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ANÁLISE DE ESTRUTURA DE EDIFÍCIOS ALTOS CONSIDERANDO OS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM PELO MÉTODO P-DELTA
Erlon da Silva Portugal
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade
Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Henrique Innecco Longo
Rio de Janeiro
Setembro, 2016
ANÁLISE DE ESTRUTURA DE EDIFÍCIOS ALTOS CONSIDERANDO OS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM PELO MÉTODO P-DELTA
Erlon da Silva Portugal
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU
DE ENGENHEIRO CIVIL
Examinada por:
____________________________________________________ Prof. D.Sc. Henrique Innecco Longo
_____________________________________________________ Prof. D.Sc. Sérgio Hampshire de Carvalho Santos
_____________________________________________________ Prof. D.Sc. Bruno Martins Jacovazzo
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
Setembro de 2016
iii
Portugal, Erlon da Silva
Análise de estrutura de edifícios altos considerando
os efeitos de segunda ordem pelo método P-Delta/ Erlon
da Silva Portugal. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola
Politécnica, 2016.
X, 49 p.; 29,7 cm
Orientador: Henrique Innecco Longo
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Civil, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 48-49
1. Método P-Delta 2. Efeitos de Segunda Ordem
3.Concreto Armado 4.Análise de Edificios altos. I. Longo,
Henrique Innecco II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, UFRJ, Engenharia Civil. III. Análise de estrutura
de edifícios altos considerando os efeitos de segunda
ordem pelo método P-Delta.
iv
AGRADECIMENTOS E DEDICATÓRIA
Agradeço a Deus acima de tudo.
Agradeço aos meus pais, Alberto e Miriam por me incentivarem desde cedo aos estudos, por
estarem sempre preocupados com meu futuro e sempre procurarem o melhor para a minha
vida. Vocês também são responsáveis por este momento.
Agradeço o meu irmão Ivens,que busca sempre me mostrar o melhor caminho e por várias
vezes me incentivou e auxiliou na realização deste trabalho.
Agradeço a Valquíria, por estar me incentivando em todos os momentos, sempre querendo o
melhor para mim. Obrigado por ser tão especial.
Agradeço a todos os meus parentes, em especial à Lilian (in memorian) que sempre
estiveram/estão presentes na minha vida.
Agradeço a Luis Fernando e Marcela Santos por serem amigos muito especiais pra mim.
Vocês sempre me ajudaram quando precisei.
Agradeço ao meus amigos que conheci no ensino médio quando estudava no CEFET-RJ,
Fernando Ferreira, Igor Paz e Rafael Imbroinisio. Suas amizades são muito importantes pra
mim.
Agradeço aos amigos que conheci no decorrer desta graduacão que estiveram ao meu lado
nos estudos e que eu levarei pra mimha vida, Alexandre Duarte, Bernardo Gadea, Bruno
Pedrosa, Igor Silveira, Matheus Leal, Nelson Bernardo, Thiago Sessa e Vitor Colimodio
Agradeço ao Professor Henrique Longo por ter se disponibilizado a me auxiliar na elaboração
deste trabalho estando sempre solícito quando eu precisei.
Agradeço aos professores que se disponibilizaram para avaliar este trabalho. Professor
Sérgio Hampshire e Professor Bruno Jacovazzo, é uma honra tê-los como examinadores.
Agradeço a todos os professores e profissionais que contribuiram para meu crescimento
acadêmico e profisional. Cito professor Marcos Silvoso, Engenheiro Étore Funchal, todos os
engenheiros e técnicos do grupo de MCS da GE Oil&Gas.
Agradeço a todos que de alguma forma influenciaram minha vida.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica da UFRJ como parte
dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
ANÁLISE DE ESTRUTURA DE EDIFÍCIOS ALTOS CONSIDERANDO OS EFEITOS DE
SEGUNDA ORDEM PELO MÉTODO P-DELTA
Erlon da Silva Portugal
Setembro, 2016
Orientador: Henrique Innecco Longo
Curso: Engenharia Civil A análise estrutural considerando os efeitos de segunda ordem é atualmente muito importante
no dimensionamento das estruturas. As estruturas estão mais altas, menos robustas e
consequentemente mais esbeltas. Por esses motivos tendem a se deslocar mais. Este fato
influencia diretamente a análise estrutural. Tendo em vista este fato, este trabalho apresenta
um edifício de 30 pavimentos de concreto armado que foi analisado por um modelo
tridimensional em elementos finitos pelo programa SAP2000 v.14. Os esforços resultantes
dos efeitos de segunda ordem desta estrutura foram calculados pelo mesmo programa
através do método P-Delta que considera a não-linearidade geométrica. Também foi
considerada a não-linearidade física que altera a rigidez dos elementos estruturais. A partir
destes esforços, foi escolhido o pilar mais solicitado e este teve seu dimensionamento
realizado. Neste trabalho ainda é apresentada a comparação dos esforços resultantes dos
efeitos de segunda ordem com os esforços resultantes dos efeitos de primeira ordem.
Palavras-chave: Método P-Delta, Efeitos de Segunda Ordem, Concreto Armado, Análise de
edifícios altos.
vi
Abstract of the Undergraduate Project presented to the Escola Politécnica of the Federal
University of Rio de Janeiro (UFRJ) as partial fulfillment of the requirements for the degree
of Engineer.
ANALYSIS OF THE STRUCTURE OF TALL BUILDINGS CONSIDERING THE SECOND
ORDER EFFECTS BY THE P-DELTA METHOD
Erlon da Silva Portugal
September, 2016
Advisor: Henrique Innecco Longo
Course: Civil Engineering The structural analysis considering the second order effects is presently very important in the
structural design. The structures nowadays are taller, less robust and consequently slenderer.
For those reasons, they tend to have higher displacements. This fact directly influences the
structural analysis. Based on that, this work presents a 30 floor building built in reinforced
concrete analysed by a tridimensional model in finite elements by the software SAP2000 v.14.
The forces resulting from the second order effects of this structure were calculated by the
same software using the P-Delta method, which considers the geometric non-linearity. It also
takes into consideration the physical non-linearity that modifies the structural elements
stiffness. From these stresses, the column with more load was chosen and its design was
done. This work also presents a comparison between the forces resulting from the second
order effects and the first order resultant forces.
