APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO - professor.ufop.brprofessor.ufop.br/sites/default/files/santostf/files/aula6... · © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Alguns problemas

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6.3Cálculo de Volumes por

Cascas Cilíndricas

Nesta

seção

aprenderemos

como

aplicar

o método

das cascas

cilíndricas

para

encontrar

o

volume de um sólido.

APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO


Alguns problemas de volume são muitodifíceis de lidar pelos métodos da seçãoanterior.

VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS


Vamos considerar o problema de encontraro volume de um sólido obtido pela rotaçãoem torno do eixo y da região limitada pory = 2x2 - x3 e y = 0.



Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixoy, obteremos uma arruela.

•

Mas

para

calcularmosOs raios

interno

e

externo

da

arruela, teríamos

de resolver

a equação

cúbicay = 2x2

-

x3

para

x

em

termos

de y; e isto

não

é

fácil.



Felizmente, existe um método chamadoMétodo das Cascas Cilíndricas, que émais fácil de usar em casos como esse.•

A Figura

mostra

uma

casca

cilíndricade raio

interno

r1

,raio

externo

r2

, e altura

h.



O seu volume V é calculado pela subtraçãodo volume V1 do cilindro interno do volume V2 do cilindro externo.

MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS


Assim, temos:

2 12 2

2 12 2

2 1

2 1 2 1

2 12 1

( )( )( )

2 ( )2

V V V

r h r h

r r hr r r r hr r

h r r

π π

ππ

π

= −

= −

= −= + −

+= −



Se fizermos ∆r = r2 – r1 (a espessura dacasca) e (o raio médio dacasca), então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna:

E pode ser memorizada como:

V [circunferência][altura][espessura]

2V rh rπ= Δ

Fórmula 1

( )12 12r r r= +



Agora, considere S como o sólido obtidopela rotação emtorno do eixo y daregião limitada pory = f(x) [onde f(x) ≥0], y = 0, x = a e x = b, onde b > a ≥ 0.



Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi - 1, xi ] de mesma largurae consideramos o ponto médio do i-ésimo subintervalo.

xΔix



Se o retângulo com base [xi - 1, xi ] e altura é giradoao redor do eixo y, então o resultado éuma casca cilíndricacom raio médioaltura , e espessura ∆x.

( )if x

( )if xix



Assim, pela Fórmula 1 seu volume é:

Portanto, uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas cascas:

(2 )[ ( )]i i iV x f x xπ= Δ


1 12 ( )

n n

i i ii i

V V x f x xπ= =

≈ = Δ∑ ∑


Essa aproximação parece tornar-se melhorquando n →∞.

Mas, pela definição de integral, sabemosque:

1lim 2 ( ) 2 ( )

n b

i i an ix f x x x f x dxπ π

→∞=

Δ =∑ ∫



Então, a seguinte definição pareceplausível:

•

O volume do sólido

na

Figura, obtido

pela rotação

em

torno

do eixo

y da

região

sob a

curva

y =

f(x) de a até

b, é:

onde

0 ≤

a

< b

2 ( )b

aV xf x dxπ= ∫

Fórmula 2MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS


Usando o argumento das cascascilíndricas, a Fórmula 2 parece razoável, porém mais tarde seremos capazes de demonstrá-la.



A melhor maneira para se lembrar daFórmula 2 é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na Figura.

•

Com raio

x, circunferência

2πx, altura

(x),

e espessura ∆x

ou

dx:

( ){

[ ] {2 ( )b

athicknesscircumference height

x f x dxπ∫ 123



Esse tipo de argumento será útil em outrassituações, tais como quando giramos emtorno de outras retas além do eixo y.



Ache o volume do sólido obtido pelarotação em torno do eixo y da regiãolimitada pory = 2x2 - x3 e y = 0.

Exemplo 1MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS


Do esboço da Figura, vemos que umacasca típica tem raio x, circunferência 2πx, e altura f(x) = 2x2 - x3.



Então, pelo método das cascas, o volume é:

( )( )( )

( )

2 2 3

02 3 4

024 51 1

2 5 0

32 165 5

2 2

2 (2 )

2

2 8

π

π

π

π π

= −

= −

⎡ ⎤= −⎣ ⎦= − =

∫∫

V x x x dx

x x x dx

x x



Pode-se verificar que o método das cascasdá a mesma resposta que o método das fatias.

•

A Figura

mostra

o gráfico

gerado

pelo

computador

do sólido

do qual

calculamos

ovolume no Exemplo

1.



Comparando a solução do Exemplo 1 com as observações no começo desta seção, vemos que o método das cascas cilíndricasé muito mais prático que o método das arruelas para esse problema.

•

Não

tivemos

de encontrar

as coordenadas

do máximo local e não

tivemos

de resolver a equação

da

curva

para

x em

termos

de y.•

Contudo, em

outros

exemplos, utilizar

os

métodos

da

seção

anterior podem

ser mais

fáceis.

OBSERVAÇÃO


Ache o volume de um sólido obtido pelarotação em torno do eixo y da região entre y = x e y = x2.



A região e uma casca típica são mostradasna Figura.

•

Vemos

que

a casca

tem raio

x, circunferência

2πx, e altura

x -

x2.



Então o volume é:

( )( )( )

1 2

01 2 3

013 4

0

2

2

23 4 6

V x x x dx

x x dx

x x

π

π

ππ

= −

= −

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫



Como o exemplo a seguir mostra, o métododas cascas cilíndricas funciona bemtambém quando giramos ao redor do eixo x. •

Simplesmente

temos

de desenhar

um

diagrama

para

identificar

o raio

e a altura

da casca.



Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação emtorno do eixo x da região sob a curvade 0 a 1.

•

Esse

problema

foi

resolvido

usando-se os discos no Exemplo

2 da

Seção

6.2.

y x=



Para usar as cascas reescrevemoscomo

x =

y2.

•

Pela

rotação

em

tornodo eixo

x, vemos

que

uma

casca

típica

tem raio

y, circunferência

2πy, e altura

1 -

y2.

y x=Exemplo 3MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS


Então, o volume é:

•

Neste

exemplo, o método

do disco foi

mais simples.

( )( )1 2

01 3

012 4

0

2 1

2 ( )

22 4 2

V y y dy

y y dy

y y

π

π

ππ

= −

= −

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫



Encontre o volume do sólido obtido pelarotação da região limitada por y = x - x2 e y = 0 em torno da reta x = 2.



A Figura mostra a região e a cascacilíndrica formada pela rotação em torno dareta x = 2, esta tem raio 2 - x, circunferência2π(2 - x), e altura x - x2.



O volume do sólido é:

( )( )( )

0 2

10 3 2

114

3 2

0

2 2

2 3 2

24 2

V x x x dx

x x x dx

x x x

π

π

ππ

= − −

= − +

⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫


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