Mat Financeira Texto Basico DionisioTadeu

MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 – Introdução .................................................................................................................. 5 2 – Razão de duas grandezas ........................................................................................... 5 3 – Proporções ................................................................................................................. 6 3.1 Elementos 3.1.1 Propriedade Fundamental 4 – Grandezas Proporcionais........................................................................................... 8 4.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 4.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 4.3 Grandezas Proporcionais a várias outras 4.4 Divisão Proporcional 5 – Percentagem ............................................................................................................. 17 5.1 Taxas 5.2 Elementos do Cálculo Percentual 5.3 Taxa Unitária 6 – Operações sobre Mercadorias ................................................................................. 21 6.1 Vendas com Lucro 6.2 Vendas com Prejuízo 6.3 Abatimentos Sucessivos 7 – Juro Simples ........................................................................................................... 24 8 – Desconto Simples ................................................................................................... 25 8.1 Desconto Comercial 8.2 Taxa de Juro Efetiva 8.3 Equivalência de Capitais 8.4 Desconto Racional 9 – Juro Composto ...................................................................................................... 32 10 – Taxas ................................................................................................................... 35 10.1 Taxas Proporcionais 10.2 Taxas Equivalentes 10.3 Taxa Nominal 10.4 Taxa Efetiva 10.5 Taxa Real e Taxa Aparente 11 – Desconto Composto ........................................................................................... 39 11.1 Equivalência de Capitais Diferidos 12 – Seqüências de Capitais ....................................................................................... 42 12.1 Seqüência Uniforme 12.2 Montante de uma Seqüência Uniforme 13 – Amortização de Empréstimo ............................................................................. 46 13.1 Sistema de Amortização Constante (SAC) 13.2 Sistema Francês (ou Sistema Price) 13.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema Francês Respostas dos Exercícios Propostos ................................................................. 56 Apêndice – Calculadora HP-12C ...................................................................... 58 Bibliografia ....................................................................................................... 66

SUMÁRIO


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Antes de elaborarmos este material, tínhamos uma grande preocupação com o ensino da matemática nos cursos que não são chamados da área das Ciências Exatas e da Natureza, devido à linguagem rigorosa, complexa e de cálculos muitos longos dessa ciência. Porém, a matemática é uma “ferramenta” poderosa no campo administrativo (contabilidade, empreendedorismo, economia, etc.), pois de um modo geral as decisões em uma organização são tomadas encima de números. Daí a necessidade de escrever os conceitos de forma simples e clara, sempre seguidos de exemplos ilustrativos, de posse que o leitor tenha a plena condição de entender e visualizar a aplicação da matemática nessas diversas áreas do conhecimento. Tivemos a predisposição de fazer uma pesquisa de campo, para podermos então afirmar quais dos assuntos abordados são mais usuais no mercado financeiro. Para que o leitor saiba, que o aprendizado desse material vai além dos ensinos acadêmicos. Ele, o leitor, vivenciará na prática, com mais ou menos intensidade, dependendo da sua área de atuação, todos os conceitos da Matemática Financeira aqui expostos. Todos os cálculos propostos pode ser resolvidos via calculadora científica, porém existe no mercado uma calculadora com funções financeiras que pode agilizar o processo de cálculo para o leitor, que é a HP-12C. Caso o leitor possua uma planilha eletrônica do tipo Microsoft Excel em matemática financeira, também será de grande utilidade nas resoluções dos problemas. É importante lembrar, que muitos resultados parciais, durante o processo de cálculos, apresentarão um grande número de dígitos na parte decimal do número, isso nos obrigará a constantes arredondamentos, conseqüentemente levará para o resultado final uma margem de erro desprezível para o processo. (Sugerimos que sejam consideradas 5 casas decimais) Por fim, estamos aguardando sugestões e críticas que possam qualificar e engrandecer, para as próximas edições, esse material. E não esqueça que, apesar do primeiro capítulo ser Razão e Proporção, de colocar acima de tudo a emoção para no processo de aprendizado, pois assim como um alimento pode proporcionar prazer ao ser humano, o conhecimento ao ser “alimentado” gera um prazer útil e duradouro. Pode acreditar!

Obrigado!

O Autor. Belém, 17 de julho de 2003.

PREFÁCIO


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1.INTRODUÇÃO A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunidade de verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. Você terá uma visão geral do que é feito no nível bancário e comercial, com isso você irá se familiarizar com as terminologias dessa maravilhosa Disciplina. Aproveite, e boa sorte! 2. RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplo: A razão de 3 m e 7 m é: 73

73

=//mm

Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo:5 Um automóvel percorre 120 km em 2 horas. A razão entre a distância

percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: hkmhkm /60

2120

=

01 – Calcule a razão entre as seguintes grandezas:

a) 27km e 3 l de gasolina b) 40g e 5 cm3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS


6

c) 24kg e 80kg d) 20cm e 4dm e) 20d e 2me 15d

3.PROPORÇÕES Dados, em uma mesma ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d).

Exemplo: 43

12= e 4

624

= , logo os números 12, 3, 24 e 6 nessa ordem formam uma

proporção, que pode ser expressa mediante a uma igualdade de razões: 624

312

=

3.1 ELEMENTOS

dc

ba= , dizemos que a está para b, assim como c está para d.

a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios 3.1.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Exemplo: 2012

53= , temos 3 x 20 = 5 x 12

02 -Calcule x nas proporções:

a) x

602015

=

b)

2356

7

=x

ad = cb



7

nm

dc

ba

ndbmca

====++++++ ...

......

NOTA: Série de razões iguais: 1030

315

26

== , observamos que a razão são todas

iguais a 2. Nesse caso chamamos de PROPORCÃO MÚLTIPLA. Podemos dizer que o valor dessas razões é igual a uma constante k, daí temos que:

knmk

dck

ba

=== ,...,, , podemos fazer então: a = bk, c = dk, ..., m = nk.

Somando membro a membro dessas equações, temos: a + c + ... + m = bk + dk + ... + nk a + c + ... + m = k (b + d + ... + n)

kndbmca=

++++++

......

Como: knm

dc

ba

==== ... , podemos escrever então:

Em toda série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.

Exemplo: Calcule x, y e z, sabendo que 15119zyx

== e x + y + z = 420.

Usando a propriedade das proporções múltiplas temos:

1511915119zouyouxzyx

=++++

Como x + y + z = 420 , podemos escrever : 1511935

420 zouyoux=

Daí temos: x = 108, y = 132 e z = 180


8

03) Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os

conseqüentes são 2 e 8. 04) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3. 05) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está

para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

06) A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda com o 5 para 7, e que a parte da segunda está para a terceira como 7 para 9, determine as três partes.

07) (CN) Calcule, aplicando a propriedade de uma série de razões iguais, os números

x, y e z, sabendo que x + 6y + z = 120 e 654zyx

== .

NOTA: Dados os números a e b temos que:

a) a Média Aritmética entre a e b é dado por: MA = 2

ba + , é o quociente

entre a soma desses números pelo total deles. b) a Média Geométrica ou Proporcional entre a e b é dado por: MG = ba. , é raiz quadrada (ou n-ésima) do produto desses números.

c) a Média Ponderada entre a e b é dado por: MP = 21

2.1.pp

pbpa++ , é a soma

dos produtos desses números pelos pesos correspondentes, dividida pela soma desses pesos (p1 e p2)

d) a Média Harmônica entre a e b é dado por: MH =

2

111

ba+

, nesse caso

podemos escrever ainda MH = ba

ab+

2 , é o inverso da média aritmética dos inversos

desses números. Resolva: (CN) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12.

4.GRANDEZAS PROPORCIONAIS De um modo geral estamos sempre diante de problemas com grandezas que estão relacionadas entre si, de tal forma que quando uma varia, a outra também varia. Por exemplo, temos o tempo gasto para confeccionar um determinado tipo de produtos DEPENDE dos números de operários que estão trabalhando nesse processo.



9

Iremos estabelecer uma lei de variação dos valores de uma grandeza em relação à outra. Refiro-me às GRANDEZAS DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. 4.1 GRADEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Uma barra de ouro de 50 cm3 de volume pesa 140g; nas mesmas condições, uma barra de 100 cm3 pesará 280g e uma de 150 cm3, 420g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela:

Volume (cm3) 50 100 150 200 Massa (g) 140 280 420 560

Observe que a grandeza massa DEPENDE da grandeza volume, onde aumentando uma, a outra também aumenta. O mais importante, é notarmos que:

8,2200560

150420

100280

50140

====

Admitindo que x represente a grandeza volume e de y a massa, podemos dizer que:

8,2=xy ou ainda, y = 2,8x

Estabelecemos as seqüências (50, 100, 150, 200) e (140, 280, 420, 560), em seguida podemos afirmar que elas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, ou seja, as grandezas x e y são grandezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. O número 2,8 em questão é denominado RAZÃO ou COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE. Como a função é linear (gráfico representado por uma reta passando pela origem dos eixos cartesianos), y = kx, temos a seguir a representação gráfica do exemplo exposto anteriormente:

Duas grandezas variáveis são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo: y = kx , onde k é um número real constante, diferente de zero.

x

y

50 100 150

420

280

140


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4.1.1 Característica da Grandeza Diretamente Proporcional: Se (x1, y1) e (x2, y2) são pares de valores correspondentes de duas grandezas

proporcionais, podemos representar por: 2

1

2

2

yy

xy

=

Podemos ajustar essa relação, para melhor descrevê-la: 2

1

2

1

yy

xx

=

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1º) A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução lógica ou de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo. 2º) Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente verificar se o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. È necessário que, ao multiplicarmos uma delas por um número real k diferente de zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por k. Por exemplo, a aresta de um cubo e seu volume não são grandezas proporcionais, pois, multiplicando-se a aresta por 2, o volume fica multiplicado por 8. 4.1.2 Números Diretamente Proporcionais: As seqüências de números reais não-nulos (a1, a2, ..., an) e (b1, b2,..., bn) são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se, e somente se:

kba

ba

ba

n

n ==== ...2

2

1

1 , k é uma constante

Ou ainda, o que é mais comum para efeito de cálculo: a1 = kb1; a2 = kb2 , ..., an = kbn

Dadas duas grandezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.


