Apontamentos de Cálculo Ipara os cursos deEngenharia do Ambiente e Engenharia BiológicaHermenegildo Borges de Oliveira

Dezembro de 2012

Conteúdo1 Introdução 11.1 Corpo dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Generalidades sobre funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Estudo das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Ficha de exercícios no 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Complementos de Funções Reais de Variável Real 202.1 Funções exponencial e logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Funções trigonométricas e suas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Funções hiperbólicas e suas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Apêndice: Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Ficha de exercícios no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Limites e continuidade 493.1 Limites de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Ficha de exercícios no 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 Cálculo Diferencial 714.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Fórmulas de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4 Teoremas principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Aplicações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6 Ficha de exercícios no 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915 Primitivas 945.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4 Primitivação por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.5 Primitivas de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6 Ficha de exercícios no 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108ii

CÁLCULO I6 Integrais 1116.1 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4 Cálculo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.6 Ficha de exercícios no 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207 Funções Reais de Várias Variáveis 1247.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.2 Funções reais de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.3 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5 Funções Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.6 Extremos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.7 Ficha de exercícios no 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378 Equações Diferenciais 1398.1 Primeiras noções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.2 Equações diferenciais de variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3 Equações diferenciais exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.4 Equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.5 Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.6 Ficha de exercícios no 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Bibliograa 160

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Capítulo 1IntroduçãoNeste primeiro capítulo, iremos introduzir os conceitos fundamentais usados no estudo de fun-ções reais de variável real. Iremos também rever algumas funções elementares estudadas an-teriormente. Para o estudo que iremos fazer, pressupomos que o leitor conhece o corpo dosnúmeros reais, bem como as operações algébricas entre os seus elementos.1.1 Corpo dos números reaisRecordemos que N denota o conjunto dos números naturais, i.e.N = 1, 2, 3, . . . .Este conjunto apareceu das necessidades naturais de contagem do Homem. No entanto, revelou-se insuciente para a operação de subtracção entre números naturais, motivadas essencialmentepelas necessidades de comércio. Por exemplo, a equação

x+ 2 = 1é impossível de resolver no conjunto N. Assim, nasceu o conjunto dos números inteiros, que,para além dos naturais, contém o 0 e os inteiros negativos. Denotamos este conjunto por Z etemosZ = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ,ou, usando uma escrita abreviada,

Z = inteiros .Os conjuntos de números seguintes apareceram também pela impossibilidade de resolver equa-ções no conjunto prévio. Assim, o conjunto dos números racionais Q surge pela impossibilidadede resolver equações como2x+ 1 = 4no conjunto dos números inteiros Z. O conjunto Q contém, pois, todos os números inteiros,bem como todas as fracções, positivas ou negativas. Usando uma escrita abreviada, podemosescrever

Q = inteiros ∪ fraccões .1

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOPor m, o conjunto dos números reais R, aparece pela impossibilidade de resolver algumasequações que envolvem potências no conjunto dos números racionais Q. Por exemplo, em Q, éimpossível de resolver a equaçãox3 = 2 .A solução desta equação é a dízima innita não periódica 1.25991050 . . . que se denota por

3√2. Estes números não podem ser escritos como fracções. Apenas conseguimos escrever, comofracções, dízimas innitas periódicas como 0.3333333333 . . . que, na forma de fracção, é 1

3.Usando a mesma escrita abreviada, temos

R = racionais ∪ irracionais .Convém frisar que a sistematização deste conhecimento só foi feito algumas centenas de anos,senão mesmo milénios, depois do conhecimento ter sido adquirido e difundido. O prossegui-mento do raciocínio anterior, leva-nos a questionar sobre a impossibilidade de resolver equaçõesdo tipox2 + 1 = 0em R. De facto, para resolvermos esta equação, temos de a considerar num novo conjunto denúmeros, o conjunto dos números complexos C. Este conjunto, além dos números reais, contémtambém os números designados imaginários. Um número imaginário é denotado por a i, onde

a é um número real e i é denido por i2 = −1. A forma geral de um número complexo éz = x+yi, onde x é a parte real do número complexo e y (número real) a sua parte imaginária.Os números complexos deram origem a uma das áreas mais bonitas da Análise Matemática, aAnálise Complexa que, por falta de tempo, não poderá ser abordada no decorrer deste curso.Os números racionais representam-se numa recta horizontal, orientada da esquerda para adireita e que se denomina por eixo numérico. O zero é esboçado a meio deste eixo, candoos números negativos à esquerda e os positivos à direita. Para fazer a correspondência decada ponto do eixo numérico a um número racional, temos de xar uma unidade de medida.A representação dos irracionais pode ser feita à custa da representação de números racionaisde referência a observações exteriores, por exemplo de cariz geométrico. De um modo maissimples, fazemos uma aproximação do irracional em questão por um racional.Os subconjuntos de R podem ser discretos ou contínuos. Por exemplo, o subconjunto dosnaturais é discreto, embora com cardinalidade innita, e representa-se, como vimos, por

1, 2, 3, . . . .Os subconjuntos contínuos representam-se habitualmente por intervalos ou por reuniões destes.Por exemplo, [a, b] representa o subconjunto de todos os números reais compreendidos entre ae b, isto é[a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b .Os números a e b são designados por limite inferior e superior, respectivamente, do intervalo.A notação fechada sobre os limites a e b indica que o intervalo contém estes números e, porisso, se designa de intervalo fechado. A notação (a, b) indica que o intervalo é aberto, ou seja,que os limites inferior e superior do intervalo não fazem parte do conjunto considerado, isto é,(a, b) = x ∈ R : a < x < b .EA EB 2 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOPor vezes, os intervalos podem ser fechados num limite e abertos noutro. Por exemplo,[a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b ,

(a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b .Muitos autores utilizam o parêntesis recto aberto sobre o limite a ou b para indicar que ointervalo é aberto nesse limite do intervalo. Com esta notação, os intervalos (a, b), [a, b) e (a, b]anteriores escrevem-se na forma ]a, b[, [a, b[ e ]a, b], respectivamente.MóduloNo conjunto dos números reais, denimos o módulo, ou valor absoluto, de um número comosendo a distância desse número à origem. Na denição seguinte denimos este conceito anali-ticamente.Denição 1.1.1. Seja x ∈ R. Denimos o módulo, ou valor absoluto, de x do modo seguinte:|x| =

−x se x < 0x se x ≥ 0 .Uma forma equivalente de denir o módulo de um número é:

|x| = max−x, x .Na proposição seguinte, estabelecemos as primeiras propriedades do módulo as quais se de-monstram a partir da denição anterior.Proposição 1.1.1. Seja a ≥ 0 um número real. Temos:1. |x| = a ⇔ x = −a ∨ x = a ⇔ x = ±a. Em particular, |x| = 0 ⇔ x = 0;2. |x| ≤ a ⇔ x ≥ −a ∧ x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;3. |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ∨ x ≥ a.Demonstração. Nesta demonstração iremos usar a denição equivalente de módulo de x comosendo o máximo entre −x e x.1. |x| = a ⇔ max−x, x = a ⇔ −x = a ∨ x = a ⇔ x = ±a.Em particular, se a = 0, então |x| = 0 ⇔ max−x, x = 0 ⇔ −x = 0 ∨ x = 0 ⇔ x = 0.2. |x| ≤ a ⇔ max−x, x ≤ a ⇔ −x ≤ a ∧ x ≤ a ⇔ x ≥ −a ∧ x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.3. |x| ≥ a ⇔ max−x, x ≥ a ⇔ −x ≥ a ∨ x ≥ a ⇔ x ≤ −a ∨ x ≥ a.Também poderíamos ter usado a Denição 1.1.1, mas, neste caso, as justicações seriam maisdemoradas. As duas últimas propriedades da proposição anterior, são, ainda, válidas no caso de desigual-dades estritas, ou seja,|x| < a ⇔ x > −a ∧ x < a ⇔ −a < x < ae

|x| > a ⇔ x < −a ∨ x > a .EA EB 3 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOProposição 1.1.2. Sejam x , y ∈ R. Temos:1. |xy| = |x| |y|;2. Se y 6= 0, ∣∣∣∣

x

y

∣∣∣∣=

|x||y| ;3. |x+ y| ≤ |x|+ |y|.Demonstração. 1. Se x > 0 e y > 0, ou x < 0 e y < 0, então xy > 0 e |xy| = xy = |x||y|ou |xy| = xy = (−x) × (−y) = |x||y|. Se x > 0 e y < 0, ou x < 0 e y > 0, então xy < 0 e

|xy| = −xy = |x||y|, ou |xy| = −xy = x× (−y) = |x||y|. No caso particular de x = 0 ou y = 0,então |xy| = 0 = 0× y = |x||y| ou |xy| = 0 = x× 0 = |x||y|.2. Usando a alínea anterior e sabendo que y 6= 0, temos|x| =

∣∣∣∣yx

y

∣∣∣∣= |y|

∣∣∣∣

x

y

∣∣∣∣⇔∣∣∣∣

x

y

∣∣∣∣=

|x||y| .3. Da Denição 1.1.1, sai que −|x| ≤ x ≤ |x| e −|y| ≤ y ≤ |y|. Somando estas duas inequações,obtemos − (|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|, e da Proposição 1.1.1-3 sai que |x+ y| ≤ ||x|+ |y|| =

|x|+ |y|. A última propriedade da proposição anterior, designa-se por desigualdade triangular, porque,quando generalizada a dimensões superiores, arma que o comprimento de um lado qualquerde um triângulo é menor ou igual do que a soma dos comprimentos dos outros dois.1.2 Generalidades sobre funçõesSejam A e B dois subconjuntos de R. Chamamos correspondência de A para B a qualquerprocesso que a um elemento de A faz relacionar outro de B. Nesta condições, o conjunto Adesigna-se por conjunto de partida e B o conjunto de chegada.Denição 1.2.1. Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, que a cada ele-mento de um desses conjuntos, digamos A, faz corresponder um único elemento do outro,digamos B.As funções são, habitualmente, denotadas por letras minúsculas, por exemplo f , g, h, etc.O subconjunto de A onde uma função, digamos f , está denida designa-se por domínio dafunção e denota-se por Df . O subconjunto de B onde a função f toma valores designa-sepor contra-domínio da função e denota-se por D′f . Aos elementos do domínio de umafunção chamamos objectos e os elementos do contra-domínio designam-se por imagens. Sedenotarmos uma função por f , os objectos são habitualmente denotados pelas letras x, y, z,etc. e as respectivas imagens por f(x), f(y), f(z), etc. Dizemos que uma função é real, setodos os valores que assume são números reais e diz-se de variável real, se o seu domínio éum subconjunto de R.Existem diferentes formas de representar uma função. O diagrama sagital ou a tabela deentradas são os mais indicados para funções cujos domínios e contra-domínios sejam conjuntosnitos.EA EB 4 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOExemplo 1.2.1. Consideremos a função f tal que a cada elemento do conjunto de partidaA = α, β, γ, δ faz corresponder um elemento do conjunto de chegada B = ©,,4 daforma seguinte:

α 7→ , β 7→ 4, γ 7→ , δ 7→ ©.a) Da representação indicada, podemos inferir que Df = α, β, γ, δ e D′f = ©,,4.b) A função f pode ser representada por meio do diagrama sagital seguinte.

α

β4

γ

δ

©Figura 1.1: Diagrama sagital.c) Na tabela seguinte apresentamos outra forma de representar a função f .© 4

α •β •γ •δ •Tabela 1.1: Tabela de entradas.Existem situações em que conseguimos encontrar uma única expressão através da qual po-demos relacionar qualquer objecto no domínio da função com a correspondente imagem nocontra-domínio. Esta forma para representar as funções é muito útil, não só como simplicaçãoda escrita, mas também por impossibilidade de escrever relações entre todos os objectos e ima-gens correspondentes quando o domínio ou o contra-domínio são conjuntos com cardinalidadeinnita. À expressão que nos permite representar assim uma função, designamos por expres-são designatória da função. Por exemplo, a expressão designatória f(x) = 2x representa afunção que a cada objecto x faz corresponder o seu dobro.Exemplo 1.2.2. Considere a função f tal que a cada elemento do conjunto de partida A =

−2,−1, 0, 1, 2 faz corresponder um elemento do conjunto de chegada B = 0, 1, 4 da formaseguinte:−2 7→ 4, −1 7→ 1, 0 7→ 0, 1 7→ 1, 2 7→ 4,Indicar uma expressão designatória possível para a função f . Observando que cada imagem éo quadrado do objecto que lhe corresponde, podemos escrever f(x) = x2, onde x ∈ A.EA EB 5 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOA expressão designatória vai ser a forma mais comum de representarmos uma função e, sempreque não se disser nada em contrário, será esta a forma que iremos considerar. Nesta represen-tação, vamos considerar todas as funções com conjuntos de partida e de chegada iguais a R.Assim escrevemos para uma função qualquer f :f : R → R

x 7→ y = f(x);onde f(x) indica a expressão designatória da função. Sempre que não haja ambiguidade naescrita, escrevemos simplesmente a expressão designatória de f(x). Convém referir que, nestarepresentação, se faz um pequeno abuso de escrita. O domínio da função não é necessariamenteigual ao seu conjunto de partida, assim como o contra-domínio pode ser diferente do conjuntode chegada. Assim, aquando do estudo de uma função representada desta forma, o primeiroprocedimento a fazer é indicar qual o domínio de validade da função.Exemplo 1.2.3. Determinar o domínio e o contra-domínio das funções representadas porf(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2 .Como as operações envolvidas na denição de cada função são possíveis em R, temos que

Df = R e Dg = R. Relativamente ao contra-domínio, sabemos que este será igual ao domínioda função inversa, quando a função é injectiva, ou da inversa da maior restrição da função queseja injectiva. No caso de f , temosy = 2x+ 1 ⇔ x =

y − 1

2⇒ f−1(x) =

x− 1

2e D′

f = Df−1 = R.Para a função g, temosy = x2 ⇔ x = ±√

y ⇒ f−1|[0,∞)(x) =

√x, f−1

|(−∞,0](x) = −√xe

D′f = Df−1

|[0,∞)= Df−1

|(−∞,0]= [0,∞).A determinação do contra-domínio, pode, por vezes, ser bastante mais simples do que o modode resolução habitual. Por exemplo, no caso do exemplo anterior, poderíamos ter observadoque

g(x) = x2 ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒ D′f = [0,∞).Denição 1.2.2. Sejam f1, f2 duas funções reais de variável real com domínios Df1 e Df2,respectivamente. Chama-se função soma de f1 com f2 à função denotada por f1 + f2 e queestá denida em Df1 ∩Df2 por:

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)De forma análoga, se dene, em Df1 ∩Df2, a função diferença f1 − f2, a função produtof1 f2 e a função quociente f1/f2, esta última apenas nos pontos x ∈ Df1 ∩ Df2 tais quef2(x) 6= 0, respectivamente, por:

(f1 − f2)(x) = f1(x)− f2(x), (f1 × f2)(x) = f1(x)× f2(x),

(f1f2

)

(x) =f1(x)

f2(x).EA EB 6 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOAs funções vão ser representadas num referencial cartesiano1, i.e num sistema de dois eixosortogonais com a mesma unidade de medida, um horizontal orientado da esquerda para adireita e outro vertical orientado de baixo para cima. O eixo horizontal designa-se por eixodas abcissas ou eixo dos xx e o vertical por eixo das ordenadas ou eixo dos yy. Neste sistemade eixos qualquer função será representada por pontos (x, y), onde para cada objecto x, y seráa respectiva imagem por meio de f , i.e. f(x). Deste modo, o referencial cartesiano também édenominado por sistema de eixos coordenados. O ponto (x, y) será designado por pontode coordenadas de abcissa x e ordenada y. Ao ponto onde os dois eixos se intersectam fazemoscorresponder os zeros de ambos os eixos e, no plano, este ponto de intersecção designa-se pororigem do referencial cartesiano.Denição 1.2.3. O gráco de uma função, digamos f , esboçado num referencial cartesianoconsiste no conjunto de todos os pontos do plano correspondentes a pares (x, y), com y = f(x)e para x ∈ Df . Denotamos o gráco de uma função f por Gra(f) e representá-mo-lo por:Gra(f) =

(x, y) ∈ R2 : y = f(x), x ∈ Df

.Observemos que para os propósitos deste curso o que interessa é uma aproximação do grácoda função, aquilo que designaremos por esboço, e não o gráco mais ou menos exacto obtidopor uma calculadora gráca ou algum programa computacional.A análise geométrica do esboço do gráco de uma função vai permitir-nos tirar muitas con-clusões sobre a própria função. Por exemplo, podemos dizer que uma correspondência é umafunção, se qualquer recta paralela ao eixo dos yy intersectar o gráco da correspondência numsó ponto.Exemplo 1.2.4. Fazer a representação gráca das funções f(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2.

− 12

1 x

y

(a) f(x) = 2x+ 1

−2 2

4

x

y

(b) g(x) = x2No que se segue, estamos a supor que f é uma função real de variável real. O conjunto departida é A, o conjunto de chegada é B, o domínio é Df e o contra-domínio é D′f .Denição 1.2.4. Diz-se que um ponto x ∈ Df é um zero ou uma raiz da função f , se

f(x) = 0.1O nome deve-se ao lósofo, e também matemático, francês René Descartes (1596-1650).EA EB 7 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOSe uma função f tem um zero num ponto x = a, f(a) = 0 e então o seu gráco intersecta oeixo dos xx no ponto (a, 0).Exemplo 1.2.5. Determinar os zeros das funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 + 3x − 4. Nocaso de f , temosf(x) = 0 ⇔ 2x+ 1 = 0 ⇔ x = −1

2.Para a função g, temos

g(x) = 0 ⇔ x2 + 3x− 4 = 0 ⇔ x =−3±

√9 + 16

2⇔ x = 1 ∨ x = −4.Denição 1.2.5. Diz-se que f é uma função injectiva, se quaisquer dois objectos distintos,digamos x1 e x2, de Df tiverem imagens distintas, isto é, se

x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) (1.2.1)De forma equivalente, podemos dizer que f é injectiva se imagens iguais corresponderem aomesmo objectof(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2.Em termos grácos, vericamos que uma função f é injectiva, se qualquer recta paralela aoeixo dos xx intersecta o gráco de f em apenas um ponto.Exemplo 1.2.6. Vericar se as funções f(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2 são injectivas. Sendo x1 e

x2 dois objectos arbitrários no domínio de f , temosf(x1) = f(x2) ⇔ 2x1 + 1 = 2x2 + 1 ⇔ x1 = x2.Logo, a função f é injectiva. Se, agora, x1 e x2 forem dois objectos arbitrários no domínio de

g, temosg(x1) = g(x2) ⇔ x2

1 = x22 ⇔ x1 = ±

√

x22 = ±|x2|.Deste modo, vericamos que dois objectos distintos, x1 = |x2| e x1 = −|x2| (com x2 6= 0) têma mesma imagem. Assim, a função g não é injectiva.Denição 1.2.6. Diz-se que f é uma função sobrejectiva, se cada elemento do conjunto dechegada de f for a imagem de, pelo menos, um elemento do domínio de f , isto é,

∀ y ∈ B ∃ x ∈ Df : y = f(x).Esta denição diz-nos que uma função é sobrejectiva, se o contra-domínio coincidir com oconjunto de chegada, isto é, se D′f = B.Exemplo 1.2.7. Vericar se as funções f(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2 são sobrejectivas. No casoda função f(x), temos

y = f(x) ⇔ y = 2x+ 1 ⇔ x =y − 1

2⇒ f−1(x) =

x− 1

2,pelo que D′

f = Df−1 = R e a função é sobrejectiva. Já para a função g(x), facilmente se observaque g(x) ≥ 0 para todo x ∈ R, donde D′g = [0,+∞) e concluímos que g não é sobrejectiva.EA EB 8 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOUma função que seja injectiva e sobrejectiva, diz-se bijectiva. Em termos da notação mate-mática, uma função f diz-se bijectiva, se∀ y ∈ B ∃1 x ∈ Df : y = f(x).Exemplo 1.2.8. Pelo que foi resolvido nos Exemplo 1.2.6 e 1.2.7, podemos concluir que afunção f(x) = 2x+ 1 é bijectiva, mas a função g(x) = x2 não.Denição 1.2.7. Diz-se que f é uma função par, se para cada x ∈ Df , f(−x) = f(x). Afunção f é ímpar, se para cada x ∈ Df , f(−x) = −f(x).No caso de existir algum x ∈ Df tal que f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x), dizemos que a funçãonão é par nem ímpar. Num referencial cartesiano, uma função par é simétrica relativamenteao eixo dos yy e uma função ímpar é simétrica relativamente à origem do referencial. Estaúltima noção quer dizer que existem pontos do gráco da função diametralmente opostos, masequidistantes, à origem do referencial.Exemplo 1.2.9. Estudar as funções f(x) = 2x+ 1, g(x) = x2 e h(x) = x3 quanto à paridade.Para cada uma destas funções tem-se

f(−x) = 2(−x) + 1 = −2x+ 1 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x),

g(−x) = (−x)2 = x2 = g(x) e h(−x) = (−x)3 = −x3 = −h(x),pelo que g é uma função par, h é ímpar e f não é par nem ímpar.Denição 1.2.8. Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais tais que Df ⊆ D′g. Dene-sea composição das funções, f com g, à função que a cada elemento x ∈ Dg faz corresponder umúnico elemento no conjunto de chegada de f . Denotamos a composição de f com g por f g,lê-se f após g e dene-se por

(f g)(x) = f [g(x)] .A composição de funções é associativa, isto é, (f g) h = f (g h) para quaisquer funçõesf , g e h. No entanto, não é comutativa, isto é, existem funções f e g tais que f g 6= g f .Exemplo 1.2.10. Considere a função f(x) = 3x e g(x) = x2. Determinar expressões analíticaspara as funções compostas f g e g f . Tem-se

(f g)(x) = f [g(x)] = f(x2) = 3x2,

(g f)(x) = g[f(x)] = g(3x) = (3x)2 = 9x2,pelo que se conclui que f g 6= g .f .1.3 Estudo das funçõesDenição 1.3.1. Diz-se que uma função real de variável real f é monótona crescente numsubconjunto D de Df , se f(x1) ≤ f(x2) para quaisquer x1, x2 ∈ D tais que x1 ≤ x2, isto é:x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) ∀ x1, x2 ∈ D. (1.3.2)EA EB 9 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃODizemos que f é monótona decrescente em D ⊆ Df , se f(x1) ≥ f(x2) para quaisquer x1,x2 ∈ D tais que x1 ≤ x2, isto é:

x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) ∀ x1, x2 ∈ D. (1.3.3)No caso de termosx1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ∀ x1, x2 ∈ D,dizemos que f é monótona crescente em sentido estrito. De forma análoga, sex1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ∀ x1, x2 ∈ D,dizemos que f é monótona decrescente em sentido estrito. Sempre que não se digamais nada sobre a monotonia, subentende-se que estamos a falar de monotonia no sentido dadenição anterior, o que muitas vezes e para a distinguir da monotonia estrita nos referimoscomo sendo monotonia em sentido lato. Sempre que não se faça menção ao subconjunto Dfonde f é monótona, deve entender-se que f satisfaz essa propriedade em todo o seu domínio.No que se segue, estamos a supor que f é uma função real de variável real. O conjunto departida é A, o conjunto de chegada é B, o domínio é Df e contra-domínio é D′

f .Denição 1.3.2. Diz-se que f é uma função minorada, se f(Df) é um conjunto minorado,i.e., se∃ m ∈ R : f(x) ≥ m ∀ x ∈ Df .A função f é majorada, se f(Df ) é um conjunto majorado, i.e.,∃ M ∈ R : f(x) ≤ M ∀ x ∈ Df .No caso da função f ser minorada e majorada, i.e.,

∃ m, M ∈ R : m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ Df ,dizemos que a função é limitada.Aos valores m e M designamos, respectivamente, por minorante e majorante de f . Comose observa desta denição, uma função pode ter vários, ou mesmo innitos, minorantes e oumajorantes. Chama-se ínmo da função f , e denota-se por inf f(x), ao maior dos minorantesde f . Chama-se supremo da função f , e denota-se por sup f(x), ao menor dos majorantes def . Observe-se que os minorantes, majorantes, ínmo e supremo de f dizem respeito ao conjuntof(Df). Se a função f não é minorada, dizemos que o seu ínmo é −∞. No caso de não sermajorada, diz-se que o seu supremo é +∞. Quando o ínmo ou o supremo forem valores quea função f assume no domínio Df , dizemos, respectivamente, que f tem um máximo ou ummínimo no seu domínio Df . Neste caso, denotamos o mínimo ou o máximo, respectivamente,por min f(x) ou max f(x). Todas esta noções podem ser adaptadas para qualquer subconjuntoD de Df , fazendo apenas referência nas notações que estas quantidades são obtidas em D. Destaforma, uma função pode ter vários mínimos ou máximos consoante os diferentes subdomíniosque estamos a considerar. Assim, estemáximos emínimos dizem-se relativos ao subdomínioque se considera. Ao maior dos vários máximos relativos, chamamos máximo absoluto. Aomenor dos mínimos relativos, chama-se mínimo absoluto.EA EB 10 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOProposição 1.3.1. Seja f uma função real de variável real. A função f é limitada se e só se∃ C ∈ R+ : |f(x)| ≤ C ∀ x ∈ Df . (1.3.4)Demonstração. Suponhamos que f é uma função limitada. Então, por denição, existem duasconstantes reais, digamos m e M , tais que

m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ Df .Denindo K = maxm,M e C = |K|, temos−C ≤ f(x) ≤ C ⇔ |f(x)| ≤ C ∀ x ∈ Df .Reciprocamente, se (1.3.4) é vericada, então, da denição de módulo, podemos armar que∃ C ∈ R+ : −C ≤ f(x) ≤ C ∀ x ∈ Df .Então C é um majorante de f e −C um minorante, pelo que f é limitada. Denição 1.3.3. Seja f uma função real de variável real injectiva com domínio Df . Designa-se por função inversa da função f à função que a cada imagem y = f(x) faz corresponder orespectivo objecto x que lhe deu origem.A noção de função inversa está intimamente ligada à propriedade de função injectiva. Seesta não se vericar, não existe função inversa. Se f não fosse injectiva, então existiriam doisobjectos x1 6= x2 em Df tais que f(x1) = f(x2). Neste caso, admitindo que era possível invertera função, então obteríamos uma correspondência que ao mesmo objecto y = f(x1) = f(x2) faziarelacionar duas imagens distintas x1 e x2. No entanto esta correspondência não é uma funçãocomo se depreende da Denição 1.2.1Denição 1.3.4. Seja D um subconjunto do domínio Df de uma função f . Designa-se porimagem ou transformado do conjunto D por meio de f , e denota-se por f(D), ao conjuntode todos os valores que f assume em pontos x ∈ D, i.e.f(D) = y ∈ R : y = f(x), x ∈ D.Representando a função f da denição anterior por

f : R → R

x 7→ y = f(x),então a função inversa da função f representa-se porf−1 : R → R

y 7→ x = f−1(y),tal que (f−1 f)(x) = x e (f f−1)(y) = y.Se o domínio da função f é Df e o contra-domínio da função f é D′

f , entãoDf−1 = f(Df) e D′

f−1 = Df ,onde f(Df) é o conjunto transformado por meio de f do conjunto Df .EA EB 11 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOExemplo 1.3.1. Considerar as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2. Justicar se é possívelou não inverter estas funções em todo o seu domínio. Em caso negativo, indicar o maiorsubdomínio possível onde é possível inverter cada uma. Obter expressões analíticas para essasfunções inversas. Pelo Exemplo 1.2.6, sabemos que a função f é injectiva, mas g não. Poroutro lado, vimos no Exemplo 1.2.3, que, apesar de g não ser injectiva em todo o seu domínio,as suas restrições aos intervalos [0,∞) ou (−∞, 0] são injectivas. Temos entãof−1(x) =

x− 1

2, g−1

|[0,∞)(x) =√x, g−1

|(−∞,0](x) = −√x.O gráco da função inversa f−1, pode-se obter a partir do gráco da função f fazendo umasimetria em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares (recta y = x).Proposição 1.3.2. Seja f uma função real de variável real. Se f é uma função monótona e in-jectiva, então a função inversa f−1 também é estritamente monótona, crescente ou decrescente,consoante f .Demonstração. Suponhamos que f é uma função monótona e injectiva. Sejam x1, x2 ∈ Dfe y1 = f(x1), y2 = f(x2) Dado que f é injectiva, podemos usar a invertibilidade de f paraescrever

x1 = f−1(y1) e x2 = f−1(y2).Admitamos que f é monótona crescente e suponhamos que y1 > y2. Claramente se temf−1(y1) > f−1(y2), pois, caso contrário, teríamos x1 < x2, o que contraria o facto de f sermonótona crescente.De forma análoga se prova que f−1 é estritamente decrescente no caso de f ser monótonadecrescente. Observemos que o facto da função f ser injectiva implica que a sua monotonia é estrita.Proposição 1.3.3. Seja f uma função real de variável real. Se f é uma função ímpar einjectiva, então a função inversa f−1 também é ímpar.Demonstração. Suponhamos que f é uma função ímpar e injectiva. Então

f(−x) = −f(x) ∀ x ∈ Dfe existe a função inversa f−1. Logo, se y = f(−x), então x = −f−1(y). Por outro lado, do factode f ser ímpar, resulta que y = −f(x) ⇔ x = f−1(−y). Assim, temos que f−1(−y) = −f−1(y)e, portanto, f−1 é uma função ímpar. Exemplo 1.3.2. Considere as funções do Exemplo 1.3.1. A partir dos grácos destas funções,esboçar os grácos das funções inversas aí encontradas.1.4 Funções elementaresNesta secção vamos introduzir algumas das funções que mais comummente se utilizam, tanto emMatemática como nas outras ciências fundamentais e também nas aplicações. Estas funções sãodesignadas por funções elementares no sentido que se podem representar por uma soma nitade expressões designatórias. Observemos que as funções que aqui iremos estudar são funçõesreais de variável real. Deixaremos para outro capítulo o estudo das funções exponenciais etrigonométricas, bem como as suas inversas.EA EB 12 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃO1

1

y = 2x + 1

y = x−1

2

x

y

(a) f(x) = 2x+1 e f−1(x) = x−12

−2 2 4

2

4y = x2

y =√

x

y = −√x

x

y

(b) g(x) = x2, g−1|[0,∞)(x) =

√x e

g−1|(−∞,0](x) = −√

xFunções polinomiaisOs exemplos mais simples de funções que começamos por estudar, englobam a grande classe defunções que se designa por polinómios.Denição 1.4.1. Um polinómio é uma função que é denida por uma equação da forma:P (x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0;onde a0, a1, . . . , an ∈ R, com an 6= 0, e n ∈ N0.As letras a0, a1, . . . , an são constantes reais e designam-se por coecientes do polinómio.O número inteiro não negativo n denomina-se grau do polinómio. No âmbito deste curso,vamos designar os polinómios por funções polinomiais e iremos usar a notação habitual dasfunções:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0.Como a equação acima faz corresponder um valor f(x) (ou P (x)) para cada valor de x, odomínio de f é todo R. Contudo, o contra-domínio pode ser R ou qualquer seu subconjunto.Exemplo 1.4.1. Se n = 0, obtemos a denominada função constante f(x) = a0, que comum-mente se denota porf(x) = ce para a qual se tem Df = R e D′

f = c.Exemplo 1.4.2. Se n = 1, obtemos a denominada função am, ou também designada fun-ção linear, f(x) = a1x+ a0, que habitualmente se denota porf(x) = ax+ b.O gráco da função am é uma recta de equação y = ax + b, onde a nos indica o declive darecta e a ordenada na origem é b.Se a = 0, recuperamos a função constante f(x) = b.Se a 6= 0, tem-se Df = R e D′

f = R. Neste caso, a função é monótona estritamente crescenteou decrescente, consoante a > 0 ou a < 0, respectivamente.No caso de a 6= 0, o zero da função é dado por x = − ba.EA EB 13 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOExemplo 1.4.3. No caso n = 2, obtemos a designada função quadrática f(x) = a2x2 +

a1x+ a0, que usualmente se denota porf(x) = ax2 + bx+ c.Tal como para qualquer polinómio, temos Df = R. Se a = 0, recuperamos a função am

f(x) = ax + b. Se a 6= 0, o problema maior que se nos coloca é como calcular os eventuaiszeros da função quadrática. Para este cálculo, tem muito interesse a relação seguinte entre oscoecientes da função quadrática, designada por discriminante:4 = b2 − 4ac.Proposição 1.4.1. Seja f(x) = ax2 + bx+ c, com a 6= 0.1. No caso de 4 < 0, a função não tem zeros.2. Se 4 = 0 a função tem apenas um zero que é dado por x = − b

2a.3. Se 4 > 0 a função tem dois zeros que são dados por

x1 =−b+

√42a

≡ −b+√b2 − 4ac

2ae x2 =

−b−√42a

≡ −b−√b2 − 4ac

2a.Demonstração. Supondo que a 6= 0, temos

f(x) = 0 ⇔ ax2 + bx+ c = 0 ⇔ a

(

x2 +b

ax+

c

a

)

= 0 ⇔ x2 +b

ax+

c

a= 0

⇔(

x+b

2a

)2

− b2

4a2+

c

a= 0 ⇔

(

x+b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2⇔ x =

−b±√b2 − 4ac

2a.Se ∆ < 0, então a equação (x+ b

2a

)2= b2−4ac

4a2é impossível em R, pelo que f não tem zeros.Caso ∆ = 0, temos (x+ b

2a

)2= 0 ⇔ x = − b

2a. Se ∆ > 0, é possível resolver a equação

(x+ b

2a

)2= b2−4ac

4a2em R e as solução são dadas por x1 e x2. Resultam desta proposição as consequências seguintes:

• o gráco da função quadrática (com a 6= 0) é uma parábola de eixo vertical e estritamentemonótona em qualquer um dos intervalos(

−∞,− b

2a

) e (

− b

2a,+∞

)

;

• o ponto de coordenadas (− b2a, c− b2

4a

) é o ponto onde a função quadrática atinge o máximoou o mínimo e designa-se por vértice da parábola;• se a > 0, D′

f =[

c− b2

4a,+∞

) e a função atinge o seu mínimo (absoluto) no ponto x = − b2ade valor y = c− b2

4a. Neste caso, dizemos que o gráco da função tem a concavidade voltadapara cima;EA EB 14 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃO• se a < 0, D′

f =(

−∞, c− b2

4a

] e a função atinge o seu máximo (absoluto) no pontox = − b

2ade valor y = c − b2

4a. Neste caso, dizemos que o gráco da função tem aconcavidade voltada para baixo.Funções racionaisNo sentido mais abrangente possível, função racional é qualquer função em cuja expressãodesignatória apenas estão envolvidas operações racionais. Assim, as funções polinomiais, queestudamos na secção anterior, são os casos mais simples das funções racionais. A extensãonatural das operações algébricas entre números reais aos polinómios resulta, com excepção dasdivisões que não são exactas, na origem de novos polinómios. À divisão de polinómios que nãoder outro polinómio, vamos designar por função racional propriamente dita.Denição 1.4.2. Consideremos dois polinómios não divisíveis entre si:

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n e Q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bmx

m;onde n e m são dois inteiros não negativos, não necessariamente iguais. À função R(x) =P (x)/Q(x), que à luz da notação das funções, denotamos por

f(x) =a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn

b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bmxm,designamos por função racional.Como, em R, não sabemos dividir por 0, a função f(x) = P (x)/Q(x) para estar bem denida,isto é, para ser uma função, tem de se garantir que Q(x) 6= 0. Deste modo, o domínio de fpode não ser todo R. Mais exactamente,

Df = x ∈ R : Q(x) 6= 0 ≡x ∈ R : b0 + b1x+ b2x

2 + · · ·+ bmxm 6= 0

.Os zeros da função racional são dados pelos zeros da função polinomial P (x) (numerador dafracção).A função tem sinal positivo nos pontos x ∈ R tais que P (x) > 0 e Q(x) > 0, ou P (x) < 0e Q(x) < 0. Tem sinal negativo no caso contrário, isto é, quando P (x) e Q(x) têm sinaiscontrários.Exemplo 1.4.4. Considere a função

f(x) =1

xn, n ∈ N0.a) Se n = 0, f(x) = 1, pelo que Df = R e D′

f = 1. No caso de n ∈ N, Df = R \ 0 eD′

f = (0,∞) se n é par, ou D′f = R \ 0 se n é ímpar.b) A função não tem zeros, pois f(x) > 0 independentemente do valor de n.c) Se n é ímpar, a função é injectiva pois, para quaisquer objectos x1, x2 ∈ Df , tem-se

f(x1) = f(x2) ⇔1

xn1

=1

xn2

⇔ xn1 = xn

2 ⇔ x1 =n√

xn2 ⇔ x1 = x2.EA EB 15 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 1. INTRODUÇÃOJá se n é par, a função não é injectiva, pois, para quaisquer x1, x2 ∈ Df ,f(x1) = f(x2) ⇔

1

xn1

=1

xn2

⇔ xn1 = xn

2 ⇔ x1 = ± n√

xn2 ⇔ x1 = ±|x2|.Pela análise do contra-domínio feita em a), conclui-se que a função não é sobrejectiva, sejaqual for o valor do inteiro não negativo n.d) No caso de n ser par ou ímpar, a função é par ou ímpar, respectivamente, pois

f(−x) =1

(−x)n=

− 1

xn= −f(x) se n é ímpar, ou

1

xn= f(x) se n é pard) Quanto aos grácos, temos:

−1 1

1 x

y

(a) f(x) = 1xn

se n é ímpar −1 1

1 x

y

(b) f(x) = 1xn

se n é parFunções inversasAntes de introduzirmos as inversas das funções até agora estudadas, convém recordar queintimamente ligada com a noção de função inversa está a noção de função injectiva. Denimosa função inversa apenas de funções injectivas. No entanto, uma função poderá não ser injectivaem todo o seu domínio, mas apenas em algum subconjunto estritamente contido no seu domínio.Neste caso, podemos restringir a função a esse subdomínio e aí considerar a sua inversa.Para obtermos a inversa de uma dada função (injectiva) f , resolvemos a equaçãof(x) = yem ordem a x. Como a função original é injectiva, a resolução desta equação, em ordem a x,dará origem a uma única expressão designatória em função de y, expressão essa que será nadamais que a expressão designatória da função inversa procurada. Como convencionamos o eixodos xx como sendo o das abcissas e o dos yy como o das ordenadas, convém fazer uma mudançada variável y para a variável x e obtermos, assim, uma expressão designatória para f−1(x).A função constante f(x) = c não tem inversa, excepto se restringirmos o seu domínio a umúnico ponto.EA EB 16 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 1A função linear f(x) = ax+ b, com a, b ∈ R, é invertível em todo o seu domínio Df = R se esó se a 6= 0. Neste caso, a expressão designatória da função inversa é dada porf−1(x) =

x− b

a.No caso de polinómios de grau superior ou igual a 2, quando fazemos o mesmo procedimentopara obter as suas inversas, deparamo-nos com o problema de as funções encontradas even-tualmente já não serem funções racionais. Em muitos casos, as expressões designatórias dasfunções inversas vão fazer envolver, não só operações racionais, mas também operações irracio-nais. Nestes casos, as funções encontradas pertencem à grande classe de funções irracionais.Deste modo, as funções irracionais surgem por uma necessidade de encontrar as inversas defunções racionais.A função quadrática f(x) = x2, é invertível em [0,+∞) e a expressão designatória da suainversa é dada por

f−1(x) =√x.Exemplo 1.4.5. Considere a função f(x) = xn, com n ∈ N0 xo.a) Determinar a inversa da função f e indicar o seu domínio de validade em função de n.Temos

y = f(x) ⇔ xn = y ⇔ x =

x = n

√y se n é ímpar

x = ± n√y se n é par.Se n é ímpar, a função é invertível em todo o seu domínio e tem inversa denida por f−1(x) =

n√x. No caso de n ser par, a função é invertível apenas quando restringida a um dos inter-valos, (−∞, 0] ou [0,∞), sendo, nesses casos, as inversas denidas por f−1

|(−∞,0](x) = − n√x ou

f−1|[0,∞)(x) =

n√x, respectivamente.b) A partir do gráco de f , esboçar o gráco de f−1. Neste caso, temos:

1

1

y = xn

y = n√x x

y

(a) f(x) = xn se n é ímpar 1

1

y = xn

y = n√

x

y = − n√

x

x

y

(b) f(x) = xn se n é parUma função irracional será, então, uma função representada porf(x) = n

√

R(x),onde R(x) é uma função racional. Mais geralmente, designamos por função irracional qual-quer função cuja expressão designatória resulta de aplicarmos operações irracionais a uma oumais das funções por último referidas.EA EB 17 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 11.5 Ficha de exercícios no 11. Mostre que:(a) x2 + 2px+ q = 0 =⇒ x = −p±√

p2 − q;(b) Se x1 e x2 são as raízes da equação: ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, entãoi. x1+ x2 = − b

ae x1 x2 =

c

a(Fórmulas de Viéte)ii. ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2)(c) √

a2 − 4ab+ 4b2√a2 + 4ab+ 4b2

− 8ab

a2 − 4b2+

2b

a− 2b=

a

2b− a, onde 0 < a < 2b;(d) x2 + 4x− 5 + (x− 5)

√x2 − 1

x2 − 4x− 5 + (x+ 5)√x2 − 1

=

√

x− 1

x+ 1, onde x > 1;(e) √

x+ 1

x√x+ x+

√x:

1

x2 −√x= x− 1, onde x > 1;2. Determine os conjuntos de soluções das (in)equações seguintes:

a) |x− 3| = 2|x| ; b) |2x+ 1| < 1 ; c) |x− 1| < |x+ 1| ;

d) |x2 − 1| = 3 ; e) |2x− 5| > x+ 1 ; f) |x2 − 4| = x+ 2 .3. Mostre que:(a) |xn| = |x|n para todo n ∈ N;(b) |x− y| ≥ ||x| − |y|| .4. Determine f(0), f (−34

), f(−y) e f(1x

) no caso de f(x) =√1 + x2.5. Determine f(x+ 1) e f

(1x

) se f(x− 1) = x2.6. Determine a função linear f sabendo que f(−1) = 2 e f(2) = −3.7. Determine a função quadrática f sabendo que f(0) = 1, f(1) = 0 e f(3) = 5.8. Considere as funções seguintes:f(x) = 1− x+ x2 ; g(x) =

√−x+

1√2 + x

; h(x) =1 + x

1− x;

i(x) =x+ |x|

2; j(x) = x2 +

1

x; k(x) =

√

x− |x| .a) Determine o domínio de cada.b) Determine, caso existam, os zeros de cada.EA EB 18 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 19. Estude as funções seguintes quanto à paridade:g(x) = 1− x2 ; h(x) =

1 + x

1− x; i(x) = 3

√

(x+ 1)2 + 3√

(x− 1)2 ;

j(x) = (1 + x)(1− x) ; k(x) =1

1− x− 1

1 + x; l(x) = x3 + x2 .10. Considere as funções seguintes:

f(x) = 2x+ 3 ; g(x) =2

x; h(x) = x3 ;

i(x) =3√1− x3 ; j(x) =

√4− x2 ; k(x) =

1 + x

1− x.a) Estude estas funções quanto à injectividade e sobrejectividade.b) Determine a função inversa e indique o maior domínio de validade de cada.11. Recorrendo apenas ao gráco de funções já conhecidas, esboce o gráco das funçõesseguintes, assim como o das suas inversas no caso de existirem.

a) f(x) = 2x− 5 ; b) f(x) = x3 − 3x+ 2 ; c) f(x) =1

1− x;

d) f(x) =x− 2

x+ 2; e) f(x) = x+

1

x2; f) f(x) = x2 +

1

x;

h) f(x) =3√x2 ; i) f(x) =

1

2(x+ |x|) ; j) f(x) = x4 − 2x+ 5 .12. Para as funções do exercício anterior e recorrendo simplesmente à análise dos seus grácos,indique, caso existam, o conjunto de majorantes, de minorantes, o supremo, o ínmo, omáximo e o mínimo.

