Aplicações:

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal

(Positividade do produto interno)

Raíz quadrada

Formas quadráticas

Mínimos quadrados

Produto externo e produto misto

(Área do paralelogramo. Volume doparalelepípedo.)

Matrizes elementares e factorização triangular

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal

Considere-se o produto interno usual

A 2Mn�n(C) AH = AT

�AH

�H= A

(�A+ �B)H = �AH+�BH (AC)H = CHAH

A é hermitiana se AH = A

A é simétrica se AT = A

Se A 2Mn�n(R), A hermitiana , A simétrica

Todos os valores próprios de uma matriz simétrica ouhermitiana são reais

Se A fôr simétrica ou hermitiana então os vectorespróprios associados a valores próprios distintos, sãoortogonais

Os subespaços próprios de A simétrica ou hermitianasão ortogonais entre si

Dem A 2Mn�n(C), A hermitiana. � valor próprio deA e u vector próprio associado. � = uHAu. Então

� = �

logo � é real. Como

� = �Xjuij2

Logo

� =�P juij2 2 R

Sejam u1 e u2 vectores próprios associados a valorespróprios distintos �1 e �2. Então

(Au1)H u2 = �2u

H1 u2

(Au1)H u2 = �1u

H1 u2

Como

�1 6= �2então

hu1; u2i = uH1 u2 = 0

u1 e u2 são ortogonais

P é ortogonal : PT = P�1, isto é, PPT = I

(as colunas de AT são uma base ortonormada de Rn)

U é unitária : UH = U�1, isto é, UUH = I

(as colunas de UH são uma base ortonormada de Cn)

Se A 2Mn�n(R)

A ortogonal , A unitária

A diz-se unitariamente diagonalizável se existir UH

unitária e D diagonal tais que

D = UAUH

isto é, se existir uma base o.n. de Cn formada só porvectores próprios de A

A diz-se ortogonalmente diagonalizável se existir PT

ortogonal e D diagonal tais que

D = PAPT

isto é, se existir uma base o.n. de Rn formada só porvectores próprios de A

Teorema de Schur. Seja A uma matriz n � n. En-tão, existe uma matriz unitária UH tal que UAUH étriangular superior (inferior).

Dem. A demonstração será efectuada por indução emn. O resultado é óbvio para n = 1. Suponhamos quea hipótese é válida para matrizes k � k e seja A umamatriz (k + 1)� (k + 1). Sejam �1 um valor próprio deA e w1 um vector próprio associado de norma 1. Apli-cando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt,seja

�w1; : : : ; wk+1

uma base ortonormada para Ck+1.

SejaWH a matriz cuja coluna i é igual ao vector wi, parai = 1; : : : ; k+1. Então, por construção, a matrizWH éunitária. Por outro lado, a primeira coluna de WAWH

é igual a WAw1, tendo-se

WAw1 =W�1w1 = �1Ww1 = �1

2666410...0

37775 =26664�10...0

37775

e assim

WAWH =

26666664�1 j � � � � �� j � � �0 j... j M0 j

37777775 ;

onde M é uma matriz k � k.

Pela hipótese de indução, existe uma matriz k�k unitária(V1)

H tal que V1M (V1)H = T1, onde T1 é uma matriz

triangular superior. Seja

V H =

266666641 j 0 � � � 0� j � � �0 j... j (V1)

H

0 j

37777775 .

Então V H é unitária e tem-se

(VW )A (VW )H = VWAWHV H =

=

26666664�1 j � � � � �� j � � �0 j... j V1M (V1)

H

0 j

37777775 =

=

26666664�1 j � � � � �� j � � �0 j... j T10 j

37777775 = T ,

onde T é uma matriz triangular superior. Como a matriz(VW )H é unitária, pondo UH = (VW )H , tem-se

UAUH = T ,

com T triangular superior e UH unitária.

A =

"2 1�2 5

#valores próprios de A : 3 e 4

N (A� 3I) = L (f(1; 1)g)

N (A� 4I) = L (f(1; 2)g)

UH =

24 p22 �p22p

22

p22

35 Gram-Schmidt

UAUH = T

24 p22

p22

�p22

p22

35 " 2 1�2 5

# 24 p22 �p22p

22

p22

35 = "3 30 4

#| {z }

T

TEOREMA (triangularização) A 2 Mn�n(C): Entãoexiste UH unitária tal que UAUH é triangular superior(inferior).

TEOREMA

A é hermitiana ) A é unitariamente diagonalizável

Dem. existe UH unitária tal que UAUH é triangular.

