2010

Stela Ribeiro & Vânia Brito

UAB – UNEB – Licenciatura em Química

Cálculo II

2

Apresentação

O estudo do cálculo diferencial e integral possui uma sequência de conteúdos

interligados sobre o comportamento e estudo de uma função. Tendo sido

contemplado o estudo de limites e derivadas de funções, passamos a ter uma

base para podermos aprofundar mais nessa seqüência de conteúdos. O estudo

da diferencial de funções – cálculo diferencial – está relacionado ao estudo de

taxas de variação de grandezas, derivadas de funções, aproximações e

acúmulo de quantidades, que por sua vez tem grandes aplicações em diversas

áreas como: Física, Economia, Química, etc.

Tendo também conhecido o estudo de derivadas e algumas de suas

aplicações, podemos pensar agora na inversa da derivada de uma função, sua

antiderivada ou sua primitiva, que é a integral de uma função, chegamos então

ao cálculo integral. A integral de uma função tem uma gama de aplicações em

diversas ciências, tendo como um de seus resultados bastante conhecido – o

teorema fundamental do cálculo – que além da interpretação geométrica para

áreas e volumes, é também uma ferramenta poderosa para a resolução de

outros problemas.

Temos alguns nomes de alta relevância que permeiam a teoria do cálculo

integral, dentre eles estão: Newton, Leibniz, Cauchy e Riemann, e como

destaque dessa teoria está o resultado do teorema fundamental do cálculo, que

se baseia em outros teoremas e resultados por eles estudados e concluídos.

Todo o estudo de cálculo tem como base a função, é preciso que o estudante

conheça os conceitos envolvidos na teoria de funções. Começaremos

estudando a diferencial de função de uma variável real, deslumbraremos a

diferencial de funções de mais de uma variável real e poderemos ver as suas

aplicações em problemas diversos. Em seguida, conheceremos a integral

indefinida, com a qual aprenderemos diversas técnicas de resolução diante das

possibilidades de ocorrência de expressões integráveis: funções racionais,

irracionais, trigonométricas, entre outros, portanto será necessário dedicação e

prática. Depois passaremos a observar e aprender o grande valor da integral

definida e suas aplicações. Por fim, estudaremos as integrais impróprias.

3

Assim, este material será a base para que vocês aprofundem seus

conhecimentos sobre o Cálculo diferencial e integral, fazendo um estudo

cuidadoso, resolvendo os exercícios propostos, e consultando as referências

bibliográficas indicadas, assim, com certeza vocês conseguirão êxito nesse

aprendizado. Esperamos que aproveitem ao máximo esse componente

curricular, com dedicação, empenho, e bastante disciplina para vencerem as

atividades propostas nessa modalidade de ensino.

Desejamos um ótimo curso!

Stela Maria Azevedo e Ribeiro

Vânia Gonçalves de Brito dos Santos

4

Sumário

1 Diferencial .......................................................................................................06

1.1 Funções de uma variável real ......................................................................06

1.2 Interpretação geométrica .............................................................................07

1.3 Aplicações ...................................................................................................08

1.4 Funções de duas ou mais variáveis reais ...................................................13

1.5 Derivada para funções de duas ou mais variáveis reais .............................14

1.6 Derivada de ordem superior ........................................................................15

1.7 Diferencial para funções de duas ou mais variáveis reais ..........................16

1.8 Aplicações ...................................................................................................17

2 Integral indefinida ...........................................................................................20

2.1 Propriedades ...............................................................................................23

2.2 Exemplos ...................................................................................................24

2.3 Integrais imediatas ......................................................................................25

2.4 Métodos de substituição ou de mudança de variável .................................27

2.5 Processos gerais de integração ..................................................................28

2.5.1 Integração por partes ...............................................................................28

2.5.2 Integração de funções contendo um trinômio do 2º grau ........................30

2.6 Integração de funções racionais ................................................................37

2.6.1 Integração de funções racionais pelo método de frações parciais .........39

2.7 Integração de funções irracionais ...............................................................47

2.8 Integração de funções trigonométricas .......................................................50

2.9 Integração de funções por substituição trigonométrica ...............................60

3 Integral definida ..............................................................................................66

3.1 Interpretação geométrica .............................................................................66

3.2 Teorema Fundamental do Cálculo ..............................................................69

5

3.3 Propriedades da integral definida ..............................................................72

3.4 Aplicações ..................................................................................................73

3.4.1 Áreas compreendidas entre curvas ........................................................73

3.4.2 Aplicações diversas da integral definida .................................................77

3.4.3 Aplicações de cálculo de volume de sólidos de revolução .....................79

4 Integrais impróprias .......................................................................................84

4.1 Integral imprópria com intervalo infinito ......................................................85

4.2 Um resultado importante: Comparação de integrais impróprias ................91

6

1. Diferencial

Neste capítulo estudaremos o conceito da diferencial de funções, iniciaremos

com funções de uma variável real e depois abordaremos alguns exemplos de

funções de mais de uma variável real. Aprenderemos que a diferencial dy nada

mais é que, uma aproximação melhor do seu crescimento ou decrescimento

.y Portanto, é bastante utilizada em problemas que envolvem aproximação.

1.1 Funções de uma variável real

É comum usarmos o símbolo dx

dy= f‘(x), para representarmos a derivada da

função y = f (x). É importante que entendamos essa fração de numerador dy e

denominador dx como um todo, isto é, como o resultado do limite

dx

dy

x

y

x

0lim .

Há problemas em que é importante dar sentido a dx e dy separadamente e há

situações em que isto é muito útil, como veremos em algumas aplicações do

cálculo integral.

Definição 1.1: Seja f (x) uma função e sejam x e y, variáveis relacionadas por y

= f (x). Então, a diferencial dx é um valor qualquer do domínio de f (x) para o

qual a derivada dx

xfd ))((existe, e a diferencial de dy é definida por

dxdx

dfdx

dx

xdfdy

)(.

7

1.2 Interpretação geométrica

Vejamos a interpretação geométrica da diferencial de uma função f(x) na figura

a seguir, dy é comparado à y , e toma-se a variação em x como dxx :

12

12

yyy

xxx

dxdx

xdfdyy

)( .

Podemos observar uma reta T (em vermelho) tangente à curva f(x) no ponto

P0 = ))(,( 00 xfx . Aplicando o conceito de limite quando x tende para zero, o

acréscimo y tende para a diferencial dy e x tende para a diferencial dx.

Então, quanto menor for x , menor será a diferença entre o acréscimo y e a

diferencial dy.

Assim,

)()(limlim00

xfxxfydyxx

dxyxx

yydy

xx'.limlim

00

ou

8

dxxfdxdx

xdfdy )('

)(

1.3 Aplicações Vamos agora ver alguns exemplos aplicativos ou problemas em que se aplica o

conceito da diferencial de uma função.

Exemplo 1: Se 123)( 2 xxxfy , obter a diferencial dy.

Solução: Primeiro devemos obter a derivada dx

dy, isto é,

.26)123( 2

xdx

xxd

dx

dy

O próximo passo é obter a diferencial dy, sabendo que esta é igual à derivada

dx

dy multiplicada pela diferencial dx, ou seja,

.)26( dxxdy

Em resumo:

26)123()( 2

xdx

xxd

dx

xdf

dx

dy.)26( dxxdy

Exemplo 2: Encontrar o diferencial dy e o crescimento y da função 2xy ,

quando x = 20 e x = 0,1, depois calcule o erro = dyy :

Solução:

.01,0401,4

, 00,41,0.20.2

, 01,4)1,0(1,0.20.2

,2)(

2

222

dy

y

xxxxxxy

9

Exemplo 3: Use diferenciais para estimar a 35 .

Solução: Inicialmente precisamos tomar uma raiz conhecida mais próxima

como referência, nesse caso será 636 , e faz-se

dxxxdxy 1363536 , então fazemos:

dxxfy )('63635 , pois xxfdxxfdyy )(')('

derivando obtemos:

...08333,012

1

6

1.

2

1)1(

36

1.

2

1

36

1.

2

1

dyy

dx

dy

Assim, podemos encontrar 35 por aproximação:

...91666,5...08333,063635 y

Exemplo 4: O raio de uma esfera de aço mede 1,5 cm e sabe-se que o erro

cometido na medição é menor ou igual a 0,1 cm. Estime o erro possível no

cálculo do volume da esfera.

Solução: Bem, precisamos lembrar de que o volume de uma esfera é calculado

a partir do raio é 3

3

4rV . Note-se que, nesse caso, o raio da esfera de aço

terá como medida r = ( r5,1 ) cm, onde r ≤ 0,1cm, portanto,

,5,11,05,13

41,05,1

3

4)5,1(

3

41,05,1

3

4 33333 VVVVV

10

3

2

3

1

322

33223

...6427,2

...01969,32253,0015,04

0003,0015,0225,04

)1,0.(3

1)1,0).(5,1.(3)1,0.()5,1.(34

)5,1()1,0()1,0).(5,1.(3)1,0.()5,1.(35,13

4

cmV

cmV

V

Estimando-se V por ,)(' drrVdV temos que:

443

4)(' 223 drrVrr

dr

d

dr

dVrV

e como cmdrdrr 1,0 , tem-se:

9,01,0.25,2.41,0.5,14422 drrV ,

3 827,2.9,0827,2.9,0 cmVV

que é o erro possível no cálculo do volume da esfera, ou seja,

. 827,2 3cm

Exemplo 5: Calcular um valor aproximado de sen(46°).

Solução: É importante atentar para que

1804)145(46

sensensen ,

podemos então considerar que se pretende calcular um valor

aproximado da função

senxxf )(

11

‘perto’ do ponto 4 . Fazendo

180

x

e

xxxf .cos)('

podemos escrever

.7194,0180

.2

2

2

2

180.

4cos

41804

sensen

Exemplo 5: A densidade de um líquido é determinada pela medida de massa

e volume de uma amostra e usando a equação:

V

m

Em um experimento particular, um estudante encontra m = 6,00 g e V = 8,0

ml. Qual é o erro em (isto é, ), se:

a. V é exatamente 8,0 ml, mas m tem um erro de 0,010 g (isto é, m

= 0,010 g) ?

b. m é exatamente 6,00 g, mas V tem um erro de 0,10 ml (isto é, V

= 0,10 ml) ?

Solução:

a. mdm

d

, então se a variação ocorre em m podemos

tomar V como uma constante: Vdm

d 1

.

12

Portanto: mlgV

m/ 0013,0

0,8

010,0

.

b. A situação agora muda, temos m como constante e uma

variação em V, então:

mlgVV

mV

dV

d/ 0094,010,0.

0,64

00,62

Podemos concluir o seguinte: quando a massa é maior em 0,01 g em

relação a massa verdadeira, a densidade será 0,0013 g/ml maior que a

densidade verdadeira. Se a medida do volume for maior em 0,10 ml que o

volume verdadeiro, a densidade será 0,0094 g/ml menor que a densidade

verdadeira.