Keywords: P-Delta Method, Second Order Effects, Reinforced Concrete, Tall buildings
Analysis.
vii
Sumário
1. Introdução ....................................................................................................................................... 1
1.1. Tema ....................................................................................................................................... 1
1.2. Problema ................................................................................................................................. 2
1.3. Objetivo ................................................................................................................................... 3
1.4. Recursos e Metodologia ......................................................................................................... 3
2. Efeitos de Segunda Ordem ............................................................................................................. 4
2.1. Critérios para a avaliação da instabilidade global................................................................... 4
2.1.1. Parâmetro α ........................................................................................................................ 4
2.1.2. Coeficiente ϒz ...................................................................................................................... 5
3. Outros métodos para determinação dos momentos de segunda ordem globais .......................... 6
3.1. Métodos Simplificados ............................................................................................................ 6
3.2. Métodos Rigorosos ................................................................................................................. 6
4. Processo P-Delta ............................................................................................................................. 7
4.1. Método da Carga Lateral Fictícia (P-Delta) ............................................................................. 7
4.2. Método P-Delta para estruturas de pórticos .......................................................................... 7
5. Análise ........................................................................................................................................... 10
5.1. Estrutura ............................................................................................................................... 10
5.2. Dados Utilizados .................................................................................................................... 11
5.3. Pré-Dimensionamento das Lajes .......................................................................................... 12
5.4. Pré-Dimensionamento das Vigas .......................................................................................... 12
5.5. Pré-Dimensionamento dos Pilares ........................................................................................ 13
5.6. Consideração da Não-Linearidade Física .............................................................................. 14
5.7. Carregamentos Utilizados ..................................................................................................... 15
5.7.1. Carregamentos Permanentes ........................................................................................... 15
5.7.2. Carregamentos Variáveis .................................................................................................. 15
5.8. Combinações no Modelo Estrutural ..................................................................................... 22
5.9. Estado Limite Último (ELU) ................................................................................................... 23
5.10. Estado Limite de Serviço (ELS) .......................................................................................... 24
5.11. Modelo Estrutural ............................................................................................................. 26
5.12. Cálculo do Parâmetro de Instabilidade Global ................................................................. 28
5.13. Resultados ......................................................................................................................... 30
5.13.1. Deslocamento Horizontal no topo da estrutura ............................................................... 30
5.13.2. Verificação do deslocamento horizontal máximo ............................................................ 33
5.13.3. Esforço Normal atuante nos Pilares .................................................................................. 33
5.13.4. Esforço Cortante atuante nos Pilares P10 e P14 ............................................................... 36
viii
5.13.5. Momentos Fletores atuantes nos Pilares P10 e P14 ........................................................ 38
5.13.6. Resumo dos esforços ........................................................................................................ 40
5.14. Dimensionamento da armadura longitudinal dos pilares P10 e P14 ................................ 41
5.14.1. Detalhamento das armaduras longitudinais ..................................................................... 41
5.15. Dimensionamento da Armadura transversal dos pilares P10 e P14 ................................. 43
5.16. Desenho da armadura dos pilares P10 e P14 ................................................................... 46
6. Conclusão ...................................................................................................................................... 47
ix
Lista de Figuras
Figura 1 - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, exemplo de edifício robusto. a)Vista
da entrada pela Radial Oeste; b) detalhe das rampas de acesso. (Fonte:
http://www.uerj.br/institucional/galeria_todas.php, acesso em 12/09/16 11:15h) ...................... 1
Figura 2 - Edificio residencial Rio Mamoré – exemplo de edfício esbelto. (Fonte: Revista
Téchne, Edição 173, Agosto de 2011) ............................................................................................. 2
Figura 3 – Deslocamentos horizontais no pórtico (LONGO, 2016) .............................................. 8
Figura 4 – Forças nodais nas hastes AB e BC deformadas (LONGO, 2016) ............................ 9
Figura 5 - Forças horizontais fictícias aplicadas no pórtico (LONGO) ......................................... 9
Figura 6 - Planta de Formas ............................................................................................................. 10
Figura 7 - Área de Influência de um Pilar ....................................................................................... 13
Figura 8 – Isopletas de velocidades básicas do vento (NBR-6123) .......................................... 16
Figura 9 - Coeficiente de arrasto para edificações em forma de paralelepípedo
(NBR6123:1990)................................................................................................................................. 17
Figura 10 - Desaprumo dos Elementos Verticais (NBR6118:2014) ........................................... 19
Figura 11 - Pórtico desaprumado (LONGO, 2016) ....................................................................... 20
Figura 12 - Carregamento horizontal equivalente ao desaprumo (LONGO, 2016) ................. 20
Figura 13 - Modelo Estrutural do Edifício com 30 Andares ......................................................... 26
Figura 14 – Modelo do Pavimento Tipo - Vista Plano xy ............................................................. 27
Figura 15 - Deformação da estrutura para o cálculo do parâmetro de instabilidade global ... 29
Figura 16 - Deslocamento horizontal máximo no topo da estrutura no ELS para a análise de
primeira ordem .................................................................................................................................... 31
Figura 17 - Deslocamento horizontal máximo no topo da estrutura no ELS para a análise de
segunda ordem ................................................................................................................................... 32
Figura 18 – Diagrama de esforço Normal de primeira ordem ..................................................... 34
Figura 19 – Diagram de esforço Normal considerando os efeitos de segunda ordem ........... 35
Figura 20 – Diagrama de esforço cortante de primeira ordem ................................................... 36
Figura 21 – Diagrama de esforço cortante considerando os efeitos de segunda ordem ....... 37
Figura 22 – Diagrama de momento fletor de primeira ordem ..................................................... 38
Figura 23 – Diagrama de momento fletor considerando os efeitos de segunda ordem ......... 39
Figura 24 - Armação dos pilares P10 e P14 .................................................................................. 46
x
Lista de Tabelas
Tabela 1 - Características do concreto utilizado ........................................................................... 11
Tabela 2 - Características do aço utilizado .................................................................................... 11
Tabela 3 - Características das formas utilizadas .......................................................................... 11
Tabela 4 - Carregamento considereados atuantes no pilar por pavimento .............................. 13
Tabela 5 - Dimensões adotadas para os pilares ........................................................................... 14
Tabela 6 - Resumo Vento ................................................................................................................. 18
Tabela 7 - Resumo Imperfeições Geométricas ............................................................................. 21
Tabela 8 – Coeficientes ɣg, ɣq .......................................................................................................... 22
Tabela 9 – Coeficientes Ψ0, Ψ1 e Ψ2 ............................................................................................... 22
Tabela 10 - Combinações no ELU .................................................................................................. 24
Tabela 11 - Combinações no ELS ................................................................................................... 25
Tabela 12 - Resumos dos esforços de primeira ordem nos pilares P10 e P14 ....................... 40
Tabela 13 - Resumo dos esforços considerando os efeitos de segunda ordem nos pilares
P10 e P14 ............................................................................................................................................ 40
Tabela 14 - Comparação do deslocamento horizontal no topo da estrutura ............................ 47
Tabela 15 - Comparação esforço Normal ...................................................................................... 47
Tabela 16 - Comparação esforço Cortante .................................................................................... 47
Tabela 17 - Comparação Momento Fletor ..................................................................................... 47
1
1. Introdução
1.1. Tema
A análise de segunda ordem global de edifícios é indispensável nos dias atuais,
diferentemente de outras épocas. Entre os vários motivos pode-se citar que a tecnologia
sofreu grandes avanços e tornou possível a execução de concretos de elevada
resistência, que podem ultrapassar os 50MPa, permitindo estruturas mais esbeltas. Há
poucas décadas atrás, a resistência usual em estruturas de concreto era em torno de
15MPa a 20MPa (MONCAYO, 2011).
Com esses novos concretos, chamados de concretos de alto desempenho, os edifícios
estão sendo construídos com alturas ainda maiores, mas também os elementos
estruturais, antes rígidos, estão mais esbeltos. Anteriormente era possível constatar
elementos estruturais mais robustos para suportar as imensas cargas provenientes de
edifícios de grande altura.
