Apostila edgar-abreu-mat-financeira-bndes-com-capa

Matemática Financeira

Prof.:Edgar Abreu

BNDES - 2013 Matemática Financeira

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PROFESSOR: EDGAR ABREU ([email protected])

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Prezado Concurseiro:

Algumas informações sobre este material de estudos:

Este apostila é sem dúvida a mais completa e atualizada do mercado,

certamente você não irá encontrar um material de tamanha qualidade,

nem mesmo pagando.

Este material foi elaborado com base no ultimo edital do BNDES,

publicado pela CESGRANRIO em Dezembro de 2012.

O responsável pela elaboração desta apostila é o professores Edgar

Abreu.

Esta apostila é disponibilizada gratuitamente para download.

Caso este material seja útil para você, mande um e-mail para o

professor ou para o curso da Casa do Concurseiro, compartilhando a

sua felicidade.

Dúvidas quanto aos conteúdos deste material, podem ser esclarecidas

direto com o autor pelo e-mail: [email protected]

De acordo com o edital de 18 de Dezembro de

2012 da CESGRANRIO

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BNDES 2013 - MATEMÁTICA FINANCEIRA

A CASA DO CONCURSEIRO Estude com o curso que mais aprovou primeiros colocados nos últimos

concursos.

TRE – RJ (2012): Primeiro colocado

TRE – PR (2012): Primeiro Colocado

INSS (2012): Primeiro Colocado (Gravataí)

CEF 2012: Primeiro colocado nas Microrregiões abaixo

1. São Paulo – SP;

2. Porto Alegre – RS;

3. Cruzeiro do Sul – AC;

4. Aracaju – SE;

5. Cascavel – PR;

6. Patos – PB;

7. Osasco - SP;

8. Uruaçu – GO;

9. Jundiaí; Bacabal – MA;

10. Ji-Paraná – RO;

11. Vitória - ES ;

12. Santarém – PA;

13. Teresina – PI;

14. Uruguaiana – RS;

15. Itumbiara – GO;

16. Maringá – PR;

17. Santo Antonio de Jesus – BA;

18. Caxias do Sul –RS;

19. Santo Ângelo – RS;

20. Picos – PI;

21. Castanhal PA

Banco do Brasil 2011/2012: Primeiro colocado nas

Microrregiões abaixo

1. Santo Amaro – SP;

2. Varginha – BA;

3. Bonito – MS;

4. Juiz de Fora – MG (PNE);

5. Irecê – Vitória da Conquista;

6. Jundiaí –

7. São Paulo - SP;

8. Jequié – BA;

9. Anápolis – GO ;

10. Sete Lagoas – MS;

11. Pouso Alegre – MG;

12. Lins – SP;

13. Paraíso do Tocantins – TO

14. Rio de Janeiro – RJ;

15. Cabo Frio – RJ;

16. Pelotas – RS;

17. Novo Hamburgo – RS;

BDES 2013 - MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Prof. Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br Página 4

CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS SOBRE BNDES: EDITAL CESGRANRIO 2012/2013

Noções de estatística - Apresentação de dados. População e amostra. Distribuição de frequências. Probabilidade. Medidas de posição e de dispersão. Números-índices. 2 - Noções de Contabilidade - Princípios contábeis. Conceitos. Campos de aplicação da contabilidade. Patrimônio. Origem e aplicação dos recursos. Escrituração contábil. 3 - Matemática - Números inteiros, racionais e reais. Problemas de contagem. Sistema legal de medidas. Problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal. Razões e proporções. Divisão proporcional. Regra de três simples e composta. Porcentagens. Equações e inequações de 1º e 2º graus. Sistemas lineares. Funções e gráficos. Sequências numéricas. Múltiplos e divisores. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Juros simples e compostos. Capitalização e operações de desconto. Equivalência de capitais. Taxa de juros: nominal, efetiva, equivalente, real e aparente. Raciocínio lógico OBS: Esta apostila contempla APENAS os conteúdos em destaque. A quantidade de questões e o peso da prova, refere-se a toda a prova de matemática, que além Mat. Financeira ainda pode cobrar assuntos como estatística, raciocínio lógico e noções de contabilidade.

QUANTIDADE DE QUESTÕES ESPERADA: 25 de 70 questões. PESO DA PROVA: 30 de 100 pontos.


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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................................................................................... 6

TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS .............................................................................................................................................. 6 TAXA UNITÁRIA ............................................................................................................................................................................... 7 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO .............................................................................................................................................................. 7 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO ....................................................................................................................................................... 9 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO .......................................................................................................................................... 11 QUESTÕES DE CESGRANRIO .......................................................................................................................................................... 15 RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO ......................................................................................................................................... 17

TAXAS DE JUROS ...................................................................................................................................................................... 22

TAXA PROPORCIONAL ................................................................................................................................................................... 22 TAXA EQUIVALENTE ...................................................................................................................................................................... 23 TAXA REAL X TAXA APARENTE....................................................................................................................................................... 25 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA .................................................................................................................................................. 27 QUESTÕES DE NIVELAMENTO ....................................................................................................................................................... 32 QUESTÕES CESGRANRIO ............................................................................................................................................................... 34 RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO ................................................................................................................................. 41 RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO ......................................................................................................................................... 45

APITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA ...................................................................................................................................... 56

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................................................................................. 56 JUROS SIMPLES ............................................................................................................................................................................. 57 JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................................................................................... 63 DESCONTO SIMPLES ..................................................................................................................................................................... 71 DESCONTO COMPOSTO ................................................................................................................................................................ 75 QUESTÕES CESGRANRIO ............................................................................................................................................................... 78 RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO ......................................................................................................................................... 91


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INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA

Neste capítulo iremos estudar alguns assuntos que servirão de base para o aprendizado de

Matemática Financeira.

TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS

Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.

Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser

aplicado numa operação financeira.

Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.

Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso

do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros.

o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique

simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.

Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros.

o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando

em capitalização simples ou em capitalização composta).

Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.

Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital

inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que

equivale a uma única capitalização.

Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes

a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.

Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito

quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou

valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de

desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão.


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o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR

DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples

ou em capitalização composta).

TAXA UNITÁRIA

DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. COMO FAZER

1010% 0,10

100

2020% 0,20

100

55% 0,05

100

3838% 0,38

100

1,51,5% 0,015

100

230230% 2,3

100

FATOR DE CAPITALIZAÇÃO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial.

1.2.1 AGORA É A SUA VEZ:

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%


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Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.

120Fator de Capitalização = 1,2

100

O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR:

o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO: Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2. Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER:

Acréscimo de 30% 1,3

Acréscimo de 15% 1,15

130 = 100% + 30% = 130% =

100

115 = 100% + 15% = 115% =

100

103 = 1Acréscimo de 3% 1,03

Acréscimo de 20

00% + 3% = 103% = 100

300 = 100% + 200% = 30 00% =

0% 3

1 0


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Acréscimo Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.

80Fator de Descapitalização = 0,8

100

O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.


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CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR:

o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65

o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8

ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor desse produto por 0,80. Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER:

Desconto de 30% 0,7

Desconto de 15% 0,85

70 = 100% 30% = 70% =

100

85 = 100% 15% = 85% =

100

97 = 1Desconto de 3% 0,97

Desconto de

00% 3% = 97% = 100

50 = 100% 50% = 50% =

10050% 0,5


Desconto Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%


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ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO

Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso

acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse

tipo.

O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo

que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.

Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem

definidos:

Exemplo 1.5.1:

Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos

mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20%

no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas

tarifas aumentadas em:

a) 50%

b) 30%

c) 150%

d) 56%

e) 20%

Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso

marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”).

Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de

manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:

Após receber um acréscimo de 30%:

10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00

Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009:

13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60

Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano.

Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%,

e não de 50% como parecia inicialmente.


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COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:

Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3:

o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3

o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56

Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2),

logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%

COMO FAZER

Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é: a) 10% maior b) 10 % menor c) Acréscimo superior a 5% d) Desconto de 84% e) Desconto de 16% Resolução: Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2 Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4 Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5 Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 – 0,84 = 0,16 Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. (Alternativa E)

Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é: a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) Exatamente igual


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Resolução: Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)

AGORA É SUA VEZ

QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003, (A) 24 %. (B) 28 %. (C) 30 %. (D) 32 %. (E) 60 %.

QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de: (A) 35%. (B) 45%. (C) 50%. (D) 60%. (E) 65%.


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Resolução questão 1.5.1

Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente

dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%):

2003 2004

Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96

Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28

TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24

Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um

aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A


Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para

cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o

mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada

vendedora.

Maio Junho

Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2

Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em

junho = 1,2 * 1,25 = 1,5

Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5),

houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa C


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QUESTÕES DE CESGRANRIO

1. (CASA DA MOEDA 2009 - MED) Um comerciante aumentou em 20% o preço de suas mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu oferecer aos clientes um desconto de 30% sobre o preço com aumento. Desse modo, qual é, em reais, o preço com desconto de uma mercadoria que inicialmente custava R$ 200,00?

(A) 144,00 (B) 168,00 (C) 180,00 (D) 188,00 (E) 196,00

2. (PETROQUIMICA 2011 - MED) Durante uma liquidação, uma loja de roupas vendia

camisetas com 25% de desconto. Sandra aproveitou a promoção e comprou uma camiseta por R$ 12,00. Qual era, em reais, o preço dessa camiseta sem o desconto? (A) 14,00 (B) 15,00 (C) 16,00 (D) 17,00 (E) 18,00

3. (FINEP 2011 - SUP) Uma aplicação financeira teve queda de 23,5% em um

determinado mês, e, no mês seguinte, o valor resultante foi reaplicado por mais um mês e rendeu 36%. O regime de juros, nesses dois meses, foi o de juros compostos. A rentabilidade bimestral dessa aplicação equivale a um rendimento mensal de (A) 2,0% (B) 4,0% (C) 6,25% (D) 6,5% (E) 29,60%

4. (ANP 2008 - SUP) Um determinado estado da União tomou um empréstimo de R$1

bilhão junto ao BNDES, a ser pago em 2 anos, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. No momento de quitar a dívida, a mesma foi renegociada por mais seis meses, à taxa de 1% ao semestre. A taxa de juros efetiva para toda a operação é, aproximadamente, (A) 10% (B) 11% (C) 21% (D) 22%


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(E) 25%

5. (PETROBRÁS: TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR 2010 – MED) Em janeiro de 2009, certa mercadoria custava, em reais, P. Em junho de 2009, seu preço estava 30% mais barato do que em relação a janeiro. Em dezembro de 2009, seu preço sofreu reajuste e ficou 20% mais caro do que em junho, passando a custar R$ 336,00. É correto afirmar que P, em reais, é uma quantia entre: (A) 330,00 e 350,00 (B) 350,00 e 370,00 (C) 370,00 e 390,00 (D) 390,00 e 410,00 (E) 410,00 e 430,00

6. (BNDES – 2010) Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesse período, o jovem

(A) teve lucro de 2%. (B) teve lucro de 20%. (C) não teve lucro e nem prejuízo. (D) teve prejuízo de 2%. (E) teve prejuízo de 20%.


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RESOLUÇÕES QUESTÕES CESGRANRIO

Questão 1 Resolução 1: utilizando os fatores. Fator para aumento de 20% = 1,2 Fator para desconto de 30% = 0,7 Oberve que o aumento foi dado sobre o valor inicial (100%, ou 1), mas o desconto foi dado sobre o novo valor (120%, ou 1,2). Assim, para saber o novo preço, devemos multiplicar os fatores: 1,2 * 0,7 = 0,84 Assim, o fator referente ao novo preço é 0,84. Como o preço inicial informado é R$ 200,00, para descobrir o novo preço, basta multiplicar o preço antigo pelo fator calculado. Assim: 200 * 0,84 = 168,00 RESPOSTA: Alternativa B

Resolução 2: utilizando o preço informado. Calculando o preço com o aumento de 20%: 200,00 * 0,20% = 40,00 Valor com aumento: 200 + 40 = 240,00 Calculando o preço com o desconto de 30%: 240,00 * 30% = 72,00 Valor com desconto: 240 - 72 = 168,00

RESPOSTA: Alternativa B

Questão 2 Fator para desconto de 25%: 100% - 25% = 100/100 – 25/100 = 1 – 0,25 = 0,75 Se o preço com desconto informado é de R$ 12,00, podemos chamar o preço inicial de “P”, e estabelecer a seguinte relação: 75% de P vale R$ 12,00. Matematicamente: 0,75P = 12 P = 12/0,75 P = 16


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Logo, o preço inicial da camiseta era de R$ 16,00 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 3 Fator para queda de 23,5%: 100% - 23,5% = 100/100 – 23,5/100 = 1 – 0,235 = 0,765 Fator para aumento de 36%: 100% + 36% = 100/100 + 36/100 = 1 + 0,36 = 1,36 Para calcular o rendimento total ao final dos 2 meses, precisamos multiplicar os fatores mensais: 0,765 * 1,36 = 1,0404 Logo, o rendimento bimestral foi de 4,04%. Para converter essa taxa bimestral em uma taxa mensal, precisamos saber qual é a taxa que, aplicada por 2 meses no regime de juros compostos, resultará em 4,04%. Matematicamente, calcularíamos a raiz quadrada de 4,04 e chegaríamos ao resultado de 2% ao mês. No entanto, podemos deduzir essa resposta com o raciocínio de que, no regime de juros simples, 4,04% ao bimestre seria equivalente a uma taxa mensal de 2,02% (4,04/2 = 2,02). Como sabemos que uma aplicação a juros compostos resulta em um montante maior que uma aplicação a juros simples, sabemos que, se a juros simples precisamos de 2,02% para obter um rendimento de 4,04% em 2 meses, a juros compostos, precisaríamos de um pouco menos que 2,02%. Logo, a única alternativa que satisfaz a esse raciocínio é a alternativa A (2%). RESPOSTA: Alternativa A

Questão 4 Resolução 1: utilizando os fatores. Fator considerando os juros de 10% = 1,10 Fator para 2 anos no regime de juros compostos: 1,1² = 1,21 Fator para um aumento de 1%, referente à renegociação da dívida: 1,01 Para calcular o valor total da dívida, multiplicamos os fatores: 1,21 * 1,01 = 1,2221 Para saber a taxa de juros efetiva para toda a operação, consideramos o valor do empréstimo inicial de 100% (1) e o valor final de 122,21% (1,2221). Assim, se o valor do empréstimo era 100%, os juros são de 1,2221 – 1 = 0,2221, ou em porcentagem, 22,21%. RESPOSTA: Alternativa D


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Resolução 2: utilizando os valores. C= 1.000.000.000 t= 2 anos i= 10% ao ano Utilizando o raciocínio de que o montante é capital multiplicado por um fator de aumento: M=C*F 10% ao ano em 2 anos = fator 1,1² = 1,21 M=1.000.000.000*1,21 M=1.210.000.000 Quando o empréstimo deveria ser quitado, foi negociado por mais 6 meses. Assim, o montante calculado anteriormente passa a ser o capital (valor atual) para o novo empréstimo: Negociando por mais 6 meses (1 semestre): C=1.210.000.000 t= 1 semestre i = 1% ao semestre M=C*F 1% ao semestre em 1 semestre = fator 1,01 M=1.210.000.000*1,01 M=12.222.100.000 Para saber a taxa efetiva total, vamos comparar o valor inicial de 1 bilhão com o valor efetivamente pago no final das contas: Taxa de juros efetiva total: C = 1.000.000.000 M = 12.222.100.000 F = ? M = C * F 12.222.100.000 = 1.000.000.000 * F F = 12.222.100.000/1.000.000.000 F = 1,2221 Logo, a taxa é de 22,21% RESPOSTA: Alternativa D


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Questão 5

Janeiro: P

Junho de 2009: fator para queda de 30% = 0,70P, pois multiplicamos o fator pelo preço inicial

P.

