UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU CENTRO DE CINCIAS TECNOLGICAS

ENGENHARIA ELTRICA

APLICAO DO MTODO DE LAGRANGE AO PROBLEMA DE DISTRIBUIO DA GERAO

LUCAS ZIMMERMANN

BLUMENAU 2011

LUCAS ZIMMERMANN

APLICAO DO MTODO DE LAGRANGE AO PROBLEMA DE DISTRIBUIO DA GERAO

Trabalho de Concluso de Curso apresentado para avaliao no curso de Engenharia Eltrica, Centro de Cincias Tecnolgicas da Universidade Regional de Blumenau, como requisito parcial para obteno do grau de Engenheiro Eletricista.

Prof. Ricardo Jos de Oliveira Carvalho, Dr. - Orientador

BLUMENAU 2011

That man is richest whose pleasures are cheapest Henry David Thoreau

RESUMO

O seguinte trabalho utiliza o mtodo de Despacho Econmico Clssico para otimizar a distribuio de potncia entre unidades geradoras termeltricas de um sistema de energia. Os sistemas aqui estudados so hipotticos e servem de base para execuo de dois algoritmos desenvolvidos para despacho econmico. Atravs da tcnica dos multiplicadores de Lagrange uma funo de custo restrita formulada, que posteriormente derivada para obteno do ponto de menor custo da operao. O problema abordado primeiramente desconsiderando-se as perdas nas linhas de transmisso, onde um algoritmo de despacho econmico sem perdas construdo para solucionar o problema. A quantificao da sensibilidade das perdas em relao potncia gerada abordada em seguida com a construo do algoritmo de despacho econmico com perdas. O principal objetivo deste trabalho comparar ambos os mtodos e concluir quanto s diferenas dos resultados apresentados por ambos. Inicialmente um estudo sobre fluxo de carga realizado, apresentando um algoritmo especfico para soluo deste problema atravs do mtodo numrico de Newton-Raphson. Este algoritmo, posteriormente executado juntamente aos de despacho econmico para o clculo da potncia ativa perdida, que tambm deve ser fornecida pelas unidades geradoras do sistema. No total, quatro sistemas hipotticos so propostos e executados em ambos os algoritmos para comparao dos resultados. As principais concluses obtidas so: pequena diferena percentual entre os resultados de ambos os algoritmos, onde aquele que considera as perdas fornece sempre a distribuio de menor custo. O tempo necessrio para encontrar a soluo tima a mesma entre os algoritmos, apesar da diferena de complexidade na formulao destes dois mtodos. Este tempo coerente para aplicaes em tempo real. A pequena diferena percentual entre os mtodos tida como conclusiva apenas em casos onde as linhas de transmisso possuem poucas variaes entre si. Para casos extremos, onde uma linha possui resistncia trs vezes superior a outra, a economicidade do resultado fornecido pelo algoritmo que considera as perdas atinge 20% em relao a aquele que no as considera.

Palavras-chave: Despacho Econmico; Multiplicador de Lagrange; Perda incremental; Fluxo de Carga; Newton-Raphson.

ABSTRACT

The following paper uses the method of Classic Economic Dispatch to optimize the distribution of power among the thermal plants of an energy system. The systems studied here are hypothetical and serve as basis for the implementation of two algorithms developed for economic dispatch. Through the Lagrange multiplier technique a restricted cost function is formulated, which is then differentiated and set to zero, to obtain the operating point of lowest cost. The problem has been approached firstly disregarding the losses in transmission lines, where an algorithm of the economic dispatch problem neglecting losses is built. The quantification of the sensitivity of losses with respect to the power generated is then approached with the construction of the economic dispatch algorithm including losses. The main objective of this study compares both methods and concludes the differences of the results presented in both. Initially a load flow study is performed, with a specific algorithm to solve this problem through the numerical method of Newton-Raphson. This algorithm is then run together with the economic dispatch for the calculation of active power losses, which must also be provided by generating units of the system. In total, four hypothetical systems are proposed and implemented in both algorithms to compare the results. The main conclusions are: small percentage difference between the results of both algorithms, where the one that considers the losses always provides the distribution of lowest cost. The time required to find the optimal solution is the same between the algorithms, despite the difference of complexity in the formulation of these two methods. This timeframe is consistent for real time applications. The small percentage difference between the methods is taken as conclusive only in cases where transmission lines have few variations among

them. In extreme cases, where a line is three times more resistive that the other, the economy

of the result provided by the algorithm that considers the losses reaches 20% compared to the one which does not consider them.

Key words: Economic Load Dispatch; Lagrange multiplier; Incremental losses; Load flow; Newton-Raphson.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Identificao dos elementos do sistema disposto em anel ..................................... 14

Figura 2 - Modelo equivalente de uma linha de transmisso .............................................. 15 Figura 3 - Sistema com trs barras e dois geradores ............................................................... 17

Figura 4 - Circuito equivalente do sistema de trs barras (a), e seu circuito simplificado (b). 18

Figura 5 - Sistema composto por seis barras do exemplo 2.4.2 ............................................... 32

Figura 6 - Visualizao do problema de otimizao ................................................................. 40

Figura 7 - Contornos equi-custos da superfcie de custo ......................................................... 42

Figura 8 - Linhas de custo incremental ..................................................................................... 45

Figura 9 - Representao grfica das equaes de despacho econmico ............................... 47

Figura 10 - Sistema composto por trs barras e dois geradores do exemplo 4.3.1................. 61

Figura 11 - Sistema composto por seis barras e trs geradores do exemplo 4.3.2 ................. 63

LISTA DE ALGORITMOS

Newton-Raphson.....................................................................................................................29

Fluxo de carga..........................................................................................................................31

Mtodo heurstico para restries de desigualdade...............................................................47

Despacho Econmico sem Perdas...........................................................................................49

Despacho Econmico com Perdas...........................................................................................57

SUMRIO

1 INTRODUO 9

1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO 10 1.2 SISTEMAS DE ENERGIA ELTRICA 11 1.2.1 PLANEJAMENTO E OPERAO DO SISTEMA DE ENERGIA ELTRICA 12 1.2.2 REPRESENTAO DOS SISTEMAS DE ENERGIA ELTRICA 14

2 ANLISE DE FLUXO DE CARGA 17

2.1 MATRIZ DE ADMITNCIA 18 2.1.1 MONTAGEM DA MATRIZ DE ADMITNCIA 20 2.2 FORMULAO DA SOLUO DO FLUXO DE CARGA 21 2.2.2 CLASSIFICAO DAS VARIVEIS DO SISTEMA 22 2.2.3 CLASSIFICAO DAS BARRAS DO SISTEMA 23 2.3 MTODO NMERICO PARA SOLUO DO FLUXO DE CARGA 24 2.3.1 ADEQUAO DAS EQUAES DE FLUXO DE CARGA 25 2.3.2 APLICAO AO MTODO DE NEWTHON-RAPHSON 27 2.3.3 ALGORITMO PARA O MTODO DE NEWTON-RAPHSON 29 2.4 SOLUO DO FLUXO DE CARGA 30 2.4.1 ALGORITMO PARA SOLUO DO FLUXO DE CARGA 31 2.4.2 EXEMPLO DE APLICAO EM SISTEMA COM SEIS BARRAS 32

3 DISTRIBUIO DA GERAO 35

3.1 MODELAGEM DAS UNIDADES GERADORAS 36 3.1.1 CRITRIO DE CUSTO 37 3.2 RELAES DE RESTRIO 39 3.3 FORMULAO DA SOLUO DA OTIMIZAO 40 3.3.1 EQUAES DE DESPACHO ECONMICO 42 3.3.2 GENERALIZANDO PARA UM SISTEMA COM N BARRAS 46 3.3.3 ADIO DAS RESTRIES DE DESIGULDADE 47 3.4 SOLUO DO DESPACHO ECONMICO SEM PERDAS 48 3.4.1 ALGORITMO PARA DESPACHO ECONMICO SEM PERDAS 49 3.4.2 EXEMPLO DE APLICAO EM SISTEMA COM SEIS BARRAS 50

4 DESPACHO ECONMICO COM PERDAS 52

4.1 FORMULAO DA SOLUO 53 4.1.1 CLCULO DO FATOR DE PERDA INCREMENTAL 55 4.2 SOLUO DO DESPACHO ECONMICO 56 4.2.1 ALGORITMO PARA O DESPACHO ECONMICO COM PERDAS 57 4.2.2 EXEMPLO DE APLICAO EM SISTEMA COM SEIS BARRAS 58 4.3 COMPARATIVO DAS OTIMIZAES 60 4.3.1 EXEMPLO DE APLICAO EM SISTEMA COM TRS BARRAS E DOIS GERADORES 60 4.3.2 EXEMPLO DE APLICAO EM SISTEMA COM SEIS BARRAS E TRS GERADORES IGUAIS 63 4.3.3 EXEMPLO DE APLICAO EM SISTEMA COM SEIS BARRAS E TRS GERADORES 65

5 CONCLUSES E SUGESTES 68

5.1 PONTOS PENDENTES 69 5.2 EXTENSO DO PROJETO 71

REFERNCIAS 73

9

1 INTRODUO

O crescimento das redes de fornecimento de energia eltrica tem possibilitado a interligao de diversas unidades geradoras no mesmo sistema, o que aumenta a confiabilidade no abastecimento dos grandes centros de carga. Este crescimento amplia o nmero de possibilidades, mas tambm introduz desafios ao planejamento e operao, que precisam coordenar simultaneamente todas as variveis presentes no sistema.

A partir do instante que uma rede composta por mais de uma unidade geradora, torna-se necessrio coorden-las quanto quantidade de potncia que deve ser fornecida por cada unidade. Tendo em vista os altos custos de gerao de eletricidade, a abordagem clssica desta operao objetiva minimizar os custos operativos, atravs de uma distribuio tima da potncia demandada. Esta abordagem conhecida como Despacho Econmico clssico, e trata de alocar a demanda de potncia de maneira tima entre as unidades geradoras termeltricas de um sistema de energia eltrica.

Na abordagem clssica deste problema, a soluo formulada com a tcnica matemtica dos multiplicadores de lagrange. Onde as restries do sistema so somadas a funo objetivo, por intermdio de uma constante de multiplicao. Este mtodo, desenvolvido pelo matemtico francs Joseph-Louis Lagrange, quando aplicado a otimizao de sistemas de energia, permite que a restrio imposta pelo balano de potncia e a funo que expressa o custo de gerao das unidades, sejam expressos em apenas uma equao, na qual o ponto mnimo deve ser encontrado.

Neste contexto, o presente trabalho almeja estudar tal tcnica de otimizao, e posteriormente aplic-la em sistemas de energia hipotticos, que tero como caractersticas fundamentais a presena de mais de uma fonte de energia eltrica, e diversas cargas conectadas na mesma rede. Estas aplicaes ocorrero por intermdio de algoritmos escritos em linguagem MATLAB.

