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Faculdade de JaguarinaEngenharia de Controle e Automao Engenharia de Alimentos Engenharia Ambiental
Matemtica para Engenharia II[Parte I Derivadas e Aplicaes]
Apostila de Exerccios e Aplicaes
Professor Miro
Trata-se de uma compilao de exerccios de derivadas. O objetivo desse material mostrar ao futuro engenheiro as possibilidades de aplicao do conceito de derivada no cotidiano desse profissional.
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 1 Derivada: conceito e definioInterpretao da derivada como inclinao da reta tangente e como taxa de variao Obtendo a derivada atravs da definioUse a definio f '( x) 5, abaixo: 1) Obtenha a derivada de 2) Obtenha a derivada de 3) Obtenha a derivada de
limh 0
f ( x h) h
f ( x)
ou f '( x )
limx 0
f (x
x) x
f ( x)
para obter a derivada nos exerccios de 1 a
f ( x)
x2 .4) Obtenha a derivada de
f ( x)
x 3 . Lembrete:
f ( x) f ( x)
x 2 10 x . x2 5x 2 .
( a b) 3
a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . f ( x) x3 5 x 2 .
5) Obtenha a derivada de
A derivada como taxa de variaoO valor da derivada num ponto representa a taxa de variao (crescimento ou decrescimento) da funo neste ponto. 6) Qual a taxa de variao da funo 7) Qual a taxa de variao da funo a) b) c)
f ( x)
x 2 no ponto x 5 ?
f ( x)
x 2 10 x no ponto:
x 4? x 5? x 6?
8) Dada a funo a) b) c)
f ( x)
x 2 8 x , calcule a taxa de variao da funo f(x), nos pontos:
x 3; x 4; x 5.f ( x) x3 3x 2 2 x 1 no ponto x 1 .
9) Encontre a taxa de variao da funo
10) O grfico abaixo representa a oscilao da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela funo
f ( x)400 350 300 250 200 150 100 50
0, 25 x 2 20 x 24 , onde f ( x) a temperatura, em 0C, e x o tempo de aquecimento, em minutos.
f(x): temperatura
x: tempo10 20 30 40 50 60 70 80
a) b) c) d)
Fonte: QSRMC Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 20min? Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 60min? Em que instante a temperatura estava aumentando 6 0C por minuto? Em que instante a taxa de variao da temperatura era zero?
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 2 Teoremas e regras de derivaoRegra do produto, regra do quociente e regra da cadeiaRegras de Derivao REGRA DO PRODUTO FUNO REGRA DO QUOCIENTE REGRA DA CADEIA
h( x )h '( x)
f ( x).g ( x)f ( x).g '( x)
h( x )h '( x)
f ( x) g ( x)f ( x ).g '( x )2
h( x )h '( x)
f ( g ( x))f '( g ( x)).g '( x)
DERIVADA
f '( x).g ( x)
f '( x).g ( x )
g ( x)
Usando as regras apropriadas de derivao, determine a derivada (derivada primeira) de cada uma das funes abaixo: 1)
h( x) ( x 2 3x)(5 x 10)
10) f (t )
120
10 t2
34
2 5 x)( x 3 2 x) 2) h( x ) ( x
11) h( x) 3)
x2 5x
v(t )
1 t4
12) f ( x)
2x 11
10
4)
f (t ) 120
10 t2
13) 14)
f ( x)f ( x)
x35
5)
h( x )
x2 5x 10 x 43x 4 2x 1 x 1 x 11 2x 4
xx71 3
15) f ( x) 16) v(t ) 17)
3
6)
w( x)
10 6t
7)
v( x)
f ( x)
16 xx2 16
8)
h( x)
18) f ( x) 19) f (t )
9)
v(t )
10 t 1
5t 2 20
20) Determine a derivada da funo f ( x)
2x 8
x2 10 x .
21) Numa indstria frigorfica, um engenheiro colocou uma pea de carne num freezer no instante t = 0 para avaliar o desempenho da mquina. Ele observou que, aps t horas, a temperatura da pea F(t), em graus centgrados, era dada por
F (t ) 30 5t
4 t 1
, 0 t
5 . Qual era a velocidade de reduo da temperatura aps 3 horas?