Seja T = UAUH . Logo

TH = T

e como T é triangular então T é diagonal.

A 2Mn�n(R)

A é simétrica ) A é ortogonalmente diagonalizável

A matriz PT é a matriz cujas colunas são os vectorespróprios de A que formam uma base ortonormada de Rn

A hermitiana ) A unitariamente diagonalizável

(D = UAUH)

A hermitiana : A unitariamente diagonalizável

A simétrica , A ortogonalmente diagonalizável

(D = PAPT )

A é normal :

AHA = AAH

(ou ATA = AAT se A 2Mn�n(R))

fA : A é simétricag � fA : A é normalg

fA : A é ortogonalg � fA : A é normalg

fA : A é hermitianag � fA : A é normalg

fA : A é unitáriag � fA : A é normalg

A 2Mn�n(R) tal queA é normal com todos os valores próprios reais

+A simétrica

Se A 2Mn�n(C) é normal tem-se para todo o u

kAuk = AHu

A normal ) A� �I normal e

k(A� �I)uk = (A� �I)H u = �AH � �I�u

Logo

Au = �u ) AHu = �u

Os vectores próprios associados a valores própriosdistintos, de uma matriz normal, são ortogonais

Dem. Seja A 2 Mn�n(C) tal que A é normal. Sejam�1; �2 valores próprios de A tais que �1 6= �2 e sejam v1e v2 vectores próprios de A associados respectivamentea �1 e �2. Tem-se

Av1 = �1v1 ) AHv1 = �1v1

Av2 = �2v2 ) AHv2 = �2v2

e

�AHv1

�Hv2 =

��1v1

�Hv2 = �1 (v1)

H v2

�AHv1

�Hv2 = (v1)

H (Av2) = �2 (v1)H v2

Logo (�1 � �2) hv1; v2i = 0: Assim, como �1 6= �2,tem-se hv1; v2i = 0:

A é normal, A é unitariamente diagonalizável

Dem. ()) A normal, existe UH unitária e T triangularsuperior T tais que T = UAUH .

TTH = THT

Logo T é normal. T =�tij�n � n. As entradas das

diagonais principais de TTH e THT :

jt11j2 + jt12j2 + jt13j2 + � � �+ jt1nj2 = jt11j2

jt22j2 + jt23j2 + � � �+ jt2nj2 = jt12j2 + jt22j2...

jtnnj2 = jt1nj2 + jt2nj2 + jt3nj2 + � � �+ jtnnj2

e assim, tij = 0 sempre que i 6= j. Logo T é diagonal eA é unitariamente diagonalizável.

(() A unitariamente diagonalizável. Sejam D diagonale UH unitária tais que

D = UAUH

Logo

A = UHDU

AAH = UH�DDH

�U

AHA = UH�DHD

�U

DDH = DHD =

266664j�1j2 0 � � � 0

0 j�2j2 . . . ...... . . . . . . 0

0 � � � 0 j�nj2

377775AAH = AHA

e assim A é normal.

A =

"2 1 + i

1� i 3

#AH = A A é hermitiana

AAH =

"6 5 + 5i

5� 5i 11

#= AHA

Logo A é normal

A normal , A unitariamente diagonalizável

existem uma matriz unitária UH (UH = U�1) e umamatriz diagonal D tais que

D = UAUH .

det(A� �I) =����� 2� � 1 + i1� i 3� �

����� = (�� 1) (�� 4) ,os valores próprios de A são 1 e 4 e tem-se

N (A� 1I) = L (f(�1� i; 1)g)

N (A� 4I) = L���

1

2+1

2i; 1���

.

Note-se que os vectores de N (A� 1I) são ortogonaisaos vectores de N (A� 4I). Logo, uma base ortonor-mada de C2 formada só com vectores próprios de A podeser:8<: 1

k(�1� i; 1)k(�1� i; 1) ; 1 �12 + 1

2i; 1� �1

2+1

2i; 1�9=; =

=

( �p3

3�p3

3i;

p3

3

!;

p6

6+

p6

6i;

p6

3

!).

Logo

UH = SBvp!Bc =

24 �p33 � p33 i p66 +p66 ip

33

p63

35e

D =

"1 00 4

#= UAUH

264 1 1 00 1 11 0 1

375 não é simétrica logonão é ortogonalmente diagonalizável. Mas:264 1 1 0

0 1 11 0 1

375T 264 1 1 0

0 1 11 0 1

375 =

=

264 1 1 00 1 11 0 1

375264 1 1 00 1 11 0 1

375T

=

264 2 1 11 2 11 1 2

375

então

264 1 1 00 1 11 0 1

375 é normal e como tal éunitariamente diagonalizável.

