o sistema imunológico é regulado por interações locais entre células imunes

e antígenos. As células mais importantes nesse processo são as células brancas do

sangue, chamadas células T e células B. Ambas têm origem na medula óssea, mas as

células T passam pela maturação, antes de percorrer o corpo através dos vasos

sanguíneos e linfáticos. Sendo assim, a principal tarefa do sistema imunológico é fazer

uma verificação no organismo em busca de células “defeituosas” (células cancerígenas,

tumores, etc) presentes no próprio corpo e doenças exteriores causadas por elementos

estranhos (vírus e bactérias). Cada elemento que pode ser reconhecido pelo SI é

chamado antígeno (Ag).

As células que originalmente pertencem ao nosso corpo e são inofensivas para o

seu funcionamento são chamadas próprias (ou autos antígenos), enquanto os elementos

externos que causam doenças são denominados de não próprios. O SI, então, tem que

ser capaz de distinguir entre o que é próprio e não próprio; para isso, um processo

chamado de discriminação é realizado, basicamente, através de reconhecimento de

padrões. A partir de uma perspectiva de reconhecimento de padrões, a característica

mais interessante do SI é a presença de moléculas receptoras na superfície das células

do sistema imunológico, capazes de reconhecer uma quantidade quase ilimitada de

padrões antigênicos [7, 11, 72, 99, 100].

As teorias encontradas sobre o assunto tentam de alguma forma explicar como

esse complexo sistema funciona. Através dessas teorias, algumas características dos

sistemas imunológicos podem ser destacadas como importantes fontes de inspiração

para o desenvolvimento dos Sistemas Imunológicos Artificiais (SIA) [17, 72, 99, 100]:

Diversificação: As células e moléculas que compõem o sistema imunológico

possuem ampla diversidade, sendo capazes de reconhecer uma vasta quantidade

de patógenos;

Distributividade: O sistema imunológico não possui um sistema de controle

central, ele está distribuído por diversas células e moléculas que se espalham por

todo o organismo;

Memória: Os SI’s possuem uma memória auto-organizada e dinâmica que

permite armazenar informações sobre os patógenos para combatê-los mais

58

eficientemente em casos de futuras invasões por patógenos já conhecidos

(exemplo: vacinas).

Baseado nessas teorias e características, os sistemas imunológicos biológicos

estão sendo utilizados como base no desenvolvimento de algoritmos computacionais

para a solução de problemas complexos, demonstrando que o SI é escalável, robusto e

flexível.

Na Figura 3.9, baseada na literatura [99], observa-se a ilustração da arquitetura

de um sistema imunológico biológico com várias camadas de defesa.

Figura 3.9. Camadas de defesa do sistema imunológico [99].

A pele é a primeira barreira contra agentes infecciosos, a segunda barreira é

fisiológica, onde a temperatura e o pH não são ideais para a sobrevivência de

organismos estranhos (nocivos). Se os agentes patogênicos conseguem entrar no corpo,

são combatidos pelo sistema imunológico inato e também pelo adquirido, Figura 3.9. O

inato consiste de células capazes de digerir alguns tipos de materiais, limpando o

organismo. O sistema imunológico adquirido ou adaptativo é mais complexo, pois é o

principal responsável por uma imunidade que é assimilada de modo adaptativo durante

toda a vida do organismo. Nele é que se concentram os maiores estudos, pois o poder de

adaptação é o que pode fornecer melhores soluções para os mais diversos problemas,

através da sua utilização na computação.

Pele

Barreiras Bioquímicas

Resposta Imune Inata

Fagócito

Resposta Imune

Adaptativa

Linfócitos

Patógenos

59

Algumas das principais ideias que fazem parte do sistema imunológico

adaptativo têm sido exploradas com frequência, entre elas, a teoria da seleção clonal e

maturação da afinidade e a teoria das redes imunológicas [7, 11, 17, 72, 99, 100].

3.2.1.1. Seleção Clonal e Maturação por Afinidade

O principio da seleção clonal, Figura 3.10, descreve as características básicas de

uma resposta imunológica (de algumas células do corpo) a um estímulo antigênico.

Essas células possuem receptores capazes de reagir, utilizando partes desse patógeno

chamadas de antígenos. Com essa estimulação as células imunológicas se proliferam

(expansão clonal), algumas liberam também altas taxas de anticorpos (moléculas

receptoras de antígenos), os quais podem ou não se combinar aos antígenos. Essa união

antígeno-anticorpo é posteriormente eliminada (destruída) por outras células imunes

[100].

Algumas das células que produzem anticorpos se tornam células de memória, ou

seja, células que possuem períodos prolongados de vida e que fazem com que os corpos

se tornem imunes aos patógenos que já desafiaram o sistema imune.

No momento da expansão clonal a mutação pode acontecer. Logo, uma

característica importante que deve ser destacada é a taxa inversamente proporcional ao

grau de reconhecimento (afinidade) que ocorre do anticorpo com o antígeno. Se a

afinidade entre o antígeno e o anticorpo for alta, a mutação deve ocorrer com uma taxa

menor e se a afinidade for baixa, implica numa taxa maior de mutação. Portanto, a

mutação varia no sistema imunológico dependendo da afinidade entre antígeno e

anticorpo [99]. Sendo conhecido como maturação da afinidade, o processo de mutação

controlada, seguido pela seleção e armazenamento em memória, das células com maior

afinidade ao antígeno.

Considerando que o sistema imunológico é um sistema distribuído por todo o

corpo, apenas as células que se encontram próximas ao antígeno serão estimuladas.

Outras células podem começar a interação com o antígeno, mas nem todas sofrerão o

estímulo [7, 99].

60

Figura 3.10. Princípio da Seleção Clonal [99].

A teoria da seleção clonal e maturação da afinidade forma um importante núcleo

da resposta imunológica adaptativa e vem sendo muito estudada e utilizada nos SIA’s

para o desenvolvimento de sistemas adaptativos para solução de problemas [7, 99].

3.2.1.2. Redes Imunológicas (RI)

A teoria de rede imune de Jerne [101] propõe que o SI possui um

comportamento dinâmico, mesmo na ausência de estímulos externos. Sugere que as

células e as moléculas do sistema imunológico são capazes de reconhecer umas as

outras, o que permite ao sistema possuir comportamento próprio que não depende da

estimulação externa. Apesar dos imunologistas, nos meados dos anos 70, não

confirmarem essa teoria, os seus aspectos computacionais são relevantes e Jerne [101]

afirma ser um modelo poderoso para sistemas computacionais.

De acordo com a teoria de rede imune, as moléculas receptoras contidas na

superfície das células imunes apresentam marcadores, denominados idiotopos, que

podem ser reconhecidos por receptores de outras células do sistema imunológico. Esses

idiotopos são encontrados ao redor e/ou nas mesmas quantidades dos receptores que

reconhecem antígenos não próprios [101]. O reconhecimento de idiotopos nas células

receptoras por outras células similares conduz a um crescimento de grupos de moléculas

e de células receptoras conectadas. Como resultado dos eventos de reconhecimento da

rede, sugere-se o reconhecimento de uma célula receptora por outra célula receptora, o

que resulta na rede de supressão (eliminação das células), enquanto que o

61

reconhecimento de um antígeno por uma célula receptora resulta numa rede de ativação

e proliferação celular [101-103].

Portanto, a dinâmica do SI está na regulação (geração de novas células

estimuladas e morte de células não estimuladas) e no reconhecimento entre as células do

sistema imunológico e de outras células, moléculas e antígenos [101-103].

3.2.2. Sistema Imunológico Artificial (SIA)

A computação evolutiva (CE) é a técnica computacional genérica adotada a

partir da progressão da vida biológica na natureza. Inicialmente, a CE, foi proposta

como uma abordagem para a inteligência artificial (IA) [8, 50, 104], mas que é utilizada

para resolver vários problemas numéricos e de otimização combinatória. Alguns

exemplos de algoritmos que derivam das técnicas de CE são a programação genética,

programação evolutiva e os algoritmos genéticos (AG) [8, 104, 105]. No entanto, todas

as técnicas de CE são de alguma forma, relacionadas entre si, ou seja, todos os

algoritmos necessitam de uma população de indivíduos para a inicialização dos

mesmos. Para avaliar necessita-se do valor de aptidão desses indivíduos, de forma a se

adequarem ao processo de seleção.

Os operadores de recombinação trocam materiais genéricos no intuito de ampliar

a variação nas sequências de soluções. Logo, esse procedimento é iterativo e não

termina até que uma solução que atenda as necessidades seja obtida [8, 104]. Uma

grande parte dos algoritmos evolutivos segue esse procedimento geral, mas difere

apenas na forma em que são apresentados tais aspectos.

Algoritmo imunológico (AI) ou Sistema Imunológico Artificial (SIA) é uma das

técnicas evolucionárias recentemente desenvolvidas e inspiradas pela teoria da

imunologia ou sistema imunológico (SI) [72]. Imunologia é a disciplina científica que

estuda a resposta dos SI’s, quando um padrão não próprio é reconhecido através dos

anticorpos [104]. As características gerais do SI são a memória imunológica (usada para

armazenar as soluções viáveis), hipermutação (usada para diversificar o processo de

busca) e receptor de edição (ajuda a escapar de ótimos locais) [104].

Em geral, o princípio de seleção clonal [7, 104] é utilizado para projetar os AI’s,

devido à sua organização e capacidade de aprendizagem, em paralelo a resolução de

problemas de otimização combinatória. Define-se, muitas vezes, que os antígenos são

limitações e que os anticorpos são as soluções candidatas nos problemas de otimização

62

[104]. O conceito geral de algoritmo imunológico evolutivo (AI) utilizado na literatura é

apresentado pelo pseudo-algoritmo [7, 11, 104]:

Início

Inicializar população (aleatoriamente)

Indivíduos (solução candidata)

Avaliação (função de fitness) para todos os anticorpos

Enquanto (critério de parada não satisfeito)

Selecione (anticorpos superiores da população inicial)

Clonagem com base no valor de fitness

Variação dos operadores nos clones (Hipermutação)

Avaliar novos anticorpos gerados

Seleção de anticorpos superiores

Criação da população da próxima geração

Fim

Durante a elaboração e execução de um algoritmo clonal (AC), deve-se levar em

consideração a diversidade da população durante o máximo de tempo possível. Assim,

como os outros algoritmos evolutivos, os AI’s também mantêm um conjunto de

soluções candidatas (anticorpos) por concentração no espaço de busca global para obter

a solução ótima global/local (ideal/próxima). No entanto, se a população abrange apenas

uma região muito estreita, isso leva a uma convergência prematura do algoritmo sem

acertar o alvo desejado, ou seja, a não exploração adequada do espaço de busca [104-

106]. AI’s devem ser definidos de tal forma que busquem o espaço de solução de forma

eficaz e rápida com custos computacionais reduzidos e requisitos de tempo.

Alguns aspectos básicos de um AI devem ser levados em consideração, alguns

deles são indispensáveis para a concepção de um algoritmo eficiente: (1) a

representação adequada da população, (2) a expansão clonal, (3) o mecanismo de

hipermutação, (4) o esquema de geração e (5) a memória imunológica. Uma pequena

alteração em algum desses aspectos (taxas, variáveis, etc.) pode proporcionar uma

melhoria, ou não, no desempenho dos AI’s [107-109].

Para o desenvolvimento de um algoritmo imunológico eficiente devem-se levar

em consideração duas forças essenciais: a teoria da seleção clonal e o mecanismo de

hipermutação [11]. A primeira mantém a qualidade da solução através da produção de

anticorpos com alta afinidade. A segunda é a implementação da hipermutação junto

com o receptor de edição, passando a ser considerado um operador de busca local, que

63

mantém a diversidade na solução. Isso é evidente, pois é o que permite a modificação e

transformação dos AI’s para a sua adequação, adaptação e solução eficazes em

problemas diferentes.

Cutello e Nicosia [107], analisaram o conceito de seleção clonal com operador

de hipermutação para o desenvolvimento de uma ferramenta computacional

denominada CLONALG [100, 102]. O CLONALG [102] foi desenvolvido inicialmente

para tarefas de aprendizado de máquina e reconhecimento de padrões, mas

posteriormente foi adaptado para solução de problemas de otimização, com ênfase em

otimização multimodal e combinatória [107].

Para o desenvolvimento e concepção de um algoritmo do tipo CLONALG

(básico) [102, 108], os principais aspectos imunológicos utilizados são: a seleção e

clonagem das células estimuladas em relação a um antígeno; a morte das células pouco

ou não estimuladas; maturação e seleção proporcional à afinidade; e a geração e

manutenção de diversidade [108], o que se traduz nos passos apresentados no

fluxograma da Figura 3.11:

1) Um conjunto de antígenos é apresentados para a população de anticorpos;

2) A medida de afinidade dos anticorpos em relação aos antígenos é calculada;

3) Os anticorpos com afinidade mais elevada do que os antígenos são

selecionados, gerando o subconjunto de anticorpos;

4) Os anticorpos selecionados serão clonados de acordo com a sua afinidade em

relação aos antígenos (aqueles que possuírem maiores afinidades irão gerar mais

clones), produzindo assim a população de clones;

5) A população de clones é submetida a um processo de maturação de afinidade

com uma taxa inversamente proporcional à afinidade dos clones (quanto maior a

afinidade, menor a taxa de mutação) e uma nova população de clones é produzida;

6) A nova população de clones é avaliada e sua medida de afinidade em relação

aos antígenos é calculada;

7) Os anticorpos maturados com maiores afinidades são selecionados para

compor a próxima geração da população, uma vez que a sua afinidade seja maior do que

a dos seus anticorpos originais;

8) Os piores anticorpos são removidos da população e substituídos por

anticorpos novos gerados aleatoriamente.

Esse processo se repete até que uma condição de parada (que pode ser o número

de gerações) seja atingida, [102].

64

Figura 3.11. Esquema de um algoritmo de seleção clonal, CLONALG [102].

O algoritmo aiNet é um modelo baseado em redes discretas [108]. Ele foi

aplicado com sucesso em diversos problemas de compressão de dados e agrupamento.

O aiNet tem sua inicialização com a geração de um pequeno número de células que são

geradas aleatoriamente. São introduzidos os padrões antigênicos, após a geração das

células iniciais, e as afinidades desses padrões são calculadas em relação a cada célula

(anticorpo) da rede. Anticorpos com afinidade alta são selecionados e reproduzidos

(proliferação) de acordo com sua afinidade, possuindo assim um número maior de

clones. Os clones sofrem uma taxa de mutação inversamente proporcional a sua

afinidade, de forma que clones com maior afinidade tem uma taxa de mutação menor.

Os que apresentarem maior afinidade serão selecionados e mantidos na rede (memória

clonal). A afinidade entre os anticorpos restantes é calculada, aqueles anticorpos em que

a afinidade for menor que um determinado valor serão retirados da rede (supressão). A

introdução e a morte de anticorpos da rede correspondem a metadinâmica do algoritmo

[108].

Pode-se destacar, com essa metadinâmica, a presença de características de

diversidade e uma maior exploração do espaço de busca no algoritmo aiNet [108].

Manutenção de soluções com ótimos locais e a população com tamanho dinâmico

também são características presentes no algoritmo.

Um algoritmo de sistema imunológico artificial pode ser composto de etapas

e/ou passos essenciais presentes tanto nos algoritmos de rede, quanto nos de seleção

65

clonal, porém, isso dependerá da capacidade de cada um em identificar e aplicar as

similaridades entre eles e adaptá-las ao seu problema.

A maioria dos SIA’s que se baseiam nos princípios da seleção clonal e na teoria

de redes imunológicas possui a estrutura básica apresentada no pseudo-algoritmo [99,

109]:

Início

Iniciar a população de anticorpos aleatoriamente;

Enquanto condição de parada não for satisfeita faça

Avaliar a população;

Clonar anticorpos;

Aplicar mutação nos clones;

Eliminar os clones com fitness menor que um limiar;

Eliminar anticorpos semelhantes;

Inserir aleatoriamente anticorpos na população

Fim do enquanto

Fim

Nele observa-se que uma população de indivíduos (anticorpos) é criada

aleatoriamente e nessa população contém as possíveis soluções para o problema. O

critério de parada do algoritmo é verificado, porém, caso ainda não tenha sido

alcançado, o fitness (aptidão) de cada indivíduo é calculado. Cada anticorpo dá origem a

um número determinado de clones, proporcional ao seu fitness, ou seja, quanto maior,

mais clones serão gerados. Cada clone passa, então, por um processo de mutação, cuja

taxa é inversamente proporcional ao fitness do clone. Calcula-se um novo fitness e os

clones com valores menores que um determinado limiar são eliminados. Por fim, novos

anticorpos são inseridos aleatoriamente na população para manter a diversidade e o

fluxo de execução retorna para a etapa de verificação da condição de parada. Espera-se

que, atingindo o critério de parada, o algoritmo tenha encontrado boas soluções para o

problema e que o número máximo de gerações e o número de gerações em que não

ocorre aperfeiçoamento do melhor indivíduo, sejam destacados entre os principais

métodos de parada.

Dentre as características comuns encontradas nos algoritmos SIA, destacam-se:

São baseados em um repertório (população) de anticorpos;

Foram inicialmente desenvolvidos para resolver problemas de aprendizagem da

máquina e reconhecimento de padrões;

Anticorpos individuais podem sofrer variações genéticas através de um

66

mecanismo de mutação proporcional a afinidade;

Todas as células apresentam o mesmo limiar de afinidade (quando ele é

considerado).

3.3. Evolução Diferencial (ED)

Dos algoritmos Bio-Inspirados este é um dos mais recentes estudados para

resolver problemas de otimização com parâmetros reais [110, 111]. O algoritmo de

evolução diferencial foi introduzido por Storn e Price [112], em 1995, os quais são os

pioneiros e desenvolvedores do método. O ED pode ser uma boa alternativa em

problemas de otimização, dentre elas, a sua utilização em otimizações com problemas

de eletromagnetismo [76, 77]. Esse algoritmo possui grande semelhança com o AG,

pois utiliza etapas similares, mas com uma das diferenças na ordem de execução das

etapas de mutação e cruzamento [111], Figura 3.12.

