Κεφαλαιο“ 3users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/03.pdf · 2011. 10. 17. · Κεφαλαιο“ 3 Συν“αρτηση Lagrange “Αυτ“ο που πραγµατικ

Κεφαλαιο 3

Συναρτηση Lagrange

“Αυτο που πραγµατικα µε ενδιαφερει ειναιτο αν ο Θεο ειχε τη δυνατοτητα επιλογη

κατα τη δηµιουργια του κοσµου”Albert Einstein

3.1 Η Λαγκρανζιανη και το φυσικο τη

περιεχοµενο

Στο πρ£ωτο κεφαλαιο δειξαµε οτι ο δυναµικο νοµο του Νευτωνα ει-ναι ισοδυναµο µε την απαιτηση η δρασηω το ολοκληρωµα τηΛαγκραν-ζιανη στο χρονο να καθισταται στασιµη. Το γεγονο αυτο µα δινει τηδυνατοτητα να αναγαγουµε το προ1ληµα τη διερευνηση τη εξελιξηενο µηχανικου συστηµατο στην κατασκευη τη λαγκρανζιανη συναρ-τηση του συστηµατο η οποια και εµπεριεχει ολη τη “φυσικη” του προ-1ληµατο. Η λαγκρανζιανη συναρτηση (η συναρτηση Lagrange) περιεχει Η φυσικη κρυµµενη

µεσα στη συναρτηση

Lagrange

κατι περισσοτερο· µεσα σε αυτην κρυ1ονται ολε οι συµµετριε του συ-στηµατο και απο αυτε τι συµµετριε, οπω θα δουµε στο Κεφαλαιο 5,µπορουµε ευκολα να κατασκευασουµε τι διατηρουµενε ποσοτητε, οιοποιε θα µα διευκολυνουν στην επιλυση των εξισ£ωσεων κινηση του προ-1ληµατο.Εχουµε µαθει εω τ£ωρα οτι η καταλληλη επιλογη για τη λαγκρανζι-

ανη συναρτηση ενο µηχανικου συστηµατο ειναι η διαφορα µεταξυ τηκινητικη και τη δυναµικη ενεργεια του συστηµατο. Στο κεφαλαιοαυτο θα προσπαθησουµε να καταλα1ουµε το λογο για τον οποιο η Λα-γκρανζιανη εχει αυτη τη µορφη. Στη συνεχεια θα δουµε οτι η λαγκραν-ζιανη περιγραφη ειναι, εν γενει, ακαταλληλη για συστηµατα µε αναλωσηστα οποια εµφανιζονται µη συντηρητικε δυναµει. Θα εξηγησουµε, οµω,οτι αυτο δεν αποτελει ουσιαστικο προ1ληµα, αφου σε θεµελι£ωδε επιπεδοολε οι δυναµει στη φυση ειναι συντηρητικε. Τελο, θα κλεισουµε αυτοτο κεφαλαιο γραφοντα τη λαγκρανζιανη συναρτηση που διεπει τη κι-νηση σωµατιδιων στο ηλεκτροµαγνητικο πεδιο και θαπροσδιορισουµε τηνκανονικη ορµη των σωµατιδιων σε αυτη την περιπτωση.Θα αρχισουµε µελετ£ωντα µερικε βασικε ιδιοτητε τη λαγκρανζια-

59

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ LAGRANGE

νη συναρτηση καθ£ω και του µετασχηµατισµου αυτη, οι οποιοι δεναλλοι£ωνουν την περιγραφη του µηχανικου συστηµατο.•Αν πολλαπλασιασουµε τη λαγκρανζιανη συναρτηση L ενο συστηµατοΤο µετρο τη

Λαγκρανζιανη

στερειται φυσικου

περιεχοµενου

µε εναν αριθµο λ, η νεα Λαγκρανζιανη λL που θα προκυψει θα περιγρα-φει και παλι το ιδιο φυσικο συστηµα. Ειναι ευκολο να διαπιστ£ωσει κανειοτι οι εξισ£ωσει κινηση θα ειναι οι ιδιε, αφου οι εξισ£ωσει Euler - La-grange ειναι οµογενει διαφορικε εξισ£ωσει παραγ£ωγων τη Λαγκραν-ζιανη. Εξαλλου, πολλαπλασιαζοντα τη Λαγκρανζιανη µε εναν αριθµο,πολλαπλασιαζουµε και τη δραση µε τον ιδιο αριθµο διχω να µετα1αλ-λουµε τη “θεση” του στασιµου αυτη : Η διαδροµη που καθιστα την αρ-χικη δραση στασιµη καθιστα στασιµη και τη νεα δραση, οπω ακρι1£ω ταιδια σηµεια αποτελουν ακροτατα και τη συναρτηση f(x) και τη λf(x).•ΗΛαγκρανζιανη ενο συστηµατο σωµατιδιων, που δεν αλληλεπιδρουν,Αν µια Λαγκρανζιανη

µπορει να διαχωριστει

σε δυο ανεξαρτητε,

το φυσικο προ1ληµα

“σπαει” σε δυο

απλουστερα

προ1ληµατα

ειναι απλ£ω το αθροισµα των επι µερου Λαγκρανζιαν£ων του καθε σωµα-τιδιου. Η ιδιοτητα αυτη µα επιτρεπει να εκφρασουµε τη Λαγκρανζιανηενο συνθετου συστηµατο που αποτελειται απο υποσυστηµατα που δεναλληλεπιδρουν µεταξυ του ω το αθροισµα των Λαγκρανζιαν£ων των επιµερου συστηµατων. Η λαγκρανζιανη συναρτηση, για παραδειγµα, πουδιεπει την κινηση N µη αλληλεπιδρ£ωντων ελευθερων σωµατιδιων, εκα-στου µαζα mi, ειναι

L =N∑

i=1

1

2mi|~xi|

2 . (3.1)

Πολλε φορε ενα τετοιο διαχωρισµο τη Λαγκρανζιανη δεν ει-ναι προφανη. Οταν υπαρχει καποιο µετασχηµατισµο των συντεταγ-µενων τετοιο £ωστε να µπορει η Λαγκρανζιανη να γραφει ω αθροισµαανεξαρτητων Λαγκρανζιαν£ων, τοτε αποκαλυπτεται η απλουστερη δοµητου συστηµατο. Θα δουµε αργοτερα, στο Κεφαλαιο 8, οτι αυτη η ιδιο-τητα µα δινει τη δυνατοτητα να αναλυσουµε ενα οσοδηποτε πολυπλοκοµηχανικο συστηµα, το οποιο βρισκεται κοντα σε καποια κατασταση ευ-σταθου ισορροπια, ω ενα συνολο πολλ£ων ανεξαρτητων µονοδιαστα-των αρµονικ£ων ταλαντωτ£ων.Α εξετασουµε ενα παραδειγµα τετοιου µη προφανου διαχωρισµου

µια Λαγκρανζιανη σε δυο επι µερου ανεξαρτητε Λαγκρανζιανε. ∆υοσωµατιδια µαζαm1 καιm2 κινουνται σε µια διασταση υπο την επιδρασηαµοι1αια αλληλεπιδραση που περιγραφεται απο το δυναµικο V (|x1 −x2|). To δυναµικο αυτο λεγεται δυναµικο νευτ£ωνειου τυπου, διοτι αποενατετοιο δυναµικο πηγαζουν δυναµει αλληλεπιδραση των σωµατιδιων, οιοποιε ειναι ισε και αντιθετε µεταξυ του και εποµενω ειναι συµφωνεµε τον τριτο νοµο του Νευτωνα. Ειναι ευκολο να γραψει κανει τη Λα-γκρανζιανη του συστηµατο των δυο σωµατιδιων ω εξη :

L =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 − V (|x1 − x2|) . (3.2)

Στι φυσικε συντεταγµενε x1, x2 ηΛαγκρανζιανη δεν ειναι διαχωρισιµη,αφου το δυναµικο αλληλοεµπλεκει και τι δυο συντεταγµενε. Αν, οµω,

3.1. Η ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΚΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 61

για την περιγραφη του συστηµατο χρησιµοποιουσαµε ω συντεταγµενετη θεση του κεντρου µαζα Ο διαχωρισµο

επιτυγχανεται σε

νεε συντεταγµενε,

πολλε φορε οχι

τοσο προφανει

XKM ≡m1x1 +m2x2

m1 +m2

και τη σχετικη θεση των σωµατιδιων

x ≡ x1 − x2 ,

θα διαπιστ£ωναµε µε απλη αντικατασταση οτι η Λαγκρανζιανη θα λαµ-1ανε τη διαχωρισιµη µορφη

L =

[

1

2MX2

KM

]

+

[

1

2µx2 − V (|x|)

]

, (3.3)

οπουM = m1 +m2

ειναι η ολικη µαζα καιµ =

m1m2

M

ειναι η ανηγµενη µαζα του συστηµατο. Την τελευταια αυτη µορφη τηναναµεναµε, αφου ηδη γνωριζουµε π£ω κινειται ενα συστηµα δυο σωµατι-διων που αλληλεπιδρουν µε δυναµει νευτ£ωνειου τυπου. Το συστηµα θακινηθει ολο µαζι συµπεριφεροµενο ω ενα ελευθερο σ£ωµα, το οποιο βρι-σκεται στο κεντρο µαζα του συστηµατο και εχει µαζα ιση µε την ολικηµαζα του συστηµατο (πρ£ωτο ορο τη Λαγκρανζιανη). Συγχρονω, ησχετικη κινηση των δυο σωµατιδιων θα ειναι αυτη ενο σ£ωµατο µαζαιση µε την ανηγµενη µαζα του συστηµατο, η οποια κινειται στο δυνα-µικο αλληλεπιδραση που τ£ωρα φαινεται να προερχεται απο καποια εξω-τερικη πηγη (τελευταιοι δυο οροι τη Λαγκρανζιανη). Η νεα αυτη µορφητη Λαγκρανζιανη µα επιτρεπει να διαπιστ£ωσουµε οτι οι εξισ£ωσει Eu-ler - Lagrange του συστηµατο καταληγουν στην οµαλη κινηση του κε-ντρου µαζα και στη σχετικη κινηση τη ανηγµενη µαζα στο δυναµικοαλληλεπιδραση.• Μια αλλη ιδιοτητα τη λαγκρανζιανη συναρτηση ειναι η ακολουθη :αν στη λαγκρανζιανη συναρτηση ενο συστηµατο προσθεσουµε µια αλ- Μετασχηµατισµο

βαθµονοµησηλη συναρτηση, η οποια αποτελει τελεια χρονικη παραγωγο καποια συ-ναρτηση των θεσεων και του χρονου,

L(q, q, t) = L(q, q, t) +df(q, t)

dt, (3.4)

η νεα Λαγκρανζιανη L που προκυπτει περιγραφει και παλι το ιδιο µηχα-νικο συστηµα.1 Μπορουµε να επι1ε1αι£ωσουµε οτι η παραπανω προτασηισχυει αν υπολογισουµε προσεκτικα τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange πουπροκυπτουν απο τη νεα Λαγκρανζιανη και καταληξουµε στι αντιστοιχε

1Το συµ1ολο q παριστανει γενικα ενα συνολο συντεταγµενων q1, q2, . . . και αντι-στοιχα το q συµ1ολιζει τη χρονικη παραγωγο ολων αυτ£ων των συντεταγµενων.