VOCÊ SABIA?

O diferencial é um dispositivo mecânico que tem a função de dividir o torque entre dois semi-eixos, produzindo uma compensação entre estes quando um deles sofrer queda na rotação. Distribuindo o torque de forma que independentemente da circunstância em que se encontre as rodas, e a respectiva superfície do solo em cada uma delas, o valor do mesmo seja igual em cada ponto de tração.

(Fonte – http://pt.wikipedia.org/wiki/Diferencial).

Sugestão de atividade

Exercícios propostos

1. Seja 423)( 2 xxxfy , obtenha y, para x = 1 e x = 0,02.

Resposta: 0,0812.

2. Use diferenciais para estimar a 3 28 . Resposta: 3,037.

3. Avalie por diferenciais o )44cos( . Resposta: 0,7194.

4. Use Diferenciais para encontrar o volume aproximado de uma

casca cilíndrica circular Vc , com altura de 6 cm, cujo raio interno

mede 2 cm e possui espessura de 0,1cm.

Resposta: 7,5 cm3.

13

1.4 Funções de duas ou mais variáveis reais

Até então consideramos funções de uma variável real. Mas o que dizer das funções

de duas ou mais variáveis reais? Como podemos estudar o comportamento dessas

funções e como proceder as derivadas ou a diferencial de uma função desse tipo?

Vejamos um exemplo:

Consideremos a fórmula que nos dá a área de um triângulo:

2

.hbA

Como podemos verificar a área de um triângulo depende de duas variáveis

base (b) e altura (h)

Podemos os caracterizar esta função como sendo

2

. ),(

: 2

hbhb

RRA

,

que é uma função de duas variáveis reais.

Definição 1.2: Seja nRD . Uma função real de n variáveis reais é uma

correspondência tal que:

),...,,(),...,,(

:

2121 nn

n

xxxfzxxx

RRDf

em quê:

variáveis independentes: nxxx ,...,, 21

variável dependente: z

14

Observe a função )22(6),( yxyxf , ela depende de duas

variáveis ) e ( yx , 2RD f e, por definição temos:

.3):),(

62)2:),(0)22(6:),(

2

22

xyRyx

xyRyxyxRyxD f

Agora que estamos diante de funções de duas ou mais variáveis, precisamos

aprender o conceito da derivada parcial.

1.5 Derivada para funções de duas ou mais variáveis reais

Definição 1.3: Seja RRDf n : . A derivada parcial de f em relação a xi é a

função:

h

xxxxfxhxxxf

x

f nini

hi

),...,,...,,(),...,,...,,(lim 2121

0

Exemplo 1: Sendo a função 22),( yxyxf uma função de duas variáveis, no

ponto de coordenadas ),( yx , podemos determinar duas derivadas parciais.

Usando as regras de derivação, obtemos:

xxyxx

f202),(

e yyyx

y

f220),(

.

Observe que quando calculamos a derivada parcial em relação a x, consideramos x

variável, e a outra variável restante y consideramos como uma constante.

15

Sugestão de atividade

Exercícios propostos

1. Calcule as derivadas parciais da função .2),,( 22 xyzzyzxyzyxg

2. Determine as derivadas parciais para a função .),,( 222 zyxzyxs

3. Encontre as derivadas parciais da função .33

5),,( 22

3

zyxzyx

zyxh

1.6 Derivadas de ordem superior

Sendo ),...,,( 21 nxxxfz uma função que depende de n variáveis, nxxx ,...,, 21 ,

também ),...,,( 21 n

i

xxxx

z

são funções que dependem das n variáveis nxxx ,...,, 21 .

Assim faz sentido falar em derivadas de ordem superior.

Vamos considerar o caso de uma função que depende de duas variáveis ),( 21 xxg ,

e calculemos todas as derivadas parciais desta função até à ordem 2.

Derivadas de 1ª ordem:

),();,( 21

2

21

1

xxx

gxx

x

g

Derivadas de 2ª ordem:

),(),( 212

1

2

21

11

xxx

gxx

x

g

x

,

16

)1( ),(),( 21

12

2

21

12

xxxx

gxx

x

g

x

,

)1( ),(),( 21

21

2

21

21

xxxx

gxx

x

g

x

e

),(),( 212

2

2

21

22

xxx

gxx

x

g

x

,

onde as equações (1) são designadas derivadas mistas.

De modo similar se definem as derivadas de ordem superior à 2ª.

1.7 Diferencial para funções de duas ou mais variáveis reais

Seja: ),...,,( 21 nxxxfz . Consideremos ),...,,( 21 nxxxx como o

acréscimo nas variáveis independentes nxxx ,...,, 21 . Ao acréscimo

x corresponde o acréscimo z na variável dependente z , sendo:

).()( xfxxfz

Definição 1.4: Seja ),...,,( 21 nxxxfz uma função de n variáveis reais. O vetor de

diferenciais ),...,,( 21 ndxdxdxdx nas variáveis independentes nxxx ,...,, 21 é

definido por dx x , isto é,

nn xdxxdxxdx ,...,, 2211

com x o vetor dos acréscimos nas variáveis independentes.

O diferencial dz , também denominado diferencial total, é definido por:

17

.)(...)()( 2

2

1

1

n

n

dxxx

fdxx

x

fdxx

x

fdz

Observando a definição e sabendo que dzz quando x 0, concluímos que:

.)()()()( dzxfxxfdzxfxxfz

Veja o exemplo: O diferencial para a função ),,,( uzyxfw considerando que

uduzdzydyxdx ,,,

é:

.),,,(),,,(),,,(),,,( duuzyxu

wdzuzyx

z

wdyuzyx

y

wdxuzyx

x

wdw

Você sabia?

A Primeira Lei da Termodinâmica não é uma mera transposição para a

Termodinâmica da abrangente e geral lei da conservação da energia em Física e em

Química. A sua formulação matemática traduz que a variação da energia interna de

um sistema, DU, é igual à soma do calor com o trabalho... Veja em:

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-

40422007000200043

1.8 Aplicações

Vamos observar dois exemplos de cálculo de diferenciais em funções com mais de

uma variável:

Exemplo 1: Dada a função xyyxz 22, determine uma boa aproximação

para o acréscimo da variável dependente quando ),( yx passa de )1,1( para

)02,1; 001,1( .

18

Solução: Uma boa aproximação para o acréscimo ocorrido é dado pela variação de

dzz , então precisamos calcular essa variação:

.021,0

02,0).11.2(001,0).11.2(

]102,1).[1,1(]1001,1).[1,1(

y

f

x

fdz

Exemplo 2: Encontre um valor aproximado para o acréscimo de

yxyxyxf 32),( 2 quando ),( yx varia de )3,2( para )01,3 ;02,2( .

Solução: Vejamos como podemos aplicar diferenciais para encontrar a melhor

aproximação para tal acréscimo.

734)3,2(32),(

1064)3,2(22),(

01,0301,3 ;02,0)2(02,2

y

fxyx

y

f

x

fyxyx

x

f

ydyxdx

então,

27,007,02,001,0.7)02,0.(10

)3,2()3,2(

dy

y

fdx

x

fdff

Exemplo 3: Um cilindro tem raio 2 m e altura igual a 10 m. Qual o erro cometido na

avaliação do volume, se o raio foi medido com um erro provável de 1 cm e a altura

com um erro de 20 cm?

19

Solução: Precisamos usar então a fórmula de volume do cilindro, e calcular a

variação em V (erro do volume) quando ocorrem os erros dados no raio e na altura.

Perceba que o volume V é uma função ),( hRf :

hRV 2

?V

m 01,0cm 1 dr

m 20,0cm 20 dh

Considerando que dVV , temos que:

2

2

Rh

V

RhR

V

dhh

VdR

R

VdV

Substituindo pelos valores dados, obtemos:

2,1

8,04,0

20,0.4.01,0.10.2.2

dV

dV

dV

20

2 Integral indefinida

Neste capítulo aprenderemos como obter uma função conhecendo apenas a sua

derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. A palavra indefinida

é usada para indicar que a integral a princípio não tem o intervalo de integração

definido ou explícito, mas está intrínseco que no intervalo pressuposto a função é

contínua e, portanto, integrável. Contudo, o tratamento dado por critérios e

métodos de resolução para integrais indefinidas são os mesmos para integrais

definidas.

Definição 2.1 – Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no

intervalo I se para todo x I, tem-se:

)()(' xfxF

Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função

sempre será definida sobre um intervalo.

Exemplos:

1) Seja 3)( xxf , então

4)(

4xxF é uma primitiva de f em R,

pois )()(' 3 xfxxF . 54

)(4

x

xF é também uma primitiva de f em R,

pois )()(' 3 xfxxF . Na verdade, cx

xF 4

)(4

, para todo c R é

primitiva de f pois )()(' 3 xfxxF .

Podemos generalizar: ( )nx

F x cn

é a primitiva de 1)( nxxf , pois

)()(' 11

xfxn

xnxF n

n

.

21

2) Seja: xxf cos)( , então csenxxF )( , para todo c R é uma primitiva

de f . De fato,

)(cos)(' xfxxF .

3) Seja:

],[0

],[,1)(

bax

baxxf

Não existe função definida por uma única sentença em todo R cuja derivada seja

igual a )(xf . Por outro lado, considere a seguinte função:

bxab

baxax

ax

xF ],[,

,0

)(

)(xF é uma função definida por sentenças que é contínua em todo R e

)()(' xfxF se x (a, b). Logo, )(xF é uma primitiva de f em (a, b).

Em geral, uma função f admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo.

Veja abaixo um esboço gráfico exemplificando as primitivas da função xxf cos)( :

22

Teorema 2.1: Se )( e )( 21 xFxF são duas primitivas de )(xf no intervalo [a,b], então a

diferença entre elas é uma constante.

Demonstração:

constante. logo Assim

em implica que logo

: que temos hipótese, Por Seja

)(,0)('

.0)(')(')(')(')()('

)()('

,).()()(

2121

2

1

21

xGxG

xFxFxFxFxfxF

xfxF

baxFxFxG

Definição 2.2 – Seja: uma primitiva da função f no intervalo I. A expressão

cxF )( , c R é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por:

cxFdxxf )()(

Note que

)()('')()()( xfxFcxFcxFdxxf

Em particular

cxfdxxf )()('

Assim como ocorreu no estudo de derivada de uma função, veremos agora as

principais propriedades da integral indefinida.

Você sabia?

O termo integral, como usamos em cálculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (1667-

1748) e publicado primeiramente por seu irmão mais velho Jakob Bernoulli (1654 -

1705). Principalmente como uma conseqüência do poder do Teorema Fundamental

do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas simplesmente como

derivadas "inversas". A área era uma noção intuitiva, quadraturas que não podiam

( )F x

23

ser encontradas usando o Teorema Fundamental do Cálculo eram aproximadas.

