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ANÁLISE DE CONFIABILIDADE À FADIGA DE JUNTAS DE PLATAFORMAS
FIXAS PELO MÉTODO DE MONTE CARLO
Marina Leivas Simão
Rio de Janeiro
Agosto de 2015
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro Civil.
Orientadora:
Prof. Cláudia Ribeiro Eboli, D.Sc.
ii
Simão, Marina Leivas
Análise de Confiabilidade à Fadiga de Juntas de
Plataformas Fixas pelo Método de Monte Carlo/ Marina
Leivas Simão. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica,
2015.
XII, 66 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadora: Cláudia Ribeiro Eboli
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Civil, 2015.
Referências Bibliográficas: p.61-62.
1. Plataformas Fixas. 2. Análise de Confiabilidade. 3.
Vida Útil à Fadiga. 4. Método de Monte Carlo
I. Eboli, Cláudia Ribeiro. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III.
Titulo.
iii
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original.”
Albert Einstein
iv
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, José e Solange, pela dedicação, carinho, paciência e amor ao
longo de todos esses anos. Obrigada por me darem a base necessária para o meu
crescimento pessoal e me apoiarem em todas as escolhas que fiz até hoje. Aos meus
irmãos, João, Roberto e Thais, pela amizade e companheirismo, pelos muitos
ensinamentos e também pelas críticas recebidas. Vocês todos são minha verdadeira
estrutura.
Ao meu namorado, amigo e colega de turma, Piter, por sempre estar ao meu
lado. Obrigada por todo o apoio, ajuda, paciência e carinho ao longo desses anos. Não
teria conseguido sem você.
Aos meus amigos do curso de Engenharia Civil, Ana Luiza, Camilo, Guilherme,
Juliana, Luiz Felipe e Rodrigo, pelo companheirismo e amizade durante os anos de
faculdade. Compartilhar momentos de alegria e de desespero com vocês foi
fundamental para que eu conseguisse chegar até aqui. Vocês são para a vida toda.
Às minhas amigas de colégio por todos esses anos de amizade, Clara, Maria
Amorim, Maria Bulhões, Mariana Bahury, Mariana Cordeiro, Mariana Pisani e Mariana
Varejão, e pelo apoio e paciência ao longo de toda minha formação.
Às minhas amigas do coração, Joana e Paula, pelo carinho e companheirismo
sem medidas que sempre recebo de vocês.
A todos os professores da UFRJ pela excelência no ensino. Em especial à minha
orientadora Cláudia Eboli, pela oportunidade, por sempre estar à disposição e pelos
muitos ensinamentos.
À antiga Suporte Engenharia e à toda equipe da Genesis Oil and Gas por
despertarem meu interesse na área de estruturas e me darem todo o incentivo para
garantir uma formação de qualidade. Ao Professor Nelson Szilard Galgoul pela
oportunidade de um primeiro estágio profissional fundamental para a minha formação e
por sempre ter dividido sua sabedoria com todos.
Por fim, minha sincera gratidão ao amigo engenheiro Said Fawad Mohammadi,
por ter me apoiado ao longo não só deste estudo inteiro, mas durante os meus anos de
estágio, com a sua paciência e grande generosidade em ensinar tudo que estava ao
seu alcance. Não poderia imaginar um melhor e mais dedicado supervisor.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE À FADIGA DE JUNTAS DE PLATAFORMAS FIXAS
PELO MÉTODO DE MONTE CARLO
Marina Leivas Simão
Agosto/2015
Orientadora: Cláudia Ribeiro Eboli
Curso: Engenharia Civil
A resistência à fadiga costuma ser o estado limite determinante no projeto de estruturas
submetidas a cargas cíclicas, tais como as plataformas offshore. Devido ao caráter
aleatório das muitas variáveis envolvidas no dimensionamento à fadiga, os valores de
vida útil utilizados em projetos são bastante incertos e a estrutura é então continuamente
submetida à inspeções que visam assegurar sua integridade. O presente trabalho tem
como objetivo principal determinar a curva de confiabilidade à fadiga de uma junta da
estrutura de uma plataforma fixa ao longo de sua vida em serviço. Uma análise de
confiabilidade é realizada e o valor do índice de confiabilidade β da junta é determinado
para cada ano de serviço da estrutura. A função de falha considerada é definida através
do método das curvas S-N, da regra de acúmulo de danos de Palmgren-Miner e da
definição de vida útil à fadiga. As variáveis aleatórias do problema são tratadas como
incertezas associadas aos parâmetros de projeto utilizados. O estudo também prevê o
momento em que uma inspeção à fadiga se faz necessária de acordo com valores alvo
sugeridos para a probabilidade de falha. Para a realização da análise de confiabilidade,
é utilizado o método de simulação de Monte Carlo, com o auxílio de um programa
comercial.
Palavras-chave: Plataformas Fixas, Análise de Confiabilidade, Vida Útil à Fadiga,
Método de Monte Carlo.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Engineer.
FATIGUE RELIABILITY ANALYSIS OF FIXED PLATFORMS JOINTS USING MONTE
CARLO METHOD
Marina Leivas Simão
August/2015
Advisor: Cláudia Ribeiro Eboli
Course: Civil Engineering
Fatigue resistance usually is the determinant limit state in the design of structures
subjected to cyclic loading, such as offshore platforms. Due to the random nature of the
many variables involved in the fatigue design of the structure, calculated fatigue lives are
very uncertain and therefore the structure is constantly subjected to inspections aimed
at ensuring its integrity. This study aims to determine the fatigue reliability curve of a
fixed platform structure joint throughout its service life. A reliability analysis is performed
and the reliability index value β of the joint is determined for each year of the structure
service life. The considered failure function is defined according to the S-N curves fatigue
method, Palmgren-Miner’s damage accumulation rule and fatigue life formulation.
Random variables are treated as uncertainties associated with the used design
parameters. The study also predicts the instant in which a fatigue inspection is necessary
according to suggested target values of failure probability. Monte Carlo simulation
method is used to perform the reliability analysis, with the help of a commercial software.
Keywords: Fixed Platforms, Reliability Analysis, Fatigue Life, Monte Carlo Method.
vii
SUMÁRIO_____________________________________________________________
1. INTRODUÇÃO....................................................................................................... 1
2. NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ................................................. 4
2.1. Variáveis Aleatórias ........................................................................................ 4
2.2. Funções densidade de probabilidade e de distribuição acumulada ................ 4
2.3. Medidas centrais ............................................................................................ 6
2.4. Medidas de dispersão ..................................................................................... 7
2.5. Medidas de correlação ................................................................................... 7
2.6. Distribuições de probabilidade usuais ............................................................. 8
2.6.1. Distribuição Normal ou Gaussiana ........................................................... 8
2.6.2. Distribuição Lognormal ............................................................................ 9
3. CONCEITOS DA ANÁLISE À FADIGA DE UMA PLATAFORMA FIXA ................ 11
3.1. Descrição do fenômeno ................................................................................ 11
3.2. Conceitos básicos no cálculo da vida à fadiga .............................................. 12
3.2.1. Fator de Concentração de Tensões SCF ............................................... 12
3.2.2. Método das Curvas S-N ........................................................................ 13
3.2.3. Formulação baseada na regra de Palmgren-Miner ................................ 16
3.3. Análise de fadiga de plataformas fixas .......................................................... 18
3.3.1. Plataformas offshore do tipo fixas .......................................................... 18
3.3.2. Carregamentos ...................................................................................... 19
3.3.3. Procedimentos de uma análise de fadiga .............................................. 23
3.3.4. Métodos de análise................................................................................ 24
3.3.4.1. Análise de fadiga simplificada ............................................................ 24
viii
3.3.4.2. Análise de fadiga espectral ................................................................ 26
4. ANÁLISE DE CONFIABILIDADE ......................................................................... 34
4.1. Introdução .................................................................................................... 34
4.2. Conceitos básicos......................................................................................... 35
4.2.1. Variáveis aleatórias ............................................................................... 35
4.2.2. Função de falha ..................................................................................... 36
4.2.3. Índice de confiabilidade β ...................................................................... 37
4.3. Métodos de análise ....................................................................................... 39
4.3.1. Método de Monte Carlo ......................................................................... 41
5. ABORDAGEM ADOTADA PARA A ANÁLISE DE CONFIABILIDADE ................. 44
5.1. Probabilidade de falha por fadiga de um elemento estrutural ....................... 44
5.2. Incerteza na regra de Palmgren-Miner .......................................................... 45
5.3. Incerteza das curvas S-N .............................................................................. 46
5.4. Incerteza na determinação do SCF .............................................................. 47
5.5. Incerteza na determinação das tensões atuantes ......................................... 47
5.6. Determinação da função de falha ................................................................. 48
6. ESTUDO DE CASO ............................................................................................. 53
6.1. Algoritmo geral para avaliação de β .............................................................. 53
6.2. Geração da amostra de uma variável ........................................................... 55
6.3. Exemplo prático ............................................................................................ 57
7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ......................................................................... 59
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 61
9. APÊNDICES ........................................................................................................ 63
ix
A. Código na linguagem Visual Basic do programa gerador de curvas de
confiabilidade à fadiga desenvolvido. ...................................................................... 63
B. Resultados obtidos ........................................................................................... 65
1. Cenário 1 ...................................................................................................... 65
2. Cenário 2 ...................................................................................................... 66
x
LISTA DE FIGURAS_____________________________________________________
Figura 2.1 Ilustrações de funções PDF e CDF (CHOI et al, 2007) ................................ 5
Figura 2.2 Exemplo de distribuição normal de probabilidades ...................................... 9
Figura 3.1 Exemplos de classificação de juntas segundo a API (API, 2005) .............. 13
Figura 3.2 Tipos de esforços possíveis em juntas tubulares (DOVER & MADHAVA,
1996) .......................................................................................................................... 13
Figura 3.3 Desenho esquemático de uma curva S-N ................................................. 14
Figura 3.4 Exemplo de determinação de uma Curva S-N fornecida em normas ........ 15
Figura 3.5 Curvas S-N T de fadiga – Escala logarítmica (DNV, 2014) ....................... 16
Figura 3.6 Esquema simplificado de uma plataforma offshore fixa – Vista 2D............ 19
Figura 3.7 Sinal de onda randômico visto como a soma de ondas regulares
(ELLWANGER, 2010) ................................................................................................. 20
Figura 3.8 Forças de onda atuando em um membro de jaqueta (adaptado de
GALGOUL, 2007) ....................................................................................................... 21
Figura 3.9 Exemplos de pontos de resolução da estrutura ......................................... 22
Figura 3.10 Pontos a serem analisados em cada junta na análise de fadiga ............. 23
Figura 3.11 Histórico de um processo estocástico (NAESS & MOAN, 2013) ............. 28
Figura 3.12 Ilustração da conexão entre o domínio do tempo e o domínio da frequência
em um estado de mar ou espectro (FALTINSEN, 1990) ............................................. 29
Figura 3.13 Processos de banda estreita e de banda larga (NAESS & MOAN, 2013) 30
Figura 3.14 Registro de onda irregular (ELLWANGER, 2010) .................................... 30
Figura 3.15 Espectro de JONSWAP (NAESS & MOAN, 2013) .................................. 31
Figura 4.1 Função PDF de G(X) (CHOI et al, 2007) ................................................... 38
Figura 4.2 Princípio dos métodos FORM e SORM (CHOI et al, 2007) ....................... 40
xi
Figura 5.1 Exemplo de curva de confiabilidade ao longo do tempo para uma junta
qualquer...................................................................................................................... 51
Figura 6.1 Fluxograma do funcionamento do programa desenvolvido ....................... 54
Figura 6.2 Curvas de confiabilidade à fadiga da junta obtidas no programa ............... 57
Figura 6.3 Curvas de probabilidade de falha à fadiga da junta obtidas no programa.. 58
xii
LISTA DE TABELAS_____________________________________________________
Tabela 3.1 – Exemplo de diagrama de dispersão de ondas – Direção θ .................... 25
Tabela 3.2 – Diagrama de dispersão de estados de mar – Direção θ ......................... 33
Tabela 5.1 – Valores aceitáveis de probabilidade de falha anual e índices de
confiabilidade mínimos (DNV, 1996) ........................................................................... 51
Tabela 6.1 – Parâmetros e tipos de distribuições das variáveis aleatórias do problema
estudado ..................................................................................................................... 55
1
1. INTRODUÇÃO
Com a crescente demanda de petróleo no século XXI, a exploração de campos
petrolíferos situados em subsolo marinho vem dominando o mercado e apresentando
uma contínua expansão. Os investimentos na exploração offshore despontaram e a
tecnologia desenvolvida é levada aos seus limites a cada novo projeto. As
profundidades dos poços a serem explorados são cada vez mais desafiadoras e as
estruturas projetadas, complexas e robustas.