26642 0 0

0 12 �

12ip3 0

0 0 12 +

12ip3

3775| {z }

D

=

=

26664p33

p33

p33

�p36 + 1

2i �p36 �

12ip33

�p36 �

12i �

p36 + 1

2ip33

37775264 1 1 00 1 11 0 1

37526664p33 �

p36 �

12i �

p36 + 1

2ip33 �

p36 + 1

2i �p36 �

12ip

33

p33

p33

37775| {z }

UH

Positividade do produto interno

Teorema. A 2Mn�n(R) simétrica. Então:

A é de�nida positiva, isto é, uTAu > 0 para todo o u 6= 0,

, todos os valores próprios de A são positivos

Dem. Sendo A simétrica então A é ortogonalmentediagonalizável, isto é, existemD diagonal e PT ortogonaltais que D = PAPT . Assim

(uTAu > 0 para todo o u 6= 0),

, (uTPTDPu > 0 para todo o u 6= 0),

, ((Pu)T D (Pu) > 0 para todo o u 6= 0),

, (uTDu > 0 para todo o u 6= 0),

, (nXi=1

(ui)2 �i > 0 para todo o u 6= 0),

, (�i > 0 para todo o i = 1; :::; n)

onde �1; :::; �n são os valores próprios deA são positivos.Logo A é de�nida positiva.

Raíz quadrada

A 2Mn�n(R) tal que A é simétrica.

Então, são equivalentes:

(i) A é de�nida positiva (uTAu > 0 8u 6= 0)

(ii) Existe existe uma "raíz quadrada" de A, isto é, existeuma matriz simétrica e de�nida positiva B tal que

A = B2

isto é

B = A1=2

(iii) Existe uma matriz invertível S tal que

A = STS

SendoA simétrica e de�nida positiva existem 2n matrizessimétricas B tais que

B2 = A

No entanto existe uma única matriz simétrica e de�nidapositiva B; a "raíz quadrada" de A tal que

B2 = A

escreve-se

B =pA

Dem. (i) ) (ii) Supondo que A é de�nida positiva,vejamos que existe uma matriz simétrica de�nida positivaB tal que A = B2.

Como A é simétrica, então A é ortogonalmente diago-nalizável, isto é, existe uma matriz ortogonal P tal que

PAPT = D =

26664�1 0 � � � 00 . . . . . . ...... . . . 00 � � � 0 �n

37775onde �1; :::; �n são os valores próprios de A, os quais sãotodos positivos por A ser de�nida positiva, tendo-se

D =�D0�2

com

D0 =

26664p�1 0 � � � 00 . . . . . . ...... . . . 00 � � � 0

p�n

37775 .Assim

A = PTDP = PT�D0�2P =

�PTD0P

� �PTD0P

�= B2

com

B = PTD0P

simétrica:

BT =�PTD0P

�T= PT

�D0�T �

PT�T= PTD0P = B

e de�nida positiva uma vez que os valores próprios dePTD0P são os de D0.

(ii) ) (iii) Supondo que existe uma matriz simétricade�nida positiva B tal que A = B2, vejamos que existeuma matriz invertível S tal que

A = STS:

Como B é simétrica e de�nida positiva, basta fazer S =B para ter-se

A = B2 = BB = STS

com S simétrica e invertível uma vez que sendoB de�nidapositiva, 0 não é valor próprio de B.

(iii) ) (i) Supondo que existe uma matriz invertível Stal que A = STS, vejamos que A é de�nida positiva,isto é, vejamos que

uTAu > 0;

para todo o u 6= 0. Tem-se

uTAu = uTSTSu = (Su)T Su = kSuk2 > 0

para todo o u 6= 0, uma vez que S é invertível.