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 3 Classificao de pontos crticos e valores extremos da funoMximos, mnimos e pontos de inflexo Ponto crtico Dizemos que um ponto c ponto crtico de uma funo derivvel f ( x) se f '(c) 0 . Teste da derivada segunda f ''( x) para determinao e classificao de valores extremos da funo Um ponto crtico pode ser um ponto de mximo, mnimo ou um ponto de inflexo. Dado um ponto crtico c , temos as seguintespossibilidades: Se f ''(c) Se
Se Mximos e mnimos absolutos: O maior valor da funo num intervalo chamado de mximo absoluto da funo nesse intervalo. O menor valor da funo num intervalo chamado de mnimo absoluto. 1) A funo
0 , ento c um ponto de mximo relativo (ou local) e f (c) um mximo relativo (ou local); f ''(c) 0 , ento c um ponto de mnimo relativo (ou local) e f (c) um mnimo relativo (ou local); f ''(c) 0 , ento c pode ser um ponto de mnimo, de mximo ou um ponto de inflexo.
f ( x)f(x)
x 3 6 x 2 9 x 10 est representada no grfico abaixo.
x
a) b) c) d) e) f)
f ( x) . Classifique os pontos crticos de f ( x) .Determine os pontos crticos de Classifique os valores extremos que a funo atinge nos pontos crticos. Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0, 4]? Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0.5; 3.5]? Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [-0.5; 4.5]?
2) A funof(x)
f ( x)
2 x3 21x 2 60 x 65 est representada no grfico abaixo.
x
a) b) c) d)
Determine e classifique os pontos crticos de f ( x) . Classifique os valores extremos que a funo atinge nos pontos crticos. Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [1, 6]? Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0, 7]?2
2 x 40 x , faa o que se pede: 3) Dada a funo quadrtica f ( x ) a) Determine os pontos crticos da funo. b) Classifique o valor extremo que a funo atinge no ponto crtico.4 Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro2
12t 60 , faa o que se pede: 4) Dada a funo quadrtica f (t ) t a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Classifique o valor extremo que a funo atinge no ponto crtico. 33 x 168 x 5 , faa o que se pede: 5) Dada a funo g ( x) 2 x a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo [3, 8]. c) Determine o valor mximo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. d) Determine o valor mnimo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. e) Faa um esboo do grfico dessa funo a partir das informaes dos itens anteriores. 6,3t 50 , faa o que se pede: 6) Dada a funo F (t ) 0,1t 1,5t a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo [2, 8]. c) Determine o valor mximo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. d) Determine o valor mnimo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. e) Faa um esboo do grfico dessa funo a partir das informaes dos itens anteriores.7) Dada a funo f ( x) a)3 2 3 2
768 6 x 2 , faa o que se pede: x
Determine e classifique os pontos crticos de
b) Considerando que o domnio da funo crtico um extremo absoluto ou relativo? Justifique. c) Qual o valor extremo que a funo assume no intervalo 8) Dada a funo A(r ) a)
f ( x) . x ]0, [ , isto , o intervalo x 0 , o valor que a funo atinge no ponto
x 0?
12000 6r 2 , faa o que se pede: r
Determine e classifique os pontos crticos de
b) Considerando que o domnio da funo crtico um extremo absoluto ou relativo? Justifique. c) Qual o valor extremo que a funo assume no intervalo 9) Determine e classifique os pontos crticos da funof(x)
A(r ) . r ]0, [ , isto , o intervalo r 0 , o valor que a funo atinge no ponto
r 0?x 3 9 x 2 27 x 10 , cujo grfico est representado abaixo.
f ( x)
x
10) Determine e classifique os pontos crticos da funo
f ( x)
x 3 6 x 2 12 x 38 .
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 4 Derivadas de funes exponenciais e logartmicas
Tabelas de derivadas de funes exponenciais e logartmicasConsidere que
a um nmero real positivo e diferente de 1; u uma funo de x e e o nmero de Euler.
