Apostila

UNIVATES - Centro Universitario

Centro III

Curso de Engenharia de Automacao e Controle

Curso de Engenharia Sanitaria e Ambiental

Curso de Engenharia da Computacao

Curso de Engenharia de Producao

Algebra Lineare

Geometria Analitica

porProf.Dr. Claus Haetinger e-mail: [email protected]

URL http://ensino.univates.br/chaet

eProfa.Drnda. M. Madalena Dullius e-mail: [email protected]

Lajeado, 24 de Julho de 2006

Sumario

1 Introducao 1

2 O Plano 5

3 O Espaco 19

4 Curvas Planas, Equacoes Parametricas e Coordenadas Po-lares 27

5 Matrizes 585.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Tipos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4 Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4.1 Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4.2 Subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4.3 Multiplicacao por um Numero Real . . . . . . . . . . . 665.4.4 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.5 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Exerccios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 755.6 Respostas dos Principais Exerccios do Captulo . . . . . . . . 83

6 Sistemas Lineares 876.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3 Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3.1 Operacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3.2 Procedimento para a Reducao de uma Matriz a` Forma

Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Sistema Linear Escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.1 Resolucao de um Sistema Linear Escalonado . . . . . 946.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear . . . . . . . . . 94

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6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz a` Forma EscalonadaReduzida por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5 Solucoes de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


7 Determinante e Matriz Inversa 1047.1 Breve Relato Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.3.1 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4 Matriz Adjunta Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.6 Metodo Pratico para Encontrar A1 . . . . . . . . . . . . . . 1157.7 Exerccios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 1167.8 Respostas dos Principais Exerccios do Captulo . . . . . . . . 117

8 Introducao a`s Transformacoes Lineares 118

9 Espacos Vetoriais 1319.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Vetores no Plano e no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.2.2 Vetores no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.3 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.4 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.2 Contra-Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.4.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.4.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.5 Combinacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.6 Dependencia e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . 1439.6.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.7 Base de Um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.7.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.8 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.8.1 A Inversa da Matriz de Mudanca de Base . . . . . . . 1499.8.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149


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10 Aprofundamento Sobre Transformacoes Lineares 15610.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.3 Transformacoes do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.3.1 Expansao (ou Contracao) Uniforme . . . . . . . . . . 15810.3.2 Reflexao em Torno do Eixo ~OX . . . . . . . . . . . . . 15910.3.3 Reflexao pela Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.3.4 Rotacao de um angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.3.5 Cisalhamento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.3.6 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.4 Conceitos e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5 Transformacoes Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 16410.6 Aplicacoes a` Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11 Desigualdades Lineares 174

12 Variedades Lineares, Conjuntos Convexos e ProgramacaoLinear 18012.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.3 Topicos da Programacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.4 Metodologia de Resolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.5 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.5.2 Caracterizacao Geometrica dos Vertices . . . . . . . . 188

12.6 Introducao a` Programacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.6.1 Topicos sobre Produto Interno . . . . . . . . . . . . . 18912.6.2 Metodo Geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.6.3 Teorema Fundamental da PL . . . . . . . . . . . . . . 19312.6.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194


13 Curvas Conicas 20113.1 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

13.1.1 Equacao Reduzida da Elipse com Centro na Origem eFocos sobre os Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . 202

13.1.2 Equacao da Elipse Cujos Eixos sao Paralelos aos EixosCoordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13.1.3 Posicao Relativa entre Reta e Elipse . . . . . . . . . . 20413.2 A Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

13.2.1 Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Ori-gem e Foco sobre um dos Eixos Coordenados . . . . . 205

13.2.2 Equacao Reduzida da Parabola Cujo Eixo de Simetriae Paralelo a um dos Eixos Coordenados . . . . . . . . 207

13.2.3 Posicao Relativa entre Reta e Parabola . . . . . . . . 20713.3 A Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

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13.3.1 Equacao Reduzida da Hiperbole com Centro na Ori-gem e Focos sobre os Eixos . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.3.2 Equacao Reduzida da Hiperbole Cujos Eixos sao Pa-ralelos aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . 209

13.3.3 Posicao Relativa entre Reta e Hiperbole . . . . . . . . 21013.4 Equacoes de Conicas com Eixo(s) Nao Paralelo(s) aos Eixos

Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21013.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.5 Aplicacao das Translacoes e Rotacoes ao Estudo da EquacaoGeral do Segundo Grau a Duas Variaveis . . . . . . . . . . . 21213.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

13.6 A Equacao Geral do Segundo Grau a Duas Variaveis e asConicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

13.7 Respostas dos Principais Exerccios do Captulo . . . . . . . . 216

A Artigos para Aprofundamento 217A.1 Comparacao dos Procedimentos para Resolver Sistemas Li-

neares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.2 Algebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.3 Correlacion de Pares de Imagenes para Medicion de Solidos

por Fenomenos Estereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.4 Introducao a` Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . 217A.5 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.6 Espacos Vetoriais Introducao: Quadrados Magicos . . . . . 217A.7 Compressao de Imagem Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.8 Investigacao: Azulejos, Reticulados e a Restricao Crista-

lografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.9 Investigacao: A Fatoracao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.10 Codigos Corretores de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.11 Grafos e Dgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.12 Investigacao: Pivotamento Parcial e Contagem de Operacoes

- Uma Introducao a` Analise de Algoritmos . . . . . . . . . . . 218A.13 Analise de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.14 Simulador de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.15 Vetores de Codigo e Aritmetica Modular . . . . . . . . . . . . 218A.16 Diagonalizacao de Formas Quadraticas: Secoes Conicas . . . 218A.17 A Rampa de Skate do Tempo Mnimo . . . . . . . . . . . . . 218A.18 Por Que as Antenas Sao Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . 219A.19 A Hiperbole e os Telescopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.20 A Sombra do Meu Abajur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.21 A Matematica do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.22 Montando uma Dieta Alimentar com Sistemas Lineares . . . 219A.23 Resumo Sobre Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.24 Um Brinquedo Chamado Espirografo . . . . . . . . . . . . . . 219

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B Autovalores e Vetores Proprios, Diagonalizacao de Opera-dores Lineares 220B.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220B.2 Sistemas Lineares da Forma Ax = x . . . . . . . . . . . . . . 221B.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222B.4 Diagonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

B.4.1 Um Procedimento para Diagonalizar uma Matriz . . . 227B.4.2 Multiplicidades Geometrica e Algebrica . . . . . . . . 229

B.5 Diagonalizacao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231B.5.1 Matrizes Ortogonais: Mudanca de Bases . . . . . . . . 231B.5.2 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas . . . . . . . . . 233

C Produto Escalar 235C.1 Angulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor . . . . . 237C.2 Projecao de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

D Processos Aleatorios: Cadeias de Markov 239D.1 Ideia Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239D.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242D.3 Previsoes a Longo Prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

D.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244D.4 Previsoes em Genetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

E Somatorios 251E.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251E.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252E.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253E.4 Respostas dos Principais Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . 254

F Topicos sobre Retas e suas Equacoes 255F.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255F.2 Coeficiente Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257F.3 Coeficiente Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

F.3.1 Um Caso a` Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262F.4 As Retas que Passam por um Ponto Dado . . . . . . . . . . . 268F.5 Paralelismo de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272F.6 Interseccao de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273F.7 Perpendicularismo de duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . 274

F.7.1 Projecao (Ortogonal) de um Ponto sobre uma Reta . . 275F.8 Equacao Geral e Equacao Reduzida . . . . . . . . . . . . . . 277

F.8.1 Equacao Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 277F.8.2 Equacao Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . 277

F.9 Distancia entre Ponto e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278F.10 Respostas dos Principais Exerccios do Captulo . . . . . . . . 281

Bibliografia 303

Captulo 1

Introducao

Iniciamos este polgrafo apresentando alguns exemplos de algumasdas inumeras aplicacoes da Algebra Linear. E claro que neste curso naoconseguiremos aborda-las todas. Contudo, o leitor interessando em maisdetalhes sobre os mesmos pode consultar [1].

Exemplo 1.0.1 (Jogos de estrategia)No jogo de roleta o jogador da seu lance com uma aposta e o cassino

responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino edeterminado a partir destes dois movimentos.

Estes sao os ingredientes basicos de uma variedade de jogos que contemelementos tanto de estrategia quanto de acaso. Os metodos matriciais podemser usados para desenvolver estrategias otimizadas para os jogadores.

Exemplo 1.0.2 (Administracao de florestas)O administrador de uma plantacao de arvores de Natal quer plantar e

cortar as arvores de uma maneira tal que a configuracao da floresta per-maneca inalterada de um ano para outro. O administrador tambem procuramaximizar os rendimentos, que dependem do numero e do tamanho dasarvores cortadas.

Tecnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o admi-nistrador a escolher uma programacao sustentavel de corte.

Exemplo 1.0.3 (Computacao grafica) Uma das aplicacoes maisuteis da computacao grafica e a do simulador de voo.

As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enormequantidade de dados necessarios para construir e animar os objetos tridi-mensionais usados por simuladores de voo para representar um cenario emmovimento.

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Exemplo 1.0.4 (Redes eletricas)Circuitos eletricos que contenham somente resistencias e geradores de

energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leisbasicas da teoria de circuitos.

Exemplo 1.0.5 (Distribuicao de temperatura de equilbrio)Uma tarefa basica da ciencia e da engenharia, que pode ser reduzida

a resolver um sistema de equacoes lineares atraves de tecnicas matriciaisiterativas, e determinar a distribuicao de temperatura de objetos tais comoa do aco saindo da fornalha.

Exemplo 1.0.6 (Cadeias de Markov)Os registros meteorologicos de uma localidade especfica podem ser usados

para estimar a probabilidade de que va chover em um certo dia a partir dainformacao de que choveu ou nao no dia anterior.

A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, commuita antecedencia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.

Exemplo 1.0.7 (Genetica)Os mandatarios do Egito antigo recorriam a casamentos entre irmaos

para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuoucertos tracos geneticos atraves de muitas geracoes.

A teoria das matrizes fornece um referencial matematico para examinaro problema geral da propagacao de tracos geneticos.

Exemplo 1.0.8 (Crescimento populacional por faixa etaria)A configuracao populacional futura pode ser projetada aplicando algebra

matricial a`s taxas, especificadas por faixas etarias, de nascimento e mor-talidade da populacao. A evolucao a longo prazo da populacao dependedas caractersticas matematicas de uma matriz de projecao que contem osparametros demograficos da populacao.

Exemplo 1.0.9 (Colheita de populacoes animais)A colheita sustentada de uma criacao de animais requer o conhecimento

da demografia da populacao animal. Para maximizar o lucro de uma colheitaperiodica, podem ser comparadas diversas estrategias de colheita sustentadautilizando tecnicas matriciais que descrevem a dinamica do crescimento po-pulacional.

Exemplo 1.0.10 (Criptografia)Durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte-americanos

e britanicos tiveram exito em quebrar o codigo militar inimigo usandotecnicas matematicas e maquinas sofisticadas.