Embora Newton tenha desferido um golpe muito imperfeito sobre a idéia de limite,

ninguém nos séculos XVIII e XIX teve a visão de combinar limites e áreas para

definir a integral matematicamente.

http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histintegral.htm

2.1 Propriedades

Como toda operação envolve propriedades, a integral de funções também é regida

por propriedades operatórias.

Se: 1)()( cxFdxxf e 2)()( cxGdxxg , então, sendo

,0,, aRba temos que:

i. CxGxFdxxgxf )()()()(

Prova: ),()()(')('')()( xgxfxGxFxGxF logo

,)()()()()()( CxGxFdxxgdxxfdxxgxf

21 ccC .

ii. cxFkdxxfk )(.)(.

Prova: Sendo k uma constante real, ),(.)('.')(. xfkxFkxFk

logo

cxFkdxxfkdxxfk )(.)(.)(. , 1.ckc

iii. 1)()( cbxFdxbxf

iv. 1)()( cbxFdxbxf

v. 1)()( cxbFdxxbf

24

vi. 1)(.1

)( caxFa

dxaxf

vii. 1)(.1

)( cbaxFa

dxbaxf

As duas primeiras propriedades foram deduzidas acima. Das cinco propriedades

restantes, as quatro primeiras são conseqüências imediatas da última, então

deduziremos esta última.

Prova da propriedade (vii): Por hipótese,

).()(' xfxF

Logo ),(.)').(('')( baxfabaxbaxFbaxF de onde

).()(.1

' )(.1

baxfbaxafa

baxFa

Portanto, 1)(.1

)( cbaxFa

dxbaxf .

2.2 Exemplos

1. .cedxe xx Logo,

a. cedxe xx 55

b. cedxe xx 22

c. cedxe xx 33 .

3

1

2. Calcule xdxtg 2:

Nesse exemplo precisamos recordar a seguinte relação trigonométrica:

25

1sec1sec 2222 xxtgxtgx , assim podemos substituir na

integral:

cxtgxdxxdxdxxxdxtg 222 sec1sec .

3. Calcule: x

dx.

Lembrando de que a derivada de ' 1 1

ln .lnx ex x

, então

cxx

dx ln ,

observe que foi inserido o módulo (valor absoluto) no logaritmando para

garantir a existência do logaritmo, pois por definição da função logarítmica, só

existe logaritmo para valores positivos ( 0x ).

2.3 Integrais Imediatas

Segue abaixo uma lista com as principais integrais imediatas:

1) -1n para 1

)'1

(11

n

xdxxx

n

x nnn

n

2) cxx

dx

xx ln

1)'(ln

3) cedxeee xxxx )'(

4) cxdxxx cossen)sen()'cos(

5) (sen ) ' cos cos senx xdx c

26

6) ctgxdxdxtgx 22 secsec)'(

7) 2 2( cot ) ' ( cos ) cos cotgx sec x sec xdx gx c

8) cxxtgxdxxtgxx secsecsec)'(sec

9)

carcsenxx

dx

xarcsenx

22 11

1)'(

10)

carctgxx

dx

xarctgx

22 11

1)'(

Veja a aplicação dessas integrais imediatas nos exemplos a seguir:

a) cxxdxdxxdxxx cos3

2sen)sen( 2321

b)

ctgxxdxx

x

dxdx

xx

dxdx

xxln sec

cos

1

cos

11 2

22

c)

cx

cx

dxxx

dx

2

1

2

23

3

d) cxxdxdxxx

dxx

xcos2sen2

cos

cossen2

cos

2sen

e)

ctgxxxdxdxxdxx

dxdxx

xx 2secseccos

1

cos

seccos

A partir de agora, passaremos a estudar os métodos de resolução de uma integral,

abordaremos critérios, artifícios algébricos, que têm por objetivo fazer a integral

estudada se tornar uma integral fácil de resolver ou imediata. Será necessário

observar os detalhes envolvidos nesses métodos ou critérios, as características dos

tipos de integral relacionadas ao método de resolução, e muita prática.

27

2.4 Método da substituição ou da mudança de variável

Seja: )(xF a primitiva de )(xf e )(xg uma função tal que FDxg ))(Im( . Assim,

podemos definir Fog e

)('))(()(')).(('')( xgxgfxgxgFxFog

Então: ))(( xgF é uma primitiva de )('))(( xgxgf , assim:

cxgFdxxgxgf ))(()('))((

Fazendo )(xgu então dxxgdu )('

Exemplos:

a)2

2

1

xdx I

x

Com a substituição: xdxduxu 21 2

2ln ln 1du

I u k x ku

b) cos 2xdx I

Com a substituição: 2

22dt

dxdtdxtx .

1 1 sen 2cos cos sen

2 2 2 2

dt xI t tdt t c c

c)3 4

dxI

x

28

Com a substituição: 3

43dt

dxtx

1 1 1 1ln ln 3 4

3 3 3 3

dx dtI t c x c

t t

d) 4 2 21 1 ( )

xdx xdxI

x x

Com a substituição: 2

2 dtxdxtx

2

2 2

1 1 1 1. ( )

1 2 2 1 2 2

dt dtI arc tg t c arctg x c

t t

e)

.0 ,22

aax

dx Essa integral é imediata.

f) 216 x

dx. Nessa integral basta fazer uma substituição.

g) xx

dx22 cos3sen2

. Nessa integral, que processo você usaria?

2.5 Processos gerais de integração

Além da substituição ou mudança de variável, existem outros métodos de

integração apropriados para situações que exigem um pouco mais de artifícios

algébricos, a seguir aprenderemos sobre esses outros métodos que se

adequam a tais situações.

2.5.1 Integração por partes

Sejam )( e )( xgxf duas funções deriváveis num mesmo intervalo I. Então

29

)().(')(')(' )().( xgxfxgxfxgxf

)()('' )()()(')( xgxfxgxfxgxf

dxxgxfdxxgxfdxxgxf )()('' )()()(')(

dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(

( ) ( )

'( ) '( )

u f x v g x

du f x dx dv g x dx

vduuvudv

Exemplos:

2

2

sec ln sec

sec

a)

x x dx x tgx tgx dx x tgx x c

u x du dx

dv x dx v tgx

1ln ln ln ln (ln 1)

1ln

b)

du dx

x dx x x x dx x x dx x x x c x x cx

u xx

dv dx v x

Agora tente resolver as integrais indefinidas a seguir:

a) dxxx ln

b) senxdxx2

c) xdxtgarc

30

d) xdx lncos

e) dxx)1ln(

f) senxdxx )1( 2

g) dxxsen

x2

h) dxex x )41(35

i)

dxx

xtgarcx

21

)(

2.5.2 Integração de funções contendo um trinômio de 2º grau

Considere o seguinte tipo de integral:

cbxax

dxA

2

O processo para calcular essa integral consiste em transformar o trinômio

cbxax 2 numa soma ou diferença de quadrados.

Observe os seguintes exemplos:

2222

2222

)14()2(14)2(104

2)3(4)3(136

xxxx

xxxx

31

Vejamos

.4

4)(

1

.

4)(

1

4

4)(

1

4

4)(

1

44

1

)(

2

2

2

22

2

2

2

22

2

22

2

2

2

222

2

ak

a

bxt

aa

bx

dx

acbxax

dx

aa

bx

dx

a

a

acb

a

bx

dx

a

a

bac

a

bx

dx

a

a

b

a

c

a

bx

a

bx

dx

a

a

cx

a

bxa

dx

cbxax

dxA

e fazendo e Assim

Integrais do tipo A são imediatas, ou seja, são tabeladas:

. 1

22c

a

xtgarc

axa

dx

cax

ax

aax

dx

ln2

122

c

ax

ax

axa

dxln

2

122

222

1

kt

dt

acbxax

dx

32

Exemplos:

2 2

2 2

4 2 ( 2) 2

2

1 2 1 2 2ln

( 2) 2 2 2 2 2 ln 2 2

a)

Fazendo

temos que:

dx dxI

x x x

x t dx dt

dt t x I c c

t t x

2 2 22 2

22

1 1

2 8 20 2 2( 4 10) 2 ( 2) 6( 6)

2

1 1 1 2

2 6 6 2 6 66

b)

Fazendo

temos que:

dx dt dx dxI

x x x x xt

x t dx dt

dt t xI arc tg c arc tg c

t

Existem também integrais do tipo:

2axbxc

dxB e

cbxax

dx

2 C

Procedendo com o mesmo raciocínio anterior, chegamos a algumas destas integrais

imediatas:

ca

xarc

xa

dxsen

22

caxxax

dx)ln( 22

22

33

Exemplos:

2 2

22

2

2 2 1 1

1 , :

ln 1 ln 1 1 11

a)

Fazendo temos que

dx dxI

x x x

x t dx dt

dtI t t c x x c

t

2 22

2 2 2

15 2 2 15 1 16

1 ,

1

4 4416 1

b)

Fazendo temos que:

dx dx dxI

x x x x x

x t dx dt

dx dx t xI arc sen c arc sen c

tx

2 22

2

2

173 2 3 23 2

4

3 / 2 ,

2 3 2

17 2 1717

2

c)

Fazendo temos que:

dx dx dxI

x x x xx

x t dx dt

xdx tI arc sen c arc sen c

t

Vamos estudar agora integrais do tipo:

.

22cbxax

BAxdx

cbxax

BAx E e D

34

O processo de resolução dessas integrais consiste em transformar o binômio

BAx na derivada do trinômio .2 cbxax Observe o exemplo:

.

xx

x

xx

x )x(x

. e QP xQPPx-xQ)xP(

x)dxx()'x(xxx

x

52

4222

1

52

3422

2

13

42

1322322

3225252

3

22

2

2

Logo . Assim

:que maneira de

reescrever queremos, Como . Seja

Generalizando temos que:

2 2 2

2

22 2 2 .