DERIVADAS DE FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA DERIVADA DA FUNO ELEMENTAR DERIVADA DA FUNO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) Funo Derivada Funo Derivada
f ( x) a xf ( x) e x
f '( x) a x n(a ) f '( x) e x1 f '( x) log a e Ou: x 1 f '( x) x n( a ) f '( x) 1 x
f ( x) a uf ( x ) eu
f '( x) a u ( n a) u ' f '( x) eu u 'u' f '( x) log a e Ou: u u' f '( x) u n(a ) f '( x) u' u
f ( x) log a x
f ( x) log a u
f ( x)
n( x)
f ( x)
n(u)
Determine a derivada primeira de cada uma das funes a seguir. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
f ( x) 2 xf ( x) 2x2
11)3x 2
f ( x)f ( x)
n(3x)n( x 2 3x 10)1 n(7 x 2 4) 2
12)
f ( x) e 2 xf ( x) f ( x) ex2
13) f ( x) 14)2
f ( x ) e3 x n( x 2 )h(t ) et n(t )3
2e3 xx 1 1
6x 7
15) 16) 17)
f ( x) e x
f ( x) log10 xf ( x) log3 (2 x2 7 x)
h( x ) ( x 3 5 x ) e 2 x
h( x) ( x 2 5 x) n( x 2 8)
f (t )
n(t )
h( x) 3 n( x)
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 5 Derivada de funes trigonomtricasTabelas de derivadas de funes trigonomtricasDERIVADAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA FUNO TRIGONOMTRICA ELEMENTAR FUNO TRIGONOMTRICA COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) Funo Derivada Funo Derivada
f ( x) sen( x) f ( x) cos( x) f ( x) tg ( x)f ( x) cotg(x) f ( x) sec(x) f ( x) cossec(x)
f '( x) cos( x) f '( x) sen( x)f '( x) sec 2 ( x)
f ( x) sen(u) f ( x) cos(u) f ( x) tg (u)f ( x) cotg(u) f ( x) sec(u) f ( x) cossec(u)
f '( x) cos(u) u ' f '( x) sen(u) u 'f '( x) sec 2 (u ) u '
f '( x) cossec 2 ( x) f '( x) sec( x) tg ( x) f '( x) cossec( x) cotg ( x)
f '( x) cossec 2 (u ) u ' f '( x) sec(u) tg (u) u ' f '( x) cossec(u) cotg (u) u '
Nos exerccios a seguir, determina a derivada primeira de cada uma das funes. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
f (t ) sen(t ) f (t ) cos(t )
17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
f ( x) cos(10x) f ( x) 2cos(10x)
f (t ) tg (t )f ( x) 10sen( x) f ( x) sen(10x) f ( x) sen( x)
f ( x)
5cos(2 x)
f ( x) cos(2x 4) f (t ) cos(2t / 2) / 4)
f (t ) 100 40cos(2tf ( x) ecos( x )f ( x) 10cos( x )
f ( x) 3sen(10x)f ( x) 2.sen( 2.x)
f ( x)
sen( x 2 )
f ( x) 5cos( x) ecos(5 x )sen( x) cos( x)
f ( x)
5sen(2x 3)
26) f ( x)
f ( x) 40 15sen(2x)f ( x) ( x 2 2 x) senxx sen( x)27) 28)
f ( x) sen( x) cos( x)f ( x) 4sen(5x) 7cos(3x)f ( x) sen 2 ( x)1 cos(2 x) 2 1 cos(2 x) 2
13) f ( x)
29)
14)
f ( x) e sen ( x )30)
Dica: sen 2 ( x)
sen ( x ) 15) f ( x) 3
f ( x) cos 2 ( x)Dica: cos 2 ( x)
16)
f ( x) 10cos( x)31)
f ( x) tg ( x) sec( x)
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 6 Aplicaes de derivadas em engenhariaTaxa de variao, pontos crticos e problemas de otimizao usando derivadas1) O grfico abaixo representa a oscilao da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela funo600
f ( x)
0, 25 x 2 24 x 30 , onde f ( x) a temperatura, em 0C, e x o tempo de aquecimento, em minutos.
f(x): temperatura
500
400
300
200
100
x: tempo10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
a) b) c) d) e) f)
Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 20min? Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 60min? Em que instante a temperatura estava aumentando 40C por minuto? Em que instante a taxa de variao da temperatura era zero? Quantos minutos de aquecimento foram necessrios para se atingir a temperatura mxima? Qual foi a temperatura mxima atingida?