Na Figura 1 e na Figura 2 é possível verificar a diferença de esbeltez entre as estruturas
atuais e antigas mencionada no parágrafo anterior.
a) b)
Figura 1 - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, exemplo de edifício robusto. a)Vista da entrada pela Radial Oeste; b) detalhe das rampas de acesso. (Fonte: http://www.uerj.br/institucional/galeria_todas.php, acesso em 12/09/16 11:15h)
2
Figura 2 - Edificio residencial Rio Mamoré – exemplo de edfício esbelto. (Fonte: Revista Téchne, Edição 173, Agosto de 2011)
BUENO (2009) destaca em sua Dissertação de Mestrado que os problemas
provenientes da instabilidade dessas edificações, pelas suas características de esbeltez
e pouca rigidez, são objeto de estudo de muitos pesquisadores e o avanço que já existe
nessa área fornece aos profissionais boas ferramentas para um projeto seguro. Esta
autora ainda exemplifica com a própria NBR6118, que em sua versão de 1978 não
contemplava uma orientação completa para a consideração da mobilidade de
estruturas. Isto se alterou a partir da versão de 2003 onde a norma comportava um
capítulo inteiro sobre o assunto.
Como agora as estruturas podem se deslocar mais, a análise deve ser feita
considerando os deslocamentos das mesmas e os esforços que surgem a partir da
atuação do carregamento vertical na configuração deformada da estrutura. Estes efeitos
são chamados de efeitos de segunda ordem.
Um dos métodos utilizados para o cálculo dos esforços proveninetes dos efeitos globais
de segunda ordem é o método P-Delta.
1.2. Problema
Foi idealizado um edíficio de 30 andares a partir de uma planta de formas de um
pavimento tipo também idealizada. O intuito desta idealização é reproduzir a estrutura
que tem se destacado na verticalização das cidades, os edifícios de grande altura.
Quando solicitada para dimensionamento, a utilização considerada do mesmo será para
fins comerciais.
3
1.3. Objetivo
O objetivo deste trabalho é apresentar a análise de um edifício comercial de 30 andares
pelo método P-Delta.
Após cálculados os esforços no edifício, foi escolhido o pilar mais solicitado para ser
dimensionado.
1.4. Recursos e Metodologia
Para a realização do trabalho, foi criada uma planta de formas de um pavimento tipo.
Na elaboração desta planta foi utilizado o programa AutoCad 2015, bastante utilizado e
difundido na área de projetos de engenharia atualmente.
Com a planta de formas definida, foi realizado o pré-dimensionamento dos elementos
estruturais.
Todas os carregamentos utilizados para a análise e o dimensionamento do pilar mais
solicitado da estrutura estão de acordo com a norma brasileira vigente na época deste
trabalho, NBR6118:2014.
Para a análise, foi utilizado o programa de cálculo estrutural SAP2000 v.14. Assim como
o AutoCad, este programa de computador é bastante utilizado e difundido na
Engenharia Civil, principalmente na área de cálculo estrutural.
Para a visualização do dimensionamento, também foi elaborada uma planta de
armaduras. Na elaboração desta planta foi utilizado o programa AutoCad 2015.
4
2. Efeitos de Segunda Ordem
A análise de 1ª ordem considera a estrutura na sua configuração geométrica
indeformada para a análise estrutural. Ao analisar a estrutura a partir da consideração
da configuração geométrica deformada, são verificadas solicitações adicionais no
sistema estrutural denominadas efeitos de 2ª ordem.
2.1. Critérios para a avaliação da instabilidade global
A avaliação da estabilidade global de um conjunto de elementos estruturais é um dos
mais importantes fatores para a concepção estrutural, pois visa garantir a segurança da
estrutura diante da perda de sua capacidade resistente, causada pelo aumento das
deformações, em decorrência das ações horizontais e verticais (LACERDA,2014).
A NBR6118:2014 apresenta dois procedimentos para a avaliação da instabilidade global
da estrutura.
2.1.1. Parâmetro α
Este parâmetro foi inicialmente intriduzido por BECK e KÖNIG (1966) e avalia a
sensibilidade da estrutura aos efeitos de segunda ordem (OLIVEIRA, 2009).
O modelo relacionado a esse parâmetro só é válido dentro do regime elástico, e foi
baseado na analogia entre o comportamento de um edifício e de um pilar de seção
constante engastado na base e livre no topo, submetido a uma ação axial distribuída ao
longo de toda a sua altura (OLIVEIRA, 2002).
A NBR6118:2014 define que o valor-limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral,
aplicável às estruturas usuais de edifícios. E que, para associações de pilares-parede e
para pórticos associados a pilares-parede, adotar α1 = 0,6. No caso de
contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, adotar α1 = 0,7.
Quando só houver pórticos, adotar α1 = 0,5.
Se α for menor que os valores citados na norma, os momentos de segunda ordem são
menores que 10% dos de primeira ordem e podem ser desprezados.
Ainda de acordo com a NBR6118:2014, o parâmetro α é dado por:
𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡 × √𝑁𝑘
𝐸𝑐𝑠 × 𝐼𝑐
onde:
Htot = altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo
5
Nk = somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível
considerado para o cálculo de Htot) com seu valor característico
Ecs x Ic = somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada.
2.1.2. Coeficiente ϒz
O coeficiente ϒz é um parâmetro que avalia, de forma simples e bastante eficiente, a
estabilidade global de um edifício com estrutura de concreto armado. Também é capaz
de estimar os esforços de segunda ordem por uma simples majoração dos esforços de
primeira ordem (MONCAYO,2009). Este parâmetro que segundo FEITOSA e ALVES
(2015) é largamente utilizado para a análise dos projetos estruturais no país atualmente
foi desenvolvido por FRANCO e VASCONCELOS (1991).
Este processo de avaliação está baseado na hipótese de que as sucessivas
configurações da linha elástica, geradas pela ação do carregamento vertical em
estrutura com os nós deslocados, se sucedem segundo uma progressão geométrica
(BUENO, 2009).
A NBR6118:2014 define que este coeficiente é válido para estruturas reticuladas de no
mínimo quatro andares e é dado pela expressão:
𝛾𝑧 =1
1 −∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑
𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑
onde:
Mtot,d = momento de tombamento, soma dos momentos provocados por todas as forças
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à
base da estrutura
ΔMtot,d = acréscimo de segunda ordem no momento de tombamento, soma dos
momentos correspondentes aos produtos das forças verticais da combinação
considerada, com seus valores de cálculo, vezes os deslocamentos horizontais de seus
respectivos pontos de aplicação, obtidos em uma análise de 1ª ordem.
Ainda segundo a NBR6118:2014, considera-se que a estrutura é de nós fixos se for
obedecida a condição ϒz ≤ 1,1.
6
3. Outros métodos para determinação dos momentos de segunda ordem globais
Alguns outros métodos são descritos na literatura e usados na prática. Cada um deles
considera as não linearidades de forma diferentemente e a escolha do método
apropriado dependerá da importância da obra e de sua sensibilidade aos efeitos de
segunda ordem (FRANCO, 1985).
