Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise1 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR DPS 1016 Engenharia Econmica Material de Aula Departamento de Engenharia de Produo e Sistemas Centro de Tecnologia - Universidade Federal de Santa Maria - RS Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise2 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR SUMRIO 1. Introduo e conceitos bsicos 1.1 O objeto de estudo da econmia 1.2 Fundamentos da anlise macroeconmica 1.3 Fundamentos da anlise microeconmica 1.4 Definio de Engenharia Econmica 1.5 Definio e modalidades de Juros 1.6 Juros simples e compostos 1.7 Diagrama de fluxo de caixa 2. Relaes de equivalncia 2.1 - Dado P achar F 2.2 - Dado F achar P 2.3 - Dado A achar F 2.4 - Dado F achar A 2.5 - Dado A achar P 2.6 - Dado P achar A 2.7 - Dado G achar A 2.8 - Dado G achar P 2.9 Sries perptuas 3. Taxas de juros 3.1 - Consideraes gerais 3.2 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva 3.3 - Taxas cobradas antecipadamente 3.4 - Taxas Equivalentes 3.5 - Taxa Global de Juros 3.6 - Taxa Mnima de Atratividade 4. Financiamento 4.1 - Fontes de recursos 4.2 - Seleo das fontes de financiamento 4.3 - Amortizao de dvidas 4.4 - Sistema de amortizao francs (Tabela Price) 4.5 - Sistema de amortizao constante (SAC) 4.6 - Sistema de amortizao misto (SAM) 4.7 - Sistema de amortizao crescente (SACRE) 4.8 - Outros sistemas de amortizao 4.8.1 - Sistema americano 4.8.2 - Pagamento nico, com juros postecipados 4.8.3 - Pagamento nico, com juros antecipados 4.8.4 - Sistema de amortizaes variveis 4.9 - Comentrios sobre os sistemas de amortizao Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise3 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 4.10 - Correo monetria dos emprstimos 4.10.1-Prestaocalculadaapsaincorporaodacorreomonetriaaosaldo devedor 4.10.2 - Prestao calculada antes da incorporao da correo monetria ao saldo devedor 5. Mtodos determinsticos de anlise de investimentos 5.1 - Valor Presente Lquido 5.1.1 - Projetos com vidas iguais 5.1.2 - Projetos com vidas diferentes 5.2 - Valor (ou Custo) Anual Uniforme Equivalente 5.2.1 - Valor anual uniforme equivalente 5.2.2 - Custo anual uniforme equivalente 5.3 - Taxa Interna de Retorno 5.3.1 - Casos especiais 5.3.2 - Anlise incremental 5.3.3 - Interseo de Fisher 5.3.4 - Projetos com vidas diferentes 5.4 - Anlise Benefcio/Custo 5.5 - Tempo de Recuperao do Capital - PAYBACK 5.6 - Mtodos Modificados 5.7 - Estudo de Caso 6. Bibliografia 7. Calendrio 8. Apendice Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise4 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 1. INTRODUCAO E CONCEITOS BSICOS 1.1 O OBJETO DE ESTUDO DA ECONOMIA ApalavraeconomiadeorigemGrega(oikonomes)(deoikos=casaenomos=norma, lei), que significa a administrao de uma casa. Xenofontes (455 a 345 a.c.) foi o primeiro ausarotermo Economia no sentido exposto anteriormente, ou seja, abrangendo apenas o governo ou a administrao do lar. AEconomiasedefinecomoumacinciasocialqueestudacomooindividuoea sociedadedecidem(escolhem)empregarrecursosprodutivosescassosnaproduode benseservios,demodoadistribu-losentreasvriaspessoasegruposdasociedade,a fimdesatisfazerasnecessidadeshumanasdamelhormaneirapossvel.(PINHO; VASCONSELLOS, 2006, p. 2). Percebe-se os cinco conceitos bsicos escrita na definio anterior, como: -Recursos; -Escassez; -Necessidades; -Produo; e -Distribuio. Os recursos (seja mo-de-obra, terra, matrias-primas, etc.) so limitados.Ao contrrio as necessidades que se renovam e mudam, ou seja, so ilimitadas, pois sempre o individio tem o desejo elevar o padro de vida e a populao cresce mundialmente. Mesmonospasesmaisricosdomundo,todososrecursosdisponveisnoesto suficientesparasatisfazertodasasnecessidades.Porisso,sefaladeescassez,ouseja, recursos limitados. Viviendo com a escassez, a sociedade busca alternativas de produo e dedistribuiodosresultadosdaatividadeprodutivaparaatenderasnecessidadesde diversos grupos da sociedade. Para satisfao das necessidades: Produo Distribuio Consumo Nesseprocessodeproduoeconsumo,surgemesosolucionadosmuitosproblemasde carter econmico: Produo Consumo Que bens produzirComo vo gastar e Que meios utilizar para produzir Assimseencontraaquestoprincipaldaeconomia:Comoalocarrecursosprodutivos limitados para satisfazer todas as necessidades da populao? Entoasociedadedevetomardecisosobreamelhorformadautilizaoderecursos limitados,sendoestudarassuntoscomoinflao,taxadejuros,taxadecmbio, desemprego, crescimento, dficit pblico, vulnerabilidade externa, etc. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise5 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Micro Economia Descritiva T E[ ]P E Macro Economia Positiva Economia Normativa EconomiaDescritivatratadaidentificaodofatoeconmico.apartirdos levantamentosdescritivossobreacondutadosagenteseconmicosqueseiniciao complexo de conhecimento sistematizado da realidade no campo da economia positiva. a tarefa de levantamento e descrio dos fatos que se dedica a economia descritiva; atravs dela que a realidade comea a ser submetida a um criterioso tratamento no sentido de que possam se analisados as relaes bsicas que se estabelecem entre os diversos agentes que compem o quadro da atividade econmica. TeoriaEconmica(TE)ocompartimentocentraldaeconomia,compete-lhedar ordenamento lgico aos levantamentos sistematizados fornecidos pela economia descritiva, produzindo generalizaes que sejam capazes de ligar aos fatos entre si, desvendar cadeias de aes manifestadas e estabelecer relaes que identifiquem os graus de dependncia de umfenmenoemrelaoaoutro.Surgiramentoemdecorrnciaconjuntodeprincpios, de teorias, de modelos e de leis fundamentadas nas descries apresentadas. Ateoriaeconmicaadotaduasposiesdistintasnaapresentaoeanlisedofenmeno econmico, estas posies so conhecidas como microeconomia e macroeconomia. A microeconomia aquela parte da teoria econmica que estuda oprocesso de formao depreoseofuncionamentodosmercados,ouseja,comportamentodasunidades,tais como os consumidores, as indstrias e empresas, e suas inter-relaes. Amacroeconomiaestudaofuncionamentodosistemaeconmicoemseuconjunto.Seu propsitoobterumavisosimplificadadaeconomiaque,porm,aomesmotempo, permita conhecer e atuar sobre o nvel da atividade econmica de um determinado pas ou de um conjunto de pases. Osdesenvolvimentoselaboradosnocompartimentodateoriaeconmicatemafinalidade de servir a Poltica Econmica (PE). Nesse terceiro compartimento que sero utilizados osprincpios,asteorias,osmodeloseasleis.Autilizaoterafinalidadedeconduzir adequadamenteaaoeconmicacomvistasaobjetivospr-determinados.Quando empregamos a expresso poltica econmica governamental estamos nos referindo as aes praticas desenvolvidas pelo governo com a finalidade de condicionar, balizar e conduzir o sistemaeconmiconosentidodequesejamalcanadosumoumaisobjetivos politicamente estabelecidos. Para completar existem ainda a Lei da Economia, que a relao entre um fenmeno e sua causa,Economiapolticaumacinciaeconseqentementepossuiprincpios,normase leis. Assim, as leis podem ser dividas: Leis Naturais so aquelas de forma global, gerias; exprimem uma relao constante entre acausaeoefeito.Ex:leisfsicassoaquelasondecientistaspodemdeterminar perfeitamente a causa; a gua a zero grau congela. LeisSociaisexprimematendnciaquecertosfatostememproduzircertosefeitos.Ex: fenmenoseconmicospodemgarantiratendnciadeacontecimentodofato,segundoas condies propostas; a escassez do produto indica um aumento do preo. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise6 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR LeisTipicamenteEconmicasleidaofertaedaprocuraessaleidizqueopreo aumenta.Nopodedizerquanto(emvalores),quandoecomoaconteceraenememque medida poder ser produzida. 1.2 FUNDAMENTOS DA ANLISE MACROECONMICA A Macroeconomia, segundo Garcia e Vasconcellos (2002, p. 83), [...] estuda a economia comoumtodo,analisandoadeterminaoeocomportamentodegrandesagregados,tais como: renda e produto nacionais, nvel geral de preos, emprego e desemprego, estoque de moeda e taxas de juros, balana de pagamentos e taxa de cmbio. Assimsendo,aMacroeconomiafazumaabordagemglobaldasunidadeseconmicas individuaisedemercadosespecficos.Porexemplo,essateoriaconsideraapenasonvel geral de preos, e no atende as mudanas dos preos dos bens das diferentes indstrias. Basicamente, a macroeconmia constitui-se de cinco mercados, que atravs de suas ofertas edemandasdeterminamosagregadosmacroeconmicos.Estescincomercadosso mercado de bens e servios, de trabalho, monetrio, de ttulos e de divisas. 1.2.1 Mercado de Bens e Servios Determina o nvel de produo agregada, bem como o nvel geral de preos. Para Garcia e Vasconcellos(2002,p.90)Aidiaseriaadeidealizarmosaeconomiacomoseela teoricamenteproduzisseapenasumnicobem,queseriaobtidoatravsdaagregaodos diversos bens produzidos. Onvelgeraldospreosedoagregadodaproduodependedademandaagregada consumidores, empresas, governo, setor externo e da oferta agregada de bens e servios. Paraqueaomenoshouvesseumequilbriodemercado,serianecessrioqueaoferta agregada de bens e servios fosse igual demanda agregada de bens e servios. O mercado de bens e servios define as variveis de: nvel de renda, produto nacional e de preos,consumo,poupanaeinvestimentosagregadoseexportaeseimportaes globais. 1.2.2 Mercado de Trabalho Nessemercadoadmite-seumnicotipodemo-de-obra,independentedograude qualificao,escolaridade,sexoetc.Eledeterminaossalrioseonveldeemprego.A ofertademo-de-obrad-sepelosalrioepelaevoluodapopulaoeconomicamente ativa. E a procura de mo-de-obra ocorre pelo seu custo empresa e do nvel de produo desejadapelamesma.Oequilbrionessemercadosedpelaigualdadeentreaofertaea demanda de mo-de-obra. Esse mercado determina o nvel de emprego e a taxa de salrio. 1.2.3 Mercado Monetrio Existememfunodequetodasasoperaescomerciaisdaeconomiasorealizadas atravsdamoeda.Neleexiste,portanto,umademandaetambmumaofertademoeda atravsdoBancoCentralquejuntasdeterminamumataxadejuros.Aqui,aigualdade entre a oferta e a demanda de moeda d a condio de equilbrio no mercado monetrio. E ele que impe, alm da taxa de juros, o estoque de moeda. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise7 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 1.2.4 Mercado de Ttulos Determinaopreodosttulos,porexemplo,dottulopblicofederal.Eleanalisaopapel dosagenteseconmicossuperavitriosquegastammenoseganhammais,podendo efetuaremprstimosedosagenteseconmicosdeficitriosquegastammaisque ganham,quegeralmenterecorrememprstimosdossuperavitrios.Quandoaofertade ttulos se iguala a sua demanda, ocorre o equilbrio desse mercado. 1.2.5 Mercado de Divisas Divisas so moedas estrangeiras, dessa forma ele tambm chamado de mercado de moeda estrangeira, e cuida das transaes da economia com o resto do mundo. Para que ocorra um equilbrio nesse mercado a oferta de divisas gerada pelas exportaes e entrada de capital seja iguala sua demanda gerada pelas importaes e sada de capital financeiro. A taxa decmbioavariveldeterminadanestemercadoquepossuiinterfernciadoBanco Central, que fixa ou deixa a taxa de cmbio flutuar. Naanlisemacroeconmica,osgastosdogovernoeaofertadamoeda[...]noso determinadasnessesmercados,mas sim de forma autnoma pelas autoridades. [...] j que dependemdotipodepolticaeconmicaadotadapelasautoridades.