Exemplos

Existem in�nitas

vuut" 1 00 1

#por exemplo

1

t

"�s �r�r �s

#com s; r; t 2 N tais que t2 = s2+r2 (triplos pitagóricos)

Não existe

vuut" 0 10 0

#

A =

"4 11 4

#valores próprios de A: 3 e 5

vectores próprios associados a 3: L (f(�1; 1)g) n f0g

vectores próprios associados a 5: L (f(1; 1)g) n f0g

"3 00 5

#=

24 �p22 p22p

22

p22

35 " 4 11 4

# 24 �p22 p22p

22

p22

35

B =

24 �p22 p22p

22

p22

35 " p3 0

0p5

# 24 �p22 p22p

22

p22

35 =

=

"12

p3 + 1

2

p5 1

2

p5� 1

2

p3

12

p5� 1

2

p3 1

2

p3 + 1

2

p5

#=pA

B2 =

"12

p3 + 1

2

p5 1

2

p5� 1

2

p3

12

p5� 1

2

p3 1

2

p3 + 1

2

p5

#2=

"4 11 4

#

valores próprios de A: 0 e 3

base de R3 formada só por vectores próprios:

8>><>>:(�1; 0; 1) ; (�1; 1; 0)| {z }2N (A)nf0g

; (1; 1; 1)| {z }2N (A�3I)nf0g

9>>=>>;264 1 1 11 1 11 1 1

375| {z }

A

=

264 �1 �1 10 1 11 0 1

375| {z }

P�1

264 0 0 00 0 00 0 3

375| {z }

D

2664�13 �

13

23

�1323 �13

13

13

13

3775| {z }

P

=

=

0BBBBBBB@264 �1 �1 10 1 11 0 1

375| {z }

P�1

264 0 0 00 0 0

0 0p3

375| {z }p

D

2664�13 �

13

23

�1323 �13

13

13

13

3775| {z }

P

1CCCCCCCA

2

pA =

264 �1 �1 10 1 11 0 1

375| {z }

P�1

264 0 0 00 0 0

0 0p3

375| {z }p

D

2664�13 �

13

23

�1323 �13

13

13

13

3775| {z }

P=

=

26664p33

p33

p33p

33

p33

p33p

33

p33

p33

37775

base ortogonal de R3 formada só por vectores próprios:

8>>>><>>>>:(�1; 0; 1) ; (�1; 1; 0)�1

2(�1; 0; 1)| {z }

2N (A)nf0g

; (1; 1; 1)| {z }2N (A�3I)nf0g

9>>>>=>>>>; =

f(�1; 0; 1) ; (�1; 2;�1) ; (1; 1; 1)g

base ortonormada deR3 formada só por vectores próprios:

8>>>>><>>>>>: �p2

2; 0;

p2

2

!;

�p6

6;

p6

3;�p6

6

!| {z }

2N (A)nf0g

;

p3

3;

p3

3;

p3

3

!| {z }2N (A�3I)nf0g

9>>>>>=>>>>>;

pA =

26664�p22 �

p66

p33

0p63

p33p

22 �

p66

p33

37775| {z }

PT

264 0 0 00 0 0

0 0p3

375| {z }p

D

26664�p22 0

p22

�p66

p63 �

p66p

33

p33

p33

37775| {z }

P

=

=

26664p33

p33

p33p

33

p33

p33p

33

p33

p33

37775

Formas quadráticas

Equação quadrática em duas variáveis x e y:

ax2 + by2 + 2cxy + dx+ ey + f = 0

hx y

i " a cc b

#| {z }

A

"xy

#+hd e

i " xy

#| {z }u

+ f = 0

(A real simétrica). Q : R2 ! R,

Q (u) = uTAu = ax2 + by2 + 2cxy

forma quadrática associada à equação quadrática

Equação quadrática em n variáveis x1; x2; : : : ; xn:

uTAu+Bu+ � = 0

u 2 Mn�1 (R), A =�aij�real simétrica n � n, B 2

M1�n (R) e � escalar.

Q : Rn ! R Q (u) = uTAu =nPi=1

nPj=1

aijxj

!xi

forma quadrática associada à equação quadrática

A real (simétrica) n� n.

A forma quadrática Q : Rn ! R

Q (u) = uTAu

é:

de�nida positiva se uTAu > 0, para todo o u 6= 0;

de�nida negativa se uTAu < 0, para todo o u 6= 0;

semide�nida positiva se uTAu � 0, para todo o u;

semide�nida negativa se uTAu � 0, para todo o u;

inde�nida se existirem pontos onde uTAu seja positivae pontos onde uTAu seja negativa.

A 2Mn�n(R), A simétrica. Então

A é de�nida positiva, todos os valores próprios de Asão positivos;

A é de�nida negativa , todos os valores próprios deA são negativos;

A é semide�nida positiva , todos os valores própriosde A são não negativos;

A é semide�nida negativa, todos os valores própriosde A são não positivos;

A é inde�nida , A tem pelo menos um valor própriopositivo e outro negativo.