εξισ£ωσει τη αρχικηΛαγκρανζιανη (βλ.Προ1ληµα 1). Οαπλουστερο,ωστοσο, τροπο να αποδειξουµε οτι ο παραπανω µετασχηµατισµο αφη-νει αναλλοιωτε τι εξισ£ωσει κινηση και να κατανοησουµε το βαθυτερονοηµα αυτου του µετασχηµατισµου ειναι να υπολογισουµε τη δραση στηνοποια οδηγει η νεα Λαγκρανζιανη,

S =

∫ tB

tA

L dt

=

∫ tB

tA

L dt+ f(q, t)|tBtA

= S + f(q(tB), tB) − f(q(tA), tA) . (3.5)

Οι τελευταιοι δυο οροι τη παραπανω παρασταση ειναι καποιοι καθορι-σµενοι αριθµοι, αφου το αρχικο και το τελικο σηµειο τη διαδροµη κατατην εφαρµογη τη αρχη ελαχιστη δραση θεωρουνται δεδοµενα. Επο-µενω, η ευρεση ακροτατου τη S δεν εξαρταται απο τη συναρτηση f · τοακροτατο τη S ειναι το ιδιο µε το ακροτατο τη S και η φυσικη τροχιαπου προκυπτει απο τηΛαγκρανζιανη L ειναι ιδια µε τηφυσικη τροχια πουπροκυπτει απο την L.Οµετασχηµατισµο αυτο, ο οποιο αποτελει συµµετρια τηΛαγκραν-

ζιανη, αφου αφηνει αναλλοιωτε τι εξισ£ωσειEuler -Lagrange, ονοµαζε-ται gauge transformation. Στα ελληνικαεχει αποδοθει µε τον ορο µετασχη-µατισµο βαθµιδα. Ισω, οµω, πιο σωστα θαεπρεπε να ονοµαζεται µε-τασχηµατισµο βαθµονοµηση. Ουσιαστικα µε αυτον το µετασχηµατισµοΤι ανα1αθµονοµειται;

ειναι σαν να ανα1αθµονοµει –εξ ου και ο προτεινοµενο ορο– κανει τηντιµη τη δραση κατα µηκο του αξονα του χρονου ανεξαρτητω τη δια-δροµη που ακολουθει το συστηµα, µε τον ιδιο τροπο που θα µπορουσενα ανα1αθµονοµησει κανει το οργανο ελεγχου τη σταθµη τη βενζινηενο αυτοκινητου· ο οδηγο του αυτοκινητου θα συνηθιζε τι ανα1αθµο-νοµηµενε ενδειξει του οργανου και θα γν£ωριζε, παλι, ποτε τελει£ωνει ηβενζινη. Μετασχηµατισµου βαθµονοµηση συναντα κανει πολυ συχναστη φυσικη, οταν υπαρχει καποια ελευθερια στον καθορισµο ενο µεγε-θου διχω να διαφοροποιειται το φυσικο περιεχοµενο του προ1ληµατο.Παραδειγµα τετοιου µετασχηµατισµου που εχουµε ηδη συναντησει ειναιη αυθαιρετη επιλογη του σηµειου οπου θεωρει κανει οτι η δυναµικη ενερ-γεια µηδενιζεται. Στην περιπτωση αυτη, οµω, αυτο που εχει σηµασια ει-ναι ο τροπο µε τον οποιο µετα1αλλεται η ιδια η δυναµικη ενεργεια καιοχι η απολυτη τιµη τη.

3.2 Κατασκευη τη Λαγκρανζιανη βασει

συµµετρι£ων

Η βαθυτερη προελευση τη λαγκρανζιανη συναρτηση θα αποκαλυ-φθει στη συνεχεια, οταν κατασκευασουµε τη λαγκρανζιανη συναρτησητου ελευθερου σωµατιδιου στηριζοµενοι αποκλειστικα στι συµµετριετου χ£ωρου και του χρονου και στο παρατηρησιακο δεδοµενο οτι µονο η

3.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗΣ ΒΑΣΕΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ 63

αρχικη θεση και η ταχυτητα του φυσικου συστηµατο αρκουν για να πε-ριγραφει πληρω η εξελιξη του συστηµατο. Το τελευταιο αυτο δεδοµενοενσωµατ£ωνεται αµεσα στη µορφη τη Λαγκρανζιανη, οταν θεωρουµε οτιαυτη ειναι συναρτηση µονο των θεσεων και των ταχυτητων και οχι αν£ω-τερων χρονικ£ων παραγ£ωγων. Α ξεκινησουµε, λοιπον, µε καποια γενικηλαγκρανζιανη συναρτηση για το ελευθερο σωµατιδιο που εχει την ακο-λουθη µορφη :

L = L(~x, ~x, t) .

Λογω τη οµογενεια του χρονου, που απαιτει να εχουν οι νοµοι τη φυ- Οι συµµετριε του

Συµπαντο

αντικατοπτριζονται

στη Λαγκρανζιανη

του ελευθερου

σωµατιδιου

ση την ιδια µορφη σε καθε χρονικη στιγµη, δεν ειναι δυνατον η Λαγκραν-ζιανη του σωµατιδιου να εξαρταται απο το χρονο. Οποιαδηποτε χρονικηστιγµη η Λαγκρανζιανη πρεπει να ειναι η ιδια, αφου ολε οι χρονικε στιγ-µε ειναι ισοδυναµε. Εποµενω, η οµογενεια του χρονου µα οδηγει στηναπλουστερη Λαγκρανζιανη

L = L(

~x, ~x)

.

Αντιστοιχω, λογω τη οµογενεια του χ£ωρου, που απαιτει να ειναι ιδιοιοι φυσικοι νοµοι σε καθε σηµειο του χ£ωρου, η Λαγκρανζιανη δεν ειναιδυνατον να εξαρταται ουτε απο τη θεση του σωµατιδιου. Το ελευθεροσωµατιδιο, οπου και αν βρισκεται, πρεπει να περιγραφεται απο την ιδιαλαγκρανζιανη συναρτηση, αφου καθε σηµειο του χ£ωρου ειναι ισοδυναµο.Εποµενω, η µορφη τη Λαγκρανζιανη πρεπει να ειναι ακοµη πιο απλη

L = L(

~x)

.

Τελο, η ισοτροπια του χ£ωρου, δηλαδη η ανεξαρτησια τη περιγραφητου σωµατιδιου απο την κατευθυνση τη κινηση του, οποια και αν ει-ναι αυτη, αφου ολε οι κατευθυνσει του χ£ωρου θεωρουνται ισοδυναµε,2

επι1αλλει η λαγκρανζιανη συναρτηση του ελευθερου σωµατιδιου να ειναισυναρτηση µονο του µετρου τη ταχυτητα

L = L(

|~x|)

.

Ειναι ενδιαφερον οτι οι τρει βασικε και προφανει συµµετριε του Συ-µπαντο (η ισοτροπια του χ£ωρου, η οµογενεια του χ£ωρου και του χρονου)δεν ειναι αρκετε για τον προσδιορισµο τη Λαγκρανζιανη ενο ελευθε-ρου σωµατιδιου, η οποια κρυ1ει και ολη τη δυναµικη του σωµατιδιου. Ηανακαλυψη, ωστοσο, µια νεα συµµετρια απο τον Γαλιλαιο ηταν κα-θοριστικη σηµασια για τον προσδιορισµο τη δυναµικη του ελευθερουσωµατιδιου.Η γαλιλαικη συµµετρια, δηλαδη η συµµετρια περιγραφη του συστη-

µατο σε διαφορετικα αδρανειακα συστηµατα, απαιτει να µην αλλαζει το

2Φαινεται ισω περιεργο που αναφερουµε για το χ£ωρο τα χαρακτηριστικα και τηοµογενεια και τη ισοτροπια, εν£ω για το χρονο µονο αυτο τη οµογενεια. Ο λογοειναι οτι ο χρονο ειναι µονοδιαστατο, οποτε η εννοια τη ισοτροπια του χρονου ση-µαινει απλ£ω οτι ο χρονο θα µπορουσε να ρεει στα µηχανικα συστηµατα ειτε προ τοµελλον ειτε προ το παρελθον χωρι καµια διαφορα.