2) A presso num determinado tambor de ar, em funo do tempo de funcionamento do pressurizador, dada pela funo
10t 400t , onde P(t ) a presso, em libras, e t o tempo de pressurizao, em segundos. quadrtica P(t ) a) Qual a taxa de variao da presso aps 10 segundos de funcionamento do pressurizador? b) Quantos segundos de funcionamento so necessrios para a presso atingir o valor mximo? c) Qual a presso mxima atingida nesse tambor?3) Um reservatrio de gua est sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de gua restante no reservatrio,2
2
t horas aps o 60t 900 , cujo grfico est representado abaixo, onde V (t ) indica o escoamento ter comeado, dada por V (t ) t volume de gua, em metros cbicos, restante no reservatrio num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em horas.900 800 700 600 500 400 300 200 100
V(t): Volume Rest.
t: tempo5 10 15 20 25 30
a) Qual o volume de gua restante no reservatrio aps 5 horas de escoamento?
8
Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Mirob) Qual a taxa de variao (em metros cbicos por hora: m3/h) do volume de gua no reservatrio no instante t 5 horas? c) Qual a taxa de variao (em metros cbicos por hora: m3/h) do volume de gua no reservatrio no instante t 15 horas? d) Em que instante a taxa de variao do volume de gua era de -40 m3/h? e) Em que instante a taxa de variao do volume ser nula? O que ocorre nesse instante? Justifique. 4) Um reservatrio de gua est sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de gua restante no reservatrio,2
t minutos
96t 576 , onde V (t ) indica o volume de gua, em litros, aps o escoamento ter comeado, dada por V (t ) 4t restante no reservatrio num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em minutos. a) Qual era o volume de gua que o reservatrio continha quando comeou o escoamento? b) Qual ser o volume de gua restante no reservatrio aps 2 minutos de escoamento? c) Qual a taxa de variao do volume de gua no reservatrio no instante t 2 ? d) Em que instante a taxa de variao do volume de gua ser de -16 litros/minuto? e) Em que instante a taxa de variao do volume ser nula? O que ocorre nesse instante? Justifique.5) Numa indstria de alimentos, um determinado produto foi contaminado por um microorganismo, no instante t = 0. Sabendo que a populao
p(t )
desse microorganismo, aps t horas, dada por
p(t ) 2000.30,1t , vlida para
0 t 40 , faa o que se pede: a) Determine a derivada dessa funo. b) Determine a taxa de crescimento desse microorganismo aps 20 horas. [Use6) Se uma populao de microorganismos se multiplica de acordo com a funo horas e P(t) a populao, faa o que se pede: a) Qual a derivada dessa funo? b) Qual a taxa de crescimento dessa populao no instante t = 6 horas? [Use
n(3) 1,1 ]t
P(t ) 1800. 2 6 , onde t o tempo em
n(2) 0,7 ].
7) Na linha de produo de uma indstria, certo alimento precisa submetido a oscilaes de temperatura durante o processo de cozimento. Esta oscilao pode ser modelada pela funo trigonomtrica F (t ) 80 60Sen[( / 24)t ] , onde t o tempo decorrido, em minutos, e F(t) a temperatura, em graus Celsius, no tempo t.F(t): temperatura140
120
100
80
60
40
20
t: tempo (min)12 24 36 48 60 72
a) b) c) d) e)
Determine a derivada da funo F(t). Qual a taxa de variao da temperatura no instante t 8 min? Qual a taxa de variao da temperatura no instante t 24 min? No intervalo 36 t 60 , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura? No intervalo 12 t 36 , em que instante ocorreu a maior taxa (em mdulo) de decaimento da temperatura? Dica: faa um esboo da grfico da derivada de F(t) para responder aos itens d e e.
9
Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro8) Na linha de produo de uma indstria, certo rob executa uma tarefa repetitiva. Nesse processo, a fora aplicada sobre o brao do rob oscila ao longo de perodos iguais de tempo. Esta oscilao pode ser modelada pela funo trigonomtrica F (t ) 108 36 cos[( / 12)t ] , onde t o tempo decorrido, em segundos, e F(t) a fora, em N, no tempo t.144 F(t): fora (N)
108
72
36
t: tempo (s)6 12 18 24 30 36
a) b) c) d) e)
Determine a derivada da funo F(t). Qual a taxa de variao da fora sobre o brao do rob no instante t 6 s ? Qual a taxa de variao da temperatura no instante t 24 min? No intervalo 0 t 12 , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura? No intervalo 12 t 24 , em que instante ocorreu a maior taxa (em mdulo) de decaimento da temperatura? Dica: faa um esboo do grfico da derivada de F(t) para responder aos itens d e e.