A seguir está apresentada uma breve descrição dos mesmos.
3.1. Métodos Simplificados
BUENO (2009) define os métodos simplificados como sendo processos de cálculo onde
ao invés de se determinarem os esforços e deslocamentos da estrutura, os momentos
finais já considerando os efeitos de segunda ordem são obtidos diretamente , de forma
aproximada.
A NBR6118:2014 em seu item 15.7.2 cita o coeficiente ϒz para a obtenção dos esforços
com os efeitos de segunda ordem a partir da majoração adicional dos esforços
decorrentes das forças horizontais da combinação de carregamento considerada por
0,95 vezes deste coeficiente. A mesma norma ainda orienta que este processo só é
válido para ϒz ≤ 1,3.
3.2. Métodos Rigorosos
De acordo com BUENO (2009) são processos de cálculo que consideram de maneira
rigorosa as não linearidades na análise de segunda ordem. Ainda segundo a autora,
para sua utilização, é necessário conhecer as rigidezes EI e EA dos elementos
estruturais, estimadas em função da geometria e da armadura
7
4. Processo P-Delta
Os esforços de primeira e de segunda ordem global podem ser obtidos por meio do
processo P-Delta. Porém, como ele não é um parâmetro de estabilidade, a avaliação da
estabilidade global é realizada após a análise de estabilidade. O P-Delta é um processo
de análise não-linear geométrica. (MONCAYO, 2011).
Muitos métodos utilizam o processo P-Delta como base. Neste trabalho será utilizados
o Método da Carga Lateral Fictícia.
4.1. Método da Carga Lateral Fictícia (P-Delta)
O método da carga lateral fictícia (P-Delta) é um método interativo que visa determinar
forças horizontais equivalentes ao momento de segunda ordem gerado nas estruturas.
Segundo LONGO (2016), no método da carga lateral fictícia, a análise não-linear é
substituída por uma série de análises lineares, sendo que em cada etapa as
características são consideradas constantes. Em cada etapa, os resultados da etapa
anterior são alterados e o processo só termina quando houver uma convergência, ou
seja, os parâmetros se mantenham praticamente os mesmos em duas etapas
consecutivas.
4.2. Método P-Delta para estruturas de pórticos
Inicialmente, é feita uma análise linear para a determinação dos deslocamentos
horizontais em cada pavimento. Em seguida, são determinadas as forças horizontais
fictícias equivalentes aos momentos de segunda ordem. A determinação destas forças
fictícias é feita de uma maneira aproximada (LONGO, 2016).
O método se repete aplicando as forças laterais ficticias e gerando novos
deslocamentos até que seja percebida uma convergência nos resultados obtidos.
A Figura 3 apresenta os deslocamentos após a primeira análise de primeira ordem. A
partir daí o método será aplicado.
8
Figura 3 – Deslocamentos horizontais no pórtico (LONGO, 2016)
As forças horizontais fictícias ou equivalentes são determinadas da seguinte forma ,
adaptada de FRANÇA (1985) e LONGO (2016);
a) Obtém-se o deslocamento ai de cada pavimento pela análise de primeira ordem;
b) Calculam-se os deslocamentos relativos Δa de cada pavimento fazendo:
Δai = (ai – ai+1);
c) Considerando a carga N1 atuante em cada pavimento i, e a distancia hi entre
andares, calculam-se as forças Hi totais pela fórmula:
𝐻𝑖 =∑ 𝑁𝑗,𝑖 × ∆𝑎𝑖
ℎ𝑖
d) A força lateral fictícia em cada nível será a diferença entre as forças, como é
verificado na Figura 4:
9
Figura 4 – Forças nodais nas hastes AB e BC deformadas (LONGO, 2016)
𝐻𝑖∗ =
∑ 𝑁𝑗,𝑖 × ∆𝑎𝑖
ℎ𝑖−
∑ 𝑁𝑗,𝑖−1 × ∆𝑎𝑖−1
ℎ𝑖−1
e) As forças ΔHi são adicionadas ao carregamento horizontal original da estrutura
e faz-se uma nova análise de primeira ordem, etapa esta ilustrada na Figura 5;
Figura 5 - Forças horizontais fictícias aplicadas no pórtico (LONGO)
f) Para cada iteração, novas forças ΔHi são encontradas e isto se sucede até que
os valores fiquem constantes.
10
5. Análise
5.1. Estrutura
Foi realizada uma análise não-linear por um programa de computador pelo método P-
delta de uma edificação de 30 andares submetida a cargas de vento na direção
transversal. Foram ainda consideradas cargas equivalentes às imperfeições
geométricas globais.
Figura 6 - Planta de Formas
11
As dimensões dos elementos da planta de formas de um pavimento tipo apresentada
na Figura 6 foram pré-dimensionadas como apresentado a seguir:
5.2. Dados Utilizados
Para o projeto foram adotados os dados apresentados abaixo:
Concreto:
Resistência característica: fck = 40 MPa
Peso específico do concreto armado: ϒc = 25 kN/m³
Módulo de elasticidade secante: Ecs = 32.000 MPa.
Coeficiente de Poisson = 0,3
Cobrimento das armaduras: 3,0 cm.
Tabela 1 - Características do concreto utilizado
Armadura:
Classe: CA 50
Resistência de escoamento característica: fyk = 500 MPa
Tabela 2 - Características do aço utilizado
Formas:
d(altura útil): h – 3 (cm)
Tabela 3 - Características das formas utilizadas
12
5.3. Pré-Dimensionamento das Lajes
A NBR6118:2014 define, para as lajes maciças, os seguintes limites mínimos para a
espessura:
a) 7 cm para cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes
de piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas;
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
O projeto apresenta lajes de 8 centímetros de espessura adotada. E, portanto:
𝑑 = 8 − 3 = 5 𝑐𝑚
5.4. Pré-Dimensionamento das Vigas
A altura da viga será determinada em função do seu maior vão.
ℎ =𝑙
12 𝑎 15≥ 30 𝑐𝑚
sendo:
l = vão da viga
Como dito, utilizando o maior vão presente no projeto, tem-se:
ℎ =800
14= 57𝑐𝑚
O projeto apresenta vigas de altura igual a 60cm e largura igual 12cm.
13
5.5. Pré-Dimensionamento dos Pilares
Será utilizado para o pré-dimensionamento dos pilares, o pilar com a maior área de
influência. Sendo assim, os pilares P10 e P14 servirão de modelo para o pré-
dimensionamento.
Segundo LONGO, como o pilar interno recebe mais carga do que o de extremidade, as
linhas de influência são traçadas a 0,6 do vão entre o pilar interno e o pilar externo e a
0,5 entre dois pilares internos, como está apresentado na Figura 7:
Figura 7 - Área de Influência de um Pilar
Assim sendo, a área de influência dos pilares escolhidos é a seguinte:
𝐴𝑖𝑛𝑓 = (0,6 × 8,0 + 0,6 × 8,0) × (0,5 × 7,0 + 0,5 × 7,0) = 67,2 𝑚2
Ainda para o pré-dimensionamento, será necessário estimar a carga vertica total atuante
no pilar. A tabela 4 mostra os carregamentos considerados por pavimento para tal
análise.
