Apostila Mat Financeira

Administração Financeira Orçamentária I 1

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

INTRODUÇÃO

A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro emfunção do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma deestudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos oobjetivo da matemática financeira.

⇒⇒⇒⇒ Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nasoperações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir orisco envolvido em várias operações de créditos.

⇒⇒⇒⇒ Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamentode juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros comopagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou dedespesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.

⇒⇒⇒⇒ Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ousimplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda acalcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.

PORCENTAGEM

O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculoscomerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal % .Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simplescálculo de proporção. Vejamos o exemplo a seguir:

Exemplo 01:Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?

O raciocínio que se deve empregar na solução deste problema é exatamente este:- Se a comissão sobre R$ 100,00 é R$ 10,00, quanto será sobre R$ 800,00 ?

Neste caso teremos:100,00 10,00

800,00 X

Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produtodos extremos), teremos que:

100 . X = 800 . 10100X = 8.000 X = 8.000/100 X = R$ 80,00 (assim sendo, (100 . 80) = (800 . 10)

8.000 = 8.000


E X E R C Í C I O S

1) Achar 9% de R$ 1.297,00

2) Achar 2,5% de R$ 4.300,00

3) Achar 0,5% de R$ 1.346,50

4) Achar 108% de R$ 1.250,25

5) Achar 0,6% de R$ 500,00

6) Dos 30 participantes de um curso, 12 são homens. Qual a participação de mulheres na turma?

7) Calcular o número cujos 12% são R$ 100,80

8) Calcular o número cujos 500% são R$ 160,00

9) Calcular o número cujos 6,5% são R$ 26,00

10) Qual a taxa que rende R$ 850,00 sobre um capital investido de R$ 5.500,00?

11) Sobre um valor principal, houve um rendimento de R$ 15.500,00 a uma taxa de 31,5%. Qualo valor aplicado?

12) Qual o valor do rendimento obtido por um capital de R$ 45.000,00 a uma taxa de 24,32%?

OPERAÇÕES COM MERCADORIAS

Com base nos conceitos de porcentagem, é possível resolver várias situações queenvolvem negociações com mercadorias, ou seja, cálculo do lucro, preço de venda, custo, etc.

Para achar a soma de um número qualquer e sua porcentagem, calculam-se primeiro aporcentagem e, em seguida, adiciona-se esta ao número dado.

Exemplo 01:Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter umarentabilidade (lucro) de 6% ?

Solução algébrica:

4.126,75 100%

X 6%Onde:Lucro = 4.126,75 . 6 = 24.760,50 = R$ 247,61 100 100Então teremos:Lucro = R$ 247,61Custo da mercadoria = R$ 4.126,75Preço da venda = R$ 4.374,36


Observe que R$ 4.126,75 representa a parte inteira = 100% ou 100% = 1; 100Observe que R$ 247,60 representa a parte fracionária = 6% ou 6% = 0,06. 100Partindo deste raciocínio, concluímos que:

Preço de venda = parte inteira (1) + parte fracionária (0,06), ou seja, podemos deduzir que oíndice para calcular o preço de venda neste exemplo será: 1,06. Vamos comprovar:

Preço de venda = 4.126,75 . 1,06Preço de venda = 4.374,36


1) Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?

2) Um produto custou R$ 125,00 e foi vendido por R$ 182,00. De quanto por cento foi o lucro?

3) Uma determinada mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 60,00. De quantopor cento foi o prejuízo?

4) Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido 20% abaixo do custo. De quanto é o prejuízo?

5) Um objeto comprado por R$ 50,00 é vendido com 12% de lucro. Quanto a empresa obteve delucro?

6) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Maistarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seulucro?

JUROS (J)

É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer apartir de dois pontos de vista:

- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,prejuízo, etc.

- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho,etc.

Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capitalpróprio ou de terceiros.

Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)

É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operaçãofinanceira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ousimplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.


Taxa (i)

É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode serrepresentado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastantevariados, como por exemplo:

- taxa de inflação;- taxa real de juros;- taxa acumulada;- taxa unitária;- taxa percentual;- taxa over;- taxa equivalente;- taxa nominal, entre outras.

Prazo ou Tempo ou Períodos (n)

É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita paraproduzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos umexemplo:

- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc.- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.

Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender decomo estão sendo tratados nos problemas.

Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)

É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeiraapós um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J).

Assim temos: M = C + J

Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J

Exemplo 01:

Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qualfoi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?


J = 78,25 C= 1.568,78 M = ?M = C + JM = 1.568,78 + 78,25M = R$ 1.647,03

Exemplo 02:

Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido u1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?

Solução pela HP-12C

1568,78

78,25R$ 1

ENTER

+

m capital de R$

.647,03



C = 1.250,18 M= 1.380,75 J= ?J = M - CJ = 1.380,75 – 1.250,18J = R$ 130,57

Exemplo 03:

Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1.500,00, sarendimento deste investimento foi de R$ 378,25?


M= 1.500,00 J=378,25 C= ?C = M - JC = 1500,00 – 378,25C = R$ 1.121,75

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

É a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa)período de tempo. Na verdade estamos nos referindo à entrada e saída de dinheicaixa (financeiro) não pode ser confundido com o conceito de competência (con

Serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em períotempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodoanálise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontas saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para bai

Modelo simplificado

(+) entradas

tempo(n)

(-) saídas

Modelo detalhado

entradas( ) saídas( )


1.380,75

1.250,18

R$ 1

Solução pela

1.500

378,25

R$ 1

ENTER

-

bendo-se que o

30,57

HP-12C

ENTER

-

ao longo de umro. O conceito detábil).do de tempo. Os relevantes paraadas para cima, exo.

tempo(n)

.121,75


Chamamos de PV o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data focal 0(zero); FV,valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo. Na HP-12C a diferença entreentradas e saídas será simbolizada pelo sinal negativo e positivo.

Regimes de Capitalização

São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados emMatemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial,respectivamente.

Exemplo 04:

Seja um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valoracumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta ?

Solução algébrica: 01

Regime de Capitalização Simplesn Capital aplicado

(R$)Juros de cada período Valor acumulado ou montante

1 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.000 + 100 = 1.1002 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.100 + 100 = 1.2003 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.200 + 100 = R$ 1.300,00

Diagrama de Fluxo de caixa para o Regime de Capitalização Simples

M=R$ 1.300,00

C. i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00

C = R$ 1.000,00

Solução algébrica: 02Regime de Capitalização Composta

n Capital aplicado(R$)

Juros de cada período Valor acumulado ou montante

1 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.000 + 100 = 1.1002 1.100,00 1.100 . 10% = 110 1.100 + 110 = 1.2103 1.210,00 1.210 . 10% = 121 1.210 + 121 = R$ 1.331,00

Diagrama de Fluxo de caixa para o Regime de Capitalização Composta


J = PV . i . n

M=R$ 1.331,00

C. i = R$ 100,00 M1. i = R$ 110,00 M2. i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00

Vamos então verificar o diagrama de fluxo de caixa do ponto de vista de quem emprestarecursos (emprestador) e do ponto de vista de quem toma empréstimo ( tomador).

Do ponto de vista do emprestador: (resgate ou montante) M=R$ 1.331,00

C. i = R$ 100,00 M1. i = R$ 110,00 M2. i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00(investimento ou aplicação)

Do ponto de vista do tomador: (resgate ou montante) C=R$ 1.000,00

C. i = R$ 100,00 M1. i = R$ 110,00 M2. i = R$ 121,00

M = R$ 1.331,00 (pagamento dos recursos)

JUROS SIMPLES

Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regimede juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial,ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.

Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:


Colocando o PV em evidência, teremos:

PV = J i.n

Colocando o n em evidência, teremos:

n = J PV.i

Colocando o i em evidência, teremos:

i = J ou i = FV - 1 PV.n PV

Exemplo 05:

Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% aomês.


J = 1250 . 0,055 . 5J = R$ 343,75

Exemplo 06:

Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 dumês ?

Solução algébrica:J= 342,96PV = 342,96 0,025 . 11

PV = 342,96 = R$ 1.247,13 0,275


1.250,00

0,055

5

R$ 343,75

ENTER

X

X

rante 11 mes
es, a uma taxa de 2,5% ao

342,96

0,025

11

R$ 1.247,13

ENTER

X

ENTER

÷÷÷÷


Exemplo 07:

Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobreuma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?

Solução algébrica:i = 2,14 537,17 . 1i = 2,14 = 0,003984.... 537,17i = 0,003984 . 100i = 0,3984% ao diaimensal = 0,3984 . 30imensal = 11,95%

Exemplo 08:Durante quanto tempo foi aplicad226,45 com uma taxa de 1,5% ao mSolução algébrica:n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5n = 226,45 = 226,45 967,74 . 0,015 14,52

n =15,6 meses ou 15 meses e 18 di

OBSERVAÇÃO

- A parte inteira 15 representa os 15-A parte decimal do número 15,calcularmos os dias, basta multiplic

Exemplo 09:André emprestou R$ 15,00 de Almefetuou um pagamento de R$ 23operação? Qual foi a taxa mensal deSolução algébrica:PV = 15,00FV = 23,75N = 6 mesesi(ac) = ?imensal = ?