Hoje em dia, o principal impulso para o desenvolvimento de codigosseguros e dado pelas comunicacoes confidenciais entre computadores e emtelecomunicacoes.


Exemplo 1.0.11 (Construcao de curvas e superfcies por pontosespecificados)

Em seu trabalho Principia Mathematica (Os Princpios Matematicosda Filosofia Natural), I. Newton abordou o problema da construcao de umaelipse por cinco pontos dados. Isto ilustraria como encontrar a orbita de umcometa ou de um planeta atraves da analise de cinco observacoes.

Ao inves de utilizarmos o procedimento geometrico de Newton, podemosutilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente.

Exemplo 1.0.12 (Programacao linear geometrica)Um problema usual tratado na area de programacao linear e o da deter-

minacao de proporcoes dos ingredientes em uma mistura com o objetivo deminimizar seu custo quando as proporcoes variam dentro de certos limites.Um tempo enorme do uso de computadores na administracao e na industriae dedicado a problemas de programacao linear.

Exemplo 1.0.13 (O problema da alocacao de tarefas)Um problema importante na industria e o do deslocamento de pessoal e

de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo.Por exemplo, uma construtora pode querer escolher rotas para movimen-

tar equipamento pesado de seus depositos para os locais de construcao demaneira a minimizar a distancia total percorrida.

Exemplo 1.0.14 (Modelos economicos de Leontief)Num sistema economico simplificado, uma mina de carvao, uma ferrovia

e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da producaodas outras para sua manutencao e para suprir outros consumidores de seuproduto.

Os modelos de producao de Leontief podem ser usados para determinaro nvel de producao necessario a`s tres industrias para manter o sistemaeconomico.

Exemplo 1.0.15 (Interpolacao spline cubica)As fontes tipograficas PostScriptTM e TrueTypeTM usadas em telas de

monitores e por impressorar sao definidas por curvas polinomiais por partesdenominadas splines.

Os parametros que os determinam estao armazenados na memoria docomputador, um conjunto de parametros para cada um dos caracteres deuma particular fonte.

Exemplo 1.0.16 (Teoria de grafos)A classificacao social num grupo de animais e uma relacao que pode ser

descrita e analisada com a teoria de grafos.Esta teoria tambem tem aplicacoes a problemas tao distintos como a de-

terminacao de rotas de companhias aereas e a analise de padroes de votacao.

Exemplo 1.0.17 (Tomografia computadorizada)Um dos principais avancos no diagnostico medico e o desenvolvimento

de metodos nao invasivos para obter imagens de secoes transversais do corpohumano, como a tomografia computadorizada e a ressonancia magnetica.


Os metodos da Algebra Linear podem ser usados para reconstruir imagensa partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.

Exemplo 1.0.18 (Conjuntos fractais)Conjuntos que podem ser repartidos em versoes congruentes proporcio-

nalmente reduzidas do conjunto original sao denominadas fractais. Os frac-tais sao atualmente aplicados a` compactacao de dados computacionais.

Os metodos da Algebra Linear podem ser usados para construir e classi-ficar fractais.

Exemplo 1.0.19 (Teoria do Caos)Os pixels que constituem uma imagem matricial podem ser embara-

lhados repetidamente de uma mesma maneira, na tentativa de torna-losaleatorios. Contudo, padroes indesejados podem continuar aparecendo noprocesso.

A aplicacao matricial que descreve o processo de embaralhar ilustra tantoa ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos caoticos.

Exemplo 1.0.20 (Um modelo de mnimos quadrados para aaudicao humana)

O ouvido interno contem uma estrutura com milhares de receptores sen-soriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibracoes do tmpano, res-pondem a frequencias diferentes de acordo com sua localizacao e produzemimpulsos eletricos que viajam ate o cerebro atraves do nervo auditivo. Destamaneira, o ouvido interno age como um processador de sinais que decompoeuma onda sonora complexa em um espectro de frequencias distintas.

Exemplo 1.0.21 (Deformacoes e morfismos)Voce ja deve ter visto em programas de televisao ou clipes musicais ima-

gens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo dotempo, ou a transformacao de um rosto de mulher no de uma pantera, aprevisao de como seria hoje o rosto de uma crianca desaparecida ha 15 anosatras, etc.

Estes processos sao feitos a partir de algumas poucas fotos. A ideiade continuidade, de evolucao do processo, e feito atraves do computador.Este processo de deformacao e chamado de morfismo, que se caracteriza pormisturas de fotografias reais com fotografias modificadas pelo computador.

Tais tecnicas de manipulacao de imagens tem encontrado aplicacoes naindustria medica, cientfica e de entretenimento.

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Captulo 2

O Plano

Refere-se ao Captulo 2 de [30], paginas 16 a 39.

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Captulo 3

O Espaco

Refere-se ao Captulo 4 de [30], paginas 90 a 103.

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Captulo 4

Curvas Planas, EquacoesParametricas e CoordenadasPolares

Refere-se ao Captulo 12 de Larson, R.E.; Hostetter, R.P. e Edwards,B.H. ([12]), paginas 743 a 801.

CHAETINGER

27

Captulo 5

Matrizes

5.1 Introducao

Neste captulo, apresentamos os conceitos basicos sobre matrizes, osquais surgem de forma natural na resolucao de problemas, porque ordename simplificam os mesmos, bem como fornecem novos metodos de resolucao.

Adotaremos a abordagem logico-dedutiva, pois os alunos que, ao con-clurem o Ensino Medio, pretendem se dedicar de forma especializada a`sEngenharias, a` Qumica Industrial, a` Matematica ou a` Informatica, ingres-sando nestas areas na universidade, deparam-se com frequencia com ra-ciocnios logico-dedutivos e convem terem visto algo neste sentido ja desdeo incio do curso.

5.2 Conceito

Exemplo 5.2.1 Uma industria tem quatro fabricas A, B, C, D, cadauma das quais produz tres produtos 1, 2, 3. A tabela mostra a producao daindustria durante uma semana.

Fabrica A Fabrica B Fabrica C Fabrica DProduto 1 560 360 380 0Produto 2 340 450 420 80Produto 3 280 270 210 380

Tabela 5.1: Producao da industria por fabrica

Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela fabrica C?

58


Exemplo 5.2.2 Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso eidade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispo-los na tabela abaixo:

Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)Pessoa 1 1,70 70 23Pessoa 2 1,75 60 45Pessoa 3 1,60 52 25Pessoa 4 1,81 72 30

Tabela 5.2: Altura, peso e idade por pessoa

Ao abstrairmos os significados das linhas e das colunas, temos a matriz:1, 70 70 231, 75 60 451, 60 52 251, 81 72 30

Quando o numero de variaveis e de observacoes e muito grande, esta dis-posicao ordenada de dados e indispensavel.

Definicao 5.2.3 Sejam 1 m,n N; chama-se matriz mn (leia-se:m por n) a uma tabela constituda por mn elementos, dispostos em m linhas(horizontais) e n colunas (verticais).

Notacao: Seja Amn e sejam i, j N tais que: 1 i m e 1 j n;indicaremos com aij o elemento de A que ocupa a linha i e a coluna j; Asera indicada por:

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

ou de forma mais sintetica: A = (aij), com 1 i m e 1 j n.

Usaremos sempre letras maiusculas para denotar matrizes.Tambem sao utilizadas outras notacoes para matriz, alem de colchetes,

como parenteses ou duas barras. Por exemplo:(2 10 4

)e

2 10 4

Observacao 5.2.4 Os elementos de uma matriz podem ser numeros re-ais, numeros complexos, polinomios, funcoes, etc.; aqui, entretanto, traba-lharemos apenas com matrizes constitudas por numeros reais.

Definicao 5.2.5 Sejam as matrizes A = (aij), com 1 i m e1 j n e B = (bij), com 1 i m e 1 j n. Dizemos que A


e IGUAL a B, e indicamos com A = B, se aij = bij para 1 i m e1 j n, ou seja, duas matrizes mn sao iguais se possuem os elementosde mesma posicao iguais; se isto nao acontecer, elas se dizem DIFERENTESe indicamos com A 6= B.

Exemplo 5.2.6

1.

3 24 75 3

= 3 24 7

5 3

2.(

2 48 1

)6=(

2 48 1

)3.(1 2 3

) 6= ( 3 2 1 )4.(

32 1 log 12 22 5

)=(

9 sin 90o 02 4 5

)Podemos tambem construir matrizes que possuam uma relacao entre seus

elementos, a partir de uma lei de formacao:

Exemplo 5.2.7 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com1 i 3 e 1 j 2, tal que aij = 3i 2j + 4.

Resolucao

i = 1 e j = 1 a11 = 3 1 2 1 + 4 = 5; i = 1 e j = 2 a12 = 3 1 2 2 + 4 = 3; i = 2 e j = 1 a21 = 3 2 2 1 + 4 = 8; i = 2 e j = 2 a22 = 3 2 2 2 + 4 = 6; i = 3 e j = 1 a31 = 3 3 2 1 + 4 = 11; i = 3 e j = 2 a32 = 3 3 2 2 + 4 = 9.

Logo: A =

5 38 611 9

. XExerccio 5.2.8 Representar explicitamente a matriz quadrada de or-

dem 2, cujo elemento generico e: aij = 2i 3j + 5.

Exemplo 5.2.9 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com

1 i 3 e 1 j 3, tal que{

aij = 1 para i 6= jaij = 0, para i = j.

Resolucao


O enunciado permite escrever:{a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 1

a11 = a22 = a33 = 0. Logo:

0 1 11 0 11 1 0

. XExerccio 5.2.10 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com

1 i 4 e 1 j 4, tal que{

aij = 0 para i 6= jaij = 1, para i = j.

Exemplo 5.2.11

1. Matriz A = (aij)33, tal que aij = j2 i2 matriz quadrada;2. Matriz B = (bij)13, tal que bij = j 2i matriz linha;3. Matriz C = (cij)41, tal que cij = 2i2 3j matriz coluna;4. Matriz D = (dij)12, tal que dij = 0 matriz nula;5. Matriz E = (eij)22, tal que

eij ={

0, se i 6= ji+ j, se i = j

matriz diagonal;

6. Matriz F = (fij)33, tal que

fij ={

1, se i = j0, se i 6= j matriz identidade.

5.3 Tipos Especiais

Consideraremos agora alguns casos particulares de matrizes m n:

Definicao 5.3.1 Matriz Quadrada e aquela cujo numero de linhas eigual ao numero de colunas (m = n). Nestes casos, costuma-se dizer que amatriz e de ordem n.

Definicao 5.3.2 Matriz Nula e aquela em que aij = 0, para todo i ej. E denotada por Omn.

Definicao 5.3.3 Matriz-Coluna e aquela que possui uma unica coluna(n = 1).

Definicao 5.3.4 Matriz-Linha e aquela onde m = 1.

