Apostila de Matemática (4)

MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA

1- Noções de estatística: apresentação de dados, população e amostra, distribuição de frequências, probabilidade, medidas de posição e de dispersão, números índices. II - Noções de Contabilidade: princípios contábeis; conceitos, campos de aplicação da contabilidade; patrimônio, origem e aplicação dos recursos; escrituração contábil. III - Matemática: Números inteiros, racionais e reais, problemas de contagem. Sistema legal de medidas. Problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal. Razões e proporções, divisão proporcional. Regra de três simples e composta. Porcentagens. Equações e inequações de 1° e 2° graus. Sistemas lineares. Funções e gráficos. Sequências numéricas. Múltiplos e divisores.Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Juros simples e juros compostos. Capitalização e operações de desconto. Equivalência de capitais. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalente, real e aparente. Raciocínio Lógico.

Apresentação dos dados

A Apresentação dos dados Estatísticos, na sua generalidade é efetuada através de gráficos ou tabelas,que permitem uma fácil leitura, mais ou menos rigorosa, dependendo esta da dificuldade do problemaque se pretende estudar.Existe vários tipos de gráficos e tabelas, atualmente muito generalizados e de fácil elaboração.

A utilização da Informática e de programas mais específicos para tratamento de valores numéricos, éuma preciosa ferramenta, permitindo com rapidez, a inserção dos dados obtidos e a sua posteriorelaboração, de gráficos e tabelas, servindo de um valioso e eficaz suporte para a leitura desses gráficose tabelas, indicadores da realidade que se estudou.

População e Amostra

População é a totalidade de pessoas, animais, plantas ou objetos, da qual se podem recolher dados. Éum grupo de interesse que se deseja descrever ou acerca do qual se deseja tirar conclusões.

Amostra é um subconjunto de uma população ou universo. A amostra deve ser obtida de umapopulação específica e homogênea por um processo aleatório. A aleatorização é condição necessáriapara que a amostra seja representativa da população.

É importante que o investigador defina cuidadosa e completamente a população antes de recolher aamostra, incluindo uma descrição dos membros que devem ser incluídos. Para cada população, hámuitas amostras possíveis e qualquer delas deve fornecer informação dos parâmetros da populaçãocorrespondente. É importante definir os critérios que permitem determinar se um indivíduo pertence ounão à população em estudo. Para isso, define-se conceptualmente a população (ex. hipertensos). Faltaainda saber o que se entende por "hipertenso". Este é o critério operacional que vai permitir saber quempertence à população. Tem de ficar bem definido quem é hipertenso.

As amostras devem ser obtidas por métodos aleatórios, sempre que se pretende tirar conclusões sobre apopulação mas muitas vezes são obtidas por métodos não aleatórios. A amostra pode ser todos os bebésnascidos a 7 de Maio, em qualquer dos anos. Neste último caso, as conclusões a retirar do estudo,apenas se reportam à amostra.

Distribuição de Freqüência

Tabela Primitiva

Vamos considerar, neste capítulo, a forma pela qual podemos descrever os dados estatísticos resultantesde variáveis quantitativas, como é o caso de notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de umconjunto de pessoas, salários recebidos pelos operários de uma fábrica etc.

Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõemuma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:

TABELA 1

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A

Apostilas Aprendizado Urbano Dados do Comprador 4

166 160 161 150 162 160 165 167 164 160

162 168 161 163 156 173 160 155 164 168

155 152 163 160 155 155 169 151 170 164

154 161 156 172 153 157 156 158 158 161

A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabelaprimitiva.

Rol

Partindo dos dados acima – tabela primitiva – é difícil averiguar em torno de que valor tende a seconcentrar as estaturas, qual a menor ou qual a maior estatura ou, ainda, quantos alunos se achamabaixo ou acima de uma dada estatura.

Assim, conhecidos os valores de uma variável, é difícil formarmos uma idéia exata do comportamentodo grupo como um todo, a partir dos dados não ordenados. A maneira mais simples de organizar osdados é através de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela obtida através daordenação dos dados recebe o nome de rol.

TABELA 2

ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A

150 154 155 157 160 161 162 164 166 169

151 155 156 158 160 161 162 164 167 170

152 155 156 158 160 161 163 164 168 172

153 155 156 160 160 161 163 165 168 173

Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (173 cm); que a amplitude devariação foi de 173 – 150 = 23 cm; e, ainda, a ordem que um valor particular da variável ocupa noconjunto. Com um exame mais acurado, vemos que há uma concentração das estaturas em algum valorentre 160 cm e 165 cm e, mais ainda, que há poucos valores abaixo de 155 cm e acima de 170 cm.

Distribuição de Freqüência

No exemplo que trabalhamos, a variável em questão, estatura, será observada e estudada muito maisfacilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor,o número de vezes que aparece repetido.

Denominamos freqüência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor davariável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de freqüência:

TABELA 3

ESTATURAS(cm)

FREQ

150151

11


152153154155156157158160161162163164165166167168169170172173

11143125422311121111

Total 40

Mas o processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito mais espaço, mesmo quando o númerode valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela próprianatureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos.

Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 158— ׀ (é um intervalo fechado à esquerda e abertoà direita, tal que: 154 ≤ x < 158), em vez de dizermos que a estatura de 1 aluno é de 154 cm; de 4alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, dizemos que 9 alunos têm estaturas entre154, inclusive, e 158 cm.

Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo que, em Estatística,preferimos chamar os intervalos de classes.

Chamando de freqüência de uma classe o número de valores da variável pertencente à classe, os dadosda Tabela 3 podem ser dispostos como na Tabela 4, denominada distribuição de freqüência comintervalos de classe:

Exemplo:

TABELA 4

ESTATURAS DE 40 ALUNOSDA FACULDADE A - 2007

ESTATURAS(cm)

FREQUÊNCIA


154— ׀ 150158— ׀ 154162— ׀ 158166— ׀ 162170— ׀ 166174— ׀ 170

4911853

Total 40

Dados fictícios.

Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplicidade para perdermos empormenores. Assim, na Tabela 3 podemos verificar, facilmente, que quatro alunos têm 161 cm dealtura e que não existe nenhum aluno com 1,71 cm de altura. Já na Tabela 4 não podemos ver se algumaluno tem a estatura de 159 cm. No entanto, sabemos, com segurança, que onze alunos têm estaturacompreendida entre 158 e 162 cm.

O que pretendemos com a construção dessa nova tabela é realçar o que há de essencial nos dados e,também, tornar possível o uso de técnicas analíticas para sua total descrição, até porque a estatísticatem por finalidade específica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.

Notas:

· Se nosso intuito é, desde o início, a obtenção de uma distribuição de freqüência com intervalos declasse, basta, a partir da Tabela 1, fazemos uma tabulação.

· Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumentedenominados dados agrupados.

4 Elementos de uma Distribuição de Freqüência

1) Classes de freqüência ou, simplesmente, classes são intervalos de variação da variável.

As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde k é o número total declasses da distribuição).

Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 ι— 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribuiçãoé formada de seis classes, podemos afirmar que k = 6.

2) Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.

O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).

Na segunda classe, por exemplo, temos:

l2 = 154 e L2 = 158

Nota:


· Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 886/66 do IBGE, em termosdesta quantidade até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo ׀— (inclusão de li e exclusão deLi). Assim, o indivíduo com uma estatura de 158 cm está incluído na terceira classe (i = 3) e não nasegunda.

3) Amplitude de um intervalo de classe, ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervaloque define a classe.

Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi. Assim:

hi = Li - li

Na distribuição da Tabela 1.6.5.4, temos: h2 = L2 – l2 Þ h2 = 158 – 154 = 4 cm

4) Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limitesuperior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):

AT = L(máx) – l(mín)

Em nosso exemplo, temos: AT = 174 – 14501 = 24 Þ AT = 24 cm

Nota:

· É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a relação:

AT ¸ hi = k

5) Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra:

AA = x(máx) – x(mín)

Em nosso exemplo, temos: AA = 173 - 150 = 23 Þ AA = 23 cm

Observe que a amplitude total da distribuição jamais coincide com a amplitude amostral.

6) Ponto médio de uma classe (xi) é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo declasse em duas partes iguais.

Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a semi-soma dos limites de da classe (médiaaritmética):

xi = (li + Li) ¸ 2

Assim, o ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo, é:

xi = (li + Li) ¸ 2 Þ x2 = (154 + 158) ¸ 2 = 156 cm


Nota:

· O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.

7) Freqüência simples ou freqüência absoluta ou, simplesmente, freqüência de uma classe ou de umvalor individual é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.

A freqüência simples é simbolizada por fi (lemos: f índice i ou freqüência da classe i).

Assim, em nosso exemplo, temos: f1 = 4, f2 = 9, f3 = 11, f4 = 8, f5 = 5 e f6 = 3

A soma de todas as freqüências é representada pelo símbolo de somatório (∑):

∑(i=1 → k)fi = n

Para a distribuição em estudo, temos: ∑(i=1 → 6)fi = 40 ou ∑fi = 40

Podemos, agora, dar à distribuição de freqüência das estaturas dos quarenta alunos da faculdade A, aseguinte representação tabular técnica:

TABELA 5ESTATURAS DE 40 ALUNOS DAFACULDADE A

iESTATURAS(cm)

fi

123456

154— ׀ 150158— ׀ 154162— ׀ 158166— ׀ 162170— ׀ 166174— ׀ 170

4911853

∑fi = 40

Número de Classes – Intervalos de Classe

A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de freqüência, é a determinaçãodo número de classes e, consequentemente, da amplitude e dos limites dos intervalos de classe.

Para a determinação do número de classes de uma distribuição podemos lançar mão da regra deSturges, que nos dá o número de classes em função do número de valores da variável: i ≈ 1 + 3,3 . logn

onde:

i é o número de classe;

n é o número total de dados.

Essa regra nos permite obter a seguinte tabela:


TABELA 6

ESTATURAS(cm)

fi

5׀— ׀ 311׀— ׀ 6 22׀ — ׀ 1246׀ — ׀ 2390׀ — ׀ 47181׀ — ׀ 91 362׀ — ׀ 182...

3456789...

Além da regra de Sturges, existem outras fórmulas empíricas que pretendem resolver o problema dadeterminação do número de classes que deve ter a distribuição (há quem prefira: i = Öh). Entretanto, averdade é que essas fórmulas não nos levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade, de umjulgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados, da unidade usada para expressa-los e,ainda, do objetivo que se tem em vista, procurando, sempre que possível, evitar classe com freqüêncianula ou com freqüência relativa muito exagerada etc.

Decidido o número de classes que deve ter a distribuição, resta-nos resolver o problema dadeterminação da amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos dividindo a amplitude total pelonúmero de classes:

h ≈ AT / i

Quando o resultado não é exato, devemos arredondá-lo para mais.

Outro problema que surge é a escolha dos limites dos intervalos, os quais deverão ser tais queforneçam, na medida do possível, para pontos médios, números que facilitem os cálculos – númerosnaturais.

Em nosso exemplo, temos:

Para n = 40, pela Tabela 6, i = 6

Logo: h = (173 -150) / 6 = 23/6 = 3,8 ≈ 4

Isto é, seis classes de intervalos iguais a 4.

Resolva:

1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1 2 3 4 5 6 6 7 7 8

2 3 3 4 4 6 6 7 8 8

2 3 4 4 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 6 7 8 9


2 3 4 5 5 6 7 7 8 9

a. Complete a distribuição de freqüência abaixo:

i NOTAS xi fi

123456

2— ׀ 04— ׀ 26— ׀ 48— ׀ 610— ׀ 8

1................

1................

∑fi = 50

b. Agora responda:

1. Qual a amplitude amostral?

2. Qual a amplitude da distribuição?

3. Qual o número de classes da distribuição?

4. Qual o limite inferior da quarta classe?

5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?

6. Qual a amplitude do segundo intervalo da classe?

c. Complete:

1. h3 = .... 2. n = .... 3. l1 = .... 4. L3 = .... 5. x2 = .... 6. f5 = ....

Tipos de Freqüências

1) Freqüências simples ou absolutas (fi) são os valores que realmente representam o número de dadosde cada classe.

Como vimos, a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados:

∑ fi = n

2) Freqüências relativas (fri) são os valores das razões entre as freqüências simples e a freqüência total:

Como vimos, a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados:

fri = fi /∑ fi

Logo, a freqüência relativa da terceira classe, em nosso exemplo (Tabela 5), é:


fr3 = f3 /∑ f3 Þ fr3 = 11 / 40 = 0,275

Evidentemente: ∑ fri = 1 ou 100%

Nota:

· O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações.

3) Freqüência acumulada (Fi) é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superiordo intervalo de uma dada classe:

Fk = f1 + f2 + ... + fk ou Fk = ∑ fi (i = 1, 2, ..., k)

Assim, no exemplo apresentado no início deste capítulo, a freqüência acumulada correspondente àterceira classe é:

F3 = ∑(i=1 → 3) fi = f1 + f2 + f3 Þ F3 = 4 + 9 + 11 = 24,

O que significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo daterceira classe).

4) Freqüência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a freqüência acumulada da classe, dividida pelafreqüência total da distribuição:

Fri = Fi / ∑ fi

Assim, para a terceira classe, temos: Fri = Fi / ∑ fi Þ Fri = 24/40 = 0,6

Considerando a Tabela 3, podemos montar a seguinte tabela com as freqüências estudadas:

TABELA 7

iESTATURAS(cm)

fi xi fri Fi Fri

123456

154— ׀ 150158— ׀ 154162— ׀ 158166— ׀ 162170— ׀ 166174— ׀ 170

4911853

152156160164168172

0,1000,2250,2750,2000,1250,075

491324323740

0,1000,3250,6000,8000,9251,000

∑ = 40 ∑ = 1,000

O conhecimento dos vários tipos de freqüência ajuda-nos a responder a muitas questões com relativa


facilidade, como as seguintes:

a. Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm?

Esses são os valores da variável que formam a segunda classe. Como f2 = 9, a resposta é : 9 alunos.

b. Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm?

Esses valores são os que formam a primeira classe. Como fr1 = 0,100, obtemos a respostamultiplicando a freqüência relativa por 100:

0,100 x 100 = 10

Logo, a percentagem de alunos é 10%.

c. Quantos alunos têm estatura abaixo de 162?

É evidente que as estaturas consideradas são aquelas que formam as classes de ordem 1, 2 e 3. Assim, onúmero de alunos é dado por:

F3 = ∑(i=1 → 3) fi = f1 + f2 + f3 Þ F3 = 24

Portanto, 24 alunos têm estatura abaixo de 162 cm.

d. Quantos alunos têm estatura não-inferior a 158 cm? O número de alunos é dado por:

∑(i=1 → 6) fi = f3 + f4 + f5 + f6 = 11 + 8 + 5 + 3 = 27

Ou, então:

∑(i=1 → 6) fi – F2 = n - F2 = 40 – 13 = 27

Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe

Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomadocomo um intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a distribuição é chamadadistribuição sem intervalos de classe, tomando a seguinte forma:

TABELA 8

xi fri

x1 x2 ... xn

f1 f2 ...fn

∑ fi = n

Exemplo:

Seja x a variável “número de cômodos das casas ocupadas por vinte famílias entrevistadas”:


TABELA 9

i xi fi

123456

234567

475211

∑ = 40

Completada com vários tipos de freqüência, temos:

TABELA 10

i xi fi fri Fi Fri

123456

234567

475211

0,200,350,250,100,050,05

41116181920

0,200,550,800,900,951,00

∑ = 20 ∑ = 1,00

Nota:

· Se a variável toma numerosos valores distintos, é comum trata-la como uma variável contínua,formando intervalos de classe de amplitude diferente de um.