O projeto destas estruturas não mais envolve somente a dificuldade do cálculo
estrutural, mas também a tentativa de convivência com as incertezas existentes em
todas suas etapas. Seja ainda na fase de cálculo, seja na fase de construção, instalação
ou operação, as incertezas intrínsecas a um projeto de estrutura, não só offshore,
estarão sempre presentes. Estas existem nos modelos computacionais desenvolvidos,
na geometria projetada em relação à construída, nas propriedades idealizadas dos
materiais, no cálculo das solicitações, no meio ambiente de operação em que a estrutura
se insere e tantos outros.
A competitividade do mercado de exploração do petróleo e o alto custo de todas
as fases de um projeto de construção de uma plataforma fazem com que a consideração
dessas incertezas se torne economicamente viável na elaboração do projeto e seja de
caráter essencial para o aumento da vida útil, da segurança e eficiência deste tipo de
estrutura.
Uma vez que estruturas de plataformas offshore são continuamente submetidas
a carregamentos cíclicos ao longo de seu período de operação, um de seus estados
limites crucial é o da fadiga de seus componentes. Devido ao caráter aleatório de muitas
das variáveis envolvidas na análise de fadiga e às incertezas contidas nos cálculos, os
valores de vida útil à fadiga de projeto são pouco confiáveis e, por isso, as estruturas
são submetidas a inspeções periódicas. Estas inspeções planejadas visam coletar
informações para diminuir as incertezas associadas ao projeto e ao desempenho
estrutural, ou em outras palavras, aumentar a confiabilidade da estrutura no que diz
respeito à fadiga (SAGRILO & LIMA, 1996).
No geral, o custo de manutenção de plataformas offshore é alto devido aos
equipamentos utilizados, aos profissionais necessários e à perturbação do
funcionamento diário normal da plataforma. Neste custo, incluem-se as inspeções à
fadiga de seus membros e juntas. Um estudo de confiabilidade da fadiga permite que
2
tais planos de inspeção possam ser racionalizados e elaborados em função de decisões
baseadas em critérios de riscos (DNV, 1996). Este procedimento permite que se leve
em conta níveis aceitáveis de risco, ou de falha, através de um estudo probabilístico que
considere as variáveis aleatórias envolvidas no problema.
No final do século passado, dezenas plataformas offshore do tipo fixas (em
jaqueta de aço) foram construídas e instaladas na Bacia de Campos, situada na costa
norte do Estado do Rio de Janeiro. O fato de que a maioria destas já consumiu grande
parte de sua vida útil, ou mesmo já a ultrapassou, foi um dos aspectos que incentivaram
a autora a direcionar-se para o estudo de confiabilidade. Em seu estágio para formação
profissional, a autora pôde trabalhar com o projeto de reavaliação e reabilitação das
estruturas destas plataformas, o que possibilitou seu intenso contato ao longo de quase
um ano com análises de fadiga neste tipo de estruturas e com o conceito de análise de
confiabilidade.
Neste presente trabalho, é desenvolvida uma curva de confiabilidade à fadiga de
uma junta da estrutura de uma plataforma fixa idealizada. A probabilidade de que esta
possa vir a falhar por fadiga no presente ano e nos anos subsequentes durante sua vida
em serviço é calculada e o momento da inspeção necessária, de acordo com valores
alvo sugeridos, é definido. Portanto, uma análise de confiabilidade completa é realizada
para cada ano de serviço da estrutura.
Para a determinação da função de falha da estrutura é utilizado o método de
dimensionamento à fadiga a partir das curvas de resistência S-N, a abordagem da regra
de acúmulo de danos de Palmgren-Miner e a definição de vida útil à fadiga. As variáveis
aleatórias consideradas são variáveis auxiliares que representam as incertezas
associadas aos valores de projeto dos parâmetros considerados. As seguintes variáveis
de projeto associadas à determinação da vida à fadiga da junta da estrutura foram
contempladas: a incerteza associada à curva S-N de projeto, a incerteza associada ao
cálculo das tensões, a incerteza associada ao cálculo do fator de concentração de
tensões e a incerteza associada à regra de Palmgren-Miner. A avaliação da função de
falha para o estudo de confiabilidade é feita através do método de simulação de Monte
Carlo, com a ajuda de um programa comercial.
Nos capítulos 2 e 3, são apresentados conceitos básicos acerca do estudo de
probabilidades e do projeto à fadiga de uma plataforma fixa. No capítulo 4, são
introduzidas noções de confiabilidade que, no capítulo 5, são direcionadas à análise de
uma junta da estrutura de uma plataforma fixa quanto à sua resistência à fadiga. O
3
estudo de caso da estrutura idealizada é apresentado no capítulo 6, seguido pela
conclusão do trabalho e sugestões de próximos estudos no capítulo 7.
4
2. NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2.1. Variáveis Aleatórias
Uma variável aleatória é denotada por uma letra maiúscula e seu valor particular
por uma letra minúscula. A variável aleatória X pode assumir vários valores x dentro do
intervalo −∞ < � < ∞.
2.2. Funções densidade de probabilidade e de distribuição acumulada
A função matemática que descreve a distribuição de uma variável aleatória X em
seu espaço amostral é chamada de função densidade de probabilidade, ou PDF
(Probability Density Function). A PDF pode ser definida somente para variáveis
aleatórias contínuas.
A função de distribuição acumulada ��(�), ou CDF (Cumulative Distribution
Function), é definida para todos os valores que a variável X pode assumir e é igual à
probabilidade de que X seja menor ou igual a um valor idealizado x. As duas funções
se relacionam através da equação:
�(�) = ��(�) � (2.1)
5
Figura 2.1 Ilustrações de funções PDF e CDF (CHOI et al, 2007)
Na figura 2.1, são apresentados exemplos de funções PDF e CDF.
A probabilidade de uma variável X assumir valores entre os valores c e d é dada
pela seguinte expressão:
�(� ≤ � ≤ ) = � �(�) ��� (2.2)
Considera-se uma PDF qualquer função �(�) que satisfaça as seguintes
condições:
�(�) ≥ 0, para qualquer valor de X (2.3)
6
� �(�) � = 1��� (2.4)
A função CDF��(�) pode ser definida da seguinte forma:
��(�) = �(� ≤ �) = � �(�) ���� (2.5)
onde ��(�) é a probabilidade da variável X assumir valores menores ou iguais a c.
Uma função pode ser considerada uma CDF se satisfizer as seguintes
condições:
��(−∞) = 0 (2.6)
0 ≤ �� ≤ 1
��(∞) = 1 (2.7)
2.3. Medidas centrais
O valor esperado, valor médio ou a média de uma variável randômica X é usado
para definir a tendência central de uma variável aleatória e é definido como:
�(�) = �� = � ��(�) ���� (2.8)
A média �� é a distância da origem do sistema ao centroide da função PDF. A
média de uma distribuição é também chamada de seu primeiro momento já que esta
pode ser entendida como o primeiro momento da área da PDF em relação ao eixo das
coordenadas.
7
2.4. Medidas de dispersão
A dispersão dos valores da variável em torno da média de uma distribuição é
chamada de variância e pode ser definida por:
���(�) = � (� − ��) �(�) ���� (2.9)
O desvio padrão de X é definido como a raiz quadrada da variância, isto é:
!� = "���(�) (2.10)
Pode-se ainda definir o coeficiente de variação de X (COV), que permite calcular
a dispersão dos dados da variável randômica em torno da média, como a razão entre o
desvio padrão e a média, isto é:
#$� = !��� (2.11)
2.5. Medidas de correlação
Se duas variáveis aleatórias (X e Y) são correlacionadas, a probabilidade de X
pode ser afetada pelo valor assumido por Y. Nesse caso, a covariância !�% pode ser
usada como uma medida para descrever a associação linear entre duas variáveis
aleatórias, como mostra a equação 2.12.
!�% = #&'(�, () = �)(� − ��)(( − �%)*= � � (� − ��)(+ − �%)�%(�, +) � +�
�����
(2.12)
O coeficiente de correlação é uma medida adimensional da correlação, como
mostra a equação 2.13.
8
,�- = !�%!�!% (2.13)
Se x e y são estatisticamente independentes, as variáveis não são
correlacionadas e a covariância vale zero. Assim, coeficientes de correlação de +/-1
indicam uma correlação perfeita.
2.6. Distribuições de probabilidade usuais
A distribuição de probabilidades pode ser representada por qualquer função que
satisfaça às condições anteriormente descritas para uma PDF. A escolha da função de
distribuição é uma etapa essencial para se obter as características probabilísticas de
um dado sistema e deve-se investigar qual delas melhor representa o fenômeno que
está sendo investigado.
A seguir são apresentadas algumas funções existentes e que serão usadas
adiante neste trabalho.
2.6.1. Distribuição Normal ou Gaussiana
A distribuição gaussiana é usada em muitos campos da engenharia e ciência
devido à sua simplicidade e conveniência. Esta distribuição é muito aplicada em casos
como os da tensão de escoamento do aço ou o coeficiente de Poisson, entre outras
propriedades de materiais (CHOI et al, 2007).
Uma variável X é normalmente distribuída se sua PDF respeitar a seguinte
expressão:
�(�) = 1!�√20 1�2 3−12 4� − ��!� 5 6 (2.14)
Essa distribuição, exemplificada na figura 2.2, tem como parâmetros da variável
aleatória a média μ8e o desvio padrão σ8 e é denotada como N (μ8,σ8).
9
Figura 2.2 Exemplo de distribuição normal de probabilidades
A distribuição gaussiana pode ser padronizada definindo-se : = (� − �)/!,
gerando-se a distribuição normal padrão N(0,1). A função densidade de uma variável de
distribuição normal padrão < é dada por:
=(<) = 1√20 1�2 3− < 2 6 (2.15)
A função de distribuição acumulada CDF por sua vez se torna:
Φ(<) = �=(<) = � 1√20 1�2 3− < 2 6 :?�� (2.16)
2.6.2. Distribuição Lognormal
Uma variável X tem uma distribuição lognormal quando estatisticamente ln(�) pode ser representado por uma distribuição normal. A PDF de uma variável lognormal
é definida como:
�(B) = 1:�√20 1�2 C−12Dln(�) − E: F G (2.17)
10
Onde E é o valor esperado de ln(�), isto é, E = �(ln(�)) = �HI(�) e : é o
desvio padrão de ln(�), ou seja,< = "���(ln(�)) = !ln(�). Os parâmetros E e :
se relacionam com a média e o desvio padrão de X por meio das seguintes expressões:
: = JK L1 + 4!���5 N (2.18)
E = ln(��) − 12 : (2.19)
11
3. CONCEITOS DA ANÁLISE À FADIGA DE UMA PLATAFORMA FIXA
Neste capítulo, são apresentadas noções básicas da teoria da fadiga e conceitos
fundamentais para que uma análise de resistência a carregamentos cíclicos seja
realizada.
3.1. Descrição do fenômeno
A fadiga é uma falha que ocorre nos materiais submetidos a cargas cíclicas cujas
tensões resultantes sejam menores que a tensão de escoamento do material. Em outras
palavras, fadiga é o fenômeno de redução da resistência de um material à medida em
que ele é submetido repetidamente a variações de cargas.
A falha por fadiga ocorre quando micro trincas presentes no material se
propagam até um tamanho crítico específico (ANDERSON, 1995). Essas trincas são
mais prováveis de aparecer em regiões de falha ou inclusões no material, em pontos de
não homogeneidade e pontos de mudança abrupta de geometria, chamados de pontos
de concentração de tensões.