( ) ' (2 ) (2 )

22

2

Pois,

A Abax b BP ax b QAx B a aC

ax bx c ax bx c ax bx c

ax bx c ax b dx Ax B P ax b Q

AP

aPax Pb Q

AbQ B

a

Portanto,

2 2

2 2

2

22 2

22 2

2

2 2

A Abax b B -

Ax B a aD dx dxax bx c ax bx c

A Abax b B

a adx dxax bx c ax bx c

ax bA Abdx B

a ax bx c a

2

dx

ax bx c

35

Veja um exemplo do tipo D:

Fazendo as seguintes mudanças de variáveis:

dxduxu 1 e

dxxdtxxt )22(522 e completando o quadrado temos:

4)1(52 22 xxx , então temos:

Cx

tgarcxx

Cu

tgarctu

du

t

dtI

2

1

2

1452ln

2

1

22

14ln

2

1

24

2

1

2

22

Sugestão de atividade

Calcule as seguintes integrais:

Usando o mesmo raciocínio anterior para integrais do tipo D, temos que:

; )(-

-a

Ab e B

.a

A

Ix

dx

t

dt

xx

dxdx

xx

xdx

xx

x

dxxx

xa

42

213

22

1

12

1

2

4)1(2

1

524

52

22

2

1

52

4222

1

52

3)

2

2222

dx

xx

x

dxxx

x

342

5

24

13

2

2

b)

a)

2 2 2

2

2 2E

ax bAx B A Ab dxdx B

a aax bx c ax bx c ax bx c

36

Vejamos o exemplo:

Agora tente fazer o mesmo nas integrais:

12

53

342

5

2

xx

dxx

xx

dxx

b)

a)

Você sabia?

Existem muitos programas que solucionam integrais, entre eles está o Mathematica,

bastante utilizado no meio acadêmico. Que tal experimentar uma de suas versões:

calcule uma integral usando o Mathematica (este software não é free):

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

1

2 2 2 2

1

21

22

1

2

6 6 1 6 5 1 1 6 5)

3 5 6 3 5 6 3 5 6 3 5 6

6 6( 5)1 6 1

2 2.3 2 2.3

5 253 5 63 ( ) 2

6 36

e

x x x dxa dx dx I

x x x x x x x x

A AbB

a a

dt dx dxI t dt

t x xx

t dt

2

2

2

2 2

11 2

222

2

2

5 473 ( )

6 36

3 5 6 (6 5)

5 47 53 5 6 ( )

6 36 6

1 1 47ln

1 363 37( ) 2

6

Fazendo e completando o quadrado temos que :

e fazendo

dxI

x

t x x dt x dx

x x x u x du dx

dx tI t dt u u

u

2 212 3 5 6 ln 6 5 3 5 6

3

C

x x x x x C

37

2.6 Integração de funções racionais

Algumas funções apresentam-se sob a forma racional, isto é, razão entre duas

funções, para essas também existem processos de integração adequados. Vejamos

primeiro algumas definições importantes.

Definições:

1) Uma função polinomial de grau n é uma função da forma

.0 e ,,....,, que tal.....)( 01101

1

1

nnn

n

n

n

n aaaaaaxaxaxaxf

2) Uma função racional é uma função da forma )( e )( onde )(

)()( xqxp

xq

xpxf ,

são funções polinomiais e .0)( xq

Uma função racional )(

)()(

xq

xpxf pode ser:

i) Própria se grau de .q(x) degrau )( xp

ii) Imprópria se grau de .)( degrau )( xqxp

Exemplos:

1

583)(;

4

2;

52

3)(

2

24

35

5

6

4

x

xxxxf

xxx

xf(x)

xx

xxf c) b) a)

Toda função racional imprópria pode ser transformada em uma soma em que uma

das parcelas é um polinômio e a outra uma função racional própria.

38

Exemplos:

1

782

1

583)(

4

241

4

2)(

2

2

2

24

35

3

35

5

x

xx

x

xxxxg

xxx

xx

xxx

xxf

b)

a)

Portanto nos deteremos apenas ao estudo dos casos de integração das funções

racionais próprias.

Casos particulares:

2

1

)(

1)()

lnln)

11

ndxdtaxt

Cn

axAC

n

tA

t

dtAdx

ax

AII

dxdtaxt

CaxACtAt

dtAdx

ax

AI

nn

nn

; fazer basta

Fazendo

. dx

qpxx

BAxIII

2)

dxdtxt

Cx

Cx

t

dt

x

dxa

5

)5(2

1

15

)5(22

)5(

2)

4

15

55

fazer basta

:Exemplo

39

2.6.1 Integração de funções racionais pelo método de frações parciais

Esse método consiste em escrever uma função racional própria como soma de frações

parciais que dependem, principalmente, da fatoração do denominador da função racional

em .

Seja e onde 0)()()(

)()( xqxp

xq

xpxf são funções polinomiais cujo

)()( xqxpgrau .

1º CASO: Se todas as raízes de )(xq são reais e simples (isto é, distintas duas a duas).

Neste caso, seja naaa ,.....,, 21 as raízes de )(xq . Então

n

n

n

n

nn

nn

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

axaxaxaxax

xp

xqgrauaxaxaxaxaxNxq

1

1

3

3

2

2

1

1

)1321

1321

.....A

))().....()()((

)(f(x)

en )( , )).()........().().(.()(

Exemplos:

)3()1(13

31)1)(3(

13

34

13

34

13)

21

21

2

2

xAxAx

x

A

x

A

xx

x

xx

x

dxxx

xa

40

C

x

xCxx

x

dx

x

dxdx

xx

x

xxxx

x

AAx

AAx

4

12

2

11

22

)1(

3ln43ln1ln4

3134

13

3

1

1

4

34

13

4)13(83

1)31(21

4

e , Assim

para

para

2

172172

221

2

1210

).1()2()2)(1(167

21)2)(1(

167

23

167)

2

2

23

2

CCx

BBx

AAx

xCxxBxxxAxx

dxx

C

x

B

x

Adx

xxx

xxdx

xxx

xxb

para

para

para

:C e B A,doDeterminan

Cxx

x

Cxxxx

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

xx

22

17

1ln

2ln2

171ln2ln

2

1

22

17

12

2

1

23

16723

2

Sugestão de atividade

Exercícios propostos:

xxx

dxx

xxx

xdx

45

)125(

)5)(3)(1(

23

3

b)

a)

41

2º CASO: Se todas as raízes de )(xq são reais. Neste caso, seja nn aaaa ,,......,, 121

as raízes de )(xq com multiplicidade nn mmmm ,,.....,, 121 . Então

nn m

n

m

n

mmaxaxaxaxMxq )().......()()()( 121

121

onde o

nn m

n

m

n

mmaxaxaxax

xpxf

)()...()()(

)()(

121

121

, podemos então reescrever

f (x) através das frações parciais:

n

n

m

n

m

nn

m

m

m

m

ax

K

ax

K

ax

K

ax

B

ax

B

ax

B

ax

A

ax

A

ax

Axf

)(...

)()(...

...)(

...)()()(

...)()(

)(

2

21

2

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

.......)( 121 nn mmmmxqgrau

42

Exemplos:

C 2-x

3

2-x

3-xln 4

:variável de mudanças as Fazendo

4A0 xpara

para

para

Cs

xx

s

ds

t

dt

t

dt

x

dx

x

dx

x

dxI

dxdsx-sdtdxtx

Cx

Bx

xCxBxxAx

x

C

x

B

x

A

xx

x

xxxxx

Idxx

C

x

Bdx

x

A

xxx

dxxa

1

33ln42ln4

4343

4)2(

32

4

3;2

43

32

)2()3()3)(2(1

3)2(2)3()2(

1

)3()2(12167

3)2(212167

)1()

1

22

2

22

223

223

Cxx

x

Cx

xxx

dx

x

dxI

Bx

Ax

Cx

Cx)Bx(x)A(xx

Idxx

C

x

B

x

A

xx

dxx

xxx

dxx

xxx

dxxb

2

3)2(ln

2

32ln2ln2

)2(3

2

228

)2(2)2(

)8(

)44(

)8(

44

)8()

2

2

2

2

22223

2x

dx2

logo,

21 para

20 para

32 para

:C e B A,doDeterminan

43

Sugestão de atividade

Calcule as integrais:

3872

)73()

)2()1()

23

2

2

xxx

dxxxb

xx

dxa

3º CASO: Consideremos uma função racional cujo denominador contém fatores

lineares e/ou de 2º grau irredutíveis, e estes últimos, sem repetições.

)(

....)()()(

...)()(

...)(

...)()()(

...)()(

))...()(()...()()(

)()(

)...(

)....)(()...()()()())

)()(

2

22

2

22

11

2

11

2

2

1

1

2

2

2

2

22

2

21

1

1

2

1

12

1

11

2

22

2

11

2

21

2

22

2

11

2

21

2

2

1

1

21

21

tt

tt

k

n

nk

n

n

n

n

k

k

k

k

tt

k

n

kk

tt

k

n

kk

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

cxbxcxbxcxbxaxaxax

xpxf

cxbx

cxbxcxbxaxaxaxxqxq

xpxf

n

n

n

n

então

onde

44

Exemplo:

Carctgxxx

x

dx

x

xdx

x

dx

x

dxx

x

dxI

BCBAx

CCAx

AAx

xCBxxAx

Idxx

CBx

x

A

xx

xdx

xxx

xdx

2

11ln

4

11ln

2

1

12

1

12

1

12

1

1

)1(

2

1

12

1

2

12221'1

2

100

2

1211

)1)(()1(

)1()1()1)(1(1

2

222

2

2223

Para

a)

Sugestão de atividade

Calcule as integrais:

dxxxx

x

44

7323

a)

dxx

xc

416

168)

45

4º CASO: Consideremos uma função racional cujo denominador contém fatores

lineares e/ou de 2º grau irredutíveis, e estes últimos com repetições.

t

tt

n

n

n

n

s

tt

tsts

tt

tt

tt

tt

s

ss

s

ss

k

n

nk

n

n

n

n

k

k

k

k

tt

k

n

kk

s

tt

ssk

n

kk

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

cxbx

CxB

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

ax

A

cxbxcxbxcxbxaxaxax

xpxf

cxbx

cxbxcxbxaxaxaxxqxq

xpxf

)()()(

...)(

...)()(

...)(

....)()(

...)(

.....)()(

...)(

....)()()(

.......)()(

))...()(()...()()(

)()(

)...(

....)()()...()()()())

)()(

222

22

2

11

22

2

22

2

22

2

2222

22

2

2121

11

2

11

2

11

2

1212

11

2

1111

2

2

1

1

2

2

2

2

22

2

21

1

1

2

1

12

1

11

2

22

2

11

2

21

2

22

2

11

2

21

2

22

1

11

2

2

1

1

21

2

2121

...

então

onde

46

Exemplos:

dtdxxtx

Cx

xxt

dt

t

dt

x

dx

x

dxx

x

dxx

x

dxI

EC

DDBA

BBA

AxECxDBAxCxBA

xExDxxCxBxxA

xExDxxCxBxA

Idxx

EDxdx

x

CBx

x

Adxdx

x

EDx

x

CBx

x

A

xxx

dx

Fazendo

0C e 1A

0E

a)

21

)1(2

11ln

2

1ln

2

1

2

1

)1(12

1

0

102

10

221

121

111

)1(1112

2

2

2

2222

234

324

222

22222235

11/9C

11/9B 2

... b)