Em R3

u =

264 xyz

375 A =

264 a d ed b fe f c

375 B =

264 ghi

375ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+� = 0

À super�cie resultante da equação anterior chama-se quá-drica. Existem quatro tipos de quádricas não degener-adas: elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas),cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos).

Em R2: Cónica ou secção cónica é a curva plana obtidapor meio de um corte efectuado por um plano relativa-mente a uma superfície cónica. As secções cónicas quese obtêm quando o plano que efectua o corte não passapelo vértice da superfície cónica, são elipses (os valorespróprios têm o mesmo sinal) (podendo ter-se circunfer-ências: quando o corte é efectuado perpendicularmenteao eixo de simetria do cone), parábolas (um dos doisvalores próprios é zero) e hipérboles (os dois valorespróprios têm sinais contrários).

3x2 + 4xy + 3y2 = 4 elipse

Q(x; y) = 3x2 + 4xy + 3y2 =hx y

iA

"xy

#=

=hx y

iPTDP

"xy

#=hx0 y0

iD

"x0

y0

#=

=hx0 y0

i " 1 00 5

# "x0

y0

#=�x0�2 + 5 �y0�2

com

"xy

#= PT

"x0

y0

#

A =

"3 22 3

#D =

"1 00 5

#

P�1 = PT =

26664p2

2

p2

2

�p2

2

p2

2

37775 =264 cos

�

4sen

�

4� sen �

4cos

�

4

375

x2 + 5y2 = 4 elipse

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­4

­2

2

4

x

y

3x2 + 4xy + 3y2 = 4 elipse

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­4

­2

2

4

x

y

4x2 � 3y2 = 4 hipérbole

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­4

­2

2

4

x

y

4x� 3y2 = 4 parábola

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­4

­2

2

4

x

y

Mínimos quadrados

Au = b A 2Mm�n(R), b 2 Rn

bu 2 Rn é a melhor solução aproximada ou solução demínimos quadrados de Au = b se

kb�Abuk � kb�Auk8u 2 Rn

kb�Abuk é o erro de mínimos quadradosAu 2 C (A) para todo o u 2 Rn

a distância kb�Auk é mínima se

Au = PC(A) (b)

isto é

ATAu = AT b

é a equação normal associada a Au = b.

(i) As soluções de mínimos quadrados do sistema linearAu = b são as soluções da equação normal

ATAu = AT b:

(ii) Se carA = n então a equação normalATAu = AT btem a solução única

bu = �ATA

��1AT b

PC(A) (b) = Abu = A �ATA��1AT bisto é,

A�ATA

��1AT

é a matriz que representa a projecção ortogonal PC(A).

N (A) = N�ATA

�

(x1; y1) ; : : : ; (xm; ym), y = a0 + a1x

8><>:y1 = a0 + a1x1

...ym = a0 + a1xm

264 1 x1... ...1 xm

375 " a0a1

#=

264 y1...ym

375

A =

264 1 x1... ...1 xm

375 ; u =

"a0a1

#, b =

264 y1...ym

375se carA = 2 a equação normal

ATAu = AT b

tem como única solução de mínimos quadrados

bu = �ATA

��1AT b

Assim, a recta de mínimos quadrados y = a0 + a1x é arecta que torna mínimos os quadrados

(y1 � (a0 + a1x1))2+� � �+(ym � (a0 + a1xm))2 = kb�Abuk2kb�Abuk é o erro de mínimos quadrados

(x1; y1) ; : : : ; (xm; ym) y = a0 + a1x+ :::+ anxn8><>:

y1 = a0 + a1x1 + � � �+ anxn1...ym = a0 + a1xm + � � �+ anxnm

264 1 x1 � � � xn1... ... ...1 xm � � � xnm

37526664a0a1...an

37775 =264 y1

...ym

375

A =

264 1 x1 � � � xn1... ... ...1 xm � � � xnm

375 u =

26664a0a1...an

37775 b =

264 y1...ym

375

se carA = n+ 1 e então a equação normal

ATAu = AT b

tem como única solução de mínimos quadrados

bu = �ATA

��1AT b:

y =3

2+ x é a recta de mínimos quadrados relativa aos

pontos (0; 1) ; (1; 3) ; (2; 4) e (3; 4) :

A =

266641 01 11 21 3

37775 b =

266641344

37775carA = 2, a solução de mínimos quadrados é única:

bu = "a0a1

#=�ATA

��1AT b =

=

0BBB@"1 1 1 10 1 2 3

# 266641 01 11 21 3

377751CCCA�1 "

1 1 1 10 1 2 3

# 266641344

37775 ="3=21

#

kb�Abuk =

vuut (y1 � (a0 + a1x1))2 + (y2 � (a0 + a1x2))2+(y3 � (a0 + a1x3))2 + (y4 � (a0 + a1x4))2

=

=

s25

16+1

4+1

16+1

4=

p34

4.