φυσικο περιεχοµενο τη Λαγκρανζιανη, οταν η κινηση του σωµατιδιουπεριγραφεται απο καποιο αλλο αδρανειακο συστηµα αναφορα. Ετσι,ο µετασχηµατισµο

~x→ ~x ′ = ~x− ~V t ,

οπου ~V ειναι η σταθερη σχετικη ταχυτητα κινηση των δυο αδρανειακ£ωνσυστηµατων –του καινουργιου ω προ το αρχικο– δεν µπορει να επιφε-ρει τιποτε περισσοτερο απο ενα µετασχηµατισµο βαθµονοµηση στη Λα-γκρανζιανη, ο οποιο, οπω εχουµε αναφερει, δεν αλλαζει το φυσικο πε-ριεχοµενο τη Λαγκρανζιανη αφου οδηγει σε ιδιε εξισ£ωσει κινηση. Τοαποτελεσµα δηλαδη του γαλιλαικου µετασχηµατισµου στη Λαγκρανζι-ανη πρεπει να ειναι3

L(

|~x ′|2)

= L(

|~x|2)

+df(~x, t)

dt. (3.6)

Οµω,Η γαλιλαικη

συµµετρια κρυ1εται

µεσα σε ενα

µετασχηµατισµο

βαθµονοµηση

L(

|~x ′|2)

= L(

|~x− ~V |2)

= L(

~x · ~x+ ~V · ~V − 2~V · ~x)

.

Παρατηρουµε οτι, επειδη το ~V ειναι σταθερο διανυσµα, οι δυο τελευταιοιοροι στο ορισµα τη συναρτηση αποτελουν µια τελεια χρονικηπαραγωγο,αφου

~V · ~V − 2~V · ~x =d

dt

(

~V · ~V t− 2~V · ~x)

. (3.7)

Εποµενω, αναζητουµε µια συναρτηση L(|~u|2) για την οποια να ισχυει

L

(

|~u|2 +dg

dt

)

= L(|~u|2) +df

dt,

οπου g µια δεδοµενη συναρτηση –η συναρτηση εντο τη παρενθεση στησχεση (3.7)– και f µια οποιαδηποτε συναρτηση των ~x και t. Φαινεται αµε-σω οτι µια τετοια καταλληλη συναρτηση ειναι η γραµµικη συναρτηση

L(|~u|2) = a|~u|2 + b .

Ειναι διαισθητικα προφανε οτι δεν ειναι δυνατον καποια αλλη συναρ-τηση εκτο απο τη γραµµικη να ικανοποιει τη ζητουµενη συνθηκη, αφουοποιαδηποτε µη γραµµικοτητα τη συναρτηση θα ειχε ω αποτελεσµανα εµφανιστει το τετραγωνο τη dg/dt, το οποιο δεν αποτελει τελεια χρο-νικη παραγωγο. Βασιζοµενοι σε αυτη την παρατηρηση, ειµαστε σε θεσηΜονο η γραµµικη

συναρτηση ικανοποιει

τι απαιτησει µα

να αποδειξουµε αυστηροτερα οτι η γραµµικη συναρτηση ειναι η µοναδικηπου µπορουµε να κατασκευασουµε µε την παραπανω ιδιοτητα. Α θεω-ρησουµε οτι η συναρτηση g ειναι καταλληλω µικρη· αυτο µπορουµε νατο επιτυχουµε επιλεγοντα µικρη σχετικα ταχυτητα ~V . Αν αναπτυξουµετην L σε ορου µεχρι ταξη ~V λαµ1ανουµε

L

(

|~u|2 +dg

dt

)

= L(

|~u|2)

+dL(y)

dy

∣

∣

∣

∣

y=|~u|2

d(−2~V · ~x)

dt+ O(|~V |2) . (3.8)

3Για να διευκολυνθουµε στην εκτελεση των πραξεων θα θεωρησουµε την L, χωρι να

αλλοι£ωσουµε το περιεχοµενο τη, συναρτηση οχι του |~x|, αλλα του |~x|2

.


Για να ειναι ο γραµµικο ω προ ~V ορο µια τελεια χρονικη παραγωγο,πρεπει ο παραγοντα

dL(y)

dy

∣

∣

∣

∣

y=|~u|2,

να ειναι µια σταθερα a, δηλαδη,

L(|~u|2) = a|~u|2 + b .

Συνοπτικα ηΛαγκρανζιανη του ελευθερου σωµατιδιου σεεναν κοσµο πουπαρουσιαζει ολε τι παραπανω συµµετριε πρεπει ναεχει την εξη µορφη

Lελ. σωµ. =1

2m|~x|2 . (3.9)

Η προσθετικη σταθερα b αφαιρεθηκε απο τον παραπανω τυπο, αφου,οπω εχουµε µαθει, µια τετοια σταθερα δεν εχει φυσικη σηµασια (τετριµ-µενο µετασχηµατισµο βαθµονοµηση), εν£ω η σταθερα a απλ£ω αντικα-τασταθηκε µε τη σταθερα m/2. Η τελευταια αυτη επιλογη ειναι εντελ£ωαυθαιρετη, αφου οποιοσδηποτε πολλαπλασιαστικο παραγοντα θα ητανικανοποιητικο. Προκειται, ωστοσο, για µια λογικη επιλογη, αφου στηνκλασικη φυσικη η µοναδικη ιδιοτητα ενο υλικου σωµατιδιου που το δια-κρινει απο τα αλλα ειναι µοναχα η µαζα του. Οσο για το 1/2 ειναι καιαυτο αυθαιρετο και εχει επιλεγει για να µα θυµιζει µια γνωστη φυσικηποσοτητα, την κινητικη ενεργεια.Α θεωρησουµε στη συνεχεια δυο σωµατιδια που δεν αλληλεπιδρουν.

Η συνολικη Λαγκρανζιανη αυτου του συστηµατο σωµατιδιων ειναι το Η Λαγκρανζιανη δυο

µη αλληλεπιδρ£ωντων

σωµατιδιων

αθροισµα των Λαγκρανζιαν£ων των δυο επιµερου σωµατιδιων,

L =1

2m1|~x1|

2 +1

2m2|~x2|

2 , (3.10)

οπου ~x1, ~x2 οι θεσει των δυο σωµατιδιων.Εστω, τ£ωρα, οτι τα δυο σωµατιδια αλληλεπιδρουν. Στο οριο που η

αλληλεπιδραση ειναι αµελητεα η ολικη Λαγκρανζιανη του συστηµατοπρεπει να τεινει στην παραπανω Λαγκρανζιανη, οποτε η Λαγκρανζιανηπου περιγραφει την αλληλεπιδραση µεταξυ των σωµατιδιων, η οποια εξαρ-ταται απο τι συντεταγµενε και τι ταχυτητε και των δυο σωµατιδιων,θα πρεπει να εµφανιζεται προσθετικα. Θα µπορουσε να αναζητησει κα-νει εναν ορο αλληλεπιδραση, ο οποιο να πολλαπλασιαζει τη Λαγκραν-ζιανη των δυο ελευθερων σωµατιδιων και να ειναι τετοιο £ωστε, οταν ταδυο σωµατιδια αποµακρυνθουν πολυ το ενα απο το αλλο, ο ορο αυτονα τεινει στη µοναδα, η ακοµη να κατασκευασει µια ακοµη πιο περιπλοκησυναρτησιακη µορφη για να περιγραψει την αλληλεπιδραση. Κατι τετοιο,οµω, θα οδηγουσε σε πολυ πιο συνθετου φυσικου νοµου κινηση οιοποιοι οµω δεν επαληθευονται πειραµατικα. Οποτε η απλουστερη Λα-γκρανζιανη ειναι η Η γενικοτερη

Λαγκρανζιανη δυο

αλληλεπιδρ£ωντων


L =1

2m1|~x1|

2 +1

2m2|~x2|

2 + Lαλληλ(~x1, ~x2, ~x1, ~x2, t) . (3.11)

Τι µορφη µπορει να εχει η Lαλληλ; Για να την προσδιορισουµε θα χρησι-µοποιησουµε και παλι τι συµµετριε του Συµπαντο. Η Λαγκρανζιανη


αυτη δεν ειναι δυνατον να εξαρταται απο το χρονο και συνεπ£ω πρεπεινα παραµενει αναλλοιωτη σε χρονικε µεταθεσει, διοτι οι φυσικοι νοµοιλογω τη οµογενεια του χρονου ειναι ιδιοι σε καθε χρονικη στιγµη. Πρε-πει να εξαρταται µονο απο τη σχετικη θεση και τη σχετικη ταχυτητα τωνσωµατιδιων, ετσι£ωστε οι φυσικοι νοµοι να παραµενουν αναλλοιωτοι (συµ-µετρικοι) ω προ τι χωρικε µεταθεσει (οµογενεια του χ£ωρου) και ναικανοποιουν τη γαλιλαικη συµµετρια. Συνεπ£ω, η Λαγκρανζιανη τη αλ-ληλεπιδραση πρεπει να ειναι τη µορφη

Lαλληλ = Lαλληλ

(

~x, ~x)

,

οπου ~x = ~x1 − ~x2 η σχετικη θεση των σωµατιδιων και ~x = ~x1 − ~x2 η σχε-τικη του ταχυτητα. Τελο, η Λαγκρανζιανη πρεπει να εχει µορφη ανε-ξαρτητη απο την κατευθυνση των αξονων που επιλεξαµε για να περιγρα-ψουµε το συστηµα, ετσι £ωστε να ικανοποιειται η ισοτροπια του χ£ωρου.Αυτο σηµαινει οτι η Λαγκρανζιανη παραµενει αναλλοιωτη στι στροφεκαι συνεπ£ω εξαρταται µονο απο τι βαθµωτε µετα1λητε που µπορουννα κατασκευαστουν απο τα ~x, ~x. Αυτε ειναι οι

|~x| , |~x| , ~x · ~x , |~x× ~x| .

