Engenharia economica avancada introdução

ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA

INTRODUÇÃO – MATERIAL DE APOIO

ÁLVARO GEHLEN DE LEÃO

[email protected]

Engenharia Econômica Avançada

© 2012 Álvaro Gehlen de Leão – [email protected]

1

1 Introdução à Engenharia Econômica

A engenharia, inserida dentro do contexto de escassez de recursos, pode aplicar

técnicas de análise de projetos de investimento a fim de racionalizar o emprego

dos recursos de capital.

Estas técnicas fazem parte do escopo da engenharia econômica, que utiliza a

matemática financeira como ferramenta básica de avaliação do valor do dinheiro

no tempo.

A visualização de um projeto de investimento pode ser realizada através de

uma representação gráfica denominada diagrama de fluxo de caixa.

Um diagrama de fluxo de caixa de um projeto de investimento é composto de

uma escala horizontal na qual se representam com valores positivos as entradas

de caixa e com valores negativos o investimento de capital e as saídas de caixa –

vide figura 1.

Entradas de Caixa

3 40 1 2 n5

Saídas de Caixa

6 7 períodos

Investimentode Capital

Figura 1 – Diagrama de Fluxo de Caixa de um Projeto de Investimento



2

Os principais recursos considerados para análise de projetos de investimento e a

respectiva remuneração por período de tempo são apresentados na tabela 1.

Tabela 1 – Remuneração dos Recursos por Período de Tempo

Recursos Remuneração por Período de Tempo

Humanos Salário

Físicos Aluguel

Capital Juros

Os juros são, portanto, o pagamento pela oportunidade de dispor de um capital durante um determinado período de tempo.

2 Juros e Taxas de Juros

Nas próximas seções são apresentados os conceitos de juros e taxas de juros.

2.1 Juros Simples

Na modalidade de juros simples apenas o valor emprestado rende juros, ou

seja, os juros são diretamente proporcionais ao valor emprestado.

niPJn ××=

)ni1(PJPF nn ×+×=+=

P = valor emprestado no instante 0

i = taxa de juros periódica

n = número de períodos

nJ = juros acumulados até o instante n

nF = montante após n períodos



3

2.2 Juros Compostos

Na modalidade de juros compostos, após cada período de capitalização, os

juros, quando não pagos, são adicionados ao valor emprestado, compondo um

novo saldo devedor, e passam a render juros também, ou seja, os juros são

proporcionais ao saldo devedor em cada período.

( )1i)(1PJ nn −+×=

n

nn )i1(PJPF +×=+=

P = valor emprestado no instante 0

i = taxa de juros periódica

n = número de períodos

nJ = juros acumulados até o instante n

nF = montante após n períodos



4

Problema 1 – Juros Simples e Juros Compostos

Supor um empréstimo (P) de $ 1.000, durante (n) 5 meses, a uma taxa de juros (i)

de 10% ao mês. Calcular os juros mensais, os juros acumulados ( nJ ) e o montante

( nF ) ao final de cada mês, nas modalidades de juros simples e de juros compostos.

Tabela 2 – Juros Simples e Juros Compostos

Juros Simples Juros Compostos

Mês

(n)

Juros

Mensais

Juros

( nJ )

Montante

( nF )

Juros

Mensais

Juros

( nJ )

Montante

( nF )

0 1.000,00 1.000,00

1 100,00 100,00 1.100,00 100,00 100,00 1.100,00

2 100,00 200,00 1.200,00 110,00 210,00 1.210,00

3 100,00 300,00 1.300,00 121,00 331,00 1.331,00

4 100,00 400,00 1.400,00 133,10 464,10 1.464,10

5 100,00 500,00 1.500,00 146,41 610,51 1.610,51

Modalidade de Juros Simples

Juros acumulados ( 5J ) até o final do mês 5.

00,500510,0000.1niPJ5 =××=××=

Montante ( 5F ) a ser pago no final do mês 5.

00,500.1)510,01(000.1)ni1(PJPF 55 =×+×=×+×=+=



5

Modalidade de Juros Compostos

Juros acumulados ( 5J ) até o final do mês 5.

( ) ( ) 51,6101)10,01(000.11i)(1PJ 5n5 =−+×=−+×=

Montante ( 5F ) a ser pago no final do mês 5.

51,610.1)10,01(000.1)i1(PJPF 5n55 =+×=+×=+=

Pode-se elaborar uma planilha contendo as expressões para o cálculo dos juros

acumulados ( nJ ) e do montante ( nF ) a ser pago ao final de um determinado período

(n), considerando o valor do empréstimo (P) e a taxa de juros (i) periódica.



6

2.3 Taxas de Juros – Períodos de Aplicação e de Capitalização

Uma taxa de juros deve conter informações que permitam identificar os seus

períodos de aplicação e de capitalização.