9) A produtividade mdia diria de uma grande indstria, nos ltimos anos, variou conforme a funo F (t ) t 3 15t 2 63t 500 , onde t o tempo dado em anos (com t = 0 correspondendo ao incio do ano 2000, t = 1 correspondendo ao incio do ano 2001 e assim sucessivamente) e F(t) o nmero mdio dirio de unidades produzidas no instante t. Considere que esta aproximao seja vlida no intervalo 0 t 8 . a) Quais so os pontos crticos dessa funo? b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo 0 t 8 . c) Em que momento desse intervalo a produo mdia diria foi mxima? d) Qual foi a produo mdia diria mxima atingida nesse perodo? e) Em que momento desse intervalo a produo mdia diria foi mnima? f) Qual foi a produo mdia diria mnima atingida nesse perodo? 10) Numa indstria, so construdas caixas abertas (sem tampa) a partir de placas quadradas de papelo de 18 cm de lado. O engenheiro de produo desta fbrica planeja retirar quadrados iguais dos quatro cantos da placa, dobrando a seguir os lados, conforme modelo matemtico abaixo. No entanto, o engenheiro quer retirar quadrados de tal forma que o volume da caixa obtida seja mximo. Considerando como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado, temos o seguinte modelo matemtico do problema:x x x x
18 cmx x x x
Caixa sem tampa
18 cm
a) Expresse o volume V(x) da caixa em funo da medida x do lado do quadrado. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique usando propriedades de derivadas e de mximos e mnimos. d) Qual o volume mximo que esta caixa atinge?
10
Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro11) Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas abertas (sem tampa) a partir de pedaos quadrados de papelo de 12 cm de lado. Para isso, ele ir retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a seguir os lados. Considere como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado e faa o que se pede abaixo. a) Faa um modelo matemtico desse problema e expresse o volume V(x) da caixa em funo de x. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique usando propriedades de derivadas e de mximos e mnimos. d) Qual o volume mximo que esta caixa atinge? 12) Uma indstria de embalagens precisa construir uma caixa fechada com base quadrada. Sabe-se que o volume da caixa deve ser de 2 litros (2.000 cm3). O material da tampa e da base custa 3 centavos por centmetro quadrado e o material para os lados custa 1,5 centavo por centmetro quadrado. a) Escreva uma funo que represente o custo total C ( x) da caixa (em centavos) em funo do lado x da base quadrada. b) Qual o domnio da funo C ( x) , isto , o intervalo em que ela vlida? c) Se voc fosse o engenheiro responsvel por este projeto, quais dimenses (lado da base e altura) voc definiria para a caixa com o objetivo de tornar o custo total do material mnimo? Explique seu raciocnio usando os conceitos e as propriedades de derivao (diferenciao). d) Qual o custo total mnimo da caixa, em reais? 13) Um engenheiro precisa construir uma caixa fechada de base quadrada com 45 litros de capacidade, isto , 45.000 cm 3. O material a ser utilizado muito caro e precisa ser otimizado. O engenheiro sabe que o material usado na tampa e na base custa 5 centavos por centmetro quadrado e que o material para os lados custa 3 centavos por centmetro quadrado. a) Escreva uma funo que represente o custo total C ( x) da caixa (em centavos) em funo do lado x da base quadrada. b) Qual o domnio da funo C ( x) , isto , o intervalo em que ela vlida? c) Se voc fosse o engenheiro responsvel por este projeto, quais dimenses (lado da base e altura) voc definiria para a caixa com o objetivo de tornar o custo total do material mnimo? Explique seu raciocnio usando os conceitos e as propriedades de derivao (diferenciao). d) Qual o custo total mnimo da caixa, em reais? 14) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilndrico com tampa e com capacidade para 250 mL (250 cm3). Observe que se utilizarmos a aproximao 3 , este volume ser de aproximadamente 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construo do recipiente, o engenheiro ir otimizar as dimenses (dimetro e altura) de tal forma que a rea total seja mnima. a) Sem usar a aproximao 3 , isto , mantendo o nas expresses at ser cancelado (se possvel), escreva a funo que representa a rea total do recipiente em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima? 15) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilndrico com tampa e com capacidade para 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construo do recipiente, o engenheiro ir otimizar as dimenses (dimetro e altura) de tal forma que a rea total seja mnima. a) Usando a aproximao 3 , escreva a funo que representa a rea total do recipiente em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima? 16) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir uma embalagem cilndrica de 6 litros (6.000 cm3) de capacidade (volume obtido pela aproximao 3 ). No tendo encontrado uma pea pronta com esse formato, ele decidiu otimizar as dimenses da embalagem a ser construda. a) Usando a aproximao 3 , escreva a funo que representa a rea total da embalagem em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima da embalagem?
