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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEE - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
ANDRESSA PEREIRA OLIVEIRA
APLICAÇÃO DO MÉTODO DE PONTOS INTERIORES
AO PLANEJAMENTO ENERGÉTICO A LONGO PRAZO
DE SISTEMAS HIDROELÉTRICOS DE GERAÇÃO PARA
USINAS INDIVIDUAIS
Dissertação de Mestrado
Salvador 2017
ANDRESSA PEREIRA OLIVEIRA
APLICAÇÃO DO MÉTODO DE PONTOS INTERIORES
AO PLANEJAMENTO ENERGÉTICO A LONGO PRAZO
DE SISTEMAS HIDROELÉTRICOS DE GERAÇÃO PARA
USINAS INDIVIDUAIS
Área de Concentração: Processamento da Informação e Energia
Linha de Pesquisa: Sistemas Elétricos de Potência
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Orientadora: Profª. Dr. Luciana Martinez
Salvador
2017
Modelo de ficha catalográfica fornecido pelo Sistema Universitário de Bibliotecas da UFBA para ser confeccionadapelo autor
AN561 Oliveira, Andressa Pereira Aplicação do método de pontos interiores ao planejamentoenergético a longo prazo de sistemas hidroelétricos de geraçãopara usinas individualizadas / Andressa Pereira Oliveira. --Salvador, 2017. 76 f. : il
Orientadora: Luciana Martinez. Dissertação (Mestrado - Programa de pós-graduação da UFBA) --Universidade Federal da Bahia, Departamento de EngenhariaElétrica, 2017.
1. Planejamento energético. 2. Longo prazo. 3. Otimização.4. Método dos pontos interiores. 5. Custo. I. Martinez,Luciana. II. Título.
ANDRESSA PEREIRA OLIVEIRA
APLICAÇÃO DO MÉTODO DE PONTOS INTERIORES
AO PLANEJAMENTO ENERGÉTICO A LONGO PRAZO
DE SISTEMAS HIDROELÉTRICOS DE GERAÇÃO PARA
USINAS INDIVIDUAIS
Dissertação de Mestrado apresentada como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica do curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia.
Banca examinadora:
____________________________________ _____________ Profª. Dr. Luciana Martinez – Orientador UFBA
____________________________________ _____________ Prof. Dr. Niraldo Roberto Ferreira UFBA
____________________________________ _____________ Profª. Dr. Marcela Silva Novo UFBA
____________________________________ _____________ Prof. Dr. Durval de Almeida Souza IFBA
Salvador 2017
Aos meus avós, que geraram os
melhores pais do mundo: os meus!
AGRADECIMENTOS
Ao Deus de amor e de imensa bondade, meu Deus, autor e consumador
da minha fé, não tenho palavras para expressar tamanha gratidão do meu
coração ao Senhor, que permitiu (mais uma vez) a minha vitória. Que a minha
vida seja tão somente para Te servir e refletir a Tua luz através de mim.
Aos meus pais, pelo amor incondicional, incentivo, dedicação e luta em
me ajudarem a vencer. A minha vitória também é de vocês e eu os amo
demais!
Ao meu esposo, por sempre me acompanhar em oração, pelo amor,
paciência e por suportar, juntamente comigo, tamanha distância que nos
separava para que eu pudesse crescer.
À minha família que sempre cuidou de mim, mesmo distante e quando
estive ausente. Ao meu irmão, que sempre me abençoa com sua vida e com
seu carinho, me dá forças.
Agradeço aos amigos e irmãos que me ajudaram em oração. Aos que
estiveram ao meu lado nesse período de lutas. Aos meus colegas-amigos-
companheiros desde a graduação e no mestrado: Erick Baleeiro, Bruna Neves,
Silvani Ramos, Ricardo Galvão e Ademário Carvalho. Em especial, à Thais
Nascimento, minha imensa gratidão pela amizade, por cuidar tão bem de mim
quando mais precisei e por desde que fui aprovada na seleção do mestrado, ter
se empenhado para que eu pudesse ser bem acolhida. À professora/amiga
Alessandra, que desde a graduação me acompanha com sua sabedoria,
carinho e orientações para trilhar a vida. Às minhas companheiras de
residência em Salvador, muito obrigada por ajudarem a amenizar o fardo da
minha jornada com vossas alegrias.
Agradeço à minha orientadora, professora Luciana Martinez, pela
paciência e dedicação para comigo. Obrigada pelos ensinamentos,
compreensão e incentivos no caminho do aprendizado.
Aos meus alunos da FAINOR e IFBA - Vit. da Conquista, que me
incentivaram e acreditaram comigo que a vitória chegaria.
Ao CNPq pelo investimento com a bolsa de estudos.
À todos, o meu carinho e oração para que o Senhor continue a derramar
sobre vocês bênçãos sem medidas!
RESUMO
O planejamento da operação de sistemas de geração de energia elétrica
envolve aspectos econômicos e de garantia de suprimento, buscando o
compromisso entre o atendimento da demanda e custos de geração. Este
trabalho tem como objetivo principal o desenvolvimento de uma ferramenta de
otimização para o problema de planejamento da operação de sistemas
hidroelétricos de geração de energia elétrica a longo prazo com usinas
individualizadas, através do método de pontos interiores. O método proposto é
aplicado no planejamento da operação de um parque gerador de energia
elétrica baseado em dados reais de usinas do setor elétrico brasileiro. Os
resultados obtidos com a implementação do método dos pontos interiores,
utilizando o software MATLAB®, são comparados com as soluções encontradas
através da programação dinâmica determinística, bem como comprovou-se a
eficiência do método de otimização para os sistemas analisados a partir do
desvio padrão encontrado.
Palavras-chave: Planejamento Energético, Longo Prazo, Otimização, Método
dos Pontos Interiores, Custo.
ABSTRACT
The power system operation planning of generation involves the economic resources and the warranty of supply, reaching the compromise between the supply of demand and generation costs. This work has as main goal the development of an optimization tool for the problem of long-term power system operation planning of hydroelectric generation with individual plants, using the interior point method. The proposed method is applied in the power system operation planning of a genaration plant based on actual data from power plants in the Brazilian electricity sector. The results obtained with the implementation of the interior point method, using MATLAB®, are compared with the solutions found in the deterministic dynamic programming. The efficiency of the optimization method was proven for the systems analyzed from the standard deviation found.
Keywords: Energy Planning, Long Term, Optimization, the Interior Point Method, Cost.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Representação simplificada de um sistema de energia elétrica. ..................... 8
Figura 2 - Oferta de Potência de Geração Elétrica (%)........................................................ 9
Figura 3 - Subdivisão do Brasil por região do consumo de Energia Elétrica. ................... 9
Figura 4 - Organograma da estrutura do setor elétrico brasileiro. .................................... 10
Figura 5 – Planejamento da Operação Energética. ............................................................ 12
Figura 6 - Funções de Custo Imediato e Futuro. ................................................................. 14
Figura 7 - Aproximação Quadrática para a Função de Custo Térmico. .......................... 18
Figura 8 - Representação gráfica resumida para o MPI. ................................................... 24
Figura 9 - Representação de usina hidroelétrica. ............................................................... 26
Figura 10 - Representação da matriz generalizada aplicada ao MPI. ............................. 28
Figura 11 - Comparação Entre Cenários para o Volume do Reservatório. .................... 34
Figura 12 - Comparação Entre Cenários para a Vazão Turbinada. ................................. 34
Figura 13 - Comparação Entre Cenários para a Geração Térmica. ................................ 35
Figura 14 - Comparação Entre Cenários para a Capacidade de Intercâmbio. .............. 35
Figura 15 - Localização das Usinas do Estudo de Caso. .................................................. 36
Figura 16 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Furnas (1931-1973). .... 37
Figura 17 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Furnas (1971-2014). .... 37
Figura 18 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Emborcação (1931-
1973). ......................................................................................................................................... 38
Figura 19 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Emborcação (1971-
2014). ......................................................................................................................................... 38
Figura 20 - Média Mensal para a Série De Vazões De Furnas. ....................................... 40
Figura 21 - Média Mensal para a Série de Vazões de Emborcação. ............................... 40
Figura 22 - Média Mensal para a Série de Vazões de Sobradinho. ................................. 41
Figura 23 - Análise da Penalização do Custo Futuro Esperado. ...................................... 42
Figura 24 - Porcentagem de Volume Útil – Usina de Furnas. ........................................... 42
Figura 25 - Porcentagem de Volume Útil – Usina de Emborcação. ................................. 43
Figura 26 - Porcentagem de Volume Útil – Usina de Sobradinho. .................................. 43
Figura 27 - Comparação entre MPI e PDD - Volume útil Furnas. .................................... 44
Figura 28 - Comparação entre MPI e PDD - Volume Util Emborcação. ......................... 44
Figura 29 - Comparação entre MPI e PDD - Volume Útil Sobradinho. ............................ 44
Figura 30 -Trajetória Ótima para a Defluência - Usina de Furnas. ................................... 45
Figura 31 - Trajetória Ótima para a Defluência - Usina de Emborcação......................... 45
Figura 32 - Trajetória Ótima para a Defluência - Usina de Sobradinho. ........................ 45
Figura 33 - Comparação entre PDD e MPI para a Geração Hidráulica - Furnas. .......... 46
Figura 34 - Comparação entre PDD e MPI para a Geração Hidráulica - Emborcação. 46
Figura 35 - Comparação entre PDD e MPI para a Geração Hidráulica - Sobradinho. 46
Figura 36 - Desvio padrão entre MPI e PDD para o Volume do reservatório. ................ 48
Figura 37 - Janela Inicial para o Otimizador com MPI. ....................................................... 49
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Vazão afluente ao reservatório e demanda de carga em cada t. .................. 31
Tabela 2 – Comparação do volume para o MPI e GR. ...................................................... 32
Tabela 3 - Comparação da defluência para o MPI e GR. .................................................. 32
Tabela 4 - Comparação da geração térmica para o MPI e GR. ....................................... 33
Tabela 5 - Comparação da capacidade de intercâmbio para o MPI e GR. .................... 33
Tabela 6 - Coeficientes dos polinômios. ............................................................................... 39
Tabela 7 - Características das usinas. .................................................................................. 39
Tabela 8 - Características do conjunto Turbina/Gerador. .................................................. 39
Tabela 9 - Características das usinas hidroelétricas. ......................................................... 40
Tabela 10 - Comparação para a geração hidráulica média - MPI e PDD. ...................... 47
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
Abreviações
MLT: Média de Longo Termo
PDE: Programação Dinâmica Estocástica
PDD: Programação Dinâmica Determinística
FCI: Função de Custo Imediato
FCD: Função de Custo Futuro
ONS: Operador Nacional do Sistema
FO: Função Objetivo
OIEE: Oferta Interna de Energia Elétrica
Siglas
MW: Mega Watt
MWh: Mega Watt hora
m: metro
m³/s: metro cúbico por segundo
hm³: hectômetro cúbico
𝛾: 2,592 fator de conversão (m³/s) em [106/mês];
gt: geração térmica no período t, [MW médio];
int: intercâmbio recebido no período t [MW médio];
ct: tarifa de intercâmbio função do intercâmbio;
dt: demanda de carga no período t [MW médio];
𝑔: capacidade da térmica [MW médio];
𝑖𝑛: capacidade máxima de intercâmbio [MW médio];
w: fator de penalização;
v: função de benefício futuro da água;
T: representa o número de estágios do horizonte de planejamento;
i: número de usinas hidroelétricas do sistema;
ψt(·): representa o custo mínimo de geração termoelétrica complementar
[$];
V(·): função de custo futuro associado ao estado final dos reservatórios
do sistema [$];
Pt: geração total de energia hidroelétrica no estágio t [MW];
Dt: mercado a ser atendido no estágio t [MW];
pi,t: geração de energia hidroelétrica da usina i no estágio t [MW];
xi,t: volume de água armazenado no reservatório da usina i no final do
estágio t [hm³];
ui,t: defluência (vazão descarregada) da usina i no estágio t [m³/s];
qi,t: turbinagem (vazão que passa pela casa de máquinas) da usina i no
estágio t [m³/s];
si,t: vertimento da usina i no estágio t [m³/s];
yi,t: vazão afluente incremental à usina i no estágio t [m³/s];
Φ(xi,t): polinômio da cota de montante da usina i [m];
(ui,t): polinômio da cota de jusante da usina i [m];
pci,t: perda de carga da usina i durante o estágio t [m];
hli,t: altura líquida da usina i no estágio t [m];
ki: produtibilidade específica da usina i(𝑀𝑊
(𝑚3
𝑠)𝑚
);
𝑥𝑖,𝑡: volume mínimo do reservatório da usina i no final do estágio t [hm³];
𝑥𝑖,𝑡: volume máximo do reservatório da usina i no final do estágio t [hm³];
𝑢𝑖,𝑡: defluência mínima da usina i no estágio t [m³/s];
𝑢𝑖,𝑡: defluência máxima da usina i no estágio t [m³/s];
𝑞𝑖,𝑡: turbinagem mínima da usina i no estágio t [m³/s];
𝑞𝑖,𝑡: turbinagem máxima da usina i no estágio t [m³/s];
i: conjunto das usinas imediatamente a montante da usina i.