O período de aplicação estabelece o tempo de duração da incidência da taxa de

juros sobre o capital imobilizado e o período de capitalização define a periodicidade

de ocorrência da acumulação dos juros.

2.4 Taxas de Juros Nominais e Taxas de Juros Efetivas

A taxa de juros é considerada efetiva quando o período de aplicação e o período

de capitalização coincidem; caso contrário, a taxa será dita nominal. Assim, por

exemplo:

− taxa de juros efetiva – 8,75% ao trimestre com capitalização trimestral;

− taxa de juros nominal – 24% ao ano com capitalização mensal.

Nos problemas envolvendo taxas de juros, adotar-se-á a convenção – a.x. c.y. =

aplicação durante o período x com capitalização a cada período y –, onde os

períodos x e y são designados pelas letras: (a) ano, (s) semestre, (t) trimestre, (b)

bimestre, (m) mês, e (d) dia.

Assim sendo, a taxa de juros de 35% a.a. c.t. é igual a 35% ao ano com

capitalização trimestral.

Para o período de capitalização y pode ser utilizada também a capitalização

contínua (c), indicando que os juros são capitalizados continuamente.

O desenvolvimento da matemática financeira e da engenharia econômica baseia-

se em taxas de juros efetivas, assim que as taxas de juros nominais devem ser

convertidas em taxas de juros efetivas para sua correta aplicação.



7

2.5 Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização

Para conversão de taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo

período de capitalização a expressão a ser utilizada é:

c.y. a.y.i c.y. a.x. i EFENOM =⇒=

Nii NOM

EFE =

N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal

Problema 2 – Conversão de Taxas de Juros

Converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período

de capitalização.

Tabela 3 – Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização

Taxa de Juros Nominal

Períodos de Composição = N Taxa de Juros Efetiva

24% a.a. c.m. 12 2,00% a.m. c.m.

35% a.a. c.t. 4 8,75% a.t. c.t.

15% a.m. c.d. 30 0,50% a.d. c.d.

c.m. a.m. % 2,0012

0,24N

ii NOMEFE ===

c.t. a.t. % 8,754

0,35N

ii NOMEFE ===

c.d. a.d. % 0,5030

0,15N

ii NOMEFE ===



8

2.6 Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação

Para converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo

período de aplicação utiliza-se a seguinte expressão:

c.x. a.x.i c.y. a.x. i EFENOM =⇒= 1

Ni1i

NNOM

EFE −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal

Problema 3 – Conversão de Taxas de Juros

Converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período

de aplicação.

Tabela 4 – Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação

Taxa de Juros Nominal

Períodos de Composição = N Taxa de Juros Efetiva

24% a.a. c.m. 12 26,82% a.a. c.a.

35% a.a. c.t. 4 39,87% a.a. c.a.

15% a.m. c.d. 30 16,14% a.m. c.m.

c.a. a.a. % 26,82112

0,2411N

i1i12N

NOMEFE =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

c.a. a.a. % ,879314

0,3511N

i1i4N

NOMEFE =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

c.m. a.m. % ,1416130

0,1511N

i1i30N

NOMEFE =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=



9

Pode-se elaborar uma planilha para conversão de taxas de juros nominais em

taxas de juros efetivas, conforme ilustração a seguir.

2.7 Conversão de Taxas de Juros com Capitalização Contínua

Em uma taxa de juros nominal com capitalização contínua, N tende para um

valor infinito e, portanto, a sua conversão para uma taxa de juros efetiva

equivalente deve ser realizada pela expressão:

c.x. a.x.i c.c. a.x. i EFENOM =⇒= 1e1

Ni1limi NOMi

NNOM

NEFE −=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=∞→

Problema 4 – Conversão de Taxas de Juros com Capitalização Contínua

Uma taxa de juros nominal de 24% a.a. c.c. equivale a uma taxa de juros efetiva

de 27,12% a.a. c.a., pois

%12,272712,01e1ei 24,0iEFE

NOM ==−=−=



10

2.8 Conversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferentes

A conversão entre taxas de juros efetivas de períodos diferentes pode ser

obtida a partir da seguinte expressão:

( ) 1i1i Qb EFEa EFE −+=

Q = quantidade de períodos b existentes no período a

Problema 5 – Conversão de Taxas de Juros Efetivas

Converter uma taxa de juros efetiva de 12% ao bimestre em taxas de juros

efetivas semestrais e anuais.

Considerando c.b. a.b. %12iB = , tem-se que:

( ) ( ) c.s. a.s. %49,40112,011i1i 3QBS =−+=−+=



11

( ) ( ) c.a. a.a. ,38%97112,011i1i 6QBA =−+=−+=

A tabela 5 apresenta uma síntese dos resultados obtidos.

Tabela 5 – Conversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferentes

Período Q Taxa Efetiva

Bimestral 12,00 % a.b. c.b.

Semestral 3 40,49 % a.s. c.s.

Anual 6 97,38 % a.a. c.a.



