ANÁLISE COMBINATóRIAPROF. MAURICIO CARIAS

1.

3.

) Série 7 {Printípio Fundamental de,Contagem

Usando apenas algarismos Ímpares; quantos números natu-rais de 4 algarismos podemos formarT

Usando apenas algarísmos ímpares, quantos números natu-lais de 4 algarismos distintos podemos formar?

(UNESP) Um turista, em viagem de férias pela Europa, obser-vou pèlo mapa que, pãra ir da cidade A à cidade B, havia trêsrodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até outra cidadeC havia duas rodovias e duas fenovias. O número de percursosdiferentes que o Ìutista pode fazer para ir de A até C, passan-do pela cidade B e utilizando rodovia e trem obriqatoriamente,mas, em qualquer ordem, é:a)9b) 10c) 12

d) 1se) 20

(PUC-MG) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores in-dependentes. O número de modos de i luminar a sala, acen-dendo pelo menos uma lâmpãda, é:

d) 182e) 201

a) 63b) 7ec) 127

(MACK-SP) A quantidadê de números intejros cÕmpreen-didos entre 300 e 500 que podemos forúar; usando apenasos algarismos 3, 4 e 5, é:

(FURG,.RS) Considerando que são usadas as letras A, ts, €,D, E, para formar'senhas, então,o número de senhas for-mado com 3 letras distintas é iEua,l a:

a) 30b) 24c) 42

a) 18h\ 1?

c) I

(UNESP) Na'convenção de um partido para o lançamento deumg chapa ao governo de um certc estado havia 3 possÍveiscandidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher,e, 6 possÍveis candidatos a vice-governador, sendo quatrohomens e duas mulheres. Ficou estàbelecido que a chapa go-vernadorfuice-governador seria formada por duas pessoas desexos opostos, Sabendo que os nove candidatos são distintos,o número de maneiras possÍveis de ser formar a chapa é:

d) 120e) 360

a) 10.b) 60c) 72

d) szâ\ 1Q

d) 6e)4

7.

8. (UFRN) De acordo com o Conselho Nacional de Trânsito -CONïRAN, os veÍculos licenciados no Brasil são identifica-dos por meio de placas cujos caracteres são tr'ê.3.letïàs: doalfabeto e quatro algarismos.Nas placas a seguir, ai l"trus estáo em seqüência e os aìgaris-mos também.

ffi:ffiw

O número deos algarismosplos, é:a) 192b) 168

(UFMG) O número de múltiplos de 10; compreendidos entre'100 e 9999 e com todos os algarismos distintos, é:

placas que podemos Íormar com as létras:lêdistribuÍdos em seqüência, como nos exern-

250 c) 504d) s76

a senha éa) 1680bl 1344c) 720

d) 224e) 136

a) 120b) 150c) 180

a) 120b) 80c) 65

mesma cor.Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras épossÍvel colorir o mapa, se.a) os paÍses,P e S forem cciloridos com cores distintas?b) os paÍsês P e S forem coÌoridos com a mesma cor?

c) 184d) 208

a)b)

11'.

(UFRJ) Um construtor dispoe de quatro cores (verde, ama-relo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas emuma rua, lado a lado. Ele deseja que cada casa se.ja pintadacom apenas uma cor e que duas casas consecutivas nãopossuam a rnesma cor. Determine o número de possibjl ida-des diferentes de pintura.

(FGV-SP) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônicode um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se donúmero. Ela lembra que o número tem 5 algarismos. começacom 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 emalguma posição. O número máximo de tentativas para acertar

13.

14:

12. (UF AC) A quantidade de núrneros inteiros múltiplos de 5,formados por três algarismos distintos, é:

d) 136e) 144

(UFViçosa-MG) Com os algarismos do nosso sistema de nu-meração, quantos números naturais de 5 alqarismos distin-tos podemos montar de modo que se iniciõ por algarrsmoÍmpar e que termine por algarismo par?