Ειδικα η τελευταια ποσοτητα µπορει να κατασκευαστει απο τι υπολοιπετρει αφου

(~x× ~x)2 = (~x)2(~x)2 − (~x · ~x)2 ,

οποτε µονο οι τρει πρ£ωτε ποσοτητε ειναι ανεξαρτητε η µια απο τηναλλη. Επιση, στι παραπανω εκφρασει δεν συµπεριλα1αµε ποσοτητετη µορφη ~a · ~x, διοτι αυτο θα σηµαινε οτι στο φυσικο κοσµο υπαρχεικαποια προεξαρχουσα διευθυνση που προσδιοριζεται απο το διανυσµα~a. Συνεπ£ω, µια Λαγκρανζιανη αλληλεπιδραση που ικανοποιει τι ευ-κλειδειε συµµετριε (οµογενεια και ισοτροπια του χ£ωρου), τη γαλιλαικησυµµετρια και την οµογενεια του χρονου πρεπει να ειναι τη µορφη

Lαλληλ

(

|~x1 − ~x2|, |~x1 − ~x2|, (~x1 − ~x2) · (~x1 − ~x2))

.

Στην κατασκευη τη λαγκρανζιανη αλληλεπιδραση εχουµε υποθεσει ο-τι οι αλληλεπιδρασει µεταξυ των σωµατιδιων ειναι ακαριαιε· αυτο ση-µαινει οτι η αλλαγη τη θεση η τη ταχυτητα του ενο σωµατιδιου επη-ρεαζει ακαριαια το αλλο σωµατιδιο. Στην κλασικη µηχανικη η παραδοχηοτι ο χρονο ειναι απολυτο, ιδιο δηλαδη σε ολα τα συστηµατα αναφο-ρα, και η αρχη τη γαλιλαικη σχετικοτητα απαιτουν οι αλληλεπιδρα-σει µεταξυ των σωµατιδιων να ειναι ακαριαιε. Εαν δεν συνε1αινε αυτοκαι οι αλληλεπιδρασει διαδιδονταν µε καποια πεπερασµενη ταχυτητα,αυτη η ταχυτητα θα ηταν διαφορετικη σε ενα αλλο συστηµα αναφορα,γεγονο που σηµαινει οτι καποιο θα ειχε τη δυνατοτητα να προσδιορισειτην ταχυτητα τη ιδια του τη κινηση, κατι που αποτελει σαφη παρα1ι-αση τη γαλιλαικη αρχη τη σχετικοτητα.


Ο τριτο νοµο του Νευτωνα που απαιτει η δυναµη ~F12 που ασκειταιστο πρ£ωτο σωµατιδιο απο το δευτερο να ειναι ιση και αντιθετη µε τη δυ-ναµη ~F21 που ασκειται στο δευτερο σωµατιδιο απο το πρ£ωτο, δεν επιτρε-πει καµια αλλη εξαρτηση τη λαγκρανζιανη αλληλεπιδραση παρα µονοαπο τη σχετικη θεση των σωµατιδιων. Ετσι, η Λαγκρανζιανη δυο αλλη-λεπιδρ£ωντων µε νευτ£ωνειε δυναµει σωµατιδιων θα εχει τη µορφη

L =1

2m1|~x1|

2 +1

2m2|~x2|

2 − V (|~x1 − ~x2|) . (3.12)

Πριν ολοκληρ£ωσουµε τη συζητηση σχετικα µε τη Λαγκρανζιανη δυοσωµατιδιων, πρεπει να σηµει£ωσουµε οτι οι παραµετροι m1, m2 τη παρα-πανω Λαγκρανζιανη δεν εχουν στην κατασκευη µα το φυσικο νοηµατη µαζα των σωµατιδιων, αφου ο πολλαπλασιαστικο παραγοντα πουειχαµε εισαγαγει στη Λαγκρανζιανη του ελευθερου σωµατιδιου, στην Π£ω προκυπτουν οι

µαζε;οποια βασισαµε την κατασκευη µα, ηταν εντελ£ω αυθαιρετο. Η σχεσηµεταξυ αυτ£ων των παραµετρων µπορει να καθοριστει πειραµατικα µε τονιδιο ουσιαστικα τροπο που ο Νευτωνα επιχειρησε να µετρησει την αδρα-νεια των σωµατων. Οι σχετικε επιταχυνσει των δυο αλληλεπιδρ£ωντωνσωµατιδιων ειναι αντιστροφω αναλογε µε το λογο των παραµετρων m1

και m2, οπω µπορει να αποδειξει κανει απο τι εξισ£ωσει Euler - La-grange για την παραπανω Λαγκρανζιανη. Ετσι, θεωρ£ωντα τη m1 ισηµε τη µοναδα, µπορει κανει να “ζυγισει” τι παραµετρου–µαζε ολωντων αλλων σωµατιδιων και µαλιστα ανεξαρτητα απο τη µορφη του δυνα-µικου αλληλεπιδραση τη εκαστοτε µαζα µε τη µαζα–προτυπο.Με τον ιδιο τροπο µπορουµε να κατασκευασουµε τη Λαγκρανζιανη

ενο αποµονωµενου συστηµατο n σωµατιδιων, τα οποια αλληλεπιδρουν Η Λαγκρανζιανη

αποµονωµενου

συστηµατο


µε νευτ£ωνειε δυναµει και στα οποια δεν ασκειται καµια εξωτερικη δυ-ναµη,

L =n∑

i=1

1

2mi|~xi|

2 −1

2

n∑

i=1

n∑

j=1,j 6=i

V (|~xi − ~xj |) . (3.13)

Το 1/2 στο διπλο αθροισµα εχει συµπεριληφθει ετσι £ωστε ολα τα ζευγητων δυναµικ£ων αλληλεπιδραση να λαµ1ανονται µονο µια φορα.Η Λαγκρανζιανη αυτη δεν ειναι η πιο γενικη Λαγκρανζιανη που µπο-

ρουµε να κατασκευασουµε για ενα τετοιο συστηµα τηρ£ωντα τι συµµε-τριε του χ£ωρου και του χρονου και επιλεγοντα αλληλεπιδρασει που ε-ξαρτ£ωνται µονο απο τι θεσει των σωµατιδιων. Θα µπορουσαµε για πα-ραδειγµα να θεωρησουµε δυναµικα αλληλεπιδραση που εξαρτ£ωνται αποτι θεσει τρι£ων η και περισσοτερων σωµατιδιων. Απλ£ω ηΛαγκρανζιανητη σχεση (3.13) ειναι η απλουστερη επεκταση τη Λαγκρανζιανη τωνδυο σωµατιδιων. Απο φυσικη αποψη η Λαγκρανζιανη τη εκφραση(3.13) θα µπορουσε να δικαιολογηθει, αν το σωµατιδιο–φορεα τη αλλη-λεπιδραση, το οποιο ανταλλασσεται µεταξυ των αλληλεπιδρ£ωντων σω-µατιδιων, εχει τοσο ασθενη σταθερα συζευξη £ωστε η ανταλλαγη περισ-σοτερων του ενο τετοιων σωµατιδιων–φορεων µεταξυ δυο σωµατιδιωννα ειναι εξαιρετικα απιθανο να συµ1ει. Αυτο ισχυει για τι ηλεκτρασθε-νει και τι βαρυτικε, οχι οµω και για τι ισχυρε αλληλεπιδρασει.


Ασκηση 3.1. ∆ειξτε οτι η Λαγκρανζιανη (3.13)οδηγει σε αλληλεπιδρασει, οι οποιεΑΣΚΗΣΕΙΣικανοποιουν τον τριτο νοµο του Νευτωνα, δηλαδη οι δυναµει που ασκουνται απο τοενασωµατιδιο στο αλλο ικανοποιουν τι σχεσει ~Fij = −~Fji.

3.3 Το ευρο ισχυο τη αρχη του Χαµιλτον

Ειδαµε οτι η φυσικη κινηση ενο σωµατιδιου σε συντηρητικο πεδιο ο-που η δυναµη προκυπτει απο καποιο δυναµικο V ,

~F = −~∇V ,

ικανοποιει την αρχη ελαχιστη δραση του Χαµιλτον µε Λαγκρανζιανη

L = T − V ,

οπου T η κινητικη ενεργεια του σωµατιδιου και V η δυναµικη του ενερ-γεια.4 Σε αυτη την περιπτωση οι νοµοι του Νευτωνα ειναι ισοδυναµοι µετην αρχη τουΧαµιλτον. Εδ£ωβε1αιω αναφεροµαστε µονο στου δυο πρ£ω-του νοµου· ο πρ£ωτο νοµο του Νευτωνα αποτυπ£ωνεται στη µορφη τηκινητικη ενεργεια T που εισερχεται στη λαγκρανζιανη συναρτηση, εν£ωο δευτερο νοµο αποτυπ£ωνεται µε τον ορο τη δυναµικη ενεργεια πουεισερχεται αθροιστικα (και οχι πολλαπλασιαστικα η µε αλλο τροπο) στηλαγκρανζιανη συναρτηση. Οι νοµοι του Νευτωνα, οµω, ειναι υπο µια εν-νοια γενικοτεροι απο την αρχη του Χαµιλτον, αφου για ενα οποιοδηποτεµηχανικο συστηµα δεν υπαρχει κατ αναγκη λαγκρανζιανη συναρτηση, ηοποια να οδηγει µεσω των εξισ£ωσεων Euler - Lagrange στι εξισ£ωσει κι-νηση του συστηµατο. Για παραδειγµα, για συστηµατα στα οποια υπαρ-χει αναλωση ενεργεια, εξαιτια, λογου χαρη, τη τρι1η, δεν ειναι εν γε-νει εφικτη η κατασκευη λαγκρανζιανη συναρτηση που να περιγραφειτο συστηµα. Ετσι, εν£ω η κινηση ενο ιδανικου ρευστου, που ειναι ενασυνονθυλευµα αλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιων, µπορει να προκυψει µεσωτων εξισ£ωσεων Euler - Lagrange απο µια καταλληλη Λαγκρανζιανη, η κι-νηση πραγµατικ£ων ρευστ£ων µε ιξ£ωδε στα οποια υπεισερχεται αναλωσηδεν µπορει5 να περιγραφει απο καποια Λαγκρανζιανη.Βασιζοµενοι επιση στην αρχη του Χαµιλτον, οπω τουλαχιστον την

εχουµε διατυπ£ωσει, αδυνατουµε ναπεριγραψουµε την κινηση σωµατιδιωνσε γενικοτερα µη συντηρητικα πεδια. Τελο, οταν το δυναµικο εξαρταταιαπο τι ταχυτητε, οποτε οι δυναµικοι νοµοι δεν ειναι αναλλοιωτοι στουµετασχηµατισµου του Γαλιλαιου, η φυσικη κινηση δεν διεπεται συνηθωαπο καποια Λαγκρανζιανη.

