Aplicação do modelo BOUSSiiw a zonas portuárias: Bacia de adução de Sines e porto de Vila do Porto

Liliana Pinheiro1, Conceição J. E. M. Fortes1 1Laboratório Nacional de Engenharia Civil – LNEC, Lisboa, Portugal, lpinheiro@lnec.pt,

jfortes@lnec.pt

RESUMO: BOUSSiiw (Boussinesq irregular internal wave generation), Pinheiro [7], é um modelo

numérico de propagação de ondas não lineares e dispersivas baseado nas equações de Boussinesq estendidas deduzidas por Nwogu [4]. Estas equações permitem descrever a propagação espacio-temporal das ondas em zonas de pequena e média profundidade, incluindo os fenómenos de difracção, refracção, reflexão, empolamento e geração de harmónicas. Nesta comunicação, descreve-se o modelo BOUSSiiw e duas aplicações na caracterização da agitação marítima em dois locais da costa portuguesa: na bacia de adução da central termoeléctrica de Sines e no interior do porto de Vila do Porto, Santa Maria, Açores. Para ambos os casos, foram simulados estados de mar com ondas regulares e irregulares, o que permitiu avaliar as potencialidades e limitações do modelo.

PALAVRAS-CHAVE: Propagação e deformação de ondas, Zonas portuárias e costeiras,

Modelo numérico de Boussinesq, Método dos elementos finitos, Porto de Vila do Porto, Bacia de adução de Sines.

ABSTRACT: BOUSSiiw (Boussinesq irregular internal wave generation), Pinheiro [7], is a numeric

model for nonlinear and dispersive wave propagation based on extended Boussinesq equations derived by Nwogu [4]. These equations describe space-time propagation of waves in shallow and intermediate waters, including diffraction, refraction, reflexion, shoaling and generation of harmonics. This communication describes BOUSSiiw model and two applications at two different locations of the Portuguese coast: Sines’ termoelectric powerplant’s bay and Vila do porto harbour at Santa Maria Island in Azores. For both cases, regular and irregular sea states were simulated, which allowed to asses the potentialities and limitations of the model.

KEYWORDS: Wave propagation, Port and coastal zones, Boussinesq model, Finite

element method, Vila do Porto harbour, Sines’ termoelectric powerplant’s bay.

1. INTRODUÇÃO

O modelo BOUSSiiw (BOUSSinesq model with Internal Irregular Wave generation), Pinheiro [7], é um modelo de elementos finitos que resolve as equações de Boussinesq estendidas derivadas por Nwogu [4]. Este modelo baseou-se no modelo de ondas regulares BOUSS, desenvolvido por Walkley [8], ao qual foram aperfeiçoados os aspectos relacionados, entre outros, com a geração de ondas regulares e irregulares no interior do domínio de cálculo e com a estabilidade numérica.

O modelo BOUSSiiw permite simular a propagação não linear e dispersiva de ondas regulares e irregulares em zonas costeiras e portuárias, tendo em conta alguns dos fenómenos mais importantes presentes nestas regiões: difracção, refracção, reflexão, empolamento e geração de harmónicas. O modelo usa o pacote SPRINT, Berzins et al. [1], para a integração temporal e o método de Galerkin com uma malha não estruturada de elementos finitos para a discretização espacial. As malhas de elementos finitos são geradas com o gerador automático GMALHA, Pinheiro et al. [5], especialmente criado para modelos de propagação de ondas marítimas.

Para a geração das ondas no domínio encontra-se implementada uma condição de geração no interior do domínio por intermédio de uma função fonte, segundo o procedimento de Wei et al. [9]. Esta condição permite não só a geração das ondas mas também que as ondas reflectidas nas fronteiras físicas do domínio e que se propagam na direcção da fonte, possam ser absorvidas evitando a sua permanência no domínio e consequente adulteração das características das ondas.

Como condições de fronteira, são admitidas condições de reflexão ou de absorção total e radiação. Para a simulação da saída das ondas do domínio por uma fronteira, pode ser imposta ou uma condição de radiação ou uma condição de absorção total conseguida através da colocação de uma zona absorvente (“sponge layer”). Para a simulação da interacção das ondas com uma fronteira física (como é o caso de um quebra-mar ou um cais, falésias rochosas, etc.) é imposta uma condição de fronteira de reflexão total.

Neste trabalho, pretende-se efectuar a aplicação do modelo em duas situações reais distintas, i.e., o da propagação de ondas na baia de adução da central termo-elétrica de Sines e o da propagação de ondas no porto de Vila do Porto, localizado na ilha de Santa Maria nos Açores, para o qual existem resultados experimentais obtidos nos ensaios físicos realizados no LNEC, Fortes et al. [3].

Nas próximas secções descreve-se o modelo BOUSSiiw, o gerador de malhas GMALHA, e a aplicação do modelo BOUSSiiw às duas zonas de estudo: Sines e Vila do Porto. São também apresentados e discutidos os resultados obtidos.

2. MODELO NUMÉRICO BOUSSiiw

2.1 Equações

O modelo BOUSSiiw, Pinheiro [7], resulta do aperfeiçoamento do modelo de elementos finitos de propagação de ondas, BOUSS, desenvolvido por Walkley [8], que é baseado nas equações de Boussinesq estendidas por Nwogu [4]:

( ) 02

2

=

∂∂⋅∇∇+

∂∂⋅∇∇+∇+∇⋅+

∂∂

thZ

t

Zg

t

uuuu

uα

αη ( 1 )

( )( ) ( ) ( )( ) 0262

22=

⋅∇∇

++⋅∇∇

−⋅∇++∇+

∂∂

uuu hhh

ZhhZ

ht

ααηη

( 2 )

em que o vector de velocidade ),(),,( vutyx == uu representa o campo de velocidades

bidimensional, calculado numa determinada profundidade, αZ , ( )tyx ,,ηη = representa a

elevação da superfície livre, h é a profundidade do fundo e g é a aceleração da gravidade. Trata-se de um modelo indicado para a propagação de ondas não lineares e dispersivas que

permite reproduzir alguns dos processos mais importantes envolvidos na propagação de ondas marítimas, em regiões costeiras: a difracção, a refracção, a reflexão, o empolamento, a dispersão de frequência, a dispersão de amplitude e a geração de harmónicas.

