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O objetivo dessa apostila é trazer um pouco da matemática do ensino médio para
quem está precisando de algum reforço escolar, como também preparando-se para
concursos públicos e vestibulares. A mesma pode apresentar erros quanto à grafia, pois
não tive tempo de revisá-la. Agradeço ao professor Delair Bavaresco por disponibilizar
um banco de questões para que essa apostila tivesse mais recheada de exercícios.
Espero que seja de grande valia esse material e caso perceba algum erro, envie um email
para: [email protected].
Muito obrigado!
Conheça nosso site: matematicabyjose.com
APOSTILA
DE
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
VOLUME 2
Prof: José Erlan
SUMÁRIO
SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA NUMÉRICA ( PA E PG) 3
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 7
FUNÇÕES 9
GEOMETRIA PLANA 21
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 36
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER 37
GEOMETRIA ESPACIAL 40
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 46
POLINÔMIOS 50
MATRIZES 54
DETERMINANTES 56
SISTEMAS LINEARES 58
GEOMETRIA ALNALÍTICA 61
ANÁLISE COMBINATÓRIA 66
PROBABILIDADE 69
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 70
NÚMEROS COMPLEXOS 72
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 75
SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA
NUMÉRICA
Até o momento, temos trabalhado com
conjuntos sem levar em consideração a ordem
em que os elementos se sucedem, entretanto
existem casos em que esta ordem é importante.
• O conjunto ordenado (Nova,
Crescente, Cheia, Minguante) é chamado,
sequência ou sucessão das fases da lua.
• O conjunto ordenado (Janeiro,
Fevereiro,....., Novembro, Dezembro) é
chamado, seqüência ou sucessão dos meses do
ano.
Os parênteses sugerem que estamos
trabalhando com um conjunto de números
colocados numa certa ordem.
Seqüência numérica é todo conjunto de
números dispostos numa certa ordem.
A representação matemática de uma
seqüência é: ( a1, a2, a3, ...,an) em que a1, indica o
1º termo, a2 indica o segundo termo e an indica o
enésimo termos.
Uma seqüência numérica pode ser finita ou
infinita.
I. (-3, -1, 0, 4, 7, 9) Seqüência finita.
II. (-1, 0, 1, 4, 7, 8, 9, ...) Seqüência infinita.
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA
SEQUÊNCIA
Algumas sequências possuem elementos que
se sucedem obedecendo a uma certa lei, chamada
lei de formação da sequência, a qual permite
encontrar qualquer um dos seus elementos,
conhecendo-se sua posição. Ela fornece o termo
geral da sequência.
Exemplos:
Escreva a sucessão dada pelo termo geral an = 2n
e n ∈ { 1, 2, 3, 4, 5}.
Escrever os seis primeiros termos da sequência
, com n ∈ N
*
1) Ache o 4º termo da sequência
,
com n ∈ N*.
2) Ache os seis primeiros termos da sequência
dada por:
a1 = a e an+1 = an . a e n ϵ N*
Resp.: 1) 2 2) (a, a2, a
3, a
4, a
5, a
6)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Uma sequência (a1, a2, a3, a4, ..., an) de
números reais, com a1 = primeiro termo, a2 =
segundo termo, assim sucessivamente até o
último termo an, é uma progressão aritmética
(PA), se a diferença entre um termo qualquer a
partir do segundo, pelo seu antecessor imediato,
produzir um resultado (RESTO) constante real,
denominado razão ( r ) da progressão.
Daqui tiramos que , com n
∈ N*.
Consequentemente teremos: , onde r é a
razão da PA.
EXERCÍCIOS
1) Calcular a razão de cada uma das seguintes
progressões aritméticas:
a)
b)
2) Determine o valor de x, de modo que os
números e estejam
nessa ordem, em PA.
3) São dadas duas sequências:
e . Sabe-se que y1 = 1 e y2 = 2 ,
que e que a primeira sequência é
uma progressão aritmética de razão 3.
a) Escreva os 4 primeiros termos da seqüência
( xn ).
4
b) Escreva os 4 primeiros termos da seqüência
( yn ).
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA
PA
A definição de progressão aritmética ( PA ),
sugere que:
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
e assim sucessivamente.
Generalizando para termo de ordem n ( n =
ao número de termos da progressão), temos a
fórmula geral:
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA
Sabendo que (a1, a2, a3, a4, ..., an) é uma PA e
Sn a soma desses termos, ou seja, Sn = a1 + a2 + a3
+ a4 + ... + an. A fórmula seguinte permite
calcular a soma dos n termos de uma PA:
1) Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623?
2) Ache a1 numa P.A., sabendo que e
a17 = 27.
3) Se x = (1+3+...+49) é a soma dos ímpares de
1 a 49, e se y = (2+4+...+50) é a soma dos pares
de 2 a 50, calcule x - y.
4) Numa estrada existem dois telefones
instalados no acostamento: um no km 3 e outro
no km 88. Entre eles serão colocados mais 16
telefones, mantendo-se entre dois telefones
consecutivos sempre a mesma distância.
Determinar em quais marcos quilométricos
deverão ficar esses novos telefones.
5) Escrever a PA em que a2 + a6 = 20 e a4 + a9 =
35.
6) Três números estão em PA, de tal forma que
a soma deles é 18 e o produto é 66. Calcular os
três números.
Resp: 4) (8, 13, 18, 23, 28, 33...83)
5) (1, 4, 7...) 6) (1, 6 e 11)
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Uma sequência (a1, a2, a3, a4, ..., an) de
números reais, com a1 = primeiro termo, a2 =
segundo termo, assim sucessivamente até o
último termo an, é uma progressão geométrica
(PG), se a divisão entre um termo qualquer a
partir do segundo, pelo seu antecessor imediato,
produzir um resultado (quociente) constante real,
denominado razão ( q ) da progressão.
Assim:
TERMO GERAL DE UMA PG
A fórmula do termo geral de uma progressão
geométrica vai permitir encontrar qualquer termo
da progressão.
Seja a PG:
a1 a2 a3 a4 ... an-1 an
xq xq xq xq
Considerando a sequência (a1, a2, a3, a4,.., an)
como uma PG de razão q, podemos escrever:
a2 = a1.q a3 = a2 . q a4 = a3 . q a5 = a4 . q
a3 = a1.q.q
a4 = a1.q2.q a4 = a1.q
3.q
a3 = a1.q
2 a4 = a1.q
3 a4 = a1.q
4
Prosseguindo dessa forma, encontramos, por
exemplo:
A10 = a1.q9
a20 = a1.q19
a34 = a1.q33
E, sendo an um termo qualquer dessa PG,
temos:
Essa é a fórmula do termo geral de uma PG.
5
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
A seguinte fórmula dá a soma dos termos de
uma PG finita:
Onde “Sn” representa a soma dos n termos, “n”
representa a quantidade de termos, “q” representa a
razão da Pg e “a1” o primeiro termo.
Essa fórmula pode ainda ser representada
assim:
1) Determine o valor de x, de modo que os
números x+1, x+4, x+10 formem, nesta ordem,
uma P.G.
2) Numa P.G. de 4 termos, a razão é 5 e o
último termo é 375. Calcular o primeiro termo
desta P.G.
3) Determine o número de termos da P.G. (1, 2,
..., 256).
4) Dar o valor de x na igualdade
x + 3x + ... +729x = 5465, sabendo-se que os
termos do 1º membro formam uma P.G.
5) Em uma PG tem-se a1 + a2 = 72 e
a3 + a4 = 200. Calcular o 5º termo.
6) Se 2, a e 8 são termos consecutivos de uma
PA e a, b e 20 são termos consecutivos de uma
PG, determine o valor de a + b, sabendo que
a > b.
Resp: 5)
6) - 5
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG
INFINITA
Sendo (a1, a2, a3, a4, ..., an) uma PG de razão
-1 < q < 1 e Sn a soma desses termos, Sn = a1 + a2
+ a3 + a4 + ... , temos uma forma simplificada
para o somatório de qualquer sequência infinita
em PG, dada pela fórmula:
∞ = símbolo que representa o infinito
PROPRIEDADE DAS PG
Em uma PG o produto de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual ao produto
dos extremos.
Exemplo:
( 2, 4, 8, 16, 32, 64 )
Podemos observar que:
2 x 64 = 4 x 32 = 8 x 16 = 128
PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PG
FINITA
Seja (a1, a2, a3, a4, ..., an) uma PG finita de razão
q. Com a seguinte fórmula conseguimos
encontrar o produto dos termos de uma PG:
ou
OBS: O sinal do produto vai depender dos sinais
dos termos da progressão.
Exemplo:
( 2, -6, 18, -54, 162 ) : Nessa sequência podemos
notar que o termo a2 e a4 são negativos, mas o
produto dos termos dessa progressão será
positivo pois temos uma quantidade par de
termos negativos. Se tivéssemos uma quantidade
ímpar de termos negativos o produto seria
negativo.
1) Obter a soma dos termos da PG
2) Resolver a equação
.
3) (UFV-MG) Uma bactéria de determinada
espécie divide-se em cada 2 horas. Depois de 24
horas, qual será o número total de bactérias.
4) Simplifique a expressão:
A =
.
5) Determine o produto dos seis primeiros
termos da PG .
6
6) Determine o produto dos termos da PG
.
Resp: 1) 4/3 2) x = 4 3) 4096 4) 5) -216
6)
1) (UFSM-2007) O diretório acadêmico de uma
Universidade organizou palestras de
esclarecimento sobre o plano de governo dos
candidatos a governar. O anfiteatro, onde
foram realizados os encontros, possuía 12 filas
de poltronas distribuídas da seguinte forma:
na primeira fila 21 poltronas, na segunda 25,
na terceira 29, e assim sucessivamente.
Sabendo que, num determinado dia, todas as
poltronas foram ocupadas e que 42 pessoas
ficaram de pé, o total de participantes,
excluído o palestrante, foi de:
a) 474 b) 516 c) 557 d) 558 e) 559
2) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção
de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a
inicial de seu nome), conforme a figura:
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T”
completos pode-se, seguindo o mesmo padrão,
afirmar que ele possuía:
a) mais de 300 bolitas
b) pelo menos 230 bolitas
c) menos de 220 bolitas
d) exatamente 300 bolitas
e) exatamente 41 bolitas
3) Sejam (a0, a1, a2,...) uma progressão
aritmética (PA) e (b0, b1, b2,...) uma
progressão geométrica (PG) decrescente. Se
0 0a b= , 2 22a b= e 4 44a b= , então a
razão da PG vale:
a) 2
2- b) 2- c) 1 d)
2
2 e) 2
4) (PEIES-2003) A seqüência ( , , 15)x y é
uma PA de razão r , e a seqüência
( , , 20)x y é uma PG decrescente de razão
q . Então:
a) 47
3r q+ = - b)
43
3r q+ = -
c) 40
3r q+ = - d)
47
3r q+ =
e) 33
2r q+ =
5) Um militar comanda 325 soldados e quer
formá-los em disposição triangular, de modo
que a primeira fila tenha 1 soldado, a segunda
2, a terceira 3 e assim por diante. O número
de filas assim constituídas será:
a) 20 b) 24 c) 25 d) 27 e) 28
6) (UFSM-2007) A construção da cobertura
de um palanque usado na campanha política,
para o 1º turno das eleições passadas, foi
realizada conforme a figura. Para fixação da
lona sobre a estrutura de anéis, foram usados
rebites assim dispostos: 4 no primeiro anel, 16
no segundo, 64 no terceiro e assim,
sucessivamente. Portanto, se a estrutura era
composta de 5 anéis, o número mínimo de
caixas, com 100 rebites em cada uma,
utilizadas na obra foi de:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
7
7) (CESGRANRIO) Quantos são os números
inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que
são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são
múltiplos de 5?
a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27
8) (PUC-SP) Um pêndulo, oscilando,
percorre sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm,
... A soma dos percursos até o repouso é em
cm:
a) 45 b) 63 c) 90 d) 126 e) 150
9) Calcule a soma S = 3 +
10) (EPCAR) O valor de x na equação
é igual a:
a)
b)
c)
d)
11) (EEAr) As seqüências yx ,3, e
xy ,5, são, respectivamente, progressões
aritmética e geométrica. Se a progressão
aritmética é crescente, a razão da progressão
geométrica é:
a)5
5 b)
5
52 c) 5 d) 52
12) (EEAr) Inscrevendo-se nove meios
aritméticos entre 15 e 45, obtém-se uma PA
cujo sexto termo é
a) 25 b) 30 c) 33 d) 42.
13) (EsSA) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há
entre 100 e 1000?
a) 100 b) 120 c) 140 d) 160 e) 180
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA
FINANCEIRA
PORCENTAGEM
Uma loja de móveis anunciou a seguinte
oferta:
Qualquer móvel para seu quarto com 30% de
desconto.
Praticamente todos os dias, observamos no
comércio, nos meios de comunicação etc.
expressões matemáticas relacionadas com a
porcentagem. O termo por cento vem do latim
per centum e quer dizer por um cento.
Para entender o significado dessa expressão,
vamos considerar um grupo de 100 pessoas em
que 47 são mulheres.
A razão entre o número de mulheres e a
quantidade de pessoas do grupo pode ser
expressa pela razão centesimal
.
Essa razão pode ser representada assim: 47%
(lê-se quarenta e sete por cento) e, nesse caso, a
razão centesimal recebe também o nome de taxa
de porcentagem ou taxa percentual.
Portanto, 47% =
= 0,47.
Toda razão
, na qual b = 100, chama-se
taxa percentual.
CÁLCULO DE PORCENTAGEM
Para se calcular a% de um número b,
realizamos o produto:
a% . b =
JUROS
Juro ( J ) é toda compensação em dinheiro
que se paga, ou que se recebe, pelo dinheiro que
se empresta, ou que se pede emprestado.
Exemplo: Depositei uma importância de R$
1000,00 na poupança e pretendo deixá-lo
rendendo por volta de 6 meses. Quanto vou
receber após esse tempo?
Existem duas formas de o problema ser
encarado:
Os juros só serão acrescentados ao capital
inicialmente aplicado após o término da
aplicação. Nessas condições dizemos que
estamos calculando juros simples.
Os juros serão incorporados ao capital após
cada período de tempo, ou seja, juro sobre juro.
Nessas condições dizemos que estamos
calculando juros compostos.
8
Antes de trabalharmos com os juros, vamos
conhecer alguns de seus fatores.
O dinheiro que se empresta ou que se pede
emprestado é chamado de capital ( C ).
A taxa de porcentagem que se paga ou que
recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada
taxa de juro ( i ).
O total que se paga no final do empréstimo
( capital + juro ) é denominado montante ( M ).
O tempo que decorre desde o início até o
final de uma operação financeira é denominado
prazo ( t ).
OBS: A taxa e o tempo devem ter sempre a
mesma unidade e o prazo que vamos trabalhar é
sempre o comercial – ano = 360 dias e o mês =
30 dias.
JUROS SIMPLES
Temos um processo de Capitalização
Simples quando a taxa de juros incide somente
sobre o capital inicial, não incide sobre os juros
acumulados. Se o capital ficar aplicado por “t”
períodos iguais, os juros de cada um destes
períodos também serão iguais.
JUROS COMPOSTOS
Um valor está submetido a capitalização
composta, quando o juro de cada período
financeiro é calculado sobre o montante relativo
ao período anterior.
1º Período M = C(1 + i)
2º Período M = C( + i)(1 + i) = C(1 + i)2
3º Período M = C(1 + i)2 (1 + i) = C(1 + i)
3
tº Período M = C(1 + i)t
1) O salário de uma pessoa era de R$ 1400,00
até ela ser promovida e receber aumento de 20%.
Qual o novo salário?
2) Seu João teve um reajuste de 20% em seu
salário e logo após outro de 12% . Qual a
porcentagem que representa o reajuste salarial de
seu João após os reajustes?
3) (ESAL – MG) Após conseguir um desconto
de 15% no preço de uma mercadoria, foram
pagos R$ 1700,00 por essa mercadoria. O preço,
sem desconto, seria em R$ de:
4) (CESPE) Uma prova de matemática tem 50
questões. Um aluno acertou 30 dessas questões.
Qual foi a sua taxa de erro?
5) A população atual de uma cidade é de 50 000
habitantes. Sabendo que essa população cresce a
uma taxa de 2% ao ano, qual será a população
dessa cidade daqui a três anos?
6) Numa sala havia 60% de homens e 40% de
mulheres. Quando 10 homens saíram, ficaram na
sala 50% de homens e 50% de mulheres.
Calcular quantos homens e quantas mulheres
havia inicialmente na sala.
7) Calcule os juros simples produzidos por um
capital de R$ 300,00 quando aplicado a:
a) 6% ao mês, em 4 meses.
b) 8% ao mês, em 1/4 ano.
8) Quanto vale o montante de uma aplicação a
juros simples de R$ 7.000,00 durante 18 meses a
uma taxa de 8% ao semestre?
9) Por quanto tempo esteve empregado o capital
de R$ 160,00 se rendeu juro de R$ 56,00 a
7% a.a.
10) Um investidor aplicou R$ 15 000,00 à taxa de
30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80
dias, sob o regime de juros simples?
11) Determine o prazo em que duplica um capital
aplicado à taxa de juros simples de 4% a. m.
12) (EsSA) Em uma determinada loja, uma
televisão custa R$ 750,00 à vista. Se for paga em
5 prestações mensais, o valor da televisão
passará a custar R$ 900,00. Nestas condições,
M = C(1 + i)n
9
qual seria a taxa de juros simples mensal cobrada
nessa loja?
13) Uma loja de eletrodomésticos paga, pela
aquisição de certo produto, o correspondente ao
preço x (em reais) de fabricação, mais 5 % de
imposto e 3 % de frete, ambos os percentuais
calculados sobre o preço x. Vende esse produto
ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de
25 %. Então, o valor de x é:
14) Qual a taxa mensal de juro composto que,
aplicada ao capital de R$ 24 000,00, o
transforma em um montante de R$ 36 087,00 em
7 meses?
15) O valor da expressão (30%)2 é:
16) Durante quanto tempo esteve aplicado, em
uma poupança, o capital de R$ 180.000,00 para
render, de juros, a importância de R$ 7272,00 se
a taxa foi de 2% ao mês?
17) Suponhamos que, para uma dada eleição,
uma cidade tivesse 18 500 eleitores inscritos.
Suponhamos ainda que, para essa eleição, no
caso de se verificar um índice de abstenções de
6% entre os homens e de 9% entre as mulheres, o
número de votantes do sexo masculino será
exatamente igual ao de votantes do sexo
feminino. Determine o número de eleitores
inscritos de cada sexo.
8) Resp: 1) 1680 3) R$ 2000,00 4) 40% 5) 53
060 hab 6) 30H e 20M 9) 5 anos 10) R$
1000,00 11) 25 meses 12) 4% 13) R$ 40,00
14) 6% a.m 15) 9% 16) 2 meses 17) 9100 h e
9400 m
FUNÇÕES
Quando relacionamos duas variáveis, onde
uma depende da outra estamos diante de uma
função.
Toda função possui uma lei de associação ou
lei de formação. Vamos imaginar a seguinte
situação:
Um taxista cobra R$ 3,00 por metro rodado,
sendo que seu taxímetro inicia com R$ 4,50.
Podemos ver a relação que o espaço percorrido
tem com o valor a ser pago:
No primeiro km rodado:
4,50 + 3 x 1 = R$ 7,50
No segundo km rodado:
4,50 + 3 x 2 = R$ 10,50
No terceiro km rodado:
4,50 + 3 x 3 = R$ 13,50
No quarto km rodado:
4,50 + 3 x 4 = R$ 16,50 ...
Podemos generalizar essa relação através de
uma equação ou lei de formação dessa função.
Chamando x o espaço percorrido (em km) e y o
valor a ser cobrado no final de cada corrida,
temos:
y = 4,50 + 3.x
Podemos observar que a cada valor de x que
atribuímos á variável x, obtemos um só valor
para y. Essa situação constitui um exemplo de
função, na qual y é função de x.