Em estruturas reticulares soldadas, as soldas das juntas podem ser sensíveis à
falha por fadiga uma vez que o processo de solda pode resultar em microfissuras e/ou
na não homogeneidade local do material (pelo rápido aquecimento e resfriamento do
mesmo) e pelo fato de que as tensões locais reais podem ser muito maiores do que os
valores nominais calculados (ANDERSON, 1995).
O processo de falha por fadiga é normalmente classificado em três estágios de
desenvolvimento: o início da trinca, a propagação estável da trinca e a fratura final. Não
existem definições dos limites de identificação destas três fases na literatura, mas
apenas de algumas características básicas. A trinca se propaga até atingir uma
profundidade crítica de modo que a seção transversal remanescente é insuficiente para
transmitir os esforços, resultando na fratura do material. No caso dos elementos
tubulares de plataformas offshore fixas, a falha por fadiga é definida quando a
“profundidade” da trinca ultrapassa a espessura do tubo, ou seja, quando a trinca se
torna passante (NAESS, 1985).
A análise usual de vida à fadiga para projetos estruturais se preocupa com o
início da fase de propagação da trinca enquanto que o estudo da mecânica da fratura
analisa os modos de propagação da trinca. Uma abordagem mais profunda da teoria da
fadiga em estruturas metálicas pode ser encontrada em NAESS (1985).
12
3.2. Conceitos básicos no cálculo da vida à fadiga
3.2.1. Fator de Concentração de Tensões SCF
Devido aos defeitos inerentes aos componentes de uma estrutura, ao processo
de solda para montagem dos mesmos e à geometria das conexões, a tensão máxima
existente em pontos críticos, chamados de hot spots, podem ser muitas vezes maiores
do que as tensões nominais calculadas nos membros. Tenta-se obter essas tensões
reais através da majoração das tensões nominais pela aplicação de um fator, chamado
de Fator de Concentração de Tensões (ou, em inglês, Stress Concentration Factor -
SCF).
O valor aproximado do SCF pode ser obtido através de fórmulas paramétricas,
disponíveis para diversos modelos de juntas (EFTHYMIOU, 1988), ou através de uma
análise de tensões do detalhe em elementos finitos (DNV, 2008; NAESS, 1985). Ele é
definido como a relação entre a máxima tensão na junta e a tensão nominal na seção
transversal do membro. As tensões majoradas utilizadas na análise de fadiga podem
ser definidas então como:
! = O#� ∙ !Q (3.1)
onde σn é a tensão nominal obtida através da análise global da estrutura.
Em projetos usuais de estruturas offshore, o custo para se realizar um estudo
em elementos finitos para determinação do SCF de juntas é muito alto e na maior parte
das vezes desnecessário. O método utilizado, então, é o que se apoia em fórmulas
paramétricas dadas em função do tipo de junta a ser estudado. De acordo com as
recomendações do American Petroleum Institute (API, 2005), as juntas dos membros
tubulares de uma estrutura de plataforma são classificadas em letras do alfabeto como
Y, K e T em função da geometria da conexão e da configuração das cargas, como
apresentado na figura 3.1. As tensões transmitidas pelos membros componentes da
junta são provenientes de esforços axiais e de momentos no plano e fora do plano da
conexão, como ilustrado na figura 3.2. É importante ressaltar que uma junta pode ser
classificada como Y e K, por exemplo, ao mesmo tempo. Assim, são possíveis
formações de juntas mistas, como por exemplo T&Y ou 50%K, 50% T&Y. Nestes casos,
o SCF é composto de uma média ponderada das diferentes configurações.
13
Figura 3.1 Exemplos de classificação de juntas segundo a API (API, 2005)
Figura 3.2 Tipos de esforços possíveis em juntas tubulares (DOVER & MADHAVA,
1996)
3.2.2. Método das Curvas S-N
As curvas S-N são curvas baseadas em ensaios experimentais que indicam a
resistência de um dado material em termos do número de ciclos de certa variação de
tensão que este pode resistir até sua ruptura por fadiga, quando não há então
possibilidade de redistribuição de tensões durante o crescimento de trincas. Para uma
variação de tensão constante ∆σ, o número de ciclos que leva o material à falha é
determinado através da curva S-N apropriada, como ilustrado na figura 3.3.
14
Figura 3.3 Desenho esquemático de uma curva S-N
Na curva esquematizada, estão relacionadas duas grandezas: os níveis de
variação de tensão aos quais o elemento testado é submetido, no eixo das ordenadas,
e o número de ciclos necessário para a falha do mesmo associados a cada nível de
tensão, no eixo das abcissas. Ambos os eixos se apresentam na escala logarítmica.
Deste modo, é possível determinar o número necessário de ciclos de aplicação de
quaisquer níveis de variação de tensão para que o elemento rompa por fadiga.
O número admissível de ciclos N(∆σ) associado a um certo nível de variação de
tensão ∆σ, conforme a curva S-N, é dado por:
R(Δσ � �ΔσT , ∆σ > ∆σo (3.2)
Di = 0 , ∆σ < ∆σo (3.3)
Onde:
a Parâmetro definido experimentalmente tal que log(a) seja o ponto em que a
curva intercepta o eixo das abscissas;
m Parâmetro definido experimentalmente tal que m seja o inverso da inclinação
negativa da curva;
∆σo Valor do patamar final da curva S-N em que, se ∆σ < ∆σ o,, não há dano à
fadiga adquirido pelo elemento.
15
Os parâmetros a e m classificam as curvas S-N características para cada detalhe
estrutural a ser adotado. De acordo com a norma DNV (2014), as curvas S-N de projeto
são obtidas através da curva S-N média de um dado experimento reduzida de duas
vezes o seu próprio desvio padrão, como ilustrado na figura 3.4.
Figura 3.4 Exemplo de determinação de uma Curva S-N fornecida em normas
De acordo com os critérios da DNV (2014), as curvas S-N apresentadas na figura
3.5 devem ser usadas para conexões tubulares expostas a variações de tensão devidas
às cargas ambientais ou operacionais em estruturas offshore. Estas curvas são
chamadas curvas T e se diferenciam nos casos em que o elemento estrutural está na
água do mar, com uma proteção catódica efetiva, ou no ar.
16
Figura 3.5 Curvas S-N T de fadiga – Escala logarítmica (DNV, 2014)
3.2.3. Formulação baseada na regra de Palmgren-Miner
Para uma estrutura offshore que deverá permanecer em locação por alguns
anos, como é o caso das plataformas, a verificação à fadiga se dá pelo cálculo do dano
acumulado ao longo de seu tempo de serviço. Para tal, é utilizada uma regra de acúmulo
linear, conhecida como Regra de Palmgren-Miner ou simplesmente Regra de Miner.
Apesar das imprecisões nela contidas, a Regra de Miner continua a ser largamente
utilizada na prática de engenharia devido à sua simplicidade matemática.
De acordo com a regra de Miner, o material sujeito a um ciclo de tensões ∆σ
durante um número de ciclos n(∆σ), menor do que o número de ciclos que leva à falha
por fadiga do material N(∆σ), possui um nível de dano dado pela equação 3.4.
�Δσ � K�ΔσR�Δσ (3.4)
Onde o número de ciclos necessário para a falha do elemento a dada variação de tensão
N(∆σ) é dado pela curva S-N referente àquele tipo de elemento.
17
O dano acumulado por fadiga será a soma linear dos danos parciais avaliados
para diversos níveis de variação de tensão, conforme abaixo:
U �V �ΔσW � V K�ΔσWR�ΔσW (3.5)
Se o elemento for submetido a três níveis de variação de tensão diferentes em
sua vida útil, por exemplo, o seu dano acumulado será dado pela soma da equação 3.6.
U �V �ΔσXYWZ[ � K�Δσ[R�Δσ[ + K�Δσ R�Δσ + K�ΔσYR�ΔσY (3.6)
Onde N�Δσ]são dados retirados da curva S-N referente ao elemento e n�Δσ]são
obtidos no projeto em função do período de tempo considerado.
O material sujeito a uma sucessão de diferentes variações de tensões falhará
quando o dano acumulado se tornar igual à unidade, isto é:
V W � V K�ΔσWR�ΔσW � 1 (3.7)
Quando o dano acumulado D é medido ao longo da vida de projeto T da junta, a
vida útil à fadiga da mesma VU, em anos, será dada por: �^ � _U (3.8)
Inserindo as equações 3.1, 3.2 e 3.4 na equação 3.8, chega-se à seguinte
expressão geral para o cálculo da vida útil à fadiga de um componente estrutural:
18
�^ � _∑ KWD �aO#�∆!Q,WcdFeWZ[
(3.9)
Onde k é o número de diferentes níveis de variações de tensão sofridos pelo elemento
durante a vida útil da estrutura.
Na fase de dimensionamento, supõe-se que a vida útil de projeto de cada junta
deva ser maior que um determinado número de vezes, geralmente de duas ou três, a
vida útil da estrutura.
Para se obter a vida à fadiga de um elemento é necessário, portanto, que se
calcule o dano acumulado neste elemento, ou em outra abordagem, que se calculem os
níveis de variações de tensão (e o número de ciclos de tais variações que atuam ao
longo da vida útil) por ele sofridos. Esta parte do problema é solucionada pela análise
de fadiga, que depende do tipo de estrutura estudado e do tipo de dados ambientais
disponíveis (GALGOUL, 2007).
3.3. Análise de fadiga de plataformas fixas
3.3.1. Plataformas offshore do tipo fixas
Uma plataforma offshore do tipo fixa é constituída basicamente de elementos
tubulares metálicos conectados entre si de modo a formarem uma treliça tridimensional,
capaz de vencer a profundidade do mar no qual está instalada. As conexões entre estes
elementos tubulares são chamadas de juntas. A estrutura de uma plataforma fixa é
chamada de jaqueta, a qual sustenta uma superestrutura chamada de convés. O convés
e a jaqueta são por sua vez suportados pela fundação da plataforma, composta
usualmente de estacas tubulares. As facilidades de exploração e produção do petróleo
se encontram no convés, junto aos profissionais embarcados. As plataformas fixas são
solução para a exploração de poços que se encontram em até 200m de profundidade
de coluna d’água, embora algumas tenham sido instaladas em profundidades bem
maiores (SAGRILO, 1994). A figura 3.6 mostra uma representação deste tipo de
estrutura.
19
Figura 3.6 Esquema simplificado de uma plataforma offshore fixa – Vista 2D
A profundidade H na qual a plataforma é instalada é medida a partir do fundo do
mar ao Still Water Level, SWL, nível do mar quando não há ondas geradas pelo vento.
As conexões entre os elementos tubulares de uma plataforma fixa são em geral
soldadas, o que traz problemas em relação à resistência à fadiga destas conexões. O
processo de solda, ao aquecer rapidamente o material e depois deixá-lo resfriar
naturalmente, introduz tensões residuais na conexão, não-homogeneidade do material
e microfissuras invisíveis aos procedimentos de inspeção, como já comentado
anteriormente.
3.3.2. Carregamentos
O dano por fadiga em estruturas offshore do tipo plataforma fixa é
predominantemente oriundo das cargas cíclicas atuantes devidas às ações dinâmicas
do vento, ondas e corrente. Outras cargas cíclicas podem ser geradas devido à
movimentação de equipamentos na plataforma ou de equipamentos específicos que
apresentem algum tipo de vibração, embora estes tenham participação secundária.
H
20
Como as elevações do mar ao longo do tempo se tratam de ondas irregulares
("mar irregular", às vezes também referido como "ondas aleatórias"), como mostrado na
figura 3.7, o estado de mar irregular geral é representado pela superposição linear de
várias ondas regulares, com diversos valores de período, amplitude e fase.
Figura 3.7 Sinal de onda randômico visto como a soma de ondas regulares
(ELLWANGER, 2010)
Um processo aleatório como a representação das elevações de ondas do mar
pode ser representado por uma série de funções em senos e co-senos. Essa
superposição linear é feita a partir do desenvolvimento de séries de Fourier, que não
serão detalhadas no presente estudo. Maiores informações podem ser vistas em
(NAESS & MOAN, 2013).