Solução pela HP-12C2,14

537,17

1

100 3011,95% ao mês

ENTER

X

X

ENTER

÷÷÷÷

o um capitaês ?

% ao mês

as

:

meses.6, ou seja, ar a parte dec

ir. Após 6 m,75 a Almir juros?

l de R$ 967,7

J= R$ 226,4

0,6, representimal por 30 ( 0

eses André r. Qual foi a

X

4 que gerou rendimentos de R$

5

a o,6 .

esoltax


226,45

967,74

0,015

15,60meses

ENTER

X

ENTER

÷÷÷÷

s 18 dias. 30 = 18).

veu cobrar sa de juros a

Solução p

15

23,75

58,3

6

9,72

Neste

ua dívcumula

ela HP

3 a . p

% ao

∆

caso, para

ida. Andrédos nesta

-12C

.

mês

%

i(ac) = 23,75 - 1 . 100 15

i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100

i(ac) = 0,5833 . 100i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestreimensal = 58,33 / 6imensal = 9,72% ao mês

ENTER

÷÷÷÷


Montante (M) ou Valor Futuro (FV)

Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitosinicias, onde tenhamos que:

FV = PV + J e J = PV . i . nAssim teremos:

FV = PV ( 1 + i . n )

Exemplo 10:Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pré-fixado de90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?

Solução algébrica:n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ?FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)FV = 84.975,59(1 + 0,0435)FV = 84.975,59(1,0435)FV = R$ 88.672,03

Capital (C) ou Valor Presente (PV)

A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzMontante ou Valor Futuro (FV).

Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)Colocando PV em evidência:

PV = FV (1 + i . n)

Exemplo 11:Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de Rde 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.


PV = 84.248,00 (1 + 0,0177 . 3)

PV = 84.248,00 = 84.248,00 ( 1 + 0,0531 ) 1,0531

PV = R$ 80.000,00


84975,59

1,45

3

R$

Solu

84248

1

0,0177

3

ENTER

$

%

X

ida a part

84.248,0

88.672,03

ção pela H

R$ 80.000

+

ir da fórmula do

0 por um período

P-12C

ENTER

ENTER

ENTER

÷÷÷÷
X ,0
+
0



1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00

2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31.Determine a taxa mensal e a taxa acumulada correspondente. R. i = 2,5% - i(acum) 22,50%

3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. i(anual) = 17,65%

4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxade 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim

5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?R. PV = R$ 2.827,38

6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2.500,00 a 7% ao ano durante 3anos ? R. J = R$ 525,00

7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses,à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9.834,51

8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias.Calcular a taxa mensal de juros. R. i = 5,74% a m.

9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 180 dias R$ 1.200,00. Qual é a taxa simples anualganha? R. i = 48% aa

10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que orendimento deste investimento foi de R$ 148,50? R. PV = R$ 221,50

11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobreuma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?R. i = 21,1% am.

12) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobreuma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa diária de juros aplicada pela financeira?R. i = 0,7035% ad.

13) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?R. PV = R$ 5.000,00

14) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 5.800,00 a 12% ao ano durante 2anos?R. J = R$ 1.392,00

15) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 8.580,00, sabendo-se que orendimento deste investimento foi de R$ 1.920,80?R. PV = R$ 6.659,20


Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros

Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o períododa taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmoperíodo de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.

Exemplo 12:Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia derendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?

Solução algébrica:PV = 15.000,00i = 28% ao anon = 92 diasJ = ?

Juros Exato e Comer

Quando falamoou seja, devemos consJaneiro (31 dias), feve

No caso do juassim, um ano comerc

Exemplo 13:

Uma prestação no valotaxa de 48% ao ano. P a) Determinar os juro b) Determinar os juro

Solução algébrica: PV = R$ 14.500i = 48% ao ano

a) Jexato = 14500 . 36

J = J =J =

J = J =J =

OJ =

Solução pela HP – 12C

15000

0,28

92

360

R$ 1.073,33

Opção1: transformando a taxa 15000 . 0,28 . 92 360 15000 . 0,000778 . 92 R$ 1.073,33Opção2: transformando o prazo 15000 . 0,28 . 92 360 15000 . 0,28 . 0,255556 R$ 1.073,33pção3: transformando o produto

15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 360 360

J = R$ 1.073,33

cial

s em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aiderar a quantidade de dias existente em cada mês.

reiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 3ro comercial devemos considerar sempre um Mês ial vai ter sempre 360 dias.

r de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitadede-se:s exatos comercial

01.0220015.03200

0,48 . 42 = R$ 800,885

ENTER

X

X

÷÷÷÷

os dias do calendário,Como, por exemplo:

65 ou 366 dias.de 30 dias, e, sendo

a em 15/03/03, com a

3 g D.MY3 g DYS


b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00 360

E X E R C Í C I O S - JUROS PERIOJUROS EXATO (365

1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculoexato (365 dias). R. J(com) = R$ 3.240,00 e J

2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,0mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. DeteR. J(ex) = R$ 199,50 e J(com) = R$ 202,27

3) Calcular o valor dos juros de uma aplicmês, pelo prazo de 32 dias. R. R$ 821,18

4) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aR. R$ 268,33

5) Qual o valor do rendimento de uma aplique o capital de R$ 28.400,00 foi investidano? Calcule o juro exato e o comercial.R. J(ex) = R$ 1.207,97 e J (Com) = R$ 1.224,75

6) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao aa) 7 dias; R. i(com) = 0,78% e i(ex) = 0,77%b) 29 dias; R. i(com) = 3,22% e i(ex) = 3,1


14.500

0,48

42

365

14.500

0,48

42

360

ENTER

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ç

÷÷÷÷

NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE Es) e COMERCIAL (360 dias)

plicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de jurosconsiderando o ano comercial (360 dias) e o ano) = R$ 3.195,62

venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 doine os juros exato e comercial.

o de R$ 21.150,00, feita com a taxa de 3,64% ao

cados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês.

ão em C.D.B. à taxa de 22,5% ao ano sabendo-seem 05/02/2.003 e resgatado em 15/04 do mesmo

(Comercial e Exato) para:

$ 812,00


c) 1 mês; R. i(com) = 3,33% e i(ex) = 3,29%d) 32 dias; R. i(com) = 3,56% e i(ex) = 3,51%e) 1 trimestre; R. i(com) = 10,00% e i(ex) = 9,86%f) 45 dias; R. i(com) = 5,00% e i(ex) = 4,93%g) 1 semestre; R. i(com) = 20,00% e i(ex) = 19,73%

7)Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês.R. i22dias = 2,24%

DESCONTOS

É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito éresgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setorcomercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notaspromissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento.O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal.

Podemos classificar os tipos de descontos como Simples(método linear) e Composto(método exponencial).

Desconto Racional Simples ou “ por dentro”

O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e ovalor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples.

Vamos aplicar as seguintes fórmulas:

Para calcular o desconto racional simples:

DRS = VN – VL

Para calcular o valor líquido:

VL = VN - DRS .

O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguintefórmula:

DRS = VN . id . n ( 1 + id . n )


Exemplo 01:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, àtaxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?

Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; id = 2,5% ao mês; DRS = ?

DRS = 25.000,00 . 0,025 . 2 ( 1 + 0,025 . 2 )DRS = 1250 1,05DRS = R$ 1.190,48

VL = VN - DRSVL = 25.000 – 1.190,48VL = R$ 23.809,52

Desconto Bancário ou Comercial ou “ por fora ”

O valor do desconto é obtido multiplicandodesconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer

Vamos expressar esta situação através da seg

DC = VN.id.n VL = VN

Exemplo 02:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descotaxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o descon

Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; id = 2,5% ao mês; DC = ?DC = 25.000,00 . 0,025 . 2DC = R$ 1.250,00VL = 25.000 – 1250,00VL = R$ 23.750,00

Exemplo 03:

Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é desconvencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sadespesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobrsobre o valor do título, obter o valor recebido pelo potomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao

20102C2

20C2

Solução pela HP-12C5.000 ENTER,025 X 2 X ENTER,025 ENTER X + ÷HS5.000,00 +

R$ 23.809,52

Id = DC : (VN.n ).100

-se o valor nominal do título pela taxa deaté o vencimento do título.uinte fórmula:

– DC

ntado 2 meses antes do seu vencimento, àto comercial (bancário) e o valor líquido?

Solução pela HP-12C5.000 ENTER,025 X 2 XHS5000 +

R$ 23.750,00

tada em um banco 2 meses antes do seubendo-se que o banco cobra 1% a título dee Operações Financeiras) é 0,0041% ao diartador do título. Uma outra alternativa seria

mês. Qual a melhor opção?


Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses; id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;i = 2,8% ao mês(empréstimo)VL = ? DC = ? DIOF = ? Dadm = ?ONDE:D = despesasDIOF = despesas com IOFDadm = despesas administrativasVL = VN – DC – DIOF - DadmDC = VN . Id . nDC = 25.000 . 0,025 . 2 = R$ 1.250,00Dadm = 25.000 . 0,01 = R$ 250,00DIOF = 25.000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50VL= R$ 23.438,50Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxadesta operação será:i = FV - PV PV . ni = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 0,033310579 = 3,33 % ao mês 23.438,50 . 2 46.877,00

A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.