Sejam A e b dois conjuntos não vazios e f
uma relação de A em B. Essa relação f é uma
função de A em B quando a cada elemento x do
conjunto A está associado um e apenas um
elemento y do conjunto B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = { 3, 4} e
B = {3, 4, 5, 6,} seja a relação A em B expressa
pela fórmula y = x, com x ∈ A e y ∈ B.
A B
Observamos que:
Todos os elementos de A estão associados a
elementos de B.
Cada elemento de A está associado a apenas
um único elemento de B.
Assim:
3
4
3
4
5
6
10
A relação expressa pela fórmula y = x é
uma função de A em B.
OBS: Os elementos do conjunto A são chamados
de domínio da função e os elementos do conjunto
B {3, 4} que estão associados ao conjunto A são
chamados de imagem da função. Todos os
elementos do conjunto B = {3, 4, 5, 6} são
chamados de contradomínio da função.
1) Nas duas relações dadas a seguir, faça o
diagrama e verifique se elas são ou não funções,
justificando sua resposta.
a) f é uma relação de A = {-1, 0, 1, 2} em
B = {0, 2, 4, 6, 8} expressa pela fórmula y = 2x,
com x ∈ A e y∈ B
b) g é uma relação de A = {-2, -1, 1, 2} em B =
{-8, -4, -1, 0, 1, 4, 8} expressa pela fórmula
y = x3
, com x ∈ A e y ∈ B.
2) Na função f : R R, definida por f(x) = x2
– 2x + 1, calcule:
a) f(0)
b) f(-3)
c) f( )
3) Determine o domínio das funções.
a) h(x) = 5x + 2
b) y =
c) y =
d) y =
4) Construa o gráfico da função f(x) = x2 nos
seguintes casos:
a) D(f) = {-2, -1, 0, 1, 2}
b) D(f) = {x ∈ R / -2 x 2}
c) D(f) = {R}
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
O gráfico da função é o conjunto de todos
os pontos (x, y) do plano cartesiano, com x ∈ D e
y ∈ Im.
Para isso, consideramos os valores do
domínio da função no eixo x ( eixo das abcissas)
e as respectivas imagens no eixo y (eixo das
ordenadas).
EXEMPLOS:
Construir o gráfico da função f : A R,
dada por y = x + 1, onde A = {0, 1, 2, 3}.
Construindo uma tabela:
x y = x+1 (x, y)
0 0+1 = 1 (0, 1)
1 1+1 = 2 (1, 2)
2 2+1 = 3 (2, 3)
3 3+1 = 4 (3, 4)
GRÁFICO:
y
4
3
2
1
0 1 2 3 x
Podemos observar que D = A = {0, 1, 2, 3} e
Im = {1, 2, 3, 4}.
OBS: Podemos identificar se uma relação é ou
não uma função através de seu gráfico. Sabemos
que para cada x do domínio deve existir em
correspondência um único y no contradomínio.
Assim é possível identificar se a relação é ou não
uma função apenas traçando uma reta paralela ao
eixo y do gráfico, para ser função cada reta
vertical traçada por pontos do domínio deve
interceptar o gráfico num único ponto.
Gráfico I
y
4
3
2
1
0 1 2 3 x
11
Gráfico II
y
0 x
No gráfico I a reta paralela ao eixo dos y toca
o gráfico apenas em um ponto, sendo assim uma
função. Já no gráfico II podemos observar que a
linha paralela toca o gráfico em dois pontos, ou
seja, o gráfico II não é uma função.
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Para ficar fácil o entendimento de função do
1º grau vamos utilizar o exemplo abaixo:
O preço de uma corrida de táxi se compõe de
uma quantidade proporcional por quilômetros e
mais uma quantidade fixa, chamada de
bandeirada. Assim, se a taxa por Km é de R$
3,00 e a taxa fixa é de R$ 2,00, o preço da
corrida é dado por P(x) = 3x + 2.
Este é o caso particular de uma função
de 1º grau, onde o preço da corrida está em
função da quantidade de Km rodados.
Definição: Uma aplicação de ℝℝ recebe
o nome de função do primeiro grau ou função
afim, quando a cada x estiver associado o
elemento ax + b com a 0.
EXEMPLOS:
a) f(x) = 3x + 2 onde a = 3 e b =2
b) f(x) = - x onde a = -1 e b = 0
c) f(x) =
onde a =
e b =
GRÁFICO: O gráfico da função do 1º
grau é uma reta.
O gráfico da função f(x) = x+1 é do 1º grau e
consequentemente será uma reta.
O valor de “ a ” ( coeficiente angular ou
declive da reta) tem um significado na função do
1º:
Assim como “ a ” o valor de “ b ”(coeficiente
linear) também tem um significado no gráfico de
uma função de 1º grau:
OBS: Este coeficiente é a ordenada do ponto
em que o gráfico corta o eixo Oy
Exemplo:
Comparando os gráficos:
a) y = 3x + 2
x y=3x+2
0
1
2
5
y
5
2
0 1
f(x) = ax + b
0 1 2 3 x
y
4
3
2
1
Se “a” for positivo, a função do primeiro grau é
crescente.
Se “a” for negativo, a função do primeiro grau é
decrescente.
Como a = 3 > 0 a
função é crescente. O
gráfico corta o eixo y
em b = 2
12
0
2
b) y = -2x + 3
x y = -2x + 3
0
2
3
-1
y
3
0 2
-1
1) Conhecendo a função f(x) =
x, determine:
a) Coeficiente angular e linear. Resp:
b) Se a função é crescente ou decrescente.
c) f(-1)
2) Determine o ponto (x, y) em que o gráfico
das seguintes funções corta o eixo x.
a) f(x) = 4 - 2x
b) f(x) = -3x + 2
c) y = 1 +
d) y = –x + 4
3) O gráfico abaixo representa uma função do 1º
grau (x) = ax + b. É correto afirmar que:
a) a> 0 e b > 0
b) a> 0 e b = 0
c) a < 0 e b > 0
d) a < 0 e b < 0
e) a> 0 e b < 0
4) Para que valores de k a função definida por y
= (2k – 1) x + 5 é decrescente?
a) k < 1/2 d) k = 1/2
b) k = 1/3 e) k > 1/3
c) k 1/2
5) O valor de x que anula a função (x) = 2x – 1
é:
a) 1 b) 1,5 c) 0 d) 2 e) 0,5
6) Determine o valor de p de modo que o
gráfico da função f(x) = 3x + p – 2 intercepte o
eixo y no ponto de ordenada 4.
7) Um botânico mede o crescimento de uma
planta, em centímetros, todos os dias. Ligando -
se os pontos colocados por ele num gráfico,
resulta a figura seguinte. Se for mantida sempre
esta relação entre tempo e altura, determine a
altura que a planta terá no 30º dia.
altura em cm
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dias
8) O gráfico de uma função do tipo y = ax + b
passa nos pontos A(2, 4) e B(3, 7). Determine a e
b.
Resp: 1) a) -5/2 e y = 0 b) decrescente c) 5/2
3) C 4) A 5) E 6) p = 6 7) 6 cm 8) a = 3 e
b = -2
ZERO (OU RAIZ) DE UMA FUNÇÃO DO 1º
GRAU
Zero (ou raiz) de uma função y = f(x) é todo
valor de x tal que f(x) = 0. No caso da função do
1º grau y = f(x) = ax + b só existe um zero, pois:
f(x) = 0 a . x + b = 0 x = -b/a
Vale lembrar que –b/a é justamente o valor
onde o gráfico que é uma reta, corta o eixo Ox.
EXEMPLO: Para a função y = f(x) = x + 1, a raiz
é -1, pois x + 1 = 0 x = -1.
Veja o gráfico:
y
Como a = -2 < 0 a
função é decrescente.
O gráfico corta o eixo
y em b = 3
-1 0 1
2
1
- b/a = raiz
da função
13
f(x) = ax2+ bx + c
OBSERVE que todos os valores de y que
estão à direita da raiz da função acima são
positivos e que os valores de y à esquerda da raiz
(– b/a) são negativos. E claro, se a função for
decrescente acontecerá o oposto.
Então:
f(x) = ax + b
RAIZ: ax + b = 0 = - b/a
a > 0 a < 0
-b/a +
-
+
-b/a
-
f(x) = 0 x = -b/a
f(x) > 0 x > -b/a
f(x) < 0 x < -b/a
f(x) = 0 x = -b/a
f(x) > 0 x < -b/a
f(x) < 0 x > -b/a
EXERCÍCIOS
1) Analise como varia o sinal das seguintes
funções:
a) y = - 2x + 3 c) y = 2 – 5x
b) y = 5x – 15 d) y = 2x + 6
2) Sabendo que a função dada por y = mx + n
admite 3 como raiz e f(1) = -8:
a) Calcule os valores de m e n.
b) Faça o estudo do sinal da função.
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Denomina-se função do 2º grau ou função
quadrática toda função definida por
onde a # 0 e a, b e c pertence a R.
Exemplo:
a) f(x) = 3x2
- 2x + 1 onde a = 3, b = -2 e c = 1
b) f(x) = -x2 onde a = -1, b = 0 e c = 0
O gráfico da função quadrática é uma curva
denominada parábola, com eixo de simetria
paralelo ao eixo y.
CONCAVIDADE
Ao construirmos os gráficos de funções do 2º
grau podemos observar que o valor do
coeficiente a influencia na concavidade da
parábola. Se a for positivo a parábola terá
concavidade voltada para cima e sua
concavidade será voltada para baixo se o valor de
a for negativo.
EXEMPLOS:
a) y = x2 - 4x + 3 ( a = 1, b = - 4 e c = 3)
y
3
2
1
0 1 2 3 4 x
-1
b) y = - x2 + 2x – 1 (a = -1, b = 2 e c = -1)
y
-1 0 1 2 3 x
-1
-2
-3
-4
EXERCÍCIOS
1) Quais das seguintes funções quadráticas de
R R têm a concavidade voltada para baixo?
a) y = 2x2 -11x +5
b) y = -x2 + 10x – 9
a = 1 > 0 :
concavidade
voltada para
cima
a = -1 < 0 :
concavidade
voltada para
baixo
14
c) y = - 6x2
2) Ache m na função f(x) = (m – 5)x2
+ 3x – 1
de modo que:
a) f seja do 2º grau;
b) a parábola que representa o seu gráfico tenha
a concavidade voltada para baixo.
RAÍZES DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Os pontos em que o gráfico de
f(x) = ax2 + bx + c intercepta o eixo Ox
correspondem aos valores de x para os quais
f(x) = 0, ou seja, são as raízes da equação:
ax2 + bx + c = 0.
Para obter essas raízes, usamos a fórmula de
Bhaskara.
Dependendo do valor de Δ as raízes da função irá
alterar:
Δ > 0 2 raízes reais e diferentes.
x1 x2
Δ = 0 2 raízes reais e iguais.
x1 = x2
Δ < 0 não existem raízes reais.
EXERCÍCIOS
1) A função f(x) = x2 –2x +3k tem dois zeros
iguais. Nestas condições determine o valor de k.
2) Determine m para que a função f(x) =
(m+1)x2 – 2mx + m + 5 possua raízes reais e
desiguais.
VÉRTICE DA PARÁBOLA
O ponto V =
é chamado de vértice
da parábola, onde xv é a abscissa do vértice e yv é
a ordenada do vértice.
Pelos esboços dos gráficos das funções
quadráticas podemos perceber que, dependendo
da posição da parábola (concavidade para cima
ou para baixo), a função pode ter um valor
mínimo ou valor máximo, e que esses valores
correspondem à ordenada do vértice da parábola.
Quando a > 0, a função possui um valor
mínimo:
Quando a < 0, a função apresenta um
valor máximo:
EXERCÍCIOS
1) Estudar o sinal da função f(x) = x2 – 6x + 9.
2) Na função f(x) = - 3x2 + 2x + 1, para que
valores de x tem-se f(x) ?
3) Determine as coordenas do vértice das funções:
a) y = x2 – 8x + 12
b) y = x2 – 6x
c) y = x2 – 3x – 10
15
14) (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem
teste de Cooper numa pista retilínea, ambos
correndo com velocidade constante. A
distância (d) que cada um percorre é
mostrada no gráfico abaixo.
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600
metros em 20 min.
b) B percorre 1 km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400
m em 5 min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400 m em 30 min.
15) (VUNESP) O valor de um determinado
tipo de automóvel diminui com o passar do
tempo, como mostra o gráfico.
Esse carro não terá valor algum, decorridos
a) 12 anos b) 13 anos c) 15 anos d) 16 anos
e) 17 anos
16) (EsSA) As abcissas dos pontos de
interseção da parábola que representa função
y = x2 + x –6, com eixo x são:
a) 1 e –2 b) 3 e –2 c) –2 e –3 d) –3 e 2
17) (EsSA) Estando afastado 6 metros de um
muro de 3 metros de altura, um menino chuta
uma bola que cai exatamente sobre o citado
muro, após percorrer a trajetória descrita
pela equação xaaxy 412 , em
relação ao sistema de coordenadas usual.
Nestas condições, a altura máxima atingida
pela bola é:
a) 10 b) 4 c) 8 d) 12 e) 6
18) (PEIES-2000) A figura indica a trajetória
parabólica do salto de uma rã e destaca a
distância horizontal máxima (8 dm) e a altura
máxima (2 dm) atingidas.
A função quadrática que expressa a altura
em relação à distância horizontal é dada por
a) f(x) = 0,125 x2 + x
b) f(x) = - 0,125 x2 + x
c) f(x) = - 0,25 x2 + 1,5 x
d) f(x) = - x2 + 4,5 x
e) f(x) = - 0,5 x2 + 2,5 x
19) (UFSM-2000) Seja f: R R uma função
definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos
pontos A(0, 4) e B (3, 0), então f –1
passa pelo
ponto
a) (8, -2) b) (8, 3) c) (8, -3) d) (8, 2)
f) (8, 1)
20) (UFSM-2002) Considere a função f:
definida por
Q xse ,1x
Q x se 2x, f(x)
2
O valor de é f(1) )2f( )f(
d(m) B
A
10 20 30 t(min)
500
400
300
200
100
0
0 8 tempo(anos)
Preço(milhares)
25.5
13.5
f(x)dm
8
2
x dm
16
a) 222 b) 2222
c) 22 d) 12
e) 122
21) (UFSM) Baseado no gráfico da função y
= ax2 + bx + c, com a, b e c , pode-se
afirmar que y
a) a > 0, = 0
b) a > 0, > 0 x
c) a < 0, < 0
d) a < 0, = 0
e) a < 0, > 0
22) Sendo as funções f: R R definida por2( ) 2 3f x x x e g: R R definida por
2( ) 4 5g x x x , assinale (V) ou falsa
(F) em cada uma das afirmações a seguir.
( ) g(x) > f(x) para todo x] –1, 5 [
( ) f(x) g(x) para todo x] –, –1] [4, +[
( ) f(x) = g(x) para todo x{–1, 2, 5}
A seqüência correta é:
a) F – V – F b) F – V – V c) F – F – V
d) V – V – F e) V – F – V
23) Uma empresa que elabora material para
panfletagem (santinhos) tem um lucro, em
reais, que é dado pela lei 2( ) 10 16L x x x , onde x é a
quantidade vendida em milhares de unidades.
Assim, a quantidade em milhares de unidades
que deverá vender, para que tenha lucro
máximo, é:
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
24) O domínio da função f(x) =
é:
a) (1, 2] b) ( , 5] c) ( , 5[ ∪ ]1, 2[
d) ( , -5[ e) ( , -5] ∪ ]1, 2]
FUNÇÃO EXPONENCIAL
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Uma empresa produziu, num certo ano, 8 000
unidades de determinado produto. Projetando-se
um aumento anual de produção de 50%, qual
será a produção P dessa empresa t anos depois?
Daqui a quantos anos a produção anual será de
40 500 unidades.
Para calcular a produção P da empresa t anos
depois, podemos usar a fórmula:
P= 8 000 (1,50) t
Observe que a produção P varia em função
do período de tempo t em anos:
(t = 0, 1, 2, 3, ...)
Para calcular daqui a quantos anos a
produção anual será de 40 500 unidades,
devemos fazer P = 40 500. Logo:
40 500 = 8 000 (1,50) t
A equação acima é chamada equação
exponencial.
DEFINIÇÃO: Chama-se equação exponencial
toda e qualquer equação que contém variáveis no
expoente.
Procedimento para resolver uma equação
exponencial
a) 4x – 3
= 128
b) 3x + 1
+ 3x – 3
x – 1 = 11
simplifique as bases e iguale os expoentes:
x1 = x2
17
1) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 2x = 128
b) 5x =
c)
= 4
d)
2) Determine o conjunto solução da equação
3x + 1
+ 3 x – 2
– 3 x – 3
+ 3 x – 4
= 750
3) Resolva o sistema:
Função:
Otávio e Rose formam um casal muito
diferente: em suas famílias as pessoas vivem
bastante tempo. Vamos calcular quantos bisavôs
e bisavós têm conjuntamente Otávio e Rose?
De início, contamos os ascendentes de Otávio
e Rose e, em seguida, os somamos:
Pais : 2 + 2 = 4 = 22
Avôs/ Avós : 4 + 4 = 8 = 23
Bisavôs/ Bisavós : 8 + 8 = 16 = 24
Podemos observar que, a cada passo dado
para uma geração anterior, o número de
ascendentes dobra. Se calculássemos o número
de ascendentes de quinta geração (trisavôs/
trisavós) de Otávio e Rose, encontraríamos:
16 + 16 = 32 = 25
Enfim, para cada geração x que se escolhe há
um número f(x) de ascendentes. O valor de f(x),
portanto, é uma função de x, e a lei que expressa
f(x) em função de x é f(x) = 2x
, que é um caso
particular de Função Exponencial.
A função f : R R dada por f(x) = ax com
(a # 1 e a > 0) é denominada função exponencial
de base “a” e definida para todo x real.
Assim, são funções exponenciais:
f(x) = 2x f(x) =
GRÁFICO
Apresentamos no plano cartesiano os gráficos
das funções f(x) = 2x e f(x) =
y f(x) = 2x ( a = 2)
x
y f(x) =
( a =
)
x
1) Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 2x+1
c) f(x) =
D = R , Im =
a > 0 ( crescente )
A curva passa pelo
ponto ( 0, 1)
D = R , Im =
0 < a < 1 ( decrescente )
A curva passa pelo
ponto ( 0, 1)
18
2) Identifique como crescente ou decrescente as
seguintes funções:
a) f(x) = 5x
b) f(x) =
c) f(x) = πx
3) Determine o ponto de intersecção dos
gráficos das funções f(x) = 4x+1
e g(x) =
.
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
O que é Logaritmo?
Sabemos que todo número positivo pode ser
escrito como potência de 10. Nos séculos XVI e
XVII, vários matemáticos desenvolveram
estudos visando a simplificação do cálculo.
Nesse sentido, construíram tabelas relacionando
números naturais e expoentes de 10
correspondentes a cada um. A esses expoentes
deram o nome de logaritmos.
1 = 100
2 = 100,301
3 = 100,477
4 = 100,602
Assim, o número 0,301 é chamado logaritmo
de 2 na base 10.
Indica-se : log10 2 = 0,301 ,ou seja, 2 = 100,301
Essas tabelas foram chamadas de tábuas de
logaritmos decimais porque os números são
representados como potências de 10. Entretanto,
os logaritmos podem ser escritos em qualquer
base positiva diferente de 1.
Chama-se logaritmo de um número “N”,
positivo, numa base “a” positiva e diferente de
um, a todo número ”x”, x ∈ R tal que “x” é o
expoente ao qual devemos elevar “a” para
encontrar o número “N”. ou seja:
loga N = x ax = N
C. E
OBS: Chamaremos de C.E as condições de
existência do logaritmo, que usaremos para
calcular o domínio da função e na resolução de
equações logarítmicas.
Consequência da definição:
ax = N loga N = x
Substituindo em ax = N o valor de x por
logaN, obtemos:
a)
b)
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
I. O logaritmo de um produto é igual à soma
dos logaritmos dos fatores ( na mesma base).
II. O logaritmo de um produto é igual à
diferença entre o logaritmo do dividendo e o
logaritmo do divisor ( na mesma base).