Carregamentos Considerados:
Cargas Verticais devidas ao peso da laje = 2kN/m2
Cargas Verticais devidas ao peso das vigas = 0,4kN/m2
Cargas Verticais devidas ao peso das paredes = 1kN/m2
Cargas Verticais devidas ao peso do revestimento = 0,7kN/m2
Sobrecaga = 2kN/m2
Total = 6,1kN/m2
Tabela 4 - Carregamento considereados atuantes no pilar por pavimento
14
O peso próprio do pilar foi considerado como sendo 5% da carga vertical total nos
pilares, no nível da fundação.
𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,05 × (30 × 6,1 × 67,2) = 12913 𝑘𝑁
A área de concreto pode ser estimada como sendo:
𝐴𝑐 =𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
35000=
12913
35000= 0,369 𝑚2
Foi adotado um pilar com as seguintes dimensões:
Dimensões dos Pilares
Comprimento = 75 cm
Largura = 50 cm
Tabela 5 - Dimensões adotadas para os pilares
5.6. Consideração da Não-Linearidade Física
De acordo com a NBR6118:2014, para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, em
estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser considerada a não
linearidade física de maneira aproximada reduzindo a rigidez de vigas e pilares como:
Vigas: (EI)sec = 0,4 EcIc
Pilares: (EI)sec = 0,8 EcIc
onde
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as
mesas colaborantes.
Ec é o valor representativo do módulo de deformação do concreto
15
5.7. Carregamentos Utilizados
Os carregamentos estão classificadas conforme descrito abaixo e seus valores
aplicados no modelo.
5.7.1. Carregamentos Permanentes
Peso Próprio dos elementos de Concreto (DEAD)
Este carregamento é automaticamente calculado e considerado pelo programa
SAP2000 (utilizado para realizar a análise). O peso próprio dos elementos é
apresentado no programa como o carregamento DEAD.
Peso das Paredes
Como não existe projeto de arquitetura para o projeto analisado, foi considerado um
carregamento de 1kN/m2 de modo a considerar as paredes do pavimento.
Peso do Revestimento do Piso
Foi considerado um carregamento de 0.7kN/m2 referente a pisos cerâmicos.
5.7.2. Carregamentos Variáveis
Sobrecarga
Foi considerado um carregamento de 2.0kN/m2.
Vento
Para o cálculo da velocidade característica Vk do vento deve-se definir valores de
velocidade básica do vento (V0), fator topográfico (S1), fator de rugosidade (S2), e fator
estatístico (S3). Definidos estes valores, é possível calcular a velocidade característica
do vento a partir da fórmula a seguir:
Vk = V0 × S1 × S2 × S3
Velocidade Básica do Vento:
Na Figura 8, estão apresentadas as isopletas para várias regiões do Brasil. Pode-se
considerar a velocidade básica do vento no Rio de Janeiro de 35m/s.
16
Figura 8 – Isopletas de velocidades básicas do vento (NBR-6123)
Fator topográfico (S1)
O fator topográfico, que considera a variação no terreno onde a edificação estará
construída, é definido considerando 3 situações, de acordo com a NBR6123:1990.
Para o projeto em questão, foi adotado o item a seguir:
a) Terreno plano ou fracamente acidentado: S1 = 1.0
Fator de Rugosidade (S2)
Este fator considera os efeitos combinados da rugosidade do terreno, da variação da
velocidade do vento com a altura do terreno e das dimensões da edificação.
A NBR6123:1990 classifica o terreno em cinco categorias e as dimensões da estrutura
em três classes que auxiliam no cálculo do fator em questão.
Para o projeto, foram adotados:
Categoria V: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco
espaçados. Exemplos: florestas com árvores altas, de copas isoladas, centros de
grandes cidades, complexos industriais bem desenvolvidos.
Classe C: Toda edificação ou parte de edificação para a qual a maior dimensão
horizontal ou vertical da superfície frontal exceda 50 m.
17
Fator estatístico (S3)
Este fator considera a utilização da edificação e sua vida útil. A NBR6113:1990 define
os valores para o fator de acordo com 5 grupos.
O projeto considera o grupo 2.
Pressão dinâmica
De acordo com a NBR6123:1990 é possível utilizar o teorema de Bernoulli (conservação
de energia para fluidos perfeitos em regime permanente) juntamente com a velocidade
característica do vento para a obtenção da pressão dinâmica do vento.
𝑞 = 0,613 𝑉𝑘2
Força de Arrasto e Coefiente de Arrasto
A Figura 9 apresenta o coeficiente da força de arrasto para edificações em forma de
paralelepípedo de acordo com a NBR6123. Para se obter o valor do coeficiente de
arrasto, deve-se utilizar os comprimentos em planta da estrutura e sua altura.
Figura 9 - Coeficiente de arrasto para edificações em forma de paralelepípedo
(NBR6123:1990)
18
A força de arrasto é dada pela seguinte fórmula:
𝐹𝑎 = 𝐶𝑎 × 𝑞 × 𝐴𝑒
Onde:
Ca = coeficiente de arrasto
q = pressão dinâmica
Ae = área frontal efetiva da projeção ortogonal da edificação sobre um plano
perpendicular à direção do vento
Resumo Vento
Na Tabela 6 está mostrado o resumo dos cálculos para o vento na edificação.
Altura
(m)
V0
(m/s) S1 S2 S3 Vk (m/s)
q
(N/m2) Ca Fa (kN/m)
30 35 1 0.82 1 28.7 504.922 1.2 1.818
60 35 1 0.92 1 32.2 635.583 1.31 2.498
90 35 1 0.99 1 34.65 735.982 1.37 3.025
Tabela 6 - Resumo Vento
Imperfeições Geométricas
Toda estrutura construída pode apresentar imperfeições oriundas de falhas na
construção. Muitas dessas imperfeições são absorvidas por coeficientes de segurança
e não geram risco de colapso à estrutura. O desaprumo das peças verticais, porém, é
uma imperfeição que deve ser considerada à parte pelo engenheiro. No cálculo, estas
são consideradas como ações permanentes indiretas.
A Figura 10 mostra o desaprumo θa, em radianos, nos elementos verticais de um pórtico
19
Figura 10 - Desaprumo dos Elementos Verticais (NBR6118:2014)
A NBR-6118:2014, define este desaprumo de acordo com a fórmula a seguir:
𝜃𝑎 = 𝜃1 ×√(1 +
1𝑛
)
2
onde:
𝜃1 =1
100 × √𝐻
H = altura total (em metros)
n = numero de prumadas de pilares no pórtico plano
𝜃1𝑚í𝑛 =1
300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais
𝜃1𝑚á𝑥 =1
200
Calculando então o valor do desaprumo, resulta-se em:
𝜃𝑎 = 7.577 × 10−4
Este valor é menor que o mínimo sugerido na norma. Pontanto, o valor adotado para
este trabalho é:
𝜃𝑎 =1
300
20
Para considerar os momentos gerados por esse desaprumo, foi idealizada uma carga H
aplicada horizontalmente na lateral da estrutura. O esquema está representado nas
Figura 11 e Figura 12.