Operações com um conjunto de títulos

Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderôde títulos ou duplicatas.

Exemplo 04:Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco àtaxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?

Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)A 2.500,00 25 diasB 3.500,00 57 diasC 6.500,00 72 dias

Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.Solução algébrica:a)Duplicata A:DC = 2.500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50 30b)Duplicata B:DC = 3.500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50 30c)Duplicata C:DC = 6.500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00 30Valor líquido = 12.500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00



1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimentopara 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DC = R$ 225,00

2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valornominal é de R$ 1.000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3,41%

3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme oborderô a seguir:

a) 6.000 15 diasb) 3.500 25 diasc) 2.500 45 diasR. VL = R$ 11.768,00

4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada porum banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.R. VL = R$ 29.408,00

5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% aomês. R. VL = R$ 4.461,11

Duplicatas Valor(R$) Prazo(vencimento)X 800,00 13 diasY 1.350,00 29 diasZ 2.430,00 53 dias

6) Qual a taxa mensal de um desconto comercial de R$ 225,00 aplicado sobre um título de valornominal de R$ 3.000,00 com antecipação de 90 dias? R. i = 2,5% ao mês.

7) Calcular a taxa mensal de desconto nas seguintes condições:

Duplicatas Valor Nominal Período Valor Líquido Desconto ComercialA 6.000,00 15 dias 5.928,00B 7.800,00 12 dias 6.435,00C 4.125,00 50 dias 3.854,00D 8.540,00 3 meses 7.451,00E 9.547,00 1 ano 6.452,00

Respostas:

A = 2,40% ao mêsB = 43,75% ao mêsC = 3,94% ao mêsD = 4,25% ao mêsE = 2,70% ao mês

8) Uma duplicata no valor de R$ 8.425,00 foi descontada 85 dias antes do vencimento comdesconto de 925,40. Qual a taxa semestral de desconto comercial aplicada? R. 23,26% a .s.


JUROS COMPOSTOS

Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos dejuros sobre juros.

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o maisútil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos éconhecido por cálculo exponencial de juros.

FÓRMULAS: Para calcular o Montante:

FV = PV( 1 + i )n

Para calcular o Capital:

PV = FV ( 1 + i )n

Para calcular a Taxa:

FV QQ/QT

i = - 1 . 100 PV

Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)

Para calcular o prazo :

n = LN (FV/ PV) LN(1 + i)

Onde: LN = Logaritmo neperiano

Para calcular os juros :

J = PV[(1 + i )n – 1]


Exemplo 01:

Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5meses.


FV = 5000(1 + 0,04)5

FV = 5000(1,04)5

FV = 5000(1,2166529)FV = R$ 6.083,26

Exemplo 02:

Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros c

Solução algébrica:PV = FV = 14000 ( 1 + i ) n (1,15) 6

PV = 14.000 = R$ 6.052,59 2,31306

Exemplo 03:

A loja “Leve Tudo” financia a venda de umapara pagamento em uma única prestação demensal cobrada pela loja ?Dados:i = ?PV = R$ 10.210,72FV = R$ 14.520,68n = 276 diasSolução algébrica:

i = 14.520,68 30/276 - 1 . 100 10.210,72

i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100 i = {0,039018...} . 100i = 3,90% ao mês

5.00

4

5

1

1

6


0

R$ 6.083,26

CHS PV

i

n

ompo

máqu R$ 1

4.

5

S

10.21

14.52

276

30

stos de 15% a

ina no valor4.520,68 no

olução pela H

0,72

0,68

3,90% ao

÷÷

FV

o ano, monta R$ 14.000 ?


000

R$ 6.052,59

CHS F

i

n

PV

de fina

P-

mês

V

R$ 10.210,72, sem entrada,l de 276 dias. Qual a taxa

12C

CHS
PV
i

n

FV

ENTER

÷÷


Exemplo 04:Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento deR$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?Dados:n = ? i = 3% ao mêsPV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33


LN 41.524,33 24.278,43 n = LN ( 1 + 0,03)

n = LN(1,710338) LN(1,03) n = 0,536691... 0,029559... n = 18,156731... meses

Exemplo 05:

Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$10% ao mês. Dados:PV = R$ 1.000,00?i = 10% ao mêsn = 5 mesesJ = ?


J= 1.000[(1 + 0,10)5 – 1]J= 1.000[(1,10)5 – 1]J= 1.000[1,61051 – 1]J= 1.000[0,61051 ]J= R$ 610,51

Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não In

As operações de juros compostos para períoadotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a

1 ano exato = 365 ou 366 dias;1 ano = 360 dias;1 semestre = 180 dias;1 trimestre = 90 dias;1 mês comercial = 30 dias;1 mês exato = 29 ou 31 dias;1 quinzena = 15 dias.

Solução1 pela HP-12C 6

41.524,33

24.278,43 LN

1,03 LN

18,156731.. meses

÷÷

g

g

Solução 2 pela HP-12C

41.524,33

24.278,43

3

1.000

10

5

÷÷

ENTER

÷÷÷÷

f

1000,00 pelo prazo de 5 meses à t

teiros

dos não inteiros podem ser facilita seguir:

19 meses

FV

PV

i

n

CHS

axa de


1.610,51

R$ 610,51

PV

i

n

CHS

PV +

FV

RCL

das se


Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo

n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias. QT (Quanto eu Tenho)Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):

FV = PV (1 + i )QQ/QT

Exemplo 06:Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.Dados:PV = R$ 13.500,00i =25% ao anon = 92 diasFV = ?


FV = 13.500(1 + 0,25)92

FV = 13.500(1,25)0,25555

FV = 13.500(1,058683)FV = R$ 14.292,22

1) Calcular o valor futuse uma taxa de 2,5% ao

2) Calcular o capital apresgatado foi de R$ 98.5

3) Durante quanto tem45.562,45 com uma taxa

4) Qual a taxa mensal dR$ 4.489,64 durante um

5) Determinar os juros durante 7 meses. R. J = R

6) A que taxa de juro35.112,26, considerando

7) Determinar o valor com uma taxa de 2,8% aR. PV = R$ 1.253,46

OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.As perguntas:Qual é o prazo que eu Quero?Qual é o prazo que eu Tenho ?

/360

6

E X E R

ro ou montante de uma mês para um período de

licado pelo prazo de 662,25. R.PV = 88.296,69

po uma aplicação de de 0,98% ao mês ? R.

e juros necessária para ano? R. i = 5% am.

obtidos através de uma$ 209,38

s mensais um capital um período de aplicaç

de um investimento quo mês, produzindo um


13.500

1

92

yx

ENTER

0,25
ENTER
C Í C I O S

aplicação financeira d 17 meses. R. FV = R$

meses a uma taxa de

R$ 26.564,85 prod n = 55,32 aprox. 56 mes

um capital R$ 2.500,0

aplicação de R$ 580

de R$ 13.200,00 pão de 7 meses ? R. i =

e foi realizado pelo rmontante de R$ 2.500

360

R$ 14.292,22X

+

ENTER
÷÷÷÷
e R$ 15.000,00, admitindo- 22.824,27

1,85% ao mês, cujo valor

uziu um montante de R$es

0 produzir um montante de

,22 com uma taxa de 4,5%

ode transformar-se em R$15%am

egime de juros compostos,,00 ao final de 25 meses.


8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?R. J = R$ 875,98

9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% aoano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11.411,43

10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$10.000,00. R. PV = R$ 31.652,40

11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um únicopagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?R. n = 5 anos

12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?R. FV = R$ 2.802,33

13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja atabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.

BANCO X Y ZTaxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mêsPrazo 2 bimestres 2 trimestres 3,5 meses

a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco R. FVx = R4 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.708,06

b) Qual é a melhor opção?

Desconto Racional Composto

O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV)ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.

DRC = VN – VL

VL = VN .…… (1 + id)nd

Exemplo 01:Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seuvencimento.Dados:VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?Solução algébrica:VL = 5000 .…… (1 + 0,035)3

VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= … (1,035)3 1,10872DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29

Solução pela HP-12C5000 FV3,5 i3 nPV 4509,715.000 +R$ 490,29


Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)

Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e umValor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n)períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar:

DBC = VN – VL

Onde: DBC = Desconto Bancário Composto

VL = VN (1 + id)-nd

Exemplo 02:Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a umataxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquidocreditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses); id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ?VL = 25.000(1+ 0,025)-2

VL = 25.000(1,025)-2

VL = 25.000 . 0,9518144VL = R$ 23.795,35DBC = 25.000 – 23.795,35 = R$ 1.204,64


1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 mmensal de desconto racional composto era 10%, de quantoR. VL = R$ 45000,00

2) Determinar o desconto racional composto de um títuloconsiderando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mêsseu vencimento. R. DRC = R$ 206,62

3) Uma duplicata de R$ 17000,00, 90 dias para o seu venc1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto cocreditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedidoR. VL = R$ 16257,38 e DBC = R$ 742,61

22-P2


5.000 CHS FV,5 i2 nV 23.795,355.000 -

R$ 1.204,64

eses antes do vencimento. Se a taxa era o valor líquido deste título?

de valor nominal de R$ 3000,00, sendo descontado 4 meses antes do

imento, é descontada a uma taxa demposto. Calcular o Valor Líquido.


OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituiçãofinanceira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimoscinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.

A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pelasoma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.

Taxas equivalentes a juros compostos

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a ummesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento.

ieq = [ ( 1 + ic)QQ/QT - 1] . 100

Onde:ieq = taxa equivalenteic = taxa conhecidaQQ = Quanto eu QueroQT = Quanto eu Tenho

Exemplo 01:Calcular a equivalência entre as taxas:

Taxa Conhecida Taxa equivalente para:a) 79,5856% ao ano 1 mêsb) 28,59% ao trimestre 1 semestrec) 2,5% ao mês 105 diasd) 0,5 ao dia 1 anoe) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias)

Solução algébrica: a)ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,7958)11/12- 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100ieq = { 1,049997 - 1 } . 100ieq = { 0,049997 } . 100ieq = 5% ao mês

Solução algébrica c) ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100 ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100 ieq = { 0,090269 } . 100

1,7958

30

1


Solução algébrica: b)ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100ieq = { 1,653539 - 1 } . 100ieq = { 0,653539 } . 100ieq = 65,35% ao semestre
ieq = 9,0
Solução pela HP-12C - a)

360

100

5% ao mês

ENTER

ENTER ÷

- X

3 %
ao período
Yx


T

c

i

EQpRi

((((

EQ1Ri

((

Solução algébricad)ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100ieq = { 6,022575 - 1 } . 100ieq = { 5,022575 } . 100ieq = 502,265% ao ano

axa Real, Taxa Aparente e Taxa de In

Denominamos taxa aparente (i) aquela omerciais).

Quando não há inflação (I), a taxa aparnflação (I), a taxa aparente (i) é formada por d

- Um correspondente ao “juro real” e outrSendo:C: capital inicialR: taxa real de jurosI: taxa de inflaçãoi: taxa aparente

xemplo 01:ual a taxa aparente, correspondente a um gaeríodo for 11,9% ?esolução:

= ? R = 9%ao ano I = 11,9%

1 + i) = (1 + R) . (1 + I)1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)1 + i) = (1,09) . (1,119)1 + i) = 1,22 i = 1,22 - 1 i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano

xemplo 02:ual a taxa real, correspondente a uma taxa apa1,9% ?esolução:

= 22% ao ano R = ? I =

1 + i) = (1 + R) . (1 + I)1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119) (1,22) = (1+ R) . (1,119) 1,22 = (1 + R) 1,119 1,09 = (1 + R) 1,09 – 1 = R 0,09 = R R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano

Da

(1

Solução algébricae)ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100ieq = { 1,253880 - 1 } . 100ieq = { 0,253880 } . 100ieq = 25,39% ao período

flação

que vigora nas operações correntes (financeiras e

ente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando háois componentes:o correspondente a inflação.

nho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do

rente de 22% ao ano se a inflação do período for

11,9%

í,

+ i) = (1 + R) . (1 + I)

Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,119 PV 1 n i 9

Resolução pela HP 12C: 1,09 ENTER 1,119 X 1 - 100 X 22


Exemplo 03:Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento realfor no período 9% ?Resolução:I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I) (1,22) = (1,09) . (1 + I) 1,22 = (1 + I) 1,09 1,119 = (1 + I) 1,119 – 1 = I 0,119 = I I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano

Taxa de juros nominal

Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se referea taxa de juros. Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. Veja as suascaracterísticas a seguir:

- Aplica-se diretamente em operações de juros simples.- É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “n” vezes em seu

período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dosjuros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juroscompostos.

- É uma taxa referencial que não incorpora capitalização.- É calculada com base no valor nominal da aplicação ou empréstimo.

Exemplos de taxas nominais:

- 18% ao ano capitalizada mensalmente;- 5% ao mês capitalizada diariamente;- 8% ao semestre capitalizada mensalmente;- operação de câmbio;- operação de overnight em que a taxa de juros é mensal com capitalizações diárias.

Considerando um capital aplicado a uma taxa de juros efetiva em que os juros sãocapitalizados apenas uma única vez por ano, o montante ao término do primeiro ano de aplicaçãoé:

FV = PV (1 + i )

Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (capitalizada duasvezes por ano), o montante ao fim de um ano será:

FV = PV 1 + ij 2.1

2

Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,09 PV 1 n i 11,9


Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12 vezespor ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:

FV = PV 1 + ij 12.3

12

Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicadopelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante o períodoreferencial da taxa nominal:

FV = PV 1 + ij n.m

n

Para o cálculo do capital:

PV = FV 1 + ij nm -1 n

Onde:ij = taxa de juros nominaln = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal;PV = capital da aplicação;FV = montante

Taxa proporcional (taxa linear)

A maior parte dos juros no sistema financeiro nacional e internacional encontra-sereferenciada na taxa linear como: remuneração linear da caderneta de poupança, as taxasinternacionais libor e prime rate, o desconto bancário, os juros da Tabela Price, entre outros. Édeterminada pela relação simples entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e onúmero de vezes em que ocorrem juros (quantidades de períodos de capitalização). Entretanto,basicamente, o conceito de taxa proporcional é somente utilizado para capitalização simples, nosentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo.

A taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% ao ano capitalizadamensalmente é de 1,5% ao mês:

Taxa proporcional = 18% = 1,5% ao mês 12A taxa proporcional de 6% ao mês para 3 meses, é de 18% ao mês:

Taxa proporcional = 6% . 3 = 18% ao mês

Logo, as taxas proporcionais devem atender à seguinte proporção:

n1 . i1 = n2 . i2


Exemplo 02:

Determinar as seguintes taxas proporcionais:a) 2,5% ao mês é proporcional a qual taxa anual ? 2,5% . 12 = 30% ao ano.b) 3,0% ao semestre é proporcional a qual taxa anual ? 3,0% . 2 = 6% ao ano.c) 4,0% ao trimestre é proporcional a qual taxa anual ? 4,0% . 4 = 16% ao ano.d) 9,05% ao semestre é proporcional a qual taxa trimestral ? 9,05% / 2 = 4,25% ao trimestre

Exemplo 03:

Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominal de16% ao ano, capitalizados mensalmente.

Solução algébrica:Dados:PV = 1200 m = 3 anos ij = 16%ao ano n = 12 FV = ?FV = 1200 1 + 0,16 12.3

12

FV = 1200 (1 + 0,01333)36

FV = 1200(1,01333)36

FV = 1200 . 1,61076FV = R$ 1.933,15

Exemplo 04:

Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a a 9% ao mêscapitalizados diariamente.

Solução algébrica:Dados:PV = 200 m = 27dias ij = 9%ao mês n = 30dias FV = ?

FV = 200 1 + 0,09 30 . (27/30)

30

FV = 200 (1 + 0,00300)30. 0,90000

FV = 200(1,00300)27

FV = 200 . 1,08424FV = R$ 216,85

OBS.: O prazo dado foi transformado à mesma unidade de tempo da taxa nominal m = 27/30 meses.

Solução pela HP-12C16 ENTER12 ÷ i36 n1200 CHS PVFV 1.933,14792

Solução pela HP-12C9 ENTER30 ÷ i27 n200 CHS PVFV 216,84788


E X E R C I C I O S

1) Determinar a taxa:

a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82%b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99%c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57%d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09%

2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano dejuros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa

3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Queremuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa

4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de jurosreais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa

5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real forde 5% ao ano ? R. i = 36,5%aa

6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxareal da operação? R. R = 3,32%aa

7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi ataxa real? R. R = 7,14%aa

8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a jurosnominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 1.352,68

9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e taxas ?a) 6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente R. FV = R$ 344,52b) 8 meses a 18% ao semestre capitalizados mensalmente R. FV = R$ 380,03c) 27 meses a 12 % ao trimestre capitalizado mensalmente R. FV = R$ 865,01d) 7 meses a 28% ao ano capitalizado trimestralmente R. FV = R$ 343,47

10) Uma aplicação de R$ 1.000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998. Parauma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor do resgate(considerando ano civil). R. FV = R$ 117.974,14

11) Calcular o valor de um capital que, aplicado durante 7 anos à taxa nominal de 84% ao anocom capitalização mensal, rendeu R$ 10.000,00 de juros. R. PV = R$ 34,14

12) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao anocapitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R. m = 0,75ano ou 9 meses

13) Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestrecapitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R. FV = R$ 23.803,11


SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalosiguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.

• Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ouocorrendo em sucessão espacial ou temporal.

• Uniformes – que tem uma só forma; que tem a mesma foram; igual, idêntico; muitosemelhantes.

• Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.

Classificação das séries de pagamentos

a) Quanto ao tempo• Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;• Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.

b) Quanto à constância ou periodicidade• Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;• Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.

c) Quanto ao valor dos pagamentos• Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;• Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.

d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento• Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da

série;• Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série,

ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.

e) Quanto ao momento dos pagamentos• Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série

de pagamentos;• Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.