III. O logaritmo de uma potência é igual ao
produto do expoente pelo logaritmo da base da
potência, isto é:
Número Logaritmo
1 0,000
2 0,301
3 0,477
4 0,602
19
1) Sendo log 2 = 0,31, log 3 + 0,477 e log 5 =
0,699, calcule:
a) log 8 b) log 81 c) log 2 d) log 1,8
e) log
2) Determine o campo de existência das
funções:
a) f(x) = log2(x – 8)
b) f(x) = logx(x2 - 1)
3) (UFU – MG) Resolva a equação
3
4) Reduza as expressões seguintes a um único
logaritmo.
a) log34 + log35 b) log58 + log512,5 – log54
c) log 100 + log 50 + log 10 + log 2
5) Resolva a equação: 4 . xlog
2x = x
3
6) Resolva o sistema:
Resp: 1) a) 0,903 b) 1,908 c) 0,151 d)
0,255 e) – 0,796 2) a) Resp: x > 8;
b) Resp: x > 1 3) 64 4) a) log320 b) 2 c) 5
5) {2, 4}
MUDANÇA DE BASE
Em muitas situações necessitaremos
transformar o logaritmo de um número em uma
certa base para uma outra base.
Usando algumas propriedades operatórias,
temos:
EQUAÇÃO LOGARÍTIMICA
Chama-se equação logarítmica toda qualquer
equação que envolva logaritmo.
Resolver uma equação logarítmica é
determinar o valor ou os valores da incógnita que
tornam a sentença verdadeira.
Para a resolução de equações logarítmicas,
adotaremos o seguinte método:
1º) Indicaremos as condições de existência;
2º) Resolvemos a equação;
3º) Verificar as condições de existência com
a solução.
EXEMPLOS:
a) log32 x – log3 x – 6 = 0
b) 2log7 x = log7 3x + log76
1) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcule log26.
2) Resolva as equações logarítimicas:
a) log2(7x + 2) = 1
b) log 1/2 (5 – 12x) = 3
c) log2(x2 – 2x – 16) = 3
Resp: 1) 7/3 2) a) 0 b) 13/32 c) {-4, 6}
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Dado um número real “a” (0 < a 1)
chamamos função logarítmica de base “a” a
função f(x) = loga x definida para todo x real
positivo.
Vamos representar no plano cartesiano os
gráficos das funções f(x) = log2 x e f(x) = log1/2
x. Sempre lembrando que x > 0.
f (x) = log2 x
x f (x) y
1/4 log2 1/4 -2
1/2 log2 1/2 -1
1 log2 1 0
2 log2 2 1
20
Se a > 1 (base for maior que 1) a curva do
gráfico é crescente.
Se 0 < a < 1 (base entre 0 e 1) a curva do
gráfico é decrescente.
CARACTERÍSTICAS:
D =
I m = R
f é crescente
A curva passa pelo ponto (1, 0)
f (x) = log1/2 x
x f (x) y
1/4 log1/2 1/4 2
1/2 log1/2 1/2 1
1 log1/2 1 0
2 log1/2 2 -1
4 log1/2 4 -2
1
CARACTERÍSTICAS:
D =
I m = R
f é decrescente
A curva passa pelo ponto (1, 0)
1) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = log3 x b) f(x) =
c) f(x) = log2 (x – 1)
2) (UFSM-2002) O gráfico mostra o
comportamento da função logarítmica na base a.
Então o valor de a é: y
a) 10
b) 2 4
c) 1 1 x
d) 1/2 -2
e) -2
3) Ache o domínio das funções definidas
abaixo:
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
d) f(x) =
Resp: 2) D 3) c) 12/5 < x < 13/5 d) 2 < x < 3 ou
3 < x < 4
25) Numa lavoura de soja, a população de
lagartas, por m2, num instante t, é descrita
pela função P(t) = P02kt
, onde t é o tempo dado
em semanas, k é uma constante experimental
e P0 é a população inicial. Uma semana depois,
foram contadas 8 lagartas por m2 e, três
semanas após o instante inicial, 32 lagartas
por m2. Considerando que a população
1 x
y
21
continue seu desenvolvimento nas mesmas
condições iniciais, o número de lagartas, em
cada m2, depois de cinco semanas, será:
a) 16 b) 48 c) 64 d) 128 e) 256
26) O domínio da função
f( x ) =
é o conjunto de
números reais dado por
a) ] –, + [ b) ] –3, –2 [ [–1, 3]
c) ] –3, –2 [ ] –1, +[ d) ] –3, –1 ] [3, +[
e) ] –2, + [
27) Seja x > 1. Se x3 = z e z
4 = y, então o
valor de logxy – logyx é
a) 7
12 b)
12
120 c)
12
145 d) 12 e)
12
143
28) (URGS) O valor de x, para que a
igualdade log 2 x + 2log 3 27 = 8 seja
verdadeira, é:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
29) (UERGS-2003) A solução da equação
16x
.
= 1 é:
a) –1/4 b) –1/2 c) 0 d) 1/8 e) ¼
30) Resolver a equação exponencial
= 2.
31) Se y =
para que y exista
devemos ter x:
a) igual a 4 b) menor que 4 c) maior que 4
d) igual a 2 e) nada disso
32) A soma dos logaritmos de dois números
na base 9 é
. o produto desses números é:
a) 3 b)
c) 81 d) -81 e) nenhuma das
anteriores.
33) (FGV) A solução do sistema
é um par (x, y) tal que x – y vale:
a) -16 b) 16 c) 4 d) -4 e) 2
34) (UFSM-1999)
A figura mostra um esboço do gráfico da
função y = ax + b, com a, b R, a > 0, a 0 e
b 0. Então, o valor de a2 – b
2 é:
a) –3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3
35) Considere a , b e c números reais
maiores que 1. Se x = logab, y = logbc e z =
logca, então o valor de (3 – xyz)3 é:
a) –8 b) –1 c) 1 d) 6 e) 8
36) Se log8x – log8y =
, então a relação entre
x e y é:
a) x = 3y b) 2x – y = 0 c)
d) y = 8x e) x = 2y
GEOMETRIA PLANA
ALGUNS POSTULADOS
Antes de iniciarmos o estudo de geometria
plana, vamos conhecer alguns postulados:
a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos
pontos.
b) Num plano há infinitos pontos.
c) Dois pontos distintos determinam uma única
(uma, e uma só) reta que passa por eles.
d) Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles.
OBS: Lembrando que pontos colineares são
pontos que pertencem a uma mesma reta. Pontos
coplanares são pontos que pertencem a um
mesmo plano.
2
x
y
0
2
5
22
Figura é qualquer conjunto de pontos. Figura
plana é uma figura que tem todos os seus pontos
num mesmo plano. Assim:
Geometria plana estuda as figuras planas.
SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos, a reunião do
conjunto desses dois pontos com o conjunto dos
pontos que estão entre eles é um segmento de
reta.
Então:
Dados A e B, A # B, o segmento de reta
AB(indicado por ) é o que segue:
A B
SEMI-RETA
Dados dois pontos distintos A e B, a reunião
do segmento de reta com o conjunto dos
pontos x tais que B está entre A e x é a semi-reta
AB (indicada por ).
A B X r
ÂNGULO
Chama-se ângulo à reunião de duas semi-
retas de mesma origem, não contidas numa
mesma reta (não colineares).
A a
O A B = ângulo
B b
As semi-retas e são os lados do
ângulo.
A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta
interna ao ângulo, com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois ângulos
congruentes.
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÂNGULO
Sistema Graus
Ângulo de um grau(1º) é o ângulo cuja medida é
1/90 de um ângulo reto.
O grau admite dois submúltiplos, o minuto e o
segundo.
Ângulo de um minuto (1’) é o ângulo cuja
medida é 1/60 de 1º.
medida é 1/60 de 1’.
Observe que:
1 reto → 90º
1º → 60 minutos
1 minuto → 60 segundos
ÂNGULO AGUDO, OBTUSO e RASO
Ângulo agudo
Um ângulo é agudo, quando sua medida é
menor do que a medida de um ângulo reto, ou
seja, menor que 90º.
Ângulo obtuso
Um ângulo é obtuso, quando sua medida é
maior do que a medida de um ângulo reto, ou
seja, maior que 90º.
Ângulo raso
Um ângulo é raso, quando seus lados são
semi-retas opostas. A medida de um ângulo raso
é dois retos ou 180º.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares quando a
soma de suas medidas é um ângulo reto. Um dos
ângulos é chamado complemento do outro. O
complemento de um ângulo x seria então:
( 90º - x)
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Dois ângulos são suplementares quando a
soma de suas medidas é dois ângulos retos
(180º). Um dos ângulos é chamado suplemento
do outro. Assim o suplemento de um ângulo y é:
(180º - y).
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Se dois ângulos são opostos pelo vértice,
então eles são congruentes.
23
x
y
x e y são o.p.v. portanto x ≡ y
1) A medida de um ângulo é igual à metade da
medida do seu suplemento. O complemento
desse ângulo mede:
2) Determine o valor de x nos casos:
a) 2x – 10º( ) 40º
b) x
3y-10º ( ) 2y + 10º
OP = bissetriz
3x – 5º
O ) P
2x + 10º
2) A razão entre dois ângulos suplementares é
igual a 2/7. Determine o complemento do menor.
3) O complemento de um ângulo está para o seu
suplemento como 2 para 7. Calcule a medida do
ângulo.
TRIÂNGULOS
Classificação dos triângulo
Quanto aos lados os triângulos se classificam
em:
EQUILÁTERO ISOSCÉLES ESCALENO
Equilátero: Possuem os três lados congruentes
Isósceles: Possuem dois lados congruentes
Escaleno: Não possuem lados congruentes
Quanto as ângulos, os triângulos se classicam
em:
B
A
RETÂNGULO em A OBTUSÂNGULO em B
ACUTÂNGULO
Retângulo: se possuem um ângulo reto.
Acutângulo: se possuem todos os ângulos agudos
Obtusângulo: se possuem um ângulo obtuso
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem
dois ângulos correspondentes congruentes, então
os triângulos são semelhantes.
CASO: ALA
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem
dois lados correspondentes proporcionais e os
ângulos formados por esses lados também são
congruentes, então os triângulos são
semelhantes.
CASO: LAL
24
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm
os três lados correspondentes proporcionais,
então os triângulos são semelhantes.
CASO: LLL
MEDIANA DE UM TRIÂNGULO
Mediana de um triângulo é um segmento com
extremidades num vértice e no ponto médio do
lado oposto.
Veja a figura:
M1 é ponto médio do lado BC
é a mediana relativa ao lado ou ao
vértice A.
A
B M1 C
As três medianas de um triângulo
interceptam-se num mesmo ponto (baricentro)
que divide cada mediana em duas partes tais que
a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
BISSETRIZ INTERNA DE UM
TRIÂNGULO
Bissetriz interna de um triângulo é o
segmento, com extremidades num vértice e no
lado oposto, que divide o ângulo desse vértice
em dois ângulos congruentes.
Veja a figura:
AS é a bissetriz relativa ao lado e ao
vértice A.
A
B S C
As três bissetrizes internas de um triângulo
interceptam-se num mesmo ponto (incentro) que
está a igual distância dos lados do triângulo. O
incentro é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
MEDIATRIZ DE UM TRIÂNGULO
A mediatriz de um triângulo é a reta
perpendicular a um de seus lados, traçada pelo
ponto médio desses lados.
A : mediatriz do triângulo
T
As mediatrizes dos lados de um triângulo
interceptam-se num mesmo ponto (circuncentro)
que está a igual distância dos vértices do
triângulo. O circuncentro é o centro de
circunferência circunscrita ao triângulo.
ALTURA DE UM TRIÂNGULO
Altura de um triângulo é um segmento de reta
perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu
prolongamento, traçado pelo vértice oposto a
esse lado.
A : altura do triângulo
H
As três retas suportes das alturas de um
triângulo interceptam-se num mesmo ponto
(ortocentro).
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO
TRIÂNGULO
A soma dos ângulos internos de um triângulo
é 180º graus.
OBS: Em todo triângulo, qualquer ângulo
externo é igual a soma dos dois ângulos internos
não adjacentes a ele.
25
1) Calcule o valor das incógnitas
a)
b)
5
c)
2) Na figura, o ângulo x mede:
a) 30º b) 45º c) 60º d) 65º e) 75º
PARALELISMO
Retas paralelas
Duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e
somente se, são coincidentes (iguais) ou são
coplanares (pertencem ao mesmo plano e não
têm nenhum ponto em comum.
(a α, b α ∩ b ∅ → // b
Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou
não, e t uma reta concorrente com a e b:
1
4 2
3
5 6
8 7
Dos oitos ângulos determinados por essas
retas indicados nas figuras acima, chama-se
ângulo
alternos internos: e , e
Alternos
alternos externos: e , e
colaterais internos: e , e
Colaterais
colaterais externos: e , e
Esses pares de ângulos são congruentes (por
exemplo: ≡ ).
TEOREMA DE TALES
Três ou mais retas paralelas entre si, em um
mesmo plano, formam um feixe de retas
paralelas ou, simplesmente, feixe de paralelas.
Um feixe de paralelas determina em duas
transversais, segmentos que são proporcionais
(teorema de Tales).
a α
b
5 6
8 7
1 2
4 3
x y
3
6
10
12
•
5 x
y
•
12 16
20
.
12
3
4
X
x
120º 135º
26
A M a
B N b
C P c
s t
a // b // c
O teorema de Tales pode ser aplicado
nos triângulos quando traçamos uma
paralela a um dos seus lados.
1) Determine o valor de x em cada caso abaixo,
sendo r, s e t retas paralelas.
r
a) x 4
s
6 8
t
r
b) 6 9
s
8 x
t
2) Na figura temos que // . Determine o
valor de x.
C
2x x + 4
M N
5 8
A B
3) A soma dos quatros ângulos agudos formados
por duas retas paralelas cortadas por uma reta
transversal é igual a 80º. Determine o ângulo
obtuso.
4) Sendo y e s paralelas, o valor de x é:
a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º
5) Na figura, a reta r é paralela ao lado AB do
triângulo retângulo ABC. O comprimento do
lado AB, em centímetros, é:
a) 5
5 b) 5 c) 3 5 d) 5 5 e) 4 5
B
Resp: 2) aprox. 1,82 3) 160°
37. Uma rampa de inclinação constante,
apoiada sobre uma superfície horizontal,
mede 4 m de altura na sua parte mais alta.
Uma pessoa, após caminhar 12,3 m sobre esta
rampa, pára quando se encontra a 1,5 m de
altura em relação ao solo. O número de
metros que a pessoa ainda deve caminhar,
para atingir o ponto mais alto da rampa, é:
a) 30 b) 26,5 c) 20,5 d) 18,5 e) 13,8
38. Na figura abaixo, AC 5 , BC 6 e
DE 3 . A área do triângulo ADE mede:
a) 15/8
b) 15/4
c) 15/2
d) 10
e) 15
39. Considere a figura a seguir, em que o
ângulo é reto e as medidas dos segmentos
AC, CD e BD são 1, 3 e 3 2, respectivamente.
A medida do segmento BC e a área do
triângulo ABC são, respectivamente:
a) 3 e 2 b) 3 e 2/2 c) 2 e 3/2
d) 2 e 3 e) 3 e 1
x
80º
120º y
s
r
x 6
3 2
A B
C
•
•
• B A
C
D
E
27
40) Considerando a figura na qual e
, determine as medidas x e y nela
indicadas.
41) (UFPE) A figura seguinte representa um
rio cujas margens são retas paralelas.
Qual é o número inteiro mais próximo da
largura do rio, quando esta é medida em
metros?
a) 26m b) 23 m c) 15m d) 5m e) 48m
42) (MACK – SP) O triângulo ABC da figura
foi dividido em duas partes de mesma área
pelo segmento DE, que é paralelo a BC. A
razão
vale:
a) 2 b)
c)
d) e)
43) Os lados de um triângulo medem 10 cm,
12 cm e 18 cm. Determine as medidas dos
lados de um triângulo semelhante ao anterior,
cujo perímetro mede 60 cm.
44) O complemento da terça parte de um
ângulo excede o complemento desse ângulo em
30°. Determine o ângulo.
45) Na figura é paralela a . Sendo
B E igual a 80° e A C igual a 35°. A medida
do ângulo A D é:
a) 20° b) 140° c) 115° d) 120° e) 156°
46) Determine a medida do menor ângulo
formado pelas bissetrizes externas relativas
aos vértices B e C de um triângulo ABC,
sabendo que o ângulo  mede 76°.
47) Da figura, sabemos que AB = BC, =
100° e AD = BC. O valor de x = C D é:
a) 10° b) 20° c) 25° d) 67° e) 13°
QUADRILÁTEROS
O quadrilátero é um polígono simples de
quatro vértices.
Os quadriláteros podem ser côncavo ou
convexo. Ele será convexo quando a reta que une
dois vértices consecutivos não encontra o lado
formado pelos dois outros vértices.
Exemplo:
Convexo Côncavo
OBS: A soma dos ângulos internos de
qualquer quadrilátero é 360º.
É o quadrilátero que possui os lados opostos
paralelos. Pode-se notar as seguintes
características:
x
C
A
B
D
100°
C
D E
B
A
C B
D E
A
A
B
C D
D E
F
A B
C
5
10
y x y
14
•
∙ 8 cm 32 cm
10 cm
28
1) Calcule a área de um paralelogramo cuja base
mede 10 cm e a altura mede 8 cm.
2) Calcule a área e o perímetro dos seguintes
paralelogramos:
a)
b)
Os paralelogramos, por sua vez, se dividem
em retângulo, losango e quadrado.
RETÂNGULO: É o paralelogramo que
possui os quatro ângulos internos retos. Podemos
notar as seguintes características:
A = b x h P = 2b + 2h d2 = h
2 + b
2
LOSANGO: É o paralelogramo que possui
os quatro lados iguais. Podemos notar as
seguintes características:
P = 4
QUADRADO: É o paralelogramo que possui
os quatro lados iguais e os quatro ângulos
internos retos. Podemos notar as seguintes
características:
lado
apótema
altura
a
h
=
=
=
l
P = 4 A = 2
a =
l h
•
b
l
A b h= ×
P 2b 2= + l
1ª) Os lados opostos são iguais;
2ª) Os ângulos opostos são
iguais;
3ª) As diagonais cortam-se ao
meio.
•
7
3 5
8
6
60º
1ª) Os lados opostos são iguais;
2ª) As diagonais cortam-se ao meio e são
iguais.
•
•
•
•
d
b
h
1ª) Os ângulos opostos são iguais;
2ª) As diagonais cortam-se ao meio;
3ª) As diagonais são perpendiculares entre si e
bissetrizes dos ângulos internos.
D
d
•
• •
• • •
a
d
1ª) As diagonais cortam-se ao meio e são
iguais;
2ª) As diagonais são perpendiculares entre si
e bissetrizes dos ângulos internos;
3ª) O quadrado é ao mesmo tempo retângulo
e losango.
29
1) Determine a área, o perímetro e a diagonal de
um retângulo de dimensões 4 cm e 3 cm.
2) Num retângulo, uma dimensão é o dobro da
outra. Se a área do retângulo é 128 cm2, calcule o
seu perímetro.
3) Calcule a área e o perímetro de um losango
cujo lado mede 5 cm e a diagonal maior mede 8
cm.
4) Determine a área do losango de perímetro 40
cm e cuja diagonal maior mede 16 cm.
5) Calcule a diagonal de um quadrado de área
igual a 144 cm2.
É o quadrilátero que possui apenas dois lados
paralelos.
B: Base maior
b: base menor
h: altura
1) TRAPÉZIO ISÓSCELE: É o trapézio
que possui os lados não paralelos iguais.
2) TRAPÉZIO RETÂNGULO: É o trapézio
que possui dois ângulos retos.
PROPRIEDADE DOS QUADRILÁTEROS
Num trapézio, os ângulos adjacentes a um
dos lados opostos oblíquos, são suplementares.
Num trapézio isósceles, os ângulos
adjacentes à mesma base são geometricamente
iguais.
e
A mediana de um trapézio é paralela às bases
e o seu comprimento é igual à semi-soma dos
comprimentos das bases.
A B
E F
C D
Os ângulos opostos de um paralelogramo são
geometricamente iguais.