[...]Elasvo condicionarocomportamentodetodososdemaisagregados,[...](GARCIA; VASCONCELLOS, 2002, p. 92). 1.3 FUNDAMENTOS DA ANLISE MICROECONOMICA AMicroeconomiaconcebidacomooramodacinciaeconmicavoltadoaoestudodo comportamentodasunidadesdeconsumorepresentadaspelosindivduosaoestudodas empresas,suasrespectivasproduesecustos,eaoestudodageraoepreosdos diversos bens, servios e fatores produtivos (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). O individuo considerado como fornecedor de trabalho e capital, demandantes de bens de consumo.Jafirmaconsideradademandantedetrabalhoefatoresdeproduoe fornecedorasdeprodutos.Assim,oindividuorequermaximizaroseuconsumoeuma firma (empresa) maximizar o seu lucro. Entre estes dois pontos, a microeconomia procura analisar o mercado, e, ainda, os tipos de mecanismos, que estabelecem preos relativos entre os produtos e servios, tentando alocar demodosalternativososrecursosdosquaisdispedeterminadosindivduosorganizados numa sociedade. Paraestefim,amicroeconomiapreocupa-seemexplicarcomogeradoopreodos produtosfinaisedosfatoresdeproduonumequilbrio,geralmenteperfeitamente competitivo.Aexplicaopodeserfeitoapartirdeseguintesteorias(PINHO; VASCONCELLOS, 2006): -TeoriadoConsumidorestudaasprefernciasdoconsumidoranalisandooseu comportamento,assuasescolhas,asrestriesquantoavaloreseademandade mercado. A partir dessa teoria se determina a curva de demanda. -TeoriadaFirmaestudaaestruturaeconmicadeorganizaescujoobjetivo maximizarlucros.Organizaesqueparaissocompramfatoresdeproduoe vendemoprodutodessesfatoresdeproduoparaosconsumidores.Estuda estruturasdemercadotantocompetitivasquantomonopolsticas.Apartirdessa teoria se determina a curva de oferta. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise8 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR -Teoria da Produo estuda o processo de transformao de fatores adquiridos pela empresaemprodutosfinaisparaavendanomercado.Estudaasrelaesentreas variaes dos fatores de produo e suas conseqncias no produto final. Determina as curvas de custo, que so utilizadas pelas firmas para determinar o volume timo de oferta. Emgeralaeconomiaestudaomercadoemsi,aproduo,custoeeficincia,eaoferta e demanda, entre outros assuntos. Os estudos sobre o mercado incluem o comportamento dos agentes (indivduos e firmas) e assuasinteraesemmercadosespecficos,considerandoaescassezderecursosea regulaogovernamental.Umdeterminadomercadopodeserparadeumprodutooude serviosdeumfatordeproduo.Ateoriaconsideraaindaconsideraojogodeuma quantidadedemandada(comprador)equantidadeofertada(vendedor)paracadapreo possvel por unidade. Com estes dois lados, oferta (procura) e demanda, a microeconomia descreve como o mercado pode atingir o equilbrio entre o preo e a quantidade negociada ou explicar as variaes do mercado ao longo do tempo. A estrutura do mercado pode ser classificada em: -Monoplio; -Monopsnio; -Oligoplio; -Oligopsnio; -Concorrncia perfeita; e -Concorrncia monopolstica. Umsegundopontodeestudodemicroeconomiaaproduo,custoeeficincia.A produo um processo que usa insumos para criar produtos, destinados ao comrcio ou ao consumo (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). A produo um fluxo, logo mensurvel atravs de um rcio por unidade de tempo. comum distinguir entre a produo de bens de consumo(alimentos,etc.),bensdeinvestimento(novoscarros,edifcios,estradas,etc.), benspblicos(defesanacional,seguranapblica,proteocivil,etc.)oubensprivados (computadores novos, bananas, etc.). Jocustodeoportunidadeestrelacionadocomocustoeconmico:ovalordamelhor alternativadispensada,quandosetemquefazerumaescolhaentreduasaesdesejadas, masmutuamenteexclusivas(EHRLICH;MORAES,2009).descritacomosendoa expresso da relao bsica entre escassez e escolha. O custo de oportunidade um fator que garante a utilizao eficiente dos recursos escassos. Os custos de oportunidade no se restringem a custos monetrios. Podem tambm ser medidos em tempo, lazer, ou qualquer outra coisa que corresponda a um benefcio alternativo (utilidade). Asentradasparaoprocessodeproduoincluemfatoresdeproduobsicoscomoo trabalho,capital(bensduradourosusadosnaproduo,comoumafbrica)eterra (incluindo recursos naturais). Outros fatores incluem bens intermdios usados na produo dos bens finais, como seja o ao num carro novo. Quando a economia se refere a eficincia econmica na produo, na verdade,descreve o quantoumsistemautilizabemosrecursosdisponveis,dadaatecnologiadisponvel.A eficincia pode aumentar se conseguir obter um maior resultado sem aumentar os recursos usados, ou seja, se conseguir reduzir o desperdcio. Afronteiradepossibilidadesdeproduo(FPP)umaferramentaanalticaque representa a escassez, custo e eficincia (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). No caso mais simples,estuda-seumaeconomiaqueproduzapenasdoisbens.AFPPumatabelaou Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise9 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR grfico (ver Figura 1) que mostra as vrias combinaes de quantidades dos dois produtos que so possveis, dado a tecnologia e os fatores de produo disponveis. CadapontonacurvadaFigura1mostraumaproduopotencialtotalmximaparaa economia,queaproduomximadeumbem(Carne),dadaumaquantidadede produo do outro bem (batata). A escassez representada na Figura 1 pelas pessoas poderem querer alm da FPP, mas no poderem consumir. Quando a produo de um bem aumenta, a produo do outro diminui, numarelaoinversa.Issoocorreporqueumamaiorproduodeumbemrequera transfernciadeinsumos da produo do outro bem, diminuindo-a. A inclinao da curva num ponto determina o trade-off entre os dois bens e mede o quanto uma unidade adicional deumbemimplicareduzirooutrobem,queumexemplodecustodeoportunidade (PINHO;VASCONSELLOS,2006).AolongodaFPP,escassezsignificaqueescolher mais de um bem implica ter menos do outro. Ainda assim, numa economia de mercado, o movimentoaolongodacurvapodeserexplicadocomoumaescolhaqueosagentesvm como prefervel. Figura 1: Fronteira de possibilidades de produo A ltima das grandes reas deestudo da microeconomia a oferta e demanda, se refere determinaodopreoequantidadenummercadodeconcorrnciaperfeita.Assim,eles estofundamentalmenteimportantesnaconstruodemodelosparaoutrasestruturasde mercados. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise10 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 0Preo do apartamento (R$)Nmero de apartamentosPreo de equilbrioc dExcesso de ofertaExcesso de procuraab210.00045 Figura 2: Oferta e demanda Para o mercado de um bem, a demanda mostra a quantidade que os possveis compradores estariam dispostos a comprar para cada preo unitrio do bem (ver Figura 2). A demanda freqentemente representada usando uma tabela ou um grfico relacionando o preo com a quantidade demandada (ver Figura 2). Ateoriadademandadescreveosconsumidoresindividuaiscomoentesracionaisque escolhemaquantidademelhorpossveldecadabem,emfunodosrendimentos, preos, preferncias, etc. A lei da demanda diz que, regra geral, o preo e a quantidade demandada num determinado mercadoestoinversamenterelacionados,ouseja,quantomaisaltoforopreodeum produto,menospessoasestarodispostasoupoderocompr-lo(tudoorestoinalterado). Quandoopreodeumbemsobe,opoderdecomprageraldiminui(efeitorenda)eos consumidores mudam para bens mais baratos (efeito substituio). Outros fatores tambm podem afetar a demanda. Por exemplo, um aumento na renda desloca a curva da demanda em direo oposta origem. J a oferta a relao entre o preo de um bem e a quantidade que os fornecedores colocam vendaparacadapreodessebem.Aofertanormalmenterepresentadaatravsdeum grfico relacionando o preo com a quantidade ofertada. Assume-sequeosprodutoresmaximizamolucro,oquesignificaquetentamproduzira quantidade que lhes ir dar o maior lucro possvel. 1.4 DEFINICAO DE ENGENHARIA ECONMICA OsestudossobreengenhariaeconmicainiciaramnosEstadosUnidosem1887,quando ArthurWellingtonpublicouseulivroTheEconomicTheoryofRailwayLocation,texto que sintetizava anlise de viabilidade econmica para ferrovias. A Engenharia econmica objetiva a anlise econmica de decises sobre investimentos. E tem aplicaes bastante amplas, pois os investimentos podero tanto ser de empresas, como departicularesoudeentidadesgovernamentais.(CASAROTTO;KOPITTKE,2007,p. 105). Pode-sedefinirEngenhariaEconmicacomooestudoquecompreendeosmtodos,as tcnicaseosprincpiosnecessriosparasetomardecisesentrealternativasde Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise11 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR investimentos,relativasaquisioedisposiodebensdecapital,tantodeempresas, como de particulares ou de entidades do governo, indicando a mais econmica. Segundo Hess et al. (1984, p.1) justifica-se o nome, porque grande parte dos problemas de investimentodependemdeinformaesejustificativastcnicaseporquenamaioriadas organizaes tais decises so tomadas ou por engenheiros, ou por administradores agindo com base nas recomendaes dos engenheiros. Ela importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais. Todoofundamentodaengenhariaeconmicasebaseianamatemticafinanceira,quese preocupa com o valor do dinheiro no tempo. O estudo de Engenharia Econmica envolve: a)um problema a resolver ou uma funo a executar, como por exemplo o transporte de material dentro de um almoxarifado; b)diversasalternativaspossveis,porexemplo,transportemanual,porempilhadeira, por carrinhos ou ainda por correia transportadora; c)avaliao de cada alternativa, determinando as vantagens e desvantagens, tais como custo, eficincia, distncia, volume transportado, etc.; d)comparaoeescolhadamelhoralternativa,sendoque,nestecaso,devemos otimizar alternativas, ou seja, minimizar custos ou maximizar lucros. As principais caractersticas de um estudo econmico so: a)avaliar quantitativamente vantagens e desvantagens; b)adotar unidades coerentes (R$, , U$,); c)determinar o investimento necessrio; d)estimar custos (manuteno, mo-de-obra, energia eltrica, impostos, refugos, ); e)avaliar receitas (vendas, mercado, ); f)conhecimento tcnico do processo em estudo; g)considerarsomenteproblemasfuturos(ex.:jinvestitantoemumdeterminado projeto que o jeito investir um pouco mais nele); h)inicialmentedesprezarfatoresimponderveis,considerado-lossomenteapsa anlise (prestgio, status, valor promocional, etc.); i)avaliar o risco do investimento; j)considerar critrios econmicos, ou seja, a rentabilidade do investimento; k)considerar critrios financeiros, ou seja, a disponibilidade de recursos. Pode-se citar como exemplos de aplicao (CASAROTTO; KOPITTKE, 2007): -Efetuarotransportedemateriaismanualmenteoucomprarumacorreia transportadora; -Fazer uma rede de abastecimento de gua com tubos grossos ou finos; -Substituio de equipamentos obsoletos; -Comprar carro a prazo ou vista. Parafazerumestudoeconmicoadequadoalgunsprincpiosbsicosdevemser considerados, sendo os seguintes: a)devehaveralternativasdeinvestimentos.infrutferocalcularsevantajoso comprar um carro vista se no h condies de conseguir dinheiro para tal; b)asalternativasdevemserexpressasemdinheiro.Nopossvelcomparar diretamente200horas/mensaisdemodeobracom500kWhdeenergia. Convertendoosdadosemtermosmonetriosteremosumdenominadorcomum Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise12 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR muitoprtico.Algunsdados,entretanto,sodifceisdeconverteremdinheiro. Exemplosqueocorremmuitonoscasosreaisso:boavontadedeumfornecedor, boa imagem da empresa ou status. So os chamados intangveis; c)sasdiferenasentreasalternativassorelevantes.Numaanliseparadecidir sobreotipodemotoracomprarnointeressasobreoconsumodosmesmosse forem idnticos; d)sempreseroconsideradososjurossobreocapitalempregado.Sempreexistem oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se aplicarocapitalemumprojetodevemostercertezadeserestaamaneiramais rendosa de utiliz-lo; e)nosestudoseconmicosopassadogeralmentenoconsiderado;interessa-noso presenteeofuturo.Aafirmao:nopossovenderestecarropormenosde$ 10000porquegasteiistocomeleemoficinanofazsentido, o que normalmente interessa o valor de mercado do carro. Os critrios de aprovao de um projeto so os seguintes: -critrios financeiros: disponibilidade de recursos; -critrios econmicos: rentabilidade do investimento; e -critrios imponderveis: fatores no convertidos em dinheiro. Nestecurso,aatenoespecialsersobreoscritrioseconmicos,ouseja,aprincipal questo que ser abordada quanto o financiamento e a rentabilidade dos investimentos. 