Um produto interno em C ([a; b])

h; i : C ([a; b])� C ([a; b])! R

(f; g) ! hf; gi =Z baf (x) g (x) dx.

Prova da positividade: hf; fi > 0 para toda a funçãonão nula. Seja f 2 C ([a; b]). Seja x0 2 [a; b] tal quef (x0) 6= 0. Como f2 é contínua em [a; b], existe umintervalo I � [a; b] tal que para todo o x 2 I

(f (x))2 � (f (x0))2

2.

Logo

hf; fi =Z ba(f (x))2 dx �

ZI(f (x))2 dx �

ZI

(f (x0))2

2dx =

=(f (x0))

2

2

ZIdx =

(f (x0))2

2jIj > 0

onde jIj denota o comprimento do intervalo I.

Polinómio de Taylor versus Mínimos quadrados

1Z�1f (t) g (t) dt produto interno em C [�1; 1]

n1; t; t2

obase de U = L

�n1; t; t2

o�� C [�1; 1]

Gram-Schmidt:n1; t;�13 + t

2obase ortogonal de L

�n1; t; t2

o�PU

�et�= proj1 e

t + projt et + proj�13+t2

et =

= 12

�e� 1

e

�+ 3et+

154

�e� 7

e

� ��13 + t

2�

1Z�1

��13+t

2�etdt

1Z�1

��13+t2

�2dt

��13 + t

2�= 15

4

�e� 7

e

� ��13 + t

2�

et � PU �et� =

=

vuuuut1Z�1

�et �

�12

�e� 1

e

�+ 3et+

154

�e� 7

e

� ��13 + t2

���2dt =

=

r�12e�2

�5e4 � 72e2 + 259

�� 3: 795 5� 10�2

Aproximação usando o polinómio de Taylor:

et � �1 + t+ 12t2� =

vuuuut1Z�1

�et �

�1 + t+ 1

2t2��2

dt =

=qsinh 2� 6 sinh 1 + 103

30 � 9: 479 8� 10�2

Produto externo e produto misto

Produto interno usual em R3

u = (u1; u2; u3) ; v = (v1; v2; v3) 2 R3

O produto externo (vectorial) de u por v:

u� v = (u2v3 � u3v2; u3v1 � u1v3; u1v2 � u2v1) =

=

����� u2 u3v2 v3

����� ;������ u1 u3v1 v3

����� ;����� u1 u2v1 v2

�����!=

=

����� u2 u3v2 v3

����� e1 ������ u1 u3v1 v3

����� e2 +����� u1 u2v1 v2

����� e3 ==

�������e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

������� = det264 e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

375fe1; e2; e3g é a base canónica de R3

u;v;w 2 R3 e � 2 R. Então

(i) e1�e2 = e3 (ii) e2�e3 = e1 (iii) e3�e1 = e2

(iv) u� v =� (v � u)

(v) u� (v +w) = u� v + u�w

(vi) (u+ v)�w = u�w + v �w

(vii) � (u� v) = (�u)� v = u� (�v)

(viii) u� 0 = 0� u = 0 (ix) u� u = 0

(x) Se u e v forem linearmente dependentes, u�v = 0

(xi) u� (v �w) = hu;wiv � hu;viw

(xii) (u� v)�w = hw;uiv � hw;viu

(xiii) ku� vk2 + hu;vi2 = kuk2 kvk2

(xiv) u� (v �w) +w� (u� v) + v� (w � u) = 0

Área do paralelogramo

u = (u1; u2; u3) ;v = (v1; v2; v3) 2 R3n f0g

� 2 [0; �] o ângulo entre u e v. Então

A área do paralelogramo de lados adjacentes u e v:

A = (base)(altura) = kuk kvk sen � = ku� vk

kuk kvk sen � =

= kuk kvkq1� cos2 � = kuk kvk

vuut1� hu;vi2

kuk2 kvk2

=qkuk2 kvk2 � hu;vi2 =

=

r�u21 + u

22 + u

23

� �v21 + v

22 + v

23

�� (u1v1 + u2v2 + u3v3)2 =

=q(u2v3 � u3v2)2 + (u3v1 � u1v3)2 + (u1v2 � u2v1)2 =

= k(u2v3 � u3v2; u3v1 � u1v3; u1v2 � u2v1)k = ku� vk

Área do triângulo

de vértices (x1; y1) ; (x2; y2) e (x3; y3):

1

2

�������det264 x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

375�������

Volume do paralelepípedo

w = (w1; w2; w3) ;u = (u1; u2; u3) ;v = (v1; v2; v3) 2R3

hw;u� vi é o produto misto de u;v e w:

hw;u� vi = det

264 w1 w2 w3u1 u2 u3v1 v2 v3

375Sendo � o ângulo formado por w e u� v, o volume doparalelepípedo com um vértice em (0; 0; 0) e arestas w,u, v, é dado por

V = ku� vk| {z }área da face determinada por u e v

kwk jcos �j| {z }altura

=

= jhw;u� vij =

�������det0B@264 w1 w2 w3u1 u2 u3v1 v2 v3

3751CA�������

hu;u� vi = 0 hv;u� vi = 0

hu;v �wi = hu� v;wi

Sendo V o volume do hiperparalelepípedo determinadopor fw1; :::; wng, tem-se

V 2 =�det

hw1 � � � wn

i�2=

= dethw1 � � � wn

idet

hw1 � � � wn

i=

= det�hw1 � � � wn

iT�det

hw1 � � � wn

i=

= det�hw1 � � � wn

iT hw1 � � � wn

i�=

= det

0B@264 (w1)

T

� � �(wn)

T

375 h w1 � � � wni1CA =

= det

0B@264 (w1)

T w1 � � � (w1)T wn

. . .(wn)

T w1 � � � (wn)T wn

3751CA =

= det

0B@264 hw1; w1i � � � hw1; wni. . .hwn; w1i � � � hwn; wni

3751CA = detG.

Logo

V 2 = detG.

A distância entre duas rectas disjuntas r e s não paralelasde�nidas por:

r = fag+ L fug e s = fbg+ L fvg

é dada por:

d (r; s) =V

A=jhb� a; u� vijku� vk

onde os vectores b�a; u e v determinam o paralelepípedocuja altura é a distância entre as duas rectas, V é o vol-ume desse paralelepípedo e A é a área do paralelogramoque é a base do paralelepípedo.

Matrizes elementares e factorização triangular264 0 0 3 �9 j 65 15 �10 40 j �451 3 �1 5 j �7

375 �!

�!L1$L3

264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6

375

264 0 0 10 1 01 0 0

375264 0 0 3 �9 j 65 15 �10 40 j �451 3 �1 5 j �7

375 =

=

264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6

375

264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6

375 �!

�!15L2!L2

264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6

375

264 1 0 00 1=5 00 0 1

375264 1 3 �1 5 j �75 15 �10 40 j �450 0 3 �9 j 6

375 =

=

264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6

375

264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6

375 �!

�!�L1+L2!L2

264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6

375

264 1 0 0�1 1 00 0 1

375264 1 3 �1 5 j �71 3 �2 8 j �90 0 3 �9 j 6

375 =

=

264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6

375

264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6

375 �!

�!3L2+L3!L3

264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 0 0 j 0

375

264 1 0 00 1 00 3 1

375264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 3 �9 j 6

375 =

=

264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 0 0 j 0

375

E23 (3)E12 (�1)E2�1

5

�P13

264 0 0 3 �9 j 65 15 �10 40 j �451 3 �1 5 j �7

375 =

=

264 1 3 �1 5 j �70 0 �1 3 j �20 0 0 0 j 0

375

Matriz elementar é uma matriz do tipo n � n obtidade I através de uma única operação elementar.

A matriz de permutação Pij é a matriz elementarobtida por troca da linha i com a linha j de I.

Pij =

266666666666666666664

1 0 � � � � � � 00 . . . . . . ...... . . . 1

0 11. . .

11 0

1 . . . ...... . . . . . . 00 � � � � � � 0 1

377777777777777777775

i

j

A matriz Ei(�) é a matriz elementar obtida da matrizI através do produto do escalar � 6= 0 pela linha i damatriz I.

Ei(�) =

266666666664

1 0 � � � � � � 00 . . . . . . ...... . . . 1

�1 . . . ...