Este tratamento (arbitrário) abrevia o trabalho, mas acarreta alguma perda de precisão.

PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é omotivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria daprobabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimentoaleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultadosdiferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades deganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral


É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa oespaço amostral, é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={umnúmero primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.

2. Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2,K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade deocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têmprobabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:


Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o eventoque se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidadede ocorrência alterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 eE2...En-1.

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma decada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer umdeles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:


Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondoa sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul nasegunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) =P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul nasegunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada,já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo deP(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 nobranco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de serum 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere oseventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamenteexclusivos.

Medidas de Dispersão


As medidas de posição (média, mediana, moda…) descrevem apenas uma das características dosvalores numéricos de um conjunto de observações, o da tendência central. Porém, nenhuma delasinforma sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados. Em qualquer grupo de dados osvalores numéricos não são semelhantes e apresentam desvios variáveis em relação a tendência geral demédia. As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então oquanto os dados distam do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem também paraavaliar qual o grau de representação da média.

È fácil demonstrar que apenas a média é insuficiente para descrever um grupo de dados. Dois grupospodem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude de variação de seus dados. Porexemplo:

-Grupo A (dados observados): 5; 5; 5.-Grupo B (dados observado): 4; 5; 6.-Grupo C (dados observados): 0; 5; 10.

A média dos três grupos é a mesma (5), mas no grupo “A” não há variação entre os dados, enquanto nogrupo “B” a variação é menor que no grupo “C”. Dessa forma, uma maneira mais completa deapresentar os dados (além de aplicar uma medida de tendência central como a média) é aplicar umamedida de dispersão. As principais medidas de dispersão são:

-Amplitude total: é a diferença entre o valor maior e o valor menor de um grupo de dados;

-Soma dos quadrados: é baseada na diferença entre cada valor e a média da distribuição;

-Variância: é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do grupo menos 1;

-Desvio padrão: é expresso na mesma medida das variaçõe (Kg, cm, m³ …).

Números-índicesOs numeros-índices são medidas estatísticas freqüentemente usadas por administradores, economistase engenheiros, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples eresumido das mudanças significativas em áreas relacionadas como preços de matérias-primas, preçosde produtos acabados, volume físico de produto etc. Mediante o emprego de números-índices épossível estabelecer comparações entre:

a) variações ocorridas ao longo do tempo;

b) diferenças entre lugares;

c) diferenças entre categorias semelhantes, tais como produtos, pessoas, organizações etc.

É grande a importância dos numeros-índices para o administrador, especialmente quando a moedasofre uma desvalorização constante e quando o processo de desenvolvimento econômico acarretamudanças continuas nos hábitos dos consumidores, provocando com isso modificações qualitativas equantitativas na composição da produção nacional e de cada empresa individualmente. Assim, emqualquer análise, quer no âmbito interno de uma empresa, ou mesmo fora dela, na qual o fatormonetário se encontra presente, a utilização de numéros-índices toma-se indispensável, sob pena de oanalista ser conduzido a conclusões totalmente falsas e prejudiciais à empresa.

Por exemplo, se uma empresa aumenta seu faturamento de um período a outro, isso não quer dizernecessariamente que suas vendas melhoraram em termos de unidades vendidas. Pode ter ocorrido queuma forte tendência inflacionaria tenha obrigado a empresa a aumentar acentuadamente. Os preços deseus produtos, fazendo gerar um acréscimo no faturamento (em termos "nominais"), o qual, na


realidade, não corresponde a uma melhora de situação.

Fora dos problemas gerados por alterações nos preços dos produtos, os numeros-índices são úteistambém em outras áreas de atuação da empresa como, por exemplo, no campo da pesquisa de mercado.Neste caso, podem ser utilizados nas mensurações do potencial de mercado, na analise da lucratividadepor produto, por canais de distribuição etc. Em suma, os números-índices são sempre úteis quando nosdefrontamos com análises comparativas.

Para o economista, o conhecimento de número-índices é indispensável igualmente como uminstrumento útil ao exercício profissional, quer seus problemas estejam voltados para a microeconomiaquer para a macroeconomia. No primeiro caso, poder-se-ia citar, por exemplo, a necessidade de sesaber até que ponto o preço de determinado produto aumentou com relação aos preços dos demaisprodutos em um mesmo mercado. Se, por outro lado, o problema for quantificar a inflação, serempreciso medir o crescimento dos preços dos vários produtos como um todo, através do índice geral depreços.

Sob os aspectos acima considerados, pode-se vislumbrar a noção de agregado subjacente ao conceitode número-índice. Por essa razão, costuma-se conceber o número-índice como uma medida utilizadapara proporcionar uma expressão quantitativa global a um conjunto de medidas que não podem sersimplesmente adicionadas em virtude de apresentarem individualmente diferentes graus deimportância.

Cada número-índice de uma série ( de números) costuma vir expresso em termos percentuais. Osíndices mais empregados medem, em geral, variações ao longo do tempo e exatamente nesse sentidoque iremos trata-los neste capitulo. Além disso, limitaremos o estudo às suas principais aplicações nocampo de administração e de economia, as quais se situam no âmbito das variações de preços e dequantidades.

2. CONCEITO DE RELATIVO

A quantidade total de dinheiro gasto cada ano, em relação a certo ano base, varia de um ano para outrodevido as variações no número de unidades compradas dos diferentes artigos e igualmente devido amudanças nos preços unitários de tais artigos. Temos, portanto, três variáveis em jogo: preço,quantidade e valor, sendo este último o resultado do produto do preço pela quantidade.

2.1. Relativo (Relação) de Preço

Trata-se do número-índice mais simples. Relacionando-se o preço de um produto numa época(chamada época atual ou época dada) com o de uma época o (chamada básica ou simplesmente base)teremos um relativo de preço. Fazendo-se P t = preço numa época atual e Po preços na época-base.

2.2. Relativo (Relação) de Quantidade

Assim como podemos comparar os preços de bens, podemos também fazê-lo em re1ação aquantidades, querem sejam elas quantidades produzidas, vendidas ou consumidas. Se fizermos q t=quantidade de um produto na época atual (época t) é qo = quantidade desse mesmo produto na épocazero (básica).

2.3. Relativo (Relação) de Valor

Se p for o preço de determinado artigo em certa época e q a quantidade produzida ou consumida dessemesmo artigo na mesma época, então, o produto p x q será denominado valor total de produção ou deconsumo. Sendo p t e q t respectivamente, o preço e a quantidade de um artigo na época atual (t) e po eqo, o preço e a quantidade do mesmo artigo na época básica (0).


3. EMPREGO DE ÍNDICES (AGREGATIVOS) PONDERADOS

Como vimos, os índices simples apresentam algumas desvantagens, em especial à se refere àinexistência de pesos diferentes para cada utilidade que os compõe de acordo com sua importânciarelativa. No caso dos índices ponderados, além da fórmula a ser usada para interpretar as variações depreço e de quantidade dos bens, há o problema do critério para a fixação dos pesos relativos de cadaum deles. A ponderação proposta pelos métodos mais usados baseia-se na participação de cada bem novalor transacionado total e é feita, em geral, segundo dois critérios: peso fixo na época básica ou pesovariável na época atual.

3.1. Índice de Laspeyres ou Método da época Básica

O índice de Laspeyres constitui uma média ponderada de relativos, sendo os fatores de ponderaçãodeterminados a partir de preços e de qualidades da época básica, por conseguinte, no índice deLaspeyres, a base de ponderação é a época básica, dai a denominação método da época básica.

O peso relativo ou fator de ponderação relativa para um dado bem i, componente do índice, é dado por;

O numerador da expressão representa o valor do dispêndio com um dado bem i e o denominador asoma dos valores de todos os bens adquiridos na época básica. Assim sendo, w i0 equivale aparticipação relativa do valor do bem i, em relação ao valor de todos os bens transacionados, tendocomo referenda a época básica.

Princípios Fundamentais da ContabilidadeA Contabilidade surgiu das necessidades que as pessoas tinham de controlar aquilo que possuíam,gastavam ou deviam. Sempre procurando encontrar uma maneira simples de aumentar suas posses.Logo com as primeiras administrações, surge a necessidade de controle, que seria totalmenteimpossível sem a aplicação dos registros.

O Objetivo da Contabilidade é prestar informações relacionadas ao patrimônio de uma pessoa física oujurídica para tomada de decisões.

No mundo

A Contabilidade Mundial estabeleceu regras a serem seguidas na prática contábil, as quais sãodenominadas de: Postulados princípios e convenções.

Postulado é uma proposição ou observação de certa realidade que pode ser considerada não sujeita àverificação. Determina o campo onde a contabilidade deve atuar.

São 02 princípios Postulados Mundiais: Entidade Contábil e Continuidade.

Princípios e Convenções qualificam e delimitam o campo de aplicação dos princípios em certassituações.

Em casos de duvidas de como proceder em algumas situações, o profissional devera seguir osprincípios e convenções.

São princípios mundiais:

• Da Objetividade; • Da Materialidade (ou Relevância); • Do Conservadorismo (ou Prudência);


• Da Consistência ou Uniformidade.

No Brasil

A Resolução 750 do Conselho Federal de Contabilidade de 29.12.1993, publicada no D.O.U. de31.12.1993, estabeleceu a obrigatoriedade no exercício da profissão contábil da observância dosPrincípios Fundamentais de Contabilidade. Esses PFC’s representam a essência das doutrinas e teoriasrelativas à Ciência da Contabilidade, consoante o entendimento predominantemente no universocientífico profissional de nosso país.

Esses Princípios Fundamentais de Contabilidade (PFC) procuraram reunir e condensar todos osPostulados, Princípios e Convenções já existentes, tentando reunir em 7 todos aqueles que existiam econtinuam a existir. De fato, num esforço de raciocínio, consegue-se identificar um Postuladotransformado em Princípio ou uma Convenção considerada como Princípio ou incorporada noentendimento de outro. Pesquisadores, Doutores e Mestres em Contabilidade costumam tecer muitas críticas a essa legislação.Entretanto, está em vigor.

Assim, de acordo com a Resolução 750 do CFC, os Princípios Fundamentais de Contabilidade são osseguintes:

1. O da Entidade 2. O da Continuidade 3. O da Oportunidade 4. O do Registro pelo Valor Original 5. O da Atualização Monetária 6. O da Competência 7. O da Prudência

1. Princípio da Entidade: reconhece o Patrimônio como objeto da Contabilidade e afirma a autonomiapatrimonial, a necessidade de diferenciar um patrimônio particular de uma pessoafísica,independentemente dos patrimônios das pessoas jurídicas individuais, do conjunto de pessoasjurídicas, sem considerar se a finalidade é ou não a obtenção de lucro. O patrimônio de uma pessoafísica não se confunde, nem se mistura com o patrimônio da pessoa jurídica em que fizer parte. Naprática, como exemplo: despesas particulares de pessoas físicas (administradores, funcionários eterceiros) não devem ser consideradas como despesas da empresa; bens particulares de administradoresnão devem ser confundidos ou registrados na empresa.

2. Princípio da Continuidade: a continuidade ou não de uma Entidade (empresa), bem como a sua vidaestabelecida ou provável, devem ser consideradas quando da classificação e avaliação das variaçõespatrimoniais. Essa continuidade influencia o valor econômico dos ativos e, em muitos casos, o valor eo vencimento dos passivos, especialmente quando a extinção da sociedade tem prazo determinado,previsto ou previsível.

Todas as vezes que forem apresentadas as Demonstrações Contábeis (Balanço Patrimonial, DRE, etc)e, nessa data, ser conhecido um fato relevante que irá influenciar na continuidade normal da empresa,esse fato deverá ser divulgado através de Nota Explicativa A aplicação desse princípio estáintimamente ligada à correta aplicação do Princípio da Competência, pois se relaciona diretamente àquantificação dos componentes patrimoniais e à formação do resultado, e de constituir dado importantepara aferir a capacidade futura de geração de resultado.


Muito cuidado, porém, deve ser observado pelo profissional na observância desse PFC, uma vez queuma informação não fundamentada poderá trazer desastradas conseqüências para a empresa.

3. Princípio da Oportunidade - refere-se ao momento em que devem ser registradas as variaçõespatrimoniais. Devem ser feitas imediatamente e de forma integral, independentemente das causas queas originaram, contemplando os aspectos físicos e monetários.Quando se tratar de um fato futuro, oregistro deverá ser feito desde que tecnicamente estimável mesmo existindo razoável certeza de suaocorrência. São os casos de Provisões para Férias, para Contingências, etc.

4. Princípio do Registro pelo Valor Original /(ou Custo Como Base de Valor) - as variações dopatrimônio devem ser registradas pelos valores originais das transações com o mundo exterior,expressos em valor presente e na moeda do país. Esses valores serão mantidos na avaliação dasvariações patrimoniais posteriores, quando configurarem agregações ou decomposições no interior daempresa.

5. Princípio da Atualização Monetária - refere-se à correção monetária proveniente da alteração dopoder aquisitivo da moeda nacional. Não representava uma nova avaliação e sim o ajustamento dosvalores originais para a data presente, aplicando os indexadores oficiais.Em 01.01.1996, com o sucessodo Plano Real que manteve a inflação brasileira a índices razoáveis e controláveis, foi extinto oprocedimento da Correção Monetária. Os Balanços publicados em 31.12.96 já não trazem o reflexo dacorreção monetária e para fins de comparação com os Balanços de 31.12.95 que a expressavam, foramdivulgadas Notas Explicativas esclarecendo a mudança de critério e os efeitos dessa mudança.

O principio da atualização monetária não impede que a contabilidade levante balanços edemonstrações corrigidas pra efeito de análise de resultados reais e para as finalidades fiscais (pelasnormas legais de correção).

6. Princípio da Competência - estabelece que as Receitas e as Despesas devem ser incluídas naapuração do resultado do período em que foram geradas, sempre simultaneamente quando secorrelacionarem (Princípio da Confrontação das Despesas com as Receitas), independentemente derecebimento ou pagamento. Prevalece sempre o período em que ocorreram.

As Receitas são consideradas realizadas (ocorridas):

a) nas vendas a terceiros de bens ou serviços, quando estes efetuarem o pagamento ou assumirem ocompromisso firme de efetivá-lo, quer pela investidura na propriedade do bem vendido, quer pelafruição (usufruto) do serviço prestado;

b) quando do desaparecimento parcial ou total de um passivo, qualquer que seja o motivo;

c) pela geração natural de novos ativos independentemente da intervenção de terceiros.