Série Uniforme de Pagamento Postecipada

São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é tambémchamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação(PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipadaatravés da seguinte fórmula:

(1 + i)n - 1 PV = PMT (1 + i)n . i


EXEMPLO 01:Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mêsa taxa de juros negociada na operação.Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00Resolução algébrica:

(1 + i)n - 1PV = PMT

(1 + i)n . i

(1 + 0,035)6 - 1PV = 1500

(1 + 0,035)6 . 0,035

(1,035)6 - 1PV = 1500

(1,035)6 . 0,035

1,229255 - 1PV = 1500

1,229255 . 0,035

0,229255PV = 1500

0,043024

PV = 1500[5,328553]

PV = R$ 7992,83

Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série depagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguintefórmula:

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

Resolução pela HP-12C f REG1500 CHS PMT

6 n3,5 i

PV 7992,83


EXEMPLO 02:Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se ocomprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerandoque a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ?Resolução algébrica:

(1 + 0,05)5 . 0,05PMT = 500

(1 + 0,05)5 - 1

(1,05)5 . 0,05PMT = 500

(1,05)5 - 1

1,276282 . 0,05PMT = 500

1,276282 - 1

0,063814PMT = 500

0,276282

PMT = 500[0,230975]

PMT = R$ 115,49

Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série depagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguintefórmula:

i PMT = FV (1 + i)n - 1

EXEMPLO 03:Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mêsdurante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos. Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ?Resolução algébrica:

Resolução pela HP-12C f REG 500 CHS PV

5 n5 i

PMT 115,49

Resolução pela HP-12C f REG 5000 FV

7 n4 iPMT 633 05


0,04PMT = 5000

(1 + 0,04)7 - 1

0,04PMT = 5000

(1,04)7 - 1

0,04PMT = 5000

1,315932 - 1

0,04PMT = 5000

0,315932

PMT = 5000[0,126610]

PMT = R$ 633,05

Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ouprestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular onúmero de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:

PV LN 1 - . i PMT

n = -

LN(1+ i)

EXEMPLO 04:Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar esteproduto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que ocomprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações destefinanciamento. Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81Resolução algébrica:

1750 LN 1 - . 0,03

Resolução pela HP-12Cf REG1750 PV3 i175,81 CHS PMT n 12


175,81 n = -

LN(1+ 0,03)

LN [1 – (9,953928) . 0,03 ] n = - LN(1,03)

LN [1 – (0,298618) ] n = - LN(1,03)

LN[0,701382 ] n = - LN(1,03)

-0,354702 n = - 0,02956

n = - - 12 ⇒ n = 12meses

Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma sérieuniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ouprazo(n), através da seguinte fórmula:

EXEMPLO 05:Um poupador deposita R$ 150tempo observou-se que o saldpoupança de 0,08% ao mês, dDados: FV = 30.032,62 Resolução algébrica:

30032,62 . 0,0 LN

FV . i LN +1 PMT

n = - LN(1 + i)

,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinadoo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média deetermine a quantidade de depósito efetuado por este poupador. i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ?

008 +1

Resolução pela HP-12Cf REG30032,62 CHS FV

150 PMT 0,08 i n 186 meses


150

n = - LN(1+ 0,0008)

24,026096 LN + 1

150

n = - LN(1,0008)

LN[ 0,160174 + 1] n = - LN(1,0008)

LN[ 1,160174 ] n = - LN(1,0008)

0,148570 n = - ⇒ n = 185,712500 ⇒ n = 186 meses 0,000800

Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT)de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV),através da seguinte fórmula:

FV = PMT (1 + i )n - 1 i

EXEMPLO 06:Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança;considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumuladoapós este período?Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?

Resolução algébrica:

FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1 0,008

FV =100 (1,008)360 - 1

Resolução pela HP-12Cf REG100 CHS PMT0,8 i360 nFV 207.641,32


0,008

FV = 100 17,611306 - 1 0,008

FV = 100 16,611306 ⇒ FV = 100 (2076,4132) ⇒ FV = R$ 207.641,32 0,008


1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxade 5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63

2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento éremunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24

3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetivade 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses.R. PMT = R$ 265,82

4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelasmensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.R. PMT = R$ 453,06

5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês pararecalcular o valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28

6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2%ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02

7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar omontante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?R. n = 8,78 aprox. 9anos

8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processandonenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre osaldo credor. R. PMT = R$ 367,66

9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas aofim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valordas prestações. R. PMT = R$ 618,89

10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessáriopara liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de$ 120. R. n = 7,99 aproxima. 8 meses


Série Uniforme de Pagamento Antecipada

As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiropagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamadode sistema de pagamento com entrada (1 + n).

Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)

Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possívelcalcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguintefórmula:

(1 + i)n –1 PV = PMT (1 + i )n-1 . i

EXEMPLO 01:Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que ataxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada,determine o preço à vista desta mercadoria.Resolução algébrica:Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?

(1 + 0,05)4 –1PV = 185 (1 + 0,05 )4-1 . 0,05

(1 ,05)4 –1PV = 185 (1,05 )3 . 0,05

1,215506 –1PV = 185 1,157625 . 0,05

0,215506PV = 185 0,057881

Resolução pela HP-12C f REG g BEG185 CHS PMT5 i4 nP V 688,80

OBS. : PARA SÉRIE UNIFORMEANTECIPADA, ANTES DEFAZER A RESOLUÇÃO PELAHP12-C PRESSIONAR ASTECLAS: G BEG


PV = 185[ 3,723248 ]PV = R$ 688,80

Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possívelcalcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipadaatravés da seguinte fórmula:

(1 + i)n-1 . i PMT = PV (1 + i )n - 1

EXEMPLO 02:Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais;sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensaldeste financiamento.Resolução algébrica:Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00

(1 + 0,0199)36-1 . 0,0199PMT = 17800 (1 + 0,0199 )36 - 1

(1,993039)35 . 0,0199PMT = 17800 (1,0199 )36 - 1

0,039661PMT = 17800 2,032700 - 1

0,039661PMT = 17800 1,032700

PMT = 17800[ 0,038405 ]

PMT = R$ 683,62

Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) serápossível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguintefórmula:

Resolução pela HP-12C f REG g BEG17800 CHS PV1,99 i36 nP MT 683,62


PV . i ln 1 - n = - PMT. (1 + i)

ln(1 + i)

EXEMPLO 03:Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juroscontratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?Resolução algébrica:

Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00

1500 . 0,03 ln 1 - n = - 170,72 . (1 + 0,03)

ln(1 +0,03)

45 ln 1 - n = - 170,72 . (1,03)

ln(1,03)

45 ln 1 - n = - 175,84

0,029559

ln [1 - 0,255972 ] n = - 0,029559

ln [ 0,744028 ] n = -

Resolução pela HP-12C f REG g BEG1500 PV3 i170,72 CHS PMTn 10 meses


0,029559

- 0,295596 n = - 0,029559

n = - { - 10,000275 }

n = 10 meses

Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcularo valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguintefórmula:

(1 + i)n - 1 FV = PMT . (1+ i ) i

EXEMPLO 04:Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acreditaque, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitosmensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, emmédia, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor queprecisa?Resolução algébrica:Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ?

(1 + 0,008)60 - 1FV = 500 . (1 + 0,008) 0,008

(1,008)60 - 1FV = 500 . (1,008) 0,008

1,612991 - 1FV = 500 . (1,008) 0,008

0,612991FV = 500 . ( 1,008) 0,008

Resolução pela HP-12C f REG g BEG500 CHS PMT0,8 i60 nFV 38.618,43


FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)FV = 38.311,93 . (1,008)FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro)

Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcularo valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através daseguinte fórmula:

FV . i PMT = [(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)

EXEMPLO 05:Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, pararesgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais.Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cadadepósito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00?Resolução algébrica:Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? i = 0,8% FV = R$ 37.500,00

37.500,00 . 0,008 PMT = [(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008)

300 PMT = [(1,008)60 – 1] . (1,008)

300 PMT = [1,612991 – 1] . (1,008)

300 PMT = [0,612991] . (1,008)

300 PMT = → PMT = R$ 485,52 0,617895

E X E R C I C I O S

Resolução pela HP-12C f REG g BEG37500 CHS FV0,8 i60 nFV 485,52


1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia deR$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostosde 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,09

2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juroscompostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeirodepósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49

3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo aprimeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista? R. PV= R$498.244,80

4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeiradada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês?R. PV = R$33.917,755) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no atoda compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cadaprestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$27.811,08

6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, àtaxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cadaprestação? R. PMT = R$20.000,00

7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais deR$ 20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantasprestações deverão ser pagas? R. n = 6 meses

8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00pagando prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês?R. n = 5 meses

9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95


Série Uniforme de Pagamentos Diferida

São aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre prestações (PMT) ocorrempelo menos a partir do 2o período, ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo(n), o período seguinte será (n + 1), o próximo será (n + 2) e assim sucessivamente.

Cálculo do Valor Presente(PV)

Sendo informados uma taxa(i), uma prestação (PMT), um prazo (n) e um período decarência (c), será possível calcular o valor presente (PV) em uma série uniforme de pagamentodiferida através da seguinte fórmula:

1 – ( 1 + i)– n

PMT . i PV = (1 + i)c-1

Considerando que “c” seja a carência, uma carência postecipada será c – 1.

