1.Introdução

Experiência de Reynolds Escoamento Laminar e Turbulento*

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

CAPÍTULO X - ESCOAMENTO TURBULENTO

1

Escoamento bem ordenado;

camadas adjacentes de fluido

escoando umas sobre as outras;

Mistura entre as camadas se

restringem em nível molecular

Transf. de partículas fluidas entre as

camadas adjacentes (superposição do

escoam. aleatório sobre o escoam.

ordenado). Ocorre à velocidades maiores

(maiores transf. de calor e massa - mistura

de partículas de fluido entre as camadas

adjacentes)

* é mais encontrado na prática Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Visualização do Escoamento Turbulento em Sistemas AbertosVisualização do Escoamento Turbulento em Sistemas Abertos

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

2

Unic

am

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EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Ensaio em um túnel de ventoEnsaio em um túnel de vento

Unic

am

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/EQ

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e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

3

Unic

am

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EQ

/EQ

541 F

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ransport

e I

Visualização do escoamento laminar e turbulento em Sistemas FechadosVisualização do escoamento laminar e turbulento em Sistemas Fechados

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

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e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

LaminarLaminar

4

Unic

am

p/F

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/EQ

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enôm

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ransport

e I

TurbulentoTurbulento

Unic

am

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EQ

/EQ

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e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

5

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento laminar Tratamento Analítico bem

desenvolvido

Escoamento Turbulento complexidade e natureza aparentemente

aleatória das flutuações encontradas

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

6

tratamentos semi-teóricos

ajuda de dados experimentais

formulação do perfil de velocidade

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

2. Propriedades Médias no Tempo

variáveis do escoamento variam com o tempo,

ainda que o escoamento seja permanente

Ex.: instantânea num dado ponto, varia f (I, direção), ≠

v v

Escoamento turbulento

vr

v

Unic

am

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EQ

/EQ

541 F

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

7

.

(a) escoamento permanente (b) escoamento transiente

Variação da velocidade

local com o tempo no

escoamento turbulento

v (x, y, z)

v

t

v (x, y, z, t)

v

t

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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e T

ransport

e I

Propriedade média no tempo

Velocidade média no tempoVelocidade média no tempo

Qq. prop. do escoamento permanenteA = A (x, y, z) + A ' (x, y, z, t)

∫+

∆=

∆t t

t

t)dtz,y,A(x,t

1A

∫+

∆=

∆t t

txx t)dtz,y,(x,v

t

1v

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

8

Qq. prop. do escoamento permanente(soma do valor médio e as flutuações)

A = A (x, y, z) + A ' (x, y, z, t)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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e T

ransport

e I

ComponentesComponentes dada velocidadevelocidade

escoamentoescoamento turbulentoturbulento permanentepermanente

vx = vx (x, y, z) + vx' (x, y, z, t)

vy = vy (x, y, z) + vy' (x, y, z, t)

vz = vz (x, y, z) + vz' (x, y, z, t)

* coordenadas cartesianas

3. Propriedades dos valores médios no tempo

(i) C + D = C + D

( ii) K.C = K. C K = constante

( iii)

( iv) Se C = 0 e D = 0 não necessariamente C.D será nulo

.

n

C

nC

__

∂

∂=

∂∂

Ver o caso da figura abaixo

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

0D.CC.D >≠

9

.Ver o caso da figura abaixo

CD

CD

D

C

Amplitude

tempo

Variações das propriedades e

de seu produto com o tempo

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

0D.CC.D >≠

No escoamento permanente, a média das flutuações no tempo de uma

propriedade é nula .

sendo, B = B + B' como,

então, ( ) ∫∫∫+++

′+=′+∆

=∆t t

t

∆t t

t

∆t t

t

dtB∆t

1dtB

∆t

1dtBB

t

1B

∫+

∆=

∆t t

t

Bdtt

1B

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

como B é constante

10 Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

como B é constante

∫+

′∆

+=∆t t

t

dtBt

1BB∫∫

++

′+=∆t t

t

∆t t

t

dtB∆t

1dt

∆t

BB

Por definição: Com isso, B' =0

∫+

=′∆

∆t t

t

0dtBt

1

∫+

′∆

=′∆t t

t

dtBt

1B

Escoamento turbulento permanenteEscoamento turbulento permanente

∫+

=′∆

=′∆t t

yy 0t)dtz,y,(x,vt

1v

∫+

=′∆

=′∆t t

txx 0t)dtz,y,(x,v

t

1v

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

11

∫+

=′∆

=′∆t t

tzz 0t)dtz,y,(x,v

t

1v

∫ =′∆

=′ t

yy 0t)dtz,y,(x,vt

v

Apesar das médias no tempo das flutuações turbulentas serem nulas,

estas contribuem nos valores médios das outras quantidades

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Energia cinéticaEx.:

Energia cinética média por

unidade de volume

mas, C + D = C + D

( ) ( ) ( )

′++′++′+ρ=

2zz

2yy

2xx vvvvvv

2

1E

Unic

am

p/F

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541 F

enôm

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

12

mas, C + D = C + D

então

( ) ( ) ( )[ ]2zzz

2z

2yyy

2y

2xxx

2x vvv2vvvv2vvvv2v

2

1E ′+′++′+′++′+′+ρ=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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e T

ransport

e I

mas, 0v mas ,0.0

2

x ≠′′=′=′⇒=′ xxxxx vvvvv

0v mas ,0.02

y ≠′′=′=′⇒=′ yyyyy vvvvv

0v mas ,0.02

z ≠′′=′=′⇒=′ zzzzz vvvvv

então, ( )2z

2y

2x

2z

2y

2x vvvvvv

2

1E ′+′+′+++ρ=

Unic

am

p/F

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/EQ

541 F

enôm

enos d

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

13

então, ( )zyxzyx vvvvvv2

E ′+′+′+++ρ=

Intensidade de turbulência

onde v∞ velocidade média do escoamento

∞

′+′+′

≡v

3/vvv

I

2z

2y

2x

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

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e T

ransport

e I

4. Equações de Navier- Stokes para Escoamento Turbulento

Equações de Navier-Stokes obtidas para o

escoamento laminar

Capítulo VIII

Equações de Navier- Stokes para ao

escoamento turbulento

valor médio e a flutuação

Unic

am

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EQ

/EQ

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e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

14

Equação de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressível

direção x:

(Coordenadas cartesianas)

x

2 xxxx vρ

µ

x

p

ρ

1

xg

z

v

zv

y

v

yv

x

v

xv

t

v∇+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

vx = vx + vx'

Então:

Sendo que:

( )( )

x

vv

x

vv

x

vv

x

vv

x

vvvv

x

vv x

xx

xx

xx

xxx

xxx

x∂

′∂′+

∂

∂′+

∂

′∂+

∂

∂=

∂

′+∂′+=

∂

∂

∂

∂

x

vv x

xEscrevendo toda a componente x de modo análogo ao descrito para

e, tomando a média no tempo para o escoamento permanente

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

15

∂

′∂′+

∂

′∂′+

∂

′∂′ρ−∇µ+

∂

∂−ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

z

vv

y

vv

x

vvv

x

pg

z

vv

y

vv

x

vv x

zx

yx

xx2

xx

zx

yx

x

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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e T

ransport

e I

Lembrando que C + D = C + Dx

vv

x

vv

x

vv x

xx

xx

x∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

Equação da continuidade para o escoamento

permanente e fluido incompressível

Então,

0v =∇ •r

0z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v zyxzyx =

∂

′∂+

∂

′∂+

∂

′∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

pois xv é constante com o tempo 0x

v0vvv x

zyx =∂

′∂⇒=′=′=′

/FE

Q/E

Q541 F

enôm

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ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

16

Tomando a média no tempo,

Logo, 0z

v

y

v

x

v zyx =∂

∂+

∂

∂+

∂

∂então

0z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v zyxzyx =∂

′∂+

∂

′∂+

∂

′∂=

∂

′∂+

∂

′∂+

∂

′∂

0z

v

y

v

x

v zyx =∂

′∂+

∂

′∂+

∂

′∂

Uic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Portanto, ( ) ( ) ( )z

vv

y

vv

x

v

z

vv

y

vv

x

vv zxyx

2xx

zx

yx

x∂

′′∂+

∂

′′∂+

∂

′∂=

∂

′∂′+

∂

′∂′+

∂

′∂′

De modo análogo,

Então,( ) ( ) ( )

∂

′′∂+

∂

′′∂+

∂

′∂ρ∇µ+

∂

∂−ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

z

vv

y

vv

x

v-v

x

pg

z

vv

y

vv

x

vv zxyx

2x

x2

xx

zx

yx

x

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

17

( ) ( ) ( )

z

vv

y

v

x

vv v

y

pg

z

vv

y

vv

x

vv

zy2

yyxy

2y

yz

yy

yx

∂

′′∂+

∂

′∂+

∂

′′∂ρ−∇µ+

∂

∂−ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρDireção y:

Direção z:( ) ( ) ( )

z

v

y

vv

x

vvv

z

pg

z

vv

y

vv

x

vv

2zzyzx

z2

zz

zz

yz

x

∂

′∂+

∂

′′∂+

∂

′′∂ρ−∇µ+

∂

∂−ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

5. Tensão Aparente

Forças hipotéticas adicionais que consideram os efeitos da turbulência

Escoamento permanente turbulento

médio no tempo

comportamento semelhante ao

do escoamento laminar

≠

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

18

Forças aparentes por

unidade de volume

( )( ) ( ) ( )