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08) Verifique se os números das seqüências são proporcionais: a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105) 09) Qual é a razão de proporcionalidade entre as seqüências de números diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88) ? 10) Determine os valores de x e y nas seqüências de números proporcionais (6, x, 21) e (2, 5, y). 11) Quais os menores números inteiros proporcionais aos números 2/3 , 3/4 e 1/6? (Sugestão: multiplique pelo m.m.c dos denominadores) 12) Dados os números 1/5, 3/6 e 7/10, determine os três menores números inteiros proporcionais a esses números. 4.2 GRADEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Veja o quadro ao lado: Percebemos que a grandeza velocidade quando aumenta, o tempo diminui. Porém, agora temos: 12x100 = 200x6 = 300x4 = 400x3 = 1200

Ou ainda: 1200

40013

30014

20016

1001

12====

Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: Podemos dizer que as seqüências na tabela são grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, ou ainda, que as grandezas x e y são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS e 1200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.

Velocidade (km/h)

100 200 300 400

Tempo (h) 12 6 4 3


y = 1200.x1

Duas grandezas variáveis são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:

y = k.x1 , onde k é um número real constante, diferente de zero.


12

'

2

2

1

1

1...

11k

b

a

b

a

b

a

n

n ====

A função que representa a proporcionalidade inversa é a recíproca, y = k/x, que é um ramo de uma hipérbole:

4.2.1 Característica da Grandeza Inversamente Proporcional: Se (x1, y1) e (x2, y2) são pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais, podemos representar por: x1.y1 = x2.y2 Podemos ajustar essa relação, para melhor descrevê-la: 4.2.2 Números Inversamente Proporcionais: As seqüências de números reais não-nulos (a1, a2, ..., an) e (b1, b2,..., bn) são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se, e somente se: a1.b1 = a2.b2 = ... = an.bn = k´ , k´ é uma constante Ou ainda, podemos usar a relação:

y 12

6 4

100 200 300

y = )0(1200>x

x

Dadas duas grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre dos dois valores correspondentes da outra.

1

2

2

1

yy

xx

=


13

13) Verifique se as seqüências são inversamente proporcionais:

a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9) b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20)

14) Determine os valores de x e y nas seqüências de números inversamente

proporcionais (2, 3, y) e (15, x, 5).

4.3 GRADEZAS PROPORCIONAIS A VÁRIAS OUTRAS Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por exemplo, o número de dias para construir um muro depende não apenas do número de operários, mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões do muro, etc. Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma delas quando as demais não variam. Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando uma destas últimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra. Veja essa propriedade: Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional às grandezas C e D. Se x, a , b, c e d são valores correspondentes dessas grandezas, pela definição existe uma constante k, diferente de zero, tal que:

x = k.a.b.dc1.1

Ou ainda: x = k.cdab

4.4DIVISÃO PROPORCIONAL Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números. 4.4.1 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS(ou divisão

proporcional) Durante uma gincana em uma escola, ficou definido que o prêmio arrecadado de R$ 180,00, seria divido com as equipes vencedoras: 1º, 2º e



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3º lugares. De tal modo que a divisão seria proporcionais aos números 5, 3 e 2 , na ordem apresentada de classificação. Chamaremos de x, y e z, respectivamente, a cada uma dessas parcelas, teremos então:

235zyx

== , Como x, y e z são as parcelas que dividimos o número

180, temos ainda: x + y + z = 180

Da primeira equação, temos: 235235zyxzyx

===++++

k = 1810180

235==

++++ zyx , temos então que a constante de proporcionalidade

é igual a 18. Então, vem: x = k.5 = 18.5 = 90 y = k.3 = 18.3 = 54 z = k.2 = 18.2 = 36 TOTAL = 180

Logo, temos que as partes dividas foram: R$90,00, R$54,00 e R$36,00 15) Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. 16) Divida o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11. 17) Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 2/3 e 3/4. 18) Dois operários contratam um serviço por R$ 1800,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço de cada um?

4.4.2 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Digamos que um pai, deixou herança de R$20.000,00 para ser dividida com seus três filhos, um com 5 anos, outro com 3 anos e o mais novo com 2 anos de idade. Esse valor será dividido em partes inversamente proporcionais às idades dos seus filhos, respectivamente. Chamando de x, y e z as parcelas que caberão a cada filho, teremos:



15

21

31

51

zyx== , fazendo o m.m.c (5, 3, 2) = 30, temos então:

1530.21;1030.

31;630.

51

===

Reescrevendo a proporção, temos: 15106zyx

==

k = 15106 ++

++ zyx = 31

20000 = 645,16

Então: x = k..6 = 645,16 . 6 = 3.870,96 y = k. 10 = 645,16 . 10 = 6.451,61 z = k . 15 = 645,16 . 15 = 9.677,42 TOTAL = 20.000,00 (fazendo arredondamento) Logo: o mais velho, recebeu R$ 3.870,93, o do meio R$ 6.451,61 e o caçula recebeu R$ 9.677,42.

19) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 20) Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão

inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?

4.4.3 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA

Agora esse processo consiste em dividir em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente proporcionais a outros números m, n, p. Sejam os valores x, y, z valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c e também a m, n, p , são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos am, bn, cp. Veja como ficaria operacionalmente:



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x am sendo: cpz

bny

amx

==

y bn x + y + z = t z cp

Exemplo: Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3, 5, 7. Resolvendo, temos: x + y + z = 392, x am = 2.3 = 6 y bn = 3.5 = 15 z cp = 4.7 = 28

am + bn + cp = 49

k = 849

392==

++++

cpbnamzyx x = am . k = 6 . 8 = 48

y = bn . k = 15 . 8 = 120 z = cp . k = 28 . 8 = 224 Total = 392 Logo, as partes são: 48, 120 e 224

21) Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8.

22) Divida 175 em partes diretamente proporcionais a 5/4 , 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3/4, 6, 2.

23) Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcional a 4, 6 e 9.

24) Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9.

25) Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda.

26) Dionísio e Tadeu organizaram uma empresa comercial com um capital social de R$ 20.000,00, devendo cada um deles entrar com R$ 10.000,00. No ato da organização, 1º março, Dionísio integralizou sua quota e Tadeu contribuiu apenas com R$ 7.000,00, responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 7.400,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio?

27) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 180.000,00, R$ 225.000,00 e R$ 270.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 270.000,00. Qual será a parte de cada um?

t



17

28) Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00 respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 17.220,00 a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas.

5. PERCENTAGEM 5.1 TAXAS Suponhamos que num torneio de futebol, o artilheiro do time A tenha marcado 18 gols, e o artilheiro do time B marcado 24 gols. A razão entre o número de gols o jogador do time A e o número de gols do time B é: 18 = 3 = 0,75 = 75 24 4 100 Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100, neste caso 75 , ela é chamada razão centesimal. 100 Podemos ainda, substituir 1 pelo símbolo %, que lemos: por cento. 100 Então: Esse número 75% é denominado taxa percentual. 5.2 Elementos do Cálculo Percentual

Vimos que 10075

2418

=

Neste exemplo, chamamos o 18 de PERCENTAGEM, o 24 de PRINCIPAL e 75 de TAXA, temos então:

100

TAXAPRINCIPAL

MPERCENTAGE=

Daí pode definir que:

75 = 75% 100

TAXA: é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.

PECENTAGEM: é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.


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OBS: Para efeito de cálculo de Percentagem, designaremos por: P o principal p a percentagem r a taxa De forma geral temos: Exemplo 1: Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de $360,00? Temos que: P = 360 r = 3

Então, temos: 8,10100

3360

=⇒= pp

Logo, a comissão é de $10,80 Exemplo 2: Em uma faculdade 26% dos alunos são mulheres. Quantos alunos possui a faculdade, se elas são em número de 182? Temos que: p = 182 r = 26

Então, temos: 70010026182

=⇒= PP

Logo, a faculdade possui 700 alunos. Exemplo 3: Um bem de consumo foi adquirido por $5.000,00 e vendido com um lucro de $400,00. Qual a percentagem de lucro? Temos que: P = 5000 p = 400

Então, temos: 81005000

400=⇒= rr

Logo, o lucro foi de 8%

PRINCIPAL: é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

100r

Pp=


19

5.3 Taxa Unitária De um modo mais prático, recomenda-se o uso da taxa unitária e representamos pela letra i

1100

15 i= =>

Exemplo 1: A taxa unitária correspondente a 35% é:

35% = 3,010030

= , isto é, i = 0,3

Exemplo 2: A taxa percentual correspondente a 0,06 é:

0,06 = %6100

6= , isto é, i = 6%

Exemplo 3: Calcule 40% de 18% Temos que: 40% = 0,4 e 18% = 0,18 Então, podemos fazer: 0,4 x 0,18 = 0,072 Logo a resposta é: 7,2 %

Os problemas mostrados com a relação 100

rPp= , pode ser escrita agora como i

Pp=

• Mostraremos a seguir, outra metodologia para os cálculos desenvolvidos

anteriormente. 01)Em uma liquidação, uma camisa que custava R$30,00 foi vendida com 15% de abatimento. De quanto foi o abatimento e qual o valor que o consumidor pagou? Resolução Podemos usar uma regra de três simples para solucionar o problema, veja: Se R$30,00 corresponde ao total do valor da camisa, temos então:

30 100% x 15% (desconto) 30 = 100% x 15% x = 30x15 x = 45

100 10

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

i = 0,15

X = 4,5


20

O abatimento foi de R$4,50, e a camisa foi vendida por R$30,00 – R$4,50 que é igual a R$25,50. 02)(D.T.R.) As agências de viagens informaram que os pacotes para final de ano cresceram em vendas 70% em relação ao ano, anterior (1999). Sabendo que em 2000 foram vendidos 115.000 pacotes de viagens, quantos foram vendidos em 1999? Resolução Houve uma variação mais de 70% em relação ao total do ano anterior, que corrrespondia a 100% das vendas, temos então:

115.000 170% x 100% x = 115.000x100 % 170% x = 1.150.000

17

Em 1999 foram vendidos, aproximadamente 67.647 pacotes de viagens para o final de ano.