EXEMPLO 01:Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5(cinco) prestações iguais deR$ 150,00; a loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento.Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja éde 3% ao mês.Resolução algébrica:Dados: PMT = R$ 150,00 n = 5 meses c = 5 meses i = 3% ao mêsPV = ?

1 – (1 + 0,03)– 5

150 . 0,03 PV = (1 + 0,03)5-1

f 150g 5 3 PVCH0 4 PV

Resolução pela HP12-C REG CHS PMT

END n i 686, 96S FV PMT n

610 35


1 – (1,03)– 5

150 . 0,03 PV = (1,03)4

1 – 0,862609 150 . 0,03 PV = 1,125509

0,137391 150 . 0,03PV = 1,125509

150 . [ 4,479707 ]PV = 1,125509

686,96PV = 1,125509

PV = R$ 610,35

Cálculo da Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), o valor presente (PV), um prazo (n) e um período decarência (c), será possível calcular a prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamentodiferida através da seguinte fórmula:

PV . ( 1 + i)C –1 . i PMT = 1 – ( 1 + i)-n

EXEMPLO 02:A loja Barrabás vende determinado produto à vista por R$ 850,00, em 24 parcelas mensais,sendo que a primeira prestação somente será paga após 4 meses do fechamento da compra.Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação.Resolução algébrica:Dados: PMT = ? n = 24 meses c = 4 meses i = 4% ao mês PV = R$ 850,00

850 . (1+ 0,04)4 –1 . 0,04 PMT = 1 – (1 + 0,04)-24

850 . (1,04)3 . 0,04

Resolução pela HP12-Cf REG3 n4 i850 CHS PV

FV 956,13CHS PV0 FV24 n


PMT = 1 – (1,04)-24

850 . 1,124864 . 0,04 PMT = 1 – 0,390121

PMT = 38,25 PMT = R$ 62,71 . 0,609879

Cálculo do Prazo (n)

Sendo informados uma taxa (i), o valor presente (PV), e um período de carência (c),uma prestação (PMT) será possível calcular o prazo (n) em uma série uniforme de pagamentodiferida através da seguinte fórmula:

PV . i . ( 1 + i)C –1

ln 1 - PMT n = - ln(1 + i)

EXEMPLO 03:Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais deR$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês e foiconcedido um prazo de carência de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se: Qual aquantidade de prestações do financiamento?Resolução algébrica:Dados: PMT = R$ 2.805,36 n = ? c = 4 meses i = 2% ao mês PV = R$ 50.000

50.000 . 0,02 . (1+ 0,02)4 –1

ln 1 - 2.805,36 n = - ln(1 + 0,02)

50.000 . 0,02 . (1,02)3

ln 1 - 2805,36 n = - ln(1,02)

50.000 . 0,02 . 1,061208 ln 1 -

Resolução pela HP12-Cf REG3 n2 i50000 CHS PV

FV 53.060,40CHS PV0 FV2805,36 PMT

n 24 meses


2805,36 n = - 0,019803

1.061,2080 ln 1 - 2805,36 n = - 0,019803

n = - ln [ 0,621721 ] n = - { - 24, 000017} n = 24 meses 0,019803

Cálculo da Carência ( c)

Como vimos, a carência é o prazo inicial dado até o momento do 1o pagamento. Esteprazo é fundamental para o cálculo do valor base de um financiamento em uma série uniformede pagamento diferida.

Para calcularmos a carência (c) são necessárias algumas informações, como o valorpresente (PV), o valor da prestação (PMT), o prazo do financiamento (n), o valor futuro (FV) ea taxa (i), e como nenhuma fórmula contempla de uma única vez todas as variáveis,necessitaremos fazer uma composição de duas fórmulas já estudadas.

Portanto, podemos calcular a carência através das seguintes fórmulas:

1- ( 1 + i)–n

FV = PMT i

FV ln PV c = ln(1 + i)

EXEMPLO 04:Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais deR$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês com umprazo de 24 meses, determinar o prazo de carência.a) encontrando o valor futuro:Resolução algébrica:Dados: PMT = 2805,36 FV = ? n = 24 c = ? i = 2% ao mês PV = R$ 50.000

1- (1 + 0,02)–24

FV = 2805,36 0,02

1- (1,02)–24

FV = 2805,36 0,02


1- 0,6221721 FV = 2805,36 0,02

0,378279 FV = 2805,36 0,02

FV = 2805,36 [ 18,913926 ]

FV = R$ 53.060,37

b) encontrando a carência (c):

53.060,37 ln 50.000 c = ln(1,02)

ln (1,061207) c = 0,019803

0,059407 c = 0,019803 c = 3 meses

Cálculo do valor futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), uma prestação (PMT) e um prazo (n), será possívelcalcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento diferida através da seguintefórmula:

(1 + i)n1 - 1 FV =PMT . ( 1 + i)n2

i

EXEMPLO 05:Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de poupança. Após 12 meses estepoupador teve de interromper os depósitos, mas não efetuou nenhum saque, e gostaria de saberquanto terá após 6 meses, considerando-se que os valores dos depósitos eram de R$ 200,00 e quea taxa média de juros para os primeiros 12 meses era de 1% e que para os próximos 6 mesesestimou-se uma taxa de 0,8% ao mês. Pergunta-se: Quanto o poupador terá após todo o período?Resolução algébrica:

Resolução pela HP12-Cf REG24 n2 i2805,36 CHS PMT

PV 53060,37CHS FV50000 PVCLX PMT

n 3 meses


Dados: PMT = R$ 200,00 i = 1%am(primeiros 12meses) i = 0,8%am(próximos 6meses) n1=12 meses n2 = 6 meses FV = ?

(1 + 0,01)12 - 1 FV = 200 . (1 + 0,008)6

0,01

(1,01)12 - 1 FV = 200 . (1,008)6

0,01

1,126825 - 1 FV = 200 . 1,048970 0,01

0,126825 FV = 200 . 1,048970 0,01

FV = 200 [ 12,682503 ] . 1, 048970 FV = 2536,50 . 1,048970 FV = R$ 2660,71

E X E R C I C I O S

1) Um terreno é vendido à vista por R$ 5.000,00 ou a prazo em 6 prestações mensais iguais,vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for 3%ao mês,qual o valor de cada prestação? R. PMT = R$ 979,19

2) Um financiamento de R$ 40.000,00 será pago em 8 prestações mensais de R$ 6.413,44. Oinício do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência.Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência. R. n = 4meses

3) Um objeto encontra-se em promoção e é comercializada em 4 prestações iguais de R$ 10,00;a loja está oferecendo ainda uma carência de 3 meses para o primeiro pagamento. Determine ovalor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 2% aomês. R. PV = R$ 36,59

4) A Companhia LL vende determinado produto à vista por R$ 350,00, em 6 parcelas mensais,sendo que a primeira prestação somente será paga após 2 meses do fechamento da compra.Considerando uma taxa de 2,5% ao bimestre, determinar o valor de cada prestação.R. PMT = R$ 61,67

Resolução pela HP12-Cf REG200 PMT12 n1 i

FV 2536,50CHS PV0 PMT0,8 i6 nFV 2660,71


5) Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguaisde R$ 2.500,00. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 1,5% ao trimestrecom um prazo de 24 meses, determinar o prazo de carência. R. c = 4,2 meses

6) Uma pessoa receberá 12 prestações mensais iguais a R$ 20.000,00 com uma carência de 12meses. Sabendo que a taxa de juros é de 4% ao mês, determine o valor atual, com as prestaçõesvencendo no final do intervalo. R. PV = R$ 121.927,32

7) Uma mercadoria que custa R$ 117.237, 79 será paga em 12 prestações mensais iguais, sendo aprimeira paga 13 meses após a compra, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o valor de cadaprestação. R. PM = R$ 20.000,00

8) Um apartamento que custa R$ 121.927,30 a vista será vendido em 12 prestações mensais,iguais, de R$ 20.000,00, à taxa de 4% ao mês de juros. Sabendo que terá um período de carência,determine-o. R. C = 11 meses

9) Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de R$ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10% ao mêsde juros. Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último depósito? R. FV = R$ 334.865,67

10) O saldo de uma conta, 4 meses após o oitavo depósito mensal era de R$ 334.865,68. sabendoque os juros são de 10%ao mês, qual foi o valor depositado mensalmente?Obs.: para descobrir o capital utilizar a fórmula de juros compostos: PV = FV/(1 + i)n

R. PMT = R$ 20.000,00

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO

Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos efinanciamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, asprestações que mudam a cada período do empréstimo, ou seja, as prestações que mudam a cadaperíodo do empréstimo ou financiamento.

• Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quantoà sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto aoConsumidor), entre outros.

• Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificadoquanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário,entre outros.

No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberaçãodos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia dedevolução dos recursos financeiros emprestados.

Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ouplanilhas de amortização.

• Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ousimplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído daparcela de amortização a cada período (n).

• Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.


• Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor eposteriormente somado à parcela de amortização.

• Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela deamortização mais juros compensatórios.

Sistema Francês de Amortização (SFA)

Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, constituídas deduas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja,enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam.

Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituiçõesfinanceiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem comoprincipais características:

• a prestação é constante durante todo o período do financiamento;• a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos são

periódicos, constantes e sucessivos;• os juros compensatórios diminuem a cada período (n).

OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformespostecipados.

Exemplo 01:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =10000

(1,1)5 - 1


1,610510 . 0,1PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ 2.637,97

b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20Juros para o 3o período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03Juros para o 4o período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83Juros para o 5o período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82

c) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97Parcela de amortização para o 2o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15

d) cálculo do saldo devedor (SD)

SDn = SD(anterior) - PAn

SD1 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03SD2 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26SD3 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32SD4 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18SD5 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03

Assim teremos nossa planilha de financiamentoN Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,00


1 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,972 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,973 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,974 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,975 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

∑∑∑∑ 9.999,97 3.189,88 13.189,85

OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.

Sistema Francês (carência + juros compensatórios)

Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas opagamento dos juros compensatórios.

Exemplo 2:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =10.000

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03


(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =10000

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ 2.637,97

b) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.

Juros para o 3o período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 4o período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20Juros para o 5o período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03Juros para o 6o período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83Juros para o 7o período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82


PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94Parcela de amortização para o 6o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 7o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15




SD1 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00SD2 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00SD3 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03SD4 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26SD5 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32SD6 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18SD7 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03

Assim teremos nossa planilha de financiamenton Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,002 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,003 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,974 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,975 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,976 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,977 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

∑∑∑∑ 9.999,97 5.189,88 15.189,85

Sistema Francês (carência + sal

f [REG]10000 ENTER % 100010000 CHS PV 10 X Y 10 % 100010000 CHS PV 10 i

1 f [AMORT] 1000,00 X

1 f [AMORT] 836,20 X

1 f [AMORT] 656,03 X Y

1 f [AMORT] 457,83 X

1 f [AMORT] 239,82 X

Resolução pela HP-12C

i 5 n PMT 2637,97

5 n PMT 2637,97

Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1981,94 RCL PV – 4578,32

Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

Y 2398,15 RCL PV – 0,03

do devedor corrigido)


Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos aosaldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se aprestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipada.

Exemplo 3:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento dejuros durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor,calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha definanciamento.

Resolução algébricaa) atualização do saldo devedor durante o período de carência

período 1:SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00Período 2:SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00

Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

b) cálculo do valor da prestação

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =12.100

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =12100

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =12100

1,610510 - 1

0,1610551PMT =12100

0,610510


PMT = 12100[0,263797]

PMT = R$ 3.191,95

c) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 0,00Juros para o 2o período: J2 = 0,00Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.

Juros para o 3o período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.210,00Juros para o 4o período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 = R$ 1.011,81Juros para o 5o período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 = R$ 793,79Juros para o 6o período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 = R$ 553,98Juros para o 7o período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1 = R$ 290,18

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 3o período: PA = 3.191,95 - 1.210,00 = R$ 1.981,95Parcela de amortização para o 4o período: PA = 3.191,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 5o período: PA = 3.191,95 - 793,79 = R$ 2.398,16Parcela de amortização para o 6o período: PA = 3.191,95 - 553,98 = R$ 2.637,97Parcela de amortização para o 7o período: PA = 3.191,95 - 290,18 = R$ 2.901,77

e) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 11.000,00 - 0,00 = R$ 11.000,00SD2 = 12.100,00 - 0,00 = R$ 12.100,00SD3 = 12.100,00 - 1.981,95 = R$ 10.118.05SD4 = 10.118,05 - 2.180,14 = R$ 7.937,91SD5 = 7.937,91 - 2.398,16 = R$ 5.539,75SD6 = 5.539,75 - 2.637,97 = R$ 2.901,78SD7 = 2.901,78 - 2.901,77 = R$ 0,01


0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 11.000,00 0,00 0,00 0,00


2 12.100,00 0,00 0,00 0,003 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,954 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,955 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,956 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,957 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95

∑∑∑∑ 12.099,99 3.859,76 15.959,75

Sistema Price de Amortização ou (Tabela Price)

O Sistema Price de Amortização, ou simplesmente Tabela Price, é uma derivação doSistema Francês de Amortização, diferenciando-se apenas nos seguintes pontos:

a) A taxa é apresentada em termos nominais e normalmente é apresentada ao ano.b) O período do financiamento normalmente é menor do que o tempo da taxa, quase

sempre é dado ao mês.c) Para transformar as taxas, usa-se o critério de proporcionalidade.

Exemplo 4:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização.Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 ENTER 1,1 X 1,1 X 12100CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95

1 f [AMORT] 1210,00 X Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05

1 f [AMORT] 1011,80 X Y 2180,14 RCL PV – 7937,90

1 f [AMORT] 793,79 X Y 2398.15 RCL PV – 5539,74

1 f [AMORT] 553,97 X Y 2637,97 RCL PV – 2901,77

1 f [AMORT] 290,17 X Y 2901,77 RCL PV – 0,00


Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação

(1 + i)n . i PMT = PV (1 + i)n - 1

(1 + 0,01)7 . 0,01PMT =10.000

(1 + 0,01)7 - 1

(1,01)7 . 0,01PMT =10000

(1,01)7 - 1

1,072135 . 0,01PMT =10000

1,072135 - 1

0,010721PMT =10000

0,072135

PMT = 10000[0,148628]

PMT = R$ 1.486,28

b) Cálculo dos juros

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00


PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28




SD1 = 10.000,00 - 1.386,28 = R$ 8.613,72

Assim teremos nossa planilha de financiamentoN Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.613,72 1.386,28 100,00 1.486,282 7.213,58 1.400,14 86,14 1.486,283 5.799,44 1.414,14 72,14 1.486,284 4.371,15 1.428,29 57,99 1.486,285 2.928,58 1.442,57 43,71 1.486,286 1.471,59 1.456,99 29,29 1.486,287 0,03 1.471,56 14,72 1.486,28

∑∑∑∑ 9.999,97 403,99 10.403,96

E X E R C Í C I O S ( SFA- Tabela Price)

1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensaispostecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização.

n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

01234 -------------------------

2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serãopagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização.

Resolução pela HP-12C f [REG]10000 CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28

1 f [AMORT] 100,00 X Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72

1 f [AMORT] 86,14 X Y 1400,14 RCL PV – 7213,58

1 f [AMORT] 72,14 X Y 1414,14 RCL PV – 5799,44

1 f [AMORT] 57,99 X Y 1428,29 RCL PV – 4371,15

1 f [AMORT] 43,71 X Y 1442,57 RCL PV – 2928,58

1 f [AMORT] 29,29 X Y 1456,99 RCL PV – 1471,59

1 f [AMORT] 14,72 X Y 1471,56 RCL PV – 0,03



0123456 ----------------------------

3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os jurossão capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização.


0123456 ----------------------------

4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas.Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir atabela de amortização.


0123 -------------------------

5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valordo empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestraiscom carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e osjuros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência.


0123456


7 ----------------------------

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecidocomo Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos deempresas por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimodividido pelo número de prestações.

- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinadofator que é constante.

- O valor dos juros é decrescente .- Os pagamentos são periódicos e sucessivos.

Exemplo 01:


Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante(SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?a) cálculo da parcela de amortização(PAn)

PAn = PV ou SD n

PAn = 10.000 = R$ 2.000,00 5b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . nJuros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00Juros para o 3o período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00Juros para o 4o período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00Juros para o 5o período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00

c) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00SD2 = 8.000,00 - 2.000,00 = R$ 6.000,00SD3 = 6.000,00 - 2.000,00 = R$ 4.000,00SD4 = 4.000,00 - 2.000,00 = R$ 2.000,00SD5 = 2.000,00 - 2.000,00 = R$ 0,00

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PMTn = PA + Jn

PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00

PMT3 = 2.000,00 + 600,00 = R$ 2.600,00PMT4 = 2.000,00 + 400,00 = R$ 2.400,00PMT5 = 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00


0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,002 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,003 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,00


4 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,005 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00

∑∑∑∑ 10.000,00 3.000,00 13.000,00

E X E R C I C I O S ( SAC)

1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10 meses, àtaxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês?


012345678910

2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxade juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintesprocedimentos:

a) calcular a amortização;b) calcular a parcela de juros;c) calcular o valor das prestações;d) apurar o saldo devedor do período.


01234

3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais,com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento?


01234


4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para seramortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação?


0123

5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4 parcelas,mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valorda amortização?

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

Este sistema foi originalmente desenvolvido para atender o Sistema Financeiro de Habitação(SFH). Neste caso, o financiamento é pago em prestações uniformemente decrescente, constituídas deduas parcelas: amortização e juros, que correspondem à média aritmética das respectivas prestações doSistema de Amortização Francês e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Enquanto asamortizações são crescentes ao longo dos períodos (n), os juros dos períodos são decrescentes.

Exemplo 1:


Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Mista. Pede-se:Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica

Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

Vamos inicialmente considerar as planilhas de amortização do SF e do SAC.

Sistema Francês (SFA)n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,972 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,973 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,974 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,975 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

∑∑∑∑ 9.999,97 3.189,88 13.189,85

OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.

