ROFESSOR: CLAUDIO CAMPOS

Apostila de

Matemática Financeira - I

2012

Apostila preparada para as Turmas de 2º e 3º Semes-

tres do Curso: Superior de Tecnologia.

Objetivo: Fornecer subsídios para a formação acadê-

mica do discente na área financeira e, também, contri-

buir para o desenvolvimento da capacidade de raciocí-

nio lógico e reflexivo. Este é um fator essencial na to-

mada de decisão, atividade típica da função de adminis-

trador ou gestor.

[Professor: Claudio Campos]

[Apostila de Matemática Financeira para os Cursos de Superior em Tecnologia: -Confeccionada para

uso em sala de aula e Com trechos de textos extraídos dos livros: Matemática Financeira de Hazzan, S. e Pompeo, JN. Editoria Saraiva 6ª Edição. 2010 – São Paulo e Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada.

Edição Compacta – Editora Saraiva, 2006 – São Paulo S). dentre outros: vide bibliografia].

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Sumário

CAPITULO 01 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS .............. 04

1.1 Capital e juros ....................................................................................................................... 04

1.2 Porcentagem (rápida revisão) ............................................................................................... 05

1.3 Relações básicas ( Juros, taxas e montante) ....................................................................... 06

1.4 Regimes de capitalização: (Simples e Composta) ................................................................ 09

1.5 Fluxos de caixa de uma operação ........................................................................................ 10

CAPITULO 02 – JUROS SIMPLES ....................... ........................................................................ 13

2.1 Formulas de Juros simples e do Montante ........................................................................... 13

2.2 Taxas equivalentes ............................................................................................................... 15

2.3 Juros exatos e juros comerciais ............................................................................................ 16

CAPÍTULO 03 – DESCONTO SIMPLES .................... ................................................................... 20

3.1 Introdução e conceitos .......................................................................................................... 20

3.2 Descontos comerciais ou bancário ....................................................................................... 20

3.3 Relações entre taxa de desconto e taxa de juros simples ................................................... 22

3.4 Operações (de descontos) com um conjunto de títulos ........................................................ 26

CAPITULO 04 – JUROS COMPOSTOS .................... .................................................................. 30

4.1 Fórmula do montante ............................................................................................................ 30

4.2 Períodos não Inteiros ........................................................................................................... 35

4.3 Taxas equivalentes .............................................................................................................. 39

CAPITULO 05 – TAXA REAL DE JUROS ( INFLAÇÃO E CORRE ÇÃO MONETÁRIA) ............. 44

5.1 Introdução e conceitos .......................................................................................................... 44

5.2 Índice de preços ................................................................................................................... 44

5.3 Taxa acumulada ................................................................................................................... 45

5.4 Principais índices de preços: Medidas de inflação ............................................................... 46

5.5 Taxa real de juros ................................................................................................................. 49

5.6 Atualização monetária .......................................................................................................... 50

APENDICE – REVISAO DE MATEMÁTICA (FUNDAMENTAL) .... ............................................... 53

I – Revisão de Porcentagem....................................................................................................... 54

II – Revisão de Frações .............................................................................................................. 59

III – Revisão de Potências .......................................................................................................... 65

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ......................... .................................................................... 72

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INTRUDUÇÃO Com uma carga semanal de 1 hora e 30 minutos, perfazendo uma carga horária semestral de

30 horas, esse curso de Matemática Financeira tem os seguintes pontos a serem abordados:

1 – Capitalizações Simples e compostas;

2 – Descontos Simples e compostos;

3 – Rendas Certas e Rendas Variáveis;

4 – Equivalência de fluxos de caixa;

5 – Amortização de Empréstimos;

6 - Noções de análise de investimentos e

7 - Correção monetária.

O pressuposto é que o aluno venha com conhecimentos mínimos de matemática; ou seja; que

já conheça ou tenha oportunidade de rever as regras básicas que foram ensinadas no ensino

fundamental de matemática.

Em outras palavras, caso a aluno não tenha aprendido ou não lembre, é importante o seu de-

sempenho pessoal nesses estudos para que possa estar no mesmo nível dos demais alunos.

Com o objetivo de deixar todos os alunos no mesmo nível de conhecimento para o início do

programa de matemática financeira, no final desta apostila há uma revisão dos principais fun-

damentos que o aluno deve revisar ou relembrar para ter uma maior familiaridade com esta

apostila. Os temas são:

I) Porcentagem;

II) Frações e

III) Potencias.

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1 – Conceitos Fundamentais: Juros Simples e Juros C ompostos

A Matemática Financeira visa a estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de di-nheiro e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunida-de de verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação de dinheiro, bem como de pagamento de em-préstimos. 1.1 O CAPITAL E O JURO

Chamamos de Capital qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empres-ta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não-pagamento, surge o conceito de juro , que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador). Denominamos taxa de juros o valor do juro em uma certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo: NOTA: No item 1.2 adiante há um peque-no resumo para revisar conceitos de porcentagem. Se um Capital de $ 5.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 2% a.m . (2% ao mês), o juro será iguala 2% de $ 5.000, que é $100,00. Lembre-se de que, para achar 2% de 5.000, basta multiplicar 5.000 por 0,02, que é a forma decimal de 2% (2% = 2/100 = 0,02). Se o empréstimo for devolvido em um único pagamento, o tomador pagamento, o tomador pagará, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que é denominada de Montante . Assim, para um empréstimo de $ 5.000,00 por um mês com juro de $100,00 , o montante será igual a $ 5.100,00.

Juros = R$ 100,00 Montante = M

M = R$ 5.100,00

0 1

Taxa de juros = i = 2% ao mês.

Prazo = n = 1 mês

Capital = C = R$ 5.000,00

As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermedi-ação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo, e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicação (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem à sua disposição: por exemplo: a Caderneta de Poupança, o Certificado de Depósito Bancário (CDB) etc. Cada opção tem sua taxa, em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analo-gamente, os tomadores de empréstimos têm várias opções de financiamento (instrumentos), cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

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De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, seja comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos etc.

Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um impor-tante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados ou ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor recebe remuneração (quando um investidor aplica em um fundo de investimentos, ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Comportamento análogo ocorre com os fundos de previdência e pensão, em que o aplicador visa ao recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria. 1.2 - PORCENTAGEM (Revisão rápida)

Breve resumo para recordar. No final da apostila há uma revisão mais completa e exercí-cios preparados para revisão mais profunda: necessá ria para a continuação do assunto. É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: • A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 • O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 • Dos jogadores que jogam no Timão, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Timão, 90 são craques.

Razão centesimal : Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal . Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais . Considere o seguinte problema: • João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

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Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado va-lor: exemplos:

• Calcular 10% de 300.

• Calcular 25% de 200kg Logo, 50kg é o valor cor respondente à porcentagem procurada(25% de 200Kg).

1.3 RELAÇÕES BÁSICAS

Chamando de “C” o capital, “M” o montante, “J” o juro e “i” a taxa (do inglês, interest , que signifi-ca juro), temos as seguintes relações, de acordo com o que definimos:

J = C. i Em que “J” é o juro no período da taxa. M = C + J

i = M -1 C Em que “ i “ é a taxa no período do empréstimo

A relação de J=C.i justifica-se até pela própria definição de porcentagem. A relação de M = C+1 é a própria definição do Montante e a terceira i= (M/C) -1 justifica-se da seguinte forma:

i = J = M - C = M

- C =

M -1

C C C C C

Exemplo 1 – Um capital de $ 8.000 é aplicado durante um ano à taxa de 22%a.a. (22% ao ano). Responda: (a) Qual o juro? J=C.i � J = 8.000 (0,22) = b) Qual o montante? M=C+J � M = Exemplo 2 – Um capital de $12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montan-te de $12.540,00. Qual a taxa de juros do período? i = M -1

C

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Exercícios de Fixação: Os alunos deverão fazer esses exercícios fora da s ala de aula. Sozinho ou de preferên-cia em grupos para fixar esses conceitos . Todos os exercícios (números 01 a 09) têm prazo n=1 ( ou seja, só um período)

1) Um capital de $ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições indicadas a seguir. Obtenha o juro e o montante em cada caso.

Item Taxa Prazo J= C x i Juros = $ M = C + J M= $

a) 50% a.a. 1 ano 2,000 x 0,50 1.000 2.000 +1.000 3.000

b) 30% a.s. 1 semestre

c) 12% a.t. 1 trimestre

d) 5% a.b 1bimestre

e) 1,7% .a.m. 1 mês

f) 0,03% a.d 1 dia

2) Calcule a taxa de Juros auferida (no período) por um investidor em cada uma das situa-

ções seguintes:

Montante ($) Capital ($) Prazo I = (M/C)-1 I = (%)

a) 10.000,00 8.000,00 1 ano I= (10.000/8.000) - 1 25% a.a.

b) 15.000,00 13.500,00 1 semestre

c) 7.200,00 6.800,00 1 trimestre

d) 3.300,00, 3.200,00 1 bimestre

e) 2.420,00 2.400,00 1 mês

f) 4.002,00 4.000,00 1 dia

3) Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de empréstimos em cada uma das seguintes situações:

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Capital Juro Prazo i = J / C i = % ao .......

a) 3.500,00 400,00 1 ano I = (400/3.500) 11,42 % a.a.

b) 8.000,00 1.200,00 1 semestre

c) 4.300,00 210,00 1 trimestre

d) 5.400,00 220,00 1 bimestre

e) 9.000,00 150,00 1 mês

f) 6.700,00 2,50 1 dia

4) Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações seguintes:

Taxa Prazo Juro Se J=C.i então C=J/i J = $

a) 28%a.a. 1 ano 14.000,00 C= 14.000 / 0,28 50.000,00

b) 12%a.s. 1 semestre 24.000,00

c) 3,8% a.t 1 trimestre 7.600,00

d) 4% a.b 1 bimestre 10.800,00

e) 1,8%a.m. 1 mês 3.600,00

f) 0,06% a.d. 1 dia 6.000,00 (5) Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje $ 666,67 e receba $1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco? (6)Um banco anuncia o seguinte: "aplique hoje $ 10.000,00 e receba daqui a três anos $ 20.000,00". Qual a taxa paga pelo banco no triênio? (7)Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de $ 10.000,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 9.600,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período?

(8) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é de $ 50.000,00, foi adquirido

hoje por um fundo por $ 48.850,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período? (9) Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado?

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1.4 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante po-derá aumentar de acordo com duas convenções, denominadas regimes de capitalização. Há o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitaliza-ção composta (ou juros compostos). 1.4.1 Regime de capitalização simples : Neste regime, o juro gerado em cada período é cons-tante e igual ao produto do capital pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação.

Exemplo Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros simples.

Resolução

Durante o 1° ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Durante o 2° ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Durante o 3° ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100

Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros. O montante, após três anos, foi de $ 1.300,00. Esquematicamente, temos a figura 1.1 a seguir:

1.4.2 Regime de capitalização composta :

Neste caso, o juro do 1º período (capital vezes a taxa) agrega-se ao capital, resultando no mon-tante M1.

O juro do 2º período, que é igual ao produto de MI pela taxa, agrega-se a M1, resultando no mon-tante M2. O juro do 3º período, que é igual ao produto de M2 pela taxa, agrega-se a M2, resultando em um montante M3, e assim por diante. Portanto, o juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) a-grega-se ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte. Exemplo

Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros compostos.

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Resolução: Durante o 1º ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100, e o montante após um ano foi de $ 1.100,00. Durante o 2º ano, o juro gerado foi de 1.100(0,10) = 110, e o montante após dois anos foi de $ 1.210,00. Durante o 3° ano, o juro gerado foi de 1.210(0,10) = 121, e o montante após três anos foi de $ 1.331,00. Esquematicamente, temos a figura 1.2:

A Figura 1.3 ilustra o montante a juros simples e compostos para efeito de comparação, utili-zando um capital de $ 1.000,00, taxa de 10% a.a. e prazos variando de 1 a 12 anos.

1.5 FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAÇÃO

O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal em que é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser qualquer (ano, mês, dia etc.). As en-tradas de dinheiro em um determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, e orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo.