A considerao das perdas nas linhas de transmisso desempenham um papel desafiador nesta otimizao. Inicialmente, a falta de conhecimento das tcnicas matemticas limitavam os engenheiros em otimizar a distribuio da potncia entre os geradores sem considerar a localizao relativa destes, ou seja, as perdas do sistema eram desprezadas. Posteriormente, as perdas eram consideradas de maneira aproximada. Apenas com o

10

surgimento de tcnicas mais modernas que o problema pode ser tratado com as perdas consideradas com exatido. Portanto, este trabalho construir dois algoritmos principais, um que resolve o despacho econmico desconsiderando as perdas no sistema, como era feito no passado, e outro que leva em considerao de maneira exata as perdas ocorridas. A comparao entre os resultados encontrados por estes dois algoritmos, fornecer concluses sobre a economia gerada com esta evoluo na otimizao de distribuio da gerao.

1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO

O desenvolvimento desta pesquisa foi dividido em etapas, organizando-a e facilitando o alcance de objetivos. As etapas se resumiram em, primeiramente estudar em profundeza os contedos pertinentes ao trabalho, desde anlise nodal e construo de matrizes de admitncia at mtodos sofisticados para otimizao da distribuio da gerao. Posteriormente, os mtodos estudados foram traduzidos na linguagem de programao, no intuito de automatizar a soluo dos problemas propostos de forma genrica. Por conseqncia desta metodologia de desenvolvimento, este trabalho est apresentado seguindo a mesma ordem.

Com o conhecimento dos temas estudados, optou-se por apresentar de maneira modesta e clara, as dedues e formulaes dos problemas e solues tratados na literatura clssica de sistemas de energia. Quando necessrias, citaes de carter histrico tambm compem os temas abordados, referenciadas com as respectivas obras pioneiras e/ou relevantes.

Ainda neste captulo uma reviso dos conceitos bsicos de sistemas de energia ser apresentada, focando nos principais critrios exigidos para compreenso dos captulos posteriores, e esclarecendo as consideraes adotadas para o trabalho. Nos trs captulos subseqentes o tema Distribuio da Gerao foi fragmentado em: primeiramente um estudo sobre o fluxo de carga em redes de energia, seguido pelo estudo de otimizao da distribuio da potncia gerada, desconsiderando a existncia de perdas no sistema. Por ltimo uma abordagem mais completa sobre o tema, otimizando a distribuio de potncia considerando as perdas. Estes captulos principais seguem uma ordem padro de apresentao dos seus temas, que consiste em: formulao do problema; formulao da soluo; apresentao da soluo e exemplo de aplicao.

11

Ao final do terceiro captulo, as diferentes abordagens sobre a distribuio da gerao so confrontadas em uma comparao de resultados obtidos com a simulao de sistemas hipotticos.

O ltimo captulo dedicado a concluso final sobre o estudo, e registra algumas sugestes a serem consideradas em trabalhos futuros.

1.2 SISTEMAS DE ENERGIA ELTRICA

O SEE (Sistema de Energia Eltrica) tem os objetivos de gerar energia eltrica em quantidade suficiente, transmiti-la aos centros de carga, e ento distribu-la aos consumidores individuais. A energia fornecida para os consumidores deve obedecer a critrios de qualidade. Os fatores bsicos que determinam a qualidade do sistema so:

Frequncia do sinal de tenso constante;

Amplitude do sinal de tenso constante;

Alta confiabilidade. Estes critrios devem ser atendidos levando em considerao ainda a diminuio dos

custos e dos impactos ambientais, o que estabelece desafios como a minimizao das perdas eltricas no sistema, e a otimizao das unidades geradoras, para que o mnimo seja consumido das fontes primrias de energia.

Nas unidades de gerao, a energia de fontes primrias como massas de gua, ventos, combustveis fsseis, radiao solar, convertida em energia eltrica para que possa ser transportada aos consumidores. Nos sistemas de energia atuais, estas unidades esto interligadas para aumentar a confiabilidade do sistema, de modo que a potncia requerida pelas cargas pode ser gerada em diversas unidades, pois o sistema de transmisso e distribuio se encarregar de transport-la para onde for preciso. Dentre as formas de gerao de energia eltrica as usinas hidreltricas e termeltricas so as unidades mais comuns. Os geradores hidreltricos so acionados por turbinas hidrulicas, movidas por quedas dgua. As usinas termeltricas produzem energia a partir da queima de um combustvel especfico (carvo, petrleo, gs natural, biomassa ou nuclear). Outras energias primrias tambm usadas para gerao de eletricidade, mas com menor representatividade, so os ventos, nas usinas elicas, e a radiao solar, nas usinas solares. Apesar da pequena

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presena atual, evidente o crescimento da participao destas fontes na matriz energtica, dada a preocupao com a falta de renovabilidade, principalmente nas usinas termeltricas.

O armazenamento de energia eltrica feito com grande dificuldade, assim sendo, em grande escala nenhum equipamento utilizado para esse fim, impondo uma variao constante na operao dos geradores, pois estes devem gerar a quantia que est sendo consumida, seja na forma de cargas conectadas ao sistema ou perdas na transmisso da energia. Este conceito de equidade recebe o nome de balano de potncia.

1.2.1 Planejamento e Operao do Sistema de Energia Eltrica

A dificuldade em planejar a operao de sistemas geradores de energia eltrica evoluiu com o crescimento da capacidade de gerao, e com o uso cada vez mais freqente desta forma de energia, para o funcionamento e desenvolvimento das sociedades modernas. Os primeiros sistemas eltricos de potncia forneciam energia basicamente para a iluminao, e eram constitudos por apenas uma unidade geradora, trmica ou hidrulica. Os sistemas geravam a energia solicitada; na eventualidade de no conseguirem atender a demanda reprimiam o consumo, isto , cortavam carga. Pode-se afirmar que inexistia o problema do planejamento da operao. Rapidamente, a energia eltrica conquistou enorme importncia para as sociedades industrializadas. As fbricas substituram as mquinas a vapor por motores eltricos, e um grande nmero de equipamentos movidos a eletricidade mostrou-se indispensvel s comunidades. Em funo desta realidade, os sistemas de gerao de energia eltrica foram obrigados a crescer muito, baixar os custos de produo, e aumentar a confiabilidade, para garantir a continuidade do suprimento. O planejamento da operao dos sistemas de gerao de energia eltrica assumiu grande importncia, e foi se tornando progressivamente mais complexo.

Quando os sistemas geradores passaram a operar mais de uma unidade, tornou-se necessrio descobrir a forma mais eficiente de coordenar o uso do equipamento. Por exemplo, se existiam vrias mquinas trmicas, os profissionais do planejamento viram-se diante de questes como: quantas mquinas devem ser ligadas ao mesmo tempo, quando as mquinas devem ser ligadas, quanta energia deve gerar cada mquina, quando conveniente parar mquinas para manuteno (RABLO, 2008). Este desenvolvimento exigiu dos operadores de uma unidade serem capazes de se comunicarem com aqueles em outras unidades geradoras, agora interligadas no mesmo sistema, no intuito de coordenarem suas operaes. Ao rpido passo do desenvolvimento dos sistemas de energia, mais e mais unidades foram

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construdas e interconectadas, tornando-se necessrio delegar a operao de vrias plantas de cada sistema a apenas um local responsvel. Este desenvolvimento resultou no estabelecimento dos operadores do sistema, ou centros de despacho (do ingls: Dispatcher offices) em praticamente todos os sistemas de energia. (MILLER; MALINOWSKI, 1994, p. 1, traduo nossa)

Nos centros de despacho modernos o planejamento da operao objetiva determinar uma estratgia de gerao que minimize o valor esperado dos custos operativos, respeitando um conjunto de restries relacionadas ao sistema eltrico, s instalaes das usinas geradoras e tambm de natureza ambiental. No Brasil o rgo responsvel por este planejamento, operao fsica e o despacho energtico do Sistema Interligado Nacional (SIN) de energia eltrica o ONS Operador Nacional do Sistema.

Cotidianamente, a operao de qualquer sistema de energia eltrica trata com o mais importante modo de funcionamento global do sistema, chamado de regime permanente. O regime permanente supe o sistema funcionando em um determinado ponto de operao, sem variaes nas grandezas eltricas que o definem, como por exemplo freqncia e amplitude dos sinais de tenso e corrente. Tem-se assim uma modelagem esttica do SEE, significando que a rede representada por um conjunto de equaes e inequaes algbricas. Neste regime as variaes com o tempo so suficientemente lentas para que se possa ignorar os efeitos

transitrios (MONTICELLI, 1983, p. 1). Enquanto o regime transitrio, ou dinmico, ocorre na prtica em ocasies raras, como em grandes faltas ou perturbaes classificadas de larga escala. Neste regime a condio de equilbrio esttico j no pode mais ser considerada (ELGERD, 1976, p. 425).

possvel dividir o estudo do SEE em regime permanente, nas seguintes trs subreas: i. Modelo de sistema e anlise do fluxo de carga. ii. Desenvolvimento de estratgia tima de gerao. iii. Controle de sistemas.

Neste trabalho, o objetivo o estudo de estratgias timas para gerao da energia (ii), deste modo, toda anlise a ser realizada considera o sistema operando em regime permanente.

Os conceitos envolvidos na modelagem e na anlise do fluxo de carga do sistema (i) sero abordados no segundo captulo para melhor compreenso do tema principal, a ser abordado nos captulos subseqentes.

14

1.2.2 Representao dos Sistemas de Energia Eltrica

O setor responsvel por transmitir a energia eltrica aos centros de carga lida com os maiores blocos de potncia, como tambm interliga as estaes geradoras e todos os pontos de maior carga do sistema. A rede de transmisso possui uma estrutura em anel, caracterizada pela interconexo de vrias barras de um mesmo sistema. A estrutura em anel permite uma maior combinao de percursos para fluxo de potncia, portanto serve melhor ao propsito do nvel de transmisso.

FIGURA 1 - IDENTIFICAO DOS ELEMENTOS DO SISTEMA DISPOSTO EM ANEL

Na Figura 1 apresentado o diagrama unifilar de um sistema disposto em anel, tambm esto identificados os principais elementos que compem um sistema de energia eltrica. Este diagrama unifilar considera o sistema em regime permanente, o que permite uma modelagem mais simples dos elementos envolvidos.

A modelagem de cada elemento torna possvel representar o sistema como um circuito eltrico genrico, sendo assim, as barras passam a ser ns, os geradores so fontes de tenso, e os transformadores representados por impedncias. O elemento linha de transmisso possui uma modelagem mais elaborada, obtida atravs das principais caractersticas de desempenho deste elemento, que podem ser aproximadas e representadas por um circuito equivalente, onde

a representao mais comum em sistemas de energia o circuito (ELGERD, 1976, p. 209). O modelo equivalente de uma linha de transmisso, representado na Figura 2,

definido por trs parmetros: a resistncia srie Rij; a reatncia srie Xij; e a susceptncia shunt shijB . A impedncia do elemento srie

ij ij ijZ R jX+ (1.1) Que pode ser invertida matematicamente para obter a admitncia srie:

15

12 2 2 2

ij ijij ij ij ij

ij ij ij ij

R XY G jB Z j

R X R X+ = =

+ +

(1.2)

Ou seja, a condutncia srie ijG e a susceptncia srie ijB so dadas, respectivamente, por:

2 2 2 2; ij ij

ij ijij ij ij ij

R XG B

R X R X

= =

+ + (1.3)

Quando o modelo representa uma linha de transmisso tem-se Rij e Xij positivos, o que implica ijG positivo e ijB negativo (tipo indutivo). J o elemento shijB positivo, pois o shunt do tipo capacitivo (MONTICELLI, 1983, p. 5).