SUMÁRIO Capítulo 1 – Introdução ............................................................................................................. 1
1.1 Justificativa .................................................................................................................. 4
1.2 Objetivos ...................................................................................................................... 5
1.3 Organização do Trabalho .......................................................................................... 6
Capítulo 2 – Modelagem do Problema .................................................................................... 7
2.1 Introdução ......................................................................................................................... 7
2.2 Sistemas de Energia Elétrica ......................................................................................... 7
2.3 Visão Geral do Sistema Elétrico Brasileiro .................................................................. 8
2.4 Planejamento de Sistemas de Energia ...................................................................... 10
2.5 Planejamento da Operação Energética ..................................................................... 12
2.5.1 Formulação do Problema de Planejamento Energético para o Caso
Determinístico ................................................................................................................... 14
Capítulo 3 - Métodos de Otimização ..................................................................................... 20
3.1 Introdução ....................................................................................................................... 20
3.2 Método de Pontos Interiores ........................................................................................ 20
3.2.1 Método Primal-Dual.................................................................................................... 21
3.2 Programação Dinâmica Determinística ...................................................................... 23
Capítulo 4 – Estudos de Caso ................................................................................................ 26
4.1 Introdução ....................................................................................................................... 26
4.2 Algumas considerações sobre o MPI ......................................................................... 27
4.3 Estudo de Casos ............................................................................................................ 29
4.3.1 Sistema Fictício ....................................................................................................... 29
4.3.2 Caso Real ................................................................................................................ 36
4.4 Ferramenta computacional ....................................................................................... 48
Capítulo 5 - Conclusões .......................................................................................................... 50
Referências Bibliográficas ....................................................................................................... 52
Anexo A ...................................................................................................................................... 57
Código referente aos dados de entrada da usina e para o método MPI ..................... 57
Código referente à Modelagem do Problema .................................................................. 58
Código referente à inicialização das variáveis de entrada ............................................. 59
Código referente ao cálculo de alfa ................................................................................... 59
Código referente ao cálculo das variáveis dependentes ............................................... 60
Código referente à função quando faz-se a busca da usina (ONS, 2016).................. 62
1
Capítulo 1 – Introdução
O planejamento energético é um processo contínuo ao longo do tempo,
que engloba todas as fases de implantação de determinado plano e as
inevitáveis correções e atualizações do mesmo. Tratando-se do sistema
elétrico de potência, o planejamento energético é uma atividade que envolve os
vários agentes de geração, transmissão e distribuição de energia, a qual está
sujeita a frequentes realimentações e consequentes ajustes entre os
mecanismos de atuação a curto, médio e longo prazo (Bajay, 1989), (Bajay,
1989a) e (Benedito, 2014).
A proposta de planejar e operar um sistema hidrotérmico de geração
pode ser visto como um problema de otimização cujo objetivo principal é
determinar estratégias de atendimento à demanda de energia minimizando os
custos com uma eventual produção complementar à geração de energia
elétrica de origem hidráulica ao longo do horizonte de planejamento. Nesta
etapa de planejamento, aspectos hidráulicos e estocásticos característicos do
problema são levados em consideração (Soares e Carneiro, 1991).
A otimização representa uma ferramenta importante para tomada de
decisão na análise e projeto de sistemas físicos, sendo aplicada em situações
em que se deseja maximizar ou minimizar uma função numérica de uma ou
várias variáveis, num contexto em que podem existir restrições. Técnicas
clássicas de otimização possuem aplicações nos mais diferentes campos de
engenharia e de outras ciências (Saramago, 2010).
A Programação Dinâmica Estocástica (PDE) (Bellman, 1962), por várias
décadas, tem sido amplamente aplicada na solução de problemas de
planejamento energético da operação de sistemas hidroelétricos de potência
em particular. A vantagem desta técnica é atribuída à facilidade com que a
mesma incorpora em sua formulação aspectos estocásticos e não lineares do
problema.
A técnica de PDE tem ainda a vantagem de decompor problemas
complexos em uma série de problemas que são resolvidos recursivamente, sob
2
a hipótese de que o custo funcional de cada estágio satisfaz a condição de
separabilidade.
No entanto, a principal limitação da PDE é que o esforço computacional
exigido por esta abordagem cresce exponencialmente com o número de
variáveis de estado do problema. No planejamento energético, a
dimensionalidade associada a PDE pode tornar o problema intratável, mesmo
para um pequeno número de usinas hidroelétricas.
Neste caso, várias abordagens têm sido sugeridas para superar o
problema da dimensionalidade, incluindo a agregação do sistema hidroelétrico
em modelo equivalente (Arvanitidis et al., 1970), (Cruz e Soares, 1996) e o uso
da Programação Dinâmica Estocástica Dual (PDED), baseada na
decomposição de Benders, (Pereira e Pinto, 1985), (Braga et al., 1991). O
método proposto por (Pereira e Pinto, 1985) resultou no modelo denominado
modelo Newave utilizado atualmente pelo setor elétrico brasileiro na
determinação de estratégias de operação.
A otimização determinística surge como uma alternativa a PDE na
otimização da operação a longo prazo de sistemas hidroelétricos de geração, a
qual é baseada na hipótese de afluências determinísticas. Em geral, o
problema é formulado como um problema de otimização não linear e resolvido
por algoritmos especializados, tal como sugerido em (Rosenthal, 1981), (Lyra,
1984), (Soares e Carneiro, 1991).
Na otimização determinística, a representação das usinas hidroelétricas
do sistema pode ser feita detalhadamente, considerando individualmente suas
características não lineares de produção e restrições operacionais. A principal
característica deste tipo de metodologia é que a mesma pode ser aplicada sem
simplificações a sistemas constituídos por múltiplas usinas hidroelétricas. A
representação da estocasticidade do problema é feita de forma implícita, com
previsões permanentemente atualizadas.
Em estudos realizados com dados do sistema elétrico brasileiro em
sistemas constituídos de reservatórios únicos, (Silva, 1999) mostrou que a
política baseada em otimização determinística apresentou solução muito
próxima da abordagem de PDE, com a vantagem de manter maiores níveis de
armazenamento no sistema. No entanto, o estudo realizado foi restrito ao
período de operação de apenas 12 meses.
3
Em (Mantawy et al., 2003), os autores propuseram um algoritmo
baseado na Pesquisa Tabu, com baixo consumo de memória computacional,
solucionar problemas de otimização não lineares em variáveis contínuas, o
qual é aplicado para o problema de planejamento hidrotérmico a longo prazo.
(Mantawy et al., 2003) apresenta novas regras para soluções factíveis de
geração, com um vetor de passo ajustável e tem sido aplicado para solucionar
um sistema com 4 reservatórios em cascata.
Em (Zambelli e Soares, 2013), um estudo de caso é realizado com
aplicação de um Modelo de Controle Preditivo (MCP), solucionado pelo método
dos pontos interiores, no planejamento hidrotérmico a longo prazo no sistema
de potência brasileiro. De acordo com o MCP, as decisões de geração hídrica e
térmica são fornecidas por um modelo determinístico de otimização não linear.
Os resultados gerais foram comparados com os do modelo estocástico usado
no Brasil e as comparações mostraram decaimento substancial em custos da
operação e escassez de carga esperados.
O trabalho de (Matos, 2012) apresenta um modelo computacional com o
objetivo de solucionar o problema do planejamento energético a longo prazo do
sistema hidrotérmico brasileiro. O modelo desenvolvido é chamado de SMERA
(Modelo Estocástico para Alocação de Fonte de Energia), que, de acordo com
os autores, permite sugerir algumas melhoras ao modelo atual utilizado no
Brasil.
(Martinez e Soares, 2001a) apresentaram uma comparação entre a
abordagem determinística e a PDE, ambas baseadas no modelo periódico
auto-regressivo de ordem 1 para o planejamento da operação de usinas
hidroelétricas do sistema brasileiro. Os resultados mostraram desempenho
similar das duas abordagens.
Ainda para o sistema brasileiro, diferentes conclusões foram
apresentadas em (Araripe et. al, 1985). Neste caso, foram comparados o
método da curva limite e abordagens estocásticas e determinísticas baseadas
em um modelo periódico auto-regressivo de ordem 1. A comparação envolveu
a operação de um único reservatório equivalente representando o sistema
Sul/Sudeste. Os resultados mostraram que o desempenho da otimização
determinística pode depender do sistema hidroelétrico considerado, embora os
4
autores tenham admitido que o trabalho não constituiu uma completa
comparação entre as abordagens.
1.1 Justificativa
O método de pontos interiores (Nocedal e Wright, 2006), (Wright, 1997)
tem sido reconhecido como uma ferramenta numérica de grande potencial para
resolver problemas de otimização não lineares, como é o caso do problema de
planejamento energético.
Em (Azevedo e Soares, 2009), um método de pontos interiores é
proposto para a solução do problema de planejamento energético a longo
prazo. Técnicas de exploração da esparsidade da matriz do problema e
procedimentos heurísticos são considerados no cálculo da direção de busca do
método.
Em (Azevedo, 2009a) o problema de planejamento energético é
resolvido levando-se em consideração as restrições de fluxo de intercâmbio
energético entre os subsistemas. Em (Simba, 1998) o método de pontos
interiores primal-dual é aplicado ao problema de planejamento energético,
considerando-se usinas individualizadas.
O planejamento energético é útil não apenas por ser indispensável para
auxiliar nas tomadas de decisão de geração em sistemas de energia elétrica,
identificando as alternativas mais adequadas para atender as demandas da
sociedade de maneira racional e econômica, mas também pela possibilidade
do mesmo fornecer informações para a elaboração de políticas energéticas
sustentáveis. Desenvolver ferramentas de otimização que permitam a
realização de estudos de planejamento energético de forma eficiente e prática
é de grande importância para a compreensão e análise deste tipo de problema.
Neste trabalho o método de Pontos Interiores é utilizado na solução do
problema de planejamento energético de geração. O problema é formulado
como um problema de programação não linear, devido a não linearidade das
funções de geração hidráulica e custo de complementação.
5
1.2 Objetivos
Neste trabalho propõe-se a solução do problema de planejamento da
operação de sistemas hidroelétricos de geração de energia elétrica a longo
prazo através do desenvolvimento de uma ferramenta baseada no método de
pontos interiores não linear. Serão considerados aqui sistemas formados por
uma única usina hidroelétrica e um sistema de geração complementar,
representando a geração térmica, importação e déficit de atendimento ao
mercado.
Inicialmente, um sistema fictício de geração será considerado, o qual é
formado por uma usina hidroelétrica, uma usina termoelétrica e com
possibilidade de intercâmbio com sistemas vizinhos. O problema considerado
tem comportamento próximo do sistema real.
A seguir, foram considerados sistemas de geração a usinas
individualizadas, baseados em dados reais de usinas do setor elétrico. Neste
caso, a versão determinística do problema foi considerada, fazendo-se a
representação da estocasticidade das vazões afluentes aos sistemas, baseado
em dados históricos de vazão natural. As características não lineares da função
de produção hidráulica e de custo de geração foram consideradas, a fim de se
representar a particularidade de cada usina do sistema, vantagem esta
associada à representação individualizada das usinas.
O método implementado resultou em uma ferramenta computacional a
qual, a partir dos dados de entrada como mês e ano, iniciais e finais do
horizonte de estudo, respectivamente, o valor (em porcentagem) da demanda
referente à usina escolhida e o número máximo de iterações que o usuário
pretende considerar para o método, fornece resultados de volume do
reservatório, defluência e turbinagem referentes à otimização no tempo para
um determinado sistema hidrotérmico de geração. Os resultados são
disponibilizados na forma de arquivos numéricos ou gráficos.
A fim de validar os resultados obtidos, a solução encontrada pelo método
dos pontos interiores foi comparada com os valores encontrados através da
programação dinâmica determinística.
6
1.3 Organização do Trabalho
O trabalho está dividido em 5 capítulos, a saber:
Capítulo 1: Este capítulo apresenta introdução, justificativa e
objetivos do trabalho.
Capítulo 2: É apresentada a modelagem do problema de
planejamento energético e uma visão geral do sistema elétrico brasileiro.
Capítulo 3: O método de pontos interiores é apresentado como
ferramenta de otimização para a versão determinística do problema de
planejamento energético.
Capítulo 4: Apresentação do estudo de caso e resultados
referentes à aplicação do MPI para as usinas de Furnas, Emborcação e
Sobradinho, as quais foram selecionadas para análise.
Capítulo 5: A conclusão do trabalho é descrita baseada nos
objetivos propostos para o trabalho, bem como são apresentadas propostas
para pesquisas futuras.
7
Capítulo 2 – Modelagem do Problema
2.1 Introdução
O problema do planejamento da operação energética a longo prazo
leva em consideração características hidráulicas das usinas, como o nível de
armazenamento nos reservatórios, nível do canal de fuga, produtibilidade,
características do conjunto de turbinas e gerador, além de considerar a
estocasticidade dos valores de demanda de energia e dados de vazão afluente
ao sistema. O horizonte de planejamento adotado é de 5 a 10 anos com
discretizações mensais. Resolver o problema de planejamento a longo prazo,
significa determinar, ao início de cada estágio, metas de geração de energia
que minimizem o custo corrente de operação sem comprometer a geração
futura em todo horizonte do período de planejamento.