EA EB 19 c© HBO, 2012/2013

Capítulo 2Complementos de Funções Reais deVariável RealAs funções racionais e irracionais que abordamos no Capítulo 1 são denidas directamente pelasoperações elementares de cálculo. No entanto, existem funções cujas denições transcendemestas operações elementares de cálculo. Por isso, é frequente designar esta funções por fun-ções transcendentes. As funções transcendentes, tal como as racionais e irracionais, tambémpertencem ao grande grupo de funções elementares no sentido em que se podem escrever comosomas nitas de expressões designatórias. A grande fonte para as funções transcendentes residena Geometria, a primeira área da Matemática a ser estudada. Nesta secção iremos falar depraticamente todas as funções transcendentes conhecidas: exponencial, trigonométricas, hiper-bólicas, bem como as suas inversas. Em matemática elementar é comum passar por cima dealgumas diculdades inerentes à denição destas funções até se conseguir explicá-las melhorcom métodos de análise matemática que são adquiridos a posteriori.2.1 Funções exponencial e logarítmicaAs primeiras funções transcendentes a serem estudadas são a função exponencial e a sua inversa,a função logarítmica.Denição 2.1.1. Seja a um número real positivo. Dene-se a função exponencial de basea por

f(x) = ax.

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: D′

f = (0,+∞).• Zeros: não tem.• Variação de sinal: é sempre positiva.• Monotonia: é estritamente crescente se a > 1; é estritamente decrescente se 0 < a < 1;é constantemente igual a 1 se a = 1. 20

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES• Injectividade: é injectiva em todo o seu domínio se a 6= 1.• Grácos: Ver Figura 2.1.

1x

y

(a) base a > 1

1x

y

(b) base 0 < a < 1Figura 2.1: Funções exponenciais.Observemos que a função exponencial está denida apenas para valores de a positivos. Nãopode estar denida para valores de a negativos, porque quando x assume valores como 1/2, apotência a1/2 =√a não está denida para valores de a negativos. Por outro lado, se a = 0,quando x = 0 não sabemos o que é 00.A base da função exponencial com mais interesse é a = e, onde e = 2, 71 . . . é o número deNeper:

f(x) = ex.Por vezes designamos a função exponencial de base e como a função exponencial de basenatural.Como vimos nos Capítulo 3, aquando do estudo das Séries Numéricas, o número e pode serrigorosamente denido por:e =

+∞∑

n=0

1

n!.Proposição 2.1.1. Seja a um número real positivo. Então:1. a0 = 1;2. ax+y = ax ay.Demonstração. A demonstração usa o desenvolvimento da função exponencial em série de po-tências de x - ver, por exemplo, Campos Ferreira, pp. 241-247. Outra possibilidade, é usar aspropriedades da função logarítmica - ver, por exemplo, Serge Lange, p. 123. Pela análise anterior da função exponencial, vericamos que, independentemente da base quese considere, à excepção de a = 1, esta função é injectiva em todo o seu domínio. Sendo assim,podemos determinar a sua função inversa.EA EB 21 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESDenição 2.1.2. Seja a um número real positivo diferente de 1. Dene-se a função logarít-mica de base a porf(x) = loga x.

• Domínio: Df = (0,+∞).• Contra-domínio: D′

f = R.• Zeros: tem um zero em x = 1.• Variação de sinal: Se 0 < a < 1, é negativa para x ∈ (1,+∞) e positiva para x ∈ (0, 1).Se a > 1 é negativa para x ∈ (0, 1) e positiva para x ∈ (1,+∞);• Monotonia: é estritamente crescente se a > 1; é estritamente decrescente se 0 < a < 1.• Injectividade: é injectiva em todo o seu domínio.• Grácos: Ver Figura 2.2.

1

x

y

(a) base a > 1

1

x

y

(b) base 0 < a < 1Figura 2.2: Funções logarítmicas.Sendo a função logarítmica a inversa da função exponencial, temos a equivalência seguinte:y = ax ⇔ x = loga y. (2.1.1)Tal como para a função exponencial, a base da função logarítmica com mais interesse é a = e,onde e é o número de Neper:

f(x) = loge x.Neste caso, designamos a função logarítmica como a função logarítmica de base natural eusamos a notação ln x em vez de loge x.Proposição 2.1.2. Sejam a e b números reais positivos diferentes de 1 e n um inteiro. Então:1. loga a = 1;2. loga 1 = 0;3. loga(xy) = loga x+ loga y;4. loga(xn) = n loga x;EA EB 22 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES5. loga(x

y

)

= loga x− loga y;6. loga x = logb x loga b.Demonstração. A partir da Proposição 2.1.1 e da relação (2.1.1), a demonstração é imediata -ver, por exemplo, Campos Ferreira, pp. 247-249. Outra possibilidade, é usar noções do CálculoDiferencial - ver, por exemplo, Serge Lange, pp. 120-122. Muitos autores denem primeiro a função logarítmica e só depois a função exponencial comofunção inversa da primeira. Isto deve-se ao facto da demonstração de algumas propriedades dafunção exponencial serem mais fáceis de mostrar recorrendo à função logarítmica. Mas aquitemos o problema de ter de usar métodos da análise matemática que apenas são ensinados aposteriori - ver, por exemplo, Serge Lang.2.2 Funções trigonométricas e suas inversasFunções seno e arco-senoDenição 2.2.1. Dene-se a função seno porf(x) = sen(x).

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: D′

f = [−1, 1].• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = kπ, k ∈ Z.• Periodicidade: é uma função periódica de período 2π.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (2kπ, (2k + 1)π) e negativa para x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ),com k ∈ Z.• Monotonia: é estritamente crescente para x ∈

(−π

2+ 2kπ, π

2+ 2kπ

) e estritamente de-crescente para x ∈(π2+ 2kπ, 3π

2+ 2kπ

), com k ∈ Z.• Extremos: tem o valor máximo y = 1 nos pontos x = π

2+2kπ, k ∈ Z; tem o valor mínimo

y = −1 nos pontos x = −π2+ 2kπ, k ∈ Z.

• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.3

EA EB 23 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−2π −3π

2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−1

1

x

y

Figura 2.3: Função seno.Como resulta das propriedades da função seno, verica-se que esta não é injectiva, se considerar-mos todo o seu domínio. No entanto, observa-se que a função seno é injectiva se a restringirmosa um dos intervalos da forma[

−π

2+ 2kπ,

π

2+ 2kπ

]

k∈Zou [

π

2+ 2kπ,

3π

2+ 2kπ

]

k∈Z.Podemos, então, considerar a restrição da função seno a um destes intervalos e aí vai ser possíveldeterminar a sua função inversa. Ao intervalo [−π

2, π2

] vamos designar por ramo principalda função seno.Denição 2.2.2. Dene-se a função arco-seno como sendo a inversa da função seno, quandorestringida ao intervalo [−π2, π2

], e denota-se por:f(x) = arcsen(x).

• Domínio: Df = [−1, 1].• Contra-domínio: D′

f = [−π2, π2].

• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 0.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0, 1) e é negativa para x ∈ (−1, 0).• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Extremos: tem o valor máximo y = π

2em x = 1; tem o valor mínimo y = −π

2em x = −1.

• Gráco: Ver Figura 2.4A expressão arcsen(x), lê-se arco cujo seno é x e, fazendo a inversão da Tabela 2.7 dos valoresprincipais do seno, obtemos a Tabela 2.1 com os valores principais da função arco-seno.EA EB 24 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−1 1

−π2

π2

x

y

Figura 2.4: Função arco-seno.x 0

1

2

√2

2

√3

21

arcsen(x) 0π

6

π

4

π

3

π

2Tabela 2.1: Valores principais do arco-seno.Funções coseno e arco-cosenoDenição 2.2.3. Dene-se a função coseno porf(x) = cos(x).

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: D′

f = [−1, 1].• Paridade: é uma função par.• Zeros: x = π

2+ kπ, k ∈ Z.

• Periodicidade: é uma função periódica de período 2π.• Variação de sinal: é positiva para x ∈

(−π

2+ 2kπ, π

2+ 2kπ

) e negativa para x ∈(π2+ 2kπ ,

3π2+ 2kπ

), com k ∈ Z.• Monotonia: é estritamente crescente para x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ) e estritamente decrescentepara x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), com k ∈ Z.• Extremos: tem o valor máximo y = 1 nos pontos x = 2kπ, k ∈ Z; tem o valor mínimoy = −1 nos pontos x = (2k + 1)π, k ∈ Z.

• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.5.EA EB 25 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−2π −3π

2−π π

2π2

π 3π2

2π

−1

1

x

y

Figura 2.5: Função coseno.Tal como a função seno, também a função coseno não é injectiva se considerarmos todo o seudomínio. Contudo, verica-se que a função coseno é injectiva, se a restringirmos a um dosintervalos da forma[−π + 2kπ, 2kπ]k∈Z ou [2kπ, π + 2kπ]k∈Z .Podemos, então, considerar a restrição da função coseno a um destes intervalos e aí vai serpossível determinar a sua inversa. Ao intervalo [0, π] vamos designar por ramo principal dafunção coseno.Denição 2.2.4. Dene-se a função arco-coseno como sendo a inversa da função coseno,quando restringida ao intervalo [0, π], e denota-se por:

f(x) = arccos(x).

• Domínio: Df = [−1, 1].• Contra-domínio: D′

f = [0, π].• Paridade: é uma função que não é par nem ímpar.• Zeros: x = 1.• Variação de sinal: é não-negativa no seu domínio.• Monotonia: é estritamente decrescente em todo o seu domínio.• Extremos: tem o valor máximo y = π em x = −1; tem o valor mínimo y = 0 em x = 1.• Gráco: Ver Figura 2.6A expressão arccos(x) lê-se arco cujo coseno é x e, fazendo a inversão da Tabela 2.7 dos valoresprincipais do coseno, obtemos a Tabela 2.2 com os valores principais da função arco-coseno.

EA EB 26 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES

−1 1

π

π2

x

y

Figura 2.6: Função arco-coseno.x 1

√3

2

√2

2

1

20

arccos(x) 0π

6

π

4

π

3

π

2Tabela 2.2: Valores principais do arco-coseno.Funções tangente e arco-tangenteDenição 2.2.5. Dene-se a função tangente porf(x) = tg(x) ≡ sen(x)

cos(x).

• Domínio: Df = R \

π2+ kπ : k ∈ Z

.• Contra-domínio: D′

f = R.• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = kπ, k ∈ Z.• Periodicidade: é uma função periódica de período π.• Variação de sinal: é positiva para x ∈

(kπ, π

2+ kπ

) e negativa para x ∈(−π

2+ kπ, kπ

),com k ∈ Z.• Monotonia: é estritamente crescente em todo o domínio.• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.7Tal como para as funções seno e coseno, também a função tangente não é injectiva em todo oseu domínio. Mas, restringido-a a um dos intervalos da forma

(

−π

2+ kπ,

π

2+ kπ

)

k∈Z,EA EB 27 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−3π

2−π −π

2π2

π 3π2

x

y

Figura 2.7: Função tangente.a função tangente é injectiva. Ao intervalo (−π2, π2

) vamos designar por ramo principal dafunção tangente.Denição 2.2.6. Dene-se a função arco-tangente como sendo a inversa da função tan-gente, quando restringida ao intervalo (−π2, π2

), e denota-se por:f(x) = arctg(x).

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: D′

f =(−π

2, π2

).• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 0.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0,+∞) e negativa para x ∈ (−∞, 0).• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.8

−π2

π2

x

y

Figura 2.8: Função arco-tangente.A expressão arctg(x) lê-se arco cuja tangente é x e, fazendo a inversão da Tabela 2.8 dos valoresprincipais da tangente, obtemos a Tabela 2.3 com os valores principais da função arco-tangente.EA EB 28 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESx 0

√3

31

√3

arctg(x) 0π

6

π

4

π

3Tabela 2.3: Valores principais do arco-tangente.Funções cotangente e arco-cotangenteDenição 2.2.7. Dene-se a função cotangente porf(x) = cotg(x) ≡ cos(x)

sen(x).

• Domínio: Df = R \ kπ : k ∈ Z.• Contra-domínio: D′

f = R.• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = π

2+ kπ, com k ∈ Z.

• Periodicidade: é uma função periódica de período π.• Variação de sinal: é positiva para x ∈

(kπ, π

2+ kπ

) e negativa para x ∈(π2+ kπ, (k + 1)π

),com k ∈ Z.• Monotonia: é estritamente decrescente em todo o seu domínio.• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.9Observa-se que a cotangente não é uma função verdadeiramente nova, pois

cotg(x) =1

tg(x).Do mesmo modo que a função tangente, também a função cotangente não é injectiva em todoo seu domínio. Mas, a sua restrição a um dos intervalos da forma

(kπ, (k + 1)π)k∈Z ,é uma função injectiva. O intervalo (0, π) vai ser designado por ramo principal da funçãocotangente.Denição 2.2.8. Dene-se a função arco-cotangente como sendo a inversa da função co-tangente, quando restringida ao intervalo (0, π), e denota-se por:f(x) = arccotg(x).EA EB 29 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−3π

2−π −π

2π2

π 3π2

x

y

Figura 2.9: Função cotangente.• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: D′

f = (0, π).• Paridade: é uma função que não é par nem ímpar.• Zeros: não tem.• Variação de sinal: é sempre positiva.• Monotonia: é estritamente decrescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.10

π2

π

x

y

Figura 2.10: Função arco-cotangente.A expressão arccotg(x) lê-se arco cuja cotagente é x e, fazendo a inversão da Tabela 2.8 dosvalores principais da cotangente, obtemos a Tabela 2.4 com os valores principais da funçãoarco-cotangente.Da relação entre as funções tangente e cotangente, resulta quearccotg(x) = arctg

(1

x

)

.EA EB 30 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESx

√3 1

√3

30

arccotg(x)π

6

π

4

π

3

π

2Tabela 2.4: Valores principais do arco-cotangente.Funções secante e arco-secanteDenição 2.2.9. Dene-se a função secante porf(x) = sec(x) ≡ 1

cos(x).

• Domínio: Df = R \

π2+ kπ : k ∈ Z

.• Contra-domínio: D′

f = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).• Paridade: é uma função par.• Zeros: não tem.• Periodicidade: é uma função periódica de período 2π.• Variação de sinal: é positiva para x ∈

(−π

2+ 2kπ, π

2+ 2kπ

) e negativa para x ∈(π2+ 2kπ,

3π2+ 2kπ

), com k ∈ Z.• Monotonia: é estritamente crescente para x ∈

(2kπ, π

2+ 2kπ

)∪(π2+ 2kπ, π + 2kπ

) eestritamente decrescente para x ∈(−π

2+ 2kπ, 2kπ

)∪(π + 2kπ, 3π

2+ 2kπ

).• Extremos: tem mínimos locais com valor y = 1 em x = 2kπ, com k ∈ Z; tem máximoslocais com valor y = −1 em x = (2k + 1)π, com k ∈ Z.• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.11Da denição resulta que a secante não é uma função verdadeiramente nova, já que se tratado inverso multiplicativo da função coseno. Tal como nos casos anteriores, também a funçãosecante não é injectiva em todo o seu domínio. Mas, a sua restrição a um dos conjuntos daforma (

2kπ,π

2+ 2kπ

)

∪(π

2+ 2kπ, π + 2kπ

)

k∈Z,é uma função injectiva. O conjunto (0, π) \

π2

vai ser designado por ramo principal dafunção secante.Denição 2.2.10. Dene-se a função arco-secante como sendo a inversa da função secante,restringida ao conjunto (0, π) \

π2

, e denota-se por:f(x) = arcsec(x).EA EB 31 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−3π

2−π −π

2π2

π 3π2

1 x

y

Figura 2.11: Função secante.• Domínio: Df = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).• Contra-domínio: [0, π] \ π

2

.• Paridade: é uma função que não é par nem ímpar.• Zeros: x = 1.• Variação de sinal: é sempre não-negativa.• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.12

−1 1

π2

π

x

y

Figura 2.12: Função arco-secante.A expressão arcsec(x) lê-se arco cuja secante é x e, fazendo a inversão da Tabela 2.9 dos valoresprincipais da secante, obtemos a Tabela 2.5 com os valores principais da função arco-secante.Da relação entre as funções secante e coseno, temosarcsec(x) = arccos

(1

x

)

.EA EB 32 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESx 1

2√3

3

√2 2

arcsec(x) 0π

6

π

4

π

3Tabela 2.5: Valores principais do arco-secante.Funções cosecante e arco-cosecanteDenição 2.2.11. Dene-se a função cosecante porf(x) = cosec(x) ≡ 1

sen(x).

• Domínio: Df = R \ kπ : k ∈ Z.• Contra-domínio: D′

f = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: não tem.• Periodicidade: é uma função periódica de período 2π.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (2kπ, (2k + 1)π) e negativa para x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ),com k ∈ Z.• Monotonia: é estritamente crescente para x ∈

((2k − 1)π,−π

2+ 2kπ

)∪(π2+ 2kπ, (2k + 1)π

)e estritamente decrescente para x ∈(−π

2+ 2kπ, 2kπ

)∪(2kπ, π

2+ 2kπ

).• Extremos: tem mínimos locais com valor y = 1 em x = π

2+2kπ, com k ∈ Z; tem máximoslocais com valor y = −1 em x = −π

2+ 2kπ, com k ∈ Z.

• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.13Também da denição, observamos que a cosecante não é uma função verdadeiramente nova,pois se pode escrever como sendo o inverso multiplicativo da função seno. A função cosecantenão é injectiva em todo o seu domínio. Mas, a sua restrição a um dos conjuntos da forma

(

−π

2+ 2kπ,

π

2+ 2kπ

)

\ 2kπ,com k ∈ Z, já é uma função injectiva. O conjunto (−π2, π2

)\ 0 vai ser designado por ramoprincipal da função cosecante.Denição 2.2.12. Dene-se a função arco-cosecante como sendo a inversa da função co-secante, quando restringida ao conjunto (−π

2, π2

)\ 0, e denota-se por:

f(x) = arccosec(x).EA EB 33 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−3π

2−π −π

2π2

π 3π2

1 x

y

Figura 2.13: Função cosecante.• Domínio: Df = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).• Contra-domínio: [−π

2, π2] \ 0.

• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 1.• Variação de sinal: é sempre não-negativa.• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.14

1−π2

π2

x

y

Figura 2.14: Função arco-cosecante.A expressão arccosec(x) lê-se arco cuja cosecante é x e, fazendo a inversão da Tabela 2.9dos valores principais da cosecante, obtemos a Tabela 2.6 com os valores principais da funçãoarco-cosecante.Da relação entre a cosecante e o seno, temos a seguinte identidade:arccosec(x) = arcsen

(1

x

)

.EA EB 34 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESx 1

2√3

3

√2 2

arccosec(x)π

2

π

3

π

4

π

6Tabela 2.6: Valores principais do arco-cosecante.2.3 Funções hiperbólicas e suas inversasFunções seno hiperbólico e argumento do seno hiperbólicoDenição 2.3.1. Dene-se a função seno hiperbólico porf(x) = senh(x) ≡ ex − e−x

2.

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: D′

f = R.• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 0.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0,+∞) e negativa para x ∈ (−∞, 0).• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Injectividade: É injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.15

−1

1 x

y

Figura 2.15: Função seno hiperbólico.A função seno hiperbólico, sendo injectiva em todo o seu domínio, vai admitir função inversasem restrições.EA EB 35 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESDenição 2.3.2. Dene-se a função argumento do seno hiperbólico como sendo a inversada função seno hiperbólico e denota-se por:f(x) = argsh(x).

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: Df = R.• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 0.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0,+∞) e negativa para x ∈ (−∞, 0).• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.16

−1

1 x

y

Figura 2.16: Função argumento doseno hiperbólico.A expressão argsh(x) lê-se argumento cujo seno hiperbólico é x. Observe-se que, resolvendo aequação y = senh(x) ≡ ex−e−x

2, se pode mostrar que

argsh(x) = ln(x+√x2 + 1).Em cálculos numéricos da função argumento do seno hiperbólico é esta última expressão queutilizamos. Portanto, a função seno hiperbólico, bem como a sua inversa, não são funçõesverdadeiramente novas, pois a sua escrita se faz à custa de funções já conhecidas.Funções coseno hiperbólico e argumento do coseno hiperbólicoDenição 2.3.3. Dene-se a função coseno hiperbólico por

f(x) = cosh(x) ≡ ex + e−x

2.EA EB 36 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: Df = [1,+∞).• Paridade: é uma função par.• Zeros: não tem.• Variação de sinal: é sempre positiva.• Monotonia: é estritamente crescente para x ∈ (0,+∞) e estritamente decrescente parax ∈ (−∞, 0).

• Injectividade: Não é injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.17

1 x

y

Figura 2.17: Função coseno hiperbó-lico.O coseno hiperbólco está relacionado com a função seno hiperbólico através da identidade1 + senh2(x) = cosh2(x),válida para todo x ∈ R. Verica-se que a função coseno hiperbólico é injectiva, se a restringir-mos aos intervalos (−∞, 0] ou [0,+∞). Fixando o intervalo [0,+∞) podemos aí considerar ainversa da função coseno hiperbólico.Denição 2.3.4. Dene-se a função argumento do coseno hiperbólico como sendo a in-versa da função coseno hiperbólico, restringida ao intervalo [0,+∞), e denota-se por

f(x) = argch(x).

• Domínio: Df = [1,+∞).• Contra-domínio: Df = [0,+∞).• Zeros: x = 1.EA EB 37 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES

1

x

y

Figura 2.18: Função argumento do co-seno hiperbólico.• Variação de sinal: é sempre não negativa.• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.18A expressão argch(x) lê-se argumento cujo coseno hiperbólico é x. Resolvendo a equação

y = cosh(x) ≡ ex+e−x

2, pode-se mostrar que

argch(x) = ln(x+√x2 − 1),e esta última é a expressão que utilizamos para o cálculo de valores numéricos da funçãoargumento do coseno hiperbólico.Funções tangente hiperbólica e argumento da tangente hiperbólicaDenição 2.3.5. Dene-se a função tangente hiperbólica por

f(x) = tgh(x) ≡ senh(x)

cosh(x)≡ ex − e−x

ex + e−x.

• Domínio: Df = R.• Contra-domínio: Df = (−1, 1).• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 0.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0,∞) e negativa para x ∈ (−∞, 0).• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Injectividade: É injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.19EA EB 38 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES−1

1x

y

Figura 2.19: Função tangente hiper-bólica.Como a função tangente hiperbólica é injectiva em todo o seu domínio, vai admitir funçãoinversa sem qualquer tipo de restrição.Denição 2.3.6. Dene-se a função argumento da tangente hiperbólica como sendo afunção inversa da função tangente hiperbólica e denota-se por:f(x) = argtgh(x).

• Domínio: Df = (−1, 1).• Contra-domínio: Df = R.• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: x = 0.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0,∞) e negativa para x ∈ (−∞, 0).• Monotonia: é estritamente crescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.20

−1 1

x

y

Figura 2.20: Função argumento datangente hiperbólica.EA EB 39 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESA expressão argtgh(x) lê-se argumento cuja tangente hiperbólica é x. Resolvendo a equaçãoy = tgh(x) ≡ ex−e−x

ex+e−x , pode-se mostrar queargtgh(x) =

1

2ln

(1 + x

1− x

)

,expressão utilizada em cálculos numéricos da função argumento da tangente hiperbólica.Funções cotangente hiperbólica e argumento da cotangente hiperbólicaDenição 2.3.7. Dene-se a função cotangente hiperbólica porf(x) = cotgh(x) ≡ cosh(x)

senh(x)≡ ex + e−x

ex − e−x.

• Domínio: Df = R \ 0.• Contra-domínio: (−∞,−1) ∪ (1,+∞).• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: não tem.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (0,∞) e negativa para x ∈ (−∞, 0).• Monotonia: é estritamente decrescente em todo o seu domínio.• Injectividade: É injectiva.• Gráco: Ver Figura 2.21

−1

1 x

y

Figura 2.21: Função cotangente hiper-bólica.Facilmente se percebe que, tal como no caso trigonométrico, a cotangente hiperbólica estárelacionada com a tangente hiperbólica porcotgh(x) ≡ 1

tgh(x).Como a função cotangente hiperbólica é injectiva no seu domínio, vai ter inversa sem restriçãoalguma.EA EB 40 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESDenição 2.3.8. Dene-se a função argumento da cotangente hiperbólica como sendo ainversa da função cotangente hiperbólica e denota-se por:f(x) = argcotgh(x).

• Domínio: Df = (−∞,−1) ∪ (1,+∞).• Contra-domínio: D′

f = R \ 0.• Paridade: é uma função ímpar.• Zeros: não tem.• Variação de sinal: é positiva para x ∈ (1,∞) e negativa para x ∈ (−∞,−1).• Monotonia: é estritamente decrescente em todo o seu domínio.• Gráco: Ver Figura 2.22

−1 1

x

y

Figura 2.22: Função argumento da co-tangente hiperbólica.A expressão argcotgh(x), lê-se argumento cuja cotangente hiperbólica é x. Resolvendo a equa-ção y = cotgh(x) ≡ ex−e−x

ex+e−x , pode-se mostrar a seguinte identidade utilizada em cálculos numé-ricos da função argumento da tangente hiperbólica:argtgh(x) =

1

2ln

(x+ 1

x− 1

)

.Observação 2.3.1. Muitos autores designam as inversas das funções hiperbólicas como sendoarcos e denotam-nas por arcsh(x), arcch(x), arctgh(x) e arcctgh(x), ou algo similar em queaparece o prexo arc. Apesar de se perceber a analogia destas designações e notações com asdas inversas das funções trigonométricas, convém frisar que as funções hiperbólicas não têmas mesmas motivações geométricas que as funções trigonométricas. Por isso, a utilização dasnotações com o prexo arc será, neste caso, um abuso de escrita.Seguindo o mesmo procedimento anterior, podemos fazer, também, um estudo análogo para asfunções secante hiperbólica e tangente hiperbólica, bem como as suas inversa.EA EB 41 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕES2.4 Apêndice: TrigonometriaAntes de introduzirmos as funções trigonométricas, convém recordar as relações trigonométricasmais importantes. Consideremos um triângulo rectângulo de vértices A, B e C, onde, apenaspara xar notação supomos que o ângulo recto é o ângulo formado pelas semi-rectas −→AB e−→

AC. Seja θ o ângulo formado pelas semi-rectas −→BA e −−→BC. Neste triângulo rectângulo, o lado

BC designa-se por hipotenusa e os lados AB e AC designam-se, respectivamente, por catetoadjacente e cateto oposto relativamente ao ângulo θ. Denimos o seno e o coseno do ânguloθ, respectivamente, por

sen(θ) =cateto opostohipotenusa =

AC

BCe cos(θ) =

cateto adjacentehipotenusa =AB

BC.Consideremos um círculo de centro na origem do referencial cartesiano e com raio 1, o qualhabitualmente se designa por círculo unitário. Inscrevamos o triângulo rectângulo anterior-mente considerado no primeiro quadrante deste círculo. Fazemos coincidir o vértice B com aorigem do referencial e o vértice C sobre a circunferência que limita o círculo. Isto implica quea hipotenusa BC = 1. Para este triângulo rectângulo assim inscrito no círculo considerada,tem-se:

sen(θ) = CA e cos(θ) = BA.Observe-se que, como sabemos da geometria, a amplitude do um ângulo é medida em graus,xando que um círculo, ou ângulo giro, mede 360o. Um semi-círculo, ou ângulo raso, mede 180o,um quarto de círculo, ou ângulo rectângulo mede 90o. No entanto para a análise matemática,torna-se mais útil introduzir outra medida para medir a amplitude dos ângulos. Esta medidadesigna-se por radiano e está relacionada com o grau de tal modo que 2π = 360o e, porconsequência, π = 180o e π/2 = 90o.Designemos agora as coordenadas do vértice C por (x, y). Por uma simples análise, verica-se que x é a medida do cateto adjacente, lado BA, e y é a medida do cateto oposto, ladoCA. Como inscrevemos o triângulo rectângulo num círculo de raio 1 centrado na origem doreferencial, x e y vão variar entre 0 e 1. Com esta notação, temos

sen(θ) = y e cos(θ) = x.Neste sentido, podemos dizer que o seno se lê no eixo dos yy e o coseno no dos xx. Usandoum pouco de geometria e cálculo numérico, conseguimos obter a Tabela 2.7 dos denominadosvalores principais do seno e do coseno.Esta análise que zemos para o triângulo rectângulo inscrito no primeiro quadrante pode serestendida para o mesmo triângulo inscrito em qualquer um dos outros três quadrantes, ins-crevendo o lado BA sobre os semi-eixos positivo dos yy, negativo dos xx, negativo dos yy,ou positivo dos xx. Nestes casos, considera-se um ângulo ω compreendido entre o semi-eixopositivo dos xx e a semi-recta −−→BC . Consoante o ângulo ω atinja o primeiro, segundo, terceiro,ou o quarto quadrante, podemos relacionar ω com um ângulo θ inscrito no primeiro quadrante.Isto é, se 0 ≤ θ ≤ π/2, temos as possibilidades seguintes para ω:

• no primeiro quadrante: ω = θ ou ω = π2− θ;EA EB 42 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESradianos 0π

6

π

4

π

3

π

2seno 01

2

√2

2

√3

21coseno 1

√3

2

√2

2

1

20graus 0o 30o 45o 60o 90oTabela 2.7: Valores principais do seno e do coseno.

• no segundo quadrante: ω = π2+ θ ou ω = π − θ;

• no terceiro quadrante: ω = π + θ ou ω = 3π2− θ;

• no quarto quadrante: ω = 3π2+ θ ou ω = 2π − θ.Como vimos acima, no círculo unitário, sen(θ) = y e cos(θ) = x. Então, podemos dizer, que oseno é positivo nos primeiro e segundo quadrantes e é negativo nos terceiro e quarto quadrantes,tal como y. O coseno vai ser positivo no primeiro e quarto quadrantes e negativo no segundo eterceiro quadrantes, tal como x. Desta forma, considerando 0 ≤ θ ≤ π/2, facilmente obtemosas relações seguintes:

• sen(π2− θ)= cos(θ), cos

(π2− θ)= sen(θ) ;

• sen(π2+ θ)= cos(θ), cos

(π2+ θ)= − sen(θ) ;

• sen (π − θ) = sen(θ) ; cos (π − θ) = − cos(θ) ;

• sen (π + θ) = − sen(θ) ; cos (π + θ) = − cos(θ) ;

• sen(3π2− θ)= − cos(θ) ; cos

(3π2− θ)= − sen(θ) ;

• sen(3π2+ θ)= − cos(θ) ; cos

(3π2+ θ)= sen(θ) ;

• sen (2π − θ) = sen(−θ) = − sen(θ) ; cos (2π − θ) = cos(−θ) = cos(θ) .Usando o facto de sen(θ) = y e cos(θ) = x e usando, ainda, as relações anteriores, podemosconcluir, também, que:sen (θ) = 0 ⇔ θ = 0, θ = π ou θ = 2π;

cos (θ) = 0 ⇔ θ =π

2ou θ =

3π

2.EA EB 43 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESO seno e o coseno são as expressões trigonométricas mais importantes. No entanto, existemoutras expressões trigonométricas, que, por vezes, são muito úteis. Tenhamos presentes as con-siderações sobre o círculo unitário e o triângulo rectângulo nele inscrito feitas acima. Denimosa tangente e a cotangente do ângulo θ, respectivamente, por:tg(θ) =

sen(θ)

cos(θ)=

cateto opostocateto adjacente =CA

BA=

y

x,

cotg(θ) =1

tg(θ)=

cos(θ)

sen(θ)=

cateto adjacentecateto oposto =BA

CA=

x

y.Destas expressões, podemos armar que a tangente não está denida quando cos (θ) = 0, istoé, quando θ = π/2 e θ = 3π/2. A cotangente não vai estar denida quando sen (θ) = 0, isto é,quando θ = 0, θ = π e θ = 2π. Por outro lado,

tg (θ) = 0 ⇔ sen (θ) = 0 ⇔ θ = 0, θ = π ou θ = 2π;

cotg (θ) = 0 ⇔ cos (θ) = 0 ⇔ θ =π

2ou θ =

3π

2.Da tabela dos valores principais do seno e do coseno, podemos também obter os valoresprincipais da tangente e da cotangente, conforme Tabela 2.8.radianos 0

π

6

π

4

π

3

π

2tangente 0

√3

31

√3 n.d.cotangente n.d. √

3 1

√3

30graus 0o 30o 45o 60o 90oTabela 2.8: Valores principais da tangente e da cotangente.Existem, ainda, outras expressões trigonométricas que, apesar de não serem tão utilizadascomo as anteriores, têm, também, alguma importância. Novamente, tenhamos presentes asconsiderações sobre o círculo unitário e o triângulo rectângulo nele inscrito feitas no iníciodesta secção. Denimos a secante e a cosecante do ângulo θ, respectivamente, por:

sec(θ) =1

cos(θ)=

1cateto adjacente =1

BA=

1

x,

cosec(θ) =1

sen(θ)=

1cateto oposto =1

CA=

1

y.Resulta desta denição que a secante não está denida quando cos(θ) = 0, ou seja, quando

θ = π/2 e θ = 3π/2. A cosecante não está denida para sen(θ) = 0, isto é, quando θ = 0,EA EB 44 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 2. COMPLEMENTOS DE FUNÇÕESradianos 0π

6

π

4

π

3

π

2secante 12√3

3

√2 2 n.d.cosecante n.d. 2

√2

2√3

31graus 0o 30o 45o 60o 90oTabela 2.9: Valores principais da secante e dacosecante.

θ = π e θ = 2π. Também aqui, da tabela dos valores principais do seno e do coseno, podemosobter os valores principais da secante e da cosecante, conforme Tabela 2.9.Na proposição seguinte apresentamos, sem demonstração, as principais identidades trigonomé-tricas que já deverão ser conhecidas do leitor.Proposição 2.4.1. 1. Seja θ um ângulo qualquer. Então:sen2(θ) + cos2(θ) = 1;e sempre que as expressões trigonométricas em causa estejam denidas:

tg2(θ) + 1 = sec2(θ); 1 + cotg2(θ) = cosec2(θ).2. Seja θ o ângulo oposto ao lado AC de um triângulo de vértices A, B e C. Então:AC

2= AB

2+BC

2 − 2ABBC cos(θ).3. Sejam θ e φ dois ângulos quaisquer. Então:sen(θ ± φ) = sen(θ) cos(φ)± sen(φ) cos(θ), cos(θ ± φ) = cos(θ) cos(φ)∓ sen(φ) sen(θ).Demonstração. A primeira armação sai imediatamente pelo Teorema de Pitágoras. Para asegunda armação, a prova mais simples é vericar a identidade entre o comprimento de umdos lados do triângulo com o comprimento da diferença entre os outros dois. Outro modo,é aplicar o Teorema de Pitágoras. Por m, a demonstração da terceira armação resulta dedenir o seno e o coseno em termos da hipotnusa e dos catetos e usar simetria geométrica. Ver,por exemplo, Boyce & DiPrima, pp. 46-49. A primeira propriedade enunciada na proposição anterior, designa-se por Fórmula Funda-mental da Trigonometria. A segunda é a Lei dos Cosenos e a terceira dá-nos as fórmulasdo seno e do coseno da soma e da diferença de ângulos. Observe-se que na Lei dos Cosenos,o triângulo não é necessariamente rectângulo. Esta lei generaliza o Teorema de Pitágoras aqualquer triângulo (não necessariamente rectângulo).EA EB 45 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 2A Figura 2.23 permite-nos compreender melhor todas as expressões trigonométricas que aquiestudamos. Nesta gura, substituímos as notações dos vértices A, B e C, anteriormente feitas,pelas notações C, O e P , respectivamente, que são mais habituais no estudo de ângulos inscritosao centro de uma circunferência.