Ασκηση 3.2. Η Λαγκρανζιανη L(x, x, t) = 1

2eγt/m(mx2−kx2) περιγραφει καποιοΑΣΚΗΣΕΙΣ

γνωστο σα φυσικο συστηµα; Προκειται για κινηση σε συντηρητικο πεδιο δυναµεων;

4Στο εξη στο βι1λιο θα χρησιµοποιουµε τα συµ1ολα T και V , αντι των Eκιν, Eδυν,ακολουθ£ωντα τη διεθνη βι1λιογραφια.

5Για να ειµαστε πιο σαφει, δεν εχει βρεθει εω τ£ωρα τετοια Λαγκρανζιανη.

3.4. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΟΥ 69

Ασκηση 3.3. Να βρεθει η Λαγκρανζιανη που περιγραφει τη µονοδιαστατη κινησησωµατιδιου µαζαm, που κινειται υπο την επενεργεια µια χρονοεξαρτ£ωµενη δυναµητη µορφη F (t).

Ολα, οµω, τα θεµελι£ωδη πεδια δυναµεων που γνωριζουµε ειναι συ-ντηρητικα και ω εκ τουτου η δυναµικη συµπεριφορα του µπορει να προ-κυψει απο καποια Λαγκρανζιανη. Παρα το γεγονο, λοιπον, οτι οι νοµοιτου Νευτωνα εφαρµοζονται σε ευρυτερα µηχανικα συστηµατα απ ο,τι ηαρχη τη ελαχιστη δραση του Χαµιλτον, η αρχη του Χαµιλτον εχει ευρυ-τερη φυσικη σηµασια απο του νοµου τουΝευτωνα, διοτι µα δινει τη δυ-νατοτητα να προσεγγισουµε σε πιο θεµελι£ωδε επιπεδο του νοµου τηφυση, ειτε αυτοι αναφερονται σε µηχανικα συστηµατα ειτε οχι, να αντι-ληφθουµε απο που προερχονται οι διατηρουµενε ποσοτητε και να δια-µορφ£ωσουµε εναπλαισιο µε το οποιο να µπορουµε να χειριστουµε τι νε£ω-τερε θεωριε τη Φυσικη. Επιπλεον, οπω ειδαµε ηδη στην περιπτωσητου ελευθερου σωµατιδιου, η Λαγκρανζιανη µπορει να κατασκευαστει µετη χρηση γενικ£ων επιχειρηµατων που βασιζονται στι συµµετριε του φυ-σικου συστηµατο. Η λαγκρανζιανη θε£ωρηση µα δινει τη δυνατοτητα ναπρο1λεπουµε τι εξισ£ωσει κινηση οταν αυτε δεν ειναι γνωστε, και βα-σιζοµενοι στο παραδειγµα τη νευτ£ωνεια µηχανικη να οικοδοµουµε φυ-σικε θεωριε που περιγραφουν φαινοµενα για τα οποια οι νοµοι που ταδιεπουν µα ειναι αγνωστοι. Η δραση σε αυτην τη θε£ωρηση προκυπτειω µια ποσοτητα εξεχουσα φυσικη σηµασια, η οποια επι1ι£ωνει κατατη µετα1αση απο την κλασικη στην κ1αντικη µηχανικη και µαλιστα απο-κτα ιδιαιτερο φυσικο νοηµα. Μεσω τη δραση, για παραδειγµα, ειναι δυ-νατη η θεµελιωση τη κ1αντικη µηχανικη µε εναν ιδιαιτερα διαισθητικοκαι πρωτοτυπο τροπο µεσω των ολοκληρωµατων διαδροµη (path inte-grals), που εισηγαγαν οι Paul AdrienMaurice Dirac [1902-1984] καιRichardPhillips Feynman [1918-1988].

3.4 Λαγκρανζιανη φορτισµενου σωµατιδιου

Εχουµε µαθει εω τ£ωρα π£ω να κατασκευαζουµε Λαγκρανζιανε γιασωµατιδια η γενικα για µηχανικα συστηµατα που κινουνται σε δυναµικαπεδια που εχουν καθαρα χωρικη εξαρτηση. Εξετασαµε επιση παραδειγ-µατα συστηµατων µε αναλωση για τα οποια ειναι δυνατη η κατασκευητη αντιστοιχη Λαγκρανζιανη (βλ. Ασκησει 2,3). Τι µπορουµε, οµω,να κανουµε σε περιπτ£ωσει που η δυναµη που ασκειται σε ενα σωµατι- ∆υσκολιε κατασκευη

Λαγκρανζιανη για

δυναµει εξαρτ£ωµενε

απο την ταχυτητα.

διο εξαρταται απο την ταχυτητα του σωµατιδιου; Ενα παροποιο προ-1ληµα εχουµε ηδη αντιµετωπισει, οταν δοκιµασαµε να περιγραψουµε µελαγκρανζιανο τροπο την αντισταση σε καποιο µεσο, οταν αυτη ειναι ανα-λογη τη ταχυτητα. Η γενικη αντιµετ£ωπιση τετοιων δυναµεων, µολονοτιδεν ειναι παντοτε εφικτη, δεν παρουσιαζει ιδιαιτερο ενδιαφερον, αφουτετοιου ειδου δυναµει δεν ειναι θεµελι£ωδει δυναµει· ειναι απλ£ω ενα


στατιστικο αποτελεσµα ηλεκτροµαγνητικ£ων δυναµεων που ασκουνται σεµικροσκοπικο επιπεδο. Υπαρχει, ωστοσο, µια δυναµη εξαρτ£ωµενη αποτην ταχυτητα, η οποια, µολονοτι ειναι θεµελι£ωδη και συντηρητικη, δενµπορει να προελθει απο καποιο δυναµικο. Προκειται για τη δυναµη πουδιεπει την κινηση ενο φορτισµενου σωµατιδιου µεσα σε ηλεκτροµαγνη-τικο πεδιο, η οποια οδηγει στην εξισωση κινηση

m~x = q(

~E + ~x× ~B)

, (3.14)

οπου ~E η ενταση του ηλεκτρικου πεδιου και ~B η µαγνητικη επαγωγη στηθεση ~x που βρισκεται το φορτισµενο µε φορτιο q σωµατιδιο τη χρονικηστιγµη t.Η δυσκολια κατασκευη τη αντιστοιχη Λαγκρανζιανη εγκειται στο

γεγονο, οτι, αφου η δυναµη

~F = q(

~E + ~x× ~B)

, (3.15)

εξαρταται απο την ταχυτητα, πρεπει ο συνηθη ορο τη δυναµικη ενερ-γεια στη Λαγκρανζιανη, αν βε1αια υπαρχει Λαγκρανζιανη, να εµπεριε-χει την ταχυτητα. Σε αυτη την περιπτωση, οµω, η γενικευµενη ορµη πουεµφανιζεται στι εξισ£ωσει Euler - Lagrange εκτο απο την κλασικη τηµορφη που προερχεται απο την παραγ£ωγιση τη κινητικη ενεργεια θαπερικλειει και αλλον εναν ορο εξαιτια τη εξαρτηση τη δυναµικη ενερ-γεια απο την ταχυτητα. Αυτο περιπλεκει τη δυναµικη εξισωση κινησηκαι πρεπει να ειναι κανει αρκετα τυχερο για να καταφερει να αναπα-ραγαγει το δυναµικο νοµο (3.14) ρυθµιζοντα καταλληλα τη µορφη τηλαγκρανζιανη συναρτηση.Εστω οτι η επιθυµητη Λαγκρανζιανη εχει την κλασικη µορφη

L = T − V , (3.16)

οπου T η κινητικη ενεργεια του σωµατιδιου και V η δυναµικη του ενερ-γεια, η οποια προφαν£ω θα εξαρταται απο την ταχυτητα του σωµατιδιουµε τετοιο τροπο £ωστε να ειναι δυνατον να αναπαραχθει η εξαρτ£ωµενηαπο την ταχυτητα δυναµη Lorentz. Μπορουµε να ισχυριστουµε οτι, αν ει-ναι δυνατη η κατασκευη µια τετοιου τυπου Λαγκρανζιανη, η δυναµικηενεργεια πρεπει να εχει το πολυ γραµµικη εξαρτηση απο την ταχυτητα,£ωστε ο ορο

d

dt

(

∂V

∂~x

)

−∂V

∂~x

τη εξισωση Euler - Lagrange να παραγει µια δυναµη το πολυ γραµµικηΟ στοχο µα επι1αλλει

µια δυναµικη ενεργεια

γραµµικη ω προ την

ταχυτητα

ω προ την ταχυτητα, οπω ειναι η δυναµη Lorentz. Οποιαδηποτε αλληµη γραµµικη συναρτηση τη ταχυτητα για τη δυναµικη ενεργεια θα ειχεω αποτελεσµα µια δυναµη µη γραµµικηω προ την ταχυτητα, οπω µπο-ρει να διαπιστ£ωσει κανει αµεσα. Συνεπ£ω, θεωρουµε οτι η δυναµικη ενερ-γεια εχει τη µορφη

V (~x, ~x, t) = q[

− ~A(~x, t) · ~x+ φ(~x, t)]

. (3.17)


Η δυναµικη ενεργεια, οντα µερο τη Λαγκρανζιανη, δεν µπορει παρανα ειναι µια βαθµωτη ποσοτητα, γεγονο που δικαιολογει την υπαρξη τουεσωτερικου γινοµενου.6 Παραλληλα, η παρουσια του φορτιου ω πολλα-πλασιαστικου παραγοντα επι1αλλεται απο την απαιτηση να ειναι η δυ-ναµη αναλογη του φορτιου q του σωµατιδιου. Τελο, η παρουσια του αρ-νητικου προσηµου στον πρ£ωτο ορο εντο τη αγκυλη δεν εχει κανενα ου-σιαστικο λογο· το προσηµο επιλεχθηκε αυθαιρετα µε σκοπο να αποκτη-σουν οι ποσοτητε ~A, φ συγκεκριµενο φυσικο περιεχοµενο στο τελο τηαναλυση.Οι εξισ£ωσει Euler - Lagrange για µια Λαγκρανζιανη µε τετοια δυνα-

µικη ενεργεια καταληγουν στι ακολουθε εξισ£ωσει κινηση :

m~x = q

(

−d ~A(~x, t)

dt+ ~∇

(

~x · ~A(~x, t))

− ~∇φ

)

. (3.18)

Ασκηση 3.4. Εκτελεστε τι πραξει εντο των εξισ£ωσεων Euler - Lagrange και επι- ΑΣΚΗΣΕΙΣ1ε1αι£ωστε τη σχεση (3.18).