12

Problema 6 – Conversão de Taxas de Juros de Períodos Diferentes

Converter uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização bimestral em uma

taxa de juros efetiva semestral. Para converter uma taxa de juros nominal em uma

taxa de juros efetiva em que os períodos de aplicação e capitalização não

coincidem deve-se, inicialmente, converter a taxa de juros nominal em uma taxa de

juros efetiva de mesmo período de aplicação ou de mesmo período de capitalização

e, em seguida, converter na taxa de juros efetiva desejada. Assim:

6)(N c.b. a.a. % 60iNOM ==

Conversão de taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período

de capitalização:

c.b. a.b. % 100,106

0,60N

ii NOMEFE ====



13

Conversão de taxas de juros efetivas de períodos diferentes:

( ) 1i1i Qb EFEa EFE −+=

Conversão de uma taxa de juros efetiva bimestral em uma taxa de juros efetiva

semestral:

( ) 1i1i QBS −+= , onde Q = 3

( ) c.s. a.s. % 33,100,331010,101i 3S ==−+=

A taxa de juros efetiva semestral de 33,10% é equivalente à taxa de juros

nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral.



14

3 Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa

A partir da representação de um projeto de investimento através de um diagrama

de fluxo de caixa podem ser determinadas as relações de equivalência, permitindo

a transformação de um determinado fluxo de caixa em outro equivalente.

Para aplicação das relações de equivalência a periodicidade do fluxo de caixa

deve coincidir com a periodicidade da taxa de juros efetiva.

3.1 Equivalência entre Valor Presente e Valor Futuro

A equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro) permite resolver, por

exemplo, o problema de determinação do valor P a ser investido, a uma taxa de

juros efetiva i, para obtenção de um montante F após n períodos.

P

F

0 1 2 3 n

Figura 2 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presente e Valor Futuro

( )ni1PF +×=

( )ni11FP+

×=

( )i1logPFlog

n+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

1PFi n −=



15

3.2 Equivalência entre Série Uniforme e Valor Futuro

A equivalência entre U (série uniforme) e F (valor futuro) permite, por exemplo,

definir o valor dos depósitos programados U para possibilitar uma retirada futura F,

onde n é o número de depósitos da série uniforme e i é a taxa de juros efetiva e de

mesma periodicidade da série de depósitos.

U

0 1 2 3 n

F

Figura 3 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Série Uniforme e Valor Futuro

( )i

1i1UFn −+

×=

( ) 1i1iFU n −+

×=

)i1log(UFi1log

n+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+

=



16

3.3 Equivalência entre Valor Presente e Série Uniforme

A equivalência entre P (valor presente) e U (série uniforme) permite resolver o

problema de determinação de parcelas mensais U, onde n é o número de

pagamentos da série uniforme e i é a taxa de juros efetiva e de mesma

periodicidade da série uniforme.

P

U

0 1 2 3 n

Figura 4 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presente e Série Uniforme

( )( ) 1i1

i1iPU n

n

−+

+××=

( )( )n

n

i1i1i1UP

+×

−+×=

)i1log(PiU

Ulogn

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−

=



17

3.4 Utilização de Planilhas Eletrônicas

Nesta seção apresenta-se, de forma sucinta, uma orientação para utilização de

planilhas eletrônicas para solução de problemas de equivalência de capitais em

um fluxo de caixa.

Podem ser utilizadas as funções financeiras contidas na planilha Excel para

determinação de P (valor presente), F (valor futuro), U (série uniforme), n (número

de capitalizações ou prazo total da operação) e i (taxa de juros periódica),

empregando-se as sintaxes a seguir apresentadas:

− cálculo de P: VP (i; n; U; F; tipo)

− cálculo de F: VF (i; n; U; P; tipo)

− cálculo de U: PGTO (i; n; P; F; tipo)

− cálculo de n: NPER (i; U; P; F; tipo)

− cálculo de i: TAXA (n; U; P; F; tipo; estimativa)

O significado dos argumentos dessas funções é:

− P = valor do capital no instante inicial 0

− F = valor do capital no instante final n

− U = valor da série de n pagamentos periódicos de 1 a n

− n = número de capitalizações ou prazo total da operação

− i = valor da taxa de juros efetiva e periódica

− tipo = série de pagamentos antecipados (1) ou postecipados (0)

− estimativa = valor estimado da taxa de juros

Os valores monetários devem ser informados com seus sinais, (+) ou (–), e o

resultado monetário terá o sinal que anula a soma dos capitais equivalentes em um

instante qualquer.



18

Na ilustração abaixo se apresenta a sugestão de uma calculadora elaborada a

partir das funções financeiras da planilha Excel.