Figura 2.23: Expressões trigonométricas no círculo unitário.As relações trigonométricas estudadas aqui vão dar origem a uma vasta classe de funçõestrigonométricas cuja principal característica é o facto de serem periódicas. Além das motivaçõesgeométricas, estas novas funções poderão ter expressão importante na explicação de fenómenosque se repetem.Denição 2.4.1. Diz-se que f é uma função periódica, se para cada x ∈ Df , o valor def(x) é o mesmo de f(x+ p), sendo p o menor número real não nulo, denominado período dafunção, tal que f(x+ p) = f(x) para todo x ∈ Df .2.5 Ficha de exercícios no 21. Tendo por base de demonstração as fórmulas de duplicação do seno e do coseno, mostreque:(a) sen(−x) = − sen(x) e cos(−x) = cos(x);(b) sen(2x) = 2sen(x) cos(x) e cos(2x) = cos2(x)− sen2(x);(c) cos2(x) =

1

2[1 + cos(2x)] e sen2(x) =

1

2[1− cos(2x)];(d) sen(kπ) = 0; cos(kπ) = (−1)k , k ∈ Z;(e) as funções seno e coseno são periódicas com período 2π, isto é,

sen (x+ 2π) = sen(x) ∀x ∈ R, cos (x+ 2π) = cos(x) ∀x ∈ R.EA EB 46 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 2(f) sen(π

2± x)

= cos(x) e cos(π

2± x)

= ∓ sen(x);(g) sen (π ± x) = ∓ sen(x) e cos (π ± x) = − cos(x);(h) cos(x) cos(t) =1

2[cos (x− t) + cos (x+ t)];(i) sen(x) sen(t) =

1

2[cos (x− t)− cos (x+ t)];(j) sen(x) cos(t) =

1

2[ sen (x− t) + sen (x+ t)];(k) cos(x) + cos(t) = 2 cos

(x− t

2

)

cos

(x+ t

2

);(l) cos(x)− cos(t) = −2sen

(x− t

2

)

sen

(x+ t

2

);(m) sen(x)− sen(t) = 2sen

(x− t

2

)

cos

(x+ t

2

);(n) sen(x) + sen(t) = 2 cos

(x− t

2

)

sen

(x+ t

2

).2. Considere as funções seguintes:f(x) = ln

(2x

1 + x

)

; g(x) =√

1− sen(x) ; h(x) = arccos

(1 + x

1− x

)

;

i(x) = tg(x)− cotg(x) ; j(x) = sec(x)− 1 ; k(x) = senh(x− 1)− 2 ;

l(x) = 2π + arctg(x− 3) ; m(x) = tgh(2x− 3) + 1 ; n(x) = argch(x− 2) + 1 .a) Determine o domínio e o contra-domínio de cada.b) Determine os zeros de cada.c) Estude-as quanto à paridade.d) Indique o período das que são periódicas.3. Considere a função seguinte:f(x) = ln

(1 + x

1− x

)

.a) Determine o domínio Df de f .b) Mostre que, para quaisquer x, y ∈ Df , se temf(x) + f(y) = f

(x+ y

1 + xy

)

.4. Considere a função denida a seguir:f(x) =

arcsen(x) −1 ≤ x ≤ 0arctg(x) 0 < x ≤ 1

.a) Calcule f(−1), f(0) e f(1).b) Esboce o gráco de f .EA EB 47 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 25. Usando a Fórmula Fundamental da Trigonometria, mostre que:a) 1 + tg2(x) = sec2(x) e b) 1 + cotg2(x) = cosec2(x).6. Considere as funções seguintes:

f(x) = arcsen(x); g(x) =π

2− arccos(x).a) Determine o domínio e o contradomínio de f e g.b) Esboce os respectivos grácos.c) O que pode concluir sobre as funções f e g.7. Considere, agora, as funções seguintes:

f(x) = arctg(x); g(x) =π

2− arccotg(x).a) Determine o domínio e o contradomínio de f e g.b) Esboce os respectivos grácos.c) O que pode concluir sobre as funções f e g.8. Considere, ainda, as funções seguintes:

f(x) = arcsec(x); g(x) =π

2− arccosec(x).a) Determine o domínio e o contradomínio de f e g.b) Esboce os respectivos grácos.c) O que pode concluir sobre as funções f e g.9. Determine as expressões designatórias das inversas das funções a seguir indicadas:

f(x) =x√2x−2 ; g(x) = ln

(x− 1

x+ 4

)

;

h(x) = cos((2x+ 3)π) ; i(x) = 4 arcsen(x−6) .10. Usando as denições das funções seno e coseno hiperbólicos, mostre que:a) senh(x+ y) = senh(x) cosh(y) + senh(y) cosh(x);b) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y);c) 1 + senh2(x) = cosh2(x).11. Recorrendo apenas ao conhecimento do gráco das funções elementares já estudadas,esboce os grácos das funções seguintes:d(x) = e3−x + 2 ; e(x) = 1 + | ln(x− 1)| ; f(x) = 1 + sen(2x− π) ;

g(x) = x sen(x) ; h(x) = 3− 5 cos(

x+π

2

)

; i(x) = tg2(x)− 1 ;

l(x) = 2π + arctg(x− 3) ; j(x) = xcosec(x)− 1 ; k(x) = x sen

(1

x

)

;

l(x) = 1− | senh(x+ 2)| ; m(x) = max(sen(x), cos(x)) ; n(x) = 3− cosh(2x− 1) .EA EB 48 c© HBO, 2012/2013

Capítulo 3Limites e continuidade3.1 Limites de funçõesA recta acabadaA recta acabada surge da necessidade de estender as operações algébricas habituais do conjuntodos números reais de modo a poder-se operar com os elementos +∞ e −∞. Estes elementossatisfazem a relação de ordem seguinte:

−∞ < x < +∞ ∀ x ∈ R.Denição 3.1.1 (Recta acabada). Dene-se a recta acabada e denota-se por R como sendo oconjunto seguinte:R = R ∪ −∞,+∞.Com a introdução da recta acabada R, torna-se necessário denir as operações algébricasentre os elementos desse conjunto. Se os elementos de R forem ainda reais, isto é elementos de

R, as operações são como habitualmente.Denição 3.1.2 (operações com +∞ e −∞). Para a adição tem-se:a+ (+∞) = +∞, a + (−∞) = −∞ ∀ a ∈ R;

(+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.Para a multiplicação tem-se:a× (+∞) = +∞, a× (−∞) = −∞ ∀ a > 0;

a× (+∞) = −∞, a× (−∞) = +∞ ∀ a < 0;

(+∞)× (+∞) = +∞, (+∞)× (−∞) = −∞, (−∞)× (−∞) = +∞.As operações de subtracção e divisão são operações inversas da adição e multiplicação,respectivamente. Assim, tem-se para a subtracção:a− (+∞) = a+ (−∞) = −∞, a− (−∞) = a+ (+∞) = +∞ ∀ a ∈ R;49

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADE(+∞)− (−∞) = (+∞) + (+∞) = +∞.E para a divisão tem-se:+∞a

= +∞,−∞a

= −∞ ∀ a ≥ 0;

+∞a

= −∞,−∞a

= +∞ ∀ a ≤ 0;Pela sua importância, também consideramos a operação de potenciação:ab, a ≥ 0.Nos casos em que o expoente b é um natural, a potenciação não é mais do que uma multiplicaçãorepetida. As potências entre números reais denem-se como habitualmente. No caso em queintervêm os elementos +∞ e −∞, temos:

a+∞ =

0 se 0 ≤ a < 1

+∞ se a > 1; a−∞ =

1

a+∞ =

+∞ se 0 ≤ a < 10 se a > 1

;

(+∞)b =

0 se b < 0

+∞ se b > 0.Pelo exposto na secção anterior, verica-se a existência de omissões na denição das operaçõesalgébricas entre alguns elementos de R. Em R já conhecemos as seguintes situações em que asoperações não estão denidas:0

0e 00.Em R, quando não for possível determinar uma operação, diremos que estamos perante umaindeterminação.Denição 3.1.3 (Indeterminações). As indeterminações em R são dos tipos:

• ∞−∞+∞+ (−∞) = +∞−∞, +∞− (+∞) = +∞−∞;

• 0×∞0× (+∞), 0× (−∞);

• 1∞

1+∞, 1−∞ =1

1+∞ ;

• ∞0

(+∞)0.Existem outras indeterminações, mas que poderão ser analisadas como casos particularesdos dados na denição anterior. Esses casos, são as indeterminações dos tipos:EA EB 50 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADE• ∞

∞ ∞∞ =

1

∞ ×∞ = 0×∞;

• 0

0- já existente em R

0

0= 0× 1

0= 0×∞;

• 00 - já existente em R

00 =

(1

+∞

)0

=1

(+∞)0.Convém referir que, como sai da parte nal da secção anterior, não são indeterminações oscasos particulares seguintes:

0+∞ = 0, 0−∞ =1

0+∞ =1

0= +∞;

(+∞)+∞ = +∞; (+∞)−∞ =1

(+∞)+∞ =1

+∞ = 0.Noções de limitesNo que se segue, iremos considerar sempre funções reais de uma variável real com domínioscontidos em R. Por exemplo, f será uma função real de variável real com domínio Df ⊆ R.Denição 3.1.4. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, ouquando x tende para a, e escreve-selimx→a

f(x) = b,se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x (x ∈ Df ∧ |x− a| < δ ⇒ |f(x)− b| < ε) . (3.1.1)A denição anterior tem o signicado geométrico seguinte:

• para qualquer x ∈ Df numa qualquer vizinhança (proximidade) de x = a, no caso dehaver limite, vai existir sempre uma vizinhança de y = b que contém a imagem f(x).Desta forma, o conceito de limite vai ter relevância do ponto de vista microscópico, o qual emAnálise Matemática se diz ponto de vista innitesimal.Se não existir o número real b da Denição 3.1.4, vamos dizer que a função não tem limite noponto x = a. No caso de b = +∞ ou b = −∞, o limite não existe, mas, por vezes, comete-seum abuso de linguagem e de escrita dizendo que o limite é +∞ ou −∞. Tendo presente que setrata de um abuso de escrita, podemos adaptar a denição anterior para escrever o seguinte:EA EB 51 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADE• lim

x→af(x) = +∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ |x− a| < δ ⇒ f(x) >1

ε

)

;

• limx→a

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ |x− a| < δ ⇒ f(x) < −1

ε

)

.Observe-se que sobre o ponto x = a onde se calcula o limite não impusemos nenhuma condição.A ideia é que se possa sempre chegar até a por pontos interiores ao domínioDf . Isto correspondea dizer que a é um ponto de acumulação1 do domínio Df . Por isso, convém referir que o pontox = a não pertence necessariamente ao domínio Df . Se, porventura, a pertencer a Df , então ocálculo do limite resume-se a substituir na expressão designatória da função f a variável x pora:

limx→a

f(x) = f(a) ∀ a ∈ Df .Exemplo 3.1.1. Calcular os limites seguintes:a) lim

x→ 12

arccos(x); b) limx→0

tgh(x).Temos Da) = [−1, 1] e Db) = R, pelo que o ponto x = 0, onde se calcula cada limite, pertenceao domínio de ambas as funções. Então, temos:a) lim

x→ 12

arccos(x) = arccos

(1

2

)

=π

3e b) lim

x→0tgh(x) = lim

x→0

ex − e−x

ex + e−x=

e0 − e−0

e0 + e−0= 0.No caso do ponto x = a não pertencer ao domínio Df , o cálculo do limite já vai ser maiscomplicado. Aqui convém distinguir as situações em que a ∈ R e aquelas quando a = +∞ ou

a = −∞. Nestas últimas, temos de adaptar a Denição 3.1.4 para termos denições de limitesapropriadas.Denição 3.1.5. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f quando x tendepara +∞, e escreve-selim

x→+∞f(x) = b,se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ x >1

δ⇒ |f(x)− b| < ε

)

. (3.1.2)Diz-se que um número real b é o limite de uma função f quando x tende para −∞, e escreve-selim

x→−∞f(x) = b,se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ x < −1

δ⇒ |f(x)− b| < ε

)

. (3.1.3)1Diz-se que a é um ponto de acumulação do conjunto A ⊂ R, se todo o intervalo aberto (a − ε, a + ε),com ε > 0, contém, pelo menos, um ponto de A distinto de a.EA EB 52 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADEOs dois casos da denição anterior têm, respectivamente, os signicados geométricos seguintes:• para qualquer x ∈ Df innitamente grande positivo, no caso de haver limite, vai existirsempre uma vizinhança de y = b que contém a imagem f(x);• para qualquer x ∈ Df innitamente grande negativo, no caso de haver limite, vai existirsempre uma vizinhança de y = b que contém a imagem f(x).Rera-se que, aqui, não faz sentido dizer que +∞ ou −∞ são pontos de acumulação de Df , anão ser no sentido de se poder ir para +∞ ou −∞ por pontos interiores a Df .Se não existir o número real b da Denição 3.1.5, vamos dizer que a função não tem limite noponto x = a. No caso de b = +∞ ou b = −∞, o limite não existe, e novamente costuma-seabusar da linguagem e da escrita dizendo que o limite é +∞ ou −∞. Adaptando a deniçãoanterior, podemos escrever o seguinte:• lim

x→+∞f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ x >1

δ⇒ f(x) >

1

ε

)

;

• limx→−∞

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ x < −1

δ⇒ f(x) >

1

ε

)

;

• limx→−∞

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ x < −1

δ⇒ f(x) < −1

ε

)

;

• limx→+∞

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ x >1

δ⇒ f(x) < −1

ε

)

.Exemplo 3.1.2. Calcular os limites seguintes:a) lim

x→−∞(x+ 1)2; b) lim

x→+∞arccotg(x).Temos Da) = R e Db) = R, pelo que se podem calcular os limites quando x → ±∞. Temos,então:

a) limx→−∞

(x+ 1)2 = (−∞+ 1)2 = +∞ e b) limx→+∞

arccotg(x) = arccotg(+∞) = 0.No caso do ponto x = a, onde se pretende calcular o limite, não pertencer a Df mas pertencera R, pode acontecer uma situação completamente diferente. Por exemplo, no caso de existirempontos x ∈ Df tais que x > a e x < a. Quando se passa ao limite, convém saber por quevalores de x ∈ Df nos vamos aproximar do ponto x = a: se por valores x > a ou x < a. É que,dependendo da função, o resultado nal pode ser diferente se nos aproximarmos por valoresx > a ou x < a.Denição 3.1.6. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, ouquando x tende para a, por valores à direita de a e escreve-se

limx→a+

f(x) = b,EA EB 53 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADEse∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x (x ∈ Df ∧ a < x < a + δ ⇒ |f(x)− b| < ε) .Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, ou quando x tendepara a, por valores à esquerda de a e escreve-se

limx→a−

f(x) = b,se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x (x ∈ Df ∧ a− δ < x < a ⇒ |f(x)− b| < ε) .No caso de b = +∞ ou b = −∞, o limite respectivo não existe, e novamente costuma-se abusarda linguagem e da escrita dizendo que o limite é +∞ ou −∞. Tendo presente que se trata deum abuso de escrita, podemos escrever o seguinte:

• limx→a+

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ a < x < a+ δ ⇒ f(x) >1

ε

)

;

• limx→a+

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ a < x < a + δ ⇒ f(x) < −1

ε

)

;

• limx→a−

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ a− δ < x < a ⇒ f(x) >1

ε

)

;

• limx→a−

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ a− δ < x < a ⇒ f(x) < −1

ε

)

.Os limites da Denição 3.1.6 são designados por limites laterais, à direita e à esquerda, ehabitualmente denotam-se por f(a+) e f(a−), respectivamente:f(a+) = lim

x→a+f(x) ; f(a−) = lim

x→a−f(x) .Neste caso, vamos dizer que a função tem limite no ponto x = a e com valor y = b (a, b ∈ R),se f(a+) = f(a−) = b. Observe-se que poderão existir os limites laterais f(a+) e f(a−), masnão existir o limite de f em x = a, por se ter f(a+) 6= f(a−).Exemplo 3.1.3. Calcular f(0+) e f(0−) para a função

f(x) =

0 x < 01 x ≥ 0 .Temos f(0+) = limx→0+ f(x) = 1 e f(0−) = limx→0− f(x) = 0.PropriedadesProposição 3.1.1. O limite de uma função, quando existe, é único.EA EB 54 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADEDemonstração. Seja f uma função contínua de variável real e a um ponto de acumulação doseu domínio. Suponhamos quelimx→a

f(x) = b1 e limx→a

f(x) = b2.No caso de a, b1 e b2 serem nitos, sai de (3.1.1) que∀ ε > 0 ∃ δ1 > 0 : ∀ x (x ∈ Df ∧ |x− a| < δ1 ⇒ |f(x)− b| < ε) ,

∀ ε > 0 ∃ δ2 > 0 : ∀ x (x ∈ Df ∧ |x− a| < δ2 ⇒ |f(x)− b| < ε) .Tomando δ := minδ1, δ2, temos, pelas expressões anteriores,|x− a| < δ ⇒ |x− a| < δ1 ∧ |x− a| < δ2 ⇒ |b1 − b2| ≤ |b1 − f(x)|+ |f(x)− b2| < 2ε.Pela arbitrariedade de ε, podemos fazer ε → 0 e concluímos que b1 = b2. Nos casos de b1 e b2serem nitos e a = +∞ ou a = −∞, usamos (3.1.2) ou (3.1.3) e a demonstração é análoga. Se

b1 ou b2 é innito, usamos as correspondentes denições para estes casos e a demonstração é,ainda, análoga. Proposição 3.1.2. Sejam f e g duas funções reais de uma variável real e x = a um ponto deacumulação de Df ∩ Dg, ou eventualmente +∞ ou −∞. Suponhamos que existem os limitesde f e g quando x tende para a e se temlimx→a

f(x) = b, e limx→a

g(x) = c, com b, c ∈ R.Então, existem os limites de f + g, f − g, fg quando x tende para a e tem-se:limx→a

[f(x) + g(x)] = b+ c; limx→a

[f(x)− g(x)] = b− c; limx→a

f(x)g(x) = b c.Se c 6= 0, então também existe o limite de f/g quando x tende para a e tem-se:limx→a

f(x)

g(x)=

b

c.Demonstração. Nas condições do enunciado desta proposição, a propriedade do limite da somaou da diferença de duas funções f e g, resulta de

|f(x) + g(x)− (b+ c)| ≤ |f(x)− b|+ |g(x)− c|e|f(x)− g(x)− (b− c)| = |f(x)− b+ c− g(x)| ≤ |f(x)− b|+ |g(x)− c|.Para a prova do limite do produto, primeiro observamos que, pela propriedade anterior, pode-mos escreverlimx→a

f(x)g(x) = limx→a

[f(x)− b] [g(x)− c] + limx→a

cf(x) + limx→a

bg(x)− limx→a

bc.Como| [f(x)− b] [g(x)− c]− 0| = |f(x)− b||g(x)− c|,EA EB 55 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADE|cf(x)− cb| = |c||f(x)− b|, |bg(x)− bc| = |b||g(x)− c| e |bc− bc| = 0,temos

limx→a

f(x)g(x) = 0 + cb+ bc− bc = bc.A prova da propriedade do quociente, demonstra-se a partir da observação de quelimx→a

f(x)

g(x)= lim

x→af(x) lim

x→a

1

g(x)e de que sucientemente próximo de x = a

|c| < |c|2

+ |g(x)| ⇒∣∣∣∣

1

g(x)− 1

c

∣∣∣∣=

1

|cg(x)| |c− g(x)| ≤ 2

c2|g(x)− c|,o que conclui a demonstração. Os resultados expressos na proposição anterior poderão ainda ser generalizados para o caso de

f e ou g terem limites innitos, com excepção dos casos em que se obtêm indeterminações.Obviamente estes resultados são válidos no caso particular de f ou g serem funções constantes.Proposição 3.1.3. Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que D′g ⊆ Df , x = aum ponto de acumulação de Dg, eventualmente +∞ ou −∞, e b um ponto de acumulação de

Df , eventualmente +∞ ou −∞. Suponhamos que existem os limites de g quando x tende paraa e de f quando y tende para b e que se tem:

limx→a

g(x) = b e limy→b

f(y) = c.Então, existe o limite de f g quando x tende para a e tem-se:limx→a

(f g) (x) = c.Demonstração. Por denição de limite, temoslimy→a

f(y) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δf > 0 : ∀ y (y ∈ Df ∧ |y − b| < δf ⇒ |f(y)− c| < ε) . (3.1.4)Como D′g ⊆ Df , podemos tomar em particular y = g(x) em (3.1.4) e temos∀ ε > 0 ∃ δf > 0 : ∀ x (x ∈ Dg ∧ |g(x)− b| < δf ⇒ |f(g(x))− c| < ε) . (3.1.5)Por outro lado, também por denição de limite, temos

limx→a

g(x) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δg > 0 : ∀ x (x ∈ Dg ∧ |x− a| < δg ⇒ |g(x)− b| < ε) .Em particular,∃ δg > 0 : ∀ x (x ∈ Dg ∧ |x− a| < δg ⇒ |g(x)− b| < δf ) . (3.1.6)Conjugando (3.1.6) com (3.1.5), obtemos

∀ ε > 0 ∃ δg > 0 : ∀ x (x ∈ Dg ∧ |x− a| < δg ⇒ |f(g(x))− c| < ε) ,o que mostra o resultado pretendido. EA EB 56 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADEProposição 3.1.4. Sejam a ∈ R, e f , g, h funções reais de variável real cujos domínioscontenham uma vizinhança de x = a e tais que nessa vizinhança se tenhaf(x) ≤ g(x) ≤ h(x).Suponhamos que existem os limites de f e h quando x tende para a e se tem:

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = b.Então, também existe o limite de g quando x tende para a e tem-se:limx→a

g(x) = b.Demonstração. Sejam G(x) = g(x)−f(x) e H(x) = h(x)−f(x). Na vizinhança de x = a ondef(x) ≤ g(x) ≤ h(x), temos

0 ≤ G(x) ≤ H(x).Da igualdade dos limites de f(x) e h(x) em x = a, tem-selimx→a

H(x) = 0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x (x ∈ DH ∧ |x− a| < δ ⇒ |H(x)| < ε) .Da relação entre G(x) e H(x) acima temos então∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x (x ∈ DG ∧ |x− a| < δ ⇒ |G(x)| < ε) ⇔ lim

x→aG(x) = 0.Como consequência, o limite de g(x) é igual ao de f(x), e por consequência ao de h(x), todosem x = a. O resultado anterior ainda permite a generalização seguinte para limites innitos.Proposição 3.1.5. Sejam a ∈ R, e f , g funções reais de variável real cujos domínios conte-nham uma vizinhança de x = a e tais que nessa vizinhança se tenha

f(x) ≤ g(x).Entãolimx→a

f(x) = +∞ ⇒ limx→a

g(x) = +∞ e limx→a

g(x) = −∞ ⇒ limx→a

f(x) = −∞.Demonstração. No caso de a ∈ R, temos, pela denição de limite,limx→a

f(x) = +∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δf > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ |x− a| < δf ⇒ f(x) >1

ε

)

,

limx→a

g(x) = −∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δg > 0 : ∀ x

(

x ∈ Dg ∧ |x− a| < δg ⇒ g(x) < −1

ε

)

.Da relação f(x) ≤ g(x) numa vizinhança de x = a, tem-se∀ ε > 0 ∃ δf > 0 : ∀ x

(

x ∈ Dg ∧ |x− a| < δf ⇒ g(x) >1

ε

)

⇔ limx→a

g(x) = +∞,EA EB 57 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADE∀ ε > 0 ∃ δg > 0 : ∀ x

(

x ∈ Df ∧ |x− a| < δg ⇒ f(x) < −1

ε

)

⇔ limx→a

f(x) = −∞,o que conclui a demonstração. No caso de a = +∞ ou a = −∞, a demonstração é análoga. A proposição seguinte é muito importante não só para o cálculo de limites de expressões ondeintervém o logaritmo, como também nos facilita de sobremaneira a demonstração de algumaspropriedades dos limites.Proposição 3.1.6. Sejam g uma função real de variável real, x = a um ponto de acumulaçãode Dg, eventualmente +∞ ou −∞, tal que limx→a g(x) = b. Se c ∈ R+, entãolimx→a

[ln(g(x))] = ln[

limx→a

g(x)]

≡ ln(b).Demonstração. É uma consequência imediata da Proposição 3.1.3, fazendo aí f(y) = ln(y) ey = g(x). Proposição 3.1.7. Sejam f e g duas funções reais de uma variável real e x = a um ponto deacumulação de Df ∩ Dg, ou eventualmente +∞ ou −∞. Suponhamos que existem os limitesde f e g quando x tende para a e se tem

limx→a

f(x) = b, e limx→a

g(x) = c, com b, c ∈ R.Se f(x) > 0 para todo x ∈ Df , então também existe o limite de f g quando x tende para a etem-se:limx→a

[f(x)g(x)

]= bc.Demonstração. Usando a Proposição 3.1.6, temos

ln(

limx→a

[f(x)g(x)

])

= limx→a

ln([f(x)g(x)

])= lim

x→a[g(x) ln (f(x))]

= limx→a

g(x) ln(

limx→a

f(x))

= c ln(b) = ln(bc)

⇔ limx→a

[f(x)g(x)

]= bc,o que conclui a demonstração. Limites importantesNo cálculo de limites, usam-se muitas vezes resultados sobre limites já conhecidos. Pela suaimportância no cálculo de limites, vamos designar estes limites por limites notáveis.Exemplo 3.1.4. Mostremos que:

limx→0

senx

x= 1.De facto, pelas relações no círculo unitário, temos para 0 < x < π

2

sen(x) < x < tg(x) ⇔ 1 <x

sen(x)<

1

cos(x).EA EB 58 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADEEntão, pela Proposição 3.1.4, temoslimx→0+

1

cos(x)= 1 ⇒ lim

x→0+

senx

x= 1.Para −π

2< x < 0, temos

tg(x) < x < sen(x) ⇔ 1

cos(x)<

x

sen(x)< 1,o que implica, pela Proposição 3.1.4,

limx→0−

1

cos(x)= 1 ⇒ lim

x→0−

senx

x= 1.O limite pretendido sai então pela conjugação dos dois casos.Exemplo 3.1.5. Tem-se:

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= e.Este resultado demonstra-se de forma análoga ao de limites de sucessões e fazendo aproximarx (supostamente positivo, pois x → +∞) por uma sucessão de números racionais positivosnkn

tais que limn→+∞ kn = k 6= ∞ e, por m, fazer n → ∞. Pode-se fazer uma prova muitosimples deste limite usando técnicas que iremos abordar mais adiante no capítulo sobre o CálculoDiferencial.Exemplo 3.1.6. Mostremos quelimx→0

1− cos x

x2=

1

2.Com efeito, usando o limite notável do Exemplo 3.1.4, temos

limx→0

1− cosx

x2= lim

x→0

1− cos2 x

x2(1 + cos x)= lim

x→0

sen2x

x2× lim

x→0

1

1 + cosx= 12 × 1

2=

1

2.Exemplo 3.1.7. Vejamos que

limx→0

ln(x+ 1)

x= 1.De facto, usando a Proposição 3.1.6 e o limite notável do Exemplo 3.1.5, tem-se

limx→0

ln(x+ 1)

x= lim

x→0ln(x+ 1)

1x = ln

[

limx→0

(

1 +11x

) 1x

]

= ln(e1) = 1.Exemplo 3.1.8. Usando os limites notáveis anteriores, mostremos que:limx→0

tgx

x= 1; lim

x→0

ex − 1

x= 1.No primeiro caso, temos

limx→0

senx

x= 1 ⇒ lim

x→0

tgx

x= lim

x→0

senx

x× lim

x→0

1

cos x= 1× 1

cos 0= 1.No segundo, fazendo a mudança de variável y = ex−1 e observando que y → 0, quando x → 0,temos

limx→0

ex − 1

x= lim

y→0

y

ln(y + 1)=

1

limy→0

ln(y + 1)

y

=1

1= 1 .EA EB 59 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADECálculo de limitesNo cálculo de limites podemos usar a Proposição 3.1.2 sempre que não obtenhamos indetermi-nações. Mas, em muitas situações de cálculo de limites, surgem indeterminações. Ao processode resolver determinada indeterminação, vamos designar por levantamento da indetermi-nação.Regra 1 (levantamento de indeterminações do tipo ∞−∞). As indeterminações dos tipos∞−∞,podem, normalmente, ser levantadas pondo em evidência o termo de maior grau, o que emmuitas situações corresponde a simplicar a expressão. No caso dos limites em que intervêmraízes, basta multiplicar pelo conjugado.Exemplo 3.1.9. Calcular os limites seguintes:

limx−→0

(1

x2− 2

x

) e limx−→+∞

(√x+ 1−

√x)

.No primeiro exemplo, há que separar os casos em que x → 0− ou x → 0+, poislim

x−→0−

(1

x2− 2

x

)

= ∞+∞ = ∞ e limx−→0+

(1

x2− 2

x

)

= ∞−∞ (indeterminação).Para levantar a indeterminação, pomos em evidência o termo 1x2 , obtendo

limx−→0+

(1

x2− 2

x

)

= limx−→0+

1

x2(1− 2x) = ∞× 1 = ∞.Deste modo, podemos concluir que

limx−→0

(1

x2− 2

x

)

= ∞ .No segundo exemplo, começamos por multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado de √x+ 1−√x, i.e. por √x+ 1 +

√x, tendo

limx−→+∞

(√x+ 1−

√x)

= limx−→+∞

1√x+ 1 +

√x=

1

∞ = 0 .Regra 2 (levantamento de indeterminações do tipo 0×∞). As indeterminações dos tipos0×∞,

∞∞ ,

0

0,podem, normalmente, ser levantadas pondo em evidência os termos de maior grau. Em muitassituações, novamente, bastará simplicar a expressão dada.EA EB 60 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3. LIMITES e CONTINUIDADEExemplo 3.1.10. Calcular os limites seguintes:lim

x−→1−

1− x2

√1− x4

e limx−→+∞

32x − 5x+1

4x+1 + 22x.Comecemos por observar que no primeiro caso apenas podemos calcular o limite quando x → 1−,pois D = (−1, 1). Neste caso, temos

limx−→1−

1− x2

√1− x4

= limx−→1−

1− x2

√

(1− x2)(1 + x2)= lim

x−→1−

√

1− x2

1 + x2= 0 .No segundo exemplo, observamos que o termo com crescimento mais rápido, quando x → ∞,é 32x = 9x. Dividindo o numerador e o denominador por estes termo, temos

limx−→+∞

32x − 5x+1

4x+1 + 22x= lim

x−→+∞

9x − 5× 5x

4× 4x + 4x= lim

x−→+∞

1− 5×(59

)x

4×(49

)x+(49

)x =1− 0

0 + 0= ∞.Regra 3 (Levantamento de indeterminações do tipo 1∞). As indeterminações do tipo

1∞podem, normalmente, ser levantadas usando o limite notável de Neper.Exemplo 3.1.11. Calcular o limitelim

x−→+∞

(

1−√2

x3

)4x3

.Usando o limite Neperiano, temoslimy→∞

(

1 +1

y

)y

= e ⇒ limx−→+∞

(

1−√2

x3

)4x3

=

lim

x−→+∞

(

1 +1

− x3√2

)− x3√2

−4√2

= e−4√2.Como é evidente, sempre que seja possível, podemos usar os limites notáveis conhecidos paralevantar alguma indeterminação. Contudo, existem situações em que se torna muito difícilou bastante demorado o cálculo de um limite e o levantamento de uma indeterminação vaioriginar nova indeterminação. Para estas situações, temos ainda ao nosso dispor uma técnicamuito simples, mas muito poderosa, para o cálculo de limites. Esta técnica vai envolver oconceito de innitésimos da mesma ordem que denimos a seguir.Denição 3.1.7. Seja f uma função real de variável real e x = a um ponto de acumulação doseu domínio Df , eventualmente +∞ ou −∞. Diz-se que f é um innitésimo quando x tendepara a, se

limx→a

f(x) = 0.EA EB 61 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3.2 FUNÇÕES CONTÍNUASSejam, agora, f e g dois innitésimos quando x tende para a. Dizemos que f e g são innité-simos da mesma ordem, quando x tende para a, selimx→a

f(x)

g(x)= c, com c = constante 6= 0.No caso de c = 1, as funções f e g dizem-se assimptoticamente iguais, quando x tendepara a e escrevemos

f(x) g(x) quando x tende para a.Exemplo 3.1.12. Quando x tende para 0, temos as funções assimptoticamente iguais seguintes:sen(x) x; 1− cos(x)

x2

2; ln(1 + x) x; ex − 1 x.De facto, de acordo com os Exemplos 3.1.4, 3.1.5, 3.1.7 e 3.1.8, temos, respectivamente:

limx→0

senx

x= 1 ⇔ sen(x) x, quando x → 0;

limx→0

1− cosx

x2=

1

2⇔ 1− cosx

x2

2, quando x → 0;

limx→0

ln(1 + x)

x= 1 ⇔ ln(1 + x) x, quando x → 0;

limx→0

ex − 1

x= 1 ⇔ ex − 1 x, quando x → 0.A utilidade da proposição anterior no cálculo dos limites, reside na possibilidade de, num limite,podermos substituir uma função por outra mais simples e assimptoticamente igual, quando xtende para o ponto onde se está a calcular o limite, e, desse modo, simplicar o cálculo dolimite.Exemplo 3.1.13. Recorrendo a relações entre innitésimos da mesma ordem, calcule os limitesseguintes:

a) limx→0

sen(3x) sen(5x)

(x− x3)2; b) lim

x→0

1− e1−cos(x)

ln(1− x) + ln(1 + x).Usando o facto de seny y, quando y → 0, temos no primeiro caso

a) limx→0

sen(3x) sen(5x)

(x− x3)2= lim

x→0

3x× 5x

(x− x3)2= 15 lim

x→0

1

(1− x2)2= 15.No segundo exemplo, começamos por usar as propriedades da função logaritmo e o facto de

1 − cos(y) y2

2, quando y → 0. A seguir usamos ey − 1 y e ln(y + 1) y, ambas quando

y → 0, para obterlimx→0

1− e1−cos(x)

ln(1− x) + ln(1 + x)= lim

x→0

1− ex2

2

ln(1− x2)= lim

x→0

−x2

2

−x2=

1

2.EA EB 62 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3.2 FUNÇÕES CONTÍNUAS3.2 Funções contínuasOs grácos das funções elementares de que já falamos, no Capítulo 1 e na Secção 1 deste capítulo,exibem uma propriedade de grande importância em Análise Matemática, a continuidade. Aideia de continuidade está subjacente na utilização corrente que fazemos de grande parte damatemática elementar.Primeiras noçõesIntuitivamente, a noção de continuidade de uma função, digamos f , signica que uma pe-quena variação da variável independente x implica somente uma pequena variação na variáveldependente y = f(x).Denição 3.2.1. Sejam f uma função real de variável real, com domínio Df , e a um pontode acumulação2 de Df . Diz-se que a função f é contínua no ponto x = a, se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x (x ∈ Df ∧ |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε) .A continuidade da função f no ponto x = a tem o signicado geométrico seguinte:

• f(x) difere arbitrariamente muito pouco de f(a) desde que x esteja sucientemente pró-ximo de a.Se, na denição anterior, zermos a mudança de variável h = x−a, obtemos a forma equivalentede noção de continuidade:∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ h (a+ h ∈ Df ∧ |h| < δ ⇒ |f(a+ h)− f(a)| < ε) .Para denir a noção de continuidade, também podemos usar a noção de limite de uma funçãonum ponto. Deste modo, dizemos que a função f é contínua no ponto x = a, se existir o limite

limx→a f(x) e se se tiverlimx→a

f(x) = f(a).Vamos dizer que uma função é contínua, sem especicar onde, se for contínua em todos os pontosdo seu domínio. Neste caso, o gráco de uma tal função consiste de uma única curva3. Do estudoque zemos das funções elementares, podemos dizer que toda a função elementar é contínuano seu domínio de denição. Intuitivamente, percebe-se que esta armação é verdadeira. Noentanto, para sermos rigorosos, deveríamos demonstrá-la em cada caso de função elementar,recorrendo à denição anterior.Os pontos onde a função não for contínua, são designados por pontos de descontinuidade. Ospontos de descontinuidade de uma função podem ser classicados em três classes distintas:2Ver nota de roda-pé da página 52.3Desde que o seu domínio seja um conjunto conexo, isto é, um conjunto que não resulta da reunião disjuntade dois outros conjuntos sem fronteiras comuns.EA EB 63 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3.2 FUNÇÕES CONTÍNUAS• x = a é um ponto de descontinuidade de primeira espécie da função f , se existemos limites laterais:

f(a+) = limx→a+

f(x) e f(a−) = limx→a−

f(x);mas f(a+) 6= f(a−).• x = a é um ponto de descontinuidade de segunda espécie da função f , se, pelomenos, um dos limites laterais, f(a−) ou f(a+), não existe.• x = a é um ponto de descontinuidade removível da função f , se existem e são iguaisos limites laterais f(a+) e f(a−), mas são distintos de f(a).Existe, ainda, uma quarta classe de pontos de descontinuidade que, apesar de não ser muitocomum, tem também a sua relevância:• x = a é um ponto de descontinuidade oscilatória da função f , se em vizinhançasmuito próximas de a, f(x) oscila entre valores muito distintos.Exemplo 3.2.1. Mostrar que as funções seguintes têm, respectivamente, descontinuidades deprimeira espécie, de segunda espécie, oscilatória e removível no ponto x = 0:

a) f(x) = sinal(x) ≡

−1 se x < 00 se x = 01 se x > 0

b) g(x) =1

x2;

c) h(x) = sen

(1

x

)

; d) i(x) =sen(x)

x.De facto, temos:a) f(0−) = limx→0− = −1, f(0+) = limx→0+ = 1 e f(0) = 0, pelo que x = 0 é um ponto dedescontinuidade de 1a espécie da função f ;b) limx→0

1x2 = ∞ e x = 0 é um ponto de descontinuidade de 2a espécie da função g;c) limx→0 sen(1x

)= sen(∞) não existe já que, quando x → ∞, a função seno vai variandode forma contínua no intervalo [−1, 1], sem se xar. Logo x = 0 é um ponto de descontinuidadeoscilatória da função h;d) limx→0

senxx

= 1, pelo que x = 0 é um ponto de descontinuidade removível da função i.Neste caso, é possível redenir a função i de modo a remover este ponto de descontinuidade:i(x) =

senxx

x 6= 01 x = 0.PropriedadesA denição de continuidade que introduzimos na subsecção anterior, deve-se a Cauchy. Naproposição seguinte, apresentamos uma denição equivalente de continuidade, a qual se deve aHeine. Veja-se o Capítulo 2 para se perceber a analogia entre estas denições e as deniçõesde sucessão convergente segundo Cauchy e segundo Heine.EA EB 64 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3.2 FUNÇÕES CONTÍNUASProposição 3.2.1. Sejam f uma função real de variável real, com domínio Df , e a um pontode acumulação de Df . A função f é contínua no ponto x = a se e só se qualquer que seja asucessão un, de termos em Df , convergente para x = a, a sucessão f(un) converge para f(a).Demonstração. Suponhamos primeiro que f é uma função contínua no ponto x = a. Seja unuma sucessão numérica arbitrária tal que un → a quando n → +∞. Então, pela Denição 2.8.1,podemos escrever∀ δ > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒ |un − a| < δ. (3.2.7)Por outro lado, pela Denição 3.2.1, temos

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |xn − a| < δ ⇒ |f(xn)− f(a)| < ε.Combinando esta última expressão com (3.2.7), tem-se que f(un) converge para f(a), pois∀ ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒ |f(un)− f(a)| < ε.Reciprocamente, suponhamos que f(un) converge para f(a) sempre que un tenda para a eprovemos que f é contínua em x = a. Admitamos, com vista a um absurdo, que f não eracontínua em x = a. Isto queria dizer que existia um ε > 0 tal que a Denição 3.2.1 não eraválida se δ = 1, i.e.∃ u1 ∈ Df : |u1 − a| < 1 e |f(u1)− f(a)| > ε.Analogamente, existiria ε > 0 tal que a Denição 3.2.1 não era válida se δ = 1

2, i.e.