Os ângulos internos adjacentes a cada lado de
um paralelogramo (ângulos internos
consecutivos) são suplementares.
Os lados opostos de um paralelogramo são
geometricamente iguais.
Uma diagonal de um paralelogramo divide-o
em dois triângulos geometricamente iguais.
As diagonais de um losango são
perpendiculares.
As diagonais de um retângulo são
geometricamente iguais.
As diagonais de um quadrado são
perpendiculares e geometricamente iguais.
A
D
C
B
A
C
D
B
•
b
B
h
B b hA
2
•
•
30
1) Determine o valor de x na figura abaixo.
2) Determine os ângulos dos quadriláteros
casos:
a)
b)
c)
3) A área de um retângulo cuja diagonal é 5 m e
o perímetro vale 14 m é, em m2:
POLÍGONOS
Polígono é um conjunto de segmentos de reta
coplanares (mesmo plano) tais que:
1º) Cada extremidade de qualquer um deles é
extremidade de dois e apenas dois deles;
2º) Dois segmentos consecutivos quaisquer,
dentre eles, não são colineares.
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
PERÍMETRO: É a soma das medidas dos
comprimentos dos lados do polígono.
DIAGONAL: Segmento que une dois vértices
não-consecutivos do polígono. O número de
diagonais de um polígono de n lados é dado
por:
,onde n≥4
SOMA DOS ÂNGULOS DE UM
POLÍGONO CONVEXO
3x 2x
2x 4 30ºx
x+5° x+30°
x A
2x
2x – 20°
3x
2x
2x
110º
70º
y
z
40º 40º
Lado
Diagonal
Vértice
Ângulo Externo
Ângulo Interno
E
A
B
C
D
F
3d
2
n n
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE
UM
POLÍGONO CONVEXO DE n LADOS:
S 180º 2i n
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
DE UM
POLÍGONO CONVEXO DE n LADOS:
S 360ºe
31
São todos os polígonos convexos que possuem
os lados e os ângulos congruentes,
respectivamente.
EXEMPLOS:
Hexágono regular
Pentágono regular
Triângulo equilátero
NOME DOS POLÍGONOS CONFORME
O NÚMERO DE LADOS
Um polígono convexo é regular se, e somente
se, tem todos os seus lados congruentes e todos
os seus ângulos internos congruentes.
Assim, o triângulo eqüilátero é o triângulo
regular e o quadrado é o quadrilátero regular.
Um polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo.
PROPRIEDADES
Todo polígono regular é inscritível numa
circunferência, ou seja, existe uma única
circunferência que passa pelos seus vértices.
Exemplo:
Todo polígono é circunscritível a uma
circunferência.
Exemplo:
O centro de um polígono regulaR é o centro
comum das circunferências circunscrita e
inscrita. O Apótema do polígono regular é o
segmento com uma extremidade no centro e a
outra no ponto médio de um lado.
1) Calcule a área de um hexágono regular cujo
lado mede 3 cm.
2) O apótema de um hexágono regular mede
cm. Determine a sua área.
3) Determine a área do hexágono regular
inscrito num círculo de raio 8 cm.
4) Um hexágono regular tem área igual a
cm2. Calcule o raio do círculo nele
inscrito.
48) Na figura abaixo está representado o
retângulo (ABCD) com 105 m2. Usando as
medidas indicadas ( DG = 10m e BF = 2m),
verificamos que o lado do quadrado (EFCG)
mede:
a) 85 m b) 42,5 m c) 8 m d) 5 m e) 3 m
Nº DE LADOS NOME DO POLÍGONO
3 TRIÂNGULO
4 QUADRILÁTERO
5 PENTÁGONO
6 HEXÁGONO
7 HEPTÁGONO
8 OCTÓGONO
9 ENEÁGONO
10 DECÁGANO
R
•
10 m
2 m
A B
C D
E F
G
Apótema
R l
32
49) ABCD é trapézio de bases e . Se
e são bissetrizes, determine x e B D.
50) Classifique em verdadeiro (V) ou falso
(F):
a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é retângulo.
c) Todo quadrado é retângulo.
d) Todo retângulo é quadrado.
e) Todo paralelogramo é losango.
f) Todo quadrado é losango.
51) Calcule os lados de um retângulo cujo
perímetro mede 40 cm, sabendo que a base
excede a altura em 4 cm.
52) No triângulo ABC de lados AB = 9, BC =
14 e AC = 11, os pontos D, E e F são pontos
médios de , e , respectivamente.
Então o perímetro do triângulo DEF é?
a) 24 b) 21 c) 17 d) 15 e) 20
53) Se ABCD é um paralelogramo, AD = 20
cm, BQ = 12 cm e BP =e BQ, o perímetro
desse paralelogramo em cm é igual a:
a) 54 b) 56 c) 57 d) 60 e) 62
54) Na figura abaixo, determine a soma das
medidas dos ângulos, .
55) Três polígonos convexos têm n, n + 1,
n + 2 lados, respectivamente. Sendo 2 700° a
soma de todos os ângulos internos dos três
polígonos, determine o valor de n.
56) Se a figura abaixo ABFG é um trapézio
retângulo, AB é paralelo a DC e a medida de
CE é a , então a área do quadrado DEFG é:
a) 2 / 9a b)
2 / 4a c) 2 / 3a d)
23a e) 24a
57) Dois quadrados são tais que a área de um
deles é o dobro da área do outro. A diagonal
do menor é 4. A diagonal do maior é:
a) 8 b) 6 c) 6 3 d) 4 3 e) 4 2
58) (UFSM-2006) Na parede da sala de aula
de Manolito, que tem 4 m de altura e 6 m de
largura, será pintado um painel, conforme a
figura apresentada. O valor de x para que a
área hachurada seja máxima é:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
59) Se a área do retângulo abaixo é de 32 cm2
e os triângulos formados são isósceles, então o
perímetro do pentágono hachurado, em cm, é:
a) 39/2
b) 10 + 7 2
c) 10 + 12 2
d) 32
e) 70 2
x
D C
B A
x-15°
100°
P
D A
B C Q
P
a
b
e d
f
e
120°
120º
A
B C
D
F
G
a
E
33
60) Num trapézio retângulo as bases e a
altura medem, respectivamente, 6 cm, 10 cm e
3 cm. Prolongando-se os lados não paralelos,
obtemos um triângulo retângulo cuja base é a
base menor do trapézio e cuja área em cm2 é:
a) 10,5 b) 11,5 c) 12,5 d) 13,5 e) 14,5
É o conjunto de todos os pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro.
O = centro
É o conjunto de todos os pontos de um plano
interiores a uma circunferência e pertencentes a
ela.
FÓRMULAS DO CÍRCULO E DA
CIRCUNFERÊNCIA
1) O raio de um círculo mede 8 cm. Determine a
sua área.
2) A área de um círculo é 81 cm2. Calcule o
comprimento da circunferência que limita este
círculo.
3) Dê o raio de uma circunferência cujo
comprimento é igual ao de uma
semicircunferência de 5 cm de raio.
É a parte compreendida entre dois círculos de
mesmo centro.
A = πR2
– πr2 = π(R
2 - r
2)
É a parte do círculo compreendida entre dois
raios.
R raio do setor
ângulo do setor
S comprimento do arco do setor
• O
• O
•
DIÂMETRO 2R
2A R C 2 R
•
R
r
•
R
S
34
A =
( em graus)
A =
( em radianos)
S =
PROPRIEDADES DA CIRCUNFERÊNCIA
1ª) Toda reta tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio no ponto de tangência.
2ª) Todo raio perpendicular a uma corda divide a
corda ao meio.
3ª) Todo triângulo inscrito numa circunferência
ou numa semi-circunferência, em que um dos
lados do triângulo é um diâmetro da
circunferência, é um triângulo retângulo. O
diâmetro da circunferência é a hipotenusa do
triângulo retângulo.
1) Determine o comprimento da corda AB da
circunferência abaixo, sabendo que o raio mede
10 cm.
2) Na figura abaixo, calcule a área do triângulo
ABC, inscrito num círculo de centro O e área
16π cm2, sabendo que BC mede 6 cm.
3) As rodas de um automóvel têm 32 cm de
raio. Que distância percorreu o automóvel depois
que cada roda deu 8 000 voltas? Resp: aprox. 16
085m
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
A seguir mostraremos as fórmulas usadas
para calcular a área das principais figuras planas.
Elas serão muito utilizadas em Geometria
métrica espacial.
RETÂNGULO
A = B x h
TRIÂNGULO
A = B x h
.
•
•
•
•
•
•
A B
8
•
•
•
h
B
h
B
35
TRAPÉZIO
A =
LOSANGO
D A =
d
1) Quantos m2 de azulejo são necessários para
revestir até o teto uma parede retangular de 4m
por 2,75m?
2) Um terreno retangular tem 8,4m por 15m e
está sendo gramado. Sabendo que um kg de
semente de grama é suficiente para gramar 3m2
de terreno, quantos kg de semente são
necessários para gramar o terreno todo?
3) Uma metalúrgica chapas de aço quadradas de
1m de lado para recortar quadrados de lado de
30cm de lado. Ao sair da máquina da chapa
original sobra uma parte que é reaproveitada
posteriormente. Quantos cm2 de chapa são
reaproveitados?
4) Quantos cm2 de alumínio são utilizados para
fazer uma arruela de cujo raio maior mede 4 cm
e o raio do “furo” mede 0,5 cm.
5) A área de um triângulo retângulo é 12 cm.
Sabendo que um dos seus catetos é igual ao
dobro do outro. Calcule a medida da hipotenusa
desse triângulo.
61) Na figura tem-se dois discos A e B. A
área de A é 9 , o perímetro de B, 30 e a
distância dos centros de A e B, 20. A distância
dos pontos de tangência a e b da tangente
comum a A e a B é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
62) A área da parte hachurada da figura é:
a) 8 2 3 3
b) 16 3
c) 4 3
d) 16 2 3 3
e) 8 3
63) Uma corda de 36 cm é cortada em três
partes. Com uma delas que mede 12 cm, é
construído um triângulo equilátero e com as
outras duas, são construídos, respectivamente,
um quadrado e uma circunferência cujo raio
mede
cm. A soma das áreas do quadrado e
do triângulo, em cm2, é:
a) 20 b) 12 c) 8 3 d) 4(4 + 3) e) 4(1 + 3)
64) Na figura abaixo, está representado um
setor circular cujo ângulo central mede 60º. Se
a medida da corda AB é de 2 cm, então a área
do segmento circular hachurado, expressa em
cm2, é:
b
B
h
•
•
A B
a
b
• 4
36
a) 2π/ - 3 b) π – 2 c) 2(π – 2)
d) π/6 - 2 e) π/3 - 2
65) Em um dos jogos da Copa América, em
1999, foi colocado, numa praça de forma
semicircular, com perímetro igual a 10 + 20
metros, um telão. Nessa praça, 785 pessoas
assistiam ao jogo. Supondo que houvesse o
mesmo número de pessoas por metro
quadrado da praça, em cada metro quadrado
haveria (usar = 3,14):
a) 9 pessoas b) 7 pessoas c) 5 pessoas
d) 10 pessoas e) 12 pessoas
66) (UFRGS-2005) Os quadrados ABCD e
APQR, representados na figura abaixo, são
tais que seus lados medem 6 e o ângulo PAD
mede 30º. Ligando-se o ponto B com o ponto
R e o ponto D com o ponto P, obtém-se o
hexágono BCDPQR, cuja área é:
a) 90 b) 95 c) 100 d) 105 e) 110
67) A hipotenusa de um triângulo retângulo
mede 10 cm e o raio do círculo inscrito mede
1 cm. Calcule o perímetro do triângulo.
68) Determine o perímetro do quadrilátero
ABCD, circunscritível, da figura.
69) A diferença de dois lados opostos de um
quadrilátero circunscritível é igual a 8 cm e a
diferença dos outros dois lados é 4 cm.
Determine os lados do quadrilátero, sendo
56 cm a sua soma.
70) Na figura abaixo temos dois quadrados.
Determine a área do quadrado maior.
71) A área do quadrado menor é:
a) 36
b) 40
c) 48
d) 50
e) 60
72) Com quatro palitos de mesmo
comprimento, forma-se um quadrado com a
cm2 de área e p cm de perímetro.
Se a + p = 21, o comprimento de cada palito,
em centímetros, é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
CALCULANDO O INACESSÍVEL:
Varias vezes nos deparamos com
situações cotidianas que inicialmente nos
deixam intrigados, tais como: Calcular a
largura de um rio se não conseguimos
chegar até a margem oposta, ou então,
como calcular a altura de um prédio sem
precisarmos estender uma fita métrica do
topo até o chão.
Estas duas situações e outras tantas
possíveis nos levar ao estudo da resolução de
triângulos.
Num triângulo retângulo, podemos
estabelecer razões entre as medidas dos seus
catetos e a hipotenusa.
c
b
a
hipotenusa
cateto
cateto
D
B
A
C
P
Q
R
3x
A 3x+1
2x
B
D x+1 C
6m 9m
1 7
7
1
7 1
1
7
37
Sendo α um ângulo qualquer no triângulo.
1) Uma torre vertical de 12 m de altura é vista
sob um ângulo de 30º por uma pessoa que se
encontra a uma distância x de sua base e cujos
olhos estão no mesmo plano horizontal dessa
base. Determinar a distância x.
2) A partir de um ponto, observa-se o topo de
um prédio sob ângulo de 30º. Caminhando 23m
em direção ao prédio, atinge outro ponto onde se
vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º.
Qual a altura do prédio?
3) Um móvel parte de A e segue numa direção
que forma com a reta AC um ângulo de 30º.
Sabe-se que o móvel se desloca com uma
velocidade constante de 60 Km/h. determine a
que distância o móvel se encontra da reta AC
após 3 horas de percurso.
4) A partir de um ponto, observa-se o topo de
um prédio sob ângulo de 30º. Caminhando 23m
em direção ao prédio, atinge outro ponto onde se
vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º.
Qual a altura do prédio?
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Já definimos as razões trigonométricas seno e
cosseno de um ângulo agudo. No entanto,
veremos duas importantes relações entre medidas
dos lados de um triângulo qualquer e que
utilizam os conceitos de seno e cosseno de um
ângulo obtuso. Por esse motivo, vamos indicar
como obter esses valores.
Se α é a medida de um ângulo obtuso, isto é,
90° < α < entã medid d ân u agudo suplementar é 180° - α
Podemos estabelecer as seguintes relações
entre esses ângulos:
O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno
do ângulo agudo suplementar.
sen α = sen (180° - α
O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao
oposto do cosseno do ângulo agudo suplementar.
cos α - cos (180° - α
Essas relações serão demonstradas no
capítulo seguinte, nesse momento apenas
usaremos seu resultado.
Assim, por exemplo:
sen 135° = sen (180 – 135°) = sen 45° =
cos 135° = - cos (180° - 135°) = - cos 45° =
sen 150° = sen (180° - 150°) = sen 30° =
cos 150° = - cos (180° – 150°) = - cos 30° =
Sen =
Cos =
Tg =
Em todo triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
a2 = b
2 + c
2
180° - α α
38
LEI DOS SENOS
Num triângulo ABC qualquer, é verdadeira a
seguinte afirmação:
Essa relação constitui a lei dos senos.
O triângulo ABC qualquer representado
abaixo está inscrito numa circunferência de
centro O e raio R.
Num triângulo qualquer, as medidas dos
lados são proporcionais aos senos dos ângulos
apostos. A razão de proporção é igual a 2R, onde
o raio R é o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo.
LEI DOS COSSENOS
Num triângulo ABC qualquer, são
verdadeiras as seguintes afirmações:
a2 = b
2 + c
2 – 2.b.c.cosA
b2 = a
2 + c
2 – 2.a.c.cosB
c2 = a
2 + b
2 – 2.a.b.cosC
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA DA
ÁREA
A área de um triângulo qualquer é igual ao
semiproduto das medidas de dois de seus lados
pelo seno do ângulo formado por esses lados.
A =
e A =
1) Num triângulo ABC, o ângulo B mede 60º, o
C mede 45º e o lado c mede . Calcule a
medida b.
2) Dois lados consecutivos de um paralelogramo
medem 8m e 12m e formam um ângulo de 60º.
Calcule as diagonais.
3) Qual a área de um paralelogramo no qual,
dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm,
sabendo que eles formam um ângulo de 120º.
4) Qual é a área de um triângulo isósceles no
qual cada lado congruente mede 10 cm e o
ângulo adjacente à base mede 75°.
5) Num triângulo, AC = 4m, BC = 3m e =60°.
Calcule sen B.
6) U, triângulo ABC de lados 7 cm, 9 cm e 9 cm
está inscrito numa circunferência de raio R,
Determine:
a) as medidas dos ângulos internos desse
triângulo
b) o valor de R
b
a
c
C B
A
b
a
c
C B
A
b
a
c
C B
A
A
B C a
b c
R
39
73) Uma torre vertical, de altura 12 metros, é
vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa
que se encontra a uma distância x da sua base,
e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal
dessa base. Determine a distância x.
(Dado: tg 30° = 0,58).
74) Numa circunferência de raio 5 cm,
considere o diâmetro e a corda , de
modo que med(A C) = 30°. O valor de ,
em cm, é:
a) 2 2 b) 5 c d e
75) Para traçar uma circunferência de 40 cm de comprimento usa-se um compasso com “pern s” de cm c d Qu ân u de abertura desse compasso?
a) 30 ° b) 45° c) 48° d) 50° e) 60°
76) (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = 9
cm, o segmento DF mede, em centímetros:
a) 5
b) 4
c) 8
d) 7
e) 6
77) (PUC – MG) A altura do triângulo cujos
lados medem 2 cm, 5 cm e 6 cm, relativa à
base 5 é, em centímetros, igual a:
a) 8 b) / c / d / e /
78) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e
6. O cosseno do maior ângulo de T é:
a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8
79) Um observador vê um prédio, construído
em terreno plano, sob um ângulo de 60°.
Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a
ver o edifício sob ângulo de 45°. Qual á a
altura do prédio?
a)
b)
c)
d)
80) (Fuvest – SP) Considere um arco de
110° numa circunferência de raio 10 cm.
Considere, a seguir, um arco de 60°
numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-
se o comprimento do arco pelo arco (
ambos medidos em cm), obtém-se:
a)
b) 2 c)
d)
e) 11
81) (PUC – RS) Um avião levanta vôo sob um
ângulo constante de 20°, em relação ao solo.
Após percorrer 2.000 m em linha reta, a
altura do avião, em metros será
aproximadamente:
(Dados: sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,94;
tg 20° = 0,364)
a) 1.880 b) 1.720 c) 1.000 d) 728 e) 684
82) Se α e β são os ângulos agudos de um
triângulo retângulo, então log2(tg α) +
log2(tg β) vale:
a) sen α b) cos α c) tg α d) 0 e) 1
83) Os ângulos de um triângulo são A = 35°, B
= 25°; C = 120°. Este triângulo é:
a) retângulo b) obtusângulo c) acutângulo
d) eqüilátero e) n.r.a
84) (EAM) Para sustentação do letreiro é
feito um suporte de ferro na forma de um
triângulo retângulo ABC. Calcule o
comprimento da barra de ferro representada
pelo segmento AD, sabendo que é bissetriz dp
ângulo BAC.
E A M
a) 0,56m b) 0,84m c) 0,92m d) 1m
e) 1,2m
85) (EEAr) Num triângulo ABC, a razão
entre as medidas dos lados AB e AC é 2. Se
= 120° e = 1 cm, então o lado BC mede,
em cm,
a) 7 b) 7 + 1 c) d – 1
D
B
C A
30° 60°
E
F
B C
A D
140 2 cm
60 2 cm
40
GEOMETRIA ESPACIAL
São sólidos limitados por polígonos planos.
Os elementos de um poliedro são:
1º) ARESTAS: São os lados dos polígonos.
2º) VÉRTICES: São os vértices dos polígonos,
ou seja, são os pontos onde se encontram três ou
mais arestas.
3º) FACES: São os polígonos que limitam o
poliedro.