2.2 Sistemas de Energia Elétrica
O Sistema de Energia Elétrica é definido como o conjunto de
equipamentos que operam em conjunto e de maneira coordenada de forma a
gerar, transmitir e fornecer energia elétrica com qualidade e confiabilidade aos
consumidores (Castro, 2014).
A Figura 1 apresenta, em sua versão simplificada, a representação de
um sistema de energia elétrica, composto por meios de produção, meios de
transporte e meios de consumo de energia elétrica.
Os meios de produção correspondem aos diferentes tipos de
equipamentos necessários para a geração de energia elétrica em escala
industrial. Os meios de transporte correspondem às linhas de transmissão e
subestações utilizadas para fazer chegar aos consumidores a energia
produzida nas usinas. Os meios de consumo de energia elétrica correspondem
ao conjunto das cargas (equipamentos, instalações, etc.) dos diferentes tipos
de consumidores. Cada uma dessas partes requer níveis diferentes de
investimentos e deve atender a padrões de qualidade específicos que influem
na definição do nível de qualidade do produto final (Pinto, 2014).
8
Fonte: (Pinto, 2014).
2.3 Visão Geral do Sistema Elétrico Brasileiro
O Brasil possui no total 4.499 empreendimentos em operação,
totalizando 142.575.649 kW de potência instalada. Está prevista para os
próximos anos uma adição de 38.868.246 kW na capacidade de geração do
país, proveniente dos 219 empreendimentos atualmente em construção e
mais 619 empreendimentos com construção não iniciada (ANEEL, 2016).
A potência de planejamento do Sistema Interligado Nacional (SIN),
conforme (Minas e Energia, 2016), corresponde à geração transmitida e
distribuída por redes públicas, exclusive os sistemas isolados e o consumo
próprio de autoprodutores sem o uso da rede. A Figura 2 apresenta a matriz de
oferta de potência de energia elétrica. Verifica-se a supremacia da potência
hidráulica, com 66,5 % de participação, incluindo a importação. O restante da
energia gerada provém do conjunto constituído por usinas do tipo fóssil (17,9
%), biomassa (9,1 %), eólica e solar (5,2 %) e nucleares (1,4 %).
No Anuário Estatístico de Energia Elétrica são apresentados os dados
relacionados ao consumo de energia elétrica na rede de distribuição nos
últimos cinco anos, com ênfase no ano de 2015 (ano base). A Figura 3
apresenta, conforme EPE - Empresa de Pesquisa Energética, a subdivisão do
Brasil por região do consumo de energia elétrica (EPE, 2015).
Como destaque em (Minas e Energia, 2014), o consumo de 475,4 TWh
por meio da rede de distribuição de energia elétrica, valor 2,7% superior ao
registrado no ano de 2013, e que corresponde a um consumo per capita de
2.335 kWh. Enquanto que para a Oferta Interna de Energia Elétrica (OIEE),
Produção Transporte Consumo
Geração Transmissão Distribuição
Figura 1 - Representação simplificada de um sistema de energia elétrica.
9
conforme (Minas e Energia, 2016), ficou em 615,9 TWh, montante 1,3 %
inferior ao de 2014 (624,3 TWh) – crescimento de 2,1 % em 2014.
Figura 2 - Oferta de Potência de Geração Elétrica (%).
Fonte: (Minas e Energia, 2016).
Figura 3 - Subdivisão do Brasil por região do consumo de Energia Elétrica.
Fonte: (EPE, 2015).
10
2.4 Planejamento de Sistemas de Energia
De uma forma geral, o planejamento de sistemas de energia elétrica
envolve as fases de planejamento da expansão e planejamento da operação. O
sistema elétrico brasileiro tem como modelo a representação da Figura 4.
Figura 4 - Organograma da estrutura do setor elétrico brasileiro.
Fonte: (Pinto, 2014).
No planejamento da expansão, o objetivo é analisar as diferentes
estratégias da expansão dos sistemas elétricos, tanto em relação à geração
como à transmissão. Nesta fase é definido um programa de construção e
instalação de novas unidades de geração, transmissão e controle do sistema e
de inventário das bacias hidrográficas. A expansão baseia-se no
estabelecimento de um nível de confiabilidade para o atendimento da máxima
demanda futura. São definidas ainda as diretrizes que constituem a base de
estudos de médio e curto prazos, tais como capacidade de geração de ponta
de sistemas termoelétricos e reserva de potência, que trata de uma folga da
capacidade de geração, a fim de se manter a qualidade de suprimento na
ocorrência de manutenções programadas (Fortunato et al., 1990). O Plano
Decenal de Expansão de Energia, formulado anualmente pela Empresa de
Pesquisa Energética - EPE é um exemplo de planejamento da expansão.
O planejamento da operação de um sistema de energia elétrica busca
determinar as unidades geradoras e os respectivos níveis de geração que
11
devem ser utilizados no atendimento à demanda de energia elétrica em cada
intervalo de planejamento, de forma que o custo operativo associado ao uso
dessas unidades seja minimizado, devendo levar em consideração as diversas
restrições relacionadas ao desempenho das unidades geradoras
O problema do planejamento em um sistema complexo como o
brasileiro, com um parque de geração diversificado, hidrotérmico, embora
majoritariamente hidráulico, e uma malha de transmissão interconectada,
envolve não apenas a expansão da capacidade instalada para garantir o
atendimento à totalidade da demanda, mas também a coordenação da
operação, pois as decisões sobre a operação do sistema estão acopladas no
tempo e também no espaço em função da interligação das bacias e
reservatórios e sua multiplicidade de proprietários e usos. Para o planejamento
da expansão, o conhecimento da capacidade energética do sistema é
fundamental e, para este, o planejamento da operação e suas regras são
determinantes (Mercedes et al., 2015).
O planejamento da operação envolve desde a otimização plurianual dos
reservatórios até o despacho das usinas, levando-se em consideração
restrições operativas dos sistemas. O planejamento da operação se divide
ainda em planejamento energético e planejamento elétrico. O planejamento
energético estuda a operação dos reservatórios a médio e longo prazos em
base semanal e/ou mensal visando minimizar o gasto de combustível
termoelétrico e satisfazendo um determinado nível de confiabilidade no
atendimento do mercado. O planejamento elétrico tem como objetivo executar
as metas de geração fornecida pelo planejamento da operação energética,
considerando a operação do sistema a curto prazo. Nesta fase, as metas
energéticas semanais, determinadas pelo planejamento energético da
operação, são desagregadas em base horária, levando-se em consideração
tanto as restrições operacionais do sistema hidráulico como as restrições
elétricas do sistema de transmissão.
Os diferentes horizontes de estudo correspondem a diferentes tipos de
análise de desempenho do sistema, tal como ilustra a Figura 5.
12
Figura 5 – Planejamento da Operação Energética.
Fonte: (Maxwell, 2016).
O Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS), entidade privada criada
em 1998, é responsável pela coordenação e controle da operação das
instalações de geração e transmissão de energia elétrica nos sistemas
interligados brasileiros. O ONS é constituído por empresas de geração,
transmissão, distribuição, importadores e exportadores de energia elétrica e
consumidores livres, tendo o Ministério de Minas e Energia (MME) como
membro participante com poder de veto em questões que conflitem com as
diretrizes e políticas governamentais para o setor (ONS, 2016).
2.5 Planejamento da Operação Energética
O problema do planejamento da operação energética para sistemas
hidroelétricos possui as seguintes características (Maxwell, 2016):
Acoplamento temporal: em que as decisões tomadas no presente
têm consequências no futuro. A solução ótima é obtida
minimizando-se o benefício presente do uso da água mais o
benefício futuro de seu armazenamento;
Natureza estocástica: há incerteza a respeito das afluências futuras
ao sistema hidráulico no momento em que a decisão operativa é
tomada;
13
Acoplamento espacial: em usinas em cascata, a decisão de
deplecionamento da unidade a montante afeta a afluência total
daquela a jusante;
Custos não-diretos associados à geração de uma hidrelétrica: o
custo do uso da água armazenada nos reservatórios pode ser
medido em termos da economia resultante do custo de combustível
das térmicas não despachadas ou déficits evitados devido ao seu
uso no futuro;
Uma estratégia ótima de operação deve adotar, para cada estágio do
horizonte do planejamento, uma decisão que, além de minimizar os custos
imediatos para esse estágio, tenha também o compromisso de manter o nível
do reservatório em um estado que não comprometa a geração de energia
elétrica nos estágios seguintes nem acarrete custos futuros altos, indesejáveis
para os próximos estágios (Soares et al., 1980).
Assim, na tomada de decisão da operação de um sistema hidrotérmico
deve-se comparar o benefício imediato do uso da água e o benefício futuro de
seu armazenamento. O benefício do uso imediato da água pode ser
representado por uma função chamada Função de Custo Imediato (FCI),
enquanto que o benefício de armazenar no presente para o seu uso futuro
pode ser representado através de uma Função de Custo Futuro (FCF). As
funções de custo estão ilustradas na Figura 6. Em que, o eixo x, das abscissas,
representa o volume final armazenado nos reservatórios das usinas
hidrelétricas do sistema; e o eixo y, das ordenadas, representa os valores da
FCF ou FCI expressos em unidades monetárias.
O planejamento da operação energética a longo prazo considera
horizontes de 5 a 10 anos, sendo baseado em dados mensais, com
características estocásticas associadas aos dados de vazões afluentes às
usinas hidroelétricas do sistema e ao mercado de energia a ser atendido.
Trata-se de um problema de otimização de larga escala com acoplamento
temporal ou espacial. Tem-se ainda que as funções de produção hidráulica das
usinas e custo de produção do sistema são não lineares. No caso particular do
sistema brasileiro, composto por grandes bacias interligadas e grande número
14
de reservatórios de capacidade de regularização plurianual, esta complexidade
é ainda mais acentuada.
Figura 6 - Funções de Custo Imediato e Futuro.
Fonte: (Maxwell, 2016).
2.5.1 Formulação do Problema de Planejamento Energético para o Caso
Determinístico
O problema de otimização do planejamento da operação energética de
sistemas hidroelétrico de geração, em sua versão determinística, pode ser
formulado como o seguinte problema de programação não linear (Martinez,
2001):
𝑚𝑖𝑛 ∑𝜓𝑡(𝐷𝑡 − 𝑃𝑡)
𝑇
𝑡=1
+ 𝑉(𝑥𝑇+1)
(1)
sujeito a:
𝑃𝑡 = ∑𝑝𝑖,𝑡
𝐼
𝑖
∀𝑡
(2)
𝑝𝑖,𝑡 = 𝑘𝑖 . ℎ𝑙𝑖,𝑡. 𝑞𝑖,𝑡 ∀𝑖, 𝑡 (3)
ℎ𝑙𝑖,𝑡= ∅(𝑥𝑖,𝑡) − 𝜃(𝑢𝑖,𝑡) − 𝑝𝑐𝑖,𝑡 ∀𝑖, 𝑡 (4)
𝑥𝑖,𝑡+1 = 𝑥𝑖,𝑡 + (𝑦𝑖,𝑡 + ∑ 𝑢𝑘,𝑡 − 𝑢𝑖,𝑡
𝑘∈𝛺𝑖
)𝛾
(5)
15
𝑢𝑖,𝑡 = 𝑞𝑖,𝑡 + 𝑠𝑖,𝑡 ∀𝑖, 𝑡 (6)
𝑥𝑖,𝑡 ≤ 𝑥𝑖,𝑡 ≤𝑥𝑖,𝑡 ∀𝑖, 𝑡 (7)
𝑢𝑖,𝑡 ≤ 𝑢𝑖,𝑡 ≤𝑢𝑖,𝑡 ∀𝑖, 𝑡 (8)
𝑞𝑖,𝑡 ≤ 𝑞𝑖,𝑡 ≤𝑞𝑖,𝑡 ∀𝑖, 𝑡 (9)
𝑠𝑖,𝑡 ≥ 0 ∀𝑖, 𝑡 (10)
𝑥𝑖,0 𝑑𝑎𝑑𝑜 ∀𝑖 (11)
onde,
T: representa o número de estágios do horizonte de planejamento;
I: número de usinas hidroelétricas do sistema;
ψt(·): representa o custo mínimo de geração termoelétrica complementar [$];
V(·): função de custo futuro associado ao estado final dos reservatórios do
sistema [$];
Pt: geração total de energia hidroelétrica no estágio t [MW];
Dt: mercado a ser atendido no estágio t [MW];
pi,t: geração de energia hidroelétrica da usina i no estágio t [MW];
hli,t: altura líquida da usina i no estágio t [m];
xi,t: volume de água armazenado no reservatório da usina i no final do estágio t
[hm³];
ui,t: defluência (vazão descarregada) da usina i no estágio t [m³/s];
qi,t: turbinagem (vazão que passa pela casa de máquinas) da usina i no estágio
t [m³/s];
si,t: vertimento da usina i no estágio t [m³/s];
yi,t: vazão afluente incremental à usina i no estágio t [m³/s];
Δt: tamanho médio do estágio t [s];
Φ(xi,t): polinômio da cota de montante da usina i [m];
(ui,t): polinômio da cota de jusante da usina i [m];
pci,t: perda de carga da usina i durante o estágio t [m];
ki: produtibilidade específica da usina i(𝑀𝑊
(𝑚3
𝑠)𝑚
);
𝛾: 2,592 fator de conversão (m³/s) em [106/mês];
16
𝑥𝑖,𝑡: volume mínimo do reservatório da usina i no final do estágio t [hm³];
𝑥𝑖,𝑡: volume máximo do reservatório da usina i no final do estágio t [hm³];
𝑢𝑖,𝑡: defluência mínima da usina i no estágio t [m³/s];
𝑢𝑖,𝑡: defluência máxima da usina i no estágio t [m³/s];
𝑞𝑖,𝑡: turbinagem mínima da usina i no estágio t [m³/s];
𝑞𝑖,𝑡: turbinagem máxima da usina i no estágio t [m³/s];
i: conjunto das usinas imediatamente a montante da usina i.