A figura 3.8 mostra como se dá o carregamento de um dos membros de uma
jaqueta de plataforma fixa oriunda da atuação de ondas e correntes.
21
Figura 3.8 Forças de onda atuando em um membro de jaqueta (adaptado de
GALGOUL, 2007)
Neste caso, as componentes de velocidade de ondas e corrente e aceleração
de onda (horizontal e vertical) podem ser determinadas em qualquer ponto do semi-
espaço abaixo da superfície de água, com base em teorias tradicionais de ondas, como
Stokes ou Airy (SORENSEN, 2006). Os carregamentos atuantes em qualquer membro
podem ser determinados usando-se a Equação de Morison (MORISON, 1953),
apresentada abaixo. A forma de apresentação da equação é retirada da norma API
(2005).
f � 12 , ∙ #g ∙ � ∙ |�| ∙ U +14 0 ∙ , ∙ #j ∙ k�kl ∙ U (3.10)
Onde:
q Carregamento distribuído normal ao eixo do membro;
V Componente normal ao eixo do membro, devido à onda e/ou corrente, do
vetor de velocidade da partícula do fluido;
mnmo Componente normal ao eixo do membro do vetor de aceleração local da
partícula do fluido;
22
D Diâmetro do membro;
ρ Massa específica do fluido;
CD Coeficiente de arrasto;
CM Coeficiente de inércia.
A equação de Morison pode ser utilizada em qualquer tipo de estrutura que não
interfira no perfil de onda. Em termos práticos, a equação é válida para elementos
tubulares com diâmetros de até 3m (GALGOUL, 2007).
De modo a calcular a variação de tensões em uma dada conexão da estrutura,
devida à ação de uma onda específica quando esta atravessa a estrutura, é necessário
calcular a resposta da estrutura quando toda a onda a atravessa. Usualmente, 18
posições de cálculo são suficientes para uma boa precisão de projeto (GALGOUL,
2007). Isto significa que são calculadas as respostas (tensões na estrutura) para 18
posições, ditas pontos, de incidência da onda (deslocamento da crista em relação à
origem do sistema de coordenadas ou o “offset”, como mostrado na figura 3.8). Desse
modo, serão 18 diferentes carregamentos para cada onda específica. Por sua vez, cada
onda é caracterizada pela sua altura, período e direção de incidência. A figura 3.9
exemplifica três pontos de uma onda para as quais a estrutura deve ser resolvida.
Figura 3.9 Exemplos de pontos de resolução da estrutura
A variação de tensões em uma junta, ou nó, da estrutura será então a diferença
entre as tensões máxima e mínima encontradas nestes 18 carregamentos, referentes a
uma onda.
23
Além disso, em uma jaqueta, são geralmente analisados à fadiga 8 pontos ao
redor da circunferência da seção transversal do membro, de modo a se tentar obter a
máxima tensão presente naquela conexão. Poderiam ser utilizados menos pontos de
controle, porém a precisão seria menor.
Figura 3.10 Pontos a serem analisados em cada junta na análise de fadiga
As variações de tensões, diferença entre as tensões máximas e mínimas, são
avaliadas em cada um dos 8 pontos da junta para os 18 carregamentos referentes a
uma onda. A variação de tensões a ser levada em conta na junta, para a onda em
estudo, será a maior entre as encontradas para os 8 pontos.
É evidente que existam infinitas possíveis associações de altura, período e
direção de incidência de uma onda na natureza, mas para a análise em questão é
necessário que se utilize uma amostra representativa destas. A escolha desta amostra
e o meio de tratá-la caracteriza dois tipos de procedimentos de análise: a análise de
fadiga espectral e a análise de fadiga simplificada. A diferenciação destas abordagens
será feita ao longo dos subcapítulos seguintes.
3.3.3. Procedimentos de uma análise de fadiga
O objetivo de uma análise de fadiga é determinar o dano acumulado sofrido por
um dado elemento estrutural devido à atuação destas cargas cíclicas de caráter
aleatório. Para seu cálculo é necessário o conhecimento prévio de três conjuntos de
dados: o histórico de tensões em cada junta da estrutura, os SCF’S em cada ponto de
concentrações de tensões e a curva resistente S-N do material. Os procedimentos para
a realização de uma análise de fadiga usual segue a formulação apresentada abaixo.
i. Escolha do método de análise (análise de fadiga simplificada ou espectral) e
descrição do ambiente de carregamentos para obtenção do histórico de tensões
da estrutura;
24
ii. Determinação das variações de tensões encontradas em cada detalhe
estrutural;
iii. Determinação das variações de tensões corrigidas com o auxílio dos SCF’s
calculados;
iv. Avaliação dos danos parciais à fadiga em intervalos de variação de tensões com
amplitudes constantes através da regra de Palmgren-Miner;
v. Cálculo dos danos totais pela soma linear dos danos de variações de tensões
individuais.
3.3.4. Métodos de análise
O ambiente marinho ao longo da vida útil de uma plataforma é um elemento
completamente aleatório, composto por muitas variáveis de espaço e de tempo, sempre
dependentes das condições meteorológicas e oceanográficas. As características físicas
do mar variam de acordo com as condições geológicas de cada local e acabam sendo
altamente específicas. A escolha dos dados de onda em um projeto de estrutura
offshore é portanto de importância crítica e afeta as avaliações dos danos à fadiga. A
descrição dos carregamentos hidrodinâmicos de modo simplificado ou espectral definirá
então os dois principais métodos de análise.
A análise de fadiga simplificada, ou determinística, determina as variações
possíveis de tensões nos nós de uma estrutura através da resolução da mesma para
ondas específicas e individuais, de dada altura, período e direção de incidência.
A análise de fadiga espectral é uma abordagem estatística para o problema e é
uma tentativa de se levar em conta a natureza randômica do mar, ainda que de modo
simplista. O método parte do princípio de que há uma relação determinável entre a altura
de onda atuante e a variação de tensões nas conexões da estrutura, chamada de função
de transferência. O método se utiliza desta relação e dos dados de onda disponíveis
para o ambiente em questão como dados de entrada necessários para o cálculo do dano
acumulado em juntas de uma estrutura (BAI, 2003).
Neste trabalho será utilizada a abordagem da análise de fadiga espectral como
dado de entrada para o estudo de confiabilidade posterior.
3.3.4.1. Análise de fadiga simplificada
Na abordagem de onda determinística, a avaliação dos danos pode ser realizada
por métodos numéricos que consideram o dano causado por cada onda individualmente.
25
As ondas são caracterizadas por suas alturas H e períodos T. Os efeitos de cada uma
são somados de modo a se prever a vida à fadiga esperada da estrutura.
A tabela 3.1 mostra os típicos resultados da coleta de dados de onda em um
determinado local. Esta tabela é chamada diagrama de dispersão de ondas e nela são
contabilizadas as ocorrências em um período de tempo de ondas em função de suas
alturas H (linhas da tabela) e períodos T (colunas da tabela). Para cada direção de
incidência de onda considerado no projeto, haverá disponível uma tabela semelhante.
Estas informações são geralmente fornecidas baseadas em medições no local
(realizadas em um certo intervalo de medições) ou podem ser baseadas em simulação
numérica validadas com medições de um banco de dados ou ainda a partir de uma
combinação de ambos.
Tabela 3.1 – Exemplo de diagrama de dispersão de ondas – Direção θ
PERÍODO
T(s) 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 16 16 - 18 18 - 20 TOTAL %
ALTURA H
(m)
0.0 - 0.5 85000 166700 50600 11000 2100 400 100 20 10 10 315940 17.42%
0.5 - 1.0 12000 200000 229400 111000 40000 11000 2800 540 130 50 606920 33.47%
1.5 - 2.0 320 47000 164000 145000 73000 27000 7000 1400 270 50 465040 25.65%
2.0 - 2.5 0 6500 64000 86000 53000 23000 7500 1500 260 40 241800 13.33%
2.5 - 3.0 0 700 19000 38000 27000 14000 6000 1200 200 30 106130 5.85%
3.0 - 3.5 0 80 5300 15000 12500 8000 3000 800 150 10 44840 2.47%
3.5 - 4.0 0 6 1200 5400 5500 4000 1900 500 90 10 18606 1.03%
4.0 - 4.5 0 1 300 2000 2300 1900 900 300 50 3 7754 0.43%
4.5 - 5.0 0 0 70 700 1000 900 500 160 30 1 3361 0.19%
5.0 - 5.5 0 0 12 200 500 500 300 60 10 0 1582 0.09%
5.5 - 6.0 0 0 4 80 200 200 160 50 6 0 700 0.04%
6.0 - 6.5 0 0 1 30 100 120 90 20 1 0 362 0.02%
6.5 - 7.0 0 0 0 8 40 70 30 10 0 0 158 0.01%
7.0 - 7.5 0 0 0 3 20 20 20 2 0 0 65 0.00%
7.5 - 8.0 0 0 0 0 5 18 20 2 0 0 45 0.00%
8.0 - 8.5 0 0 0 2 3 3 7 0 0 0 15 0.00%
8.5 - 9.0 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 6 0.00%
9.0 - 9.5 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 4 0.00%
9.5 - 10.0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 4 0.00%
10.0 - 10.5 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 4 0.00%
10.5 - 11.0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0.00%
26
11.0 - 11.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00%
11.5 - 12.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00%
TOTAL 97320 420987 533887 414423 217272 91141 30333 6564 1207 204 1813338 100.00%
% 5.37% 23.22% 29.44% 22.85% 11.98% 5.03% 1.67% 0.36% 0.07% 0.01% 100.00%
Por exemplo, pela tabela 3.1, pode-se observar que foram medidas, ao longo de
um período de tempo, neste local, 85000 ondas de altura entre 0 e 0,5 metros e período
entre 0 e 2 segundos vindas da direção considerada. Nas últimas coluna e linha da
tabela, são mostradas, respectivamente, a frequência em porcentagem com que ondas
de mesma faixa de alturas ou de mesma faixa de períodos aparecem no período de
medição.
Considerando um mínimo de 8 direções de incidência de ondas para o projeto,
10 alturas de ondas por direção e 10 períodos por cada altura de onda, tem-se 800
ondas de projeto ou 800 variações de tensão para cada junta da estrutura.
Com os computadores atuais o número de análises necessárias não é mais
assustadoramente grande, mas há alguns anos este procedimento poderia ser
proibitivo. Se faziam então simplificações, admitindo-se um período médio para cada
altura de onda ou calculando-se menos pontos de incidência de onda. Deste modo,
algumas poucas ondas eram analisadas para cada direção.
Assim, na análise de fadiga simplificada, são calculados os danos na estrutura
gerados por cada uma das ondas regulares escolhidas para representar o mar. A
representação do meio marinho nesse caso é, portanto, realizada de forma discreta,
uma vez que são escolhidas algumas das ondas existentes (as de direção, altura e
período predominantes).
Os principais problemas deste método são que, a natureza estocástica do
ambiente marinho não é levada em conta quando admitem-se ondas regulares e que a
resposta dinâmica da estrutura pode não ser fielmente considerada. Por este se utilizar
de ondas determinísticas, ondas que causariam ressonância na estrutura podem ser
deixadas fora do cálculo. Este fato levaria a uma análise de fadiga insegura.
3.3.4.2. Análise de fadiga espectral
A característica básica da análise espectral de fadiga consiste no fato de este
método reconhecer a natureza aleatória do meio no qual uma estrutura offshore se
27
insere. Os dados de onda neste método não são mais determinísticos e sim
estocásticos.
O método de análise, como já comentado anteriormente, se apoia no fato de que
há uma relação direta determinável entre as ações atuantes na estrutura e os valores
de variação de tensões chamada de função de transferência. A partir desta função e
dos dados de onda estocásticos disponíveis do mar no qual a estrutura se insere, os
valores de variação de tensão são determinados e assim, a vida útil à fadiga de cada
junta é calculada. A equação 3.11 (NAESS & MOAN, 2013), função da frequência de
ondas atuantes, resume a abordagem do método de análise à fadiga espectral.