As Despesas são consideradas incorridas:

a) Quando deixar de existir o correspondente valor ativo, por transferência de sua propriedade paraterceiro;

b) pela diminuição ou extinção do valor econômico do ativo;

c) pelo surgimento de um passivo, sem o correspondente ativo.

7. Princípio da Prudência - determina a adoção do menor valor para os componentes do Ativo e domaior valor para os componentes do Passivo, sempre que se apresentarem alternativas igualmenteválidas para a quantificação das variações patrimoniais que alterem o PL. Impõe a escolha da hipótesede que resulte menor PL, sempre que se apresentarem opções igualmente aceitáveis diante dos demais


PFC’s. Baseia-se na premissa de “nunca antecipar lucros e sempre prever possíveis prejuízos”. A aplicação desse PFC ganha ênfase quando devem ser feitas estimativas para definir valores futuroscom razoável grau de incerteza.

8. Princípio da Realização - Como norma geral, a receita é reconhecida no período contábil em que érealizada. A realização usualmente ocorre quando bens ou serviços são fornecidos a terceiros em trocade dinheiro ou de outro elemento ativo.

Este principio tem sido um dos mais visados, principalmente pelos economistas, por julgarem que oprocesso de produção adiciona valor aos fatores que estão sendo manipulados, o passo que,contabilmente, se verifica apenas uma “integração de fatores”, e a receita e, conseqüentemente o lucro(ou prejuízo) só ocorrem no ato da venda. O lucro só se realiza no ato da venda.

Convenções

O que são Convenções?

Dentro da ampla margem de liberdade que os princípios permitem ao contador, no registro dasoperações, as convenções vêm restringir ou limitar ou mesmo modificar parcialmente os conteúdos dosprincípios, definidos mais precisamente seu significado.

Hoje dentro da contabilidade temos:

1. A Convenção da Consistência;

2. A Convenção do Conservadorismo;

3. A Convenção da Materialidade;

4. A Convenção da Objetividade.

1. A Convenção da Consistência.

Assim, a Convenção da Consistência nos diz que, uma vez adotado determinado processo, dentre osvários possíveis que podem atender a um mesmo principio geral, ele não devera ser mudado comdemasiada freqüência, pois assim estaria sendo prejudicada a comparabilidade dos relatórios contábeis.Se, por exemplo, for adotado o método PEPS para avaliação de estoques, em lugar do UEPS (ambosatendem ao mesmo princípio geral, isto é, “Custo Como Base de Valor”), deverá ser usado sempre ométodo nos outros períodos. E se houver a necessidade inadiável de se adotar outro critério, estaadoção e seus efeitos no resultado devem ser declarados como nota de rodapé dos relatórios, demaneira a cientificar o leitor.

Aceitamos como perfeitamente valida esta convenção, pois sua finalidade é reduzir a área deinconsistência entre relatórios de uma mesma empresa, contribuindo, de certa forma, para umprogresso mais rápido rumo à padronização e unificação contábeis, dentro do mesmo setor deatividade.

2. A Convenção do Conservadorismo.

Esta Convenção consiste em que, por motivos de precaução, sempre que o contador se defrontar comalternativas igualmente válidas de atribuir valores diferentes a um elemento do ativo (ou do passivo),deverá optar pelo mais baixo para o ativo e pelo mais alto para o passivo. Se, por exemplo, o valor demercado do inventário final de mercadorias for inferior ao valor de custo, devera ser escolhido o valor


de mercado, por ser o mais baixo.

Esta é uma convenção que modifica o principio geral do Custo Como Base de Valor.(Adotada tambémpela nossa atual lei das S.A).

A regra “Custo ou Mercado o Mais Baixo” está intimamente ligada ao conservadorismo. Em outraspalavras, o custo é à base de valor para a contabilidade, mas, se o valor de mercado for inferior ao decusto, adotaremos o valor de mercado.

Embora certa dose de conservadorismo, no bom sentido do termo, não seja de todo desprezível, aadoção irrestrita dessa convenção, em todas as situações, pode torna-se um meio seguro de impedir oprogresso da teoria contábil, criando problemas para as empresas, pois, ao se reverterem as causas quederam origem à aplicação do conservadorismo sem abandonar a convenção, perde-se o controle deseus impactos nos resultados.

3. A Convenção da Materialidade.

Esta Convenção reza que, a fim de evitar desperdício de tempo e de dinheiro, deve -se registrar naContabilidade apenas os eventos dignos de atenção e na ocasião oportuna. Por exemplo, sempre que osempregados do escritório se utilizam papeis e impresso da firma registra-se uma diminuição do ativoda empresa, diminuição esta que poderia, teoricamente ser lançada nos registros contábeis à medida desua ocorrência. Entretanto, isto não é feito, pela irrelevância da operação, e a despesa só é apurada nofim do período por diferença de estoques.

O julgamento quanto à materialidade também se relaciona com qual informação devemos evidenciar,cuja exclusão dos relatórios publicados poderia levar o leitor a conclusões inadequadas sobreresultados e as tendências da empresa. Normalmente, materialidade e relevância andam juntas.Entretanto, algo pode ser imaterial de per se, ainda assim, relevante. Por exemplo, se todo mêsdescobrimos uma diferença de cerca de $1 no Balancete de Verificação do Razão, o fato em si pode serimaterial, mas, pela repetição pode ser relevante no sentido de apontar eventuais problemas no sistemacontábil. O fato de a diferença ter sido pequena pode dever-se ao caso.

4. A Convenção da Objetividade.

Esta convenção pode ser explicada da melhor forma possível através do exemplo que, a seguir, serárelatado. Suponha-se que o Contador, para a avaliação de um certo bem, dispusesse de duas fontes, asaber: A fatura relativa à compra do bem e o laudo do maior especialista mundial em avaliação. Deveráescolher, como o valor de registro, o indicado na fatura. Entre um critério subjetivo de valor, mesmoponderável, e outro objetivo, o contador devera optar pela hipótese mais objetiva. A finalidade destaconvenção é eliminar ou restringir áreas de excessivo liberalismo na escolha de critérios,principalmente de valor. Em tese, é uma convenção que contém seus méritos. Entretanto, serianecessário definir de forma mais precisa o que vem ser objetividade.

Em suma, nem só o que é material, palpável, tem a qualidade de ser objetivo. Mesmo porqueobjetividade atribuída a tais elementos é uma imagem criada pela nossa mente, que se utiliza, assim, dojulgamento. Portanto, um julgamento pode ser objetivo também, profissionalmente.

Conclusão

Enfim, o que se pode dizer é que a contabilidade é governada por um conjunto de leis de formação, as


chamadas de Princípios da contabilidade, que servem para deixarmos mais fácil a utilização dacontabilidade no dia a dia.

As leis da Contabilidade representam as teorias da ciência da contabilidade facilitando a utilização damesma, no seu objetivo que é estudar os bens e direitos de uma empresa.

Os 07 princípios fazem com que já de inicio se tenha uma visão bem ampla da contabilidade em si:

• O Principio da Entidade reconhece o patrimônio como o objeto da contabilidade;• O Principio da Continuidade são as diferenças, as situações pelas quais passam o patrimônio. A

continuidade da contabilidade é um aspecto a ser observado cuidadosamente para que se tenhaum controle da situação.

• O Principio da Oportunidade esse se refere ao mesmo tempo, a um todo e um e a cada fase dopatrimônio, determinando o que deve ser feito de imediato independente do que possa ocorrer.

• O Principio do Registro È através dele que registramos as transações do patrimônio, para quepossa se ter um controle desde o inicio do patrimônio dos valores originais.

• O Principio da Atualização Monetária É o compatível com o valor original, sendo que o 1°apenas utiliza e mantém atualizado o valor de entrada, qualquer alteração que entra em açãocom O Principio da Atualização Monetária, que ajusta os valores.

• O Principio da Competência Tem o objetivo de decidir quando as alterações patrimoniais vãoaumentar ou diminuir o patrimônio liquido.

• O Principio da Prudência Reforça as necessidades de apresentar informações que reflitam opatrimônio liquido, gera precauções por parte do contador, impõe escolha da hipótese de queresulte menos PL.

ESCRITURAÇÃO CONTÁBIL

Numa época em que a importância da informação é indiscutível, parece ser óbvio que a escrituraçãocontábil de qualquer empresa ou organização é uma necessidade e não um luxo.

O Código Civil Brasileiro - Lei 10.406/2002, a partir do artigo 1.179, versa sobre a obrigatoriedade daescrituração contábil, para o empresário e para a sociedade empresária:

Art. 1.179. O empresário e a sociedade empresária são obrigados a seguir um sistema de contabilidade,mecanizado ou não, com base na escrituração uniforme de seus livros, em correspondência com adocumentação respectiva, e a levantar anualmente o balanço patrimonial e o de resultado econômico.

§ 2º É dispensado das exigências deste artigo o pequeno empresário a que se refere o art. 970.

A Lei é clara em dizer que o empresário e a sociedade empresária estão obrigados e a única exceção épara o produtor rural e o pequeno empresário.

Considera-se pequeno empresário, para efeito de aplicação desta dispensa, o empresário individualcaracterizado como microempresa na forma da Lei Complementar 123/2006 que aufira receita brutaanual de até R$ 36.000,00 (trinta e seis mil reais).

Desta forma, as empresas que não possuem as características para estarem inclusas na exceção, estão


obrigados a efetuarem a escrituração contábil.

A escrituração contábil é composta pelo registro de fatos administrativos que alteram de formaqualitativa ou quantitativa o patrimônio e estes registros devem ser expostos através de demonstraçõescontábeis:

Observe-se que o objetivo da contabilidade é o patrimônio, que é o conjunto de bens, direitos eobrigações, as variações desses itens e sua mensuração. Controlar o patrimônio não pode serconsiderado um luxo, mas uma necessidade. Há ainda aspectos cíveis, comerciais e tributários, pois aescrituração regular comprova em juízo fatos cujas provas dependam de perícia contábil.

Detalhe importante é que não deve se confundir a escrituração contábil com simples registros de livrosespecíficos (como, por exemplo, o livro caixa). A contabilidade, como ciência, utiliza-se deinformações advindas de todos os setores da empresa, e não só da tesouraria. Entre os setores quegeram informações relevantes, poderíamos destacar o faturamento, a produção (geradora de custos), aadministração de recursos humanos (folha de pagamento e encargos), o fiscal (apuração de impostos) eo financeiro (contas a pagar e a receber).

A contabilidade deve escriturar toda a movimentação financeira, inclusive bancária, contendo amovimentação das contas: caixa, bancos conta corrente, bancos conta aplicações, numerários emtrânsito, entre outras. O livro que contém o movimento dessas contas é o Livro Razão. No LivroDiário, registram-se (como o próprio nome esclarece), todas as movimentações diárias relativas aofaturamento, recebimentos, pagamentos, aplicações e transações bancárias e outros fatos contábeis.

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo denúmero, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, porexemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entredois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesmaintensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era precisoencontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação


para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se essecomerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante aoatual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com doistraços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas tambémrepresentar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, oconjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z(Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar onúmero 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distânciaentre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente daesquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração éadotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveriaqualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um esomente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z


O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e oantecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

(a) 3 é sucessor de 2(b) 2 é antecessor de 3(c) -5 é antecessor de -4(d) -4 é sucessor de -5(e) 0 é antecessor de 1(f) 1 é sucessor de 0(g) -1 é sucessor de -2(h) -2 é antecessor de -1Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele écaracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjuntoZ que é 0.

Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo)entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |.Assim:

|x| = max{-x,x}

Exemplos:

(a) |0| = 0(b) |8| = 8(c) |-6| = 6Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distânciadeste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia deganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)

perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)

perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do númeronegativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:


(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é umnúmero inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 09 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números sãorepetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente algumaquantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos eesta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhumsinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)Com o uso das regras acima, podemos concluir que:


Sinais dosnúmeros

Resultado doproduto

iguais positivo

diferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteirosainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 19 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a édenominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:

a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a umexpoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é


um número que conserva o seu sinal.

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" equando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras sãoprovenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e ovolume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro númerointeiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raizenquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguintepara entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

Observação: Por deficiência da linguagem, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima,usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 deum número inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro númerointeiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos númerosinteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada maistarde no contexto dos números complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulasaparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulteem um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro númerointeiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somenteaos números não negativos.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.


Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Números racionais

Racionais Positivos e Racionais Negativos

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativosque sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.

Por exemplo:

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

· (+8) : (+5)

· (-3) : (-5)

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

· (-8) : (+5)

· (-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a e representam o número racional .


Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ouseja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador sãonúmeros inteiros.

NÚMEROS IRRACIONAIS

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termosrigorosos os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.

Racional - número que se pode escrever da forma h/k, onde h e k são inteiros com k¹ 0.

Irracional – número que não se pode expressar como quociente de dois números inteiros.

Exemplos de números irracionais

Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raizquadrada de um número natural não for inteira, é irracional.

Logo são irracionais Ö 2, Ö 3, Ö 5, Ö 7, Ö 8, Ö 10,Ö n , com n natural e n ¹ de um quadradoperfeito

Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas.

São irracionais os resultados da soma, subtracção, multiplicação e divisão de um número irracionalcom um número racional.

Ex: 1 + Ö 3, (1 + Ö 5)/2, (Ö 8 – 1)/2

São igualmente irracionais

Não são irracionais

São irracionais os números especiais f, p , e.

Reunindo o conjunto dos números irracionais ao conjunto Q dos racionais, obtemos oconjunto R dos números reais.

N Í N0 Í ZÍ Q Í R


Em R permanecem válidas todas as propriedades e regras do cálculo estabelecidas para asoperações em Q.

Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opçõesentre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentestipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o numerode diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somentemultiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como na questão:

Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tiposde arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o clientenão pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatóriamente tenha de escolheruma opção de cada alimento?

A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja erefrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O quedevemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades:

(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90

Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com ascomidas e bebidas disponíveis.

Outro exemplo:

No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos.Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas?

Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremosde limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar.

26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).

Agora é só multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000

Resposta para a questão: existem 87.880.000 placas onde a parte dos algarismos formem um númeropar.

Exercícios resolvidos:

1 - Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada


Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:N = 2.2.2.2.2.2 = 64Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as seis portas fechadas, teremos então que onúmero procurado será igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

2 - Considere que 10 pessoas estão sentadas ao redor de uma mesa circular e que elas pretendam trocarde lugar de todas as formas possíveis, mantendo-se a mesma posição relativa das pessoas na mesa.Supondo que cada troca de todos os lugares poderá ser feita em um minuto, determine o número dedias necessários para que todas as trocas de lugares sejam finalizadas.