Η παραπανω εξισωση θα µπορουσε να λα1ει τη µορφη τη δυναµικηεξισωση για το σωµατιδιο, αν ειχαµε τη δυνατοτητα να κατασκευασουµεποσοτητε ~A, φ τετοιε £ωστε να ισχυει

−d ~A(~x, t)

dt+ ~∇

(

~x · ~A(~x, t))

− ~∇φ = ~E + ~x× ~B . (3.19)

Ηπρ£ωτη παραγωγο που εµφανιζεται στο αριστερο σκελο τη παραπανωεξισωση ειναι η ολικη χρονικη παραγωγο του ανυσµατικου πεδιου ~Aκατα µηκο τη τροχια του σωµατιδιου. Σε αυτην περιλαµ1ανεται η µε-τα1ολη του ~A εξαιτια τη µετα1ολη του χρονου καθ£ω επιση και η µε-τα1ολη του ~A εξαιτια τη µετα1ολη τη θεση του σωµατιδιου στον αντι-στοιχο χρονο. Συγκεκριµενα, επειδη το ~x εχει αµεση εξαρτηση απο τοχρονο, θα ισχυει

d ~A(~x, t)

dt=∂ ~A(~x, t)

∂t+(

~x · ~∇)

~A(~x, t) .

Ετσι, το αριστερο σκελο τη (3.19) µπορει να γραφει ω

−∂ ~A(~x, t)

∂t−(

~u · ~∇)

~A(~x, t) + ~∇(

~u · ~A(~x, t))

− ~∇φ(~x, t) , (3.20)

6Μια αλλη ισω δυνατοτητα κατασκευη βαθµωτου µεγεθου, που ισω µοιαζειγραµµικο ω προ την ταχυτητα, θα ηταν το |~C × ~u|, η το |~u|. Οµω και οι δυο αυτεποσοτητε, µολονοτι βαθµωτε, δεν ειναι πραγµατικα γραµµικε ω προ την ταχυτητα,αφου η αντικατασταση τη ~u µε ~u1 + ~u2 δεν οδηγει, εν γενει, σε αθροισµα αντιστοιχωνποσοτητων.


οπου συµ1ολισαµε µε ~u ≡ ~x τη ταχυτητα του σωµατιδιου.Αν επικαλεστουµε και τη µαθηµατικη ταυτοτητα7

~u× (~∇× ~A) = ~∇(~u · ~A) − (~u · ~∇) ~A , (3.21)

που ισχυει οταν το διανυσµα ~u δεν εχει εξαρτηση απο το ~x (οπω εδ£ω θεω-ρουµε οτι συµ1αινει µε τι µετα1λητε ~x και ~x), µπορουµε να ξαναγρα-ψουµε τη σχεση (3.19) µε µια µικρη ανακατανοµη των ορων ω ακολου-θω :

~E + ~x× ~B = −∂ ~A(~x, t)

∂t− ~∇φ(~x, t) + ~u×

(

~∇× ~A(~x, t))

. (3.22)

Προτου προσπαθησουµε να συνδεσουµε του ορου του δεξιου σκε-λου τη (3.22) µε το ηλεκτρικο και το µαγνητικο πεδιο, α θυµηθουµε τισχεσει που ικανοποιουν το ηλεκτρικο και το µαγνητικο πεδιο µεσω τωνεξισ£ωσεωνMaxwell

~∇ · ~E = ρ , (3.23)

~∇ · ~B = 0 , (3.24)

~∇× ~B −∂ ~E

∂t= ~j , (3.25)

~∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0 , (3.26)

οπου ρ ειναι η πυκνοτητα φορτιου και ~j η πυκνοτητα ρευµατο, ποσοτη-τε που θεωρουνται δεδοµενε και παιζουν το ρολο των πηγ£ων του ηλε-κτροµαγνητικου πεδιου. Επιπλεον, οι πυκνοτητε ρ,~j ικανοποιουν τηνεξισωση συνεχεια

∂ρ

∂t+ ~∇ ·~j = 0 . (3.27)

Οι εξισ£ωσει του James Clerk Maxwell [1831-1879] εχουν γραφει σε µονα-δεHeaviside, δηλαδη σε τετοιε µοναδε £ωστε η δυναµη Coulomb µεταξυδυο φορτιων να ειναι,

q1q24πr2

εν£ω η ταχυτητα του φωτο εχει ληφθει c = 1.Απο την ~∇ · ~B = 0 προκυπτει οτι η µαγνητικη επαγωγη ~B µπορει να

γραφει ω o στρο1ιλισµο καποιου πεδιου

~B = ~∇× ~A , (3.28)

οπου ~A το ανυσµατικο δυναµικο.8 Αντικαθιστ£ωντα αυτη τη µορφη τουµαγνητικου πεδιου στην (3.26) θα εχουµε

~∇× ~E +∂

∂t

(

~∇× ~A)

= ~∇×

(

~E +∂ ~A

∂t

)

= 0 , (3.29)

7Βλ.Μαθηµατικο Παραρτηµα.8Προ το παρον η οµοιοτητα των συµ1ολων για το ανυσµατικο δυναµικο ~A και το

ηλεκτρικο δυναµικο φ, που θα συναντησουµε αµεσω στη συνεχεια, µε τα αγν£ωστου ταυ-τοτητα πεδια που εισαγαγαµε στη Λαγκρανζιανη ειναι καθαρα συµπτωµατικη. Στο τε-λο, οµω, τη αναλυση θα φανει γιατι επιλεξαµε να χρησιµοποιησουµε τα ιδια συµ-1ολα.


λογω µεταθετικοτητα των χρονικ£ων µε τι χωρικε παραγ£ωγου. Συνε-π£ω, η εκφραση εντο τη παρενθεση, οντα αστρο1ιλη, ειναι η βαθµιδακαποιου βαθµωτου πεδιου

~E +∂ ~A

∂t= −~∇φ , (3.30)

οπου φ το ηλεκτρικο δυναµικο. Ετσι, το ηλεκτρικο πεδιο εκφραζεται µε-σω του ανυσµατικου και του ηλεκτρικου δυναµικου ω

~E = −∂ ~A

∂t− ~∇φ . (3.31)

Αν τ£ωρα απαιτησουµε η εκφραση (3.22) να επαληθευεται ταυτοτικα,θεωρ£ωντα οτι το ηλεκτρικο και το µαγνητικο πεδιο εχουν αντικαταστα-θει απο τι ισοδυναµε εκφρασει του (3.31,3.28), διαπιστ£ωνουµε οτι τοδιανυσµατικο πεδιο ~A και το βαθµωτο πεδιο φ που εισαγαγαµε στη δυνα-µικη ενεργεια τη Λαγκρανζιανη δεν ειναι τιποτε αλλο απο το ανυσµα-τικο δυναµικο και το ηλεκτρικο δυναµικο αντιστοιχα.Καταληγουµε, λοιπον, στο συµπερασµα οτι ενα φορτισµενο σωµατιδιο

µεσα σε ηλεκτροµαγνητικο πεδιο περιγραφεται απο τη Λαγκρανζιανη Ιδου η πολυποθητη

Λαγκρανζιανη!L =

1

2m|~x|2 + q ~A(~x, t) · ~x− qφ(~x, t) , (3.32)

µε τον προφανη συµ1ολισµο των διαφορων ποσοτητων που παρουσιαζο-νται σε αυτη.9

Κλεινοντα αυτο το κεφαλαιο αξιζει να παρατηρησουµε οτι η γενικευ-µενη ορµη του σωµατιδιου δεν ειναι η κλασικηm~u, αλλα η

~p =∂L

∂~x= m~u+ q ~A .

Την επιπλεον ποσοτητα q ~A θα µπορουσαµε να την ερµηνευσουµε ω συ- Ιδου και η ιδιοµορφη

ορµη του συστηµατο!νεισφορα του µαγνητικου πεδιου στην ιδια την ορµη του σωµατιδιου. Τογεγονο αυτο εχει αµεσε συνεπειε κυριω σε κ1αντοµηχανικα συστη-µατα οπου η ορµη, που σε καποιε περιπτ£ωσει ειναι κ1αντισµενη, ειναι ηγενικευµενη ορµη, οπω διατυπ£ωθηκε στην προηγουµενη σχεση, και οχιη συνηθη.Αξιζει επιση να αναφερουµε µια αλλη κοινη περιπτωση Λαγκρανζια-

νη µε δυναµικη ενεργεια που εξαρταται απο την ταχυτητα· προκειται γιατην περιπτωση σωµατιδιου που κινειται σε περιστρεφοµενο συστηµα ανα-φορα. Η αναλογια µαλιστα µε το φορτισµενο σωµατιδιο σε ηλεκτροµα-γνητικο πεδιο ειναι πληρη, αφου το ρολο του µαγνητικου πεδιου τον παι-ζει η γωνιακη ταχυτητα. Θα κατασκευασουµε την αντιστοιχη Λαγκραν-ζιανη µε διαφορετικο τροπο εκτελ£ωντα απλ£ω εναν µετασχηµατισµο συ-ντεταγµενων, οταν ασχοληθουµε στο Κεφαλαιο 6 µε το θεµα των στρο-φ£ων.