(UNESP) Urn certo tipo de código usa apenas dois sÍmbolos,o número zero (0) e o número um (1) e, consideranoo essessímbolos como letras, podem-se formar palavras. por exem-plo: 0, 01, 00, 001 e 1 10 são algumas palavras de uma, duase três letras desse código, O número máximo de palavras,cpm cinco letras ou menos, que podem ser formadas comesse código é:a) 120 d) 20b) 62 e) t0c) 60

Usando apenâs os algarismos Ímpares, quantos números na-turais de 3 algar.ismos podemos forrnar de modo que hajapelo mênos dois algarismos iguais?

d) 60e) 48.

16. (UNESP) Dispomos de 4 cores distintas e temosque colorir o mapa mostrado na figura com ospaÍses B'Q, R e 5, de modo que paÍses. cuja fron-' teira é uma linha não podem ser coloridos com a

15.

Tipos de Agruflarnenlo

(FG\LSP). P.or ocasião,do,Natal;,um, grupo:de amigos resolveuque cada um do.grupo,ma,ndaria 3'mensagens a',todos osdemais. E assírn foí feito. Corno o totalde mensagens envia-das foi de 468, pode-se concluir que o número deipessoasque participam desse grupo éa) 156b\.72ç) 4sd) 13e) 1t

Considere todos os anagramas da palavra AMIGO.a) Quantos ãnagramas podem ser formados?b) Quantos anagramas começam por vogal?c) Quantas anagrãrnas começam por vogal e terminam por

consoante?d) Quantos anagramas possuem as vogais e consoantes

alternadas?

€oqsideretodo os.anaEramas da palavia;FERÍADO'a) Quantos aRagramas possuern as letras fi,: E, R; juntas e

nessa ordem?b) Quantos anâgramas possuem as letras f, E, R,.iuntãs?

(UNESP) O número de maneiras que 3 pessoas podem sen.tar-se em uma Íileira de 6 cadeiras vazias dé modo que, entreduas pessoas próximas (seguidas), sernpre exista uma cadelravazla, é:q1b)6. ,c)9

O número de Íilas dÌferentes que podem ser formadas com2 homens e 3 mulheres, de modo quê os homens fiquemsempre juntos, é:a) 36b) 48c) 54d) 72e) 12

(MACk-SP) o número de filas diferentes que podem ser for-madas com 2 homens e 3 mulheres de modo que os ho-mens não fiquem juhtos, é:a) 96b) 72c) 48

a)2b) 4c)8

19, (U[\JIFESP) Rs permuiáçoes das letra-s da palavrê pnóvn Ifôram listadas em ordenr alfabética, como se fossem Ipalavras de cinco letras em um dicionário. A 73s palavra Inessa lista é: Iâ) PROVA d),ROVAPb) VAPOR e) RAOPVc) RAPOV

20. (AFA.SP) Colocam-se em ordem crescente todos os núme.ros de 5 algarismos distintos, sem repetição, formados com2, 4, 5,7 e 8. A posição do número 72.584 é:

2í. (UFAM) O núrnero de anagramas da palavra GREVE é:

a) 762b) 78c

a) 120b) 60c) 20

a) 24b) go

c) 8ocd) 82c

d) 40e) 30

. +++....1., leo.t-.t-rr4, g{ç, .

d) s4e) 56

13. (UNIFENAS-MG) O número de anagrar,nas da palavraCANECA é:a) 180 c) 140b) 160 d) 120

23.. (UNISANïOS.SP) O.número de anagra,r:nas possÍveis dapalavra UN|SANTOS,iniclados com a letra A e terminadoscorn, a letra U. com a letra.l central, é:

d) 12o\ 15

c) 180d) 720

(UFLavras-MG) Uma fita de DNA pode ser representada poruma seqüência de letras, e cada uma pode ser A, C, G ouT, co.rrespondentes às bases adenina, citosina, guanina etimina, respectivamente. O número de Íitas diferentes quepodem existir com cinco bases, sendo duas delas G, duasdelasCeumadelas,Aé:a) 120 d) 30b)60 e)5.) 15

Quantas seqüências podem ser formadas utilizando-se 5vezes o sírnbolo bolinha (o) e 3 vezes o sÍmbslo sinal demais (+)? ...1Exemplos: .+.+.+.e

a) 36b) 48c) 52

15.

15.