∂

′′∂+

∂

′′∂+

∂

′∂ρ−=

z

vv

y

vv

x

vdf zxyx

2x

apx

( )( ) ( ) ( )

∂

′′∂+

∂

′∂+

∂

′′∂ρ−=

z

vv

y

v

x

vvdf

zy2

yyx

apy

( )( ) ( ) ( )

∂

′∂+

∂

′′∂+

∂

′′∂ρ−=

z

v

y

vv

x

vvdf

2zyxzx

apz

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

As tensões relacionadas a essas forças são chamadas tensões aparentes ou tensões

turbulentas ou tensões de Reynolds

(cubo infinitesimal de fluido)

Relações entre as tensões

aparentes e as forças

aparentes

( )( ) ( ) ( )

∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

σ∂ρ−=

zyxdf

apxzapxyapxx

apx

( )( ) ( ) ( )

∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂ρ−=

zyxdf

apyzapyyapyx

apy

( ) ( ) ( ) σ∂τ∂τ∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

19

( )( ) ( ) ( )

∂

σ∂+

∂

τ∂+

∂

τ∂ρ−=

zyxdf

apzzapzyapzx

apz

Tensor tensão aparente relaciona-se com as flutuações de velocidade

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

′ρ−′′ρ−′′ρ−

′′ρ′ρ−′′ρ−

′′ρ′′ρ′ρ−

=

σττ

τστ

ττσ

2zzyzx

zy2

yyx

zxyx2

x

zz zyzx

yzyyyx

xzxyxx

v vv vv

vv- v vv

vv- vv- v

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento turbulento

parcelas macroscópicas de fluido, que

tem movimento aleatório (mesma

função que as moléculas no escoam.

laminar)

6. Viscosidade Turbilhonar

Escoamento laminar

tensões de cisalhamento devem

a um escoamento macroscopicamente

bem ordenado

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

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e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

20

Tensão aparenteextrapolação do caso laminar

laminar)

Ação do efeito macroscópico é de

ordem superior

Viscosidade turbilhonarviscosidade

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Conceito de viscosidade turbilhonar pode ser associado as velocidades

Estudo do escoamento turbulento utilizando hipóteses adicionais:

Boussinesq foi o pioneiro ao utilizar esse conceito de viscosidade turbilhonar

Escoamento paralelo bidimensional

permanente

(Semelhança da lei da viscosidade de Newton)

( )

=τ

dy

vdA z

apyz

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

21

permanente

onde: A - viscosidade turbilhonar

Viscosidade turbilhonar cinemática

( )

=τdy

Aapyz

( ) aparente tensãoapyz −τ

ρ=εA

dinâmicaar turbilhonde viscosida-A

cinemáticaar turbilhonde viscosida- εonde: U

nic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

7. Teoria do comprimento de mistura de Prandtl

Avanços no estudo escoam. turbulento

(tensões aparentes e variações da velocidade)

Teoria do comprimento de

mistura de Prandtl

(interpretação física)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

22

PrandtlPrandtl introduziu um modelomodelo bastante simplificado de transferênciatransferência dede

quantidadequantidade dede movimentomovimento, baseado nas partículaspartículas de fluido, que sese deslocamdeslocam

entre diferentesdiferentes regiõesregiões dodo escoamentoescoamento, que tem o mesmo comportamento

aleatório das moléculas no escoamento laminar.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

y

Prandtl utiliza a hipótese de que em qualquer ponto y do escoamento, parcelas

de fluido inicialmente distantes de l, comprimento de mistura, aparecem em intervalos

de tempo aleatórios, acima e abaixo do ponto y.

até chegarem ao ponto y , em cujo

Essas partículas de fluido ao chegarem ao ponto y ainda estão com as velocidades

médias no tempo dos seus pontos de origem )(ou )( ll −+ yvyv xx

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

23

.

y +l

y - l

y

l

l

y

Comprimento de mistura de Prandtl

até chegarem ao ponto y , em cujo

instante repentinas trocas de quantidade de

movimento ocorrem de modo que

aparecem flutuações de velocidade

aleatório nesse ponto y

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Comprimento de mistura, ,

* distribuição de velocidade

média no tempo próximo de y

* escolha do valor do comprimento

de mistura

Amplitude da flutuação

resultante

lv (y + )

y

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

24

Comprimento de mistura, ,

é escolhido de modo que a

TQM cause as mesmas

flutuações na direção de

escoamento, que o

escoamento real com suas

ações mais complicadas.

l

Velocidades médias no tempo pelo

modelo de Prandtl.

l

l

vx (y + l)

(y)

(y - l)

v

vx

vx

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Matematicamente tem-se:

Comprimento de mistura é pequeno o suficiente para que se possa escrever:

yxyxyx vvv −=′±l

ll

l

±

′=

±

−=

± yxyxyxxvvv

dy

vd

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

25

Prandtl admitiu ainda que:

de modo que:

logo,xy vkv ′=′dy

vdkv x

y l±=′

2x2

yxdy

vdkvv

±=′′ l

*valor negativo (fluido move-se de uma região mais rápida, para outra mais lenta)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

tem-se

Comparando o modelo de Boussinesq e de Prandt

Introduzindo 22 kL l=

( ) ( )2

x2yxapxy

dy

vdLvv

ρ=′′ρ−=τ

( )

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

26

( )

ρε=τ

dy

vd xapxy

( )dy

vd

dy

vdL xx2

apxy ρ=τ

=ε

dy

vdL x2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Distribuição de velocidades a partir da teoria de Prandtl

Modelo de Prandtl admitiu que próximo a uma superfície plana sólida

o é diretamente proporcional a y, logo:

L = K1y

vx aumenta na direção y, portanto dv/dy >0

l

onde K1 é adimensional e deve ser determinado experimentalmente

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

27

vx aumenta na direção y, portanto dv/dy >0

Nessa região a tensão de cisalhamento deve-se somente a turbulência, e mantêm-se

constante até uma determinada altura h, onde se verifica a máxima velocidade média no

tempo

Logo:

2

xxyo

dy

vdyρkττ

221

== hy0 ≤≤

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Integrando:yk

/

dy

vd

1

ox ρτ= 1

1

ox Cyln

k

/v +

ρτ=

Usando. então a condição de contorno dada pela última hipótese:

y = h 11

o.máxx Chln

k

/vv +

ρτ== assim, hln

k

/vC

1

o.máx1

ρτ−=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

28

então hlnk

/vyln

k

/v

1

o.máx

1

ox

ρτ−+

ρτ=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Nikuradse obteve dados experimentais no escoamento em tubos e verificou que

a equação acima pode ser extrapolada para um tubo

logo,h

yln

k

1

/

vv

1o

x.máx −=ρτ

−Equação válida

para placa plana

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

29

Para toda a extensão do tubo quando k1 = 0,4, substituindo-se então h por R(raio

do tubo)

*Figura 13.5- Comparação dos dados para escoamento em tubo liso Ref.: Welty

R

yln

k

1

/

vv

1o

x.máx −=ρτ

−(unidades de velocidade)

(1)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

R

yln

k

1

/

vv

1o

x.máx −=ρτ

−

Equação (1)

30

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

8. Perfil Universal de velocidades

(velocidade

adimensional)

de modo que a equação (1) torna-se:

Forma mais apropriada

(escoamento turbulento em tubos lisos)ρτ

=+

/

vv

o

x

( ) 22

Cylnk

1v +=+ (2)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

31

Define-se um pseudo número de Reynolds:

a equação (2) torna-se

onde β é uma constante adimensional

2k

y/

y o

ν

ρτ=+

( )β+=+ρτ

ν= +

++

lnylnk

1C

/

yln

k

1v

22

o2

(3)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

v +

y +5 30

Dados experimentais de Nikuradse

e Reichardt

*Figura 13.6 - Correlação de velocidade

para escoamento em tubos circulares

lisos para altos No Re (Welty)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

32

núcleo turbulento y+ ≥ 30 v+ = 5,5 + 2,5 ln y+

camada buffer 5 ≤ y+ ≤ 30 v+ = - 3,05 + 5 ln y+

subcamada laminar 0 < y+ < 5 v+ = y+

Det. as consts. da equação (3)

(4a)

(4b)

(4c)

Distribuição universal de velocidades

(tampão)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Equação (4.a)

33

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Equação (4.b)

Equação (4.c)

*Importante: Natureza empírica, mas não são totalmente consistentes

Ex.: o gradiente de velocidade no centro do tubo predito pela equação 4a

não é zero.

Equações são extremamente úteis para descrever o escoamento

turbulento permanente em tubos lisos

ε afeta o escoamento no núcleo turbulento, mas não

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

34

ε afeta o escoamento no núcleo turbulento, mas não

na subcamada laminar

A constante β da equação abaixo, para tubos rugosos, torna-se:

Em tubos rugosos:

ν

ρτε−=β

/ln4,3ln o

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

9. Outras Relações Empíricas para o Escoamento Turbulento

Lei da Potência e de Blasius

Perfil de velocidades(tubos circulares lisos)

onde R - raio do tubo

n - expoente adimensional que depende do Re

Relações empíricas importantes

n/1

.máxx

x

R

y

v

v

= Lei da Potência

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia

Tannous

35

Re = 105

000.200Re4000 ≤≤ 10n6 ≤≤

n=7 (*)

7/1

.máxx

x

R

y

v

v

=

equação mais utilizada

Correlação de Blasius para tubos:

Re = 105

4/1

.máx x

2.máx xo

Rvv0225,0

νρ=τ

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I