Figura 11 - Pórtico desaprumado (LONGO, 2016)
Figura 12 - Carregamento horizontal equivalente ao desaprumo (LONGO, 2016)
Tomando-se por base um nível i para o cálculo, o momento gerado pela força vertical
total neste nível multiplicada pela excentricidade oriunda do desaprumo é:
𝑀𝑖 = 𝑁𝑖 × 𝑒𝑖
21
Para que este momento gerado pelo desaprumo seja representado por uma carga
horizontal, deve-se igualá-lo ao momento gerado pela multiplicação da carga horizontal
pela altura do pavimento. E, portanto:
𝐻𝑖 × ℎ𝑖 = 𝑀𝑖
𝐻𝑖 × ℎ𝑖 = 𝑁𝑖 × 𝑒𝑖
Como a excentricidade está diretamente relacionada com o desaprumo, é possível
calculá-la pela seguinte fórmula:
𝑒𝑖 = ℎ𝑖 × tan 𝜃𝑎
Portanto é possível obter a seguinte fórmula para a definição da força horizontal
equivalente aos esforços de imperfeição geométrica global:
𝐻𝑖 × ℎ𝑖 = 𝑁𝑖 × ℎ𝑖 × tan 𝜃𝑎
𝐻𝑖 = 𝑁𝑖 × tan 𝜃𝑎
onde:
Ni = carga vertical total no nível i
Na Tabela 7, segue resumo com as cargas verticais consideradas por pavimento e o
cálculo da força horizontal distribuída na lateral da estrutura.
θa Laje
(kN)
Vigas e
Paredes (kN)
Revestimentos
(kN)
Sobrecarga
(kN)
TOTAL
(kN)
H
(kN) H (KN/m)
1/300 1568 1098 549 1568 4782 15.94 0.455
Tabela 7 - Resumo Imperfeições Geométricas
Como o valor de 30% da ação do vento é maior que a ação do desaprumo, seguindo a
NBR6118:2014, não foi considerado valor de desaprumo no modelo.
22
5.8. Combinações no Modelo Estrutural
Os coeficientes ϒg e ϒq são encontrados abaixo na Tabela 8, de acordo com a
NBR6118:2014
Tabela 8 – Coeficientes ɣg, ɣq
Os coefientes Ψ0, Ψ1 e Ψ2 são encontrados na Tabela 9, de acordo com a
NBR6118:2014
Tabela 9 – Coeficientes Ψ0, Ψ1 e Ψ2
Para a análise em questão foram utilizadas seis combinações diferentes, sendo quatro
para a análise no Estado Limite Último (ELU) e duas para a análise no Estado Limite de
Serviço (ELS).
Ressalta-se que o trabalho tem por objetivo efetuar análises não-lineares no ELU sendo
aplicado o método P-Delta. No entanto, foram realizadas análises lineares no ELU para
efeitos de comparação. As análises efetuadas no ELS foram somente lineares.
23
5.9. Estado Limite Último (ELU)
A fórmula a seguir representa a determinação das ações normais para as combinações
últimas (ELU) conforme NBR 6118:2014.
𝐹𝑑 = ∑ 𝛾𝑔𝑖
𝑚
𝑖=1
× 𝐹𝐺𝑖,𝑘 + 𝛾𝑞 × [𝐹𝑄1,𝑘 + ∑ Ψ0𝑗 × 𝐹𝑄𝑗,𝑘
𝑛
𝑗=2
]
Onde:
FGi,k = valor característico das ações permanentes
FQ1,k = valor característico da ação variável considerada como ação principal para a
combinação
Ψ0j x FQj,k = valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis
Coeficientes de Ponderação das Ações
As intensidades das ações permanentes e variáveis foram consideradas invariáveis e
seus valores nas combinações das ações foram considerados com coeficientes de
ponderação ɣg = 1,4 e ɣq = 1,4,
Os coeficientes Ψ0, assumem os valores de 0,5 e 0,6 dependendo da ação variável que
esteja considerada principal, conforme mostrado a seguir.
Combinação de Ações no ELU para análise de primeira ordem
COMB1 = 1.4 (PP + PAR + REV) + 1.4 (VENTO + 0.5 SOB)
COMB2 = 1.4 (PP + PAR + REV) + 1.4 (SOB + 0.6 VENTO)
Combinação de Ações no ELU para o método P-Delta
COMB1 (P-Delta) = 1.4 (PP + PAR + REV) + 1.4 (VENTO + 0.5 SOB)
COMB2 (P-Delta) = 1.4 (PP + PAR + REV) + 1.4 (SOB + 0.6 VENTO)
24
Tabelas das Combinações
Tabela 10 - Combinações no ELU
5.10. Estado Limite de Serviço (ELS)
A fórmula a seguir representa a combinações das ações normais necessárias
para a verificação das condições de segurança em relação a todos os
estados-limites de serviços aplicáveis.
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
+ Ψ1 × 𝐹𝑄1,𝑘 + ∑ Ψ2𝑗 × 𝐹𝑄𝑗,𝑘
𝑛
𝑗=2
Coeficiente de Ponderação das Ações
As ações variáveis no estado limites de serviço, serão reduzidas em Ψ1
(quando ação principal) e Ψ2 (quando ação secundária), através dos
coeficientes mostrados a seguir:
25
Combinações de Ações no ELS para a análise de primeira ordem:
COMB3 = 1.0 (PP + PAR + REV) + 0.3 VENTO + 0.4 SOB
Combinações de Ações no ELS para o método P-Delta:
COMB3 (P-Delta) = 1.0 (PP + PAR + REV) + 0.3 VENTO + 0.4 SOB
Tabelas das Combinações
Tabela 11 - Combinações no ELS
26
5.11. Modelo Estrutural
A Figura 13 apresenta o modelo tridimensional utilizado para o cálculo da
estrutura. Nele foram utilizados elementos de barra para pilares e vigas e
elementos de placa para as lajes.
Figura 13 - Modelo Estrutural do Edifício com 30 Andares
27
O modelo com elementos finitos do pavimento tipo está apresentado na
Figura 14.
Figura 14 – Modelo do Pavimento Tipo - Vista Plano xy
28
5.12. Cálculo do Parâmetro de Instabilidade Global
O método de cálculo do parâmetro α está descrito no item 2.1 deste trabalho e é utilizado
abaixo para a estrutura em questão.
A NBR6118 (2014) define o processo para o cálculo da rigidez de um pilar equivalente:
a) Calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação
do carregamento horizontal na direção considerada;
b) calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base
e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo
carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.
∑(𝐸𝑐𝑠 × 𝐼𝑐) =𝐹 × 𝐿3
3 × ∆
De maneira simplificada, foi considerado um carregamento distribuído uniforme no topo
da estrutura. A partir deste carregamento foi obtido o deslocamento horizontal no topo
da estrutura utilizado para o cálculo da rigidez equivalente. A Figura 15 apresenta o
deslocamento horizontal no topo da estrutura para este carregamento distribuido
unitário.
