Engenharia Economica

7/16/2019 Engenharia Economica

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

2010/2

Professora Ms. Beatriz V. Vaccari



SUMÁRIO

1 PORCENTAGEM 41.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C 4

2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS 7

3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS 8

4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES 9

5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 115.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO 115.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA 11

6 JUROS SIMPLES 13

6.1 ELEMENTOS BÁSICOS 13

7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M) 15

8 PRAZO MÉDIO 19

9 DESCONTO SIMPLES 219.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 219.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL 25

10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 28

11 JUROS COMPOSTOS 3111.1 CONCEITO 3111.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR 3211.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA 3211.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS 3311.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROSNÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO 33

12 TAXAS PROPORCIONAIS 37

13 TAXAS EQUIVALENTES 38

14 TAXA NOMINAL 40

15 TAXA EFETIVA (i) 41

16 TAXA DE JURO REAL (ir ) 43

17 TAXA ACUMULADA 45

18 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA 46

19 DESCONTO COMPOSTO 48

20 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 50



3

21 RENDAS 5221.1 CONCEITO 5221.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 5221.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA 5321.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA na 53

21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV) 5321.6 MONTANTE DE UMA RENDA 57

22 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 6122.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE ) 6122.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC) 6322.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO 6522.4 CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS 66

23 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 69

23.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 6923.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 70

GABARITO 74

ANEXO 1 79



4

1 PORCENTAGEM

A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões,abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc.

Elementos básicos:

Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal correspondesempre a 100% da operação.

Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa.

Taxa percentual (r): É a razão representada pela fração de denominador 100.

Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo daporcentagem utiliza-se a seguinte regra de três:

Principal ----------- 100%Porcentagem ------- taxa percentual

1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C

1.1.1 Para calcular a porcentagem: C enter r %Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem será somado ao principal. Sefor pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal.

1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T

1.1.3 Para calcular a diferença de percentual entre dois valores a e b: a enter b %

1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: C entre p %T

Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.800,00 recebeu um aumento R$ 360,00. Qualfoi a taxa percentual desse aumento?

1.800 ---------- 100% Na HP 12 C360 ---------- x 1.800

enter

x 1800

100360 360

x = 20% %T

Exemplo 2: Um investidor comprou um terreno por R$ 50.000,00 e vendeu-o, um anodepois, por R$ 62.500,00. Qual o lucro, em porcentagem, do preço de custo?

50.000 ----------- 100% Na HP 12 C62.500 ----------- x 50.000

000.50100500.62 x enter



5

x= 125% 62.500

%125- 100 = 25%

O lucro foi de 25%.

Exemplo 3: Calcular 10% de 12.

12 -------- 100% Na HP 12 Cx -------- 10% 12

100

1012 x enter

x = 1,2 10%

Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80.

80 -------- 100% Na HP 12 C8 -------- x 80

80

1008 x enter

x = 10% 8%T

Exercícios propostos

1) O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relaçãoao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de;a) 50% b) 55% c) 60% d) 65% e) 70%

2) Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas e os demais meninos.Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantosmeninos já sabem ler.

3) No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda média de 1,7%.Para uma carga de 15.000 kg, qunato será a perda esperada?

4) Uma pessoa comprou um automóvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro deR$ 680,00, correspondente a 3,4% do preço de compra. Qual foi esse preço de compra?

5) Um livro que custava R$ 43,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 15%.Qual o valor do abatimento?

6) Um televisor foi comprado numa liquidação por R$ 420,75, já deduzidos os 6,5% deabatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento?

7) Num depósito, há dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total,e do refrigerante B há 1.296 garrafas. Qual o número total de garrafas existentes nodepósito?



6

8) Um comerciante adquiriu 2.000 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu ¼ por R$2.000,00 e o restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foi o lucro.

9) O preço de capa de uma revista mensal é de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direitoa 12 edições dessa revista, há um desconto de 12%. Qual o preço da assinatura?

10) Após um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual eraseu salário antes do aumento?

11)Produção e vendas, em setembro,Três montadoras de automóveis

Montadora Unidades Porcentagem vendida

Produzidas Da produção A 3.000 80%B 5.000 60%C 2.000 x%

Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7.000 dos 10.000 carrosproduzidos, qual é o valor de x?

12) O Sr. Manoel contratou um advogado parra receber uma dívida cujo valor era de R$10.000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90%do total da dívida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido,quanto dinheiro lhe restou?

13) Certo artigo que custava R$ 200,00 teve seu preço reajustado em 18%. Qual o seupreço final?

14) Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de descontoem qualquer peça de inverno. Qual era o preço original de um casaco que, napromoção, estava sendo vendido por R$ 96,00?

15) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos.Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por centofoi o seu lucro?

16) Um produto é vendido por R$ 1.850,00 com 15% de lucro. Se o preço de venda fosseR$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro?

17) Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede um abatimento de R$ 93,91. De quantopor cento é este abatimento?



7

2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS

No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente.

O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:

niiiC VF 1)........(1)(1( 21 ()

Sendo:VF = valor real a ser pagoC = principal, ou seja, valor de 100%i = taxas unitárias sucessivas

Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontossucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago?

VF = 124.000 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05) Na HP 12CVF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95 124000 enter 20% - 10% - 5%VF = R$ 84.816,00

Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preçoconstante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço databela?

70 = C (1- 0,3) (1 – 0,2)70= C x 0,7 x 0,870 = C x 0,56C= 70/ 0,56C= R$ 125,00

Taxa única no sistema de abatimentos sucessivos:

niiii 1)......(1)(1(1 21 )

Exemplo : Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontossucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa?

i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 – 0,2)i= 1 – 0,5x 0,7x 0,8)i= 1- 0,28i=0,72 x100 = 72%



8

3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:

)1)......(1)(1( 21 niiiC VF

Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês.Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preço final dessamercadoria?

VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05) Na HP 12CVF = 8 x 1,025 x 1,05 8 enter 2,5% + 5% +VF = R$ 8,61

Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%., pagando ocomprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria?

144,90 = C (1+0,2) (1+0,15)144,90 = C x 1,2 x 1,15144,90 = C x 1,38C = 144,90/ 1,38C = R$ 105,00

Taxa única no sistema de acréscimos sucessivos:

1)1)......(1)(1( 21 niiii

Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior?

i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) – 1i= 1,2 x 1,15 -1i= 0,38 x 100= 38%



9

4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES

Para calcular a diferença percentual entre dois valores ( do principal para o valor final), utiliza-se a seguinte fórmula:

1C

VF i

Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês.Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61.Calcular o percentual total de aumento.

18

61,8i Na HP 12C

107625,1 i 8 enter 8,61 %

10007625,0 i 625,7i

Exercícios propostos

1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de30%+20%+10%. Pergunta-se:a) Por quanto foi vendida?b) Qual o percentual total do abatimento?

2) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% seo total pago foi R$ 273,60, pergunta-se:a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos?b) Qual o percentual total do abatimento?

3) Um produto cujo preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%.Pergunta-se:a) Qual o preço atual?b) Qual o percentual do aumento?

4) O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando acustar R$ 450,12. Qual era o preço inicial?

5) Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido umdesconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial destamercadoria?

6) Uma mercadoria custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de10%+5%+2%. Pergunta-se:a) Por quanto foi vendida?b) Qual o percentual total do abatimento?

7) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10%+2%. Se ovalor pago foi de R$ 110,25, pergunta-se:

a) Qual o valor da mercadoria antes do abatimento?b) Qual o percentual total do abatimento?



10

8) Um produto cujo preço era R$ 712,00,sofreu aumentos sucessivos de 6%+3%.Pergunta-se:a) A que preço está sendo vendida?b) Qual foi o percentual total de aumento?

9) O preço da gasolina foi aumentado, sucessivamente 11,5%+7,2%+4,5% passando acustar R$ 1,30. Qual era o preço antes dos aumentos?

10) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido umdesconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial destamercadoria?

11) Um operário ganhou um salário líquido de R$ 515,97. Sabendo-se que recebeu umaumento de 5% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 9% referente aimpostos previdenciários, qual era o salário deste operário?



11

5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preçode custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ousobre o preço de venda.

5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera-se opreço de custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a100%+ r.

Fórmula:)1( iC V

Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendidase o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra?

V= 120 (1+0,4) Na HP 12CV= 120 x 1,4 120 enter 40% +V= R$ 168,00

5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA

Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera-se opreço de venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a100% - r.

Fórmula:

i

C V

1

Exemplo 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,00,desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?

2,01

00,20

V

8,0

0,20V

00,25$ RV

Exercícios propostos:

1) Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o

lucro seja de 30% sobre o preço de compra?



12

2) Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço decompra. Quanto custou esta mercadoria?

3) Uma casa foi vendida por R$ 54.000,00, com um lucro de R$ 6.000,00. A quanto por cento corresponde este lucro?

4) Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda?

5) Um terreno foi comprado por R$ 4.750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preçode venda. Por quanto foi vendido?

6) Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço devenda. Quanto custou esta mercadoria?

7) Uma mercadoria está sendo vendida por R$ 75,90. Se o percentual das despesas

incidentes sobre o preço de venda é 29% e o lucro 15% sobre o mesmo valor, quantocustou esta mercadoria?

8) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual secalculou o lucro sobre o preço de custo?

9) Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.200,00 e vendida por R$ 1.500,00. Qual opercentual de lucro sobre o preço de compra?

10) Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,00. De quanto foi o lucro, em reais, seele representa 25% sobre o preço de custo?



13

6 JUROS SIMPLES

Juro é:a) valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros

colocado à nossa disposição;b) remuneração do capital empregado em atividades produtivas;c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicados;d) remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma

simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazoobteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneraçãoobtida durante o período de aplicação.

A diferença entre o montante e a aplicação é denominada remuneração, rendimentodo capital ou juros.

No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o

mesmo capital, portanto os rendimentos em cada período são os mesmos e os montantescrescem linearmente.

Observe o cálculo a seguir:

Cálculo dos juros simplesPeríodo Capital Juros do período Juros Montante

inicial (i= 10%a.p.) acumulados0 1.000,00 0,00 0,00 1.000,001 1000 x 0,10= 100 100 1.100,002 1000 x 0,10= 100 200 1.200,003 1000 x 0,10= 100 300 1.300,00

6.1 ELEMENTOS BÁSICOS

Capital (C): É a quantia empregada no início da aplicação.

Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro.

Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-sea taxa na forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la emunitária).

Tempo(t): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representadoem relação ao período da taxa.

Montante (M): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ouencerrar um empréstimo.

Fórmula Fundamental de Juros Simples é:

j = Cit

Exemplo 1: João assumiu o compromisso de restituir a Pedro a importância de R$200.000,00 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, aser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receberá de João.



14

j = 200.000,00 x 0,025 x 9 Na HP 12C j = R$ 45.000,00 200000 enter 2,5% 9 x

Exemplo 2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produzarendimentos iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3anos.

148.612,61 = C x 0,12 x 3C = 148.612,61/ 0,36C = R$ 412.812,81

Exemplo 3: Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmoano, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples

cobrada?

1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x ii = 1650,00/33.000,00i = 0,05 x 100 = 5%

Obs: Os dias são contados de data a data, através do ano civil.

Exemplo 4: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros deR$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano?

4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x tt = 4.000,00/ 2.400,00t = 1,67 x 12 = 20 meses ou 1 ano e 8 meses

Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, paraque se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias?

240,00 = C x 0,6 x 72/360C= 240,00/ 0,12C = R$ 2.000,00



15

7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)

Montante de um capital é igual a soma deste capital com os juros por ele produzido.

Como a fórmula de juros é: j = Cit

Então o montante simples pode ser calculado pela fórmula:

ou

Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3

meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate?

M = 20.000,00 ( 1 + 0,72/12 x 3)M = 20.000,00 ( 1 + 0,06 x 3)M= R$ 23.600,00

Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m.,para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00?

12.672,00 = C ( 1 + 0,04 x 42/30)C = 12672,00/ 1,056

C = R$ 12.000,00

Para calcular taxa de juro efetiva de uma aplicação, basta apenas dividir o valor doresgate pelo valor aplicado, diminuindo 1 do quociente.

Exemplo 3: Uma empresa aplicou R$ 32.000,00. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00.

Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicação?

35.072,00

32.000,00

1

00,000.32

00,072.35i Na HP 12C

096.1i 32000 enter 100096,0 i 35072

M = C + j

M = C 1+ itM = C + Cit

1C

M i



16

..%6,9 pai %

A taxa mensal de juros simples será:

r = (9,6/48) x 30r= 6% a.m.


1) Calcular os juros produzidos por uma aplicação de R$ 2.000,00, à taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias.

2) Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30%a.a. em 2 anos?

3) A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para seobter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses?

4) Durante quanto tempo deve-se empregar o capital de R$ 50.000,00 para se obter um juro simples de R$ 35.000,00, sendo a taxa de 30% a.m.?

5) Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira R$ 1.470,00, durante 95dias, à taxa de juros simples de 21%a.a..