Dezembro de 2009: fator para aumento de 20% em relação à junho: 1,20*(0,70P) = 336,00,

pois o produto passou a custar 336,00.

O caminho é perceber que 1,20 (aumento de 20%) sobre o valor de junho tem um valor dado

no problema. Basta raciocinar que 1,20*0,7P é o valor com o aumento (pois 0,7P é o valor de

junho), e seu valor monetário é R$ 336,00. Com a equação estabelecida, basta resolvê-la para

descobrirmos o valor de P.

1,20*(0,70P) = 336,00

0,84P = 336

P = 336/0,84

P = 400

Logo, o valor está entre 390,00 e 410,00.

RESPOSTA: Alternativa D

Questão 6 Temos que pensar que tipo de problema temos aqui, temos dois investimentos, um teve lucro e

outro prejuízo, logo temos que utilizar os fatores de capitalização e de descapitalização;

Renda fixa: Foi aplicado 40% do capital e com esse investimento teve um lucro de 20%:

1º passo: Achar as taxas unitárias:

40%=40100=0,4

2º passo: Interpretar essa situação:

RF: 0,4x . 1,2 =0,48x

Na aplicação de renda fixa, este jovem ficou com 48% de seu capital.

Bolsa de Valores: Foi aplicado 60% de seu capital e nesse investimento ele teve um prejuízo

de 10%;

1º passo: Achar as taxas unitárias:

60%= 60100=0,6

2º passo: Interpretar essa situação:


[email protected]


BV: 0,6x . 0,9 = 0,54x

Na aplicação na bolsa de valores, este jovem ficou com 54% de seu capital.

Agora temos que somar os dois capitais após as aplicações e ver com quanto ele ficou.

RF + BV = Total do capital Total do Capital – Capital Inicial = Lucro/Prejuízo.

48% + 54% = 102% 102% - 100% = 2% de lucro.

RESPOSTA: ALTERNATIVA A


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TAXAS DE JUROS

Neste capítulo iremos estudar todas as taxas de juros cobradas no edital do BNDES: nominal,

efetiva, equivalente, real e aparente.

TAXA PROPORCIONAL

Para aprender o que é uma taxa de juros nominal e efetiva, precisamos saber primeiro o que é

uma taxa proporcional.

A taxa proporcional é calculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas

multiplicando ou dividindo a taxa de juros:

Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês?

Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essa

taxa por 12, já que um ano possuir 12 meses.

Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano.

Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre?

Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxa

bimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamos

que dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3

bimestres.

Assim a taxa procurada é de 15%

5%3

ao bimestre.

COMO FAZER

TAXA TAXA PROPORCIONAL

25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano)

15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m

60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre)

25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano)


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AGORA É A SUA VEZ

QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL

2.1.1 50% a.bim

___________a.ano

2.1.2 6% a.mês

_________a.quad.

2.1.3 12% a.ano

_________ a.Trim.

2.1.4 20% a. quadri

__________a.Trim

GABARITO

QUESTÃO RESPOSTA

2.1.1 300%

2.1.2 24%

2.1.3 3%

2.1.4 15%

TAXA EQUIVALENTE

Calculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxas equivalentes, é necessário utilizar uma fórmula. Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de uma forma simplificada e mais direta.

Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês? 1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,10 = 1,10 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possui dois meses. (1,10)2 = 1,21 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,21 = 21%

Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?


[email protected]


1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim: 1 + 0,20 = 1,20 2º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possui três bimestres. (1,20)3 = 1,728 3º passo: Identificar a taxa correspondente. 1,728 = 72,8%

COMO FAZER

20% a.bim equivale a:

Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44%

Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8%

AGORA É A SUA VEZ

QUESTÃO 2.2.1

21% a.sem. equivale a:

Ao Ano

Ao Trimestre

10% a.m equivale a:

Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21%

Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10%

QUESTÃO 2.2.2

30% a.mês. equivale a:

Ao Bimestre

Ao Trimestre


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GABARITO

QUESTÃO RESPOSTA

2.2.1 46,41% ao ano e 10% ao trimestre

2.2.2 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre

TAXA REAL X TAXA APARENTE

Quando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Do que adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação, transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais? O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente. Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular a verdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real.

Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de 20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 10%? O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, para descobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Para isso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher. Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula. Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxa real. 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 20% Inflação: 10% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essa divisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor:


[email protected]


( ) (1 0,2) 1,21,0

taxa aparen909

( ) (1 0,10) 1,1

1,

1

1

repr0909 1( ) 0,0909es 9,09enta

te

i

100

nflaçã

% %

o

COMO FAZER

Exemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foi de 20%? 1º Passo: Identificar os dados: Taxa aparente (rentabilidade observada): 80% Inflação: 20% 2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção:

( ) (1 0,8) 1,81,5

( ) (1 0,20

ta

) 1,2

xa aparente

inflação

1,5 1

1

1

rep( ) 0,5 50rese 0 %nta10 %

AGORA É A SUA VEZ: QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foi de 20%? QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%?


[email protected]



Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de

desconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas as

taxas:

Rendimento de 50% = 1,5

Inflação de 20% = 1,2

Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25.

Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temos

uma taxa real de 25%.


Fator para aumento de 40%: 1,4

Fator para inflação de 60%: 1,6

Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875

Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houve

rendimento negativo de 12,5%.

TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

TAXA NOMINAL

Sempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante de

uma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira,

comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxa

realmente cobrada.

Exemplos de taxas nominais:

24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)

3% ao mês/bimestrais;

1,5% ao dia/semestral;


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TAXA EFETIVA

Representa a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização.

Exemplos de taxas efetivas:

24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)

3% ao mês/mensal;

1,5% ao dia/diária

Podemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxa

efetiva possui a capitalização igual ao prazo.

Exemplos de taxas efetivas:

24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)

3% ao mês

1,5% ao dia

TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA

A única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxa

proporcional (ver tópico 2.1).

Exemplo 2.5.1

OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem ser abreviadas da seguinte maneira: 2% ao mês/mês = 2% ao mês 15% ao ano/ano = 15% ao ano

30%


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Retomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa de juros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual.

Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês.

Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemos fazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada é composta.

Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% ao

mês com capitalização bimestral?

1º passo: Identificar a taxa Nominal:

20% a.m / a.bim

2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO,

mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXA

PROPORCIONAL.

20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim

OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim.

3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse caso

ao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE.

40 % a. bim = (1,4)² = 1,96

4º Passo: identificar a taxa de juros:


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1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre

COMO FAZER

Exemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestre com capitalização semestral? 10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional) 20% a.sem = (1,2)2 = 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres. Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% ao semestre com capitalização bimestral? 180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional) 30% a.bim = (1,6)2 = 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente) OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres.

AGORA É A SUA VEZ:

QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês com capitalização semestral? QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% ao trimestre com capitalização mensal? QUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mês com capitalização bimestral?


[email protected]



Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esse

primeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxas

de juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6.

0,05 x 6 = 0,3

Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la para

uma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de

juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1

ano possui 2 semestres:

1,30² = 1,69

Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxa

efetiva ao ano é de 69%.


Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esse


de juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3.

2,4 / 3 = 0,8

Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para uma

taxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo de

juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1

trimestre possui 3 meses:

1,80³ = 5,832


efetiva ao trimestre é de 483,20%.


Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esse


de juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2.

0,2 x 2 = 0,4

Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la para

uma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo

de juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1

semestre possui 3 bimestres:

1,40³ = 2,744


efetiva ao semestre é de 174,4%.


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QUESTÕES DE NIVELAMENTO

Utilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 11 1,053 = 1,157 1,055 = 1,276 1,057 = 1,407 1,103 = 1,331 1,105 = 1,610 1,109 = 2,358 1,203 = 1,728 1,204 = 2,073 1,205 = 2,488 1,302 = 1,690 1,303 = 2,197 1,304 = 2,856 1,305 = 3,712 1. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de: (A) 15% (B) 60% (C) 69% (D) 79,53% (E) 169%

5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado:


[email protected]


(A) 3,92% (B) 5% (C) 5,23% (D) 7% (E) 47,10

6. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado: (A) 3,92% (B) 5% (C) 5,23% (D) 7% (E) 47,10

7. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a (A) 20% ao quadrimestre (B) 20% ao trimestre (C) 15% ao trimestre (D) 15% ao quadrimestre (E) 25% ao trimestre

8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa (A) Igual a 20% ao trimestre (B) Um pouco inferior a 20% ao trimestre (C) Igual a 30% ao trimestre (D) Igual a 30% ao quadrimestre (E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre

9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal

é aproximadamente de: (A) 120% (B) 155,40% (C) 185,6% (D) 213,8% (E) 285,6%

10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com

capitalização ao ano é aproximadamente de: (A) 5% (B) 15% (C) 19% (D) 20% (E) 22%


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QUESTÕES CESGRANRIO

1. (CEF 2012 – MED) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa

efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso

equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de:

(A) 10,25% (B) 10,51% (C) 5% (D) 5,51% (E) 10%

2. (TRANSPETRO 2011) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5%

é

a) 19,58%

b) 19,65%

c) 19,95%

d) 20,00%

e) 21,55%

3. (TRANSPETRO 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa

nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, aproximado

a) 12,68%

b) 12,75%

c) 12,78%

d) 12,96%

e) 13,03%


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4. (TRANSPETRO 2011) A taxa mensal, de juros compostos, equivalente à taxa

anual de 60,12%, também de juros compostos, está entre

a) 0,5% e 1,5%

b) 1,5% e 2,5%

c) 2,5% e 3,5%

d) 3,5% e 4,5%

e) 4,5% e 5,5%

5. (PETROBRAS – 2011) Uma aplicação financeira é realizada em período com

inflação de 2,5%. Se a taxa real foi de 5,6%, a taxa aparente da aplicação no

período foi de

a) 3,02%

b) 3,10%

c) 8,10%

d) 8,24%

e) 8,32%

6. (FINEP 2011 - SUP) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 15.000,00 de uma

instituição financeira que cobra juros antecipados de 3% ao mês. O prazo da operação é de 3 meses, e o valor líquido liberado pela instituição financeira na conta corrente da empresa correspondeu a R$ 13.650,00. Com base nos dados acima, a taxa efetiva mensal composta da operação foi, aproximadamente,

(A) 4,4%

(B) 4,0%

(C) 3,6%

(D) 3,2%

(E) 2,8%


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7. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de (A) 5,0% (B) 5,9% (C) 7,5% (D) 10,0% (E) 12,5%

8. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Um investimento rende juros mensais de taxa 2%, com

capitalização mensal. Ao final de 3 meses, o percentual de juros, em relação ao capital inicial, é mais próximo de (A) 6,00% (B) 6,08% (C) 6,12% (D) 6,18% (E) 6,24%

9. (TJ-RO 2008 - SUP) Um capital foi aplicado à taxa de 60% ao ano, com

capitalização mensal. A taxa efetiva de aplicação foi (A) maior que 6% ao mês. (B) 6% ao mês. (C) 5% ao mês. (D) menor que 5% ao mês. (E) 5% ao ano.

10. (ANP 2008 - SUP) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa

trimestral de (A) 1,3% (B) 2,0% (C) 2,1% (D) 3,0% (E) 3,03%


[email protected]


11. (ANP 2008 - SUP) A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral? (A) 1,3% (B) 2,0% (C) 2,1% (D) 3,0% (E) 3,03%

12. (EPE 2007 - SUP) Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros de

81,80% ao período. Considerando que a inflação nesse período foi de 1%, a taxa real de juros foi: (A) 80,98% (B) 80,80% (C) 80,00% (D) 73,62% (E) 70,00%

13. (BB 2012 – MED) Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com

capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, (A) 12% (B) 12,49% (C) 12,55% (D) 13% (E) 13,43%

14. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) Após identificar a disponibilidade de caixa, a empresa XYZ S.A. resolve investir o valor de R$ 200.000,00. Ao pesquisar as taxas de remuneração existentes no mercado, a empresa optou pela taxa nominal de 12% a.a. com capitalização composta mensal. Qual será a taxa efetiva anual correspondente?