∃ u2 ∈ Df : |u2 − a| < 1

2e |f(u2)− f(a)| > ε.Por este processo, conseguimos construir uma sucessão un convergindo para a, mas cujas ima-gens f(un) vão permanecer afastadas de f(a). Portanto, assim não podíamos ter f(un) aconvergir para f(a), o que é um absurdo. Proposição 3.2.2. Sejam f e g funções reais de variáveis reais, com domínios Df e Dg,respectivamente. Suponhamos que f e g são funções contínuas num ponto de acumulação

a ∈ Df ∩Dg. Então, também, são contínuas, em x = a, as funções f + g, f − g, fg. Mais, seg(a) 6= 0, também é contínua, em x = a, a função f/g.Demonstração. É inteiramente análoga à demonstração da Proposição 3.1.2, bastando fazer aíb = f(a) e c = g(a). Proposição 3.2.3. Sejam f e g funções reais de variáveis reais, com domínios Df e Dg,respectivamente, e tais que D′

g ⊆ Df . Suponhamos que g é contínua num ponto de acumulaçãoa ∈ Dg e que f é contínua em d = g(a), sendo d um ponto de acumulação de Df . Então, afunção f g é contínua em x = a.Demonstração. Basta substituir b = g(a) e c = f(d) na demonstração da Proposição 3.1.3. Proposição 3.2.4 (Teorema do valor intermédio). Sejam f uma função contínua no seu domí-nio Df e a e b números reais pertencentes a um intervalo I ⊂ Df tais que f(a) 6= f(b). Então,para todo ξ entre f(a) e f(b), existe um ponto c entre a e b tal que ξ = f(c).EA EB 65 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 3.2 FUNÇÕES CONTÍNUASDemonstração. Seja ξ um número arbitrário entre f(a) e f(b) e consideremos o conjuntoS := x ∈ [a, b] : f(y) ≤ ξ ∀ y ∈ [a, x] .Observemos que S 6= ∅, pois, pelo menos, a ∈ S. Por outro lado, S é um conjunto majorado,já que s ≤ b para todo s ∈ S. Então existe o supremo do conjunto S, que designamos por c:

c := sup S. Pela denição de S, podemos mostrar quef(c) ≤ ξ.De facto, se c = a, então sai imediatamente da denição do conjunto S que f(c) ≤ ξ. Se

c > a, como f é contínua em c (porque c ∈ (a, b]) e f(y) ≤ ξ quando a ≤ y < c, temosf(c) ≤ ξ. Vejamos, agora, que não se pode ter f(c) < ξ. Se porventura f(c) < ξ, haveria, pelacontinuidade de f em c, pontos x ∈ (c, b] para os quais se teria f(y) < ξ em todo o intervalo[a, x]. Mas isto contraria o facto de c ser o supremo do conjunto S. Portanto, só pode serξ = f(c). Podemos escrever a armação da proposição anterior na forma simbólica seguinte:

∀ ξ (f(a) < ξ < f(b) ∨ f(b) < ξ < f(a)) ∃ c (a < c < b ∨ b < c < a) : ξ = f(c).O Corolário seguinte é um caso particular do resultado anterior e que é muito conveniente paralocalizarmos raízes de equações que não se resolvam facilmente.Corolário 3.2.1. Seja f uma função nas condições do Teorema do Valor Intermédio (Propo-sição 3.2.4) e tal quef(a)f(b) < 0 .Então a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo de extremos a e b.Demonstração. Suponhamos que f(a)f(b) < 0, isto é que f tem valor positivo em x = a enegativo em x = b, ou vice-versa. Portanto, a imagem ξ = 0 vai estar entre f(a) e f(b). Logo,pelo Teorema do Valor Intermédio, existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0. Exemplo 3.2.2. Mostrar que a função f(x) = sen(2x) + x tem, pelo menos, um zero nointervalo [−π

2, π2

]. De facto, tem-se f(−π

2

)= −π

2e f(π2

)= π

2, pelo que f

(−π

2

)× f

(π2

)< 0.Como f é contínua no intervalo [−π

2, π2

], resulta do Teorema de Rolle que existe, pelo menos,um zero da função f no intervalo [−π2, π2

].A proposição seguinte arma-nos algo que já experimentámos no estudo das funções elementa-res.Proposição 3.2.5. Seja f uma função real de variável real, com domínio Df , e injectiva numintervalo I ⊆ Df . Se f é contínua, então a função inversa f−1 também é contínua (em f(I)).Demonstração. Suponhamos que f contínua num número arbitrário a ∈ I. Então, pela Propo-sição 3.2.1, tem-se para qualquer sucessão un de termos em I queun → a ⇒ f(un) → f(a).EA EB 66 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 3Consideremos um número arbitrário em f(I) e seja vn uma sucessão qualquer de termos emf(I) tal que

vn → b.Por outro lado, podemos garantir que existem uma sucessão αn e um número α em I tais quevn = f(αn) e b = f(α).Usando a injectividade de f , podemos inverter estas relações e obter

αn = f−1(vn) e α = f−1(b).Pela continuidade de f em x = a tem-se necessariamente queαn → α,pois, caso contrário, f(αn) 9 f(α). Portanto, mostramos que

vn → b ⇒ f−1(vn) → f−1(b),ou seja que f−1 é contínua em y = b. Proposição 3.2.6. Sejam f uma função real de variável real, com domínio Df , e I ⊆ Df umconjunto limitado e fechado. Se f é contínua em I, então o conjunto f(I) também é limitadoe fechado.Demonstração. A demonstração deste resultado envolve noções topológicas que não fazem partedo âmbito deste curso. Ver, por exemplo, Campos Ferreira, p. 319. Proposição 3.2.7 (Teorema de Weierstrasse). Sejam f uma função real de variável real, comdomínio Df , e I ⊆ Df um conjunto limitado, fechado e não vazio. Se f é contínua em I, entãoa função f tem máximo e mínimo em I.Demonstração. Consideremos o conjuntoS := y ∈ R : y = f(x), x ∈ I .O facto de I ser um conjunto limitado implica que S também o é. Então, podemos consideraro supremo de S:

M := sup S.Se não existirem números x em I tais que f(x) = M , então f(x) < M em I. Por consequência,a funçãog(x) :=

1

M − f(x)é contínua em I. Contudo, para qualquer ε > 0, existe sempre algum x ∈ I tal queM−f(x) < ε,porque M é o supremo de S. Deste modo,g(x) >

1

ε,o que signica que g(x) não é limitada, contradizendo o facto de g ser contínua (conformeProposição 3.2.6). Portanto, tem de existir um ponto x ∈ I tal que f(x) = M , isto é, M é omáximo de f em I. De forma análoga se mostra que f tem um mínimo m em I. EA EB 67 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 33.3 Ficha de exercícios no 3Limites1. Calcule os limites seguintes:a) lim

x→0

1−√1− x2

x2; b) lim

x→1

2x2 − 3x+ 1

x− 1; c) lim

h→0

(t+ h)2 − t2

h;

d) limx→+∞

(x2 + 2

2x2 + 1

)x2

; e) limx→+∞

x[ln(x+ 1)− ln x] ; f) limx→0

1

xln

(√

1 + x

1− x

)

.2. Calcule os limites seguintes:a) lim

x→0

tg x

sen x; b) lim

x→0

x

arcsen(2x); c) lim

x→1

1− x2

sen(πx);

d) limx→0

arctg(2x)

3x; e) lim

x→0

cos(x)− cos(2x)

1− cos(2x); f) lim

x→π4

sen(x)− cos(x)

4x− π;

g) limx→π

4

sen(x)− cos(x)

1− tg(x); h) lim

x→0(1 + sen x)

1x ; i) lim

x→0x sen

(1

x

)

.3. Estude os limites seguintes em função de a:a) lim

x→a

|x|x

; para a = −1; a = 0; a = −∞; a = +∞ ;

b) limx→a

x4 − 1

x3 − 1; para a ∈ [−∞,+∞] .4. Recorrendo a relações entre innitésimos da mesma ordem, calcule os limites seguintes:

a) limx→1

ln x

1− x; b) lim

x→0

cos(x)− cos(2x)

1− cos(2x);

c) limx→0

ln(3 + x) + ln(3− x)− 2 ln 3

x2; d) lim

x→0

arcsen(

x√1−x2

)

ln(1− x);

e) limx→0

arctg(2x)

sen(3x); f) lim

x→0

arctg(

x2

1−x2

)

1− e1−cos(x);

g) limx→0

ln(1− x)

e arcsen(x) − 1; h) lim

x→0

arcsen(

x2√1−x2

)

x (1− e sen(x)).EA EB 68 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 35. Calcule f(a+) e f(a−), se:a) f(x) = sinal(x2 + x), a = −1; b) f(x) = sinal

(x2 + 3x+ 2

x− 1

)

, a = −1;

c) f(x) = x− [x], a = 2; d) f(x) = sinal([x] + 1), a = −1;ondesinal(x) =

−1 se x < 00 se x = 01 se x > 0

e [x] designa a parte inteira do número x.Continuidade1. Estude as funções seguintes quanto à continuidade:a) f(x) =

x+ 1

x3 + x; b) f(x) =

√x− 1

x2 + x;

c) f(x) =x

|x| ; d) f(x) =|x2 − 1|x2 − 1

.2. Determine os valores de a de modo que as funções seguintes sejam contínuas em x = 0:a) f(x) =

3x− a

1− xx ≤ 0

x− 1

x+ 1x > 0

; b) f(x) =

sen(ax)

xx 6= 0

1 x = 0

.3. Determine os valores de a de modo que as funções seguintes sejam contínuas no pontoindicado:a) f(x) =

x2 − 4

x− 2x 6= 2

a x = 2

; b) f(x) =

x sen

(1

x

)

x 6= 0

a x = 0

;

c) f(x) =

arcsen(

x2√1−x2

)

x (1− e sen(x)), x 6= 0

a , x = 0

; d) f(x) =

1− e1−cos(x)

ln(1− x) + ln(1 + x), x 6= 0

a , x = 0

.4. Determine as descontinuidades das funções seguintes e classique-as quanto ao tipo:a) f(x) =

senx

|x| ; b) f(x) = cos(π

x

)

; c) f(x) = e−1x2 ;

d) f(x) =(1 + x)5 − 1

x; e) f(x) = arctg

(1

x

)

; f) f(x) = e1

1+x .EA EB 69 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 35. Mostre que a equaçãosen3x+ cos3 x = 0tem, pelo menos, uma raiz no intervalo aberto (0, π).6. Mostre que a função f(x) = 2x3 − x2 − 8x + 4 tem, pelo menos, um zero no intervalo

[0, 1].7. Prove que a equação x+ senh(x) = 0 tem, pelo menos, uma raiz real.8. Mostre que a equaçãox7 − 2x6 + 3x5 − 4x4 + 5x3 − 6x2 + 2 = 0tem, pelo menos, uma raiz no intervalo [0, 1].9. Prove que todo o polinómio de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real (∗).10. Mostre que a equação x3 + 3x− 1 = 0 tem uma raiz no intervalo (0, 1).11. Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] tal que f([a, b]) ⊂ [a, b]. Prove que ftem, pelo menos, um ponto xo no intervalo [a, b] (∗).

EA EB 70 c© HBO, 2012/2013

Capítulo 4Cálculo Diferencial4.1 DerivadasConsideremos uma função real de variável real f , com domínio Df , e seja x = a um pontointerior ao conjunto Df . Designamos por razão incremental da função f no ponto x = a aexpressão seguinte:

f(x)− f(a)

x− a.A razão incremental dá-nos a taxa de variação da função f no intervalo de extremos x e a.Geometricamente, a razão incremental é interpretada como sendo a tangente trigonométricado ângulo denido pela recta secante ao gráco da função f nos pontos x e a e pelo eixo dasabcissas.Denição 4.1.1. Sejam f uma função real de variável real, com domínio Df , e x = a umponto interior ao conjunto Df . Chama-se derivada da função f no ponto x = a, e denota-sepor f ′(a), ao limite seguinte, quando existe:

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a.Portanto, a derivada de uma função num ponto interior ao seu domínio, é o limite da razãoincremental da função nesse ponto. Geometricamente, a derivada f ′(a) é interpretada comosendo o declive da recta tangente ao gráco da função f no ponto x = a. Deste modo, f ′(a)representa a tangente trigonométrica do ângulo θ denido pela recta tangente ao gráco dafunção f no ponto x = a e pelo eixo das abcissas.Como a noção de derivada faz intervir o conceito de limite, também aqui vamos ter as noçõesde derivadas laterais.Denição 4.1.2. Sejam f uma função real de variável real, com domínio Df , e x = a umponto interior a Df . Chamam-se, respectivamente, derivada lateral à esquerda de f e derivadalateral à direita da função f no ponto x = a aos limites seguintes, quando existem:

f ′(a+) = limx→a+

f(x)− f(a)

x− ae f ′(a−) = lim

x→a−

f(x)− f(a)

x− a.71

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIAL

a x

f(a)

f(x)

0

f(x) − f(a)

x − aFigura 4.1: Razão incremental.No caso da denição anterior, vamos dizer que a função tem derivada no ponto x = a, sef ′(a+) = f ′(a−). Neste caso, ou se, no da denição precedente, existir f ′(a), dizemos que afunção f é derivável no ponto x = a.Se, na denição de derivada, zermos a mudança de variável x = a + h, obtemos a fórmulaseguinte para f ′(a), que, por vezes, é mais prática:

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h. (4.1.1)Vamos dizer que uma função é derivável, sem especicar onde, se for derivável em todos ospontos interiores ao seu domínio. Neste caso, podemos denir a função derivada da função fpor f ′(x). Em muitas situações podemos usar a notação seguinte para a função derivada dafunção f :

d f

d x;onde d f corresponde ao diferencial de f : ∆ f(x) = f(x) − f(a); e d x ao diferencial de x:

∆ x = x − a. Por vezes, os diferenciais ∆ f e ∆ x são designados por acréscimos de f ex, respectivamente, no intervalo de extremos x e a. Usando esta notação, pode-se, por vezes,denir a noção de derivada de uma função f num ponto x = a, recorrendo à seguinte expressão:

f ′(a) = lim∆x→0

f(a+∆ x)− f(a)

∆ x.Uma consequência da denição de derivada, é que toda a função derivável é contínua.Proposição 4.1.1. Seja f uma função real de variável real, com domínio Df . Se f é derivávelnum ponto x = a interior a Df , então f é contínua em x = a.Demonstração. Suponhamos que f é uma função derivável no ponto x = a. Então, pelaDenição 4.1.1, temos

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a(x− a) → f ′(a)× 0 = 0, quando x → a.EA EB 72 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALEntão limx→a f(x) = f(a) e, portanto, f é contínua no ponto x = a. No entanto, a recíproca da proposição anterior não é verdadeira, como mostra o contra-exemplodo exercício seguinte.Exemplo 4.1.1. Mostre que, no ponto x = 0, a função f(x) = |x| é contínua, mas não éderivável.4.2 Regras de derivaçãoNesta secção estabelecemos as regras que nos irão permitir calcular as derivadas das funçõeselementares já estudadas.Proposição 4.2.1.1. Se f(x) = c, onde c = constante, então f ′(x) = 0.2. Se f(x) = xn, onde n ∈ N0, então f ′(x) = nxn−1.3. Se f(x) = ax, onde a ∈ R+, então f ′(x) = ln(a) ax.4. Se f(x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).5. Se f(x) = cos(x), então f ′(x) = − sen(x).Demonstração. Usemos na demonstração a denição de derivada expressa em (4.1.1). Seja xum ponto arbitrário interior ao domínio da função f . 1. Se f(x) = c, temosf ′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

c− c

h= 0.2. Se f(x) = xn, temos, pela utilização do Binómio de Newton

(x+ h)n =n∑

k=0

n!

k!(n− k)!xn−khk

=xn + nxn−1h+ n(n− 1)xn−2h2 + · · ·+ n(n− 1)x2hn−2 + nxhn−1 + hn ,quef ′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)n − xn

h= lim

h→0

(nxn−1 + n(n− 1)xn−2h+ · · ·+ n(n− 1)x2hn−3 + nxhn−2 + hn−1

)= nxn−1.3. Se f(x) = ax, onde a = constante > 0, temos

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h= ax lim

h→0

ah − 1

h

= ln(a) ax limh→0

eln(a)h − 1

ln(a)h= ln(a) ax × 1 = ln(a) ax.EA EB 73 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIAL4. Se f(x) = sen(x), usando a fórmula do seno da soma de ângulos, temosf ′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

sen(x+ h)− sen(x)

h

= limh→0

sen(x) cos(h) + cos(x) sen(h)− sen(x)

h

=sen(x) limh→0

cos(h)− 1

h+ cos(x) lim

h→0

sen(h)

h=sen(x)× 0 + cos(x)× 1 = cos(x).5. Se f(x) = cos(x), usando a fórmula do coseno da soma de ângulos, temos

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

cos(x+ h)− cos(x)

h

= limh→0

cos(x) cos(h)− sen(x) sen(h)− cos(x)

h

=cos(x) limh→0

cos(h)− 1

h− sen(x) lim

h→0

sen(h)

h=cos(x)× 0− sen(x)× 1 = − sen(x),o que conclui a demonstração. Em particular, sai da propriedade 3 da proposição anterior quese f(x) = ex, então f ′(x) = ex.Na proposição seguinte estabelecemos as regras que nos permitem determinar as derivadas desomas, produtos e quocientes de funções, quando se conhece a derivada de cada função factor.Proposição 4.2.2. Sejam f(x) e g(x) duas funções reais de variável real, deriváveis e comfunções derivadas f ′(x) e g′(x). Então:1. (f + g)(x) é derivável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x);2. (f g)(x) é derivável e (f g)′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x);3. se g(x) 6= 0, (f/g)(x) é derivável e

(f

g

)′(x) =

f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)

[g(x)]2.Demonstração. Nesta demonstração vamos usar, também, a denição de derivada expressa em(4.1.1). Seja x um ponto arbitrário interior à intercepção dos domínios das funções f e g. Paraa derivada da soma, temos

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x+ h)− (f + g)(x)

h= lim

h→0

f(x+ h) + g(x+ h)− f(x)− g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)− f(x)

h+ lim

h→0

g(x+ h)− g(x)

h= f ′(x) + g′(x).EA EB 74 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALPara a derivada do produto, vem(fg)′(x) = lim

h→0

(fg)(x+ h)− (fg)(x)

h= lim

h→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

[f(x+ h)− f(x)] g(x+ h) + f(x) [g(x+ h)− g(x)]

h

= limh→0

f(x+ h)− f(x)

hlimh→0

g(x+ h) + f(x) limh→0

g(x+ h)− g(x)

h=f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).Para a derivada do quociente, admitimos que g(x) 6= 0 e usamos a regra de derivação do produtopara escrever

(f

g

)′(x) =

(

f × 1

g

)′(x) = f ′(x)

(1

g

)

(x) + f(x)

(1

g

)′(x).Por outro lado,

(1

g

)′(x) = lim

h→0

(1g

)

(x+ h)−(

1g

)

(x)

h= lim

h→0

1g(x+h)

− 1g(x)

h=

1

g(x)limh→0

g(x)− g(x+ h)

hg(x+ h)

=− 1

g(x)limh→0

g(x+ h)− g(x)

hlimh→0

1

g(x+ h)= − g′(x)

[g(x)]2.Então (

f

g

)′(x) = f ′(x)

1

g(x)− f(x)

g′(x)

[g(x)]2=

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2,o que termina a demonstração. Em particular, usando 1 e 2 da proposição anterior, obtemos para a diferença que:

(f − g)(x) é derivável e (f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x) .Por outro lado, conjugando a derivada da função constante com 2 da proposição anterior, temospara qualquer constante c ∈ R

(c f)(x) é derivável e (c f)′(x) = c f ′(x) .Com o auxílio das duas proposições precedentes, vamos conseguir provar as regras de deriva-ção das funções elementares que resultam de operações algébricas entre funções estudadas naProposição 4.2.1.Proposição 4.2.3. 1. Se f(x) = x−n, onde n ∈ N0, então f ′(x) = −nx−(n+1);2. Se a = constante > 0 e f(x) = a−x, então f ′(x) = − ln(a) a−x;3. Se f(x) = tg(x), então f ′(x) = sec2 x;4. Se f(x) = cotg(x), então f ′(x) = −cosec2(x);EA EB 75 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIAL5. Se f(x) = sec(x), então f ′(x) = tg(x) sec(x);6. Se f(x) = cosec(x), então f ′(x) = −cotg(x) cosec(x);7. Se f(x) = senh(x), então f ′(x) = cosh(x);8. Se f(x) = cosh(x), então f ′(x) = senh(x).Demonstração. Usando a regra de derivação do quociente e os factos já demonstrado de que1′ = 0, (xn)′ = nxn−1 e (ax)′ = ln(a) ax, temos

(x−n)′ =

(1

xn

)′=

1′ × xn − 1× (xn)′

(xn)2=

−nxn−1

x2n= − n

xn+1= −nx−(n+1),

(a−x)′ =

(1

ax

)′=

1′ × ax − 1× (ax)′

(ax)2=

− ln(a) ax

a2x= − ln(a)

ax= − ln(a) a−x.Também pela regra de derivação do quociente e usando os factos já demonstrados de que

( sen(x))′ = cos(x) e (cos(x))′ = − sen(x), e, ainda, a Fórmula Fundamental da Trigonometria,temos[ tg(x)]′ =

(sen(x)

cos(x)

)′=

(sen(x))′ cos(x)− sen(x)(cos(x))′

[cos(x)]2

=sen(x) sen(x)− cos(x)[− cos(x)]

cos2(x)=

1

cos2(x)= sec2(x),

[ cotg(x)]′ =

(cos(x)

sen(x)

)′=

(cos(x))′ sen(x)− cos(x)( sen(x))′

[ sen(x)]2

=− sen(x) sen(x)− cos(x) cos(x)

sen2(x)= − 1

sen2(x)= −cosec2(x),

[sec(x)]′ =

(1

cos(x)

)′=

1′ × cos(x)− 1× (cos(x))′

[cos(x)]2

=0× cos(x) + sen(x)

cos2(x)=

sen(x)

cos(x)

1

cos(x)= tg(x) sec(x),

[ cosec(x)]′ =

(1

sen(x)

)′=

1′ × sen(x)− 1× ( sen(x))′

[ sen(x)]2

=0× sen(x)− cos(x)

sen2(x)= − cos(x)

sen(x)

1

sen(x)= −cotg(x)cosec(x).Pela regra de derivação da soma e da diferença e usando os factos já demonstrados de que

(ex)′ = ex e (e−x)′ = −ex, temos[ senh(x)]′ =

(ex − e−x

2

)′=

1

2

[(ex)′ − (e−x)′

]=

1

2

(ex + e−x

)= cosh(x),

[cosh(x)]′ =

(ex + e−x

2

)′=

1

2

[(ex)′ + (e−x)′

]=

1

2

(ex − e−x

)= senh(x),EA EB 76 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALo que conclui a demonstração. Na proposição seguinte vamos provar o resultado que nos irá permitir estabelecer as regras dederivação para as funções inversas das funções elementares.Proposição 4.2.4 (Teorema de derivação da função inversa). Sejam f uma função real devariável real, injectiva num intervalo I ⊆ Df e f−1 a função inversa de f , quando restringidaao intervalo I, f−1 : f(I) → I. Se f é derivável num ponto a interior ao intervalo I e f ′(a) 6= 0,então f−1 é derivável no ponto b = f(a) e tem-se:(f−1)′(b) =

1

f ′(f−1(b)).Demonstração. Seja a um ponto arbitrário interior ao intervalo I ⊆ Df . É claro que a imagem

b = f(a) pertence ao interior do conjunto f(I) ⊆ D′f . Como f é uma função injectiva, existea inversa f−1 : f(I) → I e tem-se a = f−1(b). Consideremos a função que dene a razãoincremental em x = a,

R(x) =f(x)− f(a)

x− a,e a função que resulta da composição desta última com a função inversa f−1, i.e.

G(y) = (R f−1)(y) = R(f−1(y)) =f(f−1(y))− f(f−1(b))

f−1(y)− a=

y − b

f−1(y)− f−1(b).Pelo resultado do limite da composição de duas funções (Proposição 5.1.3), temos

limy→b

G(y) = limx→a

R(x) = f ′(a).Então, pela relação entre G e a razão incremental de f−1 e como f ′(a) 6= 0, temos(f−1)′(b) = lim

y→bf−1(y) = lim

y→b

1

G(y)=

1

f ′(a)=

1

f ′(f−1(b))e podemos concluir que f−1 é derivável no ponto y = b. Para usarmos este resultado no cálculo de derivadas de inversas de funções elementares, fazemosprimeiramente(f−1)′(y) =

1

f ′(x)e, só depois, é que passamos à variável original através da relação1

f ′(x)=

1

f ′(f−1(y)).Na prática, torna-se mais útil fazer x = f−1(y), o que equivale a fazer y = f(x), e aplicamos oresultado anterior na forma seguinte:

x′ =1

y′;voltando no nal à variável original. Assim, com o auxílio da proposição anterior e das regrasde derivação já demonstradas, podemos estabelecer as regras de derivação para as inversas dasfunções elementares conhecidas.EA EB 77 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALProposição 4.2.5. 1. Se f(x) = x1k , onde k ∈ Z \ 0, então f ′(x) =

1

kx

1−kk ;2. Se f(x) = loga(x), onde a ∈ R+, então f ′(x) =

1

ln a

1

x;3. Se f(x) = arcsen(x), então f ′(x) =

1√1− x2

;4. Se f(x) = arccos(x), então f ′(x) = − 1√1− x2

;5. Se f(x) = arctg(x), então f ′(x) =1

1 + x2;6. Se f(x) = arccotg(x), então f ′(x) = − 1

1 + x2.Demonstração. Se f(x) = x

1k , fazemos

y = x1k ⇔ x = yke pelo Teorema de Derivação da Função Inversa (TDFI),y′ =

1

x′ .Se k ∈ Z+, i.e. k ∈ N, temos x′ = (yk)′ = kyk−1. Se k ∈ Z−, então existe n ∈ N tal quek = −n e temos x′ = (yk)′ = (y−n)′ = −ny−n−1 = kyk−1. Em qualquer dos casos obtemos

y′ =1

x′ =1

kyk−1=

1

kxk−1k

=1

kx

1−kk .Se f(x) = loga(x), onde a ∈ R+, fazemos

y = loga(x) ⇔ x = ay.Sabendo que (ay)′ = ln(a) ay, vem, pelo TDFI,y′ =

1

x′ =1

ln(a) ay=

1

ln(a) x.No caso de f(x) = arcsen(x) ou f(x) = arccos(x), fazemos

y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y) ou y = arccos(x) ⇔ x = cos(y) .Aplicando o TDFI, obtemos, usando no nal a Fórmula Fundamental da Trigonometria,y′ =

1

x′ =1

[sen(y)]′=

1

cos(y)=

1√

1− sen2(y)=

1√1− x2

,

y′ =1

x′ =1

[cos(y)]′=

1

− sen(y)= − 1

√

1− cos2(y)= − 1√

1− x2.EA EB 78 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALFinalmente, para f(x) = arctg(x) ou f(x) = arccotg(x), fazemosy = arctg(x) ⇔ x = tg(y) ou y = arccotg(x) ⇔ x = cotg(y) .Pelo TDFI, vemy′ =

1

x′ =1

[tg(y)]′=

1

sec2(y)=

1

1 + tg2(y)=

1

1 + x2,

y′ =1

x′ =1

[cotg(y)]′=

1

−cosec2(y)= − 1

1 + cotg2(y)= − 1

1 + x2.Nestes dois últimos casos, usamos, na parte nal, as relações 1 + tg2(x) = sec2(x) e 1 +

cotg2(x) = cosec2(x). Observe-se que, da propriedade 1 da proposição anterior, se pode tirar, quando k ∈ N, a relaçãoseguinte para derivadas de raízes:se f(x) = k√x, então f ′(x) =

1

kk√xk−1

.Existem, no entanto, situações em que não é possível obter uma expressão explícita para ainversa de uma função. Nestes casos, podemos ainda determinar formalmente a derivada dafunção inversa. De facto, se f é uma função dada pela relação y = f(x) e admite função inversa,mas não é possível obter uma expressão explícita sua, então pode-se escrever a derivada da suainversa do modo abreviado seguinte, mas bastante sugestivo:d x

d y=

1d yd x

.Exemplo 4.2.1. Determine a derivada dx

dyda função inversa x = x(y) da função y = sen(x)−

ex−3.4.3 Fórmulas de derivaçãoNesta secção vamos apresentar a tabela com as fórmulas de derivação de todas as funçõeselementares que estudamos. Aqui, vamos admitir que o argumento das funções elementarespode ser uma função real de variável real qualquer. Deste modo, subentendemos que as funçõesque iremos analisar são funções compostas de, pelo menos, duas funções reais de variável real.Proposição 4.3.1 (Teorema de derivação da função composta). Sejam f e g duas funções reaisde variável real tais que Df ⊆ D′g. Se g é derivável no ponto x interior a Dg e f é derivável noponto y = g(x) interior a Df , então a função composta f g é derivável em x e tem-se:

(f g)′(x) ≡ [f(g(x))]′ = f ′(g(x)) g′(x).

EA EB 79 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALDemonstração. Seja x um ponto interior a Dg. Como Df ⊆ D′g, a derivabilidade de g, y = g(x)é um ponto interior a Df . Dado que g é uma função derivável no ponto x, podemos denir umanova função

v =g(x+ h)− g(x)

h− g′(x) .De modo análogo, sabendo que f é uma função derivável no ponto y = g(x), denimos outrafunção

w =f(y + k)− f(y)

k− f ′(y) .Observamos que v depende de h e w depende de k, tendo-se

limh→0

v = 0 e limk→0

w = 0 .Pelas denições de v e w, podemos escreverg(x+ h) = g(x) + [g′(x) + v]h e f(y + k) = f(y) + [f ′(y) + w]k .Usando a primeira destas equações e depois a segunda com k = [g′(x) + v]h, temos

f(g(x+ h))) = f(g(x) + [g′(x) + v]h) = f(g(x)) + [f ′(g(x)) + w][g′(x) + v]h .

⇔f(g(x+ h))− f(g(x))

h= [f ′(g(x)) + w][g′(x) + v] .Passando ao limite h → 0,

limh→0

f(g(x+ h))− f(g(x))

h= [f ′(g(x)) + lim

h→0w][g′(x) + lim

h→0v] = f ′(g(x))g′(x) .Observe-se que, no último passo, se usa o facto de h → 0 implicar k = [g′(x)+v]h → 0, quando

h → 0, pelo que limh→0w = 0. Grosso modo, podemos dizer que a derivada da composição de duas funções é igual ao produtoda derivada da função que está por fora (da composição) pela derivada da que está por dentro.Exemplo 4.3.1. Determine a derivada da função seguinte no ponto x = 0:f(x) = g( sen2(x))− g(cos2(x));sabendo que g é uma função derivável no ponto x = 0.Como corolário das fórmulas de derivação demonstradas anteriormente e do teorema de deriva-ção da função composta, podemos apresentar a Tabela 4.1 com todas as fórmulas de derivaçãodas funções elementares. Nesta tabela, u e v são duas funções reais de variável real, comdomínios tais que as funções elementares envolvidas estão bem denidas. Rera-se que as fór-mulas compreendidas entre os números 28 e 37 são muito pouco utilizadas, razão pela qual sãoomitidas pela maioria dos autores.EA EB 80 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIAL1. c′ = 0, c = constante 2. x′ = 13. (u± v)′ = u′ ± v′ 4. (c u)′ = c u′, c = constante5. (u v)′ = u′v + u v′ 6. (uv

)′=

u′v − u v′

v27. (ur)′ = r ur−1u′, r ∈ R 8. ( n√u)′ =

u′

nn√un−19. (eu)′ = u′eu 10. (au)′ = auu′ ln a, a ∈ R

+11. (ln(u))′ = u′

u12. (loga(u))′ = 1

ln a

u′

u13. (uv)′ = uvv′ ln(u) + v uv−1u′14. ( sen(u))′ = u′ cos(u) 15. (cos(u))′ = −u′ sen(u)16. ( tg(u))′ = u′

cos2(u)= u′ sec2(u) 17. ( cotg(u))′ = − u′

sen2(u)= −u′ cosec2(u)18. (sec(u))′ = u′ sec(u) tg(u) 19. ( cosec(u))′ = −u′ cosec(u) cotg(u)20. (arcsen(u))′ = u′√

1− u221. (arccos(u))′ = − u′√

1− u222. (arctg(u))′ = u′

1 + u223. (arccotg(u))′ = − u′

1 + u224. (arcsec(u))′ = u′

u√1 + u2

25. (arccosec(u))′ = − u′

u√1− u226. ( senh(u))′ = u′ cosh(u) 27. (cosh(u))′ = u′ senh(u)28. ( tgh(u))′ = u′

cosh2(u)= u′ sech2(u) 29. ( cotgh(u))′ = − u′

senh2(u)= −u′ cosech2(u)30. ( sech(u))′ = −u′ tgh(u) sech(u) 31. ( cosech(u))′ = −u′ cotgh(u) cosech(u)32. (argsh(u))′ = u′√

u2 + 133. (argch(u))′ = u′√

u2 − 134. (argtgh(u))′ = u′

1− u235. (argcotgh(u))′ = u′

1− u236. (argsech(u))′ = − u′

u√1− u2

37. (argcosech(u))′ = − u′

u√1 + u2Tabela 4.1: Fórmulas de derivação.EA EB 81 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIAL4.4 Teoremas principaisNos teoremas principais que iremos considerar aqui nesta secção, vão ter papel de relevo asfunções que são contínuas num intervalo fechado [a, b], com a < b, e deriváveis no intervaloaberto (a, b). Comecemos por estabelecer um resultado cuja interpretação geométrica é trivial.Proposição 4.4.1. Seja f uma função real de variável real, derivável num ponto x = a interiora Df . Se f tem um extremo local em x = a, então f ′(a) = 0.Demonstração. Suponhamos que f tem um extremo local num ponto x = a interior a Df .Comecemos por denir uma nova funçãog(x) =

f(x)− f(a)

x− a, x 6= a

f ′(a), x = a .Pela derivabilidade de f em x = a, existe f ′(a), e, como limx→a g(x) = f ′(a), a função gé contínua no ponto x = a. Queremos mostrar que f ′(a) = 0. Pela denição de g, istoé equivalente a mostrar que g(a) = 0. Mostremos que não pode acontecer g(a) > 0 nemg(a) < 0. Suponhamos, com vista a um absurdo, que g(a) > 0. Então, pela continuidade deg em x = a, existe um intervalo de centro x = a onde g(x) > 0. Nesse intervalo temos então,pela denição de g,

f(x) > f(a) se x > a ou f(x) < f(a) se x < a .Mas isto contradiz o facto de x = a ser um extremo local de f . Portanto, não se pode terg(a) > 0. De modo análogo se mostra que também não se pode ter g(a) < 0. Fica, portanto,demonstrado que f ′(a) = 0. A proposição anterior dá-nos uma condição necessária da existência de extremo, masque não é suciente, como iremos ver mais adiante.Proposição 4.4.2 (Teorema de Rolle). Seja f uma função real de variável real, contínua nointervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b), tal que f(a) = f(b). Então existe,pelo menos, um ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.Demonstração. Supondo que f é uma função contínua num intervalo fechado e limitado [a, b],então, pelo Teorema de Weiertrasse (Proposição 5.2.7), f tem máximo e mínimo neste intervalo.Se o máximo e o mínimo são atingidos nos extremos do intervalo [a, b], então, dado que f(a) =f(b), f é uma função constante neste intervalo. Neste caso, f ′(x) = 0 em todos os pontos dointervalo [a, b]. Se f(x) 6= constante no intervalo [a, b], então f tem um máximo ou um mínimo,ou ambos, no intervalo aberto (a, b). Seja c um ponto de (a, b) onde f tem um máximo ou ummínimo. Então, pelo resultado anterior, f ′(c) = 0. O teorema de Rolle1 tem muita importância, não só porque nos possibilita demonstrar ou-tros teoremas fundamentais do cálculo diferencial, mas também porque nos permite mostrar aunicidade de zeros de uma função, ou raízes de uma equação, num dado intervalo.1Michel Rolle (1652-1719), matemático francês natural de Ambert.EA EB 82 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALCorolário 4.4.1 (Teorema de Rolle). Suponhamos que as condições do Teorema de Rolle sãovericadas. Então:1. Entre dois zeros consecutivos de uma função derivável num intervalo aberto, existe, pelomenos, um zero da função derivada;2. Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função derivável num intervalo aberto,não pode haver mais do que um zero da função.Demonstração. Seja f uma função nas condições do Teorema de Rolle. Se x1, x2 ∈ (a, b)são dois zeros consecutivos de f , aplicamos o Teorema de Rolle no intervalo [x1, x2], dado quef(x1) = f(x2), e mostramos que existe, pelo menos, um c ∈ (x1, x2) ⊂ (a, b) tal que f ′(c) = 0.Para mostrar a segunda armação, supomos que entre dois zeros consecutivos da derivada,digamos c1 e c2, existiam dois zeros da função, digamos x1 e x2. Admitindo que x1 < x2, tem-sec1 < x1 < x2 < c2. Aplicando o Teorema de Rolle no intervalo [x1, x2], mostra-se que existe umc ∈ (x1, x2) tal que f ′(c) = 0. Temos então três zeros da derivada pela ordem c1 < c < c2. Istocontraria o facto de c1 e c2 serem dois zeros consecutivos da derivada. Exemplo 4.4.1. Mostre que, independentemente do valor de c, a equação x3+3x+ c = 0 tem,quanto muito, uma raiz no intervalo [−1, 1].Em determinadas situações, podemos recorrer ao Teorema do Valor Intermédio para mostrarque a derivada de uma função tem, pelo menos, um zero num dado intervalo. Neste sentido, seassumirmos que a derivada f ′ de uma função f é continua num intervalo [a, b] e se f ′(a) f ′(b) < 0,então existe, pelo menos, um zero da função derivada f ′(x) no intervalo [a, b]. Este resultadoé, por vezes, designado na literatura como o Teorema de Darboux2.A derivada de uma função, calculada num ponto, reecte propriedades da função apenas nesseponto. Por outro lado, a razão incremental de uma função num ponto vai reectir propriedadesda função no intervalo onde a razão incremental é considerada.Proposição 4.4.3 (Teorema de Lagrange). Seja f uma função real de variável real, contínuano intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). Então existe, pelo menos, umponto c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c).Demonstração. Consideremos a função

g(x) =f(b)− f(a)

a− bx− f(x) .Pelas hipóteses feitas sobre f , também a função g é contínua em [a, b] e derivável em (a, b).Além disso, tem-se

g(a) =af(b)− bf(a)

b− a= g(b) .2Jean Gaston Darboux (1842-1917), matemático francês natural de Nimes.EA EB 83 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALEntão, pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal queg′(c) = 0 ⇔ f(b)− f(a)

b− a− f ′(c) = 0 ⇔ f(b)− f(a)

b− a= f ′(c) ,o que conclui a demonstração. O Teorema de Lagrange3 é o principal resultado do Cálculo Diferencial e é frequentementedesignado por teorema do valor médio da derivada. Em alguma literatura, este resultado édesignado por teorema dos acréscimos nitos.Exemplo 4.4.2. Usando o Teorema de Lagrange, mostre que

|sen(x)| ≤ |x| para todo x ∈ R.O Teorema de Lagrange tem consequências imediatas no estudo da monotonia das funçõesque deixaremos para uma secção mais adiante. Por outro lado, tem também a extensão queapresentamos a seguir e que, como iremos ver, tem muita utilidade em exercícios práticos decálculo de limites.Proposição 4.4.4 (Teorema de Cauchy). Sejam f e g duas funções reais de variável real,contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto (a, b). Então existe, pelomenos, um ponto c ∈ (a, b) tal queg′(c) [f(b)− f(a)] = f ′(c) [g(b)− g(a)] .Demonstração. Denamos a função

h(x) = g(x)[f(b)− f(a)]− f(x)[g(b)− g(a)] .Pelas hipóteses feitas sobre as funções f e g, também a função h é contínua em [a, b] e derivávelem (a, b). Por outro lado,h(a) = f(b)g(a)− f(a)g(b) = h(b) .Então, pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que

h′(c) = 0 ⇔g′(c)[f(b)− f(a)]− f ′(c)[g(b)− g(a)] = 0

⇔g′(c)[f(b)− f(a)] = f ′(c)[g(b)− g(a)] ,o que conclui a demonstração. Em particular, sempre que as divisões sejam possíveis, a fórmula do valor médio expressa noTeorema de Cauchy, pode ser escrita na forma seguinte:f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g′(c).Uma das consequências mais importante do Teorema de Cauchy, é uma regra que nos permitecalcular a grande maioria dos limites que dêem indeterminações dos tipos 0/0.3Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático francês nascido em Itália com o nome de Giuseppe LodovicoLagrangia.EA EB 84 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALProposição 4.4.5 (Regra de Cauchy). Sejam f e g duas funções reais de variável real, deri-váveis num intervalo aberto (a, b), com a < b e possivelmente innitos, e x0 um dos extremosdo intervalo (a, b). Suponhamos que:1. g′(x) 6= 0 para todos x ∈ (a, b);2. limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) = 0 ou limx→x0

g(x) = ∞.Então,limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x), (4.4.2)desde que o limite do segundo membro exista em R.Demonstração. Sejam f e g duas funções nas condições do enunciado e x0 um dos extremos dointervalo aberto (a, b). Comecemos por considerar o caso x0 = a. Se x0 = b, a demonstração éanáloga. Suponhamos que

limx→x0

f ′(x)

g′(x)= L . (4.4.3)Se L ∈ R, existem ε > 0 e 0 < δ < b− a tais que

L− ε ≤ f ′(x)

g′(x)≤ L+ ε ∀ x ∈ (a, a+ δ) .Então, pelo Teorema de Cauchy, resulta que

L− ε ≤ f(x)− f(y)

g(x)− g(y)≤ L+ ε ∀ x, y ∈ (a, a+ δ), x 6= y . (4.4.4)Se limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0, então fazendo y → 0 na relação anterior, temos

