ANO LECTIVO DE 2007/2008

Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Março de 2008

1

O mundo está perigoso. Todos os dias somos bombardeados com as afirmações mais

extraordinárias: da existência (“cientificamente comprovada”) de fenómenos paranormais, como

percepção extra-sensorial, psicocinese, clarividência ou comunicação com os espíritos, à defesa

veemente da astrologia, dos curandeirismos new age, como a cura pela fé ou pelo toque devidos à

existência de um suposto “campo bioenergético” simultaneamente electromagnético e quântico,

aos patéticos “códigos da Bíblia”, das mais delirantes afirmações sobre OVNIs ou raptos por

extraterrestres à detecção de uma montanha em Marte que, juravam os adeptos, era uma face

humana. Parece uma autêntica febre de fim de milénio que atinge todas as camadas: Cheryl Blair

tem aparecido em público usando um colar “bioeléctrico” para proteger o seu “campo

bioenergético”, a conselho da sua boa amiga Hillary Clinton.

Esta febre é alimentada pelos media, que navegam na onda deste cenário de obscurantismo e

apocalipse com “Ficheiros Secretos”, “Programas do Além”, “Homens de Preto”, para não falar

de invasões de extraterrestres ou, pior ainda, de rapto e violação de humanos por aqueles. De

resto, a posição dos media, ao apresentarem cada um destes “factos”, é invariavelmente a de que

foram “demonstrados cientificamente” – mas, curiosamente, nunca se apresentam os cientistas

responsáveis por essa “demonstração” nem os artigos, validados pela comunidade científca

através de refereeing, onde a dita “demonstração” foi realizada de acordo com os critérios de

objectividade característicos do método científico.

Jorge Buescu in O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias (Lisboa: Gradiva, 2001)

With or without religion, good people can behave well and bad people can do evil; but for good

people to do evil – that takes religion.

Steven Weinberg in Facing Up – Science and Its Cultural Adversaries (Cambridge, Massachusetts:

Harvard University Press, 2001)

2

Vast sectors of the humanities and the social sciences seem to have adopted a philosophy that we

shall call for want of a better term, “postmodernism”: an intellectual current characterized by the

more-or-less explicit rejection of the racionalist tradition of the Enlightenment, by theoretical

discourses disconnected from any empirical test, and by a cognitive and cultural relativism that

regards science as nothing more than a “narration”, a “myth” or a social construction among

many others.

Alan Sokal and Jean Bricmont in Fashionable Nonsense – Postmodern Intellectuals’ Abuse of Science

(New York: Picador, 1998)

The equations of electricity and magnetism that are today known as Maxwell’s equations are not

the equations originally written down by Mawell; they are equations that physicists settled on after

decades of subsequent work by other physicists, notably the English scientist Oliver Heaviside.

They are understood today to be an approximation that is valid in a limited context (that of weak,

slowly varying electric and magnetic fields), but in this form and in this limited context they have

survived for a century and may be expected to survive indefinitely. This is the sort of law of

physics that I think corresponds to something as real as anything else we know. On this point,

scientists like Sokal and myself are apparently in clear disagreement with some of those whom

Sokal satirizes. The objective nature of scientific knowledge has been denied by Andrew Ross and

Bruno Latour and (as I understand them) by the influential philosophers Richard Rorty and the

late Thomas Kuhn, but it is for granted by most natural scientists.

Steven Weinberg in Facing Up – Science and Its Cultural Adversaries (Cambridge, Massachusetts:

Harvard University Press, 2001)

3

0. Introdução É muito frequente desprezar-se quer a dispersão temporal quer a dispersão espacial nos cursos

introdutórios de electromagnetismo. Neste capítulo pretende-se abordar a formulação clássica

(i.e., não quântica) da dispersão temporal dos materiais – condutores e dieléctricos.

A força de Lorentz que se exerce em espaço livre sobre uma carga pontual q é dada,

como é sabido, por

( )q= + ×F E v B (0.1)

em que v é a velocidade da carga. Assim, toda a electrodinâmica clássica pode ser descrita

em termos dos campos E (eléctrico) e B (magnético). Uma interpretação datada do

electromagnetismo leva a considerar, em vez desses campos, os campos E e H . No entanto,

esta última interpretação, embora ultrapassada, é a prevalecente – pelo menos nos cursos de

engenharia electrotécnica. Por essa razão também nós iremos seguir esta tradição – não sem

antes remeter os mais interessados para a leitura do segundo volume do célebre texto The

Feynman Lectures on Physics (ver Bibliografia, no fim) onde se faz a correcta formulação da

electrodinâmica clássica.

Com efeito, o electromagnetismo passa muito bem sem os campos D e H . Nos meios

materiais é preferível considerar os vectores polarização P e magnetização M . As relações

constitutivas deveriam, assim, ser escritas preferencialmente na forma

( )0ε= +D E P E,B (0.2a)

( )0

1µ

= −H B M E,B (0.2b)

em que, quando não existe acoplamento magnetoeléctrico, se tem simplesmente

( )=P P E (0.3a)

4

( )=M M B (0.3b)

e onde, como é bem conhecido,

0 0

1cε µ

= (0.4)

representa a velocidade da luz no vácuo.