FIGURA 2 - MODELO EQUIVALENTE DE UMA LINHA DE TRANSMISSO

Neste trabalho os transformadores no sero tratados, pois no problema de distribuio da gerao estes exercem pouca influncia, apesar de sua grande importncia para o sistema de energia eltrica. Os transformadores so responsveis por variar o nvel das tenses, permitindo assim que altas potncias possam ser transportadas por grandes distncias com o mnimo de perdas, bem como ser distribuda aos consumidores em um nvel seguro de tenso. Estes elementos tambm podem variar as tenses com maior nvel de preciso, os chamados transformadores reguladores, e exercem grande importncia para a operao dos sistemas, por permitirem a estabilizao da tenso sempre nos nveis desejveis, porm para este estudo adicionariam uma complexidade desnecessria. Outro elemento importante no funcionamento dos sistemas de transmisso de energia so os elementos compensadores. So conhecidos como Shunt de Barra, por serem conectados normalmente nas barras, onde esto os terminais das linhas de transmisso, no intuito de compensar algum excesso de reativo naquela linha. Bancos de indutores so constantemente utilizados como compensadores nas linhas de transmisso de extra-alta

tenso, pois a capacitncia natural para terra,

shijB , destas linhas, assume valores elevados,

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dificultando a operao dos sistemas. Com os elementos shunts bem posicionados, diminuda a necessidade de energia reativa fornecida pelos geradores. Na modelagem de sistemas de energia, dada a existncia de transformadores por toda a rede, a unidade de trabalho alterada para que as grandezas citadas at ento possam ser analisadas sem dependncia do seu posicionamento no sistema. Desta forma, as impedncias, correntes, tenses e potncias so expressas em valores por unidade, pu, ao invs de usar ohms, ampres, quilovolts, megavars ou megawatts. Para isso necessrio estabelecer um valor base, que permitir relacionar os valores em por unidade com suas grandezas reais. Ou seja, em diferentes pontos da rede, as grandezas bases so variadas, para que as grandezas relativas possam ser comparadas sem a necessidade da relao de transformao.

2 ANLISE DE FLUXO DE CARGA

Os clculos de fluxo de cargacomportamento esttico do sistema em uma nodal da rede elaboram-se calculados atravs dessas equaes so basicamente as tenses nas bapotncia ativa e reativa nas linha

potncia gerada e consumida naconstituem este sistema.

Como visto, em qualquer anlise de um sistema de energia eltrica deve ser formulum modelo adequado para representar aescalas, com centenas ou milhares de barras, necessrio tambm desenvolver mtodos que sejam sistemticos e acessveis a um computador, delegando a esse as operaesenvolvidas no processo.

Para elaborao do modelo da rede e obteno das equaes de comportamento esttico do sistema, ser analisado o 3. Este exemplo suficiente para elaborar as equaes gerais que grandezas envolvidas em um estudo de fluxo de carga.analisar um sistema qualquer

realizadas para este caso simplificado.

FIGURA

ANLISE DE FLUXO DE CARGA

Os clculos de fluxo de carga, ou fluxo de potncia, servem para comportamento esttico do sistema em uma determinada situao. Atravs d

se as equaes gerais que definem o fluxo de calculados atravs dessas equaes so basicamente as tenses nas ba

ncia ativa e reativa nas linhas de transmisso. Para tanto so necessriosncia gerada e consumida nas barras, e os parmetros das linhas de transmisso

em qualquer anlise de um sistema de energia eltrica deve ser formulum modelo adequado para representar a rede. Como as redes atualmente possuem grandes escalas, com centenas ou milhares de barras, necessrio tambm desenvolver mtodos que sejam sistemticos e acessveis a um computador, delegando a esse as operaes

Para elaborao do modelo da rede e obteno das equaes de comportamento ser analisado o exemplo composto por trs barras suficiente para elaborar as equaes gerais que

grandezas envolvidas em um estudo de fluxo de carga. A extrapolao necessria para lquer de n barras ser obtida facilmente a partir das dedues

realizadas para este caso simplificado.

FIGURA 3 - SISTEMA COM TRS BARRAS E DOIS GERADORES

17

servem para analisar o

Atravs de uma anlise as equaes gerais que definem o fluxo de carga. Os parmetros

calculados atravs dessas equaes so basicamente as tenses nas barras e os fluxos de Para tanto so necessrios dados referentes

linhas de transmisso que

em qualquer anlise de um sistema de energia eltrica deve ser formulado rede. Como as redes atualmente possuem grandes

escalas, com centenas ou milhares de barras, necessrio tambm desenvolver mtodos que sejam sistemticos e acessveis a um computador, delegando a esse as operaes algbricas

Para elaborao do modelo da rede e obteno das equaes de comportamento apresentado na Figura

suficiente para elaborar as equaes gerais que relacionam todas as A extrapolao necessria para

ser obtida facilmente a partir das dedues

Inicialmente o sistema da representam as linhas de transmissopotncia, fornecendo o circuito com todos os parmetros 4a. Nas linhas de transmisso

Associando as admitncias incidentes em uma mesma barra, e substituindo as barras por ns, o sistema toma forma de um circuito genricoapresentado na Figura 4b.

FIGURA 4 - CIRCUITO EQUIVALENTE

Para obteno das admitncias 4b, foram somadas as admitncias das linhas em paralelo que ligavam as barras ao terra na Figura 4a. As admitncias admitncias srie das linhas que cone

simplificao do circuito faz com

utilizado.

2.1 MATRIZ DE ADMIT

Para qualquer sistema, independente do nmero de barras, em cada barra entre as grandezas eltricas processadas na barra sempre

Outra condio que ser sempre atendida impe o balano das correntes em cada barra, atravs da Lei de Kirch

Inicialmente o sistema da Figura 3 redesenhado inserindo os parmetros que representam as linhas de transmisso e simplificando os geradores e cargas para

circuito com todos os parmetros necessrios, de transmisso, os parmetros srie aqui utilizados so as admitn

Associando as admitncias incidentes em uma mesma barra, e substituindo as barras toma forma de um circuito genrico o que facilita a anli

CIRCUITO EQUIVALENTE DO SISTEMA DE TRS BARRAS (A), E SEU CIRCUITO SIMPLIFICAD

Para obteno das admitncias Y1, Y2 e Y3, que ficam entre os ns e o terra na , foram somadas as admitncias das linhas em paralelo que ligavam as barras ao terra na

a. As admitncias Y4, Y5 e Y6, que esto entre os ns na Figura das linhas que conectam as barras na Figura 4a. Esta possibilidade de

simplificao do circuito faz com que o modelo da linha de transmisso seja o mais

MATRIZ DE ADMITNCIA

Para qualquer sistema, independente do nmero de barras, em cada barra entre as grandezas eltricas processadas na barra sempre vlida:

*.i i iS V I=

Outra condio que ser sempre atendida impe o balano das correntes em cada

Lei de Kirchhoff das Correntes:

1 2 3i i i i inI I I I I= + + ++

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redesenhado inserindo os parmetros que

e simplificando os geradores e cargas para fontes de

apresentado na Figura

, os parmetros srie aqui utilizados so as admitncias.

Associando as admitncias incidentes em uma mesma barra, e substituindo as barras

o que facilita a anlise. Este circuito

CIRCUITO SIMPLIFICADO (B)

, que ficam entre os ns e o terra na Figura

, foram somadas as admitncias das linhas em paralelo que ligavam as barras ao terra na

Figura 4b, so as prprias

. Esta possibilidade de

da linha de transmisso seja o mais

Para qualquer sistema, independente do nmero de barras, em cada barra i a relao

(2.1) Outra condio que ser sempre atendida impe o balano das correntes em cada

(2.2)

19

A corrente , injetada na barra, deve ser igual soma das correntes transportadas pelas linhas de transmisso em direo as barras adjacentes. Onde n o nmero total de barras do sistema, e os termos referentes s correntes entre barras que no esto conectadas por linhas de transmisso sero nulos nesta equao.

Aplicando o conceito de balano das correntes atravs da anlise nodal na Figura 4b, encontra-se o seguinte conjunto de equaes:

( )( )( )

1 1 1 1 2 5 1 3 4

2 2 2 2 1 5 2 3 6

3 3 3 3 1 4 3 2 6

. . ( ).

. . ( ).

. . ( ).

I V Y V V Y V V Y

I V Y V V Y V V Y

I V Y V V Y V V Y

= + +

= + +

= + +

(2.3)

Define-se:

11 1 4 5

22 2 5 6

33 3 4 6

12 21 5

13 31 4

23 32 6

y Y Y Yy Y Y Yy Y Y Yy y Yy y Yy y Y

+ +

+ +

+ +

=

=

=

(2.4)

Estas definies so necessrias para que o conjunto de equaes (2.3) possa ser reescrito como:

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

. . .

. . .

. . .

I y V y V y VI y V y V y VI y V y V y V

= + +

= + +

= + +

(2.5)

Observa-se que este conjunto de equaes possui um padro que mantido independente do tamanho do sistema. Portanto, para um sistema com n barras o conjunto de equaes (2.5) pode ser separado nos seguintes vetores e matrizes:

1

2

n

II

I

I

Vetor Corrente de Barra

20

1

2

n

VV

V

V

Vetor de Tenso de Barra

11 1

1 n

n

n n

y yY

y y

=

Matriz de Admitncia de Barra

O conjunto de equaes (2.5) pode ser reescrito na formal matricial:

.I Y V= (2.6)

Generalizando o conjunto de equaes (2.5) para um sistema com n barras, tem-se para cada barra i:

1 .

n

i in nn

I Y V=

= (2.7)

2.1.1 Montagem da Matriz de Admitncia

A matriz de admitncia, Y, constituda apenas por termos passivos de um sistema,

por conter somente parmetros que no variam de acordo com a operao do sistema, sendo essa em regime permanente.

Para montagem desta matriz em um sistema qualquer com n barras:

Os elementos da diagonal principal (yii) so obtidos pela soma algbrica de todas as admitncias incidentes no n i.