Figura 3.12. Esquema de um algoritmo de evolução diferencial [76, 77, 111-113].

O ED é um algoritmo evolutivo baseado em vetores e segundo Bergamaschi

[113] pode ser considerado como um aperfeiçoamento dos algoritmos genéticos. A

evolução diferencial realiza operações sobre cada componente (ou cada dimensão da

solução), diferente dos algoritmos genéticos. Nesse tipo de algoritmo quase tudo é feito

em termos de vetores e o ED pode ser usado para uma busca auto-organizada, voltada

para o ideal, ou seja, pode-se usar uma solução encontrada por outro método como

INÍCIO

FIM

PROBLEMAPOPULAÇÃO

INICIALFITNESS

FITNESS

CRUZAMENTO

MUTAÇÃO

SELEÇÃO

CRITÉRIO DE PARADA SATISFEITO?

SIM

NÃO

67

entrada para o ED e ele vai fazer uma busca mais refinada nas proximidades dessa

solução [76, 77, 111-113].

Os ED’s, basicamente, são determinados através das seguintes etapas:

a) Inicialização: indivíduos (conjunto inicial de vetores) são gerados aleatoriamente e

cada um desses representa uma possível solução para problema. Essa população é

alterada de forma a cobrir todo o espaço de busca, no caso de se conhecer as possíveis

soluções ou regiões promissoras. Na ausência de qualquer conhecimento acerca do

espaço de busca (regiões promissoras ou mesmo soluções parciais), utiliza-se uma

distribuição uniforme para a população inicial, gerando aleatoriamente uma nova

população;

b) Avaliação: consiste em avaliar as aptidões (fitness) da população corrente a fim de se

estabelecer de que forma elas resolvem, ou não, o problema proposto;

c) Mutação: o ED gera novos indivíduos através da adição da diferença ponderada entre

dois indivíduos aleatórios em relação a um terceiro, resultando em modificações na

população e dando origem um indivíduo novo, o qual é denominado como doador;

d) Cruzamento (crossover): nessa etapa, um vetor (indivíduo) denominado alvo é

cruzado (combinado) com o indivíduo doador, esse proveniente da etapa de mutação,

resultando num novo indivíduo, o qual denomina-se como experimental. É importante

ressaltar que cada indivíduo presente na atual população deve ser utilizado uma vez

como vetor experimental;

e) Seleção: o indivíduo experimental é avaliado e comparado com o indivíduo alvo,

caso o valor do seu fitness seja maior (maximização) o indivíduo alvo é substituído na

próxima geração, caso contrário, ele é mantido;

e) Atualização: a população é atualizada com novos indivíduos ao final de cada geração;

f) Finalização: nessa etapa são verificadas se as condições de encerramento do ED

foram atingidas. Em caso positivo, a execução é concluída.

Cada solução candidata no ED é representada pelo vetor xti = [xi,j]

t, com

i=1,...,np e j=1,...,D, no qual np é o tamanho da população num espaço D-dimensional

[76, 77, 111-113]. Por exemplo, se a função a ser otimizada possuir 2 dimensões,

teremos j=1,2. E uma vez que os indivíduos sofrem alterações ao longo do tempo, usa-

se t para indicar o tempo ou geração do indivíduo.

Após sua inicialização, a população sofre um processo de evolução, através de

operadores de mutação, cruzamento e seleção, detalhados nas Subseções 3.3.1 - 3.3.3.

68

3.3.1. Mutação

Para um dado problema de otimização D-dimensional com parâmetros D, uma

população de np vetores solução xi (i = 1,2, ..., np) é inicialmente gerada. Para cada

solução xi em qualquer geração t, é utilizada a notação:

xti=(x

t1,i, x

t2,i,..., x

tD,i) (3.6)

Esse vetor será considerado como um cromossomo do ED.

A mutação, Figura 3.13, é realizada como segue. Para cada vetor xi, em qualquer

momento ou geração t, primeiro são escolhidos aleatoriamente três vetores distintos xm

(o qual representa o melhor indivíduo), xq e xr , e em seguida é gerado o vetor doador

através da seguinte Equação (esquema de mutação) dada por:

vt+1

i=xtm+F(x

tq−x

tr) (3.7)

Na qual F é o fator perturbação, mas também é conhecido como peso diferencial, que é

uma constante real pertencente ao intervalo [0,2], porém na prática, quando F∈[0,1] o

algoritmo se mostra mais eficiente e estável [76, 77]. O fator de perturbação controla a

amplitude da diferença, ou seja, determina o tamanho do passo a ser dado na direção

definida pelo vetor diferença (xtq−x

tr) [76, 77, 111-113]. O tamanho da população np

deve ser np≥6. A perturbação w=F(xq−xr) para o vetor xm (melhor indivíduo) é

utilizada para gerar o vetor doador Vi, isso torna a perturbação direcionada e auto-

organizada [113].

Figura 3.13. Operador de mutação do ED, [76, 77, 111-113].

Para populações maiores que seis indivíduos é recomendado aumentar o número

de indivíduos nas diferenças a fim de garantir maior diversidade à população [113].

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x2

x5

x7

-

x5 - x7F ×

F × x5 - x7

+ V1

xm

xq

xr

69

Portanto, escolhem-se outros 2 vetores aleatoriamente xs e xh , e reescrevendo a

Equação 3.7 obtemos:

vt+1

i=xtm+F(x

tq−x

tr + x

ts−x

th) (3.8)

Com a finalidade de aumentar a diversidade, dos vetores de parâmetros mutados,

um procedimento similar ao crossover do AG é utilizado depois da etapa de mutação.

3.3.2. Cruzamento

O cruzamento é controlado por uma probabilidade Cr∈[0,1]. Essa etapa pode ser

realizada através de dois esquemas: o binomial (utilizado nesse trabalho) e o

exponencial [111]. O esquema binomial [112], Figura 3.14, executa cruzamentos em

cada um dos d componentes ou parâmetros/variáveis. Ao gerar um número aleatório

distribuído uniformemente ri∈ [0,1], o componente j de xi é definido da seguinte forma

ut+1

j,i=vt+1

j,i se ri≤Cr,

ut+1

j,i=xtj,i se ri>Cr, (j=1,2,...,d)

(3.10)

na qual ut+1

j,i , é o gene do indivíduo experimental Ut+1

j,i, que fará parte da população na

próxima geração, vt+1

j,i é o gene do individuo doador Vt+1

j,i e xtj,i é o gene do indivíduo

Xtm, escolhido para o cruzamento, Figura 3.14. O valor da probabilidade de cruzamento

determina quanto do indivíduo experimental vai ser perturbado pelo indivíduo doador,

por exemplo, se Cr =1, todos os genes do indivíduo experimental irão compor o do

indivíduo doador.

Figura 3.14. Operador de cruzamento do tipo binomial, [76, 77, 111-113].

70

Outro tipo de cruzamento que pode ser utilizado é o cruzamento do tipo

exponencial, Figura 3.15. Esse tipo de operador é parecido com cruzamento de dois

pontos do AG, ou seja, enquanto ri ≤ Cr, o gene do indivíduo experimental será o do

vetor doador e a partir do primeiro valor ri > Cr os genes do indivíduo experimental não

sofrerão alteração, ou seja, esse cruzamento é realizado nas variáveis, enquanto o

número aleatório ri for menor ou igual que a probabilidade de cruzamento Cr.

Figura 3.15. Operador de cruzamento do tipo exponencial, [76, 77, 111-113].

Portanto, na primeira vez que esse número aleatório ultrapassar o valor de Cr,

nenhum cruzamento é executado e as variáveis restantes são deixadas intactas, ou seja:

Enquanto ri ≤ Cr , Ut+1

j,i=Vt+1

j,i ;

Se ri > Cr, Ut+1

j,i=Xtj,m com j=(i+1),..., n

(3.11)

Em geral, quanto maior a taxa de cruzamento, maior a possibilidade de se ter

mais elementos (genes) do vetor mutante no vetor teste (cruzamento). A taxa de

cruzamento é geralmente escolhida dentro do intervalo [0,8; 1] [111].

Porém, como o objetivo desse estudo é conceber e adaptar algoritmos bio-

inspirados para otimização de estruturas fotônicas, é realizada uma variação mais ampla

dessa taxa de cruzamento, visando analisar o comportamento do ED no problema

proposto.

71

3.3.3. Seleção

O operador de seleção é o responsável por escolher indivíduos melhores que irão

compor a próxima geração. Porém, a evolução diferencial não utiliza, como em outros

algoritmos evolutivos, o elitismo e a seleção proporcional. Esse operador usa o custo,

valor de fitness, do vetor experimental Ut+1

e compara com o custo do vetor alvo Xtm

,

ou seja, se o custo do vetor experimental for maior que o custo do vetor alvo, então o

vetor experimental será escolhido para a próxima geração (no caso de maximização).

Caso contrário, o vetor Xtm (geração atual) continua na próxima geração.

Através de algum critério de parada (número de gerações ou o melhor encontrou

um valor dentro de uma precisão pré-estabelecida).

Se f(Ut+1

) > f(Xtm ) então X

t+1m será substituído por U

t+1

Se f(Ut+1

) ≤ f(Xtm ) então X

t+1m será substituído por X

tm

(3.12)

O ED, para que possa ter o desempenho e eficiência esperados, depende

principalmente de quatro fatores: tamanho da população np, da região de busca, da taxa

(probabilidade) de cruzamento Cr e do fator de perturbação (taxa de mutação) F.

3.3.4. Estratégias

A fim de facilitar qual tipo configuração o ED possuirá, é necessário definir qual é o

tipo estratégia a ser adotada. Dessa forma, foram criadas algumas representações de

acordo com as principais configurações possíveis do ED, que podem ser escritas como

DE/x/y/z [113]:

x- especifica o vetor a ser mutado, que pode ser "rand", se for um indivíduo

escolhido aleatoriamente ou "best" que é o melhor indivíduo da população;

y- determina o número de vetores diferença (direções) utilizados na etapa de

mutação;

z- indica o esquema de cruzamento adotado, pode ser exp (cruzamento

exponencial) ou bin (cruzamento binomial).

ED/rand/1/bin corresponde ao algoritmo apresentado nas seções anteriores e

representa a proposta clássica da evolução diferencial [113]. A escolha da estratégia é

feita de forma empírica e depende também do tipo de problema.

A Tabela 3.4 apresenta alguns dos principais tipos de estratégias encontradas na

literatura [76, 77, 111-113].

72

Tabela 3.4. Notação das estratégias de ED [76, 77, 111-113].

Mutação Notação

vt+1

i=xtqualquer+F(x

tq−x

tr) ED/rand/1/bin

vt+1

i=xtmelhor+F(x

tq−x

tr) ED/best/1/bin

vt+1

i=xtqualquer+F(x

tq−x

tr + x

ts−x

th) ED/rand/2/bin

vt+1

i=xtmelhor+F(x

tq−x

tr + x

ts−x

th) ED/best/2/bin

vt+1

i=xtqualquer+F(x

tq−x

tr) ED/rand/1/exp

vt+1

i=xtmelhor+F(x

tq−x

tr) ED/best/1/exp

vt+1

i=xtqualquer+F(x

tq−x

tr + x

ts−x

th) ED/rand/2/exp

vt+1

i=xtmelhor+F(x

tq−x

tr + x

ts−x

th) ED/best/2/exp

Portanto, o ED refere-se a um método interessante de otimização e que pode ser

aplicado à área de fotônica e eletromagnetismo, pois satisfaz alguns requisitos

interessantes, como:

1. Pode ser utilizado para trabalhar com funções de fitness (objetivo) não-lineares,

não-diferenciáveis e multimodais;

2. Passível de paralelização;

3. Acessibilidade - poucas variáveis de controle, cujos valores são ajustados de

maneira relativamente simples;

4. Auto-ajuste do passo de adaptação - conforme a população converge, os passos

são cada vez menores;

5. Convergência.

3.4. Algoritmos Bio-Inspirados Implementados

Nesse trabalho foram desenvolvidos algoritmos baseados na teoria da

computação bio-inspirada, escritos em MATLAB®, para serem aplicados na otimização

da banda fotônica proibida de cristais fotônicos compostos de materiais isotrópicos e

anisotrópicos, ambos imersos em ar e também na otimização da eficiência de

acoplamento de tapers entre guias com diferentes larguras e entre guias convencionais

(contínuo e reto) e não convencionais (segmentado e reto).

73

As primeiras estruturas utilizadas como aplicações nesse trabalho foram os

cristais fotônicos compostos de materiais isotrópicos ou anisotrópicos imersos no ar,

cujo problema é encontrar bandas fotônicas proibidas maximizadas. Para determinar e

otimizar a PBG, os algoritmos bio-inspirados mostraram-se uma boa opção, pois o

cálculo das bandas proibidas requer um tempo de computação relativamente longo, o

que torna inviável realizar uma varredura em todo o universo de possibilidades, que

corresponde a 210x10

, sendo que a célula unitária é dividida em 200 triângulos, Figura

2.4.

Desse modo, o AG e o algoritmo evolutivo baseado em SIA são escolhidos

porque foram anteriormente utilizados [12-16, 18, 19, 22-25, 30, 51, 63, 75, 78-82, 86]

para a solução de problemas eletromagnéticos, apresentando resultados significativos.

Particularmente, no SIA existe a possibilidade de encontrar novas soluções melhores, já

que esse tipo de algoritmo pode aumentar o espaço de busca, por possibilitar através da

clonagem e afinidade uma maior diversidade na população [17, 72, 102, 104, 108].

Para o cálculo das PBG’s, uma formulação baseada no FEM [3, 60, 80] e

apresentada no Capítulo 2, é utilizada. A primeira aplicação proposta dos algoritmos

desenvolvidos (início) foi obter PBG’s em apenas uma determinada polarização (TE ou

TM) para cristais compostos por silício e ar, problema considerado simples, mas que

serviu para validação dos algoritmos implementados. Também foi proposta a aplicação

dos algoritmos bio-inspirados (atualizados) para otimizar PBG’s absolutas (ambas as

polarizações simultaneamente) em cristais compostos por material isotrópico e por

anisotrópicos, ambos imersos em ar [3, 6, 14-16, 19, 79, 80, 26-30, 55-60, 63].

Cristais fotônicos compostos por silício e ar e também compostos por telúrio e ar

em ambos os arranjos (quadrado e triangular), considerando o problema inverso para os

modos transversais magnéticos e elétricos (TM e TE), são utilizados nos algoritmos

desenvolvidos nesse estudo, com o objetivo de comparar e de validar os mesmos com os

resultados obtidos na literatura [14-16,19, 26-30, 60].

As PBG’s para um determinado modo são obtidas utilizando como material

isotrópico o silício, que possui índice de refração 3,476n . São obtidas também

PBG’s absolutas, com o silício e também com o material anisotrópico uniaxial (telúrio),

o qual possui dois valores de índice de refração, 6,2en (extraordinário) e 4,8on

(ordinário) para comprimentos de onda entre 3,5μm e 35μm, os quais dependem do

modo de propagação (TE e TM) [14-16,19, 26-30, 60].

74

Os algoritmos bio-inspirados considerados, apenas para a maximização da

PBG de cristais fotônicos compostos por silício e ar, para modos separados TE ou

TM, possuem as seguintes etapas, como podem ser observadas nos fluxogramas da

Figura 3.16:

(a) (b)

(c)

Figura 3.16. Fluxograma do (a) Algoritmo Genético (AG) e (b) Algoritmo Baseado em SIA,

implementados e (c) representação do fitness em ambos os algoritmos.

a) Inicialização: a população inicial, em ambos os algoritmos, é gerada

aleatoriamente com distribuição uniforme e cada indivíduo é representado como uma

sequência binária, pois os cristais utilizados são compostos apenas por dois materiais

justificando o uso desse tipo de codificação. Logo, se um gene é "1", o respectivo

triângulo é composto por material, caso contrário, o triângulo considerado será

composto de ar, Figura 3.17. Considera-se uma célula unitária para cada malha, como

observado na Figura 2.4, as quais são divididas em 200 elementos triangulares com 441

nós, nos quais cada triângulo representa uma determinada posição em cada indivíduo.

75

Figura 3.17. Tipo de codificação implementada e a malha de FE da célula unitária de um cristal fotônico

dividida em 200 triângulos.

Portanto, cada indivíduo é composto de 200 genes (variáveis). Os tamanhos das

populações, considerados nas simulações, foram de 20 e 50 indivíduos, escolhidos

levando em consideração a quantidade de genes dos indivíduos, sabendo que

aumentando o tamanho da população, o custo computacional aumenta e o processo de

busca se torna mais lento, porém na literatura [15, 114] alguns autores relatam que um

bom tamanho de população seria entre 20 e 100 indivíduos. Portanto, para uma

população com 20 indivíduos, a matriz de dados seria de 200x20 e cada indivíduo

representa uma possível solução do problema.

Neste trabalho, utiliza-se também o gene sendo representando com 2 triângulos

adjacentes, o que chamaremos de elemento paralelogramo.

b) Fitness: o cálculo dos modos, Figura 3.16(c), é realizado utilizando uma

formulação baseada no método dos elementos finitos (FEM) no domínio da frequência

escrita em FORTRAN [18, 60, 75, 79, 80]. A aptidão de cada indivíduo é avaliada pela

função objetivo dada por:

superior inferior

media

E EFitness .

