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Análise CombinatóriaFatorial de um número:
Definições especiais:
Arranjo simples:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
0!=11!=1
ades.possibilid 242.3.4 lugar 3º o para adespossibilid
2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para adespossibilid 4 Existem :R
lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são Quantas mundo. do campeões
dos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, (Grêmio, futebol de timesQuatro 3)
negativo. número um de fatorial existe não pois ,7 :Resposta
-8x
7x
2
151
2
2251 056
56 x 56))(1( 56)!1(
)!1)()(1( 56
)!1(
)!1(
.56)!1(
)!1( equação a Resolva 2)
1020010100100100.101100!99
!99.100.101!99.100
!99
!101!100
.!99
!101!100 expressão da valor o Calcule 1)
2
2
=→
=
==
⇒±−=⇒±−=⇒=−+⇒
⇒=+⇒=+⇒=−
−+⇒=−+
=−+
=+=+=+=+
+
x
xxxx
xxxx
xxx
x
x
x
x
)!(
!, pn
nA pn −
=
40
17
80
34
872
202430
)!18(
!8
)!29(
!9)!25(
!5
)!34(
!4
)!26(
!6
. Calcule )4
1,82,9
2,53,42,6
1,82,9
2,53,42,6
==+
−+=
−+
−
−−
−+
−=+
−+
+−+
AA
AAA
AA
AAA
números. 3366.7.8!5
!5.6.7.8
!5
!8
)!38(
!81.
:então s,disponívei
números 8 existem ainda trêsoutros os para e (2), adepossibilid uma apenas existe algarismo
primeiro o Para 3000). e 2000 entre está (pois algarismos quatro ter deve número O :R
9? e 6,7,81,2,3,4,5, entre escolhidos distintos
algarismospor formados 3000 e 2000 entre doscompreendi números os são Quantos 6)
números. 1366472 é 5por divisíveis de número O :Resposta
números. 648.8!7
!7.8.
!7
!7.8
!7
!8.
!7
!8
)!18(
!8.
)!18(
!8.1.
0).ser pode algarismo segundo (o adespossibilid 8 existem tambémalgarismo segundo
o para E ).algarismos 2 de número um seria (senão 0 comcomeçar pode não número o pois
ades,possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). adepossibilid uma apenas existe
algarismo terceiroo para :5 com terminam5por divisíveis quantos calculamos Agora
números. 728.9!7
!7.8.9
!7
!9
)!29(
!91.
:é 0 com terminamque 5por divisíveis de número o Portanto s.disponívei números 9 existem
ainda primeiros dois os para e (0), adepossibilid 1 apenas existe algarismo terceiroo Para
:0 com terminamque 5por divisíveis de número ocalcular vamos
ntePrimeirame 5. comou 0 com terminar deve ele 5, divisívelser número um Para :R
5. POR DIVISÍVEIS SEJAM c)
números. 8!7
!7.8
!7
!8
)!18(
!81.1.
:adespossibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). adepossibilid 1 apenas existe
também terceiroo para e (2), adepossibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para :R
5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)
números. 728.9!7
!7.8.9
!7
!9
)!29(
!91.
:sdisponívei números 9 existem ainda dois outros os para e (1) adepossibilid
1 apenas existe primeiro o para que sendo ,algarismos êspossuir tr pode número O :R
1. COM COMECEM a)
:que modo de repetir, os sem ),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4 decimal sistema
do algarismos o comformar podemos distintos algarismos 3 de números Quantos 5)
3,8
1,81,8
2,9
1,8
2,9
====−
=
=+
====−−
=
→
====−
=
→
===−
=
====−
=
A
AA
A
A
A
Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
!nPn =
maneiras. 1152576576 é totalo Portanto
maneiras. 57624.24!4!.4.
: também temosposição primeira na dama uma Colocando
maneiras. 57624.24!4!.4.