9/7224

9/1222

3/4324

0

2_422

...24232

1122232

2

2122121

232

23424

22224

22

222222

24

AECA

CEDCB

DDcBA

CB

BA

ECAxEDCB

xDCBAxCBxBAxx

xEDxxxCBxxAxx

Idxx

EDx

dxx

CBxdx

x

Adx

x

EDx

x

CBx

x

A

xx

dxxx

47

2222

22

22

12

22

22

12222

122

222

2

9/227

2

2

22

2

222222

222222

102

32

9

223

1

2322

1

4

1

.3

4

24

21.2.2

32.2

1.2.2

2

3

4

23

4

2

12

32

12

23

5

)2(9

6421ln

9

1

23

5

)2(9

642ln

8

111ln

9

7

223

1

3

4

)2(33

4

)2(

1

3

2

22

1

9

112ln

18

111ln

9

7

(**))2(3

4

)2(

2

3

2

29

11

2

2

18

11

19

7

)2(

1)2(2/1

3

4

2

1)2(2/1

9

7

)2(

1

3

4

2

1

9

11

19

7

xx

dxx

x

dx

Cx

tgarcx

xC

xtgarc

x

x

x

dxxx

x

dx

ax

dx

na

n

na

axx

ax

dx

Cx

tgarcx

xxx

Cx

tgarcx

xxx

Cx

tgarcx

x

x

xtgarcxx

x

dxdx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

x

x

dxI

n

n

b) 1x

a) :Exercícios

3

4-

x

dx

3

4-

2

2.7 Integração de funções irracionais

Algumas funções apresentam-se sob a forma irracional, isto é, com radicais ou

expoentes fracionários irredutíveis, para esses também existem processos de

resolução adequados. Veremos os casos mais freqüentes.

48

1º CASO:

1 2 1 2

1 2 1 2, , ,....., , , ,.....,

i i

Seja I R onde .R indica apenas

funções racionais e m ,n são números inteiros.

O cálculo de integrais como esta consist

s s

s s

m mm m m m

n nn n n nx x x x dx x x x x

,...., ),1

e em uma mudança de variável do tipo x

onde (n para transformar a integral dada em uma integral de função racional.

k

s

t

k mmc n

Exemplo:

Cx

xxx

Ct

tt

ttt

dttdxtxmmc

Cdtt

tttdtt

tdt

t

ttdx

x

xdx

x

xa

1

1x3lnx

357 6

1

1 ln

2

1

357 6

66)2,3(

1

116

16

1

6

11

)

6

66

6 36 56 7

357

56

2

246

2

8

2

53

3

1

2

1

3

dttdxtxmmc

Cx

Ct

dttdtt

ttdt

t

tttdx

x

xxb

34

4 554

4532

4

4

44)4,2(

5

4

5

44

14

1

4

1)

2º CASO:

Seja I dxdcx

bax

dcx

bax

dcx

baxx

s

s

n

m

n

m

n

m

1

2

2

1

1

,...,,,R , onde

s

s

n

m

n

m

n

m

dcx

bax

dcx

bax

dcx

baxx

1

2

2

1

1

,...,,,R indica apenas funções racionais, a,b,c e d são

números reais e ii nm , , são números inteiros.

49

O cálculo de integrais como esta consiste em uma mudança de variável do tipo

ktdcx

bax

, onde ),...,,( 21 snnnmmck , para transformar a integral dada numa integral

de função racional.

Você sabia?

CUBO MÁGICO - Fridrich decifrou pela primeira vez as faces coloridas do cubo em

1981, quando era uma adolescente vivendo numa cidade tcheca mineradora de

carvão. Fridrich, autodidata em cálculo diferencial e integral, esboçou a solução para

o cubo mágico em um caderno surrado antes mesmo de possuir o brinquedo. Em

conferências acadêmicas, Fridrich, 44, professora de engenharia elétrica, é

freqüentemente desafiada a resolver o cubo na hora. Ela lida com e-mails de

meninos de 13 anos do Japão e já inspirou inúmeros vídeos no YouTube de

entusiastas do cubo que repetem seu método, propagado pela Internet no final dos

anos 1990, quando o quebra-cabeça ressurgiu.

Exemplo:

Cxxx

Cttt

t

dtdttI

dttdxt

xxtmmc

Idtt

tt

dtt

tt

dtt

tt

dtt

tt

dtt

xx

dx

Cxtgarc

Cttgarctt

dtdtdt

tdt

t

t

t

dtttI

tx

dttdxtx

Idxx

x

132ln33232

3231ln33

2

3

113

32

3326)2,3(

1

113

13

13

33

3232

12

221

221

112

12

1

2.

1

21

1

6

1

6

13

12

56

6

2

3

5

34

5

2

16

3

26

5

3 2

222

2

2

2

b)

1-x2

Fazendo

a)

50

Sugestão de atividade

Exercícios:

21

1

32

3

x

dx

x

x

xxx

dxx

b)

a)

2.8 Integração de funções trigonométricas

(I) - Substituição universal (II) - Funções envolvendo potências de seno e cosseno

(III) - Funções do tipo . sen). (cosou cos). (sen xxfxxf

.,2

cos

t1

dt 2dx 2

22

2

coscos1

.cos,

2

tx

tgsenxx

arc tg txttgarcx

t x

tg

t x

tg

xsen x

dx

xsenx

dx

sen x

dx

RdxxxsenR

de portanto e de função em e exprimir possível É

:que Observe

racional. integral

numa dada integral a transforma que , é que ,universal" ãosubstituiç"

chamada ãosubstituiç uma mediante resolvidas são estas como Integrais

; ; :Exemplos

racional função uma indica onde Seja-(I)

51

2/

2/

2/cos

2/1

2/cos/2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/cos

2/cos2/

2/cos

2/cos.2/2

2/2/

2/2/

2/cos2/

2/cos.2/2

2/2/2/cos.2/2

Bcos22A

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

x

x

x

xsen

xxsen

x

xsen

x

x

x

xsen

x

x

x

xxsen

x

xxsen

xsenx

xsenx

xxsen

xxsen

xsenxxxxsensen x

sensensen

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

tg1

tg-1

coscos

cos

coscos

cos

cos

cos

coscos

coscos2

Concluímos então que:

21

21cos

21

222

2

2 x/tg

x/-tg x

x/ tg

x/ tg sen x

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

1

1cos

1

.2

1

.22

2/1ln

1ln1

1

121

1

2

1

1

1

21

1

2

cos1

1

1cos

1

2

1

2

t x/2tg

t

t-(x),

t

tsen(x)

t

dt dxt )tg(x/

Cxtg

Ctt

dt

t

ttt

t

dt

t

t

t

t

t

dt

(x)-sen(x)

dx

t

tx

t

t ; senx

t

dtdx

e onde

a)

:Exemplos

e

: que temos fazendo Portanto

52

Cxarctg

xtgCtarctg

tt

dt

t

dtI

DBCA

tt

tDCttBttA

t

DCt

t

B

t

A

tt

t

dtdxxtarctgxtgt

Itt

dtt

ttt

dtt

t

dt

t

tt

t

xsen

dxxsenb

)2/(.21)2/(

2)(.2

1

2

12

1

12

14

2/1,1,0

1.1

111.1

1111.1

1

1

22/)()2/(

1.1

.

112

.4

1

.2.

1

21

1

2

)(1

)()

22

22

22

2222

2

22222

2

2

(II) No caso em que tivermos nmxxR mn e com sen,cos inteiros, iremos

considerar três situações distintas:

(i) Para nm e inteiros pares, com pelos menos um deles negativos. Nesse caso

faremos uso da substituição 21

)(ttg(x)t

dtdxxarctgx

e

escreveremos (x)(x) e sen 22 cos em função de t para transformar as

integrais dadas em integrais de funções racionais.

53

CarctgxCtarctgt

arctgt

dt

t

dtI

D

BCAtt

tDCttBAt

t

DCt

t

BAt

tt

t

Idtt

DCt

t

BAtdt

tt

t

t

dt

t

t

t

t

x

dxxsen

Cxtg

Ct

t

dt

t

dt

t

t

t

xsen

dxx

t

t

t

t

txxsen

(x)tg(x)

xxtg

xxtg

x

x

xx

xsenxxsen

e

b)

a)

:Exemplos

-1

222

2

212

1

2,021

12

2121

.21

.211

.

11

1

)(cos1

).(

1

31.

1

1

1

)(

).(cos

1t

t (x)sen

11

11

1

1)(cos1)(

1t

1(x)cos

1

1cos

)(cos

11)(

1)(cos

1)(

)(cos

)(cos

)(cos

1

)(cos

)()(cos1)(

22

22

22

2222

2

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

422

2

2

2

4

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

222

Integrais do tipo dxxgRdxxtgR .cot e .)( são também resolvidas mediante as

substituições:

54

Cgxgxgx

Cttt

dtt

ttttdt

t

tdxxgb

CxtgxtgCttt

dtt

t

dtI

CBACBttAtt

CBtA

t

t

Idtt

CBt

t

A

t

dtt

t

dtdx

xgarcxtarctgxtg(x)

(x) 6

cotg-

6

t-

t-1t-1t-1

t-1t-1

t1

tg(x)-1

tg(x)1a)

:Exemplos

e

6

6

224

224

2

35

2

77

22

2

2

22

222

22

cot1ln2

)(cot

4

)(cot)(

1ln24

.1

.1

).(cot)

)(1ln2

1)(1ln1ln

2

11ln

1

.

1

0,11111

1

.111

1

1..

t1

dtdx)(cottcotg(x)

1t

dtdx)(t

Sugestão de atividade

Exercícios propostos:

)()()

1

22 xtgxsen

dxb

tg(x)-

dxa)

Consulte também: http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula7/aula7.htm

55

(ii) Seja nmdxxx nm e onde )(sen).(cos são inteiros e pelos menos um

deles é ímpar, sem perda de generalidade suponhamos que

.12 pm Nesse caso fazemos a seguinte substituição:

(2 1) 2

2 2

cos ( ). ( ) . cos ( ). ( ) . (cos ( )) .cos( ). ( ) .

(1 ( )) .cos( ). ( ) . (1 ) . .

( ) cos( ).

Fazendo

m n p n p n

p n p n

x sen x dx x sen x dx x x sen x dx

sen x x sen x dx t t dt I

sen x t x dx d

2 1 2cos ( ). ( ) . cos ( ). ( ) . cos ( ) .(cos ( )) . ( ) .

cos ( ) . 1 co

daí é fácil de ser resolvida.

Ou pode ocorrer a seguinte situação:

pn m n n p

n p

t

I

x sen x dx x sen x dx x x sen x dx

x

2 2

1

1

2 25 2 2 2 2

s ( ) . ( ) . (1 ) .

( ) ( ).

( ). ( ). cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) 1 cos ( ) ( )2

Fazendo os

daí também é uma integral fácil de ser resolvida.