Na sua forma actual, as equações de Maxwell devem escrever-se como segue:

Forma moderna (correcta) das equações de Maxwell

t

∂∇× = −

∂BE (0.5a)

2

0

totalctε

∂∇× = +

∂J EB (0.5b)

0

totalρε

∇ ⋅ =E (0.5c)

0∇⋅ =B . (0.5d)

Esta forma tem também a vantagem de estar de acordo com a teoria da relatividade. A Eq.

(0.5a) é a lei de Faraday que, na sua forma integral, corresponde à lei geral da indução. A Eq.

(0.5b) é a forma moderna da lei de Maxwell-Ampère: esta equação ainda pode ser escrita na

forma

0µ∇× =B C (0.6)

em que

0total tε ∂

= +∂EC J . (0.7)

Ou seja: a densidade de corrente C é a soma da densidade de corrente total totalJ com a

densidade de corrente de deslocamento dJ introduzida por Maxwell e dada por

5

0d tε ∂

=∂EJ . (0.8)

Quando na Eq. (0.7) se despreza a corrente de deslocamento, a equação de Maxwell-Ampère

– i.e., a Eq. (0.6) – reduz-se à equação de Ampère

0 totalµ∇× =B J . (0.9)

A Eq. (0.5c) é a lei de Gauss. E, finalmente, a Eq. (0.5d) estabelece que o campo magnético é

solenoidal (i.e., não existem cargas magnéticas).

Da Eq. (0.6) tira-se que

( )0 0total tε ∂

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∂

C J E (0.10)

ou, atendendo à lei de Gauss,

0totaltotal t

ρ∂∇ ⋅ + =

∂J (0.11)

que é a conhecida equação de conservação da carga eléctrica (total).

Porém, em vez das Eqs. (0.2), iremos continuar a seguir a tradição considerando

( )0ε= +D E P E, H (0.12a)

( )0µ= +⎡ ⎤⎣ ⎦B H M E,H (0.12b)

em que, para meios sem acoplamento magnetoeléctrico (os meios quirais, os meios ómega e

os meios bianisotrópicos são exemplos de meios em que existe acoplamento

magnetoeléctrico), se tem

( )=P P E (0.13a)

6

( )=M M H . (0.13b)

Consequentemente, a escrita

Forma tradicional das equações de Maxwell

t

∂∇× = −

∂BE (0.14a)

t

∂∇× = +

∂DH J (0.14b)

ρ∇⋅ =D (0.14c)

0∇⋅ =B (0.14d)

corresponde à interpretação original (embora incorrecta) das equações de Maxwell.

Naturalmente que há, aqui, que fazer uma distinção importante de forma a “salvar” estas

equações da interpretação incorrecta: a densidade volúmica (total) de carga é totalρ tal que

total polρ ρ ρ= + (0.15)

em que ρ corresponde às cargas livres nos condutores ou que se colocam em posições

conhecidas do espaço e polρ corresponde às cargas ligadas e que são produzidas por

polarizações não uniformes. Com efeito, tem-se em geral

polρ = −∇⋅P (0.16)

pelo que, quando P é uniforme, se tem totalρ ρ= uma vez que 0polρ = nesse caso particular.

É claro que, quando se adopta a escrita tradicional das equações de Maxwell, se escreve quase

invariavelmente e de uma forma que se presta a interpretações incorrectas ρ∇⋅ =D , não se

explicitando que a densidade de carga nesta última equação não é a densidade total. Existe,

ainda, uma complicação adicional: é que a densidade (total) de corrente totalJ é tal que

total other pol= +J J J (0.17)

7

onde

pol t∂

=∂PJ . (0.18)

Assim, de

2

0

totalctε

∂∇× = +

∂J EB (0.19)

resulta

( )20 0otherc

tε ε∂

∇× = + +∂

B J E P (0.20)

ou seja

0

1other tµ

∂∇× = +

∂DB J . (0.21)

Finalmente, introduzindo a densidade de corrente de condução J , dada pela lei de Ohm, bem

como a contribuição magJ , devida à magnetização, tais que

σ=J E (0.22a)

mag = ∇×J M (0.22b)

resulta

other mag= +J J J (0.23)

pelo que

8

total other pol mag pol tσ ∂

= + = + + = +∇× +∂PJ J J J J J E M (0.24)

o que mostra que total σ= =J J E só quando a magnetização for um campo conservativo (i.e.,

∇× =M 0 pelo que a magnetização deverá ser derivada de um gradiente com = −∇ΨM ) e,

simultaneamente, a polarização for constante. Nestas condições tira-se da Eq. (0.21)

0

1tµ

⎛ ⎞ ∂∇× − = +⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

DB M J (0.25)

donde se infere, efectivamente, a forma tradicional da equação de Maxwell-Ampère

t

∂∇× = +

∂DH J . (0.26)

Note-se um aspecto muito importante:

• A formulação moderna das equações de Maxwell – baseada nas Eqs. (0.5) – além

de estar de acordo com a correcta interpretação da electrodinâmica clássica

(adaptável à formulação relativista e à electrodinâmica quântica) também permite

descrever toda a realidade electromagnética apenas com base em dois campos (os

campos E e B ) desde que se conheçam todas as fontes em espaço livre (dadas

através de totalρ e de totalJ ).

• A formulação tradicional das equações de Maxwell – baseada nas Eqs. (0.14) –

necessita de quatro campos (os campos E , B , D e H ) e é incompleta porque tem

de ser acompanhada pela escrita das relações constitutivas – ( )=D D E, H e

( )=B B E, H –, as quais podem tornar-se especialmente complicadas em meios

não convencionais.