E

(3.6)

Na qual, Esuperior é o valor da frequência superior entre os modos, Einferior o valor da

frequência mínima e Emedia o valor médio 2superior inferiorE E . Os modos TE12 e TM12

são selecionados para a comparação e validação dos resultados com a literatura.

c) Seleção (SIA): 50% dos melhores indivíduos são selecionados para clonagem

e sua probabilidade de ser selecionado é proporcional à sua aptidão, a seleção por

ranking, é considerada. E a Seleção (AG): os indivíduos são selecionados para a

76

reprodução e a probabilidade de serem selecionados é proporcional à sua aptidão, a

seleção por roleta é considerada nesse caso.

d) Clonagem (apenas SIA): selecionados, os indivíduos são clonados de modo a

ter novamente o mesmo tamanho da população inicial, formando uma população

composta dos melhores indivíduos, essa etapa possibilita a melhoria significativa da

evolução do algoritmo [7, 51]. A taxa escolhida é de 50%, obtendo assim um número de

indivíduos relativamente aceitáveis "ótimos até o momento", que serão utilizados na

etapa de mutação.

e) Crossover (cruzamento) (somente AG): nessa etapa foram implementados

dois tipos de cruzamento, o cruzamento de dois pontos e o cruzamento do tipo

uniforme, com objetivo de avaliar o impacto desse operador no algoritmo implementado

e melhorar a evolução e os resultados. No cruzamento de dois pontos, Figura 3.18(a),

são sorteados os dois pontos de corte do par selecionado (cromossomos pais) e a partir

da junção dos pedaços de cada cromossomo pai, encontram-se os novos indivíduos

(filhos). Enquanto que no cruzamento uniforme, Figura 3.18(b), se for sorteado o

número um, o primeiro filho recebe gene da posição corrente do primeiro pai e o outro,

o do segundo pai. Mas, se o valor sorteado for zero, as atribuições serão invertidas.

(a) (b)

Figura 3.18. Operadores de cruzamento implementados, (a) dois pontos, as linhas representam os

pontos de corte e (b) uniforme, máscara binária determina os genes que irão formar os novos indivíduos.

f) Mutação (em ambos os algoritmos): ocorre sobre os indivíduos da matriz

resultante do cruzamento/clonagem. A posição do gene que vai sofrer a mutação é

sorteada de forma aleatória. A mutação implementada ocorre a cada 5 gerações.

g) Afinidade (apenas no SIA): os indivíduos que resultam da mutação são

avaliados por uma afinidade (proximidade) de 0,02, em relação aos indivíduos que

foram selecionados na etapa de seleção antes da clonagem, esse valor foi obtido após a

77

diferença média entre os melhores indivíduos de uma geração em relação aos indivíduos

da geração seguinte.

h) Elitismo (em ambos os algoritmos): é de grande importância, pois garante que

o melhor cromossomo permaneça na próxima geração, evitando uma possível redução

do fitness (aptidão) de seu novo cromossomo, afetando o processo de convergência. Os

três piores indivíduos da geração atual são substituídos pelos três melhores da geração

anterior.

i) Atualização (em ambos os algoritmos): os indivíduos criados em cada geração

são inseridos na população e, em seguida, atualiza-se a mesma para a próxima geração.

j) Fim (ambos): consideram-se como critério de parada 1000 gerações em todos

os casos.

Em Malheiros-Silveira e Rodriguez-Esquerre [14], os autores utilizam o AG no

intuito de otimizar as bandas fotônicas proibidas de um cristal composto de silício e ar,

com arranjos quadrados e triangulares para os modos de polarização TM12. A banda

fotônica proibida é calculada através dos nós da primeira zona de Brillouin [33].

Nessa primeira parte, é reproduzida a mesma aplicação que foi realizada em

[14], utilizando o silício como material, com o objetivo de validar, avaliar e comparar as

propostas, aqui apresentadas, de algoritmo genético (AG) e do algoritmo baseado em

sistema imunológico artificial (SIA).

O algoritmo evolutivo baseado em SIA desenvolvido Figura 3.16(b), para o caso

da PBG em apenas uma polarização, além das etapas de seleção (por ranking) e

clonagem, etapas que não são comuns ao AG, Figura 3.16(a), possui uma etapa de

afinidade. Etapa essa, em que os melhores indivíduos provenientes da mutação são

selecionados e comparados a partir da diferença entre seus valores de PBG, com os

selecionados antes da etapa de clonagem, obedecendo à tolerância de afinidade. Se o

indivíduo anterior for melhor que o obtido, o mesmo o substitui. Se não, o obtido é

conservado, realizando assim uma supressão dos piores.

Para o problema de maximização da PBG Absoluta, ambos os modos TE e

TM simultaneamente, de cristais fotônicos compostos por materiais

isotrópicos/anisotrópicos e ar, os algoritmos implementados anteriormente, Figura

3.16, foram atualizados e aperfeiçoados. No AG explora-se uma maior variação do

tamanho da população, o operador de cruzamento utilizado é o cruzamento do tipo

uniforme, Figura 3.18(b), a função de fitness foi modificada de forma a atender as

exigências do cálculo e avaliação das PBG's absolutas entre os modos TE e TM

78

simultaneamente, Figura 3.19(c), e também foram feitas alterações para a mutação

acontecer em todas as gerações.

Foram realizadas modificações no algoritmo baseado em SIA, Figura 3.16(b),

pois o mesmo não estava conseguindo evoluir corretamente para o problema das PBG’s

absolutas em cristais compostos por materiais isotrópicos/anisotrópicos e ar. Essas

modificações resultaram no desenvolvimento e implementação de dois algoritmos

evolutivos baseados em SIA’s, diferentes, o SIA-ALV e o SIA-AV, Figura 3.19, ambos

com etapas similares (inicialização, avaliação, clonagem, elitismo e atualização) ao

algoritmo baseado em SIA anteriormente apresentado na Figura 3.16(b), mas com

alterações e implementações nas seguintes etapas:

a) Seleção: no SIA-AV, após a realização do cálculo do fitness para cada

indivíduo da população, os 50% melhores indivíduos são selecionados para clonagem e

sua probabilidade de ser selecionado é proporcional à sua aptidão, a seleção por

ranking, é considerada. Enquanto que no SIA-ALV, o que possuir maior fitness é

selecionado para ser o antígeno e os demais serão os anticorpos, em seguida, é realizado

o cálculo da afinidade entre o antígeno e os anticorpos através da distância de Hamming

[7, 72] selecionando, assim, os indivíduos com características similares ao melhor

indivíduo da população gerada naquele momento. Os 50% melhores indivíduos que

satisfazerem os critérios estabelecidos são clonados.

b) Mutação: a mutação é realizada com a variação de taxas (0,5 - 5%) para cada

indivíduo e ocorre a cada geração. São mutadas algumas características de cada um

aleatoriamente, observando que a mutação não pode “destruir” radicalmente os

indivíduos selecionados até o momento, por esse motivo é realizada uma comparação

entre diferentes taxas de mutação. Essa variação de taxas de mutação é realizada de

acordo com valores encontrados na literatura [51, 103-105, 115], com a finalidade de

verificar quão influentes e impactantes são as mesmas nos resultados finais obtidos.

c) Afinidade: os indivíduos resultantes da mutação são avaliados de acordo com

uma afinidade (proximidade/similaridade) através da distância de Hamming,

selecionando assim os indivíduos com características similares aos melhores indivíduos

gerados até o momento. Os indivíduos com menor afinidade são descartados.

e) Elitismo: os piores indivíduos são substituídos pelos melhores da geração

anterior.

79

(a) (b)

(c)

Figura 3.19. Fluxograma dos algoritmos evolutivos baseados em Sistemas Imunológicos Artificiais

implementados, (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV, e (c) fitness utilizado, para o cálculo da PBG absoluta, pelos

algoritmos.

O SIA-AV difere do SIA-ALV na etapa de seleção, a qual é realizada por Rank

no primeiro e substituída pela distância de Hamming no segundo, respectivamente,

promovendo uma comparação nos algoritmos evolutivos baseados em SIA's

implementados. Aqui, os algoritmos SIA-AV e SIA-ALV são algoritmos evolutivos

desenvolvidos a partir de ideias e etapas desenvolvidas em algoritmos genéticos e

algoritmos de sistemas imunológicos artificiais, com a característica básica de manter

fixo o tamanho da população ao longo das gerações.

Para os problemas de maximização da eficiência de acoplamento de tapers,

contínuo e segmentado, os algoritmos implementados anteriormente, AG Figura

3.16(a) e SIA-ALV Figura 3.19(b), são utilizados. No AG além da variação do tamanho

da população é considerado o operador de cruzamento do tipo uniforme, Figura 3.18(b),

80

a função de fitness (eficiência de acoplamento), para ambos os algoritmos, foi

modificada de forma a atender as exigências do cálculo e avaliação da eficiência de

acoplamento dos tapers resultantes, Figura 3.20(b).

Saída

Entrada Saída

Entrada

PFitness , com P P

P

(3.7)

na qual o EntradaP é a potência na entrada, modo fundamental com largura de 7μm no

taper contínuo e 0,3μm para o taper segmentado, SaídaP é a potência resultante na saída.

Um algoritmo de evolução diferencial (ED) foi concebido, Figura 3.20(a), e o

mesmo possui bastante similaridade com o AG da Figura 3.16(a), porém com alteração

na ordem em que acontecem o cruzamento e a mutação. O ED não foi aplicado no

presente trabalho para otimização da PBG de cristais fotônicos, porque essa aplicação já

foi realizada [63], com comparações de ED e AG.

No presente estudo, aplica-se o ED, assim como o AG com cruzamento

uniforme e o SIA-ALV na otimização da eficiência de acoplamento de tapers contínuos

e tapers segmentados, pois ainda não há trabalhos envolvendo computação bio-

inspirada e esse tipo de problema (eficiência de acoplamento de tapers).

(a) (b)

Figura 3.20. (a) Fluxograma do Algoritmo de Evolução Diferencial, implementado e (b) fitness utilizado

para o cálculo da eficiência de acoplamento.

O tipo de estratégia aqui adotada para o ED foi escolhida de forma empírica,

testando e alterando o algoritmo até encontrar melhores resultados, ou seja, maiores

valores da eficiência de acoplamento. Desse modo, foi adotado o ED com a estratégia

81

ED/best/2/bin, isso significa que o cruzamento é do tipo binomial e o vetor doador será

da seguinte maneira:

vt+1

i=xtqualquer+F(x

tq−x

tr + x

ts−x

th) (3.8)

As etapas que compõem o ED, Figura 3.20, proposto nesse trabalho são:

1) Inicialização e Fitness: são os mesmos realizados no AG uniforme e SIA-

ALV. É gerada aleatoriamente uma população de configurações de tapers, esses são

transformados em malhas de elementos finitos através do software GiD® e depois são

calculados os campos dessas estruturas com o programa FEM-2D [20, 43, 44], que por

sua vez devolve os valores das eficiências de acoplamento da potência de cada estrutura.

Como o objetivo é maximizar essa eficiência, esses resultados são os valores de fitness

de cada indivíduo.

2) Mutação: o indivíduo doador é proveniente da perturbação do melhor

indivíduo por dois pares de diferenças ponderadas Equação (3.8), já que foram

utilizados tamanhos de população relativamente altos (maior ou igual a 10). Para

executar essa etapa, é necessário tratar com números reais a matriz população. No AG e

SIA-ALV a matriz população é binária, porém foi utilizada uma codificação de binário

para real (implementada nesse trabalho, escrita em MATLAB® e apresentada a seguir),

pois o software GiD® recebe valores reais para construção das malhas.

Npedaco=quantidade de seções do TAPER

Npedaco =tamanho da população

Preal=zeros(Npedaco,Tpopulacao);%%% inicializacao da matriz que ira

conter os valores decodificados com dimensao NpedacoXNpedaco

for j_inicial = 1:Tpopulacao

a_inicial=1;

for i_inicial = 1:Npedaco

conjunto_inicial =Pbinario(a_inicial:a_inicial+7, j_inicial);

Pdecimal(i_inicial,j_inicial) = bi2de(conjunto_inicial');

a_inicial=a_inicial+8;

end

Pdecimal;

for iLreal=1:Npedaco;

%%para o taper segmentado

Preal(iLreal,j_inicial)=((0.240/256)*Pdecimal(iLreal,j_inicial)+0.03);

%%para o taper continuo

Preal(iLreal,j_inicial)=((8/256)*Pdecimal(iLreal,j_inicial)+0.1);

end

end

Preal;

No ED, a população é gerada com números reais positivos, sem a necessidade de

utilizar transformações entre um passo e outro do algoritmo, os bons genes devem ser

mantidos;

82

3) Cruzamento: é escolhido o cruzamento binomial. A variação do valor da

probabilidade de cruzamento é apresentada e discutida no Capítulo 4.

Um outro parâmetro que foi variado do ED é o fator de perturbação, de forma a

auxiliar na obtenção da configuração mais eficaz para os problemas aplicados.

Informações complementares do AG, algoritmo evolutivo baseado em SIA e do

ED, para a aplicação dos tapers são detalhadas no Capítulo 4.


Foi apresentada a teoria dos algoritmos Bio-inspirados (AG, SIA e ED) que

fazem parte desse trabalho. Origem, suas definições, similaridade com processos

existentes na natureza, ideias de algoritmos básicos e clássicos, as principais variáveis e

parâmetros, as principais vantagens e desvantagens, os passos necessários para o

desenvolvimento e implementação dos mesmos.

Os algoritmos baseados em sistemas imunológicos artificiais, devido as suas

características, podem prover melhores soluções e convergência dos resultados, através

da variação de seus parâmetros e taxas, fato esse que será evidenciado no Capítulo 4.

Os algoritmos implementados, AG, SIA-AV, SIA-ALV e ED, foram

apresentados através dos respectivos fluxogramas, com os seus respectivos passos.

83

Capítulo 4

4. Resultados Encontrados e Publicações Associadas

Nesse capítulo, são apresentados os resultados encontrados pelos algoritmos AG

com cruzamento de dois pontos, AG com cruzamento do tipo uniforme, algoritmo

evolutivo baseado em SIA (AV e ALV) e ED, implementados, em paralelo, com a

comparação dos mesmos com os resultados encontrados na literatura e as respectivas

publicações associadas.

São consideradas simulações com estruturas compostas por material isotrópico (o

índice de refração é o mesmo em qualquer direção), silício com índice de refração

n=3,476, com o objetivo de validar e comparar os algoritmos desenvolvidos com a

literatura [14, 33]. Após a validação dos mesmos e melhorias realizadas no algoritmo

SIA, possibilitou-se a concepção de dois algoritmos evolutivos baseados em sistemas

imunológicos artificiais, o SIA-AV e o SIA-ALV, Figura 3.19, os quais se diferem em

etapas como afinidade e seleção, mencionadas, anteriormente, no Capítulo 3. O material

utilizado é o anisotrópico uniaxial (o índice de refração depende do modo de

propagação), telúrio que, devido às suas propriedades, possui dois índices de refração: o

ordinário no=4,8 e o extraordinário ne=6,2.

Também são apresentados os resultados das otimizações da eficiência de

acoplamento dos tapers contínuos e dos tapers segmentados, propostos através da

associação do software GiD®, programa FEM-2D [20, 43, 44] e dos algoritmos ED,

SIA-AV e ALV, AG com cruzamento uniforme e a comparação dos resultados obtidos

com alguns encontrados na literatura. Todos os algoritmos foram concebidos e

utilizados no MATLAB®.

4.1. Material Isotrópico (Si e ar)

No início da simulação de ambos os AG’s foram utilizadas populações

compostas por 20 e 50 indivíduos, gerados de forma aleatória com distribuição

uniforme. Existe também a possibilidade de adicionar alguns cromossomos iniciais com

banda proibida, a fim de acelerar a convergência. Além disso, é possível iniciar o

processo a partir do estado final de outra simulação. Caso a convergência apresente

84

algum problema, é possível o ajustamento de alguns parâmetros, pois o tamanho da

população continua a mesma ao longo de todas as gerações [14].

É utilizada a seleção por Roulette Wheel [7, 83, 85, 86, 97] e não se permite que

a seleção dos mesmos pais ocorra mais de uma vez na mesma geração. O crossover é

feito em posições aleatórias dos cromossomos, assim como o tamanho do pedaço do

cromossomo a ser modificado, permitindo uma população com alta diversidade.

Considera-se dois tipos de genes, o gene representado por dois triângulos adjacentes da

malha apresentada anteriormente, Figura 2.4, formando assim elementos

paralelogramos, e o gene representado por apenas um triângulo, que é chamado de

elemento triângulo.

O crossover implementado em [14] e no AG inicial desenvolvido nesse trabalho,

é denominado de “dois pontos”, devido à sua característica apresentada na Figura

3.18(a). Após estudos, implementou-se um outro tipo de crossover, denominado de

“uniforme” devido às suas características. Para cada gene é sorteado um número zero ou

um (criando uma máscara), se for sorteado o número um, o primeiro filho recebe gene

da posição corrente do primeiro pai e o outro o do segundo pai. Mas, se o valor sorteado

for zero, as atribuições serão invertidas, Figura 3.18(b).

Esse operador tende a conservar esquemas longos da mesma forma que preserva

esquemas de menor comprimento, desde que ambos tenham a mesma ordem. Devido ao

fato de fazer um sorteio para cada posição, esse crossover tem uma grande possibilidade

de estragar todo e qualquer esquema, mas em média o seu desempenho é superior ao

dos seus antecessores [7, 11, 51].

O número de características que podem ser efetivamente transferidas aos

descendentes, usando-se o crossover de dois pontos, aumenta de forma considerável.

No entanto, é observado que ele é ainda maior utilizando o operador de crossover

uniforme.

A mutação utilizada em ambos os AG’s acontece em intervalos definidos,

alterando o valor de alguns genes dentro do cromossomo. O elitismo é de grande

importância, porque o melhor cromossomo permanece na próxima geração, evitando

uma possível redução da aptidão de seu novo cromossomo, a qual afetaria o processo de

convergência.

A PBG do modo TE12 com arranjo quadrado e TM12 com o arranjo triangular foi

analisada, utilizando em cada um deles elemento do tipo paralelogramo (dois triângulos

85

adjacentes com mesmo material) e do tipo triângulo, como realizado em [14]. O critério

de parada adotado é o número de gerações igual a 1000.