Exemplo:

Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 em um banco e recebeu $ 6.500,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa, do ponto de vista do aplicador, foi (Figura 1.4):

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Atenção: O fluxo de caixa, do ponto de vista do banco ficou exatamente na posição inversa: iniciando com uma entrada de caixa de $ 50.000,00 e recebendo um montante no final de $56.500,00 Observações: importante: 1) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e em préstimos; contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para representar entradas e saídas de dinheiro do caixa. 2) As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários en-volvidos. 3) Algumas vezes usaremos a notação esquemática de um conjunto de capitais, com setas em geral para cima, a fim de tornar claras certas idéias, sem que a representação indique um fluxo de caixa. Exercícios de Fixação: 10) Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montan-

te para os seguintes prazos: a) Dois meses. b) Três meses c) Cinco meses. d) Dez meses 11) Um capital de $ 700,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 20% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) Um ano. b) Dois anos. c) Cinco anos. d) Dez anos 12) Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. Calcule o mon-tante para os seguintes prazos: a)Um ano; b) Dois anos; c) três anos; d) Quatro anos; e) Cinco Anos

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13) Um capital de $ 20.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% a.a. Obtenha o mon-tante para os seguintes prazos:

a) Um ano. b) Dois anos. c) Três anos. d) Quatro anos. e) Cinco anos. 14) Um capital A de $1.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 10% a.a. Um outro capital B de $ 900,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 12% a.a. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A? 15) Um capital A de $ 1.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 12% a.a., ao passo que um outro capital B, também de $ 1.000,00, é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A? 16) Um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situações a seguir. Calcule a taxa de juros em cada caso:

Final do capítulo 1

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2– Juros Simples

2.1 Fórmula dos Juros Simples e do Montante No capítulo anterior, vimos que, na capitalização simples, os juros eram iguais em todos os perí-odos, valendo o produto do capital pela taxa naquele período. Consideremos um capital “c”, aplicado a juros simples, à taxa “i” por período, durante “n” perío-dos de tempo. Vamos deduzir a fórmula dos juros após os “n” períodos:

Juros após 1 período: J1 = Ci Juros após 2 períodos: J2 = Ci+ Ci = (Ci)2 Juros após 3 períodos: J3 = Ci+ Ci+ Ci = (Ci)3

Juros após n períodos: Jn = Ci+ Ci+ Ci + ... Ci = (Ci)n

Portanto, eliminando o índice “n” quando não houver possibilidade de confusão, teremos a fórmu-la dos juros simples:

J = C. i . n e assim a fórmula do montante é:

M = C + J

M = C + C.i.n M = C (1 + i . n) Observações:

1) Na fórmula dos juros e do montante, é necessário que “i” e “n” sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se “i” for taxa mens al, “n” deverá ser expresso em meses); 2) Embora a fórmula tenha sido deduzida por “n” inteiro, ela é estendida para “n” fracioná-

rio. Exemplos para fazer junto com o professor: (Constru a os respectivos Fluxos de Caixa):

1) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de 12% a.a. Obtenha: a) Os Juros e b) O Montante.

2) Um capital de $ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de

8% a.s. (ao semestre). Obtenha: a) Os juros e b) o Montante.

3) Que capital rende juros simples de $3.000,00 no prazo de cinco meses, se a taxa for de 2% a.m.

4) Uma televisão é vendida à vista por $ 1.500,00, ou então, a prazo com $ 300,00 de en-trada mais uma parcela de $ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa de juros simples do financiamento?

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5) Uma aplicação financeira tem prazo de cinco meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a. e incide imposto de renda igual a 20% do juro; O imposto é pago no resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de $ 8.000,00? (O montante líquido é igual ao mon-tante bruto menos o valor do imposto de renda pago).

Exercícios de fixação: (juros simples) 1) Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições:

Capital $ Taxa Prazo J = C . i . n J = $

a) 2.000,00 1,2% a.m. 5meses

b) 3.000,00 21% a.a. 2 anos

c) 2.000,00 1,3% a.m. 3 anos

d) 6.000,00 15% a.t 2 anos e meio 2) Qual o montante de uma aplicação de $ 16.000,00 a juros simples, durante cinco meses, à taxa de 80% a.a.?

3) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado, por dois meses, a juros simples à taxa de 42% a.a. Qual o montante? 4) Bruno aplicou $ 30.000,00 a juros simples, pelo prazo de seis meses, e recebeu $ 9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? 5) Em uma aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebi-do foi de $ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação. 6) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de quatro meses. Obtenha o juro auferido nesta aplicação, sabendo-se que o montante recebido foi de $ 5.360,00. 7) Mara aplicou $ 800,00 a juros simples à taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $ 384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. 8) Uma geladeira é vendida à vista por $ 1.500,00 ou, então, a prazo com $ 450,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.200,00 após quatro meses. Qual a taxa mensal de juros simples do fi-nanciamento? 9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique?

10) Dois capitais, o primeiro igual a $ 1.100,00 e o segundo igual a $ 500,00, estiveram aplicados a juros simples durante três meses. A que taxa foi aplicada o primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $ 246,00 menos que o primeiro? 11) (concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstân-

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cias, vende o estoque por $ 2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o re-gime de capitalização simples. 12) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $ 12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. 13) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo este prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $ 1.125.000,00 14) Uma aplicação financeira tem prazo de três meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $ 4.000,00? 15) ma aplicação financeira tem prazo de quatro meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $ 12.000,00? b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de $ 11.500,00? 2.2 Taxas Equivalentes Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro. Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas em um mesmo ca-pital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qual-quer um, habitualmente é utilizado o prazo de um ano. Exemplo 1 : Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1 % a.m.? i = (0,01) . 12 = 0,12 ou 12% a.a. Exemplo 2 : Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.? i = (0,09) /3 = 0,03 = 3% am. Assim; por exemplo: (faça a conta para praticar)

• 4% a.b. (ao bimestre) é equivalente a 2% a.m. • 6% a.t. (ao trimestre) é equivalente a 2% a.m. • 12% a.s. (ao semestre) é equivalente a 2% a.m. • 24% a.a. (ao ano) é equivalente a 2% a.m.

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Exemplo 3 : Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sa-bendo-se que o capital aplicado foi de $ 5.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.525,00 após sete meses?

Resolução: (faça o fluxo de caixa) Os juros simples da aplicação foram de $ 525,00 (diferença entre o valor de resgate e o capital aplicado). Chamando de “i” a taxa mensal de juros, teremos: J = C.i.n 525 = 5.000 i (7) � 35.000 i = 525 � I = 525/35.000 = 0,015 = 1,5% .a.m. Conseqüentemente, a taxa anual foi de 12 x (1,5%) = 18% a.a. 2.3 JURO EXATO E JURO COMERCIAL

É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos, é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas con-venções:

1º) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias. 2º) Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias. Os juros obtidos segundo a primeira convenção (ano de 365 dias) são chamados de juros exatos, e aqueles obtidos pela segunda convenção, ( ano de 360 dias, ou seja, 12 meses de 30 dias cada) de juros comerciais. Em geral, a convenção adotada é a de juros comercia is, ou seja, ano de 360 dias) . Exemplo

1) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros sim-ples: a) Obtenha os juros exatos. b) Obtenha os juros comerciais. a) Juros Exatos: J = 5.000 0,30 42 =

365

b) Juros Comerciais: J= 5.000 0,30 42 =360

2) Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de $ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual (convenção de juros comerciais), sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da 2ª são iguais a $ 31,50.

17

Resolução:

Seja i a taxa diária da aplicação. Teremos: . Juros da 1ª aplicação: 4.000 i (72) = 288.000i . Juros da 2ª aplicação: 5.000 i (45) = 225.000i Portanto: 288.000i - 225.000i = 31,50 � 63.000i=31,50 I = 31,50 = 0,0005 = 0,05% a.d. 63.000

Conseqüentemente, a taxa anual vale 360 (0,05%) = 1 8% a.a (juros comerciais) Exercícios para Fixação: 16) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5% a.m. d) 4,5% a.q. b) 2,5% a.b. e) 6,5% a.s.

c) 3,5% a.t.

17) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?

18) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de $ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses.

19) Calcule o montante de uma aplicação de $ 5.000,00 a juros simples à taxa de 48% a.a. pelo prazo de cinco meses. 20) Um capital de $ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação. 21) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a uma certa taxa anual, rendeu

$240,00. Determine os juros auferidos nessa aplicação se fossem comerciais. 22) Uma aplicação de $ 800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $ 908,00 após 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação. 23) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 24% a.a. a) Qual o montante após seis meses? b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital inici-almente empregado? 24) Calcule a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.200,00 após seis meses. 25) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples e à taxa de 96% a.a. O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros exatos e comerciais desta aplicação (o número de dias decorridos foi de 544). 26) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um capital de $ 2.000.000,00 é aplica-do por quatro meses, correspondendo a um resgate final de $ 2.600.000,00. Calcule a taxa de juros simples anual desta operação.

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Matemática Financeira Exercícios: Série Especial para a NP1. – Juros com capitalização Simples ALUNO:_____________________________________ RA:________________ TURMA_________

Demonstre como chegou aos resultados dos exercícios: Você deverá primeiro, após a rigorosa leitura, confeccionar o

Fluxo de Caixa com os dados do problema e em seguida informar a fórmula que utilizará para resolver o problema.

Faça á lápis e depois transporte o resultado para o gabarito no final deste trabalho.

1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 22% ao ano, duran-te 7 meses.

2) Um capital de R$ 150.000,00 aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 7.752,50 Deter-minar a taxa anual.

3) Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1,5% ao mês, determinar o valor do capital aplicado.

4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00 resultante da aplicação de cer-to capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses.

5) Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ 125.000,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre.

6) Em quanto tempo um capital de R$ 900.000,00 aplicado a taxa de 0,03% ao dia, gera um montante de R$ 994.500,00.

7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no dia 19/06/1997 e resgatado em 20/01/1998. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas.

8) Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicação no dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento pro-porcionada por essa operação. (%ao mês)

9) Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$ 600.000,00.

10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao mês, produz R$ 18.600,00 de juros.

11) Obteve-se um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser liquidado por R$ 186.625,00 no final de 26 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação.

12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. 13) Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi

de 13 meses e a taxa de juros de 2% ao mês, calcular o valor do montante. 14) Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.196,60 a uma taxa de

3% ao mês. 15) A aplicação de R$ 356.000,00 gerou um montante de R$ 661.270,00 no final de 20 meses.

Calcular a taxa anual. 16) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000.000,00 sabendo-se que a taxa de juros

é de 5% ao mês e o prazo de 9 meses, calcular o valor dos juros. 17) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00 por 225 dias, à

taxa de 2,6% ao mês. 18) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 1,2% ao mês, por 174 dias, produziu

um montante de R$ 543.840,00. 19) Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 980.000,00 e resgatado por R$ 1.147.776,00

no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros. 20) Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 610.000,00 a taxa

de 2,2% ao mês.

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As questões a seguir são para o cálculo de Taxas Equivalentes: Utilize apenas 02 (duas) casas depois da vírgula e sempre arredondando a última co nforme regra convencional.

Taxa %a.a. %a.m. %a.d %a.t. %a.b.

21 0,089 % a.d.

22 12% a.m

23 1,20 %a.b.

24 0,9% a.t.

25 128% a.s

26 357 % a.a.

27 66 % a.a. equivale a % para 75 dias a juros exatos

28 120% a.a. equivale a % para 75 dias a juros comerciais

29 200 % é a taxa para 42 dias, portanto: % é o equivalente

ao ano para juros exatos

30 200 % é a taxa para 75 dias, portanto: % é o equivalente

ao ano para juros comerciais

Exercícios de Juros Comerciais

Calcular as seguintes Taxas Equivalentes:

Gabarito:

1 R$. 2 %a.a. 3 R$. 4 R$.

5 R$. 6 dias 7 R$. 8 %a.m.

9 R$. 10 dias 11 %a.a. 12 meses

13 R$. 14 dias 15 %a.a. 16 R$.

17 R$. 18 R$. 19 %a.m. 20 meses

Professor Cláudio Campos – Matemática financeira – Gestão UNIP-

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3– DESCONTO SIMPLES 3,1 INTRODUÇÃO

A idéia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determina-das condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é co-mum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio, também é bas-tante comum o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido.

Nestas situações, o desconto costuma ser expresso por um porcentual aplicado sobre o preço. No primeiro exemplo, consideremos que o preço cobrado por unidade seja $ 20,00, e que, caso o comprador compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 5%. Nestas condições, o des-conto é igual a $ 1,00 (5% de $ 20,00), e o novo preço passa a ser $ 19,00. No segundo exem-plo, consideremos que o preço de um produto seja $ 500,00 para pagamento dentro de 40 dias; caso o vendedor conceda um desconto de 3% para pagamento à vista, o valor do desconto será de $ 15,00 (3% de $ 500,00), e o preço à vista será $ 485,00. Uma outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; nesse caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Caso o vendedor precise de dinheiro, ele poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empre-sa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipa-damente. Por exemplo , consideremos que, em uma certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de $ 5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Precisando de dinheiro, a empresa levou a du-plicata a um banco, que lhe propôs adiantar $ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que o banco propôs um desconto de $ 200,00 ($ 5.000,00 menos $ 4.800,00). De modo análogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descontar notas promissó-rias em um banco. As notas promissórias surgem quando, por alguma razão, um devedor as-sume uma dívida perante um credor; a nota promissória é um papel que representa uma pro-messa de pagamento ao credor, a qual é feita pelo devedor. As operações de desconto de duplicatas e promissórias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada, chamada de desconto comercial ou bancário, a qual passaremos a estudar.