29
Figura 15 - Deformação da estrutura para o cálculo do parâmetro de instabilidade global
Pode-se então calcular a rigidez como sendo:
∑(𝐸𝑐𝑠 × 𝐼𝑐) =35 × 903
3 × 0,0042= 2025000000 𝑘𝑁. 𝑚2
30
Calculando-se, finalmente o parâmetro α:
𝛼 = 90 × √30 × 4782
2025000000= 0,76
Como α é maior que 0.6, se faz necessária a análise de segunda ordem.
5.13. Resultados
A análise da estrutura foi realizada pelo programa SAP2000 pelo método P-Delta
Para todos o resultados, serão apresentadas análises de primeira e segunda ordem de
modo que se possa fazer uma comparação entre ambas. No entanto, as verificações e
dimensionamento só se darão para a análise de segunda ordem.
5.13.1. Deslocamento Horizontal no topo da estrutura
Para a análise do deslocamento horizontal máximo no topo da estrutura, foi utilizada a
combinação COMB3 para a análise de primeira ordem e a COMB3 (P-Delta) para a
análise de segunda ordem, ambas no ELS.
A seguir estão apresentadas as deformações no topo da estrutura bem como os
valores máximos para ambas as análises.
31
Primeira ordem
A Figura 16 apresenta o deslocamento presente no topo da estrutura expresso em
metros.
Figura 16 - Deslocamento horizontal máximo no topo da estrutura no ELS para a
análise de primeira ordem
32
Segunda ordem
A Figura 17 apresenta o deslocamento presente no topo da estrutura expresso em
metros.
Figura 17 - Deslocamento horizontal máximo no topo da estrutura no ELS para a
análise de segunda ordem
33
5.13.2. Verificação do deslocamento horizontal máximo
De acordo com a NBR6118:2014, o deslocamento limite para o topo da estrutura
é:
𝑓𝑙𝑖𝑚 =𝐻
1700
Sendo:
H = altura total da estrutua
Como o pé direito da estrutura analisada é 3m, a mesma possui altura de 90m já
que possui 30 andares e, portanto:
𝑓𝑙𝑖𝑚 =90
1700= 0,052𝑚 = 5,2𝑐𝑚
É possível, então, verificar que o deslocamento horizontal máximo encontrado na
estrutura de 2,10 cm é inferior ao deslocamento máximo cálculado satisfazendo,
assim, a norma mencionada.
5.13.3. Esforço Normal atuante nos Pilares
Para as analises do esforço normal na estrutura, foram utilizadas as combinações
no ELU, sendo COMB1 e COMB2 para as análises de primeira ordem e COMB1
(P-Delta) e COMB2 (P-Delta) para as análises de segunda ordem.
Será verificado o pilar com maior esforço normal e nos tópicos seguintes serão
apresentados os outros esforços atuantes neste pilar para que o dimensionamento
do mesmo seja realizado.
34
Primeira Ordem
Figura 18 apresenta o diagrama de esforço normal de primeira ordem passando
pelos pilares P9 a P12 com efeitos de primeira ordem. Como a estrutura possui
eixo de simetria, os pilares destacados são P10 e P14.
Figura 18 – Diagrama de esforço Normal de primeira ordem
35
Segunda Ordem
A Figura 19 apresenta o diagrama de esforço normal para os mesmos pilares
apresentados anteriormente considerando os efeitos de segunda ordem.
Figura 19 – Diagram de esforço Normal considerando os efeitos de segunda ordem
36
5.13.4. Esforço Cortante atuante nos Pilares P10 e P14
Assim como nas análises para o esforço normal, foram utilizadas as combinações no
ELU, sendo COMB1 e COMB2 para as análises de primeira ordem e COMB1 (P-Delta)
e COMB2 (P-Delta) para as análises de segunda ordem
Primeira Ordem
A Figura 20 apresenta o diagrama de esforço cortante de primeira ordem passando
pelos pilares P9 a P12. Os pilares destacados são P10 e P14, devido à simetria da
estrutura.
Figura 20 – Diagrama de esforço cortante de primeira ordem
37
Segunda Ordem
A Figura 21 apresenta o diagrama de esforço cortante passando pelo pilares P9 a
P12 considerando os efeitos de segunda ordem. Os pilares destacados são P10
e P14.
Figura 21 – Diagrama de esforço cortante considerando os efeitos de segunda ordem
38
5.13.5. Momentos Fletores atuantes nos Pilares P10 e P14
Ainda como as análises para os esforços anteriores, foram utilizadas as
combinações no ELU, sendo COMB1 e COMB2 para as análises de primeira
ordem e COMB1 (P-Delta) e COMB2 (P-Delta) para as análises de segunda ordem
Primeira Ordem
A Figura 22 apresenta o diagrama de momentos de primeira ordem passando
pelos pilares P9 a P12. Como a estrutura possui eixo de simetria, os pilares
destacados são P10 e P14.
Figura 22 – Diagrama de momento fletor de primeira ordem
39
Segunda Ordem
A Figura 23 apresenta o diagrama de momento fletor considerando os efeitos de
segunda ordem passando pelos pilares P9 a P12. Os pilares destacados são P10
e P14.
Figura 23 – Diagrama de momento fletor considerando os efeitos de segunda ordem
40
5.13.6. Resumo dos esforços
A Tabela 12 e Tabela 13 apresentam o resumo dos esforços na base dos pilares P10 e
P14 para as análises de primeira e segunda ordem:
Primeira Ordem
Tabela 12 - Resumos dos esforços de primeira ordem nos pilares P10 e P14
Segunda Ordem
Tabela 13 - Resumo dos esforços considerando os efeitos de segunda ordem nos pilares P10 e P14
A NBR6118:2014 estipula que um momento mínimo nos pilares pode ser calculado
através da seguinte fórmula:
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 𝑁𝑑 × (0,015 + 0,03 × ℎ)
Onde:
h = altura total da seção tranversal na direção considerada, expressa em metros (m)
Utilizando os valores das dimensões dos pilares e o esforço normal considerando os
efetos de segunda ordem calculado, tem-se:
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 15735,15 × (0,015 + 0,03 × 0,75) = 590,07𝑘𝑁. 𝑚
41
5.14. Dimensionamento da armadura longitudinal dos pilares P10 e P14
A armadura será calculada utilizando o maior esforço nomal e o momento mínimo
cálculado, já que este momento foi maior que os momentos encontrados na análise da
estrutura.
𝑁 = −15735,15 𝑘𝑁 𝑀 = 590,07 𝑘𝑁. 𝑚
Pelos ábacos de flexão reta apresentados em SANTOS (2016):
𝜂 =𝑁𝑑
𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑= −
15735,15
0,50 × 0,75 × 40000
1,4
= −1.47
𝜇 =𝑀𝑑
𝐴𝑐 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑=
590,07
0,50 × 0,75² × 40000
1,4
= 0,07
Usando d’/h = 0,03/0,75 = 0,04 e Seção Tipo 3
𝜔 = 0,84
𝐴𝑠 =𝜔 × 𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑=
0,84 × 0,50 × 0,75 × 40000
1,450
1,15
= 207 𝑐𝑚²
Adotou-se 44 barras de diâmetro de 25 mm resultando em uma área de armadura
de 216,04cm2.