11
Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro17) A curva de torque de um motor (em cv) varia de acordo com o nmero de rotaes deste (em rpm). Suponha que, num certo experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de torque abaixo (veja grfico). No eixo x est o nmero de rotaes por minuto (rpm), em milhares - isto , a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra o torque, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funo exponencialx 2 12 x 36 6
F ( x) 180 e
Onde x o nmero de rotaes (rpm, em milhares), F(x) o torque, em cv, e e o nmero de Euler (base da funo exponencial natural).F(x): Torque(CV)
x: Rotao(rpm)
a) Qual a derivada da funo
F ( x) ?
b) Qual a taxa de variao do torque a 3000 rpm (isto , no ponto x 3 )? [Use e 2,7 ]. c) Qual o nmero de rotaes que faz com que o torque seja mximo? Justifique usando derivada. d) Qual o torque mximo que este motor atinge? 18) A curva de torque de um motor (em cv) varia de acordo com o nmero de rotaes deste (em rpm). Suponha que, num certo experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de torque abaixo (veja grfico). No eixo x est o nmero de rotaes por minuto (rpm), em milhares - isto , a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra o torque, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funo exponencialx 2 8 x 16 4
F ( x) 140 e
Onde x o nmero de rotaes (rpm, em milhares), F(x) o torque, em cv, e e o nmero de Euler (base da funo exponencial natural).F(x): Torque(CV)
x: Rotao(rpm)
a) Qual a derivada da funo
F ( x) ?
b) Qual a taxa de variao do torque a 2000 rpm (isto , no ponto x 2 )? [Use e 2,7 ]. c) Qual o nmero de rotaes que faz com que o torque seja mximo? Justifique usando derivada. d) Qual o torque mximo que este motor atinge?
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
GabaritoUnidade 11) 2) 3) 4) 5)
f '( x) 2 x f '( x) 2 x 10 f '( x) 2 x 5
f '( x)
3x 2
6) 7) Respostas: a) f '(4) b) c) 8) Respostas: a) f '(3) b) c) 9)
f '( x) 3 x 2 10 x f '(5) 10 Taxa = 102 0Taxa = 2 Taxa = 0
f '(5) f '(6)
2
Taxa = -2
2 Taxa = 2 f '(4) 0 Taxa = 0 f '(5) 2 Taxa = -211
f '(1) 11
10) Respostas: f '(20) a)
b) f '(60) c) No instante x = 28 min. d) No instante x = 40 min.
10 Taxa = 100C/min. 10 Taxa = -100C/min.
Unidade 21) 2)
h '( x) 15 x 2 50 x 30 h '( x) 5 x 4 20 x3 6 x 2 20 xv '(t ) f '(t ) 4 t5 20 t3 10 x 2 8 x 20
8)
h '( x) v '(t )
2 2x 42
16) v '(t ) 17) f
9)
10 t 12
3) 4) 5)
10) f '(t )
20t t2 32
18) f 19) f 20) f
h '( x)w '( x) v '( x)
11)
h '( x) (8 x 20)( x 2 5 x)320 2 x 11 3x 2/3 1 5 x 4/5 x 4/3 7 39
10 x 46)
2
12) f '( x) 13) f '( x) 14) f '( x) 15) f '( x)
5 2x 12
2 (10 6t )2/3 2 '( x) x x '( x) x 2 16 5t '(t ) 2 5t 20 1 '( x) 2x 8
x 5 x 2 10 x
7)
2 x 12
21)
F '(3)
5, 25 , ou seja, a temperatura estava caindo 5,250C/hora.