L− ε ≤ f(x)

g(x)≤ L+ ε ∀ x ∈ (a, a + δ) ,o que implica (4.4.2). No caso de limx→a g(x) = ∞, deduz-se da relação (4.4.4) que

(L− ε)

(

1− g(y)

g(x)

)

≤ f(x)

g(x)− f(y)

g(x)≤(

1− g(y)

g(x)

)

(L+ ε) (4.4.5)para todos x, y ∈ (a, a+ δ), com x 6= y. Para y ∈ (a, a+ δ), observamos quelimx→a

g(x) = ∞ ⇒ limx→a

f(y)

g(x)= 0 e lim

x→a

g(y)

g(x)= 0 .Tomando os limites superior e inferior em (4.4.5) e usando as relações anteriores, obtemos

L− ε ≤ lim infx→a

f(x)

g(x)≤ lim sup

x→a

f(x)

g(x)≤ L+ ε .Como ε é arbitrário, sai desta última relação

L = lim infx→a

f(x)

g(x)= lim sup

x→a

f(x)

g(x)⇒ L = lim

x→a

f(x)

g(x)EA EB 85 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALe, como consequência, obtemos (4.4.2).Finalmente, se L = ∞, verica-se, a partir de (4.4.3), que f ′(x) 6= 0 em (a, a + λ) paraalgum 0 < λ < b− a. Então este caso reduz-se ao precedente trocando f com g. Observe-se que, sendo x0 um dos extremos do intervalo (a, b), os limites da Regra de Cauchysão, na verdade, limites laterais. Observe-se que, como x0 pode eventualmente ser innito, aRegra de Cauchy permanece ainda válida no caso delimx→∞

f(x) = limx→∞

g(x) = 0 ou limx→∞

f(x) = limx→∞

g(x) = ∞ .Outra regra muito importante, mas que é aplicável somente às indeterminações do tipo 0/0 éa Regra de L'Hôpital4.Proposição 4.4.6 (Regra de L'Hôpital). Sejam f e g duas funções reais de variável real,contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto (a, b), com a < b, e seja x0um dos extremos do intervalo [a, b]. Suponhamos que f(x0) = g(x0) = 0 e g′(x0) 6= 0. Então,limx→x0

f(x)

g(x)=

f ′(x0)

g′(x0).Demonstração. Sejam f e g duas funções nas condições do enunciado e x0 um dos extremosdo intervalo aberto (a, b). Se f(x0) = g(x0) = 0 e g′(x0) 6= 0, então, pelo Teorema de Cauchy,temos

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)= lim

x→x0

f(x)−f(x0)x−x0

g(x)−g(x0)x−x0

=f ′(x0)

g′(x0),o que conclui a demonstração. A Regra de L'Hôpital admite, ainda, a extensão g′(x0) = 0 e f ′(x0) 6= 0. Neste caso, olimite é innito. Observe-se que a Regra de L'Hôpital não é igual à Regra de Cauchy - ashipóteses são diferentes. Esta duas regras dão-nos uma das ferramentas mais poderosas daAnálise Matemática para o cálculo de limites de quocientes entre funções elementares. Para ocálculo dos limites, iremos designá-las no único nome de Regra de Cauchy-L'Hôpital.Exemplo 4.4.3. Usando a Regra de Cauchy-L'Hôpital, calcule o limite seguinte:

limx→0

x− tg(x)

x− sen(x).As indeterminações 0 × ∞ e ∞ − ∞, que podem surgir no cálculo de limites de um produto

f(x)g(x) ou de uma soma f(x) + g(x), reduzem-se às indeterminações 0/0 ou ∞/∞ pelastransformaçõesf(x) + g(x) = f(x)g(x)

(1

g(x)+

1

f(x)

)

, f(x)g(x) =f(x)

1/g(x)=

g(x)

1/f(x).Deste modo, podemos usar a Regra de Cauchy-L'Hôpital para a grande maioria das indetermi-nações.4Guillaume François Antoine (1661-1704), Marquês de L'Hôpital, matemático francês nascido em Paris.EA EB 86 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALExemplo 4.4.4. Usando a Regra de Cauchy-L'Hôpital, calcule o limite seguinte:lim

x→+∞x

1x .Apesar da Regra de Cauchy-L'Hôpital ser muito ecaz no cálculo de limites, existem situaçõesem que a sua aplicação não permite calcular o limite pretendido.Exemplo 4.4.5. Mostre que o limite seguinte não pode ser calculado pela Regra de Cauchy-L'Hôpital. Calcule-o usando outros métodos.

limx→+∞

x− sen(x)

x+ cos(x).4.5 Aplicações geométricasA principal aplicação geométrica das derivadas é o estudo gráco de funções. Vamos ver queos resultados da secção anterior nos vão permitir obter informação, por exemplo, relativamenteà monotonia ou aos extremos de funções.Denição 4.5.1. Seja f uma função real de variável real, com domínio Df , derivável numponto x = a interior a Df e seja b = f(a). A equação da recta tangente ao gráco dafunção f no ponto de coordenadas (a, b) é:

y = f(a) + f ′(a)(x− a).Chama-se normal ao gráco da função f no ponto de coordenadas (a, b), à recta que passanesse ponto e é perpendicular à recta tangente ao gráco de f em (a, b). A equação da rectanormal é dada por:y = f(a)− 1

f ′(a)(x− a), f ′(a) 6= 0.Se f ′(a) = 0, a recta normal é x = a.Exemplo 4.5.1. Determine as equações das rectas tangente e normal ao gráco da função

f(x) =√1− x2 no ponto x =

√2/2.Como já abordamos anteriormente, o Teorema de Lagrange, que vimos numa secção anterior,vai-nos permitir obter informação sobre a monotonia de uma função.Corolário 4.5.1 (Teorema de Lagrange). Suponhamos que as condições do Teorema de La-grange são vericadas.1. Se f ′(x) = 0 em todos os pontos de (a, b), então f(x) = constante em (a, b).2. Se f ′(x) > 0 em todos os pontos de (a, b), então f é estritamente crescente em (a, b).3. Se f ′(x) < 0 em todos os pontos de (a, b), então f é estritamente decrescente em (a, b).EA EB 87 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALDemonstração. Sejam x1 e x2 pontos arbitrários do intervalo (a, b) tais que x1 < x2. PeloTeorema de Lagrange,∃ c ∈ (x1, x2) :

f(x2)− f(x1)

x2 − x1= f ′(c) .Se f ′(x) = 0 em todos os pontos de (a, b), então f(x2) = f(x1) para quaisquer pontos x1, x2 ∈

(a, b). Logo, f é uma função constante em (a, b). No caso de f ′(x) > 0 em todos os pontosde (a, b), então f(x2) > f(x1) para quaisquer pontos x1, x2 ∈ (a, b) com x2 > x1. Portanto,f é estritamente crescente em (a, b). Por m, se f ′(x) < 0 em todos os pontos de (a, b), entãof(x2) < f(x1) para quaisquer pontos x1, x2 ∈ (a, b) com x2 > x1. Assim, f é estritamentedecrescente em (a, b). Exemplo 4.5.2. Determine os intervalos de monotonia da função f(x) = x−2 sen(x) denidaem [0, 2π].No corolário seguinte mostramos como o Teorema de Lagrange pode, ainda, ser aplicado paraaveriguar da natureza dos pontos extremos de uma função.Corolário 4.5.2 (Teorema de Lagrange). Seja f uma função real de variável real, contínuanum intervalo fechado [a, b] e derivável em todos os pontos do intervalo aberto (a, b), com apossível excepção de um ponto x = c.1. Suponhamos que f ′(x) > 0 para todos x < c e f ′(x) < 0 para todos x > c. Então f temum máximo relativo em x = c.2. Suponhamos que f ′(x) > 0 para todos x > c e f ′(x) < 0 para todos x < c. Então f temum mínimo relativo em x = c.Demonstração. Comecemos por mostrar a primeira armação. Se f ′(x) > 0 para todos x < c,então, pela Proposição anterior, f é estritamente crescente num intervalo (c− ε, c), com ε > 0.Do mesmo modo, se f ′(x) < 0 para todos x > c, então f é estritamente decrescente numintervalo (c, c+ ε), com ε > 0. Por consequência, f tem um máximo relativo em x = c. Para asegunda armação, prosseguimos com o mesmo raciocínio. Neste caso, se f ′(x) > 0 para todosx > c, então, pela Proposição anterior, f é estritamente crescente num intervalo (c, c + ε),com ε > 0. Se f ′(x) < 0 para todos x < c, então f é estritamente decrescente num intervalo(c− ε, c), com ε > 0. Por consequência, f tem um mínimo relativo em x = c. Exemplo 4.5.3. A partir da resolução do exercício anterior, determine os extremos da funçãof(x) = x− 2 sen(x) denida em [0, 2π].Contudo, verica-se que o estudo dos extremos de muitas função, a partir do Teorema deLagrange, torna-se demasiado moroso ou, mesmo, não pode ser feito. Por outro lado, sabemosque a Proposição 4.4.1 nos dá uma condição necessária da existência de extremo. No entanto,este resultado não é suciente para a existência de extremos, como mostra o contra-exemplodo exercício seguinte.Exemplo 4.5.4. Verique que, para f(x) = x3, f ′(0) = 0, mas f não tem nenhum extremoem x = 0.EA EB 88 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 4. CÁLCULO DIFERENCIALPortanto, existem pontos onde a derivada de uma função se anula, mas que não são pontosextremos da função. Os pontos onde a derivada de uma função se anular, vão ser designadospor pontos de estacionariedade da função. Os pontos de estacionariedade de uma funçãoque não forem pontos extremos vão ser pontos onde a concavidade do gráco da função passade côncava a convexa, ou vice-versa. Estes pontos, são designados por pontos de inexão dafunção.Denição 4.5.2. Sejam f uma função real de variável real, com domínio Df , derivável numponto x = a interior a Df . Diz-se que f é uma função convexa no ponto x = a, se, numavizinhança de x = a, o gráco de f está por cima da recta tangente ao gráco da função de fem x = a. Se, numa vizinhança de x = a, o gráco de f está por baixo da recta tangente aográco da função de f em x = a, diz-se que f é uma função côncava em x = a.Por vezes dizemos que uma função tem a concavidade voltada para cima num ponto,querendo signicar que ela é convexa nesse ponto. De igual modo, diz-se que uma função tema concavidade voltada para baixo num ponto, com o signicado de que ela é côncava nesseponto.Proposição 4.5.1. Seja f uma função real de variável real, com domínio Df , e 2-vezes deri-vável num intervalo I estritamente contido em Df .1. Se f ′′(x) > 0 para x ∈ I, então f é convexa em I.2. Se f ′′(x) < 0 para x ∈ I, então f é côncava em I.Demonstração. Consideremos a fórmula de Taylor de ordem n = 2 num ponto arbitrário x = ainterior a I:f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +

f ′′(a)

2(x− a)2 + r2(x) , onde lim

x−→a

r2(x)

(x− a)2= 0 ;e a recta tangente ao gráco de f em x = a:

yT = f(a) + f ′(a)(x− a).Se f ′′(a) > 0, então f(x) > yT próximo de x = a, pelo que f é convexa em x = a. Já sef ′′(a) < 0, então f(x) < yT próximo de x = a, pelo que f é côncava em x = a. Da proposição anterior, sai que, se x = c for um ponto interior a um intervalo [a, b] ⊆ Df talque f ′′(x) > 0 para a < x < c e f ′′(x) < 0 para c < x < b, ou vice-versa, então x = c é umponto de inexão da função f . Em particular, podemos dizer que, se x = c é um ponto deinexão da função f , então f ′′(c) = 0.A proposição seguinte mostra como, conjugando a Proposição 4.4.1 e a Fórmula de Taylor, épossível obter uma condição suciente de máximo ou mínimo de uma função, assim como deponto de inexão.Proposição 4.5.2. Seja f uma função real de variável real, com domínio Df , n-vezes derivávelno ponto x = a interior a Df . Suponhamos que f (n)(a) é, das sucessivas derivadas de f , aprimeira que não se anula no ponto x = a, isto é:

f ′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0 e f (n)(a) 6= 0.Nestas condições:EA EB 89 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 41. se n é par, f tem um extremo em x = a, que será máximo se f (n)(a) < 0, ou mínimo sef (n)(a) > 0;2. se n é ímpar, f tem um ponto de inexão em x = a.Demonstração. Consideremos a fórmula de Taylor de ordem n de f em x = a:

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n + rn(x) ,onde

limx−→a

rn(x)

(x− a)n= 0 .Suponhamos que f ′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0 e f (n)(a) 6= 0. Então a fórmula de Taylor anteriorreduz-se a

f(x) = f(a) +f (n)(a)

n!(x− a)n + rn(x) .Se n é par, temos (x− a)n > 0. Se, além disso, f (n)(a) > 0, então f(x) > f(a), pelo que x = aé um ponto de mínimo para f . No caso de f (n)(a) < 0, vem f(x) < f(a), pelo que x = a é umponto de máximo para f . Se n é ímpar, o sinal de (x− a)n será positivo se x > a e negativo se

x < a e, por consequência, o sinal de f(x)−f(a) vai depender do sentido pelo qual se aproximade x = a. Portanto, x = a é um ponto de inexão. A primeira armação da proposição anterior, permite-nos, também, dizer que, se n ≥ 2, a funçãof é convexa ou côncava em x = a, consoante f (n)(a) > 0 ou f (n)(a) < 0, respectivamente. Estaarmação dá-nos uma condição suciente da convexidade ou concavidade de uma função numponto, independentemente da função ter extremo ou ponto de inexão nesse ponto.Exemplo 4.5.5. Determine a natureza dos pontos de estacionariedade da função f(x) = e−x2.Indique os intervalos de convexidade e concavidade.Denição 4.5.3. Seja f uma função real de variável real denida num intervalo não limitadoda forma (a,+∞) ou (−∞, a). Diz-se que a recta y = mx+p é uma assímptota não verticalao gráco da função f quando x tende para +∞, se

f(x) = mx+ p+ r(x), limx→+∞

r(x) = 0.É uma assímptota não vertical ao gráco da função f quando x tende para −∞, sef(x) = mx+ p+ r(x), lim

x→−∞r(x) = 0.A assímptota y = mx+ p, a existir, é única e tem-se:

m = limx→±∞

f(x)

x, p = lim

x→±∞[f(x)−mx] ;com x a tender para +∞ ou −∞ no caso de ser assímptota quando x tende para +∞ ou −∞.Por complementaridade, diz-se que a recta x = a é uma assímptota vertical quando x tendepara a, se vericar, pelo menos, um dos casos seguintes:

limx→a−

f(x) = ∞; limx→a+

f(x) = ∞.Exemplo 4.5.6. Determine as assímptotas da função f(x) = e−x2.EA EB 90 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 44.6 Ficha de exercícios no 4Derivadas1. Determine as derivadas das funções seguintes usando a denição:a) f(x) = 2x− 1 ; b) g(x) = 2x3 ; c) h(x) = ln(3x+ 1) ; c) i(x) = sen(x2) .2. Determine as derivadas laterais das funções seguintes, nos pontos indicados, usando adenição:

a) f(x) = |x| , x = 0; b) g(x) = x |x| , x = 0 ;

c) h(x) = x− [x] , x = 2 ; d) i(x) = x [x] , x = 2 ;3. Deduzir as fórmula aproximadas seguintes (para os valores de |∆x| pequenos em compara-ção com x) e com essas fórmulas calcule os valores aproximados das expressões indicadas:a) √x+∆x '√x+

∆x

2√x;

√5,

√15,

√70;b) ln(x+∆x) ' ln(x) +

∆x

x; ln(2), ln(3), ln(10);c) arctg(x+∆x) ' arctg(x) +

∆x

1 + x2; arctg

(1

2

)

, arctg

(3

2

).4. Usando o Teorema de Derivação da Função Inversa, determine as derivadas das funçõesseguintes:a) f(x) = 3

√2x− 3 ; b) g(x) = log10(x− 1) ; c) h(x) = arctg(3x+ 1) ;

d) i(x) = argsh(5x− 2) ; e) j(x) = arcsen

(x− 1

x+ 1

)

; f) k(x) =√

ln(x+ 1) .5. Usando o Teorema de Derivação da Função Composta, determine as derivadas das funçõesseguintes:a) f(x) = sen(ln x) ; b) g(x) = xx2−1 ; c) h(x) = ln(cosh x) ;

d) i(x) = cot(sec(5x− 2)) ; e) h(x) = arcsen(cosx) ; f) k(x) =√

ln(x2 + 1) .6. Sabendo que f é uma função derivável, calcule o valor da derivada de g(x) no ponto x = 0,se:a) g(x) = f( tg2x) ; b) g(x) = f( senh2x) + f(cosh2 x) ; c) g(x) = ef( sen

2x) .

EA EB 91 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 47. Determine o maior domínio onde cada uma das funções seguintes é derivável e, nessedomínio, indique uma expressão para a respectiva função derivada:a) f(x) =

x

1 + e1x

; b) g(x) = e−|x| ; c) h(x) =ln(x+ 1)

x;

d) i(x) =

x

1+e1x

x 6= 0

0 x = 0; e) j(x) =

ln(x+1)

xx 6= 0

1 x = 0; f) g) k(x) =

sen xx

x 6= 01 x = 0 .8. Usando a tabela das derivadas, determine as derivadas das funções seguintes:

a) f(x) =4

34

√

x− 1

x+ 2; b) g(x) = tg(x)− x ; c) h(x) =

x+ cosx

1− sen x;

d) i(x) = sen x cosx tg x ; e) j(x) = e arctg x ; f) k(x) = cosh(cos x) senh(senx) ;

g) l(x) = (ln x)x ; h) m(x) = cos(arcsenx) ; i) n(x) = xxx−1

.Teoremas principais1. Verique que o Teorema de Rolle não é válido para a função f(x) =3√x2 no intervalo

[−1, 1]. Como explica este facto?2. Prove que a função x3 + 3x− 1 tem uma única raíz real e que esta pertence ao intervalo(0, 1).3. Prove, usando o Teorema de Lagrange, que:

a) ln(1 + x)− ln x <1

x, ∀ x > 0 ; b) tg x ≥ x , ∀ x ∈

[

0,π

2

)

;

c) lnx < x , ∀ x ≥ 1 ; d) cosx ≤ 1 + |x| , ∀ x ∈ R .4. Calcule os limites seguintes, usando a Regra de Cauchy-L'Hospital:a) lim

x→0

2x − 3x

x; b) lim

x→0+

(1

xe−

1x

)

; c) limx→0+

x(1− lnx)

ln(1− x);

d) limx→+∞

x1x ; e) lim

x→0

1− cos(x2)

x3 sen x; f) (∗) lim

x→+∞

[3√x6 + 3x5 − x(1 + x)

]

;

g) limx→0

sen x+ cosx− ex

ln(1 + x2); h) lim

x→0(cotx) senx ; i) lim

x→0+xx .5. Mostre que os limites:

a) limx→0

x2 sen(1x

)

senx; b) lim

x→+∞

x− senx

x+ senx;

c) limx→+∞

ex + e−x

ex − e−x; d) lim

x→+∞

x1/2 + x−1/2

x1/2 − x−1/2;EA EB 92 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 4não podem ser calculados pela Regra de Cauchy-L'Hospital. Calcule-os por outros méto-dos.Aplicações geométricas1. Estude as funções seguintes quanto à monotonia e extremos:a) f(x) =

x

x2 + 1; b) g(x) =

1

1 + sen2x; c) h(x) = e−x2

;

d) i(x) = |x2 − 5x+ 6| ; e) j(x) = |x| 1

e|x−1| ; f) k(x) = senx+ cos x .2. Considere a curva:y = x3 − 6x2 + 8x .a) Mostre que a recta y = −x é tangente a esta curva.b) Determine o ponto de tangência.c) A recta y = −x é tangente à curva em mais algum ponto?3. Determine as equações das rectas tangentes e das rectas normais às curvas seguintes nospontos indicados:a) y = arcsenx , x0 =

1

2; b) y = x2 − cosx , x0 =

π

2;c) y = x+ senx cosx , x0 =

π

2; d) y = 4x3 + senx , x0 =

π

4;e) y = arctgx , x0 = 0 ; f) y =

1 + cosx

eπ− ex−π + x− 1 , x0 = π .4. Faça o estudo completo das funções seguintes, tendo em conta, sempre que seja possível,o domínio, os zeros, a paridade, os pontos de descontinuidade, a monotonia, os extremos,o sentido das concavidades, as assímptotas e conclua com a representação gráca:

a) y =x

ex; b) y =

sen(2x)

1− cos(2x); c) y =

x2 − 7x+ 7

x2 − 3x+ 3;

d) y = arctg(x+√x2 − 1) ; e) y = | senx|+ x ; f) y = e

− 11−x2 ;

g) y = x+1

x; h) y =

1

senx+ cosx; i) y = tgh(x) .

EA EB 93 c© HBO, 2012/2013

Capítulo 5Primitivas5.1 IntroduçãoDenição 5.1.1. Seja f uma função denida num intervalo I de R. Chama-se função primi-tiva de f em I ou, somente, primitiva de f , a qualquer função g denida em I que veriquea equação

g′(x) = f(x) ∀ x ∈ I.Dizemos que uma função f é primitivável em I, se existir, pelo menos, uma função g : I → Rtal que g′ = f . Denotamos o conjunto de todas as primitivas de uma função f (num intervaloI) por um dos símbolos seguintes:

∫

f(x) dx ou P [f(x)] (com x ∈ I).Quando se utiliza a notação ∫ f(x) dx para a primitiva de uma função f(x), muitos autoresdesignam as primitivas por integrais indenidos. Resulta desta denição que a primitiva deuma função f , denida num intervalo I de R, é derivável em todos os pontos interiores a I e,em cada ponto extremo deste intervalo, tem derivada lateral nita.Proposição 5.1.1. Seja F uma primitiva de uma função f num intervalo I de R. Então, oconjunto de todas as primitivas de f em I é constituído por todas as funções da formaF (x) + c, c = constante.Demonstração. Se g(x) = F (x)+c, onde c é uma constante, então g′(x) = (F (x) + c)′ = F ′(x).Logo g(x) = F (x) + c é, de facto, uma primitiva de f(x). Se h(x) for outra primitiva de f(x),temos, por denição, h′(x) = f(x). Como também F ′(x) = f(x), vem h′(x) = F ′(x), pelo que

g(x) difere de F (x) apenas de uma constante. Portanto, todas as primitivas de f(x) têm aforma F (x) + c. No caso particular de se saber o valor da primitiva num ponto do intervalo I, então tal primitivaé única.Proposição 5.1.2. Sejam x0 ∈ I e y0 ∈ R. Se f é uma função primitivável num intervalo Ide R, então existe uma única primitiva F de f tal que F (x0) = y0.94

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASDemonstração. Pela proposição anterior, o conjunto de todas as primitivas de f(x) é dado porF (x)+c, onde c é uma constante. Suponhamos que existiam duas primitivas F1(x) = F (x)+c1e F2(x) = F (x) + c2 de f(x) tais que F1(x0) = y0 e F2(x0) = y0, isto é, F1(x0) = F2(x0). EntãoF1(x0) = F (x0) + c1 = y0 + c1 e F2(x0) = F (x0) + c2 = y0 + c2 implicam c1 = c2, pelo queF1(x) = F2(x). Da proposição anterior, resulta que a diferença entre quaisquer duas primitivas de uma mesmafunção é constante. Por outro lado, pode-se provar que, dados x0 ∈ I e y0 ∈ R, existe umaúnica primitiva F da função f vericando a condição F (x0) = y0.Proposição 5.1.3 (Propriedade linear). Sejam f e g duas funções primitiváveis num intervaloI de R e α uma constante real. Então:1. ∫ [f(x) + g(x)] dx =

∫

f(x) dx+

∫

g(x) dx;2. ∫ [αf(x)] dx = α

∫

f(x) dx.Demonstração. Sejam F (x) + c e G(x) + c os conjuntos de todas as primitivas de f(x) e g(x),respectivamente. Se H(x)+ c é o conjunto de todas as primitivas de h(x) = f(x)+g(x), temos,por denição, H ′(x) = h(x) = f(x) + g(x) = F ′(x) +G′(x), o que prova a primeira armação.De modo análogo, se I(x) + c é o conjunto de todas as primitivas de i(x) = α f(x), entãoI ′(x) = i(x) = α f(x) = αF ′(x), o que prova a segunda armação. 5.2 Primitivas imediatasPelo exposto anteriormente, verica-se que a primitivação é, pois, a operação funcional inversada derivação. Neste sentido, as primitivas são, por vezes, designadas por anti-derivadas eas primeiras fórmulas de primitivas são obtidas por inversão das fórmulas de derivação. Asprimitivas obtidas desta forma (ver Tabela 5.1) são designadas por primitivas imediatas.Existem, contudo, funções que não sendo imediatamente primitiváveis, podem ser reduzidas aprimitivas imediatas, usando primeiro propriedades dessas funções. Estão neste caso algumasfunções trigonométricas e hiperbólicas. Estas primitivas são habitualmente designadas porprimitivas quase imediatas. Para as funções trigonométricas, convém utilizar as fórmulasjá conhecidas:

sen2(x) + cos2(x) = 1, 1 + tg2(x) = sec2(x), 1 + cotg2(x) = cosec2(x).Para as funções hiperbólicas, podemos usar as fórmulas seguintes:1 + senh2(x) = cosh2(x), 1− tgh2(x) = sech2(x), cotgh2(x)− 1 = cosech2(x).Exemplo 5.2.1. Determinar as primitivas seguintes:

a)

∫

cos2(x) dx ; b)

∫

senh3(x) dx.EA EB 95 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVAS1. ∫ 0 dx = C2. ∫ 1 dx = x+ C3. ∫ u′ur dx = 1r+1

ur+1 + C, r ∈ R, r 6= 14. ∫ u′

udx = ln |u|+ C5. ∫ u′eu dx = eu + C6. ∫ auu′ dx = 1

lnaau + C, a ∈ R+7. ∫ u′ sen(u) dx = − cos(u) + C8. ∫ u′ cos(u) dx = sen(u) + C9. ∫ u′ sec2(u) dx = tg(u) + C10. ∫ u′ cosec2(u) dx = −cotg(u) + C11. ∫ u′ sec(u) tg(u) dx = sec(u) + C12. ∫ u′ cosec(u) cotg(u) dx = −cosec(u) + C13. ∫ u′ senh(u) dx = cosh(u) + C14. ∫ u′ cosh(u) dx = senh(u) + C15. ∫ u′ sech2(u) dx = tgh(u) + C16. ∫ u′ cosech2(u) dx = −cotgh(u) + C17. ∫ u′

√1−u2 dx = arcsen(u) + C = − arccos(u) + C18. ∫ u′

1+u2 dx = arctg(u) + C = −arccotg(u) + C19. ∫ u′

u√u2−1

dx = arcsec(u) + C = −arccosec(u) + C20. ∫ u′√u2+1

dx = argsh(u) + C ≡ ln∣∣u+

√u2 + 1

∣∣ + C21. ∫ u′

√u2−1

dx = argch(u) + C ≡ ln∣∣u+

√u2 − 1

∣∣+ C22. ∫ u′

1−u2 dx = argtgh(u) + C = −argcotgh(u) + C ≡ 12ln∣∣1+u1−u

∣∣+ CTabela 5.1: Fórmulas de primitivas imediatas.EA EB 96 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASNo primeiro caso, temoscos2(x) =

1 + cos(2x)

2a implicar que∫

cos2(x) dx =1

2

(∫

1 dx+

∫

cos(2x) dx

)

=1

2x+

1

4sen(2x) +C =

1

2x+

1

2sen(x) cos(x) +C.No segundo, tem-se

cosh2(x) = 1 + senh2(x) ⇒ senh3(x) = senh(x) cosh2(x)− senh(x),pelo que∫

senh3(x) dx =

∫

senh(x) cosh2(x) dx−∫

senh(x) dx =1

3cosh3(x)− cosh(x) + C.Para determinar as primitivas de funções que façam envolver secantes e cosecantes, trigonomé-tricas ou hiperbólicas, precisamos de saber as primitivas dessas funções.Exemplo 5.2.2. Seja u uma função real de variável real derivável. Mostrar que:a) ∫ u′ sec(u) dx = ln | tg(u) + sec(u)|+ C ;b) ∫ u′ cosec(u) dx = − ln |cotg(u) + cosec(u)|+ C .Pelas relações 1 + tg2(x) = sec2(x) e 1 + cotg2(x) = cosec2(x), temos:

a)

∫

u′ sec(u) dx =

∫u′ sec(u)

sec2(u)− tg2(u)dx =

∫u′ sec(u)

sec(u) + tg(u)

sec2(u)− tg2(u)

sec(u)− tg(u)dx

=

∫

u′ [sec2(u) + sec(u) tg(u)]

tg(u) + sec(u)dx = ln | sec(u) + tg(u)|+ C;e, de forma análoga,

b)

∫

u′ cosec(u) dx =

∫u′ cosec(u)

cosec2(u)− cotg2(u)dx =

∫

u′ [ cosec2(u) + cosec(u)cotg(u)]

cotg(u) + cosec(u)dx

= − ln |cosec(u) + cotg(u)|+ C;5.3 Primitivação por partesO denominado método de primitivação por partes dá-nos uma forma de podermos determinara primitiva de uma expressão que envolve o produto de duas ou mais funções.Proposição 5.3.1 (Método de primitivação por partes). Sejam f uma função primitivávelnum intervalo I de R e g outra função, derivável no mesmo intervalo. Então a função produtof g é primitivável no intervalo I e a sua primitiva é determinada da forma seguinte:

∫

(f(x) g(x)) dx =

∫

f(x) dx g(x)−∫ (∫

f(x) dx g′(x)

)

dx.EA EB 97 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASDemonstração. Sejam F (x) e g(x) duas funções deriváveis tais que F ′ = f . Pela Regra deDerivação do Produto, temos(Fg)′ = F ′g + Fg′.Primitivando esta equação, obtemos

Fg =

∫

F ′g dx+

∫

Fg′ dx .Ora, comoF ′ = f ⇒ F (x) =

∫

f(x)dx ,temos ∫

F ′g dx = Fg −∫

Fg′ dx ⇔∫

fg dx =

∫

f dx g −∫ (∫

f dx

)

g dx ,o que termina a demonstração. A fórmula do método de primitivação por partes, pode, ainda, aparecer numa das formasequivalentes seguintes:∫

u′ v dx = u v −∫

u v′ dx;

∫

v du = u v −∫

u dv;onde se supõe que u e v são funções de x.De um modo geral, o sucesso da aplicação deste método, reside na escolha da função que se vaiderivar. Esta função deve ser escolhida de modo que a expressão, que surge no segundo termoda fórmula de primitivação por partes, mais se simplique.Exemplo 5.3.1. Determinar as primitivas:a)

∫

x ex dx, b)

∫

x cos(x) dx.a) Escolhendo v = x como função a derivar e u = ex como função a primitivar, temos, peloMétodo de Primitivação por Partes,∫

x ex dx = x ex −∫

1× ex dx = xex − ex + C.b) Procedendo como em a), escolhendo v = x e u = cos(x), tem-se∫

x cos(x) dx = x sen(x)−∫

1× sen(x) dx = x sen(x) + cos(x) + C.Existem outras situações em que é preciso usar o método de primitivação por partes mais doque vez e, mesmo assim, é necessário alguma subtileza para se determinar a primitiva.EA EB 98 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASExemplo 5.3.2. Determinar a primitiva:∫

ex sen(x) dx.Neste exemplo, é indiferente a escolha das funções a derivar e a primitivar. Tomando u = exe v = sen(x), temos, aplicando o Método de Primitivação por Partes duas vezes.∫

ex sen(x) dx = ex sen(x)−∫

ex cos(x) dx = ex sen(x)− ex cos(x)−∫

ex sen(x) dx .Daqui sai que2

∫

ex sen(x) dx = ex (sen(x)− cos(x)) ⇔∫

ex sen(x) dx = exsen(x)− cos(x)

2,pelo que

∫

ex sen(x) dx = exsen(x)− cos(x)

2+ C.Por m, o método de primitivação pode ser utilizado para determinar as primitivas de expres-sões que envolvam uma só função. Aqui não há dúvidas quanto à função a primitivar ou qual aderivar: escolhemos para derivar a única função da expressão e para primitivar a função iden-ticamente igual a 1. Este raciocínio é particularmente útil para determinar todas as primitivasdas inversas das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas, assim como para a funçãologaritmo.Exemplo 5.3.3. Determinar as primitivas seguintes:

a)

∫

ln(x) dx; b)

∫

arcsen(x) dx.Nestes casos, a função a primitivar só pode ser u = 1. Assim, temos:a)

∫

ln(x) dx =

∫

1× ln(x) dx = x ln(x)−∫

x× 1

xdx = x ln(x)− x+ C;

b)

∫

arcsen(x) dx =

∫

1× arcsen(x) dx = xarcsen(x)−∫

x× 1√1− x2

dx

= xarcsen(x) +1

2

∫

−2x(1− x2

)− 12 dx = xarcsen(x) +

√1− x2 + C .5.4 Primitivação por substituiçãoO método de primitivação por substituição, consiste numa mudança de variável de modo àprimitiva pretendida ser mais fácil de determinar. Este método é uma consequência directa doteorema de derivação da função composta.Proposição 5.4.1 (Primitivação por substituição). Sejam I e J dois intervalos de R, f : I → Juma função primitivável e ϕ : J → I uma função bijectiva e derivável. Então a primitiva dafunção f pode ser determinada pela fórmula seguinte:

∫

f(x) dx =

∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.EA EB 99 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASDemonstração. Sejam φ : I −→ R, com t 7→ x = ϕ(t), e ϕ : J −→ R, com x 7→ y = φ(x), duasfunções deriváveis tais que ϕ(J) ⊆ I. Consideremos a função composiçãoφ ϕ : J 7→ R .Pelo Teorema de Derivação da Função Composta, φ ϕ é derivável em J e tem-se

φ′(x) ≡ (φ(x))′ = (φ(ϕ(t)))′ = φ′(ϕ(t))ϕ′(t) .Seja, agora, f uma função tal que f(x) = φ′(x) para x ∈ I. Então f é primitivável em I, assimcomo f ϕ ≡ φ′ ϕ é primitivável em J . Por consequência, podemos escrever∫

f(x) dx =

∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt ,o que termina a demonstração. Observemos que, depois de determinada a primitiva por este método, voltamos à variável inicial,fazendo a substituição:t = ϕ−1(x).Exemplo 5.4.1. Fazendo as mudanças de variáveis indicadas, determinar as primitivas se-guintes:

a)

∫dx

ex + 1, x = − ln(t); b)

∫x√x+ 1

dx,√x+ 1 = t.a) Fazendo a substituição x = − ln(t) ⇒ dx = (− ln(t))′dt = −dt

t, temos

∫dx

ex + 1=

∫ −dtt

e− ln(t) + 1= −

∫dt

1 + t= − ln |1+t|+C = − ln(1+e−x)+C = x−ln(ex+1)+C .b) Fazendo a substituição √

x+ 1 = t ⇒ x = t2 − 1 ⇒ dx = (t2 − 1)′dt = 2tdt, temos∫

x√x+ 1

dx =

∫t2 − 1

t2t dt = 2

∫

(t2 − 1) dt =2

3t3 − 2t+ C

=2

3(x+ 1)

√x+ 1− 2

√x+ 1 + C =

2

3(x− 2)

√x+ 1 + C .Algumas das substituições mais importantes são indicadas a seguir. Se a função a integrarcontém o radical:

•√a2 − x2, a = constante, faz-se a substituição

x = a sen(t) ou x = a cos(t),de modo a usar a Fórmula Fundamental da Trigonometria:sen2(x) + cos2(x) = 1;EA EB 100 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVAS•√x2 + a2, a = constante, faz-se a substituição

x = a tg(t), x = acotg(t), ou x = a senh(t),de modo a usar, respectivamente, as fórmulas1 + tg2(x) = sec2(x), 1 + cotg2(x) = cosec2(x) ou 1 + senh2(x) = cosh2(x);

•√x2 − a2, a = constante, faz-se a substituição

x = a sec(t), x = acosec(t), ou x = a cosh(t),de modo a usar, também, as fórmulas1 + tg2(x) = sec2(x), 1 + cotg2(x) = cosec2(x) ou 1 + senh2(x) = cosh2(x);Exemplo 5.4.2. Fazendo as mudanças de variáveis indicadas, determinar as primitivas se-guintes:

a)

∫dx

√

x(1− x), x = cos2(t); b)

∫dx√9 + x2

, x = 3 senh(t).a) Fazendo x = cos2(t) ⇒ d x = −2 cos(t) sen(t) dt, temos∫

dx√

x(1− x)=

∫ −2 cos(t) sen(t) dt√

cos2(t)[1− cos2(t)]= −2

∫

1 dt = −2t + C = arccos(√x) + C .b) Fazendo x = 3 senh(t) ⇒ dx = 3 cosh(t) dt e usando o facto de que 1+ senh2(t) = cosh2(t),temos

∫dx√9 + x2

=

∫3 cosh(t) dt

√

9 + 9 senh2(t)=

∫

1 dt = t + C = argsh(x

3

)

+ C

= ln

∣∣∣∣∣

x

3+

√

1 +(x

3

)2

∣∣∣∣∣+ C = ln

∣∣∣x+

√9 + x2

∣∣∣ + C .Em muitas situações, uma mesma primitiva pode ser determinada usando o Método de Primi-tivação por Partes ou usando o Método de Primitivação por Substituição.Exemplo 5.4.3. Determinando a primitiva da Exercício 5.4.1, alínea b), usando o Método dePrimitivação por Partes, temos:

∫x√x+ 1

dx =

∫1√x+ 1

× x dx =

∫

(x+ 1)−12 dx× x−

∫ [∫

(x+ 1)−12 dx× x′

]

dx

= 2x√x+ 1− 2

∫

(x+ 1)12 dx = 2x

√x+ 1− 4

3(x+ 1)

√x+ 1 + C

=2

3(x− 2)

√x+ 1 + C .EA EB 101 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVAS5.5 Primitivas de funções racionaisRecordemos que uma função racional é uma função da formaf(x) =

Pn(x)

Qm(x),onde

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 e Qm(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + · · ·+ b1x+ b0são polinómios de graus n e m - naturais - e de coecientes an, an−1, . . . , a1, a0 e bm, bm−1, . . . ,b1, b0 - reais.Para determinar as primitivas de funções racionais seguimos os passos seguintes:1o PASSO Se grau [Pn(x)] ≥ grau [Qm(x)], é possível dividir os polinómios e é isso que secomeça por fazer.Exemplo 5.5.1. Determinar a primitiva seguinte:

∫x4 − 2

x2 + 1dx.Dividindo os polinómios, temos

x4 − 2

x2 + 1= x2 − 1− 1

x2 + 1,pelo que

∫x4 − 2

x2 + 1dx =

∫

x2 dx−∫

1 dx−∫

1

1 + x2dx =

1

3x3 − x− arctg(x) + C .2o PASSO Se grauPn(x) = grauQm(x) − 1, podemos usar sempre primeiro a fórmula deprimitivação imediata ∫

u′

udx = ln |u|+ C.Exemplo 5.5.2. Determinar a primitiva seguinte:∫

x− 1

x2 + 1dx.Fazendo um rearranjo do numerador, a primitiva decompõe-se em duas outras imediatas:

∫x− 1

x2 + 1dx =

1

2

∫2x

x2 + 1dx−

∫1

1 + x2dx =

1

2ln(x2 + 1)− arctg(x) + C.3o PASSO Se grauPn(x) < grauQm(x) − 1, temos de analisar outros factos da função aprimitivar.EA EB 102 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVAS(i) Se o polinómioQm(x) tem m raízes reais distintas: x1, x2, . . . , xm; podemos escrevera função a integrar na forma seguinte:f(x) =

Pn(x)

(x− x1)(x− x2) · · · (x− xm).Neste caso, usamos o denominado Método dos Coecientes Indeterminados paradecompor a função f(x) em fracções mais simples:

f(x) =A1

x− x1+

A2

x− x2+ · · ·+ Am

x− xm,onde os coecientes A1, A2, . . . , Am são determinados pela fórmula seguinte:

Ai =

[Pn(x)

Qm−1(x)

]

x=xi

, Qm−1(x) =Qm(x)

x− xi, para todo i = 1, 2, . . . , m.Exemplo 5.5.3. Determinar a primitiva seguinte:

∫1

x2 + 2x− 3dx.Decompondo o polinómio do denominador, temos x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3).Usando o Método dos Coecientes indeterminados, temos

1

x2 + 2x− 3=

A

x− 1+

B

x+ 3⇔ 1 = A(x+ 3) +B(x− 1)

⇔1 = (A+B)x+ 3A− B ⇔

A+B = 03A− B = 1

⇔

B = −A4A = 1

⇔

B = −14

A = 14Então podemos escrever

1

x2 + 2x− 3=

1

4

1

x− 1− 1

4

1

x+ 3,pelo que

∫1

x2 + 2x− 3dx =

1

4

∫1

x− 1dx− 1

4

∫1

x+ 3dx

=1

4ln |x− 1| − 1

4ln |x+ 3|+ C =

1

4ln

∣∣∣∣

x− 1

x+ 3

∣∣∣∣+ C .De outro modo, podíamos ter determinado os coecientes A e B pelas fórmulas dadasacima. Neste caso, teríamos

A =

[1

x+ 3

]

x=1

=1

4e B =

[1

x− 1

]

x=−3

= −1

4.