Exemplos:

a) cos

pn px sen x dx t t dt I

c x t sen x dx dt

I

x sen x dx x sen x sen x dx x x sen x d

2 2

2 2 4 2

3 5 7

1 4

cos( ) ( ). ,

43 5 7

2 - t

Fazendo obtemos:

x

t dt t t t dt

x t sen x dx dt

t t tC

3 5 7cos cos ( ) cos ( )4

3 5 7

x x x

C

56

Cxsenxsen

dtt

dxxtsen(x)

dxxsenxdxxsenxxdxxsenx

6

)(

4

)(

.).cos(

).().().().cos().().().(

645

333

3

223

t

Fazendo

cos(x)sen1-coscosb)

(iii) Quando m,n são pares não negativos. Nesse caso fazemos uso das

identidades trigonométricas:

.2

2cos1cos

2cos1cos2

cos12cos2coscos

cos2cos

2

2

222

22

x)((x)

x)((x)

(x)x)((x)senx)((x)

(x)sen(x)x)(

De maneira análoga temos que: 2

2cos12 x)((x)sen

.

Assim, transformamos as integrais dadas em integrais de funções racionais.

22

22

4

)2(cos2cos

2

1

4

1

.4

2cos2cos21

2

2cos1coscos

2

22224

dudtut e

dtt dxx

.dxx

.dxx)(dx

dxx)(x)(

dx.x)(

.dx(x)(x).dx

Fazendo

a)

:Exemplo

57

.

32

4

4

2

8

3

cos16

1cos

4

1

4

12cos

16

1cos

4

1

4

1.

2

2cos1

8

1cos

4

1

4

1

cos8

1cos

4

1

4

1 2

Cx)sen(x)sen(x

).du(udt.dt(t)dx).dtt(

dt.dt(t)dxdtt)(

.dt(t)dx

(t).dt.dx(t)dxI

32

1

16

1

Agora, usando o raciocínio do exemplo anterior, tente resolver a seguinte

integral: (x)).dx(x)).(sen( 42cos

(III) Sejam n(bx).dx sen(ax).se(bx).dx , sen(ax). cos e x).dx(ax).sen(bcos , com .ba

Para resolvermos integrais desses tipos, vamos primeiro relembrar de algumas

relações trigonométricas importantes:

)cos().sen(2)sen()sen()()(

)cos()sen()cos().sen()sen( )(

)cos()sen()cos().sen()sen( )(

bxaxbxaxbxaxba

axbxbxaxbxaxb

axbxbxaxbxaxa

2

bx)sen(axbx)sen(axs(bx)sen(ax).co

58

)cos().cos(2)cos()cos()()(

)sen()sen()cos().cos()(co )(

)sen()sen()cos().cos()cos( )(

bxaxbxaxbxaxdc

bxaxbxaxbxaxsd

bxaxbxaxbxaxc

)().(2)cos()cos()()( bsenaxsenbxaxbxaxdc

Usando as relações acima temos que:

.dxb)x(ab)x(an(bx).dxsen(ax).se

.dxb)x(ab)x(a(bx).dx (ax).

.dxb)xsen(ab)xsen(a(ax).dxsen(ax).

coscos2

1

coscos2

1coscos

2

1cos

Exemplos:

2

bx)cos(axbx)cos(axs(bx)cos(ax).co

2

bx)cos(axbx)cos(axn(bx)sen(ax).se

59

Cxx

dxxsendxxsendxxxsenc

Cxsenxsen

dxxdxxdxxsenxsen

Cxsenxsen

Cxsenxsen

(x)(-x) -sen(x) eex(-x) , sdu

dxux , dt

dxtx

duudttdxxdxxcoxdxxx

2

)cos(

10

)5cos().(

2

1)5(

2

1).2cos().3()

22

)11(

6

)3().11cos(

2

1)3cos(

2

1.)4().7(

10

)5(

22

)11(

10

)5(

22

)11(

coscos5

511

11

).cos(10

1).cos(

22

1).5cos(

2

1).11(

2

1.)8cos().3cos(

b)

Fazendo

a)

Sugestão de atividade

dxxsenxsenb

x).dx(

)3().5()

2seca)

:Exercícios

Veja tabela de integrais trigonométricas:

http://wapedia.mobi/pt/Lista_de_integrais_de_fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C

3%A9tricas

60

z

t

a

22 ta

t

2.9 Integração por substituição trigonométrica

Seja .., 2 dx)cbxaxxR( , para resolver integrais desse tipo, seguiremos alguns

passos com o objetivo de transformá-las em integrais de uma função racional, de

forma a relacioná-las com as funções trigonométricas ;cos t)(t) ou tg(sen(t), com

os seguintes passos:

1) Transformamos o trinômio cbxax 2em uma soma ou diferença de

quadrados, quando necessário;

2) Fazemos a substituição dtdxta

bx

2, para encontrarmos integrais

do tipo:

).dtatR(t,

).dtatR(t,

).dttaR(t,

22

22

22

c)

b)

a)

No caso a), o domínio da função aata ,22 é , que é justamente o conjunto de

valores que (x)a.cos e a.sen(x) podem assumir. Fazendo a substituição ou mudança

de variável ( z )ata s e n ( z )t c o s ou , na integral, obteremos uma integral de

função racional em função de (z)sen(z) cos e .

Um triângulo retângulo, como segue nas figuras abaixo, facilita a visualização

dessas relações trigonométricas envolvidas nos cálculos.

61

Observe a aplicação do teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo:

)cos(.)(cos))(sen1()sen(

).cos(.)sen(.)sen(

2222222 zazazazaata

dzzadtzata

tz

Ou,

)sen(.)(sen))(cos1()cos(

).sen(.)cos(.)cos(

2222222 zazazazaata

dzzadtzata

tz

z

t

a

22 ta

t

62

z

z

z z a

22 at

t

2

2

1

22

1

2

2

1

.

8

414

4

)2(

411cot2222

8

)cos().(2

4

)2()2(

8

1

4

1

2)cos(

4

1

4

1

).2cos(4

1

4

1.

2

)2cos(1

2

1).(cos

2

1.)cos(

2

1)cos(

2

12

)cos(2

1

4

1cos

2

1

2

1

.2.).

x

dx

Cxxxarctg

I

x(t)-sen(t)x) ; arctg(tsen(t)xdu ; dtut

ICttsenxarctg

Ctsentdu

udt

dttdtdtt

dttdtttI

tx(t).dtdxsen(t)x

Idxdxdx

2

2222

xa) :Exercício

Fazendo

e Fazendo

x-)2

1(x-

4

14(4x-1a)

:Exemplo

Na integral dada em b) ).dtatR(t, 22, o domínio da função

22 at é , )[a,,-a](- que é justamente o conjunto de valores que (t)a.sec

ou (t)a. seccos , podem assumir. Fazendo a substituição

(t)a.t sec (t)a.t seccos ou , na integral, obteremos uma integral de função

racional em função de sen(t) e (t)cos .

Um triângulo retângulo, como na figura abaixo, facilita a visualização dessas

relações trigonométricas envolvidas nos cálculos.

z

63

Veja novamente a aplicação do teorema de Pitágoras:

)(.)()1)((sec)(sec

).().sec(.)(sec.)()(cos

1.)cos(

22222222

2

2

ztgaztgazaazaat

dzztgzadtzattz

att

az

Exemplo:

a)

Ittg

dtttgtdx

x

x

)(.2

).().(sec.4.

4

2

2

2

que temos

como e assim t,Fazendo

(t)tg(t)

x(t)d(t).tg(t)..dx(t) x

22 1sec

2secsec2sec2

Cttgttttg

dttI

2

)()sec(ln)sec().(4).(sec4 3

Sabemos que: 2

41

41sec

222

xx

(t)tg(t) .

Daí,

Cxxxx

Cxx

Cxxxx

Ctg(t) (t) (t)tg(t). I

4ln22

4

2

4_

2ln2

2

4

2

4

2ln2

2.

2

42secln2sec2

222

22

2xx

64

z

z

z z a

22 at

t

Sugestão de atividade

4ln

.ln)

.25

2

3

2

xx

dxxb

dxx

xa)

:Exercícios

Na integral dada em c) ).dtatR(t, 22, o domínio da função

22 at é R, que é

justamente o conjunto de valores que a.tg(t) ou g(t)a.cot , podem assumir. Fazendo

a substituição (t)a.ta.tg(t)t seccos ou , na integral, obteremos uma integral de

função racional em função de sen(t) e (t)cos .

Um triângulo retângulo, como na figura abaixo, facilita a visualização dessas

relações trigonométricas envolvidas nos cálculos.

Aqui também usamos a relação trigonométrica da tangente com a secante:

)sec(.)(sec)1)(()(

).(sec.)(.)(

22222222

2

zazaztgaaztgaat

dzzadtttgata

tztg

65

dxxxb

x

dxx

Cx

xC

tsentsen

dtt

tttg

dttI

x

xtsen

tx

xtdttdxttgx

xttg

Ixx

dx

.22)

4

.

1

)(

1

)(

).cos(

)cos(

1)(

).(sec

1)(

)cos(

11

1

1)cos(;).(sec)(

1)(

1

2

2

3

2

22

2

2

2

2

2

22

a)

:Exercícios

e

Fazendo

a)

:Exemplo

66

3 Integral definida

Antes de começarmos um estudo sobre a integral definida, vamos relembrar a ideia

da soma de muitos termos. A soma, que geralmente é designada pela notação

sigma, isto é, , tem grande relação com o significado de uma integral definida.

Por exemplo, em vez de escrevermos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, podemos escrever

6

1k

k .

Tomando a convenção de que k assume valores de 1 até 6. Ou seja,

6543216

1

k

k

a soma dos seis primeiros números inteiros positivos.

Veja outro exemplo:

852)1()4(232

2

k

k

Em geral temos,

)(...)1()()( nFmFmFkFn

mk

, onde m e n são inteiros, e nm .

O número m é chamado o limite inferior da soma, e n é chamado o limite superior.

O símbolo k (arbitrário) é denominado o índice da soma.

3.1 Interpretação geométrica

Os fundamentais problemas do cálculo são problemas que envolvem

encontrar a inclinação da tangente à uma curva e, a determinação da área de uma

região limitada por curvas. A derivada está relacionada com a tangente e a integral

definida com o cálculo de áreas de certas regiões do plano cartesiano, cálculo do

volume de figuras limitadas por superfícies ou de sólidos de revolução, ou ainda é

também aplicada na resolução de problemas que envolvem o cálculo de alguma

grandeza que caracterizam-se por integrar uma função associada a um diferencial.

67

Sabemos que, a área de uma região limitada por retas é facilmente calculável

empregando as fórmulas conhecidas. Por exemplo, a área de um retângulo é o

produto do seu comprimento pela sua altura. A área de um triângulo é o produto

de uma base pela metade da altura correspondente. A área de um polígono

pode ser obtida decompondo-o em triângulos.