Os elementos fora da diagonal, yij = yji so obtidos das admitncias que ligam

os ns i e j, com sinal negativo. Para o exemplo contendo trs barras essa montagem foi feita atravs da definio dos

elementos na equao (2.4). Cada elemento da matriz de admitncia possui um termo real e outro imaginrio, por vezes conveniente separar esses elementos entre o elemento real,

condutncia , G, e o elemento imaginrio, susceptncia, B, deste modo a matriz de admitncia pode ser reescrita como:

Y G jB= + (2.8)

21

2.2 FORMULAO DA SOLUO DO FLUXO DE CARGA

2.2.1 Formulao Bsica

Na prtica, a potncia de Barra especificada ao invs da corrente . Para se

adaptar a esta condio, aplica-se o complexo conjugado em ambos os lados da igualdade na equao (2.1), desta forma possvel substituir o termo pela equao (2.7), para obter:

* * *

1. . .

N

i i i i i i ij jj

S P jQ V I V Y V=

= = = (2.9)

Nesta equao as potncias das barras esto em funo das tenses e os elementos passivos do sistema, contidos na matriz de admitncia. Estas so as variveis necessrias para

o clculo de fluxo de carga, entretanto algumas expanses se fazem necessrias para a

posterior resoluo deste problema. Substituindo + , obtm-se:

*

1. ( ).

n

i i i ij ij jj

P jQ V G jB V=

= + (2.10)

A multiplicao dos termos e reescrita como . .(cos sin )i j ij ijV V j , onde

ij i j = . Desta forma os termos fasoriais da equao (2.10) so eliminados:

1.si. . ( .cos )n ( . .sicos n )i i i j ij ij ij ij ij ij ij ij

n

jP jQ V V G B j B G

=

= + + (2.11)

Separando os termos referentes s potncias ativa e reativa, encontra-se as equaes

estticas de fluxo de carga:

1

1

.. .( .cos sin )

. .( sin .cos. )

i i j ij ij ij ijj

i i j ij ij i

n

j ij

n

j

P V V G B

Q V V G B

=

=

= +

=

(2.12)

Essas equaes so no-lineares, portanto no so passveis de soluo analtica, e

sero resolvidas atravs de mtodos numricos. Essas equaes so algbricas porque

representam um modelo esttico do sistema, ou seja, considera o sistema em regime

22

permanente. Por este motivo no existe nas equaes a varivel de freqncia, pois em um

regime permanente a freqncia dita constante (ELGERD, 1976, p. 226).

2.2.2 Classificao das Variveis do Sistema

A quantidade de variveis necessrias para a soluo deste problema ainda

proibitiva, ser necessrio a especificao de algumas delas para que as demais sejam calculadas. Para isso um estudo sobre as variveis envolvidas deve ser feito:

Primeiramente, a potncia de barra deve ser separada em termos de potncia gerada

e demandada na barra:

i Gi Di

i Gi Di

P P PQ Q Q

=

=

(2.13)

As potncias demandadas nas barras so classificadas como variveis de perturbao,

pois no podem ser controladas, apenas previstas. Estas variveis sero especificadas para a

soluo do fluxo de carga pelas equaes (2.12), pois considera-se que conhecida a potncia demandada pelas cargas do sistema.

O mesmo no acontece para as potncias geradas nas barras, estas devem ser

especificadas de tal forma que o balano de potncia seja atendido. Portanto, para todas as barras do sistema que possuem geradores, a quantidade de potncia ativa deve ser

especificada atendendo a soma das potncias demandadas. Entretanto haver perdas de

potncia ao longo do sistema que devem ser fornecidas tambm pelos geradores, e no podem

ser previstas antes do clculo de fluxo de carga. Por isso utilizado o mtodo de manter uma

barra como referncia, onde esta tambm possui um gerador, e a sua potncia uma incgnita

que ser resolvida ao final do clculo de fluxo de carga. Neste mtodo, a barra de referncia

ser a responsvel por manter o balano das potncias no sistema. A especificao das

potncias para cada gerador definir o comportamento das tenses nas barras, assim, estas

variveis so classificadas como variveis de controle. Os mtodos utilizados para especific-

las de maneira otimizada o principal enfoque deste trabalho, e ser tratado nos prximos

captulos.

Um terceiro grupo de variveis formado pelas tenses nas barras, tanto os mdulos

quanto os ngulos. Estas so classificadas como variveis de estado por serem controladas

atravs das potncias nas barras e no diretamente.

Assim, o problema de fluxo de carga lida com trs conjuntos de variveis:

23

1

1

D

D

Dn

Dn

P

Pp

Q

Q

Vetor de Perturbao (2.14)

1

1

G

G

Gn

Gn

P

Pu

Q

Q

Vetor de Controle (2.15)

1

1

n

n

V

V

x

Vetor de Estado (2.16)

Com as consideraes feitas at aqui, a quantidade de variveis j no um empecilho soluo do problema de fluxo de carga, visto que o vetor de perturbao conhecido, o

vetor de controle especificado, e apenas o vetor de estado ser calculado. De acordo com a

equao (2.16) so duas variveis para cada barra, i e iV . Tambm so duas as equaes (2.12), o que torna o problema solucionvel.

2.2.3 Classificao das Barras do Sistema

Feita a anlise das variveis, possvel tambm classificar as barras do sistema com

base no tipo de especificao das variveis:

Nas Barras de Carga, ou Barras PQ, so conhecidas as potncias ativas e reativas demandadas, PDi e QDi, e especificadas PGi e QGi. A soluo do fluxo de carga fornecer Vi e

i

para estas barras. Comumente estas so as barras prximas de centros de carga onde a

potncia gerada zero.

Nas Barras de Gerao, ou Barras PV, so conhecidas as potncias ativas e reativas demandadas, PDi e QDi, e especificadas PGi e Vi. A soluo do fluxo de carga fornecer QGi e

i para estas barras. Comumente estas so as barras conectadas a geradores, e dificilmente

24

possuem cargas ligadas diretamente a elas, o que faz com que a potncia demandada seja normalmente zero.

Na Barra de Referncia, ou Barra V, so conhecidas as potncias ativas e reativas demandadas, PDi e QDi, e especificadas Vi e i . A soluo do fluxo de carga fornecer PGi e QGi para estas barras. Essa uma barra de gerao comum, mas escolhida como responsvel pelo fechamento da potncia no sistema, por isso tambm chamada de barra de balano (do ingls: swing bus).

2.3 MTODO NMERICO PARA SOLUO DO FLUXO DE CARGA

Simplificando a anlise de fluxo de carga possvel resolv-lo analiticamente aps a

linearizao das equaes (2.12), entretanto este mtodo aproximado, e para muitos sistemas resulta em valores proibitivamente imprecisos. Tal estudo pode ser utilizado para fins

didticos (ELGERD, 1976, p. 261). Para a soluo do problema de fluxo de carga neste trabalho no sero utilizadas tais

simplificaes. Ser enfrentado o problema de obter solues para um sistema de equaes

algbricas no-lineares simultneas atravs de um mtodo de estimativas sistemticas, que

um algoritmo de iterao numrica que atribui valores estimados para as tenses de barra

desconhecidas e calcula um novo valor para cada tenso de barra a partir dos valores

estimados nas outras barras, e das variveis especificadas. Ento obtido um novo conjunto de tenses de barra. Cada clculo de um novo conjunto de tenses chamado de iterao. O processo iterativo repetido at que as mudanas em todas as barras sejam menores do que uma tolerncia mnima especificada.

Muitos mtodos foram propostos na vasta literatura sobre tcnicas numricas. Os

principais, que tm provado serem teis na soluo do fluxo de carga so: O mtodo de

Gauss, o mtodo de Gauss-Seidel, o mtodo de Newton-Raphson e mtodos desacoplados.

Neste trabalho ser utilizado o mtodo de Newton-Raphson, ou acronimamente NR.

O mtodo de NR trata-se do mtodo de iterao mais sofisticado. Na maioria dos

casos ele no oferece riscos de divergncia, e como regra geral, a convergncia por ele

proporcionada muito mais rpida do que nos processos de Gauss e Gauss-Seidel (ELGERD, 1976, p. 274).

25

2.3.1 Adequao das Equaes de Fluxo de Carga

Para utilizao do mtodo iterativo, uma anlise criteriosa precisa ser feita

primeiramente sobre as equaes bsicas do fluxo de carga, deduzidas anteriormente pela

aplicao da lei de Kirchhoff das correntes, que resultou as equaes:

1. .( .cos s n ). ii i j ij ij ij ij

j

n

P V V G B =

= + (2.17)

1.. .( sin .cos )i i j ij ij ij ij

j

n

Q V V G B =

= (2.18)

De acordo com a classificao das barras no sistema, as equaes (2.17) e (2.18) so utilizadas para calcular Vi e i nas barras PQ; i e Qi nas barras PV; e Pi e Qi na barra de referncia. Quando todas essas incgnitas forem encontradas, ser conhecido o estado (Vi, i) para todas as barras da rede, o que torna possvel o clculo de outras variveis de interesse,

como, por exemplo, os fluxos de potncia nas linhas de transmisso, as perdas dessas linhas,

etc. Sejam NPQ e NPV, respectivamente, o nmero de barras PQ e PV da rede. O problema formulado anteriormente pode ser decomposto em dois subsistemas de equaes algbricas:

Subsistema 1: Neste problema so dados Pi e Qi nas barras PQ, e Pi e Vi nas barras PV; pretende-se calcular Vi e i nas barras PQ, e i nas barras PV. Trata-se de um sistema 2NPQ+NPV equaes algbricas no-lineares com o mesmo nmero de incgnitas, ou seja:

1. .( .cos sin. ) 0i i j ij ij ij ij

j

nespP V V G B

=

+ = (2.19)

para as barras PQ e PV

1.. .( sin .cos ) 0i i j ij ij ij ij

j

nespQ V V G B

=

= (2.20)

para as barras PQ

Onde piesP e pi

esQ so, respectivamente, a potncia ativa e reativa especificadas nas barras.

Subsistema 2: Aps resolvido o Subsistema 1, e portanto j sendo conhecidos Vi e i para todas as barras, deseja-se calcular Pi e Qi na barra de referncia, e Qi nas barras PV. Trata-se de um sistema com NPV+2 equaes algbricas no-lineares com o mesmo nmero

de incgnitas, no qual todas as incgnitas aparecem de forma explcita, o que torna trivial o

26

processo de soluo. Note-se que o mesmo no ocorre com o Subsistema 1, no qual as incgnitas so implcitas, o que exige um processo iterativo de resoluo conforme ser

mostrado adiante. Neste subsistema, resolve-se a equao (2.17) para as barras de referncia, e a equao (2.18) para as barras PV e de referncia.

As incgnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor x dado a seguir:

xV

=

(2.21)

Em que o vetor dos ngulos das tenses das barras PQ e PV, e V o vetor das magnitudes das tenses das barras PQ. As equaes (2.19) e (2.20), que formam o Subsistema 1, podem ser reescritas do seguinte modo:

( , ) 0esi i p iP P P V = = (2.22) para as barras PQ e PV

( , ) 0esi i p iQQ Q V = = (2.23) para as barras PQ

As funes iP e iQ , so chamados resduos, e podem ser colocadas na forma vetorial

( , ) 0espP P P V = = (2.24)

( , ) 0esp QQ Q V = = (2.25)

em que P o vetor das injees de potncia ativa nas barras PQ e PV, e Q o das injees de potncia reativa nas barras PQ.