Definicao 5.3.5 Seja Ann uma matriz quadrada de ordem n; os ele-mentos aij, para os quais i = j (a11, a22, . . . , ann), sao ditos elementos dadiagonal principal da matriz. Por outro lado, os elementos para os quaisi + j = n + 1 (a1n, a2 n1, . . . , an 1), formam a diagonal secundaria damatriz.


Definicao 5.3.6 Matriz Diagonal e uma matriz quadrada (m = n)onde aij = 0, para i 6= j, isto e, os elementos que nao estao na diagonalprincipal sao nulos.

Definicao 5.3.7 Matriz Identidade ou Unidade e uma matriz qua-drada de ordem n em que aii = 1 e aij = 0, para i 6= j. E denotada porIn. Muitas vezes, ela aparece escrita da seguinte forma: In = (ij), com1 i, j n, onde:

ij ={

1, quando i = j0, quando i 6= j.

Definicao 5.3.8 Matriz Triangular Superior e uma matriz qua-drada onde todos os elementos abaixo da diagonal sao nulos, isto e, m = ne aij = 0, para i > j.

Definicao 5.3.9 Matriz Triangular Inferior e aquela em que m = ne aij = 0, para i < j.

Definicao 5.3.10 Matriz Simetrica e aquela onde m = n e aij = aji.Observe que isto equivale a dizer que a parte superior e uma reflexao axialda parte inferior, em relacao a` diagonal.

5.3.1 Exemplos

Exemplo 5.3.11 Sao exemplos de matrizes diagonais:

A =

1 0 00 2 00 0 3

, B = ( 1 00 1

), C =

(3), D =

0 0 00 0 00 0 0

.

Exemplo 5.3.12

2 1 00 1 40 0 3

e ( a b0 c

)sao matrizes triangulares

superiores.

Exemplo 5.3.13

2 0 0 01 1 0 01 2 2 01 0 5 4

e 5 0 07 0 0

2 1 3

sao matrizes tri-angulares inferiores.

Exemplo 5.3.14

a b c db e f gc f h id g i k

e 4 3 13 2 01 0 5

sao matrizessimetricas.


5.4 Operacoes

Exerccio 5.4.1 Consideremos as tabelas de producao de calcados noprimeiro trimestre de 2001.

Janeiro Fabrica A Fabrica BModelo 1 9667 307Modelo 2 11545 7848Modelo 3 0 3577

Fevereiro Fabrica A Fabrica BModelo 1 2387 1265Modelo 2 20178 5382Modelo 3 0 1341

Marco Fabrica A Fabrica BModelo 1 8234 1149Modelo 2 13705 2971Modelo 3 0 1804

Tabela 5.3: Producao de calcados no primeiro trimestre

1. Quantos calcados de cada modelo cada fabrica produziu nos meses dejaneiro e fevereiro juntos?

2. Quantos calcados de cada modelo cada fabrica produziu no trimestre?

3. Considerando que a previsao para a producao de abril sera o dobro dade fevereiro, determine a estimativa para abril.

4. De quantos pares a producao (de cada modelo para cada fabrica) au-mentou ou diminuiu no perodo de janeiro para fevereiro?

Exemplo 5.4.2 Consideremos as tabelas que descrevem a producao degraos em dois anos consecutivos.

Ano 1 soja feijao arroz milhoRegiao A 3000 200 400 600Regiao B 700 350 700 100Regiao C 1000 100 500 800

Ano 2 soja feijao arroz milhoRegiao A 5000 50 200 0Regiao B 2000 100 300 300Regiao C 2000 100 600 600

Tabela 5.4: Producao de graos (em milhares de toneladas) durante dois anosconsecutivos

Se quisermos montar uma tabela que de a producao por produto e porregiao nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos cor-respondentes das duas tabelas acima): 3000 200 400 600700 350 700 100

1000 100 500 800

+ 5000 50 200 02000 100 300 3002000 100 600 600

=


8000 250 600 6002700 450 1000 4003000 200 1100 1400

.Ou seja:

soja feijao arroz milhoRegiao A 8000 250 600 600Regiao B 2700 450 1000 400Regiao C 3000 200 1100 1400

Tabela 5.5: Producao total de graos (em milhares de toneladas) durante osdois anos

5.4.1 Adicao

Definicao 5.4.3 Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes , com 1 i me 1 j n. Chamamos de SOMA da matriz A com a matriz B a` matrizC = (cij), com 1 i m e 1 j n tal que cij = aij+ bij, para 1 i me 1 j n, ou seja, soma de duas matrizes mn e a matriz que se obtemdas matrizes dadas, somando-se os elementos de mesma posicao. Para dizerque C e soma de A com B, indica-la-emos com A+B.

Exemplo 5.4.4

1 14 02 5

+ 0 42 5

1 0

= 1 32 53 5

.Observacao 5.4.5 So definimos soma de matrizes quando elas tem en-

tre si o mesmo numero de linhas e tambem o mesmo numero de colunas.

Observacao 5.4.6 Pela forma com que foi definida, a adicao de ma-trizes tem as mesmas propriedades que a adicao de numeros reais.

Definicao 5.4.7 Seja a matriz A = (aij), com 1 i m e 1 j n.Chamamos de matriz OPOSTA de A a` matriz B = (bij), com 1 i m e1 j n tal que: bij = aij, para 1 i m e 1 j n, ou seja, matrizoposta de A e a matriz que se obtem de A trocando-se o sinal de cada umdos seus elementos. Para dizer que B e oposta de A, indica-la-emos comA.

Exemplo 5.4.8 A =[1 2 10 2 3

] A =

[ 1 2 10 2 3

]. X

Propriedades

Propriedade 5.4.9 Dadas as matrizes A, B e C, todas m n, temos:i. A+B = B +A (comutativa)


ii. (A+B) + C = A+ (B + C) (associativa)

iii. A+Omn = Omn +A = A (elemento neutro)

iv. A+ (A) = (A) +A = Omn (elemento oposto)

prova: exerccio. P

5.4.2 Subtracao

Definicao 5.4.10 Sejam A e B duas matrizes m n; chama-seDIFERENCA entre A e B a` soma de A com a oposta de B; a diferencaentre A e B sera indicada por A B. Entao, pela definicao dada, temos:AB = A+ (B).

Exemplo 5.4.11 3 14 21 0

4 32 2

0 1

= 3 14 2

1 0

+ 4 32 2

0 1

= 1 42 4

1 1

XExerccio 5.4.12 Sendo A =

(8 72 3

), B =

(0 14 2

)e

C =(

3 71 2

), obtenha A+ (B + C).

Exerccio 5.4.13 Sendo A =( 1 21 0

), B =

(3 24 1

)e

C =(

5 21 3

), obtenha (AB) C.

Exerccio 5.4.14 Sendo A =(

1 22 1

), B =

(0 30 2

)e

C =( 1 12 0

), obtenha A (B C).

Exemplo 5.4.15 Sendo A =(

1 22 1

), B =

(0 30 2

)e

C =( 1 12 0

), obtenha AB + C.

Solucao

AB + C = (AB) + C =[0 20 3

]X


2 31 0

), B =

( 1 02 3

)e

C =(

0 31 4

), obtenha a matriz X tal que A+X = B + C.


Resolucao

Vamos acrescentar pela esquerda, a ambos os membros da igualdadedada, a oposta de A; temos: A+ (A+X) = A+ (B + C), isto e,(A+A) +X = A+ (B + C) X = A+ (B + C). Portanto,X =

[ 2 31 0

]+[ 1 0

2 3]+[0 31 4

]=[ 3 0

2 7]. X


12 23 5

), B =

(7 21 8

)e

C =(

0 35 7

), obtenha a matriz Y tal que (A+ Y ) C = A+B.

5.4.3 Multiplicacao por um Numero Real

Exemplo 5.4.18 (Baseado nos dados do exemplo 5.4.2) Existem mui-tos incentivos para se incrementar a producao (condicoes climaticas fa-voraveis, etc.), de tal forma que a previsao para a safra do terceiro anosera o triplo da producao do primeiro. Assim, a matriz de estimativa deproducao deste ultimo sera:

3 3000 200 400 600700 350 700 1001000 100 500 800

= 9000 600 1200 18002100 1050 2100 3003000 300 1500 2400

. XDefinicao 5.4.19 Sejam R e A = (aij), com 1 i m e

1 j n. Chamaremos de produto do numero real pela matrizA a` matriz B = (bij), com 1 i m e 1 j n tal que: bij = aij para1 i m e 1 j n, ou seja, o produto do numero real pela matriz A ea matriz que se obtem de A multiplicando cada um dos seus elementos por.

Notacao A

Exemplo 5.4.20

A =[1 2 03 1 2

] 1

2A =

[ 12 1 032 12 1

]X

Propriedades

Propriedade 5.4.21 Sejam os numeros reais e e as matrizes A eB, ambas m n. Temos:

i. (A) = ()A

ii. (+ )A = A+ A

iii. (A+B) = A+ B

iv. 1 A = Av. (1)A = A


vi. 0 A = Omnvii. Omn = Omn

Convidamos voce a demonstrar estas propriedades (em momentos deextremo tedio, e claro).


2 65 3

), obtenha a matriz X tal que

3(X 3A) = 5X 13A.

Resolucao

5X 13A = 3(X 3A) = 3X 9A5X 3X = 9A+ 13A

2X = 4AX = 2A

Portanto, X = 2(

2 65 3

)=(

4 1210 6

). X


3 2 51 0 3

)e B =

(3 0 12 4 2

), ob-

tenha as matrizes X e Y tais que:{

2X + Y = 4A+BX 2Y = 3A+ 3B.

Exerccio 5.4.24 Refaca o exerccio 5.4.1 usando a notacao matricial.

5.4.4 Multiplicacao de Matrizes

Exerccio 5.4.25 Uma industria fabrica certo aparelho em 2 modelos Pe Q. Na montagem do aparelho P , sao utilizados 6 transistores, 9 capacitorese 11 resistores; no modelo Q, sao 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores.Uma industria recebeu a seguinte encomenda para os meses de janeiro efevereiro:

Janeiro: 8 aparelhos do modelo P e 12 aparelhos do modelo Q.Fevereiro: 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q.Calcular a quantidade de transistores, capacitores e resistores necessarios

para atender a`s encomendas de cada mes.

Antes de definir a multiplicacao entre matrizes, vejamos um exemplo doque pode ocorrer na pratica:

Exemplo 5.4.26 Suponhamos que a seguinte tabela forneca as quanti-dades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I eII.


A B C

Alimento I 4 3 0Alimento II 5 0 1

Tabela 5.6: Quantidades de vitaminas por alimento

Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II,quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?

Resolucao

Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pelamatriz consumo:

[5 2].