Porém, ao seguir a tradição, é fundamental começar por desmentir, com veemência,

que se possa escrever para meios lineares, isotrópicos e não magnéticos

9

0ε ε=D E (0.27a)

0µ=B H . (0.27b)

Com efeito, para poder continuar a usar a escrita tradicional das equações, deve-se começar

por sublinhar que só é correcto escrever, no caso dos meios isotrópicos, 0ε ε=D E no

domínio da frequência – mas não no domínio do tempo. Além disso é necessário especificar

que essa relação constitutiva pressupõe, naturalmente, que os campos são pouco intensos (de

forma a poder admitir que os meios são lineares). Em geral podemos apenas escrever (meios

não magnéticos)

0ε= +D E P (0.28a)

0µ=B H . (0.28b)

No caso particular dos meios lineares, isotrópicos, sem acoplamento magnetoeléctrico e não

magnéticos, tem-se (como se verá neste capítulo)

( ) ( ) ( )00

t t dε χ τ τ τ∞

= −∫P E (0.29)

onde ainda se teve em consideração que o meio deverá ser causal e invariante no tempo. No

vazio tem-se ( ) 0χ τ ≡ pelo que

0ε=D E . (0.30)

Apenas no caso muito particular e ideal em que se considera

( ) ( )0χ τ χ δ τ= (0.31)

e onde 0χ é uma constante, é que se pode escrever

( ) ( )0 0t tε χ=P E (0.32)

10

donde resulta então

01ε χ= + ⇒ ( ) ( )0t tε ε=D E (0.33)

e que corresponde a um meio sem dispersão temporal. Trata-se de uma hipótese sem

correspondência prática: num meio material o vector polarização não consegue acompanhar,

de forma instantânea, o campo eléctrico aplicado – além de que na Eq. (0.32) a “memória”

electromagnética é desprezada. Assim, não se pode considerar razoável a escrita da Eq.

(0.32). É disso que trata este capítulo.

11

1. Condutividade Comecemos por mostrar de que forma é que a condutividade de um condutor varia com a

frequência. Para esse efeito vai-se considerar um modelo muito simples para o movimento

dos electrões livres do metal. Designemos por ( )tv a velocidade dos electrões e por 0m a sua

massa em repouso. A força total a que cada electrão está sujeito é então dada pela equação de

Newton

0dmdt

=vF . (1.1)

Esta força tem duas componentes: a componente eléctrica e q= −F E que corresponde à força

de Coulomb em que q (com 0q > ) é a carga do electrão e E o campo eléctrico aplicado; a

componente de atrito ( )0a m tγ= −F v que corresponde a uma força de fricção que se opõe à

velocidade e é caracterizada pela constante 0γ > . Assim, em síntese, tem-se

e a= +F F F (1.2a)

e q= −F E (1.2b)

( )0a m tγ= −F v . (1.2c)

Logo, atendendo à Eq. (1.1), vem

( ) ( )0

d qt tdt m

γ= − −v v E . (1.3)

Introduzindo a corrente de condução do condutor

( )fq Nρ= = −J v v (1.4)

onde fN representa o número de electrões livres no condutor por unidade de volume, a Eq.

(1.3) pode então ser reescrita na forma

12

( ) ( )2

0

fq Nd t tdt m

γ+ =J J E . (1.5)

A constante γ adquire significado físico ao anular-se o campo eléctrico na equação

anterior. Com efeito, a versão homogénea da Eq. (1.5) é dada por

( )d tdt

γ= −J J (1.6)

cuja solução é

( ) ( ) ( )0 expt tγ= −J J . (1.5)

Percebe-se, deste modo, que 1 γ é o tempo característico de amortecimento da velocidade

dos electrões e, consequentemente, da respectiva densidade de corrente. Designemos esse

tempo por 1cτ γ= que corresponde ao tempo característico das colisões. Como na prática se

tem ct τ>> , infere-se que ( )exp 1ct τ− << pelo que se pode desprezar a solução contida na

Eq. (1.5).

Para encontrar a solução forçada da Eq. (1.5) vai-se utilizar a transformada de Fourier.

Consideremos então o par de Fourier

( ) ( ) ( )expt i t dtω ω∞

−∞

= ∫J J (1.6a)

( ) ( ) ( )1 exp2

t i t dω ω ωπ

∞

−∞

= −∫J J (1.6b)

e analogamente para o campo eléctrico. Nestas condições, vem

( ) ( ) ( )2

0

fq Nm i

ω ωγ ω

=−

J E . (1.7)

Mas, por outro lado, de acordo com a lei de Ohm

13

( ) ( ) ( )ω σ ω ω=J E (1.8)

onde ( )σ ω é a condutividade do condutor. Portanto

( ) ( )

2

0

fq Nm i

σ ωγ ω

=−

(1.9)

o que mostra como, no caso geral, a condutividade é um número complexo da forma

iσ σ σ′ ′′= + , em que ( )σ σ′ = ℜ e ( )σ σ′′ = ℑ , tendo-se

( ) ( )σ ω σ ω∗− = . (1.10)

Em regime estacionário define-se ( )0 0σ σ= vindo então (com 1 cγ τ= )

2

00

f cq Nm

τσ = . (1.11)

Deste modo

( ) 0

1 ciσσ ωωτ

=−

(1.12a)

tendo-se

( ) 02 21 c

σσ ωω τ

′ =+

(1.12b)

( ) ( ) 02 21

cc

c

ωτ σσ ω ωτ σ ωω τ

′′ ′= =+

. (1.12c)

Notando que (com cx ωτ= )

14

( ) ( ) 02

0 0

221c

dxd dx

σσ ω ω σ ω ωτ

∞ ∞ ∞

−∞

′= =+∫ ∫ ∫ (1.13)

infere-se (regra da “soma”)

( )2

0

fq Nd

mσ ω ω π

∞

−∞

=∫ (1.14)

uma vez que

20 1 2

dxx

π∞

=+∫ . (1.15)

A Eq. (1.14) pode ser utilizada para a obtenção experimental do valor de fN .