O custo operacional ψt(·) representa o custo mínimo de geração
complementar de recursos não hidráulicos como geração térmica, importação
de mercados vizinhos ou déficit de energia (racionamento). Como
consequência de minimização, ψt é uma função convexa crescente da geração
complementar e portanto, decrescente da geração hidroelétrica Pt no estágio t,
e depende da demanda Dt. A função de custo ψ(·) determinada pelo despacho
econômico termoelétrico é uma função linear por partes e monoticamente
recente em função da geração térmica do sistema.
A função V(·) representa o custo futuro associado ao estado de
armazenamento dos reservatórios no final do período de planejamento. O
objetivo da função V(·) é relacionar os custos operacionais decorrentes do uso
da água no período de planejamento com os custos futuros após esse período,
ou seja, essa função visa equilibrar os custos do uso da água no planejamento
a médio prazo, com os custos futuros a longo prazo. Desta forma, a função
𝑉(𝑥𝑇) pode ser entendida como uma condição de contorno para o último
intervalo de tempo do horizonte de otimização.
A geração hidroelétrica em cada usina no estágio t é representada pela
equação (3) sendo função não linear do volume de água armazenado no
reservatório xi,t e do volume de água defluente da usina ui,t. A Equação de
igualdade (5) representa o balanço de água nos reservatórios. Termos
referentes a evaporação e infiltração não são considerados por questão de
simplicidade.
Limites superiores e inferiores nas variáveis, representados pelas
equações (7)-(10), são impostos por restrições operacionais das usinas
17
hidroelétricas e outras restrições associadas ao uso múltiplo da água, como
controle de cheias, irrigação e navegação.
O problema de planejamento da operação energética, tal como
apresentado na formulação (1)-(11), não leva em consideração a
estocasticidade das vazões afluente ao sistema hidráulico de geração
(Martinez, 2001).
Nos sistemas hidroelétrico selecionados para o estudo neste trabalho, o
parque térmico real é aproximado por um sistema térmico equivalente com
capacidade ilimitada e função custo de geração quadrática. A demanda de
carga do sistema é considerada constante durante o horizonte de estudo,
sendo igual a capacidade instalada do sistema hidráulico, a fim de permitir um
sistema hidrotérmico balanceado.
Estas suposições não alteram a natureza das conclusões dos estudos
realizados, já que o planejamento ótimo tenta distribuir a geração hidráulica ao
longo do horizonte a fim de igualar os custos marginais de operação, quaisquer
que sejam estes custos (Zuwei et al., 1998). A função custo de
complementação térmica considerada é representada pela Equação (12).
𝜓𝑡(𝐷𝑡 − 𝑃𝑡) = 𝑎 + 𝑏(𝐷𝑡 − 𝑃𝑡) + 𝑐(𝐷𝑡 − 𝑃𝑡)² (12)
onde a, b e c são constantes negativas.
É importante notar que a escolha das constantes a, b e c na equação
(12) não afeta o comportamento da solução ótima do problema. Para um
determinado caso particular do sistema termoelétrico, por exemplo, a
aproximação quadrática da função custo gerada adota os valores a = 0, b =
0,02x10-3 e c = 0, para valores de geração térmica dados em MWh, tal como
ilustra a Figura 7.
18
Figura 7 - Aproximação Quadrática para a Função de Custo Térmico.
Fonte: (Martinez, 2001).
Supondo que T representa o próximo mês de abril, a solução do
problema (1)-(11) é obtida considerando-se a condição de contorno da forma:
𝑉(𝑥𝑇) = 𝑀(�̅� − 𝑥𝑇)² (13)
onde, M é uma constante positiva grande o suficiente para garantir que a
condição de contorno prevaleça sobre o restante da função objetivo.
A condição de contorno associada a formulação do problema de
planejamento energético, tem como objetivo permitir que a solução seja
consistente com a operação contínua do sistema, já que o sistema não deixa
operar com o final do horizonte de planejamento. A influência da condição de
contorno na solução ótima do problema é relevante, sobretudo quando o
horizonte de planejamento é poucos meses.
Uma maneira de superar o problema de se obter uma apropriada
condição de contorno para o problema é estender o horizonte de maneira a
tornar desprezível a influência da mesma nas decisões ótimas dos primeiros
estágios de otimização. Estabelecer horizontes de planejamento mais curtos,
onde os modelos de previsão de vazões possam ter melhor desempenho,
requer uma precisa estimativa da condição de contorno 𝑉(𝑥𝑇) desde que, neste
19
caso, a influência da mesma sobre as decisões ótimas do problema passa a
ser crucial.
20
Capítulo 3 - Métodos de Otimização
3.1 Introdução
O Método dos Pontos Interiores (MPI) é um método de otimização que
vem sendo muito aplicado na solução de problemas de programação linear e
não linear, sendo considerado como eficiente em problemas de grande porte,
em especial em programação não linear (Nocedal e Wright, 2006).
Neste trabalho os resultados fornecidos pelo MPI, na solução do
problema de planejamento energético, serão comparados com aqueles obtidos
através do método de programação dinâmica determinística. No que segue as
duas abordagens são apresentadas.
3.2 Método de Pontos Interiores
Proposto inicialmente para problemas lineares por Frisch (Frisch, 1955),
o método foi exaustivamente estudado por Fiacco e Mc Cormick (Fiacco e
McCormick,1968) sendo que no final dos anos 90, uma nova geração de
métodos e software emergiu e, com isso, o MPI para a programação não linear
(Nocedal e Wright, 2006).
O MPI utiliza uma estratégia de determinar uma solução ótima
caminhando por pontos interiores do domínio factível, diferentemente do
Simplex que a cada iteração percorre as extremidades da região factível.
A teoria do MPI não linear tem como base (Wright, 1997):
O Método de Barreiras, afim de tratar problemas de otimização
não lineares com restrições de desigualdades como problemas com restrições
de igualdade;
As condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT),
aplicadas ao problema de otimização, considerando-se a função Lagrangeana
associada ao mesmo;
A solução de um sistema de equações não lineares referentes às
condições de otimalidade do problema.
21
3.2.1 Método Primal-Dual
Neste trabalho, o método de Newton é utilizado na solução do sistema
de equações não lineares referentes às condições de otimalidade do problema.
A fim de apresentar a forma geral do MPI, seja um problema geral de
otimização não linear restrito, representado na forma:
min𝑥∈ℝ𝑛
𝑓(𝑥)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 {𝐶𝐼(𝑥) = 0,
𝐶𝐷(𝑥) ≥ 0.
(14)
Onde,
f representando a função objetivo;
CI ∈ ℝm representa o vetor de restrições de igualdade;
CD ∈ ℝp representa o vetor de restrições desigualdades;
x ∈ ℝn representa a variável do problema.
O problema (14) pode ser reescrito da forma:
min𝑥,𝑠
𝑓(𝑥) (15a)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 {𝐶𝐼(𝑥) = 0,
𝐶𝐷(𝑥) − 𝑠 = 0,𝑠 ≥ 0
(15b) (15c) (15d)
s ∈ ℝp é o vetor das variáveis de folga.
A fim de fazer com que o problema não linear tenha apenas restrições
de igualdade, o Método de Barreiras é considerado no tratamento das variáveis
de folga s ∈ ℝp (Wright, 1997):
min𝑥,𝑠
𝑓(𝑥) − 𝜇 ∑log si
𝑝
𝑖=1
(16a)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 {𝐶𝐼(𝑥) = 0,
𝐶𝐷(𝑥) − 𝑠 = 0.
(16b) (16c)
onde μ é o parâmetro de barreira.
22
As condições de Karush-Kuhn-Tucker para o problema (16) são
representadas em (17), que originam-se do gradiente da função Lagrangeana
do problema (ℒ) em relação às variáveis de otimização, apresentada em (18):
∇𝑓(𝑥) − 𝐴𝐼𝑇(𝑥)𝑦 − 𝐴𝐷
𝑇 (𝑥)𝑧 = 0 (17a)
𝑆𝑍 − 𝜇ℯ = 0, (17b)
𝐶𝐼(𝑥) = 0 (17c)
𝐶𝐷(𝑥) − 𝑠 = 0. (17d)
ℒ(𝑥, 𝑠, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥) − 𝜇 ∑log si
𝑝
𝑖=1
− 𝑦𝑇𝐶𝐼(𝑥) − 𝑧𝑇(𝐶𝐷(𝑥) − 𝑠). (18)
onde AI(x) e AD(x) são as matrizes Jacobianas das restrições de igualdade e
desigualdade, respectivamente, os vetores y ∈ ℝm e z ∈ ℝp são os vetores
multiplicadores de Lagrange associados às restrições do problema. S ∈ ℝpXp e
Z∈ ℝpXp são as matrizes diagonais formadas pelos vetores de s e z,
respectivamente, sendo e um vetor unitário com o tamanho da quantidade de
variáveis de folga.
Aplicando o método de Newton para o sistema não linear (17),
considerando-se as variáveis x, s, y e z, tem-se (19):
[
∇𝑥𝑥2 ℒ 00 𝑍
−𝐴𝐼𝑇(𝑥) −𝐴𝐷
𝑇 (𝑥)0 𝑆
𝐴𝐼(𝑥) 0
𝐴𝐷(𝑥) −𝐼0 00 0
] [
𝑝𝑥𝑝𝑠𝑝𝑦
𝑝𝑧
] = −
[ ∇𝑓(𝑥) − 𝐴𝐼
𝑇(𝑥)𝑦 − 𝐴𝐷𝑇 (𝑥)𝑧
𝑆𝑍 − 𝜇ℯ𝐶𝐼(𝑥)
𝐶𝐷(𝑥) − 𝑠 ]
(19)
Em que o ℒ é a função Lagrangeana associada ao problema (17),
representada por (18).
O sistema (19), resolvido com base no método de Newton, é chamado
de sistema primal-dual. De acordo com o método de Newton, uma vez
determinado o passo p = (px, ps, py, pz), o vetor solução (x+, s+, y+, z+) é
atualizado como apresentado em (20) (Nocedal e Wright, 2006):
𝑥+ = 𝑥 + 𝛼𝑠𝑚𝑎𝑥𝑝𝑥, 𝑠+ = 𝑠 + 𝛼𝑠
𝑚𝑎𝑥𝑝𝑠, (20a)
𝑦+ = 𝑦 + 𝛼𝑧𝑚𝑎𝑥𝑝𝑦, 𝑧+ = 𝑧 + 𝛼𝑧
𝑚𝑎𝑥𝑝𝑧, (20b)
onde,
𝛼𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑥{𝛼 ∊ (0, 1] ∶ 𝑠 + 𝛼𝑝𝑠 ≥ (1 − 𝜏)𝑠}, (20c)
23
𝛼𝑧𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑥{𝛼 ∊ (0, 1] ∶ 𝑧 + 𝛼𝑝𝑧 ≥ (1 − 𝜏)𝑧}. (20d)
Com 𝝉 ∊(0, 1). Um valor típico de 𝝉 é 0,995. A condições (20c) e (20d)
evitam a rápida aproximação das variáveis s e z do limite de zero. No problema
apresentado em (17), o parâmetro de barreira (µk) é considerado fixo a cada
iteração k, até que as condições de KKT sejam satisfeitas para alguma
tolerância determinada. A atualização do parâmetro de barreira a cada iteração
é feita de acordo com (21):
𝜇𝑘+1 = 𝜎𝑘𝜇𝑘 , 𝑐𝑜𝑚 𝜎𝑘 ∈ (0,1). (21)
O processo iterativo apresentado fornece a base do método dos pontos
interiores. Várias modificações são propostas afim de lidar com a não-
linearidade e a não-convexidade. Didaticamente, o método dos pontos
interiores pode ser esquematizado conforme apresenta o fluxograma da Figura
8. Em que, para o teste de convergência é realizada a comparação da norma
infinita do vetor gradiente e do parâmetro de barreira µ com as respectivas
tolerâncias, conforme apresenta em (22) e também, verificação da quantidade
máxima de iterações declarada pelo usuário (qtd). Caso o critério de
convergência seja satisfeito, o processo é encerrado (Nocedal e Wright, 2006).