:maneiras de totalnúmero como temosposição primeira na cavalheiro um Colocando
C-D-C-D-C-D-C-Dou D-C-D-C-D-C-D-C
:issofazer de maneiras duas Existem:R
damas. duas e scavalheiro dois juntos fiquem não que forma
de fila, numa s,cavalheiro 4 e damas 4 dipostasser podem maneiras quantas de Calcule 8)
anagramas. 1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1
:é totalo Então ades.possibilid 5 existem letras 5 outras as para e
(E), 1 existe só tambémúltima para e (A), adepossibilid 1 existe letra primeira a Para
E. com terminameA POR COMEÇAM b)
anagramas. 7201.2.3.4.5.6!6.1.1
:é totalo Então ades.possibilid 6 existem
letras 6 outras as para e (A), adepossibilid uma apenas existe letra primeira a Para
A. POR COMEÇAM a)
:EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)
números. 1201.2.3.4.5!5
8? e 1,2,3,5por formadosser podem distintos algarismos 5 de números Quantos )7
44
44
5
6
5
=+===
===
===
===
===
PP
PP
P
P
P
)!(!
!, pnp
nC pn −
=
Binômio de Newton
comissões. 52515.352
30.
!3
210
!2!.4
!4.5.6.
!4!.3
!4.5.6.7
)!46(!4
!6.
)!37(!3
!7
.. produto o é resultado O
- MOÇAS
- RAPAZES
moças? 4 e rapazes
3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 11)
saladas. de tipos21024
5040
!4
5040
!4!.6
!6.7.8.9.10
)!610!.(6
!10
feitas?ser podem
diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantos frutas, de espécies 10 Com 10)
.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs
.5 :Resposta
1''
5'
2
166 056
056 06
3323
026
22
0!2
)1.(
!3
)2).(1.(
0)!2(!2
)!2).(1.(
)!3(!3
)!3).(2).(1.(
0)!2(!2
!
)!3(!3
!
.0 equação aResolver 9)
4,63,7
4,6
3,7
6,10
1,3
2
23223
2223
2,3,
====−−
====−
=
==
==
⇒±=⇒=+−
=+−⇒=+−+−
=−−+−−
=−−−−
=−
−−−−
−−−
=−
−−
=−
CC
C
C
C
m
m
m
mmmm
mmmmmmmm
mmmmmm
mmmmm
m
mmm
m
mmmm
m
m
m
m
CC mm
Introdução
Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de
modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da
anterior, ou seja, de . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.
Coeficientes Binomiais
Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente
binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por
(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
Exemplos:
Propriedades dos coeficientes binomiais
1ª)Se n, p, k e p + k = n
então
Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.
Exemplos:
2ª)Se n, p, k e p p-1 0
então
Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).
Exemplos:
Triângulo de Pascal
A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal
Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os
números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.
Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
Construção do triângulo de Pascal
Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.
3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).
Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
Propriedade do triângulo de Pascal
P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
De fato, esses binomiais são complementares.
P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .
De modo geral temos:
P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 4 + 10 + 20 = 35
P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:
• quando n = 0 temos
• quando n = 1 temos
• quando n = 2 temos
• quando n = 3 temos
• quando n = 4 temos
Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.
Fórmula do termo geral do binômio
Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos
que cada um deles é da forma .
• Quando p = 0 temos o 1º termo:
• Quando p = 1 temos o 2º termo:
• Quando p = 2 temos o 3º termo:
• Quando p = 3 temos o 4º termo:
• Quando p = 4 temos o 5º termo: ..............................................................................
Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:
Cilindro Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os
segmentos congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
• bases: os círculos de centro O e O'e raios r
• altura: a distância h entre os planos
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de
raio r ;
portanto seu volume é:
Esfera Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos
.