Nas células B2, B3, B4, B5, B6, B7 e B8 são registrados os dados de entrada e

nas células C2, C3, C4, C5 e C6 são obtidos os resultados, a partir da seguinte

sintaxe:

− cálculo de P: C2 = SE (B2 = ”?”; VP (B6 ;B5 ;B4 ;B3 ;B7); ” ”)

− cálculo de F: C3 = SE (B3 = ”?”; VF (B6; B5; B4; B2; B7); ” ”)

− cálculo de U: C4 = SE (B4 = ”?”; PGTO (B6; B5; B2; B3; B7); ” ”)

− cálculo de n: C5 = SE (B5 = ”?”; NPER (B6; B4; B2; B3; B7); ” ”)

− cálculo de i: C6 = SE (B6 = ”?”; TAXA (B5; B4; B2; B3; B7; B8); ” ”)



19

Problema 7 – Financiamento de Automóvel

Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através de um

financiamento em 24 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao

final de cada mês. Considerando que o pagamento máximo mensal que você pode

admitir é de $ 600 e que você pode dar uma entrada de $ 7.000, qual é o valor do

automóvel que você poderá adquirir dado que a taxa de juros é de 12% ao ano com

capitalização mensal?

U = 600

0 1 2 3 n = 24

E = 7.000

meses

i = 12 % a.a. c.m.

Valor do Automóvel = V = E + P = ?

Figura 5 – Diagrama de Fluxo de Caixa

Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de

capitalização:

c.m. a.m. 1%01,01212,0

Nii NOM

EFE ====



20

U = 600

0 1 2 3 n = 24 meses

i = 1 % a.m. c.m.P = ?


Aplicando a relação de equivalência entre P e U:

( )( )

03,746.12)01,01(01,01)01,01(600

i1i1i1UP 24

24

n

n

=+×

−+×=

+×

−+×=

Valor do Automóvel = V = E + P = 7.000 + 12.746,03 = 19.746,03.



21

Problema 8 – Plano de Aposentadoria

Considere que você abra hoje uma conta de aposentadoria com um depósito

inicial de $ 1.200 e deposite $ 50 ao final de cada mês nos próximos 30 anos. Qual o

montante acumulado, considerando que a conta remunera os depósitos com uma

taxa de juros de 9% ao ano com capitalização mensal?

U" = 50

0 1 2 3 n = n' = n" = 360 meses

F = F' + F" = ?

P' = 1.200

i = 9 % a.a. c.m.



capitalização:

c.m. a.m. %75,00075,01209,0

Nii NOM

EFE ====



22

U" = 50

0 1 2 3

F = F' + F" = ?

P' = 1.200

i = 0,75 % a.m. c.m.

n = n' = n" = 360 meses


Cálculo de F' (aplicando-se a relação de equivalência entre F e P):

( ) 69,676.17)0075,01(200.1i1'P'F 360'n =+×=+×=



23

Cálculo de F'' (aplicando-se a relação de equivalência entre F e U):

( ) 17,537.910075,0

1)0075,01(50i

1i1"U"F360"n

=−+

×=−+

×=

Pode-se calcular diretamente o valor de F = F' + F'' = 17.676,69 + 91.537,17,

utilizando os valores de P' e U'' de forma simultânea, pois o valor de n = n' = n''.

Você disporá de um montante de $ 109.213,87 quando se aposentar daqui a 30

anos.



24

Problema 9 – Caderneta de Poupança

Você depositou $ 8.000 em uma caderneta de poupança que rende juros com

uma taxa de 6% ao ano com capitalização mensal. Se você retirar $ 1.000 ao final

de cada ano, em quanto tempo os recursos se esgotarão?

U = 1.000

0 1 2 3 n = ?

P = 8.000

anos

i = 6% a.a. c.m.


Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de aplicação:

c.a a.a. % 6,170,061711206,011

Ni1i

12NNOM

EFE ==−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=



25

U = 1.000

0 1 2 3 n = ?

P = 8.000

anos

i = 6,17 % a.a. c.a.


Aplicando as relações de equivalência entre P e U, calcula-se n:

anos 36,11)0617,01log(

000.80617,0000.1000.1log

)i1log(PiU

Ulogn =

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−

=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−

=

Ou seja, é permitida a retirada de 11 parcelas anuais de $ 1.000.



26

A questão pendente: qual é o valor residual no 11° ano ?

Calcula-se, inicialmente, o valor P' que deveria ter sido depositado para que

apenas 11 retiradas anuais de $ 1.000 pudessem ser efetuadas.

U' = 1.000

0 1 2 3 n' = 11

P' = ?

anos

i = 6,17 % a.a. c.a.


Aplicando a relação de equivalência entre P e U, obtém-se:

( )( )

( )( )

75,818.70617,010617,0

10617,01000.1i1i1i1'U'P 11

11

'n

'n

=+×

−+×=

+×

−+×=



27

Calcula-se, então, o P'' extra que foi depositado e, em seguida, o F'' residual:

P'' = P – P' = 8.000 – 7.818,75 = 181,25

0 1 2 3

F'' = ?

anos

i = 6,17 % a.a. c.a.

n'' = 11

P'' = 181,25


Aplicando a relação de equivalência entre F e P, obtém-se F'' residual:

( ) 19,350)0617,01(25,181i1"P"F 11''n =+×=+×=



28

Problema 10 – Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa

Você pretende adquirir um computador através de um financiamento em 18

parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês.