Relativamente ao modelo de Walkley [8], o modelo BOUSSiiw apresenta uma nova forma de geração de ondas (regulares e irregulares) no interior do domínio através de uma função fonte. Este método permite que as ondas reflectidas no domínio possam passar através da zona de geração sem alterar as suas características e propagarem-se para fora do domínio. O método proposto baseia-se no trabalho de Wei et al. [9] para um modelo de diferenças finitas.

Este modelo foi desenvolvido para aplicações a uma e duas dimensões (em planta), permitindo obter resultados da elevação da superfície livre e da velocidade horizontal (representativa) em cada ponto do domínio de aplicação.

2.2 Método numérico

A resolução espacial das equações é efectuada pelo método dos elementos finitos. No entanto, estas equações não podem ser resolvidas directamente, com funções de interpolação lineares, devido às derivadas espaciais de 3ª ordem presentes na equação (2). De forma a solucionar este problema, é, então, introduzida uma variável auxiliar, w , e uma terceira equação no sistema.

Para a discretização temporal, recorre-se ao pacote de integração temporal SPRINT, Berzins e Furzeland [1] que fornece um método geral de resolução de sistemas de equações diferenciais parciais ordinárias utilizando passos de tempo e ordens de integração variáveis e adaptáveis a cada caso, juntamente com o pacote DASPK (Differential Algebraic Systems Krylov Preconditioned), Brown et al. [2], que usa o método iterativo GMRES (Generalized Minimum Residual) com um pré-condicionador do tipo ILU (Factorização LU incompleta).

2.3 Condições iniciais

As condições iniciais definidas no modelo BOUSSiiw são as de repouso, isto é, a elevação da superfície livre é igual a zero assim como a velocidade em todos os pontos do domínio.

Esta condição pode levar a descontinuidades no tempo significativas quando as ondas começam a ser introduzidas no sistema e, consequentemente, a passos temporais muito pequenos. Para que tal não se verifique, a introdução da onda no domínio é feita de forma gradual nos primeiros passos de tempo.

2.4 Condições de fronteira

As condições de fronteira implementadas são as condições de reflexão total e de radiação total. Para a condição de radiação, introduz-se uma zona de absorção nas fronteiras. Trata-se de uma zona onde se adiciona um termo difusivo à equação de conservação de massa que cresce exponencialmente em direcção à fronteira e é capaz de absorver a energia das ondas com diferentes frequências. A largura da zona de absorção deve ser entre duas e três vezes o comprimento de onda.

2.5 Controlo da estabilidade numérica

Uma das formas de atingir a estabilidade numérica é através da introdução de difusão artificial. A difusão artificial é introduzida através de um termo viscoso que se adiciona à equação de conservação da massa. Este termo, ao eliminar as oscilações espúrias, impede que os erros se acumulem ao longo do tempo e levem a problemas de instabilidade numérica do modelo que provocam a paragem de execução deste.

Walkley [8] introduziu um termo difusivo de segunda ordem, proporcional a sv , presente

em todo o domínio e que é adicionado à equação da conservação da massa. sv está

relacionado com o comprimento de onda,λ , e também com o espaçamento da malha, x∆ , e é dado por.

( )34

2 xs

∆⋅⋅⋅=

πλγν

( 3 )

O parâmetro γ é obtido empiricamente e, em geral, varia nos seguintes intervalos:

[ ]66 105.8,100.2 −− ××∈γ

( 4 )

2.6 Geração de ondas no interior do domínio

Na simulação numérica da propagação de ondas num dado domínio, ocorrem, em algumas circunstâncias, reflexões significativas no seu interior que vêm a incidir sobre a fronteira de entrada das ondas. O modelo não é capaz de lidar com estas perturbações uma vez que não é possível prever as suas características a priori. Uma maneira de resolver este problema é introduzindo uma nova forma de gerar as ondas no interior do domínio. As ondas reflectidas podem passar através desta zona sem alterar as condições de geração e propagam-se até sair do domínio através duma fronteira de saída. Este método é particularmente importante em simulações de longo termo em domínios geometricamente complexos.

A metodologia utilizada foi a implementação no modelo de Walkley [8] de uma nova condição de geração de ondas no interior do domínio por intermédio de uma função fonte, Wei et al. [9].

A função fonte, ( )txf , resulta da linearização das equações de Boussinesq de modo a obter uma relação explícita entre a altura de onda desejada e a amplitude da função fonte. Este termo é adicionado à equação da conservação da massa:

( ) ( ) ( )teDtxf xW ⋅−⋅⋅= ⋅− ωβ sin,2

( 5 ) em que D é a amplitude da função fonte, Wβ é um parâmetro associado à largura da fonte e x

é a distância ao ponto central da geração. D é dado por:

( ) ( )( )( )2

1

341

2

1

cos2

khkI

hkgaD

αωϕαω

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=

( 6 ) em que 311 += αα , 390.0−=α , ϕ é o ângulo de incidência das ondas em relação à direcção

principal de propagação e 1I é dado por:

( )( )

⋅⋅−

⋅= W

k

WeI

βϕ

βπ 4

cos

1

2

( 7 ) Assim, a função fonte tem uma amplitude máxima de D, e vai oscilando com o tempo entre

D e –D, Figura 1. A zona de geração é distribuída sobre vários pontos da malha numa largura de W.

Figura 1. Esquema da geração de ondas.

Este método tem a vantagem de poder facilmente estender-se a ondas irregulares. Neste

caso o procedimento é o seguinte: Aplica-se uma transformada de Fourier à série temporal das ondas que se pretende gerar,

( )tη :

( ) ( ){ } ( )∫ ⋅=ℑ= ∞

∞−− dtett tiωη

πηωη

2

1 ( 8 )

Calculam-se os coeficientes de Fourier da função fonte:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )21

341

2

1

cos2

khkI

hkgF

αωϕαωωηω

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=

( 9 )

Aplica-se a transformada de Fourier inversa e obtém-se a função fonte:

( ) ( ){ } ( ) ωω

πω ω deFFtF ti⋅∫=ℑ= ∞

∞−−

2

11

( 10 )

2.7 Dados e resultados

O modelo BOUSSiiw requer como dados de entrada: • Características da agitação incidente para:

o ondas regulares: o período e direcção da onda e o nível de maré; o ondas irregulares: a série temporal das ondas incidentes;

• Características da malha de elementos finitos com que foi discretizado o domínio incluindo a batimetria;

• Condições de fronteira. Para a aplicação do modelo BOUSSiiw, é necessário primeiramente construir a malha de

elementos finitos, pelo que é utilizado o gerador GMALHA, Pinheiro et al. [5]. O modelo BOUSSiiw produz como resultados:

• Mapas da elevação da superfície livre (η ) e componentes ( yx uu , ) da velocidade

em todo o domínio em determinados instantes de cálculo definidos pelo utilizador; • Séries temporais da elevação da superfície livre em determinados pontos definidos

pelo utilizador; • Diagramas de isolinhas dos índices de agitação em todo o domínio.