Solução:

Como o problema explicita que deve-se manter a mesma posição relativa das pessoas na mesa ,deveremos considerar o sentido de contagem irrelevante e, portanto, segundo o que vimos sobrePermutações Circulares no texto acima, deveremos usar a fórmula P'(n) = (n-1)!/2. Então, o número total de maneiras será igual a P'(10) = (10 - 1)!/2 = 9!/2 =(9.8.7.6.5.4.3.2.1) / 2 = 9.8.7.6.5.4.3 ou seja, P'(10) = 181440 maneiras distintas. Ora, se em cadamudança é gasto 1 minuto (conforme enunciado do problema), serão necessários 181440 minutos paraque todas as trocas de lugares sejam feitas. Como um dia possui 24 horas e cada hora tem 60 minutos,concluímos que 1 dia = 24 . 60 = 1440 minutos. Então, dividindo 181440 por 1440, obteremos o tempototal necessário em dias, ou seja: 181440/1440 = 126. Portanto, serão necessários 126 dias para que 10pessoas sentadas ao redor de uma mesa circular troquem de posição, mantendo a mesma posiçãorelativa entre elas. Caso fosse considerado um sentido de arrumação (o sentido horário, por exemplo), aresposta seria o dobro ou seja: 252 dias. Ora, 126 dias representam 34,5% dos dias do ano e 252 dias,69%

Sistema Legal de Medidas

Medidas de comprimento

Sistema Métrico Decimal

Desde a Antigüidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada


um deles possuía suas próprias unidades padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Unidade padrão: Metro

A palavra metro vem do grego métron significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Múltiplos UnidadeFundamental

Submúltiplos

Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro


km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm

Milha terrestre = 1.609 m

Milha marítima = 1.852 m

Observe que:


1 pé = 12 polegadas

1 jarda = 3 pés

Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:


2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.



1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

Exemplo: 15 metros e 48 milímetros

6,07Km - lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107dam - lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003m - lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Cada unidade de medida é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Então: 1 Km = 10 hm

1 hm = 10 dam

1 dam = 10m

E assim por diante.


• Para transformar uma unidade em outra à sua direita, multiplicamos por 10, 100, 1000,..., conforme nos deslocamos uma, duas, três, ... unidades à direita.

• Para transformar uma unidade em outra à sua esquerda, dividimos por 10, 100, 1000,..., conforme nos deslocarmos uma, duas, três, ... unidades à esquerda.

• Transforme 16,584 hm em m.


Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).


16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584 hm = 1.658,4 m

• Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1.463

Ou seja:

1,463 dam = 1.463 cm.

• Transforme 176,9 m em dam.

kmhm dam m dm cm mm


Para transformar dam em m (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

• Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observação:


Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro dos polígonos regulares



polígono regular

P - perímetro do polígono regular

Para um polígono de n lados iguais, temos:


Comprimento da Circunferência

Assim:

O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira

lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considerar = 3,14.


Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquercircunferência.

Medidas de superfície

As medidas de superfície fazem parte de nosso dia-a-dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a área desta sala? • Qual a área desse apartamento? • Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa

piscina? • Qual a área dessa quadra de futebol de salão? • Qual a área pintada dessa parede?

Superfície e área

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

A unidade fundamental de superfície chama-semetro quadrado.


Metro Quadrado

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.


Submúltiplos

quilômetrosquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

A figura abaixo mostra um quadrado com lados iguais a 1 m. Cada lado foi dividido em 10 partes, medindo cada uma 1 dm.

Note que o quadrado maior (1 m²) contém 100 quadradinhos de (1 dm²).


Cada unidade de medida é 100 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior.

Exemplos:

1) Leia a seguinte medida: 12,56m2


12, 56

Lê-se "12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados". Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2



1 78, 30

Lê-se "178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados"

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2


0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um


submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade

agráriahectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência

de valor100a 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm2

1a = 1 dam2

1ca = 1m2

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:


Observe as seguintes transformações:

• transformar 2,36 m2 em mm2.


Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100 x 100 x 100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2


• transformar 580,2 dam2 em km2.


Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)

2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)

3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)

4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

Área de algumas figuras geométricas:



Medidas de volume

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico


Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro cúbico decímetr centímetro milímetro


cúbico cúbico cúbico o cúbico cúbico cúbico


1.000.000.000m3

1.000.000m3

1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3

0,000000001m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, três algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

• Leia a seguinte medida: 75,84m3


75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

• Leia a medida: 0,0064dm3



0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

• transformar 2,45 m3 para dm3.


Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.


2,45 x 1.000 = 2.450 dm3


1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)

2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)

3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)

4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.


Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

Múltiplos e submúltiplos do litro


Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3


Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal


2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:


• transformar 3,19 l para ml.


Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

3,19 x 1.000 = 3.190 ml


1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)

2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)

3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)

4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)

Volume dos principais sólidos geométricos:



Medidas de massa

Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:


Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.

Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua. Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.

Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

Quilograma

A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (Kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.


Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

Múltiplos e Submúltiplos do grama


Submúltiplos

quilogramahectograma

decagrama

gramadecigrama

centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g

1 g = 10 dg


Relações Importantes

Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.

Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:

São válidas também as relações:

Observação:

Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades


especiais:

1 arroba = 15 kg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

Leitura das Medidas de Massa

A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:

• Leia a seguinte medida: 83,732 hg


8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".


• Leia a medida: 0,043g


0, 0 43

Lê-se " 43 miligramas".

Transformação de Unidades

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidadeimediatamente inferior.


Observe as Seguintes transformações:

• Transforme 4,627 kg em dag.


Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

4,627 x 100 = 462,7

Ou seja:

4,627 kg = 462,7 dag

Observação:

Peso bruto: peso do produto com a embalagem.

Peso líquido: peso somente do produto.

Medidas de tempo


É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a


As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades

Múltiplos

minutos hora dia

min h d

60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

• décimo de segundo • centésimo de segundo • milésimo de segundo


Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias

ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6horas

ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias

quinzena = 15 dias

bimestre = 2 meses

trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses


semestre = 6 meses

biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos

década = 10 anos

século = 100 anos

milênio = 1.000 anos

Frações e Números Decimais

O papel das frações e números Decimais

As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos sãousados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e númerosdecimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com osistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outrassituações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente anotação X/Y, por ser mais simples.

Elementos históricos sobre os números Decimais

Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. Ohomem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro, comopor exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têmmuitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eramexpressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.

Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que o uso do número 60pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade dedivisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12.Provavelmente os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui umnúmero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas pararepresentar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração


5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas asoperações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenadosem cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeraldecimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemáticoescocês.

1437 1 2 3

= 1, 4 3 7

1000 A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço nonumerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

437

100

= 4,37

Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula paraseparar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos emvirtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram aser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo édenominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem umaparte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

127

100

= 1,27

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

127

100

=

100+27

100

=

100

100

+

27

100

= 1+0,27 =1,27

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui


observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que odenominador da fração.

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa aparte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas

Dezenas

Unidades

, Décimos

Centésimos

Milésimos

Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

1Centena

3dezenas

0unidades

, 8décimos

2centésimos

4milésimos

Exemplos:

0,6 Seis décimos

0,37 Trinta e sete centésimos

0,189 Cento e oitenta e nove milésimos

3,7 Três inteiros e sete décimos

13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos

130,824

Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatromilésimos

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que avírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parteinteira

partefracionária

0 , 1Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê daseguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separaa parte inteira da parte fracionária:

parteinteira

partefracionária

2 , 31Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador dafração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade,realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100 = 1,30(b) 987/1000 = 0,987


(c) 5/1000 = 0,005Transformando números decimais em frações decimais

Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se comonumerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zerosquantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5 = 5/10(b) 0,05 = 5/100(c) 2,41 = 241/100(d) 7,345 = 7345/1000Propriedades dos números decimais

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ouse retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:

(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000(b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000,basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10 = 74(b) 7,4 x 100 = 740(c) 7,4 x 1000 = 7400Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocara vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:

(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475Operações com números decimais

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir algunspassos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídosacrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), deforma que:

i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades dooutro número,

ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas dooutro número,

iii.o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número,etc),

iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, ev. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos,

centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.


Dois exemplos:

2,400 2,400+ 1,723 - 1,723------- -------(c) Realizar a adição ou a subtração.

Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cadaum dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numeradore denominador por denominador. Por exemplo:

2,25×3,5=

225

100

×

35

10

=

225×35

100×10

=

7875

1000

= 7,875

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantascasas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

2,252 casasdecimais

multiplicando

x 3,5 1 casa decimalmultiplicador

1125

+ 675

7875

7,875

3 casasdecimais

Produto

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como odivisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informaçõespoderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Porexemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que oquociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática,dizemos que "cortamos" a vírgula.

3,6÷0,4=

3,6

0,4

=

36×10

4×10

=

36

4

= 9

Um outro exemplo:

0,35÷7=

0,35 = 0,35×100

= 35 = 35÷7 = 5 = 0,05


77×100

700 700÷7 100

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambospor 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas.Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada umreceberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos,3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se tornepossível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamosdois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após oprimeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, oquociente ficará dividido por 100.

dividendo

3500 700 divisor

resto 0 0,05quociente

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteirono quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

10 16

?(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença doalgarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

100 16

0, (2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.

100 16

-96 0,6

4 (3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) àdireita do número 4.

100 16

-96 0,6

40 (4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.


100 16

-96 0,62

40

-32

8 (5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direita donúmero 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

100 16

-96 0,625

40

-32

80

-80

0 A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja uminteiro.

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais dessesnúmeros. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou = (que se lê:igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Porexemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantosquantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mascom partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maiordeles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.(c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.

Porcentagem

Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:

A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista. O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)

A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da


proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem.

Exemplos:

(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com onúmero total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significar que sea sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é o mesmo que

30

100

= 30%

(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 amesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:

40

100

=

X

300Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação cruzadapara obter: 100X=12000, assim X=120

Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.

(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?

45

100

=

X

200o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110páginas.

Exercícios de Frações

01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 dequilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio,quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novoresto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu acavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?


09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 doterceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número éesse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00.Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 daterceira.

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30.Quanto possuía ?

25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qualdeverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo eeste 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ªcomporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantosalunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Quenúmero é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantaseram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Comquanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do quereceber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.


33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam,respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e asegunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas,em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-loem 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e asegunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horaslevarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempopoderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Emquanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outrosnegócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Quecapital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e aosegundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que ooutro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessaquantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é opreço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionandoconjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estandovazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxíliode Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordadosozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, quefração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7


dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageirosrestantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu doRio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo quesua soma é igual a 500.

52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. Opatriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho maisvelho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dosrestantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodicedos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadasoriginalmente por Severina ?

Resolução dos problemas

01) 18 garrafas02) 30 cintos03) 13504) 14 meninos05) 5.11506) R$ 8.344,0007) 165 km08) 1509) R$ 170,00

10)

11) 600 e 25012) 18913) 81014) R$ 2.500,0015) 4816) 7217) 12818) 117 e 2719) 180 e 16520) R$ 1.722,0021) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,5022) R$ 165,0023) R$ 139,5024) R$ 34,4025) 34 , 51 e 6826) 945, 1260 e 151227) 35 , 34 e 3628) R$ 600,0029) 4.682


30) 10831) R$ 128,0032) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,0033) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,0034) R$ 136,0035) 3/2036) 1 horas e 12 minutos37) 1/4 h ou 15 min38) 1/6 h ou 10 min39) 17/18040) 13 h 30 min41) 12 h

42) h

43) R$ 120.000,0044) 75 e 145) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,0046) 1h 30 min47) 2 h 30 min48) 18 horas49) 12/35 e 2 h 55 min50) 9851) 160 , 100 e 24052) 18 maçãs

Mais exercícios

Respostas:


Problemas:

1) Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?


ci)

Resposta a:

O retângulo está dividido em 8 partes

Resposta b:

Cada uma das partes é igual a .

Resposta c:

A parte pintada representa .

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) b) c)

Resposta a:

Cada parte representa e a parte pintada representa , que é o mesmo que dizermos .

Resposta b:

Cada parte representa e a parte pintada representa .

Resposta c:

Cada parte representa e a parte pintada representa , que é o mesmo que dizermos 1 inteiro.

3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) da pizza

b) da pizza

c) a pizza toda

Resposta a:


Sabemos que uma parte de seis custa 3 reais. Logo, três partes custam:

3*3 = 9

Resposta b:

5*3 = 15

Resposta c:

6*3 = 18

4) Se do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho?

Preciso descobrir quanto vale um sétimo do que eu tenho, para ficar mais fácil saber quanto tenho nototal.

195/3 = 65 reais

7*65 = 455 reais é o que eu tenho.

Agora preciso saber quanto vale quatro quintos disso.

Vou primeiro descobrir quanto que é um quinto de 455 reais.

455 / 5 = 91 reais.

Agora basta eu multiplicar 91 por 4.

91*4 = 364 reais correspondem a do que eu tenho.

5) Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

a) b) c)

Resposta a:

Como temos o mesmo denominador, basta fazermos a diferença do numerador:

Então 7-3 = 4

Logo, .

Resposta b:

Apenas temos que somar o numerador:

4 + 2 = 6

Logo, .

Resposta c:


Como os denominadores são diferentes, temos que achar o MMC entre eles (ou, seja, reduzir a ummesmo denominador):

, que é o mesmo que .

Exercícios de Números Decimais

Dada a fração, diga que número decimal ela representa:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exercícios Propostos - Números Decimais

I - Calcule os quocientes das divisões com aproximação de décimos.

01) 210 : 73 = 02) 54 : 1,7 = 03) 1,93 : 9 = 04) 126,8 : 4,5 =

II - Calcule os quocientes das divisões com aproximação de centésimos.

05) 120 : 39 = 06) 43,98 : 29 = 07) 34,8 : 0,23 = 08) 325,96 : 15,7 =

VII - Calcule os quocientes das divisões com aproximação de milésimos.


09) 264 : 75 = 10) 78,92 : 1,3 = 11) 1,06 : 34 = 12) 34,7 : 3,1

Respostas dos Exercícios Propostos - Números Decimais

01 2,8 02 31,7 03 0,2 04 28,1

05 3,07 06 1,51 07 151,30 08 20,76

09 3,520 10 60,707 11 0,031 12 11,193

Razões e Proporções

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B,denotada por:

A

BExemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12

3

= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3

6

= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema demedidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litrosde suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado ede água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A

B

= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.


LíquidoSituação1

Situação2

Situação3

Situação4

Suco puro 3 6 8 30

Água 8 16 32 80

Sucopronto

11 22 40 110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litrosde suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertoupelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o quetambém pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A

B

=

C

DNotas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partesde uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana,conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções duranteo período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A

B

=

C

Dos números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a


propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3

4

=

6

8Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x

3

=

4

6Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)

m(CD)

=

2

4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razãode 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os ladoscorrespondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R,B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF


Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentescongruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe umaproporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original sãochamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentosque ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e oslados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliaçãodo mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidademédia, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre umadistância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expressoem horas, minutos ou segundos).vmédia = distância percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi avelocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/ho que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja,para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ouescala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de umdesenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real


correspondente, ambos medidos na mesma unidade.escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis,plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foramreduzidos à metade na mesma proporção.