EA EB 103 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVAS(ii) Se o polinómio Qm(x) tem k ≤ m raízes reais repetidas: x; podemos escrever afunção a integrar na forma seguinte:f(x) =

Pn(x)

(x− x)k Qm−k(x), Qm−k(x) =

Qm(x)

(x− x)k.Aqui usamos o Método dos Coecientes Indeterminados para decompor a função

f(x) nas fracções mais simples:f(x) =

A1

(x− x)k+

A2

(x− x)k−1+ · · ·+ Ak

(x− x)+

R(x)

Qm−k(x),onde R(x) é um polinómio com grau inferior ao do polinómio Qm−k(x) e os coeci-entes A1, A2, . . . , Ak são determinados pela fórmula seguinte:

Ai =1

(i− 1)!D(i−1)

[Pn(x)

Qm−k(x)

]

x=x

, para todo i = 1, 2, . . . , k.Exemplo 5.5.4. Determinar a primitiva seguinte:∫

x− 1

(x+ 1)2(2x+ 3)dx.Usando o Método dos Coecientes Indeterminados, temos:

x− 1

(x+ 1)2(2x+ 3)=

A1

x+ 1+

A2

(x+ 1)2+

B

2x+ 3

⇔x− 1 = A1(2x+ 3)(x+ 1) + A2(2x+ 3) +B(x+ 1)2

⇔x− 1 = (2A1 +B)x2 + (5A1 + 2A2 + 2B)x+ 3A1 + 3A2 +B

⇔

2A1 +B = 05A1 + 2A2 + 2B = 13A1 + 3A2 +B = −1

⇔ · · · ⇔

A1 = 5A2 = −2B = −10

.Então, podemos escreverx− 1

(x+ 1)2(2x+ 3)=

5

x+ 1− 2

(x+ 1)2− 10

2x+ 3,pelo que

∫x− 1

(x+ 1)2(2x+ 3)dx =5

∫1

x+ 1dx− 2

∫1

(x+ 1)2dx− 10

∫1

2x+ 3dx

=5 ln |x+ 1|+ 2

x+ 1− 5 ln |2x+ 3|+ C

=5 ln

∣∣∣∣

x+ 1

2x+ 3

∣∣∣∣+

2

x+ 1+ C .De outro modo, também poderíamos ter determinado os coecientes A1, A2 e Busando as fórmulas acima:

A2 =

[x− 1

2x+ 3

]

x=−1

= −2, A1 =

[x− 1

2x+ 3

]′

x=−1

=

[5

(2x+ 3)2

]

x=−1

= 5EA EB 104 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASeB =

[x− 1

(x+ 1)2

]

x=− 32

= −10 .(iii) Se o polinómio Qm(x) não tem raízes reais1, então m = 2k, com k ∈ N, e a funçãoa integrar escreve-se na forma seguinte:f(x) =

Pn(x)

(x2 + bx+ c)k, com n < 2k,e onde a e b são parâmetros conhecidos. Usando o Método dos Coecientes Indeter-minados, decompomos a função f(x) do modo seguinte:

f(x) =b1x+ c1

(x2 + bx+ c)k+

b2x+ c2(x2 + bx+ c)k−1

+ · · ·+ bkx+ ckx2 + bx+ c

.Nos casos mais simples: k = 1 e n = 0 ou n = 1; a primitiva é determinadaimediatamente, ou bastando fazer uma mudança de variável conveniente.Exemplo 5.5.5. Determinar a primitiva seguinte:∫

1

x2 + 2x+ 5dx .Começamos por observar que o polinómio x2+2x+5 não pode ser decomposto, vistoque não tem raízes reais. Neste caso, fazemos a seguinte aproximação

1

x2 + 2x+ 5=

1

4 + (x+ 1)2=

1

4

1

1 +(x+12

)2e a primitiva pode ser calculada fazendo a substituição simplesx+ 1

2= t ⇒ dx = 2 dt .Pelo que obtemos

∫1

x2 + 2x+ 5dx =

1

4

∫1

1 +(x+12

)2 dx =1

2

∫1

1 + t2dt

=1

2arctg(t) + C =

1

2arctg

(x+ 1

2

)

+ C .No caso de k > 1, a situação é mais delicada, pois necessitamos de saber primitivaras funções do tipo seguinte:g(x) =

bix+ ci(x2 + bx+ c)qi

, qi = k − i ≥ 2 pois i = 1, . . . , k − 2.1Todo o polinómio de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real.EA EB 105 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASNestes casos, a primitiva é determina fazendo uma mudança de variável que nos levaa um novo tipo de funções a primitivar:h(x) =

1

(1 + x2)q, onde zemos q = qi.As primitivas deste tipo, serão determinadas usando o Método de Primitivação porPartes, como mostra a proposição seguinte.Proposição 5.5.1. Para qualquer natural q ≥ 2, tem-se:

∫1

(1 + x2)qdx =

1

2q − 2

x

(1 + x2)q−1+

2q − 3

2q − 2

∫1

(1 + x2)q−1dx .Demonstração. Primeiro, começamos por observar que

∫1

(1 + x2)qdx =

∫1

(1 + x2)q−1dx−

∫x2

(1 + x2)qdx .A seguir, admitindo que q ≥ 2, usamos o Método de Primitivação por Partes paradecompor a segunda primitiva do segundo termo,

∫x2

(1 + x2)qdx =

∫x

(1 + x2)q× x dx =

∫

x(1 + x2)−q dx× x−∫ [∫

x(1 + x2)−q dx× x′]

dx =

1

2

(1 + x2)−q+1

−q + 1x− 1

2

∫(1 + x2)−q+1

−q + 1dx =

− 1

2(q − 1)

x

(1 + x2)q−1+

1

2(q − 1)

∫1

(1 + x2)q−1dx .Substituindo na igualdade anterior, obtemos

∫1

(1 + x2)qdx =

∫1

(1 + x2)q−1dx+

1

2(q − 1)

x

(1 + x2)q−1− 1

2(q − 1)

∫1

(1 + x2)q−1dx =

1

2q − 2

x

(1 + x2)q−1+

2q − 3

2q − 2

∫1

(1 + x2)q−1dx ,o que termina a demonstração. Exemplo 5.5.6. Determinar a primitiva seguinte:

∫1

(x2 + 2x+ 5)2dx .Procedendo como no Exemplo 5.5.5, escrevendo x2 + 2x + 5 = 4

[

1 +(x+12

)2] efazendo a substituição x+1

2= t, obtemos

∫1

(x2 + 2x+ 5)2dx =

∫1

16[

1 +(x+12

)2]2 dx =

1

8

∫1

(1 + t2)2dt .EA EB 106 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 5. PRIMITIVASUsando a Proposição 5.5.1 com q = 2, vem∫

1

(1 + t2)2dt =

1

2

t

1 + t2+

1

2

∫1

1 + t2dt =

1

2

t

1 + t2+

1

2arctg(t) + C .Substituindo na expressão anterior e voltando à variável original, temos

∫1

(x2 + 2x+ 5)2dx =

1

16

t

1 + t2+

1

16arctg(t) + C

=1

16

x+12

1 +(x+12

)2 +1

16arctg

(x+ 1

2

)

+ C

=1

8

x+ 1

x2 + 2x+ 5+

1

16arctg

(x+ 1

2

)

+ CEm muitos exercícios de aplicação prática, temos de percorrer vários passos dos anteriormentedescritosExemplo 5.5.7. Determinar a primitiva seguinte:∫

x4

x4 − 1dx .Começando por dividir os polinómios, temos

∫x4

x4 − 1dx =

∫

1 dx+

∫1

x4 − 1dx = x+

∫1

x4 − 1dx .Fixemo-nos, agora, na primitiva do segundo membro. Aqui, vamos usar o Método dos Coeci-entes Indeterminados para escrever a função racional como soma de outras mais simples:

1

x4 − 1=

1

(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)=

A

x− 1+

B

x+ 1+

Cx+D

x2 + 1.Os coecientes A e B podem ser facilmente determinados por

A =

[1

(x+ 1)(x2 + 1)

]

x=1

=1

4, B =

[1

(x− 1)(x2 + 1)

]

x=−1

= −1

4.Agora, vamos usar os valores de A e B para determinar C e D como se segue

1

(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)=

1/4

x− 1+

−1/4

x+ 1+

Cx+D

x2 + 1

⇔1 =1

4(x+ 1)(x2 + 1)− 1

4(x− 1)(x2 + 1) + (Cx+D)(x2 − 1)

⇔1 = Cx3 +

(

D +1

2

)

x2 − Cx−D +1

2⇔

C = 0D = −1

2.Podemos então escrever

1

x4 − 1=

1

4

1

x− 1− 1

4

1

x+ 1− 1

2

1

x2 + 1,EA EB 107 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 5pelo que∫

1

x4 − 1dx =

1

4

∫1

x− 1dx− 1

4

∫1

x+ 1dx− 1

2

∫1

x2 + 1dx

=1

4ln |x− 1| − 1

4ln |x+ 1| − 1

2arctg(x) + C

=1

4ln

∣∣∣∣

x− 1

x+ 1

∣∣∣∣− 1

2arctg(x) + C .Finalmente, podemos responder que a primitiva original é dada por

∫x4

x4 − 1dx = x+

1

4ln

∣∣∣∣

x− 1

x+ 1

∣∣∣∣− 1

2arctg(x) + C .5.6 Ficha de exercícios no 5Primitivas imediatas1. Determine as primitivas seguintes:(a) ∫ x5 dx ;(b) ∫ dx

x2;(c) ∫ 2

xdx ;(d) ∫ 3

√x dx ;(e) ∫ (2x2 − 5x+ 3) dx ;(f) ∫ (3x+ 4)2 dx ;(g) ∫ x(x+ a)(x+ b) dx ;(h) ∫ (a+ bx3)2 dx , a, b ∈ R ;

(i) ∫ dxn√x, n ∈ N ;(j) ∫ (nx)1−nn dx , n ∈ N ;(k) ∫ (a 2

3 − x23

)3

dx, a ∈ R ;(l) ∫ sen2x dx ;(m) ∫ cosh2 x ;(n) ∫ (x3 − x2)2√x

dx ;(o) ∫ tg2x sec2 x dx ;(p) ∫ ex cotg(ex) dx .2. Determine as primitivas seguintes com os valores particulares indicados:(a) F (x) =

∫1

xdx , com F (e) = 2;(b) F (x) =

∫x

1 + x2dx , com F (0) = 1;(c) F (x) =

∫

sen(2x) dx , com F (π) = 0;EA EB 108 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 5(d) F (x) =

∫

2−x dx , com F (0) = − 1

ln(2);(e) F (x) =

∫

(2x3 − 5x2 + 3x− 1) dx , com F (1) = 0;(f) F (x) =

∫

tg(x) dx , com F(π

3

)

= 1 + ln(2);(g) F (x) =

∫

senh(3x− 1) dx , com F

(1

3

)

= 1;(h) F (x) =

∫1

x3dx , com F (2) = −1

4.Primitivação por partesDetermine as primitivas seguintes, usando o método de primitivação por partes:1. ∫ ln x dx ;2. ∫ arctgx dx ;3. ∫ arcsenx dx ;4. ∫ x senx dx ;5. ∫ cos2 xdx ;6. ∫ x2−x dx ;7. ∫ xnex dx , n ∈ N ;

8. ∫ ex senx dx ;9. ∫ 3x cosx dx ;10. ∫ xα ln x dx , α ∈ R;11. ∫ xe−x dx ;12. ∫ sen(lnx) dx ;13. ∫ ln(√

1 + x2)

dx ;14. ∫ x senx cosx dx .Primitivação por substituiçãoDetermine as primitivas seguintes, usando a mudança de variável indicada:1. ∫ dx

x√x2 − 1

, x =1

t;2. ∫ dx

ex + 1, x = − ln t ;3. ∫ x(5x2 − 3)7 dx, 5x2 − 3 = t ;

4. ∫ x√x+ 1

dx , t =√x+ 1 ;5. ∫ cosx√

1 + sen2xdx, t = senx ;6. ∫ dx

√

x(1− x), x = sen2t ;EA EB 109 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 57. ∫ √π − x2 dx, x =

√π sent ;8. ∫ √

x2 + 4

xdx , x = 2tgt ;

9. ∫ √9 + x2 dx, x = 3senht ;10. ∫ dx

x√x2 − 1

, x = sec t .Primitivação de funções racionaisDetermine as primitivas seguintes:1. ∫ dx

x2 + 2x+ 5;2. ∫ dx

x2 + 2x;3. ∫ 3x− 2

x2 − 4x+ 5dx ;4. ∫ x

x4 − 4x2 + 3dx ;5. ∫ x4 − 6x3 + 12x2 + 6

x3 − 6x2 + 12x− 8dx ;6. ∫ dx

(x− 1)(x+ 2)(x+ 3);7. ∫ 2x2 + 41x− 91

(x− 1)(x+ 3)(x− 4)dx ;8. ∫ x2 − 8x+ 7

(x2 − 3x− 10)2dx ;

9. ∫ x3 + x+ 1

x3 + xdx ;10. ∫ dx

x3 + 1;11. ∫ x4

x4 − 1dx ;12. ∫ dx

(x2 − 4x+ 3)(x2 + 4x+ 5);13. ∫ 5x2 + 6x+ 9

(x− 3)2(x+ 1)2dx ;14. ∫ x2 + 2x

(x− 1)(x2 − 4x+ 5)dx .15. ∫ 1

(x2 + 1)(x2 + 2)dx ;16. ∫ x2

(x+ 1)(x2 + 1)2dx .

EA EB 110 c© HBO, 2012/2013

Capítulo 6Integrais6.1 Integral de RiemannComecemos por introduzir a noção de partição de um intervalo de R.Denição 6.1.1. Seja [a, b] um intervalo contido em R de extremos a e b, com a < b. Designa-se por partição do intervalo [a, b] a um conjunto nito de pontos, digamos x0, x1, . . . , xn,que divide [a, b] em subintervalos tais que:

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b,onde n é um número natural arbitrário.O intervalo considerado pode ser aberto e a partição, denida desta forma, vai ser denotadapor P e escreve-mo-la do modo seguinte:P : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.Esta partição determina n intervalos [xi−1, xi] cujos comprimentos são dados por

4xi = xi − xi−1.A localização dos pontos x0, x1, . . . , xn, e a consequente divisão do intervalo [a, b] é arbitrária.Em particular, os subintervalos [xi−1, xi] não têm necessariamente o mesmo comprimento.Denição 6.1.2. Seja f uma função denida num intervalo [a, b] ⊂ R. Designamos por somade Riemann da função f no intervalo [a, b] à quantidade seguinte:n∑

i=1

f(ξi)4xi ≡ f(ξ1)4x1 + f(ξ2)4x2 + · · ·+ f(ξn)4xn ;onde ξi são pontos seleccionados aleatoriamente nos intervalos [xi−1, xi].Para a noção de integral, interessa-nos que as partições sejam muito nas. Denimos a quan-tidade que dene a nura de dada partição P de um intervalo [a, b] ⊂ R por|P| = max

i4xi.Observemos que |P| é o comprimento do maior intervalo contido na partição P.111

CÁLCULO I 6. INTEGRAISDenição 6.1.3. Sejam f uma função denida num intervalo [a, b] ⊂ R eP : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.uma partição arbitrária de [a, b]. Diz-se que a função f é integrável (à Riemann) no intervalo

[a, b], se existir (e for nito) o limite seguinte:lim|P|→0

n∑

i=1

f(ξi)4xi,independentemente de como a partição P do intervalo [a, b] é formada, ou de como os pontosξi pertencentes aos subintervalos [xi−1, xi] são escolhidos.No caso de existir, o limite da denição anterior designa-se por integral da função f e denota-se por

∫ b

a

f(x) dx ou ∫

[a,b]

f(x) dx.Neste caso, a função f designa-se por função integranda, a e b são, respectivamente, oslimites inferior e superior de integração, e ∫ é o símbolo de integração. A variável xjoga o mesmo papel que o índice dos somatórios e, habitualmente, dizemos que é uma variávelmuda no sentido que pode ser substituída por outra variável, não alterando o valor do integral.A noção de função integrável que acabamos de introduzir, estende-se a qualquer função denidanum conjunto limitado D ⊂ R que não seja propriamente um intervalo. Apenas temos deconsiderar um intervalo [a, b] que contenha D e aí fazer a análise anterior. O único cuidado atomar para a denição fazer sentido, é xar o valor de f(ξi) igual a zero quando ξi não pertencera D.Usando a noção de limite, dizemos que o número I é o integral (de Riemann) da função f nointervalo [a, b], se∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :

∣∣∣∣∣I −

n∑

i=1

f(ξi)4xi

∣∣∣∣∣< εpara qualquer partição P do intervalo [a, b] tal que |P| < δ e qualquer escolha dos pontos ξi.Para a demonstração de muitos resultados teóricos, é conveniente a denição equivalente delimite que usa o denominado Critério de Cauchy.Denição 6.1.4. Seja f uma função denida num intervalo [a, b] ⊂ R. A função f é integrável(à Riemann) no intervalo [a, b], se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

f(ξ1i )4x1i −

n∑

i=1

f(ξ2i )4x2i

∣∣∣∣∣< εpara quaisquer duas partição P1 e P2 do intervalo [a, b] formadas por pontos distintos e taisque |P1| < δ e |P2| < δ.EA EB 112 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAISA questão que agora se coloca é a de saber se é possível indicar condições para dizer se deter-minada função é integrável ou não. A proposição seguinte dá-nos uma condição necessária paraque uma função seja integrável.Proposição 6.1.1. Seja f uma função denida num intervalo [a, b] ⊂ R. Se a função f éintegrável (à Riemann) no intervalo [a, b], então é limitada em [a, b].Demonstração. Se f não fosse limitada, então para qualquer partição do intervalo [a, b]:P : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b;existiria, pelo menos, um intervalo, digamos [xi−1, xi], onde f não é limitada. Deste modo,escolhendo o ponto ξ∗i ∈ [xi−1, xi] de modos diferentes, podemos fazer a quantidade

f(ξ∗i )∆xi = f(ξ∗i )(xi − xi−1)tão grande quanto se queira. Por consequência, alterando apenas a escolha do ponto ξ∗i ∈[xi−1, xi], a soma de Riemann∑n

i=1 f(ξ∗i )4xi será tão grande quanto se queira. Então

lim|P|→0

n∑

i=1

f(ξ∗i )4xi = +∞,o que conclui a demonstração. Exemplo 6.1.1. Mostrar que a função f(x) = 1xnão é integrável no intervalo (0, 1).Seja

P : 0 = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = 1uma partição arbitrária do intervalo [0, 1]. Verica-se que, independentemente da escolha de x1,no intervalo [0, x1] podemos escolher o ponto ξ∗1 de modo que f(ξ∗1)∆ ξ1 seja tão grande quantose queira. Logo, a soma de Riemann∑ni=1 f(ξ

∗i )4xi vai ser tão grande quanto se queira. Destemodo,

lim|P|→0

n∑

i=1

f(ξ∗i )4xi = +∞.Então, pela proposição anterior, qualquer função que não seja limitada no respectivo intervalode integração, não é integrável nesse intervalo. Como iremos ver a condição necessária deintegrabilidade obtida está longe de ser suciente. Contudo, permite-nos restringir o estudo afunções limitadas. A proposição seguinte dá-nos uma condição suciente para que uma funçãoseja integrável.Proposição 6.1.2. Seja f uma função denida num intervalo [a, b]. Se f é contínua em [a, b],então f é integrável em [a, b].Demonstração. Consideremos duas partições distintas do intervalo [a, b]:P1 : a = x1

0 < x11 < · · · < x1

n−1 < x1n = b;

P2 : a = x20 < x2

1 < · · · < x2m−1 < x2

m = b;EA EB 113 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAIStais que |P1| < δ e |P2| < δ. Consideremos a partição:P = P1 ∪ P2 : a = x0 < x1 < · · · < xj−1 < xj = b;que é um renamento das duas partições P1 e P2. Tem-se

j ≤ n +m e f(ξkj )∆ xkj =

2∑

i=1

f(ξkj )∆ xij para k = 1, 2.Para k = 1, 2, temos

∣∣∣∣∣

l∑

j=1

2∑

i=1

f(ξij)∆ xij −

l∑

j=1

f(ξkj )∆ xkj

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

l∑

j=1

2∑

i=1

f(ξij)∆ xij −

l∑

j=1

2∑

i=1

f(ξkj )∆ xij

∣∣∣∣∣

Observemos que, no caso da proposição anterior, o facto da função ser contínua no intervalo(fechado), implica que, nesse intervalo, também seja limitada.Exemplo 6.1.2. Mostre que a função f(x) = 2 é integrável no intervalo [0, 1] e calcule orespectivo integral.Proposição 6.1.3. Seja f uma função limitada num intervalo [a, b]. Se f é contínua em [a, b],excepto, quanto muito, num número nito de pontos, então f é integrável em [a, b].DEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar a Proposição 6.1.2.Neste caso, é necessária a hipótese da função ser limitada, pois poder-se-á dar o caso da funçãonão ser limitada em algum ponto de descontinuidade.Exemplo 6.1.3. Mostre que a função seguinte não é integrável no intervalo [0, 1]:f(x) =

1 se x ∈ [0, 1] ∩Q

0 se x ∈ [0, 1] \Q .Neste último exemplo, observamos que a função não é contínua no domínio considerado. Maisdo que isso, o conjunto dos pontos de descontinuidade desta função tem cardinalidade innita.No entanto, só por isso, não podemos dizer que uma função com um conjunto de pontosde descontinuidade innito não seja integrável. A proposição seguinte permite-nos dizer quealgumas funções nestas condições são integráveis.Proposição 6.1.4. Seja f uma função monótona num intervalo fechado [a, b]. Então f éintegrável em [a, b].SEM DEMONSTRAÇÃO: Ver, por exemplo, Campos Ferreira p. 522.Exemplo 6.1.4. A função seguinte é integrável no intervalo [0, 1] apesar de aí ter um conjuntode pontos de descontinuidade contavelmente innito:f(x) =

1− 12n−1 se 1− 1

2n−1 ≤ x ≤ 1− 12n

, n ∈ N .1 se x = 1EA EB 114 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAISTodos os resultados anteriores podem ser enunciados para intervalos abertos (a, b), ou semi-abertos [a, b) e (a, b]. Apenas temos de exigir que a função seja limitada no ou nos extremosdo intervalo considerado.Para concluir esta secção e pelo que foi exposto, podemos dizer que todas as funções elementaresconhecidas são integráveis em intervalos limitados contidos nos seus domínios de denição.6.2 PropriedadesNesta secção, vamos apresentar as propriedades mais importantes do integral.Proposição 6.2.1. Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] e tais que f(x) =g(x) para quase todo x ∈ [a, b]. Então

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

g(x) dx.Demonstração. O resultado anterior expressa o facto do integral de uma função não ser afectado por umaquantidade nita de pontos.Proposição 6.2.2. Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] e c uma constantereal. Então as funções f + g e c f também são integráveis em [a, b] e tem-se:1.

∫ b

a[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx;

2.∫ b

a[c g(x)] dx = c

∫ b

af(x) dx.Demonstração. Esta proposição, diz-nos que o integral é um operador linear, o que é muito útil no cálculo deintegrais. Na proposição seguinte estabelece-se a denominada propriedade aditiva dos integrais.Proposição 6.2.3. Sejam a, b e c números reais tais que a < c < b. Se dois dos integraisseguintes existem, o terceiro também existe e tem-se:∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.Demonstração. Na proposição seguinte e Corolário a seguir estabelecem-se propriedades relacionadas com amonotonia do integral como função do integrando.EA EB 115 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAISProposição 6.2.4. Seja f uma função integrável em [a, b]. Entãof(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ⇒

∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.Demonstração. Corolário 6.2.1. Sejam f e g funções integráveis no intervalo [a, b]. Então:1. f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a, b] ⇒

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx ;

2.∣∣∣

∫ b

af(x) dx

∣∣∣ ≤

∫ b

a|f(x)| dx.DEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar a Proposião 6.2.4.Ainda como consequência da monotonia dos integrais podemos provar o resultado seguinte que,de certo modo, está relacionado com o Teorema do Valor Intermédio. Este resultado pode serinterpretado geometricamente, dizendo que existe sempre um rectângulo de base o intervalo deintegração e cuja área coincide com o integral dado.Proposição 6.2.5 (Teorema da média do integral). Seja f uma função contínua num intervalo

[a, b], com a < b. Então existe, pelo menos, um ponto c ∈ (a, b) tal quef(c) =

1

b− a

∫ b

a

f(x) dx.Demonstração. 6.3 Teorema fundamentalNesta secção, vamos ver como se relaciona a integração de funções com a respectiva deriva-ção. Esta relação constitui um dos mais importantes teoremas da Análise Matemática e écomummente designado por Teorema Fundamental da Análise.Consideremos uma função f integrável num intervalo [a, b] e a função seguinte:F (x) =

∫ x

a

f(s) ds, a ≤ x ≤ b;a qual é designada por integral indenido da função f . Observe-se que a variável x da funçãoF é o limite superior do integral indenido e, por isso, tivemos necessidade de alterar a variávelmuda do integral.Proposição 6.3.1. Seja f uma função integrável num intervalo [a, b]. Então, a função

F (x) =

∫ x

a

f(s) ds, a ≤ x ≤ b,é contínua em [a, b].EA EB 116 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAISDemonstração. Proposição 6.3.2 (Teorema Fundamental). Seja f uma função integrável num intervalo [a, b]e contínua em (a, b). Então, a funçãoF (x) =

∫ x

a

f(s) ds, a ≤ x ≤ b,é derivável em cada ponto de (a, b) e tem-se:F ′(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b).Demonstração. Esta proposição, diz-nos que a integração de uma função f , contínua num intervalo com limitesuperior variável x, dá origem a uma função F , que não é mais do que a primitiva da função f .Proposição 6.3.3 (Fórmula de Barrow). Seja f uma função limitada num intervalo [a, b] econtínua em (a, b). Se F é uma função contínua em [a, b] e tal que

F ′(x) = f(x) em (a, b),então ∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).Demonstração. A fórmula expressa na proposição anterior é, também, muitas vezes designada por Fórmulade Newton-Leibniz e permite-nos tirar a propriedade seguinte dos integrais:∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx.A proposição anterior dá-nos, nalmente, um método ecaz de calcular os integrais de funçõescontínuas e limitadas num intervalo.Exemplo 6.3.1. Calcule o integral seguinte:∫ 1

0

x√x2 + 1 dx.Como consequência dos resultados anteriores, obtemos o resultado seguinte, por vezes designadopor Teorema de Derivação do Integral Paramétrico.Corolário 6.3.1. Seja f uma função integrável num intervalo [a, b] e contínua em (a, b). Se ξe ϕ são funções deriváveis, então

d

d t

(∫ ϕ(t)

ξ(t)

f(x) dx

)

= f(ϕ(t))ϕ′(t)− f(ξ(t))ξ′(t).EA EB 117 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAISDEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar o Teorema Fundamental.Exemplo 6.3.2. Determine f(π/2) sabendo que∫ x2

0

f(t) dt =√1 + x2 − 1.6.4 Cálculo de integraisPara o cálculo de integrais, iremos recorrer ao Teorema Fundamental e à consequente Fórmulade Barrow. O resultado da proposição seguinte conjuga o teorema fundamental com o métodode primitivação por partes.Proposição 6.4.1. Sejam f uma função contínua em [a, b] e g uma função com derivadacontínua em [a, b]. Então fg é integrável em [a, b] e tem-se:

∫ b

a

f(x)g(x) dx =

[∫

f(x) dx g(x)

]x=b

x=a

−∫ b

a

(∫

f(x) dx

)

g′(x) dx.Demonstração. Por vezes, este resultado é referido como o Método de Integração por Partes.Exemplo 6.4.1. Usando o Método de Integração por Partes, calcule o integral seguinte:∫ 1

0

x

exdx.Na proposição seguinte conjugam-se o teorema fundamental e o método de primitivação porsubstituição.Proposição 6.4.2 (Teorema de Mudança de Variável). Sejam f uma função contínua em [a, b]e ϕ uma aplicação bijectiva sobre [a, b]. Se ϕ é uma função derivável com derivada contínua,então tem-se:

∫ b

a

f(x) dx =

∫ ϕ−1(b)

ϕ−1(a)

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.Demonstração. O resultado da proposição anterior é muitas vezes designado porMétodo de Integração porSubstituição.Exemplo 6.4.2. Usando o Método de Integração por Substituição, calcule o integral seguinte:∫ 2

1

1√x+ x

dx.EA EB 118 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 6. INTEGRAISPara a resolução de exercícios, bem como para a demonstração de alguns resultados teóricos,têm interesse especial as mudanças de variável indicadas a seguir.Translação: x = t− t0, em que t0 ∈ R:∫ b

a

f(x) dx =

∫ b+t0

a+t0

f(t− t0) dt;Simetria: x = −t:∫ b

a

f(x) dx = −∫ −b

−a

f(−t) dt;Homotetia: x = kt, em que k ∈ R \ 0:∫ b

a

f(x) dx = k

∫ bk

ak

f(kt) dt.Como consequência do Teorema de Mudança de Variável, podemos facilmente demonstrar aspropriedades enunciadas a seguir e que têm muito interesse na resolução de exercícios práticos.Corolário 6.4.1. Seja a um número real não nulo e f uma função integrável no intervalo[−a, a]. Temos:1. Se f é uma função ímpar em [−a, a], então ∫ a

−af(x) dx = 0 ;

2. Se f é uma função par em [−a, a], então ∫ a

−af(x) dx = 2

∫ a

0f(x) dx .DEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar a Proposição 6.2.3 e o Teorema de Mudança de Variável.Exemplo 6.4.3. Verique que as identidades integrais seguintes são válidas:

a)

∫ 1

−1

x3 dx = 0 ; b)

∫ 1

−1

x2 dx = 2

∫ 1

0

x2 dx .Corolário 6.4.2. Seja f uma função integrável e a ∈ R arbitrário. Se f é uma função periódicade período T , então∫ T+a

T

f(x) dx =

∫ a

0

f(x) dx.DEMONSTRAÇÃO - EXERCÍCIO: Usar o Teorema de Mudança de Variável.Exemplo 6.4.4. Verique que as identidades integrais seguintes são válidas:a)

∫ 7π3

π3

sen(x) dx =

∫ 2π

0

sen(

x+π

3

)

dx = 0 ; b)

∫ 11 π4

7π4

cos(x) dx =

∫ 3π4

−π4

cos(x) dx =√2 .

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CÁLCULO I Ficha de exercícios no 66.5 AplicaçõesIntuitivamente a noção de integral está associada à ideia do cálculo de uma área. Deste modo,a fórmula expressa na denição seguinte, e que se torna muito útil para o cálculo de áreas, éimediata.Denição 6.5.1. Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo [a, b]. A área daregião R limitada pelas rectas verticais x = a e x = b, pela recta horizontal y = 0 e pelo grácode f(x) é dada por:A(R) =

∫ b

a

f(x) dx.No caso de uma função f , eventualmente negativa, ou sem sinal denido, consideramos nafórmula anterior |f(x)| em vez de f(x). Assim, para uma função contínua f qualquer, a área édada por:A(R) =

∫ b

a

|f(x)| dx.Exemplo 6.5.1. Usando integrais, calcule a área da gura limitada pelas curvas y =√4− x2e y = 0.Se a região R estiver compreendida entre quaisquer duas funções contínuas f(x) e g(x), com

x ∈ [a, b], então a área de R é dada porA(R) =

∫ b

a

|f(x)− g(x)| dx.Exemplo 6.5.2. Usando integrais, calcule a área da gura limitada pelas curvas y =√2− x2e y = x2.Outra aplicação dos integrais é o cálculo do comprimento de arco de curvas com derivadascontínuas.Denição 6.5.2. Seja f uma função derivável com derivada contínua num intervalo [a, b]. Ocomprimento de arco s da curva (gráco) y = f(x) entre x = a e x = b é dado por:

s =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2 dx.Exemplo 6.5.3. Usando integrais, calcule o comprimento (de arco) da curva y =√4− x2entre os pontos x = 0 e x = 2.6.6 Ficha de exercícios no 61. Calcule os integrais imediatos seguintes:

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CÁLCULO I Ficha de exercícios no 6(a) ∫ 2

1

(x2 − 2x+ 3) dx ;(b) ∫ e

1

sen(ln x)

xdx ;(c) ∫ x

1

cos t dt ;(d) ∫ x

−x

et dt ;(e) ∫ e2

e

dx

x ln x;

(f) ∫ √5

√2

x√x2 − 1

dx ;(g) ∫ 1

0

cosh x dx ;(h) ∫ ln(π4 )

ln(π6 )

eθ sec(eθ)dθ ;(i) ∫ 2

0

[x] dx .2. Calcule os integrais seguintes:(a) ∫ 3

0

|3x− 5| dx ;(b) ∫ 3

−2

f(x) dx , f(x) =

6 x > 13x2 x ≤ 1 ;(c) ∫ 3

−2

f(x) dx , f(x) =

0 x = −22x2 −2 < x ≤ 11− 2x 1 < x ≤ 3 ;(d) ∫ 4

0

f(x) dx , f(x) =

x 0 ≤ x < 1

1 +√

1− (x− 2)2 1 ≤ x ≤ 3−x+ 4 3 < x ≤ 4 .3. Calcule os integrais seguintes usando o método de integração por partes:(a) ∫ π

2

0

θ cos θ dθ ;(b) ∫ e

1

ln x dx ;(c) ∫ 1

0

x3e2x dx ;(d) ∫ x

0

tarctg t dt ;

(e) ∫ 12

0

√1− x2 dx ;(f) ∫ √

3

0

x3

√1 + x2

dx ;(g) ∫ π2

π4

sen2x dx ;(h) ∫ 1

0

argshx dx .

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CÁLCULO I Ficha de exercícios no 64. Calcule os integrais seguintes usando uma mudança de variável:(a) ∫ 4

0

dx

1 +√x;(b) ∫ 1

0

x2√x+ 1 dx ;(c) ∫ 1

0

ex

1 + e2xdx ;(d) ∫ √

22

0

dx√1− x2

;

(e) ∫ 29

3

(x− 2)23

(x− 2)23 + 3

dx ;(f) ∫ π3

π4

sec θ dθ ;(g) ∫ 1

0

√x

3√x+ 4

√xdx ;(h) ∫ 1

0

y2√

y6 + 4dy .5. Justique porque é que não se pode efectuar a mudança de variável x = cos t no integralseguinte:

∫ 2

0

3√1− x2 dx .6. Determine o valor médio das funções seguintes nos intervalos indicados:(a) f(x) = 2 3

√x+ 3x sobre o intervalo [1, 3];(b) g(t) = t2 − 5t + 6 cos(π t) sobre o intervalo [−1, 5/2];(c) h(θ) = e1−cos(2θ) sen(2θ) sobre o intervalo [−π, π].7. Considere a função seguinte:

F (x) =

∫ x

1

et2+1

t

tdt , com x > 0 .Mostre que F

(1x

)= −F (x).8. Considere a função seguinte:

φ(x) =

∫ x

1

t

(1 + t2)2ln t dt , x > 0.(a) Calcule φ(2).(b) Mostre que φ é derivável e determine φ′(x).9. Determine f(π/2) sabendo que

∫ x

0

tf(t) dt = x2 + x senx+ cosx− 1.10. Calcule as áreas delimitadas pelas curvas seguintes:(a) y = x2

2, y = 0, x = 1 e x = 3;EA EB 122 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 6(b) y = 4x− x2 e y = 0;(c) y = 2− x2, y3 = x2 e y ≥ 0;(d) y = ln x, y = 0 e x = e;(e) y = sen(x), y = cos(x), x = 0 e x = π/2;(f) x2 + y2 = 1;(g) x23 + y

23 = 1;(h) y = tg(x), y = cotg(x), y = 0, x = 0 e x = π/2;(i) y = x2 e y =

√x;(j) y = sen(x), y = − cos(x), x = 0 e x = π.11. Calcule os comprimentos de arco das curvas seguintes:(a) y2 = x3 entre a origem e x = 4;(b) y = arcsen(e−x) entre x = 0 e x = 1;(c) y = ln x entre x =

√3 e x =

√8;(d) x2 + y2 = 1;(e) 4y3 = 9x2 entre os pontos de coordenadas (0, 0) e (2, 32/3);(f) y =

√

4− (x− 1)2 entre x = −1 e x = 3.