2.8 Interface gráfica com o utilizador

Para facilitar a construção do ficheiro de dados para o modelo BOUSSiiw, foi criada uma interface com o utilizador. Esta interface foi desenvolvida numa folha de cálculo da Microsoft Excel™ recorrendo à linguagem de programação Visual Basic for Applications™, Figura 2.

A interface é composta por quatro folhas: • Folha ONDA: contém os dados da agitação incidente, nomeadamente, o

coeficiente de Nwogu, θ , o tipo de onda, a amplitude de onda, 0a , o período, T, o

comprimento de onda, λ , a profundidade na zona de geração e o ângulo de incidência das ondas em relação à direcção da linha de geração,ϕ ;

• Folha VISCOS: contém os dados da difusão artificial, a localização em y da função fonte e a largura das zonas de absorção em relação ao comprimento de onda;

• Folha TEMPO: contém os dados da discretização temporal, nomeadamente, se as condições iniciais são nulas ou não nulas, o valor do instante inicial, o valor do instante final, se o utilizador define ou não o passo temporal inicial e o valor deste, a tolerância de erro absoluto e a tolerância de erro relativo;

• Folha OUTPUT: contém os dados para definir quais os resultados a serem produzidos pelo modelo, nomeadamente, os pontos onde se deseja obter a solução no tempo, os instantes onde se deseja obter a solução no espaço e os instantes inicial e final para o cálculo dos índices de agitação.

Figura 2. Interface com o utilizador do BOUSSiiw.

3. GERADOR DE MALHAS

O gerador de malhas GMALHA, Pinheiro et al. [5], foi desenvolvido para a construção de malhas triangulares não-estruturadas usadas por modelos de elementos finitos de propagação de ondas marítimas.

Para uma dada zona costeira, GMALHA gera, a partir da fronteira e da batimetria dessa zona, uma malha triangular optimizada. A fronteira, que por vezes é muito complexa, inclui a linha de costa englobando infra-estruturas portuárias, praias, marinas, ilhas, etc. Com base nessa fronteira e na batimetria limitada por ela, GMALHA, gera primeiramente uma malha triangular grosseira que preenche o domínio de cálculo. A malha é, em seguida, sujeita a um refinamento local condicionado pela batimetria ao mesmo tempo que são feitos diversos

melhoramentos, nomeadamente, o controlo de uniformidade dos elementos, a alteração do posicionamento de pontos para correcção de ângulos e a redistribuição de lados para correcção de valências.

Para a geração da malha, é utilizado o método da frente móvel ou Advancing Front Method. O GMALHA utiliza quatro algoritmos de pós-processamento: o refinamento local condicionado à batimetria, a filtragem Laplaciana, correcção de ângulos e correcção de valências.

É importante salientar que é de grande vantagem para o método de resolução de equações, que a malha de elementos finitos tenha a numeração nodal ordenada de modo que a largura de banda seja mínima. A renumeração dos nós é feita de modo a minimizar a diferença nodal para a totalidade dos nós que sejam partilhados por dois ou mais elementos.

As malhas geradas com o GMALHA, permitem obter melhores resultados e melhores desempenhos do modelo, uma vez que o refinamento local permite reduzir o número de elementos nas zonas mais profundas e, consequentemente, reduzir os tempos de CPU enquanto a renumeração dos nós da malha permite diminuir a memória.

A interface do GMALHA foi desenvolvida em Microsoft Excel™ e entre as suas funcionalidades encontram-se a possibilidade de introduzir as coordenadas da fronteira do domínio a discretizar, visualizar-se o contorno da fronteira, redistribuir-se os pontos uniformemente pela fronteira, introduzir os parâmetros para a criação da malha, a possibilidade de se criarem várias malhas, Figura 3.

Name of the mesh changINITIAL FINAL STEP

Minimum number of points per wave length 14 14 2INITIAL FINAL STEP

Minimum wave period 9 9 1

Tolerance distance between points and boundary 2

Maximum number of iterations 500000

W rite al l steps of mesh creation? FALSE

Refine mesh acording to bathymetry? TRUE

Optimize after refinement? TRUE

M E S H P A R A M E T E R S

GMALHA

S ort B athymetry

Generate Mesh

Mesh Quality Report

Extract New B oundary

Figura 3. Interface do gerador GMALHA.

4. BACIA DE ADUÇÃO DA CENTRAL TERMOELÉCTRICA DE SINES

4.1 Objectivo do estudo

A central termoeléctrica de Sines situa-se em pleno litoral alentejano, a cerca de 150 km a Sul de Lisboa, e 6 km a Sul do Porto de Sines (ver Figura 4). Esta central utiliza o carvão como combustível e tem um peso muito significativo na produção eléctrica nacional. Junto a esta central foi construída uma bacia de adução delimitada por dois quebra-mares de talude. A água do mar é captada no interior da bacia e é rejeitada depois de passar pelos condensadores permitindo a refrigeração dos grupos da central.

O objectivo do estudo é a aplicação do modelo BOUSSiiw na propagação da agitação marítima para o interior da bacia de modo testar o seu funcionamento e avaliar o seu comportamento. Esta bacia foi escolhida para uma primeira validação do modelo uma vez que é de pequena dimensão e de relativa simples configuração.

Figura 4 – Bacia de adução da central termoeléctrica de Sines.

4.2 Características gerais e condições de cálculo

A batimetria da zona em estudo é apresentada na Figura 5. O domínio de cálculo foi discretizado por uma malha de elementos finitos com 72 689 nós e 143 972 elementos. A densidade de nós da malha foi definida de modo a garantir 18 pontos por comprimento de onda em todo o domínio, para um período de 10 s, resultando uma malha com uma média de 33 pontos por comprimento de onda.

a) b) c) Figura 5 – a) Batimetria do domínio; b) Malha de elementos finitos; c) Pontos de cálculo.

a) b) Figura 6 – a) Fronteira do domínio; b) Localização das zonas absorventes e da zona de

geração das ondas. Na Figura 6 ilustra-se a fronteira do domínio e a localização das zonas absorventes e da

zona de geração das ondas. A zona de geração localiza-se na ordenada y = 200 m e tem uma

N

N

largura de 12.2 m. As zonas absorventes têm uma largura de 1.5 vezes o comprimento de onda, isto é, 91.44 m.