3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de populaçãorelativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressaa razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores emcada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendoque não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelotime que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menorna quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado,o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duasgrandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo,medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade devolume.Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ entãopara cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmoscorpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volumeafundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor.Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância

Densidade[g/cm³]

madeira 0,5

gasolina 0,7

álcool 0,8

alumínio 2,7


ferro 7,8

mercúrio 13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram arazão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamentalpois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor éaproximadamente:Pi = 3,1415926535Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência,temos uma razão notável:C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando queC = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro dacircunferência é igual a 9,43cm.

Divisão Proporcional

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos umsistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A

p

=

B

qA solução segue das propriedades das proporções:

A

p

=

B

q

=

A+B

p+q

=

M

p+q

= K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p e B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3,montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A

2

=

B

3

=

A+B

5

=

100

5

= 20

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferençaentre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

A = B = A-B = 60 =12


8 3 5 5Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn,deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M ep1+p2+...+pn=P.

X1

p1

=

X2

p2

= ... =

Xn

pnA solução segue das propriedades das proporções:

X1

p1

=

X2

p2

=...=

Xn

pn

=

X1+X2+...+Xn

p1+p2+...+pn

=

M

P

= K

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6,deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

A

2

=

B

4

=

C

6

=

A+B+C

P

=

120

12

=10

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

A

2

=

B

4

=

C

6

=

2A+3B-4C

2×2+3×4-4×6

=

120

-8

= – 15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-sedecompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são,respectivamente, os inversos de p e q.


Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

A

1/p

=

B

1/q

=

A+B

1/p+1/q

=

M

1/p+1/q

=

M.p.q

p+q

= K

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3,deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

A

1/2

=

B

1/3

=

A+B

1/2+1/3

=

120

5/6

=

120.2.3

5

= 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferençaentre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

A

1/6

=

B

1/8

=

A-B

1/6-1/8

=

10

1/24

= 240

Assim A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn,basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ...,1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

X1

1/p1

=

X2

1/p2

= ... =

Xn

1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1

1/p1

=

X2

1/p2

=...=

Xn

1/pn

=

X1+X2+...+Xn

1/p1+1/p2+...+1/pn

=

M

1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6,


deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

A

1/2

=

B

1/4

=

C

1/6

=

A+B+C

1/2+1/4+1/6

=

220

11/12

= 240

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

A

1/2

=

B

1/4

=

C

1/6

=

2A+3B-4C

2/2+3/4-4/6

=

10

13/12

=

120

13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários! :-)

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamenteproporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamenteproporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma queA+B=M e além disso:

A

c/p

=

B

d/q

=

A+B

c/p+d/q

=

M

c/p+d/q

=

M.p.q

c.q+p.d

=K

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e,inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

A

2/5

=

B

3/7

=

A+B

2/5+3/7

=

58

29/35

= 70

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

A = B = A-B = 21 = 72


4/6 3/84/6-3/8

7/24

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn einversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xndiretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

X1

p1/q1

=

X2

p2/q2

=...=

Xn

pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1

p1/q1

=

X2

p2/q2

=...=

Xn

pn/qn

=

X1+X2+...+Xn

p1/q1+p2/q2+...+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 einversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas deforma de A+B+C=115 e tal que:

A

1/4

=

B

2/5

=

C

3/6

=

A+B+C

1/4+2/5+3/6

=

115

23/20

= 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamenteproporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A

1/2

=

B

10/4

=

C

2/5

=

2A+3B-4C

2/2+30/4-8/5

=

10

69/10

=

100

69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.


Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado(lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintose também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ...,Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamenteproporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou comum capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo períodoposterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dospesos. Desse modo:

p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A

2000

=

B

1800

=

C

1200A solução segue das propriedades das proporções:

A

2000

=

B

1800

=

C

1200

=

A+B+C

5000

=

25000

5000

= 5

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dosquais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo namesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.


Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energiasolar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual seráa energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percursoem 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)400 3480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima)na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetasdo mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias.Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmotrabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ouinversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serãonecessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, emcada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portantoa relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação édiretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termox com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhosserão montados por 4 homens em 16 dias?



Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém otermo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreirose aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-seflechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes paraas inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se foraumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta:


35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um murode 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidademédia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a umavelocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Regra de Três - Exercícios resolvidos

01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve serampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:

a) 0,685m

b) 1,35m

c) 2,1m

d) 6,85

e) 18m

RESPOSTA: C

02. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmascondições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m2?

a) 7 horas

b) 5 horas

c) 9 horas

d) 4 horas

e) 6h e 30min

RESPOSTA: A

03. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados


chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?

RESOLUÇÃO: 15 dias

04. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade.Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que asegunda?

RESOLUÇÃO: 60m e 48m

05. De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para asegunda

jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?

RESOLUÇÃO: 5min 37,5seg

06. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000impressões. Em

quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000impressões?

a) 20

b) 15

c) 12

d) 10

e) 5

RESPOSTA: E

07. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peçasem 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia,durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de:

a) 100

b) 200

c) 400

d) 500


e) 800

RESPOSTA: C

08. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. Qual será ocomprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de0,90m?

RESOLUÇÃO: 2 000m

09. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se osbares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderiaabastecê-los?

RESOLUÇÃO: 42 dias

10. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serãonecessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

a) 3

b) 2

c) 4

d) 6

e) 5

RESPOSTA: E

Porcentagem


1. IntroduçãoEm conversa com um amigo, ele me diz: O meu aluguel subiu R$ 200,00.Para avaliarmos se o aumento foi grande oupequeno, é preciso compararmos o acréscimo com ovalor anterior do aluguel. Isto pode ser feitoanalisando o quociente entre os dois valores. Assim, se o valor do aluguel era R$ 1 000,00 estarazão é , que costumeiramente analisamos

deixando o denominador da fração igual a 100.Desta forma:

Interpretamos a razão dizendo que se o aluguel

fosse R$ 100,00, o aumento teria sido de R$ 20,00.Este modo de compararmos dois números tomandoo 100 como padrão, utilizado desde o século XVII edenominado porcentagem é o que estudaremos aseguir.

2. Definição Porcentagem é uma fração de denominadorcentesimal, ou seja, é uma fração de denominador100. Representamos porcentagem pelo símbolo % elê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração é uma porcentagem que

podemos representar por 20%.

3. Forma Decimal

É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 75% na forma decimalseria representado por 0,75.

4. Cálculo de uma Porcentagem

Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta

multiplicarmos a fração por V.

p% de V = X V

Exemplo


23% de 240 · 240 = 55,2

Exercícios Resolvidos

01. Escrever sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens:

a) 23% b) 130%

Resolução

a) 23% = = 0,23

b) 130% = = 1,3

Resposta: a) 0,23

b) 1,3

02. (Fuvest-SP) (10%)2 =

a) 100% d) 1%

b) 20% e) 0,1%

c) 5%

Exercícios

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custaR$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninase de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Equações do primeiro grau

Introdução às equações de primeiro grau


Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentadacom palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte maisimportante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavrasSentençamatemática

2 melancias + 2Kg =14Kg

2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemáticase posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, queé o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe abalança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos"iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, aequação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil eaparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ouincognitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =. Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da

esquerda; Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim esignifica igual.

2 x + 2 = 14

1o. membro sinal de igualdade 2o. membroAs expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.


2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 - 2 = 14 -2

Subtraímos 2 dos doismembros

2x = 12Dividimos por 2 os doismembros

x = 6 SoluçãoObservação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação,ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros daequação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permiteresolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra cpara a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:c + a = 22c + (c - 4) = 222c - 4 = 222c - 4 + 4 = 22 + 42c = 26c = 13Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têmuma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com aletra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:a + b = 100.0003b + b = 100.0004b = 100.000b = 25.000Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área decada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.3x + 140 = 2603x = 260 -1403x = 120x = 40Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 102. 5k - 12 = 203. 2y + 15 - y = 224. 9h - 2 = 16 + 2h


Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (tambémdenominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dosquatro sinais:

< menor

> maior

< menor ou igual

> maior ou igualNas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumiruma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo1

2x + 2 < 14 Escrever a equação original

Passo2

2x + 2 - 2 < 14 -2

Subtrair o número 2 dos dois membros

Passo3

2x < 12Dividir pelo número 2 ambos osmembros

Passo4

x < 6 Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades"disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas)desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12 < 2x + 2 < 20 Equação original

12 - < 2x + 2 - < 20 - Subtraímos 2 de todos os


2 2 2 membros

10 < 2x < 18Dividimos por 2 todos osmembros

5 < x < 9 SoluçãoO conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo umaequação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y.Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossívelexibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obteruma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário,colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Estetipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.


Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duasequações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazemsimultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado denúmeros reais:

S = { (10,6) }

Método de substituição para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico deuma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação

2x + 3y - 3y = 38 -3y

Subtraímos 3y de ambos os membros

2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2

x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de ySubstituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação

3(19 - (3y/2)) - 2y =18

Após substituir x, eliminamos osparênteses

57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2

114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36 separamos variáveis e números

114 - 36 = 13y simplificamos a equação

78 = 13y mudamos a posição dos dois membros

13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6

y = 6 Valor obtido para ySubstituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10


Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2x - y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas noplano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta noplano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode serinterpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = cReta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado nainterseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retasparalelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Tipos deretas

Sistema

Concorrentesx + y = 2x - y = 0

Paralelasx + y = 2x + y = 4

Coincidentes x + y = 22x + 2y =4

Problemas com sistemas de equações:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. Osistema de equações será:C + A = 22C - A = 4Resposta: C = 13 e A = 9

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm


uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B,o sistema de equações será:A + B = 100000A = 3BResposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a áreade cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outrasdependências com a letra O. Assim, o sistema será:3D + O = 260O = 140Resposta: D = 40

Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 oumais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Umaforma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < cd x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 65x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossívelexibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obteruma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);

(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeiradesigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);

(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessárioque seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;

(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.


Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia eProcessos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a PesquisaOperacional.

Inequações de primeiro grau

Introdução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por umadesigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveisMétodo prático

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. • Traçamos a reta no plano cartesiano. • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz

ou não a desigualdade inicial. Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o pontoauxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qualpertence o ponto auxiliar. Exemplos:

• Representamos graficamente a inequação


Tabela

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação

Verificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

Exercícios de Inequações de 1º Grau

Resolva as seguintes inequações, em :

a) 2x + 1 x + 6

Diminuir x dos dois lados:

2x - x + 1 x - x + 6

x + 1 6

x 5

b) 2 - 3x x + 14

2 - 3x - x x - x + 14

2 - 4x 14

-4x 12

- x 3

x -3

c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)2x + 6 > 3 – 3x

2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x

6 - 3 > -5x


3 > - 5x

-x < 3/5

x > -3/5

d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7 3 - 6x < 2x + 2 + x - 7

-6x - 3x < -8

-9x < -8

9x > 8

x > 8/9

e) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4 Primeiro devemos achar um mesmo denominador.

-2x - 6 < 3 - 3x

x < 9

f) (x + 3) > (-x-1)

x + 3 > -x - 1

2x > -4

x > -4/2

x > -2

g) [1 - 2*(x-1)] < 2

1 - 2x + 2 < 2

- 2x < 2 - 1 - 2

- 2x < -1

2x > 1

x > 1/2

Equações do segundo grau

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como:adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

1. a x + b = 0


2. a x² + bx + c = 03. a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equaçãoalgébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominadocoeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso,dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) deBhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é quea Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos umséculo antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o materialconstruído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundograu a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para istosomaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raizquadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregadamais rapidamente, pois a linguagem ainda não permite apresentar notações matemáticas de uma formafácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todonúmero real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]


que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquersignificado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação dosegundo grau, definido por:

D = b² - 4ac

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero.Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado aoquadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 02. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta ocoeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 02. 3 x² + 9 = 03. 2 x² = 0


Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constantepara o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinaiscontrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 02. 2 x² = 03. 3 x² + 7 = 04. 2 x² + 5 = 05. 10 x² = 06. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e pararesolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.2. Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2a


3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:x' = (-b + R[D])/2ax" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau,analisando os tipos de raízes da equação.

Equação a b c Delta Tipos de raízes

x²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes

x²-10x+25=0

x²+2x+7=0

x²+2x+1=0

x²+2x=0

O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a,b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízescomplexas conjugadas.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=62. Escrever o discriminante D = b²-4ac.3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=14. Escrever a fórmula de Bhaskara:

5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:a. x² + 9 x + 8 = 0b. 9 x² - 24 x + 16 = 0c. x² - 2 x + 4 = 0d. 3 x² - 15 x + 12 = 0e. 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolver as equações:a. x² + 6 x + 9 = 0b. 3 x² - x + 3 = 0c. 2 x² - 2 x - 12 = 0d. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau


São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 02. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam osdenominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fraçãocom denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dosdenominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimomúltiplo comum entre os termos como:MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0o que significa que o numerador deverá ser:3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0que desenvolvido nos dá:x2 + 3x - 13 = 0que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Nãoexistirão números reais satisfazendo esta equação.

2. Consideremos agora o segundo exemplo:(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores)e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC,teremos uma sequência de expressões como:(x+3)(x+4)=2x(2x-1)x² + 7x + 12 = 4x² - 2x-3x² + 9x + 12 = 03x² - 9x - 12 = 0x² - 3x - 4 = 0(x-4)(x+1) = 0Solução: x'=4 ou x"= -1

3. Estudemos outro exemplo:3/(x²-4)+1/(x-2)=0O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 oux= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:3 + (x+2)=0cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -72. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1


Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através dasubstituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e oprocedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ouy"=9, assim:x² = 4 ou x² = 9o que garante que o conjunto solução é:S = { 2, -2, 3, -3}

2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ouy"=9 e desse modo:x² = -4 ou x² = 9o que garante que o conjunto solução é:S = {3, -3}

3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4ou y"= -9 e dessa forma:x² = -4 ou x² = -9o que garante que o conjunto solução é vazio.

Inequações do segundo grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais dedesigualdades:

>: maior que <: menor que ≥: maior ou igual ≤: menor ou igual ≠: diferente

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve sercomparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.


Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}

Exemplo 3


Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}

Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x < 3 e x > 3}

Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.

Solução:-x² + 4 = 0.x² – 4 = 0.x1 = 2


x2 = -2

Sistemas Lineares

Equação Linear É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b,em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo númeroreal b. Exemplos:

x + y + z = 20 2x –3y + 5z = 6 4x + 5y – 10z = –3 x – 4y – z = 0

Sistema Linear Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com pequações e n incógnitas. Exemplos:

x + y = 3 x – y = 1 Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24 x – y + 10z = 30 Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120 4x – 2y – 20z = 60 –x + y + 5z = 10 Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10 2x + 3y + 5z – 2w = 21 4x – 2y – z + w = 16 Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear Dado o sistema: x + y = 3 x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações dosistema linear. Observe: x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3 2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema: 2x + 2y + 2z = 20 2x – 2y + 2z = 8 2x – 2y – 2z = 0 Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações dosistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20 2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8 2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução. SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e ascolunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1: O sistema: x + y = 3 x – y = 1 pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta. Matriz completa

1 1 3


1 -1 1

Matriz incompleta

1 1

1 -1

Exemplo 2 x + 10y – 12z = 120 4x – 2y – 20z = 60 –x + y + 5z = 10

Matriz completa

1 10 -12 120

4 -2 -20 60

-1 1 5 10

Matriz incompleta

1 10 -12

4 -2 -20

-1 1 5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equaçõeslineares: x + 10y – 12z = 120 4x – 2y – 20z = 60 –x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

Função

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo daforma como são escolhidos os axiomas.