6) Qual o valor do resgate de uma aplicação, sabendo-se que o investimento inicial foi deR$ 32.500,00, o prazo de 118 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês?

7) Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo?

8) Um investidor fez uma aplicação em juro simples durante 2 meses . No fim deste temporetira o montante de R$ 159.000,00 e reaplica tudo por mais 3 meses a mesma taxa.Sabendo-se que o valor do resgate final é de R$ 173.310,00 Qual a importânciainicialmente aplicada?

9) Seu José aplicou R$ 200.000,00, em juro simples por 5 meses, a taxa de 96%a.a.. Qualo valor do resgate?

10) Uma pessoa aplicou certa quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias. Após este prazo, recebeu R$ 897.343,87. Calcular o capital aplicado.

11) Um título no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmoano. Se o valor pago na liquidação foi de R$ 23.287,50, qual a taxa mensal de jurosimples?

12) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:Preço à vista = R$ 1.800,00;Condições à prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias.

Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.



17

13) Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de jurossimples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira?

14) Uma mercadoria é oferecida num magazine por $ 130,00 à vista, ou nas seguintescondições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxalinear mensal de juros que está sendo cobrada.

15) Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro simples de 24% a.a.,rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.

16) Uma pessoa contrai um empréstimo de R$ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês. Emdeterminada data líquida este empréstimo pelo montante de R$ 92.325,00 e contrainova dívida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa.Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00.Pede-se calcular:

a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos;b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo.

17) Um refrigerador é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma entrada de 25% e mais umpagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida naoperação?

18) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante 9 meses,à taxa de 12% ao semestre de juros simples.

19) Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 4 meses e 17 dias, a uma taxa de juros simples de 17% ao trimestre. Qual o valor dos juros a ser pago?

20) Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00após seis meses.

21) Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25%e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxamensal de juros simples cobrada no financiamento?

22) Após quanto tempo os capitais de R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00, empregados às taxas de juros simples de 6% e 4% ao mês, respectivamente, atingirão o mesmo montante

23) Qual a taxa mensal de juros simples que deve ser aplicado um capital para duplicar devalor em 1 ano e 3 meses?

24) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital deR$ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa durante 45 dias.Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da2ª aplicação são iguais a R$ 31,50.

25) O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, comentrada, na ocasião, de R$ 200,00, e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00.Qual é a taxa cobrada?

26) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a.,porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% dovalor do juro auferido. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 4.000,00?



18

27) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000,00 sacas de café e, na expectativa de altade preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de R$ 30,00 por saca. Três meses mais tarde é forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por R$24,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 5%a.m., calcule oprejuízo real do fazendeiro na data da venda da mercadoria, utilizando o regime decapitalização simples.

28) Um produto está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 70,00 à vista ou umaentrada de 40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa de juros simplesusada por este estabelecimento?

29) Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 deentrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de jurossimples do financiamento.

30) Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a taxa de 4,5% a.m.. Na época doresgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicação?



19

8 PRAZO MÉDIO

Sejam os capitais 1C , 2C ,...........,m

C , todos empregados em juros simples, a uma

mesma taxa i durante os tempo t1, t 2 , ..........,t m , respectivamente. Chama-se prazo médio

aquele no qual deve-se empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juroigual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente.

m

mm

C C C

t C t C t C t

........

........

21

2211

Se os capitais forem iguais o prazo médio é calculado pela seguinte fórmula:

m

t t t

t m

.........21

Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em jurosimples durante 36 dias, 60 dias, e 156 dias, respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro?

Na HP 12 C

000.3000.5000.2

156000.360000.536000.2

t

f

diast 84 36 enter 2000

60 enter 5000

156 enter 3000

g xw

Exemplo 2: Se a taxa de juros é 6%a.m., qual o juro produzido no exemplo 1?

000.10000.3000.5000.2

C C

00,680.1$

30/06.084000.10

R j

j

Exemplo 3: Uma pessoa deposita R$ 500,00 no início de cada mês, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constituído no final de um ano.

mesest

t

5,6

12

123456789101112



20

000.6

50012

C

C

M= 6.000,00 ( 1 + 6,5 x 0.05)

M = R$ 7.950,00


1) Um título de R$ 105.000,00 vencível em 31/03 foi pago da seguinte maneira: R$25.000,00 em 31/03; R$ 20.000,00 em 15/04; R$ 15.000,00 em 20/04; R$ 24.000,00 em30/04 e R$ 21.000,00 em 10/05. Sabendo-se que a taxa de juro simples cobrada pelocredor foi de 6%a.m., qual o juro pago na liquidação?

2) Uma empresa devedora de um título de R$ 420.000,00 pagou-o da seguinte maneira :R$ 120.000,00 no vencimento; R$ 75.000,00 com atraso de 12 dias; R$ 120.000,00 com

atraso de 25 dias e R$ 105.000,00 com atraso de 42 dias. Sabendo-se que o total de juros pago na liquidação foi de R$ 11.080,00, determinar a taxa de juro simples, anualcobrada pelo credor?

3) Um título de R$ 108.000,00 vencível no dia 31 de março foi pago da seguinte maneira:R$ 28.000,00 no vencimentoR$ 20.000,00 em 15/04R$ 15.000,00 em 20/04R$ 24.000,00 em 30/04R$ 21.000,00 em 10/05Qual foi o atraso médio no pagamento do título se todos os pagamentos foram feitos nomesmo ano?

4) Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no atoe o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples ano seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples?

5) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxade juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o temponecessário para que a soma desses capitais produza juros à mesma taxa, igual à somados juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.

6) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesmataxa de juros simples, pelos prazos de 4,3 e 2 meses, respectivamente. Obtenha oprazo médio de aplicação desses capitais.



21

9 DESCONTO SIMPLES

Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seuresgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações decapitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.

Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto aconsiderar:

a) o comercial ou bancário ou por fora;b) o racional ou por dentro.

9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL

9.1.1 Conceito

O desconto simples comercial é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominaldo título, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste.

9.1.2. Fórmula

t Nid a

Onde:d : desconto simples comercial quantia a ser abatida do valor nominal.N : valor nominal valor do título a ser pago no dia do vencimento.

ai : taxa unitária de descontot : tempo de antecipação período compreendido entre o dia em que se negocia o título eseu vencimento

Exemplo 1: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seuvencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto.

d = 280.000,00 x 0,06 x (39/30)d = R$ 21.480,00

Exemplo 2: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 6 meses, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?

N= 1.000 n= 6 m A = 880 i = ? a.m.

Sendo A = N (1 – i x n)

880 = 1000 (1 – i x 6)

i611000

880

6i = 1 – 0,88i = 0,12 ÷ 6 = 0,02 ou seja 2% ao mês



22

9.1.3 Valor Atual Comercial

É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido.

A = N – d Ou A = N (1 – iat)

Onde:A = é valor líquido, já abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente;d = desconto simples comercialia = taxa de descontot = tempo de antecipação

Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o valor atual comercial

A = 280.000 (1- 0,06 x 39/30) = R$ 258.160,00

9.1.4 Valor Líquido

Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor atual diminuído da comissão.

VL = N – (d + com)

Ou :

VL = N – (d+ com + desp + IOF)

Onde:VL = valor líquidoCom = comissãoDesp = despesasN = valor nominal

Exemplo 1: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes do seu

vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m..Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor líquido recebido pelo portador?

A = 240.000 x 0,07 x 27/30 = R$ 15.120,00Com. = 240.000 x 0,005 = R$ 1.200,00VL = 240.000 – ( 15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00

Exemplo 2: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que obanco cobra uma comissão antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos títulos, mais

despesas para cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobreoperações financeiras) que é de 0,123% a.m., qual o valor líquido creditado na conta daempresa?



23

d = 18.000 x 0,045 x 36/30 = 972,00com = 18.000 x 0,005 = 90,00desp. de cobrança = 4 x 5 = 20,00IOF = 18.000 x 0,00123 x 36/ 30 = 26,57VL = 18.000 – (972 + 90 + 20 + 26,57) = R$ 16.891,43

Obs: Quando não houver cobrança de comissões ou taxas o valor líquido é igual aovalor atual.

9.1.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancário

Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em contao valor nominal dos títulos, o prazo médio destes títulos e o valor líquido recebido peloportador.

É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gerano período considerado um montante igual ao valor nominal.Para calcular a taxa efetiva de juro do período do desconto de títulos com

vencimento para t dias, basta efetuar a divisão entre o valor nominal e o valor líquidodiminuindo de 1, ou seja, calcular a diferença percentual entre o valor líquido e o valor nominal.

Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula:

Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual – são utilizadostanto para juro comercial, quanto bancário.

Exemplo 1: Uma empresa desconta um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seuvencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. qual a taxaefetiva de juro paga pela empresa nesta operação?

A= 20.000(1- 0,06 x 39/30) = 18.440

i = 20000/18440 -1

i= 1,085 – 1

i= 8,5%

9.1.6 Taxa total de desconto em relação a taxa efetiva de juro:

Para calcular a taxa total de desconto (juro antecipado) conhecida a taxa efetiva de juro, utiliza-se a seguinte fórmula:

N

i f = - 1

VL



24

i

iiat

1

OBS: Para calcular a taxa mensal de desconto basta dividir a taxa total de desconto pelonúmero de dias que antecede o vencimento do título multiplicando a seguir por 30.

30t

ii at at

Exemplo: Um banco que opera com uma taxa efetiva de juro de 11,2% a.p. paraempréstimos com prazo de 42 dias, a que taxa mensal de desconto deveria operar emoperações de desconto com prazo de 42 dias, para obter o mesmo rendimento?

1007,0112,01

112,0

at i ou 10,07 % a.p. de 42 dias

3042

07,10ar 7,194 % a.m.


1) Um título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seuvencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a.. Qual ataxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual?

2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00?

3) Uma empresa descontou um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seuvencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Quala taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação?

4) Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui acinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um bancoque cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% dovalor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título.

5) Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pré-datadospara serem descontados à taxa de desconto de 2,8% a.m.

Cheque Valor Prazo de antecipação A R$ 500,00 2 meses

B R$ 1.500,00 1 mêsC R$ 2.000,00 45 dias



25

Determinar o valor líquido recebido pela empresa.

6) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois mesesantes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m..a) Qual o valor do desconto?b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?

7) A o descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um descontode R$ 1.200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de descontoutilizada foi de 4% a.m.?

8) O dono de uma pequena indústria metalúrgica leva a um banco as duplicatas A, B e Cpara serem descontadas.

Duplicatas Valor Prazo de antecipação

A R$ 4.000,00 2 mesesB R$ 14.000,00 50 diasC R$ 8.000,00 75 dias

Se o banco utilizar uma taxa de desconto de 2,5% a.m., qual será o valor líquidorecebido pela empresa?

9) Um título de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento.Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto?

10) Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 18.000,00, setenta e doisdias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,2% a.m..

a) Qual o valor do desconto?b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?

9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL

9.2.1 Conceito

Desconto simples racional é igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor atual racional de um título, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimentodeste.

it Ad r r

9.2.2 Valor Atual Racional

Chama-se de valor atual racional de um título de valor nominal (N), vencível no finalde um certo tempo (t), ao capital (

r A ) que aplicado a juro simples, durante o tempo (t)

produza um montante igual ao valor nominal do título (N).

it

N Ar

1



26

Exemplo 1: Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível no final de 60dias, sendo 10% a.m. a taxa de juros simples?

30

601,01

000.120

r A

r A R$ 100.000,00

9.2.3 Fórmula para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal:

Se:

r r A N d

Logo:

it

Nit d r

1

Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o desconto racional.

r d = 120.000 – 100.000

r d = R$ 20.000,00

ou:

21,01

21,0000.120

r d

r d = R$ 20.000,00


1) Um título de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seuvencimento a uma taxa de 11,2% a.m..Qual o desconto sofrido?

2) O valor atual de um título de R$ 158.750,00, descontado racionalmente, 90 dias antesdo seu vencimento é R$ 125.000,00. Calcular a taxa da transação.

3) Qual o desconto racional sofrido por um título de valor R$ 24.000,00 vencível no final de4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de desconto?

4) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seuvencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De

quanto foi o valor pago pelo título?



27

5) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias.Calcular o valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro.

6) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeirocaso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com descontoracional. No segundo caso, com desconto comercial, mantendo as demais condições.Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual o valor nominal do título?

7) Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,00 vencível no final de 75dias e negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a.?

8) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seuvencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. Dequanto foi o valor pago pelo título?



28

10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros)com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento sãoequivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitaisdiferidos (são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes)

Dois ou mais capitais, disponíveis em épocas distintas, são equivalentes sepossuírem, numa certa época, valores atuais iguais.

A1 = A 2 ou A = A 1 + A2 + ...........+An

Para a solução: estabelecer um data de comparação e comparar os valoresatuais dos títulos nessa data. No regime de juros simples, a data deve ser a datazero (data de contração da dívida), também conhecida como data focal.

Obs: A equivalência de capitais pode ser calculada, no sistema de capitalização simples,através do desconto comercial (com taxa de desconto) ou do desconto racional (com taxade juro).