(A) 1% (B) 1,057% (C) 12% (D) 12,682% (E) 25,364%


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15. (TRANSPETRO 2011 – MED) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é

(A) 19,58% (B) 19,65% (C) 19,95% (D) 20,00% (E) 21,55%

16. (TRANSPETRO 2011 – MED) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, monta a

Dados: (1,01)5 = 1,0510

(1,01)7 = 1,0721 (1,01)9 = 1,0937

(1,01)11 = 1,1157 (1,01)13 = 1,1381 (1,01)15 = 1,1610

(A) 12,68% (B) 12,75% (C) 12,78% (D) 12,96% (E) 13,03%

17. (BB 2010) Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse

mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse

investimento foi

(A) 0,5%. (B) 5,0%. (C) 5,5%. (D) 10,0%. (E) 10,5%.

18. (BNDES 2010) Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação

diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com

capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante

desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal. Ao final de 1

semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva

de juros da aplicação diversificada no período foi de

Nota: para essa prova, foram fornecidas as tabelas abaixo:


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(A) 60%

(B) 54%

(C) 46%

(D) 34%

(E) 26%

19. (CEF NACIONAL – 2008) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é Tabela fornecida nessa prova


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(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

20. (CEF NACIONAL – 2008) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros

compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada

bimestralmente?

(A) 75,0%

(B) 72,8%

(C) 67,5%

(D) 64,4%

(E) 60,0%


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RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTO

Questão 1 30% a.sem. = ? ao ano 2 semestres em 1 ano Taxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B

Questão 2 30% a.sem = ? ao ano 2 semestres em 1 ano

Taxa equivalente: 100% + 30% 100/100 + 30/100 1 + 0,3 1,3 Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número de períodos. Assim: 1,3² = 1,69 Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo: 100% = 100/100 = 1. Assim: 1 – 1,69 = 0,69 0,69 = 69% ao ano RESPOSTA: Alternativa C

Questão 3 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao ano RESPOSTA: Alternativa B

Questão 4 5% a.m. = ? ao ano 12 meses em 1 ano Taxa equivalente: Calculando o fator: 100% + 5% 100/100 + 5/100 1 + 0,05 1,05 Como são 12 períodos:


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1,05¹² = Consultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pela propriedade das potências: 1,057 x 1,055 (na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados: 1,407 x 1,276 = 1,7953 Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos: 1 ,7953 – 1 = 0,7953 = 79,53% ao ano RESPOSTA: Alternativa D

Questão 5 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestre RESPOSTA: Alternativa C

Questão 6 15,7% a.a. = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano

Taxa equivalente: 100% + 15,7% 100/100 + 15,7/100 1 + 0,157 1,157 Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um período maior para um período menor. Ou seja: 1,157¹/³ = ? Trabalhando a potência, temos que: 1,157 = (1+i)³ Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157. Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dá como resposta 1,157). Valor encontrado: 1,05³ = 1,157 Se 1,157 = (1+i)³3 e 1,157 = 1,05³, i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5% RESPOSTA: Alternativa B


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Questão 7 107,3% ao ano = ? ao trimestre 4 trimestre em 1 ano Taxa equivalente: 100% + 107,3 100/100 + 107,3/100 1 + 1,073 2,073

Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073 = 2,073

Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%. Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral: 107,3% ao ano = ? ao quadrimestre 3 quadrimestres em 1 ano Taxa equivalente: 2,073¹/³ Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073 Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073 RESPOSTA: Alternativa B

Questão 8 180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestre Taxa equivalente Fator: 2,8 Localizar na tabela 2,8 O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856:

= 2,856

2,856 – 1 = 1,856, ou 185,6%

Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodos menores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a 180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres) RESPOSTA: Alternativa E

Questão 9 Taxa nominal x taxa efetiva 30% ao trimestre / capitalização mensal Primeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização 3 meses em 1 trimestre 30% / 3 = 10% ao mês Segundo passo: passar para taxa equivalente ao ano 12 meses em 1 ano


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1,1¹² = A tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que diz que, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes, podemos chegar ao valor:

1,331 x 2,358 = 3,138 3,138 – 1 = 2,138, ou 213,8% Taxa ao ano: 213,8% RESPOSTA: Alternativa D

Questão 10 53,65% ao semestre / ano 2 semestres em 1 ano 53,65% x 2 = 107,30% ao ano Taxa efetiva ao trimestre:

(4 trimestres em 1 ano)

Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,073

1,20 – 1 = 0,20 Ou seja, 20% ao trimestre RESPOSTA: Alternativa D


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Questão 1

Nesse problema, faremos o caminho inverso do de costume: partiremos de uma taxa efetiva para

uma taxa nominal (observe que a taxa foi dada no período da capitalização, e a taxa pedida foi

anual com capitalização semestral, ou seja: foi pedida a taxa em um período diferente da

capitalização, logo, uma taxa nominal).

Primeiro passo: Converter a taxa de 10,25% ao ano para uma taxa semestral, pois a capitalização

solicitada é semestral. Para isso, somamos 100% à taxa e calculamos a raiz:

Raiz de 1,1025 = 1,05

Como ganhar tempo na prova: Observe que, na prática, não é necessário fazer esse cálculo.

Podemos usar o raciocínio de que, caso estivéssemos trabalhando com juros simples, 10,25% a.a.

seria proporcional à uma taxa de 10,25% / 2 = 5,125% ao semestre. Se estamos trabalhando

com juros compostos, precisaríamos de uma taxa um pouco menor que 5,125% para chegar ao

mesmo montante, já que os juros compostos em períodos maiores que 1 rendem mais que juros

simples. Assim, podemos deduzir que a taxa semestral só poderia ser de 5%. Apenas para ter

certeza, testando essa possibilidade (o que acaba sendo mais simples que calcular a raiz), 1,05 x

1,05 = 1,1025, confirmando o raciocínio anterior.

Agora temos uma taxa semestral, bastando calcular a taxa proporcional (juros simples) para

termos a taxa nominal ao ano com capitalização semestral. Como 1ano possui 2 semestres:

5% x 2 = 10%.

Logo, temos a taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral.

RESPOSTA: Alternativa E

Questão 2 Nesse problema, foi dada uma taxa efetiva ao trimestre para ser convertida para uma taxa anual.

Primeiro passo: adicionar 100% à taxa, para depois trabalhar com a potência:

100% + 5% = 100/100 + 5/100 = 1 + 0,05 = 1,05

Como 1 ano possui 4 trimestres, devemos elevar 1,05 a 4:

1,05 * 1,05 * 1,05 * 1,05 = 1,2155

Subtraindo os 100% adicionados anteriormente: 1,2155 – 1 = 0,2155. Logo, a taxa anual é de

21,55%.

Como ganhar tempo: em períodos maiores que 1, os juros compostos serão sempre maiores

que os juros simples. Assim, de posse da taxa de 5% ao trimestre, poderíamos proceder ao

seguinte raciocínio: se fossem juros simples, em 1 ano teríamos 5% * 4 = 20% ao ano. Como os

juros compostos serão um pouco maiores, analisando as alternativas, a resposta só poderia ser

21,55%.



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Questão 3 Primeiro passo: foi dada uma taxa nominal. Precisamos transformá-la em uma taxa efetiva. Para esse primeiro passo, usamos princípios de taxas proporcionais (juros simples): 12% ao ano / mensal: como 1 ano possui 12 meses, basta dividir 12% por 12, e chegamos à taxa efetiva de 1% ao mês. Segundo passo: converter a taxa de 1% ao mês para uma taxa efetiva anual. Usamos para isso princípios de taxas equivalentes (juros compostos). Portanto, precisamos somar 100% à taxa e depois trabalhar com a potência 12, pois 1 ano possui 12 meses. 100% + 1% = 100/100 + 1/100 = 1 + 0,01 = 1,01 1 ano = 12 meses. Assim, para converter essa taxa mensal para uma taxa anual: 1,01¹² = ? Não precisamos calcular essa potência, pois o problema já informou algumas potências. Como não foi informado diretamente o resultado que precisamos, teremos que trabalhar com as propriedades das potências. Uma dessas propriedades diz que, em caso de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes. Interpretando e aplicando essa propriedade, podemos chegar à seguinte conclusão: 1,01¹² = 1,01^5 * 1,01^7 Assim, basta substituirmos os valores: 1,01¹² = 1,0510 * 1,0721 = 1,1268 Subtraindo os 100% somados anteriormente: 1,1268 – 1 = 0,1268. Logo, a taxa efetiva anual será de 12,68% RESPOSTA: Alternativa A

Questão 4 Nesse problema, devemos fazer o raciocínio inverso ao que estamos acostumados, pois teremos que converter uma taxa de um período maior para um período menor (ano para meses). Primeiro passo: transformar a taxa de 60,12% em valor unitário, somando 100% a ela: 100% + 60,12% = 100/100 + 60,12/100 = 1 + 0,6012 = 1,6012 Segundo passo: o problema não pede a taxa mensal, e sim entre quais taxas esse valor está. Para resolvê-lo, precisamos interpretar a tabela com o seguinte raciocínio: (1,005)¹² = 1,0617 (a taxa de 0,5% em um período equivale à uma taxa de 6,17% em 12 períodos). Ou seja: uma taxa em um período menor elevada à quantidade de períodos menores existentes no período maior é igual à taxa no período maior. Assim, como temos a taxa de 60,12% em 1 ano (12 meses), precisamos saber qual é a taxa que aplicada em 12 períodos será equivalente a 60,12%. De posse do valor unitário 1,6012, precisamos localizar na tabela onde esse valor se encaixa, procurando após a igualdade, pois esse valor é o valor no período maior. 1,6012 está entre 1,5111 e 1,6959, que equivalem à taxas de 1,035 (subtraindo 100%: 1,035 – 1 = 3,5%) e 1,045 (1,045 – 1 = 4,5%). Assim, a taxa ao mês que procuramos está entre 3,5% e 4,5%. RESPOSTA: Alternativa D


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Questão 5 Dada uma taxa real (descontada a inflação), o problema pede uma taxa aparente (sem descontar a inflação). Para calculá-la, basta seguir o racicínio: 1 + taxa aparente = 1+ taxa real 1 + inflação Convertendo as taxas para valores unitários: 2,5% = 2,5/100 = 0,025 e 5,6% = 5,6/100 = 0,056 Assim: 1+taxa aparente = 1+0,056 1 + 0,025 1+taxa aparente = 1,056 * 1,025 1+taxa aparente = 1,0824 Taxa aparente = 1,0824 – 1 Taxa aparente = 0,0824 Ou seja, taxa de 8,24% RESPOSTA: Alternativa D

Questão 6 Resolução detalhada: Se o banco cobra juros antecipados, ele irá liberar o empréstimo de 15.000,00 já descontados os juros. Ao invés de liberar 15.000, o banco liberou 13.650,00, e 15.000 é o valor do montante final pago pelo empréstimo. Estamos acostumados a fazer Capital + juros para encontrar o montante. Nesse caso, o raciocínio é quase o mesmo, mas devemos entender 15.000 como sendo o montante, 13.650 como sendo o capital e a diferença são os juros cobrados. A confusão é que o valor liberado não será o valor do empréstimo, mas sim o valor do empréstimo menos os juros. Assim, coletando os dados: Montante (M) = 15.000 tempo (t) = 3 meses Capital (C) = 13.650 Utilizando a fórmula M = C x F: M = C x F 15.000 = 13.650 x F F = 1,0989 Esse é o fator para 3 meses. Para descobrir o fator para 1 mês, estabelecemos a seguinte relação: 1,0989 = (1+i)³ ou, trabalhando com a potência:


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1,0989¹/³ = 1 + i A banca pode informar esse valor em tabela, mas não foi esse o caso. Mas não precisamos calcular o valor da raiz de 1,0989. Podemos utilizar o raciocínio de que os juros simples serão um pouco maiores que os juros compostos, e calcular 0,0989 / 3 = 3,29 para chegar à taxa de juros simples ao mês. Como sabemos que os juros compostos serão um pouco maiores que os juros simples, e como estamos convertendo uma taxa de um período maior para um período menor, sabemos então que precisaremos de uma taxa um pouco menor que 3,29% ao mês para render os mesmos 9,89% ao trimestre. Assim, sabemos que os juros compostos serão um pouco menos que 3,29%, e analisando as alternativas, o resultado só poderia ser 3,2%. Para confirmar esse raciocínio, podemos proceder ao teste: 1,032³ = 1,099. A diferença se dá devido à arredondamentos. Resolução rápida: Se o valor futuro é 15.000 e o valor atual liberado é 13.650, basta dividir um pelo outro para encontrar o fator para o período completo de 3 meses. Assim: Se M = C * F F = M /C F = 15.000/13.650 F = 1,0989 Cálculo a juros simples: 0,0989/3 = 0,0329 Raciocínio: a juros compostos, teremos uma taxa um pouco menor que 3,29%. Logo, a única alternativa que satisfaz a esse raciocínio é a alternativa D) 3,2% RESPOSTA: Alternativa D

Questão 7

Coletando os dados:

85,00 à vista

Parcela 1: = 45

Parcela 2: = 45

Temos então o fluxo de caixa:


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Como a primeira parcela é cobrada no ato da compra, basta reduzí-la do valor à vista para saber

quanto a compradora ficou devendo.

85 - 45 = 40

Assim, sobraram 40,00 a serem pagos, que se transformaram em 45,00 devido à capitalização da

parcela para ser paga após 1 mês. Para descobrir o fator, basta dividir o valor futuro pelo valor

presente, pois:

M = C * F

F = M/C

F = 45/40

F = 1,125

Logo, subtraindo 100% do fator encontrado e convertendo o valor unitário para valor percentual:

1,125 – 1 = 0,125. Então, os juros cobrados são de 12,5%. RESPOSTA: Alternativa E

Questão 8 O problema informou uma taxa efetiva de juros de 2% ao mês, e pede a taxa trimestral. No regime de juros compostos, precisaremos trabalhar com potências. Assim, soma-se 100% à taxa de 2%, para só então aplicar a potência 3: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02 De posse do fator, podemos aplicar a potência: 1,02³ = 1,02 x 1,02 x 1,02 = 1,061208. Logo, a taxa de juros trimestral é de 1,061208 – 1 = 0,061208, ou 6,1208% RESPOSTA: Alternativa C

Questão 9

Observe que foi informada uma taxa nominal (60% ao ano / mensal). Assim:


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Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, usando o princípio de taxas proporcionais (juros

simples).