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
• altura: distância h do vértice V ao plano
• geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
• raio da base: raio R do círculo
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
G2 = h2 + R2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento :
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S=área da superfície
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:
Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo:
CONJUNTOS NUMÉRICOS• Conjunto dos números naturais (IN)
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN.Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre
uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
• Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto IN é subconjunto de Z.Temos também outros subconjuntos de Z:Z* = Z-{0}Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=IN.Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta,
conforme mostra o gráfico abaixo:
IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
b
a
• Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Exemplos:
Assim, podemos escrever:
É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém dividindo a por b.
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
• Conjunto dos números irracionais
racionais. números são exemplo,por ,2
3 ,1 ,
5
3 ,1 ,
4
52 :Então −−, -
}0 e , com , |{ ≠∈∈== bZbZab
axxQ
3
3
2
2
1
11 )
3
9
2
6
1
33)
===
−=−=−=−
b
a
75,320
75 25,1
4
5 5,0
2
1 =−=−=
...1666,16
7 ...428571428571,0
7
6 ...333,0
3
1 ===
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número π=3,1415926535...
• Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}IR+ = conjunto dos números reais não negativosIR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:• Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
• Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
...7320508,13
...4142135,12
=
=
IR=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
Determinantes Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Por exemplo:
• M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I =
-3
Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos:
• •
Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Assim, fixando , temos:
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.
Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos
elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,
. Como:
Exemplo:
P12)
Exemplo:
Equações algébricas(com uma variável)
Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "
desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.
Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.
Observe este outro exemplo:
• Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25
O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.
Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.
Daí concluímos que:
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.
Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.
Observações:
• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.
• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.
• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:
• Substituir a incógnita por esse número.
• Determinar o valor de cada membro da equação.
• Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
Exemplos:
Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.
• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.
Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)
Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)
Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)
Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.
• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.
Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)
Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)
Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)
Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)
A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.
Função de 1º grau - Afim Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0 -1
0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) =
0; então: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Sinal
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu
sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 ax + b > 0 x >
y > 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 ax + b > 0 x <
y > 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
EQUAÇÕES EXPONENCIAISChamamos de equações exponenciais toda equação na qual a
incógnita aparece em expoente.
Exemplos de equações exponenciais:1) 3x =81 (a solução é x=4)2) 2x-5=16 (a solução é x=9)3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) 3x=81Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34
E daí, x=4.
2) 9x = 1Resolução: 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x=0.
5) 23x-1 = 322x
)0 e 1( >≠=⇒= aanmaa nm
4
3 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )4
.4 então ; 4
3
4
3
4
3
4
3
256
81
4
3 :Resolução
256
81
4
3 )3
4
34 34
4
4
4
4
==⇒=⇒=
=
=
=
⇒=
⇒=
=
x
x
xxx
x
xxx
x
Resolução: 23x-1 = 322x ⇒ 23x-1 = (25)2x ⇒ 23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,de onde x=-1/7.
6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:32x–6.3x–27=0 ⇒ (3x)2-6.3x–27=0Fazendo 3x=y, obtemos:y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos ⇒ y’=-3 e y’’=9Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:
y’=-3 ⇒ 3x’ = -3 ⇒ não existe x’, pois potência de base positiva é positivay’’=9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2
Portanto a solução é x=2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a ∈ IR+ e a≠1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
X -2 -1 0 1 2y 1/4 1/2 1 2 4
2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
X -2 -1 0 1 2Y 4 2 1 1/2 1/4
Nos dois exemplos, podemos observar quea) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem
raízes;b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é
positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1 0<a<1
f(x) é crescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm
sentidos diferentes)
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1 0<a<1
am > an ⇒ m>n(as desigualdades têm mesmo sentido)
am > an ⇒ m<n(as desigualdades têm sentidos
diferentes)
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
)32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)
-3) xpara satisfeita é (que 5
4
5
4 3)
real) x todopara satisfeita é (que 22 2)
)4 é solução (a 813 1)
x
3
12-2x 2
<<<+
≤
≥
≤
>>
−
−
x
x
x
x
x
x
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
negativos) (reais IRS Portanto
0 44
:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como
.44 14 Porém,
14 daí, e 114.11 114).1641(
:sejaou , 114.164.44
: temos4por lados os ambos ndoMultiplica
.4
114.44
4
4 escritaser pode inequaçãoA
:Resolução4
11444 )1
-
0
0
11
=<⇒<
<⇒<<−>⇒−>−+
−>−+
−>−+
−>−+ +−
x
-
x
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:
3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4y -2 -1 0 1 2
4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4y 2 1 0 -1 -2
Nos dois exemplos, podemos observar qued) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é
x=1;f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é
Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1 0<a<1
f(x) é crescente e Im=IRPara quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IRPara quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos de equações logarítmicas:7) log3x =5 (a solução é x=243)8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)
Alguns exemplos resolvidos:1) log3(x+5) = 2
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto
solução é S={4}.