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Capítulo 7Funções Reais de Várias Variáveis7.1 IntroduçãoSeja N ∈ N arbitrário. Denota-se por RN o conjunto de todas as sucessões nitas de N númerosreais que se podem representar pelo N-uplo

x = (x1, . . . , xN) .Em particular, R2 é o conjunto de todos os pares (x, y) de números reais e R3 é o conjunto detodos os triplos (x, y, z) de números reais. Num sentido mais alargado, designamos os elementosgenéricos de RN por pontos. O real xk, para k = 1, . . . , N , designa-se por k-ésima componente,ou k-ésima coordenada, do ponto x = (x1, . . . , xN). Dados dois elementos x = (x1, . . . , xN ),y = (y1, . . . , yN) ∈ RN , tem-se x = y se e só se cada componente de x é igual à respectivacomponente de y, isto é,

x = y ⇐⇒ xk = yk ∀ k = 1, . . . , N.Em RN dene-se a adição porx + y = (x1, . . . , xN ) + (y1, . . . , yN) = (x1 + y1, . . . , xN + yN)e a multiplicação por escalar por

αx = α(x1, . . . , xN ) = (αx1, . . . , αxN),para quaisquer x, y ∈ RN e α ∈ R. O conjunto RN munido com estas duas operações tem umaestrutura algébrica de espaço vectorial, ou espaço linear, isto é, RN é um grupo comutativopara a adição eRN 6= ∅ ⇐= (0, . . . , 0) ∈ RN ;

(αx+ βy) ∈ RN ⇐= x, y ∈ RN , α, β ∈ R.A noção de que RN é um grupo comutativo para a adição, quer dizer que, para quaisquer x,y, z ∈ RN :

(i) x+ y ∈ RN ;(ii) x+ (y + z) = (x+ y) + z;(iii) x+ y = y + x;(iv) existe o elemento neutro 0 = (0, . . . , 0) e x+ 0 = x;(v) todo x = (x1, . . . , xN) ∈ RN tem simétrico − x = (−x1, . . . ,−xN) ∈ RN .124

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISNeste sentido, os elementos de RN podem ser denominados vectores. Sejam, agora, x1, x2, . . . ,xk vectores de RN . Diz-se que o vector x é uma combinação linear de x1, x2, . . . , xk, seexistirem k escalares α1, α2, . . . , αk tais que

x = α1x1 + α2x2 + · · ·+ αkxk.Por outro lado, diz-se que x1, x2, . . . , xk ∈ RN são vectores linearmente independentes,seα1x1 + α2x2 + · · ·+ αkxk = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0.Denotamos por ek, com k ∈ 1, . . . , N, o elemento de RN com as componentes todas nulasexcepto a k-ésima componente que é 1. Assim,

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , eN = (0, . . . , 0, 1).Usando esta notação, podemos escrever, para qualquer vector x = (x1, . . . , xN) ∈ RN ,x = x1e1 + · · ·+ xNeN .Verica-se que os vectores e1, e2, . . . , eN são linearmente independentes. As duas armaçõesanteriores exprimem o facto de e1, e2, . . . , eN ser uma base vectorial de RN . Isto signicaque qualquer elemento de RN se escreve de modo único como combinação linear de e1, e2, . . . ,

eN .Denição 7.1.1. Sejam x = (x1, . . . , xN), y = (y1, . . . , yN) ∈ RN quaisquer. Denimos oproduto interno, ou produto escalar, de x por y porx · y = (x1, . . . , xN ) · (y1, . . . , yN) = x1y1 + · · ·+ xNyN .Podemos denir vários produtos internos em RN . Mas, qualquer denição de produtointerno, terá de satisfazer às propriedades seguintes:

(i) x · y = y · x;(ii) (x + y) · z = x · z+ y) · z e x · (y + z) = x · y + x) · z;(iii) (αx) · y = x · (αy);(iv) 0 · 0 = 0 e, para qualquer x 6= 0, x · x > 0;para quaisquer x, y, z ∈ RN e α ∈ R. O espaço vectorial RN munido do produto internoanterior designa-se por espaço euclidiano. Este produto interno induz a norma seguinte,denominada norma euclidiana.Denição 7.1.2. Seja x = (x1, . . . , xN ) ∈ RN arbitrário. Denimos a norma de x por

‖x‖ = ‖(x1, . . . , xN)‖ =√

(x1, . . . , xN ) · (x1, . . . , xN ) =√

x21 + · · ·+ x2

N .Do mesmo que modo para o produto interno, podemos denir várias normas em RN . Noentanto, qualquer denição de norma, terá de satisfazer às propriedades seguintes:(i) ‖x‖ > 0 se x 6= 0 e ‖x‖ = 0 se e só se x = 0;(ii) ‖αx‖ = |α|‖x‖;(iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdade triangular);EA EB 125 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISpara quaisquer x, y ∈ RN e qualquer α ∈ R. A propriedade (iii) acima é, ainda, válida paraum número nito de parcelas:‖x1 + · · ·+ xk‖ ≤ ‖x1‖+ · · ·+ ‖xk‖.Deste modo, RN chama-se um espaço vectorial normado e pode-se provar a propriedade se-guinte, denominada desigualdade de Cauchy-Schwarz,

|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖,válida para quaisquer x, y ∈ RN . Recordando que os elementos de RN são vectores, denimosa projecção do vector x sobre o vector y como sendo o vectorp = py, com p =

x · y‖y‖2 .No caso particular de y = ek, a projecção de x sobre ek é p = xkek. Dene-se o ângulo entredois vectores não nulos x e y por θ, onde

cos(θ) =x · y

‖x‖ ‖y‖ , θ ∈ [0, π].Sai desta denição que x e y são vectores perpendiculares, ou ortogonais, sex · y = 0.Para os elementos da base e1, e2, . . . , eN tem-se

ei · ej =

1 , se i = j0 , se i 6= j,

, ‖ei‖ = 1 ,e, assim, dizemos que e1, e2, . . . , eN é uma base ortonormada de RN .Denição 7.1.3. Sejam x = (x1, . . . , xN ) e y = (y1, . . . , yN) dois quaisquer elementos de RN .Chama-se distância de x a y ao real (não negativo) seguinte:d(x,y) = ‖x− y‖ =

√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xN − yN)2.Qualquer distância d que se possa denir em RN , tem de satisfazer às propriedades seguintes:(i) d(x,y) ≥ 0 e d(x,y) = 0 se e só se x = y;(ii) d(x,y) = d(y,x) (propriedade comutativa);(iii) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z) (desigualdade triangular);para quaisquer x, y, z ∈ RN .

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CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS7.2 Funções reais de várias variáveisEste capítulo centra-se no estudo de funções do tipof : RN −→ R ,com N ∈ N, isto é, funções cujos objectos têm várias variáveis e as imagens estão em R. Poristo, estas funções recebem, habitualmente, o nome de campos escalares para as distinguirdos campos vectoriais, cujas imagens estão em RM , com M ∈ N não necessariamente igual a

N . O domínio da função f , que iremos denotar por Df , é o subconjunto de RN onde a funçãoestá denida. O contra-domínio é o subconjunto de R onde a função toma valores. O grácoda função f acima é o subconjunto de RN+1 seguinteGraf(f) = (x, x) ∈ RN+1 : x = f(x), x = (x1, . . . , xN ) ∈ Ω ⊆ RN .Como se depreende, é apenas possível esboçar de forma realística os domínios de funções reais deduas ou três variáveis. O domínio de uma função de duas variáveis é esboçado no plano geradopelo sistema de eixos cartesianos das abcissas e das ordenadas, habitualmente denominados eixodos xx e eixo dos yy, respectivamente. O domínio de uma função de três variáveis é esboçadono espaço gerado pelo sistema de eixos cartesianos das abcissas, das ordenadas e das cotas,habitualmente denominados eixo dos xx, eixo dos yy e eixo dos zz, respectivamente.Exercício exemplo 7.2.1. Determine e esboce os domínios das funções seguintes:

f(x, y) =√

x2 − y2 e g(x, y, z) = ln[1− (x2 + y2 + z2)] .Do mesmo modo, é apenas possível esboçar, com acuidade geométrica realística, os grácosde funções reais de duas variáveis apenas. O gráco de uma função de duas variáveis esboça-senum sistemas de três eixos cartesianos, fazendo corresponder cada ponto do domínio, desenhadono plano gerado pelos eixos dos xx e dos yy, a um único ponto no eixo dos zz.Exercício exemplo 7.2.2. Esboce os grácos das funções seguintes:f(x, y) = x2 + y2 e g(x, y) =

√

1− (x2 + y2) x2 + y2 ≤ 10 x2 + y2 > 1 .Assim, iremos estudar, apenas, funções reais de duas ou, quanto muito, três variáveis, umavez que para mais do que três variáveis as interpretações geométricas já são mais complicadas.Diga-se, em abono da verdade, que esta opção será, na maioria das situações, para simplicaros cálculos.Denição 7.2.1. Sejam f uma função real de N ∈ N variáveis reais e c uma constante real.Chama-se conjunto de nível c da função f ao subconjunto de RN onde f atinge o valor c,isto é,

Nc(f) = x ∈ RN : f(x) = c ,sendo c denominado nível da função.Em particular, no caso de funções de duas variáveis, o conjunto de nível designa-se porlinha de nível e, no caso de funções de três variáveis, por superfície de nível.Exercício exemplo 7.2.3. Determine e esboce os conjuntos de nível c = −9, c = −4, c = −1,c = 0, c = 1, c = 4 e c = 9 da função f(x, y) = 4y2 − x2 . A partir das linhas de nível, esboce ográco da função.EA EB 127 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS7.3 Derivadas parciaisConsideremos uma função escalar f : RN −→ R, N natural superior a 1, e seja a ∈ int(Df ),com a = (a1, . . . , N). Fixando x2 = a2, . . . , xN = aN , a funçãof(x1, a2, . . . , aN)passa a ser uma função de uma só variável independente x1. Suponhamos que esta função éderivável, isto é, existe e é nito o limite seguinte

limh→0

f(x1 + h, a2, . . . , aN)− f(x1, a2, . . . , aN)

h,para qualquer x1, tal que (x1, . . . , xN) ∈ Df . Então a derivada (ordinária) de f(x1, a2, . . . , aN)em a1 recebe o nome de derivada parcial de f em relação à variável x1 no ponto

(a1, . . . , aN) e denotá-mo-la por um dos símbolos seguintes:∂ f

∂ x1(a) ; f ′

x1(a) ; (Dx1f) (a) .Denição 7.3.1. Sejam f : RN −→ R uma função escalar e a ∈ int(Df), com a = (a1, . . . , N).Suponhamos que a função f(a1, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , aN) é uma função derivável em xk = ake tal que (x1, . . . , xN) ∈ Df . Então, chama-se derivada parcial de primeira ordem emrelação à variável xk ao seguinte limite

∂ f

∂ xk(a) = lim

h→0

f(a1, . . . , ak−1, ak + h, ak+1, . . . , aN)− f(a1, . . . , ak−1, ak, ak+1, . . . , aN)

h.Exercício exemplo 7.3.1. Usando a denição, calcule as duas derivadas parciais de primeiraordem da função f(x, y) = xy + sen(x+ y) no ponto (x, y) = (0, π).Quando, para determinada função escalar f , existe a derivada parcial f ′

xk, k = 1, . . . , N , numponto a = (a1, . . . , ak, . . . , N) ∈ Df , esta coincide com a derivada ordinária da função real deuma variável real apenas f(a1, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , aN) no ponto xk = ak. Assim, podemosutilizar os formulários de derivação das funções reais, de uma variável real apenas, para o cálculodas derivadas parciais de funções escalares. Na prática, para calcular a derivada parcial de umafunção escalar f em ordem a determinada variável, consideramos todas as outras variáveis comoconstantes e aplicamos as fórmulas de derivação para funções reais, de uma variável real apenas,em relação a essa variável.Exercício exemplo 7.3.2. Usando os formulários de derivação de funções reais de uma va-riável real apenas, calcule as duas derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) =

xy + sen(x+ y) no ponto (x, y) = (0, π).*Interpretação geométricaEA EB 128 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISConsideremos o caso particularN = 2 de uma função real f de duas variáveis reais (x, y). Nocaso de existirem, as duas derivadas parciais de primeira ordem, num ponto a = (a, b) ∈ int(Df ),são dadas por:∂ f

∂ x(a, b) = lim

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

he∂ f

∂ y(a, b) = lim

h→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

h.O gráco de f(x, y) é uma superfície que se esboça no sistema de eixos cartesianos xyz. Secci-onando a superfície z = f(x, y) pelo plano y = b, obtemos uma função de uma variável apenas(linha) de equação

z = f(x, b) = ϕ(x) .Esta linha esboça-se num plano paralelo ao plano denido pelos eixos dos xx e dos yy e tem-se∂ f

∂ x(a, b) = ϕ′(a).Do que se conhece para funções de uma variável apenas, f ′

x(a, b) pode ser interpretada como odeclive da recta tangente ao gráco da linha z = ϕ(x) no ponto x = a, isto é,∂ f

∂ x(a, b) = tg α ,onde α é o ângulo formado pela tangente ao gráco da linha z = ϕ(x) no ponto x = a e o planodenido pelos eixos dos xx e dos yy. Analogamente,

∂ f

∂ y(a, b) = tg β ,sendo β o ângulo formado pela tangente ao gráco da linha z = φ(y) no ponto y = b e o planodenido pelos eixos dos xx e dos yy. E a linha z = φ(y) obtém-se, seccionando, no mesmoponto (a, b), a superfície z = f(x, y) pelo plano x = a,7.4 Derivadas de ordem superiorSe, para cada k = 1, . . . , N , a função f da Denição 7.3.1 tiver derivada parcial em ordem a

xk em todos os pontos interiores ao seu domínio Df , chama-se função derivada parcial def em ordem a xk à função seguinte:

f ′xk

: int(Df) −→ R

(x1, . . . , xN ) 7→ f ′xk(x1, . . . , xN) .Assim, as novas funções f ′

xkpodem admitir, por sua vez, derivadas parciais. Suponhamos que

f ′xk

admite derivada parcial em ordem à variável xj , com j = 1, . . . , N , em todos os pontos dodomínio Df ′xk. Chama-se (função) derivada parcial de segunda ordem de f em relação aEA EB 129 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISxk, primeiro, e a xj , depois, à derivada parcial de primeira ordem de f ′

xkem relação a xj . Estaderivada denota-se por um dos símbolos seguintes:

∂2 f

∂ xj ∂xk≡ ∂

∂ xj

(∂ f

∂ xk

)

; f ′′xk xj

≡(f ′xk

)′xj

; Dxk xjf ≡ Dxj

(Dxkf) .No caso em que j = k, isto é, xj = xk, designamos a derivada parcial de segunda ordem de fem relação a xk por derivada quadrada de f em ordem a xk e denota-se por um dos símbolosseguintes:

∂2 f

∂ x2k

≡ ∂

∂ xk

(∂ f

∂ xk

)

; f ′′x2k≡(f ′xk

)′xk

; Dx2kf ≡ Dxk

(Dxkf) .Se j 6= k, isto é, xj 6= xk, designamos a derivada parcial de segunda ordem de f em relação a

xk, primeiro, e a xj , depois, por derivada rectangular ou derivada cruzada de f em relaçãoa xk e a xj . No caso de existirem as derivadas parciais f ′xk xj

em todos os pontos de Df ′xk xj

,podemos denir as derivadas parciais de terceira ordem∂3 f

∂ xi ∂xj ∂xk

≡ ∂

∂ xi

(∂2 f

∂ xj ∂ xk

)

; f ′′′xi xj xk

≡(

f ′′xk xj

)′

xi

; Dxk xj xif ≡ Dxi

(Dxk xj

f).No caso de algum dos xk, xj , xi ser igual a outro, podemos simplicar a escrita como no casodas derivadas parciais de segunda ordem. O mesmo raciocínio pode ser aplicado às derivadasparciais de quarta ordem e assim sucessivamente.Exercício exemplo 7.4.1. Determine as (funções) derivadas parciais de primeira e segundaordem da função f(x, y) = arccos(x/y).Para cada função escalar f de N variáveis vão, possivelmente, existir Np derivadas parciais deordemN . No caso particular de uma função escalar de duas variáveis, verica-se que, em muitassituações, as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem são iguais, independentemente daordem por que variável se deriva.Proposição 7.4.1 (Schwarz). Sejam f uma função escalar de duas variáveis (x, y) e D umsubconjunto aberto de Df . Suponhamos que existem as funções derivadas parciais f ′

x e f ′y em De que uma das duas derivadas parciais de segunda ordem, f ′′

x y ou f ′′y x, existe e é contínua em

D. Então a outra derivada parcial de segunda ordem também existe e tem-se:∂2 f

∂ x ∂y(a, b) =

∂2 f

∂ y ∂x(a, b) ∀ (a, b) ∈ D .SEM DEMONSTRAÇÃO: Ver, por exemplo, Campos Ferreira p. 120.O resultado anterior pode ser generalizado a qualquer função escalar f denida num domíniode RN , com N ≥ 2. Por exemplo, prova-se que, para uma função f denida num domínio de

R3 e assumindo que as condições correspondentes da proposição anterior são satisfeitas,∂4 f

∂ x2 ∂y ∂z=

∂4 f

∂ z ∂y ∂x2.EA EB 130 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISExercício exemplo 7.4.2. Mostre que para a função f(x, y, z) = sen(xyz) se tem sempre∂3 f

∂ x ∂y ∂z=

∂3 f

∂ z ∂x ∂y.Uma outra noção que convém ser estendida a uma ordem superior, é a noção de diferencial. Odiferencial da função f no ponto a, relativo ao vector u, é o escalar denido por:

(d f)u(a) =∂ f

∂ x1(a) u1 + · · ·+ ∂ f

∂ xN(a) uN .Conhecida esta expressão, podemos escrever o diferencial de primeira ordem do modo seguinte:

(d f)(u)(a) =

(

u1∂

∂ x1

+ · · ·+ uN∂

∂ xN

)

f(a) .Se existirem todas as derivadas parciais de ordem k > 1 da função f no ponto a, então podemosdenir o diferencial de ordem k de f no ponto a, relativo ao vector u, pela forma simbólicaseguinte:(d k f)(u)(a) =

(

u1∂

∂ x1+ · · ·+ uN

∂

∂ xN

)k

f(a) .Por exemplo, no caso particular de k = 2 e de uma função de duas variáveis (x, y), a fórmulaanterior tem o signicado seguinte:(d 2 f)(u,v)(a, b) = u2 ∂

2f

∂ x2(a, b) + 2uv

∂2f

∂ y∂ x(a, b) + v2

∂2f

∂ y2(a, b) .Procedendo de forma análoga, denimos o diferencial total de ordem k da função f por:

dk f =

(∂

∂ x1d x1 + · · ·+ ∂

∂ xNd xN

)k

f .Exercício exemplo 7.4.3. Determine o diferencial total de segunda ordem da funçãof(x, y) = e−(x2+y2) .7.5 Funções HomogéneasAs funções homogéneas têm um papel muito importante em Análise Matemática, em particularem Equações Diferenciais. Em termos simples, uma função homogénea é uma função com umcomportamento multiplicativo escalar, isto é, se o argumento da função for multiplicado porum factor, então o resultado da função será multiplicado por uma potência desse factor.Denição 7.5.1. Sejam f : RN → R, com N ∈ N, uma função real de uma ou mais variáveisreais. Diz-se que f é uma função homogénea, se existir k ∈ Z tal que

f(x1, . . . , xN ) = tkf(x1, . . . , xN ) para todo t > 0.EA EB 131 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISO inteiro k da denição anterior designa-se por grau de homogeneidade da função e diz-seque a função é homogénea de grau k. A noção de função homogénea está intimamenteligada com determinado tipo de equações diferenciais como mostra a proposição anterior.Proposição 7.5.1. Sejam f : RN → R, com N ∈ R, uma função real de várias variáveis reaise k ∈ Z. A função f é homogénea de grau k se e só sex1

∂ f

∂ x1

+ · · ·+ xN∂ f

∂ xN

= kf(x1, . . . , xN) . (7.5.1)Demonstração. Suponhamos que f é uma função homogénea de grau k. Fixemos x = (x1, . . . , xN) ∈RN e consideremos a função

g : [0,∞) → R , g(t) = f(tx)− tkf(x) ≡ f(tx1, . . . , txN )− tkf(x1, . . . , xN) .Dado que f é homogénea de grau k, temos g(t) = 0 para todo t ≥ 0 e, por consequência,g′(t) = 0 para todo t > 0. Por outro lado, usando o Teorema de Derivação da Função Composta,temos

g′(t) =∂ f

∂ x1

(tx)x1 + · · ·+ ∂ f

∂ xN

(tx)xN − ktk−1f(x) .Em particular, tomando t = 1 na expressão anterior, obtemos (7.5.1).Reciprocamente, suponhamos que (7.5.1) é vericada. Considerando a função g denida naprova da condição necessária e observando que g(1) = 0, obtemos para todo t > 0

g′(t) =∂ f

∂ x1(tx)x1 + · · ·+ ∂ f

∂ xN(tx)xN − ktk−1f(x)

=t−1

(∂ f

∂ x1(tx)tx1 + · · ·+ ∂ f

∂ xN(tx)txN

)

− ktk−1f(x)

=t−1kf(tx)− ktk−1f(x).Isto equivale atg′(t) = k

(f(tx)− tk−1f(x)

)⇔ tg′(t) = kg(t) .Daqui se infere que a função g satisfaz ao problema de Cauchy seguinte para todo t > 0

g′(t)− k

tg(t) = 0

g(1) = 0 .Resolvendo este problema, obtemos g(t) = 0. Pela denição da função g, concluímos que f éuma função homogénea de grau k. Exemplo 7.5.1. Mostre que as funções seguintes são homogéneas e satisfazem o Teorema deEuler:1. f(x, y) = y + xeyx ; 2. f(x, y) = x3−y3√

x+√y.

EA EB 132 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS7.6 Extremos LivresConsideremos uma função escalar de classe C1

f : RN −→ R

(x1, . . . , xN ) 7→ f(x1, . . . , xN ) .e seja a = (a1, . . . , aN) um ponto interior ao seu domínio Df ⊂ RN . Dizemos que a função ftem um máximo relativo, ou máximo local, no ponto a, sef(a) ≥ f(x) ∀ x = (x1, . . . , xN ) ∈ B(a, ε) ,para algum ε > 0. A função f tem um mínimo relativo, ou mínimo local, no ponto a, sef(a) ≤ f(x) ∀ x = (x1, . . . , xN ) ∈ B(a, ε) ,para algum ε > 0. Designamos por máximo ou mínimo relativo, ou local, da função f aovalor da imagem f(a). Quando não houver necessidade de especicar se este valor é máximoou mínimo relativo, diremos que f(a) é um extremo relativo, ou extremo local, da função

f . Em muitas aplicações estamos interessados no maior ou menor valor possível de uma funçãoescalar. A função f tem um máximo absoluto, ou máximo global, no ponto a, sef(a) ≥ f(x) ∀ x = (x1, . . . , xN) ∈ Df .A função f tem um mínimo absoluto, ou mínimo global, no ponto a, sef(a) ≤ f(x) ∀ x = (x1, . . . , xN) ∈ Df .Ao valor f(a), nas condições anteriores, designamos por máximo ou mínimo absoluto, ouglobal. No caso de não querermos especicar se se trata de máximo ou mínimo, designaremos,apenas, por extremo absoluto ou global. Em geral, uma função escalar não tem necessa-riamente um máximo ou mínimo absoluto. No entanto, por um resultado da Análise que nãodemonstraremos aqui 1, sabemos que toda a função contínua num domínio fechado e limitadotem máximo e mínimo absolutos.Proposição 7.6.1. Sejam f : RN → R um campo escalar e a ∈ int(Df ) onde f é de classe C1.Se f tem um extremo no ponto a = (a1, . . . , aN), então

∇ f(a1, . . . , aN) = (0, . . . , 0) .Demonstração. Aos pontos a nas condições da Proposição 7.6.1, isto é, aos pontos a ∈ int(Df )onde f é de classe C1 e tais ∇ f(a) = 0, vamos designar por pontos de estacionariedade dafunção f . Recordamos que anteriormente já havíamos introduzido a noção de pontos críticos,ou pontos singulares, pontos onde as derivadas parciais eram todas nulas ou onde, pelomenos, uma das derivadas parciais não existia. Neste sentido, os pontos de estacionariedadede uma função escalar são pontos singulares. Os pontos de estacionariedade de uma funçãoescalar poderão ser de dois tipos diferentes: extremos ou pontos de sela. Os extremos podemser máximos ou mínimos e os pontos de sela são pontos de estacionariedade que não sãoextremos.1Ver, por exemplo, Campos Ferreira, p. 55 (Teorema de Weierstrass).EA EB 133 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISExercício exemplo 7.6.1 (AULA TEÓRICA). Determine o ponto de estacionariedade da funçãof(x, y) = e−(x2+y2) e conclua, apenas por análise da função f , qual o tipo de extremo.Proposição 7.6.2. Sejam f : RN → R um campo escalar de classe Cm, com m > 1, ea = (a1, . . . , aN) ∈ int(Df ). Suponhamos que a é um ponto de estacionariedade de f e m é amais baixa ordem das derivadas direccionais de f que não se anulam em a. Nestas condições:1. se m é par e f

(m)u (a) > 0 para qualquer direcção u emergente de a, então f(a) é ummínimo local;2. se m é par e f(m)u (a) < 0 para qualquer direcção u emergente de a, então f(a) é ummáximo local;3. se m é ímpar, ou m é par e f

(m)u (a) não tem sinal denido para alguma direcção uemergente de a, então f(a) é um ponto de sela;4. se m é par e f

(m)u (a) tem sinal constante, com excepção de um número nito de direcções

u emergentes de a para as quais f (m)u (a) = 0, nada se pode concluir sobre f(a).SEM DEMONSTRAÇÃO: Ver, por exemplo, Dias Agudo p. 184.Em termos práticos, o ponto 4 desta proposição é o de mais difícil resolução, tendo-se, namaioria dos casos, de efectuar um estudo local, ou determinar as derivadas direccionais de

f de ordem superior a m, para averiguar a natureza do ponto de estacionariedade a. Osresultados expressos na proposição anterior são particularmente úteis quando m = 2. Por isso,é importante ter presente a caracterização da derivada direccional f 2u(a), com u = (u1, . . . , uN),através da respectiva matriz Hessiana H(a):

f 2u(a) = [uH(a)] · u =

[u1 · · · uN

]

fx1x1(a) · · · fx1xN(a)... ... ...

fxnx1(a) · · · fxnxN(a)

u1...uN

.Observemos que a matriz Hessiana H(a) é uma matriz simétrica de ordem N × N com asentradas todas reais. Portanto, em termos da Álgebra Linear, f 2

u(a) é uma forma bilinearquadrática associada à matriz Hessiana H(a), que pode ser caracterizada como denida po-sitiva ou negativa, semi-denida positiva ou negativa e, ainda, indenida.Denição 7.6.1. Consideremos a forma bilinear quadrática

f 2u(a) = [uH(a)] · u = uT H(a)u , uT =

[u1 · · · uN

].1. Diz-se que f 2

u(a) é denida positiva, se uT H(a)u > 0 para todo u ∈ RN \ 0.2. Diz-se que f 2

u(a) é denida negativa, se uT H(a)u < 0 para todo u ∈ RN \ 0.3. Diz-se que f 2

u(a) é semi-denida positiva, se uT H(a)u ≥ 0 para todo u ∈ RN .4. Diz-se que f 2

u(a) é semi-denida negativa, se uT H(a)u ≤ 0 para todo u ∈ RN .EA EB 134 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 7. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEISSe f 2u(a) não satisfaz nenhum dos casos da denição anterior, dizemos que f 2

u(a) é uma formaquadrática indenida. Deste modo, a Proposição 7.6.2 pode ser escrita na forma algébricaseguinte, recorrendo às caracterizações da forma quadrática f 2

u(a).Proposição 7.6.3. Sejam f : RN → R um campo escalar de classe Cm, com m > 1, e

a = (a1, . . . , aN) ∈ int(Df ). Suponhamos que a é um ponto de estacionariedade de f e m = 2 éa mais baixa ordem das derivadas direccionais de f que não se anulam em a. Nestas condições:1. se f 2u(a) é denida positiva, então f(a) é um mínimo local;2. se f 2

u(a) é denida negativa, então f(a) é um máximo local;3. se f 2

u(a) é indenida, então f(a) corresponde a um ponto de sela.;4. se f 2

u(a) é semi-denida positiva ou negativa, nada se pode concluir sobre f(a).Demonstração. Tal como na Proposição 7.6.2, o ponto 4 da Proposição 7.6.3 é o de maisdifícil resolução, tendo-se, também, de efectuar um estudo local, ou determinar as derivadasdireccionais de f de ordem superior a 2, para averiguar a natureza do ponto de estacionariedade

a. Na resolução de exercícios práticos sobre extremos, é mais simples caracterizar a formabilinear quadrática f 2u(a) através da matriz Hessiana H(a) que lhe está associada. O resultadoseguinte da Álgebra Linear simplica-nos bastante essa caracterização.Proposição 7.6.4. Consideremos a forma bilinear quadrática

f 2u(a) = uT H(a)u , uT =

[u1 · · · uN

].Seja

41 = fx1x1(a), 42 = det

[fx1x1(a) fx1x2(a)fx2x1(a) fx2x2(a)

]

, · · · , 4N = det

fx1x1(a) · · · fx1xN(a)... ... ...

fxnx1(a) · · · fxnxN(a)

a cadeia de menores principais da matriz Hessiana H(a).1. Se 4k > 0 para todo k = 1, . . . , N , então f 2

u(a) é denida positiva, pelo que f(a) é ummínimo local;2. Se 4k < 0 para todo k ímpar e 4k > 0 para todo k par, com k = 1, . . . , N , então f 2

u(a)é denida negativa, pelo que f(a) é um máximo local;3. Se 4k > 0 para algum k ímpar ou 4k < 0 para algum k par, com k = 1, . . . , N , então

f 2u(a) é indenida, pelo que f(a) corresponde a um ponto de sela;4. Se 4j = 0 para algum j = 1, . . . , N − 1 e 4k 6= 0 para k > j, com k = 1, . . . , N , nada sepode concluir sobre a forma quadrática f 2

u(a) e, por consequência, sobre f(a).

EA EB 135 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 7SEM DEMONSTRAÇÃO: Ver, por exemplo, Dias Agudo, p. 186.Se conjugarmos os casos 3 e 4 da Proposição 7.6.4, ainda podemos tirar as conclusões seguintes:3-4 (i) se 4j = 0 para algum j ímpar e 4k < 0 para algum k > j par, então f 2u(a) éindenida, pelo que f(a) corresponde a um ponto de sela;3-4 (ii) se 4j = 0 para algum j par e 4k > 0 para algum k > j ímpar, então f 2

u(a) éindenida, pelo que f(a) corresponde a um ponto de sela.Se 4N = 0, então a característica2 da matriz Hessiana H(a) é menor do que N , digamos

c(H(a)) = r e r < N . Neste caso, o ponto 4 da Proposição 7.6.4, ainda, nos permite as arma-ções seguintes, apesar de serem inconclusivas quanto à natureza dos pontos de estacionariedade:4 (i) se 4k > 0 para todo k = 1, . . . , r e 4k = 0 para todo k = r + 1, . . . , N , então f 2u(a) ésemi-denida positiva e nada se pode concluir f(a);4 (ii) se, para todo k = 1, . . . , r, 4k < 0 para k ímpar e 4k > 0 para k par, e se, para todo

k = r + 1, . . . , N , 4k = 0, então f 2u(a) é semi-denida negativa e nada se pode concluir sobre

f(a).Exercício exemplo 7.6.2. Determine os pontos de estacionariedade da função a seguir indi-cada e classique-os como extremos:f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy .A Proposição 7.6.4 conjugada com a Proposição 7.6.3 simplica bastante o estudo dos extremosde funções escalares de duas variáveis.Proposição 7.6.5 (O caso particular N = 2). Sejam f : R2 → R um campo escalar de classe

C2 eH(a, b) =

[fxx(a, b) fxy(a, b)fyx(a, b) fyy(a, b)

]

.a matriz Hessiana de f calculada no ponto (x, y) = (a, b) . Suponhamos que (a, b) é um pontode estacionariedade de f . Nestas condições:1. se det[H(a, b)] > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(a, b) é um mínimo local;2. se det[H(a, b)] > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(a, b) é um máximo local;3. se det[H(a, b)] < 0, então f(a, b) corresponde a um ponto de sela;4. se det[H(a, b)] = 0, nada se pode concluir.Demonstração.Exercício exemplo 7.6.3. Determine os pontos de estacionariedade da função a seguir indi-cada e classique-os como extremos:f(x, y) = x3 − 3x2 + y2 .2A característica de uma matriz A denota-se por c(A) e, por denição, é o maior número de linhas, oucolunas, de A linearmente independentes.EA EB 136 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 77.7 Ficha de exercícios no 7Funções Reais de Várias Variáveis1. Considere a função seguinte:f(x, y) =

x2 − y3

2xy.Determine:(a) f(y, x) ; (b) f(−x,−y) ; (c) f

(1

x,1

y

)

; (d) 1

f(x, y).2. Determine o domínio de cada uma das funções seguintes e represente-o gracamente:(a) f(x, y) =

1√x+ y

+1√x− y

;(b) f(x, y) = ln(4− x2 − 4y2) ;(c) f(x, y) =√

x2 + y2 − 1 +√

4− x2 − y2 ;(d) f(x, y) = arcsen(y

x

)

;(e) f(x, y) =√x sen y ;(f) f(x, y) = tg

(x− y

x2 + y2

)

;(g) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 − z) ;(h) f(x, y, z) =√x+

√y +

√z .3. Represente gracamente as linhas ou superfícies de nível correspondentes aos valores cindicados das funções seguintes:(a) f(x, y) = x2 + y2, para c = 0, 1, 4, 9;(b) f(x, y) = exy, para c = e−2, e−1, 1, e, e2;(c) f(x, y, z) = x+ y + z, para c = −1, c = 0, c = 1;(d) f(x, y, z) = sen(x2 + y2 + z2), para c = −1, −1

2, 0,

√22, 1.Derivadas parciais1. Determine as (funções) primeira e segundas derivadas parciais das funções seguintes:(a) f(x, y) = arctg(x+ ey) ;(b) f(x, y) =

senh(x+ y)

ln(x− y);(c) f(x, y, z) = z sen(xy) + x cos(yz) ;

(d) f(x, y) = [cotg(x+ y)]ln(x+y) ;(e) f(x, y) = xy arccos(x+ y) + 3√xy ;(f) f(x, y, z) =

tgh(xyz)

xyz.EA EB 137 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 72. Verique que a funçãoz = ln(ex + ey)satisfaz a equação

∂2z

∂x2

∂2z

∂y2−(

∂2z

∂x∂y

)2

= 0 .3. Considere as funções seguintes:f(x, y) =

x3−y3

x2+y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0); g(x, y) =

xy2 sen(

1y

)

se y 6= 0

0 se y = 0.(a) Determine as primeiras derivadas parciais de f e g em todos os pontos de R2.(b) Determine ∂2f

∂x∂ye ∂2g

∂y∂xem todos os pontos de R2.4. Calcule os gradientes das funções seguintes nos pontos indicados:(a) z =

√

x2 + y2 no ponto (0, 3);(b) u = z3 cos(x− y) + sen(x+ y − z) no ponto (34π, π

4+ 1, 2

);(c) v =(arctg

(yx

))x no ponto (2, 2);(d) u = xyz no ponto (1,−1, 1);(e) u = 2x2 + 3y2 − cos z no ponto (1, 0, π2

).5. Verique que as funções seguintes são homogéneas e satisfazem o Teorema de Euler:(a) f(x, y) =x2 + y2

x+ y;(b) f(x, y) =

x2 + xy

x2 + y2; (c) f(x, y) =

1

y2+

ln(x)− ln(y)

x2;(d) f(x, y) = xe

y

x + y.Extremos1. Determine e classique os pontos de estacionariedade das funções seguintes:(a) z = x2 + (y − 1)2;(b) z = x2 − (y − 1)2;(c) z = 2x2 − xy − 3y2 − 3x+ 7y; (d) z = x2 − xy + y2 − 2x+ y;(e) z = sen(x) cosh(y);(f) z = e3x+3y(8x2 − 6xy + 3y2).2. Verique que as condições de 2a ordem nada podem concluir sobre a totalidade dos pontosde estacionaridade das funções(a) f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2;(b) f(x, y) = x3 + 6x2 − 3y2 + y3; (c) f(x, y) = x2y2 − 2xy;(d) f(x, y) = (x2 + y2 − 1)2.EA EB 138 c© HBO, 2012/2013

Capítulo 8Equações DiferenciaisNeste capítulo vamos estudar apenas as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem maissimples.8.1 Primeiras noçõesDenição 8.1.1. Designa-se por equação diferencial ordinária de 1a ordem a toda aequação que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y(x) ea sua derivada y′(x), i.e., uma equação do tipoF (x, y(x), y′(x)) = 0,onde F é uma função dada, denida em certo subconjunto de R3:

F : R3 → R.Como vamos apenas tratar de equações diferenciais ordinárias, no decurso destas notas, iremosdeixar cair o adjectivo "ordinárias".A função incógnita y(x) é, por vezes, designada por variável dependente da equação diferencial.Fixando este conhecimento, podemos escrever a equação diferencial na forma seguinte maissimples:F (x, y, y′) = 0.Notando que a derivada de uma função y se pode escrever na forma

y′ =d y

d x,podemos escrever a equação diferencial, de equação F (x, y, y′) = 0, na forma seguinte:

A(x, y) dx+B(x, y) dy = 0;onde A e B são funções dadas, denidas em subconjuntos de R2.Exemplo 8.1.1.y′ + xy = 0 , onde F (x, y, y′) = y′ + xy .139

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISA equação diferencial do exemplo anterior pode, também, ser escrita numa das formas equiva-lentes seguintes:dy

dx+ xy = 0 ou xy dx+ dy = 0 .Denição 8.1.2. Chama-se solução de uma equação diferencial de 1a ordem, no inter-valo (a, b), a uma função y = ϕ(x) derivável em (a,b), tal que, ao substituirmos y por ϕ(x) naequação diferencial, esta transforma-se numa identidade em ordem a x, em (a, b).Sempre que é possível encontrar uma expressão explícita y = ϕ(x), dizemos que a solução daequação diferencial é explícita.Exemplo 8.1.2. Verique que a função y = 2 + e−x é uma solução explícita da equaçãodiferencial:

y′ + y − 2 = 0 .Por vezes não é possível apresentar uma solução explícita para dada equação diferencial. Apenasconseguimos apresentar uma equaçãoG(x, y) = 0que dene, num intervalo (a, b), pelo menos, uma função real y = ϕ(x) que é solução explícitada equação diferencial. Neste caso, dizemos que a solução y = ϕ(x) está denida de formaimplícita pela equação G(x, y) = 0.Exemplo 8.1.3. Verique que a família de funções y = ϕ(x) que satisfazem à equaçãox2 + y2 = 4são soluções implícitas, no intervalo (−2, 2), da equação diferencial

2x+ 2yy′ = 0.A família de funçõesy = ϕ(x, C) ,dependente de uma constante arbitráriaC, que resolvem uma equação diferencial num intervalo,designa-se por solução geral da equação diferencial. Chama-se solução particular, a todaa função que se obtém da solução geral y = ϕ(x, C), quando se concretiza a constante C, istoé, a uma função

y = ϕ(x, C0) , com C0 = constante xa .Designa-se por solução singular de uma equação diferencial, a uma funçãoy = φ(x) ,que resolve uma equação diferencial num intervalo, mas que não se obtém a partir da soluçãogeral.Exemplo 8.1.4. Considere a equação diferencial seguinte:

(y′)2

2+ xy′ − y = 0 .EA EB 140 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS1. Verique que a família de funçõesy = Cx+

C2

2, C = constante ,é uma solução geral da equação diferencial dada.2. Justique que a função

y = 2x+ 2, C = constante ,é uma solução particular da equação diferencial dada.3. Verique que a funçãoy = −1

2x2é uma solução singular da equação diferencial dada.Denição 8.1.3. Uma equação diferencial diz-se escrita na forma normal, se puder serescrita do modo seguinte:

y′(x) = f(x, y(x));onde f(x, y) é uma função contínua, denida num domínio de R2.Por exemplo, as equações diferenciaisy′ + xy = 0 e 2x+ 2yy′ = 0podem ser escritas, respectivamente, nas formas normais seguintes:

y′ = f(x, y) , f(x, y) = −xy e y′ = f(x, y) , f(x, y) = −x

y.Denição 8.1.4. Chama-se curva integral de uma equação diferencial

F (x, y, y′) = 0 ,ao gráco de uma solução y = ϕ(x) dessa equação diferencial.8.2 Equações diferenciais de variáveis separáveisEquações diferenciais de variáveis separadasDenição 8.2.1. Chama-se equação diferencial de variáveis separadas, a toda a equaçãodiferencial que puder ser escrita na forma seguinte:y′ = f(x, y) , com f(x, y) = −A(x)

B(y).