Considerando que o máximo pagamento mensal que você pode admitir é de $

240, determinar o mínimo valor da entrada para que você possa adquirir um

computador no valor de $ 5.000, através de um financiamento com taxa de juros de

9% ao trimestre com capitalização mensal.

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 10.



29

Problema 11 – Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa

Considere que você abra hoje uma conta de aposentadoria com um depósito inicial de $ 2.000 e que você pretende dispor de $ 85.000 daqui a 20 anos.

Calcular o valor dos depósitos iguais e consecutivos a serem realizados ao

final de cada um dos próximos 40 semestres, considerando que a conta de

aposentadoria remunera os depósitos com uma taxa de juros de 8% ao ano com

capitalização mensal.




30

4 Sistemas de Amortização de Financiamentos

Para que um projeto de investimento possa ser realizado é necessário que haja

disponibilidade de recursos, sejam eles próprios ou de terceiros. No caso de

insuficiência de recursos próprios pode-se recorrer a um financiamento.

O valor do financiamento – o principal – deve ser restituído juntamente com a

remuneração do capital – os juros – à instituição financeira que o concedeu. A

forma como o principal é devolvido, acrescido de juros, constitui o sistema de amortização de um financiamento.

Considere um sistema de amortização de um financiamento, a ser liquidado ao

final do período n.

0 1 t -1 nttAM

tJ

SD0SDP =

tSD

AM t -1

J

A

t -1

t -1

t -1A t

nAM

nJ

A n

2

Figura 13 – Sistema de Amortização de um Financiamento

As expressões para o cálculo do saldo devedor ao final do período tSD , dos

juros tJ , da amortização tAM e do pagamento tA , em cada instante t, são:

ttt

1tt

t1tt

JAMAiSDJAMSDSD

+=

×=

−=

−

−

No último instante n, o saldo devedor 0SDn = e a amortização 1nn SDAM −= .



31

4.1 Sistema de Amortizações Constantes

O Sistema de Amortizações Constantes é utilizado nos financiamentos de

longo prazo, principalmente para aquisição de bens duráveis.

O valor da amortização AM é constante para um financiamento P e um prazo n e

é calculado por nPAM = .

AM

0 1 2 nt

SD0SDP =

tSD

AM

tA

tJ

AM

J

A

AtA

t -1

t -1

t -1

t -1

t -1

Figura 14 – Sistema de Amortizações Constantes

As expressões para o cálculo do saldo devedor no final do período tSD , dos

juros tJ e do valor do pagamento tA em cada instante t são:

tt

1tt

1tt

JAMAiSDJAMSDSD

+=

×=

−=

−

−

No último instante n, o saldo devedor 0SDn = e a amortização 1nSDAM −= .



32

Problema 12 – Sistema de Amortizações Constantes

Supor um financiamento com as seguintes características: principal de $ 50.000,

taxa de juros efetiva de 8% ao ano e pagamento em parcelas anuais, ao final de

cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor dos pagamentos, dos juros e das

amortizações pelo Sistema de Amortizações Constantes, bem como o saldo devedor

ao final de cada período.

Tabela 6 – Sistema de Amortizações Constantes

At t Jt AM SDt

0 50.000,00

14.000,00 1 4.000,00 10.000,00 40.000,00

13.200,00 2 3.200,00 10.000,00 30.000,00

12.400,00 3 2.400,00 10.000,00 20.000,00

11.600,00 4 1.600,00 10.000,00 10.000,00

10.800,00 n = 5 800,00 10.000,00 0,00




33

4.2 Sistema de Pagamento Periódico de Juros

Nesse sistema de amortização, denominado Sistema Americano, em cada

parcela são pagos apenas os juros sobre o saldo devedor durante o período de

financiamento.

O saldo devedor é amortizado integralmente na última parcela e, portanto, não

se altera ao longo do período de financiamento.

0 1 2 t -1

nt

SD0SDP = tSD

tA

nJJ

AM 0SD=n

nA AM +n nJ=

t -1

t

Figura 15 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros

As expressões para o cálculo do saldo devedor no final do período tSD , dos

juros tJ e do valor da parcela tA em cada instante t ≠ n, são as seguintes:

1tt

tt

1tt

SDSDJA

iSDJ

−

−

=

=

×=

No último instante n, o saldo devedor 0SDn = e a parcela nnn JAMA += ,

onde 0n SDAM = e iSDiSDJ 01nn ×=×= − .



34

Problema 13 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros



cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor das parcelas, dos juros e das

amortizações pelo Sistema de Pagamento Periódico de Juros, bem como o saldo

devedor ao final de cada período.