1.5 DEFINICAO E MODALIDADES DE JUROS Para podermos compreender o conceito de capitalizao temos de comear pelos seguintes conceitos base: -Capital(Principal)aquantidadedemoeda(meioslquidos)queoriginouuma transaoentreduasentidadesouindivduosqueaplicadaduranteumcerto perodo de tempo. -Tempo o prazo pelo qual o capital aplicado; -Perododetempoaunidadedetempoemqueotempoglobaldaaplicaofoi subdividido,paraefeitodeclculodosjuros.Todatransaofinanceiradeve necessariamentepreverquando(datasdeincioedotrminodaoperao)epor quanto tempo (durao da operao) se dar a cedncia (o emprstimo) do capital. Esteprazodeveestarexpressoemdeterminadaunidadedetempo(quepodeser: dia, ms, trimestre, semestre, ano, etc.). -Juroseraremuneraorecebida(oupaga)emtrocadoemprstimodealgum recursofinanceiro.Aopossuirumrecursofinanceiroqueexcedeasnecessidades, pode-se,emgeral,adquiriralgunsbensextraordinriosaodiaadia(taiscomo imveis, veculos, viagens etc.), pode tambm aplic-los (ou mesmo emprest-los). Quando se empresta recursos financeiros, ento, abre-se mo, temporariamente, da disponibilidadedeleseemtrocadestadisponibilidaderecebe-seojuro.Sendo assim,podemosdizerqueojurooaluguerpago(ourecebido)pelousodeum recursofinanceiro,e,portanto,serfunodoprazodestealuguer,dovalordo recurso alugado e do risco envolvido na transao. -Taxadejuro a constante de proporcionalidade entre o juro produzido e o capital aplicado numa unidade de tempo. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise13 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR -Inflao defini-la como sendo o aumento generalizado de preos na economia. Este fenmenoprovocaareduodopoderaquisitivodamoeda,quenadamaisdo que, com a mesma quantidade de moedas (unidades monetrias, dinheiro), passar-se acomprarmenosprodutoseservios.Oprocessoinversodainflao,quandoh uma queda generalizada dos preos na economia, denomina-se deflao. -Formadepagamentodejurosdeterminacomoosjurosseropagosesua periodicidade. -Spread a taxa de intermediao cobrada pelo intermedirio financeiro. Ostiposdetaxadejurossoexpressosemperodoanualoumensal,combaseemano comercial, convencionado em 360 dias (semestral = 180 dias, trimestral= 90 dias, mensal = 30dias).Nadaimpedequesejamcontratadascombasenoanocivil,365dias.Osttulos federais,porexemplo,adotavamcomoperododeremuneraooanocivil.Atualmente, utilizamcombase em ano de 252 dias teis. Os tipos de taxas de juros se diferenciam de seguinte maneira: a)Taxasfixas:Soaquelasquenosealteramdurantetodooprazodaoperao financeira(tomadorcedente),mesmoqueexistamaisdeumperodode capitalizao. b)Pr-fixada:Quandodeterminadaoudefinidanoatodacontratao.Porexemplo, 2,69% a.m.; 4,50% por 90 dias. c)Ps-fixada: Quando o valor efetivo do juro calculado somente aps o reajuste da basedeclculo.Normalmente,utilizadopara contratos com previso de reajuste monetrio, atrelado a um ndice de variao de preos, como, por exemplo, IGP-M, INPC, IPCA, IGP-DI. d)Taxa Flutuante (ou variveis): So as que variam a cada perodo de capitalizao, ou seja, so fixadas novas taxas para o novo perodo de capitalizao. Para tanto, h umataxadejurosreferencialcomoLiborLondonInterbankOfferedRate (mercadolondrino),Prime(mercadoamericano),Anbid(mercadobrasileiro),etc. Por ser uma espcie de indexao (que engloba uma taxa de inflao e uma taxa de juros) esse modelo de taxa de juros proporciona maior segurana ao investidor. 1.6 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Os juros so a remunerao do capital. Representam o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestadoouoganhodedinheirogeradopelocapitalempregadonuminvestimento.A especificao dos juros feita pela taxa de juros, definida como a razo entre os juros que serocobradosnofimdoperodoeocapitalinicialmenteempregado(HESSETAL., 1984).Ointervalodetemponoqualosjurossocalculadososeuperodode capitalizao. A taxa deve sempre especificar este perodo. Exemplo 1: Seja uma quantia de R$ 1.000,00 que rendeu R$ 120,00 de juros aps um ano. A taxa de juros foi de R$ 120,00 / R$ 1.000,00 = 0,12 ou 12% a.a. (ao ano). Define-se montante (F) como sendo o principal (P) mais os juros (J) devidos: F = P + J(1) Exemplo 2: Para o Exemplo 1, F = R$ 1.000,00 + R$ 120,00 = R$ 1.120,00 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise14 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Existem dois regimes de capitalizao para os juros, denominados de juros simples e juros compostos (EHRLICH; MORARES, 2009). -Juros simples: apenas o principal rende juros. J = i P n(2) F = P (1 + i n) (3) onde:J juros i taxa de juros P principal n nmero de perodos de capitalizao F montante -Juroscompostos:acadaperododecapitalizao,osjurossoincorporadosao capital e passam a tambm render juros. J = P [(1 + i)n 1](4) F = P (1 + i)n(5) onde :J juros i taxa de juros P principal n nmero de perodos de capitalizao F montante AEquao5permitecalcularomontanteFqueseobtmapartirdeuminvestimentoP aplicadotaxai,apsnperodos.Estaumadasmaisimportantesequaesda Matemrica Financeira. Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C7 = C2*(1+C3*C4) C10 = C2*(1+C3)^C4 Exemplo3:SejaR$1.000,00aplicadosa15%a.a.,durante5anos.Calcularomontante apscadaperododecapitalizao,aototalarecebernofinaldo5ano,empregandoa frmula. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise15 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Soluo: Perodo Montante (F) [R$] Juros simplesJuros compostos 01.000,001.000,00 11.000 + 0,15 x 1.000 = 1.150,001.000 + 0,15 x 1.000 = 1.150,00 21.150 + 0,15 x 1.000 = 1.300,001.150 + 0,15 x 1.150 = 1.322,50 31.300 + 0,15 x 1.000 = 1.450,001.322,50 + 0,15 x 1.322,50 = 1.520,88 41.450 + 0,15 x 1.000 = 1.600,001.520,88 + 0,15 x 1.520,88 = 1.749,01 51.600 + 0,15 x 1.000 = 1.750,001.749,01 + 0,15 x 1.749,01 = 2.011,36 FrmulaF = P (1 + i n)F = P (1 + i)n 1.000 x (1 + 0,15 x 5) = 1.750,001.000 x (1 + 0,15)5 = 2.011,36 Naprtica,emestudoseconmicossoutilizadosquasesemprejuroscompostos.Neste texto,daquiparafrente,sempreserconsideradaahiptesedosjuroscompostos,salvo quando mencionado o contrrio. No Exemplo 3, R$1.000,00 hoje so equivalentes a R$ 2.011,36 daqui a cinco anos, taxa de 5% a.a. (juros compostos). Assim, a taxa de juros e o nmero de perodos estabelecem um fator de converso para tornar equivalentes duas quantias de dinheiro, considerado em diferentes pontos no tempo. Exemplo4:Qualofatordeconversoparatornarequivalenteumaquantiahojenuma quantiadaquiacincoanos,considerandojurosde15%aoano?Considereasquantias fornecidas e calculadas no Exemplo 3. Soluo:R$ 2.011,36 / R$ 1.000,00 = 2,01136 Estefatordeconversopodeseraplicadoaqualquerquantiapresenteparacalculara equivalncia no futuro, sob as mesmas condies para i e n. Exemplo5:QualaquantiaequivalentesaumvalordeR$5.370,00 hoje, considerando juros de 15% ao ano, durante 5 anos? Soluo:F = 5.370,00 x 2,01136 = R$ 10.801,00 1.7 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Paraelaborarofluxodecaixadeve-seestimaromomentonotempoemquesedaroos desembolsoseasreceitasprevistasparaoempreendimento.Necessita-se,portanto,de oramentos para o custo de construo e do respectivo cronograma, da planilha de vendas e dorespectivoplanodevendas,bemcomodaestimativadedesembolsosdiversos associados ao empreendimento. Os principais elementos a considerar no fluxo de caixa de um empreendimento imobilirio so os seguintes: 1.Custodoterreno:correspondeaovalordoterreno.Aaquisiodoterrenopode dar-sepordesembolsodedinheiro,portrocadereaconstruda,ouporuma combinao destas duas modalidades. 2.Custodalegalizaodoterreno:correspondesdespesascomimpostosde transmisso, escritura e registro do imvel. 3.Custodosprojetos:refere-seaocustodeelaboraodetodososprojetos necessrios ao empreendimento. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise16 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 4.Custodeconstruo:correspondeaoscustosdiretosdeconstruo,conforme cronograma previsto para a execuo da obra. 5.Despesasadministrativas:incluitodososcustosadministrativosnecessriospara a execuo do empreendimento. 6.Despesascomseguros:correspondemaosprmiosdasaplicesdeseguros (responsabilidadecivildoconstrutor,danosfsicos,garantiadetrminodaobra, etc.) 7.Despesasdevendas:incluitodososcustosreferentespublicidadedo empreendimento. Os maiores custos incorrem no momento de seu lanamento e nos meses seguintes. 8.Corretagem:acomissosobreasvendas,devidaaocorretor.paga vista, no momento da venda. 9.Receitadevendas:segueoplanodevendasefunodaestratgiado incorporador. 10. Financiamentos:nocasodeempreendimentosfinanciados,devem-seconsiderar tambmasreceitasedespesasdestesfinanciamentos(juroseamortizaes, comisses diversas, IOF, etc.). 11. Receitafinanceira:Semprequehouversobradecaixa,estevalorpodeser aplicado, proporcionando uma receita. 12. Impostosetaxasdiversas:taxasparahabite-seeaverbao,impostoderenda, etc., de acordo com a legislao fiscal em vigor. Outras despesas ainda podem ser consideradas, dependendo de sua importncia em termos devalor.Estasdespesas,quenoforamdetalhadasnoprojeto,podemserconsideradas numacontagenricadedespesasdiversas.Deve-selembrartambmqueexistesempre umaincertezaassociadasestimativasfeitas,tantoemvalorquantoaomomentodesua ocorrncia. Assim, no ser de grande valia esmiuar excessivamente o fluxo de caixa. Em algumassituaes,podeserinteressanteconsiderarnaanliseumvalordecontingncia, que leva em conta estas incertezas (quanto maior a incerteza, maior a contingncia). Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise17 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 2. RELAES DE EQUIVALNCIA 2.1 DADO P ACHAR F EstarelaopermitedeterminarovalorfuturoF(montante)equivalenteaumvalor presenteP(principal)evice-versa,considerandoumaaplicaotaxadejurosidurante um perodo n (Figura 3). Figura 3: Dado P determinar F, e vice-versa F = P (1 + i)n(6) O termo entre parnteses na Equao 2.1 representa um fator de converso, denominado de achar F dado P, e tem a seguinte notao e significado: (F/P; i; n) = (1 + i)n(7) Anotaoaquiadotadaanotaointernacional.Oexemplodoquejfoicomentado sobreasimbologia,tambmnoexisteuniformizaodenotaoparaosfatoresde converso, na bibliografia existente. Estes fator, e os que sero apresentados a seguir, podem sr facilmente tabelados, em funo deien.Ousodestastabelasapresentautilidadequandosedispedeapenasuma calculadora no financeira para resolver problemas de matemtica financeira. Embora no faremosapeloaestetipodetabelanestetexto,indicaremosaresoluodeproblemas atravsdestesfatores,porseremdemaisfcilmemorizaodoqueasfrmulas respectivas.Almdisto,interessadestacaroraciocnioaplicadonaresoluodos problemaspropostos,maisdoquefazercontas.Calculadorasfinanceiraseplanilhas eletrnicasdispemderotinasparafazerosclculosrespectivos.Casonosedisponha destes instrumentos, deve-se calcular o valor dos fatores usando as respectivas frmulas ou consultando as j referidas tabelas. A Equao 5 pode ento ser reescrita como: F = P (F/P; i; n)(8) Exemplo 6: Uma construtora contraiu um emprstimo de R$ 30.000,00 para ser devolvido em5meses.Qualomontanteaserdevolvido,seataxadejurosdesteemprstimode 4,5% a.m.? Soluo: 0 n 0 n P F Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise18 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR F = P (F/P; i; n) = P (1 + i)n F = P (F/P; 4,5%; 5) = 30.000 (1 + 0,045)5 F = R$ 37.385,46 2.2 DADO F ACHAR P Da Equao 6 tira-se que: ni) (1FP+= (9) Fazendo (P/F; i; n) = ni) (11 +(fator achar P dado F)(10) tem-se queP = F (P/F; i; n)(11) Exemplo7:UmaempreiteiraprecisaadquirirescorasmetlicasnovalordeR$ 8.000,00, que sero necessrias daqui a 6 meses. Quanto ela deve investir hoje em papis que rendem 2,2% a.m., para ter este dinheiro disponvel quando necessrio? Soluo: P = F (P/F; i; n)=ni) (1F + P = 8.000 (P/F; 2,2%; 6)=6) 022 , 0 (18.000 + P = R$ 7.020,77 2.3 DADO A ACHAR F Em muitas situaes prticas, onde se tem uma srie uniforme de pagamentos, exige-se que o primeiro pagamento da srie seja feito no momento de fechamento do negcio, servindo comoentrada.Tem-seentoumasrieuniformeantecipada,comomostradonaFigura4. Observa-senestafiguraqueasrieantecipadaA'inicianoperodo0(zero)eterminano perodo (n-1). Uma outra situao prtica aquela na qual se faz depsitos regulares num P 0 6 8.000 F 0 5 30.000 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise19 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR fundo que rende juros i, iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1), para retirar um valor F na data n. Tambm nesta situao tem-se uma srie uniforme antecipada. Figura 4: Srie uniforme antecipada A relao entre uma srie uniforme A e uma srie uniforme antecipada A' a seguinte: A' = ) 1 ( iA+(12) ouA' = A (P/F; i; 1)(13) eA = A' (1+i)(14) ouA = A' (F/P; i; 1)(15) ComoF = A (F/A; i, n),aplicando a Equao 11 tem-se: F = A' (F/P; i; 1) (F/A; i, n)(16) Substituindo os fatores pelas suas expresses (Equao 7 e Equao 21, respectivamente), chega-se a: F = A' i) (1 1] - i) [(1ni+ +(17) eA' = F i) (1 1] - i) [(1in+ +(18) ouA' = F (A/F; i; n) (P/F, i; 1)(19) Exemplo 8: Num financiamento de compra de apartamento, uma parcela de R$ 6.000,00, referenteentregadechaves,vencedaquia5meses.Ocompradorpropeparcelaresta quantiaem5parcelasiguais,iniciandohoje.SeaTMAdovendedorde2,5%a.m.,de quanto deve ser a prestao exigida do comprador? 0(n-1)n P A' 0(n-1) n F A' 04 5 6.000 A' Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise20 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Soluo 1: A' = F i) (1 1] - i) [(1in+ + A' = 6.000 0,025) (1 1] - 0,025) [(10,0255+ + A' = 6.000 x 0,1856066 A' = R$ 1.113,64 Soluo 2: A' = F (A/F; i; n) (P/F, i; 1) A' = 6.000 (A/F; 2,5%; 5) (P/F, 2,5%; 1) A' = F x 1 - i) (1n+ i xni) (11 + = 6.000 x 1 - 0,025) (1025 , 05+ x 10,025) (11 + A' = 6.000 x 0,1902468 x 0,9756097 = R$ 1.113,64 Exemplo 9: Se um investidor aplicar R$ 1.000,00 por ms, durante 2 anos numa aplicao que lhe render 12% a.a., capitalizados mensalmente, qual a quantia que ele ter disponvel em 2 anos? Soluo: i = 12% a.a./12meses = 1% a.m. F = A (F/A; i; n)= A i1 - i) (1n+ F = 1.000 (F/A; 1%; 24) F = 1.000 01 , 01 - 0,01) (124+ F = R$ 26.973,47 2.4 DADO F ACHAR A EstarelaopermitedeterminarovalorfuturoFequivalenteaumasrieuniformeAe vice-versa, considerando uma aplicao taxa de juros i durante um perodo n (Figura 5). F 1.000 0 241 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise21 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Figura 5: Dado A determinar F, e vice-versa F = A i1 - i) (1n+(20) Fazendo (F/A; i; n) = i1 - i) (1n+(fator achar F dado A)(21) tem-se queF = A (F/A; i; n)(22) Da Equao 20 tem-se que: A = F 1 - i) (1n+ i (23) Fazendo (A/F; i; n) = 1 - i) (1n+ i(fator achar A dado F)(24) tem-se que A = F (A/F; i; n)(25) Exemplo10:Uma construtora necessitar comprar um carro novo daqui a um ano. Nesta ocasio,darumcarrousadocomopartedopagamento,masmesmoassimestimaque precisar desembolsar R$ 15.000,00 para efetuar o negcio. Quanto ela dever aplicar por msnumfundodeinvestimentosquelherender1,8%a.m.nesteperodo,parater disponvel esta quantia? Soluo: A = F (A/F; i; n) = F 1 - i) (1n+ i A = F (A/F; 1,8%; 12) 0n0 n F A 1 A 15.000 0 121 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise22 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR A = 15.000 1 - 0,018) (1018 , 012+ A = R$ 1.131,03 2.5 DADO A ACHAR P Em muitas situaes prticas, onde se tem uma srie uniforme de pagamentos, exige-se que o primeiro pagamento da srie seja feito no momento de fechamento do negcio, servindo comoentrada.Tem-seentoumasrieuniformeantecipada,comomostradonaFigura6. Observa-senestafiguraqueasrieantecipadaA'inicianoperodo0(zero)eterminano perodo (n-1). Uma outra situao prtica aquela na qualse faz depsitos regulares num fundo que rende juros i, iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1), para retirar um valor F na data n. Tambm nesta situao tem-se uma srie uniforme antecipada. Figura 6: Srie uniforme antecipada A relao entre uma srie uniforme A e uma srie uniforme antecipada A' a seguinte: A' = ) 1 ( iA+(26) ouA' = A (P/F; i; 1)(27) eA = A' (1+i)(28) ouA = A' (F/P; i; 1)(29) ComoP = A (P/A; i, n),aplicando a Equao 28 tem-se: P = A' (F/P; i; 1) (P/A; i, n) (30) Substituindo os fatores pelas suas expresses (Equao 10 e Equao 38, respectivamente), chega-se a: P = A' 1 - nni) (11 - i) (1++i(31) eA' = P 1 - i) (1i) (1n1 - n++ i(32) ouA' = P (A/P; i; n) (P/F, i; 1) (33) 0(n-1)n P A' 0(n-1) n F A' Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise23 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Exemplo11:ApoupanadeumapartamentodeR$15.000,00.Umcompradorprope parcelarestapoupanaem6vezes,iniciandoospagamentoshoje.SeaTMA da empresa vendedora de 2% a.m., de quanto deve ser a prestao exigida? Soluo 1: A' = P 1 - i) (1i) (1n1 - n++ i A' = 15.000 1 - 0,02) (10,02) (1 02 , 061 - 6+ + A' = 15.000 x 0,1750253 A' = R$ 2.625,38 Soluo 2: A' = P (A/P; i; n) (P/F, i; 1) A' = 15.000 (A/P; 2%; 6) (P/F, 2%; 1) A' = P x 1 - i) (1i) (1nn++ i xni) (11 + = 15.000 x 1 - 0,02) (10,02) (1 02 , 066++ x 10,02) (11 + A' = 15.000 x 0,1785258 x 0,9803921 = R$ 2.625,38 2.6 DADO P ACHAR A EstarelaopermitedeterminarumasrieuniformeA,queequivalenteaumvalor presente P e vice-versa, considerando uma aplicao taxa de juros i durante um perodo n (Figura 7). Figura 7: Dado P determinar A, e vice-versa 056 15.000 A' 0 n 0 n P A 1 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise24 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR A = P 1 - i) (1i) (1nn++ i(34) Fazendo (A/P; i; n) = 1 - i) (1i) (1nn++ i(fator achar A dado P)(35) tem-se queA = P (A/P; i; n)(36) Da Equao 34 tem-se que: P = A nni) (11 - i) (1++i(37) Fazendo (P/A; i; n) = nni) (11 - i) (1++i(fator achar P dado A)(38) tem-se que P = A (P/A; i; n)(39) Exemplo 12: As condies de financiamento de um apartamento exigem como poupana a quantia de R$ 20.000,00. Um comprador est interessado no negcio, mas precisa parcelar estapoupanaem5vezes,iniciandoospagamentosem30dias.SeaTMAdaempresa vendedora de 2% a.m., de quanto deve ser a prestao exigida? Soluo: A = P (P/A; i; n) = P nni) (11 - i) (1++i A = 20.000 (A/P; 2%; 5) A = 20.000 1 - 0,02) (10,02) (1 02 , 055++ A = R$ 4.243,17 Exemplo 13: A poupana de um apartamento de uma entrada mais 12 prestaes mensais fixasdeR$1.200,00,comvencimentosiniciandoem30dias.Umpotencialcomprador propepagaraentradasolicitadamaisR$12.000,00hoje,paraliquidaraparteparcelada da poupana. Se a TMA do vendedor de 2,5% a.m., ele deve aceitar este negcio? Soluo: A0 5 20.000 1 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise25 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR P = A (P/A; i; n)= A nni) (11 - i) (1++i P = 1.200 (P/A; 2,5%; 12) P = 1.200 12120,025) (1 025 , 01 - 0,025) (1++ P = R$ 12.309,32 Comoapropostadocompradorinferioraovalorequivalentedasparcelasvincendas,o vendedor no deve aceitar a proposta. 2.7 DADO G ACHAR A Esta relao permite determinar uma srie uniforme A equivalente a uma srie gradiente G e vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um perodo n (Figura 8). Figura 8: Dado G determinar A, e vice-versa A = G]1 - i) (1i x in-i1[n+(40) Fazendo(A/G; i; n) =]1 - i) (1i x in-i1[n+(fator achar A dado G)(41) tem-se queA = G (A/G; i; n)(42) Exemplo14:ConsidereosmesmosdadosdoExemplo15ecalculeasrieuniforme equivalente. Soluo: A = 2.000,00 + 200 (A/G; 10%, 6) A = 2.000,00 + 200]1 - 0,10) (10,10 x 0,106-0,101[6+ 0n P 20n G 1 (n-1)G 1.200 0 12 P 1 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise26 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR A = 2.000,00 + 200 x 2,2235572 = 2.000,00 + 444,71 A = R$ 2.444,71 2.8 DADO G ACHAR P EstarelaopermitedeterminarovalorpresentePequivalenteaumasriegradienteGe vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um perodo n (Figura 9). Figura 9: Dado G determinar P, e vice-versa P = G}i) (11]in-1 - i) (1[ {n 2n++i(43) Fazendo(P/G; i; n) =}i) (11]in-1 - i) (1[ {n 2n++i(fator achar P dado G)(44) tem-se queP = G (P/G; i; n)(45) Exemplo 15: Um determinado veculo tem um custo anual de manuteno de R$ 2.000,00. Estima-se que, a partir do 2 ano de uso, devido ao crescente desgaste, este custo aumente emR$200,00aoano.Considerandoqueesteveculotem6anosdevidatil,calculeo valor presente dos custos de manuteno, para uma TMA de 10% a.a. Soluo: OproblemapodeserdecompostoemumasrieuniformedeR$2.000,00eumasrie gradiente com G = R$ 200,00. O valor presente ser ento: P = 2.000 (P/A; 10%; 6) + 200 (P/G; 10%, 6) P = 2.000 660,10) (1 10 , 01 - 0,10) (1++ + 200}0,10) (11]0,106-10 , 01 - ) 10 , 0 (1[ {6 26++ 0n P 20n G 1 (n-1)G 200 1.000 2061 2.000 200 1.000 2061 2061 2.000 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise27 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR P = 2.000 x 4,3552607 + 200 x 9,6841712 = 8.710,52 + 1.936,83 P = R$ 10.647,35 2.9 SRIES PERPTUAS Umasrieperptuaaquelanaqualospagamentos(ourecebimentos)notemum horizonte de tempo finito, ou o nmero de perodos no qual eles ocorrem muito grande. O valor presente de uma srie perptua : P = nni) (11 - i) (1lim++ iAn = A i1 P = iA (46) eA = i P(47) Exemplo16:Quantodeveserdepositadonumacadernetadepoupanaquerende0,5% a.m., para fazer-se retiradas perptuas de R$ 3.000,00 a cada seis meses? Soluo: i = (1 + 0,005)6 1 = 0,030378 a.s. P = 030378 , 0000 . 3 = R$ 98.755,68 Exemplo 17: Qual o custo, em termos de valor presente, de uma mquina que tem vida tilmuitolonga,cujovalordeaquisioR$10.000,00equeconsomeanualmenteR$ 2.000,000emdespesasdeoperaoemanuteno?Considereumataxadejurosde15% a.a. Soluo: P = 10.000,00 + iA = 10.000,00 + 15 , 0000 . 