29) Um comprador, por pagar fora do vencimento uma mercadoria cujo preço era R$1.500,00, teve que pagar 14% de multa. Quanto pagou no total?

30) (D.T.R.) O censo do IBGE 2000 revelou que cerca de 20% a população brasileira

vive no campo. Sabendo que a população total é de aproximadamente 170.000.000 de habitantes, qual a população da área urbana?

31) Da 1a. Fase de um concurso participam 30 mil candidato, dos quais 70% não foram

aprovados para a 2a. Fase. Dos participantes da 2a. Fase 65% não conseguiram aprovação.

a. Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso? b. Qual foi a taxa de reprovados?

32) Uma mistura é formada por 150ml de leite e 50ml de água. a. Qual é a taxa percentual de leite na mistura? E de água? b. Adicionando-se 10ml de água à mistura, qual será a participação percentual

de água na mistura?

X = 67.647,06



21

c. Retirando-se 10ml de água da mistura original, qual será a participação percentual da água na mistura?

33) (FACI) Um trabalhador de uma indústria madeireira paraense ganha R$6,00 por hora. Do total do seu salário, há um desconto de 20% para imposto de Renda e INSS. Desejando esse trabalhador ter um salário líquido de R$1.200,00 mensais, quantos horas deverá trabalhar por mês? a) 195 b)235 c)215 d)250 34) (CESUPA) O governo reeditou a CPMF; então, desde junho de 1999, de cada quantia retirada do banco, seja através de cheque ou cartão magnético, é descontado 0,38%. Ao fazer um pagamento com cheque no valor de R$1.850,00, o total que é debitado da conta de uma pessoa é: a) R$1.857,03 b) R$1.842,97 c) R$1.779,90 d) R$1.047,00 35) (UNAMA) Devido à crise no Oriente Médio, o aumento do preço do barril do petróleo causou pânico, desestabilizando o mercado financeiro. Em determinado período, porém, o preço do barril sofreu uma queda de US$32 para US$24. O percentual dessa queda foi de: a) 8% b) 15% c) 25% d)33,33% 36) (D.T.R.) Após o censo 2000, o IBGE divulgou que cerca de 52% da população brasileira é constituída de mulheres. Se a população é de 170.000.000 de habitantes, podemos dizer que o número de mulheres a mais do que homens é aproximadamente: a)8.000.000 b)6.800.000 c)9.000.000 d)10.000.000

6. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS Veremos neste capítulo problemas de percentagem relacionados às OPERAÇÕES DE COMPRA E VENDA DE MERCADORIAS, fazendo cálculos de LUCRO ou PREJUÍZO sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. 6.1 Vendas com Lucro A venda de mercadorias pode oferecer um lucro, e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. O preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e funcionamento da empresa. Para as operações seguintes, usaremos a relação: Onde : L => Lucro V => Preço de Venda C => Preço de Custo

L = V – C


22

6.1.1 Sobre o Preço de Custo

A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de custo. Exemplo 1: Um comerciante vendeu mercadorias com lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram $500,00. Usando a relação: L = V – C Temos: 0,08.C = V – C => C + 0,08C = V => V = 1,08C V = 1,08 . 500 => V = 540 Logo, o preço de venda é de $ 540,00 6.1.2 Sobre o Preço de Venda A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de venda. Exemplo 2: Comprou-se um objeto por $6000,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual dever ser este preço? Usando a relação: L = V – C Temos: 0,25V = V – C => C = V – 0,25V => C = 0,75V

V = 75,0

6000 => V = 8000

Logo, o preço de venda deve ser $8000,00 6.2 Vendas com Prejuízo A venda de mercadorias pode oferecer um prejuízo, e este prejuízo pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 6.2.1 Sobre o Preço de Custo Exemplo 1: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou $300,00, qual foi o preço de venda? Usando a relação: L = V – C Temos: - 0,4.C = V – C => C - 0,4C = V => V = 0,6C V = 0,6 . 300 => V = 180 Logo, o preço de venda é de $ 180,00 6.2.2 Sobre o Preço de Venda A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de venda.


23

Exemplo 2: Um bem de consumo que custa $6000,00 foi vendido com um prejuízo de 25% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. Usando a relação: L = V – C Temos: - 0,25V = V – C => C = V + 0,25V => C = 1,25V

V = 25,1

6000 => V = 4800

Logo, o preço de venda deve ser $4800,00 6.3 Abatimentos Sucessivos Considere o seguinte problema: uma empresa distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura (relação que acompanha a remessa de mercadorias expedidas, ou que se remete mensalmente ao comprador, com a designação de quantidades, marcas, pesos, preços e importâncias), e os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de $ 6.400,00, qual o valor líquido da mesma? Essa operação é simples, pois calcularemos os líquidos parciais correspondentes aos abatimentos oferecidos, com suas respectivas taxas, obtendo-se o total líquido final. Veja a solução: P = 6400; i1 = 0,1 ; i2 = 0,04 ; i3 = 0,05 p1 = P . i1 = 6400 . 0,1 = 640 => L1 = 6400 – 640 = 5760 p2 = L1 . i2 = 5760 . 0,04 = 230,4 => L2 = 5760 – 230,4 = 5529,6 p3 = L2 . i3 = 5529,6 . 0,05 = 276,48 => L3 = 5529,6 – 276,48 = 5253,12 Logo, o valor líquido da fatura é $ 5.253,12. NOTA1: De um modo geral temos: Ou ainda de modo mais específico: NOTA2: Para AUMENTOS SUCESSIVOS, teremos

37) Vendendo por $ 600,00 um objeto que custou $ 480,00, qual será a percentagem de lucro?

38) Por quanto deve vender uma mercadoria que me custou $ 400,00 para ganhar 25% sobre o custo?

Lk = Lk-1 . (1 – ik)

L = P(1 – i1). (1 – i2). (1 – i3)... (1 – in)

L = P(1 + i1). (1 + i2). (1 + i3)... (1 + in)



24

39) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por $ 238,00 um objeto que custou $ 280?

40) De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou $ 280,00 e foi vendido por $ 250,00?

41) Vendi um objeto por $ 120,00. Se tivesse vendido por mais $ 20,00, meu lucro seria de 50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro?

42) Certa mercadoria foi vendida por $ 3.232,00, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço da compra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobre o preço de custo?

43) Uma fatura de $8.000,00 sofre abatimentos sucessivos, de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar?

44) Uma fatura de $ 50.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura?

45) Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemos vender essa mercadoria, comprada por $ 540,00, para que tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra, repassando a despesa para o consumidor?

46) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 450m, ao custo de $8,40 o metro. Vendeu 340m com 30% de lucro. Depois, vendeu o restante com certo prejuízo. Sabendo que a venda de todo o tecido, nas condições acima, deixou $ 77,32 de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendido, em cada caso, o metro do tecido.

7. JURO SIMPLES Antes de começarmos o estudo de Juro Simples, precisamos conhecer alguns conceitos importantes: a) Capital ou Principal ou Valor Presente, representaremos pela letra C. Corresponde a um valor que será submetido a uma correção dentro de um certo período. b) Taxa, será representado pela letra i. A taxa de juro é expresso em porcentagem numa determinada unidade de tempo, que servirá como um fator de correção. c) Montante ou Valor Futuro, representado pela letra M. Corresponde ao valor do Capital adicionado ao Juro calculado no período em questão. d) Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. O Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. Ou seja, Juro Simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. Por definição, o Juro Simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. ; obs: i e n (período) , devem estar na mesma unidade de tempo. NOTA: nos estudos de funções, essa relação representa uma Função de 1º grau, camada Linear, que é uma reta passando pela Origem J(n) = Cin

J = C.i.n


25

Exemplo 1: Coloquei uma importância de R$ 12.000,00, aplicada pelo prazo de 2 anos, à uma taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago e o valor total do resgate, respectivamente? Como J = C.i.n J = 12000 . 0,3 . 2 J = 7.200 O valor resgatado é o Montante: M = C + J M = 12000 + 7200 M = 19200 Logo, temos: R$ 7.200,00 e R$ 19.200,00 Exemplo 2: Foi aplicada uma importância de R$ 30.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? Temos agora, o período e a taxa em unidade de tempo diferente, então devemos fazer: n = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses Agora sim, J = C.i.n J = 30000 . 0,012 . 24 J = 8.640,00 Resposta: R$ 8.640,00

47) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 320.000,00 pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

48) Calcule o juro simples do capital de R$ 360.000,00 colocando à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

49) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 150.000,00 a ser resgatado por R$ 270.000,00 no final de 2 anos?

50) A que taxa o capital de R$ 2.400.000,00 rende R$ 108.000,00 em 6 meses? 51) Um capital de R$ 300.000,00 aplicando durante 10 meses, rende juro de R$

60.000,00. Determine a taxa correspondente. 52) Um capital emprestado a 24% ao ano rende, em 1 ano,2 meses e 15 dias, o juro de

R$ 78.300,00. Qual foi esse capital. 53) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 54) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-

se, assim, um ganho anual de R$ 86.400,00. Qual é o valor desse capital?

8. DESCONTO SIMPLES Quando se deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é comum que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Esse título tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, com isso terá direito a um abatimento denominado DESCONTO. Podemos listar alguns títulos de crédito mais comuns em operações financeiras:



26

i. DUPLICATA: esse título é emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos posteriormente, segundo um contrato;

ii. NOTA PROMISÓRIA: é emitida para comprovação da aplicação de um capital com vencimento futuro. Esse título é um dos mais populares, muito usando entre pessoas físicas ou pessoas físicas e instituições financeiras;

iii. LETRA DE CÂMBIO: também é um título que comprova uma aplicação de um capital com vencimento predeterminado; esse título é usado exclusivamente por uma instituição financeira, é que chamamos de título ao portador.

Antes de estudarmos, as operações matemáticas dos DESCONTOS, devemos conhecer alguns conceitos que aparecerão nas operações com descontos:

• DIA DE VENCIMENTO: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação;

• VALOR NOMIMAL: é o valor indicado no título (valor de face, valor futuro ou valor de resgate), que será pago no dia do vencimento;

• VALOR ATUAL: é o líquido pago ou recebido ( valor descontado) antes do vencimento;

• TEMPO ou PRAZO: é o período compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro.