EXEMPLOS:
CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS
1º) QUANTO À FORMA
a) POLIEDRO CONVEXO: Ocorre quando
qualquer segmento de reta que ligar dois pontos
quaisquer do poliedro estiver contido no
poliedro.
b) POLIEDRO CÔNCAVO: Ocorre
quando qualquer segmento de reta que ligar dois
pontos quaisquer do poliedro passar por fora do
poliedro.
2º) QUANTO AO NÚMERO DE FACES: Na
tabela abaixo se encontram os nomes de alguns
poliedros com seu número de faces respectivas:
NOME DO
POLIEDRO
NÚMERO DE
FACES
TETRAEDRO 4
PENTAEDRO 5
HEXAEDRO 6
HEPTAEDRO 7
OCTAEDRO 8
ENEAEDRO 9
DECAEDRO 10
UNDECAEDRO 11
DODECAEDRO 12
PENTADECAEDRO 15
ICOSAEDRO 20
Em qualquer poliedro convexo vale a
seguinte relação, conhecida como relação de
Euler:
V – A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número
de arestas e F é o número de faces.
1) Um poliedro convexo é constituído por doze
arestas e oito vértices. Quantas faces possui esse
poliedro?
2) Um dodecaedro convexo possui todas as faces
pentagonais. Quantos vértices possui esse
poliedro?
3) Num poliedro convexo o número de arestas
excede o número de vértices em 6 unidades.
Calcule o número de faces.
4) Determinar o número de arestas e de vértices
de um poliedro convexo com seis faces
quadrangulares e quatro triangulares.
41
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM
POLIEDRO CONVEXO
A soma das medidas dos ângulos das
faces de um poliedro convexo de V vértices é
dada por:
S = 360°.(V – 2)
POLIEDROS CONVEXOS REGULARES
Um poliedro convexo é regular quando suas
faces são polígonos regulares congruentes e em
cada vértice concorre o mesmo número de
arestas.
TETRAEDRO REGULAR
Prismas (poliedros) são sólidos
limitados por faces laterais denominadas
paralelogramos, e por duas bases poligonais,
congruentes e contidas em planos paralelos.
No prisma abaixo, estão destacados seus
principais elementos:
TIPOS DE PRISMAS
PRISMA REGULAR
É o prisma reto em que as bases são
polígonos regulares.
h
V = Ab x h
A = a x h x n
Ab = Apolígono
At = Al + Ab
onde n é o número de lados do polígono que
forma a base do prisma.
1) Calcule a área total e o volume de um prisma
reto de base hexagonal cuja altura é h = e
cujo raio do circulo que circunscreve a base é
R = 2m.
2) Num prisma triangular regular, a medida da
aresta da base é igual a medida da altura.
a
h
Base
Base
Aresta Lateral
Face Lateral
Aresta da Base
Altura
RETOS OBLÍQUOS REGULARES
base
altura
42
diagonal
Sabendo-se que a área lateral é 10 cm2. Calcule a
área total e o volume do prisma.
3) Um arquiteto faz o projeto para construir uma
coluna de concreto que vai sustentar uma ponte.
A coluna tem a forma de um prisma
quadrangular regular de aresta da base 2 m e
altura 13 m. Calcule a área lateral que se deve
utilizar em madeira para a construção da coluna e
o volume de concreto necessário para encher a
forma da coluna.
São prismas que tem como base
paralelogramo
D =
At = 2(a.b + a.c + b.c)
Cubo é um prisma regular que tem todas as
arestas congruentes.
D = a 3 At = 6 V =
1) Calcule a medida da diagonal, a área total e o
volume de um paralelepípedo de dimensões 5
cm, 7 cm e 8 cm.
2) Deseja-se cimentar um quintal retangular
com 10 m de largura e 14 m de comprimento. O
revestimento deve ter uma espessura de 3 cm de
espessura. Qual é o volume de concreto
necessário para este revestimento?
3) Calcule a área total, o volume e a diagonal de
um cubo de aresta 3 cm.
4) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são 9 m, 6 m e 4 m. Calcule a medida
da aresta de cubo cujo volume é igual ao volume
do paralelepípedo.
Cilindro reto ou de revolução é o sólido
obtido quando giramos em torno de uma reta um
retângulo.
Geratriz de um cilindro de revolução é todo
segmento que une dois pontos das
circunferências das bases e é paralelo ao eixo.
Al = 2π.r.h Ab = 2.πr2
At = 2πr.(h+r) V = πr2.h
a
a
a
h
r
r
h
a
c
b
diagonal
43
1) Calcular o volume e a área total de um
cilindro circular reto de raio da base igual a5 cm
e altura igual a 9 cm.
2) Determine a área total e o volume de um
cilindro inscrito num cubo de aresta igual a 2 cm.
3) Um tanque de gasolina tem a forma cilíndrica.
O raio da circunferência é de 3m e o
comprimento do tanque é de 6 m. colocando-se
líquido até 8/9 de sua capacidade, quantos litros
há nesse tanque?
4) Um cilindro tem área total de 16 m2. Se o
raio mede um terço da altura, a área lateral do
cilindro é?
Vértice = V
altura “ h”
geratriz “ g ”
apótema da base “m”
aresta da base “a”
aresta lateral “ l ”
Utilizando o teorema de Pitágoras,
encontramos as relações abaixo:
h2 + m
2 = g
2 g
2 +
= l
2
Área lateral de uma pirâmide é a soma das
faces laterais.
Área total é a soma da área lateral com a
área da base.
Volume de uma pirâmide
1) Numa pirâmide triangular a medida do
perímetro da base mede 45 cm. Sabendo-se que a
altura mede o dobro do apótema da base, calcule
a área total e o volume dessa pirâmide?
2) O apótema de um pirâmide quadrangular
regular é igual a metade do perímetro da base. Se
a base está inscrita em um circulo de raio 8 cm,
calcule a área total e o volume desta pirâmide.
3) numa pirâmide regular hexagonal, a aresta da
base tem 12 cm e a ara lateral mede 42 cm2. qual
é a área total e o volume desta pirâmide?
4) Uma pedra preciosa tem a forma de octaedro
regular de aresta 8 mm. Calcule o volume dessa
pedra.
Cone de revolução ou reto é o sólido obtido
quando giramos um triangulo retângulo em torno
de um reto contendo um de seus catetos.
V
h g g
r r
Vértice = V
g = geratriz: são os segmentos com
extremidade no vértice e na circunferência.
Pelo teorema de Pitágoras temos:
g2 = h
2 + r
2
A = .r.g At = r(g+r)
44
1) Calcular o volume e a área total de cone
circular reto de geratriz 10 cm, sabendo que sua
altura é igual ao triplo do raio da base.
2) Considere um cubo de aresta 4 e em cone
circular reto inscrito neste de forma que sua base
seja um circulo inscrito em uma de suas faces e o
vértice seja o centro da outra face. Calcule a área
total e o volume deste cilindro.
3) Um chapéu de palhaço, de forma cônica, é
feito de papelão e tem 24 cm de altura. A
circunferência da base do chapéu mede 62,8 cm.
Quantos centímetros quadrados de papelão foram
gastos na confecção desse chapéu?
( Use π = 3,14.)
É o conjunto de pontos do espaço
eqüidistantes de certo ponto denominado centro,
e a esta distância denominamos raio R.
R é o raio da esfera
d é o diâmetro da esfera
A = 4. .R2
V =
1) Calcule a área, o volume e a área do círculo
máximo de uma esfera de 4 cm de raio.
2) O volume de uma esfera é 288π cm3. Calcule
a área da superfície da esfera.
3) Um plano intercepta uma esfera a 6 cm do
centro, determinando uma secção de 8 cm de
raio. Calcule o volume da esfera.
4) Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um
plano distante 3 cm de seu centro. Calcule a área
da secção determinada por esse plano.
86) (UMC – SP) Um joalheiro fundiu uma
esfera de ouro de raio 6 mm para transformá-
la num bastão cilíndrico reto, cujo raio da
base era igual ao da esfera. Qual o
comprimento do bastão.
a) 8 mm b) 9 mm c) 10 mm d) 11 mm
e) 13 mm
87) (UFPA) Num prisma regular de base
hexagonal, a área lateral mede 36 m2
e a
altura é 3 m. A aresta da base é:
a) 2 m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m
88) (UEPG – PR) As medidas internas de uma
caixa-d’água em forma de paralelepípedo
retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua
capacidade em litros é:
a) 8 400 b) 84 c) 840 d) 8,4 e) nra
89) (UFRN) Uma pirâmide regular tem base
quadrada inscrita em um círculo de raio 8 e
seu apótema é igual ao semiperímetro da base.
O volume da pirâmide é:
a)
b)
c) 6√35 d) 7√3
90) (VUNESP – SP) Em cada um dos vértices
de um cubo de madeira se recorta uma
pirâmide AMNP onde M, N e P são os pontos
médios das arestas, como se mostra na
ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume
do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
R D
A
P
N
M
45
91) (UFSM – 2001) Três crianças estavam
brincando na biblioteca da escola e
resolveram fazer pilhas da mesma altura, com
livros conforme a figura. A mais organizada
fez a pilha A, e as outras duas as pilhas B e C.
Considerando que todos os livros tem a
mesma área de capa, e que as pilhas têm a
mesma altura, pode-se afirmar que
C
a) O volume da pilha A é maior que o da
pilha C.
b) Os volumes das pilhas B e C são iguais e
maiores do que o volume da pilha A.
c) O volume da pilha A é menor que o da pilha
B que é menor que o da pilha C.
d) Os volumes das três pilhas são iguais.
e) Não existe dados suficientes no problema
para decidir sobre os volumes e compará-los.
92) (UFSM - 2000) Bolas de tênis são vendidas,
normalmente, em embalagens cilíndricas
contendo 3 unidades. Supondo-se que as bolas
têm raio a em centímetros e tangenciam as
paredes internas da embalagem, o espaço
interno dessa embalagem que NÃO é ocupado
pelas bolas é, em cm3,
a) 2 a3
b)
π
c)
d) a3
e)
π
93) (UNIFRA-2003) Se o volume de um cubo
de 8 cm de aresta é igual ao volume de uma
pirâmide regular que tem como base um
quadrado de 16cm de lado, então a altura da
pirâmide, em centímetros, é:
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30
94) (UERGS-2003) A diagonal de um
quadrado ABCD mede 2 2 cm. Os pontos
médios dos lados desse quadrado formam
um outro quadrado de área igual a:
a) 0,5 cm² b) 1 cm² c) 2 cm² d) 4 cm²
95) (ULBRA-2003) Em uma piscina
retangular com 10m de comprimento e 5m
de largura, para elevar o nível da água em
10 cm são necessários;
a) 50.000 litros de água b) 10.000 litros de água
c) 5.000 litros de água d) 1.000 litros de água
e) 500 litros de água
96) Um caminhão tem carroceria com
3,49 metros de comprimento, 2,50 metros de
largura e 1,20 metros de altura. Quantas
viagens devem-se fazer, no mínimo, para
transportar 336 metros cúbicos de arroz?
a) 24 b) 29 c) 30 d) 32 e) 33
97) (MACK – SP) Um reservatório que tem a
forma de um cilindro reto contém um volume
de água igual a 2/3 de sua capacidade. Se
forem retirados 50 litros do líquido, a altura
do nível baixará de 10%. O volume total do
reservatório, em litros, é:
a) 500 b) 650 c) 750 d) 900 e) 1000
98) Um pedaço de cano de 30 cm de
comprimento e 10 cm de diâmetro interno
encontra-se na posição vertical e possui a base
inferior vedada. Colocando-se 2 litros de água
em seu interior, a água:
a) ultrapassa o meio do cano
b) transborda
c) não chega ao meio do cano
d) enche o cano até a borda
e) atinge exatamente o meio do cano
99) (PEIES-2004) A partir de um recorte com
a forma e as dimensões indicadas na figura, é
possível construir uma pirâmide
quadrangular regular. A altura dessa
pirâmide é:
a) 7
b) 65
c) 73
d)
e)
A B C
a
4 cm
9 cm
46
y
x
-
+
1º Q 2º Q
3º Q 4º Q
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Do grego, temos tri-gonos-metria, que
significa medida dos três ângulos..
UNIDADES DE MEDIDA
GRAU
O grau é uma unidade de medida de arcos e
ângulos. A medida de um grau (1º), corresponde
a 1/360 do arco de uma volta. Portanto, o arco de
uma volta mede 360º.
RADIANO
Um radiano corresponde a um arco com a
mesma medida do raio da circunferência.
Para converteR medidas de arcos de
radianos para graus ou de graus para radianos,
usamos a seguinte igualdade:
Onde x representa a medida de um ângulo em
radiano e y representa a medida de um ângulo
em grau.
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Fixamos um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais xÔy no plano.
A circunferência orientada de centro na
origem do sistema de raio unitário (r = 1), cujo
sentido é o anti-horário, é denominada
circunferência trigonométrica, ou ciclo
trigonométrico.
Quando a extremidade de um arco estiver num
determinado quadrante, dizemos que o arco é
desse quadrante.
Dois ou mais arcos são côngruos ou
congruentes quando tem a mesma origem e a
mesma extremidade e diferem apenas pelo
número de voltas.
Onde:
a = arco côngruo
a0 = arco dado
k = 0; ±1; ±2; ±3...(nº de voltas)
1) Indique em que quadrante está situada a
extremidade do arco que mede:
a) 1245º b) - 480° c) 5π r d d
rad
2) Três ângulos consecutivos somam 240º. O
primeiro mede 60º e o terceiro é o suplemento
deste. Determine, em radianos, o ângulo formado
pelas bissetrizes do segundo e o terceiro ângulos.
A figura mostra um ciclo trigonométrico, no
qual A é a origem dos arcos. A cada x ∈ R
corresponde um ponto M(a, b) do ciclo, tal que o
arco mede x.
O número real b, ordenada de M, é chamado
de seno de x e indicado por:
b = sen x
y
b M(a, b)
x a A
x
1
sen x
47
É por esse motivo que o eixo das
ordenadas é também chamado eixo dos senos.
A função seno é definida como:
f: R R tal que f(x) = sen x
Alguns valores imediatos da função y = sen x
GRÁFICO:
1
A 0 π/2 π 3π/2 2π
-1
1) Determine o valor de :
a) Sen 900º b) Sen 6π c π/
2) Determine os valores reais de m para que
exista um número real x que satisfaça a
igualdade: sen x = 7m – 20.
3) Construa os gráficos, das seguintes funções:
a) f(x) = sen 2x b) f(x) = 2 + sen x
b) c) f(x) = 2sen x
Dado um arco AP, de medida x radianos,
definimos como cos x a abscissa do ponto P e
representamos cos x = OM.
Definimos função cosseno como a
função f que associa a cada número real x o
número real OM = cos x e indicamos
f(x) = cos x.
P
x M A
O Cossenos
cos x
Alguns valores imediatos da função y = cos x
GRÁFICO:
1
0 π/2 π 3π/2 2π
-1
Observando o gráfico podemos destacar o
seguinte:
Sen 0º = Sen 0 = 0
Sen 90º = Sen /2 = 1
Sen180º = Sen = 0
Sen 270º = Sen 3 /2 = -1
Sen 360 = 2 = 0
D = R Im = [-1, 1]
Função contínua.
Período = 2π.
Função ímpar Sen(-x) = - Sen x
Cos 0º = Cos 0 = 1
Cos 90º = Cos π/2 = 0
Cos 180º = Cos π = -1
Cos 270º = Cos 3π / 2 = 0
Cos 360 = Cos 2π = 1
48
1) Calcule o valor de:
a) Cos1830º b) cos13π c) cos -7π/2
2) Determine os valores reais de m para que
exista um número real x que satisfaça a
igualdade cos x = 1- 6m.
3) Construa o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 3cos x b) f(x) = cos x/2
Dado um arco AM, de medida x radianos,
com x #
, definimos como tangente de x
a medida algébrica do segmento AT e
representamos tg x = AT.
Definimos função tangente como a função
que associa a cada número real x o número real
AT = tg x e indicamos f(x) = tg x .
Eixo das tangentes
T
tg x
x A
O
Alguns valores imediatos da função y = tg x
GRÁFICO:
0 π/2 π 3π/2 2π
Observando o gráfico podemos observar o
seguinte:
1) Determine o valor de :
a) tg 1845º b) tg 10π c) tg (-13π/3)
2) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) y = 2tg x b) y = tg 2x c) y = 2 + tg x
D = R Im = [-1, 1]
Função contínua.
Período = 2π.
Função par Cos(-x) = Cos x
tg 0º = tg 0 = 0
tg 90º = tg π/2 = ∄
tg 180º = tg π = 0
tg 270º = tg 3 π/2 = ∄
tg 360 = tg 2π = 0
D = ∈
∈
Im =
Função descontínua.
Período = .
Função ímpar Tg(-x) = -Tg x
49
Seja o ciclo trigonométrico a seguir:
K
P
x A
O E
K
1
senx O cos x E
Pelo teorema de Pitágoras temos:
(Relação fundamental)
É importante destacar que essa relação é
verdadeira mesmo quando o triângulo não existe.
Por semelhança de triângulos temos ainda:
OPE e OKA
P K
1 tg(x)
E O A O
cos(x) 1
Existem outras fórmulas, muito utilizadas em
trigonometria, como apresentamos a seguir:
a) sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
b) sen(a – b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a)
c) cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)
d) cos(a – b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
e) sen(2a) = sen (a + a) = 2.sen(a).cos(b)
f) cos(2a) = cos(a + a) = cos2(a) – sen
2(a)
g) tg(a+b) =
1) Sabendo-se que sen x = 1/3, com π/2 < x < π,
determinar o valor de:
a) cos x
b) tg x
2) Simplificando a expressão
sen (a + b) – 2(cos a)(sen b), obtemos:
a) sen (b – a) b) cos (a – b) c) sen (a – b)
d) cos (a + b) e) n.r.a
3) Se tg x = 3/4, com π < x < 3π / 2, determine o
valor de y = cos x – sen x.
4) Calcule:
a) sen 105° b) cos 135°
Resp: 1) a) -2 2/3 b) - 2/4 3) -1/5
4) a) 2/4 + 6/4 b) - 2/2
100) Sejam α um arco do 1° quadrante e β um
arco do 2° quadrante, tais que cos α = 0,8 e
sen β = 0,6. O valor de sen (α + β).
a) 0 b) 1 c) -1 d) -7 e) -2
101) (UFSM-2002) Um fio de antena está
preso no topo de um prédio de 16 metros de
altura e na cumeeira de uma casa ao lado, a 4
metros de altura. Considerando o terreno
plano (horizontal) e sabendo que a distância
entre a casa e o prédio é de 9 metros, o
comprimento do fio é, em metros,
a) 12 b) 15 c) 157 d) 20 e) 25
102) (UFSM-2002) Considerando x y, a
expressão sen (x+y). sen(x – y) é equivalente a
a) sen(x2 – y
2)
b) sen x2 + sen y
2
c) sen x sen y + cos x cos y
d) sen2 x cos
2 y e) cos
2y – cos
2 x
sen(x)
50
103) (UFSM-2000) A figura mostra um
triângulo retângulo ABC. O segmento de reta
AM é a bissetriz do ângulo Â. Se BM mede 1
m e AB mede 3 m, então a medida, em m, de
MC é
a) 1,32
b) 1,25
c) 1,18
d) 1,15
e) 1,00
104) Simplificando a expressão: y = sen (135°
+ x) + sen (135° - x), encontramos:
a) 2 cos x b) cos x c) sen x d) cos x
POLINÔMIOS
Um polinômio na variável real x é uma
expressão composta da soma de produtos de
constantes por potências inteiras positivas de x e
sempre pode ser escrito na forma:
onde n ∈ N, ai , i = 0, 1..., n são números reais
chamados coeficientes e as parcelas , i = 0,
1,..., n, termos dos polinômio. Cada termo é
denominado monômio.
a) P(x) = 5x
4 – 3x
2 + x + 5
b) P(x) = -7x + π
c) P(x) = 0
GRAU DE UM POLINÔMIO
Grau de um polinômio é o maior expoente de
x , cujo coeficiente do termo ao qual pertence é
diferente de zero. A notação para determinar o
grau de um polinômio P pode ser da seguinte
forma: gr(P) ou gr.
a) P(x) = 5x4 – 3x
2 + x + 5 gr(P) = 4
b) P(x) = 2x8 – 4x
3 - 5 gr(P) = 8
c) P(x) = 5 gr(P) = 0
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO
O valor numérico de um polinômio P(x), para
x = a, é o valor que se obtém substituindo x por a
e efetuando todas as operações indicadas pela
relação que define o polinômio.