3.2 - DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO

Chamamos de valor nominal (ou valor de face) e indicamos por N o valor do título a ser des-contado. Seja n o prazo de vencimento do título e d a taxa de desconto utilizada na operação (em porcentagem por período). O desconto comercial ou bancário (D) é dado por:

D = Ndn N = Valor do título n = Prazo de vencimento do título d = taxa de desconto.

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A diferença N - D é chamada de valor descontado ou valor atual comercial ou, ainda, valor líquido do título; vamos indicar esta diferença por Vd, isto é:

Vd =N-D � Valor descontado é o valor do título (-) o desconto Exemplos: Acompanhe a resolução junto com o professor: 1) Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.

a) Obtenha o desconto. b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa. c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a ta-xa efetiva de juros da operação.

Resolução:

a) D= 18.000(0,025)2 = 900

b) Vd = 18.000 - 900 = 17.100

c) O fluxo de caixa do banco é : e a taxa efetiva é: ( ACOMPANHAR COM PROF.)

�No regime de e Juros Simples, tal taxa e equivalente a 5,26% / 2 = 2,63% a.m. É impor-tante notar que a taxa de juros simples mensal é diferente da taxa mensal de desconto. Isto porque a taxa de juros incide no valor inicial ($ 17.100) para dar $ 900,00, ao passo que a taxa de desconto incide no valor final ($ 18.000) para dar o resultado $ 900,00 (as pequenas dife-renças observadas decorrem do arredondamento feito). 2)-Uma nota promissória de $12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimen-to, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.

a) Qual o desconto? b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de O,5% do valor da promissória, pago no

dia em que a empresa a descontou? c) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período?

Resolução a) D=12.000(0,02/30) 42 = 336 b) Taxa de serviço: 0 005(12.000) = 60 Valor recebido pela empresa: 12.000 - 336 - 60 = 11.604 c) Taxa efetiva de juros: i = 12.000 -1 = 3,41% a.p. (ao período)

11.604

22

3) Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comer-cial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Dois meses.

Resolução: a) Como o valor da duplicata não é fornecido, vamos considerar um valor

arbitrário, digamos $ 100,00. Assim:

D = 100(0,03)1 = 3 � Vd = 97

Portanto, o fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco, é

100

97Logo: i = 100 -1 = 3,09% am.

97 Importante: Observe que para qualquer valor atribuído á duplicata a resposta será sempre a mesma. Evidentemente a resolução poderia literalmente ser feita da seguinte forma: - Valor da Duplicata : N -Desconto : D = N(0,03)1 = 0,03N -Valor Líquido : N – 0,03N = 0,97N -Taxa efetiva de Juros: i = (N/0,97N) – 1 = 0,0309 � 3,09%a.m. (b) Analogamente ao item anterior, se considerarmos uma duplicata de valor $100,00, tere-mos: D = 100(0,03)2 = 6 Vd = 94 i= (100/94) – 1 = 6,38% a.b � Isso equivale a 3,19% a.m conforme item (a). 4) Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ga-nhar um taxa de juros de 6% no período. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar? Resolução: Admitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Assim, sendo Vd o valor descontado, teremos:

5) Ao descontar uma duplicata com prazo de 42 dias até o vencimento, um banco pretende ga-nhar uma taxa de juros de 3% a.m. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar? Resolução: Admitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Primeiro, va-mos obter a taxa de juros no período da operação. Assim:

3.3 Relação Entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples:

Vimos, nos exemplos anteriores, como calcular a taxa de juros dada à taxa de desconto e vice-versa, usando o fluxo de caixa da operação. Vejamos, a seguir, como estabelecer uma relação entre ambas. Consideremos que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade

23

de tempo de d e i). Sendo N o valor nominal do título e D o desconto, o fluxo de caixa da opera-ção de desconto, do ponto de vista do banco, é dado pela Figura abaixo: Fluxo de Caixa de uma operação de desconto do ponto de vista do banco

N

nN-D Portanto:

Por meio desta última relação, podemos achar o valor de i dado o valor de d e vice-versa. Exemplos: (1) Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? Resolução: Temos: d=4% e n=3 � Portanto: i= 0,04 = 0,0455 = 4,55%

1-(0,04)3

Assim, a taxa de juros simples da operação vale 4,55% a.m. 2) Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em um banco, propor-cionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% a.m. Qual a taxa de desconto utiliza-da? Resolução: Temos:í = 3% e n = 2. Portanto, usando a mesma relação do exemplo anterior: d 003= 1-d2 -� 0,03 (1-2d)= d 0,03 - 0,06d = d -1,06d = - 0,03

24

d= 0,03 = 0,0283 = 2,83% a.m 1,06 Assim, a taxa de desconto procurada vale 2,83% a.m. Exercícios para fixação: 1) Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Obtenha: a) O desconto comercial. b) O valor descontado (ou valor atual comercial) do título. c) A taxa efetiva de juros no período. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 2) Uma promissória de $ 20.000,00 foi descontada em um banco três meses antes de seu venci-mento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Pergunta-se: a) Qual o desconto comercial? b) Qual o valor atual comercial do título? c) Qual a taxa efetiva de juros no período? d) Qual a taxa efetiva de juros simples mensal da operação? 3) Uma duplicata de $ 12.000,00 foi descontada em um banco 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1 % a.m. Obtenha: a) O desconto. b) O valor líquido recebido pela empresa. c) A taxa efetiva de juros no período. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 4) Uma empresa descontou em um banco um título de valor nominal igual a $ 90.000,00 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a. a) Qual o desconto bancário? b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de ser-viço igual a 1 % do valor nominal do título? 5) Um título governamental com valor de face de $ 100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do ven-cimento, com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% AA. a) Qual o preço de aquisição? b) Qual a taxa efetiva de juros no período proporcionada pela aplicação? 6) Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.800,00 um título governamental com valor de res-gate de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 49 dias, calcule: a) A taxa efetiva de juros no período. b) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 7) Com relação ao exercício anterior, calcule a taxa mensal de desconto comercial utilizada. 8) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 12.000,00 45 dias antes do vencimento. Saben-do-se que ela recebeu um valor líquido de $ 11.720,00, calcule a taxa de desconto comercial mensal da operação.

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9) Uma duplicata de $ 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor desconta-do (valor líquido) de $ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. 10) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontada em um banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a em-presa recebeu um valor líquido de $ 3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1 % do valor nominal (valor de face) do título. 11) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ 15.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou, na data da operação, um imposto (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041 % ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. 12) Para pagar uma dívida de $ 1.055.500,00, uma empresa juntou um cheque de $ 266.500,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $ 980.000,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. 13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $ 7.000,00, para pagamento daqui a três meses, que valor da promissória deverá assinar? 14) Resolva o exercício anterior, considerando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m., pra-zo de pagamento de 47 dias e valor que o cliente precisa hoje igual a $ 12.600,00. 15) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto co-mercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos de vencimento fo-rem: a) Um mês. b) Dois meses. c) Cinco meses. 16) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto co-mercial de 2% a.m. e cobrando uma taxa de despesas administrativas igual a 1 % do valor da duplicata. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos forem: a) Um mês. b) Três meses. 17) Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de dois meses até o vencimento. Tal operação pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1 % a.m. sem taxa de ser-viço. Qual banco a empresa deverá escolher? 18) Se um determinado banco cobra 1 % como taxa de serviço e 36% a.a. como taxa de descon-to comercial em desconto de duplicatas, que taxa efetiva de juros simples mensal estará ga-nhando se os prazos de vencimento forem: a) Dois meses. b) Quatro meses. 19) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em opera-ções de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Três meses. .20) Para promissórias com prazos de vencimento de dois meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período?

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21) Para duplicatas com prazos de vencimento de três meses, que taxa mensal de desconto co-mercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 2% a.m.? 22) Uma taxa efetiva de juros de 14% em um período corresponde a que taxa de desconto co-mercial no mesmo período? 23) Um título com vencimento em 74 dias foi descontado, sendo a taxa efetiva de juros no perío-do igual a 12%. a) Qual a taxa de desconto no período? b) Qual a taxa mensal de desconto? 24) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em opera-ções de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá utilizar se os pra-zos de vencimento forem: a) Um mês. b) Três meses. c) Vinte e cinco dias

25) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Uma financeira deseja obter uma taxa efetiva de 40% a.a. em uma operação de três meses. Nestas condições, a empresa deverá co-brar a taxa anual de desconto comercial simples de: a) 36,36% a.a. b) 37,05% a.a. c) 38,06% a.a. d) 38,5% a.a. 26) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para paga-mento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (neste tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa no período, neste caso, três meses). 21) Um desconto de 20% para pagar à vista um produto cujo preço é dado. para pagamento em quatro meses corresponde a que taxa efetiva di juros no período? 28) (Palestra do professor Mário Henrique Simonsen na FGV-Rio) "Em 1964, foi oferecido a um executivo um empréstimo a uma taxa de desconto de 4,5% a.m., por seis meses, e ele não acei-tou, preferindo mesma taxa por um período de 12 meses. Resultado: pagou uma taxa efetiva de 117,39% a.a., em vez de 87,65% a.a., e perdeu o emprego. Confirme o resultado anterior, utili-zando o conceito de taxa efetiva de juros. 29) Dois títulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados uma taxa de descon-to comercial de 6% a.m. Sendo de $ 900.000,00 a soma de seus valores nominais e de $ 128.400,00 a soma dos descontos, determine o valor nominal de cada título. 30) Dois títulos, um de $ 376.200,00 e outro de $ 253.800,00, foram descontados a uma taxa de desconto de 6% a.m., sofrendo um desconto total de $ 71.748,00. O vencimento do primeiro o-corre 20 dias depois do vencimento do segundo. Determine os prazos de vencimento de cada título. 3.4 Operações com um conjunto de títulos . Vimos como proceder para descontar um único título. Caso tenhamos um conjunto de títulos (chamado borderô, no caso de duplicatas), o seu valor atual comercial (ou valor líquido) é a soma dos valores atuais de cada título.

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Exemplos:

1)Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para serem descontadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa?

Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento

A 20.000 30 dias

B 40.000 65 dias

C 80.000 82 dias Resolução · Duplicata A � DA = 20.000(0,02)1 = 400 � V liq = 19.600 · Duplicata B � DB = 40.000 (0,02/30) 65 = 1.733,33 � V liq = 38.266,67 · Duplicata C� DC = 80.000 (0,02/30) 82 = 4.373,33 � V liq = 75.626,67 Desta forma, o valor líquido liberado pela empresa foi de: $ 133.493,34 O mesmo resultado poderia ser obtido subtraindo-se do total do borderô ($ 140.000,00) a so-ma dos descontos ($ 6.506,66). O fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco, é:

20.000 40.000 80.000

0 30 65 82 dias

133.493,34 O Fluxo de caixa de um banco que adiantou$ 133.493,34 para receber duplicatas de :$ 20.000; $40.000 e $80.000 em diferentes datas.

efetiva de juros, o procedimento é um pouco mais complexo do que com um único título. No caso de vários títulos, a taxa efetiva de juros é a taxa interna de retomo do fluxo de caixa da operação (TIR), assunto que estudaremos mais adiante. 3.4 Prazo médio de um conjunto de títulos: Chama-se de prazo médio de um conjunto de títulos ao prazo em que se deve descontar o valor total do conjunto, a uma certa taxa de desconto comercial, para obter o mesmo resultado que a soma dos descontos de cada título, à mesma taxa de desconto. Sejam: N1, N 2, N 3, ... , Np os valores dos títulos com prazos respectivos iguais a n1, n2, n3, ... , np, e d a taxa de desconto comercial.

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Chamando de n o prazo médio, teremos, por definição:

Isto é, o prazo médio é a média ponderada dos prazos dos títulos, sendo os pesos iguais aos valores de cada título. Exemplo : Qual o prazo médio do borderô do exemplo da página anterior?