Exemplo 1: Um título de R$ 26.950,00, vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de desconto de 15% a.m..

)30

3915,01()

30

4515,01(00,950.26 2 N

805,0

775,000,950.262

N

65,945.25$2 R N

Exemplo 2: Um título de R$ 26.950,00 vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de juro simples de 15%a.m..

225,1195,100,950.26

3,115,015,115,01

00,950.26

2

2

N

N

00,290.26$2 R N

Exemplo 3: Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 720,00, vencível em 2meses, e outro de R$ 960,00, vencível em 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-losnos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los por um único título, com vencimentopara 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título, considerando a taxa de descontosimples de 2% a.m..

)402,01( N )202,01(00,720 + 302,01(00,960 ) N= R$ 1.732,17



29


1) Um comerciante deve dois títulos, um de R$ 8.000,00 para 90 dias e outro de R$10.000,00 para 72 dias. Pede para substituí-los por um único título com vencimento para60 dias. Calcular o valor do novo título se a taxa de desconto utilizada é 7,5% a.m..

2) Um título de R$ 240.000,00, vencível em 60 dias foi substituído por dois novos títulos,de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 30 e 70 dias, respectivamente. Calcular o valor dos novos títulos, se a transação é realizada numa taxa de desconto de10%a.m..

3) Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas:a) R$ 500,00 de entrada, R$ 200,00 no fim de 3 meses e R$ 300,00 no fim de 5 meses.b) R$ 300,00 de entrada, R$ 350,00 no fim de 1 mês e R$ 350,00 no fim de 2 meses.Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples é de 8%a.m., quanto deveria dar mais,

de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior?

1) Um comerciante devedor de um título no valor de R$ 17.050,00, vencível em 60 dias,propõe ao credor a substituição deste título por dois novos títulos, sendo um no valor deR$ 7.200,00 para 30 dias e um outro para 45 dias. Calcular o valor deste outro títuloconsiderando uma taxa de desconto igual a 2% a.m..

2) Dois títulos de valor nominal R$ 5.200,00 cada, vencíveis em 50 e 75 dias,respectivamente, serão substituídos por um único título de valor R$ 10.000,00. Calcular o prazo deste título se a taxa de desconto simples utilizada na transação é de 3%a.m..

3) Uma empresa devedora de um título no valor de R$ 22.540,00, vencível no final de 3

meses, propõe ao credor a substituição deste por dois novos títulos de valores nominaisiguais, vencíveis no final de 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor de cada umdos novos títulos sendo 5%a.m. a taxa de juros simples empregada na transação.

4) Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias; R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias; R$ 100.000,00 vencíveis em 114 dias.Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos peloseguinte esquema: R$ 20.000,00 em 60 dias; R$ 50.000,00 em 100 dias; o restante em 150 dias.Sendo 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações,pede-se calcular o valor do pagamento remanescente.

8) Um título de R$ 4.200,00 que vencerá em cinco meses deve ser substituído por outrocom vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esse títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.

9) Um título de R$ 1.000,00 que vencerá em 3 meses, deve ser substituído por outro comvencimento para daqui a 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser

descontados à taxa de 2,5%a.m., calcular o valor nominal do novo título.

10) Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 30.000,00 e outro deR$ 36.000,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título



30

vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3%a.m., qual será o valor do novotítulo?

11) Um título de R$ 70.000,00, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outro comvencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa dedesconto igual a 36% a.a., determine o valor nominal do título.

12) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 50.000,00 para 90 dias e outro de R$120.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis,respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que ataxa de desconto comercial da transação é de 3% a.m.

13) Uma pessoa tem dois compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui a 60 dias e R$8.000,00 daqui a 75 dias. Desejo trocar esse débitos por dois pagamentos iguais, umdaqui a 3 meses e outro a ser pago daqui a 4 meses. Determine o valor dessespagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada é de 6%am.

14) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para sem descontadas emum banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pelaempresa?



31

11 JUROS COMPOSTOS

11.1 CONCEITO

O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro edo cálculo econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros.

Na capitalização composta ao final de cada período, os juros são calculados esomados ao capital, formando um montante, que irá ser o capital do período seguinte. Aesse processo de agregação dos juros ao capital é que se dá o nome de capitalizaçãocomposta.

Utilizando as seguintes notações:PV = capital inicialFV = montante final

i = taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização)n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.)

Regime de Capitalização CompostaCapital aplicado Juros de cada período Valor acumulado

R$ 1.000,00 R$ 1.000 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00R$ 1.100,00 R$ 1.100 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.210,00R$ 1.210,00 R$ 1.210 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.331,00

O cálculo do montante foi assim efetuado:

1

FV = 1.000 ( 1 + 0,1 x 1)

2FV = 1.100 ( 1 + 0,1 x 1)

3FV = 1.210 ( 1 + 0,1 x 1)

Substituindo os valores pelos símbolos, temos: montante ao final do 1º período

1FV = 0PV ( 1 + i )

montante ao final do 2º período

2FV = 0PV ( 1 + i )²

montante ao final do 3º período

3FV = 0PV ( 1 + i )³ montante ao final do n-ésimo período

nFV = 0PV ni1

Portanto, a fórmula fundamental para o Cálculo do Futuro Valor:

n)iPV(1FV

Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3%a.m., pelo prazo de10 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período?



32

Na HP 12C

10

10

1,03)(5.000,00FV

0,03)1(5.000,00FV

5000 CHS PV

6.719,58R$FV 3 i10 nFV

Na calculadora cientifica1,03 yx 10Multiplicar o resultado acima por 5000

Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 200.000,00 deverá ser pago no final de um ano a taxade 5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento?

1,79585636200.000,00FV

)0,051(200.000,00FV 12

359.171,26R$FV

11.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR

ou

Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para emdois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00?

80,121838.426PV

Na HP 12 C

83842CHSFV

338.626,20R$PV 12 i8 n

PV

11.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA

1PV

FV i

1

n

1PV

FV i n

0,403883838.426xPV

ni1

FV PV

-n)i1(FVPV



33

Exemplo: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter ummontante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensa ?

130.000,00

506.736,04 i

24

1

Na HP 12C

1-1,125i 30000 CHS PV

100x0,125i 24 n

a.m12,5%i 506736,04 FVi

11.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS

i)log(1

log(FV/PV)

n

Exemplo: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital deR$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98?

Na HP 12C

06,01log

120.000,00

287.586,98log

n

FV 287.586,98

i 6

PV CHS 120000

meses15n n

11.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROSNÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO

q

p mn

Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionária.Existem dois sistemas de cálculo. Um através da Convenção Linear e outro através

da Convenção Exponencial.

Convenção Linear:

O cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização compostae , para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante.

p/qi1i1PVFV m

Exemplo: Uma dívida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 132 dias de atraso. Qualdeverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a taxaé de 12% a.m.?



34

n= 132/30 = 4,4 meses m = 4 p/q= 0,4

FV= 100.000,009 1= 0,12)4 ( 1 + 0,12 x 0,4) Na HP 12CFV = R$ 164.904,83 Retirar o C da calculadora

100000 CHS PV132 enter 30 : n12 iFV

Convenção Exponencial:

O cálculo da convenção exponencial se baseia na fórmula fundamental, ou sejainclusive no período fracionário o juro é calculado através do juro composto.

p/qm

i1PVFV

Exemplo: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial.

FV = 100.000,00 (1 + 0,12) 4,4 Na HP 12C

FV= R$ 164.649,08 Colocar o C da calculadora100000 CHS PV132 enter 30 : n12 iFV

Exercícios Propostos:

1) Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regimede juros compostos. Calcular o montante.

2) Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de6% a.m., durante dois anos em capitalização mensal?

3) Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao mês, pelo prazode 24 meses, com capitalização composta. qual o valor a ser pago no final do período?

4) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano.Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual.

5) 5-Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês.Qual foi o valor do juro composto produzido?

6) O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a jurocomposto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação.

7) Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer umarentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização

mensal.



35

8) Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquidá-lo nofinal de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que a capitalização é mensal.

9) A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36meses?

10) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido?

11) Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual ataxa mensal de juros compostos usada?

12) A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, em oitomeses, obtermos um montante de R$ 42.000,00?

13) Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro compostode 25% ao ano, em dois anos.

14) Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00 à taxa efetiva de 4,8%a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após arealização do empréstimo:a) Calculado através da convenção linear.b) Calculado através da convenção exponencial.

15) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em juro composto a taxa de 6% a.m., duranteum ano, oito meses e 12 dias, em capitalização mensal. Calcular o valor do montanteatravés da convenção linear.

16) Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação?

17) Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a 4 m 8 d, a juros de 5% a.t.,capitalizados trimestralmente :a) Pela convenção linear.b) Pela convenção exponencial.

18) Uma pessoa aplicou R$ 500,00, a 1,4% a.m. de juros compostos, obtendo como saldoR$ 615,95. Determine o prazo da aplicação.

19) O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos doisprimeiros à taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos doisúltimos à taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constituído no final de seis meses?

20) Que capital deverá ser aplicado, em juros compostos, durante 3 anos, em capitalizaçãomensal, `taxa de 7,5% a.m., para que proporcione um juro no valor de R$ 300.277,00?

21) Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro compostode 1,6% ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?

22) Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 durante umano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao trimestre, pela convençãolinear.

23) Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.



36

24) Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15%ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nosúltimos 15 anos. Determine o montante obtido.

25) Certo capital foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. As taxas de jurosforam de 1,95%, 2,24%, 2,73% e 2,08%, respectivamente. O total de rendimentoscalculado foi de R$ 2.723,14.a) Determine o capital aplicado.b) Determine a taxa acumulada no período.c) Determine o valor dos juros recebidos no terceiro mês.d) Se o capital permanecer aplicado ao quinto mês qual deve ser a taxa recebida neste

mês

26) Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25%a.m. durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a

1,65% a.m. nos próximos três meses. Calcule o total de juros apurado.

27) Certo capital foi aplicado a juros compostos de 3% a.m., durante cinco meses. Omontante de R$ 1.022,94, daí resultante, foi novamente aplicado a juros compostos,agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule:a) a taxa de juros da aplicação.b) o total de juros recebido nas duas aplicações.



37

12 TAXAS PROPORCIONAIS

Duas, ou mais taxas, são proporcionais se entre elas e os tempos a que elas sereferem existir uma mesma razão.

Exemplo: 60% a.a. 12 meses

15% a.t. 3 meses

5% a.m. 1 mês

Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempoé o mesmo. Por exemplo:

taxa anual taxa trimestral

capitalização anual capitalização trimestral

Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.

Exemplo: Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calcule omontante nas duas situações:

Durante 1 ano, à taxa de 24% a.a. ,1(0.1)1(n

niC ....................

Durante 12 meses, à taxa de 2% a.m. ,01(0.1)1(n

niC ...............

Como os dois montantes obtidos não são iguais, as taxas não sãoequivalentes, mas são proporcionais.

1

5

3

15

12

60



38

13 TAXAS EQUIVALENTES

Duas, ou mais taxas, são equivalentes quando, referindo-se a períodos ecapitalização diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final de um, certotempo, montantes iguais.

A equivalência é calculada pela seguinte fórmula:

11 Qt

QQ

ceq ii

Onde:

11 Qt

QQ

ceq ii

ci = taxa conhecida.

eqi = taxa a ser calculada.

QQ = tempo do período da taxa a ser calculada.Qt = tempo da taxa conhecida, em relação a k.

Na realidade eqi nada mais é do que o valor do juro calculado sobre o capital unitário

(1,00), no prazo estipulado.

Para as frações do ano, no regime de capitalização a juros compostos, as relações são:

(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1+is)2 = (1+ ia)

Exemplo:

Taxa Conhecida Taxa equivalente para:a) 79,5856% ao ano 1 mêsb) 28,59% ao trimestre 1 semestrec) 2,5 % ao mês 105 diasd) 0,5% ao dia 1 ano

e) 25% (ano comercial)

1 ano exato ( base 365

dias)

Solução algébrica Solução HP- 12C

a) 1001795856,01i 360

30

eq

100 CHS PV

1001795856,1i...08333,0

eq 79,5856 i

1001....049997,1i eq 30 enter 360 : n

100......049997,0i eq FV 100 -

mêsao%5i eq



39

b) 10012859,01i 90

180

eq

100 CHS PV

10012859,1i 2eq 28,59 i

1001653539,1i eq 180 enter 90 : n

semestreao%35,56i eq FV 100 -

c) 1001025,01i 30

105

eq

100 CHS PV

1001025,1i

5,3

eq

2,5 i r

1001090269,1i eq 105 enter 30 : n

100090269,0i eq FV 100 -

períodoao%0269,9i eq

d) 1001005,01i 1

360

eq

100 CHS PV

1001005,1i360

eq 5 i

1001022575,6i eq 360 n

100022575,5i eq FV 100 -

502,26i eq % ao ano

e)

100125,01i 360

365

eq

100 CHS PV

100125,1i013889,1

eq 25 i

100125388,1i eq 365 enter 360 : n

10025388,0i eq FV 100 -

25,388i eq % ao ano civil



40

14 TAXA NOMINAL

A taxa nominal é uma taxa referencial em que os juros são capitalizados(incorporados ao principal) mais de uma vez no período a que a taxa se refere. A taxa de juros é nominal quando a sua unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dosperíodos de capitalização.

Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, capitalizadosemestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com o períodoa que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal.

Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, devemoscalcular a taxa efetiva da operação.

Se, por exemplo, a taxa de capitalização é de 10% a.m., a taxa nominal será de:10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente.

Exemplo 1: Sendo 12% a.m. capitalizada diariamente a taxa nominal de juro, qual a taxa de

capitalização?Solução:

a.d. %4,030

a.m. %12r



41

15 TAXA EFETIVA (i)

Taxa efetiva, como já é a taxa efetivamente paga. É a taxa de capitalização ou toda equalquer taxa equivalente a esta.

Exemplo: Um banco oferece empréstimos a taxa de 72% a.a. em capitalização mensal(Taxa Nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco?

Solução:

i = 0,72 / 12 = 0,06 ou 6% a.m. (taxa efetiva de capitalização)

100106,01i 1

12

eq

100 CHS PV

100106,1i12

eq 6 i

1001012196,2i eq 12 n

100012196,1i eq FV 100 -

101,2196i eq % ao ano


1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:a) 1,8% a.m. b) 2,5% a.b. c) 4,5%a.t. d) 18% a.s

2) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:a) 75% a.a. b) 50% a.s. c) 21% a.t. d) 6,5% a.b.e) 0,12% a.d.

3) Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas:a) 0,14% a.d. b) 1,6% a.m. c) 2,7% a.b. d) 4,1% a.t.e) 96% a.a.

4) Sendo 5% a.m. a taxa efetiva de juro, determinar a taxa para:a) 3 meses. b) 3 dias.c) 42 dias. d) um ano. e) 15 dias.

5) Um banco oferece a taxa de 54% a.a. para aplicações em CDBs. Pergunta-se, qual ataxa para:a) 32 dias? b) 47 dias?c) um dia? d) um mês? e) 192 dias?

6) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a.:a) capitalizada mensalmente. b) capitalizada diariamente.

7) Aplicando-se R$ 50.000,00 no regime de juro composto, durante um ano a taxa de108% a.a., em capitalização mensal, qual o valor do montante no final do ano?

8) Um banco oferece empréstimos a taxa de 42% a.a. capitalizada trimestralmente. Se obanco tivesse que apresentar o contrato em forma de taxa efetiva, qual deveria ser ataxa efetiva:a) trimestral? b) mensal? c) anual?



42

9) Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.?

10) Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.?

11) Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais.a) 24% a.a. com capitalização diária.b) 24% a.a. com capitalização mensal.c) 24% a.a. com capitalização bimestral.d) 24% a.a. com capitalização semestral.



43

16 TAXA DE JURO REAL (ir )

Taxa de juro real é a taxa efetiva ganha em cima do índice inflacionário, ou seja , aapuração do ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação. Na taxa real se leva emconsideração a inflação do período.

O juro r eal écalcu lado s obr e o capital co rrigi do .

Sendo:

api = taxa aparente ( taxa efetiva)

ii = taxa da inflação

r i = taxa de ganho real

Na capitalização composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguintefórmula:

1001i1

i1i

i

ap

r

Exemplo 1: Qual o rendimento da poupança se a TR do mês foi 0,93% e a taxa de juro realé de 0,5%a.m.?

10010,0051

i10,93

ap

1

0,0051

i1

1000,93 ap

005,1

i110093,0

ap

api1005,10093,1

api101435,1

10001435,0iap

api = 1,435% a.m.

Exemplo 2: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR de mês foi de 1,2%, quala taxa de ganho real?

1001012,01

03224,01ir

1001012,1

03224,1ir

100102,1ir 10002,0ir

%2i r a.m.



44


1) Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período,a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?

2) A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se ataxa de inflação resultar em 15% no mesmo período?

3) Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se:a) A inflação mensal for de 6%?b) A inflação mensal for de 4,8%?

4) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa deinflação, nesse período foi de 15%.

5) Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta depoupança por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,5% a.m. +TR? (considere TR do mês 0,45%).

6) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflaçãonesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual.

7) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano.Qual a taxa deinflação?



45

17 TAXA ACUMULADA

Taxa acumulada é aquela resultante ao final de n períodos. Se a taxa for constanteem todos os períodos, então a taxa acumulada será iacumulada=(1+ido período)

n. Entretanto pode-se calcular a taxa de juros acumulada quando ela não é constante.

iacumulada = [(1 + i1) x (1 + i2) x ... x (1 + in)- 1] x 100

Exemplos:

1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%,respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período?

i1=0,12 e i2=0,10iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2%

2. Em três anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada noperíodo?

i1=0,07 i2=0,08 e i3=0,05iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1iacumulada= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1

iacumulada = 1,2134 - 1iacumulada = 0,2134iacumulada = 21,34%


1) A inflação nos últimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao mês,respectivamente. Determine a taxa acumulada no período.

2) Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve,respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumentono quadrimestre?

3) Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês,1,17 no segundo e 1,23% no terceiro mês do ano.



46

18 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

Supondo uma taxa nominal de 12% a.a. vamos determinar as taxas efetivas com asseguintes hipóteses de capitalização:

CapitalizaçãoNº. períodos no ano

n

Taxa efetiva doperíodo

ni

12,0

Taxa efetiva anualie = (1 + i)n – 1

semestral 2trimestral 4mensal 12diária 360

horária 8.640

Podemos observar que quanto maior o número de capitalizações dentro do tempo,maior é a taxa efetiva. Porém, pode-se observar também, que a diferença entre as taxascom capitalização diária e capitalização horária é muito pequena.

Quando o número de capitalizações tende ao infinito o cálculo da taxa efetiva se dáatravés da seguinte fórmula:

1 ni ei onde:

i = taxa efetivae = 2,7182818 (base dos logaritmos naturais)in = taxa nominal

Exemplo 1: Qual A taxa efetiva anual equivalente a 10%a.a. com capitalização contínua?

i = e0,1 – 1i = 2,71828180,1 – 1i = 1,105171 – 1 = 0,105171r = 10,5171%a.a.

A capitalização contínua proporciona o maior montante possível no final do tempo doinvestimento, para uma taxa nominal anual. Seu cálculo é realizado através da seguintefórmula:

mni ePV FV

onde:m = número de períodos referentes a taxa nominal. (Se a taxa nominal for expressaanualmente m representa número de anos, se for expressa mensalmente, m representanúmero de meses e assim sucessivamente).

Exemplo2: Calcular o montante constituído com um investimento de R$ 5.000,00 por doisanos a uma taxa de 10% a.s. capitalizada continuamente.

Solução:m = 4 (número de semestres)FV = 5.000,00 e0,1 4



47

FV = 5.000,00 2,71828180,4 FV = 5.000,00 1,491825 = R$ 7.459,12

Exemplo 3: Se um investimento de R$ 20.000,00 for realizado a uma taxa nominal de 5%a.m. capitalizada continuamente, qual o montante acumulado no final de 5 anos?Solução:m = 60 (número de meses)FV = 20.000,00 e0,05 60 FV = 20.000,00 2,71828183 FV = 20.000,00 20,085536 = R$ 401.710,73


1) Calcular a taxa efetiva anual equivalente as seguintes taxas nominais capitalizadas

continuamente:a) 15% a.a. b) 36% a.a. c) 24% a.s. d) 2% a.m.

2) Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante oito meses a juros compostos à taxa de36% a.a., capitalizados mensalmente. Qual o montante?

3) Qual o montante de uma aplicação de R$ 6.000,00 durante três anos, à taxa de 15%a.a., capitalizados continuamente?

4) Qual o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 durante oito meses, à taxa de 2%a.m., capitalizados continuamente?

5) Qual a taxa anual de juros compostos equivalente à taxa de 15% a.a, capitalizadoscontinuamente?

6) O valor de R$ 15.000,00 ficou aplicado durante 4 anos. Calcular o valor acumulado nofinal dos 4 anos se for considerada uma taxa nominal de 28% a.a. capitalizadacontinuamente.

7) Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 48% a.a.:a) capitalizada mensalmente. b) capitalizada diariamente.c) capitalizada continuamente.



48

19 DESCONTO COMPOSTO

O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento aoantecipar o pagamento de um vencimento.

Emprega-se o desconto composto para operações a longo prazo, já que a utilizaçãodo desconto simples em períodos longos pode resultar em valores sem nexo.

Assim como no caso de descontos simples, em descontos compostos temos doistipos de descontos, desconto racional e comercial. O desconto comercial praticamente não éutilizado, logo ficaremos restritos ao desconto racional.

A = N (1+i)-n ouni

N A

)1(

A = valor atual racional ou valor descontado racional valor líquido pago ou

recebido antes do vencimento

N = valor nominal do título valor indicado no título (importância a ser paga no dia do

vencimento)i = taxa de desconton = tempo período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seuvencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último)

Exemplo 1: Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antesde seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês.

N = 80.000 n = 4 meses i = 2% a.m. = 0,02 a.m. A = N (1+i)-n Na HP 12C

A = 80.000 (1+0,02)-4 80000 FV A= 73.907,63 4 n

2 i

PV CHS

O valor atual do título é de R$ 73.907,63

Exemplo 2: Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?

d =? N = 50.000 n = 3 meses i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.

Como d = N – A, A = N (1+i)-n Na HP 12C A = 50.000 (1+0,025)-3 50000 FV A = 46.429,97 3 n

2,5 id = 50.000 - 46.429,97 PVd = 3.570,03 50000 +

O valor do desconto é de R$ 3.570,03



49


1) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 112.000,00, com vencimentopara 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente.

2) Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 84%a.a. capitalizado mensalmente a taxa nominal de juro?

3) Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seuvencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% a.a., capitalizados mensalmente. Qualfoi o desconto concedido?

4) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 39.954 comovalor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,qual foi a taxa de juro mensal adotada?

5) Um título no valor nominal de R$ 75.000 com vencimento para 5 meses é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado éde 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título?

6) Um comerciante, devedor de um título de R$ 400.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos.

7) Uma empresa devedora de dois títulos, um de valor R$ 30.000,00 vencível no final de129 dias e outro de valor de R$ 42.000,00 vencível no final de 171 dias, pretendeliquidá-los imediatamente. Se o credor concorda com a transação a uma taxa de 48%a.a. capitalizada mensalmente, qual o valor atual dos dois títulos?

8) Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 12 meses, novalor de R$ 8.000,00, e o segundo em 18 meses no valor de R$ 10.000,00. Por quantodevem ser adquiridos hoje, considerando uma taxa efetiva de juros de 2,55% a.m.?

9) Uma Pessoa tem uma nota promissória a receber de valor nominal R$12.000,00, quevencerá em dois anos. Além disso, possui R$ 18.000,00 hoje. Que irá aplicar à taxa de2% a.m., durante dois anos. Considerando a taxa de juros vigente no mercado, é de 2%a.m., pergunta-se:a) Quanto a pessoa possui em dinheiro na data de hoje?b) Quanto possuíra daqui a um ano?c) Quanto possuirá daqui a dois anos?



50

20 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS

O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento emoutras formas equivalentes, para poder compará-las e decidir sobre a melhor alternativa.

Dois capitais são equivalentes se, em uma mesma data t, seus valores são iguais.Os conceitos aplicados na equivalência de capitais são os mesmos de juros simples.

Exemplo 1: A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., R$ 1.500,00 daqui a 3 meses,equivalem a quanto, hoje?

Fv = 1.500 C = ? n = 3 meses i = 2% a.m. = 0,02 a.m.Fv = C (1+i)n 1500= C (1+0,2)3

C= 3)2,01(

1500

C = 1.413,48.

Assim, uma dívida de R$ 1.500,00 daqui a 3 meses é o mesmo que umadívida de R$ 1.413,00 hoje, já que, dispondo deste valor, pode-se aplicá-lo e obter,daqui a 3 meses os R$1.500,00.

Exemplo 2: Uma pessoa tem hoje R$ 700,00 e mais uma nota promissória de R$500,00 para receber em 5 meses. Se o dinheiro pode ser remunerado à uma taxaefetiva de 3,7% a.m, pede-se que valor essa pessoa pode contar nas datas:a) de hoje b) no final de 5 meses c) no final de 3 mesesdata focal: di a de ho je data focal: mês cin co data fo cal: mês três

FV=700 + 5)037,01(500

FV= 700(1 + 0,037)5 + 500 FV=700(1 + 0,037)3 + 2)037,01

500


1) Uma empresa devedora de um título de R$ 15.000,00 vencível no final de 6 meses,propõe a substituição deste título por dois novos títulos, de mesmo valor nominal,vencíveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se transação é realizada a taxa de12% a.a. em capitalização mensal, qual o valor dos novos títulos?