Tabela 7 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros

At t J AMt SDt

0 50.000,00

4.000,00 1 4.000,00 0,00 50.000,00

4.000,00 2 4.000,00 0,00 50.000,00

4.000,00 3 4.000,00 0,00 50.000,00

4.000,00 4 4.000,00 0,00 50.000,00

54.000,00 n = 5 4.000,00 50.000,00 0,00




35

4.3 Sistema de Amortização com Prestações Uniformes

O Sistema de Amortização com Prestações Uniformes, utilizado nas compras

a prazo de bens de consumo, constitui-se em uma série uniforme de n pagamentos

de valor U para a liquidação de um financiamento P.

O valor das prestações uniformes U é determinado a partir da relação de

equivalência entre U e P.

( )( ) 1i1

i1iPU n

n

−+

+××=

Assim, o valor do pagamento tt JAMU += é uma constante em qualquer

instante t, para uma determinada taxa de juros i e um prazo n, dado um

financiamento P e, portanto,

1t1ttt1t1t JAMJAMJAMU ++−− +=+=+=

U

0 1 2 t -1 nttAM

tJ

SD0SDP =

tSD

AM t -1

J

U U

t -1

t -1

Figura 16 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes



36

As relações utilizadas para determinar o saldo devedor no final do período tSD ,

os juros tJ e a amortização tAM em cada instante t são:

( )ktkt

t1tt

1tt

i1AMAM

AMSDSDiSDJ

+×=

−=

×=

+

−

−




37

Problema 14 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes



cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor dos pagamentos, dos juros e das

amortizações pelo Sistema de Amortização com Prestações Uniformes, bem como o

saldo devedor ao final de cada período.

Tabela 8 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes

U t Jt AMt SDt

0 50.000,00

12.522,82 1 4.000,00 8.522,82 41.477,18

12.522,82 2 3.318,17 9.204,65 32.272,53

12.522,82 3 2.581,80 9.941,02 22.331,51

12.522,82 4 1.786,52 10.736,30 11.595,21

12.522,82 n = 5 927,61 11.595,21 0,00




38


Um determinado financiamento será liquidado em (n) 12 parcelas mensais, iguais

e consecutivas (U), a serem pagas ao final de cada mês. Sabe-se que a quinta

amortização )MA( 5 será de $ 32.974,25 e a oitava amortização )MA( 8 será de $

40.394,87. Determinar o valor financiado (P) e a taxa de juros (i) praticada.

U

0 1 5 n = 1288AM

8J

P = ?

AM 5

J

U U

5

i = ?


Sabe-se que:

40.394,87AM32.974,25AM

8

5

=

=

Utilizando a expressão ( )ktkt i1AMAM +×=+ e considerando que

8kt 3,k 5,t =+== , calcula-se a taxa de juros (i) praticada:

( )( )

c.m. a.m. 7%ii132.974,2540.394,87

i1AMAM3

358

=

+×=

+×=



39


Além disso, iSDJ 1nn ×= − e nn JAMU += .

Para 21n = , pode-se calcular o valor das prestações uniformes (U):

( ) ( ) 43,949.5207,0125,974.32i1AMAM 77512 =+×=+×=

43,949.52SDAMSDAM 11121nn ==⇒= −

46,706.307,043,949.52iSDJ 1112 =×=×=

89,655.5646,706.343,949.52JAMJAMU 1212nn =+=+=+=

Calcula-se, finalmente, o valor financiado (P):

( )( )

( )( )

00,000.45007,0107,0107,0189,655.56

i1i1i1UP 12

12

n

n

=+×

−+×=

+×

−+×=

A ilustração abaixo apresenta uma planilha para determinação da taxa de juros

praticada e do valor financiado.

O valor financiado será de $ 450.000, com taxa de juros de 7% ao mês.



40


Um financiamento de $ 150.000 será realizado com taxa de juros de 24% ao

semestre com capitalização mensal. Este financiamento será liquidado através de

parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês.

Sabendo-se que os juros relativos ao sétimo mês )J( 7 são de $ 4.176,46, pede-se

determinar o prazo total de pagamento (n) e o saldo devedor ao final do décimo mês

)D(S 10 .

6)(N c.m. a.s. %42i4.176,46J

150.000,00P

NOM

7

==

=

=


capitalização:

c.m. a.m. 4%04,0624,0

Nii NOM

EFE ====

U

0 1 7 n = ?10

P = 150.000

AM 1

J

U

1

SD = ?10

AM 7

J = 4.176,46

U

7

i = 4% a.m. c.m.




41

Pode-se calcular o valor dos juros a serem pagos ao final do primeiro mês:

00,000.604,0000.150iDSJ150.000,00SDP

01

0

=×=×=

==

A seguir calcula-se o valor da amortização 1AM ao final do primeiro mês.