2 = 10.000 + 13.333,33 P = R$ 23.333,33 Exemplo 18: Quanto pode-se retirar a cada doze meses de um fundo de investimento que rende 1% a.m., de forma a que ele sempre permanea com o mesmo valor do investimento inicial, que foi de R$ 50.000,00? Soluo: i = (1 + 0,01)12 1 = 0,126825 a.a. A = i P = 0,126825 x 50.000,00 A = R$ 6.341,25 Ou seja, a srie perptua corresponde aos rendimentos da aplicao. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise28 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 3. TAXAS DE JUROS 3.1. CONSIDERAES GERAIS Todasas decises que envolvem quantias de dinheiro, alm da quantia propriamente dita, devem tambm considerar o momento no tempo em que esta quantia ser desembolsada ou recebida. Ofluxodecaixaumdiagramaquemostraasquantiasdedinheiro(desembolsose recebimentos)aolongodoperodoconsideradonaanlise.Estediagramacompostode umaretahorizontal,queconstitui-senaescaladetempo,eporflechasverticais,que representam as entradas e sadas de dinheiro (Figura 10). Figura 10: Fluxo de caixa genrico Os perodos de tempo so representados em intervalos contguos, progredindo da esquerda paraadireita,iniciandonoinstante0(inciodoprimeiroperodoaserconsideradona anlise)eterminandonoinstanten(fimdoltimoperodoaserconsideradonaanlise). Assim, cada nmero representa o perodo de tempo acumulado at aquele ponto. Porconveno,assadasdedinheirosorepresentadasporflechasparabaixo,abaixoda linha de tempo, e as entradas de dinheiro so representadas por flechas para cima, acima da linha de tempo. As flechas no precisam representar em escala as quantias de dinheiro. Porhiptese,osvaloresocorremnumnicomomentoemcadaperodoconsiderado.O valor inicial desembolsado (ou recebido) no instante zero, e os demais recebimentos (ou desembolsos)do-senofimdecadaperodoemqueocorrem,amenosqueindicadode outro modo. No existe uniformizao de simbologia na bibliografia disponvel, variando de autor para autor. A simbologia apresentada a seguir a mais comum, e ser adotada neste texto. Costuma-seidentificargenericamenteaquantiainicialpelaletraP(valorPresente)ouI (Investimento)easquantiasseguintesporFi,comi=1,...,n(valorFuturo).Aquantia inicial tambm pode ser representada por F0. Quandotodososvaloresfuturossoiguaiseconsecutivos,elessocomumente representadospelaletraA(deAnuidade,emboranemsempreosperodosconsiderados tenhamestaperiodicidade).Estesvaloresconstituemumasrieuniformedepagamentos (ou recebimentos), iniciando no perodo 1 e terminando no perodo n (Figura 11). 0 1234n P (=I =F0) F1 F2F3 F4 Fn Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise29 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Figura 11: Srie uniforme de pagamentos Umavariantedasrieuniformeasrieuniformeantecipada,quediferedaquelaapenas no fato de que os pagamentos (ou recebimentos) iniciam j no perodo inicial (data zero) do fluxo de caixa, terminando no perodo n-1, conforme mostrado na Figura 12. Figura 12: Srie uniforme antecipada de pagamentos Uma srie de pagamentos (ou recebimentos) que cresce a uma razo constante G em cada perodo,iniciandocomovalorGnoperodo2,eterminandocomovalor(n-1)Gno perodon,denominadadesrieemgradiente(Figura13).Observequeestasrieno apresenta nenhum valor no perodo 1. Figura 13: Srie gradiente de pagamentos 3.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Umataxadejurosefetivaaquelanaqualoperodoreferidonataxacoincidecomo perodo de capitalizao (exemplo: 12% a.a. com capitalizao anual). Mas nem sempre o perodo referido na taxa coincide com o perodo de capitalizao (exemplo: 12% a.a. com capitalizaomensal).Muitasvezesumataxadejurosassimenunciadaparaaparentar um rendimento maior, ou aparentar uma cobrana de juros mais baixa. Nesta situao, tem-se uma taxa de juros nominal. Para uma taxa nominal in, capitalizada k vezes por perodo, a taxa efetiva i : 0123n A 0123n A n-1 0123n G 2G (n-1)G 4 3G Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise30 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR k)ki(1 i) (1n+ = + (48) 1 - )ki(1 in k+ = (49) Um outro modo de solucionar o problema consiste em transformar primeiro a taxa nominal numa taxa efetiva, considerando o perodo de capitalizao enunciado, e a seguir aplicar a Equao 51: kiin= (50) ieq = (1 + i)k 1(51) Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C5 = (1+C2/C3)^12-1 C6 = EFETIVA(C2;C3) Exemplo19:Qualataxaanualefetivaequivalenteataxade30%a.a.comcapitalizao mensal? Soluo 1: 1 - )ki(1 in k+ = 1 - )120,3(1 i12+ == 0,3449 = 34,49% a.a. Soluo 2: kiin= . a.m % 5 , 212% 30= = iIeq = (1 + i)k 1 = (1 + 0,025)12 1 = 0,3449 = 34,49% a.a. Exemplo 20: Qual a taxa mensal efetiva equivalente a taxa de 4% a.m. com capitalizao anual? Soluo 1: 1 - )ki(1 in k+ =1 - )1/120,04(1 i12 / 1+ ==0,0332 = 3,32% a.a. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise31 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Soluo 2: kiin= 121% 4= i i = 4% a.m. x 12 meses = 48% a.a. (taxa efetiva) Ieq = (1+ i)k 1 = (1 + 0,48)1/12 1 = 0,0332 = 3,32% a.m. 3.3 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE Em alguns emprstimos costuma-se cobrar antecipadamente os juros. Ou seja, os juros so pagosnomomentoemqueserecebeodinheiroemprestado,sendodevolvidonofinal apenas o principal emprestado. Nestas situaes, a taxa de juros real maior do que aquela enunciada. Exemplo21:CalculeataxaefetivaanualemensaldeumemprstimodeR$10.000por um ano a uma taxa de 30% a.a., sendo os juros cobrados antecipadamente. Soluo. Juros: J = R$ 10.000 x 0,3 = R$ 3.000,00 Dinheiro efetivamente recebido: P = R$ 10.000,00 R$ 3.000,00 = R$ 7.000,00 Dinheiro a ser devolvido: F = R$ 10.000,00 F = P (1 + i)n 10.000 = 7.000 (1 + i) * 1 i = (10.000 / 7.000) 1 i = 0,4286 = 42,86% a.a. i = (1+ i)1/m 1 = (1 + 0,4286)1/12 1 = 0,0302 = 3,02% a.m. 3.4 TAXAS EQUIVALENTES A taxa de juros sempre expressa em termos numricos e com meno de seu perodo de capitalizao.Duastaxasdejurospodemserequivalentes,ouseja,produziremomesmo montanteapsummesmoperododetempo,pormcomperodosdecapitalizao diferentes. A converso entre taxas de juros feita utilizando-se a relao: P(1 + ieq) = P(1 + i)k(52) ieq = (1 + i)k 1(53) 1 0 7.000 10.000 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise32 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR onde: ieq taxa de juros equivalente i - taxa de juros a ser convertida k nmero de vezes que a taxa i vai ser capitalizada no perodo Duassituaespodemocorrer:converterumataxadejuroscomumperodode capitalizaomenoremumataxacomumperododecapitalizaomaiorouconverter uma taxa de juros com um perodo de capitalizao maior em uma taxa com um perodo de capitalizao menor. Exemplo22:Converterataxadejurosde1%a.m.paraumataxadejuroscom capitalizao anual. Soluo: ieq = (1 + i)k 1 = (1 + 0,01)12 1 = 12,68% a.a. Exemplo23:Converterataxadejurosde12%a.a.paraumataxadejuroscom capitalizao mensal. Soluo: ieq = (1+ i)k 1 = (1 + 0,12)1/12 1 = 0,9489% a.m. 3.5 TAXA GLOBAL DE JUROS Pcorr. = P(1 + u)(54) F = Pcorr.(1 + i)(55) F = P(1 + u)(1 + i)(56) F = P(1 + ig)(57) Onde ig a taxa global que considera simultaneamente a inflao e os juros. P(1 + ig) = P(1 + u)(1 + i)(58) (1 + ig) = (1 + u)(1 + i)(59) ig = (1 + u)(1 + i) - 1(60) P Pcorr. 01u Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise33 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Exemplo 24: Determine o valor atualizado de um investimento de R$ 75.000,00 feito a 12 meses.Nestetempo,elefoicorrigidopelainflaoqueocorreunoperodo(8%)efoi remunerado por uma taxa de juros de 12,0%. Soluo: F = P(1 + u)(1 + i) F = 75.000,00(1 + 0,08)(1+0,12) = 90.720,00 Exemplo25:UmclientedesejafinanciarumacompradeR$8.500,00em6vezes,sem entrada.Qualovalordecadaprestaoquedevesercobradadele,seestima-seuma inflao de 2,3% a.m. e a TMA da empresa vendedora for de 1,5% a.m.? ( )( ) 1 11 + + =nggngii iP A(1 + ig) = (1 + i)(1 + u) (1 + ig) = (1 + 0,015)(1 + 0,023) ig = 3,83% a.m. ( )( ) 1 0383 , 0 10383 , 0 1 . 0383 , 0850066 ++ = AA = 1.612,51 3.6 TAXA MNIMA DE ATRATIVIDADE Ataxamnimadeatratividade(TMA)amenortaxaqueuminvestidoraceitacomo rentabilidadeparauminvestimento.ataxaapartirdaqualoinvestidorconsideraque esttendoganhosfinanceiros(Casarotto;Kopitke,1994).Suadeterminaodeve considerar duas situaes: 1.ATMAdeveremuneraradequadamenteoscapitais(prpriosedeterceiros) investidos: Capital do Total3 Cap Custo x3 Cap QuantPrpr Cap Custo Prpr xCap Quant Capital de Custoos os+=(61) 2.A TMA deve expressar a remunerao de um investimento alternativo, de baixo risco, para o investidor. 8.500 A = ? 0 16 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise34 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR ATMAaseradotadaamaiordasencontradasnasduassituaesacimamencionadas. Assimsendo,verifica-sequeaTMAdependedasituaoeconmicaefinanceirado investidor. Cada investidor, ou empresa, tem sua prpria TMA. Somentepode-sesomaroucompararquantiasdedinheiroqueestejamreferidasaum mesmo perodo de tempo. Para movimentar quantias de dinheiro no tempo, utiliza-se uma taxadejurosdenominadadetaxadedesconto(normalmente,deve-secompararvalores atuais com valores futuros, devendo-se, pois descontar estes ltimos valores). Numaanlisedeinvestimento,ataxadedescontoaserutilizadapeloinvestidorasua TMA. Por isso, um investimento pode ser atrativo para um investidor A e no ser atrativo para um investidor B, por exemplo. Exemplo26:Umaempresaestavaliandoapossibilidadedediversificarseusnegcios. Paratal,dispede35%docapitalnecessrio,devendofinanciaros65%restantes,aum custode12%a.a.(odinheiroemprestadosomentepoderseraplicadonesteprojeto).Os acionistasexigemumaremuneraode15%a.a.docapitalinvestidonaempresa.Casoa empresadesistadestenegcio,elapodeaplicarseudinheiroempapisdogoverno,aum rendimentode12,8%a.a.QualaTMAqueaempresadeveadotarnaanlisedeste investimento? Soluo: Custo do dinheiro: % 05 , 13100%12% x65% 15% x35%Capital de Custo =+= Remunerao do investimento alternativo: 12,8% a.a. Logo, para a anlise de viabilidade econmica deste empreendimento deve ser adotada uma TMA de 13,05% a.a. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise35 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 4. FINANCIAMENTO 4.1 FONTES DE RECURSOS Paraaexecuodeumprojetodeinvestimento,nemsempreosrecursosprpriosso suficientes,devendoumaparteserfinanciada.Dequalquerforma,oaportedecapital prpriomuitoimportante,dadoquequasesempreasinstituiesfinanceirass emprestam dinheiro at certos limites do capital total necessrio. Adecisodefinanciaroprojetoimplicaemmodificaesnocustodocapitalparaa empresa. Este custo uma mdia ponderada do custo dos recursos prprios e do custo dos recursos de terceiros. O retorno de um projeto deve, no mnimo, cobrir estes custos. Odinheiroprovenientedeemprstimos,aocontrriodocapitalprprio,noparticipano riscoempresarialassociadoaoprojeto.Porisso,normalmenteremuneradoaumataxa maisbaixadoqueocapitaldosacionistas(quotistas).Almdisso,osjurosso consideradoscomodespesasparaefeitodetributao,ouseja,diminuemoimpostode rendaapagar.Adesvantagemdosemprstimosqueelestemdatasdevencimentos prefixadasparaseremrestitudos.Almdisto,osdireitosdoscredorestempreferncia sobre os direitos dos proprietrios da empresa, numa eventual liquidao. O capital prprio no tem data de vencimento, salvo nos casos de sociedades constitudas portempolimitado.Porparticiparemnoriscodoprojeto,osproprietriosrecebemuma remunerao mdia maior e tem o controle administrativo do empreendimento. Paraobtercrditojuntosinstituiesfinanceiras,asempresasprecisamatenderalgums requisitos. Entre outras condies, elas devem: aportar uma parcela mnima de recursos prprios; oferecer garantias reais; demonstrar que tem condies de cumprir os compromissos assumidos; e demonstrar que o projeto rentvel. Oendividamentoexcessivopodeprovocarumriscofinanceiroelevado,quepode comprometeraviabilidadedoprojeto.Acapacidadefinanceiradoprojetocorresponde capacidade dele gerar receitas que cubram, pelo menos, os custos de produo, as despesas financeiras (juros) e gerar recursos para devolver os emprstimos. Define-secomoriscoprimrioariscoassociadopossibilidadedequeofluxodecaixa geradopeloprojetonosejasuficienteparapagarosjuroseasamortizaesdasdvidas (incluindoasdebntureseosdividendosobrigatriosdosacionistaspreferenciais).A possibilidadedequeosproprietrios(possuidoresdeaesordinriasouquotistas)no sejam remunerados defino como risco secundrio (Woiler & Mathias, 1985). 