... . . . . . . 00 � � � � � � 0 1

377777777775 i

A matriz Eij(�) é a matriz elementar obtida de I porsoma da linha j com um múltiplo � da linha i. Parai < j:

Eij(�) =

266666666664

1 0 � � � � � � 00 . . . . . . ...... . . . 1

. . .� 1 . . . ...

... . . . . . . 00 � � � � � � 0 1

377777777775

i

j

Eij(�), com i < j, são matrizes triangulares inferiores

Eij(�), com i > j, são matrizes triangulares superiores

�Pij

��1= Pij

(Ei(�))�1 = Ei(1=�) para � 6= 0

�Eij(�)

��1= Eij(��)

As matrizes elementares do tipo 2� 2 são:

P12 = P21 =

"0 11 0

#

E1(�) =

"� 00 1

#E2(�) =

"1 00 �

#

E12(�) =

"1 0� 1

#E21(�) =

"1 �0 1

#

ou A = LU ou PA = LU

E23(�14)E13(32)E12(1)

264 �2 �1 22 �1 03 1 2

375| {z }

A

=

264 �2 �1 20 �2 2

0 0 92

375| {z }

U

A = (E12(1))�1 �E13(32)��1 �E23(�14)��1

264 �2 �1 20 �2 2

0 0 92

375

A = E12(�1)E13(�32)E23(14)| {z }

L

264 �2 �1 20 �2 2

0 0 92

375| {z }

U

A =

264 1 0 0�1 1 0

�3214 1

375| {z }

L

264 �2 �1 20 �2 2

0 0 92

375| {z }

U

ou A = LU ou PA = LU

E23�35

�E12 (�5)P13

264 0 0 3 �9 65 15 �10 40 �451 3 �1 5 �7

375| {z }

A

=

=

264 1 3 �1 5 �70 0 �5 15 �100 0 0 0 0

375| {z }

U

P = P13 =

264 0 0 10 1 01 0 0

375

PA = E12 (5)E23

��35

�| {z }

L

264 1 3 �1 5 �70 0 �5 15 �100 0 0 0 0

375| {z }

U

PA =

264 1 0 05 1 0

0 �35 1

375| {z }

L

264 1 3 �1 5 �70 0 �5 15 �100 0 0 0 0

375| {z }

U

E34

��12

�P24

266641 2 3 40 0 5 60 0 10 60 1 7 8

37775| {z }

A

=

266641 2 3 40 1 7 80 0 10 60 0 0 3

37775| {z }

U

P = P24 =

266641 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

37775

PA = E34

�1

2

�| {z }

L

266641 2 3 40 1 7 80 0 10 60 0 0 3

37775| {z }

U

PA =

26666641 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 01

21

3777775| {z }

L

266641 2 3 40 1 7 80 0 10 60 0 0 3

37775| {z }

U

Factorização triangular

Consequências do método de eliminação de Gauss

A m� n. Então

ou A = LU ou PA = LU

P é uma matriz de permutação

L é triangular inferior com as entradas da diagonal prin-cipal todas iguais a 1

U é uma matriz em escada

Se A é n�n e invertível então as factorizações anterioressão únicas e U é triangular superior e as entradas dadiagonal principal são os pivots

A invertível, (A = produto de matrizes elementares)

("Outro" modo de calcular a inversa de uma matriz in-vertível)

Teorema. A 2Mn�n(R). São equivalentes:

(i) A é igual ao produto de matrizes elementares

(ii) A é invertível

(iii) Au = 0 tem apenas a solução trivial u = 0

(iv) Au = b tem solução única u para cada b 2 Rn

(v) carA = n

(vi) nulA = 0

(vii) detA 6= 0 (Num próximo capítulo)

(viii) ATA é invertível

(ix) N (A) = f0g

(x) As colunas de A geram Rn

(xi) As colunas de A são independentes

(xii) As colunas de A formam uma base de Rn

(xiii) As linhas de A geram Rn

(xiv) As linhas de A são independentes

(xv) As linhas de A formam uma base de Rn

(xvi) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nida porT (u) = Au, para u 2 Rn, é sobrejectiva.

(xvii) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nida porT (u) = Au, para u 2 Rn, é injectiva.

(xviii) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nidapor T (u) = Au, para u 2 Rn, é bijectiva.

(xix) A transformação linear T : Rn ! Rn de�nida porT (u) = Au, para u 2 Rn, é invertível.

(xx) 0 não é valor próprio de A.

(xxi) (N (A))? = Rn.

(xxii) (L (A))? = f0g.