O-�q � |r�q| ∙ O��q (3.11)
Onde:
r�q Função de transferência (em frequência) da estrutura para uma dada
junta;
O-�q Espectro de potência de resposta da estrutura;
O��q Espectro de potência de ondas;
q Frequência angular de ondas.
A função de transferência r�qé perfeitamente determinável quando o sistema
resolvido é linear e sua rigidez e massa são independentes do tempo, o que é uma
hipótese válida na análise à fadiga de uma plataforma offshore, onde as cargas
aplicadas são geralmente pequenas. A função de transferência relacionará a ação das
ondas, no domínio da frequência, às variações de tensão resultantes nos pontos de
concentração de tensão em cada junta da estrutura.
O espectro de ondas O-�q é fruto da medição da elevação da superfície do mar
em um período de geralmente três horas (NAESS & MOAN, 2013). Neste período, a
elevação da superfície do mar assume propriedades de distribuição aleatória gaussiana
e pode ser representada como um processo aleatório estacionário (que possui
propriedades estatísticas constantes) (ELLWANGER, 2010). O espectro de ondas é
também chamado de estado de mar.
28
A figura 3.11 ilustra a elevação da superfície do mar como um sinal aleatório
dependente do tempo.
Figura 3.11 Histórico de um processo estocástico (NAESS & MOAN, 2013)
Como já foi visto, a partir dos dados de medição de um estado mar, pode-se
realizar uma análise do sinal obtido por transformação de Fourier de modo que se
consiga todas as ondas regulares que, uma vez combinadas, resultem no sinal medido.
A análise estatística destas ondas que compõem a elevação real da superfície do mar
permite quantificar esta grandeza chamada de espectro de ondas. A equação 3.12
(NAESS & MOAN, 2013) apresenta um espectro genérico de ondas no domínio do
tempo
O��l � 1_�� s �l ltuv (3.12)
Onde:
O��l Espectro de ondas no domínio do tempo;
_� Duração da medição da elevação da superfície do mar;
s�l Elevação da superfície do mar ao longo do tempo.
É possível demonstrar a relação entre O��l e O��q através do teorema de
Parseval (NAESS & MOAN, 2013). O uso do domínio da frequência é recomendado
pelas normas (API, 2005) e (DNV, 2014).
A figura 3.12 ilustra a composição de um espectro e a relação entre o domínio
do tempo e o da frequência.
29
Figura 3.12 Ilustração da conexão entre o domínio do tempo e o domínio da
frequência em um estado de mar ou espectro (FALTINSEN, 1990)
Outros parâmetros estatísticos de processos aleatórios podem ser determinados
em função dos momentos espectrais, que são momentos de área do espectro em
relação à linha de frequência zero. Os momentos espectrais são utilizados para definir
a largura de banda de um processo, através do indicador de banda (ε). Quando a
potência de um espectro está concentrada em um pequeno intervalo de frequências,
dizemos que este espectro é de banda estreita; caso contrário é de banda larga, como
ilustra a figura 3.13. A elevação da superfície do mar pode ser modelada como um
processo gaussiano de banda estreita (NAESS & MOAN, 2013).
z(t)
30
Figura 3.13 Processos de banda estreita e de banda larga (NAESS & MOAN, 2013)
O estado de mar é frequentemente representado por Hs, altura de onda
significativa, e Tz, período de cruzamento zero. A altura de onda significativa é definida
aproximadamente como a média do terço das maiores alturas de onda e o período de
onda significativa a média dos valores dos períodos da onda (Ti), em um registro de
medição, como o exemplificado na figura 3.14.
Figura 3.14 Registro de onda irregular (ELLWANGER, 2010)
A partir do princípio de que um espectro de onda possa ser completamente
definido por um par (Hs e Tz), um modelo de longo-prazo em um ambiente marinho pode
ser baseado na frequência de ocorrência destes dois parâmetros (NAESS & MOAN,
2013). Um diagrama de dispersão pode fornecer a probabilidade de ocorrência da
presença simultânea de um determinado par. O estado de mar de longo prazo será
considerado como uma série de estados de mar de curto prazo e este, por sua vez,
poderá ser idealizado como um processo estocástico estacionário com distribuição
gaussiana, como já comentado anteriormente.
31
Os espectros de onda podem ser modelados de várias formas. O tipo de
espectro que melhor representa a Bacia de Campos, no Rio de Janeiro, é o de
JONSWAP (Joint North Sea Wave Project), uma vez que seus parâmetros tenham sido
adaptados. Este tipo de espectro foi desenvolvido especificamente para o mar do Norte
em estudos realizados em conjunto com as indústrias offshore (HASSELMANN, 1973).
Explicações aprofundadas acerca de outros tipos de espectros de onda podem ser
vistas em (NAESS & MOAN, 2013).
Os parâmetros que caracterizam o espectro de JONSWAP são tabelados em
função de Hs e Tz. A frequência angular de pico qw (ou o período Tp) corresponde à
frequência no valor máximo de O�q. A forma do espectro de JONSWAP é apresentada
na figura 3.15.
Figura 3.15 Espectro de JONSWAP (NAESS & MOAN, 2013)
Uma vez determinado o espectro de tensões O-�q em uma dada junta, é
necessário determinar o nível de variação de tensões a ele associado. Estatisticamente,
este valor de variação de tensões traduz um valor médio representativo no período de
medição da elevação da superfície do mar e é dado pela equação 3.13 (NAESS &
32
MOAN, 2013). Para cada estado de mar, ou espectro de ondas, solicitante haverá uma
variação de tensão representativa.
∆!xjy � z�|r�q| ∙ O��q�v (3.13)
Onde ∆!xjy é a variação de tensão Root Mean Square (ou a raiz do valor quadrático
médio das tensões).
Para o cálculo do dano à fadiga em uma dada junta é necessário ainda que se
calcule o número de ciclos com que este estado de mar atua, ou seja, o número de
vezes em que a junta sofre esta mesma variação de tensão ao longo de sua vida útil.
Este cálculo é feito com a ajuda de um diagrama de dispersão de estados de mar. Um
diagrama genérico é apresentado na tabela 3.2.
O diagrama de dispersão de estados de mar é geralmente fornecido com dados
da história completa obtida para uma dada bacia, desde o ano em que se iniciaram as
medições até o ano em que os dados são utilizados. Os valores na tabela mostram o
número de vezes em que um espectro de ondas com determinada direção θ e dado par
(HS, TP) foi medido em um local.
Com o valor do período de pico TP pode-se determinar o valor do período de
cruzamento zero TZ, através de fórmulas específicas para o tipo de espectro usado
(neste caso, JONSWAP). Por exemplo, na tabela 3.2, pode-se observar que foram
medidos 500 espectros até o dia de hoje cuja faixa de TP vai desde 7 a 8 segundos e de
HS, de 2 a 2,5 metros. Uma vez que o total de medições é de 11464 espectros, a
porcentagem de ocorrência deste espectro específico é de 4,36% do tempo
(500/11464). Se a vida útil de projeto da estrutura estudada é de 50 anos, então a
parcela de tempo correspondente à atuação deste espectro é de 2,18 anos (0,0436 x
50 anos). Supondo, como dado do problema, que o período de cruzamento zero
correspondente ao de pico é de TZ igual à 8 segundos, o cálculo do número de ciclos
deste mesmo espectro ao longo da vida útil da estrutura é apresentado na equação
3.14.
33
Tabela 3.2 – Diagrama de dispersão de estados de mar – Direção θ
KW � %�^_| � 2,18�K&~�365 X�~�24ℎ�60min � 60~8~1��K &~
KW � 8593560�X�J&~ (3.14)
De posse do número de ciclos atuante para um certo nível variação de tensões,
pode-se determinar o dano parcial causado por este espectro ou estado de mar. O dano
à fadiga total sofrido pela junta será o resultado da soma dos danos parciais causados
por cada nível de variação de tensões, correspondente a cada espectro ou estado de
mar, de acordo com a equação 3.5. É importante ressaltar que as frequências de
ocorrência de espectros para cada direção considerada no projeto, é também levada
em conta no somatório dos danos à fadiga.
3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0.5 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2
0.5 1 0 20 20 50 80 40 20 10 10 250
1 1.5 1 100 300 400 700 500 300 300 200 2801
1.5 2 0 60 500 800 800 700 500 400 300 4060
2 2.5 0 1 100 400 500 400 400 300 400 2501
2.5 3 0 0 10 100 300 200 200 200 200 1210
3 3.5 0 0 0 30 90 90 70 80 100 460
3.5 4 0 0 0 0 15 20 20 30 40 125
4 4.5 0 0 0 0 0 0 10 20 10 40
4.5 5 0 0 0 0 0 0 0 10 5 15
1 181 931 1780 2485 1951 1520 1350 1265 11464
Hs(m)
TP(s)
TOTAL
TOTAL
34
4. ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
4.1. Introdução
O conceito de confiabilidade de um sistema estrutural é definido como a
probabilidade de que este realize sua função ao longo de um determinado período de
tempo e em condições de serviço específicas. Uma análise de confiabilidade procura
quantificar esta probabilidade de que um sistema venha a exercer seu papel ou, em
outras palavras, a probabilidade de que violações de estados-limite em qualquer fase
da vida de uma estrutura possam vir a ocorrer.
A maioria dos projetos modernos de engenharia é realizada com base no método
de fatores de segurança, em geral coeficientes de majoração das ações e de minoração
das resistências de uma estrutura. Embora se faça satisfatoriamente seguro onde é
empregado, este método tradicional não considera diretamente a natureza aleatória da
maioria dos dados de entrada dos problemas. Na prática, resistência, ações e
solicitações são variáveis, tendo seus valores dispersos ao redor de seus respectivos
valores médios.
Na grande maioria dos casos, projetos elaborados com base em fatores de
segurança se tornam muito conservadores, o que leva a uma concepção de projeto
demasiadamente cara. Este é o método usual indicado por normas técnicas e é dito
semi-probabilístico. Nele não há qualquer quantificação direta da probabilidade de falha
estrutural, ou seja, não há quantificação do risco corrido. O estudo de confiabilidade
estrutural tenta racionalizar o problema, lidando com a aleatoriedade dos dados
existentes para determinar uma probabilidade de ruína estrutural aceitável. O nível de
confiabilidade desejado, ou em outras palavras, a probabilidade de falha admissível é
então um dos dados necessários a uma análise de confiabilidade.
Embora existam muitas definições e classificações do que pode vir a ser uma
falha estrutural, a ruína de estruturas offshore do tipo plataformas é um evento sinistro.
O custo decorrente do colapso de uma plataforma é altíssimo, não só pela perda da
estrutura em si e pelos custos de construção e operação perdidos, mas pela perda de
vidas. Além disso, o impacto ambiental gerado pela sua ruína seria imenso. A
abordagem estocástica pode ajudar a desenvolver a orientação inicial para um projeto
seguro e identificar onde novas inspeções e investigações poderiam aumentar a
segurança e a vida útil da estrutura.
35
O advento dos computadores de alta capacidade tornou viável encontrar
soluções numéricas para problemas reais de grande escala, sistemas complexos que
envolvem aleatoriedade em seu comportamento. Ainda sim, a maior dificuldade do
método recai na representação confiável das incertezas envolvidas nos dados de um
sistema, uma vez que diferentes representações de incertezas podem produzir
diferentes interpretações finais. Tal dificuldade se torna ainda maior quando se tratam
de estruturas não convencionais, onde geralmente existem poucos dados relevantes ou
pouco conhecimento prévio.
No estudo de confiabilidade à fadiga de juntas de plataformas fixas offshore, já
existe significativo conhecimento na literatura técnica (API, 2005; BAI, 2003; DNV, 1996;
DNV, 2014) acerca das incertezas envolvidas no processo de determinação da vida útil
das conexões estruturais e alguma experiência no sucesso e insucesso de estudos
realizados previamente.
4.2. Conceitos básicos
4.2.1. Variáveis aleatórias
As variáveis em um estudo de confiabilidade são todos aqueles parâmetros que
não podem ser representados senão por uma distribuição aleatória. Todo dado de
entrada de um problema que representar algum tipo de incerteza pode ser tratado como
uma variável aleatória na análise de confiabilidade.