4.1.1 Fatores a serem considerados na seleo das fontes de financiamento Paraaanlisedosrecursosnecessriosimplementaodeumprojeto,deve-seprevero volume total de investimentos e o correspondente cronograma de desembolsos. Com estes dados,pode-sefazerabuscaeseleodasfontesderecursosnecessriosexecuodo projeto.Woiler & Mathias (1985) recomendam analisar os seguintes fatores na seleo de financiamentos: a)Compatibilidade: os fundos devem ser adequados s aplicaes previstas. Deve-se considerarqueosfinanciamentos de curto prazo so normalmente mais caros que osdelongoprazo.Daarecomendaodequeelessejamutilizadosapenaspara financiar parte do ativo circulante. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise36 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR b)Risco: fontes que participam do risco do negcio exigem uma remunerao maior. Paraotimizarseucustodecapital,aempresadevebalancearadequadamentea participao das diferentes fontes de recursos. c)Rendimento:quantomaiselevadofororiscodoempreendimento,maiorsera remunerao exigida do projeto de investimento. d)Controle:umendividamentoexcessivolevarperdadocontroledaempresa os credorespodemquererinterferirnasuaadministrao,demodoagarantira restituio dos emprstimos. e)Flexibilidade:umendividamentoelevadopodedificultaraconcessodenovos emprstimos empresa, mesmo que existam recursos a custos baixos. Isto dificulta a flexibilidade da empresa de alterar a composio dos fundos que a financiam. f)poca:adisponibilidadederecursoseosseuscustosdependemdaliquidez existentenaeconomia.Assim,emtermosdeobtenoderecursos,umprojeto pode ser vivel numa poca e invivel em outra. 4.1.2 Classificao das fontes de financiamento Asfontesdefinanciamentospodemserclassificadas(Holanda,1975;Woiler&Mathias, 1985): a)Quanto ao prazo: curtoprazo:emprstimosbancriosemcontacorrente;crditomercantil, operaes de desconto de duplicatas; mdio prazo: emprstimos e crditos diversos; longo prazo: emprstimos bancrios, debntures, aporte prprio (lucros retidos, aes). b)Quanto origem: fontesinternas:reservas(depreciao,exausto,outrasreservas,etc.),lucros retidos, outros fundos e provises; fontesexternas:aportesnovosdecapitalprprio(aes),eemprstimos (instituies financeiras, fornecedores, debntures, etc.). ou ainda: recursos prprios: lucros retidos, reservas diversas e aes; recursos de terceiros: emprstimos diversos. 4.2 SELEO DAS FONTES DE FINANCIAMENTO Evidentemente,procura-sesempreobterrecursosnasfontesquerepresentamosmenores custos de financiamento. Namaiorpartedasvezes,oscustosespecificadospelasinstituiesfinanceirasso nominais. Para chegar-se aos custos efetivos, deve-se calcular as taxas efetivas de juros e a cobranadediversastaxas(administrativas,deaberturadecrdito,deaval,etc.), comisses, alm do imposto sobre operaes financeiras (IOF). Tambm as contrapartidas exigidaspelainstituiofinanceira,comosaldomdioemcontacorrentee/ouaplicaes, seguros, etc., representam um custo adicional. O problema da seleo da fonte de financiamento resume-se, pois a selecionar aquela que tem o menor custo efetivo dentre as opes disponveis. O custo efetivo de um emprstimo obtidoatravsdoclculodataxadejurosrealdoempreendimento,quecorresponde taxa interna de retorno do fluxo de caixa do emprstimo. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise37 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Almdocritrioeconmicoacimamencionado,deve-setambmconsiderarocritrio financeiro,ouseja,aquestoligadadisponibilidadedecaixadaempresa.Osistemade amortizao, que determina o fluxo de caixa da devoluo do emprstimo e do pagamento dos juros correspondentes, fornece elementos para este estudo. Os principais sistemas de amortizao so: sistema francs ou tabela price (TP); sistema de amortizao constante (SAC); sistema de amortizao misto (SAM); sistema de amortizao crescente (SACRE); sistema americano; pagamento nico com juros postecipados; pagamento nico com juros antecipados; sistema de amortizaes variveis. 4.3 AMORTIZAO DE DVIDAS Muitasvzes,paraviabilizarumempreendimentoimobiliriofaz-senecessriofinanciar umapartedosrecursosnecessrios.Adevoluodoemprstimod-seatravsde prestaes.Acadaperodotpagaumaprestao,quecompostadeumaparcelade amortizao e de uma parcela de juros: pt = at + jt(62) onde:p prestao a amortizao j juros A amortizao corresponde devoluo do dinheiro (principal) emprestado. Os juros so a remunerao deste dinheiro. Os juros incidem sobre o saldo devedor do perodo: jt = SD(t-1) x i(63) onde:j juros SD saldo devedor i taxa de juros Osaldodevedordot-simoperodoobtidomedianteasubtraodaparcelade amortizao do perodo, do saldo devedor anterior: SDt = SD(t-1) at(64) onde:SD saldo devedor a amortizao Os juros variam com o saldo devedor; medida que este vai decrescendo, os juros tambm vo ficando menores. Algunsfinanciamentosincluemumprazodecarncia,duranteoqualnohdevoluo do principal emprestado. Duas situaes podem ocorrer: -durante o prazo de carncia ocorre o pagamento de juros; e -duranteoprazodecarncianohnecessidadedepagamentodejuros,queso capitalizados (somados ao saldo devedor, passam a tambm render juros). Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise38 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR A seguir sero apresentadas as principais modalidades de amortizao de dvidas. 4.4 SISTEMA DE AMORTIZAO FRANCS (TABELA PRICE) OSistemaFrancsdeamortizaotambmconhecidocomosistemadeprestaes constantes. Este sistema de amortizao caracteriza-se por ter suas prestaes constantes. Foi popularizado no crdito direto ao consumidor e pelos financiamentos para aquisio de casa (moradia) prpria. Atualmente, utilizado comumente e em alguns financiamentos de curto prazo. A Tabela Price (TP) um caso particular do sistema francs, no qual as taxas usadas nos contratossonominais(usualmentesodadasemtermosanuais)easprestaestem periodicidademenordoqueaquelaenunciadanataxa(emgeral,usam-seprestaes mensais). Comoaprestaoconstante,aamortizaovarivel,crescendoexponencialmenteao longodotempo.Osaldodevedor decresce exponencialmente, seguindo o movimento dos juros (Figura 14). Figura 14: Evoluo da prestao (a) e do saldo devedor (b) no Sistema Francs de amortizao O valor da prestao p (que corresponde ao valor A de uma srie uniforme, conforme visto no captulo 2) dado por: p = P (A/P; i; n)(65) oup = P 1 - i) (1i) (1nn++ i(66) ou ainda:p = P n -i) 1 ( 1 + i(67) onde:p valor da prestao (constante) P principal (dvida inicial) i taxa de juros n nmero de perodos para amortizao da dvida Aamortizaoobtidasubtraindo-sedaprestaopagaovalorcorrespondenteaosjuros do perodo: Perodo Prestao ($) juros amortizao 1n Saldo Devedor ($) 1n (a)(b) Perodo Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise39 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR a = p j(68) Apsopagamentodat-simaparcela,osaldodevedorovalorpresentedasprestaes que ainda faltam pagar (Casarotto e Kopitke, 1994), conforme mostra a Figura 15. Figura 15: Saldo devedor no sistema francs Ento:SDt = p [P/A; i; (n-t)] (69) ouSDt = p t) - (nt) - (ni) (11 - i) (1++i(70) Paraacompanharaevoluodopagamentodadvida,costuma-semontarumaplanilha onde aparecem, perodo a perodo, a prestao, juros, amortizao e saldo devedor. Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C8 = +PGTO($C$3;$C$4;-$C$2) D8 = C2*C3 E8 = C8-D8 F9 = F8+E9 G9 = G8-E9 Exemplo27:Fazeraplanilhadeamortizao,usandoosistemafrancs,deum emprstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A taxa de juros de 2,5% a.m. Calcule tambm o saldo devedor aps o pagamento da 6 prestao, usando a frmula. SDt pt (t+1)n Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise40 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Soluo: p = P (A/P; i; n) = P 1 - i) (1i) (1nn++ i = P n -i) 1 ( 1 + i p = 100.000 (A/P; 2,5%; 10) 88 , 425 . 111 - 0,025) (10,025) (1 025 , 0100000 p1010=++=ou88 , 425 . 110,025) 1 ( 1025 , 0100000 p10 -=+ =SD6 = 11.425,88 x [P/A; 2,5%; (10-6)]87 , 983 . 420,025) (1 025 , 01 - 0,025) (188 , 11425 SD6) - (106) - (106=++= Exemplo 28: Fazer a planilha de amortizao, utilizando o sistema francs (tabela PRICE), de um emprstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais, com carncia de trs meses, durante a qual sero pagos apenas os juros. A taxa de juros de 2,5% a.m. Soluo: valor dos juros durante carncia: j = 100.000,00 x 0,025 = R$ 2.500,00 Os demais clculos so idnticos ao Exemplo 27. A planilha mostrada abaixo: PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 12.500,00 2.500,000,00 100.000,00 22.500,00 2.500,000,00 100.000,00 32.500,00 2.500,000,00 100.000,00 411.425,88 2.500,008.925,88 91.074,12 511.425,88 2.276,859.149,02 81.925,10 611.425,88 2.048,139.377,75 72.547,35 711.425,88 1.813,689.612,19 62.935,16 811.425,88 1.573,389.852,50 53.082,66 911.425,88 1.327,0710.098,81 42.983,85 1011.425,88 1.074,6010.351,28 32.632,57 1111.425,88 815,8110.610,06 22.022,51 1211.425,88 550,5610.875,31 11.147,20 1311.425,88 278,6811.147,20 0,00 Total100.000,00 Exemplo 29: Fazer a planilha de amortizao, utilizando o sistema francs (tabela PRICE), de um emprstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais, com carncia de trs meses, sendo os juros capitalizados durante este perodo. A taxa de juros de 2,5% a.m. Soluo: valor da dvida aps capitalizao dos juros: Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise41 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR F = P (F/P; i; n) = P (1 + i)n F = 100.000 (F/P; 2,5%; 3) = 100.000 (1 + 0,025)3 = R$ 107.689,06 Este o novo saldo devedor (R$ 107.689,06), que deve ser devolvido em dez prestaes. valor da prestao:p = P (A/P; i; n) = 1 - i) (1i) (1nn++ i p = 107.689,06 (A/P; 2,5%; 10) 42 , 304 . 121 - 0,025) (10,025) (1 025 , 0107689,06 p1010=++= Segue abaixo a planilha de amortizao. Observe que os juros dos meses de carncia, por no serem pagos neste perodo, constituem amortizaes negativas. PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 10,00 2.500,00(2.500,00)102.500,00 20,00 2.562,50(2.562,50)105.062,50 30,00 2.626,56(2.626,56)107.689,06 412.304,42 2.692,239.612,19 98.076,87 512.304,42 2.451,929.852,50 88.224,37 612.304,42 2.205,6110.098,81 78.125,56 712.304,42 1.953,1410.351,28 67.774,28 812.304,42 1.694,3610.610,06 57.164,22 912.304,42 1.429,1110.875,31 46.288,91 1012.304,42 1.157,2211.147,20 35.141,71 1112.304,42 878,5411.425,88 23.715,83 1212.304,42 592,9011.711,52 12.004,31 1312.304,42 300,1112.004,31 0,00 Total100.000,00 4.5 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE (SAC) Comoonomeindica,osistemadeamortizaoconstantecaracteriza-seportersuas amortizaesconstantes.Nestesistema,aprestaoeosaldodevedordecrescem linearmente (Figura 16). Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise42 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Figura 16: Evoluo da prestao (a) e do saldo devedor (b) no SAC O valor da t-sima prestao dado pela relao: Pt = a + jt(71) onde:p prestao do perodo t a amortizao (constante) j juros do perodo t A amortizao de cada perodo dada por: a = nP (72) onde:a amortizao (constante) P principal (dvida inicial) n nmero de perodos para amortizao da dvida Os juros referentes ao t-simo perodo obtm-se fazendo: jt = SD(t-1) x i(73) onde:j juros SD saldo devedor i taxa de juros Como o saldo devedor no t-simo perodo dado por: SDt = P a x t(74) tem-se que jt = [P a x (t-1)] x i(75) ou aindajt = [1 nt ) 1 ( ] xP x i (76) A prestao em qualquer perodo ser ento: pt = P [n1 + (1- nt 1 )i](77) Perodo Prestao ($) juros amortizao 1n Saldo Devedor ($) 1n (a)(b) Perodo Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise43 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Para o primeiro perodo (t = 1) tem-se: i xxp001SDnSDi PnP+ = + = (78) Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C8 = D8+E8 D8 = C2*C3 E8 = C2/C4 F9 = E9+F8 G9 = C$2-F9 Exemplo30:Fazeraplanilhadeamortizao,utilizandoosistemadeamortizao constante (SAC), de um emprstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A taxadejurosde2,5%a.m.Calculetambmosaldodevedorapsopagamentoda6 prestao, usando a frmula. Soluo: pt = a + jt a = nP = 10000 . 100 = R$ 10.000,00 Para o 1 perodo tem-se:jt = [P a x (t-1)] x i j1 = [100.000 10.000 (1-1)] x 0,01 = R$ 1.000,00 ento:p1 = a + j1 = 10.000,00 + 1.000,00 = R$ 11.000,00 e o saldo devedor : SDt = P a x t SD1 = 100.000 10.000 x 1 = R$ 90.000,00 SD6 = 100.000 10.000 x 6 = 40.000,000 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise44 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 112.500,00 2.500,00 10.000,00 90.000,00 212.250,00 2.250,00 10.000,00 80.000,00 312.000,00 2.000,00 10.000,00 70.000,00 411.750,00 1.750,00 10.000,00 60.000,00 511.500,00 1.500,00 10.000,00 50.000,00 611.250,00 1.250,00 10.000,00 40.000,00 711.000,00 1.000,00 10.000,00 30.000,00 810.750,00 750,00 10.000,00 20.000,00 910.500,00 500,00 10.000,00 10.000,00 1010.250,00 250,00 10.000,00 0,00 Total100.000,00 4.6 SISTEMA DE AMORTIZAO MISTO (SAM) O sistema de amortizao misto (SAM) uma composio entre o sistema francs (tabela priceTP)eosistemadeamortizaoconstante(SAC).Assimsendo,apresenta amortizaes crescentes e juros decrescentes. Suasprestaescorrespondemmdiaaritmticadasprestaescalculadaspelosistema francs e pelo sistema de amortizao constante. O valor da primeira prestao : p = 2P [(1 - i) (1i) (1nn++ i) + (n1 + i)](79) onde:p valor da prestao inicial P principal (dvida inicial) i taxa de juros n nmero de perodos para amortizao da dvida O valor da prestao em qualquer perodo dado por: p = 21 [P1 - i) (1i) (1nn++ i + (nP + (P-(a(t-1)i))](80) ou)`((

|.|

\| + + ++= intn ii inn1111 ) 1 () 1 (2Pp (81) Oclculodosjuros,dasamortizaesedosaldodevedorparacadaperodoseguemos princpios j expostos neste texto. Resoluo em planilha eletrnica: Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise45 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Frmulas da planilha: C8 = (C2/2)*(((C3*(1+C3)^C4)/(((1+C3)^C4)-1))+((1/C4)+(1-((C5-1)/C4))*C3)) D9 = G8 *C3 E9 = C9-D9 F9 = E9+F8 G9 = C2-F9 Exemplo31:Fazeraplanilhadeamortizao,utilizandoosistemadeamortizaomisto (SAM),deumemprstimodeR$100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A taxa de juros de 2,5% a.m. Soluo: Valor da prestao inicial: )`((

|.|

\| + + ++= intn ii inn1111 ) 1 () 1 (2Pp )`((

|.|

\| + + ++= 025 , 0101 111011 ) 025 , 0 1 () 025 , 0 1 ( 025 , 02100000p1010 p = 50.000 (0,1142587 + 0,125) = R$ 11.962,94 PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 111.962,94 2.500,009.462,94 90.537,06 211.837,94 2.263,439.574,51 80.962,55 311.712,94 2.024,069.688,87 71.273,68 411.587,94 1.781,849.806,10 61.467,58 511.462,94 1.536,699.926,25 51.541,33 611.337,94 1.288,5310.049,40 41.491,93 711.212,94 1.037,3010.175,64 31.316,29 811.087,94 782,9110.305,03 21.011,25 910.962,94 525,2810.437,66 10.573,60 1010.837,94 264,3410.573,60 0,00 Total100.000,00 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise46 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 4.7 SISTEMA DE AMORTIZAO CRESCENTE (SACRE) Osistemadeamortizaocrescente(SACRE)umavariaodosistemadeamortizao constante(SAC).NoSACRE,aprestaocalculadacomonoSAC,masmantida constante.Normalmente,estaprestaopermanececongeladaporperodosdeterminados em contrato (geralmente 1 ano), aps os quais se recalcula a prestao. Oclculodosjuros,dasamortizaesedosaldodevedorparacadaperodoseguemos princpiosjexpostosanteriormente.NoSACRE,asparcelasdeamortizaoso crescentes e os juros so decrescentes. Atualmente, este o sistema mais utilizado pela Caixa Econmica Federal em suas linhas de crdito imobilirio. Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C8 = C2/C4+C2*C3 D9 = G8*C3 E8 = C7-C8 Exemplo32:Fazeraplanilhadeamortizao,utilizandoosistemadeamortizao crescente (SACRE), de um emprstimo de R$ 100.000, a ser pago em 10 parcelas mensais. A taxa de juros de 2,5% a.m. Considere que: a)no haver reclculo da prestao; e b)haverum reclculo da prestao, na metade do prazo de financiamento. Soluo do item a): Valor da prestao do perodo 1 at o perodo 9: Pt = a + jt

p1 = ... = p9 = 100SD + SD0 x i = 10000 . 100 + 100.000 x 0,025 = R$ 12.500,00 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise47 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 112.500,00 2.500,0010.000,00 90.000,00 212.500,00 2.250,0010.250,00 79.750,00 312.500,00 1.993,7510.506,25 69.243,75 412.500,00 1.731,0910.768,91 58.474,84 512.500,00 1.461,8711.038,13 47.436,71 612.500,00 1.185,9211.314,08 36.122,63 712.500,00 903,0711.596,93 24.525,70 812.500,00 613,1411.886,86 12.638,84 912.500,00 315,9712.184,03 454,81 1012.500,00 11,3712.488,63 -12.033,82 Total112.033,82 p10 =466,18 O valor da ltima prestao : p10 = 12.500,00 12.033,82 = R$ 466,18 oup10 = SD9 + j10 = 454,81 + 454,81 x 0,025 = R$ 466,18 Soluo do item b): Valor da prestao do perodo 1 at o perodo 5: Pt = a + jt

p1 = ... = p5 = 100SD + SD0 x i = 10000 . 100 + 100.000 x 0,025 = R$ 12.500,00 Clculo da 6 at a 9 prestao: p6 = ... = p9 =55SD + SD5 x i = 547.436,71 + 47.436,71x 0,025 = R$ 10.673,26 PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 112.500,00 2.500,0010.000,00 90.000,00 212.500,00 2.250,0010.250,00 79.750,00 312.500,00 1.993,7510.506,25 69.243,75 412.500,00 1.731,0910.768,91 58.474,84 512.500,00 1.461,8711.038,13 47.436,71 610.673,26 1.185,929.487,34 37.949,37 710.673,26 948,739.724,53 28.224,85 810.673,26 705,629.967,64 18.257,21 910.673,26 456,4310.216,83 8.040,37 1010.673,26 201,0110.472,25 -2.431,88 Total102.431,88 p10 =8.241,38 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise48 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR O valor da ltima prestao : p10 = 10.673,26 2.431,88 = R$ 8.241,38 oup10 = SD9 + j10= 8.040,37 + 8.040,37 x 0,025 = 8.241,38 4.8 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAO 4.8.1 Sistema Americano No sistema americano pagam-se apenas os juros durante o prazo de emprstimo. No final, so pagos os juros e devolvido o principal (Figura 17). Figura 17: Sistema Americano A prestao, do perodo 1 ao perodo (n-1) resume-se aos juros: p1 = ...= p(n-1) = j = i P(82) e o ltimo pagamento :pn = i P + P(83) onde:p prestao j juros i taxa de juros P principal Resoluo em planilha eletrnica: 0 1n P P i P Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise49 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Frmulas da planilha: C8 = C2*C3 C18 = C2*C3+C2 Exemplo33:Calculeasprestaesmensais,utilizandoosistemaamericano,deum emprstimo de R$ 100.000, a ser devolvido em dez meses. A taxa de juros de 2,5% a.m. Soluo: Prestaes do ms 1 ao 9: p1 = ... = p9 = i P = 0,025 x 100.000 = R$ 2.500,00 Prestao do ms 10: p10 = i P + P = 0,025 x 100.000 + 100.000 = R$ 102.500,00 4.8.2 Pagamento nico, com juros postecipados Nosistemadepagamentonico,comjurospostecipados,tantooprincipalcomoosjuros so devolvidos numa nica parcela, no final do prazo de emprstimo: p = P (1 +i)n(84) onde:p prestao P principal i taxa de juros n nmero de capitalizaes no prazo do emprstimo Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C7 = C2*(1+C3)^C4 Exemplo 34: Calcule a quantia a ser devolvida aps dez meses, no sistema de pagamento nico com juros postecipados, referente a um emprstimo de R$ 100.000, taxa de juros de 2,5% a.m. Soluo: p = P (1 +i)n = 100.000 (1 + 0,025)10 = R$ 128.008,45 4.8.3 Pagamento nico, com juros antecipados No sistema de pagamento nico, com juros antecipados, os juros so cobrados no instante emque o emprstimo cedido, e o principal devolvido numa nica parcela,no final do prazo de emprstimo. Deve-se observar que neste tipo de emprstimo a taxa de juros enunciada sempre menor do que a taxa efetivamente cobrada. Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise50 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Resoluo em planilha eletrnica: Frmulas da planilha: C7 = C2*(1+C3)^C4-C2 Exemplo 35: Calcule a taxa de juros efetiva de um emprstimo de R$ 100.000,00 por dez meses, taxa de juros de 2,5% a.m., cobrados antecipadamente. Soluo: juros a serem pagos antecipadamente: j = P (1 +i)n P = 100.000 (1 + 0,025)10 100.000,00 = R$ 28.008,45 Clculo da taxa de juros: F = P (1 +i)n100.000 = (100.000,00 28.008,45) (1 +0,025)10= 71.991,55 (1 +0,025)10 i = (100.000 / 71.991,55) 1/10 1 = 0,0334 = 3,34% a.m. 4.8.4 Sistema de amortizaes variveis Nosistemadeamortizaesvariveisasprestaescontradaspelaspartessovariveis. Por isso, as amortizaes tambm so variveis (Figura 18). Figura 18: Sistema de amortizaes variveis Oclculodosjuros,dasamortizaesedosaldodevedorparacadaperodoseguemos princpios j comentados anteriormente. 