𝐸(𝑥, 𝑠, 𝑦, 𝑧; µ) = 𝑚𝑎𝑥 {‖∇𝑓(𝑥) − 𝐴𝐼(𝑥)𝑇𝑦 − 𝐴𝐷(𝑥)𝑇𝑧‖,‖𝑆𝑍 − 𝜇𝑒‖, ‖𝐶𝐼(𝑥)‖, ‖𝐶𝐼 − 𝑠‖
} (22)
3.2 Programação Dinâmica Determinística
A programação dinâmica, conhecida também como otimização
recursiva, é um procedimento de otimização para resolver problemas de
decisão seqüencial ou de múltipos-estágios relacionados. Esta abordagem
baseia-se no Princípio da Otimalidade de Bellman, proposto por Richard
Bellman em (Bellman, 1962): “Uma política de decisões ótimas só pode ser
formada por subpolíticas ótimas”. Assim a programação dinâmica permite
transformar um problema de decisão seqüencial (em múltiplos estágios),
24
contendo diversas variáveis interdependentes, em uma série de subproblemas
contendo poucas variáveis. Ou seja, esta é uma técnica que se aplica à
problemas que exigem decisões sequenciais (Campello, 2012).
Na programação dinâmica, o problema se divide em etapas (estágios) e
a melhor decisão em cada etapa é determinada de acordo com a situação
(estado) em que o sistema se encontra. A otimalidade é baseada no
conhecimento prévio de todas as possibilidades futuras e suas consequências,
de modo a satisfazer o princípio da otimalidade de Belmman. Assim, o custo
total de operação é dado pelo custo da decisão no próprio estágio com o custo
futuro pré-determinado a partir do estágio seguinte.
Figura 8 - Representação gráfica resumida para o MPI.
No caso da programação dinâmica determinística aplicada ao problema
de planejamento energético, Considerando-se o caso particular de uma única
usina hidroelétrica, as variáveis de estado no modelo são representadas pelo
volume de água armazenado no reservatório no começo de cada estágio, xt e a
as variáveis de controle são representadas pela quantidade de água liberada
do reservatório durante o estágio, ut, composta pela quantidade turbinada qt e
vertida st.
Em cada estágio as decisões são determinadas através da minimização
da soma do custo presente mais o custo esperado futuro, assumindo decisões
ótimas para todos os estágio subsequentes. Este custo é aditivo no sentido que
25
o custo ocorrido no estágio t acumula-se sobre o tempo. De acordo com a
técnica de resolução backward, o problema é resolvido com a busca de uma
trajetória ótima partindo do estágio final T e seguindo até o estágio inicial.
Considerando-se o caso do problema de planejamento energético
determinístico, para o caso particular da operação isolada de uma única usina
hidroelétrica, tal como apresentado em (1)-(11) a equação recursiva que
corresponde a solução da programação dinâmica pode ser escrita como:
𝐹𝑡(𝑥𝑡) = min{𝑢𝑡,𝑞𝑡}
{𝜓𝑡(𝐷𝑡 − 𝑃𝑡) + 𝐹𝑡+1(𝑥𝑡+1)} (23)
𝑥𝑡+1 = 𝑥𝑡 + (𝐸{𝑦𝑡} − 𝑢𝑡)∆𝑡 (24)
onde, A solução xt, ut deve satisfazer as restrições (7)-(10) do problema.
Foram consideradas aqui 100 discretizações das variáveis de estado e decisão
do problema (Martinez, 1996).
26
Capítulo 4 – Estudos de Caso
4.1 Introdução
A hidroeletricidade é considerada uma opção energética barata e limpa
mesmo levando-se em consideração a construção de barragens e os diversos
problemas sociais e ambientais envolvidos. O termo hidroeletricidade se refere
à geração de eletricidade por meio da conversão de energia cinética da água
em energia potencial mecânica, a qual é utilizada para acionar um conjunto
turbina-gerador e, assim, produzir eletricidade. Entre as energias renováveis, a
hidroeletricidade continua sendo a maior fonte para o setor elétrico brasileiro e
é uma das mais eficientes, em termos de conversão, entre todas as fontes de
energia (Pinto, 2014).
Basicamente, conforme apresenta a Figura 10, uma usina hidrelétrica é
composta por: uma barragem que forma o reservatório e represa o curso
d’água; uma tomada d’água e condutos forçados que levam a água até a casa
de força; a casa de força, onde está o conjunto turbina-gerador; e finalmente
um canal de restituição, com o qual a água é reconduzida a um determinado
curso da água que pode ser, na maioria das vezes, o rio original onde se
encontra a usina.
Figura 9 - Representação de usina hidroelétrica.
Fonte: (ONS, 2016)
27
A barragem de uma hidrelétrica serve para criar a diferença de potencial
entre os níveis montante e jusante da usina, a qual é utilizada para a produção
de energia elétrica. Uma usina pode ser classificada, de acordo com seu tipo
de reservatório, em: usina de acumulação; usina a fio d’água ou usina com
armazenamento por bombeamento (Finardi, 1999).
O potencial de recursos para a hidroeletricidade é baseado em dados
históricos para a análise de condições climáticas do momento presente. Com
as mudanças climáticas, tal potencial pode sofrer alterações devido (Pinto,
2014):
a) Às mudanças no recurso de rios relacionados ao clima local,
particularmente na precipitação e temperatura na área de captação
considerada;
b) Aos eventos naturais extremos (cheias e secas), que podem
aumentar o custo e o risco dos projetos hidrelétricos;
c) Ao aumento das cargas sedimentares, o que pode diminuir a
eficiência das turbinas hidráulicas.
Neste trabalho, o método de pontos interiores foi utilizado para a
otimização do planejamento da operação isolada de usinas do SIN. No que
segue são apresentadas algumas considerações sobre o algoritmo utilizado
como ferramenta de otimização do problema e alguns dos estudos de caso
realizados.
4.2 Algumas considerações sobre o MPI
No MPI, a etapa de inicialização das variáveis primais e duais devem ser
realizada de modo a garantir a factibilidade das restrições do problema.
Pequenas variações na inicialização destas variáveis podem levar a
comportamentos bastante distintos do algoritmo na busca da solução ótima do
problema.
Como solução inicial para as variáveis de volume armazenado no
reservatório e defluência da usina, foi considerada a solução à fio d`água, onde
o volume de armazenamento é mantido em 100% do volume útil da usina e,
28
desta forma, a defluência é igual a vazão afluente ao sistema. A inicialização
do parâmetro de barreira não seguiu à priori nenhum critério geral proposto
para ser válido para qualquer problema de otimização. Esta inicialização foi
feita de maneira heurística e erro, para o problema modelado e o seu valor
inicial pode compreender valores no intervalo entre 10-3 e 102. A definição do
valor inicial do parâmetro µ, consiste em um dos principais problemas
numéricos que afeta a convergência do processo iterativo dos métodos de
pontos interiores (Barboza, 2006) (Nocedal e Wright, 2006).
A Figura 11 apresenta a estrutura de cada submatriz (blocos) para a
formação da matriz generalizada referente à equação de balanço de água no
reservatório (equação (19) para o problema de planejamento energético
apresentado em (2.5.1)). Na generalização apresentada, a partir da quantidade
das variáveis de estado e também das restrições de igualdade e desigualdade,
o sistema não linear é construído e solucionado pelo método de Newton.
Figura 10 - Representação da matriz generalizada aplicada ao MPI.
Em que,
Qtdv é a quantidade de variáveis a serem encontradas;
T é o tempo em meses;
RD é o número referente à quantidade de restrições de desigualdades
do problema;
RI é o número referente à quantidade de restrições de igualdades do
problema.
29
4.3 Estudo de Casos
A fim de se analisar algumas características do MPI na solução do
problema de planejamento energético, inicialmente um sistema fictício de
geração de energia foi considerado, sendo formado por uma usina
hidroelétrica, uma usina termoelétrica e considerando-se a possibilidade de
intercâmbio com sistemas vizinhos. Este problema foi adotado por apresentar
um comportamento próximo do problema real, porém com formulação
simplificada. A seguir, foram considerados sistemas de geração constituídos
por usinas hidroelétricas do setor elétrico brasileiro operando isoladamente e
com a possibilidade de complementação de geração de origem não hidráulica.
4.3.1 Sistema Fictício
O sistema fictício de geração de energia considerado constituído de uma
usina térmica, uma usina hidroelétrica e com a possibilidade de importação de
energia de um sistema vizinho, é formulado como o seguinte problema de
programação não linear determinístico:
min∑{𝜓(𝑔𝑡) + 𝑝𝑡. 𝑖𝑛𝑡} − 𝑤. 𝑣(𝑥𝑇+1)
𝑇
𝑡=1
(25)
Sujeito a:
𝑃𝑡 + 𝑔𝑡 + 𝑖𝑛𝑡 = 𝑑𝑡; 𝑡 = 1, 2, …𝑇 (26)
𝑃𝑡 = 𝑓(𝑥𝑡, 𝑢𝑡) (27)
𝑥𝑡+1 = 𝑥𝑡 + 𝛾. (𝑦𝑡 − 𝑢𝑡) (28)
𝑐𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑖𝑛𝑡 (29)
𝑢 ≤ 𝑢𝑡 ≤ �̅� (30)
0 ≤ 𝑔𝑡 ≤ �̅� (31)
0 ≤ 𝑖𝑛𝑡 ≤ 𝑖�̅� (32)
𝑥1 𝑑𝑎𝑑𝑜
(33)
onde,
𝛾: 2,592 fator de conversão (m³/s) em [106/mês];
30
T: número de períodos (intervalos) de tempo;
gt: geração térmica no período t, [MW médio];
ψ: função custo de geração térmica.
int: intercâmbio recebido no período t [MW médio];
ct: tarifa de intercâmbio função do intercâmbio;
dt: demanda de carga no período t [MW médio];
Pt: geração hidráulica no período t [MW médio];
f: função de produção hidráulica;
xt: volume do reservatório no início do período t, [106 m³];
yt: vazão afluente ao reservatório no período t [m³/s];
ut: vazão turbinada pela hidroelétrica no período t [m³/s];
𝑢: limite máximo de turbinagem;
𝑢: limite mínimo de turbinagem;
𝑔: capacidade da térmica [MW médio];
𝑖𝑛: capacidade máxima de intercâmbio [MW médio];
w: fator de penalização;
v: função de benefício futuro da água;
A função objetivo representa o custo de geração, formado pelo custo
ψt(·) associado à geração térmica e ct o custo associado à importação de
mercados vizinhos.
A função v representa o custo futuro associado ao estado de
armazenamento dos reservatórios no final do período de planejamento. A
equação (26) representa o atendimento da demanda, onde Pt representa a
geração hidroelétrica, gt representa a geração térmica e int representa a
quantidade de energia importada no estágio t. A geração hidroelétrica da usina
no estágio t é representada pela equação (27), sendo função não linear do
volume de água armazenado no reservatório xt e do volume de água defluente
da usina ut. A restrição de igualdade (28) representa o balanço de água no
reservatório da usina hidroelétrica e (29) representa o custo de importação de
energia. Limites superiores e inferiores nas variáveis são representados pelas
equações (30)-(32).
31
Os seguintes dados e funções foram consideradas para o problema (25)
- (33):
Dados de geração térmica:
𝜓(𝑔𝑡) = 0,02. 𝑔𝑡2; 𝑔𝑡̅̅̅ = 1000 𝑀𝑊𝑚é𝑑𝑖𝑜.
Dados de intercâmbio de energia:
𝑐𝑡 = 𝑎 + 𝑏. 𝑖𝑡; 𝑎 = 10; 𝑏 = 0,04;
𝑖𝑡 = 500 𝑀𝑊𝑚é𝑑𝑖𝑜.
Dados de geração hidráulica:
ℎ𝑡 = 𝑓(𝑥𝑡, 𝑢𝑡) = (𝑘. 𝑢𝑡 − 0,66 ∗ 10−4. 𝑢𝑡2);
𝑘 = 0,85 + 0,25 ∗ 10−4. 𝑥𝑡;
𝑣(𝑥𝑇+1) = 20. 𝑥𝑇+1 − 0,66 ∗ 10−3(𝑥𝑇+1)²
𝑢𝑡 = 200𝑚3
𝑠; 𝑢𝑡 = 1500
𝑚3
𝑠; 𝑤 = 1;
𝑥1 = 6000 (106𝑚3/𝑠).
Os dados de vazão afluente yt e demanda dt
de energia considerados
são apresentados na Tabela 1, para o horizonte de otimização de 12 meses.
Tabela 1 - Vazão afluente ao reservatório e demanda de carga em cada t.
Tempo t Afluência em t - yt (m³/s)
Demanda em t - dt
(MWmédio)
1 762 1850
2 882 1880
3 708 2010
4 774 1980
5 949 1920
6 945 1860
7 819 1790
8 1050 1750
9 1376 1740
10 1066 1780
11 853 1820
12 926 1880
Inicialmente, os resultados obtidos foram comparados com os
apresentados em (Martinez, 1996), onde o mesmo problema foi resolvido
utilizando-se o método do Gradiente Reduzido (GR). As Tabelas 2 à 5
apresentam os valores de volume armazenado no reservatório, defluência e
gerações hidráulica e térmica respectivamente, obtidas pelas duas abordagens,
bem como o desvio padrão entre os métodos. O resultado para o cenário
32
analisado com o MPI convergiu através do critério de parada igual a 10-2 para o
qual a convergência se deu em 6 iterações.
Tabela 2 – Comparação do volume para o MPI e GR.