As variáveis podem ser tanto independentes quanto dependentes entre si,
embora o fato de estarem enquadradas no segundo caso dificulte os cálculos e as
expressões matemáticas envolvidas no estudo.
O tipo de tratamento dado às variáveis aleatórias envolvidas no estudo
determinam o nível da análise realizada e diferencia os métodos de confiabilidade
existentes em ordem de complexidade. No nível de análise mais elementar, ou semi-
probabilístico, as variáveis envolvidas são usadas com seus valores característicos e a
segurança do projeto é representada por fatores de segurança. A análise de nível
superior representa as variáveis através de distribuições probabilísticas, com suas
médias e desvios padrão. Neste nível a segurança é medida pelo índice de
confiabilidade. No nível de análise ainda mais complexo, as variáveis envolvidas são
representadas como elas se apresentam na natureza, com as distribuições
probabilísticas de cada tipo de fenômeno (SAGRILO, 1994).
36
Neste trabalho será abordado o método de análise de confiabilidade pertencente
ao nível intermediário.
Os aspectos mais complexos de uma análise de confiabilidade estão na
identificação das variáveis envolvidas em um certo problema e na escolha de
distribuições para a representação destas. Na maioria das vezes, há pouco ou nenhum
conhecimento prévio acerca de tais incertezas e a escolha das distribuições se dá
baseada em testes experimentais ou em poucas publicações relevantes já disponíveis.
No âmbito das estruturas offshore, a preocupação com as incertezas envolvidas
nos projetos de dimensionamento atualmente já alcançou níveis bem maiores se
comparados ao passado. Muitas normas e práticas recomendadas por classificadoras
citam e discorrem acerca das variáveis a serem levadas em conta em um possível
estudo de confiabilidade e algumas delas indicam valores a serem seguidos (API, 2005;
DNV, 1996; DNV, 2014).
Neste trabalho, as distribuições de variáveis utilizadas são oriundas de
recomendações de normas e publicações relevantes acerca do assunto.
4.2.2. Função de falha
Para se avaliar a probabilidade de falha de um sistema estrutural ou de um
componente deste sistema é necessário que se defina um estado-limite a partir do qual
se considere a ocorrência de falha. Este estado limite é quantificado por uma função de
falha. A função de falha delimita a sub-região do problema estudado em que se
considera que o sistema ou componente já veio a falhar em um dado modo de
comportamento. A equação de falha, que dá origem à função de falha, é dado como o
plano limite, isto é, região em que não há absolutamente nenhuma certeza quanto à
falha ou não falha neste comportamento. Na maior parte dos estudos de confiabilidade
estrutural, a função de falha G(X) para um dado modo de comportamento pode ser
escrita de acordo com a equação 4.1.
��� � ��� − O�� (4.1)
Onde, X é o vetor das variáveis aleatórias envolvidas no problema, R(X) é a função de
resistência e S(X) é a função de solicitação, ambas descritas para a estrutura ou um
componente desta.
37
A equação de falha (G(X) = 0) representa então a superfície de falha do modo
de comportamento estudado. Ela divide o espaço solução em uma região segura (G(X)
> 0) e uma região de falha (G(X) ≤ 0).
4.2.3. Índice de confiabilidade β
O índice de confiabilidade é uma medida padrão utilizada para se expressar o
nível de segurança envolvido em um dado modo de comportamento de um sistema ou
componente deste (CHOI et al, 2007; MELCHERS, 2002).
Uma vez que a função de falha G(X), anteriormente definida, é função de
variáveis aleatórias envolvidas no problema, a própria função G pode ser entendida
como uma variável aleatória.
Se R(X) e S(X) são normalmente distribuídas, a média e o desvio padrão da
função de estado limite G(X) podem ser determinados através da definição elementar
de média e variância. Assim, a média e o desvio padrão de G(X) são dados
respectivamente pelas equações 4.2 e 4.3.
�� � �x − �y (4.2)
!� � �!x + !y − 2,xy!x!y (4.3)
O índice de confiabilidade β é então definido conforme a equação 4.4.
� � ��!� � �x − �y"!x + !y − 2,xy!x!y (4.4)
Onde ρrs é o fator de correlação, que indica, caracteriza e quantifica a existência de uma
dependência linear entre R e S.
Se as funções resistência R(X) e solicitação S(X) forem independentes entre si
(,xy � 0, o índice de confiabilidade é dado pela simples equação 4.5.
38
� � ��!� � �x − �y"!x + !y (4.5)
Figura 4.1 Função PDF de G(X) (CHOI et al, 2007)
O índice de confiabilidade pode ser matematicamente entendido como a
distância, em termos de desvios padrão, do valor mais provável �� da função G(X) à
superfície de falha. Esta definição é válida ainda que G não seja distribuída normalmente
pois � é apenas uma medida estabelecida como um padrão de referência.
Portanto, quanto maior for o índice de confiabilidade β, maior será segurança do
sistema ou componente em relação ao modo de falha estudado.
Quando a função G é dada por uma distribuição normal padrão, a probabilidade
de falha pode ser calculada através da equação 4.7.
�� � � 1!�√20 1�2 3−12 40 − ��!� 5 6 �v��
� � 1!�√20 1�2 4−12 �� 5 �v��
(4.6)
39
�� � 1 − Φ�� � Φ�−� (4.7)
Onde Φ é a função cumulativa da distribuição normal padrão (CDF).
4.3. Métodos de análise
Em resumo, pode-se afirmar que a análise de confiabilidade visa computar a
probabilidade de falha em um dado problema. Tal probabilidade é representada pelas
equações 4.8 e 4.9 (MELCHERS, 2002).
�� � �)��B ≤ 0* (4.8)
�� � � ��B �����v (4.9)
Na maior parte dos casos, a avaliação da integral que determinará a
probabilidade de falha não é trivial como no exemplo anteriormente mostrado, onde esta
foi resolvida analiticamente. Seu cálculo geralmente envolve expressões e conceitos
mais complexos e uma quantidade de variáveis aleatórias bem superior.
Em suma, o cálculo da integral apresentada na equação 4.9 pode ser resolvida
de três maneiras (MELCHERS, 2002):
• Por integração direta (possível só em alguns casos especiais, como no
exemplo mostrado);
• Por simulação de amostragem e computação dos casos de falha, como
no método de Monte Carlo;
• Por métodos numéricos iterativos de otimização, como os métodos
FORM e SORM.
Os métodos FORM (First-Order Reliability Method) e SORM (Second-Order
Reliability Method) foram largamente utilizados nas análises de confiabilidade no
passado, e ainda o são, por se basearem em algoritmos de baixa complexidade
matemática e por necessitarem de menor capacidade computacional. De modo geral,
ambos métodos se caracterizam por soluções numéricas iterativas de problemas de
otimização (CHOI et al, 2007). Todas as variáveis aleatórias têm suas distribuições
40
levadas ao espaço padrão e a função G de falha é aproximada linearmente, pelo FORM,
ou quadraticamente, pelo SORM. A menor distância da função G à origem do sistema,
no espaço normal padrão, será a distância que determina o ponto de projeto, ou o ponto
de maior probabilidade de falha MPP (Most Probable Failure Point). A medida desta
distância, ou vetor, em termos de desvios padrão será o índice de confiabilidade do
sistema.
A figura 4.3 ilustra o processo de transformação das variáveis em seu espaço
original X para o espaço padrão U e o ponto MPP.
Figura 4.2 Princípio dos métodos FORM e SORM (CHOI et al, 2007)
Embora os métodos FORM e SORM tenham se mostrado de grande utilidade
para o estudo de confiabilidade, os computadores atuais são capazes de processar
métodos mais robustos, isto é, que demandem capacidades de processamento maiores.
O método a ser utilizado neste presente trabalho é o método de Monte Carlo,
apresentado no próximo subcapítulo.
41
4.3.1. Método de Monte Carlo
O método de Monte Carlo, ou MMC, consiste na geração aleatória de
amostragens massivas para obtenção de resultados numéricos ou, em outras palavras,
na geração de um número elevado de simulações e na observação dos resultados
obtidos.
No âmbito da análise de confiabilidade, isto significa, em uma abordagem
simplista, que é gerado um valor aleatório �� para a variável �� (ou um vetor composto
por mais variáveis) e a equação de falha G é então avaliada. Se a equação de falha é
violada (por exemplo, ���W ≤ 0), o sistema ou componente falhou. O experimento é
repetido muitas vezes, com gerações aleatórias de ��. Se R amostras são geradas, a
probabilidade de falha é dada aproximadamente por:
�� � K����� ≤ 0R (4.10)
Onde K����� ≤ 0 denota o número de amostras em que ���� ≤ 0. O número R de
amostras necessárias é função da precisão desejada para �� (MELCHERS, 2002).
Para se aplicar o método de Monte Carlo em problemas de confiabilidade
estrutural é necessário (MELCHERS, 2002):
• Desenvolver métodos sistemáticos para geração numérica de amostras das
variáveis aleatórias X;
• Selecionar uma técnica de simulação econômica e confiável ou uma técnica de
geração da amostragem;
• Considerar a complexidade do cálculo de ���� e do número de variáveis
usadas na técnica de simulação;
• Que a técnica de simulação escolhida seja capaz de determinar a quantidade de
amostras necessárias para se obter uma estimativa razoável de ��.
Uma das principais dificuldades do método de Monte Carlo é a escolha da
melhor abordagem para a geração aleatória dos vetores de variáveis. Variáveis
verdadeiramente aleatórias só podem ser geradas através de fenômenos químicos e/ou
físicos que são sabidos aleatórios, como o ruído presente na atmosfera, fenômenos
eletromagnéticos e fenômenos quânticos. Como a medição destes fenômenos é
complexa e requer certo tratamento para que seja aplicável ao problema estudado, as
42
variáveis utilizadas no método de Monte Carlo são ditas suficientemente aleatórias, isto
é, são variáveis geradas aleatoriamente num dado intervalo. Uma vez que se ultrapasse
este intervalo, as variáveis aleatórias repetem um mesmo padrão, caracterizando ciclos
de geração. De acordo com Melchers (2002 apud RUBINSTEIN, 1981), estes ciclos são
muito longos e imperceptíveis no espaço de uma análise pelo MMC e, portanto, estes
métodos são ditos indistinguíveis de uma sequência estritamente aleatória de números.
Um método de geração artificial de variáveis aleatórias consiste do uso de
geradores de números pseudoaleatórios, ou GNPA. GNPA estão disponíveis no sistema
virtual de todos os computadores e são chamados de “pseudo” por se utilizarem de
fórmulas para gerar uma sequência de números. Uma das fórmulas possíveis, por
exemplo, envolve a hora local programada na máquina como dado de entrada.
Outra dificuldade do método de Monte Carlo é a determinação do número de
amostras necessário para que se obtenha a probabilidade de falha dentro de uma faixa
desejável de precisão. O resultado deve ser avaliado para um número de amostras tal
que, uma vez que este número seja superado, o ganho em termos de precisão da
probabilidade de falha seja desprezível ou que ainda caia na tolerância desejada.
É possível encontrar na literatura algumas expressões que permitem realizar
uma estimativa inicial do número de amostras necessárias para se obter uma resposta
com razoável precisão. Uma delas pode ser vista em (MELCHERS, 2002 apud
BRODING, 1964) e é apresentada na expressão 4.11.
R > − ln�1 − #�� (4.11)
Onde:
R Número de amostras necessário;
�� Valor de probabilidade de falha que pode ser usada para estimativa
(Por exemplo, �� � 7 ∙ 10��); # Valor de confiabilidade do resultado, sugerido em # � 0,95.
Substituindo os valores sugeridos na expressão 4.11, chega-se a um número
aproximado de 43000 amostras. Cabe ressaltar que o número de amostras a que se
referem as equações diz respeito somente a uma variável aleatória. O número de
43
amostras a ser considerado para o estudo da função de falha deve ser de, pelo menos,
N vezes o número de variáveis aleatórias consideradas (MELCHERS, 2002).
Outras formas de estimar o número de amostras necessárias para se ter um
resultado adequado podem ser encontradas em MELCHERS (2002).