9Στην παραπανω κατασκευη θεωρησαµε την ταχυτητα του φωτο ιση µε τη µοναδα,οπω µπορειτε να διαπιστ£ωσετε απο τη γραφη των εξισ£ωσεων τουMaxwell. Αν θελουµενα επαναφερουµε τη σταθερα αυτη στι εκφρασει µα £ωστε να εργαζοµαστε µε συνη-θει µοναδε ο ορο q ~A(~x, t) θα πρεπει να αντικατασταθει µε τον ορο q ~A(~x, t)/c.


3.5 Λαγκρανζιανη δεσµευµενη κινηση


Εχουµε επιτυχει εω τ£ωρα να κατασκευασουµε Λαγκρανζιανε γιασωµατιδια που κινουνται µεσα σε συντηρητικα πεδια, τα οποια πηγαζουναπο δυναµικα, η µεσα σε πεδια που, αν και ειναι συντηρητικα, εξαρτ£ωνταιαπο τι ταχυτητε των σωµατιδιων. Εκτο, οµω, απο την αδυναµια κατα-σκευη Λαγκρανζιανη στην περιπτωση µη συντηρητικ£ων πεδιων –αδυ-ναµια που, οπω αναφεραµε, δεν εχει ουσιαστικη σηµασια– γενναται εναΠ£ω κατασκευαζουµε

τη Λαγκρανζιανη

ενο συστηµατο µε

συνδεσµου;

γενικοτερο προ1ληµατισµο σχετικα µε την υπαρξη Λαγκρανζιανη γιαµηχανικα συστηµατα που υποκεινται σε καποιον περιορισµο οσον αφοραστην κινηση του. Οι περιορισµοι αυτοι ονοµαζονται γενικοτερα συνδε-σµοι. Ω χαρακτηριστικο παραδειγµα θα εξετασουµε την περιπτωση ενοσωµατιδιου, το οποιο βρισκεται µεσα στο οµογενε πεδιο βαρυτητα, αλλαειναι υποχρεωµενο να κινειται επανω στο οριζοντιο επιπεδο z = 0. Αποτου νοµου τουΝευτωνα γνωριζουµε οτι το σωµατιδιο εκτελει ευθυγραµ-µη, οµαλη κινηση στο επιπεδο z = 0 και οτι σε αυτο ασκειται µια κατα-κορυφη δυναµη ιση και αντιθετη µε τη δυναµη τη βαρυτητα. Αν δενυπηρχε κανενα περιορισµο στην κινηση του σωµατιδιου, η Λαγκραν-ζιανη του σωµατιδιου εκπεφρασµενη σε καρτεσιανε συντεταγµενε θαητανΑν υπαρχει καποιο

συνδεσµο γραφουµε

τη Λαγκρανζιανη σαν

να µην υπαρχει...

L =1

2m(x2 + y2 + z2) −mgz . (3.33)

Θα δειξουµε οτι η Λαγκρανζιανη που προκυπτει, αν αντικαταστησουµεστην προηγουµενη Λαγκρανζιανη την εξισωση του συνδεσµου

z = 0 ,

περιγραφει σωστα την κινηση του σωµατιδιου. Αν και κατι τετοιο φαινε-...και εκ των υστερων

επι1αλλουµε τι

εξισ£ωσει των

συνδεσµων

ται ευλογο, δεν ειναι και τοσο προφανε οτι ισχυει. Επιθυµ£ωντα να µε-τατρεψουµε το συστηµα µα σε ενα συστηµα που περιγραφεται απο ενασυντηρητικο πεδιο δυναµεων και να το απαλλαξουµε απο του περιορι-σµου των συνδεσµων, η αντιµετ£ωπιση των οποιων προκαλει αµηχανια,α υποθεσουµε οτι το σωµατιδιο µπορει να κινειται σε ολο το χ£ωρο αλλαβρισκεται ταυτοχρονα µεσα στο οµογενε βαρυτικο πεδιο καθ£ω επισηκαι σε ενα νεο πεδιο µε δυναµικο

V (k)(z) =1

2kz2 .

Φανταζοµαστε οτι κατω απο το δαπεδο υπαρχουν ελατηρια σκληροτηταk το ανω ακρο των οποιων φθανει εω το z = 0 οταν αυτα βρισκονται στοφυσικο του µηκο. Ισω σκεφτειτε οτι το νεο συστηµα δεν εχει καµιασχεση µε το αρχικο! Α αναλογιστουµε, οµω, τι συµ1αινει στο οριο πουk → ∞. Η νεα Λαγκρανζιανη

L′ = L− V (k)(z)

3.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΩΝ 75

περιγραφει ενα σωµατιδιο που κινειται µεσα στο οµογενε βαρυτικο πεδιοτη Γη, αλλα συγχρονω καποιο πολυ σκληρο ελατηριο δεν του επιτρεπεινα αποµακρυνθει πολυ απο το επιπεδο z = 0. Το σωµατιδιο, οντα εναµηχανικο συστηµα, η κινηση του οποιου περιγραφεται απο τρει ανεξαρ-τητε µετα1λητε (x, y, z), εξελισσεται βασει των τρι£ων εξισ£ωσεων Euler -Lagrange

mx = 0 ,

my = 0 ,

mz +mg + kz = 0 . (3.34)

Η τριτη εξισωση εχει ω λυση την

z = A cos

(

√

k

mt

)

+B sin

(

√

k

mt

)

−mg

k.

Αν σε αυτη την εξισωση επι1αλουµε αρχικε συνθηκε z(0) = 0, z(0) = 0–οι οποιε ειναι συµ1ατε µε το συνδεσµο z = 0–, θα καταληξουµε στηλυση

z =mg

k

[

cos

(

√

k

mt

)

− 1

]

,

η οποια εµφαν£ω οδηγει στην αναµενοµενη λυση z = 0 στο οριο k → ∞.

Ουσιαστικα επιστρεψαµε στην αρχικη εξισωση του συνδεσµου. Οι υπο-λοιπε εξισ£ωσει κινηση ειναι αυτε που θα λαµ1αναµε, αν θεταµε εξ αρ-χη στη Λαγκρανζιανη του συστηµατο ανευ συνδεσµου,L, την εξισωσητου συνδεσµου z = 0. Ειναι ενδιαφερον να παρατηρησει κανει οτι στηλυση του προ1ληµατο ουδεµια αναφορα γινεται στην αντιδραση του επι-πεδου! Αυτο αλλωστε ηταν και το πλεονεκτηµα που ειχαν οι εξισ£ωσειEuler - Lagrange, οταν πρωτοδιατυπ£ωθηκαν απο τον Lagrange· δεν χρεια-ζοταν να γινεται καµια αναφορα στι δυναµει που αναπτυσσονται στουσυνδεσµου σε αντιθεση µε τη νευτ£ωνεια θεωρια. Με την εισαγωγη, οµω,του φαινοµενολογικου δυναµικου του συνδεσµου, V (k), ειµαστε σε θεσηνα υπολογισουµε και την αντιδραση του συνδεσµου, η οποια δεν ειναι τι-ποτε αλλο απο τη δυναµη που ασκουν στο σωµατιδιο τα υποθετικα ελα-τηρια

F = −∂V (k)

∂z.

Aπο την εξισωση Euler - Lagrange για τη νεα Λαγκρανζιανη L′ εχουµε Η αντιδραση βρισκεται

απο την εξισωση

Euler - Lagrange που

αντιστοιχει στο

συνδεσµο

0 =d

dt

(

∂L′

∂z

)

−∂L′

∂z=

d

dt

(

∂L

∂z

)

−∂L

∂z+∂V (k)

∂z, (3.35)

δηλαδη,

F =d

dt

(

∂L

∂z

)

−∂L

∂z. (3.36)

Στο εν λογω προ1ληµα η δυναµη καταληγει να ειναι

F = mz +mg .


Στο οριο k → ∞ οπου η λυση για τη συντεταγµενη z ειναι, οπω αναφε-ραµε, z = 0, η δυναµη ειναι η γνωστη µα αντιδραση του δαπεδου, mg.Α ειµαστε, οµω, λιγο πιο προσεκτικοι και α αντικαταστησουµε τη λυσηστην οποια καταληξαµε πριν απο λιγο για k 6= ∞ για να λα1ουµε τελικατο οριο k → ∞. Τοτε θα διαπιστ£ωσουµε οτι η δυναµη ειναι

F = mg

[

1 − cos

(

√

k

mt

)]

.