As evoluções dos melhores indivíduos encontrados para todos os experimentos

com o AG, com cruzamento de dois pontos e com o uniforme, simulados, são

apresentadas nas Figuras 4.1 e 4.2. Em todos os casos o AG uniforme atingiu PBG’s

mais elevadas que os demais, alcançando o valor ótimo em menos gerações que os

demais, porém o AG de dois pontos também conseguiu valores expressivos.

(a) (b)

Figura 4.1. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo quadrado para o

modo TE12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50 indivíduos.

(a) (b)

Figura 4.2. Evolução do melhor indivíduo do cristal com material isotrópico e arranjo triangular para o

modo TM12: (a) população com 20 indivíduos e (b) população com 50 indivíduos

Na Tabela 4.1, são observadas as configurações e os seus respectivos valores de

PBG’s otimizadas encontradas através do AG com cruzamento uniforme e de dois

pontos, com populações diferentes, além de possibilitar uma comparação com os

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

GERAÇÕES

dois pontos-paralelogramo

uniforme-paralelogramo

dois pontos-triângulo

uniforme-triângulo

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

GERAÇÕES


uniforme-paralelogramo


uniforme-triângulo

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

GERAÇÕES


unforme-paralelogramo


unfiorme-triângulo

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

GERAÇÕES


unifome-paralelogramo


uniforme-triângulo

86

valores encontrados em [14], que também utilizou o mesmo número de elementos, 200

triângulos, na malha da célula unitária do cristal.

Tabela 4.1. Comparação dos Valores de PBG obtidos (%)

Cristal com Arranjo Quadrado (TE12)

20 indivíduos 50 indivíduos

Elemento

Paralelogramo Elemento Triângulo

Elemento


[14] Dois

Pontos Uniforme

Dois

Pontos Uniforme

Dois

Pontos Uniforme

Dois

Pontos Uniforme

29,80 30,95 31,67 29,20 34,32 26,49 31,37 27,06 34,25

Cristal com Arranjo Triangular (TM12)

20 indivíduos 50 indivíduos

Elemento


Elemento


[14]

Dois

Pontos Uniforme [14]

Dois

Pontos Uniforme

Dois

Pontos Uniforme

Dois

Pontos Uniforme

47,85 48,09 49,18 48,09 48,51 51,74 44,81 49,20 42,27 51,65

A partir da análise dos gráficos de evolução e da Tabela 4.1, foi possível validar

os AG’s concebidos, pois os valores obtidos foram maiores que os maiores valores

encontrados em [14] para o mesmo problema. Porém, esse estudo proporcionou, além

da comparação com a literatura, uma comparação entre tamanhos diferentes de

população e entre o impacto da modificação do operador de cruzamento uniforme em

relação ao de dois pontos, sendo essa etapa uma das contribuições do trabalho.

Os melhores cristais otimizados resultantes, Figuras 4.3-4.6, são similares,

porém, uma pequena alteração em suas geometrias e disposição dos materiais possibilita

o aumento ou a redução das bandas fotônicas proibidas dessas estruturas cristalinas,

como observado na Tabela 4.1.

(a) (b)

Figura 4.3. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TE12

com população de 20 indivíduos, AG (a) dois pontos e (b) uniforme.

87

(a) (b)

Figura 4.4. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TE12


(a) (b)

Figura 4.5. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TM12


(a) (b)

Figura 4.6. Cristais fotônicos resultantes com arranjo quadrado e elementos triângulos para o modo TM12


Nota-se também que as estruturas com arranjo triangular e elemento triangular

possuem os maiores valores de PBG’s. Apresentam-se na Tabela 4.2, os valores de

tempo médio de simulação dos algoritmos AG uniforme e AG de dois pontos,

respectivamente. Como um dos objetivos de uso da computação bio-inspirada, além de

88

encontrar os melhores resultados, é a redução do esforço computacional. Logo, pelos

valores de tempo exibidos, o operador de cruzamento do tipo uniforme, além de obter

os melhores resultados, possui o menor tempo de processamento por geração. Todas as

simulações foram realizadas no mesmo computador e sob as mesmas condições.

Tabela 4.2. Tempo médio de processamento médio para cada geração.

Cristal com Arranjo Quadrado

Dois pontos Uniforme

20

indivíduos

50

indivíduos

20

indivíduos

50

indivíduos

Elemento

paralelogramo

1min 42s 3min 36s 1min 30s 3min 24s

Elemento triângulo 1min 12s 3min 24s 1min 18s 3min 12s

Cristal com Arranjo Triangular

Dois pontos Uniforme

20

indivíduos

50

indivíduos

20

indivíduos

50

indivíduos

Elemento

paralelogramo

2min 5min 2min 18s 5min 18s

Elemento triângulo 2min 4min 56s 2min 5min

Após esses resultados utilizando AG's, realizaram-se modificações nos códigos,

troca do método de seleção para a seleção por Ranking, a substituição do operador de

cruzamento por um operador de clonagem, uso de uma afinidade entre os indivíduos, a

mutação acontecendo em todas as gerações com taxas de variação, a fim de desenvolver

um algoritmo evolutivo com características de AG e SIA, simultaneamente. Essas

modificações transformaram o algoritmo evolutivo baseado em sistemas imunológicos

artificiais com seleção clonal (SIA-AV), anteriormente apresentado, Figura 3.19.

Após a concepção do SIA-AV, foi realizada uma comparação entre os melhores

indivíduos do AG (uniforme), AG (dois pontos) e do SIA-AV, com material isotrópico

e ar. Todos com populações iniciais de 20 indivíduos, elemento triângulo (pois

proporciona maior grau de liberdade de disposição dos materiais nas estruturas) para

arranjos quadrado e triangular, os quais são escolhidos por apresentarem os melhores

resultados anteriormente, Figuras 4.7 e 4.8. Nelas são observadas uma convergência e

evolução mais rápidas no AG (uniforme) e no SIA-AV.

89

Figura 4.7. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo quadrado e população de 20

indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV.

Figura 4.8. Evolução do melhor indivíduo para o cristal com arranjo triangular e população de 20

indivíduos, para o AG (dois pontos), AG (uniforme) e SIA-AV.

Os cristais obtidos com o AG, com crossover uniforme e dois pontos e com o

SIA-AV são apresentados nas Figuras 4.9 e 4.10. Em todos os casos, as estruturas finais

são semelhantes, mais uma vez, provando que uma pequena alteração na disposição de

elementos nos cristais, pode aumentar ou reduzir significativamente os valores de

PBG’s. Os respectivos resultados obtidos, com os valores de PBG’s, são apresentados

na Tabela 4.3.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

GERAÇÕES

AG cruzamento de dois pontos

AG cruzamento uniforme

SIA

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

GERAÇÕES

AG cruzamento de dois pontos

AG cruzamento uniforme

SIA

90

(a) (b) (c)

Figura 4.9. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TE12 com arranjo quadrado com elementos

triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e (c) SIA-AV.

(a) (b) (c)

Figura 4.10. Cristais Fotônicos otimizados para o modo TM12 com arranjo triangular com elementos

triângulos com 20 indivíduos através de (a) AG (dois pontos), (b) AG (uniforme) e (c) SIA-AV.

Tabela 4.3. Comparação dos valores das Bandas Fotônicas Proibidas com elementos triângulos (%).

Cristais com Arranjo Quadrado (TE12)

Dois Pontos [14] Uniforme SIA-AV

29,2 29,8 34,32 33,64

Cristais com Arranjo Triangular (TM12)

Dois Pontos [14] Uniforme SIA-AV

48,51 48,09 51,74 51,31

Nota-se que o AG com o crossover uniforme e o SIA-AV possuem resultados

melhores do que o AG com o crossover de dois pontos. Isso pode ser atribuído a maior

diversidade dada à população através do AG (uniforme) e do SIA-AV, o que permitiu

ampliar o espaço de busca e localizar novos pontos ótimos. Os melhores resultados

ficaram evidentes para o arranjo triangular, no qual a banda fotônica proibida

apresentou ganhos mais significativos em relação ao cruzamento de dois pontos e a

literatura [14].

Após a análise anterior, apenas para o modo TM e TE, separados, foi realizada a

91

otimização da PBG absoluta, TE e TM simultâneos, problema esse que exige maior

esforço computacional que o anterior.

A maximização da PBG absoluta é explorada em Rezaei et al. [27, 28] e

Khalkhali et al. [31] com cristais fotônicos [32], utilizando o telúrio com diferentes

arranjos e considerando várias geometrias regulares no interior dos cristais, tais como,

circular, triangular, elíptico, retangular e formas quadradas. Nesses casos, o método de

expansão de ondas planas (PWE) foi utilizado. Em Rodriguez-Esquerre et al. [60] e Lin

e Jao [116], a propagação da luz no plano dos cristais fotônicos com arranjos

bidimensionais foi estudado usando o FEM no domínio da frequência, cujos resultados

mostraram concordância com a utilização do método de PWE. O FEM é uma

representação numérica flexível e uma técnica eficiente de modelagem de dispositivos

não-homogêneos e estruturas complexas. Para o cálculo da PBG, uma formulação

baseada em FEM [3, 18, 60, 74, 79, 80, 117] e apresentada no Capítulo 3 é utilizada.

Embora a estratégia proposta seja aplicada para se obter PBG absoluta em materiais

anisotrópicos uniaxiais, o método pode ser utilizado em problemas mais simples ou

mais complexos, tais como, o caso isotrópico que é apresentado nessa subseção e

também considerando apenas uma polarização [118], como apresentado para o modo

TM e TE, anteriormente.

A otimização da PBG absoluta, usando algoritmos bio-inspirados, algoritmos

evolutivos baseados em sistemas imunológicos artificiais, SIA-AV e SIA-ALV, e AG

(uniforme), para cristais fotônicos compostos de silício e ar, com índices de refração,

3,476Sin e 1,0arn , respectivamente, entre os modos TE12 e TM23, é realizada com

o arranjo triangular, pois este tipo de arranjo apresentou nas simulações resultados mais

promissores que o arranjo quadrado, seguindo a análise realizada por Joannopoulos et

al. [33]. Os algoritmos bio-inspirados, SIA-AV, SIA-ALV e AG (uniforme) foram

explicados e apresentados no Capítulo 3. Aqui, para a validação da aplicação, com

cristais fotônicos compostos de silício e do ar, o tamanho das populações utilizadas no

AG varia de 10 a 100 indivíduos, e são apresentados os resultados na Figura 4.11. Para

os SIA's AV e ALV utiliza-se em ambos uma população inicial de 20 indivíduos, com

taxas de mutação iguais de 1%, a fim de identificar o que mais se adapta a esse

problema, e os resultados são apresentados na Figura 4.12.

Na Figura 4.11 é apresentada a evolução dos melhores indivíduos do AG em

1000 gerações, variando o tamanho da população entre 10 e 100 indivíduos. Nota-se

92

que à medida que aumenta o tamanho da população o AG tende a estagnar e exigir

maior esforço computacional, já que o cálculo das bandas é realizado mais vezes e não

consegue evoluir da mesma maneira que as populações de 10, 20 e 30. Logo, a

população com 10 indivíduos para o AG é a ideal, para esse problema, pois obteve

17,05% de PBG absoluta. Isso se deve ao fato de que o desempenho do algoritmo

genético é extremamente sensível ao tamanho da população [96], ou seja, se o número

for pequeno demais, o algoritmo pode ser incapaz de encontrar boas soluções e se esse

número for muito grande, o algoritmo, além de demorar mais para concluir uma

geração, mais demorado será conseguir uma resposta, o mesmo pode ainda se aproximar

de uma busca exaustiva [96]. Logo, ficou claro que a não se deve aumentar o tamanho

da população indiscriminadamente e que o tamanho ideal da população de um algoritmo

genético depende também do problema proposto.

Figura 4.11. Evoluções dos diferentes tamanhos da população do AG em função do melhor indivíduo e do

número de gerações para o Arranjo Triangular, no problema da PBG absoluta de cristais compostos por

material isotrópico imerso em ar.

Na Fig. 4.12, pode ser observada a evolução dos algoritmos evolutivos (SIA's

AV e ALV) em 1000 gerações, como definido anteriormente. Nota-se que o SIA-ALV

atingiu maior valor de PBG absoluta que o SIA-AV, sendo que o último estagnou em um

valor máximo local por volta de 600 gerações. As respectivas células unitárias são

apresentadas como inserções na Figura 4.12 e os respectivos cristais resultantes na

Figura 4.13. As estruturas são bastante semelhantes.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

PB

G A

BS

OL

UT

A

GERAÇÕES

10 20 30

40 50 100

93

(a) (b) Figura 4.12. Evolução do fitness do melhor indivíduo encontrado e a respectiva célula unitária resultante

(como inserção na figura) para o arranjo triangular (a) SIA-AV 17,53% e (b) SIA-ALV 18,81%,

respectivamente.

(a) (b)

Figura 4.13. Estruturas cristalinas otimizadas para o arranjo triangular (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV,

respectivamente, (PBG absoluta silício).

Na Figura 4.13, podem ser observados os cristais resultantes otimizados

encontrados pelos algoritmos bio-inspirados, SIA-AV e SIA -ALV, pois foram os que

apresentaram maiores valores de PBG absoluta. As estruturas encontradas são

semelhantes às apresentadas em Joannopoulos et al. [33], o qual utiliza cilindros

perfeitos com o fator de preenchimento r/a = 0,48. Na qual r/a significa a relação entre o

raio dos furos de ar (cilindros ou buracos) e a constante de arranjo. As regiões escuras

são silício.

É apresentada na Figura 4.14 a evolução dos melhores indivíduos obtidos pelo

SIA-ALV, com populações de 10 e 20 indivíduos, variando as taxas de mutações em

ambos os casos, em função do número de gerações. Nota-se que para 10 indivíduos,

Figura 4.14 (a), a taxa de mutação que proporcionou melhor convergência e maior valor

de PBG absoluta foi a de 0,5%, enquanto que para a população de 20 indivíduos, Figura

0 200 400 600 800 10000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Fitn

ess

Generations

PB

G A

BS

OL

UTA

GERAÇÕES

0 200 400 600 800 10000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Fitness

GenerationsGERAÇÕES

PB

G A

BS

OL

UTA

94

4.14 (b), o melhor valor foi obtido com a taxa de 1%.

(a)

(b)

Figura 4.14. Evoluções das diferentes taxas de mutação em função do melhor indivíduo e do número de

gerações para o Arranjo Triangular com SIA-ALV (a) 10 com 19,13% e (b) 20 indivíduos com 18,86%,

respectivamente.

Essa análise proporcionou uma comparação entre o AG e o SIA-ALV com o

resultado encontrado na literatura em Joannopoulos et al. [33], que pode ser observada

na Tabela 4.4. Essa comparação valida o método utilizado, AG e SIA-ALV, por

encontrar estruturas com valores de PBG absolutas maiores. Isso se deve ao fato de que

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

PB

G A

BS

OL

UT

A

GERAÇÕES

0,5% 1% 2% 3% 4%

5% 6% 7% 8% 9%

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

BA

ND

A F

OT

ÔN

ICA

PR

OIB

IDA

AB

SO

LU

TA

GERAÇÕES

0.5% 1% 2% 3% 4%

5% 6% 7% 8% 9%

95

em [33] foram consideradas estruturas de fácil fabricação, por se tratarem de cilindros

perfeitos de ar no silício, enquanto que as estruturas encontradas pelos algoritmos desse

trabalho apresentam um aumento ou redução da PBG absoluta à medida que se remove

ou insere triângulos de silício na malha da estrutura, indicando assim que uma pequena

alteração de material ou geometria influencia diretamente na PBG dos cristais.

Tabela 4.4. PBG Absoluta e número de canais para o Arranjo Triangular.

Cristal Composto por Silício e Ar

Joannopoulos et al. [33] AG SIA-ALV

18.00% 17,05% 19,13%

Quantidade de Canais DWDM suportados

Joannopoulos et al. [33] AG SIA-ALV

350 338 385

Na próxima subseção é realizado um estudo mais detalhado com os SIA's AV e

ALV (variando o tamanho da população e taxas de mutação em ambos), pois

apresentaram valores mais significativos para esse tipo de problema, utilizando material

anisotrópico uniaxial e ar.

Foi realizado também o cálculo do número de canais suportados pelos melhores

cristais otimizados e da estrutura encontrada em Joannopoulos et al. [33], no sistema

DWDM (espaçamento entre canais de 0,8nm), Tabela 4.4. Nota-se que a estrutura com

maior PBG absoluta encontrada pelo SIA-ALV, suporta uma maior quantidade de

canais que as demais, tornando-a uma ótima candidata para a fabricação de dispositivos

de Telecomunicações.

Na Figura 4.15, são apresentados os diagramas de dispersão das estruturas

encontradas pelo AG, pelo SIA-ALV e encontradas em Joannopoulos et al. [33]. Nota-

se que as faixas de PBG's estão aproximadamente na mesma faixa de frequência (entre

0,4 e 0,5 nos diagramas), porém a faixa encontrada com o cristal otimizado pelo SIA-

ALV possui uma faixa mais larga que as demais. Como citado no Capítulo 2, é de suma

importância a construção e comparação dos diagramas de dispersão, pois é através dos

mesmos que se pode visualizar as regiões ou faixa de frequências em que o cristal não

permite a propagação da luz.

96

(a) (b) (c)

Figura 4.15. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM do arranjo triangular encontrados com (a) o

AG, (b) o SIA-ALV e o encontrado em (c) Joannopoulos et al. [33]. As linhas em azul representam as

bandas do modo TM e as linhas em vermelho, as bandas do modo TE.

Com o intuito de avaliar e testar se os melhores algoritmos e configurações não

estejam convergindo, evoluindo ou gerando diferentes resultados para uma mesma

configuração, o que prejudicaria a utilização dos mesmos no decorrer da pesquisa, são

realizados testes de execuções sobre os mesmos. O teste consiste em executar a melhor

configuração do AG e do SIA-ALV, para o problema da PBG absoluta de cristais

compostos de silício e ar, arranjo triangular, anteriormente apresentados, diversas vezes,

cada um deles com um número fixo de gerações, observando a curva de evolução do

fitness dos melhores indivíduos, em ambos.