ñ = (20.000)30 + (40.000)65 + (80.000)82 = 69,71 dias20.000+40.000+80.000

Portanto, se descontarmos o valor do borderô ($140.000,00) a uma taxa de 2% am. No prazo de 69,71 dias, obteremos: D = N d n D = (140.000) (0,02/30) (69.71) = $ 6.506,27. Exercícios para Fixação : 31) Em cada borderô a seguir, suponha que as duplicatas sejam descontadas à taxa de des-conto de 1,8 % am. Obtenha o valor líquido de cada borderô em cada caso: a)

Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento

A 45.000 16 dias

B 60.000 38 dias b)

Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento

A 15.000 20 dias

B 27.000 32 dias

C 19.000 45 dias

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c)

Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento

A 26.000 16 dias

B 15.000 25 dias

C 40.000 35 dias

Dl 62.000 40 dias 32) Com relação aos dados do exercício anterior, calcule o prazo médio de cada borderô e mostre que, descontando-se o valor total de cada um, no seu prazo médio e à taxa dada, chega-se aos mesmos valores líquidos do exercício anterior. 33)Mostre que, se um borderô tem todas as duplicatas no mesmo valor, o prazo médio é igual á média aritmética dos prazos das duplicatas deste borderô. 34)No seguinte borderô, suponha que cada duplicata seja descontada à taxa de desconto in-dicada. Qual seu valor líquido?

Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento

Taxa de desconto

A 40.000 20 dias 1,5% a.m.

B 350.000 35 dias 2% a.m.

C 125.000 50 dias 2,5% a.m. 35) Com relação ao exercício anterior, com qual taxa (constante) de desconto deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o mesmo valor líquido do exercício anterior? 36)Duas duplicatas, uma de $25.000,00 e 18 dias até o vencimento, outra de $ 32.000,00 e 38 dias até o vencimento, foram descontadas em um banco: a primeira a uma taxa de des-conto de 3% a.m. e a segunda a uma taxa de 4% a.m. a) Qual o valor líquido? b) Qual o prazo médio do borderô. (c) Com qual taxa (constante) deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o valor líquido do item a?

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4 – Juros Compostos 4.1 Fórmula do Montante

Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre calculados sempre sobre o montante inicial. Quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capita-lização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros corres-pondentes ao prazo da aplicação ou da divida. A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja,” M” , o montante, “C” , o capital inicial, “ n” , o perí-odo e “ i” , a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defronta-mos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 me-ses. Dados: “C” = 1.000,00, o “n” = 5 meses, o “i” = 4% ao mês e calcular o “M” = ?

• quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.

Mês capital inicio juros cor. montante final (t) mês (P t) mês (J t) mês (m t)

1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65 O valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvi-mento anterior, sem no entanto efetuar os cálculos ali demonstrados. M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1

M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 ..................... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4= 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5

O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 = 1.000,00 (1,04)5.

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Como (1,04)5 = 1,21656 ⇒ m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determi-nado anteriormente.

Substituindo cada n da expressão M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos

M = C ( 1 + i)n Observações

1)O fator (1 + i) n , chamado de fator de acumulação de capital para pagamento único, pode ser calculado diretamente com uma calculadora, ou, ainda, pode ser obtido em tabelas finan-ceiras – disponíveis no site do professor: 2)É importante ressaltar que n deve ser expresso sempre na unidade de tempo estipulada na taxa. O procedimento de se alterar a taxa para que ela fique de acordo com a unidade de tempo de n será visto no item seguinte. 3) As calculadoras financeiras permitem calcular diretamente qualquer valor das quatro variá-

veis da fórmula, dados os valores das outras três. A terminologia utilizada é a seguinte:

PV : (do inglês Present Value) representa o Capital . FV : (do inglês Future Value) representa o Montante . i (do Inglês Interest ) representa a taxa de juros n representa o número de períodos

É importante destacar que, na maioria das calculadoras, os valores de PV e FV aparecem um com sinal positivo e outro com sinal negativo. Isto porque, nas teclas financeiras, uma entrada de caixa é representada por um número positivo, ao passo que uma saída é representada por um número negativo. Assim, em uma operação a juros compostos com pagamento único, para o to-mador do empréstimo, PV é positivo e FV é negativo; para o emprestador, PV é negativo e FV é positivo:

PV FV

Tomador de empréstimo emprestadorFV PV

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IMPORTANTE :

Alunos que adquirirem a calculadora financeira HP- 12 receberão um treinamento es-pecial para o entendimento do funcionamento da calc uladora. Os exercícios de juros compostos necessitarão o uso pelo menos de uma calculadora que efetue cálculos de potência. Sem o que o aluno deverá recorrer às tabelas de ju-ros. Para a resolução de todos os exercícios faremos a s eguinte sequencia: Primeiro utili-zaremos as fórmulas aprendidas depois faremos a uti lização das teclas financeiras na HP-12C.

EXEMPLOS de cálculos de JUROS COMPOSTOS : Agora teremos 6 exemplos para que vocês acompanhem a resolução junto com o professor: (1) Um capital de $6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante três meses à taxa de 2% a.m. a) Qual o Montante? b) Qual o Total de Juros auferidos?

a) Resolução: C= 6.000 ; i= 2%.a.m e n= 3 meses M=C(1+i)n � M= 6.000 (1+ 0,02)3 = 6.000 (1,02)3 = 6.367,25

b) Resolução : M= C+J � J= M-C � J= 6.367,25 – 6.000,00 � J= 367,25

• Agora o ex, 01 na calculadora financeira:.....(acompanhe com o professor...). (2) Que capital aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de $3.500,00 após um ano?

(3) Um capital de $ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, produ-zindo um montante de $.3.500,00. Qual a taxa mensal de juros? (4) (LOGARÍTIMO ) Durante quanto tempo um capital de $ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de $ 1.610,51?

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Exercícios de fixação: Importante: para fixação dos conceitos de juros com postos é imprescindível que os exercícios sejam resolvidos da seguinte forma: 1º) Construa o fluxo de caixa. 2º) identi-fique a fórmula a ser utilizada e depois faça os cá lculos e no final 3º) utilize as teclas financeiras da HP-12C para resolução e conferencia do resultado. 1) Qual o montante de uma aplicação de $ 50.000,00 a juros compostos pelo prazo de seis meses, à taxa de 2% a.m? 2)Obtenha o montante das aplicações a seguir, considerando o regime de juros compostos:

Capital $ Taxa Prazo FV(VF) ou M= $

80.000,00 36% a.a. 2 anos 80.000 (1+0,36)2 147.968,00

65.000,00 3% a.m. 1 ano

35.000,00 7% a.t 1 ano e meio 3)Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período. 4) Uma pessoa aplica hoje $ 4.000,00 e aplicará $ 12.000,00 daqui a três meses em um fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m. Qual seu montante daqui a seis meses? 5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, durante nove anos, à taxa de ,10% a.a., produz um montante de $ 175.000,00? 6) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, gerando um mon-tante de $ 3.500,00. Qual a taxa mensal? 7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capi-tal aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? 8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante nove meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 9) Um fogão é vendido à vista por $ 600,00, ou, então, a prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela de $ 550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 10) (LOG) Durante quanto tempo um capital de $ 5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $ 5.767,00? 11) (LOG) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2%, para que duplique? 12) Alberto aplicou $ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a. a) Qual o montante? b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação?

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13) Aplique hoje $ 55.000,00 e receba após seis meses $ 60.000,00. Qual a taxa mensal de ren-dimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos? 14) Milena adquiriu um aparelho de som há seis meses por $ 800,00. Estando o aparelho em óti-mo estado de conservação, e desejando vendê-Io com um retorno de 2% a.m. sobre o capital a-plicado na compra, calcule o preço de venda, considerando o regime de juros compostos. 15) Uma empresa vende um componente eletrônico por $ 200,00 a unidade, sendo o pagamento feito dois meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é $ 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? OBS: Na sequencia os exercícios envolvem a utilizaç ão dos conceitos de DESCONTOS, cobrindo o Capítulo 3: Descontos Simples . 16) A política de vendas de uma empresa produtora de materiais de construção é conceder três meses de prazo para pagamento; se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 6% sobre o preço para pagamento em três meses. Qual a taxa trimestral de juros compostos do financia-mento? 17)Uma empresa vende determinada matéria-prima por $ 1.500,00 a tonelada, sendo o pagamen-to feito dois meses após a compra. Para pagamento à vista, a empresa dá um desconto de 5% sobre os $1.500,00. Qual a taxa mensal de juros compostos pagos no financiamento? 18)Uma duplicada de $6.000,00 foi descontada em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m., quatro meses antes do vencimento. (a) Qual o valor líquido da duplicata? e b) Qual a taxa mensal de juros da operação? 19) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ 18.000,00 dois meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2,3% a.m. a) Qual o valor líquido recebido pela empresa? b) Qual a taxa mensal de juros simples da operação? c) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação? 20) A empresa Vesúvio Ltda. descontou em um banco A uma duplicata de $ 100.000,00 três meses antes do seu vencimento. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de desconto, pergunta-se: a) Qual o valor líquido recebido pela empresa? b) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação? 21)Com relação ao exercício anterior , suponha que a empresa consiga, em um outro banco B, um empréstimo igual ao valor líquido da duplicata, para ser pago no mesmo prazo (três meses), sendo cobrados juros compostos com taxa de 3,6% a.m. Qual a melhor opção para a empresa? 22) Qual seria a resposta do exercício anterior se o banco B cobrasse, ainda, uma taxa de servi-ço de 1 % do valor do empréstimo, paga no instante da liberação do crédito?

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4.2 – Períodos não inteiros

Importante: Se o Capítulo 3 não foi ensinado (foi p ostergado) é recomendável ir para o item 4.3 – Taxas equivalentes e voltar aqui depois da concl usão do Capítulo 4 . Na dedução da fórmula do montante, vista no item anterior, o prazo era um número inteiro não negativo. A fórmula do montante M = C(1 + i)n é geralmente estendida para valores de n positi-vos e não inteiros, e esta convenção é conhecida como convenção exponencial . Teoricamente, há uma outra convenção, chamada linear , que consiste em calcular o montante a juros compostos durante a parte inteira do período e, sobre o montante assim obtido, aplicar juros simples durante a parte não inteira do período considerado. Esta última convenção é rara-mente utilizada na prática. © - Na HP12 = Método Americano: STO e EEX Os 5 Exemplos: (Acompanhe com o professor) Exemplo(1) Uma empresa recebeu um empréstimo para capital de giro no valor de $ 30.000,00, para pagamento em 56 dias. O banco cobrou juros compostos a uma taxa de 52% a.a. Qual o montante? Resolução: Sendo a taxa dada ao ano, o valor de n (em anos) é dado por: n= 56/360 Desta forma, teremos:

M = C(1+i)n � M = 30.000 (1.52) 56/360 = 32.019,02 Na HP 12 C: ... Exemplo(2) Um cliente recebeu um empréstimo bancário de $ 15.000,00 e pagou após 72 dias um montante de $ 16.102,77. Qual a taxa mensal de juros compostos do empréstimo?

Resolução: Como queremos a taxa mensal do empréstimo, devemos expressar o prazo em meses; portanto, n = 72/30, Assim: 16.102,77= 15.000(1 + i)72/30 � (1 + i)72/30 = 1,0735 Elevando ambos os membros a expoente 30/72-, teremos: ((1 + i)72/30)30/72 = (1,0735)30/72 (1 + i)1 = (1.0735) 0,4167

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1 + i = 1,03 i = 0,03 = 3% a.m. A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma: acompanhe com o pro-fessor: Exemplo(3) Em relação ao exemplo anterior, qual a nova taxa mensal se o dinheiro for liberado na conta da pessoa quatro dias após a assinatura do contrato do empréstimo (float de quatro dias)?

Resolução Neste caso, o capital e o montante são os mesmos do exemplo anterior. Todavia, o prazo foi en-curtado para 68 dias (72 - 4). Assim, a nova taxa é dada por: M = C( 1+ i ) n � 16.102,77 =15.000(1 +i)68/30 Continue.... A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma: . Exemplo(4 )Um banco cobra, em certa linha de crédito, juros compostos à taxa de 30% a.a. Se for feito um empréstimo por 75 dias a uma empresa, que taxa de abertura de crédito o banco deverá cobrar para que resulte em uma taxa efetiva de juros de 35% a.a.?

Resolução Como não é mencionado o valor do empréstimo solicitado, adotemos para ele o valor $ 100 (ado-tando qualquer outro valor obteríamos a mesma resposta) . Assim, o montante após 75 dias será: M = 100(1,30)75/360 = 105,62 Para que a taxa efetiva resulte em 35% a.a., o banco deverá efetivamente emprestar um capital C, tal que: C(1,35)75/360 = 105,62 1,0645C =105,62 C = 99,22

Assim, a taxa de abertura de crédito deverá ser 100 - 99,22 = 0,78. Ou seja, para cada $ 100 de empréstimo, o banco deverá cobrar $ 0,78. Portanto, a taxa de abertura de crédito deverá ser de 0,78/100 = 0,78%.

Exemplo(5) Um banco pretende ganhar uma taxa efetiva de juros compostos de 36% a.a. em operações de desconto de duplicatas com prazo de 45 dias. Que taxa mensal de desconto deve-rá utilizar?