2) log2(log4 x) = 1Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), entãolog2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o
conjunto solução é S={16}.
3) Resolva o sistema:
Resolução: condições de existência: x>0 e y>0Da primeira equação temos:log x+log y=7 => log y = 7-log xSubstituindo log y na segunda equação temos:3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>
=> log x =3 => x=103
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:
=−=+
1log.2log.3
7loglog
yx
yx
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}.
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos de inequações logarítmicas:1) log2x > 0 (a solução é x>1)2) log4(x+3) ≤ 1 (a solução é –3<x≤1)
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1 0<a<1
logam > logan ⇒ m>n>0(as desigualdades têm mesmo sentido)
logam > logan ⇒ 0<m<n (as desigualdades têm sentidos
diferentes)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) log2(x+2) > log28Resolução:Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1)Como a base (2) é maior que 1, temos:x+2>8 e, daí, x>6 (S2)O conjunto solução é S= S1 ∩ S2 = {x ∈ IR| x>6}.Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está
representado logo abaixo no desenho:
2) log2(log3x) ≥ 0Resolução:Condições de existência: x>0 e log3x>0Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim:log2(log3x) ≥ log21Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x ≥ 1.Como log33 = 1, então, log3x ≥ log33 e, daí, x ≥ 3, porque a base (3) é maior que 1.As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x ∈ IR| x ≥ 3}.
Função Quadrática Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real;
• quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º- >0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1
x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
2º - = 0
quando a > 0
quando a < 0
3º - < 0
quando a > 0
quando a < 0
GEOMETRIA ANALÍTICARetas
Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
Medida algébrica de um segmento
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA
e xB , temos:
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
Plano cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
Exemplos:
• A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)
• B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
Distância entre dois pontos
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
Equações de uma reta
Equação geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:
ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):
• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
Acompanhe os exemplos:
• Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
• Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0
Como a igualdade é verdadeira, então P r.
Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2 0
Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.
Geometria Analítica: Circunferência
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Geometria Analítica - CônicasElipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2
< 2a, temos:
A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
• focos : os pontos F1 e F2
• centro: o ponto O, que é o ponto médio de
• semi-eixo maior: a
• semi-eixo menor: b
• semidistância focal: c
• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
• eixo maior:
• eixo menor:
• distância focal:
Relação fundamental
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:
Hipérbole
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
A figura obtida é uma hipérbole.
Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
Parábola
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
MatrizesIntrodução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Química Inglês Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:
• é uma matriz do tipo 2 x 3
• é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Na matriz , temos:
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.
Por exemplo, , do tipo 3 x 1
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a
matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo, .
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
Assim, para uma matriz identidade .
• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.
• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de
todos os elementos de A. Por exemplo, .
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
.
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas
matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo :
A + B = C
Exemplos:
•
•
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
A - B = A + ( - B )
Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B = x.A
Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
• 1ª linha e 1ª coluna
• 1ª linha e 2ª coluna
• 2ª linha e 1ª coluna
• 2ª linha e 2ª coluna
Assim, .