Figura 1 Partes real ( )0 0σ σ σ σ′ = ℜ e imaginária ( )0 0σ σ σ σ′′ = ℑ da condutividade

normalizada (i.e., de 0σ σ ) em função da frequência normalizada cωτΩ = .

15

2. Constante dieléctrica Vai-se agora usar o modelo de Lorentz para descrever de que forma é que a chamada

constante dieléctrica varia com a frequência – no caso simples dos meios serem lineares,

isotrópicos, não magnéticos e sem acoplamento magnetoeléctrico. No caso dos dieléctricos os

electrões não se encontram livres como nos condutores: estão ligados aos respectivos átomos.

Assim, para um material dieléctrico, a Eq. (1.3) não é aplicável: é necessário ter em

consideração que os electrões ligados vão ainda estar sujeitos, tal como uma mola, a uma

força elástica mF de restituição de natureza mecânica tendente a restabelecer o equilíbrio.

Sendo ( )tr a posição do electrão ligado em relação à posição de equilíbrio, deverá ter-se

( )m mk t= −F r (2.1)

onde 0mk > é a constante elástica que se opõe ao movimento.

Ou seja: a Eq. (1.2a) deve ser revista no caso dos electrões ligados no interior de um

dieléctrico, escrevendo-se então

e a m= + +F F F F (2.2)

onde a força eléctrica eF é dada pela Eq. (1.2b), a força de atrito aF pela Eq. (1.2c) e a força

mecânica mF pela Eq. (2.1). Nestas condições a Eq. (1.3) transforma-se em

( ) ( ) ( )20

0

d qt t tdt m

γ ω= − − −v v E r (2.3)

onde se introduziu a nova constante

00

mkm

ω = . (2.4)

Como

16

( ) dtdt

=rv (2.5)

a Eq. (2.3) ainda pode ser escrita na forma

( ) ( )2

202

0

d d qt tdt dt m

γ ω+ + = −r r r E (2.6)

que é a equação diferencial que descreve o movimento dos electrões ligados no dieléctrico. O

deslocamento ( )tr dos electrões ligados em relação à respectiva posição de equilíbrio

provoca, no interior do dieléctrico, o aparecimento de dipolos eléctricos cujo momento

dipolar induzido é

q= −p r . (2.7)

A polarização resultante no dieléctrico é então dada por

bN=P p (2.8)

em que bN é o número de electrões ligados por unidade de volume. Deste modo a Eq. (2.6) é

equivalente a estoutra

( ) ( )22

202

0

bq Nd d t tdt dt m

γ ω+ + =P P P E . (2.9)

A versão homogénea desta última equação é

( )2

202 0d d t

dt dtγ ω+ + =

P P P (2.10)

cuja solução pode ser escrita na forma

17

( ) ( ) ( )0 0cos sin exp2c st t t tγω ω ⎛ ⎞′ ′= + −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

P P P (2.11)

em que

2

20 0 2

γω ω ⎛ ⎞′ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.12)

Em geral despreza-se a solução da equação homogénea uma vez que, na prática, se considera

1t γ>> de maneira que ( )exp 2 1tγ− << .

Para obter a solução forçada da Eq. (2.9) vai-se utilizar a transformada de Fourier.

Assim, introduzindo o par de Fourier

( ) ( ) ( )expt i t dtω ω∞

−∞

= ∫E E (2.13a)

( ) ( ) ( )1 exp2

t i t dω ω ωπ

∞

−∞

= −∫E E (2.13b)

e analogamente para ( ) ( )t ω↔P P , obtém-se da Eq. (2.9)

( ) ( ) ( )2

2 20 0

bq Nm i

ω ωω ω γ ω

=− −

P E . (2.14)

Quando 0γ ω<< as oscilações induzidas pelo campo eléctrico têm uma amplitude muito

grande para 0ω ω= (condição de ressonância). Com efeito

( ) ( )2

0 00 0

bq Nim

ω ωγ ω

=P E (2.15)

de modo que ( )0ω →∞P quando 0γ → .

Definindo a susceptibilidade eléctrica ( )χ ω do dieléctrico tal que

18

( ) ( ) ( )0ω ε χ ω ω=P E (2.16)

infere-se então que

( ) ( )2

2 20 0 0

bq Nm i

χ ωε ω ω γ ω

=− −

. (2.17)

Em regime estacionário vem ( )0 0χ χ= com

2

0 20 0 0

bq Nm

χε ω

= (2.18)

pelo que

( )2

2 20 0 2 2

0

pp i

ωω ω χ χ ω

ω ω γ ω= → =

− − (2.19)

onde 0 0pω ω χ= é a frequência de plasma. Pode demonstrar-se que

( ) ( )2

00

bq Ni dm

ωε χ ω ω π∞

−∞

− =∫ (2.20)

que corresponde a uma nova regra da “soma” à semelhança da Eq. (1.14) para a

condutividade. Saliente-se, porém, que as Eqs. (1.14) e (2.20) fazem parte de um todo: na Eq.