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro Unidade 31) Respostas: a) {1, 3}. b) x 1 ponto de mximo relativo e x 3 ponto de mnimo relativo. c) f (1) 14 mximo relativo e f (3) 10 mnimo relativo. d) O mnimo absoluto 10 e o mximo absoluto 14. e) O mnimo absoluto 10 e o mximo absoluto 14. f) O mnimo absoluto 3.875 e o mximo absoluto 20.125. 2) Respostas: a) x 2 ponto de mnimo relativo e x 5 ponto de mximo relativo. b) f (2) 13 mnimo relativo e f (5) 40 mximo relativo. c) O mnimo absoluto 13 e o mximo absoluto 40. d) O mnimo absoluto -12 e o mximo absoluto 65. 3) Respostas: a) x 10 ponto de mximo absoluto. b) f (10) 200 valor mximo absoluto dessa funo. 4) Respostas: a) t 6 ponto de mnimo absoluto. b) f (6) 24 valor mnimo absoluto dessa funo. 5) Respostas: a) x 4 ponto de mximo relativo e x 7 ponto de mnimo relativo. b) O valor mximo absoluto da funo 277 e o mnimo absoluto 250. c) 277. d) 5. e) Grficog(x)
x
6) Respostas: a) x 3 ponto de mximo relativo e x 7 ponto de mnimo relativo. b) O valor mximo absoluto da funo 58,1 e o mnimo absoluto 54,9. c) 58,1. d) 50. e) Grfico
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. MiroF(t)
t
7) Respostas: a) O ponto crtico b) No intervalo x c)
x 4 um ponto de mnimo relativo da funo. 0 , o valor extremo assumido em x 4 um mnimo absoluto, pois f "( x) 0 ou seja, a concavidade do grfico voltada para cima em todo o intervalo x 0 . O mnimo absoluto da funo no intervalo x 0 288.r 10 um ponto de mnimo relativo da funo. 0 , o valor extremo assumido em r 10 um mnimo absoluto, pois A"(r ) 0 ou seja, a concavidade do grfico voltada para cima em todo o intervalo r 0 . O mnimo absoluto da funo no intervalo r 0 1800.
para todo x
0,
8) Respostas: a) O ponto crtico b) No intervalo r c)
para todo r
0,
9) O ponto crtico 10) O ponto crtico
x 3 um ponto de inflexo da funo.x 2 um ponto de inflexo da funo.
Unidade 41) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
f '( x) 2 x n(2)f '( x) f '( x) f '( x) 2x2
3x 2
n(2) (2 x 3)
f '( x) 2.e 2 x2 x.e x2
3 x 1 11) f '( x) x10) h '( x) 12) f '( x) 13) f '( x)
(12 x 12).e
3 x2 6 x 7
f '( x)f '( x) f '( x)
2.
e( x 1)/( x 1) ( x 1) 21 x n(10)ou
2x 3 x 3x 10 7x 7 x2 42
f '( x)9)
f '(t )
1 log10 (e) , ou f '( x) x 4x 7 log3 (e) , 2 x2 7 x 4x 7 2 (2 x 7 x) n(3) 1 t
14) f '( x)
e3 x 3 n( x 2 )
2 x
n(t )15) 16)
h '(t ) et n(t )
1 t2
h '( x) e 2 x
3
(2 x 3 3x 2 10 x 5)2 x3 10 x 2 x2 8
17) h '( x)
(2 x 5) n( x 2 8)
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro
Unidade 51) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
f '(t ) f '(t ) f '(t ) f '( x) f '( x) f '( x) f '( x)
cos(t ) sen(t ) sec 2 (t ) 10cos( x) 10cos(10x) cos( x) 30cos(10x)
17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)
f '( x) 2cos( 2.x)
f f f f f f f f