17. {LNÊSP) Quatro amigos, Pedro, LuÍsa, João e Rita, vão ao ci'nema, sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila.O número de maneiras'que os quatro podem ficar dispostosde,fornìa que Pedro e LuÍsa Íiquem sempre juntos e João eRita Íiquem sempre juntos é:

d) 84e) 120

d) 16e) 24

26. Quantos números naturais pares de 6 algarismos podemosescieveÍ-utilizandoãpenas os dígitos 1, 1, 1, 2, 2 e 3' res-

. peitadas as r€petiçÕes apresentadas?a)6b) 12c) 15d) 20e) 30

18. Seis times de Íutebol, entre os guais estãq A:.9 B; vão dis-putar um campeonato. Suponha que na classificação finalnão existam empates, Uln indivÍduo'apostou que, a classifì'caçáo íinal A seria campeão e B não seria o último -coloca-do. Em quantas das720 classiÍicaçÕes possíveis esse indivÍ-duo ganha a aposta?

27. Quantos anagramas davogal?a) 12b) z+

' c) 60. ,

a) 144b) 72c) 48

palavra AMORA,.cqmeçêm,poi

d) 216e) 360

d) 48e) 36

a) 24b) 48,) 72

' d)96e) 114

28. Quantos anagramas da palavra BARRACO apresentam asletras A, A, R, R, juntas, em qualquer ordem?

i f r. (uf-nvr) Numa escola do Ensino Médio existem 5 proíes-I sores de Matemática e 4 de FÍsica. Quantas c"omissÕes de 3I professores podemos formar, tendo cada uma delas 2 mate-

i . mát icos'e1fís ico?

32. (UNESP) O setor de emergência de um hospital conta, paraplantóes noturnos, com 3 pediatras, 4 clÍnicos gerais e 5.eníermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituÍdaspor 'l pediatra, 1 clÍnico geral e 2 enfermeiros. Detêrmine:

a) Quantos pares distintos de enfermeiros podem ser for-r mados.

b) Quantas equipes de plantão distintas podem ser for-madas.

33. (FURC-RS) O número de aranjos de n elementos distintostomados 3 a 3 é o dobro do,número dè iombinaçoes sim-oles desses eÍementos tomados 4 a 4. Q valor de n é:

40. (FGV-SP) De um grupo de g ,pessoas, entre elas Antonio eBenedito, deseja-se escolher uma cornissão corn 4 oessoas. Onúmero de comissÕes que podem ser formadas nas ouais .Antonio participa e Benedito não, é igual a: .

d) s0e) 40

a) 42b) 4sc) 48

a) 15b) 24

a)5b) tec) 31

d) 20pì ?Â

c) 30

41. (PUC-RS) O númeÍo de produtos positivos de 3 fatores dis_tintos q_ue se poáe obter com oi

"|"*"nio, ao conjunto

í-17, -5, -1, 3, 7, 1 1, 19) éd) :se) 48

42. (UNESP) Considere os números 2,3,5,7 e 1 1. A quantídadetotal de números distintos que se obtém multiplicando doisou mais destes números, sem repetição, é:a) 120b) s2c) 36

d) zoe) 21

(UFJuiz de Fora-MG) Dado uma circunferência, o número decordas que podemos traçar com 6 pontos distintos,sobre ela

aJ r)b) 12c) 10

a) 1ob) 11

43.À\o

e) 16

34. (FUVESï).Numa primeira fase de um campeonato de xadrez'

cada jogadot joga contra todos os demais. Nessa fase foramrealizadbs /g:jogos. Quantos eram os jogadores?

é:a)6b) 12c) 15

a) 210b) 315c) 410

d) 24e) 30

d) 415e) 52'l

c) 12

(uEMaringá.PR) Na prirneira fase de um campèonato de fute-bol, os times participantes são divididos ênt I gi'tjlÉos de ntimes. 5e, em cada grupo, todos os times se enfrèntam umaú{rica vez; então o número de jogos realizados nestâ fase é:

,t14. (|TA-SP) Considere 12 pontos dispostos no plano, 5 dos ouaísestão numa mesma reta. eualquer outra reta do plano con.témr no máximo, 2 dests pontos. euantos.trianEulospodemos,formar com os vértices nestes pontos?