Como 1 ano = 12 meses, basta dividir 60% por 12 para termos a taxa efetiva ao mês.

60% / 12 = 5% ao mês.

RESPOSTA: Alternativa C

Questão 10

O problema pede a taxa proporcional, ou seja: uma taxa a juros simples. Então, precisamos

apenas multiplicar 1% por 3, pois 1 trimestre = 3 meses.

1% * 3 = 3% ao trimestre.


Questão 11 Resolução 1: como calcular O problema pede a taxa equivalente, ou seja: uma taxa a juros compostos. Então, precisaremos transformar 1% em fator de acréscimo de 1% = 1,01. Feito isso, como 1 trimestre possui 3 meses, para saber a taxa trimestral: 1,01³ = 1,01 x 1,01 x 1,01 = 1,030301, que é o fator para um aumento de 3,03%. Logo, a taxa trimestral procurada é de 3,03%. Resolução 2: como ganhar tempo Sabemos que juros compostos rendem um pouco mais que juros simples. Assim, partindo da taxa mensal de 1%, em 1 trimestre os juros compostos serão um pouco maiores que os juros simples. Sabendo disso, não precisaremos trabalhar com potências. Calculamos a taxa trimestral no regime de juros simples através do cálculo 1% x 3 = 3%, e usando o raciocínio de que juros compostos renderão um pouco mais, analisando as alternativas observamos que a única que satisfaz esse conceito é o valor de 3,03%. RESPOSTA: Alternativa E

Questão 12

Foi dada uma taxa aparente de 81,80% e a taxa de inflação de 1%. Assim, precisaremos aplicar o

raciocínio de que:

1+taxa aparente = 1+taxa real

1+inflação


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Assim, convertendo as taxas para fatores unitários: 81,80% = 0,8180, e 1% = 0,01. Substituindo

na fórmula:

1+0,8180 = 1 + taxa real

1+0,01

1,8180 = 1 + taxa real

1,01

1,8 = 1 + taxa real

1,8 – 1 = taxa real

0,8 = taxa real

Logo, a taxa real de juros foi de 80% no período.


Questão 13 Primeiro passo: converter a taxa nominal de 12% ao ano / trimestral em uma taxa efetiva, utilizando o conceito de taxas proporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 4 trimestres:

12% / 4 = 3% ao trimestre

Segundo passo: converter a taxa de 3% ao trimestre para uma taxa efetiva anual, utilizando o

conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Como 1 ano possui 4 trimestres,

transformamos a taxa de 3% em fator de aumento para 3% (100% + 3% = 100/100 + 3/100 =

1 + 0,03 = 1,03), e depois aplicamos a potência 4:

1,03^4 = 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = 1,1255

Interpretando o fator: 1,1255 – 1 = 0,1255, ou seja, 12,55%.

Dica:

Foi informada a taxa nominal de 12%, que corresponde à taxa anual caso o regime de juros fosse

juros simples. Como sabemos que os juros compostos são um pouco maiores que os juros

simples, ficaríamos em dúvida entre apenas 2 alternativas: 12,49% e 12,55%.



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Questão 14 Coletando os dados: Capital (C) = 200.000 Taxa (i) = 12% a.a. / mensal Prazo (t) = 1 ano (12 meses) Convertendo a taxa nominal para uma taxa efetiva. Primeiro: utilizando o conceito de taxas proporcionais: 12% / 12 = 1% a.m. Segundo: calcular a taxa equivalente: Fator para 1% a.m.: 100% + 1% = 100/100 + 1/100 = 1 + 0,01 = 1,01 Para 12 meses: 1,01¹² = 1,12682 Interpretando o fator: 1,12682 – 1 = 0,12682, ou 12,682% Observação: Não foi dada a tabela, mas lembrando-se de que os juros compostos são um pouco maiores que os juros simples, poderíamos inferir que, se os juros simples são de 12% ao ano, os juros compostos serão um pouco maiores que 12%. A única alternativa que satisfaz esse raciocínio é 12,682%. RESPOSTA: Alternativa D

Questão 15 Primeiro, nosso fator será de: 100% + 5% = 100/100 + 5/100 = 1 + 0,05 = 1,05 Como temos 4 trimestres em 1 ano:

Interpretando a taxa: 1,2155 – 1 = 0,2155, ou 21,55% Dica: sem cálculos, poderíamos interpretar a questão. A taxa de 5% ao trimestre é proporcional (juros simples) à taxa de 5% x 4 = 20% a.a. Como em juros compostos a taxa seria um pouco maior, só nos resta uma alternativa: 21,55%. Resposta: Alternativa E

Questão 16 Primeiramente, convertemos 12% a.a. para uma taxa proporcional mensal: 1 ano = 12 meses 12% / 12 = 1% a.m.


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O fator será: 100% + 1% = 100/100 + 1/100 = 1 + 0,01 = 1,01 Para 12 meses: 1,01¹² Foram informados alguns valores no problema, mas teremos que trabalhar a potência para resolvermos a questão. Uma solução possível seria, aplicando uma das propriedades das potências:

1,0510 x 1,0721 = 1,12677 Interpretando o fator: 1,12677 – 1 = 0,12677, ou 12,677% Arredondando, teríamos 12,68% RESPOSTA: Alternativa A

Questão 17 Dados:

o Taxa Nominal (in) = 15,5% ao ano = 0,155 o Inflação (I) = 5% ao ano = 0,05 o Taxa Real (ir) = ???


Questão 18 Para Alfa: Capital (C) = 3.000 Taxa (i) = 24% a.a. / bimestral

Resolução COM fórmula:

Resolução SEM fórmula:

(1 ) (1 0,155)

(1 ) (1 0,05)

(1,155)1,10

(1,05)

10%

nr

r

r

ii

I

i

i

1. Se o candidato lembrar que ao calcular uma taxa real o resultado será SEMPRE um pouco inferior a subtração das taxas nominal (aparente) pela inflação, logo irá concluir por eliminação que a resposta correta só pode ser a alternativa “D” = 10%.


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Logo, a taxa efetiva será, utilizando o conceito de taxas proporcionais: 24% / 6 (6 bimestres em 1 ano) = 4% ao bimestre Para Beta: O restante do capital. Logo: C – 3.000 Taxa (i) = 42% a.s. / mensal Logo, a taxa efetiva será, utilizando o conceito de taxas proporcionais: 42% / 6 (6 meses em 1 semestre) = 7% a.m. Como temos apenas 1 variável para a primeira parte (Alfa), podemos calcular o Montante dessa aplicação. Primeiro, vamos converter a taxa de 4% ao bimestre para uma taxa anual, utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). 1 semestre = 3 bimestres. Portanto, precisamos consultar a tabela “fator de acumulação de capital” e encontrar o cruzamento da coluna 4% com a linha 3 (4% aplicado em 3 períodos). O valor é 1,12. Assim, o montante será: M = C x F M = 3.000 x 1,12 M = 3.360 Sabemos que o montante total será 6.000. Então, o montante de beta será: 6.000 – 3.360 = 2.640 Com essa informação, podemos calcular o capital de Alfa. Os juros são de 7% ao mês. Para converter para uma taxa semestral, precisamos consultar a tabela fornecida “fator de acumulação de capital” e encontrar o cruzamento da coluna 7% com a linha 6 (7% aplicado em 6 períodos). O valor é 1,5. Assim: M = C x F 2.640 = C x 1,5 C = 2.640/1,5 C = 1.760 Encontramos portanto o capital total, que é 3.000 + 1.760 = 4.760 Como o montante total é de 6.000, para sabermos a taxa efetiva dessa aplicação: M = C x F 6.000 = 4.760 x F F = 6.000 / 4.760 F = 1,26 Interpretando o fator: 1,26 – 1 = 0,26, ou 26% RESPOSTA: Alternativa E


[email protected]


Questão 19 O problema quer que passemos a taxa de 50% ao ano / capitalização anual para nominal ao semestre, com capitalização bimestral. Sabemos que, dada uma taxa efetiva com capitalização bimestral, para encontrarmos a taxa nominal com essa mesma capitalização, basta multiplicar a taxa por 3, pois em 1 semestre temos 3 bimestres. Lembrando que isso para taxa NOMINAL. Como temos uma taxa EFETIVA com capitalização ao ano e queremos encontrar uma taxa EFETIVA com capitalização ao bimestre, o processo é: O ano possui 6 bimestres. Como o ano é maior do que o semestre, ao invés de elevar 1,50 a 6, vamos ter que elevar 1,50 à 1/6. A prova deve informar o valor em tabela. Precisamos encontrar o cruzamento da linha 6 (6 períodos) com a coluna que consta o valor 1,5, que no caso é a coluna 7%. Sabemos que a taxa efetiva é de 7% ao bimestre, com capitalização bimestral. Para saber o valor da taxa NOMINAL, agora basta multiplicar a taxa por 3, pois temos 3 bimestres em 1 semestre. Assim, 7% * 3 = 21%. Os divisores inteiros positivos de 21 são: 1, 3, 7, 21. Logo, são 4 divisores. RESPOSTA: Alternativa A

Questão 20

40 % quad/bim x % sem.

Primeiro vamos passar a taxa para uma taxa bim/bim.

40 ÷ 2 = 20

Agora:

20 % bim x % sem

Para resolver, temos que saber que em um semestre temos 3 bimestres.

A taxa de 72,80 % sem.



[email protected]


APITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA

Neste capítulo iremos estudar Juros simples, Juros compostos, Desconto simples e Desconto

composto.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Como vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros ao

capital.

Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outra

composta e depois compararmos.

Vamos analisar o exemplo abaixo:

Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco do

Brasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago por

José se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°?

Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês.

Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital)

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00

3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00

4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00

5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00

Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do

período anterior)

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

MÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR

1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00

2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00


[email protected]


3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10

4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41

5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05

Assim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar juros

simples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos.

GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1

Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples.

JUROS SIMPLES

FÓRMULAS:

OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade de

utilizar fórmula matemática.

CALCULO DOS JUROS

CALCULO DO MONTANTE

J C i t (1 )M C i t


[email protected]


APLICANDO A FÓRMULA

Vamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a solução

Exemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3

meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 2% ao mês

OBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não tem

problema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3

J = 6.000,00

Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00

RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS:

Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito de

taxa de juros proporcional.

Resolução:

Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1)

Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00

PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXA

Agora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade,

necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão.

Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo do

que mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porém

caso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responder

as questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples,

proporcional, e sim equivalentes.

Exemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3

meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?


[email protected]


Dados:

C = 100.000,00

t = 3 meses

i = 12% ao ano

Vamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformar

o prazo em ano. Assim teremos:

C = 100.000,00

t = 3 meses = 3

12

i = 12% ao ano

Agora sim podemos aplicar a fórmula

J = C x i x t

J = 100.000 x 0,12 x 3

12

J = 3.000,00

ENCONTRANDO A TAXA DE JUROS

Vamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamos

resolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto.

Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo que

o valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de juros

mensal cobrada pelo banco.

Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Neste

caso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:

Dados:

C = 100.000,00

t = 6 meses

M = 118.000,00

J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

Aplicando a fórmula teremos:

18.000 100.000 6

18.000 18.0000,03

100.000 6 600.000

3% ao mês

i

i

i


[email protected]


Agora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples.

Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital:

118.000juros acumulado = 1,18

100.000

Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:

1,18 – 1 = 0,18 = 18%

18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxa

proporcional e assim encontrar 3 % ao mês.

ESTÁ FALTANDO DADOS?

Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas do

tipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc.

Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmos

um valor para o dado que está faltando.

Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações.

Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Qual

a rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu?

Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremos

um montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital igual

a R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor.

Dados:

C = 100,00

t = 8 meses

M = 200,00 (o dobro)

J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

Substituindo na fórmula teremos

100 100 8

100 1000,125

100

12,5% ao

8 80

ê

0

m s

i

i

i


[email protected]


COMO RESOLVER

Exemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil,

para que no fim de cinco anos esse duplique de valor?

Dados:

C = 2.000,00

t = 5 anos

M = 4.00,00 (o dobro)

J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)

i = ?? a.a


2.000 2.000 5

2.000 2.0000,2

2.000 5 10.000

20% ao ano

i

i

i

Exemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao

mês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação?

Dados:

C = 5.000,00

i = 2 % ao mês

t = 1,5 anos = 18 meses

J = ???


5.000 18 0,

1.800,00

02J

J


[email protected]


AGORA É A SUA VEZ:

QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante nove

meses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre?

QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente

40 % ao fim de três anos.


Coletando os dados do problema, temos:

Capital (C) = 5.700

Tempo (t) = 9 meses

Juros simples (i) = 24% ao semestre

Como o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses,

precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples:

1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal.

24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04.

A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema.

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simples

Podemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos:

J = 5.700 x 0,04 x 9

J = 2.052,00

Resolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulas


[email protected]


Já sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9

meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valor

aplicado, multiplicamos esse valor pelo capital:

5.700 x 0,36 = 2.052

Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundo

caso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas.


O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber a

taxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pela

quantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim:

40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111...

Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11%

JUROS COMPOSTOS

FÓRMULAS:

OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + Juros

Onde:

J = Juros

M = Montante

C = Capital (Valor Presente)

i = Taxa de juros;

t = Prazo.

CALCULO DOS JUROS

CALCULO DO MONTANTE

J M C (1 )tM C i


[email protected]


RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOS

Como notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que o

prazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo.

Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos em

provas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos que

poderiam facilitarem estes cálculos.

Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concurso

público.

1. Questões que necessitam da utilização de tabela.

2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria

questão.

3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de

valores.

Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos.

JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELA

Esse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado em

concurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juros

compostos Vamos ver um exemplo.

Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8

meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00

t = 8 meses

i = 10% ao mês

8

8

(1 )

100.000 (1 0,10)

100.000 (1,10)

tM C i

M

M

O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. A

solução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo.

Vamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8.


[email protected]


(1+i)t TAXA

5% 10% 15% 20%

PR

AZ

O

1 1,050 1,100 1,150 1,200

2 1,103 1,210 1,323 1,440

3 1,158 1,331 1,521 1,728 4 1,216 1,464 1,749 2,074

5 1,276 1,611 2,011 2,488

6 1,340 1,772 2,313 2,986

7 1,407 1,949 2,660 3,583

8 1,477 2,144 3,059 4,300

9 1,551 2,358 3,518 5,160

10 1,629 2,594 4,046 6,192

Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144

Substituindo na nossa fórmula temos: 8100.000 (1,10)

100.000 2,144

214.400,00

M

M

M

O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00

JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORES

Mais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência no

próprio texto da questão, conforme abaixo.

Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8

meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144

Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme o

exemplo anterior.

JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO

A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidade

do candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação.

Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuar

contas muito complexas, conforme abaixo.

Exemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2

meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?

Dados do problema:

C = 100.000,00


[email protected]


t = 2 meses

i = 10% ao mês

2

2

(1 )

100.000 (1 0,10)

100.000 (1,10)

100.000

121.000,00

1,21

tM C i

M

M

M

M

Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00

COMO RESOLVER

Exemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a uma

taxa de juros compostos de 20 % ao ano?

Dados do problema:

C = 2.000,00

t = 2 anos

i = 10% ao ano

M = ???

2

2

(1 )

2.000 (1 0,20)

2.000 (1,2

2.880,00

0)

2.000 1,44

tM C i

M

M

M

M

Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a uma

taxa de juros compostos de 10 % ao semestre?

Dados:

C = 5.000,00

t = 1 ano ou 2 semestres

i = 10% ao ano


[email protected]


2

2

(1 )

5.000 (1 0,10)

5.000 (1,1

6.050,00

0)

5.000 1,21

tM C i

M

M

M

M

Como a questão quer saber qual os juros, temos:

6.050 5.000

1.050,00

J M C

J

J

Assim, os juros serão de R$ 1.050,00

Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2

meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa de

juros mensais que este fundo remunerou ao investidor?

Dados:

C = 10.000,00

t = 2 meses

M = 11.025,00

i = ??? ao mês

2

2

(1 )

11.025 10.000 (1 )

11.025(1 )

10.000

tM C i

i

i

2 11.025(1 )

10.000

105(1 )

100

1,05 1 0,0

5% ao mês

5

i

i

i

i


[email protected]


AGORA É A SUA VEZ

QUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos a

uma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral?

QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a uma

taxa de juros compostos de 20 % ao mês?

Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 meses

em R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de juros

mensal que este fundo remunerou o investidor?


Coletando os dados, temos:

Montante (M) = ?

Capital (C) = 10.000

Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres)

Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestral


[email protected]


Antes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois o

período de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxa

para taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples):

20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres).

Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas,

devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano.

Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo:

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos

Podemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos:

M = 10.000 (1+0,1)²

M = 10.000 (1,01)²

M = 10.000 x 1,21

M = 12.100

Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentes

Após descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (que

possui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxas

equivalentes (juros compostos):

Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência.

100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10.

Como queremos calcular a taxa para 2 semestres:

1,10² = 1,21.

Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de

10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque:

M = C x F

M = 10.000 x 1,21

M = 12.100

Observe que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença é

que, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso,

usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quando

calculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de não

precisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo.

Resolução questão 3.3.2.

Coletando os dados do problema:

Juros (j) = ?


Tempo (t) = 2 meses

Taxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos.


[email protected]


Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores:

J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1

J = 20.000 x [(1,20)²] – 1

J = 20.000 x (1,44 – 1)

J = 20.000 x 0,44

J = 8.800

Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes.

Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas.

Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de juros

bimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1

(100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o período

é de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resulta

em [(1+0,20)²] – 1. Assim:

1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44.

Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capital

por essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemos

quando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamos

decorar fórmulas, e sim entender o processo.

20.000 x 0,44 = 8.800.


Coletando os dados:

Capital (C) = 100

Tempo (t) = 2 meses

Montante (M) = 144

Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos

Usando a fórmula M = C (1+i)^t, temos:

144 = 100 (1+i)²

144/100 = (1+i)²

1,44 = (1+i)²

= 1+i

1,2 = 1+i

1,2 – 1 = i

i = 0,2, ou 20% ao mês.

Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes

Podemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento de

uma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso da

fórmula de juros compostos.

F = 144/100


[email protected]


F = 1,44

De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44

– 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxas

equivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um período

menor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque a

forma de calcular esse tipo de taxa é:

(essa fração pode ser transformada em uma raiz)

1,2.

Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% ao

mês.

DESCONTO SIMPLES

Se em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros,

conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro.

Comparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturas

das nossas variáveis.

O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido em

desconto simples.

O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face em

desconto simples.

DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIAL

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto

comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na

prática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumam

exigir os dois tipos de descontos.

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

Mais comum e mais utilizado

Também conhecido como desconto bancário

Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”


[email protected]


O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)

FÓRMULAS:

OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor Atual

Onde:

DC = Desconto Comercial

A = Valor Atual ou Valor Liquido

N = Valor Nominal ou Valor de Face

id = Taxa de desconto;

t = Prazo.

Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o desconto

comercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecida

com a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando as

duas fórmulas:

Dc = N x i x t J = C x i x t

Só precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre o

valor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente ao

capital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante).

Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no

regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois

adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o

fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t

(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a

fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar o

valor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma para

subtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t).

Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto

comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data

de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m

Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id = 5% ao mês

CALCULO DO VALOR DO DESCONTO

CALCULO DO VALOR ATUAL

c dD N i t

(1 )dA N i t


[email protected]


10.000 0,05

1.500,00

3

c d

c

D N i t

D

J

Agora vamos calcular o Valor Atual, que é o Valor Nominal subtraído dos descontos.

10.000 1.50

8.500,00

0A

A

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

Pouco utilizado no dia a dia, porém é cobrado em provas de concurso público

Também conhecido como desconto verdadeiro

Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”

O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)

Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o

valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título.

FÓRMULAS:


Onde:

Dr = Desconto Racional




t = Prazo.

Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que o desconto racional

é calculado sobre o valor atual. Assim, a fórmula se comporta exatamente como a fórmula de

juros simples. Só precisamos substituir a nomenclatura, substituindo Capital por Valor Atual,

Montante por Valor Nominal e juros por Desconto Racional. Comparando as duas fórmulas:

Dr = A x i x t J = C x i x t

Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que no

regime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depois

adicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos o



r dD A i t

(1 )d

NA

i t


[email protected]


fator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t

(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos a

fórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, precisamos apenas

substituir a nomenclatura. Comparando as duas fórmulas:

M = C (1+i x t) N = A (1+i x t)

Passando os dados entre parênteses para o outro lado da igualdade, temos então:

(1 )d

NA

i t

Exemplo 3.4.2 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o racional

comercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data


Dados:

N = 10.000,00

t = 3 meses

id = 5% ao mês

Como o valor do desconto depende do valor Atual que não foi fornecido pelo exercício, temos que

calcular primeiramente o valor atual para depois calcular o valor do desconto.

(1 )

10.000

(1 0,05 3)

10.000

(1 0,0

8.695

5

,

3)

65

d

NA

i t

A

A

A

Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual.

10.000 8.695,65

1.304,35

r

r

D

D


[email protected]


DESCONTO COMPOSTO

Similar ao desconto simples, porém iremos trocar a multiplicação da taxa pelo prazo pela

potenciação.

Também temos dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferença entre estas

duas maneiras de cobrança de desconto é a mesma dos descontos simples comercial e racional.

DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO

Pouco utilizado no Brasil

Seu calculo é semelhante ao calculo de juros compostos

Outra termologia adotada é a de “desconto por fora”

O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)

FÓRMULAS:


Onde:

DC = Desconto Comercial




t = Prazo.

Para memorizar as fórmulas, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para o desconto simples,

com a diferença de que, como aqui se tratam de juros compostos, o valor de t (prazo) não será

multiplicado, mas usado como potência.


comercial composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data


Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao mês



(1 )t

dA N i


[email protected]


Existe uma fórmula que permite encontrar o valor do Desconto Comercial Composto a partir do

valor Nominal do título. Mas o objetivo é minimizar ao máximo possível o numero de fórmulas

para o aluno decorar.

2

(1 )

10.000 (1 0,10)

10.000

8.100,0

0,81

0

t

dA N i

A

A

A

Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do Valor Atual.

10.000 8.10

1.900,00

0c

c

D

D

DESCONTO RACIONAL SIMPLES

É o desconto composto mais utilizado no Brasil

Também conhecido como desconto verdadeiro

Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro”

O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente)

Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o

valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título.

FÓRMULAS:


Onde:

Dr = Desconto Racional




t = Prazo.

Para memorizar a fórmula, podemos aplicar o mesmo raciocínio utilizado no desconto simples,

com a diferença de que, no caso do desconto composto, o prazo (t) se transforma em uma

potência, pois os juros compostos se comportam de forma exponencial.



(1 )t

d

NA

i


[email protected]



racional composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data


Dados:

N = 10.000,00

t = 2 meses

id = 10% ao mês

Calculando o valor atual teremos:

2

(1 )

10.000

(1 0,10)

10.000

1, 2

8.264 4

1

, 6

t

d

NA

i

A

A

A

Agora vamos calcular o desconto, que é o Valor Nominal subtraído do valor Atual.

10.000 8.264,46

1.735,53

r

r

D

D


[email protected]


QUESTÕES CESGRANRIO

1. (CEF 2012 – MED) O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é constante, o valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente,

n -12 -10 -4 -2 -1 1 2 4 10 12

i

2% 0,79 0,82 0,92 0,96 0,98 1,02 1,04 1,08 1,22 1,27

4% 0,62 0,68 0,85 0,92 0,96 1,04 1,08 1,17 1,48 1,60

10% 0,32 0,39 0,68 0,83 0,91 1,10 1,21 1,46 2,59 3,14

(A) 3.950 (B) 4.100 (C) 1.950 (D) 3.100 (E) 3.400

2. (FINEP 2011 - SUP) Uma aplicação de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses,

no montante de R$ 26.383,92. A taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi

(A) 4,14% (B) 3,20% (C) 3,18% (D) 3,10% (E) 2,88%

3. (FINEP 2011 - SUP) Um investidor aplicou R$ 50.000,00 pelo prazo de 4 meses

em um CDB que rende 2,0% ao mês de juros compostos. O montante obtido no vencimento da aplicação, em reais, foi

(A) 52.020,00 (B) 53.060,40 (C) 54.121,61 (D) 60.123,56 (E) 60.155,91

4. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Uma empresa desconta um título de valor nominal R$

20.000,00 e vencimento em 28 de dezembro em um banco que adota o desconto


[email protected]


comercial simples de taxa 4,5% ao mês. Se a antecipação ocorre no dia 10 do mesmo mês, o valor creditado na conta da empresa é igual a

(A) R$ 19.100,00 (B) R$ 19.280,00 (C) R$ 19.460,00 (D) R$ 19.540,00 (E) R$ 19.620,00

5. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Um equipamento pode ser adquirido com o

pagamento de uma entrada de 30% do valor à vista e mais uma prestação de R$ 1.386,00 para 60 dias. Se a taxa de juros simples cobrada no financiamento é de 5% ao mês, o valor à vista, em reais, é

(A) 1.800 (B) 2.000 (C) 2.100 (D) 2.200 (E) 2.500

6. (PETROBRÁS 2011 - SUP) O valor, em reais, mais próximo do montante da

aplicação de R$ 2.000,00 a juros compostos de taxa mensal 4% por dois meses é

(A) 2.040 (B) 2.080 (C) 2.160 (D) 2.163 (E) 2.180

7. (PETROBRÁS 2011 - SUP) Aplicaram-se R$ 10.000,00 por nove meses à taxa

nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. No momento do resgate, pagou-se Imposto de Renda de alíquota 15%, sobre os rendimentos. O valor líquido do resgate foi, em reais, mais próximo de

(A) 10.927 (B) 10.818 (C) 10.787 (D) 10.566 (E) 9.287

8. (CASA DA MOEDA 2009 - SUP) A Empresa Minotauro Ltda. precisou descontar

uma duplicata no valor de R$ 35.000,00, com prazo de vencimento de 24 dias. O Banco Oceano, onde foi feita a operação, cobrou juros simples de 3,5% ao mês. Com base nesses dados, o valor liberado para a Minotauro, em reais, foi

(A) 33.910,00 (B) 33.999,88 (C) 34.000,00 (D) 34.020,00 (E) 34.111,11


[email protected]


9. (CASA DA MOEDA 2009 - SUP) Um investidor aplicou a quantia de R$ 15.000,00,

por um período de 4 meses, a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos nessa aplicação, em reais, é

(A) 1.165,32 (B) 1.667,79 (C) 1.882,63 (D) 2.003,33 (E) 2.182,83

10. (CASA DA MOEDA 2009 - MED) Marcelo emprestou certa quantia a

Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto?

(A) 320,00 (B) 336,00 (C) 350,00 (D) 382,00 (E) 400,00

11. (TJ-RO 2008 - SUP) Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 por dois anos, à taxa

de juros compostos de 2% a.a. Ao fim de dois anos, receberá uma quantia dada pela expressão

(A) 1.000 x (0.02)² (B) 1.000 x (1.02)² (C) 1.000 + 0.02 x 1.000 + 0.02 x 1.000 (D) 1.000 + 0.04 x 1.000 (E) 1.000 + 1.02 + 1.02

12. (TJ-RO 2008 - SUP) Um investidor que aplicou um capital durante 25

meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$ 25.000,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor?