Resolução Adotemos para a duplicata o valor $ 100 (qualquer outro valor poderá ser utilizado). O valor líqui-do V recebido pela empresa deverá ser tal que: V(1,36)45/360 = 100

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V(1,0392) = 100 V = 96,23

Conseqüentemente, o valor do desconto será: D = 100 - 96,23 = 3,77. Lembrando que a fórmula do desconto é D = Ndn , e que desejamos a taxa de desconto mensal, podemos escrever: 3,77 = 100d 45 30 Portanto:

d = (3,77)(30) = 0,0251 = 2,51% a.m. 4.500 Exercícios para fixação: (vide nota no início do item 4.2) 23) Mário fez uma aplicação de $ 12.000,00 por 18 meses à taxa de 22% a.a. a) Qual o montante pela convenção exponencial? b) Qual o montante pela convenção linear? 24) Em um empréstimo a juros compostos de $ 100.000,00, a taxa foi de 2% a.m. e o prazo de 90 dias. No entanto, havia uma cláusula contratual estabelecendo a convenção linear caso o pa-gamento fosse feito com atraso. Se o pagamento foi feito com um atraso de 17 dias, qual o valor do montante? 25) Resolva o exercício anterior considerando a convenção exponencial. 26) Uma empresa tomou um empréstimo para capital de giro no valor de $ 10.000,00 por 30 dias, à taxa de 75% a.a. Qual o montante? 27) Resolva o exercício anterior considerando um prazo de 37 dias. 28) Uma empresa tem duas opções para levantar um empréstimo: descontar uma duplicata com prazo de vencimento de 30 dias a uma taxa de desconto de 4% a.m. ou, então, tomar um empréstimo de capital de giro pelo mesmo prazo, com valor igual ao valor líquido da duplicata, a juros compostos com taxa de 4% a.m. Qual sua melhor opção? 29) No exercício anterior, qual deveria ser a taxa de juros do empréstimo de capital de giro para que a empresa ficasse indiferente entre as duas opções? 30) Qual o valor aplicado em uma operação a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante de $ 170.000,00 e taxa de 2,2% a.m.? 31) Um empréstimo de $ 8.000,00 a juros compostos deve ser pago após 64 dias, sendo o mon-tante igual a $ 8.500,00. Obtenha as taxas mensal e anual desta operação.

38

32) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro tenha sido liberado na conta da empresa tomadora do empréstimo três dias após a assinatura do contrato do empréstimo (float de três dias). Qual a nova taxa mensal nestas condições? 33) Se um determinado banco informa a taxa de desconto comercial de 2,8% a.m. em opera-ções de descontos de duplicatas com prazo de 30 dias, qual a taxa efetiva anual de juros com-postos da operação? 34) Em suas operações de empréstimo de capital de giro, um banco cobra uma taxa de juros compostos de 45% a.a. Se um cliente concordar em pagar apenas a taxa de 40% a.a., que taxa de abertura de crédito (flat) o banco deverá cobrar para que a taxa efetiva anual resulte em 45% a.a.? Considere o prazo da operação igual a 63 dias. 35) Resolva o exercício anterior considerando que o cliente concorde em pagar a taxa de 41% a.a.

36) Considere uma operação de capital de giro em que o banco deseja uma remuneração efetiva (juros compostos) à taxa de 5% no prazo de 35 dias. Se o banco trabalha com uma taxa de aber-tura de crédito (flat) de 1 % sobre o valor do capital emprestado, que taxa de juros compostos a-nual (taxa contratual) deverá cobrar? 37) Resolva o exercício anterior considerando uma taxa de abertura de crédito igual a 1,5% sobre o valor do capital emprestado. 38) Um banco desconta duplicatas com prazo de 35 dias a uma taxa efetiva anual (juros com-postos) de 38% a.a. Qual a taxa de desconto comercial mensal utilizada? 39) Considere uma duplicata com prazo de 32 dias e uma taxa efetiva anual (juros compostos) de 41 % a.a. Qual a taxa de desconto comercial mensal utilizada? 40) Um banco desconta uma duplicata com prazo de 42 dias utilizando uma taxa de desconto comercial de 1,9% a.m. Qual a taxa efetiva anual (juros compostos) da operação? 41) No exercício anterior, considere que o dinheiro seja liberado na conta do cliente, quatro dias após a negociação (portanto, o prazo do empréstimo passa a ser de 38 dias, embora o cálculo tenha sido feito com base em 42 dias). Qual a taxa efetiva anual (juros compostos) da operação? 42) Um banco emprestou para uma empresa um capital de $ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de $ 530.000,00, calcule: a) A taxa efetiva mensal (juros compostos) da operação. b) A taxa efetiva mensal (juros compostos), considerando a liberação de dinheiro três dias após a assinatura do contrato. 43) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro tenha sido liberado na assinatura do contrato, mas que foi cobrada uma taxa de abertura de crédito de 1 % do capital emprestado. Qual a taxa efetiva mensal (juros compostos) da operação?

39

4.3 Taxas equivalentes

Vimos, na fórmula do montante M = C(l + i)n, que habitualmente expressamos o prazo “n” de acordo com a unidade de tempo da taxa; todavia, poderíamos expressar “i” de acordo com a unidade usada para “n” . Consideremos uma outra situação na qual precisemos escolher uma entre duas taxas para aplicação: uma anual e outra mensal. Em ambos os problemas, temos de converter uma taxa, em um período, em outra, em outro pe-ríodo, de modo que as duas produzam o mesmo montante. Desta idéia de transformação surge o conceito de taxas equivalentes. Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim, se i1 e i2 forem as taxas e n1 e n2 os referidos prazos expressos nas unidades das respec-tivas taxas, então, deveremos ter: C(1 + i1)

n1 = C(1 + i2)n2

(1 + i1)

n1 = (1 + i2)n2

Exemplos: (acompanhe com o professor) Exemplo(1) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Resolução: Chamando de i1 a taxa anual procurada e i2 = 2% a.m. a taxa conhecida e, ainda, ado-tando um prazo padrão de um ano, teremos: i1 (taxa anual) n1= 1 ---- i2 = 2% a.m. n2 = 12 Assim: (1 + i1)

1 = (1,02)12

i1 = (1,02)12 - 1 = 0,2682 = 26,82% a.a. Portanto, a taxa de 26,82% a.a. é equivalente a 2% a.m. no regime de juros compostos. É impor-tante observarmos que se tivéssemos adotado um outro prazo padrão (digamos de dois anos), o resultado seria o mesmo, pois a razão entre n1 e n2 seria a mesma. Exemplo(2) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.? Resolução : Adotando o prazo padrão de um ano, teremos: i1 (taxa trimestral) i2 = 15% a.a. n1 =4 n2 = 1

Assim: (1 + i1)

4 = (1,15)1 ((1 +i1)

4)1/4 = (1,15)1/4

(1 + i1)

1 = (1,15)1/4

40

i1 = (1,15)1/4 -1 = 0,0356 = 3,56%a.t. Portanto, em juros compostos, a taxa de 3,56% a.t. equivale a 15% a.a. Exemplo(3) Em juros compostos, quais as taxas: mensal e anual equivalente a 8% a. t.? Exemplo(4) Em juros compostos, quais as taxas : anual e mensal equivalente à taxa de 3% em 45 dias? Exercícios para fixação: 44) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a)1,8% a.m. b)2,5%a.b c) 4,5% a.t. d) 18%a.s. 45) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas: a) 75% a.a. b) 50% a.s c) 21% a.t. d) 6,5% a.b. e) 0,12% a.d. 46) Os compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes: a) 0,14% a.d. b) 1,6% a.m c) 2,7% a.b d) 4,1% a.t. e) 96% a.a 47) Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.? 48) Em juros compostos, qual a taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.? 49) Em juros compostos, o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa de 26% a.a. ou à taxa de 2,1 % a.m.? 50) Um investidor pode aplicar seu capital por três meses a juros compostos à taxa de 33% a.a. ou à taxa de 2,5% a.m. Qual a melhor alternativa?

51) O que é melhor: aplicar um capital a juros compostos por seis meses à taxa de 4,5% a.t. ou à taxa de 6% a.q. (ao quadrimestre)?

41

Matemática Financeira Exercícios: Série Especial (1). – Juros com capitalização Composta ALUNO:__________________________________ RA:_______ ________ TURMA_________ Demonstre como chegou aos resultados dos exercícios: Você deverá primeiro, após a rigorosa leitura, confeccionar o Fluxo de Caixa com os dados do problema e em seguida informar a fórmu-la que utilizará para resolver o problema. Faça á lápis e depois transporte o resultado para o ga-barito no final deste trabalho utilizando caneta azul ou preta. (1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao

mês.

(2) No final de 2 anos, o Sr Procópio deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor emprestado?

(3) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de 100.000,00 `a taxa de 3,75% ao mês?

(4) Um agiota empresta 80.000,00 hoje para receber 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular a taxa mensal e anual deste empréstimo.

(5) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter $ 1.000.000,00 no final de 19 meses?

(6) Uma empresa obtém um empréstimo de 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado?

(7) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00

no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros?

(8) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou

aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?

(9) Fiz uma aplicação em CDB no valor de R$ 600.000,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a rentabilidade será de 25% ao bimestre. Qual é o montante final?

(10) Foi oferecido a um aplicador um papel com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa mensal?

(11) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses a uma taxa de juros de 7,50% ao mês?

(12) Uma loja financia um televisor de R$ 390,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação de R$ 700,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por e-la?

42

As questões a seguir são para o cálculo de Taxas Equivalentes: Utilize apenas 02 (duas) casas

depois da vírgula e sempre arredondando a última co nforme regra convencional. Para os exercícios 13 a 25 não é necessário deixar os cálculos no trabalho.

Considere Juros Comerciais para todos os casos

Taxa dada: %a.a. %a.m. %a.d %a.t. %a.b.

13 0,13 % a.d.

14 25% a.m.

15 50% a.b.

16 33% a.t.

17 150% a.sem.

18 400% a.a.

19 66 % a.a. equivale a % para 75 dias

20 120% a.a. equivale a % para 75 dias

21 100 % é a taxa para 42 dias, portanto: % é o equivalente ao ano.

22 200 % é a taxa para 75 dias, portanto: % é o equivalente ao mês

23 584% a.a. equivale a % para 60 dias

24 13,68% em 15 dias equivale a % ao bimestre

25 0,1 % ao dia equivale a % ao ano

Calcule as Taxas equivalentes para :

Gabarito:

1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

Professor Cláudio Campos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof. Claudio Campos Exercícios: Série Especial (2). – Juros com capitalização Composta

Nome____________________________________ RA __________ Sala________

1)Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capi-tal aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?

2) Converta as taxas considerando juros compostos: Demonstre os cálculos (obrigatório)

. 2.1) 10% ao.sem. é equivalente a __________% ao ano

2.2) 0,003% ao dia é equivalente a __________% ao ano

2.3) 3% ao bimestre é equivalente a __________% ao trimestre

2.4) 0,5% a.m. da poupança equivale a __________% a.a.

2.5) 250% a.a. equivale a __________% ao bimestre

2.6) 112% ao semestre equivale a __________% ao quadrimestre

2.7) 40% ao mês equivale a __________% ao dia

2.8) 40% ao período de 40 dias equivale a ___________%ao mês.

2.9) 62% ao ano equivale a ___________% para 68 dias.

2.10) 125% ao mês equivale a ___________% para 68 dias.

UNIP

44

5- Taxa Real de Juros (Inflação e Correção Monetári a) 5.1 INTRODUÇÃO

A inflação é o fenômeno conhecido como o aumento persistente dos preços de bens e servi-ços. A conseqüência disso é que a moeda perde seu poder aquisitivo, sendo a perda tanto maior quanto maiores forem esses aumentos de preços. Por exemplo, se a taxa de inflação for de 200% em um ano, isto significa que, em média, os preços dos produtos triplicaram; assim, se inicialmente $ 5.000,00 compravam uma cesta de produtos, após um ano comprarão ape-nas um terço desta cesta.