'( x) 10sen(10x) '( x) 20sen(10x) '( x) 10sen(2x) '( x) 2sen(2x 4) '(t ) 2sen(2t / 2) '(t ) 80sen(2t / 4) cos( x ) '( x) sen( x) e '( x) sen( x) 10cos( x ) n(10)5 sen( x) sen(5 x) ecos(5 x )
'( x) 2 x cos( x 2 ) '( x) 10cos(2x 3) '( x) 30cos(2x) '( x) (2 x 2) sen( x) ( x 2 2 x) cos( x) sen( x) x cos( x) 13) f '( x) sen2 ( x) sen ( x ) 14) f '( x ) cos( x ) e sen ( x ) n(3) 15) f '( x ) cos( x ) 3 16) f '( x) 10sen( x) f 10) f 11) f 12) fUnidade 61) Respostas a) 140C/min b) -60C/min c) Aps 40 min d) Aps 48 min e) 48 min f) 6060C 2) Respostas a) 200 libras/seg b) 20 segundos c) 4000 libras 3) Respostas a) -50m3/h b) -30m3/h c) Aps 10h d) Aps 30h; A gua acaba , pois V(30) = 0. 4) Respostas a) 576 litros b) 400 litros c) -80 litros/min d) Aps 10 min e) Aps 12 min; A gua acaba, pois V(12) = 0. 5) Respostas
25) f '( x) 26) f '( x) 27) 28) 29) 30) 31)
1 cos2 ( x)
f '( x) sec2 ( x)
f f f f f f
'( x) '( x) '( x) '( x) '( x) '( x)
cos( x) sen( x) 20cos(5x) 21sen(3x) sen(2x) sen(2x) sec2 ( x) sec( x) tg ( x) ou sec( x) [sec( x) tg ( x)]
n(2) a) p '(t ) 300 3 b) 420 microorganismos/h7) Respostas
t /6
5 cos[( / 24)t ] 2 b) (5 / 4) 0C/min 3,9 0C/min c) (5 / 2) 0C/min 7,8 0C/mina)
F '(t )
d) No instante t = 48 min e) No instante t = 24 min 8) Respostas a) F '(t )
3 sen[( / 12)t ]
b) 3 N/s 9, 4 N/s c) 0 d) No instante t = 6 seg e) No instante t = 18 seg 9) Respostas a) {3, 7} b) Mx. Abs. = 581 e Mn. Abs. = 500 c) No incio de 2003. d) 581 unidades/dia e) No incio de 2000. f) 500 unidades/dia.
n(3) a) p '(t ) 200 3 b) 1980 microorganismos/h6) Repostas
0,1t
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Apostila de Exerccios e Aplicaes
Matemtica para Engenharia II Prof. Miro10) Respostas a) b) c) d)
V ( x) 4 x 3 72 x 2 324 x 0 x 9 x 3 cm 432 cm33
r 5 cm (raio da base); h 10 cm (altura) c) 150 cm2b) 15) Respostas a) b)
A(r ) 6r 2
1500 r
11) Respostas
V ( x) 4 x b) 0 x 6 c) x 2 cm d) 128 cm3a) 12) Respostas a)
48 x
2
144 x
r 5 cm (raio da base); h 10 cm (altura) c) 450 cm216) Respostas a) b)
A(r ) 6r 2
12000 r
C ( x) 6 x 2
12000 x20 cm (altura)
r 10 cm (raio da base); h 20 cm (altura) c) 1800 cm217) Respostasx2 12 x 36 6
b) x 0 c) x 10 cm (lado da base); y d) 1800 centavos = R$18,00 13) Respostas a)
F '( x) 300 e b) 405.72 cv/1000rpm c) x 6 6000 rpma) d) 180 cv 18) Respostas
( 2 x 12)
C ( x) 10 x 2
540000 x50 cm (altura)
b) x 0 c) x 30 cm (lado da base); y d) 27000 centavos = R$270,00 14) Respostas a)
F '( x) 35 e b) 51.85 cv/1000rpm c) x 4 4000 rpma) d) 140 cv
x2 8 x 16 4
( 2 x 8)
A(r ) 2 r 2
500 r
Leituras Sugeridas e RefernciasPIOVESANA, Celso Ildio; SANTOS, Valdomiro Placido, et al. MATEMTICA BSICA; Itatiba, Berto, 2009. GONALVES, M., FLEMMING, D. M. CLCULO A: FUNES, LIMITE, DERIVAO E INTEGRAO; 5a ed., So Paulo; Makron Books, 1999. LEITHOLD, L. O CLCULO COM GEOMETRIA ANALTICA; v.1, 3a ed., So Paulo; HARBRA, 1994.
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Apostila de Exerccios e Aplicaes