(1.14) considera-se a contribuição dos electrões livres associados à corrente de condução

σ=J Ε , enquanto que na Eq. (2.20) se considera a contribuição dos electrões ligados

associados à corrente de polarização pol t= ∂ ∂J P . No domínio da frequência, a soma destas

duas correntes corresponde a

19

( ) ( ) ( )0it

σ ω ω ε χ ω ω∂+ ↔ −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

PJ E . (2.21)

Assim, a regra da “soma” associada a esta corrente total será, de acordo com as Eqs. (1.14) e

(2.20),

( ) ( ) ( )2

00

f bqi d N Nm

σ ω ωε χ ω ω π∞

−∞

− = +⎡ ⎤⎣ ⎦∫ . (2.22)

A constante dieléctrica (trata-se, como se vê, de um resquício da interpretação original

incorrecta do electromagnetismo pois trata-se de uma função da frequência) define-se então

como segue

( ) ( )1ε ω χ ω= + (2.23)

donde

( )2

2 20

1 p

iω

ε ωω ω γ ω

= +− −

(2.24)

o que mostra como, no caso geral, a constante dieléctrica é um número complexo tal que

( ) 00 1ε χ= + (2.25a)

( ) 1ε ∞ = . (2.25b)

Fazendo ( ) ( ) ( )iε ω ε ω ε ω′ ′′= + , com ( ) ( )ε ω ε ω′ = ℜ⎡ ⎤⎣ ⎦ e ( ) ( )ε ω ε ω′′ = ℑ⎡ ⎤⎣ ⎦ , tem-se

( ) ( )( ) ( )

2 2 20

2 22 20

1 pω ω ωε ω

ω ω γ ω

−′ = +

− + (2.26a)

( )( ) ( )

2

2 22 20

pω γ ωε ω

ω ω γ ω′′ =

− + (2.26b)

20

pelo que ( )ε ω′ é par enquanto que ( )ε ω′′ é ímpar, i.e.,

( ) ( )ε ω ε ω′ ′− = (2.27a)

( ) ( )ε ω ε ω′′ ′′− = − . (2.27b)

Como em geral se tem

0ε= +D E P (2.28)

resulta das Eqs. (2.16) e (2.23) que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1ω ε ω ω ε χ ω ω= + = +⎡ ⎤⎣ ⎦D E P E .

( ) ( ) ( )0ω ε ε ω ω∴ =D E (2.29)

Como se mostra no Apêndice A a Eq. (2.16) corresponde, no domínio do tempo, à

seguinte equação

( ) ( ) ( )0t t dε χ τ τ τ∞

−∞

= −∫P E . (2.30)

Porém, de acordo ainda com o Apêndice B, tem-se ( ) 0χ τ = para 0τ < , que se traduz em

liguagem corrente dizendo que o meio é causal. Assim a Eq. (2.30) escreve-se finalmente na

forma

( ) ( ) ( )00

t t dε χ τ τ τ∞

= −∫P E (2.31)

tal como se tinha afirmado na Introdução.

Definindo as grandezas normalizadas (adimensionais)

21

cω τΩ = (2.32a)

0 0 cω τΩ = (2.32b)

p p cω τΩ = (2.32c)

com 1cτ γ= , é possível escrever ainda as Eqs. (2.26) na forma

( ) ( )( )

2 2 20

22 2 20

1 pεΩ Ω −Ω

′ Ω = +Ω −Ω +Ω

(2.33a)

( )( )

2

22 2 20

pεΩ Ω

′′ Ω =Ω −Ω +Ω

. (2.33b)

Tem-se ( ) 00 1ε χ′ = + , e ( ) 1ε ′ ∞ = enquanto que ( ) ( )0 0ε ε′′ ′′= ∞ = . A parte imaginária

( )ε ′′ Ω regista um máximo em maxΩ = Ω tal que

( ) ( ) 22 2 2 4max 0 0 0

1 12 1 2 1 126 6

Ω = Ω − + Ω − + Ω . (2.34)

Para 0 1Ω >> pode-se considerar pelo que max 0Ω ≈ Ω . Por sua vez, a parte real ( )ε ′ Ω tem

um máximo em 1Ω = Ω com ( )21 0 0 1Ω = Ω Ω − e um mínimo em 2Ω =Ω com

( )22 0 0 1Ω = Ω Ω + , com

( )2

max 10

12 1

pε εΩ

′ ′= Ω = +Ω −

(2.35a)

( )2

min 20

12 1

pε εΩ

′ ′= Ω = −Ω +

. (2.35b)

Note-se que o valor mínimo dado pela Eq. (2.35b) é negativo desde que 20 0 02 1χ Ω > Ω + , i.e.,

desde que

22

0 0 02 1p χΩ = Ω > Ω + .

Figura 2 Partes reais e imaginárias de ( )ε Ω , com cωτΩ = , para duas situações distintas:

(a) quando 0 10Ω = ; (b) quando 0 5Ω = .

23

3. Ondas electromagnéticas planas em meios materiais Consideremos agora a propagação de ondas electromagnéticas planas em meios materiais.