No modelo BOUSSiiw, impuseram-se condições de fronteira de saída aos troços A, C e E. Quanto aos restantes troços, B, D e F, impuseram-se condições de reflexão total.

Utilizou-se um parâmetro de difusão artificial, γ , igual a 6106.5 −× m2/s, definido após vários testes preliminares. O tempo total de cálculo de 200 s.

Os cálculos foram efectuados numa estação de trabalho LINUX CORVUS com quatro processadores AMD Opteron™ 265 de 2GHz e com 8GB de memória RAM.

4.3 Apresentação e análise de resultados

Os cálculos foram efectuados com ondas regulares e irregulares, para um nível de maré médio de +2.0 m, em relação ao Zero Hidrográfico (Z.H.).

Os resultados analisados são as isolinhas dos índices de agitação no domínio de cálculo e os índices de agitação em nove pontos no interior da bacia, Figura 5. Foram também extraídas as séries temporais da elevação da superfície livre nesses mesmos pontos.

4.3.1 Ondas regulares

As ondas regulares utilizadas nos cálculos de propagação têm um período de 10 s e uma direcção de 90º em relação ao eixo das abcissas, isto é, são ondas provenientes de Sul, Figura 5. O comprimento de onda, na zona de geração, é de 60.96m.

Na Figura 7 apresenta-se a elevação da superfície livre e as isolinhas dos índices de agitação em todo o domínio obtidas com o BOUSSiiw, ao fim de 500 s de simulação. Na Figura 8 apresentam-se os mesmos índices em mais detalhe no interior da bacia obtidos com o BOUSSiiw, ao fim de 200 s e 500 s de simulação, respectivamente.

a) b) Figura 7 – a) Superfície livre ao fim de 500 s de simulação; b) Índices de agitação; para uma

onda incidente de direcção de Sul.

N

a) b) Figura 8 – Índices de agitação na bacia de adução obtidos com o BOUSSiiw ao fim de: a) 200

s; b) 500 s de simulação. Zona exterior da bacia: Os valores do índice de agitação variam significativamente devido aos efeitos da refracção

e difracção da onda ao longo do domínio e das reflexões nas fronteiras sólidas desse domínio (correspondentes às estruturas físicas da bacia).

Os valores mais elevados verificam-se em frente à parte exterior do molhe sul (fronteira B) podendo atingir valores de índice de agitação superiores a 3.0.

A zona de entrada da bacia portuária é caracterizada por valores do índice de agitação inferiores aos verificados na parte exterior do molhe de protecção sul e são o resultado dos efeitos da difracção da onda em torno deste molhe. No entanto, devido a reflexão entre os dois molhes, existem locais na zona de entrada com valores mais elevados do índice de agitação.

Zona interior da bacia portuária: Os valores mais elevados do índice de agitação verificam-se na zona de entrada da bacia

portuária, que está mais exposta à agitação incidente, e vão diminuindo para o seu interior. No entanto, e devido à ocorrência de reflexões no interior da bacia, verifica-se a ocorrência

de valores elevados do índice de agitação. As maiores reflexões verificam-se em frente à tomada de água e na parte interior do molhe sul (ver Figura 6).

Aos 200 s de simulação com o modelo BOUSSiiw as ondas já entraram na bacia mas ainda não tiveram tempo de reflectir-se no seu interior. Ao fim de 500 s já se podem ver nitidamente as reflexões em toda a bacia.

4.3.2 Ondas irregulares

As ondas irregulares utilizadas nos cálculos de propagação foram geradas para um período de pico de 10 s. Na Figura 9 representa-se a série temporal da agitação incidente e que é gerada ao longo da linha de geração

Na Figura 10 apresenta-se a elevação da superfície livre e as isolinhas dos índices de agitação em todo o domínio obtidas com o BOUSSiiw, ao fim de 500 s de simulação. Desta figura pode concluir-se que o modelo consegue simular a propagação de um estado de mar real para o interior da bacia. As ondas são devidamente absorvidas nas fronteiras absorventes e não se verificam reflexões. No interior da bacia as ondas são reflectidas nas paredes reflectoras como era esperado. Em relação ás ondas regulares verifica-se que um estado de mar real é, no que diz respeito a índices de agitação, mais favorável na zona de entrada da bacia e desfavorável no seu interior, pelo que existem vantagens em utilizar modelos capazes de reproduzir ondas irregulares.

Série temporal da agitação incidente

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

t (s)

ηη ηη (m

)

Figura 9 – Série temporal da agitação incidente.

a) b)

Figura 10 – a) Superfície livre ao fim de 500 s de simulação; b) Índices de agitação; para uma onda incidente de direcção de Sul.

5. PORTO DE VILA DO PORTO

5.1 Objectivo do estudo

Vila do Porto localiza-se na costa sudoeste da ilha de Santa Maria. Esta ilha pertence ao “grupo oriental” e é a ilha situada mais a sul do arquipélago dos Açores, a cerca de 85 km a sul de São Miguel. Com 18 km de comprimento, cerca de 10 km de largura e uma superfície aproximada de 97 km2, caracteriza-se por ter uma zona costeira predominantemente abrupta, recortada por profundas baías e enseadas (ver Figura 11).

a) b)

Figura 11 – a) Santa Maria. Localização do porto de Vila do Porto; b)Carta batimétrica da zona do porto.

O porto de Vila do Porto está protegido a Sul por um quebra-mar de talude, cujo intradorso serve de cais para navios. Existe ainda outra zona de cais para estacionamento de um ferry. Está prevista a construção de uma marina de recreio que será protegida por um novo quebra-mar (ver Figura 12).

Figura 12 – Porto de Vila do Porto. Cais ferry: Rampa e Extremidade Nascente. Localização

do futuro núcleo de recreio. O objectivo deste estudo é o de validar o modelo numérico utilizando resultados obtidos

em modelo físico. Foi utilizada uma das configurações portuárias reproduzidas no modelo físico (situação actual sem marina) e uma das condições de agitação incidente. Nas secções seguintes, descreve-se de forma resumida os ensaios em modelo físico e os cálculos efectuados com o modelo numérico BOUSSiiw.