44
5. ABORDAGEM ADOTADA PARA A ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
Diversas incertezas estão envolvidas no processo de determinação da vida útil
de uma junta à fadiga. Devido a elas, não é extremamente raro que se encontrem trincas
avançadas em juntas com pouco tempo de vida em serviço se comparado à vida útil da
estrutura (SAGRILO & LIMA, 1996). Pelo elevado grau de incerteza de um projeto à
fadiga, a estrutura de uma plataforma deve ser periodicamente submetida a inspeções
de seus membros, juntas e outros componentes específicos visando o aumento da
segurança estrutural e da vida útil da estrutura.
Estas inspeções são realizadas por processos não-destrutivos e seguem o Plano
de Inspeção previamente elaborado para a plataforma. Em geral, na elaboração do
plano são indicadas as juntas a serem inspecionadas e os locais e períodos de
inspeção. As juntas escolhidas costumam ser aquelas que obtiveram menores vidas à
fadiga calculadas em projeto e os momentos de inspeção são definidos pela experiência
de profissionais envolvidos na manutenção destas estruturas. A característica marcante
destes planos é que eles são feitos baseados em critérios mais práticos que científicos
(SAGRILO, 1994).
O estudo de confiabilidade à fadiga de uma junta se faz uma ferramenta muito
útil para o planejamento de tais inspeções periódicas uma vez que estas podem vir a
ser baseadas em critérios de risco e não mais na experiência.
5.1. Probabilidade de falha por fadiga de um elemento estrutural
As principais fontes de incerteza no cálculo da vida à fadiga de uma junta
provém:
• Do uso da regra de Palmgren-Miner;
• Das curvas S-N de resistência à fadiga;
• Da determinação das variações atuantes.
No caso da determinação das variações de tensão atuantes, existem incertezas
tanto no modelo computacional usado para determinar as tensões nominais quanto no
cálculo do Fator de Concentração de Tensões.
A representação da incerteza de cada uma das variáveis levadas em
consideração pode ser descrita de acordo com a equação 5.1.
45
� � <� ∙ B� (5.1)
onde X é a variável aleatória considerada, Xd é o valor da variável usado no projeto e :� é uma variável aleatória auxiliar (com média, desvio padrão e uma distribuição de
probabilidades) que representa a incerteza associada à variável X . Por exemplo, se a
média de X foi o valor utilizado no projeto, :� teria média unitária e desvio padrão
idêntico ao da variável X.
Nos próximos subcapítulos será apresentada uma melhor descrição das
variáveis aleatórias a serem consideradas no problema.
5.2. Incerteza na regra de Palmgren-Miner
Como já apresentado anteriormente, a regra de acúmulo de dano de Miner é
largamente usada nos projetos de dimensionamento à fadiga de estruturas offshore por
ter se mostrado satisfatória ou suficientemente precisa. No entanto, já se sabe que há
erros implicitamente cometidos em uma soma linear de danos ocorridos em um
componente de uma estrutura (SAGRILO, 1994). Um dos erros cometidos ao se fazer
uso da regra é a aceitação da equação 3.7, que define a falha à fadiga como o momento
em que a razão entre o número de ciclos já atuante de uma dada variação de tensão e
o número de ciclos resistente à essa variação se torna a unidade. Na realidade, o
fenômeno da falha por fadiga pode vir a ocorrer em diferentes valores desta razão, por
este ser um fenômeno de dados puramente experimentais, sem exatas modelagens
matemáticas que possam lhe representar.
Deste modo, a equação 3.8 pode ser reescrita na forma:
�^ � _�U (5.2)
Onde � é o valor do dano que causa a falha por fadiga.
A incerteza da regra de Miner se torna então a incerteza do valor � e sua variável
aleatória correspondente será:
46
�� � <� ∙ �� (5.3)
Onde B� é o valor aleatório de �, :� é a variável aleatória auxiliar associada à � e �� é
o valor de � de projeto.
5.3. Incerteza das curvas S-N
As curvas S-N utilizadas em projetos à fadiga herdam as incertezas provenientes
dos ensaios experimentais realizados. A determinação do número de ciclos resistente a
uma variação de tensão N(∆σ) de um dado elemento traz consigo o erro do aparelho
contador de ciclos e, deste modo, se torna também uma incerteza. A variável associada
à incerteza na determinação de N(∆σ) e, portanto, às curvas S-N é dada por:
�� � <� ∙ R��∆σ) (5.4)
Além das incertezas associadas, as curvas S-N utilizadas em projeto não
representam os valores médios obtidos nos ensaios, mas sim curvas que representam
o valor médio menos dois desvios padrões do número de ciclos N(∆σ) (NAESS, 1985).
Assim, o número médio de ciclosR� se relaciona com o número de ciclos resistente de
projeto Nd pela equação 5.5.
R� = �R� (5.5)
Onde � depende da distribuição de probabilidades usada para representar a
variabilidade das curvas S-N. Devido ao caráter exponencial da curva S-N, uma
distribuição lognormal na base 10 é geralmente utilizada para representar a distribuição
de probabilidades e assim pode-se demonstrar a equação 5.6 (SAGRILO & LIMA, 1996).
� = (1 + #$�� )[ 10 ����� (5.6)
Onde #$�� é o coeficiente de variação de N e !H ¡� é o desvio padrão de log R (DNV,
2014). #$�� e !H ¡� se relacionam pela equação 5.7.
47
#$�� = ¤10¥�����¦v,§Y§¨ − 1
(5.7)
5.4. Incerteza na determinação do SCF
Devido à possibilidade infinita de configurações de conexões dos elementos
tubulares em uma junta, é praticamente impossível que se obtenha o valor exato do
fator de concentração de tensões SCF existente para um certo nó. Para que seu valor
exato fosse determinado, uma análise complexa em elementos finitos seria necessária
(EFTHYMIOU, 1988). Além disso, as tensões residuais provenientes de processos de
solda e de fabricação dos perfis estruturais não são levadas em conta no cálculo do
SCF, o que torna o método ainda mais impreciso. O SCF de projeto para uma junta é
então uma incerteza no cálculo da vida útil à fadiga, representada pela equação a seguir.
�©ª« = <©ª« ∙ O#�� (5.8)
5.5. Incerteza na determinação das tensões atuantes
Na concepção do modelo de análise à fadiga de uma plataforma fixa são
determinadas a geometria da mesma, as propriedades mecânicas dos materiais de seus
componentes, a solicitação ou carregamento ambiental atuante, as cargas oriundas de
equipamentos, tubulações e subestruturas do convés e muitos outros. Devido à
complexidade do modelo, a incerteza nas tensões atuantes calculadas é significativa e
deve ser considerada. Esta incerteza pode ser representada pela expressão:
�© = <© ∙ ∆!� (5.9)
Os parâmetros que caracterizam a distribuição probabilística da incerteza
associada ao cálculo de tensões não podem ser obtidos diretamente através de normas
técnicas. Sua caracterização é bastante complexa, uma vez que esta incerteza
condensa diversas outras incertezas na análise à fadiga de uma estrutura, e está
usualmente baseada em estudos realizados previamente.
48
5.6. Determinação da função de falha
Modificando-se a expressão 5.2, onde a vida útil à fadiga é definida, pode-se
definir uma nova vida útil, agora probabilística:
� ¬ = _�wU¬ (5.10)
Onde o índice p associado às variáveis indica que estas são distribuições
probabilísticas. Deste modo a vida útil é uma variável aleatória função de outras
variáveis aleatórias envolvidas.
O dano probabilístico U¬ pode ser definido pela equação 5.11:
Uw =V KWRw,W =V KW:�R�WeWZ[
eWZ[
=V KW:��R�,WeWZ[
(5.11)
Onde Rw,W é o número de ciclos probabilístico que causa a falha do material por fadiga,
:� é a variável aleatória que representa a incerteza no valor do número de ciclos que
causam a fadiga, ou simplesmente a incerteza das curvas S-N observada nos ensaios
experimentais e R�é o valor médio do número de ciclos de tensão que causam falha por
fadiga no material considerado.
Substituindo a equação 5.3 na equação 3.9 e assumindo que no projeto foram
utilizados os valores médios das tensões, dos SCF’s e também o valor médio do valor
acumulado do dano �, chega-se à equação 5.12, apresentada abaixo.
� ¬ = _:���∑ KW¥ �aO#��∆!�,Wcd¨
eWZ[
(5.12)
Substituindo novamente as equações 5.4 e 5.5 na equação 5.12 chega-se à
equação 5.13.
49
� ¬ = _:���∑ KW¥:�� �aO#��∆!�,Wcd¨
eWZ[
(5.13)
Substituindo as equações 5.8 e 5.9 na equação 5.13 chega-se à equação 5.14.
� ¬ = _:���∑ KW¥:�� �a:y®O#��:y∆!�,Wcd¨
eWZ[
(5.14)
A equação 5.14 pode ser então simplificada na forma das equações 5.15,
mostradas abaixo.
� ¬ = _��∑ KW¥ �aO#��∆!�,Wcd¨
eWZ[�:�:�(:y®:y)�d
� ¬ = � ��:�:�(:y®:y)�d
(5.15)
Onde:
� � Vida útil calculada no projeto;
� w Vida útil probabilística;
T Vida de projeto da junta;
� Fator definido na equação 5.6;
:� Variável aleatória que representa a incerteza no número de ciclos resistente das
curvas S-N;
:� Variável aleatória que representa as incertezas na regra de Miner;
50
:y® Variável aleatória que representa as incertezas no fator de concentração de
tensões;
:y Variável aleatória que representa as incertezas no cálculo das tensões atuantes;
�� Valor de projeto do dano acumulado que causa a falha por fadiga;
m Parâmetro da curva S-N.
Desta forma, fica ilustrado que, na abordagem adotada, a vida útil probabilística
depende unicamente do valor da vida útil à fadiga avaliada no projeto, da curva S-N
usada e das variáveis aleatórias que representam as incertezas nas tensões, nas curvas
S-N, na regra de Miner e nos fatores de concentração de tensões.
A probabilidade de um componente estrutural falhar por fadiga num período em
serviço entre 0 e t, pode ser definida como a probabilidade da vida útil do mesmo ser
menor ou igual a t. Com isto, então, define-se uma função de falha dada pela equação
5.16.
�(�) = � ��:�:�(:y®:y)�d − l (5.16)
Onde � = ¯:� , :� , :y® , :y° é o vetor que agrupa as variáveis aleatórias. A
probabilidade da vida útil ser menor que t é a probabilidade de �(�) ser menor ou igual
a zero.
Para cada um dos intervalos (período ou idade) de tempo, calcula-se a
probabilidade de falha ��o e o índice de confiabilidade equivalente �o da junta. Deste
modo pode-se obter a chamada curva de confiabilidade da junta, mostrada na figura
5.1.
��o = Φ(−�o) (5.17)
É importante ressaltar que a vida útil de projeto necessária para a avaliação de �(�) deve ser calculada desconsiderando-se o fator de segurança, isto é, utilizando
um fator de segurança igual à um.
51
Figura 5.1 Exemplo de curva de confiabilidade ao longo do tempo para uma junta
qualquer
De acordo com as recomendações da DNV (1996), alguns valores de referência
devem ser seguidos em um estudo de confiabilidade estrutural. Os valores de β mínimos
e de probabilidades de falha máximas aceitáveis são os apresentados na tabela 5.1.
Tabela 5.1 – Valores aceitáveis de probabilidade de falha anual e índices de
confiabilidade mínimos (DNV, 1996)
Uma vez que estruturas de jaquetas de plataformas fixas são altamente
hiperestáticas e, considerando que as consequências da ocorrência de falhas por fadiga
em juntas da estrutura são menos graves, o índice de confiabilidade mínimo a ser
adotado de acordo com a DNV é de β = 3,09.