O valor da prestação uniforme é 7711 JAMJAMU +=+= , onde

617 )i1(AMAM +×= , 00,000.6J1 = e 4.176,46J7 = .

Assim,

00,873.6AM46,176.4)04,01(AM000.6AM

J)i1(AMJAM

1

611

76

111

=

++×=+

++×=+

Então,

00,873.12000.6873.6U =+=

Calcula-se, finalmente, o prazo total de pagamento (n), aplicando as relações de

equivalência entre P e U:

meses 16)04,01log(

000.15004,0873.12873.12log

)i1log(PiU

Ulogn =

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−

=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−

=

Passa-se, então, ao cálculo do saldo devedor ao final do décimo mês.

Inicialmente, calcula-se o valor dos juros pagos no décimo primeiro mês.

Sabendo-se que 1111 JAMU += , onde 10111 )i1(AMAM +×= , então

28,699.2JJ)04,01(873.6873.12

J)i1(AMU

11

1110

1110

1

=

++×=

++×=



42

Calcula-se, então, o saldo devedor ao final do décimo mês )D(S 10 :

J11 = SD10 ! i2.699,28 = SD10 !0,04SD10 = 67.482,03

A ilustração abaixo apresenta uma planilha para determinação do prazo total de

pagamento e do saldo devedor ao final do décimo mês.

O financiamento será liquidado em 16 pagamentos mensais e o saldo devedor ao

final do décimo mês será de 67.482,03.



43


Um financiamento de $ 280.000 será realizado com taxa de juros efetiva de 8%

ao mês. Este financiamento será liquidado através de parcelas mensais, iguais e

consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês.

Sabendo-se que o saldo devedor após o pagamento da sétima parcela )D(S 7

será de $ 163.770,62, pede-se determinar o prazo total de pagamento (n) e o valor

dos juros pagos na décima parcela )J( 10 .




44

4.4 Sistemas de Amortização com Prestações Irregulares

Problema 18 – Financiamento de Imóvel

Uma imobiliária oferece um imóvel, cujo valor é de € 50.000. Dado que você não

dispõe de toda esta quantia para pagamento à vista, a imobiliária lhe apresenta a

seguinte forma de pagamento para aquisição do imóvel.

Pagamento em Reais (R$) de 60% do valor do imóvel, em três parcelas iguais,

pagáveis em Reais, em 30, 90 e 120 dias, com uma taxa de juros de 21% ao

trimestre capitalizados mensalmente. O restante do valor do imóvel deverá ser pago

em Pesos Uruguaios (PU$), com uma entrada – hoje – de PU$ 300.000 e mais

duas parcelas, pagáveis em Pesos Uruguaios, em 60 e 150 dias, com uma taxa de

juros efetiva de 5% ao mês. O valor da parcela em 60 dias deve ser igual ao dobro

do valor da parcela em 150 dias.

Considerar que os meses possuem 30 dias, e que hoje há uma equivalência de

€ 1,00 = R$ 3,00 = PU$ 36,00.

Determinar o fluxo de caixa da forma de pagamento que lhe foi apresentada.

Pagamento em Reais de 60% de € 50.000 = € 30.000, equivalentes, hoje – no

instante 0 –, à R$ 90.000, com financiamento a uma taxa de juros de 21% a.t. c.m.

0 1 2 3 4meses

i = 21 % a.t. c.m.P' = 90.000

A1 A3 A4

Figura 19 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Reais



45


capitalização:

c.m. a.m. 7%07,0321,0

Nii NOM

EFE ====

Cálculo do valor das parcelas SAAA 431 === em 30, 90 e 120 dias

0 1 2 3 4meses

i' = 7 % a.m. c.m.P' = 90.000

A1 A3 A4


44

33

11

)'i1(A

)'i1(A

)'i1(AP'

++

++

+=

76,802.35 S)07,01(

S)07,01(

S)07,01(

S000.09 431 =⇒+

++

++

=

Assim,

35.802,76 R$SAAA 431 ====



46

A ilustração abaixo apresenta a planilha com o fluxo de caixa dos pagamentos.

Pagamento em Pesos Uruguaios de 40% de € 50.000 = € 20.000, equivalentes

hoje – no instante 0 –, à PU$ 720.000, com uma entrada de PU$ 300.000.

Cálculo do valor a ser financiado, em Pesos Uruguaios:

000.420000.300000.720"P =−=

Cálculo do valor das parcelas 52 A2A ×= , em 60 e 150 dias:

0 1 2 3 4meses

i" = 5 % a.m. c.m.P" = 420.000

A2

5

A5

Figura 21 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Pesos Uruguaios



47

55

22

)"i1(A

)"i1(AP"

++

+=

Considerando TA2A 52 =×= , tem-se que TA2 = e 2TA5 = .