d) 13e) '14

d) an(n - 1)e) 4n

a) n(n - 1)b) 8n(n - 1)c) ,8n ,

4p. (UÊL-PR) São dados n pontos, dois a dois distintos entre si,' quatro dos quais pertencem a uma reta r e os demais se

encontram sobre urna reta paralela a r. 5e podem ser cons-tituÍdos 126 quadriláteros com vértices nesses polÌtos, então36. (MACK-SP) Seis refrigerantes ditèrentes devem ser tJigtribuí-

'dos entre duas.pessoas, de'modo que cadâ peisoa recebatrês reírigerantes. O'númerÒ de formas de se fãzer":isiô ê:

12ri iz4

edifÍcio, dispondo, para isso, de dois elevadores, um com 4lugares e outro com 5 lugares. O número de formas dife.rentes de distribuÊlas noS elevadores é:

a)b)

a) 630b) 2s2c) 180

d) 1se) 2o

n é um número:a) quadrado perfeitob) primoc) múltiplo de 7

46. (MACK-SP) Num avião,. .corno rl?.figqra abaixo.

d) menor que 10oì mannr nr ra ÇL/ | |

'L ' 'v ' YvL J

:uma fila tem 7 poltronas dispostas

37. (MACK-SP) Nove pessoas desejam subir à cobertura de um

d) 378e) 126

38. (UFUberlândia-MG) Um sério problema enfrentado pelai auto-ridades de saúde é diagnosticar a pneumonia asiática. Atual-mente são conhecidos 7 sintomas dessa doença. Se em umpaciente forem detectados 5 ou mais desses possíveis sinto-mas, a doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se aíir:mar.'que o número total de combinaçôes distïntas dos sintomaspossíveis para o diagnóstico da pneumonía asiática seja efeti-vado é igual a:a) 21 c) 147b) 29 d) 210

39. (FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4itens distìntos cada, para distribuir entre a popülação ca-rente. Esses itens devem ser escolhidos entre I tipos de pro-dutos de lirnpeza e 5 tipos.de alimunlq5 nãe,p€recÍyeís. Em'cada sacola, deve haver pelo menos urn :item que seja ali.mento não perecÍvel e pelo menos um item que'seja umproduto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintaspodem ser feitos?a) 360b) 420c) 540

47.!

a) 39b) 41cl 43

(ESptt ,SpiTres dos doze quadrinhos da {iguradeverão ser pintados de preto, de modo quenão ocupem 3 posiçÕes consecutivas, nem nâhorìzontal, nem na vertical. O número demaneiras diferentes de isso ser feito é:

d) 4se) 47

d) 230e) 210

d) 600e) 640

a) 190b) 200c).220 3

WW*'r"a"'ffi ffi ffi corredorffi WOs modos de João e Maria ocuparam duas poltronas dessafila, de modo que não haja um corredor entre eles, são emnúmero de:a)6 d)10b)7 e)12c) B

(FUVESï) Participam de um torneio de voleibol, 20 times distri-bqldos entre 4 chaves de.5 times cada.Na 1q fase do torneio,'os times jogam entre si uma única vez(um único turno), todos contra todos êm cêda chave, sendoque os 2 melhores de cada fase passam para a 2e fase.Na 2s fase, os jggos são eliminâtórios; depois de cada, padida,apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número dejogos necessários até que se apure o campeão do torneio é;

48.

ffitR- -!w -- íl|t- <*-..F:,::@.

ANÁLIsE COMBINATóRNPROF. MAURICIO CARIAS.GABARITOS

Série 7 * Princípiô Fündâmentâl'de Contagem

1.. 625 7. C 13.. 8,400

2. 120 8. B 14.8g. B 9. D 15.C

{. A 10, 324 re' 4 48

s. B 11.8 b)36

6, E 12.D

Série I - TiPos de Agrupâmento1. a) 30

b) s04o

c) 12

2.83. a)n

d) 720.36

"rTf l6'7

^2b) --n- |

4. aI FÌb) {7J

5. à) 30b).720c) 120

6.87.c8.Dg- {7}

10. D11. D12. a) 1?o

b) 73c) 36'd)12

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13. a) 120b) 720

14. D 19. E ?.4' D

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16, B 21' B 26' D

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18.D ?]3.C 28'A '

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33. B 44. A

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