(A) 32.500,00 (B) 37.500,00 (C) 42.500,00 (D) 50.000,00 (E) 52.500,00


[email protected]


13. (TJ-RO 2008 - SUP) Uma empresa obtém do Banco um crédito de R$ 23.335,00, correspondente a uma duplicata descontada, pelo prazo de 28 dias, a uma taxa de juros simples de 2,48% ao mês. O valor, em reais, da duplicata levada ao Banco pela empresa foi

(A) 24.105,32 (B) 23.887,76 (C) 23.853,33 (D) 23.553,00 (E) 23.533,55

14. (EPE 2007 - SUP) Um débito de R$ 100,00 levou dois meses para ser

quitado. Por ocasião da quitação, foram cobrados R$ 44,00 de juros. Considerando-se que foi utilizado o regime de juros compostos, qual a taxa de juros mensal aplicada?

(A) 44% (B) 22% (C) 20% (D) 0,22% (E) 0,20%

15. (EPE 2007 - SUP) Seja um título com valor nominal de R$ 4.800,00,

vencível em dois meses, que está sendo liquidado agora. Sendo de 10% a.m. a taxa de desconto simples adotada, é correto afirmar que o desconto:

(A) comercial ou “por fora” é de R$ 960,00. (B) comercial ou “por fora” é de R$ 480,00. (C) comercial ou “por fora” é de R$ 200,00. (D) racional ou “por dentro” é de R$ 1.008,00. (E) racional ou “por dentro” é de R$ 480,00.

16. (EPE 2007 - SUP) Uma aplicação foi feita considerando uma taxa de juros

nominal de 120% ao ano, com capitalizações mensais. O período de aplicação foi de 2 meses, num regime de juros compostos. Um imposto de 10% é pago sobre os rendimentos obtidos. Neste cenário, é correto afirmar que a taxa efetiva ou líquida é de:

(A) 9,4% ao mês. (B) 10% ao mês. (C) 18% ao bimestre. (D) 18,9% ao bimestre. (E) 23,1% ao bimestre.


[email protected]


17. (EPE 2006 - SUP) Se o valor presente for R$100,00, a taxa de juros, 10% e

o número de períodos, 3, em capitalização composta o valor futuro será:

(A) R$144,00 (B) R$136,20 (C) R$133,10 (D) R$130,00 (E) menor que o valor em capitalização simples

18. (EPE 2006 - SUP) O montante que deve ser aplicado a juros simples, com

uma taxa de 10% ao ano, que deve produzir a quantia de R$5.000,00 em 72 meses, em reais, é:

(A) 2.000,00 (B) 2.585,00 (C) 3.000,00 (D) 3.125,00 (E) 4.500,00

19. (EPE 2006 - SUP) Um indivíduo deixou R$500,00 em um banco,

remunerados a 2% ao mês em regime de juros simples. Após um determinado período, esse indivíduo tinha um saldo de R$1.000,00. Esse período, em meses, foi de:

(A) 10 (B) 20 (C) 35 (D) 50 (E) 100

20. (EPE 2006 - SUP) Uma conta com valor de R$100,00 no vencimento foi

paga antecipadamente em 2 meses, com uma taxa de desconto de 2% ao mês, em regime de capitalização composta. O valor efetivamente pago, em reais, foi de:

(A) 104,40 (B) 98,40 (C) 96,85 (D) 96,12 (E) 94,38

21. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) A empresa ZZL aplicou R$ 120.000,00 à taxa de juros simples de 15,6% a.a. Qual o rendimento, em reais, do primeiro mês de aplicação?


[email protected]


(A) 1.560,00 (B) 10.000,00 (C) 18.720,00 (D) 121.560,00 (E) 138.720,00

22. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) Qual será, aproximadamente, o montante, em reais, de um capital no valor de R$ 18.000,00, após seis meses de aplicação a juros compostos de 1,5% a.m.?

Dados: 153 = 3375 1,53 = 3,375

1,153 = 1,521 1,0153 = 1,046

(A) 270 (B) 1.681 (C) 18.000 (D) 18.270 (E) 19.681

23. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) Uma instituição financeira que oferece a seu cliente um empréstimo no valor de R$ 12.000,00, com um custo final correspondente a R$ 13.119,60 após cinco meses, está vendendo seu produto a juros compostos mensais de

Dados: (1,018)5 = 1,0933 (1,022)5 = 1,1149 (1,036)5 = 1,1934 (1,09)5 = 1,5386

(1,093)5 = 1,5599 (A) 1,8% (B) 2,2% (C) 3,6% (D) 9% (E) 9,3%

24. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) No primeiro dia do mês de março, uma empresa do ramo de alimentos investiu o valor de R$ 730.000,00. Se a taxa de juros negociada foi de 1,1% ao mês, qual o valor, em reais, do montante no primeiro dia do mês de abril?

(A) 8.030,00 (B) 721.970,00 (C) 730.000,00 (D) 738.030,00


[email protected]


(E) 746.060,00

25. (CASA DA MOEDA 2012 – SUP) As instituições financeiras costumam oferecer um serviço de desconto de duplicatas aos seus clientes. Qual o valor atual, em reais, de uma duplicata, cujo valor de vencimento para daqui a cinco meses é de R$ 80.000,00, considerando o desconto racional simples e que a taxa de juros simples corresponde a 5% a.m.?

(A) 20.000,00 (B) 60.000,00 (C) 64.000,00 (D) 80.000,00 (E) 100.000,00

26. (CASA DA MOEDA 2012 - SUP) Uma quantia de R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de 2% ao mês no regime de juros compostos, ao final de três meses, gera um montante, em reais, de

(A) 20.120,24 (B) 21.200,00 (C) 21.224,16 (D) 26.000,00 (E) 34.560,00

27. (PETROBRÁS 2011 – SUP) Certo investidor, que dispunha de R$ 63.000,00, dividiu seu capital em duas partes e aplicou-as em dois fundos de investimento. O primeiro fundo rendeu 0,6% em um mês, e o segundo, 1,5% no mesmo período. Considerando-se que o valor do rendimento (em reais) nesse mês foi o mesmo em ambos os fundos, a parte do capital aplicada no fundo com rendimentos de 0,6% foi

(A) R$ 18.000,00 (B) R$ 27.000,00 (C) R$ 36.000,00 (D) R$ 45.000,00 (E) R$ 54.000,00

28. (TRANSPETRO 2011 – MED) Uma loja de eletrodomésticos está realizando uma promoção em que na compra de qualquer artigo até R$ 1.000,00, o pagamento será em uma única prestação, 6 meses depois. Um consumidor adquiriu mercadorias no valor de R$ 800,00, sendo informado de que a prestação a ser paga, dentro de 6 meses, seria de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros composta cobrada pela loja está situada entre


[email protected]


Dados: (1,02)6 = 1,126 (1,03)6 = 1,194 (1,04)6 = 1,265 (1,05)6 = 1,340 (1,06)6 = 1,419 (1,07)6 = 1,501

(A) 6% e 7% (B) 5% e 6% (C) 4% e 5% (D) 3% e 4% (E) 2% e 3%

29. (TRANSPETRO 2011 – MED) Um aplicador realizou um investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de

(A) 68.085,10 (B) 66.000,00 (C) 65.000,00 (D) 64.555,12 (E) 63.656,98

30. (TRANSPETRO 2011 – MED) Um aplicador realizou um investimento que deverá ter valor de resgate de R$ 100.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada pelo banco é de 2% ao mês, o valor do investimento original, em reais, foi de

(A) 98.123,45 (B) 96.116,88 (C) 95.875,33 (D) 94.781,29 (E) 93.764,32

31. (TRANSPETRO 2011 – MED) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições:

• Prazo do título: 2 meses • Taxa de desconto simples cobrada pelo banco: 2,5% ao mês Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de

(A) 11.660,00


[email protected]


(B) 11.460,00 (C) 11.400,00 (D) 11.200,00 (E) 11.145,00

32. (TRANSPETRO 2011 – MED) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 15.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 2 meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 1,5% ao mês (juros compostos), o seu valor presente, em reais, é

(A) 14.619,94 (B) 14.559,93 (C) 14.550,00 (D) 14.451,55 (E) 14.443,71

33. (TRANSPETRO 2011 – MED) Um valor líquido foi creditado na conta de uma determinada empresa, correspondente ao desconto de três duplicatas, montando a R$ 23.150,00, todas com prazo de 35 dias. Sabendo-se que o Banco Atlântico S/A cobrou, para realizar essa operação, uma taxa de desconto simples de 3,0 % ao mês, o valor líquido, em reais, foi

(A) 23.011,15 (B) 22.555,55 (C) 22.339,75 (D) 22.115,89 (E) 22.035,45

34. (TRANSPETRO 2011 – MED) Considerando o mês de 30 dias, qual o montante, em reais, correspondente a uma aplicação de R$ 125.000,00 por 225 dias, a uma taxa de juros simples de 4,5 % ao mês?

(A) 134.375,00 (B) 142.187,50 (C) 166.815,75 (D) 167.187,50 (E) 171.876,50

35. (PETROBRÁS 2010 – SUP) A aplicação de um investidor recebeu R$ 45.000,00 de juros, em 4 meses, a uma taxa de juros simples mensais de 2,5%. O valor da aplicação que permitiu a obtenção desses juros foi, em reais, de


[email protected]


(A) 550.000,00 (B) 515.000,00 (C) 500.000,00 (D) 495.000,00 (E) 450.000,00

36. (BB 2010) Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10% para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente,

(A) 0,5%. (B) 3,8%. (C) 4,6%. (D) 5,0%. (E) 5,6%.

37. (BB 2010) Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para

seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário,

ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do

título, em reais, é

(A) 860,00 (B) 850,00 (C) 840,00 (D) 830,00 (E) 820,00

38. (CEF NACIONAL 2008) Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%, além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dívida original. Sabendo-se que log102 = 0,30 e log103 = 0,48 e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida original. Tabela fornecida pela prova:


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(A) 24

(B) 23,5

(C) 13

(D) 11,5

(E) 10

39. (CEF ACRE 2008) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo

do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à

mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma

unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso

emprestar a juros

(A) compostos, sempre.

(B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a

unidade de tempo.

(C) simples, sempre.

(D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a

unidade de tempo.

(E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a


[email protected]


unidade de tempo.

40. (CEF ACRE 2008) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado

dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês.

Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional

composto. A diferença D – d, em reais, vale

(A) 399,00

(B) 398,00

(C) 397,00

(D) 396,00

(E) 395,00

41. (BNDES 2009) Uma aplicação financeira remunera o capital investido à taxa

composta anual de 12% com capitalizações trimestrais. Aplicando-se R$ 2.000,00

nessas condições durante 12 meses, o montante, em reais, ao final do período,

será de

Obs.: utilizar tabela da questão 38, considerando apenas 2 casas decimais,

procedendo os devidos arredondamentos se necessário.

(A) 2.180,00

(B) 2.240,00

(C) 2.260,00

(D) 2.320,00

(E) 2.350,00

42. (BNDES 2009) Uma loja oferece duas opções de pagamento na compra de uma

bicicleta: R$ 200,00 à vista, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$

120,00, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Tomando-se a opção de

pagamento à vista como referência, a taxa mensal de juros cobrada pela loja na

venda a prazo é

(A) 20%

(B) 25%

(C) 40%

(D) 50%

(E) 60%


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43. (CEF NACIONAL 2008) Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de

juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de

um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00,

respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a

dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

(A) 110,00

(B) 108,00

(C) 106,00

(D) 104,00

(E) 102,00


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Questão 1 Coletando os dados do problema: Montante 1 (M1) = 5.000 Prazo (t) = 10 meses Taxa de juros (i) = ? Ou Montante 2 (M2) = 5.202,00 Prazo (t) = 1 ano, ou 12 meses Taxa de juros (i) = ? Aplicando a fórmula M = C x F, temos: M1 = C x F1, e M2 = C x F2 Substituindo os valores: 5.000 = C x F1, e 5.202 = C x F2 Como temos 2 variáveis em cada expressão, para chegar ao resultado, precisaremos utilizar o que é comum às duas expressões. Assim, podemos primeiramente isolar o Capital (C): 5.000/F1 = C, e 5.202/F2 = C Com isso, podemos igualar as expressões: 5.000/F1 = 5.202/F2 Sabemos que, para calcular o nosso fator no regime de juros compostos, somamos 1 à taxa e

elevamos 1+i à quantidade de períodos. Com esse raciocínio, já seria possível localizar a taxa na

tabela, mas para facilitar a visualização, vamos substituir F1 e F2 pela fórmula , lembrando

que a taxa de juros é a mesma tanto para F1 quanto para F2:

Agora, precisamos apenas encontrar qual é a taxa de juros que iguala as equações. Para isso,

faremos uso da tabela fornecida. Como temos uma divisão, podemos usar a tabela de duas

formas: encontrando o valor dos cruzamentos das taxas com os prazos e dividindo 5.000 e 5.202

por esses valores, ou utilizando o valor de n negativo, multiplicando 5.000 e 5.202 por esse valor.

Isso por quê:


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Vamos trabalhar com o valor da potência positiva. Para isso, observe que, como temos os prazos

(t) de 10 e 12 meses, usaremos apenas as duas últimas colunas da tabela. Para esses prazos,

temos 3 taxas de juros possíveis: 2%, 4% e 10%. Basta testar 1 delas para chegarmos à

resposta: a taxa de 4%. Isso porque, caso a taxa seja 4%, encontraremos a resposta. Caso

precisemos de uma taxa menor, a resposta será 2%, e caso precisemos de uma taxa menor, a

resposta será 10%.

Se a taxa for de 4%, temos na tabela, no cruzamento de i=2% e prazo 10, o valor de 1,48, e no

prazo 12, 1,60. Substituindo esses valores na nossa equação:

3.378,37 = 3.251,25

Observe que a diferença foi considerável entre as taxas. Consequentemente, houve uma grande

diferença também entre os dois lados da igualdade. Assim, se testarmos uma taxa maior, a

diferença irá aumentar. Então, vamos testar a taxa menor.