Assim teremos a planilha de financiamento pelo (SAC)n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,002 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,003 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,004 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,005 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00

∑∑∑∑ 10.000,00 3.000,00 13.000,00

a) Cálculo da prestação (PMTn):

PMTn = PMTSFA + PMTSAC

2

PMT1 = 2.637,97 + 3.000 = R$ 2.818,99 2

b) Cálculo Dos juros (Jn):Jn = JSFA + JSAC

2

J1 = 1.000 + 1.000 = R$ 1.000,00 2


c) Cálculo da parcela de amortização (PAn):

PAn = PASFA + PASAC

2

PA1 = 1.637,97 + 2.000 = R$ 1.818,99 2d) Cálculo Do saldo devedor (SDn):

SDn = SDSFA + SDSAC

2

SD1 = 8.362,03 + 8.000 = R$ 8.181,02 2Portanto,

Sistema Misto (SAM)n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.181,01 1.818,99 1.000,00 2.818,992 6.280,13 1.900,89 818,10 2.718,993 4.289,15 1.990,97 628,01 2.618,994 2.199,08 2.090,07 428,92 2.518,995 0,00 2.199,08 219,91 2.418,99

∑∑∑∑ 10.000,00 3.094,94 13.094,94

E X E R C I C I O S

1) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo SAM em 4 prestações anuais, ataxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização baseado nas tabelas abaixo:


0 100.000,00 ----- ----- ------1 79.973,00 20.027,00 15.000,00 35.027,002 56.942,00 23.031,00 11.996,00 35.027,003 30.456,00 26.486,00 8.541,00 35.027,004 0,00 30.456,00 4.568,00 35.024,00*

∑∑∑∑ 100.000,00 40.105,00 140.105,00

OBS.: *feito com acerto para zerar o saldo devedor.

Sistema SACn Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 100.000,00 --------- -------- ----------1 75.000,00 25.000,00 15.000,00 40.000,002 50.000,00 25.000,00 11.250,00 36.250,003 25.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00


4 0,00 25.000,00 3.750,00 28.750,00∑∑∑∑ 100.000,00 37.500,00 137.5000,00


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2) Calcular as prestações de um empréstimo de R$ 200.000,00 a ser pago em quatro prestações mensaisa juros efetivos de 10% am., . Apresente também a planilha do SAM baseada nas tabela abaixo:


0 200.000,00 ----- ----- ------1 156.906,00 43.094,00 20.000,00 63.094,002 109.502,60 47.403,40 15.690,60 63.094,003 57.358,86 52.143,74 10.950,26 63.094,004 0,00 57.358.86 5.723,89 63.094,00

Sistema SACn Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 200.000,00 --------- -------- ----------1 150.000,00 50.000,00 20.000,00 70.000,002 100.000,00 50.000,00 15.000,00 65.000,003 50.000,00 50.000,00 10.000,00 60.000,004 0,00 50.000,00 5.000,00 55.000,00


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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE)

Este sistema foi criado pela Caixa Econômica Federal (CEF) para ser utilizado em suas linhasde créditos relacionados ao Sistema Financeiro da Habitação (SFH). Dependendo da linha definanciamento que você contratar com a Caixa, poderá optar por um destes sistemas: SACRE –SFA/Tabela Price.


O SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valoremprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Neste sistema asprestações mensais são calculadas com base no saldo devedor existente no início de cada período de12 meses. Assim, sendo, o valor das 12 prestações inicias é calculada da mesma forma como se obtémo valor da 1ª prestação do SAC.

Nos processos de financiamentos do SFH , ambos os sistemas podem gerar Saldo Residual.Saldo Residual: é o valor remanescente no fim do prazo contratado, decorrente da evolução do

financiamento.• Quando ele é negativo: significa que a dívida foi liquidada e o mutuário terá direito á

devolução daquele valor.• Quando positivo: o mutuário deve fazer pagamento para que a dívida seja liquidada.

Como já falamos, a metodologia do cálculo deverá ser feita da seguinte forma:

a) divide-se o valor do empréstimo pelo número de prestações do financiamento, obtendo-seassim o valor da parcela de amortização (PAn);

b) multiplica-se a taxa mensal de juros pelo valor do empréstimo, obtendo-se o valor dos juroscompensatórios (Jn ) da primeira prestação (PMT);

c) soma-se a parcela dos juros compensatórios (Jn ) com a parcela de amortização (PAn);

d) após o pagamento das 12 prestações inicias, divide-se o saldo devedor remanescente pelonúmero de prestações a vencer.

Exemplo 1:Um imóvel no valor de R$ 35.000,00 é financiado em 180 prestações, sabendo-se que a taxa de juros éde 12% ao ano, e que o saldo devedor será corrigido pela TR – Taxa Referencial (projetada) de 1% aomês durante todo o período do contrato. Adotou-se o Sistema SACRE para calcular a amortização dadivida. Pede-se:Elaborar a planilha de amortização para as 25 primeiras prestações.

Resolução algébricaDados:PV = R$ 35.000,00 Taxa (TR) = 1% am i = {(1+ 0,12)30/360–1}.100 (equivale ao 0,948879%am.)PMT = ? PAn = ? Jn = ? SDn = ? n = 180mesesa) Cálculo da prestação (PMT): das 12 primeiras prestações:

• Valor da amortização: PAn = PV/n PAn = 35000/180 = R$ 194,44

• Valor dos juros: J =PV. i J = 35000 . 0,948879% = R$ 332,11VALOR DA PRESTAÇÃO (PMT) = R$ 526,55

Cálculo da 12 prestações seguintes (da 13ª à 24ª ):12ª = 37.125,19

• Valor da amortização: PAn = 37.125,89/168 = R$ 220,99

• Valor dos juros: J = 37.125,89 . 0,948879% = R$ 352,28


VALOR DA PRESTAÇÃO (PMT) = R$ 573,27

Cálculo da 12 prestações seguintes ( da 25ª á 36ª ):24ª = 39.183,77

• Valor da amortização: PAn = 39.183,77/156 = R$ 251,18

• Valor dos juros: J = 39.183,77 . 0,948879% = R$ 371,80

VALOR DA PRESTAÇÃO (PMT) = R$ 522,98

b) Cálculo dos juros com pensatórios (Jn):

Jn = (SD corrigido peal TR) . (Taxa de juros do financiamento)Jn = 35.000 . (1,01) = R$ 35.350,00 ( 1º SD corrigido pela TR) 35.350,00 . 0,948879% = R$ 335,43 ( 1ª parcela de juros)

c) Cálculo das parcelas de amortização (PAn):

PAn = PMT – JPAn = 526,55 – 335,43 = R$ 191,12

d) Cálculo Do saldo devedor (SDn):

SDn = SDcorrigido - PAn

SDn = 35.350,00 – 191,12 = R$ 35.158,88

Assim teremos a tabela:

Sistema de Amortização Crescente - SACREValor do financiamento ( PV) R$ 35.000,00Número de prestações (n) 180Taxa de juros (i) ao ano 12,00%Taxa de Juros (i) ao mês 0,948879%TR – Taxa referencial (projetada) ao mês 1,00%

n SD SD + TR PAn JUROS PMT0 35.000,00 ------------- ------------ ----------- 526,551 35.158,88 35.350,00 191,12 335,43 526,552 35.320,87 35.510,47 189,60 336,95 526,553 35.486,03 35.674,08 188,05 338,50 526,554 35.654,43 35.840,89 186,46 340,09 526,555 35.826,12 36.010,97 184,85 341,70 526,556 36.001,18 36.184,38 183,20 343,35 526,557 36.179,67 36.361,19 181,53 345,02 526,558 36.361,65 36.541,46 179,82 346,73 526,559 36.547,19 36.725,26 178,07 348,48 526,55


10 36.736,37 36.912,66 176,29 350,26 526,5511 36.929,25 37.103,73 174,48 352,07 526,5512 37.125,91 37.298,55 172,63 353,92 526,5513 37.279,68 37.497,14 217,46 355,80 573,2714 37.436,48 37.652,48 215,99 357,28 573,2715 37.596,36 37.810,85 214,49 358,78 573,2716 37.759,36 37.972,32 212,96 360,31 573,2717 37.925,56 38.136,96 211,40 361,87 573,2718 38.095,01 38.304,82 209,80 363,47 573,2719 38.267,78 38.475,96 208,18 365,09 573,2720 38.443,94 38.650,46 206,52 366,75 573,2721 38.623,54 38.828,38 204,84 368,43 573,2722 38.806,66 39.009,77 203,11 370,16 573,2723 38.993,37 39.194,73 201,36 371,91 573,2724 39.183,73 39.383,30 199,57 373,70 573,2725 39.328,14 39.575,57 247,46 375,52 622,98

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSAF, Neto Alexandre – Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo:Atlas, 2000.ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes – Matemática Financeira – 3a ed. – SãoPaulo: Atlas,2002.BRANCO, Anísio Costa Castelo – Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning.FARO, Clovis de – Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982.HAZZAN, Samuel , José Nicolau Pompeo– Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual,1993.SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos –3a ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002.SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes – Matemática para o Ensino Médio- SãoPaulo: IBEP, 2000VIEIRA Sobrinho, José Gutra – Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.

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