No cálculo de área de regiões delimitadas por gráficos de funções utilizamos a

teoria de limite e métodos de cálculos algébricos. Para essa finalidade,

consideramos uma região R em um plano coordenado, delimitada por duas retas

verticais ax e bx e pelo gráfico de uma função f contínua e não negativa no

intervalo fechado ],[ ba , conforme a figura abaixo.

Como 0)( xf para todo x em [a, b], o gráfico de f não tem parte alguma abaixo

do eixo x . Por conveniência tomamos a região R sob o gráfico de f de a até b.

E consideramos um número A como a área da região R.

Queremos definir a área A da região R. Para chegarmos a essa definição, dividimos

a região R em muitos retângulos de igual largura tal que cada retângulo esteja

completamente inscrito no gráfico de f e intercepte o gráfico em pelo menos um

ponto, conforme ilustração abaixo.

68

Observe que quanto maior o número de retângulos inscritos (podemos fazer a

largura desses retângulos tenderem a zero), melhor a aproximação da área limitada

pelo gráfico de f de a até b. A fronteira formada pela totalidade desses retângulos

é chamado de polígono retangular inscrito. Usaremos a notação Ai para representar

a área desse polígono.

Pelo teorema do valor médio, se uma função f é contínua num intervalo fechado

],[ ba , então existe um ponto ci em cada subintervalo de ],[ ba , para o qual f toma

um valor mínimo absoluto.

Definição 3.1: Suponhamos que a função f seja contínua no intervalo fechado

],[ ba , com 0)( xf para todo ],[ bax e que R seja a região limitada pela curva

)(xfy , o eixo x e as retas ax e bx . Dividindo o intervalo ],[ ba em n

subintervalos, cada um com comprimento n

abx

)( e denotamos o i-ésimo

subintervalo por ],[ 1 ii xx . Então, se )( icf for o valor mínimo absoluto da função

no i-ésimo subintervalo, a medida da área da região R é dada por

n

i

in

in

xcfAA1

)(limlim

69

Seguindo o mesmo raciocínio anterior de divisão dos subintervalos, podemos dividir

o intervalo ],[ ba em n subintervalos escolhendo (n-1) pontos intermediários

quaisquer entre a e b. Esses pontos não são necessariamente equidistantes, daí

teremos os comprimentos desses subintervalos, de tal forma que o i-ésimo

subintervalo seja dado por ,1 iii xxx para cada subintervalo, isto é, é uma

partição do intervalo ],[ ba . Escolhendo um ponto i em cada subintervalo,

passamos a obter a soma:

n

i

ii xf1

)(

Tal soma é chamada uma soma de Riemann.

‘Você sabia?

Você sabia que Bernhard Riemann teve uma grande contribuição para o cálculo

integral?’

Definição 3.2: O limite da soma de Riemann é representado pela integral

b

a

dxxf )(

que é chamada de integral definida de )(xf entre os limites a e b ( a é o limite

inferior e b é o limite superior).

3.2 Teorema Fundamental do Cálculo

O teorema fundamental do cálculo foi estabelecido independentemente por Newton

e Leibniz, por isso ambos receberam o mérito por uma das descobertas mais

importantes do cálculo.

70

Teorema 3.1: Seja f uma função contínua em ],[ ba :

i. Se F é definida por

],[,)()( baxdttfxF

b

a

, então F é uma primitiva de f em ],[ ba .

ii. Se F é uma primitiva de f em ],[ ba , então:

)()()( aFbFdttf

b

a

Conhecida também como fórmula de Newton-Leibniz.

Sugestão de leitura:

Veja o vídeo sobre o teorema fundamental do cálculo pelo link:

http://www.youtube.com/watch?v=0lVJrnYDRI4

Exemplo 1: Ache o valor da integral definida 2

0

3dxx .

Solução:

4044

)0(

4

)2(

4

442

0

42

0

3 x

dxx

Exemplo 2: Ache o valor da integral definida 2

0

cos

xdx .

Solução:

b

a

dxxf )(

71

101)0(2

cos 2

0

2

0

sensensenxxdx

Sugestão de atividade

Exercícios

Calcule as integrais abaixo:

1) 3

0

2dxx

2) 2

0

dxe x

3)

2

0

)62( dxx

4) 2

1

lndx

x

x

Para o cálculo do limite na definição anterior para a integral definida podemos

restringir nossas partições ao caso em que todos os subintervalos [ ii xx ,1 ] têm o

mesmo comprimento x . Uma partição deste tipo é dito partição regular.

Obs.: Na notação da integral definida pode-se usar outras letras que não seja x .

Isto é, se f é integrável em [a, b], então

b

a

b

a

b

a

b

a

dwwfdssfdxxfdttf )()()()( , etc.

Por essa razão a letra x na definição da integral definida, é chamada de variável

muda.

72

Indicação de leitura: Souza, Antônio A. Aplicações do Cálculo, Salvador: Centro

Editorial e Didático da UFBA, 1990.

Este livro é bem prático, de fácil leitura, com bastante exemplos e exercícios.

3.3 Propriedades da integral definida

Se )(xf e )(xg são funções contínuas no intervalo de integração ],[ ba e c é uma

constante qualquer, então:

P1.

b

a

b

a

dxxfcdxxcf )()(

P2.

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

P3.

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( para a < c < b

P4. b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

P5. Se )()( xgxf , então b

a

b

a

dxxgdxxf )()( .

Relembrando: Teorema do valor médio (Lagrange) – Seja )(xF uma função

contínua em ],[ ba , e derivável em ba, , então existe bac , tal que:

ab

aFbFcF

)()()('

73

P6. Usando o teorema do valor médio, se )(xf é contínua em ],[ ba , então existe

c em ba, , tal que

b

a

b

a

cfdxxfab

abcfdxxf )()(1

))(()(

3.4 Aplicações

3.4.1 Áreas compreendidas entre curvas

Exemplo 1: Achar a área limitada pela curva 23 3xxy , pelo eixo x e pelas retas

x = 0 e x = 2.

Solução:

A =

22 4 4 4

3 2 3 3 3

0 0

2 0( 3 ) 2 0 12 .

4 4 4

xx x dx x u a

Convém lembrar que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o

conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como no

exemplo 1, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo x .

Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo x em um intervalo [a, b] é: Área

total = ) () ( negativasáreaspositivasáreas

De um modo geral se 0)( xf em ],[ ca e 0)( xf em ],[ bc , a área total absoluta

é dada por A = b

a

dxxf )( = c

a

b

c

dxxfdxxf )()( = A 1 - A 2 . Veja a figura a seguir, a

área A2 terá um valor negativo, por isso que fazemos: A 1 - A 2 , dessa forma

somaremos as áreas A 1 e A 2 .

74

A1

a b c

A2

Exemplo 2: Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo x em ]2,0[ .

Solução:

Tomando como base o gráfico da função:

0 2

Temos então que: A = 2

0

sen xdx =

0

2

sensen xdxxdx = 2

0 coscos xx

A = 422cos2cos0coscos u.a.

Sejam )(xf e )(xg duas funções contínuas no intervalo ],[ ba , tais que

)()(0 xfxg para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida

entre os gráficos de )(xf e )(xg de ax a bx é dada por:

A =

b

a

dxxgxf )]()([

75

Exemplo 1: Achar a área limitada pelas curvas: 2xy e xy .

Solução:

Achando os pontos de interseção das curvas:

xx 2 002 xxx ou 1x 1

Então: A =

1

0

2)( dxxx =

1

0

32

32

xx=

6

1 u.a.

Sugestão de atividade

Exercícios

Calcule as áreas abaixo definidas graficamente, usando integral definida:

a)

76

b)

c)

Sugestão de Leitura:

http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_integrais

77

3.4.2 Aplicações diversas da integral definida

São muitas as aplicações da integral definida. Por exemplo, na física há conceitos

que têm implicações geométricas como centros de massa, em que a integral é

utilizada para generalizar ideias de sistemas discretos de partículas localizadas em

um número finito de pontos de um plano a uma distribuição contínua de massas

numa região R. Na economia, encontramos conceitos como produção, receita e

lucro, em que a integral também pode ser utilizada. Na química encontramos

também problemas relacionados a integral definida, como variações de temperatura,

pressão, volume, trabalho realizado, etc. Vejamos agora alguns problemas de

aplicação de integral definida.

Exemplo 1: Por várias semanas, o Departamento de Trânsito vem observando a

velocidade de veículos num determinado viaduto. Os dados sugerem que, entre 13 e

18 horas de um dia de semana normal, a velocidade dos veículos neste viaduto é

dado aproximadamente por 4060212)( 23 ttttV km/h, em que t é o número

de horas transcorridas após o meio-dia. Calcule a velocidade média do tráfego entre

13 e 18 horas.

Solução: Observe que podemos usar a integral definida para calcular o total de

velocidades registradas nesse período e aplicar o teorema do valor médio para

encontrar a velocidade média:

km/h 5,78

5,634565

1

403072

1

5

1

406021216

1

6

1

234

6

1

23

tttt

dttttVmédia

Exemplo 2: Certo poço de petróleo que fornece 300 barris de petróleo por mês

secará em 3 anos. Estima-se que, daqui a t meses, a receita do petróleo será dado

78

por ttR 3,018)( milhões de reais por barril. Sendo o petróleo vendido tão logo é

extraído do poço, qual será a receita total futura do poço?

Solução: Sabemos que a receita total nesse período de produção do poço pode ser

calculada pela integral definida, então:

reais de milhões 360.207

2,018.300

3,018.300

)(.300

36

0

23

36

0

36

0

tt

dtt

dttPRtotal

Exemplo 3: O trabalho realizado por um gás quando ele se expande é dado pela

relação: volume) Ve pressão(P PdVW . Calcule W quando o gás se

expande de 1,0 litro para 10 litros se:

litros.atm

atm, a)

9

110

1

10

1

10

1

v

dVW

P

litros.atm

b)

64,56

10ln.6,24

ln.6,24

6,24

,6,24

10

1

10

1

v

dVV

W

VP

79

Mais uma vez vemos a utilização da integral definida, desta feita para determinar o

valor que representa uma grandeza física (trabalho), visto que a ela foi dada por uma

integral, tendo uma variação em volume, bastou apenas usar essa variação como

intervalo de integração.

Você sabia?

Para calcular a área de uma superfície esférica usamos o mesmo raciocínio do

cálculo da área da superfície de um anel. Veja em:

http://obaricentrodamente.blogspot.com/search/label/Trigonometria

3.4.3 Aplicações de cálculo de volume em sólidos de revolução

Estudaremos agora alguns casos de sólidos de revolução gerados pela rotação de

figuras planas sobre os eixos cartesianos. Mas, primeiro precisamos aprender como

se determina um volume usando integral definida.