5.2 Ensaios em modelo físico

O LNEC efectuou estudos de agitação em modelo físico, Fortes et al. [3], de modo a avaliar as implicações da construção do núcleo de recreio na agitação marítima no interior do porto de Vila do Porto e as condições de abrigo no interior desse núcleo de recreio.

Os ensaios foram realizados num tanque de ondas irregulares do Pavilhão de Hidráulica Marítima do LNEC, com uma área aproximada de 650 m2. Foi utilizado um gerador de ondas irregulares, cuja pá tem 6 m de comprimento e 0.80 m de altura. O modelo foi construído e explorado de acordo com a lei de semelhança de Froude, tendo sido utilizada a escala geométrica de 1:55.

Nos ensaios em modelo físico, foram efectuados seis configurações portuárias, que correspondem à situação actual sem marina, Figura 13, e com a futura marina, considerando diferentes layouts para esta.

Para cada uma das configurações, foram testados três rumos de incidência – SW, S e SE. Para cada rumo, efectuaram-se ensaios com um nível de maré (nível de preia-mar de +2.0m ZH), com três períodos (8 s, 11 s e 15 s) e dois valores de altura de onda (2 m e 5 m). Os ensaios foram realizados três vezes, de modo a confirmar os resultados obtidos.

Figura 13 – Aspecto geral do ensaio em modelo físico sem o núcleo de recreio.

Para todos os ensaios, foram seleccionados 15 pontos nos quais foram registadas as

características da agitação marítima, Figura 14. Para além destes pontos, foi também considerado um ponto em frente ao gerador, onde se efectuou a medição da agitação marítima gerada.

Foram definidas 5 zonas distintas para comparação de resultados: • Zona A – Em frente ao cais ferry • Zona B – Fora da zona abrigada do porto • Zona C – No interior do porto • Zona D – Em frente ao cais de navios • Zona E – Na zona da futura marina de recreio.

a)

664600 664850 665100

B H1

SI

L OTA COR

JA PP D JA PP D

TRA NS INS ULA R

SOL TRANS

P T

DE PÓS ITO DE A REIA

B ENCOM

P T

BOM BAG EM

SI

SI

G

E STAÇÃ O DE

4.0

3.0

5.0

3 .0

4 .0

5.0

T ERRAP LE NO A CONS TRUIR

TÁX IS

TE RM I NAL D E PAS SAG EI RO S

i=

0,5

%

TE RRA PL ENO A CONS TRUIR

A UTO CARR OS

P 32

BAN DE IR AS

C ON TRO LO

4.73

5. 01

5.04

5.03

4.57

4.58

4.58

4.59

4. 74

4. 84

5.03

5.24

5.48

5.14

4. 56

4. 53

4. 55

5. 05

4.76

4.35

4.72

4. 49

4.57

4.94

4. 64

1.61

1. 81

4.90

5.10

5.23

5. 00

4. 56

5.03

4. 88

4.76

4.66

5. 17

5. 24

5.15

4. 90

5.04

5.09

4. 99

5.92

5.03

4.52

4. 66

4.62

5. 44

5. 92

6.15

4.71

5.39

5. 37

5.32

5. 36

5. 58

5. 21

5.05

6. 91

6.39

6.12

5.61

5. 62

5.68

6. 11

6.35

6.44

6. 46

5.97

5.76

6.61

7. 43

11.26

9. 53

2.52

5.57

5.87

9.38

9.92

5. 42

5.38

5.35

5.53

5.62

5. 47

5. 48

5. 29

5. 32

5.61

5. 28

5. 39

5.13

5. 19

5.11

5. 11

5. 07

4. 78

4.665. 09

4.85

5.02

5.08

4.83

4.824. 80

5.05

6.40

8. 125.42

5.19

4.67

4. 78

5.15

5. 10

5.02

6.33

5.13

7. 24

10.59

5. 47

6.62

10.11

5.46

4.84

5.07

5.175.20

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5.19

5.53

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7.22

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5. 69

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9. 84

5. 24

6. 60

6. 30

5.81

6.58

6.18

6.12

5.82

5. 88

7.32

7.61

10.56

10. 93

6. 38

6. 81

8.49

P1

+4.07

+4.07

+4.07

5.14

P 2

P3

P4

P5

P6

P7

P 9

P 10

P 11

P 18

P24

P25

P26

P27

P28

P29

P30

P31

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+4.07

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+4.10

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+4. 40

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i=1,0%

+4. 14+4. 07

Ram paRam pa

LA JE EM BE TÃ O Esp .= 0.2 0LA JE E M B ETÃ O E sp. =0. 20

B H1

SI

SI

PENEDO

Nível da Água

C A I S C O M E R C I A L

3D

2D1D

3C

2C

1C

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2A

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3B

1B

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2D

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3C

3D

3E

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664600 664850 665100

B H1

SI

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P 32

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4.76

4.35

4.72

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4. 88

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5. 17

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4.52

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5. 92

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4.71

5.39

5. 37

5.32

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5. 58

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6. 91

6.39

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5.61

5. 62

5.68

6. 11

6.35

6.44

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9.38

9.92

5. 42

5.38

5.35

5.53

5.62

5. 47

5. 48

5. 29

5. 32

5.61

5. 28

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5. 19

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5. 11

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5.08

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4.824. 80

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5.19

4.67

4. 78

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6.33

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7. 24

10.59

5. 47

6.62

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5.46

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12.76

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6. 81

8.49

P1

+4.07

+4.07

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P 2

P3

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P24

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P30

P31

R=75.60

+4.07

+4. 05

+4.10

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i = 0, 5 %

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%

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+4. 14+4. 07

Ram paRam pa

LA JE EM BE TÃ O Esp .= 0.2 0LA JE E M B ETÃ O E sp. =0. 20

B H1

SI

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PENEDO

Nível da Água

C A I S C O M E R C I A L

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1E

2A2B

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2D

2E

3A 1A

3C

3D

3E

SulT = 11 s

Figura 14 – a) Pontos de medição no interior do porto de Vila do Porto; b) Zonas definidas para comparação de resultados.

Nos 16 pontos, foram colocadas sondas de medição da agitação marítima e efectuada a

respectiva calibração. Com base nos registos obtidos nos 15 pontos localizados no interior da bacia portuária e no ponto em frente ao gerador de ondas, foram calculados índices de agitação, para cada condição de agitação ao largo. Os índices de agitação, H/Ho, são dados pela relação entre a altura de onda medida em cada ponto e a altura de onda medida no ponto à saída do gerador de ondas, em cada ensaio.