Seja ( )f x a funo dada por

( )f x PQ

=

(2.26)

Por meio desta funo, o Subsistema 1, dado pelas equaes (2.22) e (2.23), pode ser colocado na forma

( ) 0f x = (2.27)

27

2.3.2 Aplicao ao Mtodo de Newthon-Raphson

O sistema de equaes algbricas no-lineares do Subsitema 1 poder agora ser resolvido pelo mtodo de NR. Este mtodo pode ser compreendido atravs de aplicaes

algbricas genricas em trabalhos anteriores como o de Nagano (2009) ou na literatura de sistemas de energia como em Monticelli (1983).

Aplicando o mtodo na resoluo das equaes de fluxo de carga busca-se determinar

o vetor de correo x, o qual tende a zero conforme as iteraes v so incrementadas, o que exige a resoluo do sistema linear

( ) ( ).v v vf x J x x= (2.28)

No caso em que o sistema de equaes a ser resolvido o Subsistema 1, tem-se

( )v

v

v

Pf xQ

=

(2.29)

v

v

vx

V

=

(2.30)

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

v

v

v

P Pf x V

J x Q QxV

= =

(2.31)

Onde o vetor vP

possui NPQ+NPV elementos, e o vetor vQ possui NPQ elementos, visto que nas barras de gerao a potncia reativa no especificada. O vetor v

possui NPQ+NPV elementos, e vV possui apenas NPQ elementos por ter os mdulos de tenso especificados nas barras de gerao.

J a matriz Jacobiana, e pode ser reescrita considerando-se as equaes dos vetores

P e Q dadas em (2.24) e (2.25), e lembrando-se de que espP e espQ so constantes.

( )

v

v

P PV

J x Q QV

=

(2.32)

28

Sendo as submatrizes que compem a matriz Jacobiana, representadas por

;

;

P PH NV

Q QM L

V

(2.33)

Onde H uma matriz de NPQ+NPV linhas por NPQ+NPV colunas; N uma matriz de NPQ+NPV linhas e NPQ colunas; M uma matriz com NPQ linhas e NPQ+NPV colunas; e L uma matriz com NPQ linhas e NPQ colunas.

Utilizando-se as equaes (2.32) e (2.33), a equao (2.28), que define a aplicao do mtodo de NR ao fluxo de carga, pode, finalmente, ser colocada na forma:

.

v v v

v v

P H NM LQ V

=

(2.34)

As componentes das submatrizes jacobianas H, N, M, L so dadas por:

2

sin. .( . .cos )

. . .( .si .cn os )

iij i j ij ij ij ij

j

iii i ii i m ij ij ij ij

j Ii

PH V V G BH

PH V B V V G B

= =

= =

(2.35)

sin

si

.( .cos . )

. .( .c nos . )

iij i ij ij ij ij

j

iii i ii j ij ij ij ij

j Ii

PN V G BV

NPH V G V G BV

= = +

= = + +

(2.36)

2

. .( .cos . )

. . .( .

sin

sios . )nc

iij i j ij ij ij ij

j

iii i ii i j ij ij ij ij

j Ii

QM V V G BM

PM V G V V G B

= = +

= = + +

(2.37)

.( . .cos )

. .

si

( . .cosin )

n

s

iij i ij ij ij ij

j

iii i ii j ij ij ij ij

j Ii

QL V G BV

L QL V B V G BV

= =

= = +

(2.38)

29

A partir das equaes (2.35) a (2.38) pode-se concluir que, se = + for nulo, ento os elementos ijH , ijN , ijM , ijL tambm sero nulos.

2.3.3 Algoritmo para o Mtodo de Newton-Raphson

Definindo como a tolerncia mxima de erro, o mtodo de NR aplica-se resoluo

do Subsistema 1 atravs do seguinte algoritmo (MONTICELLI, 1983, p. 84):

i. Fazer v = 0 e escolher os valores iniciais dos ngulos das tenses das barras PQ e PV ( = ), e as magnitudes das tenses das barras PQ ( = ).

ii. Calcular Pi( vV , v ) para as barras PQ e PV, e Qi( vV , v ) para as barras PQ, e determinar os resduos viP e

v

iQ atravs das equaes (2.22) e (2.23).

iii. Testar convergncia: se MAX{| |}viP & MAX{| |}viQ , o processo iterativo convergiu para a soluo ( vV , v ); caso contrrio, continuar.

iv. Calcular a matriz jacobiana atravs das equaes (2.35) a (2.38).

v. Determinar a nova soluo ( 1vV + , 1v + ):

1v v vV V V+ = + (2.39)

1v v v + = + (2.40)

Sendo vV e v determinados resolvendo-se o sistema linear

, , ,

,

( ) ( ) ( ).

( ) ) ),( (,

v v v v v v v v

v v v v v v v v

P V H V N VQ V VM V L V

=

(2.41)

vi. Fazer 1v v+ = e voltar para o passo (ii).

30

2.4 SOLUO DO FLUXO DE CARGA

Com base nas dedues demonstradas neste captulo deve-se inicialmente analisar as

exigncias necessrias que devem ser atendidas por quaisquer tcnicas de clculo que possa

ser proposta:

devem permitir o manejo de equaes algbricas no-lineares; devem permitir o manejo de sistemas tendo, talvez, centenas de barras; devem ser suficientemente precisas;

no devem consumir muito tempo, posto que ser desejvel realizar vrios clculos de Fluxo de Carga a fim de obter o melhor fluxo possvel;

as equaes de Fluxo de Carga, (2.12), so equaes complexas.

Torna-se bvio que, para atender a todas as exigncias, deve-se procurar mtodos de

clculo com mquina. Historicamente, o problema de fluxo de carga era resolvido em

computadores analgicos especiais, chamados analisadores de rede (ELGERD, 1976, p. 267). Atualmente, com a evoluo dos computadores digitais, o problema j resolvido em tempo real, calculando os novos parmetros de operao conforme as alteraes ocorrem no

sistema. Neste trabalho um algoritmo foi escrito, no intuito de delegar ao computador a tarefa

de soluo dos clculos.

MATLAB, que abrevia MATrix LABoratory, um programa para executar clculos

cientficos e de engenharia, e ser a base de desenvolvimento dos algoritmos utilizados neste

trabalho. O MATLAB teve sua primeira verso escrita no final da dcada de 70, e atualmente,

definido como um sistema interativo e uma linguagem de programao para computao

tcnica e cientfica em geral, integrando a capacidade de fazer clculos, visualizao grfica e

programao. De maneira geral um interpretador de comandos que trabalha essencialmente

com um nico tipo de objeto: uma matriz retangular numrica, desta caracterstica veio seu nome: Laboratrio de Matrizes.

O programa MATLAB implementa a linguagem MATLAB, e oferece uma ampla biblioteca de funes predefinadas para que a programao tcnica se torne mais fcil e eficiente. Essa variedade extremamente ampla de funes torna muito mais fcil resolver problemas tcnicos em MATLAB do que em outras linguagens, como Fortran ou C. (CHAPMAN, 2003, p. XV).

Dada a abrangncia do programa MATLAB o algoritmo desenvolvido obedeceu

necessariamente a um rigor matemtico, tratando o problema de fluxo de carga de maneira to

elementar quanto fora deduzido previamente.

31

2.4.1 Algoritmo para Soluo do Fluxo de Carga

O principal elemento de todo o algoritmo, aquele que resolve o Subsistema 1 atravs do mtodo de NR, entretanto o algoritmo completo apresentado no fluxograma abaixo:

32

2.4.2 Exemplo de Aplicao em Sistema com seis barras

O modelo de sistema de energia apresentado na Figura 5 foi testado com o mtodo proposto e os resultados so apresentados abaixo.

FIGURA 5 - SISTEMA COMPOSTO POR SEIS BARRAS DO EXEMPLO 2.4.2

Os dados deste sistema so:

DADOS DE BARRA

Nm. Barra

Tipo V

(pu)

(graus) Pg

(MW) Qg

(MVAr) Pd

(MW) Qd

(MVAr) Bsh

(MVAr) 1 2 1,05 0,00

0,00 0,00 0,00

2 1 1,00

50,00

0,00 0,00 0,00

3 0

55,00 13,00 0,00

4 0

0,00 0,00 20,00

5 0

30,00 18,00 0,00

6 0

50,00 5,00 0,00

DADOS DE LINHA

Barra Origem

Barra Destino

Resist. (pu)

Imped. (pu)

Susc. Sh. (pu)

1 4 0,08 0,37 0,20

1 6 0,12 0,52 0,00

2 3 0,72 1,05 0,10

2 5 0,28 0,64 0,00

3 4 0,00 0,13 0,00

4 6 0,10 0,41 0,00

5 6 0,00 0,30 0,00

Onde:

= 0,0001 (tolerncia) Potncia Base: 100MW Tipos de Barras:

2 V Referncia 1 PV Gerao 0 PQ Carga

A potncia demandada total 135gere 50MW, portanto o gerador 1calculadas pelo fluxo de cmelhor forma de distribuir esta potncia entre os geradores.

A soluo do fluxo de cprecisou de quatro iteraes para encontrar resultados com erro inferior ao especificado, os mdulos de tenso encontrados ao final de cada iterao esto na

Iteraes

v =1 1,0500

v =2 1,0500

v =3 1,0500

v =4 1,0500

O resultado final do f

Nota-se que com o uso de computadores realizada em velocidades suficientes do ponto de vista da operao em regime permanente

potncia demandada total 135MW, e a especificao no gerador 2gerador 1 dever gerar os 85MW restantes e mais as

carga. Nos prximos captulos sero realizadomelhor forma de distribuir esta potncia entre os geradores.

soluo do fluxo de carga obtida atravs do mtodo iterativo de NR, o qual iteraes para encontrar resultados com erro inferior ao especificado, os

mdulos de tenso encontrados ao final de cada iterao esto na Tabela

TABELA 1 - TENSES NAS BARRAS PARA CADA ITERAO

V1 V2 V3 V4 V5

1,0500 1,0000 1.0292 1,051 0,9122

1,0500 1,0000 0,9938 1,016 0,8768

1,0500 1,0000 0,9921 1,014 0,8749

1,0500 1,0000 0,9921 1,014 0,8749

O resultado final do fluxo de carga para o sistema dado apresentado abaixo:

se que com o uso de computadores modernos a anlise de fluxo de carga ocidades suficientes do ponto de vista da operao em regime permanente

33

gerador 2 para que ele MW restantes e mais as perdas a serem

realizados estudos sobre a

arga obtida atravs do mtodo iterativo de NR, o qual iteraes para encontrar resultados com erro inferior ao especificado, os

Tabela 1.