A operacao que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitaminae o produto:

[5 2] [4 3 05 0 1

]=

= [ 5 4 + 2 5 5 3 + 2 0 5 0 + 2 1 ] == [30 15 2] (5.1)

Isto e, serao ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C. XOutro problema que poderemos considerar em relacao aos dados do

exemplo 5.4.26 e o seguinte:

Exemplo 5.4.27 Se o custo dos alimentos depender somente do seuconteudo vitamnico e soubermos que os precos por unidade de vitaminaA, B e C sao, respectivamente, $1, 50u.m., $3, 00u.m. e $5, 00u.m., quantopagaramos pela porcao de alimentos indicada no exemplo 5.4.26?

Resolucao

[30 15 2] 1, 503, 005, 00

== [30(1, 50) + 15(3) + 2(5)] == [100]

(5.2)

Ou seja, pagaramos $100, 00u.m.. XObservamos que nos produtos de matrizes efetuados em 5.1 e 5.2,

cada um dos elementos da matriz-resultado e obtido a partir de uma linhada primeira e uma coluna da segunda. Alem disso, com relacao a`s ordensdas matrizes envolvidas, temos:Em 5.1: [ ]12 [ ]23 = [ ]13Em 5.2: [ ]13 [ ]31 = [ ]11.

O exemplo acima esboca uma definicao de multiplicacao de matrizes Ae B, quando A e uma matriz-linha. Esta ideia pode ser generalizada:


Definicao 5.4.28 Sejam as matrizes A = (aik), 1 i m e 1 k pe B = (bkj), 1 k p e 1 j n. Chamamos de PRODUTO da matrizA pela matriz B a` matriz C = (cij), 1 i m e 1 j n tal que:

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =p

k=1

aikbkj ,

onde 1 i m e 1 j n.

Para dizer que a matriz C e o produto de A por B, indica-la-emos comAB.

Observacao 5.4.29 So tem sentido definirmos o produto AB de duasmatrizes quando o no de colunas de A for igual ao no de linhas de B; alemdisso, o produto AB possui o no de linhas de A e o no de colunas de B;esquematicamente, temos:

Amp Bpn = Cm n Exemplo 5.4.30 Determinar o produto

1 23 40 5

A

[7 12 4

]

B

.

Resolucao

Como a matriz A e uma matriz 3 2 e B e 2 2, o no de colunas de Ae igual ao no de linhas de B e , entao, o produto AB esta definido e e umamatriz 3 2.

O elemento c11, que pertence a` 1a linha e a` 1a coluna de AB, e calcu-lado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1a linha de A peloselementos da 1a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos (pro-cure perceber que isto e verdade a partir da definicao de cij, quando i = 1 ej = 1); portanto: 1 23 4

0 5

[ 7 12 4

]=

1 7+ 2 2

O elemento c12, que pertence a` 1a linha e a` 2a coluna de AB, e calcu-

lado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1a linha de A peloselementos da 2a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos;portanto: 1 23 4

0 5

[ 7 12 4

]=

1 1+ 2 4

Da mesma forma teremos: c21


1 23 40 5

[ 7 12 4

]=

3 7+ 4 2

. . .Logo, AB =

1 7 + 2 2 1 1 + 2 43 7 + 4 2 3 1 + 4 40 7 + 5 2 0 1 + 5 4

= 11 929 1910 20

. XExerccios

Exerccio 5.4.31 Determine o produto

2 0 10 1 24 1 3

1 12 1

3 0

.

Exerccio 5.4.32 Determine o produto(1 2 4 )

3 21 42 1

.

Exerccio 5.4.33 Obtenha o produto(

1 5 30 1 3

) 3 12 3

1 2

.Exerccio 5.4.34 Obtenha o produto

(2 23 3

)(

1 2 3 12 1 2 0

).

Exerccio 5.4.35 Obtenha o produto(

2 33 2

)(

2 33 2

).

Exerccio 5.4.36 Obtenha o produto

1 2 34 5 67 8 9

1 00 12 3

.

Exerccio 5.4.37 Obtenha o produto

6 0 13 1 42 2 1

1 0 00 1 0

0 0 1

.

Exemplo 5.4.38 Obter AB e BA, caso existam: A =

1 23 41 2

eB =

(1 1 12 1 2

).

Solucao

AB =

1 23 41 2

( 1 1 12 1 2

)=

5 3 511 7 113 1 3

.BA =

(1 1 12 1 2

) 1 23 4

1 2

= ( 5 47 4

). X


Exemplo 5.4.39 Obter AB e BA, caso existam: A =(

1 23 1

)e

B =( 1 11 0

).

Solucao

AB =(

1 23 1

)( 1 11 0

)=(

1 12 3

).

BA =( 1 11 0

)(

1 23 1

)=(

2 11 2

). X


1 21 2

)e

B =(

1 1 12 0 2

).

Solucao

AB =(

1 21 2

)(

1 1 12 0 2

)=(

5 1 55 1 5

).

BA nao existe, pois o no de colunas de B e diferente do no de linhasde A. X


1 5 72 3 10 5 2

eB =

(3 21 8

).

Solucao

AB nao existe, pois o numero de colunas de A e diferente do numero delinhas de B.

BA nao existe, pois o numero de colunas de B e diferente do numero delinhas de A. X


2 34 5

)e

B =(

5 34 8

).

Solucao

AB =(

2 34 5

)(

5 34 8

)=(

22 3040 52

).

BA =(

5 34 8

)(

2 34 5

)=(

22 3040 52

). X



1234

eB =

(1 2 3 4

).

Solucao

AB =

1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16

, BA = (30) X


5 110 2

)e

B =(

3 215 10

).

Solucao

AB =(

0 00 0

)= O22, BA =

( 5 125 5

). X

Observacao 5.4.45

1. Num produto de matrizes A e B, a ordem em que aparecem os fatorese importante: pode acontecer que

(a) 6 AB e 6 BA (ver 5.4.41)(b) AB e 6 BA (ver 5.4.40)(c) 6 AB e BA(d) AB, BA, mas sao matrizes de dimensoes diferentes (ver

5.4.43)

(e) AB, BA, de mesmas dimensoes, mas AB 6= BA (ver 5.4.44)(f) AB, BA, e AB = BA (ver 5.4.42).

2. O produto de duas matrizes nao-nulas pode resultar numa matriz nula(ver 5.4.44).

Propriedades

Propriedade 5.4.46 Quaisquer que sejam as matrizes A(m n), B eC (convenientes) e qualquer que seja o numero real , tem-se:

i. (AB)C = A(BC) (associativa)

ii. C(A+B) = CA+ CB (distributiva a` esquerda)

iii. (A+B)C = AC +BC (distributiva a` direita)

iv. AIn = ImA = A (elemento neutro)


v. (A)B = A(B) = (AB)

vi. A Onp = Omp e Opm A = Opn.

prova: i. Sejam:

A = (aij), 1 i m e 1 j n; B = (bjk), 1 j n e 1 k p; C = (ckl), 1 k p e 1 l q; AB = (dik), 1 i m e 1 k p; BC = (ejl), 1 j n e 1 l q; AB(C) = (fil), 1 i m e 1 l q; A(BC) = (gil), 1 i m e 1 l q.Teremos:

fil =p

k=1 dik ckl ==

pk=1(

nj=1 aij bjk ckl) =

=p

k=1(n

j=1 aij bjk ckl) ==

nj=1 (

pk=1 aij bjk ckl) =

=n

j=1 aij (p

k=1 bjk ckl) ==

nj=1 aij ejl =

= gil

As demais ficam para momentos de solidao!

Exerccios

Exerccio 5.4.47 Dadas as matrizes A =(

1 23 4

), B =

(1 52 3

)e C =

(2 10 4

), calcule: A(BC), (AB)C, (A+B)C, e AC +BC.

Exerccio 5.4.48 Dadas as matrizes A =(

1 21 3

)e

B =(

1 11 0

), calcule: (A+B)2, e A2 + 2(AB) +B2.

Dica: Use que (A+B)2 = (A+B)(A+B).

Observacao 5.4.49 Note que, no exemplo 5.4.48, temos que

(A+B)2 6= A2 + 2(AB) +B2.

Exerccio 5.4.50 (Desafio) Sejam A e B duas matrizes quadradasde ordem n. Qual e a condicao necessaria e suficiente para que tenhamos aigualdade (A+B)2 = A2 + 2(AB) +B2?


Exerccio 5.4.51 E valida a igualdade (A + B)(A B) = A2 B2

quando A =(

2 35 4

)e B =

(1 21 2

)?

Definicao 5.4.52 Seja A uma matriz quadrada de ordem qualquer. De-finimos a n-esima POTENCIA de A do seguinte modo:

A1 = A

An = A An1, onde n e um inteiro 2.

Exerccio 5.4.53 Assumindo a definicao 5.4.52, determine A3, sendo

A =(

1 11 0

).

5.4.5 Transposicao

Definicao 5.4.54 Considere uma matriz A, m n; chama-se matrizTRANSPOSTA de A, e se indica com At, a` matriz nm que se obtem damatriz A trocando, ordenadamente, as suas linhas pelas suas colunas.

Exemplo 5.4.55

1. A =(

2 3 45 7 1

) At =

2 53 74 1

2. B =

(1 35 2

) Bt =

(1 53 2

)

3. C =

3105

Ct = ( 3 1 0 5 )

Observacao 5.4.56

i. no de linhas de A = no de colunas de At

ii. no de colunas de A = no de linhas de At

iii. o elemento que, em A, ocupa a linha i e a coluna j, em At ocupa alinha j e a coluna i.

Propriedade 5.4.57 Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambasm n, a matriz C, n p, e o numero real , temos:

i. (At)t = A

ii. (A+B)t = At +Bt

iii. (A)t = At

iv. (AC)t = CtAt E CUIDADO! L


Observacao 5.4.58 A = (aij), 1 i m e 1 j n At = (aji),1 j n e 1 i m.


2 13 1

)e B =

(2 52 6

), calcule:

ABt, BAt, (AB)t, AtBt, BtAt, e BA.

Exerccio 5.4.60 Sendo A =( 2 3 1

1 0 2

), obtenha A At.

Observacao 5.4.61 Uma matriz e simetrica se, e somente se, ela eigual a` sua transposta, isto e, se, e somente se, A = At (ver definicao5.3.10).

5.5 Exerccios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exerccio 5.5.1 Escrever a matriz A = (aij) nos seguintes casos:(a) i {1, 2, 3} e j {1, 2};(b) A e do tipo 3 2, com aij = 5 para i 6= j e aij = 3 para i = j;(c) A e de 3a ordem, com aij = 1 para i = j e aij = 0 para i 6= j;(d) A e uma matriz do tipo 23, com aij = 4 para i > j, aij = 5 para i < je aij = 8 para i = j.

Exerccio 5.5.2 Determinar os valores de x, y, z e v para que as ma-trizes sejam iguais.(

2x 836 v 4v

)=(

10 y 2z2 3

).

Exerccio 5.5.3 Determinar os valores de x e y para que as matrizessejam iguais.(

3x 2x+ 3y20 1y

)=(

14 + x 21x2 9x 3

).