2) Uma empresa tomou emprestado um empréstimo de R$ 100.000,00 por dois anos a jurode 24% a.a. capitalizado trimestralmente. Passado 6 meses da realização doempréstimo a empresa propõe ao credor a liquidação da dívida mediante doispagamentos iguais, sendo um no ato e outro no final de um ano a partir daquela data.Sabendo-se que o credor concorda com a transação concedendo um desconto a taxade 20% a.a capitalizada trimestralmente, qual o valor dos pagamentos?

3) Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 50.000 vence daqui a um mês. Odevedor propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deveser o valor nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, àtaxa de 2% ao mês?

4) Uma pessoa tem uma dívida de R$ 60.000 para daqui a 2 meses e outra de R$ 80.000para daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de 3% ao mês, parafazer frente a essas dívidas?



51

5) Resolva o problema anterior considerando a taxa de 1% a.m.

6) Uma empresa deve pagar 3 títulos. O primeiro de R$ 15.000 exigível em 1 ano; osegundo de R$ 30.000 exigível em 2 anos e o terceiro de $ 25.000 exigível em 3 anos. Aempresa pretende substituir estes 3 títulos por um único título de $ 45.676,21. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 5%, o prazo do novotítulo é de (aproximadamente)... (Questão do concurso para Controlador da ArrecadaçãoFederal).a) 12 meses b)13 meses c)14 meses d)15 meses

7) A loja BOM SOM vende um conjunto de aparelhos de som em duas parcelas: R$ 20.000de entrada e R$ 40.000 após 5 meses. Francisco propõe adiar a segunda parcela por mais 3 meses. Considerando que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime éde capitalização composta, Francisco deverá pagar a mais na entrada a quantia de:(desprezar os centavos da resposta):a) R$ 4.267,00 b) R$ 4.553,00 c)R$ 4.674,00 d) R$6.305,00

8) Uma casa é vendida à vista por R$ 318.000 ou a prazo por R$ 90.000 de entrada, mais3 prestações mensais e iguais de R$ 80.000 cada uma, vencendo a primeira um mêsapós a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seudinheiro à taxa de 3% ao mês?

9) Ernesto emprestou determinada quantia a José Luiz, que se comprometeu a pagá-lo emdois pagamentos iguais de R$ 800,00 ao final do terceiro e sétimo meses doempréstimo. Posteriormente, o devedor propôs pagar as prestações ao final do quinto esexto meses. Sabendo que o credor trabalha com taxas de juros compostos de 8% a.m.,aceitará a proposta?



52

21 RENDAS

As operações até aqui estudadas compreenderam casos de pagamentos ourecebimentos geralmente em parcela única. Agora vamos estudar os casos de depósitos ouprestações sucessivas, destinados a pagar uma dívida ou a formar um capital.

O processo de realização de depósitos sucessivos com o objetivo de formar umfundo, um capital ou uma poupança é chamado de capitalização. Ao processo depagamento de uma dívida dá-se o nome de amortização.

21.1 CONCEITO

Renda é uma sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/oupagamentos, em épocas diferentes, destinados a formar um capital (capitalização) ou apagar (ou receber) uma dívida (amortização).

21.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS

Vamos classificar uma renda ou série uniforme de acordo com quatro parâmetros: oprazo, o valor, a forma e o período a que se refere a renda.

22.2.1 Quanto ao prazo

a) Temporária, quando tem um número limitado de pagamentosb) Infinita, quando tem um número ilimitado de pagamentos

21.2.2 Quanto ao valor

a) Fixos, quando todos os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitostêm valores iguais.

b) Variáveis, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos nãotêm todos os valores iguais.

21.2.3 Quanto ao vencimento do primeiro pagamento

a) Imediata: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depósito

ocorre no primeiro período.b) Diferida: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depósito

não ocorre no primeiro período, havendo, portanto um prazo de carência.

21.2.4 Quanto à periodicidadea) Periódicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos

ocorrem em intervalos de tempo iguais.b) Não Periódicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou

depósitos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.

21.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos

a) Postecipadas, quando a ocorrência é no final do período.



53

b) Antecipadas, quando o primeiro pagamento ocorre no tempo “0” da série depagamentos.

21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA

O valor atual ou presente valor de uma renda é igual à soma dos valores atuais emtermos de pagamentos.

21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA na

O valor atual de uma renda é a soma dos valores atuais de seus pagamentos. Naprática, no entanto, fica muito difícil, a cada operação, ter que calcular os valores atuais dasparcelas individualmente. Para facilitar, podemos utilizar um fator específico. O fator é

representado por na .Este fator é calculado através da fórmula:

i

ia

n

n

11

Onde: n = número de períodos i= taxa

Exemplo: Qual o valor atual de uma renda unitária imediata, com 10 pagamentos, sendo

5% a.p. a taxa de juro?

05,0

05,01110

12

a Na HP 12 C:

721735,712 a 1 CHS PMT5 i10 nPV

21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)

21.5.1 Imediata ou Postecipada

na PMT PV . ou PMT PV

i

in

11

Exemplo 1: O preço de um carro é R$ 17.706,00. Um comprador dá 40% de entrada e orestante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação

mensal.17706 100% Na HP 12C

x 40% 17706 enter



54

x = 7.082,40 40 % -17.706,00 – 7.082,40Valor a ser financiado R$10.623,60

10.623,60 = PMT x 7,721735 10623,60 CHS PVPMT = 10.623,60/ 7,721735 10 nPMT = R$ 1.375,81 5 i

PMT

O valor da prestação é R$ 1.375,805

Exemplo 2: Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em12 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma?

PV = 350 x 10,257765 Na HP 12C

PV = R$ 3.590,21 350 CHS PMT2,5 i12 nPV

Exemplo 3: Quantas prestações de mensais de R$ 80,00 cada uma são suficientes paraliquidar um financiamento de R$ 361,20, à taxa de 3,5% a.m.?

361,20 = 80 x na Na HP 12C

na = 361,20/ 80 80 CHS PMT

na = 4,515000 361,2 PVn = 5 3,5 i

n

21.5.2 Antecipada

11 na PMT PV ou

i

i PMT PV

n 111

1

Exemplo: Um aparelho eletrônico foi comprado em quatro prestações mensais de R$200,00, no início de cada mês, à taxa de 2% a.m.. Calcular o valor a vista do aparelho.

PV = 200 ( 1 + 2,883883) Na HP 12CPV = 200 x 3,883883 g begPV = 776,78 200 CHS PMT

2 i4 nPV

21.5.3 Diferida

m

n ia PMT PV 1.



55

Onde m representa o número de períodos da carência.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestaçõesmensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês efoi concedido um prazo de carência de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se:Qual o valor da prestação?

PMT 50000

02,0

02,01124

-30,021

Na HP 12C

PMT 50000 18,913926 x 0,942322 50000 CHS PVPMT = 50000/ 17,823015 3 n

PMT = R$ 2.805,36 2 i FVCHS PV0 FV24 nPMT


1) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensaisde R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias da liberação dos recursos, sendode 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.

2) Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor daprestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sementrada, considerando a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?

3) Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81;considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidadede prestações deste financiamento.

4) Calcular o valor da prestação de um empréstimo de R$ 25.000,00 a ser liquidado em 12prestações iguais mensais e consecutivas, ao final de cada mês, à taxa de 4% a.m..

5) Antônio adquiriu um microcomputador para pagamento, sem entrada, em 5 prestaçõesmensais iguais e sucessivas de R$ 345,00. Qual foi o valor a vista da compraconsiderando a taxa mensal de 2%?

6) Qual o valor da prestação de um bem que está sendo anunciado para pagamento em 1+ 5 prestações mensais iguais, sabendo que a taxa praticada é de 36% a.a. (nominal) eo valor a vista do aparelho é de R$ 450,00?

7) Certa impressora está sendo vendida a vista por R$ 600,00. A loja aceita vendê-la aprazo, sem entrada, em prestações mensais de R$ 98,13, garantindo taxa de 3,5% a.m..

O número de prestações seria, segundo o vendedor, igual a 15. O comprador,desconfiado de que este número está elevado, recorreu a seus conhecimentos; auxilie-o, calculando o número de prestações.



56

8) Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em 6 prestações mensaisde R$ 15.000,00 cada, com três meses de carência. Se a taxa cobrada nofinanciamento é de 8% a.m, qual o valor da máquina à vista?

9) Considerando as duas opções a seguir, para aquisição de um imóvel, dizer qual dasduas é a mais vantajosa para o comprador; e qual a diferença entre ambas: (a) a vista,por R$ 8.000,00, ou (b) a prazo em seis prestações iguais e sucessivas de R$ 1.500,00,sem entrada, a serem pagas ao final de cada mês, à taxa nominal de 36%a.a..

10) Calcular a taxa mensal percentual que está sendo praticada no caso de um bemoferecido a vista por R$ 1.500,00 e, a prazo, em 10 prestações mensais de R$ 167,00sem entrada?

11) Qual o valor a vista de um aparelho de som que está sendo oferecido para pagamentoem 5 prestações iguais de R$ 300,00, à taxa de 4,5% a.m., sendo a primeira no ato dacompra?

12) Qual o valor financiado de um bem a ser pago em 10 prestações mensais iguais de R$500,00 cuja primeira prestação vence daqui 90 dias, à taxa de 4%a.m?

13) Um automóvel 0 km é vendido à vista por R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entradamais 24 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juroscompostos do financiamento for de 1,8% a.m.?

14) Um equipamento de som está sendo vendido em uma loja por R$ 1.020,00 parapagamento à vista. Um comprador pode pedir um financiamento pelo plano (1+1)pagamentos iguais, isto é, o primeiro pagamento deve ser feito no ato da compra e osegundo, um mês após aquela data. Se a taxa de juros praticada pela empresa que irá

financiar a compra for de 4% ao mês, qual o valor de cada prestação?

15) Um banco concede um empréstimo a uma pessoa cobrando 10 prestações mensais deR$ 700,00 cada uma, sem entrada. Qual o valor emprestado, sabendo-se que o bancocobra juros compostos, à taxa de 4% a.m.?

16) Um terreno é vendido por R$ 200.000,00 a vista, ou por 40% de entrada e o restante em12 prestações mensais. Para uma taxa de juros de 2,5% a.m., determinar o valor decada prestações mensais.

17) Uma revendedora de carros coloca a venda um carro por R$ 25.000,00 ou com umaentrada de 20% e o restante financiado em 12 prestações mensais iguais, a taxa

nominal de 84%a.a.. Qual o valor da prestação mensal?

18) Uma empresa toma um empréstimo para ser amortizado em 24 prestações mensais deR$ 50.000,00 cada, com um ano de carência. Calcular o valor do empréstimo, se a taxade juro do financiamento é de 6% a.m.?

19) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 720.000,00, com carência de um ano, paraser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Calcular o valor das prestações, se ataxa do financiamento é de 1,5%a.m..

20) Ao comprar uma máquina uma empresa paga R$ 10.000,00 no ato e financia o restanteem 8 prestações trimestrais de R$ 5.000,00 cada. Se a taxa de financiamento é de9%a.t., qual o valor da máquina à vista?



57

21) Uma empresa compra uma máquina para ser paga em 6 prestações mensais de R$3.000,00 cada com 3 meses de carência. Sendo 8%a.m. a taxa do financiamento, qual ovalor da máquina à vista?

22) Que empréstimo pode ser amortizado em 15 prestações mensais de R$ 20,00 cada se ataxa de financiamento é de 5% a.m.?

23) Uma casa comercial vende uma mercadoria em 4 pagamentos mensais de R$ 80,00cada, sem entrada. Qual o valor à vista se a taxa do financiamento é de 8% a.m.?

24) Uma casa comercial vende uma mercadoria em 4 pagamentos mensais de R$ 80,00cada, sendo o primeiro no ato (1+3). Qual o valor à vista se a taxa do financiamento éde 8% a.m.?

25) Uma casa comercial oferece uma mercadoria em (1+4) vezes de R$ 120,00. Qual é opreço à vista se a taxa cobrada no financiamento é de 4% a.m.?

21.6 MONTANTE DE UMA RENDA

Montante ou futuro valor de uma renda é a soma do montante dos depósitos,montante este calculado a partir da data deste depósito a data do último depósito.

21.6.1. De uma Renda Unitária Imediata

i

i S

n

n

11

Exemplo: Qual o montante ou futuro valor de uma renda unitária imediata com dozedepósitos, sendo 5% a.p. a taxa de juro?

05,0

105,0112

Sn Na HP 12C

917127,15Sn 1 CHS PMT12 n5 iFV

Sn representa o fator de multiplicação para cálculo do Futuro Valor de uma rendauniforme.



58

21.6.2. De uma Renda Imediata

nSPMTFV ou PMTFV

i

in

11

Obs.: Ao efetuarmos o cálculo do (PMT . Sn) estaremos substituindo todos os n depósitos,por um único valor com vencimento na data do último depósito.

Exemplo 1: Determinar o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais esucessivas, no valor de R$ 1.600,00, à taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira é aplicadano final do primeiro mês.