Para simplificar a análise de resultados, efectuou-se, em cada ponto de medição, a média dos valores dos índices de agitação obtidos no ensaio, na 1ª repetição e na 2ª repetição.

Zona A

Zona D

Zona E

Zona B

Zona C

5.3 Aplicação do modelo BOUSSiiw

5.3.1 Condições de cálculo

Os cálculos foram efectuados numa estação de trabalho LINUX CORVUS com quatro processadores AMD Opteron™ 265 de 2GHz e com 8GB de memória RAM.

Testou-se apenas uma das configurações portuárias ensaiadas em modelo físico, a configuração sem marina e duas das condições de agitação incidente ensaiadas em modelo físico, nomeadamente, para as ondas incidentes regular e irregular de direcção Sul. O nível de maré correspondeu ao nível de preia-mar, à cota +2.0 m (Z.H.).

O passo de tempo utilizado foi de 0.01 s, o que origina números de Courant que variam na malha entre 0.04 e 0.08. Utilizou-se um parâmetro de difusão artificial, γ , igual a

61049.5 −× m2/s, definido após vários testes preliminares. O tempo total de cálculo foi de 200 s.

5.3.2 Definição do domínio de cálculo

A batimetria da zona em estudo é apresentada na Figura 15.

a) b) c) Figura 15 – a) Fotografia aérea da zona; b) Batimetria, c) Malha de elementos finitos.

O domínio de cálculo foi discretizado por uma malha de elementos finitos utilizando o

GMALHA, com 44 167 nós e 87 196 elementos, Figura 15. Em média existem 23 pontos por comprimento de onda em todo o domínio, para um período de 11 s. A área dos elementos varia entre 1.07 m2 e 75.42 m2, correspondendo às zonas menos (cerca de 2 m) e mais profundas (cerca de 30 m), respectivamente. Nesta malha, resultou uma largura de banda de 314.

Na Figura 16 ilustra-se a fronteira do domínio e a localização das zonas absorventes e da zona de geração das ondas. A zona de geração localiza-se na ordenada y = 4089200 m e tem uma largura de 27.3 m. As zonas absorventes têm uma largura de 1.5 vezes o comprimento de onda, isto é, 164 m.

No modelo BOUSSiiw, impuseram-se condições de fronteira de absorção total aos troços A e D pois a fronteira A situa-se a montante da função fonte e absorverá as ondas reflectidas no domínio enquanto a fronteira D pretende simular uma praia muito dissipativa.

Nas fronteiras B e F, que são fronteiras não físicas do domínio, impôs-se a condição de radiação para permitir a saída das ondas. Quanto aos restantes troços, C e E, impuseram-se condições de reflexão total por limitação do modelo numérico que não permite impor condições de reflexão parcial. Esta condição é válida para a maioria das zonas que constituem

os troços C e E, pois tratam-se de estruturas de parede verticais. No entanto, na zona exterior do molhe, na zona de enrocamento da fronteira E e na zona rochosa da fronteira C a reflexão não é total pelo que a condição imposta não traduz as condições reais. Assim, a análise dos resultados do modelo numérico deve ter em conta as aproximações realizadas.

a) b) Figura 16 – a) Fronteira do domínio e localização dos pontos de cálculo; b) Localização

linha de geração das ondas e das zonas absorventes.

5.3.3 Apresentação, análise e interpretação de resultados

Ondas regulares

Para as condições atrás referidas, efectuaram-se os cálculos de ondas regulares com o modelo BOUSSiiw. As ondas regulares utilizadas têm uma altura de onda de 2.0 m e um período de 11 s.

Na Figura 17 apresentam-se a elevação da superfície livre ao fim de 50 s, 100 s, 150 s e 200 s de simulação. Na Figura 18 apresentam-se as isolinhas dos índices de agitação em todo o domínio obtidas com o modelo BOUSSiiw, ao fim de 200 s de simulação.

Figura 17 – Elevação da superfície livre ao fim de 50 s, 100 s, 150 s e 200 s de simulação.

a) b) Figura 18 – Índices de agitação. a) Todo o domínio; b) Pormenor

A Figura 17 mostra claramente ao longo do tempo a propagação da agitação marítima

desde a zona da geração das ondas até ao interior do porto, verificando-se alterações na onda devido aos efeitos da refracção do fundo, da difracção da onda em torno do molhe do porto e das reflexões nas fronteiras sólidas desse domínio.

A agitação marítima sofre uma redução à medida que se propaga para o interior do porto. Esta redução é devida à difracção em redor do molhe principal. No entanto, existem zonas no interior do porto, com valores do índice de agitação elevados devido à existência de importantes reflexões, uma vez que os dois cais acostáveis se encontram de frente um para o outro e têm paredes verticais que reflectem quase a totalidade da energia das ondas que neles incidem.

Da Figura 18 constata-se que os valores do índice de agitação mais elevados se verificam em frente à zona rochosa lateral direita (fronteira C, ver Figura 16) podendo atingir valores de índice de agitação superiores a 3.0. A zona de entrada do porto é caracterizada por valores do índice de agitação próximos da unidade e à medida que se entra na parte abrigada do porto os índices diminuem para ordens de grandeza de 0.2 a 0.5. No entanto, devido às reflexões entre os dois cais verticais, existem locais no interior do porto com valores mais elevados do índice de agitação. Os valores mais baixos verificam-se nas fronteiras E e D: a fronteira E encontra-se protegida directamente da agitação incidente, enquanto que na fronteira D se colocou uma fronteira absorvente.

Na Figura 19 apresentam-se os resultados experimentais e os resultados do modelo BOUSSiiw na zona interior do porto, para a condição de agitação testada.