EXEMPLO:
Dado o polinômio P(x) = x3 – 3x
2 +2x - 1,
calcule:
P(-2) = (-2)3 – 3.(-2)
2 + 2.(-2) -1 = - 8 – 12 – 4
– 1 = - 25
RAIZ DE UM POLINÔMIO
Denomina-se raiz ou zero de um polinômio o
número que torna o valor numérico do polinômio
igual a zero, ou seja:
a é raiz de P(x) se P(a) = 0
EXEMPLO:
-1 é raiz de P(x) = x3 + 2x
2 + x, pois:
P(-1) = (-1)3 + 2(-1)
2 + (-1) = -1 + 2 – 1 = 0
P(-1) = 0
POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dois polinômios são iguais ou idênticos
quando assumem valores numéricos iguais para
qualquer valor de x . A condição necessária para
que dois polinômios sejam idênticos é que os
coeficientes dos termos de mesmo grau devem
ser iguais.
EXEMPLO:
P(x) = ax5 + bx
4 + cx
3 + dx
2 + ex + f e Q(x) = 3x
4
– 7x3 + 2x + 1 serão idênticos se, e somente se, a
= 0, b = 3, c = -7, d = 0, e = 2 e f = 1.
POLINÔMIOS IDÊNTICAMENTE NULO
Denomina-se polinômio identicamente nulo
àquele que tem todos os seus coeficientes nulos.
P(x) = 0x3 + 0x
2 + 0x + 0
1) Calcule os valores de m, n e p para que os
polinômios P(x) = (m + n)x2 + (2m – n)x + 4 e
Q(x) = 3x2 + 5x + 2p + 2 e sejam idênticos.
B A
C
M
51
2) Para que P(x) = (a + b – 1)x3 + (b + c – 3)x
2 +
(c – 1)x seja um polinômio identicamente nulo,
os valores a, b e c devem ser respectivamente:
a) -1, -1, -1 b) 1, 1, 1 c) 2, 1, 1 d) -1, 2, 1
e) 2, 2, 2
REGRA DA DIVISÃO
Numa divisão, representaremos o dividendo
por D, o divisor por d, o quociente por q e o resto
da divisão por r. Então temos:
D d
(r) q
D = d . q + r
Temos as seguintes relações entre o grau dos
elementos da equação acima:
Gr(r) < Gr(d) e Gr(q) = Gr(D) – Gr(d)
A divisão de polinômios será estudada
através de três métodos:
a) método das chaves;
b) método de Descartes ou método dos
coeficientes a determinar.
EXEMPLO:
Calcule , o quociente e o resto da divisão de P(x)
6x3 – 13x
2 + x + 3 por D(x) = 2x
2 – 3x – 1.
Solução:
A) MÉTODO DAS CHAVES:
I. Os polinômios dividendo, P(x), e o
divisor, D(x), estão escritos segundo as potências
decrescentes de x. Caso não estivessem seria
necessário ordená – los.
6x3 – 13x
2 + x + 3 2x
2 – 3x – 1
II. Dividimos o primeiro termo do dividendo
(6x3) pelo primeiro termo do divisor (2x
2), obtendo
assim o primeiro termo do quociente (3x).
6x3 – 13x
2 + x + 3 2x
2 – 3x – 1
3x
III. Multiplicamos o quociente obtido (3x)
pelo divisor (2x2 – 3x – 1) e obtemos o produto
6x3 – 9x
2 – 3x, que será subtraído do dividendo.
6x3 – 13x
2 + x + 3 2x
2 – 3x – 1
-6x3 + 9x
2 + 3x 3x
- 4x2 + 4x + 3
Como o grau do resto não é menor que o grau
do divisor, devemos prosseguir a divisão
considerando o resto - 4x2 + 4x + 3 como um novo
dividendo. Procedendo como nos itens II e III,
temos:
6x3 – 13x
2 + x + 3 2x
2 – 3x – 1
-6x3 + 9x
2 + 3x 3x - 2
- 4x2 + 4x + 3
4x2 - 6x - 2
-2x + 1
IV. Como o grau do resto é menor que o grau
do divisor, a divisão está encerrada.
Temos então: quociente Q(x) = 3x – 2 e o
resto R(x) = -2x + 1
Podemos observar que:
6x3 – 13x
2 + x + 3 = (2x
2 – 3x – 1) . (3x – 2) + (-2x + 1)
D(x) = d(x) x q(x) + r
B) MÉTODO DE DESCARTES OU MÉTODO
DOS COEFICIENTES A DETERMINAR:
D(x) d(x)
6x3 – 13x
2 + x + 3 2x
2 – 3x – 1
r(x) Q(x)
Temos:
a) Gr(Q) = Gr(D) – Gr(d), ou seja, Gr(Q) = 3 –
2 = 1
O polinômio quociente é do grau 1 e portanto da
forma: Q(x) = ax + b (a # 0).
b) Gr(r) < Gr(d), ou seja, Gr(r) < 2 e portanto é
da forma: R(x) = cx + d.
Então:
6x3 – 13x
2 + x + 3 ≡ (2x
2 – 3x – 1) . (ax + b) + cx + d
6x3 – 13x
2 + x + 3 ≡ 3 + (2b – 3a)x2 + (-a – 3b + c)x –
b + d
Para que se verifique a identidade devemos ter:
2a = 6 → a = 3
2b – 3a = -13 → b - 2 -a – b c → c -2 -b d → d
Logo, Q(x) = 3x – 2 e r(x) = -2x + 1.
52
OBS: se r(x) = 0, dizemos que D(x) é divisível por d(x) ou que a divisão é exata.
1) Determinar o resto da divisão de:
a) P(x) = x3 – 3x
2 + x – 1 por x + 5.
b) P(x) = 4x3 + 2x
2 – x + 1 por 3x – 6
2) Determine o quociente e o resto da divisão de:
a) P(x) = x3 + 4x
2 – x - 3 por x – 2..
b) P(x) = 2x4 + x
3 – x - 1 por x + 1.
DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM
BINÔMIO ax + b
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo
binômio ax + b é igual ao valor numérico desse
polinômio para x = -b / a.
1) Calcule o resto da divisão de A(x) = 2x3 +
3x2 – 4 por B(x) em cada um dos casos:
a) B(x) = x + 2
b) B(x) = 2x – 3
2) Achar a para que o resto da divisão de
P(x) = x2 + ax – 3 por 2x – 1 seja 8.
3) O valor de k para que o resto da divisão do
polinômio P(x) = 2x3 - 2x + k por Q(x) = x + 3
seja igual a 1 é:
a) -47 b) 0 c) 12 d) 47 e) 49
Resp: 1) a) r = -8 b) r = 59/4 2) 43/2 3) a
EQUAÇÃO POLINOMIAL
Denomina – se equação polinomial ou
equação algébrica de grau n, na variável x ∈ C toda equação que pode ser reduzida à forma:
anxn + an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0 = 0
Nessa igualdade an, an-1,..., a2, a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes; n ∈ N* ; an # 0 e a0 é o termo independente.
Exemplo:
3x – 4 = 0 é uma equação algébrica do 1º grau.
2x2 – 5x + 8 = 0 é uma equação algébrica do 2º
grau.
RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E
RAÍZES DE POLINÔMIOS
As relações entre os coeficientes de uma
equação algébrica e as raízes da mesma equação
foram enunciadas pelo matemático Albert Girard
(Relação de Girard).
Equação do 2º grau
Consideremos o polinômio do 2º grau P(x) =
ax2 + bx + c, com a # 0, cujas raízes são α1 e α2 .
Pelo teorema da decomposição, temos:
ax2 + bx + c = 0 → ax
2 + bx + c = a(x - α1)(x - α2)
com a # 0, dividindo toda a expressão do 1º membro por a, temos:
Assim:
As raízes α1 e α2 da equação algébrica do 2º grau ax
2 + bx + c = 0 com a # 0, são tais que:
Equação do 3º grau
Consideremos agora a equação do 3º grau
ax3 + bx
2 + cx + d = 0, tendo por raízes α1, α2 e
α3.
Temos:
ax3 + bx
2 + cx + d ≡ a(x - α1)(x - α2)(x - α3)
53
Fazendo o mesmo processo que na equação do 2º
grau e igualando os coeficientes, temos:
1) Decompor o seguinte polinômio em fatores
do 1º grau:
a) P(x) = 3x3 – 6x
2 – 15x + 18 = 0 sabendo que
suas raízes são 1, -2 e 3.
2) Resolver a equação x3 – 7x + 6 = 0 sabendo
que a soma de duas raízes é 3.
Resp: S = {-3, 1, 2}
105) Se
, então:
a) A + B = 2
b) B – A = 2
c) B = 2A
d)
= 7
e) A =
B
106) (UFRN) O quociente da divisão de um
polinômio P(x) por x2 + x + 1 é igual a 2x
3 +
3x2 – 1 e o resto dessa divisão é 11x – 7. Qual é
o polinômio P(x)?
a) 2x5 + 5x
4 + 5x
3 + 2x
2 + 10x – 8
b) 2x4 – 7x
3 + 4x
2 – 10
c) 3x5 + 7x
4 + 9x
3 + 2x
2 – 4
d) 2x5 + 4x
4 + 5x
3 + 2x
2 + 10x – 6
107) (UFU – MG) Dividindo-se o polinômio
p(x) por x2 + 4x + 7, obtêm-se x2 + 1 como
quociente e x – 8 como resto. É correto
afirmar que o coeficiente do termo de grau 2
é:
a) -1 b) 4 c) 8 d) 5 e) 1
108) Sabendo que o polinômio P(x) = 8x3 –
30x2 + px + q é divisível por Q(x) = 2x2 – 7x +
3, então os valores de p e q são,
respectivamente:
a) -180 e 90 b) -191 e 87 c) 180 e -90
d) 181 e -90 e) 190 e -80
109) (UFPE) Considere o polinômio
P(x) = 3x3 – mx
2 + nx + 1, em que m e n são
constantes reais. Sabe-se que P(x) é divisível
por g(x) = x – 2 e que deixa resto igual a
( - 12 ) quando dividido por h(x) = x + 2.
Nestas condições, tem-se:
a) m = -9 e n =
b) m =
e n = - 9
c) m = 9 e n = 5 d) m =
e n =
e) m = n = 6
110) (ITA – SP) A divisão de um polinômio
P(x) por x2 – x resulta no quociente 6x
2 + 5x +
3 e resto – 7x. Qual o resto da divisão de P(x)
por 2x + 1?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
111) (PEIES-2004) A soma dos inversos das
raízesodaoequação 2x4 – 4x
3 + 6x
2 + 4x – 1 = 0
é:
a) –12 b) 4 c) 13/3 d) 17/4 e) 5
112) Um polinômio P(x) dividido por x - 2 dá
resto 13 e dividido por x + 2 dá resto 5. Qual é
o resto da divisão de P(x) por (x – 2)(x + 2)?
a) 2x – 9 b) 2x + 9 c) 9x + 2 d) x – 9 e) 4
113) oAsoraízesodaoequação
x3 – 6x
2 + kx + 10 = 0 são reais e estão em
Progressão Aritmética. O valor de k é:
a) -3 b) -1 c) 1 d) 3 e) 6
114) O número 2 é uma das raízes do
polinômio P(x) = x3 + 4x - 16. As outras duas
raízes:
a) são iguais b) são opostas c) são recíprocas
d) são inteiras e) não são reais
54
115) (EsSA) Se o resto da divisão do
polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x –
2 é igual a 44, então n é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
116) (Uniube-MG) O grau do polinômio
q(x) = (x – 1)(x – 2)2(x – 3)
3 ... (x – 100)
100 é
igual a:
a) 100 b) 100! c) 5050 d) 10100
MATRIZES
Dados dois números, m e n, naturais e não
nulos, chama-se matriz de m por n (indica-se m
x n) toda tabela M formada por números reais,
complexos, polinômios, funções, etc.,
distribuídos em m linhas e n colunas.
EXEMPLO:
A =
é uma matriz 3 X 2
B =
é uma matriz 2 X 2
Em uma matriz qualquer, cada elemento é
indicado por aij, onde “i” representa a linha onde
está o elemento e “j” representa a coluna do
mesmo elemento.
A =
a11 = 1 a32 = 22...
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA
De uma forma geral, uma matriz de m linhas
e n colunas, isto é, do tipo mxn, é representada
da seguinte maneira:
A = (aij) m x n
1) Indique o tipo de Cada matriz.
a) A =
b) B =
c) C =
d) D =
2) Construir as matrizes:
a) A = (aij)2x4, sabendo que aij = 2i + j.
b) B = (bij)3x2, tal que bij = i2 – 3j
2
c) C = (cij)3x3, tal que cij =
j i se 2,
j i se j, 2i
d) D = (dij)2x3, tal que dij =
j i se 1,-
j i se 2j, - 3i
j i se 2,
TIPOS DE MATRIZES
Matriz quadrada: É toda matriz em que o
número de linhas é igual ao número de colunas.
Matriz linha: Todos os elementos
fazem parte de uma única linha.
Matriz coluna: Todos os elementos fazem
parte de uma única coluna.
Matriz oposta: Uma matriz oposta de A é
aquela que se obtém a partir de A, trocando o
sinal de cada um de seus elementos.
Exemplo:
A =
- A =
Matriz transposta: Dada a matriz A do tipo
m x n, determinamos matriz transposta de A à
55
matriz do tipo n x m, cujas colunas coincidem
com as linhas de A e consequentemente as
linhas, com as colunas de a.. Indica-se por At.
Exemplo:
A =
At =
2 x 3 3 x 2
Matriz nula: Todos os elementos são nulos.
Matriz diagonal: É toda matriz quadrada
em que os elementos que não pertencem à
diagonal principal são nulos.
Matriz identidade: É toda matriz diagonal
em que os elementos da diagonal principal são
iguais a 1. Indica-se por In.
Exemplo:
I2 =
I3 =
1) Calcule x e y sabendo que A é uma
matriz diagonal.
A =
2y 3x 1 x
3 -y y-2x
2) Na matriz I3 =
4 - d03b - 2a
010
02 - cb-a
,
calcule a + b + c + d.
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes do mesmo tipo são iguais se, e
somente se, os elementos correspondentes de
ambas forem iguais.
Determine a, b, c e d, sabendo que:
61 b
c-4
d3 - 2b
52 - a
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição e subtração de matrizes
Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem,
a soma ou subtração entre elas, será uma matriz
de mesma ordem das anteriores, cujos elementos
são determinados somando ou subtraindo os
elementos correspondentes das matrizes dadas.
Multiplicação de um número real por uma
matriz
A multiplicação de um número real k por
uma matriz A é igual a matriz k x A, que se
obtém multiplicando por k todos os elementos de
A.
Multiplicação de matrizes
Para podermos multiplicar duas matrizes, o
número de colunas da primeira tem que ser igual
ao número de linhas da segunda.
Amxn . Bnxp = Cmxp
Para efetuarmos o produto de duas matrizes,
multiplicam-se os elementos da 1ª linha da
matriz, pelos elementos da primeira coluna da
Segunda matriz, somando-se esses fatores,
obtemos o primeiro elemento da matriz produto
e assim sucessivamente.
Matriz inversa
Seja uma matriz a. A sua inversa, A-1
, é outra
matriz quadrada de mesma ordem, tal que:
A . A-1
= A-1
. A = In
Exemplo:
Determinar a inversa das matrizes:
A =
43
21
B =
9-5-
147
56
3 1
0 1
2 -1
1) Efetue as operações das matrizes:
a)
+
b)
-
2) Dadas as matrizes A = (aij)2x2, com
aij = 2i + j, e B = (bij)2x2, com bij =
, calcule A – B.
3) Calcule o produto do número 2 pela matriz A
=
.
4) Encontre a matriz X = 2A – 4B, sabendo que
A =
e B =
.
5) Calcule o produto das matrizes:
a)
b)
6) Sabendo que
e
são
matrizes inversas, calcule x e y.
7) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2,
definida por aij = i
3j - 2i, determine (A
-1)
t.
DETERMINANTES
A cada matriz quadrada A pode-se associar
um único número real, segundo uma determinada
lei. A esse número denominamos determinante
da matriz A.
Determinante da matriz de 1º ordem
O determinante de uma matriz de 1ª ordem é
o próprio.
A = det(A) = 3
Determinante da matriz de 2º ordem
O determinante de uma matriz de
ordem 2 é a diferença entre o produto
dos elementos da diagonal principal,
pelo produto dos elementos da diagonal
secundária. diagonal secundária
B =
det(B) = 2.(-4) – 3.(-1) = -5
diagonal principal
det (B) = -5
Determinante da matriz de 3º ordem
O determinante da matriz quadrada de 3ª
ordem é dado pela Regra de Sarrus, ou seja,
repete-se a primeira e a segunda coluna, ao lado
da terceira. O determinante é a soma dos
produtos das diagonais principais menos a soma
dos produtos das diagonais secundárias. Dada a
matriz A:
A =
o det(A) será:
3.1.3 + 1.4.2 + (-1).0.(-1) – (2.1.(-1) + (-1).4.3 +
3.0.1) = 9+8 – (- 2 – 12) = 17 + 14 = 31
det (A) = 31
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
O determinante de uma matriz quadrada é igual a
zero quando:
a) Tem uma fila formada por zeros.
b) Tem duas filas paralelas iguais.
c) Tem duas filas paralelas proporcionais.
II) O determinante de uma matriz quadrada é
igual ao determinante da sua transposta, ou seja,
det A = det At.
III) O determinante de um produto de 2 matrizes
quadradas de mesma ordem é igual ao produto
57
dos determinantes de cada uma das matrizes, ou
seja, det(A x B) = det A . det B.
IV) O determinante da matriz inversa de uma
matriz quadrada é igual ao inverso do
determinante desta matriz, ou seja,
1 1 A
Adet
det
.
1) Calcule os determinantes das matrizes:
a)
31-2-
410
1-13
b)
440
1-31-
012-
2) O determinante de uma matriz A é 2.
Sua inversa é A-1
=
a2-
1 21
. Calcule a.
3) Dada a matriz A =
34
52, calcule
det A + det A-1
.
117) Dadas A = , B =
e C = , o
valor de X para que X + A – (B + C) = 0 é:
a) b)
c)
d)
118)(PEIES-99) Considere as matrizes
A = (aij)3x2 = (- 1)i+j
e B = (bjk)2x3 = j – k .
O elemento c23 da matriz-produto C = A.B é:
a)
b)
c)
d)
e) 1
119) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, tais
que A x B = C -1
, B = 2A e det C = 8. Então o
valor do é:
a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16
120) Os valores reais de x que satisfazem a
equação
2 4 8
1 1 1 0
1 0 2
x x x
=
-
são números:
a) pares b) irracionais c) inteiros consecutivos
d) inteiros negativos e) racionais não inteiros
121) O maior valor real de x tal que
2
0 0 2 0
0 00
1 8
0 8 1 x
x x
x log x= é:
a) -8 b) 0 c) 1 d) 8 e) 16
122) (PUC – SP) Se A e B são duas matrizes
quadradas de ordem n e det(A) = a, det(B) =
b, a 0 e b entã det A B -1) é igual a:
a)
b)
c)
d) 4 . a . b e)
123) (UEL – PR) A soma de todos os
elementos da inversa da matriz
é
igual a:
a) – 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2
124) (MACK – SP) A matriz A =
é
igual à sua transposta. Então o det (k2 . A) é
igual a:
a) 64 b) 32 c) 16 d) 8 e) 4
125) (UFJF – MG) Considere A =
.
Então, podemos concluir que:
a) A100
= - I, onde I é a matriz identidade 2x2.
b) A100
= A.
c) A101
= A.
d) A101
= 0, onde 0 é a matriz nula 2x2.