5.14.1. Detalhamento das armaduras longitudinais
Armadura Longitudinal Mínima
De acordo com a NBR-6118:2014 em seu item 17.3.5.3.1:
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0,15 × 𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑≥ 0,4% × 𝐴𝑐
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0,15 × 15735,15
501,15⁄
= 54,29𝑐𝑚2 ≥ 0,4% × 3750 = 15 𝑐𝑚2
Portanto, a armadura calculada está de acordo com a NBR6118:2014 e maior que
a armadura mínina.
42
Armadura Longitudinal Máxima
De acordo com a NBR-6118:2014 em seu item 17.3.5.3.2:
𝐴𝑠 𝑚á𝑥 = 0,08 × 𝐴𝑐
𝐴𝑠 𝑚á𝑥 = 0,08 × 3750 = 300 𝑐𝑚2
Taxa Geométrica de Armadura
𝜌 =𝐴𝑠
𝐴𝑐=
216,04
3750= 5,76%
Serão utilizadas emendas mecânicas. Portanto a armadura adotada está de
acordo com a norma vigente no período deste trabalho.
Emendas das Barras Longitudinais
Segundo a NBR 6118 (2014), o comprimento de ancoragem básico para os pilares
(região de boa aderência) e com fck de 40 MPa é:
𝑙𝑏 = 28𝜙 → 𝑙𝑏 = 28 × 2,50 = 70,0 𝑐𝑚
O comprimento de emenda por transpasse será:
𝑙𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝑙𝑏 𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙
𝐴𝑠,𝑒𝑓≥ {
0,3 𝑙𝑏 = 21,0 𝑐𝑚10𝜙 = 25 𝑐𝑚
10 𝑐𝑚
𝑙𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 70,0 ×207,00
216,04= 67,07 𝑐𝑚
𝑙𝑜𝑐 = 67,07 𝑐𝑚 ≥ {0,6 𝑙𝑏 = 42,0 𝑐𝑚15𝜙 = 37,5 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
Por questões construtivas, recomenda-se um comprimento de transpasse de:
𝑙𝑜𝑐 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = 70 𝑐𝑚
43
5.15. Dimensionamento da Armadura transversal dos pilares P10 e P14
De acordo com LONGO (2016), o dimensionamento dos pilares para o esforço contante
é dado pelas seguintes etapas:
Verificação da compressão diagonal do concreto (modelo I):
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 × 𝛼𝑣2 × 𝑓𝑐𝑑 × 𝑏𝑤 × 𝑑
Onde:
𝛼𝑣2 = (1 −𝑓𝑐𝑘
250)
fcd = resistência calculada de projeto do concreto
bw = lagura do elemento considerado
d = altura do elemento considerado
Portanto, para o projeto:
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 × (1 −40
250) ×
40000
1,4× 0.50 × 0,72 = 2332,80𝑘𝑁
Como o esforço cortante máximo é 46,13kN, conclui-se que está atendida a verificação.
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
Cálculo da área dos estribos (modelo I):
𝐴𝑠𝑤/𝑠 =𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 × 𝑑 × 𝑓𝑦𝑤𝑑
onde:
𝑉𝑐 = 0,6 × 𝑓𝑐𝑡𝑑 × 𝑏𝑤 × 𝑑
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 × 𝑓𝑐𝑘
23
fywd = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal calculada de projeto
44
Portanto, para o projeto:
𝑉𝑐 = 2 × [0,6 × (0,15 × 4000023) × 0,50 × 0,72] = 75,79 𝑐𝑚2 𝑚⁄
Verifica-se que:
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑐
Será adotada a armadura mínima de acordo com a norma.
A NBR6118:2014 estipula que a armadura mínima seja calculada de acordo com sua
seção 18 caso pilares e elementos lineares de fundação submetidos
predominantemente à compressão, atendam simultaneamente, na combinação mais
desfavorável das ações em estado-limite último, calculada a seção em estádio I, às
condições seguintes:
a) em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tensão fctk;
b) VSd ≤ Vc
A armadura mínima, portanto, será tal que:
Diâmetro mínimo dos estribos
Segundo NBR6114:2014, o diâmetro dos estribos em pilares não pode ser inferior a 5
mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que
constitui a armadura longitudinal.
𝜙𝑒 ≥ {
5 𝑚𝑚
1
4 𝜙 = 6,25 𝑚𝑚
Adotou-se barras de diâmetro de 6.3 mm
Espaçamento dos estribos
Segundo NBR6114:2014, o espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção
do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras
longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares
usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:
— 200 mm;
— menor dimensão da seção;
— 24ø para CA-25, 12ø para CA-50
45
Ainda, segundo LONGO (2016), o espaçamento entre os estribos deve ser suficiente
para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. Para
facilitar a colocação de estribos, pode-se adotar um espaçamento múltiplo de 2,5: 7,5cm
/ 10cm / 12,5cm / 15cm / 17,5cm / 20cm.
O projeto adota espaçamentos de estribos de 20cm
Ganchos dos Estribos
Os etribos podem ser ancorados por ganchos ou barras longitudinais soldadas. A
NBR6118:2014 define que os ganchos podem ser:
Semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a
5øt, porém não inferior a 5 cm;
Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10øt, porém não
inferior a 7 cm (este tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios lisos
O projeto adota ganchos em ângulo de de 45° (interno), portanto
5∅𝑡 = 4,00 𝑐𝑚 ≥ 5 𝑐𝑚
O comprimento do ganho é, então, 5 centímetros.
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5.16. Desenho da armadura dos pilares P10 e P14
Figura 24 - Armação dos pilares P10 e P14
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6. Conclusão
Os deslocamentos no topo da edificação e os esforços máximos nos pilares P10 e P14
resultantes da análise de primeira ordem e os de segunda ordem estão apresentados
nas tabelas a seguir para uma melhor visualização dos resultados.
Tabela 14 - Comparação do deslocamento horizontal no topo da estrutura
Tabela 15 - Comparação esforço Normal
Tabela 16 - Comparação esforço Cortante
Tabela 17 - Comparação Momento Fletor
De acordo com os valores das tabelas anteriores, pode-se observar que o deslocamento
máximo no topo da edificação considerando os efeitos de segunda ordem 141% maiores
do que os de primeira ordem, mas menores do que o valor limite da norma
NBR6118:2014.
Além disso, o esforço normal máximo na base dos pilares P10 e P14 considerando os
efeitos de segunda ordem foi cerca de 10% a mais do que o de primeira ordem. O
esforço cortante máximo ficou pequeno para ambos os casos, sendo o esforço cortante
de segunda ordem 24% maior que o de primeira ordem. O momento fletor máximo na
base destes pilares P10 e P14 considerando os efeitos de segunda ordem foi cerca de
160% a mais do que o de primeira ordem, mas menor do que o momento fletor mínimo.
As armaduras na base destes pilares P10 e P14 foram calculadas e detalhadas para o
esforço normal máximo e para este momento fletor mínimo
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