Assim,

28,377.233 T)05,01(

2T

)05,01(T000.204 52 =⇒

++

+=

Então,

323.377,28 PU$TA2 ==

161.688,64 PU$2TA5 ==




48

Problema 19 – Financiamento de Equipamento

Você pretende adquirir um equipamento importado, cujo preço é de R$ 90.000.

Dado que você não dispõe desta quantia para pagamento à vista, a importadora lhe

apresenta duas opções de pagamento.

Considerar que:

− os meses possuem 30 dias;

− hoje há uma equivalência de US$ 1,00 = R$ 2,00.

Apresentar o fluxo de caixa das duas opções de pagamento, em sua

respectiva moeda.

Opção 1 (Pagamento em Reais – R$): uma entrada de R$ 15.000 e o restante

financiado em duas parcelas, pagáveis em Reais em 30 e 90 dias. Na parcela em 30

dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 70% do valor

financiado. Na parcela em 90 dias é pago o restante da dívida. O financiamento é

realizado com uma taxa de juros de 15% ao trimestre capitalizados mensalmente.

Cálculo do valor a ser financiado, em Reais: P = 90.000 – 15.000 = 75.000.

0 21 3meses

i = 15 % a.t. c.m.

P = 75.000

A1

A3




49

Taxa de juros do financiamento em reais:

3)(N c.m. a.t. %15iNOM ==


capitalização:

c.m. a.m. 5%05,0315,0

Nii NOM

EFE ====

Cálculo do valor das parcelas 1A e 3A em 30 e 90 dias:

0 21 3meses

i = 5 % a.m. c.m.

P = 75.000

A1

A3

1SD


PiP%70JAMA 111 ×+×=+=

250.56750.3500.52000.7505,0000.7570,0A1 =+=×+×=

500.22500.52000.75AMPSD 11 =−=−=

25,806.24)05,01(500.22)i1(SDA 2213 =+×=+×=



50


Opção 2 (Pagamento em Dólares Americanos – US$): uma entrada de US$

27.000 e o restante em duas parcelas iguais, pagáveis em Dólares Americanos em

120 e 150 dias, com uma taxa de juros efetiva de 3% ao mês.

Pagamento em Dólares Americanos de R$ 90.000 = US$ 45.000.

Cálculo do valor a ser financiado, em Dólares Americanos:

000.18000.27000.45P' =−=

0 3

4 5 meses

i = 3 % a.m. c.m.P' = 18.000

U"

F' = P"

21

Figura 24 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Dólares Americanos



51

Cálculo do saldo devedor atualizado em 90 dias:

09,669.19)03,01(000.18i)1(P''F 3'n =+×=+×=

09,669.19"PF'"P =⇒=

Cálculo do valor das parcelas "UAA 54 == em 120 e 150 dias:

( )( )

( )( )

28,279.10103,0103,0103,009,669.19

1i1i1i"P"U 2

2

"n

"n

=−+

+××=

−+

+××=




52

Problema 20 – Sistemas de Amortização de Financiamentos

Você pretende adquirir um equipamento, cujo preço é de $ 80.000. Dado que

você não dispõe desta quantia para pagamento à vista, o fabricante lhe apresenta

quatro alternativas de financiamento.

Considerar que os financiamentos são realizados com uma taxa de juros

efetiva de 9% ao mês. Considerar, ainda, que os meses possuem 30 dias. Calcular

os valores a serem pagos nas quatro opções alternativas.

Opção A: uma entrada de 30% do valor do equipamento e o restante financiado

em três parcelas, pagáveis em 30, 120 e 150 dias. Na parcela em 30 dias se paga

juros sobre o saldo devedor mais amortização de 60% do valor financiado. Nas

parcelas em 120 dias e em 150 dias é pago o restante da dívida. O valor da

parcela em 120 dias é igual ao triplo do valor da parcela em 150 dias.

Opção B: sem entrada, com um financiamento em três parcelas, pagáveis em

30, 90 e 180 dias. Na parcela em 30 dias são pagos juros sobre o saldo devedor.

Na parcela em 90 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de

40% do saldo devedor. Na parcela em 180 dias é liquidado o financiamento.

Opção C: sem entrada, com um financiamento em quatro parcelas, pagáveis em

60, 90, 150 e 180 dias. Na parcela em 60 dias são pagos juros sobre o saldo

devedor. O valor da parcela em 90 dias é igual ao dobro do valor da parcela em 60

dias. O financiamento é liquidado com duas parcelas iguais, pagas em 150 dias e

em 180 dias.

Opção D: uma entrada de 20% do valor do equipamento e o restante financiado

em três parcelas, pagáveis em 60, 120 e 180 dias. O valor da parcela em 60 dias é

igual à metade do valor da parcela em 180 dias. O valor da parcela em 120 dias é

igual ao triplo do valor da parcela em 180 dias. Na parcela em 180 dias é liquidado

o financiamento.



53

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção A.

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção B.



54

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção C.

A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção D.

Education

Engenharia economica avancada introdução