Tempo Volume do reservatório [106 m³]
(Mês) GR MPI Desvio Padrão
1 6000,000 6000,000 0
2 6723,740 6600,300 87,28526
3 7554,870 7251,700 214,3736
4 7435,685 7154,200 199,04
5 7394,161 7120,200 193,7197
6 7784,131 7424,900 254,0147
7 8137,167 7705,400 305,3054
8 8175,484 7748,300 302,0647
9 8766,006 8219,800 386,226
10 10077,674 9240,400 592,0421
11 10347,926 9401,000 669,5778
12 9831,990 8999,900 588,3765
13 9196,502 8261,600 661,0755
Tabela 3 - Comparação da defluência para o MPI e GR.
Tempo Defluência [m³/s]
(Mês) GR MPI Desvio Padrão
1 482,779 378,352 73,84104
2 561,348 454,688 75,42001
3 753,979 603,951 106,0858
4 790,023 632,315 111,5164
5 798,549 641,805 110,8347
6 808,798 647,942 113,7424
7 804,217 638,673 117,0573
8 822,174 658,406 115,8015
9 869,956 707,628 114,7832
10 961,735 790,940 120,7703
11 1052,050 875,455 124,8715
12 1171,172 986,669 130,4633
33
Tabela 4 - Comparação da geração térmica para o MPI e GR.
Tempo Geração térmica [GW]
(t) GR MPI Desvio Padrão
1 1000,000 1.066,900 47,30544
2 969,526 1.033,200 45,02432
3 926,153 1.025,100 69,96609
4 885,207 987,600 72,40278
5 840,460 983,300 101,0031
6 788,864 891,400 72,5039
7 740,331 850,200 77,68911
8 701,813 813,500 78,97464
9 656,556 773,500 82,6919
10 604,178 728,600 87,97964
11 567,759 693,500 88,91231
12 541,436 668,800 90,05995
Tabela 5 - Comparação da capacidade de intercâmbio para o MPI e GR.
Tempo Capacidade de Intercâmbio [GW]
(t) MPI GR Desvio Padrão
1 408,473 382,596 18,2978
2 391,576 359,763 22,49519
3 387,565 338,076 34,99401
4 368,789 317,603 36,19397
5 344,173 295,234 34,6051
6 320,714 269,432 36,26185
7 300,111 245,166 38,85198
8 277,889 225,907 36,75682
9 252,699 203,278 34,94592
10 237,699 177,089 42,85774
11 227,221 158,879 48,32509
12 217,266 145,718 50,59208
A fim de se analisar o comportamento da solução do MPI, 3 cenários
diferentes foram considerados utilizando-se os dados apresentados na Tabela
1:
(C1) Dados de vazão afluente e demanda de energia tal como
apresentados na Tabela 1;
(C2) Dados de vazão afluente tal como apresentados na Tabela 1 e
demanda de energia em 90% do valor considerado na tabela.
34
(C3) Dados de demanda de energia tal como apresentados na Tabela 1
e vazão afluente em 80% do valor considerado na tabela.
A Tabela 6 apresenta a comparação para os três cenários analisados,
que convergiram através do critério de parada igual a 10-4 para o qual as
convergências se deram em 7 iterações para cada um dos cenários.
No que segue nas Figuras (11) – (14) são apresentados os gráficos de
trajetória de volume armazenado, vazão turbinada, gerações hidráulica, térmica
e intercâmbio para os três cenários considerados.
Figura 11 - Comparação Entre Cenários para o Volume do Reservatório.
Figura 12 - Comparação Entre Cenários para a Vazão Turbinada.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
[10
^6 m
³]
Meses
MPI-C1 MPI-C2 MPI-C3
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
[m³/
s]
Meses
MPI-C1 MPI-C2 MPI-C3
35
Figura 13 - Comparação Entre Cenários para a Geração Térmica.
Figura 14 - Comparação Entre Cenários para a Capacidade de Intercâmbio.
A partir dos resultados obtidos, nota-se que para o caso fictício os
comportamentos são semelhantes ao produzido pelo método do gradiente
reduzido (Martinez, 1996). É possível observar que no caso do cenário (C2), a
menor demanda de energia levou o sistema a menores valores de
complementação hidráulica (geração térmica e intercâmbio de energia) além de
permitir maiores níveis de armazenamento no reservatório, em especial no final
do período de planejamento, quando comparados com o cenário (C1).
Enquanto que, no caso do cenário (C3), menores valores de vazão afluente ao
0
200
400
600
800
1.000
1.200
[MW
]
Meses
MPI-C1 MPI-C2 MPI-C3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
[MW
]
Meses
MPI-C1 MPI-C2 MPI-C3
36
sistema exigiram maiores quantidades de complementação térmica e de
intercâmbio de energia para atendimento da demanda e, como consequência
da menor disponibilidade de vazão ao sistema, menores os níveis de
armazenamento no reservatório da usina hidráulica.
4.3.2 Caso Real
Para o caso real, foram consideradas a operação isolada de três usinas
do SIN: Usina de Furnas, localizada no Rio Grande, usina de Emborcação,
localizada no Rio Paranaíba e a usina de Sobradinho, no Rio São Francisco. A
ideia desta seleção foi considerar usinas com diferentes características
localização. A coordenação da geração hidroelétrica das usinas selecionadas
pertence a diferentes empresas de energia elétrica: a usina hidroelétrica de
Furnas pertence à empresa FURNAS – Centrais Elétricas S.A.; a usina de
Emborcação pertence à empresa Centrais Elétricas de Minas Gerais – CEMIG;
a usina de Sobradinho pertence à empresa Companhia HidroElétrica do São
Francisco – CHESF. A Figura 16 mostra a localização dessas usinas no SIN.
Fonte: (ONS, 2016).
Figura 15 - Localização das Usinas do Estudo de Caso.
37
A usina de Furnas, além de se constituir em um marco de instalação de
grandes hidrelétricas no Brasil, possibilitou a regularização do rio Grande e a
construção de mais oito usinas, aproveitando, integralmente, um potencial de
mais de 6.000 MW instalados. As Figuras 16 e 17 mostram as séries de vazões
afluentes naturais à usina hidroelétrica de Furnas no período de maio de 1931
a maio de 2014. Pode-se observar que a série apresenta um comportamento
periódico, com período de, aproximadamente, 12 meses. Para melhor
visualização deste comportamento periódico, a Figura 20 apresenta as médias
da série de vazões de Furnas. (ONS, 2016).
Figura 16 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Furnas (1931-1973).
Fonte: (ONS, 2016).
Figura 17 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Furnas (1971-2014).
Fonte: (ONS, 2016).
A usina de emborcação, com reservatório no Rio Paranaíba, exerce
influência na geração de mais de 25.000 MW nas usinas à jusante e possibilita
a navegabilidade da Hidrovia Tietê/Paraná. Segundo o ONS, o lago da usina
hidrelétrica de Emborcação é capaz de armazenar 10,65% do volume
represável pelos reservatórios do Sistema Sudeste/Centro Oeste, o que
representa 27,58% do armazenamento de água do subsistema do Rio
Paranaíba.
As Figuras 18 e 19 mostram as séries de vazões afluentes naturais à
usina hidroelétrica de Emborcação do período de maio de 1931 a maio de
2014. Pode-se observar que a série apresenta um comportamento periódico,
38
com período de, aproximadamente, 12 meses. Para melhor visualização deste
comportamento periódico, a Figura 21 apresenta as médias da série de vazões
de Emborcação (ONS, 2016).
Figura 18 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Emborcação (1931-1973).
Fonte: (ONS, 2016).
Figura 19 - Vazão Afluente Natural da Usina Hidroelétrica de Emborcação (1971-2014).
Fonte: (ONS, 2016).
Neste caso, a versão determinística do problema foi considerada,
fazendo-se a representação da estocasticidade das vazões afluentes aos
sistemas, baseado em dados históricos de vazão natural. As características
não lineares da função de produção hidráulica e de custo de geração foram
consideradas, a fim de se representar a particularidade de cada usina do
sistema, vantagem esta associada à representação individualizada das usinas.
Como adotado em estudos de planejamento no sistema elétrico
brasileiro a cota montante ∅(. ) e conta de jusante 𝜃(. ) de cada reservatório são
ajustadas por polinômios de quarta ordem em função do volume armazenado e
da defluência no reservatório, respectivamente. A Tabela 6 apresenta os
valores dos coeficientes destes polinômios, onde ai e bi são coeficientes dos
termos com expoente i para a função polinomial representando a cota de
montante e a cota de jusante de cada reservatório, respectivamente. Os
valores de produtibilidade específica k e da perda de carga média pc de cada
usina hidroelétrica selecionada, também, são apresentados na Tabela 7. A
Tabela 8 apresenta as características dos conjuntos turbina/gerador e a Tabela
39
9 apresenta os valores de capacidade instalada, volume útil e limites mínimos e
máximos de turbinagem destas usinas.
Para os estudos realizados, o horizonte considerado é de 12 meses,
supondo valores médios do histórico mensal de vazões naturais como afluência
da Média de longo Termo (MLT), baseada em dados históricos de 1931 a 2014,
sendo maio o mês inicial, o qual representa o início do período seco do
sistema. As Figuras 20, 21 e 22 apresentam as MLT’s para Furnas,
Emborcação e Sobradinho, respectivamente, adotando o mês inicial como
maio.
A fim de validar os resultados obtidos, a solução encontrada pelo
método dos pontos interiores foi comparada com os valores encontrados
através da programação dinâmica determinística (Martinez, 1996).
Tabela 6 - Coeficientes dos polinômios.
Furnas Emborcação Sobradinho
a0 a1 a2 a3 a4
7,3525x10² 3,4966x10-³ -1,9744x10-7
6,9170x10-12
-9,7736x10-17
5,6809x102
1,4506x10-2
-1,2028x10-6
5,8303x10-11
-1,1245x10-15
3,7418x10² 1,3967x10-3
-5,3516x10-8 1,1599x10-12 -9,5459x10-18
b0 b1 b2 b3 b4
6,7163x102
3,8713x10-6
-2,6059x10-12
1,3847x10-18
0,0
5,1977x10² 1,5208x10-5
-1,5908x10-11
1,2913x10-17
-3,6995x10-24
3,5893x102 1,1492x10-5
-1,1125x10-11 5,8487x10-18 -1,1379x10-24
Fonte: (ONS, 2016).
Tabela 7 - Características das usinas.
Furnas Emborcação Sobradinho
k 0,008633 0,008731 0,009025
pc 1,09x10-2 1,27x10-2 0,5x10-2
Fonte: (ONS, 2016).
Tabela 8 - Características do conjunto Turbina/Gerador.
Usinas
Número de Conjuntos
Ne
Tipo de Turbina j Tipoj
Número de
Unidades Nj
Altura Efetiva hefj (m)
Engolimento Efetivo
qefj (m³/s)
Potência Efetiva
pefj (MW)
Furnas 2 Francis Francis
6 2
90,00 89,30
211 213
164 164
Emborcação 1 Francis 4 130,30 262 298
Sobradinho 1 Francis 6 27,2 713 175
Fonte: (ONS, 2016).
40
Tabela 9 - Características das usinas hidroelétricas.
Usinas Capacidade Instalada (MW)
Volume útil (hm³) Turbinagem min/max (m³/s)
Furnas 1312 17217 196/1692
Emborcação 1192 12521 77/1048
Sobradinho 1050 28669 1300/4278
Fonte: (ONS, 2016).
Figura 20 - Média Mensal para a Série De Vazões De Furnas.
Fonte: (ONS, 2016).
Figura 21 - Média Mensal para a Série de Vazões de Emborcação.
Fonte: (ONS, 2016).
Como critério de parada, o método implementado considerou número
máximo de iterações (quantidade fixada em 50) ou tolerância de 10-3 para o
gradiente em relação às condições de KKT para o problema como proposto
pelo MPI. Nos resultados apresentados no que segue, o critério de parada
considerado foi a partir do cálculo do erro (22).
0200400600800
1.0001.2001.4001.6001.8002.000
Vaz
ão [
m³/
s]
Meses
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Vaz
ão [
m³/
s]
Meses
41
Figura 22 - Média Mensal para a Série de Vazões de Sobradinho.
Fonte: (ONS, 2016).
4.3.2.1 Análise do custo esperado futuro associado ao volume final de
armazenamento
A fim de se analisar a importância da penalização do custo esperado
futuro na solução do problema de planejamento energético, um estudo foi
realizado onde diferentes valores de penalidade M (tal como definido em (13))
foram consideradas, conforme apresenta a Figura 23.
Inicialmente, M=0 foi considerado, ou seja, nenhuma penalização foi
considerada na função objetivo do problema em relação ao nível final de
armazenamento do reservatório da usina hidráulica. Na prática, a ausência de
penalização apresenta o nível baixo de armazenamento do reservatório ao final
do planejamento. Tal comportamento é inviável, já que a usina não deixa de
operar com o final do horizonte de planejamento.
Neste trabalho, o ajuste do valor de M para a penalização foi realizado
com variações de valores como 0,1, 0,01, 0,001 e 0,1 com modificação na
equação de custo futuro, para verificar a influência da variação da penalização.
Nota-se que quanto mais próximo o valor de M estiver de zero, menor o volume
ao final do planejamento. Logo, a penalização M = 0,1 foi considerada como
valor para a análise do comportamento do volume útil das usinas de Furnas,
Emborcação e Sobradinho, conforme apresentam as Figuras 24 a 26.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Vaz
ão [
m³/
s]
Meses
42
Figura 23 - Análise da Penalização do Custo Futuro Esperado.