FV= 1600 x S12 Na HP 12CFV = 1600 x 21,412312 1600 CHS PMT

FV = R$ 34.259,70 18 n2 iFV

Exemplo : Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000,00,ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é 4% e que oprimeiro depósito é feito no final do primeiro mês?12000 = PMT x S12 Na HP 12C12000 = PMT x 15,025805 12000 CHS FVPMT = 12000/ 15,025805 12 nPMT = R$ 798,63 4 i

PMT

21.6.3 De uma Renda Antecipada

nn i1SPMTFV

Exemplo 1: Depositando-se R$ 500,00 no início de cada mês, durante dois anos, numainstituição financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da contano final dos dois anos?

500

FV = 500 x S12x (1+ 0,04)¹ Na HP 12CFV = 500 x 39,082604 x 1,04 g begFV = R$ 2.0322,95 500 CHS PMT

4 i24 nFV



59

Exemplo 2: Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe adepositar, no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numainstituição financeira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da contano final do quinto ano, a partir do primeiro depósito?

FV = 200 x S36x 250,031 Na HP 12CFV = 200 x 63,275944 x 2,093778 g begFV = R$ 26.497,16 200 CHS PMT

3 i36 nFV


1) Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de poupança. Após 12meses este poupador teve que interromper os depósitos, mas não efetuou nenhumsaque, e gostaria de saber quanto terá após 6 meses, considerando-se que os valoresdos depósitos eram de R$ 200,00 e que a taxa média de juros para os primeiros 12meses era de 1% ao mês e que para os próximos 6 meses estimou-se uma taxa de0,8% ao mês. Quanto nosso amigo poupador terá após todo o período?

2) Se uma pessoa depositar mensalmente R$ 50,00 em um banco, a começar hoje, quantoela terá acumulado ao final de 5 anos? (Taxa prevista de 0,78% ao mês)

3) Qual o montante que um poupador acumula em 12 meses, no caso de ele aplicar aquantia de R$ 640,00 à taxa de 3,8% a.m. ao final de cada mês?

4) Um banco remunera suas aplicações a 2,1% a.m. Quanto deverá ser depositado, a partir de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de R$ 14.300,00 seja atingido?

5) Uma pessoa depositou mensalmente a quantia de R$ 100,00 numa caderneta depoupança, à taxa de 3% ao mês. Os depósitos foram fitos no último dia útil de cada mêse o juro foi pago no primeiro dia útil de cada mês, incidindo sobre o montante do iníciodo mês anterior. O primeiro depósito foi feito em 31 de janeiro e não foram feitasretiradas de capital. Qual o montante em 01 de outubro?

6) Em quanto estará, no final de quatro anos, um fundo constituído por aplicações mensaisregulares de R$ 600,00, à taxa de 3,5% a.m., feitas no início de cada mês?

7) Certa pessoa deposita R$ 2.000,00 no final de cada mês, numa instituição financeira.Qual o saldo da conta no final de um ano, se a taxa efetiva de juro é de 4% a.m.?

8) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se propõe a depositar,no início de cada mês, durante três anos consecutivos, R$ 200,00, numa instituiçãofinanceira que credita juro mensalmente à taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta nofinal do quinto ano, a partir do primeiro depósito?

9) Qual o valor do depósito a ser feito durante cinco anos, no início de cada mês, para quese possa dispor, ao final desse tempo, de R$ 12.000,00, sabendo que a taxa deaplicação é de 2% a.m.?



60

10) Seu João depositou R$ 210,00 no final de cada mês, durante três anos consecutivos,numa instituição financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de juros foi 2%a.m., qual o saldo da conta no final dos três anos?

11) Que importância deverá ser aplicada mensalmente, a partir desta data, para se obter nofinal de 24 meses o montante de R$ 100.000,00, à taxa anual equivalente de 34,489%?

12) Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$100,00 durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final do terceiroano, se a taxa de juro é de 4% a.m.?

13) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, aquantia de R$100,00. Calcule o montante dessa renda, sabendo que a financeira paga juro de 2% ao mês, capitalizado mensalmente.

14) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituiçãofinanceira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizado bimestralmente, de modo que com 8depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000. Calcule a importância.

15) Joaquim está depositando em uma conta de poupança R$ 100 por mês. Quantotempo Joaquim levará para obter o montante de R$ 50.000, em prestaçõesmensais antecipadas, sabendo que o banco paga um juro de 1,5% ao mês?

16) Para constituir uma aposentadoria, uma pessoa propõe depositar, no final de cada mês,R$ 500,00 durante 7 anos consecutivos. Que importância poderá retirar, mensalmente,a partir do final do primeiro mês do 8º. ano, durante também 7 anos, se a taxa de juro é2% a.m.?

17) Com a finalidade de constituir um fundo de reserva, uma pessoa deposita no início decada mês R$ 250,00, durante três anos consecutivos, a seguir R$ 380,00 no final decada mês durante mais dois anos. Qual o saldo da conta no final do 6º ano, sendo 2%a.m. a taxa de juro?

18) Seu Alípio depositou R$ 100,00 no início de cada mês, durante três anos consecutivos,constituindo um montante de R$ 6.517,42. Quanto deveria ter depositado no final decada mês, durante os três anos, para que o montante constituído fosse R$ 10.000,00?

19) Qual o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais de R$ 2.500,00, àtaxa de 3% ao mês?

20) Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?

21) Pretendo depositar R$ 1.000,00 mensalmente, a partir de hoje, à taxa de 1,5% ao mês.Daqui a quanto tempo conseguirei um montante de R$ 18.201,00?

22) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, paraque se tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos de rendaimediata e antecipada?



61

22 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto (até 1 ano), médio (até 3anos) ou longo prazo.

Nos empréstimos a curto e médio prazo é usual a cobrança de juro simples e há trêsformas do devedor ou mutuário resgatar sua dívida.

a) Pagando os juros e o capital no vencimentob) Pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dívida, e restituindo

o capital no vencimento.c) Pagando os juros e o capital por meio de prestações.Nos empréstimos em longo prazo o devedor ou mutuário também tem três formas de

resgatar sua dívida:a) Pagando os juros e o principal no vencimentob) Pagando os juros periodicamente e restituindo o capital no vencimento.c) Pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital

Cada uma destas formas de pagamento constitui um sistema.

Nos sistemas de amortização de empréstimos em longo prazo, regra geral,os juros são sempre cobrados sobre o saldo devedor, o que significa considerar apenas o regime de juro composto. Deste modo, o não pagamento de umaprestação, isto é, o não pagamento de juro em um dado período redunda em umsaldo devedor maior, já que está sendo calculado juro sobre juro.

Sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do valor relativa aos juros, que são calculados sobre o saldo devedor, e outra parte chamada amortização, quefaz com que o saldo devedor diminua.

Os principais sistemas de amortização são: Sistema Americano (SA) Sistema Francês de Amortização (SF) ou Sistema de Amortização Progressiva

ou Sistema Price Sistema de Amortização Constante (SAC) Sistema de Amortização Misto Sistema Alemão Empréstimo com correção monetária

22.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE )

Este sistema foi usado inicialmente na França, no século XIX. É o sistema de amortizaçãomais utilizado no comércio em geral nas compras à prazo de bens de consumo ( com crédito

direto ao consumidor). A principal característica desse sistema de amortização é que as prestações são iguaise periódicas, sendo a periodicidade normalmente mensal. Os juros de cada período sãocalculados sobre o saldo devedor do período anterior e, portanto decrescentes. Dessa forma asparcelas de amortização são crescentes.

O sistema também é conhecido com Sistema ou Tabela Price, devido ao economistaRichard Price que incorporou o juro composto no sistema, no século XVIII. Sistema ou TabelaPrice é um caso particular do Sistema Francês, pois a taxa de juros é apresentada em taxasanuais nominais e as prestações mensais são calculadas com as correspondentes taxa efetivasmensais.

Esse sistema de amortização é aplicado nas operações de crédito direto ao consumidor,nas operações de leasing e nos crediários das lojas comerciais.

Como essas prestações são constantes, à medida que vão sendo pagas, a dívidadiminui e os juros tornam-se menores, enquanto as cotas de amortização tornam-seautomaticamente maiores.Cada prestação é constante e contém duas parcelas: juroscalculados sobre o último saldo devedor e amortização .



62

Exemplo : Um amigo lhe empresta R$ 1.000,00, que devem ser pagos em 5 parcelas. O sistemade amortização escolhido foi o Price, e a taxa acertada foi de 10% a.m. Construir uma planilha.

1º Calcular o valor da prestação:1.000 =PMT . 3,790787PMT = 1.000/ 3,790787PMT = R$263,79

n Prestação Juros AmortizaçãoSaldo

devedor

0 1.000,001 263,79 100,00 163,79 836,202 263,79 83,62 180,18 656,023 263,79 65,60 198,19 457,834 263,79 45,78 218,01 239,825 263,79 23,80 239,82 0,00

Cálculo dos juros:Juros para o 1º período: J = 1.000,00 x 0,1x 1 = 100,00Juros para o 2º período: J = 836,20 x 0,1x 1 = 83,62Juros para o 3º período: J = 656,02 x 0,1x 1 = 65,60Juros para o 4º período: J = 457,83 x 0,1x 1 = 45,78

Juros para o 5º período: J = 239,82 x 0,1x 1 = 23,80

Cálculo da amortização:Parcela de amortização para o 1º período: Amort. = 263,79 -100,00 = 163,79Parcela de amortização para o 2º período: Amort. = 263,79 -83,62= 180,18Parcela de amortização para o 3º período: Amort. = 263,79 -65,60= 198,19Parcela de amortização para o 4º período: Amort. = 263,79 -45,78= 218,01Parcela de amortização para o 5º período: Amort. = 263,79 -23,80= 239,82

Cálculo do saldo devedor:Saldo devedor para o 1º período: SD= 1000,00 - 163,79 =836,20Saldo devedor para o 2º período: SD = 836,20 - 180,18=656,02Saldo devedor para o 3º período: SD = 656,02 -198,19=457,83Saldo devedor para o 4º período: SD = 457,83 - 218,01=239,82Saldo devedor para o 5º período: SD = 239,82 - 239,82= 0

Na HP 12C1000 CHS PV 5 n 10 i PMT 263,79

1 f amort 100 x><y 163,79 RCL PV -836,21 f amort 83,62 x><y 180,18 RCL PV 656,021 f amort 65,60 x><y 198,19 RCL PV 457,831 f amort 45,78 x><y 218,01 RCL PV 239,82

1 f amort 23,80 x><y 239,82 RCL PV 0,00

prestações jurosamortização=prest. - juros

saldo devedor =saldo dev. ant. -amort.



63


1) Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em quatro prestações semestrais àtaxa de juros de 5% a.s.. Obtenha a planilha pelo sistema Price.

n prestações juros amortização saldo devedor

2) Um empréstimo de R$ 10.000,000 foi contratado para ser resgatado em 12 prestaçõesmensais iguais. Sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 5% a.m., pede-se:a) Qual o valor das prestações mensais?b) Qual o valor dos juros pagos na primeira prestação?

c) Qual o valor do capital amortizado na primeira prestação?d)Qual o saldo devedor do empréstimo imediatamente após o pagamento da primeiraprestação?

22.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)

O sistema de amortização constante, também chamado de sistema Hamburguês, foiintroduzido entre nós, a partir de 1971, pelo Sistema Financeiro de Habitação.

Esse sistema de amortização é utilizado principalmente em repasses de recursos doGoverno, notadamente BNDES e, em financiamentos imobiliários (Sistema Financeiro deHabitação).

Neste sistema o mutuário paga a dívida em prestações periódicas e imediatas, queenglobam juros e amortização. A diferença é que a amortização é constante em todos osperíodos.

Nesse sistema, o principal é dividido pelo número de parcelas, nas quais as cotas deamortização são sempre iguais, sendo, portanto constantes. Os juros são calculados sobre osaldo devedor do principal, por ocasião do pagamento de cada parcela. A prestação é a somados juros com a amortização.

Exemplo 1: Na compra de uma geladeira, uma pessoa quer um financiamento de R$ 1.080,00

em um banco que cobra uma taxa de juros de 1% a.m. Essa importância será amortizada atravésdo SAC, em seis prestações mensais.

Cálculo do valor da amortização: Amort. = PV / nº de prestações Amort. = 1.080 / 6 Amort. = R$ 180,00

Cálculo do saldo devedor:Saldo devedor para o 1º período: SD= 1080,00 – 180,00 = 900,00Saldo devedor para o 2º período: SD = 900,00 - 180,00 = 720,00Saldo devedor para o 3º período: SD = 720,00 - 180,00 = 540,00

Saldo devedor para o 4º período: SD = 540,00 - 180,00 = 360,00Saldo devedor para o 5º período: SD = 360,00 - 180,00 = 180,00Saldo devedor para o 6º período: SD = 180,00 - 180,00 = 0,00



64

Cálculo dos juros:Juros para o 1º período: J = 1.080,00 x 0,1x 1 = 10,80Juros para o 2º período: J = 900,00 x 0,1x 1 = 9,00Juros para o 3º período: J = 720,00 x 0,1x 1 = 7,20Juros para o 4º período: J = 540,00 x 0,1x 1 = 5,40Juros para o 5º período: J = 360,00 x 0,1x 1 = 3,60Juros para o 6º período: J = 180,00 x 0,1x 1 = 1,80

Cálculo da prestação:1ª prestação = 180,00 + 10,80 = 190,802ª prestação = 180,00 + 9,00 = 189,003ª prestação = 180,00 + 7,20 = 187,204ª prestação = 180,00 + 5,40 = 185,405ª prestação = 180,00 + 3,60 = 183,606ª prestação = 180,00 + 1,80 = 181,80

n prestações juros amortização saldo devedor 0 1.080,001 190,80 10,80 180,00 900,002 189,00 9,00 180,00 720,003 187,20 7,20 180,00 540,004 185,40 5,40 180,00 360,005 183,60 3,60 180,00 180,006 181,80 1,80 180,00 0,00

Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser pago pelo SAC em 50 parcelas mensais àtaxa de 1% a.m.. Obtenha o estado da dívida (amortização, juros, prestação e saldo devedor)correspondente ao 31º mês.