4.9 COMENTRIOS SOBRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAO Perodo Prestao ($) juros amortizao 1n Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise51 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Qual o melhor sistema de amortizao? A resposta a esta pergunta depende de uma srie defatoresedaformacomqueestespesamnaanlise:velocidadederecuperaodo capital,valordasprestaes,quantiadejurospagos,riscoenvolvidonatransao,etc. Cadasituaoapresentaparticularidadesquedevemsercuidadosamenteestudadas.Alm disto,hqueseconsiderarqueopontodevistadocredornemsemprecoincidecomo ponto de vista do devedor. Qualosistemaquemaiscobrajuros?Pararesponderaestapergunta,deve-secalcularo valorpresentedosjurospagosemcadasistema.Paraexemplificar,aTabela1mostraos resultadosdestesclculosparaosexemplosresolvidosnestecaptulo,paraosprincipais sistemasdeamortizaoutilizadosememprstimosdelongoprazo.Nofoiconsiderado nenhum prazo de carncia e a taxa utilizada foi a mesma dos exemplos (2,5% a.m.). Sistema de amortizaoValor Presente dos juros pagos (R$) Sistema francs (TP)12.918,28 Sistema de amortizao constante (SAC)12.479,36 Sistema de amortizao misto (SAM)12.698,82 Sistema de amortizao crescente (SACRE (a))11.839,82 Sistema de amortizao crescente (SACRE (b))12.214,76 Tabela 1: Juros pagos em diferentes sistemas de amortizao A Tabela 2 e a Figura 19 mostram o comportamento das prestaes nos sistemas TP, SAC, SAM e SACRE, para os exemplos explorados. Perodo [meses] Prestao [R$] TPSACSAMSACRE (a)SACRE (b) 111.425,8812.500,0011.962,9412.500,0012.500,00 211.425,8812.250,0011.837,9412.500,0012.500,00 311.425,8812.000,0011.712,9412.500,0012.500,00 411.425,8811.750,0011.587,9412.500,0012.500,00 511.425,8811.500,0011.462,9412.500,0012.500,00 611.425,8811.250,0011.337,9412.500,0010.673,26 711.425,8811.000,0011.212,9412.500,0010.673,26 811.425,8810.750,0011.087,9412.500,0010.673,26 911.425,8810.500,0010.962,9412.500,0010.673,26 1011.425,8810.250,0010.837,94466,188.241,38 Tabela 2: Comportamento da prestao em alguns sistemas de amortizao Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise52 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 8.0008.5009.0009.50010.00010.50011.00011.50012.00012.50013.0001 2 3 4 5 6 7 8 9 10PerodoPrestao [$]TPSACSAMSACRE (b) Figura 19: Comportamento da prestao em alguns sistemas de amortizao A Tabela 3 apresenta o comportamento dos saldos devedores nos sistemas TP, SAC, SAM e SACRE, para os exemplos explorados. Perodo [meses] Saldo Devedor [R$] TPSACSAMSACRE (a)SACRE (b) 0100.000,00100.000,00100.000,00100.000,00100.000,00 191.074,1290.000,0090.537,0690.000,0090.000,00 281.925,1080.000,0080.962,5579.750,0079.750,00 372.547,3570.000,0071.273,6869.243,7569.243,75 462.935,1660.000,0061.467,5858.474,8458.474,84 553.082,6650.000,0051.541,3347.436,7147.436,71 642.983,8540.000,0041.491,9336.122,6337.949,37 732.632,5730.000,0031.316,2924.525,7028.224,85 822.022,5120.000,0021.011,2512.638,8418.257,21 911.147,2010.000,0010.573,60454,818.040,37 100,000,000,000,000,00 Tabela 3: Comportamento do saldo devedor em alguns sistemas de amortizao Osistemaquepermiteamenorprestao,paraotomadordeemprstimo,osistema francs. Em contrapartida, o sistema onde se pagam os maiores juros. Em emprstimos de curtoprazo,osistemamaisutilizado,poisevidenciaaotomadordoemprstimoseele poder cumprir o compromisso assumido. Osistemadeamortizaoconstante(SAC),normalmenteempregadoememprstimosde longoprazo,permiteumarecuperaomaisrpida,porpartedocredor,dodinheiro emprestado. Com isso, ele tem seu risco diminudo. Para o tomador do emprstimo, apesar deexigirumamaiorcapacidadedepagamentonosperodosiniciais,avantagemestno pagamento de menos juros. O sistema de amortizao misto (SAM) exatamente o meio termo entre a tabela price e o sistema de amortizao constante. Osistemadeamortizaocrescente(SACRE)atualmentemuitoutilizadopelaCaixa EconmicaFederalemsuaslinhasdecrditoimobilirio(Apenasalgumaslinhasde Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise53 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR crdito voltadas populao de baixa renda continuam usando a tabela price). o sistema que permite a mais rpida recuperao do capital emprestado. Outro fator de diminuio do riscodocredoromododeclculodaprestao,quediluisignificativamenteoimpacto negativo da inflao sobre o saldo devedor e no reclculo das prestaes. Osoutrosmtodosapresentados(sistemaamericano,pagamentonicocomjuros postecipados e pagamento nico com juros antecipados, sistema de amortizaes variveis) so normalmente utilizados apenas em emprstimos de curto prazo. 4.10 CORREO MONETRIA DOS EMPRSTIMOS A correo monetria dos emprstimos feita para compensar a inflao ou uma variao cambial, no caso de emprstimos em moeda estrangeira. Duassituaespodemocorrer:aprestaocalculadaapsaincorporaodacorreo monetria ao saldo devedor, ou, a prestao calculada antes da incorporao da correo monetria ao saldo devedor. 4.10.1 Prestao calculada aps a incorporao da correo monetria ao saldo devedor Nestasituao,osaldodevedordeveserrecalculadoconsiderando-seataxadecorreo monetriarelativaaoperodotranscorrido.Calculam-seentoaprestao,osjurosea amortizao em funo do saldo devedor corrigido. Na montagem da planilha de amortizao conveniente inserir uma coluna para o clculo do saldo devedor corrigido. O saldo devedor corrigido obtido pela Equao 85. SDt corrig = SDt-1 . (1 + ut)(85) Onde: ut taxa de correo monetria para o perodo t SDt corrig saldo devedor corrigido, relativo ao incio do perodo t(final do perodo t 1) Para o Sistema Francs (Tabela Price) tem-se as seguintes relaes: pt = SDt corrig (A/P; i; n) = SDt corrig 1 - i) (1i) (11) - (t - n1) - (t - n++ i jt = SDt corrig. iat = pt jt SDt = SDt corrig at

Ondeoselementosdasfrmulastemomesmosignificadojapresentadoemfrmulas anteriores. Para os demais sistemas de amortizao, o procedimento anlogo. Exemplo36:FazeraplanilhadeamortizaodoExemplo27(SistemaFrancs), considerando o seguinte comportamento para as taxas de correo monetria: Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise54 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Perodo12345678910 Correo Monetria (%)1,51,72,02,32,11,71,31,82,42,0 Aprestaodevidacalculadaapsaincorporaodacorreomonetriaaosaldo devedor. Soluo: P = R$ 100.000,00i = 2,5% a.m.n = 10 meses PerodoTaxa de CM SD corrig.PrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 11,5%101.500,0011.597,262.537,509.059,7692.440,24 21,7%94.011,7211.794,422.350,299.444,1284.567,59 32,0%86.258,9512.030,312.156,479.873,8376.385,11 42,3%78.141,9712.307,001.953,5510.353,4567.788,52 52,1%69.212,0812.565,451.730,3010.835,1558.376,93 61,7%59.369,3412.779,061.484,2311.294,8348.074,51 71,3%48.699,4712.945,191.217,4911.727,7036.971,77 81,8%37.637,2613.178,20940,9312.237,2725.399,99 92,4%26.009,5913.494,48650,2412.844,2413.165,35 102,0%13.428,6513.764,37335,7213.428,650,00 SD1 corrig = SD0 . (1 + u1) = 100.000,00 x (1+0,015) = 101.500,00 p = P (A/P; i; n) = P 1 - i) (1i) (1nn++ i p1 = SD1 corrig . (A/P; 2,5%; 10)26 , 597 . 111 - 0,025) (10,025) (1 025 , 0101500 p10101=++= j1 = SD1 corrig. i = 101.500,00 x 0,025 = 2.537,50 a1 = p1 j1 = 11.597,26 2.537,50 = 9.059,76 SD1 = SD1 corrig - a1 = 101.500,00 - 9.059,76 = 92.440,24 SD2 corrig = SD1 . (1 + u2) = 92.440,24 x (1+0,017) = 94.011,72 p2 = SD2 corrig . (A/P; 2,5%; 9) 42 , 794 . 111 - 0,025) (10,025) (1 025 , 094.011,72 p992=++=j2 = SD2 corrig . i = 94.011,72 x 0,025 = 2.350,29 a2 = p2 j2 = 11.794,42 2.350,29 = 9.444,13 SD2 = SD2 corrig a2 = 94.011,72 - 9.444,13 = 84.567,59 Umoutroprocedimentopossvel,calcularaplanilhadeamortizaosemacorreo monetria,eaps,corrigircadalinhadaplanilhadeamortizaopelondicedecorreo monetria(oudevariaocambial)acumulado.Paramaiorclareza,interessanteincluir colunasondesoregistradososndicesdecorreomonetriadoperodoeosndicesde correo monetria acumulados a serem aplicados. O ndice de correo monetria acumulado obtido pela Equao 86: ICMt = (1+u1). .(1+u2)... .(1+ut)(86) Onde:ICMt - ndice de correo monetria acumulado na data t ui taxa de correo monetria relativa ao perodo i i = 1, 2, ..., t Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise55 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR O Quadro 1 mostra a montagem da planilha de amortizao. Perodo Taxa de Correo Monetria ndice de CM Acumulado PrestaoJurosAmortizao Saldo Devedor 0 SD0 1u1ICM1 = (1+u1)p1 . ICM1j1 . ICM1a1. ICM1SD1 . ICM1 2u2ICM2= (1+u1). .(1+u2)p2 . ICM2j2 . ICM2a2 . ICM2SD2 . ICM2 .................. nun ICMn=(1+u1). .(1+u2)... .(1+un) pn . ICMnjn . ICMnan . ICMn0 Quadro 1: Planilha de amortizao com correo monetria Exemplo37:FazeraplanilhadeamortizaodoExemplo27(SistemaFrancs), considerando o seguinte comportamento para as taxas de correo monetria: Perodo12345678910 Correo Monetria (%)1,51,72,02,32,11,71,31,82,42,0 Soluo: a) Planilha de amortizao sem correo monetria: PerodoPrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0 100.000,00 111.425,88 2.500,008.925,88 91.074,12 211.425,88 2.276,859.149,02 81.925,10 311.425,88 2.048,139.377,75 72.547,35 411.425,88 1.813,689.612,19 62.935,16 511.425,88 1.573,389.852,50 53.082,66 611.425,88 1.327,0710.098,81 42.983,85 711.425,88 1.074,6010.351,28 32.632,57 811.425,88 815,8110.610,06 22.022,51 911.425,88 550,5610.875,31 11.147,20 1011.425,88 278,6811.147,20 0,00 Total 100.000,00 Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise56 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR b) Planilha de amortizao com correo monetria: PerodoTaxa CMndice Acum.SD corrig.PrestaoJurosAmortizaoSaldo Devedor 0100.000,00 11,5%1,0150101.500,0011.597,262.537,509.059,7692.440,24 21,7%1,032395.421,9011.794,422.350,299.444,1284.567,59 32,0%1,052989.041,2312.030,312.156,479.873,8376.385,11 42,3%1,077182.275,6912.307,001.953,5510.353,4567.788,52 52,1%1,099774.549,4912.565,451.730,3010.835,1558.376,93 61,7%1,118465.290,6112.779,061.484,2311.294,8348.074,51 71,3%1,133054.467,0412.945,191.217,4911.727,7036.971,77 81,8%1,153442.641,9413.178,20940,9312.237,2725.399,99 92,4%1,181029.998,5513.494,48650,2412.844,2413.165,35 102,0%1,204715.859,8513.764,37335,7213.428,650,00 4.10.2 Prestao calculada antes da incorporao da correo monetria ao saldo devedor Neste caso, as prestaes so calculadas sobre o saldo devedor sem correo, havendo um resduonofinaldospagamentosdasprestaes,devidoacorreomonetrianopaga(s) na(s) prestao(es). A correo monetria, que calculada sobre o saldo devedor do final do perodo anterior e sobre a parcela de juros, incorporada ao saldo devedor do incio do perodo em questo, quesemantmdestaformaatualizado.Assim,aamortizaoeosjuroscalculadospela Equao 62 so nominais. A amortizao efetiva (real) deve considerar o efeito negativo da correo monetria. As equaes 87 a 89 mostram como se fazem estes clculos. CMt = SDt-1 . ut + jt . ut = (SDt-1 + jt ). ut(87) a t efetiva = at nominal CMt(88) SDt = SDt-1 at efetiva = SDt-1 at nominal + CMt(89) Onde:CMt Correo monetria do perodo t ut - taxa de correo monetria do perodo t SD, j, a saldo devedor, juros, amortizao lembrando que pt = at nominal + jt nominal (90) ondeat nominal e jt nominal so ditos nominais porque no seu clculo no foi considerada a correo monetria. Exemplo38:FazeraplanilhadeamortizaodoExemplo27(SistemaFrancs), considerando o seguinte comportamento para as taxas de correo monetria: Perodo12345678910 Correo Monetria (%)1,51,72,02,32,11,71,31,82,42,0 Aprestaodevidacalculadaantesdaincorporaodacorreomonetriaaosaldo devedor. Soluo: P = R$ 100.000,00i = 2,5% a.m.n = 10 meses Engenharia EconmicaProf. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise57 ANDREAS.WEISE@UFSM.BR Perodo Taxa CMPrestaoJuros Amortizao Nominal Correo Monetria Amortizao Efetiva Saldo Devedor 0 100.000,00 11,5%11.425,882.500,008.925,881.537,507.388,3892.611,62 21,7%11.618,772.315,299.303,481.613,767.689,7284.921,91 32,0%11.843,832.123,059.720,791.740,907.979,8976.942,02 42,3%12.118,021.923,5510.194,471.813,918.380,5668.561,46 52,1%12.447,331.714,0410.733,291.475,799.257,5159.303,95 61,7%12.764,991.482,6011.282,391.033,3710.249,0249.054,93 71,3%13.039,681.226,3711.813,30653,6611.159,6537.895,29 81,8%13.268,55947,3812.321,17699,1711.622,0026.273,29 92,4%13.631,30656,8312.974,46646,3212.328,1413.945,15 102,0%14.293,78348,6313.945,15285,8813.659,27285,88 p10 = 14.293,78 + 285,88 = 14.579,66 Oup10 = 14.293,78 ep11 = SD10 + j11 + CM11 = SD10 + j11 + (SD10 + j11) x u11 p11 = 285,88 + 285,88 x 0,025 + (285,88 + 7,15) x u11

Muitos contratos de financiamento prevem reajustes peridicos, entre os quais a prestao se mantm constante. Observe-seque,apesard