A maioria dos livros representa uma função através da notação:


em que:

• D é um conjunto (chamado de domínio da função) • Y também é um conjunto (que pode ou não ser igual a D, chamado de contra-domínio da

função) • f é uma lei que associa elementos do conjunto D ao conjunto Y, satisfazendo certos axiomas

(abaixo delineados) Se x é um elemento do domínio D, a função sempre associa a ele um único elemento f(x)do contra-domínio Y:

. O gráfico da função é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de D x Y.

Alguns livros chamam de função o que foi chamado aqui de seu gráfico; em alguns casos, este gráficonem precisa ser um conjunto, sendo uma classe.

Por outro lado, em alguns contextos são consideradas funções parciais (em que nem todos pontos dodomínio D tem um valor f(x)) ou funções multivariadas (em que alguns pontos do domínio D podemter mais de um valor f(x)).

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, orelacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através dasubstituição direta dos argumentos. Considere o exemplo

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado.

Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários.Por exemplo,

recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy.

De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita(exemplo acima) ou de função implícita, como em

que implicitamente especifica a função

A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números. A noção matemáticade funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada)com um segundo conjunto o contra-domínio (ou codomínio) de tal forma que a cada elemento dodomínio está associado exactamente um elemento do contra-domínio. O conjunto dos elementos docontra-domínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de "conjunto-imagem"ou "imagem".

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funçõesaparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo defunções. Pode notar-se que as palavras "função", "mapeamento", "mapear" e "transformar" são


geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso funções podem ocasionalmente ser referidascomo funções bem definidas ou função total.

Definição formal

Considere dois conjuntos X e Y. Uma função f de X em Y:

relaciona com cada elemento x em X, um único elemento y=f(x) em Y.

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

1. f é unívoca: se y = f(x) e z = f(x), então y = z. 2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f(x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termofunção multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

Esta não é uma função, pois oelemento 3 em X é associadocom dois elementos (d e c) em Y(a correspondência é funcional).Apesar de não ser uma função,representa uma funçãomultivalorada.


Esta não é uma função, pois oelemento 1 em X não éassociado com, pelo menos, umelemento em Y. Apesar de nãoser uma função, representa umafunção parcial.

Esta é uma função (no caso, umafunção discreta). Ela pode serdefinida explicitamente pelaexpressão:

Domínio, contradomínio e imagem

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos oselementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é: o conjunto que contém oselementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. Oconjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e a lei de associação. A função

é diferente da função .

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regrauma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que


ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos declasses de funções ( classe como em 'classificação' não classe de equivalência):

• Funções injectoras (ou injectivas)

São funções em que cada elemento da imagem (da saída) está associado a apenas um elemento dodomínio (da entrada), isto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. Isto

é, quando no domínio então no contradomínio. A cardinalidade do contra-domínio é sempre maior ou igual à do domínio em uma função inje(c)tora. Ressalta-se portanto quepodem haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função. Exemplo:

• Funções bijetoras (ou bijetiva)

Se for sobrejetora e injetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados a todos oselementos do contra-domínio de forma um para um e exclusiva.


Funções compostas

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra funçãog(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado umdeterminado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Exemplo: Dadasas funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, uma função composta pode ser g(f(x)) = 2x + 2. Existem váriasmaneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc. Note que o conjuntoimagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

Função inversa

Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um únicocorrespondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma únicavez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínioem domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca échamada de função inversa, e é representada por f -1(x). Ex:

1. 2. 3. 4.

5. Portanto,

Gráficos de função

O gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados em da forma, ou seja:

ou equivalentemente:

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, seduas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a


injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Embora o conceito de gráfico esteja relacionado ao conceito de desenho, pode-se falar do gráfico defunções em espaços de dimensão infinita. Um importante teorema da análise funcional é o teorema dográfico fechado.

Gráfico em duas dimensões

Uma das aplicações mais corriqueiras da idéia de gráfico de uma função é o traçado de uma curvasobre o plano cartesiano de forma a explicitar as "principais" propriedades de uma função.

O gráfico de muitas funções reais específicas recebem nomes especiais. O gráfico de um função afim,ou polinômio do primeiro grau, é chamado de reta; de um polinômio do segundo grau, de parábola; deum polinômio do terceiro grau, de parábola cúbica; da função é uma catenária.

Exemplos

no intervalo [-10 10 -10 10]:

Logaritmos em váriasbases

Gráfico

Gráfico é a tentativa de se expressar visualmente dados ou valores numéricos, de maneiras diferentes,assim facilitando a compreensão dos mesmos. Existem vários tipos de de gráficos e os mais utilizadossão os de colunas, os de linhas e os circulares. Os principais elementos são: números, título, fonte, nota


e chamada.

Tipos

Gráficos de colunas

O gráfico de colunas é composto por duas linhas ou eixos, um vertical e outro horizontal. No eixohorizontal são construídas as colunas que representam a variação de um fenômeno ou de um processode acordo com sua intensidade. Essa intensidade é indicada pelo eixo vertical. As colunas devemsempre possuir a mesma largura e a distância entre elas deve ser constante.

Gráfico de setor (ou circulares)

Os gráficos de setor são representados por círculos divididos proporcionalmente de acordo com osdados do fenômeno ou do processo a ser representado. Os valores são expressos em números ou empercentuais (%).

Gráfico de linha

O gráfico de linha é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal, e por uma linha quemostra a evolução de um fenômeno ou processo, isto é, o seu crescimento ou diminuição no decorrerde determinado período.

Barras

Os gráficos de barras são muito usados para comparar quantidades. As barras podem aparecer deitadasou de pé, quando também são chamadas de colunas. Seja de pé ou deitada, quanto maior ocomprimento de uma barra, maior o valor que representa.

Pizza

O gráfico em pizza é elaborado com um círculo e repartido conforme o valor que será divulgado, podecolocar cada parte uma cor,e a legenda também é opcional.

Dispersão

Partes divididas entre um circulo ou quadrado. Ex: tipo de população marcada escolhida usado empesquisa

Área

Um gráfico de área enfatiza a magnitude da alteração ao longo do tempo. As séries são exibidas comoum conjunto de pontos conectados por uma linha, com uma área preenchida abaixo da linha. Osvalores são representados pela altura do ponto medida pelo eixo y. Os rótulos de categoria são exibidosno eixo x. Os gráficos de área geralmente são usados para comparar valores ao longo do tempo.

Rosca

Um gráfico de rosca ilustra a relação entre as partes e um todo; entretanto, ele pode conter mais de umasérie. Os dados de valor são exibidos como porcentagem do todo. As categorias são representadas por


fatias individuais. Os gráficos de rosca são usados geralmente para mostrar porcentagens. Eles sãofuncionalmente idênticos aos gráficos de pizza.

Radar

Um gráfico de radar, também conhecido como gráfico de aranha ou gráfico de estrela devido à suaaparência, plota os valores de cada categoria ao longo de um eixo separado que inicia no centro dográfico e termina no anel externo.

Seqüência Numérica

O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos, esses nomes obedecem a uma ordem(são escritos em ordem alfabética), essa lista de nomes (diário) é considerada uma seqüência. Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa ordem que também é um tipo deseqüência.

Esses e vários outros exemplos de seqüência estão presentes em nosso cotidiano. Observando-ospodemos definir seqüência como:

Seqüência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinadaordem.

No estudo da matemática estudamos um tipo de seqüência, a seqüência numérica. Essa seqüência queestudamos em matemática é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordempré-estabelecida.

Ao representarmos uma seqüência numérica devemos colocar seus elementos entre parênteses. Vejaalguns exemplos de seqüências numéricas:

• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma seqüência de números pares positivos. • (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma seqüência de números naturais. • (10, 20, 30, 40, 50...) é uma seqüência de números múltiplos de 10. • (10, 15, 20, 30) é uma seqüência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.

Essas seqüências são separadas em dois tipos: • Seqüência finita é uma seqüência numérica na qual os elementos têm fim, como por exemplo, aseqüência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35. • Seqüência infinita é uma seqüência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito,por exemplo: a seqüência dos números naturais.

Em uma seqüencia numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a1, o segundo termo é a2, oterceiro a3 e assim por diante. Em uma seqüência numérica finita desconhecida, o último elemento érepresentado por an. A letra n determina o número de elementos da seqüência.

(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) seqüência infinita.

(a1, a2, a3, a4, ... , an) seqüência finita.


Para obtermos os elementos de uma seqüência é preciso ter uma lei de formação da seqüência. Porexemplo:

Determine os cinco primeiros elementos de uma seqüência tal que an = 10n + 1, n N*

a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11 a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101 a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001 a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001 a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001

Portanto, a seqüência será (11, 101, 1001, 10001, 100001).

Múltiplos e divisores naturais

1 – Múltiplo e divisor de um número natural

Dizemos que um número natural n divide um número natural m, quando m : n não deixa resto, ou seja,a divisão é exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condições, n é um divisor de m e m éum múltiplo de n.

Exemplos:

2 divide 16 ou seja, 2|16 porque 16:2 = 8 e resto = zero. Portanto, 2 é divisor de 16 e 16 é múltiplo de2.

5 divide 35 ou seja, 5|35 porque 35:5 = 7 e resto = zero. Portanto, 5 é divisor de 35 e 35 é múltiplo de5.

7 divide 105 ou seja, 7|105 porque 105:7 = 15 e resto = zero.Portanto, 7 é divisor de 105 e 105 é múltiplo de 7.

Notas:

a) O conjunto dos divisores naturais de n será representado por D(n).

Exemplos:

D(3) = {1,3}D(20) = {1,2,4,5,10,20}D(6) = {1,2,3,6}

b) O conjunto dos múltiplos naturais de n será representado por M(n).


Exemplos:

M(2) = {0,2, 4, 6, 8, ...}M(5) = {0,5,10,15, ...}

c) Os múltiplos de 2 são denominados números pares. Os demais números naturais são denominadosnúmeros ímpares. Assim, denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dosnúmeros ímpares, poderemos escrever:P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... }Observa-se que ambos os conjuntos são infinitos.

Propriedades imediatas:

P1) A unidade (ou seja, o número 1) divide qualquer número natural ou seja, 1|n, para todo n natural.

P2) Zero não divide nenhum número natural, ou seja, não existe divisão por zero. Imagine se vocêtivesse que dividir dez objetos por zero pessoas. Claro que isto não seria possível. Grave bem isto: adivisão por zero não existe.

P3) Todo número natural diferente de zero, divide o número zero, ou seja, paran ¹ 0, n | 0, para todo n não nulo.

P4) Todo número natural diferente de zero, divide a si próprio, ou seja, para n ¹ 0, n | n para todo n nãonulo. Esta propriedade é conhecida como propriedade reflexiva.

P5) Sendo m, n e p três números naturais, se m | p e p | n então m | n. Esta propriedade é conhecidacom propriedade transitiva.

Exemplo:

2 divide 6 pois 6 : 2 = 3 (divisão exata).6 divide 42 pois 42 : 6 = 7 (divisão exata). Logo, 2 divide 42. Realmente, 42 :2 = 21 (divisão exata).

P6) Todo número natural não nulo, é múltiplo de si mesmo. Isto decorre da propriedade P4.

P7) Zero é múltiplo de todo número natural não nulo. Isto decorre da propriedade P3.

2 – Número primo e número composto

Dizemos que um número natural p diferente de um ( p ¹ 1) é primo quando ele só possui doisdivisores: ele próprio e a unidade. Caso contrário, o número é composto.

Assim, se o conjunto dos divisores naturais de p, representado por D(p), for igual aD(p) = {1, p}, p é um número primo.Ora, os divisores de 2, são apenas a unidade (1) e ele mesmo (2). Logo, 2 é um número primo.


Portanto, 2 é o único número natural primo que é par.Sendo Ã o conjunto dos números primos, poderemos escrever:Ã = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... , }O conjunto dos números primos é infinito.

Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos. Isto é conhecido comoTeorema Fundamental da Aritmética – TFA.

Exemplos:

12 = 3.2.215 = 3.549 = 7.7105 = 7.5.3240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:

Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2120 |2 60 |2 30 |2 15 |3 5|5 1|

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5

A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que onúmero é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.

Teremos:

408 |2204 |2102 |2 51 |3 17 |17 1 |

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17

3 – MDC – Máximo divisor comum

Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum – MDC, como sendo


o maior natural que divide simultaneamente a e b.

O MDC de dois números será indicado por (a, b).

Óbvio que se tivermos o MDC de n números naturais a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por (a1, a2, a3, ... , an)

Exemplos:

Determine o MDC dos naturais 10 e 14, ou seja, determine (10, 14).

Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.

Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: (10, 14) = 2.

Pode-se indicar também como: MDC(10,14) = 2. Preferimos a primeira forma, por ser mais sintética.

Determine (4, 10, 14, 60), ou seja, o MDC dos números naturais 4,10,14 e 60.

Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60

Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.

Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: (4, 10, 14, 60) = 2

O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova formapara o cálculo do MDC de dois números naturais não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de (a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.

Como já vimos acima, temos:

408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5

Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:

(408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.

Portanto, (408, 240) = 24.

O MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas,cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

1 1 2 3

408 | 240 | 168 | 72 | 24


168 | 72| 24| 0

Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:

408:240 = 1 com resto 168240:168 = 1 com resto 72168:72 = 2 com resto 2472:24 = 3 com resto zero.

Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.

Nota: Se o MDC de dois números naturais a e b for igual à unidade, ou seja,(a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos.

Ou seja:

(a, b) = 1 Û a e b são primos entre si (co-primos).

Exemplo: (7, 5) = 1 \ 5 e 7 são primos entre si.

4 – MMC – Mínimo múltiplo comum

Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum – MMC, indicadopor <a,b> , como sendo o menor natural positivo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo: Determine o MMC dos naturais 10 e 14.

Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: <10,14> = 70.

Pode-se indicar também como MMC(10,14) = 70.

Aqui, também, preferimos a primeira forma, por ser mais sintética.

Dos exemplos anteriores, vimos que: (10,14) = 2 e <10,14> = 70. Observe que:

10.14 = 2.70 = 140 = (10,14).<10,14> = MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números naturais positivos a e b, teremos sempre que o produto dessesnúmeros é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:

(a,b) . <a,b> = MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números naturais positivos a e b são primos entre si(co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja (a, b) = 1 e, portanto, teremos:


1.<a,b> = a . b \ <a, b> = a . b , ou seja: O Mínimo Múltiplo Comum – MMC de dois números primosentre si é igual ao produto deles.

Exemplos:

<3, 5> = 3.5 = 15<7, 5, 3> = 7.5.3 = 105

Juros Simples e Juros Compostos

A fórmula clássica para o cálculo de juro simples é:

j = C x r / 100,

sendo

C = Capitalr = a taxa percentual.