126) (Fatec – SP) Determine x, de modo que
> 0 .
a) x < - 3 ou x > 2
b) – 3 < x < 2
c) não existe x ∈ R
d) para todo x ∈ R
e) n.d.a
58
SISTEMAS LINEARES
Sendo A , B e C números diferentes
de zero, a classificação do sistema
ax by c
Ax By C
é:
MACETE NOMENCLATURA SIGNIFI
CA
a b
A B
POSSÍVEL E
DETERMINADO
(SPD)
Tem
única
solução
a b c
A B C
POSSÍVEL E
INDETERMINADO
(SPI)
Tem
infinitas
soluções
a b c
A B C
IMPOSSÍVEL
(SI)
Não
tem
solução
1) O sistema
terá única solução:
a) somente para m = -2
b) somente para m = 4
c) para qualquer m real
d) somente para m = 0
e) para qualquer m 2
2) O sistema
é indeterminado se:
a) m = -2 e n = 4
b) m = 2 e n = 4
c) m= - 2 e n = - 4
d) m 2 e n = 4
e) m = 2 e n 4
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA
LINEAR QUALQUER ORDEM
Um sistema linear é chamado
escalonado quando, de cima para baixo, os
termos nulos precedendo o primeiro termo não
nulo de uma equação, aumentam de equação para
equação com todos os termos nulos.
Classificação de um sistema linear escalonado
1º PASSO: Se surgir uma equação do tipo
0 0 0 ...x y z b , com 0b concluí-se
que o sistema é IMPOSSÍVEL.
2º PASSO: Se surgir uma equação do tipo
0 0 0 ... 0x y z , eliminamos esta
equação e continuamos a classificação.
3º PASSO: Se não ocorrer nenhuma equação
do 1º PASSO e após a eventual eliminação de
equações do 2º PASSO, o sistema é classificado
de acordo com o quadro abaixo:
SPDn v
SPIn v
onde:
n é o número de equações do sistema
escalonado após a eventual eliminação de linha
nula.
v é o número de variáveis do sistema.
Exemplos:
1)
2 3
2 5 7
5 3 8
x y
x y
x y
2)
2
2 1
3 6 9
x y
x y
x y
1) O sistema linear
1
2 3
3 2 4
x y
x y
x y
é:
a) possível e determinado
b) possível e indeterminado
c) escalonado
d) impossível
e) n.d.a
59
2) O sistema linear
2 3
2 4 6
3 6 9
x y
x y
x y
é:
a) possível e determinado
b) possível e indeterminado
c) impossível
d) escalonado
e) n.d.a
3) O sistema
2 3
2 1
2 4 4
x y
x y
x y
é:
a) possível e determinado
b) possível e indeterminado
c) impossível
d) escalonado
e) n.d.a
4) O sistema linear
1
1
2 2
2 1
x y z t
x y z t
y z t
x z t
:
a) não admite solução
b) admite única solução
c) admite infinitas soluções
d) está escalonado
e) n.d.a
5) O sistema linear
0
2 2 0
3 3 0
5 4 0
x y z t
x z t
x y z
x y z t
:
a) possível e determinado
b) possível e indeterminado
c) indeterminado
d) não escalonado
e) n.d.a
1) Resolver os sistemas:
a)
8
4
2 2
x y z
y z
z
b)
1
2 3
3 2 4
x y
x y
x y
c)
2 3 0
2 5 7 1
3 6 7
x y z
x y z
x y z
2) O valor de z na solução do sistema
2 2
3 4 7
2 1
x y z
x y z
x y z
é:
3) Dado o sistema linear
2 3 13
2 0
3 2 11
x y z
x y z
x y z
A solução do sistema
referido é uma terna ( , , )x y z , então o valor da
expressão 3 4 5x y z+ - é:
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Discutir, segundo um ou mais parâmetros um
sistema linear, significa determinar os valores
desses parâmetros para os quais o sistema é
POSSÍVEL e DETERMINADO (SPD),
POSSÍVEL e INDETERMINADO (SPI) ou
IMPOSSÍVEL (SI).
Passos para discussão
1º) Calcular o determinante dos coeficientes das
incógnitas do sistema ( det ).
2º) Fazer 0det para verificar quando o
sistema é SPD.
60
3º) Fazer 0det para verificar quando o
sistema é SPI ou SI.
4º) Substituir o valor encontrado no passo
anterior no sistema.
5º) Escalonar e classificar o sistema.
1) Para que o sistema
4
3
3 5
x y z
x y z
x y kz
seja
possível e determinado deve-se ter:
a) 0k = b) k 0 c) 0k > d) k 1
e) 1k =
2) O sistema linear
3 1
4 0
2 4 0
x y mz
x y z
x y z
é
determinado se, e somente se:
a) 3/11m = - b) 3/11m = c) 22/3m =
d) m 22 / 3 e) m
3) Considere o sistema dado por
1
2 3
2 2 2 2
mx y z
x y z
x y z
. Sobre o sistema acima
podemos afirmar:
(I) se m 1, o sistema é possível e
determinado.
(II) se 1m = , o sistema é impossível.
(III) se 1m = , o sistema é possível e
indeterminado.
É(são) verdadeira(s):
a) II e III b) I e III c) I d) I, II, III e) II
127) O sistema
admite
infinitas soluções se, e somente se, o valor de
m - n for:
a) 9 b) 6 c) 3 d) 1 e) 0
128) O sistema
é
indeterminado se:
a) m = - 2 e n = 4
b) m = 2 e n = 4
c) m = - 2 e n = - 4
d) m = - 2 e n = 4
e) m = 2 e n = - 4
129) O valor de x na solução do sistema linear
0 0
2 3 0 3 3
0 2 4
0 2 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
130) Para erradicar a fome de
aproximadamente 100 pessoas de uma região
gaúcha o governo planejou a distribuição
mensal de arroz, feijão e carne cujas
quantidades de calorias, preço e gordura por
tonelada estão descritas na tabela abaixo:
Kcal Preço Gordura
Arroz 200000 1300 reais 3 kg
Feijão 50000 1200 reais 5 kg
Carne 60000 1000 reais 30 kg
Dispondo-se de uma verba mensal de 4000
reais e sabendo-se que todas as pessoas
daquela região devem ingerir 22 kg de
gordura e 318000 Kcal ao mês, qual a
quantidade (em toneladas) de arroz, feijão e
carne, respectivamente, que o governo deve
enviar mensalmente à população acima
mencionada:
a) 1; 2; 0,5 b) 1; 2; 1 c) 2; 1; 0,3 d) 1; 2; 0,3
61
131) O sistema linear
523
223
22
1
zyx
zyx
zyx
zyx
:
a) é impossível e determinado.
b) é impossível e indeterminado.
c) é impossível.
d) tem a soma de suas soluções igual a 2.
e) tem o produto de suas soluções igual a 3.
132) (UFRGS-2005) Em cada prova de uma
competição esportiva, foram distribuídas uma
medalha de ouro (3 pontos), uma de prata (2
pontos) e uma de bronze (1 ponto). Foram
realizadas dez provas, e três equipes
conquistaram todas as medalhas da
competição, sendo vencedora a equipe que
obteve o maior número de pontos. Observe a
tabela abaixo, que apresenta a distribuição
das medalhas.
OURO PRATA BRONZE
EQUIPE I x z x
EQUIPE II 2y x y
EQUIPE III x y z
Considerando-se que a equipe III obteve 18
pontos, a equipe vencedora obteve:
a) 19 pontos b) 20 pontos c) 21 pontos
d) 22 pontos e) 23 pontos
133) (PEIES-2004) Considerando 100 g de
três alimentos, verificou-se a existência de
quatro vitaminas, cujas quantias por 100 g são
dadas pela tabela:
Se uma pessoa necessita, por refeição, 11
unidades da vitamina A, 11 da vitamina B, 20
da vitamina C e 11 da vitamina E, a
quantidade mínima de alimento que precisa
ingerir é:
a) 350 g b) 380 g c) 400 g d) 450 g e) 500 g
134) (Unifor – CE) Hoje, a idade de um pai
ultrapassa em 17 anos a soma das idades de
seus dois filhos. Sabe-se que há 3 anos a idade
do pai era 7 vezes a idade do filho mais novo e,
daqui a 12 anos, o pai terá o dobro da idade
do mais velho. A idade do pai, hoje, é:
a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38
135) (FEI – SP) Qual par ordenado é solução
da equação 2x – y = 5?
a) (1, 2) b) (3, 0) c) (2, - 1) d) (- 2, - 1)
e) (5, 1)
GEOMETRIA ANALÍTICA
SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS
CARTESIANO ORTOGONAIS
EIXO HORIZONTAL: eixo das abscissas
ou eixo dos x.
EIXO VERTICAL: eixo das ordenadas ou
eixo dos y.
b
a
Sempre que um ponto pertence ao eixo das
ordenadas, temos abscissa nula.
Sempre que um ponto pertence ao eixo das
abscissas, temos ordenada nula.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Alimento I Alimento II Alimento III
Vitamina A 1 2 3
Vitamina B 3 3 1
Vitamina C 4 5 3
Vitamina E 5 1 2
x2 – x1
y2
y1
x1 x2
D y2 – y1
62
Para determinar a distância entre os pontos
(x1, y1) e (x2, y2), vamos utilizar o teorema de
Pitágoras.
1. Calcule a distância entre os pontos A(-2, 5) e
B(4, -3).
2. A distância do ponto (6, 8) à origem do
sistema cartesiano é:
3. Calcular o perímetro do triângulo cujos
vértices são A(-3, 2), b(0, 3), C(2, 5).
4. Se a distância entre A(x, 1) e b(7, 5) é igual a
5 unidades, calcule a abscissa de x.
COORDENADAS DO PONTO MÉDIO
A abscissa do ponto médio é a média
aritmética das abscissas das extremidades do
segmento; a ordenada do ponto médio é a média
aritmética das ordenadas das extremidades do
segmento.
Então:
1. Ache as coordenadas de P,k ponto
médio0 do segmento AB, nos casos:
a) A = (1, 3) e B (14, -6)
b) A = (-4, 0) e B = (
, 1)
2. Os vértices de um triângulo são A(2,
1), B(8, 5) e C(1, 7). Calcular o
comprimento da mediana que parte do
vértice C.
3. Em um triângulo ABC, temos A = (4,
1), M = (7, 3) e N = (5, 5), onde M é o
ponto médio do lado AB, N o ponto
médio do lado AC. Ache as coordenadas
dos vértices B e C .
ESTUDO DA EQUAÇÃO DA
RETA
Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos distintos M(x1, y1), N(x2, y2) e
p(x3, y3) estão alinhados se e somente se o
determinante D =
for nulo.
Equação geral da reta
Dado um ponto P(x, y), esse ponto pertence a
reta GH se o determinante de
D =
for nulo.
Desenvolvendo o determinante, encontramos:
x.y1+x2.y+x1.y2-x2.y1-x.y2-x1.y = 0
(y1 – y2).x+(x2 – x1).y + (x1.y2 – x2.y1) = 0
Fazendo
, obtemos uma
equação do tipo:
Essa equação é chamada equação geral da
reta r.
y2
y
y1
x1 x x2
63
1. Verificar se os pontos A(-17, 0), B(3, -5) e
C(-9, -2) são colineares.
2. Qual deve ser o valor de x, para que os
pontos A(x, 5), B(2, 6) e C(2, 3) estejam
alinhados?
3. Determine a equação geral da reta que passa
pelos pontos A(2, 1) e B(-1, 3)
4. A equação geral da reta representada pelo
gráfico abaixo é:
Equação reduzida da reta
Vimos que a equação geral da reta r passa
pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é dada por: ax
+ by + c = 0. No entanto, existem outras formas
de a equação da reta se apresentar.
Cada uma dessas formas apresentam
características próprias que serão úteis na
resolução de problemas, dentre elas está a
equação reduzida da reta.
y = ax + b
OBSERVAÇÃO:
onde: a é o coeficiente angular ou declive da reta
e b é o coeficiente linear ou termo independente.
1ª) O declive pode ser calculado por
a =
onde (x1, y1) e (x2, y2) são pontos da
reta.
2ª) A partir da inclinação, podemos calcular
o declive da seguinte forma: a = tg α.
1) Calcule o coeficiente angular e linear da reta
que passa pelos pontos A(3, 5) e B(-1, 2).
2) Obtenha o coeficiente angular das seguintes
retas:
a)
b)
c)
Equação da reta dado um ponto e seu coeficiente
angular.
Sendo P(x1, y1) um ponto da reta e seu
coeficiente angular a. A equação da reta será
calculada por:
y – y1 = a (x – x1)
2 1 x
y
y
α
α
x 2x
1y
2y
1x
60º
x
y
135º
x
y
x
y
3
64
1) Determine a equação da reta que passa pelo
ponto (1, 2) e tem coeficiente angular igual a 3.
2) A equação reduzida da reta r, representada
abaixo é:
3) Qual o valor de m para que a reta
mx + 3y – 2 = 0 passe pelo ponto (1, 2)?
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Consideremos as retas t1: y = m1x + n1 e
t2 : y = m2x + n2 de inclinações α1 e α2,
respectivamente.
Podem ocorrer os seguintes casos:
1º CASO t1 // t2
Se t1 e t2 são retas paralelas, então
tg α1 t α2.
Assim: m1 = m2
2º CASO t1 t2
Se t1 e t2 são perpendiculares, então seus
coeficientes angulares são inversos e de sinais
contrários.
Assim:
m1 . m2 = -1 ou m1 =
1) Determine K para que as retas r: 3x + y – 3 =
0 e s: kx + 2y + 5 = 0 sejam paralelas.
2) Para que valor de m as retas r: 2x + my – 3 =
0 e s: 3x + 5y – 1 = 0 e são perpendiculares?
3) (UFSM) Seja 3,2P o ponto de intersecção
das diagonais de um losango e y = 5x - 7, a
equação da reta que contém uma das diagonais
do losango. Então, a equação da reta que contém
a outra diagonal é:
a) 5y = -x + 17 b) 5y = x + 13 c) 3y = x + 13
d) 3y = -x + 17 e) y = x + 9
4) Determinar a equação geral da reta r que
passa por A(-2, 2) e é perpendicular a reta
s: x + 3y – 5 = 0.
ESTUDO DA EQUAÇÃO DA
CIRCUNFERÊNCIA
Uma circunferência é o conjunto de todos os
pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo.
Dada uma circunferência de centro C(a, b) e
raio R a sua equação reduzida será:
α1 α2
45º
x
y
-1
-2
r
y
x
0
α1
α2
t2
t1
.
y
x
x
y
a
b C
• R
P •
65
1) Dê a equação da circunferência de raio R e
centro C, nos casos:
a) R = 5 e C(0, 0)
b) R = 4 e C(5, 7)
c) R = 3 e C(-3, 6)
136) (FURRN) O ponto P, do eixo Ou,
eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é:
a) (0, 9/12) b) (0, 11/2) c) (0, 4) d) (0, 3)
e) (0, 0)
137) (Cesgranrio – RJ) A distância entre os
pontos M(4, - 5) E n( - 1, 7) do plano xOy vale:
a) 14 b) 12 c) 8 d) 13 e) 9
138) (FEI – SP) Os pontos X, Y e Z possuem
as seguintes coordenadas no plano cartesiano:
(0, 0), (m, 8), (m, n+3). Se Z é o ponto médio
do segmento XY, então:
a) m = 2 b) m = 1 c) n = 3 d) m = 5
e) n = 2
139) (Cesgranrio – RJ) A equação da reta
mostrada na figura abaixo é:
a) 3x + 4y – 12 = 0
b) 3x – 4y + 12 = 0
c) 4x + 3y + 12 = 0
d) 4x – 3y – 12 = 0
e) 4x – 3y + 12 = 0
140) Dois barcos navegam durante um
nevoeiro, segundo as direções das retas r e s,
num sistema de coordenadas cartesianas.
Sendo r: 2x + 2y – 6 = 0 e s:
= 2, pode-se
afirmar que:
a) O ponto possível de colisão é
b) O ponto possível de colisão é
.
c) O ponto possível de colisão é (0, 3).
d) O ponto possível de colisão é (3, 0).
e) Não poderá haver colisão.
141) (UFSM-2005) A equipe de arquitetos e
decoradores que fez o projeto do shopping
deseja circunscrever uma circunferência ao
quadrado maior Q1, que possui lado de 10 m.
Se as coordenadas do centro da circunferência
forem dadas pelo ponto (10, 8) e se forem
usadas à parede da porta de entrada ( x ) e a
lateral esquerda ( y ) como eixos coordenados
referenciais, a equação da circunferência será:
a) 2 2 20 16 139 0x y x y+ - - + =
b) 2 2 20 16 64 0x y x y+ - - + =
c) 2 2 20 16 114 0x y x y+ - - + =
d) 2 2 20 16 36 0x y x y+ - - - =
e) 2 2 16 20 139 0x y x y+ - - + =
142) (PEIES-2003) A reta r passa pelos P(2,
0) e A(0, 1). A reta s passa pelo ponto B(3, 0),
é perpendicular à reta r e intercepta-a no
ponto C. A área do triângulo ABC é, em
unidades de área:
a) 5 b) 2,5 c) 2 5 d) 5 e) 5 / 2
143) (PEIES-2005) Considerando o gráfico, é
INCORRETO afirmar:
a) A equação da reta s é 3 3 0y x+ - = .
b) A intersecção da reta r com o eixo x é o
ponto (-2, 0).
c) As retas r e s se interceptam no ponto de
abscissa 1/ 4x = .
d) A área da região do plano delimitada pelas
retas r e s e pelo eixo x é igual a 27/4.
-4 0
3
x
y y
45º
2
3
x
s r
1
66
144) (PEIES-2005) Considere uma
circunferência de raio 1 centrada na origem.
Através do ponto P(1, -2), são traçadas duas
retas tangentes a essa circunferência, sendo a
equação de uma delas dada por
4 3 5 0y x+ + = . O comprimento da corda
formada pelos pontos de tangência é:
a) 1 b) 2 c) 4 2
5 d)
4 5
5 e) 5
145) (PEIES-2005) Sejam A(1, 2) e B(5, -8). A
equação da reta que passa pelo ponto médio
do segmento AB e é perpendicular à reta de
equação 3 5 10 0x y+ + = é:
a) 5 3 24 0x y- - =
b) 5 3 6 0y x- - =
c) 3 5 24 0y x- - =
d) 5 3 6 0x y+ - =
e) 5 3 6 0x y- - =
146) A reta 4y x= - + determina, na
circunferência 2 2 6 4 12 0x y x y+ - - + = ,
uma corda de comprimento:
a) 2
2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 2 2
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Dado um número inteiro n > 1 define-se
n fatorial como sendo o produto de todos os
números naturais de n até 1. Notação: n! (Lê-se:
n fatorial).
n! = n x (n – 1) x (n – 2)...x 3 x 2 x 1
Para 0n = ou 1n = , o fatorial de n é
igual a 1.
1) Calcule o fatorial de:
a) 5! = b) 4! = c) 3! =
2) Desenvolver os fatoriais:
a) ( 3)!n+ = b) ( 2)!n+ =
c) ( 2)!n- =
3) Simplificar as expressões:
a) 10!
8!= b)
4!
5!= c)
( 3)!
( 1)!
n
n
+=
+
d) !
( 2)!
n
n=
-
4) Simplificando a expressão ( 1)! !
( 1)!
n n
n
+ +
+ é
igual a:
5) O conjunto solução da equação
! ( 1)!10
( 1)!
n n
n n
+ +=
- é:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
A análise Combinatória é a área da
matemática que trata dos problemas de
contagem.
Vamos aprender a determinar o número de
possibilidades de ocorrência de um evento, sem a
necessidade de descrever todas as possibilidades.
Considere a seguinte situação:
André tem 3 tipos de calças e 4 camisetas de
cores diferentes. De quantas maneiras diferentes
ele poderá se vestir usando uma calça e uma
camiseta?
Como podemos perceber há três
possibilidades de escolher uma calça e para cada
calça ele tem quatro possibilidades de escolher
uma camiseta.
Então, o número total de maneira diferentes
de André se vestir é 3 . 4 = 12.
O número de possibilidades de o
acontecimento se realizar é dado por:
p = p1 . p2 . p3 . p4 ... pn.