Assim, para o campo eléctrico, vamos considerar

( ) ( )0, expt i tω= ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦E r E k r (3.1)

e analogamente para os restantes campos vectoriais. Nestas condições, tem-se

( ) ( ), ,t i tt

ω∂= −

∂E r E r (3.2a)

( ) ( ), ,xt i k tx∂

=∂

E r E r (3.2b)

( ) ( ), ,yt i k ty∂

=∂

E r E r (3.2c)

( ) ( ), ,zt i k tz∂

=∂

E r E r (3.2d)

uma vez que

x y zk x k y k z⋅ = + +k r . (3.3)

Deste modo, vem

( ) ( ), ,t i t∇⋅ = ⋅E r k E r (3.4a)

( ) ( ), ,t i t∇× = ×E r k E r . (3.4b)

As equações de Maxwell (na sua escrita tradicional)

0 tµ ∂

∇× = −∂HE (3.5a)

0 t tε ∂ ∂

∇× = + +∂ ∂E PH J (3.5b)

24

escrevem-se então na forma mais simples

0ω µ× =k E H (3.6a)

0i ω ε ω× = − − −k H J E P . (3.6b)

Da Eq. (3.6a) vem

( ) ( )0ω µ× × = ×k k E k H (3.7)

ou, atendendo à Eq. (3.6b),

( ) 2 20 0 0i kω µ ω µ× × = − − −k k E J E P (3.8)

onde se fez

0 0 02k

cω πω ε µ

λ= = = . (3.9)

Porém

( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅k k E k E k k k E (3.10)

pelo que, para regiões sem fontes do campo,

0⋅ =k E (3.11)

e, consequentemente,

( ) 2k× × = −k k E E (3.12)

onde 2k = ⋅k k . Logo, das Eqs. (3.8) e (3.12), tira-se que

25

2 2 20 0 0k i kω µ ω µ= + +E J E P . (3.13)

Num condutor tem-se

σ=J E (3.14a)

0 bε χ=P E (3.14b)

onde σ é a condutividade e bχ é a susceptibilidade eléctrica resultante dos electrões ligados.

Portanto, da Eq. (3.13) tira-se que

( )2 20 01 bk k iχ ω µ σ= + + (3.15)

válida para um condutor e onde 0bχ = quando se despreza a contribuição dos respectivos

electrões ligados.

Introduzindo o índice de refracção complexo

( ) ( ), ,n n i n n n n nκ′ ′′ ′ ′′= + = ℜ = = ℑ (3.16)

em que n′ é o índice de refracção (propriamente dito) e n κ′′ = o coeficiente de extinção, tal

que

0 0 2k n k n k iα′= = + (3.17)

e onde

042 k π κα κλ

= = (3.18)

é o coeficiente de atenuação (de potência), resulta então da Eq. (3.1) que

26

( ) ( )0 0, exp exp2

z t z i n k z tα ω⎛ ⎞ ′= − −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠E E (3.19)

para ondas propagando-se ao longo do eixo z (i.e., com ˆk=k z ). De acordo com a Eq. (3.19)

a velocidade de fase é então dada por

0

pcv

n k nω

= =′ ′

. (3.20)

Esta equação permite estabelecer o significado físico do índice de refracção (propriamente

dito): o índice de refracção n é a relação entre a velocidade da luz no vácuo ( c ) e a

velocidade de fase no meio material considerado ( pv ).

No caso de um condutor tira-se da Eq. (3.15) que

2

0

1 bn i σχωε

= + + . (3.21)

Quando se despreza a contribuição dos electrões ligados faz-se 0bχ = e das Eqs. (1.9) e

(3.21) obtém-se

( )

22

0 0

1 fq Nn i

m iωε γ ω= +

− (3.22)

ou ainda

( ) ( )

2 22 1 1

1p p c

c

n i ii i

ω ω τω γ ω ω ωτ

= + = +− −

( )

22 1

1c p

p p c

n iωτω τ

Ω = Ω⎧∴ = +⎨Ω = Ω −Ω⎩

(3.23)

onde se introduziu a frequência de plasma pω tal que

27

2

2

0 0

fp

q Nm

ωε

= . (3.24)

Em fotónica é razoável considerar ω γ>> , donde se infere que a equação de dispersão para

um condutor é

2

2 1 pnωω

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.25)

que se identifica com a equação de dispersão de um plasma frio sem colisões. Assim, para um

condutor no domínio óptico, vem

( ) ( )2

2 2 2 20 01 pk n k k

ωω ω

ω

⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (3.26)

• Quando pω ω< , é ( )2 0n ω < e ( )2 0k ω < , pelo que a onda é evanescente.

• Quando pω ω> , é ( )2 0n ω > e ( )2 0k ω > , pelo que que há propagação.

Além disso, como na prática se tem sempre pω ω< para o domínio óptico, o condutor

comporta-se como um material com uma constante dieléctrica negativa

( ) ( )2 0nε ω ω= < (3.27)

pelo que as ondas são evanescentes, i.e., não se conseguem propagar através do condutor.

Na Tabela I apresentam-se alguns valores do índice de refracção n bem como do

coeficiente de extinção κ para alguns metais em três comprimentos de onda: 0.5 mλ µ= ,

1.0 mλ µ= e 10.0 mλ µ= .

28

Figura 3 Partes real e imaginária do índice de refracção n n i n′ ′′= + de um condutor em

função de 2 2pX ω ω= para 2 2 21 0.1p pa γ ω= = Ω = .