DESCONTO: é a quantia a ser abatida do valor Nominal, isto é, a diferença entre o valor Nominal e o valor Atual. NOTA: Quando o desconto considera como capital o VALOR NOMINAL, é denominado de DESCONTO COMERCIAL (POR FORA); Quando o desconto considera como capital o VALOR ATUAL, é denominado de DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO). 8.1 Desconto Comercial O desconto comercial, bancário ou por fora equivale ao juro simples, produzido pelo VALOR NOMINAL do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada.

d = N - A

d = N. i. n

I

II


27

Onde: d valor do desconto comercial N valor nominal do título A valor atual comercial ou valor descontado comercial n tempo i taxa de desconto

Com base nas relações I e II, temos: N. i. n = N – A A = N – N. i. n A = N (1 – i. n)

NOTA: Não se recomenda o desconto comercial para prazos muito longos, pois o desconto pode ultrapassar o valor nominal do título. Exemplo1: Uma empresa deve um título de valor nominal igual a $1.500,00. Esse título tem o vencimento marcado para 17/06/2003. Só que a empresa antecipará o pagamento com desconto comercial em 20/05/2003. Sabendo que a taxa de desconto é de 2% ao mês, determine: a) o valor do desconto;

Temos que : d = N. i. n Onde : N = 1500; i = 2% a.m : 30 = 0,02/30 ao dia; n = 11(dias de maio) + 17(dias de junho) = 28 dias

Então: d = 1500. 3002,0 . 28

Logo: b) o valor atual do título na data de sua liquidação;

Temos que: A = N – d Então: A = 1500 – 28 Logo:

VALOR ATUAL COMERCIAL: A = N (1 – i .n)

d = $28,00

A = $1.472,00


28

Exemplo2: Uma duplicata de $6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por $6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Temos que: A = N(1 – i .n) Onde : N = 6.900 A = 6.072 i = 0,04 a.m Então: 6072 = 6900(1 – 0,04. n) 0,88 = 1 – 0,04.n 0,04n = 0,12

n = 04,012,0 n = 3

Logo : A antecipação foi de 3 meses

55) Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:

a. o valor do desconto comercial; b. o valor atual comercial.

56) Uma duplicata, cujo valor nominal é de $2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do

vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 57) Um título, no valor nominal de $8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado

em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado?

58) Um título de $4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por $4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate.

8.2 Taxa de Juro Efetiva

A taxa de juro efetiva, num período n torna o capital A igual ao montante N, ou seja, é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Na linguagem matemática teríamos: C(1 + if . n) = M , onde if é a taxa efetiva e M o montante. Como C = A e M = N , temos:

A(1 + if . n) = N 1 + if .n = AN if .n =

AN - 1 if .n =

AAN −

if = nA

AN −

Como N – A = d , temos: if = nA

d.

Logo:


if = nA

d.


29

Exemplo1: Uma duplicata de $23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por $21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva Temos: N = 23000 A = 21068 n = 112 dias = 3,733 meses d = N – A = 23000 – 21068 = 1932 Então, a taxa de desconto foi: d = N.i.n 1932 = 23000.i.3,733

i = ..%5,20225,0858591932 ma==

Em seguida, calculamos a taxa efetiva:

if = Exemplo2: Um título de $6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $189,00, calcule a taxa de juro efetiva. Temos: N = 6000 n = 45 d = 1,5 mês d = 189 Então, d = N – A A = N – d A = 6000 – 189 A = 5811

Logo, a taxa efetiva é: if = ..%17,20216867,08715189

5,15811189 ma

x===

8.3 Equivalência de Capitais Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Resolver problemas dessa natureza consiste em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. Vale ressaltar, que capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. Vejamos três exemplos para ilustrar melhor essa teroria:

if = nA

d.

..%45,202456,0844,78646

1932733,321068

1932 max

===


30

Exemplo1: Quero substituir um título de $5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título?

Temos que: N = ? n = 5 me i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. N’ = 5000 n’ = 3 me i’ = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. Se ocorre equivalência, temos então: A = A’ Então: A = N(1 – i. n) A = N(1 – 0,035 x 5) A = 0,825N A’ = N’(1 – i .n) A’ = 5000(1 – 0,035 x 3) A’ = 4475 Logo, temos: 0,825N = 4475 N = 5.424,24 O valor do novo título será de : $5.424,24 Exemplo2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de $3.000,00 e o outro de $3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentre de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título? Nesse caso, temos: N1 = 3000; n1 = 2 me N2 = 3600; n2 = 6 me i = i1 = i2 = 3% a.m. = 0,03 a.m. n = 4 me Para que exista equivalente, temos: A = A1 + A2 Então: A1 = 3000(1 – 0,03 x 2) A1 = 2820 A2 = 3600(1 – 0,03 x 6) A2 = 2952 Como: A = N(1 – i .n ) A = N(1 – 0,03 x 6) A = 0,88N Logo: 0,88N = 2820 + 2952 N = 5772/0,88 N = 6559,09 O valor do novo título será de : $6.559,09 Exemplo3: Desejamos substituir dois títulos, um de $5000,00 para 90 dias e outro de $12000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. Para que exista equivalência, temos: A1 + A2 + A3 = A’1 + A’2


31

Temos que: N’1 = 5000 ; n’1 = 90 d = 3 me N’2 = 12000; n’2 = 60 d = 2 me i = 3% a.m. = 0,03 a.m. n1 = 30 d = 1 me; n2 = 60 d = 2 me; n3 = 90 d = 3 me. Então: A1 = N(1 – 0,03 x 1) A1 = 0,97N A2 = N(1 – 0,03 x 2) A2 = 0,94N A3 = N(1 – 0,03 x 3) A3 = 0,91N A’1 = 5000 (1 – 0,03 x 3) A’1 = 4550 A’2 = 12000(1 – 0,03 x 2) A’2 = 11280 Logo: 0,97N + 0,94N + 0,91N = 4550 + 11280 2,82N = 15830

N = 82,2

15830 N = 5613,47

O valor nominal de cada um dos novos títulos será de: $ 5.613,47

59) Um título de valor nominal igual a $6300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês.

60) Um industrial deve pagar dois títulos: um de $14.400,00 para 2 meses e outro de $19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-lo por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês?

61) Substitua três títulos, um de $4.000,00 para 30 dias, outro de $10.000,00 para 60 dias e outro de $16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês?

8.4 Desconto Racional

Esse desconto é o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. O desconto Racional ou por dentro, na prática bancária não é utilizado, mas se faz necessário o seu estudo porque o desconto composto está relacionado a esse conceito. Por definição, temos: Onde: dr corresponde ao valor do desconto racional; A r corresponde ao valor atual ou valor descontado racional


dr = Ar . i . n

Ar = N - dr I


32

Lembremos que: Temos então: dr = (N – dr). i .n dr = N.i.n – dr . i. n dr + dr. i. n = N.i.n

dr ( 1 + i.n) = N.i.n

Usando as relações I e II , temos: Ar = N - niniN.1..

+ Ar =

niniNniN

.1..).1.(

+−+

Ar = ni

niNniNN.1

....+

−+

Exemplo1: Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto racional;

Temos: N = 6000 ; n = 45 d ; i = 2,1% a.m = 0,07% a.d. = 0,0007 a.d.

Então: dr = niniN.1..

+ dr =

450007,01450007,06000

xxx

+ dr = 183,22

Logo, o desconto é igual a $183,22

b) o valor atual racional. Como: Ar = N - dr Então: Ar = 6000 – 183,22 Ar = 5816,78 Logo, o valor atual racional é igual a $5816,78

9. JURO COMPOSTO O regime de capitalização a juro composto difere do juro simples na atualização do Capital. Enquanto que no regime de juro simples a correção é sempre feita no Capital Inicial, no JURO COMPOSTO a correção é feita, a partir do segundo período, sobre o MONTANTE relativo ao período anterior. É o que o mercado conhece vulgarmente como “juro sobre juro”. Digamos que um capital de $1000,00, aplicado a 10% ao ano, a juro composto, veja como ficaria essa capitalização:

ANO JURO MOTANTE0 - 1000,00 1 1000x0,1x1 = 100,00 1100,00 2 1100x0,1x1 = 110,00 1210,00 3 1210x0,1x1 = 121,00 1331,00

dr = niniN.1..

+ II

Ar = ni

N.1+


33

Seguindo a lógica matemática da tabela anterior, e chamando de C o capital inicial, de i a taxa e J o juro de cada período, poderíamos generalizar esse processo: PERÍO

DO JURO MONTANTE

1º J1 = C . i M1 = C + J1 M1 = C + C.i M1 = C(1 + i) 2º J2 = M1.i M2 = M1 + J2 M2 = M1 + M1.i M2 = M1(1 + i)

M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = C(1 + i)2 3º J3 = M2.i M3 = C + J3 … M3 = C(1 + i)3

Se continuarmos na construção da tabela, chegaríamos a seguinte relação: Que calcula o montante em regime de juro composto, onde (1 + i)n , é o fator de acumulação de capital ou fator de capitalização NOTA: Sugerimos nesse capítulo o uso de uma máquina calculadora científica, onde a função xy será de grande uso. Exemplo1: Calcule o montante produzido por $3000,00, aplicado em regime de juro composto a 4% ao mês, durante 2 meses. Temos que: M = C(1 + i)n C = 3000; n = 2 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. Então: M = 3000(1 + 0,04)2 M = 3000(1,04)2 M = 3000 x 1,0816 M = 3244,80 Logo, o valor do montante é igual a: $3244,80 Exemplo2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 2 meses, a 5% ao mês, produziu um montante de $2205,00 no regime de juro composto. Temos que : M = 2205 ; n = 2 me ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

Então: 2205 = C(1 + 0,05)2 2205 = C(1,05)2 C = 1025,12205 C = 2000

Logo, o valor do capital inicial é igual a: $2.000,00. Exemplo3: Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de $3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Temos que: M = 4049; C = 3200; n = 6 me; i = ?