V6

0,9697

0,9356

0,9337

0,9337

luxo de carga para o sistema dado apresentado abaixo:

modernos a anlise de fluxo de carga ocidades suficientes do ponto de vista da operao em regime permanente,

34

por exemplo, no algoritmo utilizado, o problema de seis barras foi solucionado em tempo menor do que dois segundos. Para uma aplicao prtica, este algoritmo poderia ser ainda otimizado, diminuindo o tempo de soluo. Entretanto, diversas consideraes relativas robustez no foram levadas em conta, o que aumentaria o nmero de clculos necessrios em aplicaes com sistemas e condies reais.

Analisando os dados de entrada do sistema, percebe-se que todas as cargas nas barras so indutivas, e o resultado desta condio, presente no fluxo de carga, so as tenses nas barras de carga, todas elas inferiores aos valores definidos nas barras de gerao. Apenas a barra 4 apresenta sua tenso superior a 1pu, causada pela adio de um elemento shunt capacitivo de 20MVAr, que se mostra uma boa alternativa, pois esta tenso assume um valor mais adequando do que nas barras vizinhas, onde o shunt causa pouco efeito.

De toda a potncia ativa gerada, 7,3% foi perdida durante a transmisso. O balano de potncia ativa pode ser confirmado atravs dos valores de Gerao total, Consumo total e Perda total. Enquanto no caso da potncia reativa o balano s fechado se considerado o elemento shunt, no computado nos valores totais.

Os resultados obtidos com este algoritmo foram validados pelo ANAREDE. O ANAREDE um programa especfico para anlise de redes, onde sua principal funo o clculo do fluxo de carga. O desenvolvedor do programa o Centro de Pesquisas de Energia Eltrica, e neste trabalho utilizada sua ltima verso (09.04.05). Todos os casos, a serem apresentado, tiveram o fluxo de carga validado pelo ANAREDE.

O algoritmo de fluxo de carga, desenvolvido neste captulo, ser de grande relevncia posteriormente, quando ser executado juntamente aos prximos algoritmos a serem desenvolvidos, os quais precisaro das informaes do funcionamento do sistema, para poderem definir a distribuio de potncia tima entre os geradores.

35

3 DISTRIBUIO DA GERAO

Para resolver o problema de fluxo de carga, o vetor de controle u deve ser conhecido, ou seja, as potncias fornecidas pelos geradores devem ser especificadas nas barras de gerao. O desafio estudado na distribuio da gerao trata de como distribuir a potncia demandada pelo sistema entre os geradores conectados a essa rede. Para compreender a existncia deste problema toma-se como exemplo um sistema com dois geradores. Este sistema pode funcionar atendendo aos requisitos de tenso e freqncia, num nmero infinito de configuraes. Por exemplo, cada gerador pode gerar metade da potncia demandada, ou um gerador pode gerar 75% e o outro 25%, e assim por diante. No entanto apenas uma nica dessas configuraes ser a melhor, do ponto de vista econmico. Quando um sistema funciona dessa maneira, dito que ele est operando em condies timas de funcionamento.

Deve ser lembrado, no entanto, que na anlise final, algum deve tomar a deciso do que deve ser entendido como melhor ou timo em cada situao particular. Sendo assim, a escolha de um critrio timo sempre subjetiva (ELGERD, 1976, p. 301).

Um antigo mtodo de tentar a minimizao de custos da potncia entregue era solicitar potncia somente da usina mais eficiente, com cargas leves. A medida que a carga aumentava, potncia era fornecida pela usina mais eficiente at que o ponto de mxima eficincia daquela usina fosse alcanado. Ento, para acrscimos futuros na potncia demandada pela carga, a segunda usina mais eficiente deveria iniciar a fornecer potncia ao sistema, e a terceira no era chamada at que o ponto de mxima eficincia da segunda fosse alcanado. Mesmo com perdas de transmisso desprezadas, este mtodo falha na minimizao de custos (STEVENSON, 1986, p. 242).

Em busca de um mtodo mais apurado de se otimizar as potncias geradas foi necessrio a compreenso do funcionamento das unidades geradoras, para quantificar os custos envolvidos no fornecimento de energia eltrica ao sistema. Para tanto fundamental que as unidades geradoras sejam modeladas de forma realista, representando detalhadamente suas funes de produo e suas restries operativas.

36

3.1 MODELAGEM DAS UNIDADES GERADORAS

Os estudos de otimizao da distribuio da gerao iniciaram nas primeiras dcadas do sculo XX, nos Estados Unidos da Amrica, onde na poca praticamente todas as unidades geradoras eram trmicas, logo, este problema foi abordado apenas do ponto de vista da gerao trmica (KIRCHMAYER, 1958). Entretanto em pases como o Brasil, onde a principal fonte hdrica, mas necessita das fontes trmicas para cobrir as altas demandas por energia, o problema deve ser abordado de maneira diferenciada.

A utilizao simultnea de unidades geradoras trmicas e hidroeltricas levanta questes, alm daquelas tpicas de sistemas puramente trmicos. O custo de gerao associado produo hidroeltrica praticamente independe da quantidade de energia produzida. No entanto, a gua, recurso hidroeltrico de gerao, limitada e, se o sistema hidroeltrico capaz de armazenar gua, preciso avaliar, continuamente a convenincia de utilizar estes recursos, evitando gerar nas usinas termoeltricas; ou armazenar gua, na expectativa de mais benefcio no futuro. O planejamento se complica ainda mais quando existem vrias usinas hidroeltricas. A localizao e posio relativa dessas usinas podem ter um papel importante, especialmente quando elas esto construdas em uma mesma bacia hidrogrfica, sendo necessrio contemplar o acoplamento delas (RABLO, 2008).

Ramos e Dias (1983, p. 121) expem a realidade na poca da publicao de sua obra: No Brasil, o sistema gerador tem caracterstica predominantemente hidrulica, e o problema de otimizao da gerao, de suma importncia em sistemas cuja alimentao integrada tambm por usinas trmicas, no recebe ainda a devida nfase. Aps esta data, alguns trabalhos foram publicados sugerindo solues para este problema, nomeado atualmente como Despacho Hidrotrmico. Exemplos desses esforos so a tese de Rodrigues (2009) e a dissertao de Finardi (1999).

Neste presente trabalho a abordagem ser feita considerando todas as unidades geradoras como termeltricas, dada a complexidade de modelagem de uma unidade hidreltrica. Esta abordagem de otimizao da distribuio das potncias entre termeltricas conhecida como Despacho Econmico Clssico.

As unidades termeltricas possuem um funcionamento baseado na gerao de vapor dgua saturado como fora primria para uma turbina. O combustvel consumido para gerao do vapor dgua, portanto para uma modelagem esttica destas unidades geradoras, a

37

principal anlise realizada quantificar a potncia gerada e compar-la com quantidade de combustvel necessrio para ger-la.

3.1.1 Critrio de Custo

No problema de despacho econmico uma funo tomada como objetivo, onde o objetivo minimiz-la. Se tratando de gerao eltrica a funo a ser minimizada expressa o custo da potncia gerada em cada unidade geradora. O custo do funcionamento global fortemente influenciado pela distribuio das potncias ativas geradas, PGi, entre os geradores do sistema. Outras variveis, tais como os mdulos de tenso Vi afetam o custo apenas levemente. Assim, assumindo que a funo custo C seja uma funo explcita de PGi, um erro desprezvel estar sendo cometido (ELGERD, 1976, p. 303).

Todo o sistema de energia eltrica a ser considerado aqui j estar instalado, desta forma, os custos fixos, como salrios, custos de instalao de usinas, no sero considerados. Sero tratados apenas os custos que, por uma estratgia apropriada, podem ser controlados, isto , os custos de combustvel nas varias estaes de gerao.

Chamando de ci o custo dado em unidade monetria por hora, da energia produzida nos geradores da barra i, onde NG o total de barras geradoras. Sendo assim, o custo de produo global do sistema ser:

1

NG

ii

C c=

= (3.1)

potncia ativa gerada, PGi, certamente cabe a maior influncia em ci. As potncias ativas individuais geradas crescem com o aumento dos conjugados das mquinas motrizes e isso exige um consumo maior de combustvel. As potncias reativas, QGi, no exercem nenhuma influncia mensurvel sobre ci, uma vez que elas so controladas pela corrente de campo (ELGERD, 1976, p. 303). Logo, o custo individual de produo, ci, da unidade geradora i, , para efeitos prticos, funo apenas de PGi, podendo ser escrita:

( )i i Gic c P= (3.2)

Para o custo da produo global tem-se ento:

1 11

( ) ( ) ( )NG

i Gi G NG GNGi

C c P c P c P=

= = + + (3.3)

38

As funes de custo ci so fornecidas pelos fabricantes das unidades geradoras ou determinadas empiricamente. Os custos do combustvel constituem as maiores parcelas, por isso a funo obtida medindo a quantidade de combustvel queimado e a potncia gerada. Para obter-se um levantamento fiel da curva de custo necessria a aplicao de testes sob as condies mais adversas (CARVALHO, 1987, p. 27).

O Grfico 1Grfico 1 - CURVA tpicA do custo em funo da potncia para unidades

termeltricas mostra um grfico tpico do custo em funo da potncia em megawatts. A natureza geral das funes de custo a mesma para usinas a carvo, leo, gs e nuclear. O mesmo no ocorre obviamente para as usinas hidroeltricas, assim a anlise que se segue aplica-se apenas gerao trmica (ELGERD, 1976, p. 304).

GRFICO 1 - CURVA TPICA DO CUSTO EM FUNO DA POTNCIA PARA UNIDADES TERMELTRICAS

Como pode ser visto no Grfico 1, os resultados prticos demonstram que a curva de custo associada a uma unidade geradora trmica perfeitamente caracterizada por um polinmio de segundo grau, ou seja:

2. .i i Gi i Gi ic P P = + + (3.4)

Onde os termos i e i correspondem aos coeficientes de segundo e primeiro grau respectivamente, e o termo i o coeficiente de grau zero. Todos estes parmetros dependem das caractersticas operativas da unidade termeltrica.

39

3.2 RELAES DE RESTRIO

Um conjunto de variveis PGi deve ser escolhido de modo a proporcionar a minimizao da funo de custo (3.3). Essa escolha no pode ser arbitrria e necessrio observar simultaneamente certas restries de igualdade e desigualdade.

Restries de Igualdade: Como a escolha dos PGi deve ser consistente com o balano de potncia do sistema. Analisando exclusivamente o balano de potncia ativa tem-se:

10

NG

Gi D Li

P P P=

= (3.5)

Onde PL representa todas as perdas de potncia ativa ocorridas no sistema, e a demanda total PD obtida somando as demandas em todas as barras:

1

n

D Dii

P P=

(3.6)

Embora tenha sido feita a aproximao de que a potncia reativa no afeta diretamente a funo objetivo, ir afetar implicitamente por meio das perdas de potncia ativa, que esto includas no problema.