EA EB 141 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISUma equação diferencial de variáveis separadas pode, também, aparecer escrita numa das for-mas equivalentes seguintes:A(x) +B(y)y′ = 0ou

A(x) dx+B(y) dy = 0 .Esta última escrita justica a denominação de equação diferencial de variáveis separadas.Proposição 8.2.1. A solução geral de uma equação diferencial de variáveis separadasy′ = f(x, y) , com f(x, y) = −A(x)

B(y),é dada, de forma implícita, pela equação integral seguinte:

∫

A(x) dx+

∫

B(y) dy = C , C = Const.Demonstração. Basta integrar a equação diferencial A(x) dx+B(y) dy = 0. Exemplo 8.2.1. Determine a solução geral da equação diferencial de variáveis separadas se-guinte:e−x + yy′ = 0 .Equações diferenciais de variáveis separáveisPor vezes, apesar de uma dada equação diferencial não ser de variáveis separadas, é possívelreduzi-la, por meio de operações algébricas simples, a uma equação diferencial desse tipo.Denição 8.2.2. Chama-se equação diferencial de variáveis separáveis, a toda a equaçãodiferencial que puder ser escrita na forma seguinte:

y′ = f(x, y) , com f(x, y) = −A(x, y)

B(x, y),onde as funções A(x, y) e B(x, y), denidas num domínio de R2, podem ser separadas emfunções de x e de y:

A(x, y) = A1(x)A2(y) , B(x, y) = B1(x)B2(y).As equações diferenciais de variáveis separáveis podem ser escritas nas formas equivalentesseguintes:A(x, y) +B(x, y)y′ = 0ou

A(x, y) dx+B(x, y) dy = 0 ;com A(x, y) = A1(x)A2(y) e B(x, y) = B1(x)B2(y).EA EB 142 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISProposição 8.2.2. A solução geral de uma equação diferencial de variáveis separáveisy′ = f(x, y) , com f(x, y) = −A(x, y)

B(x, y), A(x, y) = A1(x)A2(y) , B(x, y) = B1(x)B2(y).é dada, de forma implícita, pela equação integral seguinte:

∫A1(x)

B1(x)dx+

∫B2(y)

A2(y)dy = C , C = Const. , B1(x) 6= 0 , A2(y) 6= 0.Demonstração. Admitindo que B1(x) 6= 0 e A2(y) 6= 0, dividimos a equação diferencial

A1(x)A2(y) dx+B1(y)B2(y) dy = 0por B1(x)A2(y) e integra-se a equação resultante. Exemplo 8.2.2. Determine a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis se-guinte:3(y2 + 1) dx+ 2xy dy = 0 .Equações diferenciais homogéneasExistem equações diferenciais que, não sendo de variáveis separáveis, podem ser reduzidas aestas por meio de uma substituição adequada. Recordemos a noção de função homogénea.Denição 8.2.3. Seja f : R2 → R uma função denida num domínio D. Diz-se que f(x, y) éuma função homogénea de grau α, em x e em y, se

f(tx, ty) = tαf(x, y) para todos t > 0 e (x, y) ∈ D.No caso de α = 0, temos uma função homogénea de grau zero.Exemplo 8.2.3. Mostre que f(x, y) = x2 + y2 − xy é uma função homogénea de grau 2.Denição 8.2.4. Designa-se por equação diferencial homogénea, a toda a equação dife-rencial que puder ser escrita na formaA(x, y) dx+B(x, y) dy = 0 ,onde as funções A(x, y) e B(x, y), denidas num domínio de R2, são ambas homogéneas domesmo grau.Proposição 8.2.3. SejaA(x, y) dx+B(x, y) dy = 0 (8.2.1)uma equação diferencial homogénea. Então a substituição

y(x) = xu(x)transforma a equação diferencial dada numa equação diferencial de variáveis separáveis em xe em u:A(x, u) dx+ B(x, u) du = 0 .EA EB 143 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISDemonstração. Se a equação diferencial (8.2.1) é homogénea, então, por denição, as funçõesA e B são homogéneas do mesmo grau, digamos α. Então, para t = x−1, temos

1

xαA(x, y) = A

(1

xx,

1

xy

)

= A(

1,y

x

) e 1

xαB(x, y) = B

(1

xx,

1

xy

)

= B(

1,y

x

)

.Assim, multiplicando (8.2.1) por t = x−α, obtemosA(

1,y

x

)

dx+B(

1,y

x

)

dy = 0 . (8.2.2)Introduzamos, agora, uma nova função pondou(x) =

y(x)

x. (8.2.3)Então y = xu, d y = x du+ u dx e obtemos, a partir de (8.2.2),

A(1, u) dx+B(1, u) (x du+ u dx) = 0 ⇔ (A(1, u) +B(1, u)u) dx+B(1, u)x du = 0 . (8.2.4)Esta última, é uma equação diferencial de variáveis separáveis em x e em u. As equações diferenciais homogéneas são, pois, reduzidas a equações diferenciais de variáveisseparáveis, que já sabemos resolver. Depois da solução da equação diferencial nas variáveis x eu ser determinada, há que regressar à variável dependente y original pela substituição (8.2.3).Exemplo 8.2.4. Considere a equação diferencial seguinte:

(2x2 + y2) dx− xy dy = 0 .a) Mostre que se trata de uma equação diferencial homogénea.b) Determine a solução geral da equação diferencial dada.8.3 Equações diferenciais exactasDenição 8.3.1. Seja u(x, y) uma função denida e com derivadas parciais contínuas numdomínio de R2. Dene-se o diferencial da função u pordu =

∂ u

∂ xdx+

∂ u

∂ ydy.Exemplo 8.3.1. Determine o diferencial da função f(x, y) = x3y − 3x2 + y2 .Denição 8.3.2. Uma equação diferencial da forma

A(x, y) dx+B(x, y) dy = 0diz-se exacta, se existir uma função u(x, y) tal que A(x, y) dx+ B(x, y) dy é o diferencial deu, isto é, se

du = A(x, y) dx+B(x, y) dy.EA EB 144 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISProposição 8.3.1. SejaA(x, y) dx+B(x, y) dy = 0uma equação diferencial exacta. Então existe uma função u(x, y) satisfazendo a

∂ u∂ x

= A(x, y)

∂ u∂ y

= B(x, y)⇒

u(x, y) =∫A(x, y) dx

u(x, y) =∫B(x, y) dy .e tal que a equação

u(x, y) = C , C = constante ,dene, de forma implícita, a solução geral da equação diferencial dada.Demonstração. É uma consequência imediata da denição de equação diferencial exacta. Postas as denições, resta-nos encontrar um critério para vericar se determinada equaçãodiferencial é ou não exacta. A proposição seguinte dá-nos uma condição necessária e sucientepara isto acontecer.Proposição 8.3.2. Consideremos uma equação diferencial escrita na formaA(x, y) dx+B(x, y) dy = 0 , (8.3.5)onde A(x, y) e B(x, y) são funções com derivadas parciais contínuas num domínio aberto D ⊂

R2. É condição necessária e suciente para a equação diferencial (8.3.5) ser exacta que∂ A

∂ y=

∂ B

∂ xpara todos (x, y) ∈ D. (8.3.6)Demonstração. Começamos por provar a necessidade da condição (8.3.6). Seja

A(x, y)dx+B(x, y)dy = 0uma equação diferencial exacta. Então, por denição, existe uma função u(x, y) tal qued u = A(x, y) dx+B(x, y) dy.Mas,

d u =∂ u

∂ xdx+

∂ u

∂ ydye, portanto,

A(x, y) =∂ u

∂ x, B(x, y) =

∂ u

∂ y.Estas duas equações conduzem às relações

∂ A

∂ y=

∂2u

∂ x∂ ye ∂ B

∂ x=

∂2u

∂ y∂ x.Mas,

∂2u

∂ y∂ x=

∂2u

∂ x∂ y,EA EB 145 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISporque estas derivadas são contínuas. Portanto, se a equação diferencial (8.3.5) é exacta, entãoverica-se (8.3.6).Agora, vamos provar que a condição (8.3.6) é suciente. Suponhamos, então, que (8.3.6) évericada. Construímos uma função u(x, y) de tal forma queu(x, y) =

∫ x

x0

A(s, y)ds+

∫ y

y0

B(x0, t)dt , (8.3.7)ouu(x, y) =

∫ y

y0

B(x, s)ds+

∫ x

x0

A(t, y0)dt , (8.3.8)onde (x0, y0) é um ponto de D. É fácil vericar que, no caso de (8.3.7), utilizando (8.3.6),∂u

∂x= A(x, y),

∂u

∂y=

∫ x

x0

∂A(s, y)

∂yds+B(x0, y) =

∫ x

x0

∂ B(s, y)

∂ xds+B(x0, y) = B(x, y)e que, no caso de (8.3.8),

∂u

∂y= B(x, y),

∂u

∂x=

∫ y

y0

∂B(x, s)

∂xds+ A(x, y0) =

∫ y

y0

∂A(x, s)

∂yds+ A(x, y0) = A(x, y).Isto prova que a equação diferencial (8.3.5) é exacta. Observação 8.3.1. Resulta da proposição anterior que, a existir, a função u(x, y) terá assegundas derivadas parciais contínuas em D.Exemplo 8.3.2. Considere a equação diferencial seguinte:

(2xy + 3y) dx+ (4y3 + x2 + 3x+ 4) dy = 0 .a) Mostre que se trata de uma equação diferencial exacta.b) Determine a solução geral da equação diferencial dada.8.4 Equações diferenciais linearesDenição 8.4.1. Uma equação diferencialF (x, y, y′) = 0diz-se linear se for linear nas variáveis y e y′, isto é, se for da forma

y′ + a(x)y = b(x) ,onde a(x) e b(x) são funções contínuas num mesmo intervalo de R.EA EB 146 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISSe b(x) ≡ 0, a equação diferencial vem na formay′ + a(x)y = 0e designa-se por equação diferencial linear homogénea1. No caso de b(x) 6= 0, a equaçãodesigna-se por equação diferencial linear completa, ou não homogénea. Por outro lado, se

a(x) = 0, obtemos a equação diferencial de variáveis separáveisy′ = b(x) ⇔ dy − b(x) dx = 0 .Proposição 8.4.1. A solução geral de uma equação diferencial linear da forma

y′ + a(x)y = b(x) , (8.4.9)é dada pory(x) = e

−∫ x

x0a(s) ds

(∫ x

x0

b(s)e∫ s

s0a(t) dt

ds+ C

)

, C = constante . (8.4.10)Demonstração. De facto, multiplicando a equação diferencial (8.4.9) por e∫ x

x0a(s) ds, obtemos

(

e∫ x

x0a(s) ds

y(x))′

= e∫ x

x0a(s) ds

b(x) . (8.4.11)Integrando (8.4.11) entre x0 e x, obtemos (8.4.10). No caso particular da equação diferencial linear homogénea, b(x) ≡ 0 e a solução geral é dadapory(x) = C e

−∫ x

x0a(s) ds

, C = constante .Exemplo 8.4.1. Determine as soluções gerais das equações diferenciais lineares seguintes:a) y′ − tg(x) y = 0.a) y′ − tg(x) y = cos(x).A proposição seguinte permite-nos determinar a solução geral de uma equação diferencial linearcompleta de um modo diferente.Proposição 8.4.2. Sejam yp uma solução particular da equação diferencial linear completay′ + a(x)y = b(x) , (8.4.12)e

yh = Ce−

∫ x

x0a(s) ds

, C = constante , (8.4.13)a solução geral da correspondente equação diferencial linear homogéneay′ + a(x)y = 0 . (8.4.14)Então a solução geral yg da equação diferencial linear completa é dada poryg = yh + yp .1O signicado de homogeneidade aqui utilizado, é o algébrico. Não tem nada a ver com as funções homogé-neas, que denimos aquando das equações diferenciais homogéneas.EA EB 147 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISDemonstração. A demonstração consiste em determinar a expressão de uma solução particular.Para tal, vamos usar o denominado Método de Variação das Constantes. Consideremos a solu-ção geral (8.4.13) da correspondente equação diferencial linear homogénea (8.4.14). Procuremosa solução da equação completa (8.4.12) sob a forma dey(x) = c(x)e

−∫ x

x0a(s)ds ≡ c(x)yhp(x), (8.4.15)onde c(x) é uma nova função (desconhecida) de x e

yhp(x) = e−

∫ x

x0a(s)dsé uma solução particular, ao considerar C = 1 em (8.4.13), da equação diferencial linear homo-génea (8.4.14). Substituindo (8.4.15) na equação (8.4.12) obtemos

c′yhp + cy′hp + a(x)cyhp = c′yhp + c(y′hp + a(x)yhp) = b(x) ⇒ c′ =b(x)

yhp.Integrando a última equação em ordem a x, obtemos

c =

∫ x

x0

b(s)

yhp(s)ds+ C0 =

∫ x

x0

b(s)e∫ s

s0a(t)dt

ds+ C0 C0 = constante .Então, por (8.4.15), uma solução da equação diferencial não homogénea (8.4.12) tem a formay(x, C0) = c(x)e

−∫ x

x0a(s)ds

=

(∫ x

x0

b(s)e∫ s

s0a(t)dt

ds+ C0

)

e−

∫ x

x0a(s)ds

.Obtivemos, assim, a fórmula (8.4.10). Portanto, a solução particular da equação diferencial(8.4.12) éyp = e

−∫ x

x0a(s)ds

∫ x

x0

b(s)e∫ s

s0a(t)dt

ds ,o que termina a demonstração. Na proposição anterior, as soluções particulares são quaisquer soluções gerais quando se con-cretiza a constante C. Na maioria das situações, o mais simples é considerar C = 1. Pelaproposição anterior, a solução geral de uma equação diferencial linear completay′ + a(x)y) = b(x)é dada por

yg = yh + yp ,onde yh é a solução da equação diferencial linear homogénea associada e yp é uma soluçãoparticular da equação diferencial linear completa. A demonstração desta proposição apresenta-nos um método para determinar uma solução particular e que consiste em usar o Método deVariação das Constantes Arbitrárias. Por este método, fazemosyp = c(x)yhEA EB 148 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISe substituindo na equação diferencial linear completa, obtemosc′yh + cyh + a(x)cyh = b(x) ⇔ c′yh + c(yh + a(x)yh) = b(x) ⇔ c′yh = b(x) ⇒ c =

∫b(x)

yhdx.A solução geral será então dada por

yg = yh +

∫b(x)

yhdx yh .Uma forma equivalente deste raciocínio, consiste em escrever a solução geral yg da equaçãodiferencial linear completa como

yg = ug vp ,onde vp = vp(x) é uma solução particular da equação diferencial linear homogéneav′ + a(x)v = 0e ug = ug(x) é a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveisu′vp = b(x) ,com vp = vp(x) conhecida.Exemplo 8.4.2. Considere a equação diferencial linear seguinte:y′ + y = 1 .a) Determine a solução geral da equação diferencial linear homogénea associada.b) Determine uma solução particular da equação diferencial dada.c) Indique a solução geral da equação diferencial linear dada.8.5 Problema de CauchyConsideremos uma equação diferencial escrita do modo seguinte:

F (x, y, y′) = 0 .Denição 8.5.1. O Problema de Cauchy consiste em, dado um ponto (x0, y0) na projecçãorelativa a (x, y) do domínio de R3 da função F , encontrar soluções y = y(x), denidas emalgum intervalo (a, b), tais que x0 ∈ (a, b) e

F (x, y, y′) = 0y(x0) = y0 .O par (x0, y0) designa-se por dados de Cauchy ou dados iniciais e a correspondente equação

y(x0) = y0, por condição de Cauchy ou condição inicial. Neste sentido, o problema deCauchy é muitas vezes designado por problema de valor inicial.Geometricamente, o problema de Cauchy consiste em determinar a curva integral, da equaçãodiferencial F (x, y, y′) = 0, que passa por um dado ponto (x0, y0) do plano xy.A questão que agora se coloca é a de saber se todo o problema de Cauchy vai ter uma soluçãoe se esta solução é única. De seguida apresentamos um resultado de existência para equaçõesdiferenciais que se podem escrever na forma normal y′ = f(x, y).EA EB 149 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISProposição 8.5.1 (Existência e Unicidade). Consideremos o problema de Cauchy seguinte:

y′ = f(x, y)y(x0) = y0 .

(8.5.16)Suponhamos que a função f(x, y) satisfaz as condições seguintes:(1) f é uma função contínua em relação às variáveis x e y no domínioD =

(x, y) ∈ R2 : |x− x0| < a, |y − y0| < b

, (8.5.17)onde a e b são constantes reais positivas;(2) ∂f

∂yexiste e é contínua em relação às variáveis x e y em D.Então, existem ε > 0 e um intervalo (x0 − ε, x0 + ε) da variável x, no qual está denida umaúnica solução y = y(x) do problema de Cauchy dado.Demonstração. Vamos dividir a demonstração em duas partes principais: Existência e Unici-dade.Existência: Dada a sua extensão, vamos dividir a prova de existência de solução em trêspartes.Parte 1 Construir uma sucessão de funções yn(x) que, à medida que n cresce, melhor resolveo problema de Cauchy (8.5.16).Integrando ambos os membros de y′ = f(x, y) em ordem a x e usando a condição inicial

y(x0) = y0, obtemos o problema integral equivalente a (8.5.16)y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t)) dt . (8.5.18)Consideramos, agora, a sucessão de soluções aproximadas yn de (8.5.18) denidas recursiva-mente poryn+1(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, yn(t) dt (8.5.19)e mostremos que esta sucessão é convergente. Mostremos que, em qualquer iterada n de (8.5.19),o par (x, yn(x)) está no domínio D, ou seja que|x− x0| ≤ a ⇒ |yn(x)− y0| ≤ b ∀n ∈ N0 . (8.5.20)Para isto, vamos mostrar, por indução, que para qualquer n ∈ N0 se tem

x0 ≤ x ≤ x0 + ε ⇒ |yn(x)− y0| ≤ b , (8.5.21)onde ε será escolhido mais adiante de modo que (8.5.21) seja satisfeita no domínio D. Antesdo mais, observemos que da continuidade da função f nas variáveis x e y no domínio D, existeuma constante real não negativa M tal queM = max

(x,y)∈D|f(x, y)| . (8.5.22)EA EB 150 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISPara n = 0, (8.5.21) é imediato. Admitamos que (8.5.21) é válido para um certo n ∈ N emostremos que também é verdade para n+1. Ora se é válido para n, temos que |yn(x)−y0| ≤ be, como nesta iterada a função f é contínua, |f(x, yn(x))| ≤ M . Então para n+ 1 temos|yn+1(x)− y0| =

∣∣∣∣

∫ x

x0

f(t, yn(t)) dt

∣∣∣∣≤∫ x

x0

|f(t, yn(t))| dt ≤ M(x− x0) ≤ Mε . (8.5.23)Escolhemos, agora, ε de modo que ε ≤ a e Mε ≤ b. Portanto, consideramosε = min

(

a,b

M

)

.De igual modo se prova quex0 − ε ≤ x ≤ x0 ⇒ |yn(x)− y0| ≤ b . (8.5.24)Finalmente, conjugando (8.5.21) e (8.5.24), permite mostrar (8.5.20)Parte 2 Mostrar que yn(x) converge para uma função y(x) no intervalo (x0 − ε, x0 + ε).Como

yn(x) = y0 + [y1(x)− y0] + [y2(x)− y1(x)] + · · ·+ [yn(x)− yn−1(x)] ,a convergência de yn(x) está directamente ligada à convergência da série∞∑

n=1

[yn(x)− yn−1(x)] .Numa primeira análise, temos|yn(x)− yn−1(x)| ≤

∫ x

x0

|f(t, yn−1(t))− f(t, yn−2(t))| dt .Pelo Teorema de Lagrange, temos|yn(x)− yn−1(x)| ≤

∫ x

x0

∣∣∣∣

∂f

∂y(x, ξ)

∣∣∣∣|yn−1(t)− yn−2(t)| dtpara algum ξ entre yn−1(t) e yn−2(t). Por (8.5.20), sabemos que os pares (x, yn(x) pertencemao domínio D. Então, pela continuidade de ∂f

∂yem D, temos

|yn(x)− yn−1(x)| ≤ L

∫ x

x0

|yn−1(t)− yn−2(t)| dtondeL = max

(x,y)∈D

∣∣∣∣

∂f

∂y(x, y)

∣∣∣∣.Por outro lado, temos para x0 < x < x0 + ε

|y1(x)− y0| ≤∫ x

x0

|f(t, y0)| dt ≤ M(x− x0) ,EA EB 151 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS|y2(x)− y1(x)| ≤ L

∫ x

x0

|y1(t)− y0| dt ≤ ML(x − x0)

2

2,

|y3(x)− y2(x)| ≤ L

∫ x

x0

|y2(t)− y1(t)| dt ≤ ML2 (x− x0)3

3!e por um processo indutivo, obtemos, para x0 < x < x0 + ε e para qualquer n ∈ N,|yn(x)− yn−1(x)| ≤ L

∫ x

x0

|yn−1(t)− yn−2(t)| dt ≤ MLn−1 (x− x0)n

n!.De modo inteiramente análogo se prova que, para x0 − ε < x < x0 e para qualquer n ∈ N,

|yn(x)− yn−1(x)| ≤ L

∫ x

x0

|yn−1(t)− yn−2(t)| dt ≤ MLn−1 (x0 − x)n

n!.Temos, assim, que para x0 − ε < x < x0 + ε,

∞∑

n=1

|yn(x)− yn−1(x)| ≤∞∑

n=1

MLn−1 |x− x0|nn!

≤ M

L

∞∑

n=1

(Lε)n

n!=

M

L(eLε − 1) < ∞ .Então, pelo Critério de Weierstrass2 da convergência uniforme das séries, a série acima convergeuniformemente para uma função soma y∗(x) contínua no intervalo (x0−ε, x0+ε). Por consequên-cia, a sucessão de funções yn(x) converge uniformemente para uma função y(x) = y0 + y∗(x)contínua neste intervalo.Parte 3 Mostrar que a função y(x) encontrada no passo anterior é, ainda, uma solução doProblema de Cauchy (8.5.16).Sabemos que a sucessão yn(x) satisfaz a igualdade integral (8.5.19). Fazendo então n → ∞nesta equação, obtemos

y(x) = y0 + limn→∞

∫ x

x0

f(t, yn(t))dt .A demonstração desta parte consiste então em mostrar quelimn→∞

∫ x

x0

f(t, yn(t))dt =

∫ x

x0

f(t, y(t))dt .Comecemos por observar que, por (8.5.20), o par (x, y) da função limite y(x) pertence aodomínio D, caso contrário existiriam sempre alguns pares (x, yn(x)) que não estariam em D.Sem perda de generalidade, admitamos que x0 = 0. Caso contrário, podemos sempre fazer atranslação x−x0. Primeiro notamos que o problema de Cauchy (8.5.16) é equivalente à equaçãointegral seguinte:y(x) =

∫ x

0

f (t, y(t)) dt. (8.5.25)Vamos construir uma sucessão yn(x)n∈N de funções, determinadas pela relação de recorrênciayn(x) =

∫ x

0

f (t, yn−1(t)) dt, n = 1, 2, ... .2Ver Santos Guerreiro.EA EB 152 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISAssim,y′n(x) = f (x, yn−1(x)) , n = 1, 2, ... .Como aproximação inicial y0(x), podemos considerar qualquer função que seja contínua numavizinhança do ponto x = 0, em particular, a função y0(x) = y0, onde y0 é o valor inicial doproblema de Cauchy (8.5.16). Vamos estabelecer uma estimativa a priori para as funções yn(x).Temos, por (8.5.22), que

|yn(x)| =

∣∣∣∣

∫ x

0

f(t, yn−1(t))dt

∣∣∣∣≤∫ x

0

|f(t, yn−1(t))| dt

≤ M

∫ h

0

dt = Mh ≤ b, se h ≤ b

M.e

|y′n| = |f(t, yn−1)| ≤ M.As últimas estimativas indicam que a sucessão yn(t)n∈N é um conjunto compacto, isto é:• o conjunto yn(t) é uniformemente limitado

|yn(x)| ≤ M ;

• é equicontínuo|yn(x1)− yn(x2)| =

∣∣∣∣

∫ x2

x1

f(t, yn(t))dt

∣∣∣∣≤ M |x1 − x2|.Então, de acordo com o Teorema de Arzela-Ascoli3, podemos extrair uma subsucessão ynk

convergente. Vamos, agora, provar que toda a sucessão yn também converge uniformemente.Então, cada subsucessão tem o mesmo limite, que será a solução da equação diferencial. Sejaλn = yn − yn−1.Cada uma das funções yn e yn−1 satisfazem às equações seguintes

yn(x) =

∫ x

0

f(t, yn−1(t))dt, n = 1, 2, ... , (8.5.26)yn−1(x) =

∫ x

0

f(t, yn−2(t))dt, n = 2, 3, ... . (8.5.27)Subtraindo (8.5.27) a (8.5.26), obtemosλn = yn(x)− yn−1(x) =

∫ x

0

(f(t, yn−1(t))− f(t, yn−2(t))) dt.Pelo Teorema de Lagrange,f(t, y(1))− f(t, y(2)) =

∂f

∂y(t, y∗)(y(1) − y(2)) (8.5.28)3Ver, por exemplo, J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, p. 179.EA EB 153 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISpara algum y∗ entre y(1) e y(2) e para qualquer intervalo de extremos y(1) e y(2). Então, deacordo com a hipótese (2), obtemos as relações de recorrência|λn| = |yn(x)− yn−1(x)| =

∣∣∣∣

∫ x

0

(f(t, yn−1(t))− f(t, yn−2(t))) dt

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

∫ x

0

∂f

∂y(t, y∗) (yn−1(t)− yn−2(t)) dt

∣∣∣∣≤ C

∫ |x|

0

|λn−1(t1)|dt1 (8.5.29)≤ C2

∫ |x|

0

dt1

∫ t1

0

|λn−2|dt2 ≤ Cn−1

∫ |x|

0

dt1....

∫ tn−2

0

|λ1|dtn−1.É fácil vericar que|λ1| = |y1(x)| =

∣∣∣∣

∫ x

0

f(x, y0(x))dx

∣∣∣∣≤ M |x| ≤ a, |x| ≤ h ≤ a

Me que∫ x

0

t1dt1 =x2

1 · 2 (n = 2),

∫ x

0

dt1

∫ t1

0

dt2 =x3

1 · 2 · 3 , (n = 3), . . .implica ∣∣∣∣∣∣∣∣

∫ x

0

dt1....

∫ tn−1

0

tn−1dtn−1

︸ ︷︷ ︸

n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣

=|x|nn!

. (8.5.30)Voltando à desigualdade (8.5.29), obtemos|λn| = |yn(x)− yn−1(x)| ≤

MCn−1hn

n!= ε(n), |x| < h ≤ a

M.É claro que

ε(n) → 0 quando n → ∞.Agora, introduzimos a série funcionalSn(x) = y0 +

n∑

k=1

(yk − yk−1) = yn(x) = y0 +n∑

k=1

uk(x).É fácil vericar, pelo Critério de Weierstrass, que esta série converge uniforme e absolutamente.Efectivamente,|uk(x)| ≤ Mk =

MCk−1hk

k!,

∞∑

k=1

Mk =M

C(eCh − 1) < ∞ .Isto signica que

y(x) = limn→∞

yn(x) = limn→∞

∫ x

0

f(t, yn−1(t))dt

=

∫ x

0

f(t, limn→∞

yn−1(t))dt =

∫ x

0

f(t, y(t))dt .EA EB 154 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISUnicidade Suponhamos, com vista a um absurdo, que existiam duas soluções distintasy1(x) e y2(x)do problema de Cauchy (8.5.16). Então a sua diferença

y(x) = y1(x)− y2(x) 6= 0seria uma solução da equação integraly(x) =

∫ x

0

(f(t, y1(t))− f(t, y2(t)))dt =

∫ x

0

G(t)y(t)dt, (8.5.31)ondeG(t) =

f(t, y1(t))− f(t, y2(t))

y1(t)− y2(t).Aplicando o Teorema de Lagrange como em (8.5.28) e, ainda, a hipótese (2), chegamos àestimativa

|G(t)| ≤∣∣∣∣

∂f

∂y(t, y∗)

∣∣∣∣≤ Cpara algum y∗ entre y1(t) e y2(t). Vamos denotar

max|t|≤|x|

|y(t)| = Y (x)Da equação (8.5.31), resulta queY (x) ≤ C |x| Y (x).Escolhemos x tal que

C |x| ≤ k < 1.EntãoY (x)(1− k) ≤ 0.Isto signica que

Y (x) = max |y1(x)− y2(x)| ≤ 0,ou seja,y1(x) = y2(x).Fica, assim, concluída a demonstração do teorema. Observação 8.5.1. A demonstração do teorema anterior deve-se essencialmente a Picard. Noentanto, contribuições importantes foram feitas por Lindelöf e Lipschitz. Um caso particulardeste resultado já fora demonstrado por Cauchy anteriormente. A extensão do resultado deCauchy a equações às derivadas parciais foi demonstrado por Kovalevskaya, também anterior-mente.Exemplo 8.5.1. Verique se os problemas de Cauchy seguintes satisfazem as condições doTeorema de Picard. Em caso armativo, determine as suas soluções.

a)

xy′ = yy(2) = 1 ;

b)

y′ =

√y

y(0) = 0 .EA EB 155 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAISA demonstração do Teorema de Picard, mostra-nos que a solução de um problema de Cauchyresolúvel pode ser construída como o limite de uma sucessão das soluções aproximadas, comose transcreve na proposição seguinte.Proposição 8.5.2. A solução do Problema de Cauchy (8.5.16) pode ser construída como olimite de uma sucessão das soluções aproximadas, dadas pela relação de recorrência seguinte:yn(x) = y0 +

∫ x

x0

f (t, yn−1(t)) dt =

∫ x

0

f(t, yn−1(t))dt, n = 1, 2, . . . . (8.5.32)A estimativa do erro cometido, ao substituirmos a solução exacta pela n-ésima aproximaçãoyn(x) é dada pela desigualdade

|yn(x)− y(x)| ≤ MC(n−1)

n!hn = ε(n) → 0,quando n → ∞.Demonstração. Seja

∆yn = y(x)− ynondey(x) =

∫ x

0

f(t, y(t))dt. (8.5.33)Subtraindo (8.5.32) a (8.5.33), obtemos∆yn = y(x)− yn(x) =

∫ x

0

(f(t, y(t))− f(t, yn(t))) dt.Utilizando o Teorema de Lagrange como em (8.5.28), podemos escreverf(t, y(t))− f(t, yn(t) =

∂f

∂y(t, y∗)(y(t)− yn(t)),onde ∣∣∣∂f∂y ∣∣∣ ≤ C. Obtemos, então, as relações de recorrência

|∆yn| = |y(x)− yn(x)| ≤ C

∣∣∣∣

∫ x

0

|∆yn−1|dt1∣∣∣∣

(8.5.34)≤ C2

∣∣∣∣

∫ x

0

dt1

∫ t1

0

|∆yn−2|dt2∣∣∣∣≤ Cn−1

∣∣∣∣

∫ x

0

dt1....

∫ tn−2

0

|∆y0|dtn−1

∣∣∣∣.É fácil vericar que

|∆y0| = |y(x)| ≤∣∣∣∣

∫ x

0

f(x, y(x))dx

∣∣∣∣≤ Mh, |x| ≤ h.Voltando à desigualdade (8.5.34) e aplicando a relação (8.5.30), obtemos

|∆yn| = |y(x)− yn(x)| ≤MCn−1hn

n!= ε(n), |x| < h,EA EB 156 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I Ficha de exercícios no 8ondeε(n) → 0 quando n → ∞,o que conclui a demonstração. As aproximações anteriores são designadas por aproximações de Picard. Estas aproximaçõesdão-nos um método numérico para obtermos um valor aproximado da solução do Problema deCauchy. Deste modo, a sucessão yn, das soluções aproximadas, converge uniformemente paraa solução exacta y do Problema de Cauchy. A solução y(x), do Problema de Cauchy, obtidapor este processo, é única.Exemplo 8.5.2. Considere o Problema de Cauchy seguinte:

y′ = 1 + y2

y(2) = 1 ;.a) Determine as três primeiras aproximações de Picard.b) Determine a solução do Problema de Cauchy.c) Compare o valor da aproximação de Picard y3(x) com o da solução exacta y(x) no ponto

x = 0.8.6 Ficha de exercícios no 8Primeiras noções1. Considere as equações diferenciais seguintes:(a) dy

dx= e2x;(b) dy = (y2 + x)dx;(c) y′′ + 4y = (x2 + 1)3; (d) x2dy + 3ydx = 25dx;(e) y′ + x = 3;(f) y′′ − (y′)3 + y = sen(x).1.1 Indique a ordem de cada uma das equações diferenciais.1.2 Distinga as equações diferenciais lineares das não lineares.1.3 Quando possível, escreva cada equação diferencial na forma normal.Equações de variáveis separadas1. Resolva as equações diferenciais de variáveis separadas seguintes:(a) dy

y+ 2xdx = 0;(b) y′ = x cos(2x);(c) yy′ + 4x = 0.

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CÁLCULO I Ficha de exercícios no 8Equações de variáveis separáveis1. Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis seguintes:(a) y′ + (x+ 2)y2 = 0;(b) y′eπx = y2 + 1;(c) dy

dx= xy2ex.Equações homogéneas1. Resolva as equações diferenciais homogéneas seguintes:(a) xy′ − y −

√

x2 − y2 = 0;(b) 2xyy′ = y2 − x2;(c) y′ =x− y

2x+ 4y.Equações exactas1. Supondo que o diferencial total de uma função u(x, y) é dado por

du = 3x(xy − 2)dx+ (x3 + 2y)dy ,determine u(x, y).2. Considere as equações diferenciais seguintes:(a) (1 + 2xy3)dx+ 3x2y2dy = 0;(b) [cos(y) senh(x) + 1] dx+ sen(y) cosh(x) dy = 0;(c) 3x2(1 + ln y)dx+

(x3

y− 2y

)

dy = 0;(d) 4xy − x3 + (2x2 − y)y′ = 0.a) Verique que estas equações diferenciais são exactas.b) Resolva as equações diferenciais dadas acima.Equações lineares1. Resolva as equações diferenciais lineares seguintes:(a) x2y′ + xy + 1 = 0;(b) y′ + tg(x) y = sen(2x);(c) y′ +y

x2= 2xe

1x ;(d) cos2(x) y′ + 3y = 1.EA EB 158 c© HBO, 2012/2013

CÁLCULO I BIBLIOGRAFIAProblema de Cauchy1. Considere os Problemas de Cauchy seguintes:(A)

y′ = −xy(0) = 2

; (B)

yy′ + x = 0y(3) = 4

.a) Mostre que estes Problemas de Cauchy satisfazem as condições do Teorema de Exis-tência e Unicidade de Solução.b) Calcule essas soluções.2. Mostre que os Problema de Cauchy seguintes(A)

(x− 1)y′ = 2yy(1) = 1

; (B)

y′ =√

|y|y(0) = 0

.não satisfazem as condições do Teorema de Existência e Unicidade de Solução, indicandose o que falha é a existência ou a unicidade de solução.3. Resolva os Problemas de Cauchy seguintes:(A)

xy′ − y − x cos2

(yx

)= 0

y(1) = π4

; (B)

y′ + seny+y senx+x−1

x cos y−cos x−y−1 = 0

y(π2

)=√

2π

.4. Considere os Problemas de Cauchy seguintes:(A)

y′ = yy(0) = 2

; (B)

y′ = 1 + y2

y(2) = 1; (C)

y′ = 1− y3

y(0) = 0.Para cada um deste problemas:a) determine as aproximações de Picard y1 , y2 e y3 da solução desses problemas.b) usando y3, estime o valor de y(1) para cada problema.c) calcule as soluções exactas dos problemas e compare o valor destas no ponto x = 1com os estimados na alínea anterior.

EA EB 159 c© HBO, 2012/2013

Bibliograa[1] S.N. Antontsev. Equações Diferenciais Ordinárias. Universidade da Beira Interior, Covilhã,2004.[2] T.M. Apostol. Calculus volumes I e II. John Wiley & Sons, New York, 1967 e 1969.[3] R. Beals. Analysis - An Introduction. Cambridge University Press, 2004.[4] A. Bivar Weinholtz. Equações Diferenciais - Uma Introdução. Textos de Matemática, Fa-culdade de Ciências de Lisboa, 2000.[5] W.E. Boyce, R.C. Diprima. Calculus. John Willey & Sons, 1988.[6] W. E. Boyce, R.C. Diprima. Elementary Dierential Equations and Boundary Value Pro-blems. John Wiley & Sons, New York, 1992.[7] R.C. Buck. Advanced Calculus. Waveland Pr. Inc., 2003.[8] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian,Lisboa, 1987.[9] R. Courant e F. John. Introduction to Calculus and Analysis. Volume I. Springer-Verlag,New York, 1989.[10] B. Demidovitch (sob a redacção). Problemas e Exercícios de Análise Matemática. 6a edição.Editora Mir, Moscovo, 1987.[11] M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko e E. Shikin. Mathematical Analysis for Engineers.Volume 1. Mir Publishers, Moscow, 1989.[12] E. Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, New York, 2005.[13] J.E. Marsden e M.J. Homan. Elementary Classical Analysis. Second Edition. W.E. Fre-eman and Company, New York, 1995.[14] W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill International Editions, 1976.[15] J. Santos Guerreiro. Curso de Análise Matemática. Escolar Editora, Lisboa, 1989.[16] V. Zorich. Mathematical Analysis I, II. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2004.160