Agora vamos tratar do tempo.

Se alguém empresta dinheiro a 3%a.m., isto significa por convenção (combinação, acordo, trato entrepessoas) que para cada R$ 100,00 embutidos no valor do empréstimo, R$ 3,00 deverão ser pagos comoaluguel desse dinheiro todo o mês.

‘a.m.’, então, é uma combinação (convenção) entre pessoas, que quer dizer ‘ao mês’, ‘todo mês’, ‘pormês’.Poderia ser ‘a.a.’, que significaria ‘ao ano’, ‘por ano’.

Então, simplesmente – caso seja uma taxa ‘a.m.’ – a gente multiplica o que se ganha de juro pelotempo em meses que o dinheiro ficou à disposição de quem o tomou. Logo, o juro que sai de

j = r x C / 100

vai se repetir ‘t’ meses e a fórmula é simplesmente afetada disto, passando a ser

j = r x C / 100 x t

ou

j = Cit/100 (como nos livros).

Se o tomador permanecer 3 meses com o dinheiro do empréstimo, terá de pagar 3 x j, ou seja, r x C /100 x 3, que pode se entendido que ele pagará três vezes mais juros do que alguém que ficaria apenasum período.

Mas vamos tratar de ‘t’ valendo 1 mês para construirmos nossa história. Assim, ainda não precisamosescrevê-lo na fórmula. Vamos entender que o ‘contrato’ é de um período apenas. Pode ser oempréstimo por apenas um mês.

A Caderneta de Poupança, por exemplo, paga 6%a.a. ao depositante (veja que o depositante aqui équem empresta dinheiro ao banco).

Mas as sutilezas, com o desenvolvimento das relações comerciais, vão se refinando.Uma pergunta: No caso da Caderneta de Poupança, isto significa que quem depositar seu dinheiro lá iráreceber R$ 6,00 por cada R$ 100,00 somente quando seu depósito fizer um ano?Nada impediria que fosse assim. Quem quiser emprestar dinheiro e pôr a mão nos juros após um ano


de empréstimo pode fazer isto.

Mas, combinou-se outra coisa: a Caderneta de Poupança iria pagar todo mês.

Mas aí vem uma pergunta: como isso? Se eu tenho um contrato com a Caixa Econômica de receber 6%ao ano, como é que ela vai pagar ao mês?É assim mesmo, pois entra aí uma outra coisa nova: o regime de capitalização.

O que é isto? Nada de mais, apenas quer dizer que, embora o contrato diga que os juros serão pagos aodepositante à taxa de 6%a.a. (R$ 6,00 de juros a cada ano para R$ 100,00 depositados), combinou-seque o cálculo será feito à taxa equivalente a cada mês de decurso do empréstimo, pelo tempo em mesescombinado entre as partes em que estiver valendo a operação.

O regime de capitalização, no nosso exemplo, é mensal. Equivale a dizer ‘todo mês faça o cálculo dojuro’.

Então, o equivalente a um mês de uma taxa de 6%a.a. é 6a.a./12, ou seja, 0,5%a.m.

A taxa de 6%a.a. então é dita ‘taxa nominal’, pois é uma taxa só de nome. Ela, integralmente, não serveao cálculo efetivo de juro. E esta divisão por 12 é uma convenção também. Poderia ser feita de outrojeito, mas combinou-se assim. Uma divisão simples.

Por conseqüência, a verdadeira taxa da Caderneta de Poupança é 0,5%a.m. e é esta que deve serincluída no cálculo.

Então, o juro da Caderneta de Poupança deve ser calculado – como todo juro -conforme a fórmulaclássica:

j = 0,5 x C / 100.

Então vamos fazer continhas. Vamos supor alguém deposite R$ 500,00 na Caderneta de Poupança noprimeiro dia útil do ano, só para facilitar tudo.

02/01/2006 -> R$ 500,00.

Quando chegar no dia 02/02/2006, há a contagem do juro:

j = 0,5 x 509,00 / 100 = R$ 2,50.

Então, a Caixa Econômica Federal deposita os R$ 2,50 na conta do depositante como aluguel dodinheiro. Esta conta-poupança fica, então, com o valor de R$ 502,50.Este valor, por convenção (combinação entre as pessoas) passa a se chamar Montante.

Montante é o que havia antes do juros, mais os juros.

Mas aí, nosso depositante, que é uma pessoa muito influenciável, ouve falar que um outro banco pagauma taxa melhor na Caderneta de Poupança, sem saber que o sistema é unificado e as Cadernetas dePoupança obedecem sempre à regra da Caixa Econômica Federal, e saca totalmente o valor domontante. E leva para outro banco o valor total de R$ 502,50, abrindo uma nova conta.

Então, neste novo banco, ele deposita, no mesmo dia 2/2 o seu dinheiro para uma nova aplicação.

02/02/2006 -> R$ 502,50.

No dia 02/03/2006, um mês após, o novo banco paga-lhe a taxa padrão, isto é,

j = 0,5 x 502,50 / 100 = R$ 2,5125.

Como não temos representação além da dos centavos, o banco deposita R$ 2,51 em sua conta, agora


somando os R$ 502,50 iniciais com os novos juros, isto é, indo o Montante para R$ 505,01.

Não satisfeito com o juro pago, ele retira o dinheiro deste banco e vai a outra Caderneta de Poupançacom a mesma ilusão de ganhar mais do que antes e abre uma nova conta.

02/03/2006 -> R$ 505,01.

No dia 02/04/2006 ele vai ao banco e encontra o juro de

j = 0,5 x 505,01 / 100 = R$ 2,52,

perfazendo o montante de R$ 507,53.

Nosso amigo então percebe que perdeu tempo, teve trabalho de abrir contas desnecessariamente. Se eletivesse deixado o dinheiro no primeiro banco, o valor seria o mesmo, pois as regras de cálculos são asmesmas e foram aplicadas sempre sobre o valor que teriam caso ficassem numa mesma instituiçãobancária.

Agora vamos ver o que aconteceria, caso nosso ambicioso depositante deixasse seu dinheiro naprimeira conta, sem abrir todas aquelas outras.

500,00.1o. Juro -> 0,5 x 500,00 / 100 = 2,50.

500,00 + 2,50 = 502,50.2o. Juro -> 0,5 x 502,50 / 100 = 2,51.

502,50 + 2,51 = R$ 505,013o. Juro -> 0,5 x 505,01 / 100 = 2,52.505,01 + 2,52 = 507,53.

Para prosseguir, relembremos que

Montante (M) é igual ao Capital ( C ) acrescido dos juros (j) no fim do período.

M = C + j

M = C + r x C / 100

Para facilitar, vamos dizer que não seja C o numerador daquela fraça, mas ‘r’. Reescrevamos e nãomudemos nada

M = C + r / 100 x C

Para facilitar a visualização, uma vez que a divisão é por uma constante, que tal escondê-la, sem deixarde considerá-la?

Vamos trocar a alíquota ‘r’ por ‘i’, significando r/100.

M = C + i x C

Ou

M = C + Ci

ou

M = C ( 1 + i ) —> (1)

Então, se formos calcular o montante de R$ 500,00 aplicados por 1 mês, à taxa de 0,5%a.m., faríamosassim


r = 0,5; i=0,005

M = 500 ( 1 + 0,005) ou

M = 500 ( 1,005).

Aquele ’1′ do ’1 + 0,005′ representa o valor aplicado anterior.

Veja que realmente esta última fórmula dá o primeiro valor calculado ao fim do primeiro mês.

R$ 502,50.

Voltemos a (1)

M = C ( 1 + i )

Isto daria o primeiro montante.

Mas, lembra?, o primeiro montante é o ‘capital’ da segunda aplicação:

M2 = ‘M’ vezes a partícula que afeta o valor aplicado.

Releia:

M2 = { C ( 1 + i ) } x (1 + i )

Veja, (1 + i) está sendo multiplicado por si mesmo, ou seja

M2 = C ( 1 + i ) ^ 2.

Continuando,

M3 = ‘M2′ vezes a partícula que afeta o valor aplicado.

Reescrevendo M3,

M3 = { C ( 1 + i ) ^2 } x ( 1 + i)

que você pode simplificar para

M3 = C ( 1 + i ) ^ 3.

Se formos ver a aplicação inicial de R$ 500,00 no início de nossa história, teremos que

M3 = 500,00 x ( 1 + 0,005 ) ^ 3

que resulta

R$ 507,53.

Você viu que, na nossa história de alguém depositar um valor inicial e retirar após o primeiro períodoesse valor mais seus juros, abrir uma nova conta com o montante arrecadado e fazer uma novaaplicação para repetir isto mais à frente, resultou em cálculos isolados de juros simples.

Entretanto, o valor final, utilizando-se o recurso do cálculo de Juros Compostos levou ao mesmoresultado.

Isto funcionou em ambos os casos em virtude da taxa de aplicação (no caso, 0,5% a.m.) ser a mesma, eo valor inicial também o mesmo.

Por fim, juros compostos tratam de montantes (valor mais aluguel do valor). Ou sejam, juros simplesreaplicados a cada período.


Capitalização

A capitalização é uma modalidade securitária que consiste num valor depositado mensalmente pelocapitalizado, que poderá sacar parte do saldo ao final do plano. A característica principal é que o valorsacado será sempre menor do que o capitalizado teria direito, caso houvesse depositado por exemploem contas bancárias remuneradas (depósito a prazo fixo) ou CDB's por exemplo. Em compensação osplanos concedem ao capitalizado o direito de participar de sorteios de prêmios, geralmente emdinheiro.

No Brasil, alguns titulos possuem um valor de saque menor até do que o depositado (como é oexemplo da conhecida TeleSena). Em função disso a capitalização e os títulos de capitalização nãodevem ser considerados como uma aplicação financeira ou uma poupança, pois não se enquadram nemcomo de renda fixa, nem como de risco, já que o capitalizado tende a não perder a totalidade do valorque gastou.

Essa modalidade securitária foi típica do primeiro sistema de previdência aplicada no Brasil, que nãogarantia o retorno atuarial do valor depositado compulsoriamente (chamadas de quotas previdenciárias)pelos segurados. É conhecido como regime de capitalização previdenciária.

Descontos Simples

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e odesconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempreo desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.

Vamos considerar a seguinte simbologia:N = valor nominal de um título.V = valor líquido, após o desconto.Dc = desconto comercial.d = taxa de descontos simples.n = número de períodos.

Teremos:V = N - Dc

No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:Dc = NdnSubstituindo, vem:V = N(1 - dn)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a serconcedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de5% a.m.

Solução:V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500Dc = 10000 - 8500 = 1500Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00

Desconto bancário

Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas


administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobreoperações financeiras.

É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, atravésdesta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor parao proprietário do título.

Exemplo:Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa dedesconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título comodespesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário dotítulo e a taxa de juros efetiva da operação.

Solução:Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250Logo, V = $67250,00A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.

Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que éamplamente favorável ao banco.

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global evencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria aprazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, esujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do BancoCentral.b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-sea um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas,essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinadobanco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5%a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pelaempresa e o valor da taxa efetiva da operação.

SOLUÇÃO:Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50


Teremos então:Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.

Exercícios propostos:

1 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa dejuros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00

2 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a .a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título dereciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, parauma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.

Resp: 6,06% a.m.

Desconto Composto

Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos dedescontos: o desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. Odesconto composto “por fora”, não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização práticaconhecida. Quanto ao desconto “por dentro” ou racional, ele nada mais é do que a diferença entre ovalor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalizaçãocomposta; portanto de aplicação generalizada.

Desconto Composto "Por Fora"

No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dostítulos, tantas vezes, quantos forem os períodos unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D,deduz-se que P = S.(1 - d x n).

Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiroperíodo, sobre o valor do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor dedesconto correspondente ao primeiro período; no terceiro período sobre o valor futuro do título menosos valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até oenésimo período, de forma que:

P1 = S - D ou P = S(1 - d)P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3. .. .Pn = S (1-d)n

Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários que sofre um descontocomposto “por fora”, é dado pela expressão:

P = S(1-d)n

Exemplos:


1 - Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular ovalor do desconto.

Dados: S = 28.800,00n = 120 dias = 4 mesesd = 2,5% ao mêsD = ?

Solução:

P = S(1-d)n P = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21D = S - P = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79HP12C = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1 – 4 YX X 28.800,00 - = 2,773,79

2 - Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto novalor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.

Dados: D = 1.379,77d = 3% ao mêsn = 90 dias ou 3 mesesS = ?

Solução:D = S - P = S - S(1-d)n = S [1-(1-d)n]D = S [1-(1-d)n]1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3]1.379,77 = S [ 1 - 0,912673]1.379,77 = S x 0,087327S = 1.379,77/0,087327 = 15.800,00

HP12C = 1E 0,03-3 YX 1- CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00

Desconto “Por Dentro ” ou Racional

Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valoratual, calculado com base no regime de capitalização composta, como segue:

Para manter a coerência no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa dedesconto por d . Assim a fórmula anterior pode ser escrita como segue:

Exemplo:

1 - Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.


Dados:S = 50.000,00n = 5 mesesd = 3,5% ao mêsD = ?

Solução:

D = S x (1 + d)n - 1/(1+d)n D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5-1/(1 + 0,035)5 D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5 D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X 0,15803D = 7.901,50

HP12C = 1,035E5YX 1-E 1,035E5YX : 50.000,00 X = 7.901,50

HP12C = 50.000,00 CHS FV 3,5 i 5 n PV 50.000,00 - = 7.901,34

Equivalência de Capitais

O esquema, nessa matéria, é realizar a troca dos títulos usando como data focal "zero" - a não ser queno enunciado seja especificada a data de equivalência.

Há duas partes, nessa matéria: equivalência usando desconto racional e equivalência usando descontocomercial, que serão explicadas a seguir:

1. Equivalência usando Desconto Racional

Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmulaabaixo:

N = A (1 + i.t)

N = valor nominal; A = valor atual;i = taxa; t = número de períodos que foram capitalizados.

Já quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar os títulos, conforme abaixo:

A = N / (1 + i.t)

1. Equivalência usando Desconto Comercial

Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar os títulos, conforme a fórmulaabaixo:

N = A / (1 - i.t)

N = valor nominal; A = valor atual;i = taxa; t = número de períodos que foram capitalizados.


Já quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar os títulos, conforme abaixo:

A = N (1 - i.t)

Percebam a inversão do sinal entre os parênteses, e a inversão da operação a ser feita(multiplicação/divisão) entre os descontos racional e comercial. Abaixo, pequenos exemplos, apenaspara ilustrar:

1. Temos um título de valor R$ 100,00 na data 1, e desejamos trocá-lo por um título que vencerá nadata 2. A taxa é de 10% ao período. Qual o valor do novo título?

Usando Desconto Racional:

100 / (1 + 0,1 . 1) = X / (1 + 0,1 . 2) =>100 / 1,1 = X / 1,2 =>1,1X = 120 X = 109,09

Usando Desconto Comercial:

100 . (1 - 0,1 . 1) = X . (1 + 0,1 . 2) =>100 . 0,9 = X . 0,890 = 0,8 XX = 112,5

2. Temos um título de valor R$ 100,00 na data 2, e desejamos trocá-lo por um título que vencerá nadata 1. A taxa é de 10% ao período. Qual o valor do novo título?