Restries de Desigualdade: Como cada gerador no deve funcionar acima de sua potncia nominal mxima ou abaixo de uma potncia mnima, as potncias geradas, PGi, devem satisfazer a desigualdade:

,min ,maxGi Gi GiP P P (3.7)

Estes limites esto ilustrados na curva de custo do Grfico 1. Geralmente, o nvel mnimo no qual a unidade pode operar influenciado mais pelos

geradores de vapor (caldeiras) do que pela turbina, e pode estar relacionado a uma srie de fatores como: as caractersticas fsicas das unidades; a manuteno da estabilidade do ciclo termodinmico; restries oriundas do problema de planejamento da operao eltrica; contratos de fornecimento mnimo de combustvel. Devido a essas restries, a maioria das unidades no pode operar abaixo dos 30% da sua capacidade nominal.

40

Quanto ao limite mximo, destaca-se o fato das turbinas no terem capacidade de sobrecarga, portanto as curvas de custo dificilmente ultrapassam os 5% a mais da capacidade nominal. (WOOD; WOLLENBERG, 1996, p. 10, traduo nossa)

3.3 FORMULAO DA SOLUO DA OTIMIZAO

Um exemplo de aplicao de ponto timo pode ser ilustrado graficamente quando se tratam de apenas duas unidades geradoras, como apresentado na Figura 6.

FIGURA 6 - VISUALIZAO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO

As funes custo de ambos os geradores so as curvas nos planos verticais. A superfcie de custo global C , portanto, funo de PG1 e PG2. O formato cncavo desta superfcie indica que ela possui um ponto de mnimo, que logicamente ocorre no limite inferior de potncia de cada gerador, pois quanto menor a potncia gerada, menor a quantidade de combustvel consumida. Entretanto, o balano de potncia indica que a soma das potncias geradas deve manter-se constante para atender a soma das demandas e das perdas. Este balano de potncia forma a superfcie de restrio de igualdade da Figura 6. Deste modo, o desafio encontrar o mnimo restrito: ponto de menor valor na interseco entre a superfcie de custo e a superfcie de restrio. Sem violar os limites impostos pela inequao (3.7). A minimizao de uma funo custo desta natureza, sujeita a restries de igualdade e desigualdade um problema de otimizao tratado por um ramo da matemtica aplicada, chamado programao no-linear (BERGEN, 1986, p. 197, traduo nossa).

41

Classicamente, o problema de despacho econmico foi tratado de duas formas distintas (RAMOS; DIAS, 1983, p. 132):

Problema de minimizao da funo custo total de produo, mas sem levar em conta a localizao relativa carga/gerao, ou seja, as perdas do sistema eram desprezadas.

Problema de minimizao da funo custo total de produo de energia, levando em conta, de forma aproximada, as perdas no sistema atravs de uma funo de penalidade adequada.

Para formulao do problema de otimizao, inicialmente a abordagem ser realizada desconsiderando as perdas nas linhas, e as dedues sero realizadas para um sistema com dois geradores, pois neste caso o problema permite uma interpretao geomtrica, como visto na Figura 6. Em sistemas com trs ou mais geradores o problema assume um nmero de dimenses superior a trs, impossibilitando a ilustrao grfica. A generalizao da formulao para um sistema com n barras ser obtida posteriormente sem muita dificuldade. Quanto abordagem mais precisa do problema, considerando as perdas nas linhas, esta ser realizada no captulo 4.

Para NG = 2, a equao (3.3) reduz-se a

1 2 1 1 2 2( ) ( )G GC c c c P c P= + = + (3.8)

Desconsiderando as perdas nas linhas, a equao (3.5) pode ser escrita:

1 2 0G G DP P P+ = (3.9)

Da mesma forma que C fora definido como funo custo, ser definido g como a funo restrio de igualdade:

1 2 1 2( , ) 0G G G G Dg P P P P P= + = (3.10)

Estas equaes foram apresentadas graficamente na Figura 6. Desta figura tambm concluiu-se que para um custo mnimo, o sistema deve funcionar de modo a ficar o mais baixo possvel na superfcie de custo e ainda permanecer no plano de restrio. O que leva ao ponto designado por mnimo restrito.

42

3.3.1 Equaes de Despacho Econmico

A Figura 7 apresenta a superfcie de custo da Figura 6, onde est representada apenas por linhas de nvel, ao longo das quais o custo C constante.

FIGURA 7 - CONTORNOS EQUI-CUSTOS DA SUPERFCIE DE CUSTO

Uma concluso importante obtida da Figura 7, que o ponto de mnimo ocorre onde a

linha de restrio 1 2( , ) 0G Gg P P =

tangente aos contornos de custo. Matematicamente, tal

exigncia pode ser inserida como se segue. Inicialmente a inclinao do contorno de custo encontrada, diferenciando a funo

custo global e igualando a zero.

1 2( , ) constanteG GC P P = (3.11)

Obtm-se

1 21 2

. . 0G GG G

C CdC dP dPP P

= + =

(3.12)

Manipulando a equao (3.12) para obter a inclinao, tem-se:

2 1

12

G G

GG

CdP P

CdP P

=

(3.13)

A diferenciao da equao de restrio (3.10) tambm fornece a equao:

2 1

12

G G

GG

gdP P

gdPP

=

(3.14)

43

A exigncia de tangncia na interseco destas equaes, permite escrever:

1 1

2 2

tanG G

G G

gCP P

C gP P

= =

(3.15)

Onde definido pela Figura 7. No ponto de mnimo constante, ento a

equao (3.15) pode ser reescrita na forma

1 1

2 2

constanteG G

G G

gCP P

C gP P

= = =

(3.16)

A constante chamada de multiplicador de Lagrange. Separando a equao (3.16):

1 1

2 2

. 0

. 0

G G

G G

C gP P

C gP P

=

=

(3.17)

Definindo uma funo lagrangena, L, que engloba em uma equao os custos e as restries de igualdade:

1 2 1 2. .( )G G DL C g c c P P P = + + (3.18)

Conclui-se que o mnimo restrito caracterizado por

1

2

0

0

G

G

LPL

P

=

=

(3.19)

Inicialmente, no problema de despacho econmico uma funo deveria ser otimizada e

outra restringia o resultado. Agora este problema est resolvido, pois foi reescrito em apenas

uma equao, (3.18), dita funo de custo restrito. Derivando parcialmente as equaes (3.10) e (3.8), obtm-se respectivamente:

44

1 2

1G G

g gP P

= =

(3.20)

1

1 1

2

2 2

G G

G G

cCP P

cCP P

=

=

(3.21)

Estas derivadas parciais so substitudas nas equaes (3.17), que fornece a concluso de que o sistema deve funcionar de modo a satisfazer as seguintes equaes de despacho

econmico:

1 2

1 2G G

c c

P P = =

(3.22)

A soluo do problema pode ento ser obtida a partir das equaes (3.22) e da equao de restrio (3.10), pois so suficientes para determinao de 1GP , 2GP e .

1

1

2

2

1 2 0

G

G

G G D

c

Pc

PP P P

=

= + =

(3.23)

As derivadas parciais i Gic P so chamadas de custo incremental (IC, do ingls: Incremental Cost) da gerao, e representam a inclinao da curva de custo. Sendo unidade monetria por hora a unidade de ci, a de IC ser unidade monetria por quilowatt-hora. Para

geradores maiores conveniente utilizar unidade monetria por megawatt-hora. apresentado na Figura 8 as linhas de custo incremental para o caso de dois geradores. O conceito de custo

incremental sobre a funo custo da unidade geradora pode ser visto no Grfico 1.

45

FIGURA 8 - LINHAS DE CUSTO INCREMENTAL

De acordo com a equao (3.22) conclui-se que para um despacho econmico, deve ser assegurado que os geradores individuais funcionem com custos incrementais de produo

iguais.

Derivando a funo de custo, (3.4), obtm-se:

2. .ii i Gi iGi

cIC PP

= = +

(3.24)

Para o problema envolvendo dois geradores, de acordo com a equao (3.23) tem-se:

1 1 1 2 2 2

1 2

2. . 2. .G GG G D

P PP P P

+ = +

+ = (3.25)

Determina-se PG1 e PG2:

2 2 11

1 2 1 2

1 1 22

1 2 1 2

.

2.( )

.

2.( )

G D

G D

P P

P P

= + + +

= + + +

(3.26)

Onde as constantes e definem as caractersticas da unidade geradora, portanto so conhecidos. PD definido na equao (3.6) como sendo a soma de todas as potncias demandadas no sistema, estas tambm so conhecidas. De tal forma que, desconsiderando-se

as perdas nas linhas, a determinao de PG1 e PG2 timos, se mostra um problema trivial.

Apesar das restries de desigualdade no terem sido consideradas at aqui, isso no

oferece problema neste caso de dois geradores, uma vez que caso algum deles viole os limites

impostos, s existe mais um gerador e ele dever gerar o restante para que o balano de

potncia seja satisfeito.

46

3.3.2 Generalizando para um Sistema com n barras

Os resultados obtidos das dedues anteriores podem ser prontamente estendidos ao

caso de n barras com NG geradores. Neste caso geral, no possvel obter uma interpretao

geomtrica to simples como aquela apresentada na Figura 6 e na Figura 7. As equaes (3.19), ao invs de duas, sero agora NG equaes:

0 para 1,2, ,Gi

L i NGP

= =

(3.27)

A funo lagrangeana, L, agora definida por:

1 21

. .( )NG

NG Gi Di

L C g c c c P P =

= + + + (3.28)

Substituindo a equao (3.28) na equao (3.27) obtm-se as equaes de despacho econmico:

= para 1,2, ,i iGi

c IC i NGP

= =

(3.29)

Nota-se que as NG equaes (3.29) mais a equao de restrio (3.10) so suficientes para determinar as NG+1 incgnitas 1 2, ,,G G GNGP P P e . De modo geral, o despacho

econmico sem perdas pode ser resolvido atravs do seguinte sistema linear:

1 11

2 22

2 0 0 10 2 0 10 0 0 1 .

2 11 1

1 0

G

G

NG GNG NG

D

PP

PP

=

(3.30)

A Figura 9 apresenta uma interpretao grfica da estratgia de despacho econmico. Cada uma das linhas de custo incremental termina no seu respectivo limite mximo de

gerao, ,maxGiP .

47

FIGURA 9 - REPRESENTAO GRFICA DAS EQUAES DE DESPACHO ECONMICO

As equaes (3.29) aplicam-se se no for violada nenhuma das restries de desigualdade, isto , se as potncias de sada dos geradores estiverem dentro dos limites

nominais. Fica claro na Figura 9 que mantendo os custos incrementais iguais, e aumentando a potncia demandada, PD, a sobrecarga ocorre primeiramente no gerador 2. Para evitar tal

sobrecarga uma nova estratgia deve ser adicionada a soluo do despacho econmico.

3.3.3 Adio das Restries de Desiguldade

A soluo do problema de despacho econmico foi apresentada atravs da formulao

do princpio de custos incrementais iguais, sendo assim sabe-se que a condio para que um

sistema composto por unidades termeltricas opere de maneira econmica, a taxa incremental

de combustvel, ou taxa de custo incremental, deve ser a mesma em todas as unidades.