Então: 4049 = 3200(1 + i)6 6)1(32004049 i+= 1,26531 = (1 + i)6 (usando a

calculadora) , teríamos: (1,26531)1/6 = 1 + i i = 1,040 – 1 i = 0,040 Logo, a taxa é igual a: 0,04 a.m. ou 4% a.m.

Mn = C(1 + i)n


34

Exemplo4: Determine em que prazo um empréstimo de $11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. Temos que: M = 22125; C = 11000; i = 15% a.s. = 0,15 a.s ; n = ?

Então: 22125 = 11000(1 + 0,15)n (1,15)n = 1100022125 (1,15)n = 2,01136 (usando

logaritmo, temos) log(1,15)n = log2,01136 n.log1,15 = log2,01136 n = 15,1log

01136,2log

n = 5 Logo, o prazo é igual a: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses. Exemplo5: Qual será o montante de $2000,00, a juro composto de 37% ao ano, em 4 anos e 3 meses?

Temos que: C = 2000; i = 37% a.a. = 0,37 a.a.; n = 4 a e 3 me = 4 a + a123 = aa

417

1251

=

Então: M = 2000(1 + 0,37)17/4 M = 2000 x 1,374,25 M = 2000 x 5,14160 M = 10283,20 Logo, o montante é igual a: $10.283,20.

62) Calcule o montante de uma aplicação de $8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês.

63) Calcule o montante do capital de $65.000,00, colocado a juros compostos à taxa de

2 43 % ao mês, no fim de 6 meses.

64) Qual o montante produzido por $16.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês durante 40 meses?

65) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de $79.475,00, , calcule esse capital.

66) Se uma pessoa investir, hoje, uma quantia de $16.000,00 para receber $18.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto?

67) O capital de $8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 2,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a $11.456,00. Calcule esse tempo.

68) Um capital de $25.000,00, empregado em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto receberá o investidor?

69) Determine o juro de uma aplicação de $20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses.



35

70) Calcule o montante de uma aplicação de $8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.

71) Qual o montante produzido pelo capital de $6.800,00, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?

72) Calcule o montante de $8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.

73) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de $19.752,00.

74) Em que prazo uma aplicação de $100.000,00 produzirá um montante de $146.853,00, à taxa de 3% ao mês?

75) Um capital de $20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo $3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação.

76) O capital de $12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a $15.559,00. Calcule a taxa de juro.

10 TAXAS 10.1 Taxas Proporcionais: Duas taxas são ditas proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Veja como ficariam as taxas proporcionais a uma taxa ao ano ia .

is = 2ai ; it =

4ai ; ib =

6ai ; im =

12ai ; id =

360ai

Onde: is: ao semestre; it: ao trimestre; ib: ao bimestre; im: ao dia ; id: ao dia Então, para um período 1/k do ano, a taxa proporcional será ia / k , ou seja: 10.2 Taxas Equivalentes: São taxas que se referindo a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Verifique se as taxas proporcionais são equivalentes, calculando o montante, ao aplicarmos um capital de $1.000,00, em regime de juro composto, empregado nas duas condições a seguir: a) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; b) durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês.

ik = kia


36

Consideremos a situação anterior, chamemos de C o capital, ia a taxa anual, tempo de 1 ano, tem que produzir um montante igual ao mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia . Temos que: M1 = C(1 + ia)1 M12 = C(1 + im)12 Como: M1 = M12 C(1 + ia)1 = C(1 + im)12 1 + ia = (1 + im)12 Logo:

Exemplo1: Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Temos que: 1 + ia = (1 + im)12 Então: 1 + ia= (1 + 0,02)12 ia = 1,0212 – 1 ia = 1,26824 – 1 ia = 0,26824 Logo a taxa anual equivalente é igual a: 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a. Exemplo2: Qual a taxa trimestral equivalente a 20% ao ano? Temos que: 1 + ia = (1 + it)4 Então : 1 + 0,2 = (1 + it)4 1,2 = (1 + it)4 (1,2)1/4 = 1 + it it = 1,04663 – 1 ia = 0,04663 Logo, o valor da trimestral equivalente é igual a: 0,04663 a.t. ou 4,66% a.t. 10.3 Taxa Nominal: Quando a taxa de capitalização não coincide com aquele a que se refere, denominamos essa taxa de NOMINAL. Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado mensalmente; ou juros de 36% ao ano capitalizado semestralmente. De um modo geral, a taxa nominal é uma taxa anual. Exemplo1: Qual o montante de um capital de $4.000,00, no fim de 3 anos, com juros de 26% ao ano capitalizados trimestralmente? Temos que: C = 4000; n = 3 anos; i = 26% a.a. = 0,26 a.a.

Como: i4 = 426,0 = 0,065 a.t. e n = 3 x 4t = 12t

Então: M4 = C(1 + it)n M4 = 4000(1 + 0,065)12 M4 = 4000x2,12909 M4 = 8516,38 Logo o montante será igual a: $8.516,38 10.4 Taxa Efetiva: Quando oferecemos 8% ao ano e capitalizamos semestralmente a 4%, a taxa de 8% é a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 4% semestrais. Logo, sendo if a taxa efetiva, temos: 1 + if = (1 + 0,04)2 if = 1,0816 – 1 if = 0,0816 Logo a taxa efetiva é igual a: 0,0816 a.a. ou 8,16% a.a.

1 + ia = (1 + im)12


37

De um modo geral podemos escrever essa relação da seguinte forma: Exemplo1: Uma taxa nominal de 16% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. Temos que: i = 16% a.a. = 0,16 a.a. 1 ano = 2 sem => k = 2

ik= 08,0216,0

=

Então: 1 + if = (1 + 0,08)2 if = 1,1664 – 1 if = 0,1664 Logo, a taxa efetiva é de: 0,1664 a.a. ou 16,64% a.a. Exemplo2: Um banco emprestou a importância de $35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral: a) qual a taxa efetiva anual; Temos que: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 1 ano = 4 trim k = 4

ik = 09,0436,0

=

Então: 1 + if = (1 + 0,09)4 if = 1,41158 – 1 if = 0,41159 Logo, a taxa efetiva será igual a: 0,4116 a.a. ou 41,16% a.a. b) qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? Temos que : C = 35000; n = 2 anos ; if = 0,4116 a.a. Então: M = C(1 + if)2 M =35000(1 + 0,4116)2 M = 35000x1,9926 M = 69741 Logo, o montante será igual a: $69.741,00 10.5 Taxa Real e Taxa Aparente: A taxa Aparente é aquela que ocorre nas operações correntes. Quando ocorre inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e

1 + if = k

ki

+1

Onde: i => taxa nominal if => taxa efetiva k => o número de capitalização para um período da taxa nominal ik => taxa por período de

capitalização

ki


38

outro correspondente ao juro real. Quando não ocorre a inflação, a taxa aparente coincide com a taxa real. Vamos convencionar que:

• C => capital inicial • r => taxa real • i => taxa aparente • I => taxa de inflação

Veja os casos a seguir:

1. Sendo um período sem inflação, igual a zero, e uma taxa r, o capital inicial ficará igual a: C(1 + r)

2. Sendo uma taxa de inflação I, o capital inicial, ao final do período, será dado por: C(1 + I)

3. Sendo um taxa de juros r e uma taxa de inflação I, ao mesmo tempo, o capital inicial equivalerá a: C(1 + r).(1 + I)

4. Sendo uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final do período, em: C(1 + i)

Agora é importante lembrar que nos item 3 e 4 as expressões são equivalentes, visto que ambas reportam o valor efetivamente recebido, então, temos: C(1 + i) = C(1 + r).(1 + I) :C Logo:

Exemplo1: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,6% a.m. e a uma inflação de 0,5% no período? Temos que: r = 0,6%a.m. = 0,006 a.m e I = 0,5% = 0,005 1 + i = (1 + r).(1 + I) Então: 1 + i = (1 + 0,006).(1 + 0,005) i = 1,01103 – 1 i = 0,01103 Logo a taxa aparente deve ser de: 0,01103 a.p. ou 1,1% a.p. Exemplo2: Se for adquirida uma letra de câmbio em uma época A e resgatada na época B. O juro aparente recebido foi de 28%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 20%. Temos que: i = 28% a.p = 0,28 a.p e I = 20¨% = 0,2 1 + i = (1 + r).(1 + I)

Então: 1 + 0,28 = (1 + r).(1 + 0,28) r=−12,128,1 r = 0,0666

Logo, a taxa real foi de: 0,0666 ou 6,66%

1 + i = (1 + r).(1 + I)


39

77) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses?

78) Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalente à taxa de : a) 30% a.a. b) 20% a.s. c) 8% a.t. d) 3% a.m. 79) A caderneta de poupança paga juro de 6% ao ano capitalizando trimestralmente.

Qual a taxa efetiva de juro? 80) O capital de $18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados

trimestralmente. Qual o montante? 81) Um investidor aplica $25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B,

a importância de $34.000,00. Calcule: a) a taxa aparente dessa aplicação; b) a taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a

taxa real de juro dessa aplicação, nesse período, foi de 20%. 11. DESCONTO COMPOSTO

Na realidade o desconto ocorre quando saldamos, antecipadamente ao vencimento, um compromisso financeiro. É o que denominamos ABATIMENTO. O desconto composto é empregado para operações em longo prazo, podendo ser de dois tipos: RACIONAL E COMERCIAL. O comercial, na prática, não é muito utilizado, com isso daremos uma atenção maior ao DESCONTO COMPOSTO RACIONAL. Já conhecemos a relação: N = A.(1 + i)n Logo vem que o valor Atual será:

Lembrando que (1 + i)n é o fator de descapitalização. Exemplo1: Determine o valor atual de um título de $900,00, saldado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto (composto) de 2% ao mês. Temos que: N = 900 ; n = 3 me ; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

Então: A = 3)02,01(900+

A = 061208,1900 A = 848,09

Logo, o valor atual do título será de: $848,09 (houve um desconto de $51,90) Exemplo2: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de $1.400,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 30% ao ano, capitalizados semestralmente. Temos que: N = 1400; n = 2 a e 6 meses = 2x2sem + 1 sem = 5 sem


A = niN

)1( +


40

i = 30% a.a. = 0,3 a.a. = ..15,023,0 sa=

Então: A = 5)15,01(1400+

A = 01135,21400 A = 696,05

Logo, o valor atual do título será de: $696,05. Exemplo3: Qual o desconto composto que um título de $6000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? Temos que: N = 6000; n = 3 me ; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.