Existem inúmeros fatores que afetam a inflação: escassez de produtos, déficit orçamentário do Governo com emissão descontrolada de dinheiro, desequilíbrio na balança de pagamentos etc. Quando se diz que a taxa de inflação anual foi de 20%, isto não significa que todos os produtos tiveram preços que subiram 20%, mas sim que a média ponderada dos aumentos de preços de alguns produtos foi de 20%. Assim, alguns produtos podem ter subido 15% e outros 25%, por exemplo. Em uma época de inflação elevada, quem consegue aplicar a taxas de ju-ros superiores às taxas de inflação acaba se beneficiando; aqueles que aplicam seu dinheiro a taxas inferiores às taxas de inflação acabam se prejudicando. Em virtude de a alta taxa de inflação corroer rapidamente o poder aquisitivo da moeda, é fun-damental analisar a relação das taxas de juros com as taxas de inflação. Muitas vezes uma aplicação financeira produz resultados que são meramente ilusórios, quando o aplicador não leva em conta a inflação. Por exemplo, se alguém aplicar um capital por um ano à taxa de 15% a.a., e a inflação no mesmo período for de 20%, seu ganho nem sequer conseguirá repor o poder aquisitivo do dinheiro aplicado. Entretanto, dependendo das oportunidades do investi-dor, é possível que seus rendimentos fiquem abaixo da taxa de inflação, mas mesmo assim é melhor do que ficar com o dinheiro parado. No item seguinte, veremos como se pode medir a variação de preços de um único produto, com o objetivo de, em seguida, generalizar a idéia para um conjunto de produtos. 5.2 ÍNDICE DE PREÇOS

Consideremos um produto que, no instante 0 (chamado de época base), tenha um preço Po e que, no instante t (t > O), tenha um preço Pt. Define-se o índice de preços desse produto en-tre os instantes O e t (e indica-se por PO,t) ao número:

P o,t = Pt / Po Ou seja, a variação porcentual de preços de um produto é a razão entre o preço final e o inici-al menos um (ou, ainda, é o índice de preços menos um). Exemplo

No início de setembro de certo ano, o preço de um produto era $ 30,00 e, no início de outubro do mesmo ano, era $ 31,00.

a) Qual o índice de preços deste produto entre as duas datas? b) Qual a variação porcentual de preços correspondente?

45

Resolução:

a) Índice de preços: 31 = 1,0333 30

b) Variação porcentual de preços: 31 - 1 = 0,0333 = 3,33% 30 5.3 TAXA ACUMULADA : Consideremos três instantes de tempo a, b e c, tais que a < b < c. Seja j1 a variação de preços entre a e b, e j2 a variação de preços entre b e c (Figura abaixo). A taxa acumulada de variação de preços é a variação porcentual de preços entre a data final c e a data inicial a, e será indicada por J AC

J1 j2

a b c Figura acima� j1 é a variação porcentual de preços entre a e b, e j2, entre b e c.

É valida a seguinte relação: J AC = (1 + J1)( 1 + J2) - 1

Exemplo 1: Em dois anos sucessivos, um determinado produto aumentou 10% e 12%, respecti-vamente. Qual a taxa de aumento acumulada no período? Resolução:

10% 12%

0 1 2 Figura acima: Taxas de inflação de 10% e 12% em dois anos sucessivos. Temos: JAC = (1 + 0,10)(1 + 0,12) - 1 = 0,232 = 23,2% ... Assim, o aumento acumulado no período foi de 23,2%. A propriedade dada na relação acima pode ser generalizada. E assim ficaria: JAC = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ........(1 + in) - 1

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Exemplo 2 Em janeiro, fevereiro, março e abril de certo ano, o preço de um produto teve os se-guintes aumentos, respectivamente: 1,2%, 1,5%,0,6% e 0,7%. Qual a taxa acumulada de aumen-to no quadrimestre?

Resolução:

JAC = (1.012) (1,015 )(1,006 )(1,007) - 1 = 0,0406 = 4,06% 5.4 PRINCIPAIS ÍNDICES AGREGADOS DE PREÇOS – MEDIDA S DE INFLAÇÃO

Usualmente, um índice agregado de preços é construído baseando-se na evolução mensal de preços de uma cesta básica, previamente definida com base nas quantidades físicas de seus componentes. Assim, por exemplo, uma cesta básica hipotética poderia ser um conjunto constitu-ído de 1Kg de arroz e 1Kg de feijão. É claro que as medidas usuais de inflação utilizam-se de cestas básicas com uma gama variada de produtos, de tal forma que os produtos da cesta e suas quantidades definem um determinado índice de inflação. A taxa de inflação de um dado mês é a variação porcentual do preço médio da cesta básica na-quele mês em relação ao preço médio da cesta básica no mês anterior. Por razões de ordem estatística, o índice de inflação é definido como 1 (ou 100%) no mês base; em um mês qualquer, o índice é igual ao preço médio da cesta básica desse mês dividido pelo preço médio da cesta básica do mês base. O mês base geralmente é o mais antigo. Exemplo:

Consideremos que, no mês base, o preço médio de uma cesta básica seja $ 500,00 e, nos me-ses subseqüentes, seja $ 510,00, $ 520,00 e $ 540,00. Obter as taxas de inflação de cada mês, em relação ao mês anterior, e os respectivos índices.

Resolução: Chamemos o mês base de O e os demais meses de 1,2 e 3. Teremos:

MÊS PREÇO MÉDIO

DA CESTA BÁSCA

TAXA DE INFLAÇÃO ÍNDICE DE INFLAÇÃO

0 500 --------------------------- 1 ( 100%)

1 510 510/500 – 1 = 2% 510/500 = 1,02 = 102%

2 520 520/510 – 1 = 1,96% 520/500 = 1,04 = 104%

3 540 540/520 – 1 = 3,85% 540/500 = 1,08 = 108%

47

É importante notar que a variação porcentual do índice de um mês em relação ao do mês ante-rior é igual à taxa de inflação do mês. Assim, por exemplo, a inflação do mês 3 poderia ser obtida por: J3 = 1,08 - 1 = 3,85% 1,04 A seguir, descreveremos os principais índices de inflação utilizados no Brasil. 5.4.1 Índice de Preços por Atacado (lPA)

É um índice calculado mensalmente pela Fundação Getúlio Vargas (FGV), objetivando medir as variações de preços de produtos em transações feitas no atacado, e com dados coletados em todo o País. Se forem incluídos bens destinados à exportação, o índice é chamado de IPA-conceito oferta global; se não, IPA-conceito disponibilidade interna. O cálculo é baseado em cen-tenas de produtos e publicado mensalmente na revista Conjuntura Econômica e nos principais veículos de comunicação especializados.

5.4.2 Índice de Preço ao Consumidor (lPC) e Índice de Custo de Vida (lCV)

São índices que objetivam medir variações de preços de produtos de consumo de famílias com características bem definidas. Os órgãos que calculam estes índices dependem da região do Pa-ís. Em São Paulo, por exemplo, há o IPC da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da USP (FIPE), o ICV apurado pelo Departamento Intersindical de Estatísticas e Estudos Sócio-Eco-nômicos (Dieese), o índice de Custo de Vida da Classe Média (ICVM) apurado pela Ordem dos Economistas de São Paulo e o IPC da FGV.

5.4.3 Índice Nacional de Preços ao Consumidor (lNPC )

É um índice calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), utilizando-se dados de 11 regiões metropolitanas do País, com dados de consumo de faixas de renda de um a oito salários mínimos. Uma variante deste índice é o IPC-AMPLO ou IPCA, que é baseado em dados de consumo na faixa de 1 a 40 salários mínimos. Em ambos os casos, os dados de preços são coletados do dia 1º ao 30º de cada mês.

5.4.4 Índice Geral de Preços (lGP)

É um dos mais populares índices de inflação utilizado no Brasil. Calculado pela Fundação Getú-lio Vargas e publicado mensalmente na revista Conjuntura Econômica. Este índice é dado pela média ponderada dos seguintes índices:

. IPA com peso 0,6 (60%); . IPC do Rio de Janeiro com peso 0,3 (30%); · Índice Nacional do Custo de Construção (INCC) com peso 0,1 (10%).

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Exercícios para fixação: 1) Em 1º de março de certo ano, o preço de um produto era $ 60,00 e, em 1º de dezembro de mesmo ano, o preço era $ 70,00. Qual o aumento porcentual de preço? 2) Em 3/1/2005, o preço de uma ação era $ 3,20 e, em 1/2/2005, o preço desta ação era $ 2,90. Qual a variação porcentual no preço? 3) Em janeiro, o preço médio de uma cesta básica era $ 150,00 e, em fevereiro, o preço médio era $ 153,00. Qual a taxa de inflação de fevereiro? 4) Em agosto de um certo ano, o preço de um produto aumentou 2% e, em setembro do mesmo ano, aumentou 3%. Qual a taxa de aumento acumulado no bimestre? 5) Em janeiro, fevereiro e março de um certo ano, as taxas de inflação foram, respectivamente, 1,6%, 0,76% e 0,92%. Qual a taxa acumulada de inflação no trimestre? 6) Em quatro meses consecutivos, o preço de um produto aumentou 2%, 2,6%, 3,1 % e 1,2%. Qual a taxa de aumento acumulado no quadrimestre? 7) Em um bimestre, a taxa acumulada de inflação foi de 5%; no primeiro mês, a taxa foi de 2%. Qual a taxa de inflação no segundo mês? 8) A taxa de inflação acumulada em cinco meses foi de 8%. Qual deverá ser a taxa de inflação no sexto mês para que a taxa acumulada no semestre seja 10%? 09) Se em cada um de seis meses consecutivos a taxa de inflação for de 1,7%, qual a taxa acu-mulada no semestre? 10) Se de janeiro a dezembro de um certo ano (Janeiro e dezembro inclusos) a taxa de inflação mensal for de 0,87%, qual a taxa de inflação acumulada no ano? 11) Suponha que, em quatro meses consecutivos, o preço de uma ação tenha caído 5% ao mês. Qual a taxa de queda acumulada no quadrimestre? 12) Se, em junho, o preço de uma ação subir 20% e, em julho do mesmo ano, cair 20%, qual será a taxa acumulada no bimestre? 13) Que taxa mensal de inflação (taxa constante) deverá vigorar em cada um dos próximos cinco meses para que a taxa acumulada no período seja 9%? 14) Que taxa mensal de inflação (taxa constante) deverá vigorar em cada um dos próximos 12 meses para que a taxa acumulada no período seja 18%?

15) Em março, abril e maio de um certo ano, uma carteira de ações desvalorizou-se 10%, 7% e 5%, respectivamente. a) Qual a taxa de desvalorização acumulada no trimestre? b) Que taxa de valorização deverá ocorrer em junho do mesmo ano para recuperar a perda no trimestre?

49

5.5 TAXA REAL DE JUROS Se um capital C é aplicado durante certo período de tempo, à taxa i por período, o montante re-sultante será: M, = C(1 +i)n Se, no mesmo período, a taxa de inflação for j, o capital C corrigido monetariamente pela inflação será: M2= C+ jC = C(1 +j) Se M1 = M2, dizemos que a taxa de juros i apenas recompôs o poder aquisitivo do capital C; se M1 > M2, dizemos que houve um ganho real em relação à inflação; e se M1 < M2, dizemos que houve uma perda real em relação à inflação. Chamamos de ganho real a diferença M1 - M2, que poderá ser positiva, nula ou negativa (neste caso, também chamamos de perda real). Chamamos de taxa real de juros (e indicamos por r) o ganho real expresso como porcentagem do capital corrigido. Assim, chegaremos a:

j

ir

++=+

1

11

Exemplo 1 : Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo pe-ríodo, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?

Resolução Temos: i = 22% j = 12% Logo:

1 + r = 1,22 => r = 0,0893 = 8,93% a.a. Portanto, a taxa real da aplicação foi de 8,93% a.a. 1.12 Exemplo 2: Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de 7% a.s. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 9%. Qual a taxa real da aplicação?

Resolução Temos: i= 7% j=9% Logo:

1 + r = 1,07 � r = - 0,0183 = -1,83% a.s. 1,09 Portanto, a aplicação teve uma perda real de 1,83% a.s.

50

5.6 ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA

No Brasil, principalmente em um passado recente, vigoraram taxas de inflação bastante elevadas e com valores imprevisíveis a médio e a longo prazos. Por conseqüência, ficou praticamente im-possível um contrato entre duas partes ser regido por taxas de juros prefixadas. O mecanismo alternativo utilizado nestes contratos foi o de combinar valores (já acrescidos de juros reais) cor-rigidos monetariamente por algum indexador (que pode ou não ser um índice de preços). A correção monetária foi criada em meados da década de 1960, sendo a variação das Obriga-ções Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN) utilizada como indexador. Tal correção foi insti-tuída por lei para correções de débitos fiscais, saldos de financiamentos de imóveis, FGTS, alu-guéis etc. Com a sucessão dos planos econômicos de combate à inflação, começando pelo Plano Cruzado (março de 1986), foram criados vários indexadores oficiais: Obrigação do Tesouro Nacional (OTN), Bônus do Tesouro Nacional (BTN) e outros. Em fevereiro de 1991, depois do Plano Collor, foi criada a Taxa Referencial (TR), visando a dar uma medida para a expectativa de inflação. Assim, a partir de taxas médias de aplicações finan-ceiras prefixadas, eliminando-se a taxa real embutida, obtém-se a TR (esta taxa real é determi-nada pelas autoridades monetárias e não é um valor constante para todos os meses, mas sim variável de acordo com uma série de circunstâncias). Atualmente, os valores da TR são dados diariamente, sendo a taxa válida de um dia do mês até o mesmo dia do mês seguinte. Assim, por exemplo, a TR de 28/1/2000 até 28/2/2000 vale 0,2246%. Portanto, contratos corrigidos por este indexador devem ser corrigidos em 0,2246% naquele período. Os indexadores mais utilizados atualmente são: a TR, o IGP-DI, o IGP-M e o INCC. Consideremos um valor monetário P, contratado na data 0, para ser pago na data n (já com os juros reais embutidos), com correção monetária entre as duas datas. Suponhamos que, da data 0 à data 1, a taxa de correção seja J1, a taxa de correção da data 1 até a 2 seja J2 e assim por diante, até a taxa de correção Jn da data (n -1) à data n. O valor de P corrigido monetariamente da data 0 à data n é igual a:

P + Pjac = P (1+Jac) = P(1+J1) (1+J2) (1+J3) ... (1+Jn) em que JAC representa a taxa de correção acumulada no período.