Seja a função A(x), definida em ],[ ba , contínua, então o volume do sólido é:

b

a

dxxAV )(

Observe que houve uma mudança no integrando, agora temos uma função que

representa uma área. Como então fazer para obter essa função A(x)?

Quando rotacionamos uma região do plano xy em torno de uma reta (o eixo)

realizando uma volta completa, o lugar geométrico descrito pelos pontos da região é

o que chamamos um sólido de revolução.

Suponhamos que um sólido de revolução é obtido rotacionando-se, em torno do eixo

Ox, uma região R delimitada pela curva y = )(xf , sendo f uma função contínua

num intervalo ],[ ba , )(xf ≥ 0, e pelas retas verticais ax e bx , como mostra a

figura abaixo

80

Para cada ],[ bax um plano perpendicular ao eixo Ox, cortando esse no ponto x,

determina no sólido de revolução uma seção transversal que é um circulo centrado

em 0,x e raio )(xf e portanto cuja área 2)()( xfxA .

Portanto, o volume do sólido de revolução é

.)()(2

b

a

b

a

dxxfdxxAV

Se um sólido de revolução S é obtido rotacionando-se em torno de eixo Oy, uma

região R delimitada pela curva )(ygx , g contínua em ],[ dc , 0)( yg , e pelas

retas horizontais e , o volume V de S é dado por:

.)(2

b

a

dyygV

Se um sólido de revolução S é obtido rotacionando-se em torno de eixo Ox, uma

região delimitada pelas curvas )(1 xfy , )(2 xfy e pelas retas verticais ax e

bx , sendo )()( 21 xfxf para bxa , o volume V de S é dado por

.)()(2

2

2

1

b

a

dxxfxfV

Se um sólido de revolução S é obtido rotacionando-se em torno de eixo Oy, uma

y c y d

81

região delimitada pelas curvas )(1 ygx , )(2 ygx e pelas retas horizontais cy

e dy , sendo )()( 21 ygyg para dyc , o volume V de S é dado por:

.)()(2

2

2

1

b

a

dyygygV

Vejamos alguns exemplos agora, que envolvem as situações de rotação em torno de

Ox e em torno de Oy:

Exemplo 1: Considere a região do plano delimitada pelo eixo Ox, o gráfico de

xy , para 0 ≤ x ≤ 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao

redor do eixo y. Calcule o volume dos 2 sólidos gerados.

Solução:

a) A partir da rotação em torno de Ox

A curva que limita a área da região que foi rotacionada é xy , em ]2,0[x ,

então temos que xxAxfxA )()()(2

, aplicando a integral para calcular o

volume gerado:

82

22

)(

2

0

22

0

x

xdxdxxAV

b

a

u.v.

b) Com a rotação em torno de Oy

Para cada ]2,0[y , a seção transversal ao eixo y é um anel circular de raio

externo igual 2 e raio interno igual 2yx e portanto tem área igual

4422 442)( yyxyA

Logo o volume do sólido é igual a:

5

2164)(

2

0

4

2

0

dyydyyAV u.v.

Exemplo 2: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada

por 3 xy e

4

xy no primeiro quadrante ao redor do eixo Ox.

Solução:

Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção:

83

8,04

31

xxx

x e 2,0 yy .

Vamos analisar a rotação em torno de x:

Para cada ]2,0[x , a seção transversal ao eixo x é um anel circular de raio

externo 3

2 xy e raio interno 4

1

xy , e portanto tem área

164)(

2

32

22

3 xx

xxxA . Logo o volume do sólido é:

15

128

16

8

0

2

32

dx

xxV u.v.

Sugestão de atividade

Exercício proposto:

Que tal fazer o cálculo do volume do sólido obtido com a rotação dessa mesma

região (exemplo 2) em torno de Oy?

84

4 Integrais Impróprias

No teorema fundamental do cálculo, os limites de integração da integral definida

,)(b

a

dxxf a e b são números reais e )(xf é uma função contínua no intervalo

],[ ba . Pode acontecer que, ao aplicarmos esses conceitos, seja preciso ou

conveniente considerar os casos em que a , b , ou )(xf seja

descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nessas condições, é preciso

ampliar o conceito de integral e as técnicas de integração, de modo a incluir esses

casos adicionais. Essas integrais, em que a ou b ou )(xf é

descontínua em ],[ ba , são chamadas integrais impróprias. Nem sempre uma

integral desse tipo representa um número real, ou seja, nem sempre uma integral

imprópria existe. Quando a integral imprópria existe, dizemos que ela converge,

caso contrário dizemos que diverge. O valor da integral imprópria é calculado

usando a generalização do conceito da integral definida.

Uma integral é dita imprópria quando o intervalo de integração não é finito ou

quando a função não é limitada.

Observemos o exemplo:

Exemplo 1: É possível calcular a área A da região entre 1y e 2

1

xy , para x 1?

Solução: Bem, se 1x , então se trata de um intervalo infinito pela direita, podemos

então fazer um cálculo considerando o intervalo: bx 1 e passamos o limite com

b , veja como:

85

11

1lim1

limlim)(11

2

bxx

dxxA

b

b

b

b

b

Analise o gráfico abaixo que ilustra a área A:

4.1 Integral Imprópria com intervalo infinito

Definição 4.1: Seja )(xfy uma função contínua em ,[a . Dizemos que a

integral imprópria de f em ,[a converge e é igual a:

a

dxxf )( = t

l im t

a

dxxf )(

caso esse limite exista (e seja finito), caso contrário dizemos que a integral imprópria

de f em ,[a diverge.

Se o resultado é um número real diz-se que a integral imprópria converge.

Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge.

86

Exemplo 2: Estude a convergência da integral

01 xe

dx

Temos que:

b

xx

x

b

b

xbx ee

dxe

e

dx

e

dxI

0001

lim1

lim1

Veja que podemos usar o artifício algébrico de inserir xe no numerador e

denominador, sem alterar a fração, isto nos dá a possibilidade de fazer a mudança

de variável:

dxedtet xx , devemos analisar os valores da nova variável t:

10 tx

betx

be

b

b

xx

x

bx tt

tdt

ee

dxe

e

dxI

1001

lim1

lim1

Usando frações parciais

bb

bb

e

b

e

b

e

b

e

bttdt

tttt

tdtI

1111

lnlim1lnlim1

1

1lim

1lim

2ln1ln2ln1

ln2lnlim1lnln2ln1lnlim

b

b

b

bb

b e

eeeI .

Logo a integral

01 xe

dx converge para 2ln .

Exemplo 3: Estude a convergência da integral dxxeI x

0

.

Então temos:

87

dxxedxxeIb

x

b

x

00

lim

Usando integração por partes para resolver a integral definida temos

dxduxu

xx evdxedv , lembrando que

duvuvudv :

bb

bb

xb

bb

x

b

x

bb

x

beebeebdxexedxxeI

1.lim.limlimlim0

00

0

Daí, encontramos:

11.lim

bb

beebI

Sugestão de atividade

Exercícios propostos:

Determine os resultados das seguintes integrais impróprias:

1.

1

3x

dx

2.

1x

dx

3.

1 x

dx

4.

0

)cos( dxx

5.

1

2

dxxe x

88

Definição 4.2: Seja )(xfy uma função contínua em . Tomemos Ra um

número qualquer. Dizemos que a integral imprópria de )(xf em R converge e é

igual a:

dxxfdxxfIa

a

)()(

se essas integrais forem ambas convergentes. Caso contrário (isto é, se pelo menos

uma dessas integrais diverge) dizemos que a integral imprópria de )(xf em

R diverge.

Usamos a notação:

dxxfI

)(

Obs.: A definição acima independe do número real a considerado.

Exemplo 4: Estude a convergência da integral

dxxeI x

Tomemos a = 0 e as integrais

dxxeI x

0

1 e dxxeI x

0

2

Como foi visto no exemplo 3, I2 converge.

Vejamos I1,

b

x

b

x dxxedxxeI00

1 lim

89

Usando integração por partes,

1)1(lim1.limlimlim0

00

1

beeebdxexedxxeI b

b

bb

b

b

xb

x

b

b

x

b

Como I1 diverge e I2 converge então I diverge.

Exemplo 5: Na figura a seguir a região sombreada é limitada pelo gráfico da função

1

1)(

2

xxf e o eixo Ox. Verifique se existe um número real k que represente a

área dessa região.

O domínio de )(xf é R e é uma função contínua, pois trata-se de uma função

racional cujo denominador não se anula. Além disso, )(xf > 0 para todo Rx . Se

existe k devemos ter que:9iu

12x

dx converge e tomaremos

12x

dxk

Sejam as integrais

0

211x

dxI e

0

221x

dxI

Temos,

90

2

)0()(lim)(lim1

lim1 0

0

2

0

21

arctgbarctgxarctgx

dx

x

dxI

b

b

b

b

b

2

)()0(lim)(lim1

lim1

00

2

0

22

aarctgarctgxarctgx

dx

x

dxI

aaaa

a

Portanto a integral

12x

dx converge, existe k e

2212x

dxk .

Sugestão de atividade

Exercícios propostos:

1. Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de

convergência, ache seu valor.

(a)

5

3x

dx (c) dx

x

x

e

ln (e)

03 1x

dx

(b)

0

2

3dx

e

xx

(d)

0

3

2

1x

dxx (f)

1

22 )1( x

xdx

2. Para que valores de p a integral

1

px

dx converge?

91

4.2 Um resultado importante: Comparação de integrais impróprias

Se f e g são funções contínuas e 0 )(xf )(xg para todo x em ,[a , então

valem os seguintes testes de comparação para integrais impróprias:

(i) Se

a

dxxg )( converge então

a

dxxf )( também converge.

(ii) Se

a

dxxf )( diverge então

a

dxxg )( também diverge.

92

Referências

1. FLEMMING, Diva M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. São Paulo: Editora

McGraw-Hill, 2004.

2. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2001.

Vol.1.

3. MORETTIN, Pedro A; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Cálculo:

funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Atual, 2003.

4. ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman,

2004. Vol.1.

5. THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2002. Vol.1.

6. SIMMONS, George F.; Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo:

Makron Books. 1987. Vol.1.

7. PRATES, Eliana; MATOS, Ivana; YARTEY, Joseph e VELLOSO, Silvia.

Aplicações da integral simples. Disponível em:

www.twiki.ufba.br/twiki/pub/CalculoB/.../Aplicacao.pdf

8. CATTAI, Adriano P. Cálculo Diferencial e Integral II (Cálculo Aplicado).

Disponível em: http://didisurf.googlepages.com/calculo2

9. VIEIRA SAMPAIO, João Carlos. Cálculo 1. Disponível em:

www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1.html