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Semicircunferência
Diâmetro
A circunferência:Diâmetro - é o segmento de recta
que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro.
Raio - é o segmento de recta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.
Corda - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência sem intersectar o centro.
Arco de circunferência - é uma qualquer porção da circunferência.
Semicircunferência - é a porção da circunferência limitada pelo centro.
Clique com o rato para iniciar a apresentação
Circunferência
C
O ponto C é o centro da
circunferência r
A
O segmento de reta [CA] é um raio da
circunferência r
B
D
O segmento de reta [BD] é um
diâmetro da circunferência r
E
F
O segmento de reta [EF] é uma
corda da circunferência r
Raio da circunferência – segmento de reta
cujos pontos extremos são o centro da
circunferência e um ponto qualquer da
circunferência
Diâmetro da circunferência - segmento de
reta cujos pontos extremos são dois pontos da
circunferência e contém o seu centro.Corda da circunferência - segmento de
reta cujos pontos extremos são dois
pontos da circunferência.
r
CONCEITOS BÁSICOS:(1) CIRCUNFERÊNCIA: conjunto de pontos do plano que distam
igualmente de um ponto fixo desse plano.
(2) CÍRCULO: é a reunião da circunferência com sua região
interior.
(3) RAIO: segmento que vai do centro a qualquer ponto da
circunferência.
(4) CORDA: segmento que une dois pontos distintos da
circunferência.
(5) DIÂMETRO: corda que passa pelo centro da circunferência.
(6) ARCO: qualquer uma das partes da circunferência que fica
dividida por dois de seus pontos distintos.
EXEMPLO:
A
EO
F
D
B
AB : diâmetro
OF : raio
ED : corda (segmento)
ED : arco (linha curva).
A circunferência é toda a
linha curva.
O círculo é a circunferência
e a região branca.
ARCO
OBSERVAÇÕES:
(1) O diâmetro é maior do que qualquer corda que não
contenha o centro.
(2) A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.
(3) Dois pontos distintos de uma circunferência determinam
dois arcos. Ao nos referirmos, por exemplo, ao arco AB,
estamos considerando o maior deles. Para nos referirmos
ao outro podemos utilizar um ponto auxiliar ( ex.: arco
AMB).
(4) Todo raio perpendicular a uma corda passa pelo seu ponto
médio.
(5) Todo triângulo com um vértice no centro e os outros dois
na circunferência é isósceles.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃOObserve a figura e responda quais das sentenças seguintes
são verdadeiras:
a) D circunferência
b) E circunferência
c) A círculo
d) O círculo
e) AO é raio
f) OB é diâmetro
g) EF é raio
h) CD é corda
__
__
__
__
C
F
BAOE
D
ÂNGULO CENTRAL
A
O
B
Ângulo central de uma circunferência é aquele cujo vértice
é o centro dessa circunferência.
AXIOMA:
A medida de um ângulo
central é igual à medida do
arco de circunferência
compreendido entre seus
lados.
AÔB é um ângulo central.
Pesquise: o que é um AXIOMA?
ÂNGULO INSCRITO NUMA
CIRCUNFERÊNCIA
O
B
A
Ângulo inscrito é aquele que tem o
vértice na circunferência e os lados
são secantes a essa circunferência.
AÔB é um ângulo inscrito.
TEOREMA:
A medida de um
ângulo inscrito é
igual à metade da
medida do ângulo
central associado.
C
O ângulo central associado a AÔB é ACB.^
EXEMPLO 2:
A
O
B
90º
45º
O arco AB mede 90º (seu comprimento corresponde a ¼ do
comprimento da circunferência), logo, o ângulo inscrito AÔB
mede 45º ( a metade de 90º).
EXEMPLO 3:
O
C
B
A
120º
O arco OB mede 120º.
Assim, o arco AB mede
180º - 120º = 60º.
Então, o ângulo inscrito
AÔB tem por medida
30º, pois mede a metade
da medida do arco.
(
(
ÂNGULO INSCRITO NUMA
SEMICIRCUNFERÊNCIA
B
CAO
Como o arco AC mede
180º, temos que o ângulo
inscrito ABC mede a
metade, ou seja, 90º.
TEOREMA: Todo ângulo
inscrito numa
semicircunferência é reto.
E todo triângulo, em que
um lado coincide com o
diâmetro, inscrito em uma
semicircunferência, é
retângulo.
^
ÂNGULO DE SEGMENTO
É um ângulo com vértice na circunferência; um lado é
tangente a essa circunferência e o outro é secante.
TEOREMA:
A medida do ângulo
de segmento é igual
à metade da medida
do ângulo central
associado.
O
A
B
C
med(ABC) = ½ med(AB)^
(
EXEMPLO 2:
115º
O
A
Qual a medida de um ângulo inscrito no arco OA?(
x = 65º
O arco
correspondente ao
ângulo considerado
mede 230º.
Então, o arco OA
mede 130º e todos os
ângulos inscritos
nesse arco têm por
medida 65º.
(
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR
A
OD
C
B
x
É um ângulo cujo vértice é interno ao círculo.
TEOREMA:
A medida de um ângulo cujo
vértice é interno ao círculo é
igual à semi-soma dos arcos
compreendidos entre os
lados do ângulo sobre a
circunferência.
X = ½{med(AC) + med(BD)}
((
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA
EXEMPLO 2:
A
140º
D
B
C40º
x
Vamos tomar o ângulo
adjacente suplementar
de 140º, ou seja, 40º.
Então :
º40
º80º40
2
º40º40
x
x
x
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR
O
D
C
B
A
É um ângulo cujo vértice é externo ao círculo.
TEOREMA:
Sua medida é igual à
semi-diferença das
medidas dos arcos
compreendidos pelos
lados do ângulo sobre
a circunferência.
med(CÔD) = ½{med(CD) - med(AB)}
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA
EXEMPLO 2:
20º
25º
x
º90
º25º180
180º25º x y
: xde Cálculo
º65º40º25
º202
25º-y Assim,
y. de lados os entre
arcomaior o Chamemos
x
yx
yy