Observe que:
Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes :
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
• Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
• Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
• Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa por A-1 .
Grandezas - Introdução Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) Produção (Kg)5 10010 20015 30020 400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.5min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.5min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo
Velocidade (m/s) Tempo (s)5 2008 12510 10016 62,520 50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.5m/s ----> 200s10 m/s ----> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.5m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre osvalores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
POLINÔMIOS
• Definição
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.
Onde:an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.n ∈ INx ∈ C (nos complexos) é a variável.
GRAU DE UM POLINÔMIO:
Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an≠0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.
Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
• Valor numérico
O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:
Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:P(x)= x3+2x2+x-4P(2)= 23+2.22+2-4P(2)= 14
Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz
ou zero desse polinômio.
Alguns exercícios resolvidos:
1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 03a = -10 => a=-10/3Resposta: a=-10/3
2º) Calcular m ∈ IR para que o polinômioP(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau
Resposta:a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser
diferentes de zero. Então:m2-1≠0 => m2≠1 => m≠1m+1≠0 => m≠-1Portanto, o polinômio é do 3º grau se m≠1 e m≠-1.
b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:m2-1=0 => m2=1 => m=±1m+1≠0 => m≠-1Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.
c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então:m2-1=0 => m2=1 => m=±1m+1=0 => m=-1Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.
3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução:Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:
P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3
Temos um sistema de três variáveis:
Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:a=9, b=-34, c=24Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.O problema pede P(-1):P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24P(-1)= 66Resposta: P(-1)= 66
• Polinômios iguais
Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)≡B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 ≡ a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes
do segundo membro temos:x2-2x+1 ≡ ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c1x2-2x+1 ≡ (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
=++=++
=++
3c3b9a
-8c2b4a
-1cba
=+−=++
=+
1
2
1
ca
cba
ba
Substituindo a 1ª equação na 2ª:1+c = -2 => c=-3.Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:a-3=1 => a=4.Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:4+b=1 => b=-3.Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.
Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
• Divisão de polinômios
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x),
que satisfaçam as duas condições abaixo:1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
Nessa divisão:P(x) é o dividendo.D(x) é o divisor.Q(x) é o quociente.R(x) é o resto da divisão.
Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).
Exemplo:Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.Resolução: Aplicando o método da chave, temos:
)( )(
)(D )(
xQxR
xxP
Se D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x)=0
Verificamos que:
• Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b
Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.Utilizando o método da chave temos:
Logo: R(x)=3A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.Agora calculamos P(x) para x=1/2.P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3P(1/2) = 3
Observe que R(x) = 3 = P(1/2)Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao
valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.
• Teorema do resto
R(x)Q(x)
2
D(x)
2
P(x)
234 1)(2x 1)2x-(x 2)-3x(x 1-9x7x-xx ++++≡++
3
2 24
12 324
2
2
xxx
xxx
+−
−+−
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).
)( 12
23
15
462
1952
)( 12 23
23 197
2
2
23
23
2234
2234
xRx
xx
xx
xxx
xxx
xQxxxxx
xxxxxx
→++−−−+
−++−+−−
→+−+−−
−+−+−+
Note que –b/a é a raiz do divisor.
Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.Resolução: Achamos a raiz do divisor:x+1=0 => x=-1Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)Resposta: R(x) = -5.
• Teorema de D’Alembert
Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2.
Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19
Resposta: p=19.
• Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)
Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2.
Temos:a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq.
3)
O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=cx+d
Da eq.3 vem:P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + dFazendo:x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0
x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Resolvendo o sistema obtemos:
Observações:1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:P(a)= r1 =0P(b)= r2 =0Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:
2ª) Generalizando, temos:Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então
P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).