(a) (b)

Figura 4.16. Desvio padrão em função de 1000 gerações fixas e curvas de repetição do fitness em função

do número de gerações, dos melhores algoritmos implementados com Arranjos Triangulares (a) AG e (b)

SIA-ALV, respectivamente.

Na Figura 4.16, observa-se a curva do desvio padrão em função do

número de gerações e as curvas de evolução do fitness em função do número de

gerações para cada repetição dos algoritmos. Todos os algoritmos apresentaram ótimas

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

PBG ABSOLUTA

FR

EQ

UÊ

NC

IA N

OR

MA

LIZ

AD

A

VETOR DE ONDA

TM

TE

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

PBG ABSOLUTA

FR

EQ

UÊ

NC

IA N

OR

MA

LIZ

AD

A

VETOR DE ONDA

TM

TE

Wave Vector

0 200 400 600 800 10000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

AG PBG ABSOLUTA Silício (ARRANJO TRIANGULAR)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

0 200 400 600 800 10000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

SIA PBG ABSOLUTA Silício (ARRANJO TRIANGULAR)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

97

evoluções nas repetidas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores

indivíduos evoluam para resultados melhores sempre que executados, caso não haja

mudanças nos parâmetros dos mesmos. Cada algoritmo é executado 10 vezes durante

1000 gerações.

Cada geração durou em média 1 minuto e 25 segundos para o AG, enquanto que

para o SIA-ALV o tempo médio foi de 2 minutos e 20 segundos. Essa diferença entre os

tempos médios pode ser atribuída às características e passos executados de cada

algoritmo.

As execuções possuem ao final de 1000 gerações um valor médio de PBG

Absoluta de 16,85% para o AG com desvio padrão de 0,538% e 17,02% de PBG

Absoluta para o SIA-ALV com desvio padrão de 5,411%, ou seja, baixos valores de

desvio padrão com valores médios altos em ambas as execuções, demonstrando assim a

eficiência e convergência dos algoritmos implementados para esse problema.

4.2. Material Anisotrópico Uniaxial (Telúrio e ar)

Devido à análise da subseção anterior, escolheu-se o algoritmo evolutivo

baseado em sistema imunológico artificial como ferramenta principal para esse tipo de

problema, pois o mesmo chamou a atenção, por se tratar de uma ferramenta utilizada em

poucos trabalhos encontrados e em problemas de fotônica e microondas. Em Malheiros-

Silveira et al. [19], Zhi-Yuan et al.[26], Rezaei et al. [27, 28], são encontrados

problemas envolvendo PBG’s absolutas de cristais fotônicos compostos por telúrio e ar,

resultando em uma grande oportunidade de testes e melhoramento dos resultados para

os SIA’s (AV e ALV), Figura 3.19, desenvolvidos, implementados e apresentados

anteriormente, de acordo com a teoria sobre algoritmos bio-inspirados e computação

evolucionária [7, 98-104]. O AG não foi utilizado para essa análise com material

anisotrópico porque já foi realizado esse estudo em [63].

Nessa subseção, é apresentado o uso dos SIA's AV e ALV no problema inverso

para a otimização da banda fotônica proibida absoluta dos cristais fotônicos, compostos

por telúrio e ar. Para isso, são considerados arranjos quadrados e triangulares e PBG's

entre os modos, TE12 e TM34. As principais vantagens de trabalhar com telúrio são: a

possibilidade de trabalhar com dois índices de refração diferentes, um para cada modo

de polarização (TE e TM); o maior grau de liberdade para ajustar e/ou sobrepor bandas

proibidas; o fato de ser transparente até 35 micrômetros para aplicações na metade e no

98

final da janela do infravermelho, permitindo grandes tamanhos de dispositivos devido

ao grande comprimento de onda de operação; e, quando comparado com o silício,

material isotrópico, exibe valores mais elevados de PBG absoluta [19, 27-29, 31, 32, 56,

118].

Uma característica importante do algoritmo de otimização bio-inspirado

(baseado em SIA) proposto, é a possibilidade de encontrar novas soluções ideais,

devido ás suas etapas de clonagem e de afinidade. Essas etapas aumentam o espaço de

busca com maior diversidade da população [7]. O SIA tem sido aplicado para a

otimização de problemas eletromagnéticos [12, 81, 118].

Realiza-se então, nessa etapa, não apenas a validação através dos resultados

encontrados na literatura [19, 26-28], mas um estudo sobre o impacto de diferentes

taxas de mutação, tamanhos das populações iniciais e afinidades no processo de

convergência, evolução e esforço computacional, com objetivo de encontrar a

configuração do algoritmo evolutivo baseado em SIA que seja mais adaptado ao

problema.

As evoluções dos fitness em função do número de gerações, juntamente com a

variação das populações iniciais e a variação das taxas de mutação são apresentadas nas

Figuras 4.17 e 4.18, respectivamente.

Ao variar o tamanho da população durante 1000 gerações, nota-se através das

curvas de evolução, Figura 4.17, que para o SIA-AV o tamanho ideal é o de uma

população com 10 indivíduos, tanto para o arranjo quadrado, quanto para o arranjo

triangular. Para o SIA-ALV o ideal é uma população com 10 indivíduos (arranjo

quadrado) e 20 indivíduos (arranjo triangular). Essa etapa é muito importante, pois

auxilia na escolha do tamanho da população ideal para a resolução do problema aqui

proposto. A taxa de mutação utilizada em todas as simulações foi de 1%.

Na Tabela 4.5, observa-se a comparação entre os valores encontrados pelo SIA-

AV e SIA-ALV para diferentes tamanhos da população, tanto para o arranjo quadrado,

quanto para o arranjo triangular. Em negrito estão os maiores valores de PBG

encontrados em função do tamanho da população, portanto, esses serão utilizados para a

variação da taxa de mutação.

99

(a) (b)

(c) (d) Figura 4.17. Evoluções dos diferentes tamanhos da população em função do melhor indivíduo e do

número de gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV; Arranjo Triangular (c) SIA-

AV e (d) SIA-ALV.

Tabela 4.5. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular com diferentes tamanhos de

população utilizando o SIA-AV e SIA-ALV.

Tamanho da População

PBG Absoluta

Cristal com Arranjo Triangular Cristal com Arranjo Quadrado

SIA-AV SIA-ALV SIA-AV SIA-ALV

10 22,34% 15,63% 14,70% 17,14%

20 20,71% 24,41% 13,30% 13,65%

30 19,47% 23,03% 12,83% 12,82%

40 21,71% 22,50% 13,66% 12,72%

50 21,39% 19,97% 12,81% 12,92%

Definidos os tamanhos das populações, realizou-se uma etapa de variação da

taxa de mutação de ambos os algoritmos com suas respectivas populações, as quais

foram otimizadas na etapa anterior. Essa variação (entre 0,5% e 5%) tem como base

0 200 400 600 800 10000.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

Fitn

ess

Gerações

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 10000.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

Fitne

ss

Gerações

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 10000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fitn

ess

Gerações

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 10000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fitness

Gerações

10

20

30

40

50

100

valores comumente encontrados e/ou utilizados em referências encontradas na literatura

[7, 17, 63 , 104, 106, 107, 120], observando que a análise realizada na subseção

anterior, na qual ficou evidente que uma taxa de mutação elevada não melhorava os

resultados e nem a convergência dos algoritmos nesse tipo de problema proposto.

Após 1000 gerações, nota-se que o SIA-AV com população de 10 indivíduos

(arranjo quadrado) obteve melhor valor de PBG absoluta com a taxa de 0,5% de

mutação e com população de 10 indivíduos (arranjo triangular) obteve-se também

melhor valor de PBG absoluta com taxa de 1%. No SIA-ALV com população de 10

indivíduos (arranjo quadrado) o melhor valor de PBG absoluta acontece com a taxa de

0,5% de mutação e com população de 20 indivíduos (arranjo triangular), o melhor valor

de PBG absoluta acontece com a taxa de 1%, Tabela 4.6.

Na Figura 4.18, pode ser observado que aumentando a taxa de mutação, mais

lento fica o processo de evolução (evidenciado pela curva de evolução) para encontrar

maiores PBG’s, ou seja, necessitando de mais gerações em relação às taxas menores.

Na Tabela 4.6, observa-se a comparação entre os valores das PBG’s absolutas

encontrados pelos SIA-AV e SIA-ALV para diferentes taxas de mutação, tanto para o

arranjo quadrado, quanto para o arranjo triangular, respectivamente. A mutação

utilizada permite explorar um espaço de busca maior, pois permite uma variação na

quantidade de informações que podem ser ou não modificadas. Além disso, abrange

muitas possibilidades de configurações através da variação dos valores dessas

respectivas taxas.

A convergência dos resultados confirma que os cristais (arranjo triangular),

obtidos pela otimização com os algoritmos SIA-AV e SIA-ALV, possuem valores de

PBG melhores que em [19] o qual, pela literatura, foi o que havia encontrado maiores

valores anteriormente. As PBG’s absolutas encontradas nesse trabalho pelo SIA-AV e

SIA-ALV para o arranjo quadrado, após 1000 gerações, não são superiores, mas

conseguem se igualar ao valor encontrado pelo AG em [19].

101

(a) (b)

(c) (d)


gerações para o Arranjo Quadrado (a) SIA-AV e (b) SIA-ALV; Arranjo Triangular (c) SIA-AV e (d)

SIA-ALV.

Tabela 4.6. PBG Absoluta para o Arranjo Quadrado e Arranjo Triangular variando as taxas de Mutação.

Taxas de Mutação (%)

PBG Absoluta

Cristal com Arranjo Triangular Cristal com Arranjo Quadrado

SIA-AV (10) SIA-ALV (20) SIA-AV (10) SIA-ALV (10)

0.5 19,54% 18,78% 14,70% 17,14%

1 22,34% 24,41% 15,67% 12,62%

2 17,10% 11,06% 11,25% 10,74%

3 12,05% 10,71% 11,59% 6,36%

4 12,00% 10,91% 6,26% 5,86%

5 9,11% 8,24% 8,04% 4,21%

0 200 400 600 800 10000.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

Fitness

Gerações

0.5 1 2

3 4 5

0 200 400 600 800 10000.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

Fitne

ss

Gerações

0.5 1 2

3 4 5

0 200 400 600 800 10000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fitn

ess

Gerações

0.5 1 2

3 4 5

0 200 400 600 800 10000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fitn

ess

Gerações

0.5 1 2

3 4 5

102

As configurações das células unitárias otimizadas obtidas para o arranjo

quadrado e o arranjo triangular sobre uma malha de 10×10 paralelogramos, os quais são

divididos em 2 triângulos cada, são apresentadas como uma inserção na Figura 4.19. A

diversidade de indivíduos com diferentes fitness é também observada, o que indica que

houve uma exploração razoável de busca global, caracterizada por indivíduos de baixa

aptidão. Por outro lado, muitos indivíduos apresentam um bom valor de fitness, o que

pode ser atribuído a discretização realizada nas células unitárias para ambos os arranjos

e algoritmos.

(a) (b)

Figura 4.19. Evoluções do fitness dos melhores indivíduos e suas respectivas células unitárias (inserções

nos respectivos gráficos) encontrados para o Arranjo (a) Quadrado e (b) Triangular, respectivamente.

Os cristais otimizados são apresentados na Figura 4.20, concebidos através da

replicação da célula unitária. As áreas escuras são compostas por telúrio. As geometrias

resultantes são assimétricas. O mesmo comportamento pode ser observado em [19].

(a) (b)

Figura 4.20. Estruturas cristalinas encontradas a partir dos melhores indivíduos do Arranjo (a) quadrado e

(b) triangular, respectivamente.

0 200 400 600 800 10000,00

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

PB

G A

BS

OL

UT

A

GERAÇÕES0 200 400 600 800 10000.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

Fitness

Generations

0 200 400 600 800 10000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

PB

G A

BS

OL

UT

A

GERAÇÕES0 200 400 600 800 1000

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Fitn

ess

Generations

103

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.21. Diagramas de dispersão para os modos TE e TM para os arranjos quadrados (a) SIA-ALV e

(b) encontrado em [19], e para os arranjos triangulares (c) SIA-ALV e (d) encontrado em [19]. As linhas

contínuas representam as bandas do modo TM e as linhas pontilhadas, as bandas do modo TE.

Na Figura 4.21, são apresentados os diagramas de dispersão das estruturas

encontradas pelo SIA-ALV arranjo quadrado e triangular e pelas encontradas em [19].

Nota-se, assim como no problema anterior, que as faixas de PBG estão

aproximadamente na mesma faixa de frequência (entre 0,22 e 0,27 arranjo quadrado; e

entre 0,22 e 0,3 arranjo triangular), porém a faixa PBG encontrada com o cristal com

arranjo triangular é mais larga que os demais com arranjo quadrado.

Ao observar a Figura 4.20(b), que apresenta o cristal resultante com arranjo

triangular e com maior PBG absoluta, foi sugerido verificar o impacto que a remoção de

alguns triângulos "soltos" (refinamento), presentes na estrutura, poderia causar no valor

da respectiva banda fotônica encontrada nas Figuras 4.22(a) e 4.23(a). Foram realizados

X M X M X M X M X0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

ABSOLUTE PBG

Fre

qu

en

cy

Wave Vector

TM

TE

Fre

quência

Norm

ali

zada

Vetor de Onda

PBG ABSOLUTA

Fre

quen

cy

Wave Vector

K M K M K M K M K M K M K0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ABSOLUTE PBG

Fre

quency

Wave Vector

TM

TE

Fre

quência

Norm

ali

zada

Vetor de Onda

PBG ABSOLUTA

Wave Vector

Fre

qu

en

cy

104

dois "refinamentos", pensando futuramente em uma possível fabricação dessa estrutura,

como podem ser observados nas Figuras 4.22(b) e 4.23(b).

(a) (b)

Figura 4.22. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a) cristal exibindo

os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 2 triângulos, respectivamente.

(a) (b)

Figura 4.23. Estruturas cristalinas otimizadas através do SIA com Arranjo Triangular (a) cristal exibindo

os triângulos removidos e (b) "cristal refinado" com a remoção de 4 triângulos, respectivamente.

Os respectivos valores das PBG's absolutas mudaram, houve uma redução de

aproximadamente 0,5% no cristal com remoção de 2 triângulos da sua célula unitária,

Figura 4.22, e de aproximadamente 5% com a remoção de 4 triângulos da respectiva

célula unitária, Figura 4.23, em relação a estrutura otimizada encontrada pelo SIA-ALV.

Os maiores valores de PBG’s encontrados para os cristais com arranjo quadrado e

arranjo triangular são apresentados na Tabela 4.7. Nela, porém, observa-se também a

comparação entre os valores de PBG’s encontrados na literatura, utilizando outras

técnicas e os valores encontrados utilizando o SIA-AV e SIA-ALV, desse trabalho, para

o arranjo quadrado e para o arranjo triangular. Foram realizados também o cálculo do

105

número de canais suportados pelas melhores estruturas otimizadas e para as estruturas

encontradas em Malheiros-Silveira et al. [19], Zhi-Yuan et al.[26], Rezaei et al. [28], no

sistema DWDM (0,8 nm). Fica evidente que a quantidade de canais suportados pelas

estruturas desse trabalho são maiores do que as estruturas encontradas em Malheiros-

Silveira et al. [19]. Nota-se também que o arranjo triangular obteve os melhores valores

de PBG e canais, em geral.

Apesar da alteração nas estruturas, nota-se que com a remoção de alguns

elementos (triângulos) as estruturas encontradas nesse trabalho são mais regulares e

possuem maior valor de PBG absoluta que os encontrados no estado da arte.

As geometrias resultantes são consideradas como sendo regiões de ar em telúrio

[19], ao contrário do encontrado em outros trabalhos [26-30], nos quais PBG’s absolutas

podem ser encontradas, considerando geometrias compostas por hastes dielétricas de

telúrio no ar. É adotada como estratégia de refinamento uma célula unitária dividida em

200 triângulos.

Tabela 4.7. Comparação de PBG’s Absolutas e quantidade de canais (DWDM) para os

Arranjos Quadrados e Arranjos Triangulares

Cristal com Arranjo Quadrado

[26] [28] [19] SIA-ALV SIA-ALV

15,20%

283

15,44%

303

17,14%

338

15,67%

17,14% 338 canais

Cristal com Arranjo Triangular

[26] [28] [19] SIA-AV SIA-ALV 2 triângulos 4 triângulos

18,00%

346

20,72%

365

23,49%

463

22,34%

24,41%

482

24,30%

477

23,20%

455

Diferentemente de círculos e elipses, que são as mais tradicionais analisadas, as

estruturas resultantes não são triviais, tornando o processo de fabricação complexo. No

entanto, se PBG’s em modos de ordens superiores forem utilizadas, a constante de

arranjo seria maior e a robustez e tolerância de fabricação melhorada [19]. Nesse

estudo, as PBG’s são de modos e de ordens inferiores para serem comparados e

validados com os resultados encontrados na literatura [19]. O mesmo refinamento é

considerado para o arranjo quadrado e triangular.

106

Com o intuito de avaliar e testar se os melhores algoritmos e configurações não

estejam convergindo, evoluindo ou gerando diferentes resultados para uma mesma

configuração, o que prejudicaria a utilização dos mesmos no decorrer da pesquisa, são

realizados testes de execuções sobre os mesmos.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.24. Evolução do fitness em função de 500 gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos

Quadrados (a) SIA-ALV e (b) SIA-AV; Arranjos Triangulares (c) SIA-ALV e (d) SIA-AV,

respectivamente.

O teste consiste em executar os melhores SIA-AV e SIA-ALV, arranjo quadrado

e triangular, diversas vezes, cada um deles com um número fixo de gerações,

observando a curva de evolução do fitness dos melhores indivíduos, em ambos.

Na Figura 4.24, observa-se que todos os algoritmos apresentaram repetibilidade

nas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores indivíduos evoluem

para resultados melhores sempre que executados, caso não haja mudanças nos

parâmetros dos mesmos. Cada algoritmo é executado 10 vezes durante 500 gerações.