Então: A = 60,557107689,16000

)025,01(6000

3 ==+

d = N – A d = 6000 – 5571,60 d = 428,40 Logo o valor do desconto é igual a: $428,40. Exemplo4: Um título de valor nominal de $1400,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido?

Temos que: N = 1400; n = 3 meses; i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = ..03,01236,0 ma=

Então: A = 20,1281092727,11400

)03,01(1400

3 ==+

d = N – A d = 1400 – 1281,20 d = 118,80 Logo o valor do desconto é igual a: $118,80

82) Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu $36.954,00 como valor do resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de $3.046,00, qual a taxa de juro mensal adotada?

83) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de $7.000,00, faltante ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3% ao mês.

84) Calcule o valor atual de um título de $40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano.

85) O valor nominal de um título é de $200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente.

86) Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de $6.200,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês.



41

87) Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de $3.800,00, regatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente.

88) A que taxa foi descontada uma dívida de $5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do vencimento, se reduziu a $3.736,00?

89) Por um título de $2.300,00 paguei $2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. De quanto tempo antecipei o pagamento?

11.1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalente, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Assim como foi visto em juro simples. Agora, a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes ao descontos compostos.

Exemplo1: Um título no valor nominal de $8.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 4% ao mês, qual o valor nominal do novo título? Temos que: N’ = 8000; n’ = 5 me ; i’ = 4% a.m. = 0,04 a.m. N = ? ; n = 3 me ; i = 4% a.m = 0,04 a.m. Então, para que exista equivalência, temos: A = A’

35 )04,01('

)04,01( +=

+NN

24864,18000

21665,1=

N N = 7795,04

Logo, o valor nominal do novo título será de $7.795,04. Exemplo2: Um comerciante, devedor de um título de $50.000,00 para 3 anos, deseja restar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. Temos que: N’ = 50000; n’ = 3 anos ; i’ = 40% a.a. = 0,4 a.a. N1 = N ; n1 = 1 ano; i1 = i’ = 0,4 a.a. N2 = N ; n2 = 2 anos; i2 = i’ = 0,4 a.a. Então, para que exista equivalência, temos: A1 + A2 = A’

321 )4,01(50000

)4,01()4,01( +=

++

+NN 0,71429N + 0,51020N = 50000x0,36443

1,22449N = 18221,57435 N = 14880,95 Logo, o valor dos pagamentos é de: $14.880,95.

90) Duas promissórias, uma de $4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de $9.000,00, vencível em 180 dias, deverão ser resgatados por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês?



42

91) Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de $6.000,00 disponível no fim de 4 meses.

92) Qual o valor atual de um título de $15.000,00 resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 6% ao bimestre?

93) Um título de valor nominal de $2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual?

94) Um título de $75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por $67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate.

95) Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a $24.658,00. Calcule o valor da letra.

96) Um industrial toma um empréstimo de $5000.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passando algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3 pagamentos iguais, realizáveis no do 2º, 3º e 4º anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao ano com capitalização semestral.

12. SEQUÊNCIAS DE CAPITAIS Já vimos que forma conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros equivalentes para efeito de comparação. Na prática é comum que esses conjuntos tenham algumas características, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento ou decrescimento, de acordo com certas leis matemáticas. Tais conjuntos são chamados de seqüências de capitais (os capitais tanto podem se referir a pagamentos como recebimentos). No que segue, vamos supor, que o regime é de capitalização composta. 12.1 SEQUÊNCIA UNIFORME Consideremos a seqüência de capitais y1, y2, y3, ..., yn , respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano, etc.) Dizemos que esse conjunto constitui uma seqüência uniforme se: y1 = y2 = y3 = ... = yn = R isto é, se todos os capitais são iguais. Indicando esse capital por R, a representação gráfica da seqüência uniforme seria: Por definição, o valor atual, na data 0, da seqüência uniforme, a uma taxa de juros i na unidade de tempo considerada é dado por:

R R R R

0 1 2 3 ... n


43

V = niR

iR

iR

)1(...

)1()1( 21 +++

++

+ V = R

+++

++

+ niii )1(1...

)1(1

)1(1

21

Observe que os termos entre colchetes, estão numa soma de uma progressão geométrica dos

n primeiros temos, cuja fórmula é dada por: S = 1

)1(1

−−

qqa n

, no caso que estamos

analisando, temos: q = a1 = i+1

1

Então, teríamos: V = R 1

)1(1

1)1(

1)1(

1

−+

−

++

i

ii n

, fazendo as simplificações matemáticas

chegaremos ao seguinte resultado: O fator é chamado fator valor atual e pode ser representado pelo símbolo:

ina

/ , a leitura é feita da seguinte forma: a, n, cantoneira i.

Simplificando a fórmula anterior, ficaria: Exemplo1: Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de $550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual seu preço à vista? Temos que: n = 4 ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. ; R = 550

V = R ii

in

n

)1(1)1(

+−+

ii

in

n

)1(1)1(

+−+

V = Rin

a/

0 1 2 3

550

4

550 550 550

V = Rin

a/


44

Então: V = 550 5/4

a 5/4

a = 545951,305,0.)05,1(1)05,1(

4

4

=−

V = 550 x 3,545951 V = 1.950,27 Logo, o preço à vista será de $1.950,27 Exemplo2: Um automóvel usado é vendido à vista por $30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais (antes de serem corrigidas monetariamente), vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor de cada prestação antes de serem corrigidas. Temos que: V = 30.000; n = 12 ; i = 2% a.m.= 0,02 a.m.

Então: 30000 = R in

a/

2/21

a = 575341,1002,0.)02,1(1)02,1(

12

12

=−

30000 = R x 10,575341 R = 2.836,79 Logo, o valor de cada prestação será de $2.836,79 Exemplo3: Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de $15.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de financiamento for 4% a.m., qual o preço à vista? Temos que: R = 15000; n = 3 ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m.

Então: V = 15000 + 15000 x 4/3

a 4/3

a = 04,0.)04,1(1)04,1(

3

3 − = 2,775091

V = 15000 + 15000 x 2,775091 V = 56626,37 Logo, o preço à vista é $56.626,37 Exemplo3: Uma calculadora é vendida à vista por $160,00 ou a prazo em 4 prestações mensais iguais de $45,49 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a taxa de juros do financiamento? Temos que: V = 160,00; R = 45,49 ; n = 4 Então: 160 = 45,49.

ia

/4

ia

/4 = 3,5173

Logo, a taxa de financiamento é de: 3,5173

0 1 2 3

15 15 15 15


45

12.2 MONTANTE DE UMA SEQUÊNCIA UNIFORME Chamamos de montante da seqüência, na dada n, a soma dos montantes de cada capital R, aplicado desde a data considerada até a data n. Então, temos: M = R(1 + i)n-1 + R(1 + i)n-2 + R(1 + i)n-3 +... + R Observe que o segundo membro dessa expressão é a soma dos termos de uma PG

finita, em que: q = i+1

1 e a1 = R(1 + i)n-1

Temos: S = 1

)1(1

−−

qqa n

Logo:

Exemplo1: Um investidor aplica mensalmente $2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m.. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual o montante no instante do último depósito? Temos que: R = 2000; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.; n = 7

Então: M = (2000) x 434283,7200002,0

1)02,1( 7

x=− M = 14868,57

Logo, o montante será de $ 14.868,57 Exemplo2: No caso do exemplo anterior, qual será o montante se o investidor sacar somente dois meses após o último depósito? Temos que, o último depósito ocorreu no 7º mês, devemos descobrir o montante M’. Então: M’ = M(1 + i)2 M’= 14868,57(1,02)2 M’ = 15468,26 Logo, o montante no 9º mês será de $ 15.468,26

M = Ri

i n 1)1( −+

0 1 2 3

2 2 2 2

4

2 2 2

5 6 7

M


46

97) Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3% a.m., sendo o número de prestações igual a 10 e $1.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra.

98) Um produto é vendido à vista por $40.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% a.m. ?

99) Um aparelho eletrônico é vendido à vista por $6.000,00, mas pode ser financiado à taxa de 2,5% a.m. . Obter o valor de cada prestações nas seguintes condições de financiamento: a) 12 prestações mensais iguais sem entrada; b) 18 prestações mensais iguais sem entrada.

100) Um notebook é vendido por $6.000,00, ou então com 20% de entrada mais 4 prestações e iguais. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros for de 6% a.m. ?

101) Um terreno é vendido à vista por $80.000,00, ou então a prazo em 24 prestações mensais (antes da correção monetária) postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,5% a.m. , pede-se:

a) o valor de cada prestação antes de serem corrigidas; b) o valor das 3 primeiras prestações atualizadas, supondo taxas de

correção de 1,8%. 2% e 1,9% no 1º, 2º e 3º meses, respectivamente. 102) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, $3.500,00 num fundo que

remunera seus depósitos à taxa de 2,1% a.m. . Qual o montante no instante do último depósito?

103) No problema anterior, qual o montante 3 meses após ser efetivado o último depósito?

104) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de investimentos que rende 1,8% a.m. , para que no instante do último depósito tenha um montante de $60.000,00?

105) Tadeu deposita nos meses 1, 2, 3, ..., 25 a quantia de 600 UR numa caderneta de poupança que rende 0,5% a.m. . Supondo que o indexador da UR seja o índice de atualização da poupança, obtenha:

a) o montante no instante do último depósito em UR; b) o montante no instante do último depósito em $, supondo que nessa data

a UR seja equivalente a $175,00; c) o valor do 5º depósito em $, sabendo que nessa data a UR é equivalente

a $82,00.

13. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Freqüentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. Um conceito importante para esse processo é o saldo devedor (ou estado da dívida). Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3, ..., n, na unidade expressa pela taxa de juros (admitindo regime de capitalização composta). Seja P o valor principal (ou capital



47

inicial emprestado). O saldo devedor no instante zero (0) indicado por S0 é o próprio principal P, e o saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t – 1), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. Considerando: St => saldo devedor no instante t; St-1 => saldo devedor no instante (t – 1); i => taxa de juros; Rt => pagamento efetivado no instante t; Jt => juros no período que vai de (t – 1) a t; Então: Graficamente, teríamos:

Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamamos de amortização no instante t (indicada por At) à diferença entre Rt e Jt , teremos: At = Rt – Jt At + Jt = Rt onde: Jt = i.St-1 Comparando as expressões, vem: St = St-1 + Jt – (At + Jt) Logo, Usando essa última relação para: t = 1 S1 = S0 – A1 t = 2 S2 = S1 – A2 t = 3 S3 = S2 – A3 .... ....... t = n Sn = Sn-1 – An

SOMANDO-SE MEMBRO A MEMBRO, OBTEREMOS: S1 + S2 + S3 + ... + Sn = S0 + S1 + S2 + ... + Sn-1 - (A1 + A2 + A3 + ... + An) Tendo em conta que Sn

= 0 e S0 = P , temos: Sn = P – (A1 + A2 + A3 + ... + An) 0= P - (A1 + A2 + A3 + ... + An)

St = St-1 + Jt – Rt

St

St-1 Jt

Rt

St = St-1 - At

P = A1 + A2 + A3 + ... + An


48

A relação nos mostra que, quando os juros são pagos nos instantes 1, 2, 3, ..,.n, a soma das amortizações é igual ao Principal.

Assim, existem várias seqüências de amortizações que têm por soma o principal. É importante observar que o nome prestação é utilizado para representar o pagamento, acrescido de impostos e outros encargos. Desconsiderando-se esses impostos e encargos, a prestação se reduz ao pagamento R, que é igual à soma da amortização com o juro em cada período. Finalmente, damos nome de planilha a um quadro demonstrativo no qual comparecem, em cada instante de tempo, o juro, a amortização, o saldo devedor, a prestação, os impostos e outros encargos. Exemplo1: Um empréstimo de $50.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000; A2 = 10.000 ; A3 = 15.000; A4 = 20.000 Temos que: P = S0 = 50.000 J1 = 50.000(0,05) = 2.500 A1 = 5000 R1 = 5000 + 2500 = 7500 S1 = 50000 – 5000 = 45.000 J2 = 45.000(0,05) = 2.250 A2 = 10000 R2 = 10000 + 2250 = 12250 S2 = 45000 – 10000 = 35.000 J3 = 35.000(0,05) = 1.750 A3 = 15000 R3 = 15000 + 1750 = 16.750 S3 = 35000 – 15000 = 20.000 J4 = 20.000(0,05) = 1000 A4 = 20.000 R4 = 20000 + 1000 = 21.000 S4 = 20000 – 20000 = 0


49

Semestre Saldo Devedor St

Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 50.000 - - - 1 45.000 5.000 2.500 7.500 2 35.000 10.000 2.250 12.250 3 20.000 15.000 1.750 16.750 4 - 20.000 1.000 21.000

Total 50.000 7.500 57.500 Exemplo2: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais são iguais:

Temos que: A1 = A2 = A3 = A4 = 500.124000.50

=

Semestre Saldo Devedor

St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 50.000 - - - 1 37.500 12.500 2.500 15.000 2 25.000 12.500 1.875 14.375 3 12.500 12.500 1.250 13.750 4 - 12.500 625 13.125

Total 50.000 6.250 56.250 Exemplo3: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais e à taxa de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0 e A4 = 50.000


Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 50.000 - - - 1 50.000 - 2.500 2.500 2 50.000 - 2.500 2.500 3 50.000 - 2.500 2.500 4 - 50.000 2.500 52.000

Total 50.000 10.000 60.000 Exemplo4: Um empréstimo de 50.000 UR deve ser pago ao final de 4 semestres, à taxa de 5% a.s.. Contudo, tanto os juros como as amortizações têm dois semestres de carência (isto é, só começam no 3º semestre). Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações do 3º e 4º semestres são iguais. Neste caso, como os juros não são pagos no 1º e 2º semestres, eles são incorporados ao saldo devedor.


50

S0 = 50.000 S1 = 50.000 + 0,05(50.000) = 52.500 S2 = 52.500 + 0,05(52.500) = 55.125

A3 = A4 = 50,562.2721250.55

=


Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 50.000 - - - 1 52.500 - - - 2 55.125 - - - 3 27.562,50 27.562,50 2.756,25 30.318,75 4 - 27.562,50 1.378,13 28.940,63

Total 55.125 4.134,38 59.259,38 106) Um empréstimo de 21.000 UR deve ser pago em 6 prestações semestrais à taxa de 8% a.s., pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, de valores: A1 = 1.000 UR ; A2 = 2.000 UR; A3 = 3.000 UR; A4 = 4.000 UR; A5 = 5.000 UR; A6 = 6.000 UR

107) Resolva o problema anterior, considerando iguais as amortizações. 108) Um empréstimo de 600 mil dólares deve ser pago em 4 prestações trimestrais, à taxa de juros de 4% a.t., pagos trimestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0 109) Um empréstimo de 100 mil dólares deve ser pago ao final de 4 anos e à taxa de 10%

a.a.. Tanto os juros como as amortizações têm 2 anos de carência. Sabendo-se que as amortizações do 3º e 4º anos são iguais, obtenha a planilha.

13.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)

Na prática, um sistema bastante utilizado é o SAC. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas A1, A2, A3, ..., An e supondo pagamento dos juros em todos os períodos, teremos:

(Valor da amortização constante)

Exemplo1: Um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestralmente pelo SAC à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha.

Temos que: A = 1605

800=


A1 = A2 = A3 = ... = An = nP = A


51


St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 800 - - - 1 640 160 32,00 192,00 2 480 160 25,60 185,60 3 320 160 19,20 179,20 4 160 160 12,80 172,80 5 - 160 6,40 166,40

Total 800 96,00 896,00 Exemplo2: Um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, isto é, a primeira parcela só é devida no 3º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha.

Temos que: A = 1605

800=


St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 800 - - - 1 800 - 40,00 40,00 2 800 - 40,00 40,00 3 640 160 40,00 200,00 4 480 160 32,00 192,00 5 320 160 24,00 184,00 6 160 160 16,00 176,00 7 - 160 8,00 168,00

Total 800 200,00 1.000,00 110)Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha. 111) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carência somente para as amortizações. 112) Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de $50.000.000,00. Esse empréstimo dever ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, só que os valores têm de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de liberação do crédito seja $2.500,00. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR), considerando uma taxa de 1% a.m..



52

113) Um empréstimo de 250.000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se:

a) o valor da primeira prestação; b) o valor da segunda prestação; c) o valor da 37ª prestação; d) a soma das 20 primeiras amortizações; e) a soma das 20 primeiras prestações.

114) Um empréstimo de 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, juros, prestação e saldo devedor correspondente ao 21º mês. 115) Um imóvel é vendido por 43.750 UR, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 100 meses com 1,5% a.m. de taxa de juros. Calcule:

a) o valor da primeira e última prestações; b) a soma das 30 primeiras prestações; c) a soma da 36ª até a 65ª prestações (inclusive); d) a soma dos juros pagos até a liquidação do débito.

116) (Concurso Controlador da Arrecadação Federal) Um empréstimo no valor de $2.000.000,00 é concedido à taxa de juros compostos de 10% a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortização contido na prestação paga ao final do 3º ano.

a) $200.000 b) $300.000 c) $400.000 d) $600.000 13.2 SISTEMA FRANCES (OU SISTEMA PRICE)

Apesar do sistema ser dito francês, quem concebeu tal sistema foi o matemático inglês Richard Price, no século XVIII. No século XIX o sistema PRICE foi desenvolvido na França. Nesse sistema as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações). Assim, considerando P o principal a ser amortizado nos instantes 1, 2, 3, ..., n, a uma taxa de juros i (no período), as prestações, sendo constantes, constituem um seqüência uniforme ( na qual cada parcela é indicada por R).

S = 2

).( 1 naa n+

Soma dos n primeiros termos em PA

0 1 2 3 ... n

R R R R


53

Vimos anteriormente que P = R.

ina

/ , podemos ter então:

Por outro lado, os juros J1, J2, ..., Jn formam uma seqüência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) e as amortizações A1, A2, ..., An formam uma seqüência crescente, pois em qualquer instante tem-se: Rt = Jt + At. É importe ressaltar que, quando se utiliza a denominação Tabela Price e o período de pagamentos dos juros não coincide com o período da taxa, é convenção a conversão desta para a taxa do período de capitalização, pelos critérios dos juros simples. Assim, uma taxa de 12% a.a. com pagamentos mensais dos juros, corresponde a uma taxa mensal de 1%

a.m. isto é, 12

%12 .

Exemplo1: Um empréstimo de 900.000 dólares deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha.

Temos que: R = 42,164.202451822,4

000.900000.900

4/5

==a

, onde: 04,0.)04,1(1)04,1(

5

5

4/5

−=a

1º Semestre: Prestação: 202.164,42 Juros: 900.000(0,04) = 36.000,00 Amortização: 202.164,42 – 36.000,00 = 166.164,42 Saldo devedor: 900.000 – 166.164,42 = 733.835,58 2º Semestre: Prestação: 202.164,42 Juros: 733.835,42(0,04) = 29.353,42 Amortização: 202.164,42 – 29.353,42 = 172.811,00 Saldo devedor: 733.835,58 – 172.811,00 = 561.024,58 3º Semestre: Prestação: 202.164,42 Juros: 561.024,58(0,04) = 22.441,00 Amortização: 202.164,42 – 22.441,00 = 179.723,42 Saldo devedor: 561.024,58 – 179.723,42 = 381.301,16 4º Semestre: Prestação: 202.164,42 Juros: 381.301,16(0,04) = 15.252,05 Amortização: 202.164,42 – 15.252,05 = 186.912,37 Saldo devedor: 381.301,16 – 186.912,37 = 194.388,79

R = in

aP

/


54

5º Semestre: Prestação: 202.164,42 Juros: 194.388,79(0,04) = 7.775,55 Amortização: 202.164,42 – 7.775,55 = 194.388,87 Saldo devedor: 194.388,79 – 194.388,87 = -0,08 (observe que esse resultado é devido aos arredondamentos que foram feitos durante todo o processo de cálculo, na realidade o saldo devedor é igual a zero)


Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 900.000,00 - - - 1 733.835,58 166.164,42 36.000,00 202.164,42 2 561.024,58 172.811,00 29.353,42 202.164,42 3 381.301,16 179.723,42 22.441,00 202.164,42 4 194.388,79 186.912,37 15.252,05 202.164,42 5 - 194.388,87 7.775,55 202.164,42

Total 900.000,00 110.822,02 1.010.822,10 13.2.1 CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR NO SISTEMA FRANCÊS

Para calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema francês, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso eliminamos o valor dos contidos nas prestações. Assim, esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor.