Entretanto, no foram consideradas at ento as duas restries de desigualdade, apresentadas

como sendo os limites superiores e inferiores de cada unidade geradora:

,min ,maxGi Gi GiP P P (3.31)

Para um sistema operando apenas com dois geradores provou-se que este problema

seria de fcil soluo, porm considerando um sistema genrico com NG geradores, as

restries de desigualdade (3.7) devem ser tratadas devidamente. Um mtodo heurstico que soluciona as restries de desigualdade proposto por

Elgerd (1976) e Zhu (2009). Neste mtodo a regra dos custos incrementais iguais continua sendo aplicada, mas ao final da otimizao analisa-se os valores de PG, caso algum deles

tenha transposto o valor mnimo ou mximo, imposto a este gerador que funcione na sua

potncia limite. Ento, a otimizao executada novamente para satisfazer a igualdade dos

custos incrementais entre os demais geradores, bem como o balano de potncia no sistema.

48

Disposta em forma de algoritmo, esta estratgia dada da seguinte forma:

i. Negligenciar a desigualdade e calcular a distribuio de potncia ativa

nas unidades geradoras atravs do princpio de custos incrementais

iguais.

ii. Analisar cada unidade geradora segundo suas restries de desigualdade

e fazer:

,max

,max

Se Ento:

Gi Gi

Gi Gi

P PP P

=

(3.32)

,min

,min

Se Ento:

Gi Gi

Gi Gi

P PP P

=

(3.33)

iii. Subtrair a potncia a ser gerada pelas unidades que ultrapassaram seus

limites, atravs do recalculo do balano de potncia:

lim lim

1 1

NG NG

Gi D Gii ii G i G

P P P= =

= (3.34)

Onde o vetor limG composto por todas as unidades tiverem seus limites

violados.

iv. Voltar ao passo (i) e refazer o processo at que todas as unidades operem dentro de seus limites.

3.4 SOLUO DO DESPACHO ECONMICO SEM PERDAS

Para soluo do problema formulado, um algoritmo foi escrito em MATLAB,

diminuindo o tempo de soluo, e permitindo integr-lo ao algoritmo de fluxo de carga

desenvolvido previamente. A soluo poderia ser obtida trivialmente sem o auxilio do

computador, entretanto, como as perdas no so consideradas na otimizao, devem ser

calculadas pelo fluxo de carga e distribudas entres os geradores. Neste algoritmo foram

somadas parcela de gerao da barra de referncia para o clculo de custo global de gerao.

49

3.4.1 Algoritmo para Despacho Econmico sem Perdas

i. Ler os dados dos geradores: funo custo; limites de potncia.

ii. Ler as potncias ativas demandadas nas barras e som-las:

1

n

D Dii

P P=

(3.35)

iii. Resolver o seguinte sistema linear:

1 11

2 22

2 0 0 10 2 0 10 0 0 1 .

2 11 1

1 0

G

G

NG GNG NG

D

PP

PP

=

(3.36)

iv. Analisar cada unidade geradora segundo suas restries de desigualdade e aplicar

as condies propostas em (3.32) e (3.33).

v. Subtrair da demanda total a potncia a ser gerada pelas unidades que ultrapassaram

o limite, atravs do recalculo do balano de potncia dado pela equao (3.34).

vi. Se todas unidades geradoras operarem dentro de seus limites segue. Seno, voltar

ao passo (iii).

vii. Resolver o Fluxo de Carga: Ir para o algoritmo da pgina 29.

viii. Somar as perdas nas linhas, obtidas atravs do fluxo de carga, na potncia a ser

gerada pelo gerador da barra de referncia.

ix. Calcular os custos globais de gerao

x. Imprimir: Fluxo de Carga; Custo de Gerao.

50

3.4.2 Exemplo de Aplicao em Sistema com seis barras

O mesmo sistema ilustrado pela Figura 5, que teve o fluxo de carga resolvido na pgina 32, ser utilizado para soluo do despacho econmico sem perdas. Os dados do

sistema so os mesmos, porm neste caso no h necessidade de se especificar a potncia a

ser gerada por cada unidade, o algoritmo descrito previamente se encarregar de encontrar a

distribuio tima de potncia entre os geradores. Os coeficientes utilizados na funo custo

das unidades geradoras foram propostos em trabalhos anteriores. Os dados so apresentados

abaixo:

DADOS DE BARRA

Nm. Barra

Tipo V

(pu)

(graus) Pg

(MW) Qg

(MVAr) Pd

(MW) Qd

(MVAr) Bsh

(MVAr) 1 2 1,05

otimizar

0,00 0,00 0,00

2 1 1,00

otimizar

0,00 0,00 0,00

3 0

55,00 13,00 0,00

4 0

0,00 0,00 20,00

5 0

30,00 18,00 0,00

6 0

50,00 5,00 0,00

DADOS DE LINHA

Barra Origem

Barra Destino

Resist. (pu)

Imped. (pu)

Susc. Sh. (pu)

1 4 0,08 0,37 0,20

1 6 0,12 0,52 0,00

2 3 0,72 1,05 0,10

2 5 0,28 0,64 0,00

3 4 0,00 0,13 0,00

4 6 0,10 0,41 0,00

5 6 0,00 0,30 0,00

Onde:

= 0,0001

Potncia Base: 100MW

Tipos de Barras:

2 V Referncia 1 PV Gerao

0 PQ Carga

DADOS DOS GERADORES (MEISEL, 1993, tabela 5)

aaaa bbbb gggg Pmin Pmax

Gerador 1 0,20 0,30 0,012 50 120

Gerador 2 0,25 0,96 0,0060 20 70

Otimizando a distribuio de gerao, foram encontrados primeiramente, os valores

1 62MWGP = e 2 73MWGP = . Com a restrio de potncia mxima no gerador 1, foi imposto

2 70MWGP = . Como s havia apenas mais um gerador, coube a este gerar o restante,

resultando nas potncias timas finais, 1 65MWGP = e 2 70MWGP = . Ao gerador 1 coube

ainda gerar a potncia perdida nas linhas, calculada no fluxo de carga. O resultado final

fornecido pelo algoritmo apresentado abaixo:

Analisando os dado

gerador 2 inicia em um valor mais elevado do que a do

b trs vezes maior. Porm, de acordo com o coeficiente

inclinao do gerador 1, fazendo com que para demandas mais altas, este gerador se torne competitivo. Neste exemplo

mxima dos geradores, foi imposto ao

porque neste ponto de operao

linha do gerador 1.

Deve ser lembrado que o

potncia por ser o termo constante da

gerao de potncia na unidade.

As perdas neste caso correspondem a 10% da potncia total gerada

operao 192,88 $/h. Estes dadosexiste ainda parmetro algum de comparao, tendo em vista que no ser realizada nenhuma

anlise considerando o sistema operando sem otimizao, pois tal deciso totalmente

subjetiva. No captulo seguinte, o mesmo sistema ser otimizado com as perdas consideradas, a partir da ser possvel comparar os custos de operao fornecidos po

e concluir quanto diferena entre eles

simulado um sistema com trs geradores, aumentando a complexidade do problema.

ainda gerar a potncia perdida nas linhas, calculada no fluxo de carga. O resultado final

oritmo apresentado abaixo:

Analisando os dados dos geradores percebe-se que a linha de custo incremental do

inicia em um valor mais elevado do que a do gerador 1 por possui

, de acordo com o coeficiente g sua inclinao apenas metade da

fazendo com que para demandas mais altas, este gerador se torne

exemplo, onde a demanda 135MW, valor alto em relao capacidade foi imposto ao gerador 2 gerar mais da metade desta demanda,

de operao a linha de custo incremental do gerador 2

Deve ser lembrado que o coeficiente a em nada altera a otimizao da distribuio de

potncia por ser o termo constante da funo custo do gerador, e existe independente da

gerao de potncia na unidade.

As perdas neste caso correspondem a 10% da potncia total gerada

ao 192,88 $/h. Estes dados, no momento, no so passveis dealgum de comparao, tendo em vista que no ser realizada nenhuma

anlise considerando o sistema operando sem otimizao, pois tal deciso totalmente

No captulo seguinte, o mesmo sistema ser otimizado com as perdas consideradas,

a ser possvel comparar os custos de operao fornecidos por

e concluir quanto diferena entre eles. Para realizao de tais comparaes

simulado um sistema com trs geradores, aumentando a complexidade do problema.

51

ainda gerar a potncia perdida nas linhas, calculada no fluxo de carga. O resultado final

se que a linha de custo incremental do

por possuir um coeficiente

sua inclinao apenas metade da

fazendo com que para demandas mais altas, este gerador se torne

valor alto em relao capacidade

gerar mais da metade desta demanda, isto

gerador 2 j est abaixo da

em nada altera a otimizao da distribuio de

funo custo do gerador, e existe independente da

As perdas neste caso correspondem a 10% da potncia total gerada, e o custo total de

, no momento, no so passveis de concluses, pois no

algum de comparao, tendo em vista que no ser realizada nenhuma

anlise considerando o sistema operando sem otimizao, pois tal deciso totalmente

No captulo seguinte, o mesmo sistema ser otimizado com as perdas consideradas,

r ambos os algoritmos,

Para realizao de tais comparaes, tambm ser

simulado um sistema com trs geradores, aumentando a complexidade do problema.

52

4 DESPACHO ECONMICO COM PERDAS

Quando a energia transmitida por grandes distncias, as perdas de transmisso podem chegar, em casos extremos, a 20 ou 30% da carga total PD (ELGERD, 1976, p. 316), e ento necessrio consider-las na busca de um mtodo de otimizao mais preciso.

A considerao das perdas implica na busca por uma estratgia diferente daquela

abordada no caso sem perdas, onde o objetivo era encontrar os custos incrementais de gerao iguais. Por exemplo, em um sistema com apenas duas barras, onde os geradores em ambas

sejam idnticos, e a carga consumida apenas na barra 2, e entre as barras existe uma linha extensa e sujeita a perdas. A otimizao deste sistema seguindo a lgica deduzida no captulo anterior, desconsiderando as perdas, fornece a soluo de distribuir igualmente entre os

geradores a potncia demandada na barra 2, tendo em vista que a funo custo a mesma para ambos. Porm, intuitivamente conclui-se que ser melhor fornecer maior potncia com o

gerador 2, para evitar as perdas que ocorrem na transmisso da energia gerada no gerador 1. O desafio encontrado : como quantificar e englobar ao problema de otimizao as perdas

ocorridas no sistema.

Como apresentado no captulo anterior, ci a funo que define o custo de gerao em

uma unidade trmica em funo da potncia ativa gerada. Os limites mximos e mnimos

desta potncia so considerados em uma restrio de desigualdade.

A restrio de igualdade, que trata do balano de potncia, neste caso onde as perdas

so consideradas, deve ser aplicada como formulada originalmente na equao (3.5):

10

NG

Gi D Li

P P P=

= (4.1)

Sendo assim, o problema de otimizao agora definido por:

minimize: 21

. .

NG

i Gi i Gi ii

C P P =

= + +

sujeito a: 1

0NG

Gi D Li

P P P=

=

e a: ,min ,maxGi