Se a taxa for de 2%, temos na tabela, no cruzamento de i=2% e prazo 10, o valor de 1,22, e no

prazo 12, 1,27. Substituindo esses valores na nossa equação:

4.098,36 = 4.096,06 Como o problema pediu um valor aproximado, podemos concluir que o capital é de, aproximadamente, 4.100,00. Apenas para fins didáticos, caso optássemos em trabalhar com a potência negativa, para a taxa de 2% teríamos: No cruzamento de i=2% e prazo -10, o valor de 0,82, e no prazo -12, 0,79. Assim, ao invés de efetuar uma divisão, faríamos uma multiplicação: 5.000 x 0,82 = 5.202 x 0,79 4.100 = 4.109,58 Como o problema pede valores aproximados: RESPOSTA: Alternativa B


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Questão 2 Coletando os dados: Capital (C) = 23.390 Prazo (t) = 4 meses Montante (M) = 26.383,92 Taxa de juros simples (i) = ? Utilizando a fórmula M = C x F: 26.383,92 = 23.390 x F F = 26.383,92/23.390 F = 1,128 Descobrimos o fator para 4 meses e, por conseguinte, a taxa de juros de 12,8% ao quadrimestre. Para saber a taxa mensal de juros no regime de juros simples, basta dividir 12,8% por 4 meses (taxas proporcionais): 12,8% / 4 = 3,2% a.m. RESPOSTA: Alternativa B

Questão 3 Coletando os dados: C = 50.000 Prato (t) = 4 meses Taxa (i) = 2,0% ao mês (juros compostos) Montante (M) = ? Convertendo a taxa de 2% ao mês para 4 meses no regime de juros compostos (taxas equivalentes): 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02. Como queremos a taxa para 4 meses:

Usando a fórmula M = C x F M = 50.000 x 1,08243216 M = 54.121,608 Arredondando, temos como resposta: RESPOSTA: Alternativa C

Questão 4 Coletando os dados: Valor nominal N (valor futuro) = 20.000 t = do dia 28 para o dia 10 = 18 dias, ou 18/30 meses = 0,6 meses


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i = 4,5% ao mês Valor atual A = ? Basta lembrar a fórmula do desconto comercial simples (por fora, ou seja: desconto sobre o valor futuro N): A = N (1-i x t) Para lembrar-se dessa fórmula, veja que é parecida com a fórmula dos juros simples M = C (1+i*t), mas mudando o valor futuro e o valor atual de lugar e mudando o sinal de + para -). A = 20.000 (1-0,045 x 0,6) A = 20.000 (1-0,027) A = 20.000 (0,973) A = 19.460,00 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 5 Coletando os dados do problema: Entrada: 0,3 Prestação de 0,7 (o restante) Esse valor de 0,7 capitalizado para daqui a 60 dias será 1.386,00 Juros simples (i) = 5% ao mês Prazo (t) = 2 meses Precisamos apenas descapitalizar 1.386,00 para a data atual para saber quanto vale os 70% do bem na data de hoje. Para descapitalizar, basta aplicar a fórmula: M = C * F O montante M é o valor futuro de 1.386. O capital C é o valor que procuramos. O fator será 1+i x t = 1+0,05 x 2 = 1,1 Substituindo na fórmula: 1.386 = C x 1,1 C = 1.386/1,1 C = 1.260,00 Se 1.260,00 é o valor de 70% do bem, podemos estabelecer a seguinte relação: Valor do bem x 0,7 = 1.260 Valor do bem = 1.260/0,7 Valor do bem = 1.800,00 RESPOSTA: Alternativa A


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Questão 6 O problema quer saber qual será o montante da seguinte aplicação: M = ? C = 2.000 i = 4% ao mês t = 2 meses M = C * F Fator de 4% para 2 meses = 1,04² = 1,0816 M = 2.000 x 1,0816 M = 2.163,20 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 7 Daria para fazer de outra forma também, calculando o rendimento e subtraindo o imposto de renda, mas podemos fazer com o conceito de taxa bruta e taxa líquida: Coletando os dados do problema: C = 10.000 t = 9 meses i = 12% ao ano / trimestral ir = 15% sobre os rendimentos M = ? Convertendo a taxa nominal para uma taxa efetiva: 12% ao ano com capitalização trimestral para trimestre: 12% / 4 (4 trimestres em 1 ano) = 3% ao trimestre Nove meses são 3 trimestes. Assim, nosso prazo será t = 3 trimestres. Combinando a taxa ao prazo, teremos um fator de F = (1+i)³ F = 1,03³ = 1,092727. Isso representa uma taxa de juros de 9,2727% no final dos 3 trimestres. Mas note que temos um imposto de renda de 15% sobre os rendimentos, ou seja: dos 9,2727% de juros, o investidor ficará com apenas 85%, pois 15% são pagos como imposto. Assim, para saber o rendimento total, basta multiplicar 9,2727% por 85%: 0,092727 x 0,85 = 0,07881795. Ou seja: o investimento irá render 7,881795% durante os 9 meses. O fator então será: 1+ 0, 07881795 = 1,07881795 Para saber o montante resgatado, vamos usar a fórmula:


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M = C x F M = 10.000 x 1,07881795 M = 10.788,1795 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 8 Coletando os dados: Valor de face da duplicata (futuro / nominal): 35.000 t = 24 dias, ou 24/30 meses = 0,8 meses Taxa de juros cobrada: 3,5% ao mês Valor liberado (atual) = ? Como diz que o valor cobrado foi de 3,5% ao mês sobre o valor da duplicata no regime de juros simples, precisamos calcular: 3,5% x o prazo para saber os juros cobrados por 24 dias. 0,035 x 0,8 = 0,028 Como foi cobrada essa taxa sobre os 35.000, o valor liberado será 35.000 - 2,8%. O fator para um decréscimo de 2,8% será 1 - 0,028 = 0,972. Assim: 35.000 x 0,972 = 34.020,00 Observação: O problema poderia ser feito também calculando diretamente 2,8% de 35.000 e fazendo a subtração, ou até mesmo usando a fórmula do desconto comercial simples A = N (1-i x t). Daria o mesmo resultado. RESPOSTA: Alternativa D

Questão 9 Coletando os dados do problema: Capital (C) = 15.000 Período (t) = 4 meses Taxa de juros (i) = 3% ao mês Montante (M) = ? Trabalhando a taxa, sabemos que o fator para 3% de aumento = 100% + 3% = 1 + 0,03 = 1,03. Como estamos no regime de juros compostos, calculamos .

= 1,12550881

Observe que, se estivéssemos aplicando a fórmula M = C x , estaríamos efetuando o

mesmo cálculo. No entanto, com a fórmula M = C x F não precisamos decorar um monte de fórmulas, e sim entender o processo. Aplicando M = C x F, teremos: M = 15.000 x 1,12550881


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M = 16.882,63 Esse valor subtraído do capital nos dará os juros obtidos. 16.882,63 – 15.000 = 1.882,63


Questão 10 Coletando os dados: Capital (C) = ? Taxa de juros simples (i) = 4% a.m. Prazo (t) = 5 meses Montante (M) = 420,00 Trabalhando a taxa no regime de juros simples, teremos 4% x 5 = 20% em 5 meses. Nosso fator de acréscimo, portanto, será 100% + 20% = 1,20. Aplicando M = C x F: 420 = C x F C = 420 / 1,2 C = 350 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 11 Coletando os dados: Capital (C) = 1.000 Prazo (t) = 2 anos Taxa de juros compostos (i) = 2% a.a. Montante (M) = ? Observe que não é necessário realizar o cálculo, mas apenas saber como procedê-lo e armá-lo. Mas para melhor entendimento, vamos proceder os cálculos. Trabalhando a taxa, aplicamos o conceito de taxas equivalentes. Somamos 100% à taxa de 2% para depois aplicar a potência 2 (capitalizando a taxa por 2 anos). 100% + 2% = 1,02 1,02² = 1,0404 (esse é o nosso fator). Aplicando M = C x F: M = 1.000 x 1,0404 M = 1.040,40


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Aplicando a fórmula M = C x F, e sabendo que para cálculo do fator, calculamos 1,02², conseguimos observar que nosso cálculo foi idêntico ao que consta na alternativa B. RESPOSTA: Alternativa B

Questão 12 Coletando os dados do problema: Capital (C) = ? Prazo (t) = 25 meses Taxa de juros simples (i) = 2% a.m. Juros = 25.000 Sabemos que Montante (M) = Capital + Juros. Logo, nosso montante será = C + 25.000 Primeira forma de resolução Trabalhando a taxa no regime de juros simples, aplicamos o conceito de taxas proporcionais para saber a taxa ao final dos 25 meses. 2% x 25 = 50%. O fator de acréscimo para uma taxa de 50% será: 100% + 50% = 1,5 Aplicando a fórmula M = C x F: C + 25.000 = C x 1,5 25.000 = 1,5C – C 25.000 = 0,5C C = 25.000/0,5 C = 50.000 Segunda forma de resolução Ou poderíamos trabalhar apenas sobre os juros. Bastaria não somar 100% à nossa taxa, e teríamos: J = C x i x t O valor de i x t já havíamos calculado, que é 0,5 (50%). Assim, substituindo na fórmula: 25.000 = C x 0,5 C = 25.000/0,5 C = 50.000 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 13 Essa é uma operação de desconto comercial simples. A dica é a palavra BANCO. Quando o problema não informar o tipo de desconto e se tratar de um banco, o desconto será o comercial (por fora, calculado sobre o valor nominal / valor futuro / valor de face). Valor liberado (valor atual) A = 23.335,00 Prazo (t) = 28 dias


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Taxa de desconto (i) = 2,48% a.m. Valor de face (valor nominal): N

Aplicando a fórmula do desconto comercial simples: A = N (1 - i x t) 23.335 = N (1-0,0248 x 28/30) 23.335 = N x 0,9768 N = 23.335/0,9768 N = 23.887,92 (aproximado pelos arredondamentos)


Questão 14 Coletando os dados: Capital (C) = 100,00 Prazo (t) = 2 meses Juros (J) = 44,00 Taxa (i) = ? Sabemos que Capital + Juros = Montante. Assim, nosso montante será 144,00. Aplicando M = C x F: 144 = 100 x F F = 144 / 100 F = 1,44 Resolução 1: como calcular Temos então o fator par 2 meses. Como o regime de juros é de juros compostos, usamos o conceito de taxas equivalentes para cálculo da taxa mensal. Se estivéssemos convertendo uma taxa de um período menor para um período maior, elevaríamos o fator à quantidade de períodos. Como estamos convertendo de um período maior para um menor (2 meses para 1 mês), invertemos a potência e teremos uma raiz. Existe uma fórmula para esse tipo de conversão, mas não é preciso trabalhar com ela. Podemos

simplesmente aplicar o raciocínio , em que Q é a quantidade de períodos que queremos

calcular, e T é a quantidade de períodos que temos. Como queremos uma taxa mensal e temos uma taxa bimestral, teremos:

, que resulta em .

= 1,2

Interpretando o fator, temos que a taxa de juros mensal é 1,2 – 1 = 0,2, ou 20%. Resolução 2: como ganhar tempo Chegando ao fator 1,44, sabemos que a taxa de juros é de 1,44 – 1 = 0,44, ou 44% para 2 meses. Podemos calcular a taxa proporcional mensal (juros simples): 44% / 2 = 22%


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Como sabemos que os juros compostos serão um pouco maiores que os juros simples, como estamos partindo de uma taxa em um período maior para uma taxa em um período menor, precisaremos de uma taxa de juros compostos menor em 1 mês para gerar a mesma taxa que em juros simples em 2 meses. Assim, a única alternativa que traz uma taxa um pouco menor que 22% é 20%. RESPOSTA: Alternativa C

Questão 15 Coletando os dados: Valor nominal (N) = 4.800 Prazo (t) = 2 meses Taxa de desconto (i) = 10% a.m. Precisaremos calcular o desconto comercial e o desconto racional simples para avaliar as alternativas. Dica: Racionais é uma banda atual, que está por dentro. Por eliminação, Comercial é o que sobrou. Assim, o desconto racional é calculado sobre o valor atual, e o comercial sobre o valor futuro (valor nominal). Primeiro, vamos calcular o desconto comercial. A fórmula é Dc = N x i x t Dc = 4.800 x 0,1 x 2 Dc = 960,00. Já sabemos qual é a alternativa correta, mas vamos calcular o desconto racional. Como não temos o valor atual, vamos utilizar a fórmula: N = A (1+i x t) 4.800 = A (1+0,1 x 2) 4.800 = A x 1,2 A = 4.800/1,2 A = 4.000 O desconto racional será a diferença entre o valor nominal e o valor atual: 4.800 – 4.000 = 800 RESPOSTA: Alternativa A

Questão 16 Coletando os dados: Juros (i) = 120% a.a. / mensal Converter para taxa efetiva usando o conceito de taxas proporcionais:


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120% / 12 (12 meses em 1 ano) = 10% a.m. Prazo (t) = 2 meses Imposto sobre os rendimentos: 10% 1º Passo: calcular os rendimentos totais em 2 meses. Como temos a taxa de 10% ao mês, usaremos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos) para calcular a taxa para 2 meses: 100% + 10% = 1,1 1,10² = 1,21 (fator para 2 meses) Mas incide imposto de 10% sobre os rendimentos. Fator para queda de 10% = 0,9. Mas esse valor incide apenas sobre os rendimentos, então será descontado de 0,21 (21%), e não de 1,21 (que seria a aplicação + juros): 0,21 x 0,9 = 0,189, ou 18,9% ao bimestre RESPOSTA: Alternativa D

Questão 17 Coletando os dados: Valor presente (valor atual) C = 100 Taxa de juros (i) = 10% Prazo (t) = 3 Valor futuro (M) = ? Como são juros compostos, precisamos converter a taxa de 10% em 1 período para 3 períodos, usando o conceito de taxas equivalentes. 100% + 10% = 1,1 Como temos 3 períodos: 1,1³ = 1,331 (esse é o nosso fator) Aplicando M = C x F: M = 100 x 1,331 M = 133,10 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 18 Coletando os dados: C = ?