Usando Desconto Racional:

100 / (1 + 0,1 . 2) = X / (1 + 0,1 . 1) =>100 / 1,2 = X / 1,1 =>1,2X = 110 X = 91,67

Usando Desconto Comercial:

100 . (1 - 0,1 . 2) = X . (1 + 0,1 . 1) =>100 . 0,8 = X . 0,980 = 0,9 XX = 88,89


TAXAS DE JUROS

Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao seremaplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumuladono final daquele prazo, no regime de juros compostos.

O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juroscompostos.

Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente aoregime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxasequivalentes se baseiam em juros compostos.

Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com aunidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais,e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos detaxas nominais:

� 12% ao ano, capitalizados mensalmente;� 24% ao ano, capitalizados semestralmente;� 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;� 18% ao ano, capitalizados diariamente.

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso,não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a seraplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de formaproporcional, no regime de juros simples.Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida oregime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que ataxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos.Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalizaçãoda taxa nominal.

Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de sue tempo coincide com a unidadede tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:

� 2% ao mês, capitalizados mensalmente;� 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;� 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;� 10% ao ano, capitalizados anualmente.

Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros edos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% aosemestre e 10% ao ano.

A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhaseletrônicas.


A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa deinflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é overdadeiro ganho financeiro.

Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinadoperíodo de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganhoreal desta aplicação não foram os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu umadesvalorização de 8% no mesmo período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiroganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.

A taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos dainflação.

Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.

Raciocínio Lógico

Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de partida etemos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema.Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa,concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico.

Vamos a resolução de algumas situações problema.

01 - Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C 02- Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se, então, concluir que, necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z 03- A operação Å x é definida como o dobro do quadrado de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 -Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0


b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 04- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-seconcluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 05- Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila.O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moçasfiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 06- De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estãomatriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Aprobabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 07- Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz eCamile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Anater recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile orestante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4


e) 5 08- Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdadedos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 09- Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficientepara a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente paraa ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 10- Ou A=B, ou B=C, mas não ambos. Se B=D, então A=D. Ora, B=D. Logo: a) B ¹ C b) B ¹ A c) C = A d) C = D e) D ¹ A 11- De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o maismoço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho eo mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 12- Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia 13- Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (nãonecessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram asseguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa"


Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que asesposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina 14- A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 15- Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo quedizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 16- Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. SePedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 17- Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorgeestuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamenteque: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 18- Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora,Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente


c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente 19- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e ooutro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa éazul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, ascores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto 20- Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ouum cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". Ojovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei: a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa GABARITO

01 C

02 B

03 C

04 E

05 D

06 D

07 E

08 A

09 C

10 A

11 B


12 C

13 D

14 E

15 A

16 B

17 A

18 C

19 E

20 B

RESOLUÇÃO DA PROVA DO AFC – Raciocínio Lógico Matemático

1) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Resolução:

O Argumento é uma seqüência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e umaproposição final (conclusão).

A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir:

Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)

Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C.Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão tambémse verifica:(P1) Todo cavalo tem 4 patasIndica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.


(P2) Todo animal de 4 patas tem asas Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, possoafirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

(C) Todo cavalo tem asas Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjuntode cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissasserem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido.

Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por suavez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalotem asas.

Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos umargumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas aspremissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido.

Vejamos:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil.(P2) Artur gosta de Lógica (P3)

Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissamais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja quepara ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, ondetemos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duaspremissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo”abaixo:

p

q pvq

V

V F

V

F V

F

V V

F F F


Sendo as proposições:

p: Lógica é fácil

q: Artur não gosta de Lógica p v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Observe quesó nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja as linhas 2 e 3 da tabelaverdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando alinha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil.Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então (maiores detalhes deste conectivoveja a resolução da Prova do TCU/2002, também no site)

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil.Do se então já sabemos que:Geografia não é difícil é o antecedente do se então Lógica é difícil é o conseqüente do se entãoChamando:

r: Geografia é difícil~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil)

p: Lógica é fácil(não p) ~p: Lógica é difícil ~r fi~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificaro se então tem-se também que a negação do conseqüente gera a negação do antecedente, ou seja:~(~p)fi~(~r), ou seja, p fi r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.

De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:Artur gosta de LógicaLógica é fácil Geografia é difícil

Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (Vfi F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V � V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V � F = F)d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F � V = F)e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas.


A única alternativa correta é a alternativa B.

Questão 2) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching falachinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton falaespanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não falafrancês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Resolução:

Observe o aluno que grande argumento, vamos ver quantas são as premissas (afirmações lógicas comsentido completo)

(P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.(P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.(P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês.(P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.Logo, (ai vem a conclusão que é uma das alternativas)Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (SE ENTÃO, OU, SE ESOMENTE SE, E )Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas aspremissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira.

Temos diversas premissas, por onde começar???Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo E, pois é este conectivo temuma regra interessante, vamos lembrar:Uma proposição composta pelo conectivo E, só vai ser verdadeira quando todas as proposições que aformarem também forem verdadeiras, então, por exemplo:

Ana foi à praia E Paulo foi dormir, só será verdadeiro quando Ana realmente for à praia e Paulorealmente for dormir.

Na premissa 5 tem-se:Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.Logo para esta proposição composta pelo conectivo E ser verdadeira as premissas simples que acompõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

Francisco não fala francêsChing não fala chinês

Na premissa 4 temos:

Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês.Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa seráverdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ouambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala,


isto já é falso e o antecedente do SE E SOMENTE SE também terá que ser falso, ou seja:

Elton não fala espanhol

Da premissa 3 tem-se:Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo SE ENTÃO (veja que avírgula subentende que existe o ENTÃO), pois é, a regra do SE ENTÃO é que ele só vai ser falso se oseu antecedente for verdadeiro e o seu conseqüente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não falaespanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível parao antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F ® F = V, logo:

Débora não fala dinamarquês

Da premissa 2 temos:Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.Vamos analisar o conseqüente do SE ENTÃO, observe:ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um OU EXCLUSIVO, cuja regra é, o OUEXCLUSIVO, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching nãofala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F.

Se o conseqüente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa sejaverdadeira, logo:

Iara não fala italiano

Da premissa 1 tem-se:Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no conseqüente........Só será verdadeiro quando V ® V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso napremissa que é indesejado, desse modo:

Ana fala alemão.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintesafirmações:

Francisco não fala francêsChing não fala chinêsElton não fala espanholDébora não fala dinamarquêsIara não fala italianoAna fala alemão.

Analisando as alternativas:

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. (V Ù V = V)b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. (V Ù F = F)c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. (V ® F = F)d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. (F Ú F = F)e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. (V Ù F = F)

A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (a),resposta do problema.


Alternativa A

Questão 3) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra éruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe,ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha,outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e odestino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: 'Não vou à França nem à Espanha'.A morena: 'Meu nome não é Elza nem Sara'.A ruiva: 'Nem eu nem Elza vamos à França'.O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Resolução:

A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma maisinteresssante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema:Inicialmente analise o que foi dado no problema:a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha. e) Elasderam as seguintes informações:

A loura: 'Não vou à França nem à Espanha'.A morena: 'Meu nome não é Elza nem Sara'.A ruiva: 'Nem eu nem Elza vamos à França'.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos LOURA MORENA RUIVA Afirmação Não vou à França nem à Espanha Meu nome não é Elza nem Sara Nem eu nem Elzavamos à França País Alemanha França Espanha Nome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vaia Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruivacoube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

Na prova cabe ao candidato fazer este diagrama, mas lembrando que não tem muito tempo para fazê-lo, portanto, o ideal é que seja bem rápido.


Alternativa E

Vamos continuar a resolver as questões da prova de Analista de Controle Externo do TCU 2002.

33- No reino de Leones, em 1995, o setor público e o setor privado empregavam o mesmo número depessoas. De 1995 para 2000, o número de empregados no setor público decresceu mais do que cresceuo número de empregados no setor privado. Curiosamente, porém, a taxa de desemprego no reino(medida pela razão entre o número total de desempregados e o número total da força de trabalho)permaneceu exatamente a mesma durante o período 1995-2000. Ora, sabe-se que as estatísticaseconômicas e demográficas, em Leones, são extremamente precisas. Sabe-se, ainda, que toda a pessoaque faz parte da força de trabalho do reino encontra-se em uma e em somente uma das seguintessituações: a) está desempregada; b) está empregada no setor público; c) está empregada no setorprivado. Pode-se, portanto, concluir que, durante o período considerado (1995-2000), ocorreu emLeones necessariamente o seguinte:

a) A força de trabalho total diminuiu.

b) O emprego total aumentou.

c) O total de desempregados permaneceu constante.

d) Os salários pagos pelo setor privado aumentaram, em média, mais do que os do setor público.

e) Um número crescente de pessoas procuraram trabalho no setor privado.

Questão 33)

Este tipo de questão tem ocorrido com bastante freqüência nas provas que exigem a interpretaçãológica dentro do texto. Você pode checar questões deste tipo nos últimos concursos para Fiscal doIBAMA e para a CEF, por exemplo.

Na questão compara-se a força de trabalho de dois anos, a saber:

1995

O Setor Privado empregou X pessoas

O Setor Público empregou X pessoas

Existem D desempregados

2001

O Setor Privado empregou X + a pessoas

O Setor Público empregou X – b pessoas

Existem D’ desempregados

Observando-se que b é maior que a (pois, o número de empregados no setor público decresceu mais doque cresceu o número de empregados no setor privado).

Observando-se que não se sabe o valor de D e D’

No entanto foi dado que a taxa de desemprego (medida pela razão entre o número total dedesempregados e o número total da força de trabalho) nos dois anos é igual e afirmou-se que toda apessoa que faz parte da força de trabalho do reino encontra-se em uma e somente uma das seguintes


situações: a) está desempregada; b) está empregada no setor público; c) está empregada no setorprivado.

Desse modo, pode-se calcular de forma algébrica as taxas de desemprego:

Em 1995

taxa de desemprego = D / (D + X + X) = D / (D + 2X)

Em 2000

taxa de desemprego = D’ / (D’ + X + a + X - b) = D’ / (D’ + 2X – b + a)

Agora vamos fazer algumas análises a respeito das expressões acima:

A princípio apenas pode-se afirmar que as taxas de desemprego são iguais, mas qual a relação entre onúmero de desempregados nos dois anos estudados, se não sabemos melhor analisar todas aspossibilidades:

1a. hipótese D = D’

Se isto fosse verdade observe que a força de trabalho teria diminuído, pois:

Força de trabalho de 1995 = D + 2X

Força de trabalho de 2000 = D + 2X – b + a onde b é maior que a (logo este valor é menor que oanterior).

Teste com valores:

D = 5X = 10b = 3a = 1

Força de trabalho de 1995 = D + 2X = 5 + 20 = 25

Força de trabalho de 2000 = D + 2X – b + a = 5 + 20 – 3 + 1 = 23

Neste caso duas seriam as respostas do problema: (a) A força de trabalho total diminuiu e (c) O total dedesempregados permaneceu constante.

Portanto, esta hipótese não é resposta para a questão.

2a. hipótese D > D’

Se isto fosse verdade observe que a força de trabalho teria diminuído, pois:

Força de trabalho de 1995 = D + 2X

Força de trabalho de 2000 = D’ + 2X – b + a onde b é maior que a (logo este valor é menor que oanterior).

Teste com valores (veja que estes valores devem resultar a mesma taxa de desemprego):

D = 5D’ = 3X = 10b = 10a = 2


taxa de desemprego de 1995 = D / D + 2X = 5 / 25 = 20%

taxa de desemprego de 2000 = D’ / D’ + 2X – b + a = 3 / 3 + 20 – 10 + 2 = 3/15 = 20%

Agora observem a força de trabalho:

Força de trabalho de 1995 = D + 2X = 5 + 20 = 25

Força de trabalho de 2000 = D’ + 2X – b + a = 3 + 20 – 10 + 2 = 15

Pode-se deduzir que a força de trabalho diminuiu

3a. hipótese D < D’

Isto não é verdade, pois não existe combinação numérica que torne ao mesmo tempo D < D’ e as taxasde desemprego dos dois anos iguais (pode tentar).

Agora vamos analisar as alternativas:

a) correta, de acordo com a 2a. e única hipótese viável, pois somente ela apresenta uma única resposta.

b) errada, pois se só existem vagas no serviço público ou no serviço privado, se em 1995 ambosocupavam meio a meio e em 2000 o setor público diminuiu mais do que o privado aumentou então oemprego total diminuiu, basta comparar:

Emprego Total em 1995 = 2X

Emprego Total em 2000 = 2X – b + a (menor que o de 1995 pois b é maior que a).

c) errada, esta possibilidade é desmentida pela 2a. hipótese.

d) errada, em nenhum momento existe afirmação sobre os salários pagos pelo setor privado em relaçãoaos do setor público.

e) errada, a informação dada no texto é apenas relativa, ou seja, o número de empregados no setorpúblico decresceu mais do que cresceu o número de empregados no setor privado. Pode ser que onúmero de empregados no setor privado tenha subido ou mesmo tenha descido menos que o número deempregados no setor público.

Alternativa A.

34- Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator)primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primop, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a somados números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, éigual a:

a) 25

b) 87

c) 112

d) 121

e) 169

Questão 34)

A questão cobra do aluno alguns conhecimentos sobre números primos.


Vamos relembrar que um número é considerado primo quando só pode ser dividido pelo número 1 epor ele mesmo, observe:

2 é um número primo pois apenas pode ser dividido por 1 e por ele mesmo2 ¸ 1 = 2 (veja que esta divisão gerou quociente 2 positivo e resto zero)2 ¸ 2 = 1 (veja que esta divisão gerou quociente 1 positivo e resto zero)3 é um número primo pois apenas pode ser dividido por 1 e por ele mesmo3 ¸ 1 = 3 (veja que esta divisão gerou quociente 3 positivo e resto zero)3 ¸ 3 = 1 (veja que esta divisão gerou quociente 1 positivo e resto zero)4 não é um número primo pois pode ser dividido por 1 e por 2 e por ele mesmo4 ¸ 1 = 4 (veja que esta divisão gerou quociente 4 positivo e resto zero)4 ¸ 2 = 2 (veja que esta divisão gerou quociente 2 positivo e resto zero)4 ¸ 4 = 1 (veja que esta divisão gerou quociente 1 positivo e resto zero)

Logo se observa que o número 2 é o menor número primo conhecido. O número 2 é ainda o úniconúmero primo par.

O número que não é primo é denominado número composto, no exercício, 4 é um número composto.Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja:

70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos.

No problema o avaliador informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puderser escrito da forma:

1 p p2

onde p é um número primo

observe os seguintes números:

1 2 22 (4)1 3 32 (9)1 5 52 (25)1 7 72 (49)1 11 112 (121)

Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9,25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivosmenores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por:

4 + 9 + 25 + 49 = 87.

Alternativa B


Documents

Apostila de Matemática (4)