Cada geração durou em média 2 minutos e 20 segundos para o arranjo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

SIA-ALV (ARRANJO QUADRADO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16SIA-AV (ARRANJO QUADRADO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

0,24SIA-ALV (ARRANJO TRIANGULAR)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

SIA-AV (ARRANJO TRIANGULAR)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª

107

triangular, enquanto que para o arranjo quadrado o tempo médio dos algoritmos foi de 2

minutos.

4.3. Tapers

Dando segmento ao uso dos algoritmos bio-inspirados, adaptando os algoritmos

desenvolvidos anteriormente e a concepção do algoritmo de evolução diferencial, em

conjunto com o método dos elementos finitos (FEM), busca-se obter estruturas

otimizadas através da variação da forma do taper. Estruturas que possam minimizar a

perda de energia durante o acoplamento entre guias, pois os mesmos possuem tamanho

reduzido, o que torna o problema mais interessante e aplicável na área. Como

apresentado no Capítulo 1, o taper, ou acoplador de guias de onda, é uma estrutura que

é utilizada para conectar guias, fibras, entre outros dispositivos fotônicos, com

diferentes tamanhos e materiais, visando reduzir a perda de potência acoplada de um

guia para o outro.

Os algoritmos bio-inspirados foram utilizados com sucesso no problema com

cristais fotônicos da seção anterior, eles são ótimas ferramentas de solução também para

esse novo problema. As principais vantagens de estruturas otimizadas, através dos

algoritmos bio-inspirados, são a sua simplicidade, redução do tempo e esforço

computacional e a possibilidade de problemas de síntese.

4.3.1.Taper Contínuo

Na Figura 4.25, é apresentado o dispositivo a ser otimizado, o qual foi

denominado taper contínuo, com os respectivos parâmetros ópticos e geométricos que

serão as variáveis de entrada dos algoritmos desenvolvidos, em associação com o

software GiD® (que gera as malhas) e o programa FEM-2D [20, 43, 44], que realiza o

cálculo dos campos e da potência nas estruturas resultantes. A otimização desse tipo de

dispositivo proposto aqui, terá seus resultados comparados com alguns existentes na

literatura [21], com a utilização dos mesmos materiais, dimensões e comprimentos de

onda de operação.

Considera-se um guia de onda óptico uniforme composto de um dielétrico com

índice de refração n1=1,5, com o ar como revestimento n2=1,0 e com largura de 7µm. O

108

guia de saída é composto pelo mesmo material dielétrico, mas com largura de 0,5µm,

Figura 4.25.

Figura 4.25. Esquema da configuração do Taper Contínuo, analisado.

A região do taper foi subdividida em N=9 pontos de cortes, resultando em 10

seções. As seções em geral são de formatos trapezoidais. A eficiência ou potência

acoplada é calculada através do método dos elementos finitos descritos em Rubio-

Mercedes [44], Rubio-Mercedes et al.[20, 43] e em Tsuji e Koshiba [121], e sua

formulação pode ser vista no Capítulo 2. Cada corte possui um comprimento fixo de

0,8µm na direção x, resultando num taper de comprimento total de 8μm. Portanto, os

parâmetros usados como os indivíduos (possíveis soluções) nas populações dos

algoritmos e que são associados com a eficiência de acoplamento do taper são as alturas

dos guias de onda, na direção y, em cada partição w1, w2, . . . ,wN. É considerado

como valor máximo de w , 8,1máximo mw e o valor mínimo 0,1mínimo mw . Esses

valores são escolhidos de forma empírica [21, 36].

A malha do taper contínuo, considerada como a malha inicial dos algoritmos é

apresentada na Figura 4.26, na qual se pode observar a discretização dos FEM com

elementos triângulos quadráticos, as espessuras de cada PML e as cores de cada região

(materiais dos guias, substrato e PML's), juntamente com o valor do refinamento

adotado no software GiD® para a região do Taper (0,1µm) e para o restante da malha

Guia de Onda

de EntradaGuia de Onda

de Saída

7.0 µm

0.5 µm

8 µm

n2 = 1,0

n1 = 1,5

Wmax = 8.1 µm

Wmin = 0.1 µm

109

(0,25µm) escolhidos de forma a manter a malha eficiente com o menor número de

elementos aceitável.

Figura 4.26. Malha base com configuração do Taper Contínuo, analisado.

Essa estrutura base é considerada pela metade, pois a mesma é simétrica para a

redução do esforço computacional e a mesma possui 31509 elementos com 63506 nós,

porém para o cálculo dos campos e eficiência considera-se a estrutura "inteira".

Os algoritmos (AG uniforme, SIA-ALV e ED) utilizados seguem os passos

apresentados (inicialização, avaliação, seleção, mutação, cruzamento, elitismo, etc.) e

descritos no Capítulo 3. Os algoritmos propostos realizam nesse problema: a)

Inicialização: para o SIA-ALV é utilizada um tamanho de população inicial de 10

indivíduos, para o AG o tamanho da população varia de 10 a 50 indivíduos, enquanto

que para o ED o tamanho da população utilizada é de 10 indivíduos; b) Mutação: a taxa

de mutação varia no SIA-ALV entre 0,5 e 5% e de 1 a 9% no ED, o qual também variou

a probabilidade de cruzamento entre 1-9%. O critério de parada escolhido foi o número

de gerações.

Os dados utilizados nos algoritmos, além dos mencionados acima, para cada

variável do taper são: o comprimento de onda λ = 1,51μm; a largura de cada seção do

taper wN [0,1μm, 8,1μm]; o índice de refração do núcleo n1 = 1,5; o índice de refração

do revestimento n2 = 1,0; e o critério de parada é de 200 gerações.

O campo incidente, aqui considerado, é o modo fundamental do guia de onda de

entrada com largura de 7μm. O comprimento de onda operacional foi considerado como

1,51μm.

2µm 3µm 8µm 5µm 2µm

1,5µm

2µm16µm

4,75µm

0,25

0,1

0,25

110

A evolução dos melhores indivíduos (melhores valores da eficiência de

acoplamento) encontrados pelo SIA-ALV, variando a taxa de mutação em função do

número de gerações, é apresentada na Figura 4.27. Todas as variações utilizadas na

mutação resultaram em alta potência acoplada (eficiência de acoplamento), o que fica

evidente observando os valores encontrados na Tabela 4.8.

Figura 4.27. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV, com taxas

de mutação de 0,5-5%.

A configuração do SIA-ALV com taxa de mutação de 5% obteve eficiência de

acoplamento superior as demais. A respectiva estrutura resultante e projetada no GiD®

é apresentada na Figura 4.28, já na Figura 4.29 é apresentada a propagação dos campos

nessa estrutura através do FEM-2D [20, 43, 44].

Tabela 4.8. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de mutação para o

SIA-ALV.

Taxa de

Mutação (%) Valores Wi dos melhores indivíduos SIA (μm)

Eficiência (%) W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9

0,5 7,07 6,22 1,60 6,01 4,29 7,10 7,94 1,57 8,07 98,33

1 8.07 6.29 1.82 4.32 4.32 8.01 4.10 4.57 2.07 98.47

2 5.10 3.07 7.57 4.94 5.60 2.94 3.04 2.69 7.91 97.24

3 7.19 0.91 6.13 5.69 7.62 2.51 7.32 2.38 4.44 99.16

4 5.66 7.13 0.66 6.13 6.38 3.26 4.47 2.69 3.22 98.68

5 7.44 1.19 7.29 7.66 2.65 5.32 5.44 4.41 4.47 99.26

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

E

FIC

IÊN

CIA

DE

AC

OP

LA

ME

NT

O

GERAÇÕES

0,5% 1% 2%

3% 4% 5%

111

Figura 4.28. Estrutura do melhor taper otimizado encontrado através do SIA-ALV com taxa de mutação

de 5%.

Figura 4.29. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do SIA-ALV

com taxa de mutação de 5%.

Aplicando, agora, o AG na otimização da eficiência de acoplamento com a

variação do tamanho das populações do mesmo de 10 a 100 indivíduos, obtiveram-se as

curvas de evolução, que possibilitam a verificação do comportamento do algoritmo. A

evolução dos melhores indivíduos (melhores valores da eficiência de acoplamento)

encontrados pelo AG, variando o tamanho da população em função do número de

gerações, é apresentada na Figura 4.30. A variação no tamanho da população inicial

resultou em configurações de tapers contínuos, eficientes e com os resultados,

apresentados na Tabela 4.9.

W1

W2

W3 W4

W5

W6W7

W8 W9

z m

y(

m)

112

Figura 4.30. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com diferentes

populações.

Tabela 4.9. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho da população

para o AG.

Tamanho da

População Valores Wi dos melhores indivíduos AG (μm) Eficiência

(%) W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9

10 3,57 7,97 0,60 7,57 7,80 5,69 5,35 1,51 6,79 82,78

20 6,22 5,16 2,13 7,54 5,10 2,16 7,29 4,57 6,13 92,08

30 1,88 7,22 4,66 7,19 7,33 6,19 4,85 0,51 6,82 87,94

50 1,35 2,35 7,69 5,10 4,85 2,98 6,48 0,66 4,20 92,24

100 2,41 4,73 6,22 7,22 3,54 6,69 4,47 7,54 7,04 92,56

A configuração do AG com populações iniciais de 20 e 100 indivíduos obteve

boa eficiência de acoplamento, mas não foi melhor que a pior configuração encontrada

pelo SIA-ALV anteriormente. Nesse caso, a população de 100 indivíduos possui um

valor de eficiência maior que o da população de 20 indivíduos, mas como um dos

objetivos é obter a melhor estrutura com esforço computacional reduzido, a população

de 20 indivíduos é considerada a melhor. A respectiva estrutura resultante e projetada

no GiD® é apresentada na Figura 4.31, já na Figura 4.32 é apresentada a propagação

dos campos nessa estrutura através do FEM-2D [20, 43, 44].

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

EF

ICIÊ

NC

IA D

E A

CO

PL

AM

EN

TO

GERAÇÕES

10

20

30

50

100

113

Figura 4.31. Estrutura do melhor taper otimizado encontrado através do AG com 20 indivíduos.

Figura 4.32. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do AG com 20

indivíduos.

O estudo com variação da taxa de mutação e da probabilidade de cruzamento do

ED é realizado. A evolução dos melhores indivíduos em função do número de gerações

encontrados pelo ED é apresentada na Figura 4.33. Nela é possível observar o

comportamento do ED ao variar a sua probabilidade de cruzamento (taxa de

cruzamento), fixando a taxa de mutação em 3%. Na Tabela 4.10 são apresentados os

valores da eficiência de acoplamento em função da probabilidade de cruzamento.

W1W2

W3

W4

W5

W6

W7

W8

W9

y (μ

m)

z (μm)

114

Figura 4.33. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e do número

de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 3%.

Tabela 4.10. Eficiência de acoplamento do taper contínuo variando as probabilidades de cruzamento no

ED.

Probabilidade de Cruzamento Eficiência de Acoplamento (%)

0,1 89,52

0,2 94,15

0,3 94,16

0,4 91,97

0,5 93,64

0,6 94,25

0,7 96,18

0,8 92,45

O ED com a probabilidade de cruzamento de 0,7 apresentou menos perdas de

acoplamento da potência que os demais, fato esse evidenciado pelo valor da eficiência

de 96,18% que foi acoplada. Logo, para encontrar a configuração do ED que mais se

adapta a esse problema, fixa-se o valor da probabilidade de cruzamento (0,7) e varia-se

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

EF

ICIÊ

NC

IA D

E A

CO

PLA

ME

NT

O

GERAÇÕES

0,1 0,2 0,3 0,4

0,5 0,6 0,7 0,8

115

a taxa de mutação. Na Figura 4.34, são apresentadas as evoluções do ED variando a taxa

de cruzamento de 1 a 9%. Na Tabela 4.11, são apresentados os resultados da eficiência

encontrados a partir da variação das taxas de mutação com o valor da probabilidade de

cruzamento otimizado.


gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,7.

Tabela 4.11. Eficiência de acoplamento do taper contínuo variando as taxas de mutação no ED.

Taxas de Mutação (%) Eficiência de Acoplamento (%)

1 94,40

2 96,73

3 96,18

4 93,70

5 90,01

6 92,26

7 91,84

8 89,80

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

E

FIC

IÊN

CIA

DE

AC

OP

LA

ME

NT

O

GERAÇÕES

1% 2% 3%

4% 5% 6%

7% 8% 9%

116

Fica evidente, após essa análise, que a configuração do ED que mais se adapta a

esse problema é com taxa de mutação de 2%, probabilidade de cruzamento de 0,7 e

população de 10 indivíduos, resultando numa eficiência de acoplamento de 96,73%. A

respectiva estrutura resultante e projetada no GiD® é apresentada na Figura 4.35, na

Figura 4.36 é apresentada a propagação dos campos nessa estrutura através do FEM-2D

[20, 43, 44].

Figura 4.35. Estrutura otimizada do taper encontrado através do ED com taxa de mutação 2% e

probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de W=[1,10; 6,10; 5,10; 5,10; 5,10; 6,10;

4,10; 4,10; 0,13 ].

Figura 4.36. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do ED.

Após otimizar o taper, utilizando os algoritmos bio-inspirados (AG, SIA-ALV e

W1

W2W3W4

W5

W6

W7 W8

W9

z m

y(

m)

117

ED) para o comprimento de onda de operação λ = 1,51 μm, foram testadas as melhores

estruturas de cada método para diferentes comprimentos de onda num intervalo do

espectro óptico da banda infravermelha, pois as radiações usadas atualmente em

comunicações ópticas estão na faixa da luz infravermelha, com comprimento de onda

variando de 800nm a 1700nm, porém a faixa de 1200nm a 1700nm é mais utilizada, pois

nessa faixa estão compreendidas as janelas de transmissão (2ª e a 3ª) para médias e

longas distâncias em comunicações ópticas. Logo, a fim de verificar o comportamento e

o funcionamento de cada um dos dispositivos otimizados com esta variação de λ, é

escolhido λ entre [1,5μm 2μm], Figura 4.37.

Figura 4.37. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,5-2μm) para os

dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG (20 e 100 indivíduos) e ED, respectivamente.

Observar-se que, apesar dessa variação do comprimento de onda, os dispositivos

concebidos mostraram muita eficiência e altas taxas de acoplamento (acima de 80%).

Nota-se também, que apesar das estruturas encontradas pelo SIA-ALV possuírem

melhores eficiências de acoplamento, nesse teste, para vários comprimentos de onda, o

taper otimizado pelo AG, com 100 indivíduos, foi o que manteve mais regularidade.

Na literatura, Felici et al. [21, 36] trabalha com mesma configuração do problema

que foi analisado (comprimento de ondas, materiais, tamanho do taper e dos guias),

porém, com eficiência de acoplamento de aproximadamente 92%.

Pode-se observar uma elevada eficiência de acoplamento de ambos os resultados

com perdas por radiação pequenas.

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

EF

ICIÊ

NC

IA D

E A

CO

PLA

ME

NT

O

COMPRIMENTO DE ONDA (m)

SIA-ALV

AG 20

AG 100

ED

118

A otimização de tapers compostos por vidro e ar, usando o método dos

elementos finitos, em conjunção com os algoritmos de otimização AG, ED e SIA-ALV,

foi apresentada. As estruturas obtidas pelos algoritmos desenvolvidos podem ser

utilizadas para projetar acopladores de guias de onda, considerando materiais diferentes,

aumentando o número de secções e diferentes comprimentos de onda. Como no

problema dos cristais, o SIA-ALV obteve melhores resultados que os demais algoritmos

e do que os resultados encontrados na literatura [21, 36].

Com o intuito de avaliar e testar os algoritmos AG, SIA-ALV e ED, e suas

respectivas configurações, verificando a convergência, evolução e os resultados

encontrados para uma mesma configuração, são realizados testes de execuções sobre os

mesmos. O teste consiste em executar a melhor configuração do AG, do SIA-ALV e

ED, para o problema da eficiência de acoplamento de tapers contínuos compostos de

vidro e ar, anteriormente apresentados, diversas vezes, cada um deles com um número

fixo de gerações, observando a curva de evolução do fitness dos melhores indivíduos,

em ambos.

Na Figura 4.38, observa-se a curva do desvio padrão em função do número de

gerações e as curvas de evolução do fitness em função do número de gerações para cada

repetição dos algoritmos. Todos os algoritmos apresentaram ótimas evoluções nas

repetidas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores indivíduos

evoluem para resultados melhores sempre que executados, caso não haja mudanças nos

parâmetros dos mesmos cada algoritmo é executado 10 vezes durante 200 gerações.

Cada geração durou em média 6 minutos para o AG, 7 minutos para o SIA-ALV

e 4 minutos para o ED. Essa diferença entre os tempos médios pode ser atribuída às

características e passos executados de cada algoritmo.

As execuções possuem ao final de 200 gerações um valor médio de Eficiência de

Acoplamento de 91,29% para o AG com desvio padrão de 1,50%, 97,50% para o SIA-

ALV com desvio padrão de 1,02% e para o ED média de 94,49% com desvio padrão de

1,406, ou seja, valores baixos de desvio padrão com altos valores de eficiência de

acoplamento média em ambas as execuções, demonstrando assim a eficiência e

convergência dos algoritmos implementados para esse problema.

119

(a) (b)

(c)

Figura 4.38. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em função de 200

gerações fixas dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG, (b) SIA-ALV e (c) ED,

respectivamente.

Na próxima subseção é apresentado o problema e os resultados, com tapers

segmentados, também para a otimização da eficiência de acoplamento através do SIA-

ALV, AG e ED.