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Taxa (i) = 10% a.a. Montante (M) = 5.000 Prazo (t) = 72 meses Convertendo a taxa anual para uma taxa em 72 meses (6 anos), como são juros simples, usaremos o conceito de taxas proporcionais: 10% x 6 = 60% Nosso fator será 100% + 60% = 1,6 Usando a fórmula: M = C x F 5.000 = C x 1,6 5.000 / 1,6 = C C = 3.125 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 19 Coletando os dados: Capital (C) = 500 Taxa (i) = 2% a.m. Montante (M) = 1.000 Prazo (t) = ? Aplicando a fórmula M = C x F: 1.000 = 500 x F 1.000 / 500 = F F = 2 Como nosso fator é 2, nossa taxa de juros para o período completo é 2 – 1 = 1, ou seja: 100%. Como estamos no regime de juros simples, basta dividir 100% por 2% para saber a quantidade de meses que o capital foi aplicado: 100% / 2% = 50. RESPOSTA: Alternativa D

Questão 20 Apesar de o problema falar em desconto, podemos usar a fórmula M = C x F sem problema. Coletando os dados: Valor futuro da conta (M) = 100 Prazo (t) = 2 meses Taxa de desconto (i) = 2% a.m.


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Valor atual (C) = ? Como estamos usando o regime de capitalização composta, nosso fator será: 100% + 2% = 1,02 Como o prazo é de 2 meses: 1,02² = 1,0404 M = C x F 100 = C x 1,0404 100 / 1,0404 = C C = 96,12 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 21 Coletando os dados: Capital (C) = 120.000 Taxa (i) = 15,6% a.a. juros simples Rendimento no primeiro mês = ? Convertendo a taxa anual para uma taxa mensal utilizando o conceito de taxas proporcionais:15,6% / 12 (12 meses em 1 ano) = 1,3% ao mês Fator: 100% + 1,3% = 100/100 + 1,3/100 = 1 + 0,013 = 1,013 Fórmula M = C x F: M = 120.000 x 1,013 M = 121.560,00 Sabemos que rendimento = montante - capital 121.560 - 120.000 = 1.560,00 De forma direta: Rendimento = 120.000 x 0,013 = 1.560,00 RESPOSTA: Alternativa A

Questão 22

Coletando os dados:

Montante (M) = ?


Prazo (t) = 6 meses

Taxa (i) = 1,5% a.m.


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Como temos a taxa de 1,5% para 1 mês e precisamos da taxa para 6 meses, vamos calcular o

fator utilizando o conceito de taxas equivalentes (juros compostos):

Foi dado no problema o valor para 1,015³. Lembrando-se das propriedades das potências, para

obter o valor da potência 6, basta elevar ao quadrado o valor da potência 3, pois:

Assim: 1,015³ = 1,046

Elevando esse valor ao quadrado:

1,046² = 1,094116

M = 18.000 x 1,094116

M = 19.694,08

Como pediu aproximado:


Questão 23

Coletando os dados:


Montante (M) = 13.119,60

Utilizaremos M = C x F para calcular a taxa para os 5 meses:

13.119,60 = 12.000 x F

F = 13.119,6/12.000

F = 1,0933

Esse é o fator para o período total. Para saber a taxa mensal:

1,0933 é para 5 meses, então precisamos descobrir qual é o valor que elevado a 5 resultará

1,0933. Consultando a tabela fornecida:

(1,018)5 = 1,0933

Chegamos, portanto, em 1,018. Interpretando o fator:

1,018 – 1 = 0,018, ou 1,8%

RESPOSTA: Alternativa A


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Questão 24 Coletando os dados: Capital (C) = 730.000 Taxa (i) = 1,1% a.m. Prazo (t) = 1 mês Montante = ? Temos todos os dados, e apenas uma variável. Podemos utilizar então a fórmula M = C x F. O fator será: 100% + 1,1% = 100/100 + 1,1/100 = 1 + 0,011 = 1,011 M = 730.000 x 1,011 M = 738.030,00 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 25 Coletando os dados: Valor Atual (A) = ? Prazo (t) = 5 meses Valor Nominal (N) = 80.000 Taxa (i) = 5% a.m. Foi informado que a forma de desconto é desconto racional simples. Assim, lembrando a fórmula: N = A (1+i x t) 80.000 = A (1+0,05 x 5) 80.000 = A (1+0,25) 80.000 = A (1,25) A = 80.000/1,25 A = 64.000 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 26 Coletando os dados: Capital (C) = 20.000 Taxa (i) = 2% a.m. Prazo (t) = 3 meses Montante (M) = ?


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Fator para 3 meses, utilizando o conceito de taxas equivalentes: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02 Para 3 meses: 1,02³ = 1,061208 Utilizando a fórmula M = C x F: M = 20.000 x 1,061208 M = 21.224,16 RESPOSTA: Alternativa C

Questão 27 Coletando os dados: Capital (C) = 63.000 Primeiro fundo: 0,6% Fator: 100% + 0,6% = 1,006 Segundo fundo: 1,5% Fator: 100% + 1,5% = 1,015 Sabemos que os rendimentos serão iguais em valor monetário. Se o capital disponível é de 63.000, podemos considerar que foi investido X no primeiro fundo. Assim, o valor investido no segundo fundo será 63.000 - X Então, para saber os rendimentos: Fundo 1: 0,006 x X Fundo 2: 0,015 x (63.000-X) Esses valores são iguais. Então: 0,006X = 0,015 x (63.000-X ) 0,006X = 945-0,015X 0,021X = 945 X = 945/0,021 X = 45.000 RESPOSTA: Alternativa D


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Questão 28 Coletando os dados: Capital (C) = 800 Montante (M) = 1.000 Prazo (t) = 6 meses Taxa (i) = ? Utilizando M = C x F: 1.000 = 800 x F F = 1.000/800 F = 1,25 Esse é o fator para 6 meses. Para achar o valor mensal, podemos consultar a tabela: 1,25 está entre 1,194 e 1,265, então, se: (1,03)6 = 1,194 (interpretando os fatores, temos que 1,03 – 1 = 0,3, ou 3%) (1,04)6 = 1,265 (interpretando os fatores, temos que 1,04 – 1 = 0,4, ou 4%) Portanto, a taxa mensal está entre 3% e 4%. Resposta: Alternativa D

Questão 29 Coletando os dados: Montante (M) = 80.000 Taxa (i) = 3,5% a.m. Prazo (t) = 5 meses Primeiro, nosso fator será, no regime de juros simples: 3,5% x 5 meses = 17,5% 100% + 17,5% = 100/100 + 17,5/100 = 1 + 0,175 = 1,175 Utilizando M = C x F: 80.000 = C x 1,175 C = 80.000/1,175 C = 68.085,11 RESPOSTA: Alternativa A


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Questão 30 Coletando os dados: Montante (M) = 100.000 Prazo (t) = 2 meses Taxa (i) = 2% a.m. Capital (C) = ? Fator: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,02 Para 2 meses: 1,02² = 1,0404 Utilizando a fórmula M = C x F: 100.000 = C x 1,0404 C = 100.000/1,0404 C = 96.116,88 RESPOSTA: Alternativa B

Questão 31 Coletando os dados: Valor Nominal (N) = 12.000 Prazo (t) = 2 meses Taxa (i) = 2,5% a.m. Utilizando o sistema de desconto comercial simples (não foi informado se o sistema seria comercial ou racional, mas por ser banco, consideramos comercial), usaremos a fórmula: A = N (1-i x t) A = 12.000 (1 - 0,025 x 2) A = 12.000 x 0,95 A = 11.400 Ou de outra forma: 2,5% ao mês por 2 meses = 5% 5% de 12.000 = 600 Valor liberado: 12.000 - 600 = 11.400 RESPOSTA: Alternativa C


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Questão 32 Coletando os dados: Montante (M) = 15.000 Prazo (t) = 2 meses Taxa (i) = 1,5% a.m. Capital (C) = ? O fator será: 100% + 1,5% = 100/100 + 1,5/100 = 1 + 0,015 = 1,015 Para 2 meses, teremos 1,015² Utilizando M = C x F: 15.000 = C x 1,015² C = 15.000/1,015² Para usar os dados do problema, podemos colocar 15 em evidência, pois 15 x 1.000 = 15.000. C = 15 x (1.000/1,015²) Conforme informado, 1.000/1,015² = 970,662. Substituindo na fórmula: C = 15 x 970,662 C = 14.559,94 RESPOSTA: Alternativa B

Questão 33 Coletando os dados: Valor nominal (N) = 23.150 Prazo (t) = 35 dias Taxa (i) = 3% a.m. Por ser desconto simples, utilizando o conceito de taxas proporcionais: juros simples: 3% / 30 = 0,001 ao dia Valor Atual (A) = ? Fórmula para desconto comercial (por ser banco) simples: A = N (1 – i x t) A = 23.150 (1-0,001 x 35) A = 23.150 (1-0,035) A = 23.150 x 0,965 A = 22.339,75 RESPOSTA: Alternativa C


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Questão 34 Coletando os dados: Capitas (C) = 125.000 Prazo (t) = 225 dias = 7,5 meses Taxa (i) = 4,5% a.m. Como estamos trabalhando com juros simples, usando o conceito de taxas proporcionais: 4,5% x 7,5 dias = 33,75%, ou 0,3375 Fator: 100% + 33,75% = 100/100 + 33,75/100 = 1 + 0,3375 = 1,3375 M = C x F M = 125.000 x 1,3375 M = 167.187,50 RESPOSTA: Alternativa D

Questão 35 Coletando os dados: Juros: 45.000 Prazo (t) = 4 meses Taxa (i) = 2,5% a.m. (juros simples) 2,5% x 4 meses = 10%. 10% de um capital será 45.000. Assim: 0,1X = 45.000 X = 45.000/0,1 X = 450.000 RESPOSTA: Alternativa E


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Questão 36

Desconto de 10%: 100% - 10% = 90% 0,90

Desconto de 5%: 100% - 5% = 95% 0,95


Resolução SEM fórmula: (Ver exemplo 3.2.3)

95 90 (1 1)

95 90 90

50,056

90

5,6%

i

i

i

i

951,056

5,6%

90i

i


Questão 37 Dados:

o Valor Nominal (N) = 1.000,00 o Prazo (T) = 3 meses o Taxa de Desconto (i) = 5% ao mês = 0,05



Resolução SEM fórmula:

(1 )

1.000 (1 0,05 3)

1.000 (0,

85

85)

0,00

A N i t

A

A

A

1. 5% de desconto ao mês é proporcional a 15% de desconto em 3 meses.

2. 15% de desconto: 100% - 15% = 85% = 0,85

3. Calculando o valor do desconto, temos: 4. R$ 1.000,00 x 0,85 = 850,00


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Questão 38 Esta questão foi anulada, pelo fato do candidato encontrar duas soluções diferentes para sua

resposta. Dependia da maneira de resolver, por logarítimo ou utilizando a tabela.

Devemos descobrir qual o prazo que um capital demora para aumentar em 190% a uma taxa de

8%.

Lembrando que o capital sofrerá uma multa de 2% assim vamos trabalhar com o capital igual a

102 (100 + 2% de multa) e montante igual a 290 (100 do capital original + 190% de acréscimo)

Logo:

(1 ) 290 102 (1 0,08)

2901,08 1,08 2,8431

102

t t

t t

M C i

Olhando na tabela fornecida pela prova verificamos que este valor deve ser superior a 13 meses e

inferior a 14 meses. Logo, não consta alternativa correta.

Questão 39

Primeiro passo é entendermos que credor é quem recebe, e devedor e quem deve.

Vamos analisar todas as alternativas:

a) Não poderia, pois podemos ver no gráfico que para período menor que 1 o montante a

juros simples é maior que o montante a juros composto.

b) Idem a explicação da letra a

c) Se analisarmos o gráfico após o período 1, o montante a juros composto é maior do que o

montante no juros simples.

d) Idem a explicação da letra c

e) Sim - para período menor que 1 o montante a juros simples é maior que o montante a

juros composto.

Questão 40

Queremos saber a diferença entre desconto comercial composto (D) e desconto racional composto

(d). Para sabermos isso temos que calcular os dois.

VN = 24200,00

t = 2 meses

i = 10% ao mês


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Queremos saber: D – d = 20000 – 19602 = 398 reais.


Questão 41:

Coletando os dados:

Capital (C) = 2.000,00

Taxa (i) = 12% a.a/trim

Prazo (t) = 12 meses

Primeiro, como foi dada uma taxa nominal, temos que ajustar o prazo à taxa, utilizando o conceito

de taxas proporcionais. Como 1 ano = 4 trimestres:

12% a.a/trim 12% / 4 = 3% trim/trim.

Prazo total = 12 meses t = 4 trimestres.

Para 4 trimestres, teremos:

Fator para um aumento de 3%: 100% + 3% = 1,03. Utilizando o conceito de taxas equivalentes:

Aplicando a fórmula M = C x F:

M = 2.000 x 1,13

M = 2.260

Logo, o montante no final do período será de R$ 2.260,00.


D

𝐴=24200 𝑥 1−0,12

d

𝐴= 242001,21=20000


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QUESTÃO 42:

Vamos ver o fluxo de caixa para entender melhor a situação:

i = x %

Vamos levar o valor restante do total da bicicleta menos a entrada até o momento 1:

200 – 120 = 80

80 x (1 + i) = 120

80 + 80i = 120

80i = 120 – 80

i =40/80

i = 0,5, ou 50%

Os juros cobrados na loja para uma venda a prazo é de 50%.


QUESTÃO 43:

Primeiro vamos enxergar o fluxo de caixa:

i = 2%

Vamos levar o valor da compra até o momento 3, que é o qual queremos descobrir, para isso

vamos amortizando conforme os valores pagos nos momentos 0, 1 e 2.

Momento 0: 600 – 150 = 450

Momento 1: 450 x 1,02 = 459 – 159= 300

Momento 2: 300 x 1,02 = 306 – 206 = 100

Momento 3: 100 x 1,02 = 102 reais.

Logo para quitar a dívida após 90 dias o valor a pagar é de 102 reais.


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