Exemplo:Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá
resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?Resolução:0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)
O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=ax+b
0 00 )( 1221 =+=−−
+−−
=ba
ararx
ba
rrxR
=+=+
2
1
rdcb
rdca
baba
ararx
ba
rrxR
baba
arard
ba
rrc
≠−−
+−−
=
≠−−
=−−
=
com , )( :Logo
com , e
1221
1221
Da eq.3 vem:P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + bFazendo:x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Logo, b=6 e a=2.Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6Resposta: R(x) = 2x+6.
• O dispositivo de Briot-Ruffini
Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).
Resolução:
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo
ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
=+=
8
6
ba
b
RESTOQ(x) QUOCIENTE DO ESCOEFICIENT
P(x) DE ESCOEFICIENTDIVISOR DO RAIZ
4 3 1 3
2)2.(3 1)2.(1 5)2.(3
2 1 5 3 2
−+−↓
−−
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.
• Decomposição de um polinômio em fatores
Vamos analisar dois casos:1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:
Exemplos:1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.
Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).
2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos
decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.
Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.Resolução:
2x3-x2-x = x.(2x2-x-1) colocando x em evidênciaFazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.
ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)
Uma das raízes já encontramos (x=0).As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:2.x.(x-1).(x+(1/2)).
Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:
Observações:1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes
duplas, triplas, etc.2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de
multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)
PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B ∩ Ac ∩ Cc = {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = ∅
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre ∅ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Progressões AritméticasProgressão aritmética é uma sequência numérica na qual, a partir
do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão.
Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos.
1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
rnaan ).1( :P.A. uma de geral termodo Fórmula 1 −+=
2
).(S :finita P.A. uma de termosde Soma 1 naa n
n
+=
234 4419 4).1(19 ).1(
:é geral termoo Logo,
.4 )19(15 :razão a sencontramo ntePrimeirame
1
12
−=⇒−+−=⇒−+−=⇒−+=
=⇒−−−=⇒−=
nananarnaa
rraar
nnnn
2) Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
13 8- 10, 7, 4, 1, 2,- 5,- ,
:saritmético meios os interpolar basta razão, a Encontrada
3.r 7
21 217r
7831 7831 ).18(831 ).1(
:razão aencontrar devemos valores,os interpolar Para
P.A.). na termos8 existem Logo, 13. e 8- são que extremos, dois os entre
osinterpolad serão saritmético meios 6 (pois 8 ,13 ,8 :problema No
1
1
=⇒=⇒=
⇒=+⇒+−=⇒−+−=⇒−+=
==−=
r
rrrrnaa
naa
n
n
(8,4,0).ou (0,4,8) :Resposta
(8,4,0) :P.A
8a (-4)-4a r -4
:4 Para 1)
(0,4,8) :P.A
0a 4-4a r -4
:4 Para 1)
: termoprimeiro o sencontramo Agora
4r 16r 16r 322r 48802r 80248
80562432448
805)624()816(3
805)4(6)4(3
: temosequação segunda na doSubstituin
80563
4 3
312 1233
80442
1233
80)2()(
12)2()(
:acima sistema no ossubstituim Então .2 que e que Sabemos
80
12
111
111
2222
222
22
22
21
21
111
21
21
21
21
21
1
21
21
21
111
1312
23
22
21
321
=→=→=−=
=→=→==
±=→=→=→=→−=→=+
=+−++−
=+−++−
=+−+−
=++
−=→−=→=+⇒
⇒
=++++++
=+⇒
=++++
=+++++=+=
=++
=++
a
r
a
r
r
rrrrr
rrrrr
rrrr
rraa
rar
ara
rraarraaa
ra
raraa
raraa
raaraa
aaa
aaa
4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
3. de múltiplos são não 155 logo 3, de múltiplos são 78 números, 233 Dos
78n 3
234n 3-3n231 1)3-(n15246 ).1(
:múltiplos de número o é que , oachar Basta 247). do antes 3 de múltiplo último o é (pois 246 ,3
13) do depois 3 de múltiplo primeiro o é (pois 15
:3 de múltiplos de número ocalcular Para
múltiplos. NÃO de número o resultado como dará que o múltiplos, de número pelo (233) números de total
número osubtrair após logo e 3, de múltiplos SÃO números quantos nteprimeiramecalcular devemos nós
3, de múltiplos são NÃO números quantoscalcular Para números. 233 existem 247 e 13 Entre
1
1
=→=→=→+=→−+=
===
rnaa
nar
a
n
n
5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:
8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
3
2 23 112
112
2)1()1(3
:P.A. umaser Para 1223
=→=→+=+
−=−−+=+−
−=−
xxxx
xx
xxxx
aaaa
.4 pois 5,k Logo
4 372
372
)3()6()(
15
111
11
111
raa
raaarraa
arara
ararara
kk
k
k
+==+=→=−+−
++=+++=+++
47 4
188 44184
449094
4).1(9094
).1(
: termosde número oencontrar Basta
zero) quemaior ser deve a (pois 94
90
4
:dados seguintes os obtemos enunciado, Pelo
1
n
1
=→=→=+
−=+−+−=
−+=
=−=
=
nnn
n
n
rnaa
Sa
a
r
n
n
11 11
12
2
231
2
5291
2