Exerccio 5.5.4 Dadas as seguintes matrizes A=(

3, 58

14 7

)e

B=(

2, 42

35 2

), calcular:

(a) A+B;(b) AB;(c) Determinar o triplo da matriz A=

(4 312 1, 4

);

(d) Dadas as matrizes: A=(

3 52 4

)e b=

( 1 36 7

), determinar X,

tal que X = 2A 4B.Observacao: A matriz X, assim obtida, e uma combinacao linear de A eB atraves dos coeficientes 2 e 4.


Exerccio 5.5.5 Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminarinsetos daninhos. No entanto, parte do pesticida e absorvida pela planta. Ospesticidas sao absorvidos por herbvoros quando eles comem as plantas queforam pulverizadas. Suponha que temos tres pesticidas e quatro plantas, e aquantidade de pesticida (em miligramas) que foi absorvido por cada plantaesta representado na tabela abaixo:

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 42 3 4 33 2 2 54 1 6 4

Tabela 5.7: Quantidade de pesticida absorvido por planta

Suponha agora que temos tres herbvoros e o numero de plantas que cadaherbvoro come por mes esta representado na tabela seguinte:

Herbvoro 1 Herbvoro 2 Herbvoro 320 12 828 15 1530 12 1040 16 20

Tabela 5.8: Quantidade de plantas ingeridas por herbvoro

Determinar a quantidade de cada tipo de pesticida absorvido por cadaherbvoro.

Exerccio 5.5.6 Durante a campanha eleitoral, o prefeito eleito prome-teu a construcao de casas populares. (Prometeu, tem que cumprir!) O povosugeriu a construcao de dois tipos de casas: media e grande. As casas dotipo media tem 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo grandetem 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira etapa deveraoser construdas 500 casas do tipo media e 200 do tipo grande; numa segundaetapa, 600 do tipo media e 400 do tipo grande. Quanto de cada materialsera necessario em cada etapa?

Exerccio 5.5.7 Uma industria automobilstica produz X e Y nasversoes standard, luxo e superluxo. Pecas A, B e C sao utilizadas na mon-tagem desses carros. Para um certo plano de montagem, e dada a seguinteinformacao:


Carro X Carro YPeca A 4 3Peca B 3 5Peca C 6 2

Standard Luxo SuperluxoCarro X 2 4 3Carro Y 3 2 5

Tabela 5.9: Plano de montagem de automoveis

Quantas pecas de cada modelo, cada versao vai precisar?

Exerccio 5.5.8 Imagine um laboratorio que fabrica, dentre outros, osremedios A, B, C. Para a producao de uma unidade do remedio A saonecessarios 3g do ingrediente x, 7g do ingrediente y e 10g do ingrediente z.Com relacao ao remedio B sao necessarios 2g de x, 4g de y e 5g de z. Epara o remedio C precisamos de 5g de x, 1g de y e 6g de z. Admitamos queo consumo dos tres remedios, nos meses de agosto e setembro seja:

Agosto: 80 unidades de A, 100 de B e 150 de C;Setembro: 50 unidades de A, 120 de B e 90 de C.Determine a quantidade de cada ingrediente necessaria em cada mes.

Exerccio 5.5.9 Uma pequena loja de roupas organizou seu estoque decamisetas em duas prateleiras de acordo com os modelos A e B. Em janeiroo estoque foi distribudos do seguinte modo:

Prateleira A: 13 camisetas P , 15 camisetas M e 27 camisetas G;Prateleira B: 18 camisetas P , 19 camisetas M e 24 camisetas G.O preco das camisetas era o mesmo para os dois modelos e esta repre-

sentado na tabela abaixo:

Tamanho Preco (em R$)P 13, 50M 15, 50G 16, 50

Tabela 5.10: Preco das camisetas por tamanho

Qual o valor total que a loja possua em camisetas?

Exerccio 5.5.10 Consideremos uma companhia que fabrica carros dostipos A, B e C em duas fabricas F1 e F2, e cuja producao mensal estarepresentada na tabela abaixo:

A B C

F1 40 10 36F2 15 60 20

Tabela 5.11: Producao mensal de automoveis por modelo e por fabrica


O carro tipo A usa 50 parafusos para a sua montagem, o carro tipo Busa 80 parafusos e o carro tipo C usa 70 parafusos. Calcular o total deparafusos que cada fabrica usa mensalmente.

Exerccio 5.5.11 Joao, Paulo e Pedro vao construir, cada um, umbrinquedo composto por 3 tipos de pecas. O brinquedo pode ser montadocom quantas pecas quisermos. Os meninos fizeram as seguintes escolhas donumero de pecas:

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3Joao 4 2 3Paulo 3 4 2Pedro 2 3 4

Tabela 5.12: Numero de pecas por brinquedo e por usuario

Duas lojas vendem as pecas pelos seguintes precos (em reais):

Loja 1 Loja 2Tipo 1 3, 00 2, 50Tipo 2 6, 00 7, 00Tipo 3 5, 00 4, 50

Tabela 5.13: Precos dos brinquedos por loja

Descubra o preco que cada um pagaria na Loja 1 e na Loja 2.

Exerccio 5.5.12 Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Paraa producao desses doces sao utilizados os ingredientes X, Y , Z, conformeindica a tabela:

A BX 5 8Y 3 2Z 4 7

Tabela 5.14: Producao de doces

Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B,por dia. Determine a quantidade de ingredientes X, Y , Z utilizados por dia.

Exerccio 5.5.13 Um empresario oferece mensalmente alimentos a doisorfanatos. Para o orfanato 1 sao doados 25Kg de arroz, 20Kg de feijao,30Kg de carne e 32 Kg de batata. Para o orfanato 2 sao doados 28Kg dearroz, 24Kg de feijao, 35Kg de carne e 38Kg de batata. O empresario faza cotacao de precos em dois mercados. Veja a cotacao atual, em reais:


Produto (1Kg) Mercado 1 (R$) Mercado 2 (R$)Arroz 1,00 1,00Feijao 1,50 1,20Carne 6,00 7,00Batata 0,80 0,60

Tabela 5.15: Cotacao de precos dos alimentos

Determine o gasto mensal desse empresario, por orfanato, supondo quetodos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que esterepresente a melhor opcao de compra.

Exerccio 5.5.14 Uma industria produz dois tipos de produtos, P e Q,em duas fabricas X e Y . Ao fazer estes produtos, sao gerados os poluentesdioxido de enxofre, oxido ntrico e partculas. As quantidades de poluentesgerados sao dadas (em quilos) pela tabela abaixo:

Dioxido de enxofre Oxido ntrico PartculasProduto P 300 100 150Produto Q 200 250 400

Tabela 5.16: Quantidade de poluentes em quilos

Leis e regulamentos federais e estaduais exigem que estes poluentes sejameliminados. O custo diario de remover cada quilo de poluente e dado pelatabela seguinte:

Fabrica X Fabrica YDioxido de enxofre 8 12

Oxido ntrico 7 9Partculas 15 10

Tabela 5.17: Preco para remover cada quilo de poluente

Que informacoes os coeficientes do produto das matrizes acima fornecemao fabricante? Calcule-os.

Exerccio 5.5.15 Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em adul-tos e criancas de ambos os sexos. A composicao dos participantes no projetoe dada pela tabela a seguir:


Adultos CriancasMasculino 80 120Feminino 100 200

Tabela 5.18: Participantes do projeto por faixa etaria e sexo

O numero de gramas diarios de protenas, gorduras e carboidratos con-sumidos por cada crianca e adulto e dado pela tabela abaixo:

Protenas Gorduras CarboidratosAdultos 20 20 20Criancas 10 20 30

Tabela 5.19: Quantidade diaria de nutrientes consumidos

1. Quantos gramas de protenas sao consumidos diariamente pelos ho-mens no projeto?

2. Quantos gramas de gordura sao consumidos diariamente pelas mulhe-res no projeto?

Exerccio 5.5.16 Um fabricante de moveis produz cadeiras e mesas,cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e por umprocesso de acabamento. Os tempos exigidos por estes processos sao dados(em horas) pela tabela abaixo:

Montagem AcabamentoCadeira 2 2Mesa 3 4

Tabela 5.20: Tempo de fabricacao de moveis

O fabricante tem uma fabrica em Sao Paulo e outra em Santa Catarina.Os precos por hora de cada um dos processos sao dados pela tabela a seguir:


Sao Paulo Santa CatarinaMontagem 9 10Acabamento 10 12

Tabela 5.21: Preco por hora dos estagios de fabricacao

O que os coeficientes do produto das matrizes acima representam para ofabricante? Calcule-os.

Exerccio 5.5.17 Uma industria fabrica tres modelos diferentes de te-levisores. A tabela mostra o numero de teclas e alto-falantes usados em cadaaparelho A, B e C.

Componentes Aparelho A Aparelho B Aparelho CTeclas 10 12 15

Alto-falantes 2 2 4

Tabela 5.22: Quantidade teclas e alto-falantes por televisor

A tabela seguinte mostra a estimativa de producao da fabrica os proximosdois meses.

Modelo Mes 1 Mes 2A 800 2000B 1000 1500C 500 1000

Tabela 5.23: Estimativa de producao de televisores para dois meses

Quantas teclas e quantos alto-falantes serao necessarios para a producaodos dois meses?

Exerccio 5.5.18 Uma industria de calcados esta pretendendo introdu-zir tres novos modelos de sapatos em sua producao. Para isso, vai utilizardois tipos de acessorios, conforme especificado na tabela abaixo:


Acessorio Modelo A Modelo B Modelo CX 3 5 2Y 8 10 5

Tabela 5.24: Quantidade de acessorios utilizados na fabricacao de calcados

A producao dos tres tipos de calcados deve seguir a tabela abaixo nosmeses de teste da aceitacao dos novos modelos no mercado:

Modelo Mes 1 Mes 2 Mes3A 1000 1200 2000B 1200 1500 2000C 2000 2000 2500

Tabela 5.25: Producao de calcados no perodo de aceitacao de novos modelos

Quantos acessorios X e quantos Y serao utilizados nessa producao ex-perimental?

Exerccio 5.5.19 Um fast food de sanduches naturais vende dois ti-pos de sanduches, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, rosbife,salada) nas seguintes quantidades (em gramas) por sanduche:

Sanduche A Sanduche Bqueijo 18 10salada 26 33rosbife 23 12atum 0 16

Tabela 5.26: Quantidade em gramas de cada ingrediente por sanduche

Durante um almoco foram vendidos 6 sanduches do tipo A e 10sanduches do tipo B. Qual foi a quantidade necessaria de cada ingredientepara a preparacao desses 16 sanduches? Represente na forma de produtode matrizes.

Exerccio 5.5.20 (Desafio) Uma rede de comunicacao tem cinco lo-cais com transmissores de potencias distintas. Estabelecemos que aij = 1,na matriz abaixo, significa que a estacao i pode transmitir diretamente paraa estacao j, aij = 0 significa que a transmissao da estacao i nao alcancaa estacao j. Observe que a diagonal principal e nula significando que umaestacao nao transmite diretamente para si mesma.