No caso de um material dieléctrico tem-se

fσ=J E (3.28a)

0ε χ=P E (3.28b)

em vez das Eqs. (3.14) em que fσ representa a condutividade devida aos electrões livres e

onde χ representa a susceptibilidade eléctrica resultante da contribuição dos electrões

ligados.

29

TABELA I – Alguns valores de n n iκ′= + para três valores do comprimento de onda de

alguns metais.

Metal n n iκ= + 0.5 mλ µ= 1.0 mλ µ= 10.0 mλ µ=

n′ 0.667 1.991 26 Alumínio

κ 5.573 9.3 67.3

n′ 0.88 0.197 10.52 Cobre

κ 2.42 6.272 59.29

n′ 0.84 0.179 11.5 Ouro

κ 1.84 6.044 67.5

n′ 0.05 0.25 10.8 Prata

κ 2.87 6.81 60.7

Doravante desprezam-se as perdas dieléctricas (i.e., a contribuição dos electrões livres do

dieléctrico) pelo que se considera 0fσ = . Assim, da Eq. (3.13) obtém-se a equação de

dispersão para um dieléctrico

( )2 20 1k k χ= + (3.29)

ou, de acordo com a Eqs. (2.23) e (2.24),

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 20 0 02 2

0

1 pk k n k ki

ωω ε ω ω

ω ω γ ω⎡ ⎤

= = = +⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.30)

onde a susceptibilidade estacionária 0χ se encontra definida na Eq. (2.18). Assim, para um

material dieléctrico, o índice de refracção complexo é dado por

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 202

2 22 22 2 2 20 0

1 p pn iω ω ω ω γ ω

ω ω γ ω ω ω γ ω

−= + +

− + − +. (3.31)

30

Figura 4 Partes reais e imaginárias do índice de refracção n n i n′ ′′= + de um dieléctrico em

função da frequência normalizada cωτΩ = para: (i) 0 10Ω = ; (ii) 0 5Ω = .

31

Note-se que se tem

( )200 1n ω χ= = + (3.32a)

( )2

20

0

1 pn iω

ω ωγω

= = + (3.32b)

2lim 1nω→∞

= . (3.32c)

Da Eq. (3.31) infere-se que

( )2

2 2 2 00 01n i ωχ ω ω γ ω ⎛ ⎞⎡ ⎤= + − + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∆⎝ ⎠

(3.33)

onde se introduziu

( ) ( ) ( )2 22 20ω ω ω γ ω∆ = ∆ = − + . (3.34)

No domínio óptico pode-se aplicar a aproximação

1 12xx+ ≈ + , 1x << (3.35)

à Eq. (3.30) de maneira que, em fotónica, se pode escrever

( )

2

2 20

12

pni

ωω ω γ ω

= +− −

. (3.36)

Daqui resulta que

( )2 2 2

0 0 012

nχ ω ω ω− ⎛ ⎞′ = + ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(3.37a)

32

2

0 0

2χ γ ω ωκ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(3.37b)

onde ( )ω∆ = ∆ foi definido na Eq. (3.34).

A variação do índice de refracção complexo com a frequência é particulamente

importante para frequências em que 0ω ω≈ . Com efeito, para estas frequências, tem-se

( )2 20 0 02ω ω ω ω ω− ≈ − (3.38)

pelo que as Eqs. (3.37) se podem escrever

( )( ) ( )

20 0 0

2 20 0

114 2

nχ ω ω ω

ω ω ω γ

−′ − =

− + (3.39a)

( ) ( )

0 02 2

0

18 2

χ γ ωκω ω γ

=− +

(3.39b)

na vizinhança da frequência de ressonância 0ω . Introduzindo o chamado perfil lorentziano

( ) ( )( ) ( )

2

2 20

2,

2γ

ω γω ω γ

=− +

L (3.40)

é ainda possível reescrever as Eqs. (3.39) como segue

( ) ( )0 0 021 ,n

χ ω ω ωω γ

γ−

′ − = L (3.41a)

( )0 0 ,2χ ωκ ω γγ

= L . (3.41b)

As Eqs. (3.41) revelam o seguinte: quando se está perto da ressonância 0ω , ( )κ κ ω= é uma

função par enquanto que ( ) 1n ω′ − é uma função ímpar em torno de 0ω ω= . Note-se ainda

que em torno de 0ω , 1n′ > para 0ω ω< e 1n′ < para 0ω ω> , tendo-se 1n′ = para 0ω ω= . A

33

função ( )n ω′ dada pela Eq. (3.41a) atinge um máximo ( )2max 0 01 4n χ ω γ′ = + em

max 0 2ω ω γ= − e um mínimo ( )2min 0 01 4n χ ω γ′ = − em min 0 2ω ω γ= + . Para maxω ω< e

minω ω> a função ( )n ω′ é crescente – correspondente à chamada zona de dispersão normal.

Para max minω ω ω< < a função ( )n ω′ é decrescente – correspondente à chamada zona de

dispersão anómala.

34

Apêndice A Neste apêndice vai-se provar como da Eq. (2.16), escrita no domínio da frequência, se infere

a Eq. (2.30) escrita no domínio do tempo.