Exemplo: Um indivíduo comprou um terreno pagando uma pequena entrada mais três presta-ções anuais de $ 15.000,00 cada (estas prestações já embutem um juro real), corrigidas moneta-riamente pelas taxas de indexação entre a data da compra e a data do pagamento. Considere-mos que as taxas de indexação sejam de 10% no primeiro ano, 15% no segundo ano e 20% no terceiro. Quais os valores das prestações corrigidas monetariamente?

Resolução • 1ª prestação corrigida: 15.000(1,10) = 16.500 • 2ª prestação corrigida: 15.000(1,10)(1,15) = 18.975 • 3ª prestação corrigida: 15.000(1,10)(1,15)(1,20) = 22.770

Assim, as prestações corrigidas monetariamente são de $ 16.500,00, de $ 18.975,00 e de $ 22.770,00.

51

Exercícios para fixação: 16) A taxa de juros para aplicações em 60 dias em um banco é de 4,2% a.b. Que taxa real de juros recebe um aplicador nas seguintes hipóteses de inflação no período: a) 3%. b) 4%. c) 5%. 17) A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40%a.a. Qual é a taxa real de juros, se a taxa de inflação resultar em 15% no mesmo período? 18) Durvail aplicou um capital à taxa de 20% a.a. e, no mesmo período, a taxa de inflação foi de 23%. Qual a taxa real de juros? 19) Um investidor aplicou $ 10.000,00 em um CDB e recebeu um montante de $ 10.200,00 um mês depois. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 1,2%. Qual a taxa real de juros auferida no período? 20) Em relação ao exercício anterior, qual deveria ser o valor de resgate para que a taxa real fos-se de 1 % a.m.? 21) Um indivíduo aplicou $ 20.000,00 por dois meses. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 1 ,8%. Qual o valor de resgate para que a taxa real no período seja nula? 22) Um banco cobra, em empréstimos pessoais por um mês, a taxa real de 2% a.m. Calcule a taxa efetiva que deverá cobrar em seus empréstimos se as taxas previstas de inflação no perío-do forem: a) 0,4%. b) 0,8%. c) 1,5%. 23) Uma empresa levanta um empréstimo para capital de giro por dois meses à taxa de 4% a.b. Qual deverá ser a taxa de inflação no período para resultar em uma taxa real de 2,2% a.b.? 24) Um banco deseja auferir 1 % a.m. de taxa real de juros para empréstimos por seis meses. Qual deverá ser a taxa de juros semestral, se a inflação esperada no período for de 8%? 25)) Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 em um CDB prefixado de 60 dias e recebeu de montante o valor de $ 51.600,00. No primeiro mês, a taxa de inflação foi de 0,8% e, no segundo, de 0,9%. a) Qual a taxa de juros auferida no período? b) Qual a taxa de inflação acumulada no período? c) Qual a taxa real de juros no período? d) Qual o ganho real expresso em valores monetários? 26) Um investidor aplicou $ 30.000,00 por um ano e resgatou um montante de $ 36.000,00. Na data da aplicação, um certo índice de preços valia 123,34 e, na data do resgate, valia 140,61. Qual a taxa real anual auferida na aplicação? 27) Durante dois semestres consecutivos, as taxas de inflação foram de 9% e 12%. Se um inves-tidor aplicou seu dinheiro no mesmo período, a uma taxa de juros de 19% a.a., qual sua taxa real de perda?

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28) Um investidor aplicou $ 12.000,00 por dois anos sucessivos às taxas de 20% a.a. e 25% a.a. No primeiro ano, a taxa de inflação foi de 15% e, no segundo, de 18%. Qual sua taxa real no pe-ríodo? 29) Em relação ao exercício anterior, qual deveria ter sido a taxa de inflação do segundo ano pa-ra que o ganho real fosse de $ 1.600,00? 30) um investidor aplicou $ 70.000,00 em uma carteira de ações que passou a valer $ 35.000,00 seis meses depois. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 8%. Qual sua taxa real de per-da? 31) Uma dívida de $ 40.000,00 deve ser atualizada monetariamente, por dois meses, às seguin-tes taxas mensais de correção: 2,1 % e 1,7%. Qual o valor corrigido? 32) Uma pessoa contraiu uma dívida de $ 24.000,00 que deveria ser paga dois meses depois com juros compostos reais de 1 % a.m. mais correção monetária. a) Qual o valor do montante antes da correção monetária? b) Qual o valor do montante corrigido monetariamente, sabendo-se que as taxas de correção foram de 1,5% no primeiro mês e de 0,9% no segundo?

33) Um imposto municipal é cobrado de uma pessoa em três parcelas mensais de $ 600,00 ca-da, pagas em 30/60/90 dias e atualizadas monetariamente. Qual o valor de cada parcela após a correção, considerando as seguintes taxas de atualização: 0,9% no primeiro mês, 1,5% no se-gundo e 1,2% no terceiro? 34) Em janeiro, fevereiro, março e abril de um certo ano, as taxas de inflação foram, respectiva-mente, 1,3%, 1,2%,0,8% e 0,77%. Obtenha uma unidade de referência com valor de $ 1,00 no dia 31 de dezembro do ano anterior. 35) Supondo uma taxa mensal constante de inflação de 0,6% a.m., obtenha uma unidade de re-ferência para finais de julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro, considerando o valor inicial desta unidade no final de junho igual a $ 1,00.

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APÊNDICE DA

APOSTILA DE

Matemática Financeira - I

Revisão de:

I – Porcentagem II - Frações III - Potências

Nas páginas seguintes você encontra uma revisão dos pontos, a-

cima listados, que serão fundamentais para seu melhor aprovei-

tamento do curso de Matemática Financeira I

[Professor: Claudio Campos]

Revisão de Matemática: Anexo da apostila de Matemática Financeira I

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I – PORCENTAGEM Definição : PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades. É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços. Alguns exemplos:

1- O Leite teve um aumento de 25%. Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00 2- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans. Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00 3- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados. Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.

Noção da porcentagem em números Exemplos: a) 60 de 150 dias de trabalho = 90 dias 100 - O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM b) 70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00 100 - O valor de R$ 84,00 representa: PORCENTAGEM

O que é taxa de porcentagem É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador o número 100.

Como calcular porcentagem Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100.

O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples. Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:

1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc.), assim como o valor 100 está para a quantia a ser encontrada.

Exemplificando: Um título tem desconto 30%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?

100% : R$ 100,00 30% : X X = R$ 30,00

55

2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.

Exemplificando: Efetue o cálculo 10% de 50

100% : 50 10% : X X = 5

Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três.

3) O capital informado tem sempre por igualdade aos 100. Exemplificando: Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtêm-se um desconto de 20%

100% : R$ 150,00 20% : X X = R$ 30,00

Exemplos para fixação de definição

1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos.

10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25

100 100 Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.

2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00

(340 / 300) – 1 x 100 1,13333 – 1 x 100 (dízima periódica) 0,13333 x 100 = 13,333 Assim, a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13,33%

Fator Multiplicante

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multipli-cando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.

Veja: Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20.

Observe esta pequena tabela:

56

Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação.

Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal)

Veja: Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0,80.

Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94 E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

Exercícios resolvidos de porcentagem Os exercícios propostos estão resolvidos, em um passo-a-passo prático para que se possa a-companhar a solução de problemas envolvendo porcentagem e também para que se tenha uma melhor fixação sobre o conteúdo.

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1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%?

Solução: 100% : 555 17 X X = 555x17 /100 = 9435/100 X = 94,35 -> Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35

Preço Final: R$ 649,35

Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35

2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ?

Solução: 100% : 30 30% : X X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9 X = 9 (Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas)

3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá lí-quido quanto? 100% : 15.250

2% : X Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00 Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00. Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00 Obs. Os quadros dos cálculos foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer “decoradamente” estas posições. 1.1 - Exercícios Para fixação: I- Porcentagem

1) Quanto é 15% de 80?

2) Quanto é 70% de 30?

3) Quanto é 150% de 45?

4) Quanto é 100% de 40?

5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.

58

6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habi-tantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número? 8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a

quantos por cento do meu salário? 9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?

10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?

11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quan-tos por cento eu perdi desta quantia? 12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento das mi-nhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?

13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei? 15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam? 16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e con-segui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi? 17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal bota-ram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos ago-ra ou inicialmente? 18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas de-vido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

19) Quanto é 60% de 200% de 80%? 20) Quanto é 45% de 90% de 180?

21) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escor-rido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango? 22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população? 23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso? 24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?

25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, pas-sou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provo-cou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel? 26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

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II – Frações: Definição : Podemos definir FRAÇÃO como uma ou várias das partes em quantidades iguais em que se divide a unidade ou o todo.

Exemplos de fixação da definição:

Neste exemplo temos 04 partes de um todo, então a forma fracionada é: 1/4

Neste exemplo temos 05 partes de um todo, então a forma fracionada é: 1/5 Nos dois exemplos fornecidos acima, temos as seguintes definições: 1/4 e 1/5 1 = Chamado de numerador 1 = Chamado de numerador 4 = Chamada de Denominador 5 = Chamado de Denominador

*O que é denominador e numerador - Denominador é o termo de uma fração que indica quantas partes foram dividida a unidade. Isto é, o número inteiro que é escrito abaixo do traço da fração e indica em quantas partes está fra-cionada uma unidade e deve ser necessariamente diferente da unidade 0 (zero). Ex.: Nos casos já informados (1/4 e 1/5), têm se 04 partes tomadas de uma unidade, bem como 05 partes tomadas de uma unidade.

- Numerador é o termo que indica quantas das partes de uma fração foram tomadas, isto indica o número inteiro escrito acima do traço da fração.

60

Formas de leitura das frações O numerador é o número inteiro 1 e que está na seguinte condição 1>D>10. A leitura desta con-dição de fração seria feita da seguinte forma:

1/2 - um meio 1/3 - um terço 1/4 - um quarto 1/5 - um quinto 1/6 - um sexto 1/7 - um sétimo 1/8 - um oitavo 1/9 - um nono

Quando a fração tiver o denominador maior que 10, ou seja, >10, temos então a condição de a-crescentar a palavra AVOS. AVOS é um substantivo masculino usado para se fazer a leitura das frações que tenha seu de-nominador maior que 10, e define a parte igual em que foi fracionada ou dividida a unidade em que o denominador é > 10.

Observa a tabela abaixo:

Fração Forma de ler

1/11 Um onze avos

1/12 Um doze avos

1/13 Um treze avos

1/14 Um quatorze avos

1/15 Um quinze avos

1/16 Um dezesseis avos

1/17 Um dezessete avos

1/18 Um dezoito avos

1/19 Um dezenove avos

Caso o denominador seja múltiplo de 10, temos a leitura:

Fração Leitura normal Forma de ler

1/10 Um dez avos Um décimo

1/20 Um vinte avos Um vigésimo

1/30 Um trinta avos Um trigésimo

1/40 Um quarenta avos Um quadragésimo

1/50 Um cinqüenta avos Um qüinquagésimo

1/60 Um sessenta avos Um sexagésimo

1/70 Um setenta avos Um septuagésimo

1/80 Um oitenta avos Um octogésimo

1/90 Um noventa avos Um nonagésimo

61

Espécies de frações

- Fração imprópria : Pode-se chamar de Fração imprópria a fração cujo numerador é maior que o denominador.

Ex: 5/3 , 6/4, 12/10

- Fração aparente : Pode-se definir como fração aparente aquele ao qual o numerador é um múl-tiplo do denominador e esta aparenta ser uma fração mais de fato não é, representando sim um número inteiro.

Um caso particular desta definição é o número zero (0) : 0/3, 0/4, 0/5.

- Frações Equivalentes : É definida como as que representam partes iguais do todo ou inteiro. Quando multiplicamos os termos, tanto o numerador como denominador de uma fração pelos números naturais, temos como resultado uma gama de frações que são chamadas de frações de equivalência.