Os resultados experimentais resultam das medições efectuadas nas sondas. Os resultados numéricos correspondem a uma média dos resultados obtidos num raio de 20 m em torno de cada ponto definido.

a)

664600 664850 665100

BH 1

SI

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J APPD J APPD

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SI

SI

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P3 2

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4. 73

5. 01

5. 04

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4. 58

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4. 74

4. 84

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5.24

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4. 53

4. 55

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4.76

4. 35

4.72

4.49

4. 57

4.94

4.64

1.61

1.81

4.90

5. 10

5. 23

5.00

4.56

5.03

4. 88

4. 76

4.66

5. 17

5.24

5.15

4.90

5.04

5. 09

4. 99

5.92

5. 03

4. 52

4. 66

4.62

5. 44

5. 92

6.15

4. 71

5. 39

5. 37

5. 32

5.36

5. 58

5. 21

5. 05

6.91

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6.12

5. 61

5. 62

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6. 35

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6. 46

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6.61

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5. 57

5. 87

9.38

9. 92

5. 42

5.38

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5. 53

5.62

5. 47

5.48

5. 29

5.32

5.61

5. 28

5. 39

5.13

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5.11

5. 11

5.07

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4. 66

5.09

4.85

5. 02

5.08

4. 83

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5.05

6.40

8.125. 42

5.19

4. 67

4.78

5. 15

5. 10

5.02

6.33

5. 13

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10.59

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6. 62

10.11

5. 46

4.84

5.07

5.175. 20

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5. 19

5.53

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9. 81

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7.61

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+4. 07

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P 27

P 28

P29

P30

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%

i=2, 0

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+5.21

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i=1, 0%

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SI

SI

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0.32

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0.43

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SulT = 11 s b)

664600 664850 665100

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P 32

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5. 11

5.11

5. 07

4. 78

4.665. 09

4. 85

5.02

5. 08

4. 83

4. 82

4.80

5. 05

6. 40

8.125.42

5. 19

4.67

4. 78

5.15

5.10

5. 02

6. 33

5.13

7. 24

10. 59

5. 47

6.62

10. 11

5.46

4. 84

5. 07

5. 175.20

5. 11

5. 19

5. 53

5. 205.14

5.25

9.81

12.76

7. 22

5. 67

6. 25

5.69

5.58

9. 84

5. 24

6.60

6.30

5. 81

6. 58

6.18

6. 12

5.82

5. 88

7.32

7.61

10.56

10. 93

6.38

6.81

8. 49

P 1

+4.07

+4.07

+4.07

5. 14

P2

P3

P 4

P 5

P 6

P 7

P 9

P10

P11

P18

P24

P 25

P26

P27

P28

P 29

P 30

P31

R=75. 60

+4.07

+4. 05

+4. 10

+4. 07

i =0, 5

%

i =1,0

%

+3.93+4. 05

+4.10

+4. 10

+4.15+4.03

+4. 40

+4.40

+4.40

+ 5. 30

i=2 ,0

%

i =2, 0

%

i=2,0%

i=2,0

%

+5.30

+5. 21

+5.21

+5.42+5. 30

+5.48

+5 .40

+5.6 0

+5.00+5. 05+4. 93

i=0,5%

i=

0,5

%

i=0

,5

%

+4. 09+3. 97

+4. 19+4. 07

+5. 85

+6.00

+4. 15+4.03

+4. 10

+4. 15+4. 03

+5.30

+5. 30+5.21 +5. 21

i =1,0%

i=1,0%

+4.14+4.07

Ram paRam pa

LA JE EM BE T ÃO Es p. =0. 20LA JE E M BE TÃ O E sp .= 0. 20

BH1

SI

SI

PENEDO

Nível da Água

C A I S C O M E R C I A L

3D

2D1D

3C

2C

1C

1B

2B3B3A

2A

1A

1E

2E

3E

1.04

0.59

0.48

0.37

0.38

0.290.71

0.42

0.26

0.49

0.39 0.32

0.28

0.25

0.35

SulT = 11 s

Figura 19 – Índices de agitação: a) experimental; b) numérico. Na Figura 20 apresenta-se as diferenças entre resultados numéricos e experimentais nas

diferentes zonas do porto. Diferenças entre resultados numéricos e experimenta is

-40%

-20%

0%

20%

40%

Total Zona A Zona B Zona C Zona D Zona E

Figura 20 – Comparação da média dos índices de agitação numéricos e experimentais (H/Ho)

em 5 zonas do porto. (T = 11 s) Da análise da Figura 19 e Figura 20, pode observar-se que:

� Em termos gerais, o modelo numérico conseguiu reproduzir o comportamento e a ordem de grandeza dos resultados experimentais. O modelo numérico conseguiu simular a redução da agitação marítima à medida que se propaga para o interior do porto, que é devida à difracção em redor do molhe principal. Além disso, nos resultados do modelo também se verifica a existência de zonas no interior do porto, com valores do índice de agitação elevados devido à existência de importantes reflexões;

� Na maioria dos pontos em estudo das zonas A, C e E, os resultados numéricos e experimentais são semelhantes. No entanto, nalguns pontos, ocorrem diferenças significativas que estão relacionadas com limitações quer do modelo numérico quer do modelo físico. As maiores diferenças registam-se em pontos das zonas B e D;

� Em termos médios, Figura 20, verifica-se ainda que, em geral, os resultados numéricos são um pouco superiores aos experimentais nas zonas A, D e E enquanto nas zonas B e C ocorre o contrário;

� As diferenças entre os modelos numérico e físico podem estar relacionadas com os seguintes factos: o A consideração de reflexão total nas fronteiras em alguns trechos do domínio de cálculo

do modelo BOUSSiiw não traduz as características reflectoras desses trechos,

nomeadamente nos trechos rochosos e de enrocamento do molhe, onde a reflexão é apenas parcial;

o O modelo numérico não simula a rebentação das ondas, pelo que os valores da agitação nas zonas muito pouco profundas não são representativos da realidade;

o O modelo BOUSSiiw tem uma difusão artificial de modo a poder controlar as instabilidades numéricas, o que diminui a altura de onda à medida que esta se propaga;

o A batimetria dos modelos numérico e físico não é exactamente a mesma devido a limitações quer de espaço quer construtivas do modelo físico.

No modelo físico, os aparelhos de medição apresentam também limitações principalmente

em zonas onde as alturas de onda são pequenas ou onde ocorra reflexão significativa, uma vez que a sensibilidade das sondas de medição é reduzida.

Ondas irregulares

As ondas irregulares utilizadas nos cálculos de propagação, um período de pico de 10 s e uma direcção de 90º em relação ao eixo das abcissas, isto é, são ondas provenientes de Sul. Na Figura 21 representa-se a série temporal da agitação incidente e que é gerada ao longo da linha de geração.

Ponto 17

-0.150

-0.100

-0.050

0.000

0.050

0.100

0.150

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t (s)

ηη ηη (

m)

Figura 21 - Série temporal da agitação incidente. Na Figura 22 apresentam-se os valores da elevação da superfície livre ao fim de 50 s, 100

s, 150 s e 200 s de simulação. Na Figura 23 apresentam-se as isolinhas dos índices de agitação em todo o domínio obtidas com o modelo BOUSSiiw , ao fim de 200 s de simulação.