A =

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0


Qual seria o significado da matriz A2 = A A?Seja A2 = [cij ]. Calculemos o elemento

c42 =5

k=1

a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Note que a unica parcela nao nula veio de a43 a32 = 1 1. Isto significa quea estacao 4 transmite para a estacao 2 atraves de uma retransmissao pelaestacao 3, embora nao exista uma transmissao direta de 4 para 2.

1. Calcule A2

2. Qual o significado de c13 = 2?

3. Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 demodo a justificar a afirmacao: A matriz A2 representa o numero decaminhos disponveis para se ir de uma estacao a outra com uma unicaretransmissao.

4. Qual o significado das matrizes A+A2, A3 e A+A2 +A3?

5. Se A fosse simetrica, o que significaria?

5.6 Respostas dos Principais Exerccios doCaptulo

5.2.8(

4 16 3

)

5.2.10

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= I4

5.4.1 1.

12054 157231723 132300 4918

2. 20288 272145428 16201

0 6722

3. 4774 253040356 10764

0 2682

4.

7280 9588633 24660 2236

5.4.12

(11 137 3

)

5.4.13( 9 26 4

)

5.4.14(

0 20 3

)

5.4.17 Y = B + C =(

7 56 15

)


5.4.23 X = A+B =(

6 2 43 4 5

), Y = 2AB =

(3 4 110 4 4

)5.4.25

Janeiro FevereiroTransistores 96 84Capacitores 156 132Resistores 208 170

5.4.31

5 24 115 3

5.4.32

(9 6 )

5.4.33( 4 8

5 9

)

5.4.34(

6 6 10 29 9 15 3

)

5.4.35( 5 0

0 5)= 5I2

5.4.36

5 118 2311 35

5.4.37

6 0 13 1 42 2 1

5.4.47 A(BC) = (AB)C =

(10 3910 17

),

(A+B)C = AC +BC =(

4 262 29

)5.4.51 Nao, pois AB 6= BA

5.4.53( 1 0

0 1)= I2

5.4.59 ABt =(

9 211 0

), BAt =

(9 112 0

), (AB)t =

(6 84 9

),

AtBt =(

19 147 4

), BtAt = (AB)t, BA =

(19 714 4

)

5.4.60(

14 44 5

)


5.5.1 (a) A=

a11 a12a21 a22a31 a32

; (b) A= 3 55 3

5 5

;(c) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

; (d) A=( 8 5 54 8 5

)5.5.2 x = 5, y = 10, z = 6, v1 = 4, v2 = 15.5.3 Impossvel

5.5.4 (a) A+B=(

5, 9 32

1720 9

); (b) A-B=

(1, 1

2

720 5);

(c) 3A=(

12 932 4, 2

); (d) X=

(10 22

28 20)

5.5.5

364 165 161376 170 174448 199 187

5.5.6

4100 62004800 72005000 7600

5.5.7

17 22 2721 22 3418 28 28

5.5.8

1190 8401110 9202200 1640

5.5.9 R$1787, 00

5.5.10[53206950

]

5.5.11

39 37, 543 44, 544 44

5.5.12

410190340

5.5.13

[260, 60 278, 20304, 40 324, 60

]

5.5.14[5350 60009350 8650

]Os coeficientes fornecem o custo diario para remover

o total de poluentes de cada produto em cada fabrica.

5.5.15 (1). 2800 g; (2). 6000 g


5.5.16[38 4467 78

]Os coeficientes fornecem o custo de fabricacao de uma

mesa e de uma cadeira numa mesma fabrica.

5.5.17[27500 530005600 11000

]5.5.18

Mes 1 Mes 2 Mes 3Acessorio X 13000 15100 21000Acessorio Y 30000 34600 48500

5.5.19

208486258160

CHAETINGER

Captulo 6

Sistemas Lineares

6.1 Introducao

Na natureza, as coisas estao em constante transformacao, e o Ho-mem precisa dominar estes processos de mudanca para sobreviver e melho-rar sua existencia. Uma das maneiras mais elementares de descricao destastransformacoes e a de procurar nestas o que permanece constante durantea mudanca.

Exemplo 6.1.1 Sabemos que reagindo hidrogenio (H2) com oxigenio(O2), produz-se agua (H2O). Mas, quanto de H2 e de O2 precisamos?

Solucao

Esta mudanca pode ser descrita do seguinte modo esquematico:

xH2 + yO2 zH2O.

O que permanece constante nesta mudanca? Os atomos nao sao modifi-cados, portanto devemos ter o mesmo numero de atomos de cada elementono incio e no final da reacao. Logo, as incognitas x, y e z devem satisfazer:{

2x 2z = 02y z = 0

Descobrindo quais os valores das incognitas acima que satisfazem si-multaneamente as equacoes, teremos aprendido um pouco mais sobre ocomportamento da natureza (bonito isto. . . ).

Em muitos casos, como neste exemplo, o problema nos leva a um sistemade equacoes lineares. Como voce ja possui alguma experiencia na resolucaodeste tipo de sistema, nao tiraremos o seu prazer em resolve-lo. X

87


Entretanto, existem sistemas que, embora lineares, podem se tornarmuito grandes, ou podemos ter menos equacoes do que incognitas (o proprioexemplo 6.1.1). Isto pode dar origem a muitas duvidas, ate mesmo sobre aexistencia ou nao de solucao para o sistema.

Por outro lado, em sistemas com mais de uma solucao, e preciso expressartodas elas de uma forma clara. No exemplo 6.1.1, pode-se encontrar duassolucoes distintas (x, y, z) (faca isto!). Mas, o problema so estara resolvidose conseguirmos expressar todas as solucoes.

Exemplo 6.1.2 Um sitiante dividira uma area de 28 hectares em duaspartes: numa plantara soja e na outra milho. Que area podera destinar acada uma destas plantacoes?

SolucaoDenotando por x a quantidade de hectares de soja, e por y a quantidade

de hectares de milho, temos a relacao x + y = 28. Esta equacao admiteinfinitas solucoes reais. No entanto, para o nosso sitiante interessam somenteaquelas em que 0 x, y 28. Note que atribuindo a x qualquer valor entre0 e 28, podemos imediatamente determinar o valor correspondente para y,atraves da relacao y = 28 x. Sendo assim, tambem neste caso teremosinfinitas possibilidades de resposta. X

Por outro lado, se modificarmos um pouco o exemplo anterior, podere-mos ter a sua solucao profundamente modificada:

Exemplo 6.1.3 Um sitiante dividira uma area de 28 hectares em duaspartes: numa plantara soja e na outra milho. Ele espera vender a producaode cada hectare de soja por $400, 00u.m. e, de milho, por $300, 00u.m.. Porprecaucao, o sitiante deseja que os valores das vendas totais da soja e domilho sejam iguais entre si. Que area devera destinar a cada uma destasplantacoes?

SolucaoMantendo as mesmas notacoes do exemplo 6.1.2, podemos representar a

situacao do problema do seguinte modo:{x+ y = 28400x = 300y

Existem varios metodos para resolver estas equacoes, mas todas elas nosdarao como unica solucao os valores de x = 12 e y = 16 (resta observar queestes valores de fato sao possveis, pois nao podemos equecer da condicaoextra 0 x, y 28). X

Neste captulo, veremos uma tecnica de resolucao para sistemas linearesem geral. Sua maior aplicacao e para sistemas grandes. O metodo consisteem substituir convenientemente o sistema original por sistemas cada vezmais simples, sempre equivalentes a ele.

6.2 Conceitos

Definicao 6.2.1 Um sistema de equacoes lineares com m equacoes e nincognitas e um conjunto de equacoes do tipo:


a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2... +

... + + ... = ...am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

(6.1)

com aij {R,C}, 1 i m, 1 j n.Definicao 6.2.2 Uma solucao do sistema 6.1 e uma n-upla de

numeros (x1, x2, . . . , xn) que satisfaz simultaneamente as m equacoes.

Definicao 6.2.3 Dois sistemas de equacoes lineares sao equivalentesse, e somente se, toda solucao de qualquer um dos sistemas tambem e solucaodo outro.

Notacao: Podemos escrever o sistema 6.1 na forma matricial:a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

am1 am2 amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

ou A x = b onde

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

am1 am2 amn

e a matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema,

x =

x1x2...xn

a matriz das incognitas e

b =

b1b2...bm

a matriz dos termos independentes.

Definicao 6.2.4 Uma outra matriz que podemos associar ao sistema6.1 e

A =

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2...

......

...am1 am2 amn bm

que chamamos matriz ampliada do sistema.

Observacao 6.2.5 Cada linha da matriz de 6.2.4 e simplesmente umarepresentacao abreviada da equacao correspondente no sistema.


6.3 Forma Escalonada

Definicao 6.3.1 Uma matriz m n esta na forma escalonada (ouescada), se:

(i). o 1o elemento nao nulo de toda linha nao nula e 1;

(ii). cada coluna que contem o 1o elemento nao nulo de uma linha tem oselementos abaixo deste iguais a zero (escalonada reduzida abaixo eacima);

(iii). toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas (isto e,daquelas que possuem pelo menos um elemento nao nulo);

(iv). o 1o elemento nao nulo de uma linha aparece a` direita do 1o elementonao nulo da linha anterior (isto e, se as linhas 1, . . . , r sao as linhas naonulas, e se o primeiro elemento nao nulo da linha i ocorre na colunaki, entao k1 < k2 < . . . < kr).

Observacao 6.3.2 A ultima condicao da definicao 6.3.1 impoe formaescada a` matriz:

Figura 6.1: Matriz na forma escada

Isto e, o numero de zeros precedendo o primeiro elemento nao nulo de umalinha aumenta a cada linha, ate que sobrem somente linhas nulas, se ashouver.

Exemplo 6.3.3 A =

1 1 0 1 20 1 0 3 50 0 0 1 70 0 0 0 1

e uma matriz na formaescalonada; B =

0 2 11 0 30 0 0

nao e; C = 1 0 0 00 1 1 0

0 0 1 0

esta naforma escalonada; D =

0 1 3 0 10 0 0 0 00 0 0 1 2

nao esta.


6.3.1 Operacoes Elementares

Definicao 6.3.4 Duas matrizes de mesma ordem A e B sao equiva-lentes por linhas (A B) se B pode ser obtida de A pela aplicacao deuma sequencia finita de operacoes elementares sobre as linhas de A, que sao:

permutacoes de duas linhas: (li lj); multiplicacao de uma linha por um escalar real nao nulo: (li kli); substituicao de uma linha por ela somada com uma outra linha multi-plicada por um numero real nao nulo: (li li + klj).