Amortização = 50.000/50 Amortização = 1.000 Saldo devedor no 30º mês = 50.000 – (30) 1.000 = 20.000 Juros no 31º mês = (0,01) 20.000= 200 Prestação no 31º mês = 1.000+ 200 = 1.200 Saldo devedor no 31º mês = 50.000 – (31) 1.000 = 19.000


1) Um empréstimo no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido, à taxa de juros compostos de10% a.a., para ser reembolsado em 5 anos, através de prestações anuais, a primeiravencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual valor a amortização contidano 3º pagamento?

2) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido peloSAC em seis parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é

de 5% a.t.



65

n prestações juros amortização saldo devedor

22.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO

Este sistema foi originalmente desenvolvido para atender o Sistema Financeiro deHabitação (SFH). Neste caso, o financiamento é pago em prestações uniformementedecrescentes, constituídas de duas partes : amortização e juros, que corespondem à

média aritmética das respectivas prestações nos Sistemas Price e AmortizaçãoConstante.

Exemplo: Um relógio que custa R$ 100,00 foi comprado em 4 prestações mensais pelosistema misto a uma taxa de 5% a.m. Construir a planilha.

1º Fazer a planilha pelo Sistema Price:

PeríodoPrestação Juro Amortização Saldo devedor

0 - - - 1001 28,20 5,00 23,20 76,802 28,20 3,84 24,36 52,443 28,20 2,62 25,58 26,864 28,20 1,34 26,86 -

2º Fazer a planilha pelo Sistema de Amortização Constante:

Período Prestação Juro Amortização Saldo devedor

0 - - - 100,001 30,00 5,00 25,00 75,002 28,75 3,75 25,00 50,003 27,50 2,50 25,00 25,004 26,50 1,25 25,00 -

Cálculo da prestação:1ª prestação = (28,20 + 30,00) /2 = 29,12ª prestação = (28,20 + 28,75) /2 = 28,483ª prestação = (28,20 +27,50) /2 = 27,854ª prestação = (28,20 + 26,50) /2 = 27,35



66

Período Prestação Rt Prestação Rt Prestação Rt

t Sistema Price Amort. Constante Sistema Misto0 - - -

1 28,2 30 29,1

2 28,2 28,75 28,48

3 28,2 27,5 27,85

4 28,2 26,5 27,35


1) Uma financeira fez um empréstimo de $138.000 a ser pago pelo Sistema de Amortização Misto em 6 parcelas mensais à taxa de juro de 6% ao mês. Monte aplanilha de amortização.

2) Uma financeira emprestou $100.000,00 pelo Sistema de Amortização Misto. Sabendoque a taxa de juro cobrada pelo financiamento é de 1,5% ao mês, feita em 6 meses,monte a planilha.

22.4 CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS

22.4.1. Sistema Francês

Quando um financiamento é realizado com correção monetária, deve se corrigir ,período a período, o saldo devedor do empréstimo e o valor da prestação de acordocom o índice inflacionário do período. O juro de cada período será calculado sempresobre o saldo devedor corrigido.

Exercício resolvido:

Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 200.000,00 para ser amortizado, pelo sistemaFrancês, em quatro prestações mensais, corrigidas pela variação da TR, mais juros de 3%

a.m. Sabendo-se que as variações foram de 5%, 4%, 4,5% e 5%, respectivamente, construir a planilha.

Calcula-se, inicialmente, o valor das prestações mensais, sem levar em conta ascorreções:

200.000 = PMT . 3,71710PMT = 200.000 / 3,71710PMT = 53.805,41

O valor do primeiro pagamento a ser realizado deve ser calculado levando em contao índice de correção do período.

PMT = 53.805,41 x (1+ 0,05)PMT = 56.495,68



67

O valor do juro deverá ser calculado sobre o saldo devedor corrigido pelo índice decorreção do período.

SDC = 200.000 x (1+0,05)SDC = 210.000

J= 210.000 x 0,03J = 6.300

Amort. = 56.495,68 - 6.300 Amort. =50.195,68

SD = 210.000 – 50.195,68SD = 159.804,32

Prestação juro

S.D.

Corrigido Amortização S. Devedor

Índice de

Corr.200.000,0056.495,68 6.300,00 210.000,00 50.195,68 159.804,32 5,00%58.755,51 4985,89 166.196,49 53.769,61 112.426,88 4,00%61.399,51 3524,58 117.486,09 57.874,93 59.611,16 4,50%64.469,48 1877,75 62.591,73 62.591,73 0,00 5,00%

22.4.2 Sistema de amortizações constantes

Quando um financiamento é realizado com correção monetária, deve se corrigir ,período a período, o saldo devedor do empréstimo e o valor da amortização de acordocom o índice inflacionário do período. O juro de cada período será calculado sempresobre o saldo devedor corrigido.

Exercício resolvido:

Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 200.000,00 para ser amortizado, pelo sistemaFrancês, em quatro prestações mensais, corrigidas pela variação da TR, mais juros de 3%a.m. Sabendo-se que as variações foram de 5%, 4%, 4,5% e 5%, respectivamente, construir a planilha.

Calcula-se, inicialmente, o valor das prestações mensais, sem levar em conta ascorreções:

200.000 = PMT . 4PMT = 200.000 / 4PMT = 50.000

O valor do primeiro pagamento a ser realizado deve-se, inicialmente, corrigir o valor da amortização e o saldo devedor existente no início do período pelo índice de correção doperíodo. Calcular o juro sobre o saldo devedor corrigido e somá-lo à amortização corrigida.

Amort. = 50.000 x (1+ 0,05)

Amort. = 52.500,00

SDC = 200.000 x (1+0,05)SDC = 210.000



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J= 210.000 x 0,03J = 6.300

PMT = 52.500 + 6.300PMT = 58.800,00

Prestação juroS.D.

Corrigido Amortização S. Devedor Índice de

Corr.200.000,00

58.800,00 6.300,00 210.000,00 52.500,00 157.500,00 5,00%59.514,00 4.914,00 163.800,00 54.600,00 109.200,00 4,00%60.480,42 3.413,42 114.114,00 57.057,00 57.057,00 4,50%61.707,15 1.797,30 59.909,85 59.909,85 0,00 5,00%


1) Um empréstimo de R$ 50.000,00 foi realizado, pelo sistema francês, para ser liquidadoem 5 prestações mensais corrigidas pela TR, mais juros reais. Sabendo-se que as TRsdos cinco meses foram: 0,4%, 0,6%, 0,5%, 0,8% e 0,3% e a taxa de juros foi de1,5%a.m.. Construir a planilha.

2) Um empréstimo de R$ 50.000,00 foi realizado, pelo sistema de amortização constante,para ser liquidado em 5 prestações mensais corrigidas pela TR, mais juros reais.Sabendo-se que as TRs dos cinco meses foram: 0,4%, 0,6%, 0,5%, 0,8% e 0,3%% e ataxa de juros foi de 1,5%a.m.. Construir a planilha.

3) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 para ser amortizado em4 prestações mensais, calculadas pelo sistema francês de amortizações, a juros reais de2,5% a.m. mais IGPM. Preencher a planilha abaixo, considerando os índices decorreção.

n prestação juros.dev.corrig. amortização saldo dev. índice

01 1,73%2 0,97%3 0,40%

4 0,32%

4) Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 para ser amortizado em4 prestações mensais, calculadas pelo sistema de amortizações constantes, a jurosreais de 2,5% a.m. mais IGPM. Preencher a planilha abaixo, considerando os índices decorreção.

n prestação juros.dev.corrig. amortização saldo dev. índice

01 1,73%2 0,97%3 0,40%4 0,32%



69

23 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Em todo processo de análise de projetos e decisões de investimentos, a MatemáticaFinanceira possui um papel fundamental, pois, com a aplicação de técnicas certas, épossível avaliar com maior clareza e segurança os riscos inerentes a esses processos.

Um investimento deve ser efetuado quando o retorno obtido no futuro for maior doque o custo de oportunidade, ou seja, quando a taxa de retorno for superior à taxa demercado.

Para analisar a viabilidade de um investimento verificaremos dois dos maisimportantes métodos utilizados: cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) e o cálculo da TaxaInterna de Retorno (TIR).

23.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)

O valor presente líquido é a soma algébrica dos valores atuais das entradas e saídas

de dinheiro, ao longo do tempo, descontadas a uma taxa efetiva.

Exemplo: Uma firma investiu R$ 10.000,00 obtendo um retorno de R$ 6.000,00 no final deum mês e R$ 5.000,00 no final de dois meses. Pede-se para calcular:

a) O valor presente líquido (VPL) descontado a uma taxa de 6% a.a.b) O valor presente líquido (VPL) descontado a taxa de 7% a.m.

6.000 5.000

0 1 2

10.000

a) VPL (6%) VPL= -10.000 + 6.000(1+0,06)-1 + 5.000(1 + 0,06)-2 Na HP 12CVPL= 110,36 10000 CHS g Cf o

6000 g Cfj5000 g Cfj6 if NPV

b) VPL (7%)VPL= -10.000 + 6.000(1+0,07) –1 + (1+0,07)-2

VPL= -25,33

Se o VPL calculado for positivo o projeto deve ser aceito, se o VPL for negativo o projeto deve ser recusado.


1) Uma transportadora pensa em comprar um novo caminhão no valor de R$ 70.000,00. Osfluxos de caixa decorrentes do investimento estão apresentados na tabela a seguir.Sabendo que o custo de capital da empresa é igual a 12% ao ano, estime o VPL.



70

Período Fluxo0 (70.000,00)1 50.000,002 40.000,00

3 30.000,00

2) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando comobase os dados da tabela abaixo e uma taxa de 18% ao ano.

R$/Ano 0 1 2 3 4 5Entrada 35.000,00 40.000,00 45.000,00 45.000,00 50.000,00Saídas 100.000,00 20.000,00Saldo

3) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando comobase os dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês.

R$/Meses 0 1 2 3Entrada 10.000,00 15.000,00 30.000,00Saídas 50.000,00Saldo

23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)

A taxa interna de retorno é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado

tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com os das saídas (pagamentos)previstas de caixa.É a taxa de juro efetiva para a qual o valor presente líquido (VPL) é zero.

OBS.: Se o VPL calculado for um valor positivo, podemos afirmar que a TIR doinvestimento é maior que a taxa utilizada, se o VPL for um valor negativo a TIR é menor quea estimada

Exemplo: Calcular a taxa interna de retorno, do exemplo anterior.

6.000 5.000

0 1 2

10.000

TIR= -10.000 +)1(

0.5

)1(

000.621

ii

Por não existir uma fórmula para calcular o TIR, utilizamos o método de interpolação.

Estipulamos uma taxa qualquer e calculamos o VPL do investimento. Se o valor for positivo, a TIR é maior que a estimada. Supõe-se uma nova taxa, de valor maior que a



71

anterior, e calcula-se o VPL. Caso o valor volte a ser positivo, devemos repetir oprocedimento até achar um valor negativo para o VPL.

Em seguida faz-se a interpolação.Como vimos, para r=6% tivemos VPL= 110,36

e para r=7% tivemos VPL = -25,33,

Assim podemos dizer que o valor de TIR esta entre 6% e 7%, logo:

6 110,36 então, x=,1

3,1

7 -25,33

1 135,69 TIR = 6 + 0,81= 6,81% a.m.x 110,36

Na HP 12C10000 CHS g CF0

6000 g CFj5000 g CFjf IRR


1) Determinar a TIR referente a um empréstimo de R$ 126.900,00 a ser liquidado em

quatro pagamentos mensais e consecutivos de R$ 25.000,00, R$ 38.000,00, R$45.000,00 e R$ 27.000,00.

2) Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de R$ 47.000,00 no momentoinicial, e os seguintes benefícios esperados de caixa ao final de 3 meses imediatamenteposteriores: R$ 12.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 23.000,00. Determinar a TIR mensalefetiva dessa operação.

3) Uma empresa fez um investimento que teve duração de quatro anos. O diagrama abaixorepresenta o fluxo de caixa deste investimento.

Pede-se:a) Qual o VPL descontado à taxa de 15% a.a.?b) Qual o VPL descontado à taxa de 20% a.a.?c) Qual a TIR?