4.3.2. Taper Segmentado

Na Figura 4.39, é apresentado o dispositivo a ser otimizado, taper segmentado,

com os respectivos parâmetros ópticos e geométricos que serão as variáveis de entrada

dos algoritmos desenvolvidos em associação com o software GiD®, que gera as malhas

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0AG (TAPER CONTÍNUO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0SIA-ALV (TAPER CONTÍNUO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0ED (TAPER CONTÍNUO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

120

e os elementos finitos, e o programa FEM-2D [20, 43, 44], que realiza o cálculo dos

campos e da potência das estruturas resultantes. Esse problema consiste em otimizar a

eficiência de acoplamento entre um guia de onda contínuo reto (CWG) e um guia de

onda segmentado reto (PSW) através de um PSW, Figura 4.39.

Figura 4.39. Esquema da configuração do taper segmentado, analisado.

A geometria do PSW utilizado como base para o taper segmentado é

apresentado na Figura 4.39, na qual Λ é o período dos segmentos, a é o comprimento do

segmento com índice de refração maior (n1), e w é a largura do segmento. Considera-se

um guia de onda óptico segmentado composto de silício e sílica, alternadamente, com

índices de refração n1=3,476 e n2=1,444, respectivamente, com revestimento de sílica

nr=1,444 e com largura de w=0,3µm. O guia de saída é composto pelo mesmo PSW

utilizado no taper, com mesma largura e materiais do guia de entrada.

A região do taper foi subdividida em 15 segmentos. A eficiência ou potência

acoplada é calculada através do programa FEM-2D [20, 43, 44]. Os seguimentos

possuem uma largura e um período fixo de 0,3µm, portanto, os parâmetros usados como

os indivíduos nas populações dos algoritmos e que são associados com a eficiência de

acoplamento do taper segmentado são os comprimentos dos segmentos a1, a2, . . . ,aN,

na direção de propagação x.

A malha do taper segmentado, considerada como a malha inicial dos algoritmos

é apresentada na Figura 4.40, na qual se pode observar a discretização dos FEM com

elementos triângulos quadráticos, as espessuras de PML e as cores de cada região

Si

SiO2

a

Λ

w

PML’sy

x

Entrada

da luz

Saída

da luz

Plano de Incidência

Guia Contínuo de silício Guia Segmentado de Si e SiO2

Região do Taper

121

(materiais dos guias, substrato e PML's), juntamente com o valor do refinamento

adotado no software GiD®, para a região do Taper (0,02µm), para a região do

revestimento (0,04) e para o restante da malha (0,1µm) escolhidos de forma a manter a

malha eficiente com o menor número de elementos aceitável.

Figura 4.40. Malha base com configuração do taper segmentado, analisado.

Essa estrutura base é considerada pela metade, pois a mesma é simétrica para a

redução do esforço computacional e a mesma possui 44596 elementos com 90381 nós,

porém para o cálculo dos campos e eficiência considera-se a estrutura "inteira".

Os algoritmos (AG uniforme, SIA-ALV e ED) utilizados seguem os mesmos

passos (inicialização, avaliação, seleção, mutação, cruzamento, elitismo, etc.)

apresentados e descritos no Capítulo 3, e usados no problema anterior do taper

contínuo. Os algoritmos propostos seguem os seguintes passos: a) Inicialização: para o

SIA-ALV é utilizada uma população inicial de 10 indivíduos, para o AG o tamanho da

população varia de 10 a 100 indivíduos, enquanto que para o ED utilizam-se populações

de 10 e 20 indivíduos; b) Mutação: a taxa de mutação varia no SIA-ALV entre 1 e 9% e

de 1 a 8% no ED, o qual também variou a probabilidade de cruzamento entre 1-8%. O

critério de parada escolhido foi o número de gerações.

Os dados utilizados nos algoritmos, para cada variável do taper segmentado

foram: o comprimento de onda de operação λ = 1,55μm; o comprimento dos segmentos

aN [0,03μm, 0,27μm]; o índice de refração do material do guia e dos segmentos n1 =

3,476; o índice de refração do revestimento n2 = 1,444; e o critério de parada escolhido

é de 200 gerações. O campo incidente aqui considerado é o modo fundamental no guia

de onda de entrada, com largura de 0,3μm. O comprimento de onda operacional foi

considerado como 1,55μm.

4µm 3µm 4,5µm 1,425µm 4µm

1,5µm

1µm8,925µm

0,040,02

0,1

122

Figura 4.41. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo SIA-ALV, com taxas

de mutação de 1-9%.

A evolução dos melhores indivíduos encontrados pelo SIA-ALV, variando a

taxa de mutação em função do número de gerações, é apresentado na Figura 4.41. Nota-

se que, mesmo variando as taxas de mutação, o SIA-ALV apresenta altos valores de

eficiência de acoplamento como pode ser observado na Tabela 4.12.

Tabela 4.12. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função da taxa de mutação para o

SIA-ALV.

Taxa de Mutação (%) Eficiência de Acoplamento (%)

1 94,85

2 96,41

3 98,16

4 94,87

5 92,50

6 94,98

7 93,93

8 93,16

9 95,18

A configuração do SIA-ALV com taxa de mutação de 3% obteve eficiência de

acoplamento superior as demais. A respectiva estrutura resultante e projetada no GiD®

é apresentada na Figura 4.42, na Figura 4.43 é apresentada a propagação dos campos

nessa estrutura através do FEM-2D [20, 43, 44].

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

PO

TÊ

NC

IA A

CO

PL

AD

A

GERAÇÕES

1% 2% 3%

4% 5% 6%

7% 8% 9%

123

Figura 4.42. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do SIA-ALV, com taxa de

mutação 3% e seus respectivos valores de a =[0,2662; 0,2316; 0,1856; 0,1734; 0,1458; 0,1538; 0,1416;

0,1275; 0,1669; 0,1125; 0,1453; 0,1031; 0,1603; 0,1284; 0,1650 ].

Figura 4.43. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do SIA-ALV.

O algoritmo genético implementado apresenta aqui uma variação no tamanho da

população entre 10 e 100 indivíduos. As curvas de evolução dos melhores indivíduos

encontrados pelo AG, variando o tamanho da população em função do número de

gerações, são apresentadas na Figura 4.44. A variação no tamanho da população inicial

fez com que o AG encontrasse configurações de tapers segmentados com eficiências de

acoplamento acima de 90%, como pode ser observado na Tabela 4.13.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

a11 a12a13

a14a15

y (

μm

)

x (μm)

124

Figura 4.44. Evolução da eficiência de acoplamento dos melhores indivíduos pelo AG, com diferentes

populações.

Tabela 4.13. Eficiência e parâmetros otimizados da região do taper em função do tamanho da população

para o AG.

Tamanho da População Eficiência de Acoplamento (%)

10 96,00

20 97,80

30 95,84

40 93,40

50 93,00

100 92,00

A configuração do AG com população inicial de 20 indivíduos obteve eficiência

de acoplamento superior as demais configurações. Isso demonstra que apesar do

aumento da população, o que resulta em mais possibilidades de soluções, o algoritmo

demonstra eficiência com populações menores e ainda redução do esforço

computacional. A respectiva estrutura resultante e projetada no GiD® é apresentada na

Figura 4.45, na Figura 4.46 é apresentada a propagação dos campos nessa estrutura

através do FEM-2D [20, 43, 44].

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

EF

ICIÊ

NC

IA D

E A

CO

PLA

ME

NT

O

GERAÇÕES

10 20 30

40 50 100

125

Figura 4.45. Estrutura do melhor taper otimizado encontrado através do AG com 20 indivíduos e seus

respectivos valores de a =[0,2653; 0,2278; 0,1969; 0,1838; 0,1622; 0,1697; 0,1659; 0,1603; 0,1500;

0,1425; 0,1509; 0,1003; 0,1659; 0,1528; 0,1509].

Figura 4.46. Propagação dos campos da melhor configuração de taper encontrada através do AG com 20

indivíduos.

O estudo com variação da taxa de mutação e da probabilidade de cruzamento do

ED é realizado. A evolução dos melhores indivíduos em função do número de gerações

encontrados pelo ED é apresentada na Figura 4.47. Nela é possível observar o

comportamento do ED ao variar a sua probabilidade de cruzamento (taxa de

cruzamento), fixando a taxa de mutação em 7%. Na Tabela 4.14 são apresentados os

valores da eficiência de acoplamento em função da probabilidade de cruzamento.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

a11 a12a13

a14a15

y (

μm

)

x (μm)

126

Figura 4.47. Evoluções das diferentes taxas de cruzamento em função do melhor indivíduo e do número

de gerações para o ED com taxa de mutação fixa em 7%.

Tabela 4.14. Eficiência de acoplamento do taper segmentado variando as probabilidades de cruzamento

no ED.

Probabilidade de Cruzamento Eficiência de Acoplamento (%)

0,1 68,64

0,2 79,26

0,3 91,27

0,4 81,39

0,5 83,63

0,6 80,50

0,7 89,00

0,8 81,99

O ED com a probabilidade de cruzamento de 0,3 apresentou menos perdas de

acoplamento da potência que os demais, fato esse evidenciado pelo valor da eficiência

de 91,27% que foi acoplada. Logo, para encontrar a configuração do ED que mais se

adapta a esse problema, fixa-se o valor da probabilidade de cruzamento (0,3) e varia-se

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

PO

TÊ

NC

IA A

CO

PLA

DA

GERAÇÕES

0,1 0,2

0,3 0,4

0,5 0,6

0,7 0,8

127

a taxa de mutação. Na Figura 4.48, são apresentadas as evoluções do ED variando a taxa

de cruzamento de 1 a 8%. Na Tabela 4.15, são apresentados os resultados da eficiência

encontrados a partir da variação das taxas de mutação com o valor da probabilidade de

cruzamento otimizado.


gerações para o ED com probabilidade de cruzamento igual a 0,3.

Tabela 4.15. Eficiência de acoplamento do taper segmentado variando as taxas de mutação no ED.

Taxas de Mutação (%) Eficiência de Acoplamento (%)

1 80,73

2 76,14

3 79,34

4 89,27

5 78,12

6 83,12

7 91,27

8 77,09

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

E

FIC

IÊN

CIA

DE

AC

OP

LA

ME

NT

O

GERAÇÕES

1% 2% 3%

4% 5% 6%

7% 8% 9%

128

Fica evidente, após essa análise, que a configuração do ED que mais se adapta a

esse problema é com taxa de mutação de 7%, probabilidade de cruzamento de 0,3 e

população de 10 indivíduos, resultando numa eficiência de acoplamento de 91,27%. A

respectiva estrutura resultante e projetada no GiD® é apresentada na Figura 4.49, na

Figura 4.50 é apresentada a propagação dos campos nessa estrutura através do FEM-2D

[20, 43, 44].

Figura 4.49. Estrutura otimizada do taper segmentado encontrado através do ED com taxa de mutação 2%

e probabilidade de cruzamento 0,7, com seus respectivos valores de a =[0,2662; 0,2081; 0,1444; 0,15;

0,0703; 0,1219; 0,1547; 0,0703; 0,1462; 0,1378; 0,12; 0,0862; 0,0731; 0,1631; 0,1369].

Figura 4.50. Propagação dos campos da melhor configuração de taper segmentado encontrada através do

ED.

Após otimizar o taper segmentado, utilizando os algoritmos bio-inspirados (AG,

SIA-ALV e ED) para o comprimento de onda de operação λ = 1,55μm, foram testadas

as melhores estruturas de cada método para diferentes comprimentos de onda λ [1,4μm

2μm] a fim de verificar o comportamento de cada um dos dispositivos com esta variação

de λ, Figura 4.51.

a1a2 a3a4a5a6a7a8a9a10

a11a12a13

a14a15

y (

μm

)

x (μm)

129

Figura 4.51. Eficiência de Acoplamento em função do comprimento de onda (entre 1,4-2μm) para os

dispositivos otimizados pelo SIA-ALV, AG e ED, respectivamente.

Pode-se observar uma elevada eficiência de acoplamento para os dispositivos

encontrados pelo SIA-ALV e AG com baixas perdas por radiação apesar dessa variação

do comprimento de onda (exceto para o comprimento de onda de 1,4μm). Enquanto que

o encontrado pelo ED não conseguiu bons valores de eficiência. Na literatura, em

Cheben et al. [68] as estruturas obtidas como tapers segmentados apresentaram

eficiência de acoplamento 81,4% , enquanto que no presente trabalho encontraram-se

estruturas otimizadas com os algoritmos bio-inspirados com 98,16% de eficiência de

acoplamento.

Novamente, com o intuito de avaliar e testar os algoritmos AG, SIA-ALV e ED,

e suas respectivas configurações, verificando a convergência, evolução e os resultados

encontrados para uma mesma configuração, são realizados testes de execuções sobre os

mesmos.

Na Figura 4.52, observa-se a curva do desvio padrão em função do número de

gerações e as curvas de evolução do fitness em função do número de gerações para cada

repetição dos algoritmos. Todos os algoritmos apresentaram ótimas evoluções nas

repetidas execuções, resultado esse esperado, garantindo que os melhores indivíduos

evoluem para resultados melhores sempre que executados, caso não haja mudanças nos

parâmetros dos mesmos cada algoritmo é executado 10 vezes durante 200 gerações.

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

EF

ICIÊ

NC

IA D

E A

CO

PLA

ME

NT

O

COMPRIMENTO DE ONDA (m)

SIA-ALV

AG

ED

130

Cada geração durou em média 10 minutos para o AG, 8 minutos para o SIA-

ALV e 5 minutos para o ED. Essa diferença entre os tempos médios pode ser atribuída

as características e passos executados de cada algoritmo.

(a) (b)

(c)

Figura 4.52. Desvio padrão em função do número de gerações e evolução do fitness, em função de 200

gerações fixas, dos melhores algoritmos com Arranjos Triangulares (a) AG, (b) SIA-ALV e (c) ED,

respectivamente.

As execuções possuem ao final de 200 gerações um valor médio de Eficiência de

Acoplamento de 96,25% para o AG com desvio padrão de 0,787%, 97,12% para o SIA-

ALV com desvio padrão de 0,999% e para o ED média de 75,62% com desvio padrão

de 6,61%, ou seja, valores baixos de desvio padrão com altos valores de eficiências de

acoplamento médias em ambas as execuções, demonstrando assim a eficiência e

convergência dos algoritmos implementados para esse problema.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0AG (TAPER SEGMENTADO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0SIA-ALV (TAPER SEGMENTADO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9ED (TAPER SEGMENTADO)

FIT

NE

SS

GERAÇÕES

REPETIÇÃO

1ª 6ª

2ª 7ª

3ª 8ª

4ª 9ª

5ª 10ª

Desvio Padrão

131

A otimização de tapers segmentados, compostos por silício e sílica, usando o

método dos elementos finitos, em conjunção com os algoritmos de otimização AG, ED

e SIA-ALV foi apresentada. As estruturas obtidas pelos algoritmos desenvolvidos

podem ser utilizadas para projetar dispositivos eficientes e com baixas perdas,

considerando materiais diferentes, aumentando o número de segmentos e diferentes

comprimentos de onda. Como no problema dos cristais e do taper contínuo, o SIA-ALV

obteve melhores resultados que os demais algoritmos, fato esse evidenciado ao longo

desse trabalho.

A plataforma computacional utilizada é um computador com processador Intel®

Core™ i5 2310 (2.90 GHz, 6MB Cache L2), 8GB de RAM com o Windows 7 Home

Basic.

4.4. Publicações Associadas

Nesta seção são apresentadas as respectivas publicações, obtidas através dos

resultados encontrados nesse trabalho, em congressos nacionais e internacionais.

Dourado-Sisnando, A.; Vieira, L. F.; Rodriguez-Esquerre, V. F. ; Rubio-

Mercedes, C. E. . Taper Design and Optimization by Evolutionary

Algorithms. In: Latin American Optics an Photonics Conference, LAOP

2014, Cancún. Washington: OSA, 2014.

Resumo: Power coupling between different size waveguides have been

successfully and efficiently optimized by using an evolutionary algorithm based

on the artificial immune system in conjunction with the finite element method.

Dourado-Sisnando, A.; Teles Ruffini, Igor Maia; Rodrigues Dos Santos

Andrade, Rafael; Rodriguez-Esquerre, V. F. ; Rubio-Mercedes, C. E. . Power

Coupling Optimization by Artificial Immune System. In: Integrated

Photonics Research, Silicon and Nanophotonics, 2014, San Diego.

Advanced Photonics for Communications. Washington: OSA, 2014. p.

IT1A.2.

Resumo: Power coupling between different size waveguides has been

successfully and efficiently designed and optimized by using evolutionary

algorithms based on the artificial immune system and differential evolution in

conjunction with the finite element method.

132

A. Dourado-Sisnando; V. F. Rodríguez-Esquerre. Algoritmos Bio-

Inspirados e sua Aplicação na Otimização de Problemas Eletromagnéticos.

In: VIII Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte e Nordeste de

Educação Tecnológica (CONNEPI 2013), Salvador, Bahia, (Minicurso).

Resumo: Introdução ao uso de computação neural e evolutiva em problemas

Eletromagnéticos (Fotônicos e Microondas), apresentação de algoritmos bio-

inspirados e resultados com o uso destas ferramentas, visando demonstrar a

capacidade de aplicação e os elementos essenciais destas técnicas.

A. Dourado-Sisnando; VIEIRA, L. F.; V. F. Rodríguez-Esquerre. Artificial

Immune Systems Optimization of Absolute Bandgap of Photonic Crystals.

In: International Microwave and Optoelectronics Conference 2013, Rio

de Janeiro. 2013 SBMO | IEEE MTT-S International Microwave and

Optoelectronics Conference, 2013.

Resumo: This work consists in the optimization of the absolute photonic

bandgap (PBG) in two dimensional crystalline structures composed of air and

tellurium by using the evolutionary algorithm artificial immune system (AIS). In

order to analyze its performance, the absolute PBG for the TM12 and TE34

modes of triangular lattices have been optimized. The propagation properties of

the crystals were calculated by using an efficient frequency domain finite

element formulation. The performance of the evolutionary algorithm will be

presented as a function of several parameters which control the evolution

process (mutation ratio, number of individuals, elitism).