Ο δευτερο ορο τη εξισωση ταλαντ£ωνεται τοσο γρηγορα, οταν k → ∞,

£ωστε να εχει νοηµα µονο η µεση τιµη αυτου, η οποια ειναι µηδεν. Για αλληµια φορα, λοιπον, οδηγουµαστε στην αναµενοµενη αντιδραση F = mg.Σε αυτο το σηµειο αξιζει να σηµει£ωσουµε οτι η επι1ολη του φαινοµενο-λογικου δυναµικου του συνδεσµου και οι ιδιοµορφιε καποιων αποτελε-σµατων, οπω αυτο τη ταχυτατα µετα1αλλοµενη αντιδραση, βρισκο-νται πολυ πιο κοντα στην πραγµατικη φυση των συνδεσµων. Ολα τα σ£ω-µατα, ακοµη και αυτα που ονοµαζουµε στερεα, οντα ελαστικα, δεν µπο-ρουν να επι1αλλουν στα µηχανικα συστηµατα παρα µονο προσεγγιστικεεξισ£ωσει συνδεσµων.Το πρακτικο συµπερασµα στο οποιο οδηγουµαστε ειναι οτι, επι1αλ-

λοντα την εξισωση του συνδεσµου z = z = z = · · · = 0 στην αντιστοιχηεξισωση Euler - Lagrange (3.35), υπολογιζουµε τελικα την αντιδραση τουσυνδεσµου ω εξη :

F =

[

d

dt

(

∂L

∂z

)

−∂L

∂z

]

z=z=z=0

. (3.37)

Ασκηση 3.5. Γραψτε τη Λαγκρανζιανη ενο σωµατιδιου που κινειται στο επιπεδοΑΣΚΗΣΕΙΣχρησιµοποι£ωντα πολικε συντεταγµενε. Υποθεστε στη συνεχεια πω θελετε να επι1α-λετε τον περιορισµο κινηση του σωµατιδιου σε µια κυκλικη στεφανη ακτινα a. Επι-λεξτε ενα καταλληλο δυναµικο που να εξαναγκαζει το σωµατιδιο να κινειται ακτινικασυµφωνα µε την εξισωση r = a. Γραψτε τη ΛαγκρανζιανηL′ που προκυπτει υστερα αποτην προσθεση του νεου δυναµικου και λυστε τη γωνιακη εξισωση Euler - Lagrange επι-1αλλοντα τη συνθηκη r = a. Υπολογιστε την ακτινικη αντιδραση τη στεφανη. [Απα-ντηση: Fr = −maθ2 ]

∆ειξαµε λοιπον οτι, αν η κινηση ενο µηχανικου συστηµατο περιορι-ζεται απο δεσµου, τοτε η Λαγκρανζιανη που περιγραφει την κινηση τουσυστηµατο ειναι η διαφορα µεταξυ κινητικη και δυναµικη ενεργειατου συστηµατο, οπου στον υπολογισµο των ενεργει£ων αυτ£ων εχουν λη-φθει υποψη ολοι οι περιορισµοι που επι1αλλονται απο του δεσµου. Στοεποµενο κεφαλαιο θα ακολουθησουµε µια τελειω διαφορετικη θε£ωρησητων δεσµ£ων που σχετιζεται µε την πραγµατικη ιστορικη πορεια που ακο-λουθησε η αναλυτικη µηχανικη και θα µαθουµε π£ω να γραφουµε τη Λα-γκρανζιανη σε περιπτ£ωσει ακοµη πιο συνθετων δεσµ£ων οπου δεν υπαρ-χει απλ£ω µια συναρτησιακη σχεση µεταξυ των συντεταγµενων. Ωστοσο,

3.5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙ∆ΙΩΝ 77

παρα τι οποιεσδηποτε τεχνικε δυσκολιε που ενδεχεται να εχει η εισα-γωγη πιο περιπλοκων µορφ£ων δεσµ£ων στο λαγκρανζιανο φορµαλισµο, ηουσια ειναι οτι καθε συνδεσµο µπορει απο φυσικη αποψη να αντικα-τασταθει απο καποιο καταλληλο “σκληρο” υποθετικο δυναµικο και επο-µενω το µηχανικο συστηµα να περιγραφει πληρω µεσω συντηρητικ£ωνπεδιων.


3.6 Προ1ληµατα

1. Αποδειξαµε, χρησιµοποι£ωντα την αρχη τη ελαχιστη δραση, οτιοι ΛαγκρανζιανεL καιL′ που συνδεονται µε µετασχηµατισµο βαθ-µονοµηση

L′(x, x, t) = L(x, x, t) +df(x, t)

dt

οδηγουν στι ιδιε εξισ£ωσει κινηση. ∆ειξτε µε κατευθειαν αντικα-τασταση οτι η εξισωση Euler - Lagrange για τη νεα συναρτηση L′

οδηγει στην ιδια εξισωση µε εκεινη που οδηγει η L.

2. ∆ειξτε οτι ο µετασχηµατισµο του ανυσµατικου και ηλεκτρικου δυ-ναµικου

~A→ ~A + ~∇ψ , φ→ φ−∂ψ

∂t,

δεν µετα1αλλει το ηλεκτρικο και µαγνητικο πεδιο και ανα1αθµονο-µει τη Λαγκρανζιανη ενο φορτισµενου σωµατιδιου ω εξη :

L′ = L+ qdψ

dt.

3. Ενα σωµατιδιο, διασχιζοντα µια κοσµικη σηραγγα (wormhole),

εγκαταλειπει το ισοτροπο και οµογενε στο χ£ωρο και χρονο Συµπανµα και εισερχεται σε ενα αλλο Συµπαν, το οποιο ειναι οµογενε στοχ£ωρο και το χρονο, αλλα δεν διαθετει την ισοτροπια του δικου µα.Αντι τη ισοτροπια του δικου µα Συµπαντο, δηλαδη του αναλ-λοιωτου χαρακτηρα τη Λαγκρανζιανη σε οποιαδηποτε στροφη,το νεο Συµπαν ειναι συµµετρικο µονο σε στροφε γυρω απο καποιοσυγκεκριµενο αξονα, α πουµε τον αξονα-z. Κατασκευαστε τη Λα-γκρανζιανη ενο ελευθερου σωµατιδιου που κινειται µεσα στο νεοαυτο Συµπαν. [Υποδειξη : Θεωρηστε οτι το νεο Συµπαν ειναι αναλ-λοιωτο και στου µετασχηµατισµου του Γαλιλαιου.]

4. Οι µηχανε τουAtwood ειναι συστηµατα που αποτελουνται απο ιδα-νικε α1αρει τροχαλιε, α1αρη σχοινια και µαζε που συνδεονται,για παραδειγµα, οπω στο Σχηµα. Γραψτε τη λαγκρανζιανη συναρ-τηση που διεπει τη δυναµικη τη µηχανη του Atwood που απεικο-νιζεται στο Σχηµα και υπολογιστε την επιταχυνση τη µαζαm2;

5. Μια χαντρα ειναι περασµενη σε ενα συρµα, το οποιο βρισκεται σεκατακορυφο επιπεδο και το σχηµα του προσδιοριζεται απο τη συ-ναρτηση z = f(x). Η χαντρα κινειται ελευθερα στο συρµα υπο τηνεπενεργεια τη βαρυτητα. Να γραφει ηΛαγκρανζιανη τη χαντρακαι να µελετηθει η κινηση τη κοντα σε ενα τοπικο ελαχιστο τη κα-µπυλη που σχηµατιζει το συρµα.

6. Φαινοµενο Aharonov-Bohm : (α) Το µαγνητικο πεδιο στο εσωτερικοενο απειρου κυλινδρικου σωληνοειδου ακτινα R, ειναι σταθερο,

3.6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 79

εν£ω στο εξωτερικο του ειναι µηδεν. ∆ειξτε οτι το ανυσµατικο δυνα-µικο

~A(~x) =

B2(−y, x, 0), για x2 + y2 < R2

12

BR2

x2+y2 (−y, x, 0), για x2 + y2 ≥ R2.

παραγει ενα τετοιο µαγνητικο πεδιο. Στην παραπανω εκφραση ~x =(x, y, z) και ο αξονα z εχει ληφθει κατα µηκο του µαγνητικου πε-διου. (β)Κατασκευαστε τη Λαγκρανζιανη ενο φορτισµενου σωµα-τιδιου που κινειται µεσα στο παραπανω πεδιο και δειξτε οτι οσο τοσωµατιδιο βρισκεται εκτο πεδιου η Λαγκρανζιανη περιγραφει τηνκινηση ελευθερου σωµατιδιου. [Υποδειξη : Θα σα φανει χρησιµη ηταυτοτητα

d

dttan−1

(y

x

)

=−yx+ xy

x2 + y2.]

(γ) Υπολογιστε τη δραση για µια φυσικη διαδροµη που βρισκεταιεξολοκληρου εκτο του σωληνοειδου µε αρχικη θεση ~x1 στο χρονο0 και τελικη θεση ~x2 στο χρονο t. (δ) Ενα σωµατιδιο που ερχεταιαπο απειρη αποσταση µακρια απο το σωληνοειδε και περνα εξωαπο το σωληνοειδε, ειτε απο πανω (π.χ. θεωρηστε την ευθυγραµµηδιαδροµη απο το (−∞, R, 0) στο (∞, R, 0)), ειτε απο κατωαπο αυτο(π.χ. θεωρηστε τη διαδροµη απο το (−∞,−R, 0) στο (∞,−R, 0)),περιγραφεται απο µια κυµατοσυναρτηση τη µορφη exp(ıS/~) ο-που S ειναι η δραση που αντιστοιχει στη διαδροµη και ~ η σταθερατου Planck. Προκειµενου οι κυµατοσυναρτησει να ειναι οι ιδιε ειτεαπο πανω ειτε απο κατω, τι συµπερασµα συναγετε για τη µαγνητικηροη Φ = πR2B στο εσωτερικο του σωληνοειδου;

7. Εστω η Λαγκρανζιανη

L =m

2

(

|~x|2 −1

ω2|~x|2)

.

Γραψτε τι εξισ£ωσει Euler - Lagrange που διεπουν την κινηση και


δειξτε οτι η τροχια του συστηµατο διδεται απο την

~x(t) = ~a+~b t+ ~c sin(ωt) + ~d cos(ωt) .

Θετοντα τι σταθερε ~a,~b αντιστοιχω ισε µε το κεντρο µαζα καιτην ορµη του κεντρου µαζα δυο σωµατιδιων ιδια µαζα, δειξτεοτι η Λαγκρανζιανη αυτη περιγραφει την κινηση δυο σωµατιδιωνπου αλληλεπιδρουν µε δυναµικο αρµονικου ταλαντωτη. (Φ. Χατ-ζηωαννου)

Documents

Κεφαλαιο“ 3users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/03.pdf · 2011. 10. 17. · Κεφαλαιο“ 3 Συν“αρτηση Lagrange “Αυτ“ο που πραγµατικ