132.1.411
0132 2
)22(132
2
).(
: temossoma da fórmula na doSubstituin
2 222 2).1(2 ).1(
132 ; 2 ; 2
21
1
1
=⇒
=−=
=±−=±−=+±−=
=−+→+=→+
=
=→−+=→−+=→−+====
nn
nn
nnnnnaa
S
nananarnaa
Sar
nn
nnnn
n
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1
...
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:
an = 2 x (1/2)n-1
Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela
multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
Proporções - IntroduçãoRogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos
afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Elementos de uma proporçãoDados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
• b e c os meios da proporção. • a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Razões - IntroduçãoVamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:
(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente ou a:b.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
Observações:
1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.
2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é .
A razão entre é .
Observe a razão:
(lê-se "a está para b" ou "a para b").
Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:
3:5 =
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.
Regra de três simplesRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h)
Tempo (h)
400 3480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)3 1205 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por diaPrazo para término
(dias)8 205 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Regra de três compostaA regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125
Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16
Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
Sistemas Lineares
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
• 3x - 2y + 4z = 7 • -2x + 4z = 3t - y + 4
• (homogênea)
As equações a seguir não são lineares:
• xy - 3z + t = 8 • x2- 4y = 3t - 4 •
Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Matrizes associadas a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
• matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é:
• matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
Sistemas homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
Veja um exemplo:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução).
Sistema normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na
matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
e
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.
Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo:
e
S1 ~S2
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
S1 ~S2
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo:
Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:
S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.
Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
• Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
• Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3
Exemplo 2:
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
• Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:
• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo:
1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
• Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:
• Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação
O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):
GI= n - m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
• Consideramos o sistema em sua forma escalonada:
• Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI = n-m = 4-3 = 1
Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t= , substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:
12z - 6 = 30 12z= 30 + 6 =
Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:
Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:
Assim, a solução do sistema é dada por S= , com IR.
Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.
Trigonometria
Catetos e Hipotenusa
Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
Observe a figura:
Hipotenusa:
Catetos: e
Seno, Cosseno e Tangente
Considere um triângulo retângulo BAC:
Hipotenusa: , m( ) = a.
Catetos: , m( ) = b.
, m( ) = c.
Ângulos: , e .
Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:
• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Assim:
• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Assim:
Tangente
• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
Assim:
Exemplo:
Observações:
1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.
Assim:
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Considere as figuras:
quadrado de lado l e diagonal Triângulo eqüilátero de
lado I e altura
Seno, cosseno e tangente de 30º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:
Seno, cosseno e tangente de 45º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:
Seno, cosseno e tangente de 60º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:
Resumindo
x sen x cos x tg x
30º
45º
60º