A. Dourado-Sisnando ; V. F. Rodríguez-Esquerre ; SANTOS, F. N. .

Otimização das Bandas Fotônicas Proibidas Absolutas de Cristais Fotônicos

Anisotrópicos Bidimensionais utilizando Sistemas Imunológicos Artificiais.

In: X Encontro Anual de Computação - EnAComp 2013, Catalão. Anais

do X Encontro Anual de Computação EnAComp 2013, p. 176-183, 2013..

Resumo: Resumo. O método dos elementos finitos (FEM) e o sistema

imunológico artificial (SIA) foram utilizados para resolver o problema inverso

envolvendo a busca e otimização da banda fotônica proibida (PBG) absoluta de

estruturas cristalinas com periodicidade em duas dimensões. Arranjos quadrados

133

e triangulares compostos por telúrio (Material Anisotrópico) e de ar foram

analisados. As PBGs foram calculadas ao longo da primeira região de Brillouin,

evitando o alto esforço computacional neste tipo de tarefa, obtendo-se a relação

da banda absoluta com seu valor médio, considerando PBGs entre os modos

TE12 e TM34, de 21,27% e 28,45% para os arranjos quadrados e triangulares,

respectivamente.

SANTOS, F. N. ; A. Dourado-Sisnando ; V. F. Rodríguez-Esquerre ;

Malheiros-Silveira, G. N. . Avaliação do Desempenho de Esquemas de

Cruzamento em Algoritmos Genéticos na Otimização de Bandas Proibidas

em Cristais Fotônicos. In: X Encontro Anual de Computação - EnAComp

2013, Catalão. Anais do X Encontro Anual de Computação EnAComp 2013,

p. 192-199, 2013.

Resumo: O objetivo deste trabalho é a avaliação de dois esquemas de

cruzamento em algoritmos genéticos aplicados na otimização da banda proibida

em estruturas de cristal fotônico com periodicidade em duas dimensões e

considerando os arranjos quadrado e triangular. Considerou-se a banda proibida

entre o primeiro e o segundo modos transversais magnéticos, denotado TM12.

As propriedades de propagação dos cristais são obtidas pelo método de elemento

finito eficiente no domínio da frequência.

SANTOS, F. N.; A. Dourado-Sisnando; V. F. Rodríguez-Esquerre;

Malheiros-Silveira, G. N. . Assessment of Crossover Schemes in Genetic

Algorithms Applied for the Optimization of Photonic Crystals Band Gap. In:

COMTEL 2012 IV Congreso Internacional de Computación y

Telecomunicaciones, 2012, Lima.

Resumo: O objetivo deste trabalho é a avaliação de dois esquemas de

cruzamento em algoritmos genéticos aplicados na otimização da banda proibida

em estruturas de cristal fotônico com periodicidade em duas dimensões e

considerando os arranjos quadrado e triangular. Considerou-se a banda proibida

entre o primeiro e o segundo modos transversais magnéticos, denotado TM12.

As propriedades de propagação dos cristais são obtidas pelo método de elemento

finito eficiente no domínio da frequência.

134

A. Dourado-Sisnando; SANTOS, F. N.; V. F. Rodríguez-Esquerre;

Malheiros-Silveira, G. N.. Comparación de Algoritmos evolutivos Aplicados

en la Optimización de Bandas Fotónicas Prohibidas en Cristales fotónicos

Bidimensionales. In: COINTEC - IV Congreso Internacional de

Tecnología, 2012, Lima. COINTEC - IV Congreso Internacional de

Tecnología - UPAO 2012, 2012.

Resumo: Este trabajo consiste en comparar los resultados de la optimización de

las bandas fotónicas prohibidas (PBG) estructuras de cristal fotónico 2D de

matrices cuadradas, compuestos de silicio y el aire, en la literatura obtenida a

través de algoritmos genéticos (GA), con los resultados obtenidos por un

algoritmo evolutivo (EA) desarrollado aquí. Se considera el espacio de banda

entre los dos Primeros modos transversales magnéticos llamados TM12. Las

propiedades de los cristales se calculó utilizando elementos finitos (FEM) en el

dominio de la frecuencia. Como conclusión, el rendimiento de la EA fue mejor

que el GA en todos los casos para la optimización del espacio de banda

prohibida de dos cristales fotónicos dimensionales relacionados con la brecha

de banda TM12.


Foram apresentadas, ao longo desse capítulo, a otimização de bandas fotônicas

proibidas de cristais fotônicos compostos de silício e ar para o modo TM e TE, e as

bandas fotônicas proibidas absolutas para cristais compostos de telúrio e ar e compostos

de silício e ar, utilizando o método dos elementos finitos em conjunto com os algoritmos

bio-inspirados (Algoritmo Genético e algoritmo evolutivo baseado em Sistema

Imunológico Artificial). Os arranjos cristalinos utilizados foram quadrados e

triangulares e as geometrias resultantes são consideradas como sendo buracos de ar no

silício e buracos de ar no telúrio. O arranjo triangular, assim como comentado na

literatura, apresenta uma maior faixa de PBG do que o arranjo quadrado, tanto para o

problema com material isotrópico, quanto para o problema com material anisotrópico.

Existem limitações na fabricação das geometrias encontradas por serem

complexas e não triviais. Mas, essas limitações podem ser superadas se as PBG’s são

projetadas para operar em frequências menores, nas quais a constante de arranjo é

135

aumentada.

Apresenta-se uma comparação entre os algoritmos genéticos e também entre o

algoritmo evolutivo, baseado em sistemas imunológicos, desenvolvido e implementado,

com a literatura [14], para o caso isotrópico, o que demonstrou que o AG uniforme e o

SIA obtiveram melhores resultados, validando os algoritmos desenvolvidos.

A partir desse resultado, conceberam-se dois algoritmos evolutivos baseados em

sistemas imunológicos artificiais, SIA-AV e SIA-ALV, possibilitando comparação com a

literatura [19, 33]. Um estudo do impacto, diferentes tamanhos de populações e

diferentes taxas de mutações poderiam causar nos resultados e convergência dos

mesmos, para o material anisotrópico e isotrópico, é apresentado. Nesse caso, nota-se

que aumentando o tamanho da população aumenta-se o esforço computacional e reduz-

se, com isso, o processo de evolução. Nota-se também que aumentando a taxa de

mutação, consequentemente, ocorre uma destruição de algumas características dos

indivíduos encontrados, reduzindo o valor das respectivas PBG’s absolutas, piorando os

resultados em comparativo com os encontrados na literatura. É apresentada também a

quantidade de canais suportados em telecomunicação, das melhores estruturas

encontradas nesse trabalho e da melhor encontrada na literatura [19, 33].

Realizou-se um teste de repetitividade com os melhores SIA-AV, SIA-ALV e

AG, o qual demonstrou que os algoritmos possuem bom funcionamento para o

problema das PBG's absolutas de cristais compostos de material isotrópico e de

materiais anisotrópicos, caso não sofram alterações.

Foi concebido também um algoritmo de evolução diferencial, o qual não foi

aplicado no problema dos cristais fotônicos porque já foi realizado em [63].

A otimização de tapers contínuos e segmentados, compostos de vidro e ar e

compostos por silício e sílica, respectivamente, usando o método dos elementos finitos,

em conjunção com os algoritmos de otimização AG, ED e SIA-ALV foram

apresentados.

Um estudo do impacto de diferentes taxas de mutação, tamanho da população

inicial e probabilidade de cruzamento também foi realizado, visando verificar os

impactos da variação desses parâmetros na otimização da eficiência de acoplamento dos

tapers propostos. Os resultados foram melhores que alguns encontrados na literatura

sendo promissores as aplicações dos mesmos. As estruturas obtidas pelos algoritmos

136

desenvolvidos podem ser utilizadas para projetar acopladores de guias de onda, filtros,

divisores de potência, transformadores de modo, etc., considerando materiais diferentes,

aumentando o número de segmentos e diferentes comprimentos de onda.

As estruturas otimizadas encontradas para o taper contínuo e o taper

segmentado, demonstraram em geral, bons resultados de eficiência de acoplamento,

99,26% e 98,16%, respectivamente, o que possibilita a utilização das mesmas em

projetos de circuitos ópticos com perdas reduzidas.

O SIA-ALV, assim como evidenciado no problema dos cristais, foi o algoritmo

que mais se adaptou com eficiência aos problemas propostos, exibindo boa

convergência, flexibilidade e menor esforço computacional.

Os resultados encontrados foram publicados na forma de artigo, em congressos

nacionais e internacionais, e seus respectivos títulos e nomes dos eventos foram

apresentados na Seção 4.4. Foi também encaminhado um artigo para o periódico IET

Optoelectronics, com os resultados das análises dos cristais fotônicos apresentados.

Foram submetidos também ao periódico PTL - Photonics Technology Letters os

resultados obtidos com a otimização da eficiência de acoplamento dos tapers

segmentados.

137

Capítulo 5

Conclusões

Ao longo dessa tese realizou-se um estudo teórico e simulações da banda

fotônica proibida de cristais fotônicos compostos de materiais isotrópico e anisotrópico

uniaxial através de algoritmos bio-inspirados. O mesmo estudo também foi realizado

com acopladores de guias de onda (tapers) com duas configurações diferentes, do tipo

contínuo e do tipo segmentado, especificamente, suas características de transmissão, as

diferentes geometrias e otimização da eficiência de acoplamento através de algoritmos

bio-inspirados.

Outro dos objetivos traçados foi desenvolver e conceber algoritmos bio-

inspirados eficientes e flexíveis, em associação com o método dos elementos finitos no

domínio da frequência em duas dimensões, para análise e otimização de estruturas

fotônicas.

A teoria a cerca das estruturas fotônicas otimizadas nesse trabalho foi

apresentada no Capítulo 2. Os cristais fotônicos bidimensionais compostos de material

isotrópico/anisotrópico, os conceitos de material isotrópico e anisotrópico. Apresenta-se

também as características dos guias segmentados e as estruturas de tapers contínuo e

segmentados propostos. As modelagens em elementos finitos 2D utilizadas para o

cálculo da banda fotônica proibida de cristais fotônicos e a modelagem para o calculo da

potência dos tapers, foram apresentadas, sendo essas modelagens prontas feitas em

outros trabalhos.

A teoria a cerca dos algoritmos bio-inspirados (algoritmo genético, sistema

imunológicos artificial e evolução diferencial), que fazem parte desse trabalho, foi

apresentada, juntamente com os conceitos básicos, analogia com processos existentes na

natureza e algoritmos clássicos encontrados na literatura. A partir desses algoritmos

clássicos, observando as ideias básicas, as principais variáveis e parâmetros, vantagens e

desvantagens, os passos necessários para o desenvolvimento e implementação, pôde-se

implementar algoritmos evolutivos para serem utilizados na otimização das estruturas

propostas nessa pesquisa.

A evolução diferencial constitui uma vertente interessante dentro da computação

138

evolutiva. Tal abordagem, segundo a literatura, se mostra bastante simples e eficiente

em diversos contextos, desde que atrelada a outro método (RNA, AG, SIA, etc.).

Porém, os algoritmos genéticos e o algoritmo baseado em SIA podem prover bons

resultados sem a necessidade do uso com outro método, sendo esta uma vantagem em

relação ao ED.

Para cada tipo de problema proposto aqui, o AG e o algoritmo evolutivo baseado

em SIA implementados possuem a flexibilidade de se ajustar, tamanho da população,

tipo de codificação dos cromossomos/anticorpos utilizados (binário ou real), tipo de

operador de cruzamento (um ponto, dois pontos, uniforme) para o AG, mutação pontual

que pode acontecer em todas as gerações ou em intervalos definidos pelo usuário (AG)

e, no caso do algoritmo evolutivo baseado em SIA, uma mutação que pode variar de

acordo com uma taxa escolhida pelo usuário e também se pode variar a taxa de clones a

serem criados pelo algoritmo e, para ambos, a quantidade de indivíduos que serão

utilizados no elitismo.

Para avaliar a metodologia proposta, realizou-se uma comparação dos

resultados obtidos com os encontrados na literatura e simulações eletromagnéticas

(obtenção das estruturas de bandas dos melhores cristais obtidos).

Os resultados da maximização das bandas fotônicas proibidas de cristais

fotônicos compostos de silício e ar para o modo TM e TE, e as PBG's absolutas para

cristais compostos de telúrio/silício e ar, utilizando o método dos elementos finitos em

conjunto com os algoritmos bio-inspirados (algoritmo genético e algoritmo evolutivo

baseado em sistema imunológico artificial), considerando arranjos cristalinos quadrados

e triangulares foram comparados com os resultados previamente publicados na

literatura.

Essa comparação entre os algoritmos desenvolvidos e implementados, com a

literatura [14], para o caso isotrópico, demonstrou que o AG uniforme (com PBG mais

alta arranjo triangular 51,74%), o algoritmo evolutivo baseado em SIA (com arranjo

triangular 51,31%) e o AG de dois pontos (com 48,51%), obtiveram melhores resultados

em relação a literatura para o mesmo problema, validando os algoritmos desenvolvidos.

A partir desse resultado, conceberam-se dois algoritmos evolutivos baseados em

sistemas imunológicos artificiais, SIA-AV e SIA-ALV, os quais inicialmente foram

aplicados no problema da PBG absoluta de cristais fotônicos, possibilitando

comparação com a literatura [19, 33]. Além disso, um estudo do impacto que, diferentes

139

tamanhos de populações e diferentes taxas de mutações, poderiam causar nos resultados

e convergência dos mesmos, para o material anisotrópico e isotrópico, é apresentado.

Nesse caso, nota-se que aumentando o tamanho da população aumenta-se o esforço

computacional e reduz-se, com isso, o processo de evolução. Nota-se também que

aumentando a taxa de mutação, consequentemente, ocorre uma destruição de algumas

características dos indivíduos encontrados, reduzindo o valor das respectivas PBG’s

absolutas, piorando os resultados em comparativo com os encontrados na literatura.

Para os cristais compostos de telúrio e ar, foi apresentado também um

refinamento, através da remoção de triângulos de materiais da célula unitária otimizada.

Notou-se que as estruturas são sensíveis a pequenas diferenças de materiais em sua

geometria, ou seja, removendo 2 elementos o valor da PBG absoluta é reduzido nesse

caso em 0,5% e removendo 4 elementos o valor é reduzido em 5%, aproximadamente,

porém as resultantes desse refinamento continuaram com valores elevados.

O arranjo triangular, assim como comentado na literatura, apresenta uma maior

faixa de PBG absoluta (24,41% material anisotrópico) do que o arranjo quadrado

(17,14% material anisotrópico), sendo que o mesmo pode ser observado para o

problema com material isotrópico, para PBG em modos separados. É apresentado em

paralelo a isso o valor da quantidade de canais suportados em telecomunicação, das

melhores estruturas encontradas nesse trabalho e da melhor encontrada na literatura [19,

33]. Comparação essa, que demonstrou que aumentando a PBG aumenta-se a

quantidade de canais nas mesmas, afirmando assim que as estruturas otimizadas pelos

algoritmos desse trabalho são eficientes e promissoras, mesmo sabendo que não são

estruturas triviais e com fabricação complexa.

Foi concebido também um algoritmo de evolução diferencial, o qual não foi

aplicado no problema dos cristais fotônicos porque já foi realizado em [63], mas que foi

aplicado na otimização da eficiência de acoplamento de tapers.

Os resultados da maximização da eficiência de acoplamento de tapers contínuos

e segmentados, compostos de vidro e ar e compostos por silício e sílica,

respectivamente, usando o método dos elementos finitos, em conjunção com os

algoritmos de otimização AG, ED e SIA-ALV, juntamente com o estudo do impacto que

diferentes taxas de mutação, tamanho da população inicial e probabilidade de

cruzamento, visando encontrar a configuração que mais se adapta aos problemas

propostos, foram apresentados.

140

Os algoritmos implementados mostraram-se bastante flexíveis, pois

demonstraram ótimos resultados mesmo mudando o problema (de cristais para tapers).

As estruturas otimizadas obtidas pelos algoritmos podem ser utilizadas para projetar

acopladores de guias de onda, filtros, divisores de potência, transformadores de modo,

etc., considerando materiais diferentes, aumentando o número de segmentos e diferentes

comprimentos de onda.

Os tapers contínuos e os tapers segmentados otimizados pelos algoritmos bio-

inspirados demonstraram, em geral, bons resultados de eficiência de acoplamento,

99,26% e 98,16%, respectivamente. Eficiência essa maior que as encontradas na

literatura com 92% [21, 36] e 81,4% [68], para o taper contínuo e para o taper

segmentado, respectivamente, o que possibilita a utilização das mesmas em projetos de

circuitos ópticos com perdas reduzidas.

O SIA-ALV, assim como evidenciado no problema dos cristais, foi o algoritmo

que mais se adaptou com eficiência aos problemas propostos, exibindo boa

convergência, flexibilidade e menor esforço computacional.

Foi realizado um teste de repetitividade com os algoritmos propostos com as

melhores configurações obtidas para cada problema, o qual demonstrou que os

algoritmos possuem bom funcionamento para cada problema aplicado, caso não sofram

alterações em seus parâmetros e variáveis.

Os resultados encontrados foram publicados, em congressos nacionais e

internacionais, e seus respectivos títulos e nomes dos eventos foram apresentados na

Seção 4.4. Foi também encaminhado um artigo para o periódico IET Optoelectronics,

com os resultados das análises dos cristais fotônicos apresentados e os resultados

obtidos com a otimização da eficiência de acoplamento dos Tapers segmentados foram

submetidos ao periódico PTL - Photonics Technology Letters.

Como sugestão para trabalhos futuros e continuação dessa pesquisa, propõe-se:

Trabalhar com os algoritmos aqui desenvolvidos, para otimizar outros

dispositivos fotônicos e/ou microondas com diferentes aplicações, tais como:

células solares, antenas, cavidades, filtros e ligações entre guias de ondas dentro

de chips óticos, crossings, guias com curvaturas, estruturas absorvedoras;

A fabricação das estruturas resultantes nesse trabalho e comprar com os

resultados obtidos nas simulações.

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