Figura 24 - Porcentagem de Volume Útil – Usina de Furnas.
4.3.2.2 Comparação entre MPI e Programação Dinâmica Determinística
Os resultados obtidos com o MPI foram comparados com os obtidos
pela abordagem de Programação Dinâmica Determinística (PDD), método
utilizado na solução de problema de planejamento energético por várias
décadas. Neste caso foram consideradas as trajetórias de valores de volume
armazenado, defluência, geração hidráulica e térmica das usinas de Furnas e
Emborcação operando isoladamente.
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
Vo
lum
e ú
til (
%)
Meses
MPI - M=0,1 MPI - M=0,01 MPI - M=0,001 MPI - M=0 MPI - M=0,1 Mod.
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
Vo
lum
e ú
til (
%)
Meses
MPI
43
Figura 25 - Porcentagem de Volume Útil – Usina de Emborcação.
Figura 26 - Porcentagem de Volume Útil – Usina de Sobradinho.
As Figuras 27 a 29 apresentam as trajetórias de volume útil
(porcentagem) obtidos para as usinas de Furnas, Emborcação e Sobradinho,
respectivamente, pelas duas abordagens.
As Figuras 30 a 32 apresentam as trajetórias de defluência ótima obtidos
para as usinas de Furnas, Emborcação e Sobradinho, respectivamente, pelas
abordagens de MPI e PDD. As figuras apresentam ainda os valores de
afluência das usinas, assim como valores mínimos e máximos de defluência de
cada usina. Enquanto que, para as Figuras 33 a 35 apresentam as trajetórias
de geração hidráulica em cada usina e para as abordagens estudadas.
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00V
olu
me
úti
l (%
)
Meses
MPI
0
20
40
60
80
100
120
Vo
lum
e ú
til (
%)
Meses
MPI
44
Figura 27 - Comparação entre MPI e PDD - Volume útil Furnas.
Figura 28 - Comparação entre MPI e PDD - Volume Util Emborcação.
Figura 29 - Comparação entre MPI e PDD - Volume Útil Sobradinho.
0
20
40
60
80
100
120V
olu
me
úti
l (%
)
Meses
PDD MPI
0
20
40
60
80
100
120
Vo
lum
e ú
til (
%)
Meses
PDD MPI
0
20
40
60
80
100
120
Vo
lum
e ú
til (
%)
Meses
PDD MPI
45
Figura 30 -Trajetória Ótima para a Defluência - Usina de Furnas.
Figura 31 - Trajetória Ótima para a Defluência - Usina de Emborcação.
Figura 32 - Trajetória Ótima para a Defluência - Usina de Sobradinho.
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
3500,00
4000,00
[hm
³]
Meses
Defluência - MPI Defluência - PDD Afluência umin umax
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
[hm
³]
Meses
Defluência - PDD Defluência - MPI Afluência umin umax
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
[hm
³]
Meses
Defluência - MPI Afluência umin umax Defluência - PDD
46
Figura 33 - Comparação entre PDD e MPI para a Geração Hidráulica - Furnas.
Figura 34 - Comparação entre PDD e MPI para a Geração Hidráulica - Emborcação.
Figura 35 - Comparação entre PDD e MPI para a Geração Hidráulica - Sobradinho.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.000
[Gw
méd
io]
Meses
PDD MPI
0
100
200
300
400
500
600
700
800
[Gw
méd
io]
Meses
PDD MPI
0
200
400
600
800
1.000
1.200
[Gw
méd
io]
Meses
PDD MPI
47
As Tabelas 10 e 11 apresentam o desvio padrão para a defluência e
geração hidráulica, respectivamente, para as usinas de Furnas, Emborcação e
Sobradinho, pelas abordagens de MPI e PDD.
Tabela 10 – Desvio padrão para MPI e PDD da defluência.
Meses
Desvio Padrão
Furnas Emborcação Sobradinho
Maio 16,5 9,8 326,2
Junho 13,6 8,7 486,1
Julho 11,5 0,8 515,7
Agosto 0,8 0,2 103,3
Setembro 0,8 6,8 97,1
Outubro 11,3 8,8 144,2
Novembro 10,2 9,5 137,2
Dezembro 21,8 5,5 70,0
Janeiro 25,2 9,4 134,1
Fevereiro 29,7 22,7 191,0
Março 68,5 22,7 260,5
Abril 16,0 30,3 487,7
Tabela 11 – Desvio padrão para MPI e PDD da geração hidráulica.
Meses
Desvio Padrão
Furnas Emborcação Sobradinho
Maio 13,0 11,1 105,1
Junho 9,5 8,7 137,9
Julho 6,6 1,7 130,0
Agosto 4,4 3,7 43,5
Setembro 4,8 12,3 44,1
Outubro 13,1 5,6 59,5
Novembro 11,4 14,9 55,3
Dezembro 17,3 6,7 24,3
Janeiro 16,8 9,2 27,1
Fevereiro 21,6 24,9 39,5
Março 54,3 25,3 58,3
Abril 13,1 36,6 126,0
A Figura 36 apresenta o desvio padrão das unidades estudadas para o
volume do reservatório. Para o caso real, notou-se que o comportamento
obtido pelo MPI para o volume do reservatório, defluência e geração hidráulica
são análogos ao PDD, inclusive com baixo desvio padrão, a maior diferença
encontra-se nas curvas da unidade de Sobradinho. Logo, a partir do baixo
valor do desvio padrão encontrado, principalmente nas usinas de Furnas e
emborcação, nota-se a proximidade do valor esperado.
48
Figura 36 - Desvio padrão entre MPI e PDD para o Volume do reservatório.
4.4 Ferramenta computacional
Uma interface gráfica amigável com usuário foi construída através do
Guide do MATLAB®, em que se utiliza o método dos pontos interiores aplicado
às usinas individualizadas. Resultados das otimizações são apresentados em
forma de gráficos e armazenando em arquivos no formato .txt.
A janela inicial, ilustrada na Figura 36, mostra os dados de entrada
requeridos do usuário como o número da usina escolhida (de acordo com
cadastro do ONS), o período de análise (em que o mês inicial é o mês de
maio), a demanda em porcentagem da capacidade instalada da usina, o
volume desejado ao final (mês de abril) do reservatório e a quantidade de
iterações para a análise.
Logo após a inserção dos dados requeridos ao usuário, o método de
otimização entrará em funcionamento e mostrará em uma janela secundária os
resultados. Através do Guide do MATLAB® é possível, também, gerar o
executável da interface associada ao código e permitir que o usuário utilize do
software criado em qualquer outra máquina que possua o MATLAB® instalado.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Desvio
Padrã
o
Meses
Furnas Emborcação Sobradinho
49
Figura 37 - Janela Inicial para o Otimizador com MPI.
50
Capítulo 5 - Conclusões
Neste trabalho o método dos pontos interiores foi proposto como uma
ferramenta de otimização para o problema de planejamento da operação de
sistemas hidroelétricos de geração de energia elétrica a longo prazo com
usinas individualizadas. O método dos pontos interiores, assim como estudado
na literatura, é capaz de solucionar problemas de grande porte e ao utilizar
para a solução do problema real, estudo de caso deste trabalho, mostrou-se
altamente sensível e dependente dos dados de entrada.
Por várias décadas o setor elétrico brasileiro tem adotado a metodologia
de programação dinâmica estocástica na determinação de estratégias de
operação no planejamento energético. O modelo “Newave”, utilizado
atualmente pelo setor elétrico, tem como base a programação dinâmica
estocástica dual, baseada na decomposição de Benders.
As modelagens realizadas para o caso real e fictício apresentaram
soluções que condizem com os problemas apresentados para a otimização,
com baixo desvio padrão, bem como confirmou-se que a convergência do
método está diretamente ligada à sua complexidade da modelagem. Para os
problemas dos casos fictício e real, o critério de parada que melhor atende é a
partir do cálculo do erro, conforme apresentado em (22).
No método implementado neste trabalho comprovou-se a viabilidade de
programar e executar a otimização do mesmo modo que traz a literatura em
(Wright, 1997) sem a inclusão de filtros ou funções específicas (função de
Mérito, por exemplo) para encontrar ou restringir a região de factibilidade, como
em (Azevedo e Soares, 2009) e (Martins, 2009).
A fim de validar os resultados encontrados pelo método de otimização
estudado, os resultados encontrados para o caso fictício foram comparados
com o método do gradiente reduzido (Martinez, 1996) e para o caso real, com
soluções obtidas através da programação dinâmica determinística (Martinez,
2001). Na validação do caso real, as comparações com a PDD para as usinas
foram realizadas e os valores encontrados para as variáveis de estado que
solucionam o problema com o MPI são próximos aos resultados da PDD.
51
Conforme os cenários analisados a partir do método dos pontos
interiores para o caso real, a otimização da modelagem para o planejamento a
longo prazo da operação energética apresentou melhores resultados para o
volume final do reservatório para a usina de Sobradinho, porém com maiores
valores do desvio padrão quando comparados à PDD, no entanto, atendem às
restrições do problema. As unidades de Furnas e Emborcação, o MPI otimizou
de tal forma que, o maior valor do desvio padrão encontrado foi de 68,5 para a
diferença entre métodos ao analisar a defluência.
Como sugestões de trabalhos futuros:
Implementar, utilizando o método dos pontos interiores, a
associação em cascata de outras usinas para verificar a
possibilidade de melhorias no comportamento, visto que a
decisão de deplecionamento de uma usina a montante afeta a
afluência total à usina a jusante.
Estudar a metodologia aplicada para problemas não-
determinísticos.
Incrementar mais variáveis para análise na modelagem
matemática do problema real, como o índice de precipitação das
unidades geradoras estudas, por exemplo.
Analisar os períodos correspondentes às décadas de 50 e 80, que
representam períodos de seca e cheia, respectivamente, para
verificar o comportamento do volume do reservatório para os
cenários estudados neste trabalho.
Associar à ferramenta computacional outros métodos de
otimização clássica e de inteligência artificial, como as Redes
Neurais, a fim de compará-los quanto ao melhor custo
computacional e respostas obtidas para a solução do problema
proposto neste trabalho.