Figura 22. Elevação da superfície livre ao fim de 50 s, 100 s, 150 s e 200s de simulação.

A Figura 22 mostra claramente ao longo do tempo a propagação da agitação marítima desde a zona da geração das ondas até ao interior do porto, i.e., pode identificar-se a refracção devido às variações de profundidade, a difracção em torno do quebra-mar e as reflexões diversas nas fronteiras sólidas.

Na Figura 23, verifica-se, (tal como no caso anterior com ondas regulares), que os valores dos índices de agitação mais elevados se verificam em frente à zona rochosa lateral direita (fronteira C, ver Figura 16) podendo atingir valores de índice de agitação superiores a 3.0. Os valores mais baixos verificam-se nas fronteiras E e D que se encontram protegidas directamente da agitação incidente ou nas quais se colocou uma fronteira absorvente. A zona de entrada do porto é caracterizada por valores do índice de agitação próximos da unidade e à medida que se entra na parte abrigada do porto os índices diminuem para ordens de grandeza de 0.1 a 0.3.

Pode verificar-se que a agitação no interior do porto com ondas irregulares é inferior à obtida com ondas regulares. Isto deve-se ao facto de que a agitação irregular ser constituída não apenas uma frequência, mas sim por várias e que essa dispersão em frequência leva a uma suavização dos índices de agitação.

a) b)

Figura 23. Índices de agitação para uma onda incidente de direcção de Sul. a) Todo o domínio; b) Pormenor.

6. CONCLUSÕES

Nesta comunicação, apresentou-se o modelo BOUSSiiw resultante do aperfeiçoamento do modelo de elementos finitos de propagação de ondas, BOUSS, desenvolvido por Walkley [8] que é baseado nas equações de Boussinesq estendidas por Nwogu [4].

O modelo BOUSSiiw foi aplicado na propagação de ondas regulares e irregulares na bacia de adução da central termoeléctrica de Sines e no porto de Vila do Porto.

No caso de Sines, verificou-se que o modelo conseguiu reproduzir satisfatoriamente a maioria das transformações das características das ondas ao longo da sua propagação no domínio de geometria e batimetria complexos.

No caso de Vila do Porto, o modelo numérico conseguiu reproduzir o comportamento e a ordem de grandeza dos resultados experimentais, embora existam diferenças entre os dois, especialmente nas zonas próximas do quebra-mar principal. Tal pode estar relacionado com o facto de se ter admitido reflexão total nessas fronteiras no modelo numérico o que difere do modelo físico em alguns trechos.

A utilização de ondas irregulares conduziu, em geral, ao mesmo padrão de ondas no interior das zonas portuárias em estudo do que o obtido com ondas regulares, mas em termos absolutos, existem algumas diferenças significativas. Em geral, as ondas irregulares levaram a uma suavização dos valores de índices no interior da zona portuária.

Em resumo, apesar de ainda ter algumas limitações, em termos gerais, os padrões de transformação das ondas por reflexão, difracção e refracção são correctamente representados

pelo modelo. As zonas de dispersão ou concentração de energia são facilmente identificáveis nos diagramas de índices de agitação e a ordem de grandeza dos resultados corresponde ao esperado. Por isso, considera-se que o modelo BOUSSiiw apresenta capacidades para ser utilizado em estudos de engenharia costeira e portuária.

Como trabalho futuro, assinala-se a necessidade de implementar condições de fronteira de reflexão parcial, que pretendem simular estruturas como molhes, cais, etc.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à Administração Portuária das Ilhas de São Miguel e Santa Maria pela autorização da publicação dos resultados do estudo em modelo físico de agitação do porto de Vila do Porto. Agradecem também à técnica Branca Branco pela revisão do texto.

Os autores expressam o seu agradecimento à Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) pelo financiamento concedido através dos projectos PTDC/ECM/67411/2006 e PTDC/ECM/73145/2006. Este trabalho insere-se no âmbito do convénio entre o LNEC e a FURG.

REFERÊNCIAS

1. BERZINS M., FURZELAND R.M., SCALES L.E. (1985). A user’s manual for SPRINT -a versatile software package for solving systems of algebraic, ordinary and partial differential equations: Part 3 – advanced use of SPRINT. Technical Report TNER.85.058, Thornton Res. C, Chester.

2. BROWN P. N., HINDMARSH A.C. AND PETZOLD L.R. (1989). “Using Krylov methods in the solution of large-scale differential-algebraic systems”. SIAM Journal on Scientific Computing. 15, 6, pp.1467 - 1488.

3. FORTES, C.J.E.M.; SILVA, L.G.P.; SOUSA, I.A. (2005). “Ensaios em modelo reduzido do Porto de Vila do Porto – Santa Maria, Açores”. Relatório 361/05-NPE, LNEC, Novembro. 131pp.

4. NWOGU, O. (1993). “Alternative form of Boussinesq equations for near-shore wave propagation”. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering. 119, 6, pp. 618 - 638.

5. PINHEIRO, L.; FERNANDES, J.L.M.; .FORTES, C.J. E.M. (2007a). “Finite Element Mesh Generator with Local Density Conditioned to Bathymetry for Wave Propagation Models in Coastal Zones”. IMACS Series in Comp. and Applied Mathematics, Proc. of EUA4X@IAC 06, Roma Italy, October 2006. Vol.12, pp. 71 - 80.

6. PINHEIRO, L.; PALHA, A.; FORTES, C.J.E.M.; WALKLEY M., FERNANDES, J.L.M. (2007b). “Geração de ondas utilizando uma função fonte num modelo de elementos finitos para a resolução das equações de Boussinesq” in CMNE/CILAMCE 2007, Porto (Portugal), 13 - 15 Jun.

7. PINHEIRO. L. (2007). “Um método de elementos finitos para a discretização das equações de Boussinesq estendidas”. Tese de mestrado. Engenharia Mecânica, IST, 105pp.

8. WALKLEY, M. A. (1999). “A numerical method for extended Boussinesq shallow-water wave equations” Doctor of Philosophy Thesis. The University of Leeds, School of Computer Studies, Sept., 174pp.

9. WEI G., KIRBY J. T., SINHA A. (1999). “Generation of waves in Boussinesq models using a source function method”. Coastal Engineering, 36, pp. 271 – 299.