67
1) Uma moeda é lançada para o alto. Ao cair ela
é mostrada na face superior "cara" ou "coroa".
Desejamos saber quantos serão os resultados
possíveis ao lançarmos uma moeda três vezes.
2) Para fazer uma viagem Santa Maria – Porto
Alegre pode-se usar como transporte o ônibus, o
carro ou o avião. De quantos modos pode-se
escolher os transportes não se usando na volta o
mesmo usado na ida?
3) De quantas maneiras pode-se premiar os três
melhores alunos de uma classe de 20 alunos?
4) Quantos números naturais de 4 algarismos
distintos pode-se formar?
ORDEM
Dois agrupamentos com o mesmo número de
elementos diferem entre si pela ordem quando
possuem os mesmos elementos colocados numa
ordem diferente.
NATUREZA
Dois agrupamentos com o mesmo número de
elementos diferem entre si pela natureza quando
possuem pelo menos um elemento diferente.
ARRANJOS SIMPLES
São agrupamentos sem repetição de
elementos que diferem entre si pela ordem ou
pela natureza dos seus elementos.
1) Calcule:
a) 3
6A = b) 4
8A = c) 2
9A =
2) O número inteiro positivo que verifica a
equação é:
3) Um anagrama é um código formado pela
transposição ( troca ) de todas as letras de uma
palavra, podendo ou não ter significado na língua
de origem. Por exemplo, BOCA, ABOC são
anagramas da palavra CABO.
Considere, agora, a palavra LIVRO.
a) Quantos anagramas são formados com as
letras dessa palavra?
b) Quantos deles começam por L e terminam
por O?
c) Quantos contém as letras RO juntas e nessa
ordem?
4) Quantos números de 5 algarismos distintos
formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9?
Resp: 2) 3 3) a) 120 b) 6 c) 24 4) 15 120
PERMUTAÇÃO SIMPLES
São agrupamentos sem repetição de
elementos que diferem entre si apenas pela
ordem dos seus elementos.
P = n!
1) Calcule:
a) 4P =
b) 6P =
c) 2P =
2) Com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números
de 3 algarismos distintos pode-se formar?
3) O valor de n na equação 1P 4 !n n+ =
4) Determine o número de anagramas da palavra
RETÂNGULO que começam por RE?
5) Quantos números ímpares de 5 algarismos
distintos podemos representar com os algarismos
2, 4, 5, 6 e 7.
68
Resp: 2) 6 3) 3 4) 5040 5) 48
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
De um modo geral, dados n elementos tais
que 1n deles são iguais entre si, 2n deles são
iguais entre si, e assim sucessivamente, o número
de permutações que podemos obter é dado por:
1) Calcule:
a) ( )3, 2
5P =
b) ( )5, 3
8P =
2) O número de anagramas da palavra ARARA
é?
3) Quantos números de 6 algarismos pode-se
formar utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 4?
4) Quantos são os anagramas da palavra
URUGUAI que começam por uma vogal?
Resp: 2) 10 3) 60 4) 600
COMBINAÇÕES SIMPLES
São agrupamentos sem repetição de
elementos que diferem entre si apenas pela
natureza dos seus elementos.
,
,
A !C
! !( )!
n p
n p
n
p p n p= =
-
1) Calcule:
a) 3
8C =
b) 4
9C =
2) Quantos subconjuntos de dois elementos
possuem o conjunto {a, b, c, d, e}?
3) Sobre uma reta r marcam-se 7 pontos
distintos e sobre uma reta s paralela a r
marcam-se 5 pontos distintos. Quantos triângulos
existem com os vértices em 3 desses 12 pontos?
4) De quantos modos pode-se compor uma
comissão de 6 membros, incluindo pelo menos
duas alunas, de um grupo de 7 alunos e 4 alunas?
5) O treinador de um clube de futebol tem no
seu plantel 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meio
campistas e 4 atacantes. De quantas maneiras
poderá escalar um time com 1 goleiro, 4
zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes?
Resp: 2) 10 3) 175 4) 371 5) 6300
147) (UFSM-1999) Numa Câmara de
Vereadores, trabalham 6 vereadores do
partido A, 5 vereadores do partido B e 4
vereadores do partido C. O número de
comissões de 7 vereadores que podem ser
formadas, devendo cada comissão ser
constituída de 3 vereadores do partido A, 2
vereadores do partido B e 2 vereadores do
partido C, é igual a:
a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800
148) (UFSM-2001) De quantas maneiras
distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis
idênticas, uma vermelha e uma branca?
a) 12 b) 30 c) 42 d) 240 e) 5040
149) (UFSM-1995) Uma enfermidade que tem
sete sintomas conhecidos é detectada pelo
médico, se o paciente apresentar quatro ou
mais desses sintomas. Para que seja feito um
diagnóstico seguro, o número de combinações
possíveis de sintomas diferentes é:
69
a) 1 b) 7 c) 21 d) 35 e) 64
150) (UFSM-1997) Dados os pontos A, B, C,
D, E e F como mostra a figura, o número de
polígonos convexos que se pode construir,
ligando-se três a três, quatro a quatro, cinco a
cinco e seis a seis, é:
a) 42
b) 870
c) 1920
d) 62
e) 1728000
151) (PEIES-2003) O Conselho do
Departamento de Matemática da UFSM é
composto de 3 professores e 2 alunos, sendo
renovado por eleição, a cada 2 anos. Para a
próxima eleição, candidataram-se 7
professores e 5 alunos. O número de maneiras
diferentes com que esse conselho pode ser
eleito é
a) 350 b) 410 c) 420 d) 792 e) 798
152) (UFSM-1994) Colocando em ordem
crescente todos os números obtidos pela
permutação dos algarismos 2, 4, 6 e 8, o
número 6842 ocupa nessa ordem, o:
a) 22º lugar b) 20º lugar c) 18º lugar
d) 16º lugar e) 10º lugar
153) Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças.
Quantos grupos podemos formar, tendo 2
rapazes e 3 moças?
a) 200 b) 30 c) 100 d) 150 e) 230
154) O número de anagramas da palavra
FAFRA que começam por F e terminam por
A é:
a) 6 b) 30 c) 120 d) 12 e) 60
155) (FES – MG) Num determinado setor de
um hospital trabalham 4 médicos e 10
enfermeiras. Quantas equipes distintas,
constituídas cada uma de 1 médico e 4
enfermeiras, podem ser formadas nesse setor?
a) 214 b) 840 c) 5044 d) 20160 e) nda
156) (UGF – RJ) Com os algarismos 0, 1, 2, 3,
4 e 5, quantos são os múltiplos de 5 compostos
de 3 algarismos que podemos formar?
a) 32 b) 36 c) 10 d) 60 e) 72
PROBABILIDADE
ESPAÇO AMOSTRAL
Um experimento que pode apresentar
resultados diferentes, quando repetido nas
mesmas condições, é chamado de experimento
aleatório.
Chamamos espaço amostral ao conjunto de
todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.
Exemplo:
Lançando uma moeda ao acaso, a leitura da
face superior pode apresentar o resultado “cara”
(K) ou “coroa” (C). Trata-se de um experimento
aleatório, tendo cada resultado a mesma chance
de ocorrer. Indicando o espaço amostral por Sm e
por n(Sm) o número de seus elementos, temos:
Sm = { K, C} e n(Sm) = 2
OBS: O número de elementos de um
espaço amostral pode, muitas vezes, ser
calculado utilizando-se conceitos da análise
combinatória.
EVENTO
Chama-se evento a qualquer subconjunto de
um espaço amostral.
Exemplo: Dado o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9}, um exemplo de evento é a ocorrência de
um número par P = {2, 4, 6, 8}. Esse evento
possui 4 elementos. Indicamos assim: n(P) = 4.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
OCORRER
Em um experimento aleatório, onde S é um
espaço equiprovável, a probabilidade de ocorrer
um evento qualquer E é o número p(E), dado
por:
p(E) =
B
A
C
D
E
F
70
1) No lançamento de uma moeda ao acaso,
determinar a probabilidade de acorrer CARA.
Resp: 1/2
2) Lança-se um dado ao acaso. Determine a
probabilidade de se obter na face superior:
a) o número 4
b) um número menor que 3
c) um múltiplo de 3
d) um divisor de 20
Probabilidade com reunião e intersecção de
eventos
01) Numa pesquisa sobre a preferência em
relação a dois jornais, foram consultadas 470
pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas
lêem o jormal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem
os jornais A e B. Escolhendo um dos
entrevistados ao acaso, qual a probabilidade de
que seja:
a) leitor dos jornais A e B?
b) leitor do jornal A ou do jornal B?
02) Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol,
40 jogam vôlei e 20 jogam futebol e vôlei.
Escolhendo ao acaso um dos alunos, qual a
probabilidade de ele:
a) jogar vôlei
b) jogar futebol
c) jogar vôlei e futebol
d) jogar vôlei ou futebol
e) jogar somente futebol
f) não praticar nenhum desses esportes
Resp: 1) a) 6/47 b) 37/47 2) a) 1/2 b) 5/8 c)
1/4 d) 7/8 e) 3/8 f) 1/8
157) (Fameca – SP) dois prêmios devem ser
sorteados entre 25 alunos de escolas
superiores, entre os quais 5 cursam Medicina.
Qual é a probabilidade de 2 dos futuros
médicos serem contemplados?
a) 1/5 b) 2/25 c) 1/30 d) 2/5 e) 9/25
158) (UFPE) Um vestibulando arrumou numa
prateleira, de forma aleatória, seus 5 livros de
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria,
Trigonometria e Combinatória). Qual a
probabilidade dos livros de Aritmética e
Combinatória não estarem juntos?
a) 3/5 b) 2/5 c) ¾ d) 2/3 e) 1/3
159) (Uniube – MG) A probabilidade de se
obter um número divisível por 5, na escolha
ao acaso de um número obtido pelas
permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, é
igual a:
a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 1
160) (Esal – MG) Um número inteiro é
escolhido ao acaso entre aqueles pertencentes
ao conjunto U = {2, 3, 4, ..., 19, 20, 21}. A
probabilidade do número escolhido ser um
número primo ou um número ímpar é:
a) 8/20 b) 10/20 c) 18/20 d) 7/20 e) 11/20
ESTATÍSTICA
MÉDIA E MEDIANA
Numa família de 7 pessoas (pai, mãe, quatro
filhos e avó), a variável X, idade em anos
completos, apresenta os seguintes valores: 45,
44, 21, 18, 16, 10 e 70.
Média
Denominamos média de X, e indicamos por
, a média aritmética dos valores observados.
No exemplo, temos:
=
32
Isso significa que cada membro da família
tem, em média, 32 anos. Na verdade nenhum
deles tem 32 anos. A interpretação que devemos
71
dar a soma observada – que foi de 224 anos-, a
idade de cada um seria 32 anos.
Mediana
Denominamos mediana de X, e indicamos
por Mx , ao termo central da sequência formada
pelos valores observados, quando colocados em
ordem crescente.
(10, 16, 18, 21, 44, 45, 70) termo central
O termo central vale 21, portanto Mx = 21
anos.
caso tenhamos uma quantidade par de termos,
consideramos como mediana a média aritmética
dos dois termos centrais. Assim, por exemplo, na
sequência
(0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 8)
termos centrais
a mediana é
= 2,5
Média aritmética ponderada
A tabela a seguir mostra a distribuição dos
salários de uma empresa.
A pergunta é: Qual a média salarial dos
funcionários?
SALÁRIO(R$) Nº FUNCIONÁRIOS
600,00 12
900,00 7
1200,00 5
1800,00 6
4500,00 8
Total 38
Assim a média salarial x desses funcionários
pode ser calculada da seguinte forma:
x =
x =
x =
1744,73
Assim a média salarial dos funcionários dessa
empresa é de R$ 1744,73.
OBS: O número de vezes em que o salário se
repete é denominado peso.
1) As idades dos 6 jogadores de uma equipe de
vôlei são: 23, 27, 22, 31, 25 e 28 anos. Calcule a
média e a mediana dessa variável.
2) (PUC-SP) É dado um conjunto de 20
números cuja média aritmética é 64. Cada
número desse conjunto é multiplicado por 2 e,
em seguida, acrescido de 5 unidades. Qual é a
média aritmética dos 20 números assim obtidos?
133
3) (FEI-SP) A média das idades de um grupo de
estudantes é 22 anos. Excluindo-se o mais novo
deles, que tem 17 anos, a média do novo grupo
formado passa a ser 23 anos. Quantos estudantes
há no primeiro grupo? 6
4) Um comerciante mistura 4 kg do café tipo A,
que custa R$ 6,00 o quilo; 10 kg do café B, que
custa R$ 5,60 o quilo; e 6 kg do café C, que custa
R$ 5,00 o quilo. Qual o preço por quilo da
mistura? R$ 5,50
TIPOS DE GRÁFICO
Gráfico de BARRAS
0 5 10
Categoria 1
Categoria 2
Categoria 3
Categoria 4
Série 3
Série 2
Série 1
72
Gráfico de SETORES
Gráfico POLIGONAL ou de LINHA
161) (PUC –SP) Uma escola tem 18
professores. Um deles se aposenta e é
substituído por um professor de 22 anos. Com
isso a média das idades dos professores
diminui de 2 anos. Qual é a idade do professor
que se aposentou?
a) 58 b) 57 c) 56 d) 55 e) 54
162) (UnB-DF) Numa turma, com igual
número de moças e rapazes, foi aplicada uma
prova de Matemática. A média aritmética das
notas das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8.
Qual a média aritmética de toda a turma
nessa prova?
a) 7 b) 8,9 c) 9 d) 9,1 e) 9,2
NÚMEROS COMPLEXOS
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Considere a equação x2+1=0, quando
resolvemos encontramos as seguintes raízes:
x = ± , sendo que não existe raiz
quadrada de número positivo no conjunto dos
números reais.
Os números imaginários surgiram com a
necessidade de interpretar . Foi então que
surgiu a unidade imaginária, assim = i,
conseqüentemente –1 = i2, assim as raízes da
equação x2 + 1 = 0 são
x = ± = i.
FORMA ALGÉBRICA
Todo número complexo pode ser escrito na
forma Z = a + bi, com a, b .
OBSERVAÇÃO:
Z = a + bi, Se b = 0 Z = a, então Z é nº
real.
Se a = 0 e b 0, Z = bi, então Z é imaginário
puro.
Assim, os reais são números complexos
cuja parte imaginária é zero.
Igualdade
Dois números complexos são iguais, se e
somente se, suas partes reais e imaginárias forem
respectivamente iguais:
Z1 = a + bi e Z2 = c + di, se Z1 = Z2 então
a = b e c = d
1) Quais os valores de x que tornam verdadeira a
igualdade 4x2 – 4x + 5 = 0?
2) Determine o valor de K para que o número
complexo seja z = (k – 3) + 6i seja imaginário
puro.
3) Determinar x e y de modo que (2x + y) + 6i =
5 + (x + 4y)i.
4) Sabendo que z1 = z2, calcule x e y , dados
z1 = x2 + 9i e z2 = 4 + y
2i
Vendas
1º Tri
2º Tri
3º Tri
4º Tri
0
2
4
6
Série 1
Série 2
Série 3
73
CONJUGADO DE UM NÚMERO
COMPLEXO
Dado um número complexo Z1 = a + bi,
chama-se conjugado de Z que indicamos por Z ,
ao número complexo Z = a – bi .
Observe que dois números complexos
conjugados têm, respectivamente, partes reais
iguais e partes imaginárias simétricas:
z = 4 + 5i = 4 – 5i
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA
FORMA ALGÉBRICA
Adição e subtração de números complexos
Somamos (ou subtraímos) as partes reais
entre si e as partes imaginárias entre si.
(2 + 3i) + (6 + 4i) = (2 + 6) + (3 + 4)i = 8 + 7i
(6 + 5i) – (2 + 3i) = (6 – 2) + (5 – 3)i = 4 + 2i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos Z1 = a + bi e Z2 = c + di
usamos a regra da multiplicação de binômios,
não esquecendo que i2 = -1.
(2 + 4i)(1 + 3i) = 2 + 6i + 4i + 12i2
= 2 + 6i + 4i
– 12 = -10 + 10i
Divisão de números complexos
Para dividirmos Z1 por Z2, com Z2 0,
escrevemos sob a forma
2
1
Z
Ze multiplicamos os
dois termos da fração pelo conjugado de Z2, ou
seja:
.
Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i, obter a divisão
de z1 po z2.
POTÊNCIAS DE i
Calculando-se as potências dos expoentes
naturais de i, observa-se que os resultados se
repetem com um período de 4, isto é:
i0 = i
1 = i
2 = i
3 = i
4 =
i5 = i
6 = i
7 = i
44 =
1) Resolva:
a) )24()32( ii
b) )21()43( ii
c) (2 3 ) (1 )i i+ × -
d) i
i
5
23
2) Calcule as seguintes potências de i :
a) 31i =
b) 9i =
c) 16i =
d) 26i =
163) (UFSM) Se (1 + ai)(b - i)=5 + 5i, com a e
b R, então a e b são raízes da equação
a) x2 – x – 6 = 0 b) x
2 – 5x – 6 = 0
c) x2 + x – 6 = 0 d) x
2 + 5x + 6 = 0
e) x2 – 5x + 6 = 0
164) (UFSM-2005) Sabendo que x é um
número real e que a parte imaginária do
número complexo 2
2
i
x i
+
+ é zero, então x é:
a) –1 b) 1 c) 2 d) –2 e) 4
165) Sendo z =
+ 5i, então z + é:
a) 101 b) 8/7 c) 0 d) – 10i e) – 8/7
74
166) A soma dos números complexos 5 5
1
i
i
+
+
e 20
1 i- é:
a) 25 5
2
i+ b) 10 10i+ c) 10 10i- -
d) 15 10i+ e) 30 20i±
167) Para que (2a + 3i)x(2 – i) seja um
imaginário puro, o valor de a deve ser:
a) 0 b) 4/3 c) 3 d) 3/4 e) -3/4
168) (Esam – RN) se (a + 3i)(1 + 2i) = b + 5i,
então a + b é:
a) – 5 b) – 4 c) 1 d) 4 e) 5
169) (Fafi – BH) O conjugado de z = (2 + 3i)(5
– 2i) é:
a) 16 + 11i b) 16 – 11i c) 10 – 6i d) 10 + 6i
GAB. APROFUNDAMENTO
1) D 30) 1/2 59) B 88) C 117) A 146) C
2) B 31) C 60) D 89) A 118) 147) D
3) D 32) A 61) D 90) D 119) B 148) C
4) B 33) B 62) A 91) D 120) C 149) E
5) C 34) E 63) E 92) A 121) D 150) A
6) C 35) E 64) A 93) B 122) A 151) A
7) D 36) E 65) C 94) B 123) E 152) C
8) B 37) C 66) A 95) C 124) B 153) A
9) 6 38) B 67) 22 cm 96) E 125) C 154) A
10) B 39) B 68) 20 97) C 126) B 155) B
11) A 40)
x = 7; y = 3,5
69)
18, 10, 12, 16 98) A 127) C 156) D
12) B 41) A 70) 100 m
2 99) C 128) A 157) C
13) C 42) D 71) D 100) A 129) C 158) A
14) B 43)
15, 18, 27 72) C 101) B 130) D 159) A
15) E 44) 45° 73) x 20,6 102) E 131) C 160) E
16) D 45) C 74) C 103) B 132) D 161) A
17) B 46) 52° 75) D 104) A 133) E 162) C
18) B 47) A 76) E 105) A 134) E 163) E
19) C 48) D 77) B 106) A 135) C 164) E
20) C 49) 140°; 40° 78) E 107) C 136) C 165) E
21) D 50) VFVFFV 79) B 108) B 137) D 166) D
22) A 51) 12cm; 8cm 80) C 109) B 138) A 167) E
23) E 52) C 81) E 110) B 139) B 168) B
24) E 53) B 82) 111) B 140) E 169) B
25) D 54) 300° 83) B 112) B 141) C
26) C 55) n = 6 84) B 113) D 142) D
27) E 56) D 85) A 114) E 143) D
28) B 57) E 86) A 115) D 144) D
29) E 58) C 87) A 116) C 145) A