4) Calcule o VPL e verifique se o investimento deve ser aceito ou rejeitado, tomando comobase os dados da tabela abaixo e uma taxa de 5% ao mês.



72

R$\Meses 0 1 2 3Entradas - 4.000,00 22.000,00 34.000,00Saídas 25.000,00 18.000,00 5.000,00 -

Saldo

5) O Sr. Pedro pretende se aposentar nos próximos anos e quer juntar suas economiaspara investir na compra de uma máquina que faça sacolas plásticas. Pretende contratar um funcionário para trabalhar nessa máquina nos próximos 5 anos. As informações queele dispõe são as seguintes: uma máquina nova custa R$ 30.000,00. As despesas demanutenção da máquina estão estimadas em R$ 5.000,00 no primeiro ano e estima-seum aumento de R$ 1.500,00 a cada novo ano. O Sr. Pedro pretende pagar para ofuncionário R$ 5.000,00 no primeiro ano com um aumento salarial de 10% a cada ano, eo faturamento anual previsto é de R$ 25.000,00. Após os 5 anos, o Sr. Pedro pretendevender a máquina por R$ 10.000,00. Considerando que o investimento seja aceito serender pelo menos 16% a.a., determine o valor presente líquido.

6) Calcule a taxa de retorno de um investimento de R$ 1.200,00, onde serão obtidasreceitas mensais conforme o diagrama a seguir:

500 800 200

1.200

7) Um equipamento é vendido à vista por R$ 1.300.000,00 ou então tal quantia pode ser financiada com R$ 300.000,00 de entrada, mais três prestações mensais de R$400.000,00 cada uma. Qual a taxa de juros deste financiamento?

8) Um empréstimo de R$ 25.000,00 foi feito numa instituição financeira e pago da seguinteforma:- Uma prestação de R$ 5.000,00 após 1 mês de liberação- 3 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 7.000,00 cada, vencendo a primeiraapós 2 meses da liberação- Uma prestação de R$ 4.000,00 após 5 meses da liberação do dinheiro.Calcular a taxa interna de retorno.

9) Um investimento de R$ 1.200,00 gera 3 entradas de caixa consecutivas de R$ 650,00,R$ 250,00 e R$ 450,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, determinar o VPL.

10) Um projeto de investimento inicial de R$ 70.000,00 gera entradas de caixa de R$25.000,00 nos próximos 5 anos; em cada ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00para manutenção, considerando um custo de oportunidade de 8% ao ano. Oinvestimento deve ser realizado ou não?

11) Fábio empresta hoje a André a importância de R$ 10.000,00. Para pagamento doempréstimo, André entrega a Fábio cheques de R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00com vencimentos para 2, 4 e 6 meses, respectivamente. Calcule a taxa de juros (TIR)cobrada no empréstimo.

12) Um empréstimo de R$ 25.000,00, contraído hoje, deverá ser pago da seguinte forma:

uma parcela de R4 2.300,00 vencível a 4 meses do empréstimo e mais 12 prestaçõesmensais, iguais e consecutivas de R$ 2.100,00 cada uma, vencendo-se a primeira 7meses após o empréstimo. Determine a taxa mensal cobrada.



73

13) Determinar qual das alternativas a seguir apresentadas é melhor para o investidor, comoretorno de uma aplicação de R$ 50.000,00, durante um ano, sabendo que a taxa mínimade atratividade é de 12% a.a. Apresentar o valor presente líquido (VPL) de cada umadas opções:a) Receber 12 prestações mensais ao final de cada mês de R$ 4.500,00.b) Receber R$ 27.500,00 ao final de cada semestre.c) Receber R$ 55.000,00 ao final de cada ano.d) Receber R$ 13.500,00 ao final de cada trimestre.

14) O investimento inicial de certa indústria está estimado em R$ 120.000,00 e estãoprevistos os fluxos de caixa a seguir, à taxa de 12% ao ano. Pretende-se ao final de oitoanos vender o negócio por R$ 200.000,00. Calcular o valor presente líquido, sabendoque os fluxos de receita são: no primeiro ano: - R$ 12.000,00; no quarto e no quinto ano:R$ 40.000,00 em cada um; no sexto ano: R$ 60.000,00 e no sétimo: - R$ 5.000,00.

15) Um veículo novo custa R$ 35.000,00. Você dará R$ 8.000,00 de entrada e poderá pagar

o restante, pela proposta do banco da montadora, em 24 parcelas, sendo 11 mensais deR$ 700,00 e uma anual de R$ 10.000,00. Isso se repete também no segundo ano. Quetaxa o banco está cobrando de você? ( Ignore TAC e IOF)



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GABARITO

PORCENTAGEM1) a 2) 324 3) 255kg 4)R$ 20.000,005) R$ 6,45 6) R$ 450,00 7) 2.025 8) 11,11%9) R$ 52,80 10) R$ 2.100,00 11) 80 12) R$ 7.650,0013) R$ 236,00 14) R$ 120,00 15) R$ 30.000,00; 33,33%16) 37,38% 17) 2,5522%

ABATIMENTOS SUCESSIVOS e ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS1) a) R$ 12,10 b) 49,6% 2) a) R$ 400,00 b) 31,6%3) a) R$ 58,50 b) 62,5% 4) R$ 310,00 5) R$20,006) a) R$ 62,84 b) 16,21% 7) a)R$ 125,00 b) 11,8%8) a) R$ 777,36 b) 9,18% 9) R$ 1,04 10) R$214,0011) R$ 540,00

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS1) R$ 31,20 2) R$ 35,00 3) 12,5%4) R$ 400,00 5) R$ 5.000,00 6) R$ 7,507) R$ 42,50 8) 30% 9) 25%10) R$ 1.050,00

JUROS SIMPLES e MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL1) R$ 230,00 2) R$ 40.000,00 3) 60%a.a 4) 70 dias5) R$ 81,46 6) R$ 35.440,17 7)19,7% a.a. 8) R$ 150.000,00

9) R$ 280.000,00 10) R$ 886.265,55 11) 4,2%a.m. 12) 3,65% a.m.13) R$ 32.500,00 14) 2,79% a.m. 15) R$ 5.900,0016) a) 7 meses; R$ 17.325,00 b) 2,4% a.m.; 28,8% a.a.17) 6%a.m. 18) R$ 2.360,00 19) R$ 362,29 20) 21 dias21) 5%a.m. 22) 2a9m10d 23) 6,667%am 24) 18% a.a.25) 10%a.m. 26) R$ 4.176,00 27) R$10.500,00 28)10,2%a.m.29) 3% a.m. 30) 66 dias

PRAZO MÉDIO1)R$ 4.320,00 2) 48%a.a. 3) 27 dias 4) 2%a.m

5) 7 meses 6) 2,7 meses

DESCONTO SIMPLES COMERCIAL

1) 32,43%a.a. ou 8,1% a.p. 2) 3% ao mês3) 8,46%a.p. ou 6,5% a.m. 4) R$ 785,005) R$ 3.846,006) a) R$ 980,00 b) R$ 13.020,00 c)3,76%a.m6) 2m e meio 7) R$ 2.000,008) R$ 24.716,67 9) R$ 420,0010) a) R$ 1.382,40 b) R$ 16.617,60 c) 3,47%



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DESCONTO SIMPLES RACIONAL

1) R$ 70.000,00 2) 9%a.m. 3) R$ 4.000,00 4) R$ 2.740,005) R$ 6.000,00 6) R$ 6.510,00 7) R$ 225,00 8) R$ 50.000,00

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS1) R$ 16.941,18 2) R$ 115.200,00 3) R$ 50,22 4) R$ 9.600,005) 25 dias 6) R$ 12.000,00 7) R$ 94.054,23 8) R$ 4.414,779) 1) R$ 1.057,14 2) R$ 65.591,00 3) R$ 75.568,18 4) R$ 56.134,755) R$ 6905,34 6) R$ 134.493,34

JUROS COMPOSTOS1) R$ 2.644,79 2) R$ 20.244,67 3)R$ 40.210,93

4) R$11.137,42 5) R$ 1.384,88 6) 1,5% a.m.7) R$ 31.447,16 8) 6,2% a.m. 9)12,2462% a.s.10) R$ 3.345,80 11) 4,684% a.m. 12) 2,30519% a.m.13) R$ 56.250,00 14) a) R$ 20.397,11 b)R$ 20393,4915) R$ 32.841,07 16) 16 meses17) a)R$ 28.513,41 b) R$ 28.505,00 18) 15 meses19) R$ 66.876,12 20) R$ 24.000,00 21) 14 meses22) R$ 42.841,69 23) R$ 42.813,27 24) R$ 4.462.891,9225)a- R$ 28.603,42 b- 9,52% a.q. c- R$ 815,53d- 2,79% a.m. 26) R$ 1.931,53 27)a- 4,5%a.m.b- R$ 509,68

TAXAS1) a) 23,87% a.a. b) 15,97%a.a. c) 19,25%a.a. d) 39,24%a.a.2) a) 4,77% a.m. b) 6,99% a.m. c) 6,56% a.m. d) 3,2% a.m.e) 3,66% a.m.3) a) 28,64%a.s b) 9,99%a.s. c) 8,32% a.s. d) 8,37% a.s. e) 40% a.s.4) a)15,7625% a.t. b) 0,4891% a.p. c) 7,0693% a.p. d) 79,5856% a.a.e) 2,4695% a.p.5) a) 3,9127% a.p. b)5,7991%a.p c)0,1200% a.d. d) 3,6637% a.m.e) 25,8957% a.p.6) a) 42,5761% a.a. b) 43,3072% a.a.

7) R$ 140.633,24 8) a)10,5% a.t. b) 3,3842% a.m. c) 49,0902% a.a.9) 3,35% a.p. 10) 4,38% a.p. 11) a- 27,11% a.a b- 26,82% a.a.c- 26,53% a.a. d- 25,44% a.a.

DESCONTO COMPOSTO1) R$ 48.956,23 2) R$ 6.663,42 3) R$ 10.710,15 4) 1,85 % 5) R$ 70.694,69 6) R$ 119.047,62 7) R$ 58.930,23 8)R$ 12.269,369)a- R$ 25.460,66 b-R$ 32.290,27 c-R$ 40.951,87

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS 1) R$ 7.279,065% 2) R$ 65.252,23 3) R$ 52.020,00 4) R$ 129.767,09



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5) R$ 136.464,97 6) d 7) a8)é mais vantagem comprar à prazo 9)R$ 840,63

PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)1) R$ 7.992,83 2) R$ 115,49 3) 12 meses 4) R$ 2.663,805) R$ 1.626,14 6) R$ 80,65 7) 7 prestações 8) R$ 55.046,869) A compra a vista, oferece vantagem de R$ 125,7910) 2%a.m. 11) R$ 1.376,26 12) R$ 3.947,49 13) R$ 1.323,0314) R$ 520,00 15) R$ 5.677,63 16) R$ 11.698,46 17) R$ 2.518,0018) R$ 311.857,16 19) R$ 78.922,27 20) R$ 37.674,10 21) R$ 11.009,3722) R$207,59 23) R$ 264,97 24) R$ 286,17 25) R$ 555,59

MONTANTE DE UMA RENDA1) R$ 2.660,71 2) R$ 3.836,75 3) R$ 9.506,92 4) R$ 161,00

5) R$ 1.015,91 6) R$ 74.761,11 7) R$ 30.051,61 8) R$ 26.497,169) R$ 103,15 10) R$ 10.918,82 11) R$ 3.015,88 12) R$ 40.045,3513) R$ 530,81 14) R$17.524,73 15) 143 meses 16) R$ 2.138,67

VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)1) R$ 27.884,02 2) VPL = R$ 13.893,59, deve ser aceito 3) 955,62

TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)1) 2,47% a.m. 2) 2,84% a.m.3) a) R$ 3.570,02 b) - R$ 1.968,61 c) 18,12% a.a

4) VPL= R$ 6.456,65 (deve ser aceito) 5) R$ 12.433,70 6) 12,57%7) 9,7% 8) 6,53%a.m. 9) R$ 34,5410) Sim (VPL = R$ 9.854,20) 11) 6,17%am 12) 0,81164%am13) A alternativa a é a mais vantajosa. R$ 647,85; R$ 418,30; - R$ 892,86 e R$ 180, 83,respectivamente14) R$ 26.316,28 15) TIR+1,829% a.m



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78



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ANEXO 1

1º Teclas usadas nos cálculos de porcentagem:

%T é usada para calcular o percentual de um total.

% é usada para calcular a diferença percentual entre dois números.

% é usada para calcular a porcentagem.

2º Funções de calendário:

D.MY significa que a calculadora está pronta para operar no formato de DIA, MÊS, ANO.

DYS indica a diferença em dias entre duas datas.

3º Funções para juros compostos:

FV valor futuro ou montante

PV valor presente ou capital

i taxa em porcentagem

n número de períodos (tempo)

4º Funções para rendas:

PMT prestação ou depósito

FV valor futuro ou montante

PV valor presente ou preço à vista

i taxa em porcentagem

n número de períodos (tempo)

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