52
Referências Bibliográficas
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55
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56
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57
Anexo A
Código referente aos dados de entrada da usina e para o método
MPI
aux=0.02*10^(-3); delta=2.628; N=15.6839; mu=0.1; RD=4; %Qtd das restrições de Desigualdades RI=1; %Qtd das restrições de igualdades sigma=0.2; tau=0.995; var=2; %quantidade de variáveis do programa (Nesse caso, x e u)
usina=input('Número da usina:'); mesI=input('Mês Inicial:'); anoI=input('Ano Inicial:'); mesF=input('Mês Final:'); anoF=input('Ano Final:'); dp=input('Demanda em (%) da Capacidade Instalada '); vp=input('Volume útil (%) '); qtdi=input('Quantidade de iterações ');
%Exemplo para uma das usinas switch usina case 6 %Usina de Furnas [dados,T]=furnas(mesI,anoI,mesF,anoF) %6 %dados=[733 612 503 413 430 506 717 1236 1766 1637 1457 1003];%MLT
Furnas 1931-2014 %T=12; %dados=[733 612 503 413 430 506 717 1236 1766 1637 1457 1003 733 612
503 413 430 506 717 1236 1766 1637 1457 1003 733 612 503 413 430 506
717 1236 1766 1637 1457 1003];%MLT Furnas 1931-2014 %T=36; dem=1312*(dp/100); k=0.008633; pc=1.09*10^(-2); b0=671.63; b1=3.8713*10^(-6); b2=-2.6059*10^(-12); b3=1.3847*10^(-18); b4=0.0; a0=735.25; a1=3.4966*10^(-3); a2=-1.9744*10^(-7); a3=6.9170*10^(-12); a4=-9.7736*10^(-17); xmin=5733; xmax=22949*(vp/100); qmin=196; qmax=1692; umin=196; umax=2*1692; x0=xmax*(vp/100);
58
af=dados; %afluência em t: y(t)(m³/s) d=(ones(1,T)*dem); %demanda: d(t) em [MW]
Código referente à Modelagem do Problema
%fi=(a0+(a1*x(t))+(a2*(x(t)^2))+(a3*(x(t)^3))+(a4*(x(t)^4))); %teta=(b0+(b1*(q(t)+v(t)))+(b2*((q(t)+v(t))^2))+(b3*((q(t)+v(t))^3))+(
b4*((q(t)+v(t))^4))); %h(t)=(fi-teta-pc); %p(t)=(k*h(t)*q(t)); %g(t)+pt(t)=d(t); %pt(t)=sum(p); %u(t)=(q(t)+v(t));
%Substituindo %Fo = aux*(g(t)^2)+V(x(T+1)) %fi=(a0+(a1*x(t))+(a2*(x(t)^2))+(a3*(x(t)^3))+(a4*(x(t)^4))); %teta=(b0+(b1*u(t))+(b2*(u(t)^2))+(b3*(u(t)^3))+(b4*(u(t)^4))); %h(t)=((fi-teta)*(1-pc)); %p(t)=k*h(t)*q(t) %g(t)+pt(t)=d(t); %pt(t)=sum(p); %u(t)=(q(t)+v(t));
b=2; for t=1:T
p1(t)=k*(((a0+(a1*x(b))+(a2*(x(b)^2))+(a3*(x(b)^3))+(a4*(x(b)^4)))-
(b0+(b1*u(t))+(b2*(u(t)^2))+(b3*(u(t)^3))+(b4*(u(t)^4))))*(1-
pc))*u(t); b=b+1; end
% Função objetivo for t=1:T f(t) = aux*((d(t)-p1(t))^2); end
fo= (sum(f) + N*(x(13) - x(12) - (af(12)-u(12))*delta) + (N*((x(13) -
x(12) - (af(12)-u(12))*delta)^2))); c=sym('c',[RD+RI,1]);
% Restrição 1 = de igualdade %x(a+1)=x(a)+(delta*(af(a)-u(a))) for a=1:T c(1,a) = x(a+1)- x(a)-(delta*(af(a)-u(a))); end
% Restrição 2 b=2; for a=1:T c(2,a) = xmin - x(b); b=b+1; end
% Restrição 3 b=2;
59
for a=1:T c(3,a) = x(b) - xmax; b=b+1; end
% Restrição 4 for a=1:T c(4,a) =umin - u(a);
end
% Restrição 5 for a=1:T c(5,a) = u(a) - umax; end
Código referente à inicialização das variáveis de entrada
switch usina% Exemplo para uma das usinas case 6 % soluçao inicial for j=1:T us(j)=af(j);% usina à fio d’água end ue=us;
xs(1)=x0; xs(2)=x0+(delta*(af(1)-us(1)))
for a=2:T xs(a+1)=xs(a)+(delta*(af(a)-us(a))); end xe=xs; cd2=subs(cd2,x,xs); cd2=subs(cd2,u,us);
for a=1:RD*T ss(a)=cd2(a)+0.01; zs(a)=1; end
for a=1:RI*T ys(a)=0.3; end
Código referente ao cálculo de alfa
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %calculo do alphasMax [g,tam]=size(dvs); b=1; for a=1:tam aux2=ss(a)/dvs(a);
60
if aux2<0 alfa(b)=-tau*(ss(a)/dvs(a)); b=b+1; end end a=1;
[g,tam]=size(alfa); b=1; for a=1:tam if alfa(a)>10^-2 & alfa(a)<1 alfan(b)=alfa(a); b=b+1; end end if b==1 alfan=0.999; end
alfas=min(alfan); alfa_s(cont+1)=alfas; clear alfa
%calculo do alphasMax
[g,tam]=size(dvz); b=1; for a=1:tam aux2=zs(a)/dvz(a); if aux2<0 alfa(b)=-tau*(zs(a)/dvz(a)); b=b+1; end end a=1;
[g,tam]=size(alfa); b=1; for a=1:tam if alfa(a)>10^-3 & alfa(a)<1 alfan(b)=alfa(a); b=b+1; end end if b==1 alfan=0.999; end alfaz=min(alfan); alfa_z(cont+1)=alfaz; clear alfa %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Código referente ao cálculo das variáveis dependentes
disp('Xs do método') disp(xs);
61
xsn=sym('xsn',[T+1,1]); xsn(1)=x0; for a=1:T xsn(a+1)=xsn(a)+(delta*(af(a)-us(a))); end
%Comparação do volume calculado pelo método e através da Equação de
balanço for i=1:T+1 vol1(i)=((xsn(i)-xmin)/(xmax-xmin))*100; end for i=1:T+1 vol2(i)=((xs(i)-xmin)/(xmax-xmin))*100; end ve=0:T; figure(1) plot(ve,vol1) xlabel('Meses') ylabel('Volume Útil do Reservatório [%]')
disp('Volume do método') disp(vol1); disp('volume calculado - equação de balanço') disp(vol2)
% defl=turb+vert for i=1:T if us(i)>qmax vert(i)=us(i)-qmax; qs(i)=qmax; else qs(i)=us(i); vert(i)=0; end
end
disp('Valores de q - turbinagem') disp(qs); ve=1:T; figure(2) bar(ve,qs,'g') xlabel('Meses') ylabel('Turbinagem [m³/s]')
disp('Valores de u - defluência da usina') disp(us); ve=1:T; figure(3) bar(ve,us,'r') xlabel('Meses') ylabel('Defluência da Usina [m³/s]')
disp('Valores de s - vertimento [m³/s]') ve=1:T; disp(vert) figure(4) bar(ve,vert,'m') xlabel('Meses')
62
ylabel('Vertimento [m³/s]')
figure(5) b=2; for t=1:T
pt(t)=k*(((a0+(a1*xsn(b))+(a2*(xsn(b)^2))+(a3*(xsn(b)^3))+(a4*(xsn(b)^
4)))-(b0+(b1*us(t))+(b2*(us(t)^2))+(b3*(us(t)^3))+(b4*(us(t)^4))))*(1-
pc))*qs(t); PCM(t)=(a0+(a1*xs(b))+(a2*(xs(b)^2))+(a3*(xs(b)^3))+(a4*(xs(b)^4))); PCJ(t)=(b0+(b1*us(t))+(b2*(us(t)^2))+(b3*(us(t)^3))+(b4*(us(t)^4))); b=b+1; end bar(ve,pt) xlabel('Meses') ylabel('Geração Hidráulica [MW]') disp('Geração Hidráulica [MW]') disp(pt) disp('Polinômio da Cota montante da usina [m]') disp(PCM) disp('Polinômio da Cota jusante da usina [m]') disp(PCJ)
figure(6) for t=1:T Gt(t) = aux*((d(t)-pt(t))^2); end bar(ve,Gt) xlabel('Meses') ylabel('Custo Mínimo de Geração Termoelétrica [$]') disp('Custo Mínimo de Geração Termoelétrica [$]') disp(Gt)
qtd=1:cont; figure(7) plot(qtd,FO,'p') xlabel('Iteração') ylabel('Valor da Função Objetivo')
Fobj=subs(fo,x,xs'); Fobj=subs(Fobj,u,us'); Fobj=subs(Fobj,M,Ms');
disp('Valor Final da Função objetivo') disp(abs(Fobj));
Código referente à função quando faz-se a busca da usina (ONS,
2016)
function [dados,T]=furnas(mesI,anoI,mesF,anoF)
%Dados de 1931 a 2014 MatrizFurnas=[1476 2964 2167 1585 1254 785 607 469 538 662 667 1127; 1908 1898 1534 868 673 632 473 393 388 521 573 1474; 1330 726 696 610 441 356 329 325 295 411 295 692; 1210 699 752 480 333 276 240 204 247 272 320 1285;
63
1846 2584 1547 1334 909 674 554 468 436 619 527 661; 594 662 1812 942 626 436 365 352 445 351 601 1302; 2600 1589 1112 832 836 620 456 364 307 819 997 2343; 1899 1646 1445 952 850 637 508 481 481 793 914 1647; 2089 1999 1063 957 728 559 483 398 351 398 606 1356; 2018 2425 2077 1144 824 637 513 408 382 464 1043 1554; 1710 1005 973 794 508 458 456 334 607 666 704 1307; 1309 1244 1863 1033 768 637 546 419 390 540 858 1231; 2727 2198 2057 1132 826 680 554 495 442 648 657 1094; 1003 1521 1631 915 618 495 422 347 293 340 508 671; 875 1978 1208 995 628 553 500 349 314 349 765 1585; 3201 1310 1467 1152 756 627 548 430 335 516 690 749; 1775 1840 3757 1677 1034 804 699 548 814 627 714 1331; 1503 1721 1826 1075 769 668 480 419 349 385 765 1263; 1682 2221 1327 951 757 618 467 385 337 399 716 1153; 1559 2519 1581 1185 852 655 592 496 428 485 1059 1649; 1568 1994 1806 1276 899 700 557 476 388 432 377 761; 1214 1881 2356 1386 770 706 507 406 404 382 661 791; 605 680 839 1040 509 409 354 303 307 330 513 813; 743 1261 666 661 632 450 328 273 222 299 420 593; 1186 722 913 665 417 380 280 232 248 284 417 1163; 1103 712 1184 597 564 532 399 430 352 310 416 1165; 1605 1475 1663 1548 952 681 587 465 620 437 784 1202; 955 1535 1249 897 894 752 638 480 585 662 711 847; 1815 1408 1250 1094 693 581 497 465 401 428 668 780; 1564 1646 2119 999 859 651 638 508 397 428 548 1311; 2747 2902 2754 1457 1223 841 676 571 506 426 636 772; 1300 2389 1573 944 796 696 534 472 464 695 833 1454; 1723 1489 994 640 524 442 399 347 297 369 507 334; 1453 1954 823 752 611 469 378 258 225 531 742 1255; 2464 3125 2523 1321 1438 1062 947 777 641 973 1188 1869; 3033 2092 2679 1450 1034 726 581 486 484 805 1343 1856; 3014 2594 1916 1168 880 763 624 546 503 523 1080 1303; 1656 988 959 612 471 409 358 367 363 453 390 1337; 1171 1193 966 636 413 436 338 313 214 478 1241 1143; 1412 1280 1321 761 534 446 430 347 614 527 827 555; 612 357 477 401 310 365 309 218 232 470 533 1546; 1319 1776 1623 892 596 469 618 442 384 694 1132 1290; 1587 1428 920 1133 662 502 438 380 333 486 739 1409; 1830 1064 1544 1118 673 661 512 405 314 411 394 1095; 1460 1555 871 704 502 380 414 261 241 456 987 1196; 958 1143 1266 962 775 753 784 744 1068 917 1373 1915; 1986 1616 1193 1189 698 596 467 363 583 420 832 1449; 1919 1268 1224 756 707 699 495 372 354 494 892 1100; 1385 2413 1422 963 808 642 578 552 733 527 946 1651; 2690 1929 1121 1709 915 784 674 487 492 459 824 1762; 2713 1297 1216 917 698 704 504 469 355 819 1325 2333; 2417 1820 2845 1651 1061 952 760 627 488 769 798 2073; 3506 3230 3046 2327 1572 2303 1308 921 1889 1822 1989 3123; 2192 1315 994 914 861 577 466 482 547 424 631 1326; 2594 2210 2434 1343 881 680 565 476 503 470 759 1036; 1716 1540 1365 806 833 555 565 590 369 294 343 1700; 1945 1757 1209 1232 838 703 548 434 573 459 590 1345; 1303 1788 1421 843 713 645 435 384 321 563 655 810; 1795 1580 1619 893 596 553 487 476 487 437 512 1128; 1364 639 1086 723 630 428 432 405 462 443 384 591; 1926 1981 1764 1915 1032 677 579 425 390 666 458 809; 2875 2406 1408 1052 1003 614 597 448 695 796 1298 1188; 1301 1938 1512 1103 717 727 502 435 457 566 437 705; 1927 845 1224 775 868 563 458 352 273 306 460 1062; 924 2788 1193 998 741 532 471 311 273 637 617 988;
64
1928 1231 1431 829 664 499 442 389 681 518 1455 1736; 3621 1824 1498 1066 765 863 578 437 405 502 715 1185; 1191 1248 965 676 571 513 362 360 260 501 525 1010; 1681 1410 1545 754 531 502 400 278 290 210 335 796; 2248 1817 1376 811 540 493 419 380 558 302 703 1013; 896 713 628 494 374 294 250 217 272 400 567 1029; 1240 1982 1147 641 512 420 381 308 354 222 549 998; 1882 1396 1072 718 531 394 385 271 261 302 433 916; 1252 1614 1326 1048 761 692 564 386 294 483 520 1526; 2239 1713 1541 874 950 676 561 416 477 392 721 1352; 1114 1161 1377 673 495 425 362 283 325 472 671 1268; 3364 2146 948 746 601 527 463 354 241 294 647 880; 1092 1737 1758 1448 771 624 460 433 418 477 866 1558; 2028 2485 1619 1643 843 696 630 525 705 828 658 1813; 1811 1026 1268 807 579 478 426 301 284 455 861 1512; 2959 1087 1931 1063 698 628 488 388 298 459 515 1648; 2628 1225 910 724 675 740 508 340 262 253 435 665; 1814 1655 1245 996 629 648 499 363 351 505 559 980; 497 274 330 387 267 252 233 200 143 102 290 544];
[linha,coluna]=size(MatrizFurnas); % anoInicial=1931; % anoFinal=2014; % linhaI=anoI-anoInicial; ano=1931:2014; mes=1:12; for i=1:length(mes) if (mesI==mes(i)) colunaI=i; end
if (mesF==mes(i)) colunaF=i; end end
for i=1:length(ano) if (anoI==ano(i)) linhaI=i; end
if (anoF==ano(i)) linhaF=i; end end linhas=linhaF-linhaI; %-para o ano if linhas==0; linhas=1; end
colunas1=colunaF-colunaI; if colunas1==0; colunas1=1; end colunas1=colunas1*12; %Cálculo de T anos=anoF-anoI; if anos==0; anos=1; end
65
meses=mesF-mesI; T=(anos*12)+meses; % Vetor de Dados i=1; colunaI=colunaI+1; for linhaX=linhaI:linhaF for colunas=colunaI:colunas1 dados(i)=MatrizFurnas(linhaX,colunas); i=i+1; end colunaI=1; if (linhaX+1==linhaF) colunas1=colunaF; %tirei o -1 após a coluna F else colunas1=12; end
end
end