Comecemos por escrever aqui a Eq. (2.16):

( ) ( ) ( )0ω ε χ ω ω=P E . (A.1)

Como se tem

( ) ( ) ( )exp i dχ ω χ τ ωτ τ∞

−∞

= ∫ (A.2)

resulta da Eq. (A.1) que

( ) ( ) ( ) ( )0 exp i dω ε χ τ ωτ τ ω∞

−∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫P E . (A.3)

Mas, por outro lado,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp expi i t i t dt t i t dtω ωτ ωτ ω τ ω∞ ∞

−∞ −∞

′ ′ ′= = −∫ ∫E E E (A.4)

pelo que a Eq. (A.3) ainda pode ser escrita como segue

( ) ( ) ( ) ( )0 expt i t dt dω ε χ τ τ ω τ∞ ∞

−∞ −∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫P E (A.5)

ou seja

( ) ( ) ( ) ( )0 expt d i t dtω ε χ τ τ τ ω∞ ∞

−∞ −∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫P E . (A.6)

35

Logo como

( ) ( ) ( )expt i t dtω ω∞

−∞

= ∫P P (A.7)

tira-se da Eq. (A.6) que

( ) ( ) ( )0t t dε χ τ τ τ∞

−∞

= −∫P E (A.8)

que é precisamente a Eq. (2.30) – tal como se pretendia demonstrar.

Em geral tem de se considerar toda a história passada do meio, pelo que a forma correcta de

relacionar a resposta do meio com a excitação será

( ) ( ) ( )0 ,t

t t t t dtε χ−∞

′ ′ ′= ∫P E . (A.9)

Para meios invariantes no tempo, porém, é sempre possível escrever

( ) ( ),t t t tχ χ′ ′= − (A.10)

de modo que

( ) ( ) ( )0

t

t t t t dtε χ−∞

′ ′ ′= −∫P E . (A.11)

Então, introduzindo a nova variável

t tτ ′= − (A.12)

36

vem

( ) ( ) ( )00

t t dε χ τ τ τ∞

= −∫P E . (A.13)

Como se deve ter ( ) 0t tχ ′− = para porque o meio é causal (Apêndice B), infere-se

então que ( ) 0χ τ = para 0τ < . Daí que a Eq. (A.13) ainda se possa escrever na forma

( ) ( ) ( )0t t dε χ τ τ τ∞

−∞

= −∫P E (A.14)

que é, como é sabido, uma convolução.

No domínio do tempo, tem-se

( ) ( ) ( )0t t tε= +D E P . (A.15)

Como, por outro lado,

( ) ( ) ( )t t dδ τ τ τ∞

−∞

= −∫E E (A.16)

infere-se das Eqs. (A.14)-(A.16) que

( ) ( ) ( )0t f t dε τ τ τ∞

−∞

= −∫D E (A.17)

desde que se defina a função (generalizada)

( ) ( ) ( )f τ δ τ χ τ= + . (A.18)

A convolução expressa através da Eq. (A.17) pode ser escrita na forma simbólica

37

( ) ( )( )0t f tε= ∗D E (A.18)

em que

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t d f t dτ τ τ τ τ τ∞ ∞

−∞ −∞

∗ = − = −∫ ∫E E E . (A.19)

A Eq. (A.17) é a versão temporal da relação constitutiva do meio para ( )=D D E .

38

Apêndice B

Pretende-se mostrar, neste apêndice, que se tem ( ) 0χ τ = para 0τ < , i.e., a causalidade do

meio. Assim, da Eq. (2.30) segue-se, efectivamente, a Eq. (2.31).

Comecemos por notar que, de acordo com a Eq. (2.19), se tem

( )20 0

2 20 iω χχ ω

ω ω γ ω=

− −. (B.1)

Deste modo, vem

( ) ( ) ( ) ( )20 0

2 20

exp1 exp2 2

ii d d

iωτω χχ τ χ ω ωτ ω ω

π π ω ω γ ω

∞ ∞

−∞ −∞

−= − =

− −∫ ∫ . (B.2)

Consideremos, agora, o integral complexo na Eq. (B.2). A respectiva função

integranda tem dois pólos correspondentes às raízes de

2 20 0iω ω γ ω− − = . (B.3)

Assim, no plano complexo iω ω ω′ ′′= + , em que ( )ω ω′ = ℜ e ( )ω ω′′ = ℑ , esses dois pólos

são dados por

2

202 2

i γ γω ω ⎛ ⎞= − ± − ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (B.4)

Estes dois pólos localizam-se no semi-plano inferior (i.e., em 0ω′′ < ) uma vez que 0γ > .

Infere-se, portanto, que a função integranda na Eq. (B.2) é analítica no semi-plano superior

bem como sobre o eixo real (i.e., para 0ω′′ ≥ ).

Para o cálculo do integral na Eq. (B.2) consideremos então um contorno de integração

no plano complexo iω ω ω′ ′′= + entre R− e R+ e que se fecha com o semi-círculo sobre o

semi-plano superior de raio R centrado na origem (no sentido directo – contrário ao sentido

dos ponteiros do relógio). Designando este contorno fechado por Γ , tem-se pelo teorema de

Cauchy

39

( ) ( )exp exp02 2

0

id

i

ω τ ω τω

ω ω γ ωΓ

′ ′′−=

− −∫ . (B.5)

Então, desde que

( )lim exp 0R

ω τ→∞

′′ = (B.6)

o integral na Eq. (B.2) é nulo. Com efeito, no semi-plano superior em que 0ω′′ > , o limite na

Eq. (B.6) está correcto desde que se considere 0τ < . Daqui se conclui que, de acordo com a

Eq. (B.2),

( ) 0, 0χ τ τ= < (B.7)

o que mostra que, efectivamente, o meio é causal.

40

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