Classe de FalhaConsequências
menos sérias
Consequências
sérias
I. Estrutura hiperestáticaPF = 10
-3
β = 3.09
PF = 10-4
β = 3.71
II. Aviso antecedente à
ocorrência de falha em
uma estrutura isostática
PF = 10-4
β = 3.71
PF = 10-5
β = 4.26
III. Sem aviso
antecedente à
ocorrência de falha em
uma estrutura isostática
PF = 10-5
β = 4.26
PF = 10-6
β = 4.75
52
No entanto, o índice de confiabilidade em questão será usado somente para o
planejamento de inspeções na estrutura. De acordo com ONOUFRIOU (1999), em
casos como esses, o ideal é classificar a estrutura em grupos quanto à gravidade das
consequências causadas pela ocorrência de uma falha por fadiga. Isto é, determinar
índices de confiabilidade alvo diferentes para componentes distintos. O motivo de tal
diferenciação poder ser utilizada na prática de projetos é simples: pequenos elementos
de travamento da estrutura que falharam muitas vezes não causam consequências
muito sérias e/ou não afetam outros elementos estruturais importantes.
Além disso, as inspeções realizadas visam reparar pequenas trincas
encontradas e, raramente, elementos falham completamente nos primeiros anos de vida
da estrutura. ONOUFRIOU (1999) recomenda que um índice de confiabilidade de β =
2,3 seja utilizado em casos em que a consequência da falha seja de efeito local.
53
6. ESTUDO DE CASO
Para a geração de curvas de confiabilidade neste presente estudo foi utilizado o
software Excel e sua extensão para desenvolvedores, Visual Basic for Applications
(VBA).
O programa criado consiste basicamente em uma ferramenta capaz de avaliar a
função ��� apresentada no capítulo anterior e quantificar o número de vezes em que ��� < 0, ou seja, em que há falha à fadiga, através do método de Monte Carlo.
O funcionamento do programa desenvolvido pode ser dividido nas duas partes
mostradas nos subcapítulos seguintes: a geração da amostra das variáveis aleatórias
envolvidas no problema de acordo com suas distribuições probabilísticas e a avaliação
do valor do índice de confiabilidade β (ou, analogamente, a probabilidade de falha) da
junta ao longo do tempo.
6.1. Algoritmo geral para avaliação de β
A função de falha estudada, já apresentada, é dada pela equação 6.1.
��� � � ��:�:��:y®:y�d − l (6.1)
A cada tempo t, definido em anos, a probabilidade de que ��� assuma um
valor negativo é calculada, ou seja, para cada ano t uma simulação completa pelo
método de Monte Carlo é necessária. O programa deve ser capaz de gerar
aleatoriamente as variáveis envolvidas na função de falha de acordo com a distribuição
de probabilidades de cada uma. Para cada t específico, a cada iteração (ou simulação
de amostra) um novo vetor aleatório � � ¯:� , :� , :y® , :y° é gerado e a função ��� é avaliada. Se, para este vetor de variáveis, o valor de G for negativo, então o contador
que indica o número de amostras que falharam é incrementado. O fluxograma
apresentado na figura 6.1 mostra as etapas realizadas pelo programa.
O resultado obtido pelo programa é então o valor da probabilidade de falha à
fadiga da junta estudada, ou analogamente o valor do índice de confiabilidade β, a cada
ano t desejado. A partir destes valores obtidos, uma curva de confiabilidade da junta é
gerada, como ilustrado na figura 5.1.
54
O número de amostras gerado para a avaliação da probabilidade de falha da
junta em cada ano t foi de 1.000.000 amostras. Este número é bastante superior ao
indicado em MELCHERS (2002). De acordo com a expressão 4.11, seriam necessárias
43.000 x 4 amostras para a precisão desejada (pois são consideradas quatro variáveis
aleatórias no problema).
Figura 6.1 Fluxograma do funcionamento do programa desenvolvido
55
6.2. Geração da amostra de uma variável
Os parâmetros e tipos das distribuições de probabilidades escolhidas para
representação das variáveis aleatórias envolvidas no estudo são apresentados na
tabela 6.1.
Tabela 6.1 – Parâmetros e tipos de distribuições das variáveis aleatórias do problema
estudado
Os parâmetros e tipo da distribuição da variável ξη foram escolhidos baseados
em FOLSØ (2001). Os parâmetros usados para a distribuição de ξN e ξSCF são baseados
nas recomendações da DNV (DNV, 1992; 1996). Os parâmetros da distribuição de ξN
foram calculados com base no uso da curva S-N T da DNV, para elementos tubulares
(DNV, 2014).
O valor de � (equações 5.5 e 5.6) é calculado a partir do valor do desvio padrão
do logaritmo do número de ciclos resistentes da curva S-N ajustada experimentalmente !H ¡�, fornecido pela DNV (1996).
!H ¡� � 0,2482 (6.2)
O desvio padrão da variável ξN pode ser obtido a partir do coeficiente de variação
do número de ciclos resistente, definido na equação 5.7.
Foram consideradas duas distribuições probabilísticas para a variável ξS, a fim
de se analisar sua interferência na curva de confiabilidade à fadiga da junta.
Referências para os parâmetros desta variável, como já comentado anteriormente, são
raros na literatura técnica e costumam ser baseados na experiência de projetos
passados. Os parâmetros do cenário 1 para esta incerteza foram retirados de SAGRILO
Distribuição Média µ Desvio Padrão σ
ξN Curva S-N Lognormal 1.00 0.62
ξSCF SCF Lognormal 1.00 0.15
ξη Regra de Miner Lognormal 1.00 0.30
0.25 (Cenário 1)
0.40 (Cenário 2)ξS Normal 1.00
Variável
Cálculo das variações de
tensões
56
(1994 apud ZIMMERMAN & BANON, 1994). Os parâmetros do segundo cenário
analisado foram definidos arbitrariamente.
Para a geração das variáveis foi necessário o uso de uma função existente no
programa chamada Rnd. Esta função retorna um número aleatório entre 0 e 1, cuja
distribuição é uniforme. São geradas então duas variáveis a partir desta função, u1 e u2.
A partir do método de Box e Muller (MELCHERS, 2002), tem-se que:
� � "−2ln��[ ∙ ~1K�20� (6.3)
Onde:
� Variável cuja distribuição é normal padrão;
�[, � Variáveis independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,1)
Em posse da variável � pode-se então gerar variáveis cujas distribuições sejam
normal e lognormal, com o auxílio das equações 6.4 e 6.5.
�� � � ∙ �� +!� (6.4)
�±� � 1²∙³´�µ�´� (6.5)
Onde: �� Variável cuja distribuição é normal; �±� Variável cuja distribuição é lognormal; � Variável cuja distribuição é normal padrão; ��,�±� Médias das distribuições normal e lognormal, respectivamente; !� , !±� Desvios padrão das distribuições normal e lognormal, respectivamente.
57
6.3. Exemplo prático
Neste exemplo prático apresentado, uma junta de uma estrutura de plataforma
fixa idealizada cuja vida útil à fadiga calculada em projeto, sem coeficientes de
segurança, tenha sido de VUd = 30 anos, é considerada. Sua curva de confiabilidade é
gerada através do programa desenvolvido e apresentada na figura 6.2, para os dois
cenários da distribuição probabilística da incerteza associada ao cálculo das variações
de tensões na junta.
O cálculo dos índices de confiabilidade é realizado a cada ano de serviço da
estrutura até aquele em que a idade da estrutura se iguale à vida útil à fadiga da junta
considerada.
Figura 6.2 Curvas de confiabilidade à fadiga da junta obtidas no programa
Considerando um índice de confiabilidade alvo de β = 2,3, e os dois cenários
analisados, pode-se então determinar os instantes de inspeção à fadiga. De acordo com
o cenário 1, a primeira inspeção da junta deveria ser aos TINSP1 = 7 anos de vida da
estrutura, ou seja, aos 7 anos de sua instalação. De acordo com o cenário 2 analisado,
a primeira inspeção da junta deveria ser aos TINSP2 = 3 anos de vida da estrutura.
58
Figura 6.3 Curvas de probabilidade de falha à fadiga da junta obtidas no programa
Analogamente às curvas de confiabilidade da junta, pode-se avaliar a mesma
através de suas curvas de probabilidade de falha ao longo do tempo, mostradas na
figura 6.3. Pode-se observar que os instantes em que as inspeções se fazem
necessárias são os mesmos obtidos anteriormente.
A diferença obtida nos dois cenários probabilísticos analisados é bastante
significativa, podendo-se concluir a grande sensibilidade da curva de confiabilidade à
incerteza associada ao cálculo das variações de tensões na junta.
É importante ressaltar que a escolha do método de análise à fadiga, simplificado
ou espectral, utilizado na estrutura idealizada, deveria modificar as curvas de
confiabilidade obtida. A variável que representa a incerteza na determinação das
tensões atuantes nas juntas da estrutura está diretamente ligada ao método utilizado,
porém não foram encontrados estudos relevantes no assunto que diferenciassem e
apresentassem possíveis distribuições para as duas abordagens de análise.
59
7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES
As principais causas de falhas por fadiga em plataformas offshore são advindas
dos carregamentos de onda que possuem comportamento cíclico por natureza. As
falhas por fadiga podem ocorrer até mesmo sob condições abaixo das de operação da
estrutura, sem qualquer aviso prévio, em função do acúmulo de danos causados pela
ação de ondas de pequeno e médio porte. Sendo assim, o desempenho à fadiga de
qualquer estrutura offshore é de primordial importância para seu funcionamento seguro.
Este desempenho à fadiga da estrutura depende, por sua vez, da escolha do
método de análise à fadiga no projeto, do tratamento e escolha dos dados de ondas, da
disponibilidade e quantidade de dados confiáveis, do modelo computacional utilizado
para análise e da precisão com que a geometria da estrutura e cargas permanentes nela
presentes foram modeladas.
As incertezas associadas à coleta dos dados de onda para análise e à
determinação da vida útil à fadiga das juntas da estrutura não são poucas. É em razão
desta característica que inspeções são constantemente realizadas ao longo da vida em
serviço da estrutura.
Este trabalho teve como objetivo a determinação da curva de confiabilidade à
fadiga de uma junta da estrutura de uma plataforma fixa e o desenvolvimento de
subsídios que permitam racionalizar o planejamento de inspeções com base em critérios
de risco, obtidos através de uma análise de confiabilidade. Os momentos em que tais
inspeções acontecem podem ser melhor planejados, contribuindo assim para a redução
dos custos de manutenção da estrutura.
Com os cenários probabilísticos apresentados no estudo de caso, foi possível
observar que a incerteza relacionada ao cálculo das variações de tensões nas juntas de
uma estrutura de plataforma fixa tem papel importante na caracterização da curva de
confiabilidade à fadiga das mesmas. Esta incerteza engloba uma série de outras
incertezas contidas no cálculo das tensões e, por isso, sua distribuição probabilística
deve ser determinada com cautela.
Um estudo que realize uma análise de sensibilidade dos parâmetros das
distribuições probabilísticas das variáveis aleatórias envolvidas no problema pode ser
um complemento ao trabalho realizado. A inclusão de outras variáveis aleatórias
significativas ao problema, a exemplo das incertezas contidas no cálculo das variações
de tensões, contribuiria também para o enriquecimento do estudo.
60
A consideração dos princípios da mecânica da fratura e o estudo da propagação
da trinca ao longo do tempo, a partir de sua detecção, também pode ser um
complemento ao trabalho realizado. Uma racionalização ainda mais ampla de um plano
de inspeção à fadiga pode ser obtida se forem consideradas inspeções já realizadas e
seus resultados, como já sugerido em (SAGRILO, 1996; DNV, 1996; 2014).
61
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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62
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probabilística de fadiga levando em conta os resultados de inspeções, PEC COPPE/
UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Agosto 1996 (acesso restrito).
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PEC COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Agosto 1996.
SORENSEN, R.M., Basic Coastal Engineering, 3rd ed, Springer, 2006.
63
9. APÊNDICES
A. Código na linguagem Visual Basic do programa gerador de curvas de
confiabilidade à fadiga desenvolvido.
64
65
B. Resultados obtidos
1. Cenário 1
66
2. Cenário 2
![FADIGA EM ESTRUTURAS METÁLICAS TUBULARES …‡ÂO... · Fadiga em estruturas metálicas tubulares soldadas [manuscrito]. / ... Muitas análises de fadiga em ligações soldadas](https://img.document.onl/doc/110x75/5bea243909d3f2200d8cbdeb/fadiga-em-estruturas-metalicas-tubulares-ao-fadiga-em-estruturas-metalicas.jpg)