Exemplo 6.3.5 L2 L3: 1 04 13 4

1 03 4

4 1

Exemplo 6.3.6 L2 3L2: 1 04 1

3 4

1 012 3

3 4

Exemplo 6.3.7 L3 L3 + 2L1: 1 04 1

3 4

1 04 11 4

Exemplo 6.3.8 A =

1 2 42 1 31 1 2

e equivalente por linhas aB =

2 4 81 1 24 1 7

(Faca l2 l2 + 2l3, depois l2 l3 e, por fim, l1 2l1) X

Teorema 6.3.9 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equiva-lentes sao equivalentes.

prova: ver [4], pag. 85, teorema 3.8.5.

Teorema 6.3.10 Toda matriz nao nula e equivalente por linhas a umaunica matriz na forma escalonada (ou escalonada reduzida), a menos deforma equivalente.

prova: ver [4], pag. 60, demonstracao 2.7.1; ou uma prova simples em[38].


Observacao 6.3.11 Valem como desafios, computados a` nota, as ex-posicoes orais a` turma das provas dos teoremas 6.3.9 e 6.3.10.

Definicao 6.3.12 Dada uma matriz Amn, seja Bmn a matriz escalo-nada equivalente a A. O posto de A, denotado por p, e o numero de linhasnao nulas de B. A nulidade e a diferenca entre colunas de A e o posto,isto e, n p.

Observacao 6.3.13 Observe que para encontrar o posto de uma matrizA qualquer, e preciso primeiro escrever a matriz na forma escalonada e,depois, contar suas linhas nao nulas.

6.3.2 Procedimento para a Reducao de uma Matriz a` FormaEscalonada

1. Procure da esquerda para a direita a 1a coluna nao nula;

2. Procure de cima para baixo o 1o elemento nao nulo: pivo;

3. Se o pivo nao estiver na 1a linha, troque a 1a linha pela linha do pivo;

4. Se o pivo for diferente de 1, divida a 1a linha por ele;

5. Utilizando o pivo, elimine os elementos abaixo dele (e tambem acimadele na forma escalonada reduzida), utilizando somente operacoes ele-mentares;

.

.

.

E assim sucessivamente para as outras linhas fazendo o papel da 1a

linha.

Observacao 6.3.14 O procedimento que reduz a matriz a sua formaescalonada e chamado de eliminacao gaussiana; ja o que deixa a matrizna sua forma escalonada reduzida e dito eliminacao de Gauss-Jordan.

Exemplo 6.3.15 Forma escalonada:0 2 3 4 10 0 2 3 42 2 5 2 42 0 6 9 7

l1 l3

2 6= 1 2 5 2 40 0 2 3 40 2 3 4 12 0 6 9 7

l1 12 l1

1 1 52 1 20 0 2 3 40 2 3 4 12 0 6 9 7

l4 l4 2l1

1 1 52 1 20 0 2 3 40 2 3 4 10 2 1 7 3

l2 l3

1 1 52 1 20 2 3 4 10 0 2 3 40 2 1 7 3

l2 12 l2

1 1 52 1 20 1 32 2 120 0 2 3 40 2 1 7 3


l4 l4 + 2l2

1 1 52 1 20 1 32 2 120 0 2 3 40 0 2 3 4

l3 12 l3

1 1 52 1 20 1 32 2 120 0 1 32 20 0 2 3 4

l4 l4 2l3

1 1 52 1 20 1 32 2 120 0 1 32 20 0 0 0 0

Portanto, posto de A = p = 3 e nulidade de A = n p = 5 3 = 2. X

Exemplo 6.3.16 Forma escalonada reduzida: 1 2 1 01 0 3 51 2 1 1

l2 l2 + l1 1 2 1 00 2 4 5

1 2 1 1

l3 l3 l1

1 2 1 00 2 4 50 4 0 1

l2 12 l2 1 2 1 00 1 2 52

0 4 0 1

l3 l3 + 4l2

1 2 1 00 1 2 520 0 8 11

l1 l1 2l2 1 0 3 50 1 2 52

0 0 8 11

l3 18 l3

1 0 3 50 1 2 520 0 1 118

l2 l2 2l3 1 0 3 50 1 0 14

0 0 1 118

l1 l1 + 3l3

1 0 0 780 1 0 140 0 1 118

Portanto, posto de A = p = 3 e nulidade de A = n p = 4 3 = 1. X

Observacao 6.3.17 Interpretando a matriz A acima como a matrizampliada de um sistema:

x1 + 2x2 + x3 = 0x1 + 0x2 + 3x3 = 5

x1 2x2 + x3 = 1, a matriz escada e equivalente por linhas a` ma-

triz A. Assim, o sistema que ela representa:1x1 + 0x2 + 0x3 = 780x1 + 1x2 + 0x3 = 140x1 + 0x2 + 1x3 = 118

e equivalente ao inicial, possuindo a mesma solucao que este.

6.4 Sistema Linear Escalonado

Resolver um sistema linear significa obter o conjunto S, denominadoconjunto solucao do sistema, cujos elementos sao todas as solucoes dosistema. Estudaremos agora um metodo para a resolucao de um sistemalinear: o metodo do escalonamento.

Definicao 6.4.1 Um sistema linear e dito escalonado se, e somente se:


todas as equacoes apresentam as incognitas numa mesma ordem; a matriz incompleta do sistema esta na forma escalonada (conformedefinicao 6.3.1).

6.4.1 Resolucao de um Sistema Linear Escalonado

Exemplo 6.4.2 Numero de equacoes igual ao numero de ingognitas:x+ 23y + z = 1

y 25z = 15z = 2

e um sistema linear escalonado com 3 equacoes e 3 incognitas, cuja solucaoe S = {(53 , 1, 2)}.

Exemplo 6.4.3 Numero de equacoes menor que o numero deingognitas: {

x+ 2y 3z = 1y + 5z = 3

e um sistema linear escalonado com 2 equacoes e 3 incognitas.

Este tipo de sistema admite pelo menos uma variavel denominadavariavel livre ou variavel arbitraria do sistema. E variavel livre aquelaque nao aparece no incio de nenhuma equacao do sistema escalonado.No exemplo 6.4.3, temos z como variavel livre.

A variavel livre, como o nome ja diz, pode assumir qualquer valor real.Para cada valor assumido por ela, obtem-se uma nova solucao para o sistema.

Assim, o conjunto solucao do sistema 6.4.3 e:

S = {(13 5, 3 5, ), R}.Observacao 6.4.4 Chama-se grau de indeterminacao ou grau de

liberdade de um sistema escalonado o numero de variaveis livres do sis-tema.

No exemplo 6.4.3 o grau de liberdade e 1.

Observacao 6.4.5 A escolha de variavel livre como toda aquela quenao inicia nenhuma equacao do sistema e puramente convencional. Naverdade, no sistema do exemplo anterior poderamos ter escolhido y como avariavel livre; ou ainda, x.

6.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear

Vamos estudar uma tecnica para transformar um sistema linear numoutro equivalente na forma escalonada.

Basta escrever a matriz incompleta A do sistema linear e acoplar a co-luna dos termos independentes b, formando uma matriz [A|b]. Pois bem,agora utilize as operacoes elementares permitidas (isto e, o algoritmo paratransformar esta nova matriz na forma escalonada) ate chegar a` forma es-calonada. Entao faca a analise da solucao.


6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz a` Forma EscalonadaReduzida por Linhas

(i). Se ai1 = 0, 1 i m, va para (v).;(ii). Tome ai1 6= 0 com menor i e li l1;(iii). l1 1a11 l1;(iv). li li ai1l1, 2 i m para qualquer ai1 6= 0;(v). Se ai2 = 0, 2 i m, va para (ix).;(vi). Tome ai2 6= 0 com menor i e li l2;(vii). l2 1a22 l2;(viii). li li ai2l2, i 6= 2 para qualquer ai2 6= 0;

6.5 Solucoes de um Sistema Linear

O objetivo desta secao e estudar detalhadamente todas as situacoes quepodem ocorrer na resolucao de um sistema linear.

Observacao 6.5.1 Dado um sistema de uma equacao e uma incognitaax = b, existirao tres possibilidades:

(i) a 6= 0. Neste caso a equacao tem uma unica solucao x = ba(ii) a = 0 e b = 0. Entao temos 0x = 0 e qualquer numero real sera

solucao da equacao.

(iii) a = 0 e b 6= 0. Temos 0x = b. Nao existe solucao para esta equacao.

Proposicao 6.5.2 Consideremos um sistema de m equacoes linearescom n incognitas x1, . . . , xn.

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2... +

... + + ... = ...am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

(6.2)

cujos coeficientes aij e termos independentes bi sao numeros reais ou com-plexos. Este sistema podera ter

(i) uma unica solucao:

x1 = k1x2 = k2...

...xn = kn

(ii) infinitas solucoes

(iii) nenhuma solucao.


prova: analise geometricamente o caso 2 2 e depois utilize inducaomatematica.

Definicao 6.5.3 Em relacao a` proposicao 6.5.2, definimos:

No caso (i), o sistema e possvel (compatvel) e determinado(SPD).

No caso (ii), o sistema e possvel e indeterminado (SPI). No caso (iii), o sistema e impossvel (incompatvel) (SI).

Seja a matriz ampliada de 6.2 e tomemos a sua matriz reduzida a` formaescada associada:

a11 a1n b1... ... ...am1 amn bm

m(n+1)

c1...ck

0 0 0 ck+1...

......

...0 0 0 cm

m(n+1)

(6.3)

Notacao: Denotaremos por pa o posto da matriz ampliada de um sis-tema linear m n, e por pc o posto da matriz dos coeficientes. Quandoambos forem iguais, denotaremos apenas por p.

Teorema 6.5.4

(i) Um sistema m n admite solucao pa = pc.(ii) Se p(= pa = pc) = n, a solucao sera unica (SPD).

(iii) Se p(= pa = pc) < n, podemos esolher n p incognitas, e as outras pincognitas serao dadas em funcao destas. Isto e, o grau de liberdadedo sistema e n p.

prova: Procure entender e demonstrar cada uma das afirmacoes acima.Leia com atencao e volte aos exemplos trabalhados caso julgue conveniente.Visualize o problema pela equacao 6.3. Para uma prova formal, veja [4],demonstracao 2.7.2 da pagina 61. (Vale como desafio!) P

Observacao 6.5.5 Esquematicamente, o teorema 6.5.4, diz:

pc < pa SI pc = pa = n SPD pc = pa < n SPI com grau de liberdade n p.


6.5.1 Exemplos

Exemplo 6.5.6 Em

1 0 0 30 1 0 20 0 1 2

, temos pc = pa = 3. Entaom = 3, n = 3 e p = 3 SPD com solucao x1 = 3, x2 = 2 e x3 = 2. X

Exemplo 6.5.7 Em(

1 0 7 100 1 5 6

), temos pc = pa = 2. Entao

m = 2, n = 3 e p = 2 SPI com grau de liberdade 1 e solucaox1 = 10 7x3, x2 = 6 5x3. X

Exemplo 6.5.8 Para

1 0 7 100 1 5 60 0 0 2

: pc = 2, pa = 3, m = 3 en = 3 SI. X

Exemplo 6.5.9 Em

1 0 10 2 100 1 7 1 40 0 0 0 0

, temos p = 2, m = 3e n = 4 SPI com grau de liberdade 2 e solucao x1 = 10+ 10x3 +2x4 ex2 = 4 7x3 x4. X

Observacao 6.5.10 Pelos exemplos, pode-se dizer que o posto de umamatriz e o numero de linhas independentes desta. Uma linha sera de-pendente de outras (i.e., sera igual a zero no final do escalonamento) se elapuder ser escrita como soma de produtos destas outras linhas por constantes.Tecnicamente, diz-se que esta linha e combinacao linear das outras.