Veja: 12/24, 24/48, 48/96, todas são iguais a 1/2.

Numero Misto

É chamado de número misto aquele que possui propriedades de fração e número inteiro ao mesmo tempo.

Veja os exemplos: 3 ½ ou 4 1/4

*Propriedades das Frações

- Uma fração não se altera, quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número diferente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.

Veja os exemplos: 3/4 = 3.8/4.8 = 24/32 = 3/4 1/2 = 1.2/2.2 = 2/4 = 1/2

- Uma fração é alterada quando é adicionado ou subtraído um valor igual tanto do numerador quanto do denominador.

Veja os exemplos: Atenção!! 1/2 + 3 = 4/5 1/4 + 2 = 3/6

* Operações fundamentais com frações - Adição

Para que haja soma entre frações os denominadores devem ter o mesmo número.

62

Veja os exemplos: 2/8 + 3/8 = 5/8 3/4 + 7/4 = 10/4 5/3 + 8/3 = 13/3

Quando os denominadores não são iguais, reduzem-se os denominadores ao mesmo valor, u-sando o método MMC, conforme você aprendeu na escola!!.

1528

15

253

3

5

5

1 =+=+

(O cálculo é feito dividindo-se o denominador encontrado pelos denominadores e multiplicando pelos numeradores respectivos)

Neste caso o MMN entre (5,3) que são os denominadores das frações 1/5 e 5/3 = 15

- Subtração

Para que haja subtração entre frações os denominadores devem ter o mesmo número.

2/8 - 3/8 = 1/8 7/4 - 2/4 = 5/4 8/3 - 4/3 = 4/3

Quando os denominadores não são iguais, reduzem-se os denominadores ao mesmo valor, u-sando o método MMC.

- Multiplicação

Para que haja esta operação, fazemos a multiplicação entre numerador e denominador entre si. 3/4 * 5/3 = 15/12 2/3 * 1/3 = 2/9 2/5 * 3/5 = 6/25

- Divisão

Para que haja a divisão entre frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

3/4 = 3/4 * 3/2 = 9/8 2/3 5/3 = 5/3 * 7/2 = 35/6 2/7

63

2.1 - Exercícios para fixação: II – Frações 1) Uma cédula de R$10,00 que função constitui de uma cédula de R$ 500,00 ? ___________

2) Que fração do ano constitui um trimestre? __________________ 3) Doze dias do mês de janeiro, que fração do mês constitui? ________________

4) Uma fábrica produz 550 peças por dia. Dessas, 60 são defeituosas. Dizer a fração de produ-

ção das peças defeituosas e das boas. ____________________________________

5) Dizer se são ou não equivalentes as seguintes frações: (marcar)

6) e b) e c) e d) e e) e

f) e g) e h) e

7) Reduzir aos mínimos termos as seguintes frações:

a) b) c) d) e)

8) Completar com os sinais:

........ ........ ........ ........

........ ......... ........ .........

9) Colocar em ordem crescente: a)3/3 , 3/5 , 5/5 , 4/5 => b)4/8, 3/4, 5/8 =>

10)Colocar em ordem decrescente:

a) 3/5 , 1/2, 4/3 =>

b) 2/3 , 1/4, 5/6 , 1/12 = >

64

11) Efetuar:

a)

b)

c)

d)

e)

12) Quanto vale 2/3 de R$ 150,00 ? ________________

13) Quanto vale 5/8 de R$ 480,00? _________________ 14) Numa classe de 51 alunos 1/3 são homens. Quantos são as mulheres e os homens?

_______________________

15) Numa folha de pagamentos de R$. 770.000,00, a fração de 21/50 representa os encargos sociais (INSS, FGTS e etc.). Determine o valor desses encargos. _______________________

16) Se 2/5 do seu salário são R$ 3.200,00. Qual é o valor do seu salário? _______________ 17) Comprei uma bicicleta e paguei 1/3. Depois de um mês, paguei 2/5. Quanto resta pagar, se já

dei R$. 305,80?

18) Com R$ 121,00 compraram-se copos, a saber: 1/3 dos copos a R$ 1,80 cada um, 1/4 a R$2,00 e o resto a R$ 2,20. Quantos copos eram? 19) Paguei 4/5 da minha dívida e ainda estou devendo R$ 150,00. De quanto era a dívida e quanto já paguei?

Paguei : ________________ a divida era de : _____________

65

III – Potencias: Definição: Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido in = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i). Exemplos de fixação da definição:

Potência = 23 2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8 Potência = 35 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243 Notação: 23 = 8 2 - BASE 3 - EXPOENTE 8 - POTÊNCIA Notação: 35 = 243 3 - BASE 5 - EXPOENTE 243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares :

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)1 = 1/2 51 = 5 31 = 3

2) Expoente igual à zero (0)

50 = 1 60 = 1 70 = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 53 = 5 x 5 x 5 = 125 2) 40 = 1 3) 100 = 1 4) 201 = 20

66

Propriedades de Potências ( Muito importante !!!!!!)

- Divisão de potência de mesma base. Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24 ÷ 2 = 24-1 = 23 2) 35 ÷ 32 = 35-2 = 32 3) 46 ÷ 43 = 46-3 = 43 Temos então: Im ÷ In = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base. Na operação de multiplicação entre potências de mes-ma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação : 1) 24 x 2 = 24+1 = 25 2) 35 x 32 = 35+2 = 37 3) 46 x 43 = 46+3 = 49 Temos então: Im x In = Im+n

- Potência de Potência. Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação : 1) (23)4 = 212 , pois = 23 x 23 x 23 x 23 2) (32)3 = 36 , pois = 32 x 32 x 32 3) (42)5 = 410 , pois = 42 x 42 x 42 x 42 x 42 Temos então: (In)m = Inxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta po-tência.

Exemplos de fixação : 1) (b5ya3 )4 = b20y4a12 2) (c2d2e5 )2 = c4d4e10 3) (d3a4 )3 = d9a12 Temos então: (I.T)m = I m x T m

67

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o nu-merador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expo-ente positivo.

Exemplos de fixação : 1) 2-4 = 1/24 = 1/16 2) 3-3 = 1/33 = 1/27 3) 4-2 = 1/42 = 1/16 Temos então: (I)-m = 1/I m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectiva-mente, a esta potência.

1) (a/b)4 = a4/b4 = b#0 2) (a2 /b4)3 = a6/b12 = b#0 3) (a3 /b2)3 = a9/b6 = b#0 Temos então: (a/b)m = am/bm b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação: a) 104 = 10000 b) 106 = 1000000 c) 107 = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a es-querda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação: a) 10-4 = 0,0001 b) 10-6 = 0,000001 c) 10-7 = 0,0000001

3)Decompondo números em potências de 10 : Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.102 b) 7000 = 7.1000 = 7.103 c) 10.000 = 1.10000 = 1.104

68

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3 b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4 c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo. Veja: (+2)2 = 4 e (-2)4 = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência. Veja: (+3)3 = 27 e também: (-3)3 = -27

Observação importante : -22 # (-2) 2 , pois -22 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o nú-mero 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

3.1 -Exercícios de fixação: III – Potencias (1)Calcule as seguintes potências :

a) 3 4 = b) 2 5 = c) 1 4 = d) 0 6 = e) (-2) 4 =

f) =

3

4

3

g) =

−3

3

2

h) 5 0 = i) (2,43) 0 = j) (-0,5) 0 = k) 17¹ =

69

l) (1,45) ¹ = m) (-5) ¹ =

n) 1

7

4

− =

o) 3 -1 = p) (-3) -2 = q) 2 – 4 =

r) 2

3

2−

=

s) 1

3

2−

− =

t) 3

4

3−

−=

u) 1

5

1−

=

v) 2

3

1−

=

w) (-0,75) -2 =

(2)Neste exercício é importante ir observando os res ultados após os cálculos!!! Portanto, resolva:

a) 2 6 = b) (-2) 6 = c) 2 5 = d) (-2) 5 = e) 3² = f) (-3) ² = g) 3³ = h) (-3)³ = i) (-4) -1 =

j) 1

4

1−

− =

k) 3

3

2−

=

l) 3

3

2−

− =

70

(3)Para resolver as potências a seguir é preciso fa zer cada cálculo passo a passo, evitando assim erros com sinais:

a) -2 ³ = b) -3² = c) -4³ = d) -5³ = e) -5² = f) – (-2)³ = g) – (-3)² = h) – (-5)² =

i) - 3

4

5

− =

j) ( ) 32

1−−

=

k) ( ) 43

1−−

=

l) ( ) 52

1−−

=

m) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso): (4)Para resolver este exercício é importante conhec er muito bem as propriedades da po-tência. ( ) 5 – 6 . 5 6 = 1 ( ) 6 -2 . 6 -5 = 6 10 ( ) 7³ : 7 5 = 7 -5 . 7³ ( ) 2 5 : 2³ = 1² ( ) 3³ . 3 5 = 9 8

( ) 5

7

7

51

1

=−

−

( ) 23

2332

32

1 −− +=+

( ) π 7 – 3 = 73

1−π

( ) (π + 3) -2 = π -2 + 3 -2

( ) 7² + 7³ = 7 5 ( ) (3 5)² = 3 7

( )(2³)² = 232

71

(5)Simplifique as expressões, usando sempre que pos sível as propriedades da potência : a) (2xy²)³ = b) (3xy²) . (2x²y³) = c) (5ab²)² . (a²b)³ =

d) xy3

yx9 32

−=

e) 3

72

4

ba8

ab16−

−=

(6)Simplifique as expressões:

Dica: use as propriedades de forma inversa e a fato ração do tipo fator comum em evi-dência.

a) 1n1n

n2n

33

33−+

+

+−

=

b) n2

n1n2

2

42 −+=

c) n

2n1n

2

22 −+ −=

Bibliografia:

• Iezzi, G; MurKmi C., Fundamentos de Matemática elementar, Conjuntos e Funções. A-tial Editora, 7ª Edição. São Paulo.

• Dámbrosio N.; e Dámbrósio U., Matemática Comercial e Financeira, 1980 C.Editora Nacional – São Paulo SP;

• Hazzan S e Pompero, J.N. Matemática Financeira, 6ª Edição. Edit. Saraiva Sp. 2008 • Puccini, A de L e Puccini, A. Matemática financeira - Objetiva e aplicada. Editora Com-

pacta, Sp.2006. • Lezzi, G. e outros – Matemática Volume único. 2006 – Editora Atual. Sp. • Site: WWW.juliobattisti.com.br

FINAL DA REVISAO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO

72

CURSOS SUPERIORES DE GESTÃO TECNOLÓGICA

FORMULÁRIO: PROPOSTAS DAS ATIVIDADES COMPLEMENTARE S SUGERIDAS AOS ALUNOS

PROFESSOR (a): CLAUDIO CAMPOS

CURSO: GESTÂO DE: TODOS DOS CURSOS TURMA:

DISCIPLINA: MATEMÁTICA FINANCEIRA SEMESTRE: 2º/3º

ATIVIDADES SUGERIDAS

DATA DESCRIÇÃO QUANTIDADE DE HORAS

1º. Sem.2012

1) Pesquisa

� Pesquisa : Pesquise em livros de finanças e/ou na in-ternet o significado das palavras INVESTIMENTOS E APLICAÇÕES. Relate em até 2 páginas manuscritas as suas definições e como são utilizadas. Dê exem-plos quando definir e coloque sua opinião no final so-bre as diferenças dos significados. Não deixe de colo-car as fontes que você utilizou para a pesquisa

Até 08 horas

1º. Sem.2012

2) LIVROS: “FINANCEIROS”

� Em livros de Mat. Financeira ou Análise de Investimen-tos encontre um capítulo que fale sobre TIR – taxa In-terna de Retorno e sobre VPL – Valor presente líquido.

� Após escolher o capítulo faça um resumo manus-crito contendo os significados e seus exemplos e apresente ao professor para avaliação. Não se es-queça de Informar a referencia (quais livros e quais capítulos)

Até 08 horas

1º. Sem. 2012

3) Cursos complementares :

Cursos relacionados à estatística e à matemática ou finanças. O aluno deverá pesquisar cursos, principalmente os gratuitos, que estão disponíveis no SEBRAE, SENAI, Igrejas, ONGs e etc.

Entregar o certificado com uma lauda sobre o que você a-prendeu e no que o treinamento foi ou será útil para você.

Até 5 horas

(=horas/aula)

PROFESSOR RESPONSÁVEL COORDENADORA(S) DO CURSO DE GES-TÃO

Professor: Claudio Campos Prof.ª VALDICE NEVES PÓLVORA (NORTE) Prof.ª GORETI ARTICO (MARQUÊS)