Observacao 6.5.11 Vimos, portanto, que o pa do sistema nos da onumero de equacoes independentes e que a nulidade nos da o grau de liber-dade do sistema.

Observacao 6.5.12 Os recursos computacionais muitas vezes detectamsistemas lineares impossveis corretamente, mas podem, a`s vezes, ser enga-nados e concluir que um sistema possvel e impossvel ou vice-versa. Istoocorre tipicamente quando alguns dos numeros que aparecem nas contas saotao pequenos que os erros de arredondamento tornam difcil para o softwaredeterminar se eles sao zero ou nao.

Na disciplina de Metodos Numericos abordaremos questoes como esta ecomo resolve-las.

6.6 Exerccios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exerccio 6.6.1 Classificar e resolver:

x+ 12y 14z = 14

y + 3z = 8z = 1.


Exerccio 6.6.2 Classificar e resolver o sistema linear{a+ 2b c+ d = 1

b+ c d = 2.

Exerccio 6.6.3 Determinar as solucoes (, , ) do sistema{x+ y + 2z = 1

y z = 5 tais que = 14.

Exerccio 6.6.4 Torne a resolver o exemplo 6.1.1.

Exerccio 6.6.5 Escalonar, classificar e dar o conjunto solucao do sis-

tema

x+ y + 2z = 44x 2y + z = 85x y + 2z = 10.


tema

2x+ 3y + z = 2x+ y + 2z = 1

4x+ 5y + 5z = 6.


tema

3x+ 4y + 5z = 12x+ 3y + 3z = 05x+ 7y + 8z = 1.


tema

x+ 2y = 13x+ 7y = 52x+ y = 4.

Exerccio 6.6.9 Um laticnio vai misturar dois tipos de leite: um quetem 1% de gordura e outro que tem 6%. Quantos litros de cada tipo deveraoser misturados para que se obtenham 1.000 litros de leite com 3% de gordura?

Exerccio 6.6.10 Um comerciante possui duas lojas de calcados. Numasexta-feira as duas lojas venderam um total de 500 pares. No sabado, umadas lojas vendeu 10% a mais do que vendera na sexta-feira; a outra lojavendeu 20% a mais do que havia vendido na sexta-feira. Se no sabado asduas lojas venderam um total de 570 pares, quantos pares cada loja vendeuna sexta-feira? E no sabado?

Exerccio 6.6.11 Um combustvel para automoveis tem 10% de alcoole o restante de gasolina. Outro combustvel tem 4% de alcool e o restante degasolina. Quanto devemos juntar de cada um desses combustveis para obter90 litros de combustvel que tenha 6% de alcool e o restante de gasolina?

Exerccio 6.6.12 Um revendedor tem em sua loja cem automoveis detres tipos: simples de luxo e executivo. A soma do numero de carros de luxocom o dobro do numero de carros executivos e 40; o triplo do numero decarros executivos da 30. Quantos carros ha de cada tipo?


Exerccio 6.6.13 As moedas de um determinado pas sao de tres tipos:de 3g, que vale $10 u.m; de 5g, que vale $20, 00 u.m.; e de 9g, que vale$50, 00 u.m.. Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600g, somando$2800, 00 u.m.. Quantas moedas ela tem de cada tipo?

Exerccio 6.6.14 Certa quantidade de sacos precisa ser transportadae para isso dispoe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada ju-mento, sobram 13 sacos; se colocarmos 3 sacos em cada jumento, sobram 3jumentos. Quantos sao os sacos? Quantos sao os jumentos?

Exerccio 6.6.15 Maria resolve organizar uma festa de aniversariopara seu filho e encomenda: 107 refrigerantes, 95 sanduches e 151 doces.Servira a cada homem 3 refrigerantes, 3 sanduches e 3 doces; a cada mulher2 refrigerantes, 2 sanduches e 4 doces e a cada crianca 2 refrigerantes, 1sanduches e 4 doces. Qual o numero de pessoas convidadas, sabendo quenao sobrou nem faltou nada?

Exerccio 6.6.16 Um litro de alcool custa R$1, 20 e um litro de gasolinacusta R$1, 60. Se o litro de uma mistura de alcool e gasolina custa R$1, 50,quanto de alcool e de gasolina contem um litro dessa mistura?

Exerccio 6.6.17 Suponha que voce va fazer um lanche, constando deiogurte, pastel e chocolate e que disponha de R$1, 80. Segundo os nutricio-nistas, um lanche deve conter 1350 calorias e 66 gramas de protenas. Paracada 100g dos alimentos acima temos:

100 g calorias protenas (g) custo (R$)Iogurte 50 4 0,20

Chocolate 600 24 0,60Pastel 200 28 0,80

Tabela 6.1: Nutrientes em 100 g de lanche

Quais as quantidades de cada alimento satisfazem exatamente ascondicoes acima?

Exerccio 6.6.18 Uma loja vende certo componente eletronico, que efabricado por tres marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre asvendas desse componente, realizado durante tres dias consecutivos, revelouque: no primeiro dia, foram vendidos dois componentes da marca A, umda marca B e um da marca C, resultando num total de vendas igual aR$150, 00; no segundo dia, foram vendidos quatro componentes da marcaA, tres da marca B e nenhum da marca C, num total de R$240, 00; noultimo dia, nao houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco damarca B e tres da marca C, totalizando R$350, 00.

Qual e o preco do componente fabricado por A? E por B? E por C?

Exerccio 6.6.19 Seu Mathias, acompanhado do filho Bolao, estacio-nou o carro numa parada obrigatoria de um posto de fiscalizacao. Alem


deles, estavam no carro o cachorro Dogao e o gato Teco. Bem em frenteao local onde seria feita a vistoria havia uma balanca. Bolao desceu. Ocachorro e o gato o seguiram. O menino queria saber quantos quilos tinhaseu gato, seu cachorro e ele proprio. O guarda sorriu com a pretensao dogaroto, tendo em vista que a sensibilidade daquela balanca so era confiavelpara cargas com mais de 50Kg, e nem Bolao pesava isto, muito menos ogato e o cachorro. Entao o guarda resolveu dar uma ajuda e, sob sua ori-entacao, o menino fez o seguinte: subiu na balanca com o cachorro, sem ogato - ela registrou 95Kg; subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro- a balanca acusou 54Kg; por ultimo, ele colocou o cachorro e o gato nabalanca - ela marcou 51Kg.

Exerccio 6.6.20 Os alunos do Ensino Medio de uma escola do inte-rior organizaram uma festa junina no patio da escola. Havia varias opcoesde divertimento: quadrilhas, bingo, gincanas, etc. Tres barracas, A, B eC, distribudas no patio, ofereciam exatamente as mesmas opcoes de ali-mentacao: churrasco, quentao e pastel: cada uma das tres opcoes tinha omesmo preco nas tres barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanco sobre o consumo nas barracas e verificou-se que: na barracaA foram consumidos 28 churrascos, 42 quentoes e 48 pasteis, arrecadandoum total de R$102, 00; na barraca B foram consumidos 23 churrascos, 50quentoes e 45 pasteis, arrecadando um total de R$95, 00; na barraca C foramconsumidos 30 churrascos, 45 quentoes e 60 pasteis, arrecadando um totalde R$117, 00.

Qual e o preco de um churrasco? E de um quentao? E de um pastel?

Exerccio 6.6.21 Na feira, uma das barracas de frutas estava vendendoembalagens com 10 peras, 5 macas e 4 mangas por 11 reais; outra barracavendia um pacote contendo 8 peras, 6 macas e 4 mangas por 10 reais euma terceira vendia 6 peras e 12 macas por 9 reais. Na verdade, so haviamudanca na quantidade de cada pacote porque o preco de cada especie defruta era o mesmo nas tres barracas. Qual o preco a se pagar por 3 peras,2 macas e 2 mangas em qualquer dessas barracas?

Exerccio 6.6.22 Um agricultor dispoe de 12 hectares para o plantiode arroz, milho e batata. O investimento para o arroz e de R$200, 00 porhectare; para o milho R$100, 00 por hectare e para a batata R$300, 00 porhectare. O rendimento para o arroz e de R$300, 00 por hectare; para o milhoR$200, 00 por hectare e para a batata R$400, 00 por hectare. O agricultorquer investir R$2000, 00 e obter um rendimento de R$3200, 00 por hectare.

Quantos hectares devera plantar de milho, de arroz e de batata?

Exerccio 6.6.23 Observe a tabelaUm avicultor que preparar racao com os alimentos A, B e C de tal

forma que o preco da unidade de racao seja R$14, 00; que a quantidade deprotenas da unidade de racao seja 4, 1 kg e que a quantidade de vitaminasseja 20 kg. Calcular a quantidade de alimentos A, B e C que o avicultordeve preparar.


Alimento Preco/Kg Protena/Kg Unid. Vitamina/KgA 2 0,5 1B 3 0,6 2C 1 0,4 3

Tabela 6.2: Composicao de racao para aves

Exerccio 6.6.24 Numa lanchonete, Marcio come tres pasteis e tomaum refrigerante, e sua amiga Marta come dois pasteis e toma dois refrige-rantes. Cada um paga a sua despesa. Ele paga R$3, 60, e ela R$4, 00. Namesa ao lado, um grupo de estudantes come 15 pasteis e toma 8 refrigeran-tes. Qual o valor desta despesa?

Exerccio 6.6.25 Durante uma semana o Shopping Ubirama reservouuma area para as criancas brincarem sobre rodas e colocou a` disposicaobicicletas (2 rodas), triciclos (3 rodas) e carrinhos (4 rodas). Ao final dapromocao, devido ao desgaste, tiveram que trocar todos os pneus. Entrebicicletas e triciclos foram trocados 90 pneus; entre bicicletas e carrinhos,130; e entre triciclos e carrinhos, 160. Quantas eram as bicicletas queestiveram a` disposicao das criancas?

Exerccio 6.6.26 Uma fabrica de refrigerante possui 270 litros de umxarope x e 180 litros de um xarope y. Cada unidade de um refrigerante Acontem 500 ml de x e 200 ml de y e cada unidade de um refrigerante Bcontem 300 ml de x e 300 ml de y. Quantas unidades de A e B podem serproduzidas se for usado todo o estoque dos xaropes x e y?

Exerccio 6.6.27 Dona Elza deu R$13, 50 para sua filha comprar tantossabonetes e tantas pastas dentais. Nem precisou falar de que marc

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