Exemplo1: Num empréstimo de $100.000.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 30 meses e à taxa de 2% a.m., qual o saldo devedor no 20º mês? (supondo que seja paga a prestação desse mês.)

Temos que: R = 34,992.464.4396455,22

000.000.100000.000.100

2/30

==a

O saldo devedor no 20º mês é o valor atual da seqüência uniforme das prestações a vencer (10 prestações). S20 = 4.464.992,34 x

2/10a S20 = 4.464.992,34 x 8,982585 = 40.107.173,24

Logo o saldo devedor será de $40.107.173,24.

0 ... 19 20 21 ... 30


55

117) Um banco libera um crédito de 60.000 UR para uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t.. Obtenha a planilha até o 3º trimestre. 118) Um criador de gados adquiriu uma fazenda de $300.000,00 dando 30% de entrada e financiando o restante em 180 meses pelo sistema francês, à taxa de 1% a.m.. Na ocasião da compra, uma UR correspondia a $1.050,00. Obtenha a planilha em UR até o 4º mês. 119) Se no problema anterior, o criador quisesse quitar a dívida após ter pago a 51º prestação, qual o valor adicional a ser desembolsado? 120) (Concurso Controlador da Arrecadação Federal) Um banco financia a importância de $400.000,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é de 10% a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros são capitalizados e incorporados ao capital, construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha, resolva a quentão abaixo:

Se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações, deveria pagar ainda o valor de (desprezar os centavos na resposta). a) $240.904,00 b) $250.908,00 c) $264.995,00 d) $270.843,00

121) Ribeiro comprou um carro, financiando $6.000,00 para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de 3% a.m.. Após pagar 12 prestações resolveu liquidar a dívida. Pergunta-se:

a) Quanto Ribeiro pagou na 12ª prestação? b) Qual foi a parcela de juros pagos na 12ª prestação? c) Qual foi a parcela de amortização paga na 12ª prestação? d) Quanto Ribeiro pagou para liquidar a dívida?

122) (Concurso Fiscal de Contribuições Previdenciárias) Um automóvel, vendido à vista por $15.860,00, pode ser financiado em 24 parcelas iguais e mensais, a juros compostos de 4% a.m., vencendo a primeira prestação no ato da compra. Com base nessas informações, julgue se são verdadeiros ou falsos os itens a seguir:

a) O sistema de amortização que está sendo utilizado para esse financiamento é o sistema de amortização constante (SAC).

b) O saldo devedor, após ser paga a 12ª prestação, corresponde à metade do valor efetivamente financiado.

c) Mais de 50% do valor da segunda prestação corresponde a juros do financiamento.

d) Após pagar a penúltima prestação, o saldo devedor é inferior a $970,00.



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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) a) 9 km/l b) 8 g/cm3 c) 3/10 d) ½ e) 4/15

02) a) 80 b) 7/20 03) 9,4 e 37,6 04) 24 e 36 05) 184, 115 e 256 06) R$140, R$196 e R$252 07) 12, 15 e 18 08) a) não b) sim 09) 0,125 10) x = 15 e y = 7 11) 8, 9 e 2 12) 6, 15 e 21 13) a) sim b) não 14) x = 10 e y = 6 15) 14, 21 e 35 16) 650, 910 e 1430 17) 48, 64 e 72 18) 840 e 960 19) 120, 80 e 60 20) 1.470.000, 980.000 e 420.000 21) 360, 630 e 1200 22) 70, 21 e 84 23) 2000, 1800 e 2250 24) 180, 72 e 40 25) 33, 66 e 264 26) 4000 e 3400 27) 72.000, 90.000 e 108.000 28) 110.700 e 93.480 29) 1710 30) 136.000.000 31) a) 3150 b) 89,5% 32) a) 75% e 25% b) 28,57% c) 21,05% 33) letra A 34) letra C

36) letra B 37) 20% 38) 500 39) 15% 40) 10,71% 41) 50 42) 3.964,78 43) 6.624,00 44) 63.250,00 45) 776,25 46) 340 m de $10,92 o metro e 110 m de $1,32 o metro 47) 172.800 48) 45.000 49) 40% a.a. 50) 0,75% a.m. 51) 2% a.m. 52) 270.000 53) 10 anos 54) 320.000 55) a) 189,00 b) 5.811,00 56) 100,00 57) 7.266,00 58) 2 me e 15 dias 59) 6.660,00 60) 35.750,94 61) 15.658,12 62) 9.237,24 63) 76.489,94 64) 52.192,60 65) 72.000,43 66) 1,26% a.m. 67) 11 me e 4 dias 68) 52.938,84 69) 8.442,00 70) 12.100,72 71) 7.894,02 72) 22.823,04 73) 14.999,90 74) 13 meses 75) 2,5% a.m.

77) 10,67 a.b. 78) a) 2,21% a.m., 6.78% a.t.,14,02% a.s. e 30% a.a. b) 3,08% a.m., 9,54% a.t., 20% a.s. e 44% a.a. c) 2,6% a.m., 8% a.t., 16,64% a.s. e 36,05% a.a. d) 3% a.m., 9,27% a.t., 19,41% a.s. e 42,58% a.a. 79) 6,14% a.a. 80) 26.594,20 81) 13,33% a.p. 82) 2% a.m. 83) 6.406,00 84) 3.153,98 85) 124.549,95 86) 851,83 87) 673,73 88) 6% a.b. 89) 4 me 90) 12.119,76 91) 5.435,70 92) 12.594,29 93) 964,51 94) 3 me7 95) 30.000,23 96) 530.453,06 97) 12.795,30 98) 15.242,10 99) a) 584,92 b) 418,02 100) 1.385,24 101) a) 3.993,93 b) 4.065,82; 4.147,14 e 4.225,93 102) 26.098,67 103) 27.777,67 104) 3.519,95 105) a) 15.935,47 UR b) $2.788.707,25 c) $49.200,00


57

106) Semestre Saldo Devedor

St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 21.000 - - - 1 20.000 1.000 1.680 2.680 2 18.000 2.000 1.600 3.600 3 15.000 3.000 1.440 4.440 4 11.000 4.000 1.200 5.200 5 6.000 5.000 880 5.880 6 - 6.000 480 6.480

Total 21.000 7.280 28.280 107)


Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 21.000 - - - 1 17.500 3.500 1.680 5.180 2 14.000 3.500 1.400 4.900 3 10.500 3.500 1.120 4.620 4 7.000 3.500 840 4.340 5 3.500 3.500 560 4.060 6 - 3.500 280 3.780

Total 21.000 5.880 26.880 108)

Trimestre Saldo Devedor St

Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 600.000 - - - 1 600.000 0 24.000 24.000 2 600.000 0 24.000 24.000 3 600.000 0 24.000 24.000 4 - 600.000 24.000 624.000

Total 600.000 96.000 696.000 109)

Ano Saldo Devedor St

Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 100.000 - - - 1 110.000 - - - 2 121.000 - - - 3 60.500 60.500 12.100 72.600 4 - 60.500 6.500 66.550

Total 121.000 18.150 139.150


58

110) Trimestre Saldo Devedor

St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 120.000 - - - 1 100.000 20.000 6.000 26.000 2 80.000 20.000 5.000 25.000 3 60.000 20.000 4.000 24.000 4 40.000 20.000 3.000 23.000 5 20.000 20.000 2.000 22.000 6 - 20.000 1.000 21.000

Total 120.000 21.000 141.000 111)

Trimestre Saldo Devedor St

Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 120.000 - - - 1 120.000 - 6.000 6.000 2 120.000 - 6.000 6.000 3 100.000 20.000 6.000 26.000 4 80.000 20.000 5.000 25.000 5 60.000 20.000 4.000 24.000 6 40.000 20.000 3.000 23.000 7 20.000 20.000 2.000 22.000 8 - 20.000 1.000 21.000

Total 120.000 33.000 153.000 112)

Mês Saldo Devedor St

Amortização At

Juros Jt

Prestações Rt

0 20.000 - - - 1 19.500 500 200 700 2 19.000 500 195 695 3 18.500 500 190 690 4 18.000 500 185 685

113) a) 10.000 b) 9.900 c) 6.400 d) 100.000 e) 181.000

114) Saldo devedor: 19.000 UR

Amortização: 1.000 UR

Juros: 400 UR

Prestação: 1.400 UR

115) a) 875 e 355,25 UR b) 23.966,25 UR c) 18.453,75 UR d) 26.512,50 UR


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116) Letra C

117) Trimestre Saldo Devedor

St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 60.000,00 - - - 1 58.368,93 1.631,07 3.600,00 5.231,07 2 56.640,00 1.728,93 3.502,14 5.231,07 3 54.807,33 1.832,67 3.398,40 5.231,07

118) Mês Saldo Devedor

St Amortização

At Juros

Jt Prestações

Rt 0 228,57 - - - 1 228,12 0,45 2,29 2,74 2 227,66 0,46 2,28 2,74 3 227,19 0,47 2,27 2,74 4 226,69 0,47 2,27 2,74

119) 198,09 UR

120) Letra C

121) a) 354,28 b) 180,00 c) 174,28 d) 3.528,50

122) a) Falso b) Falso c) Verdeiro d) Verdeiro


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APÊNDICE – USO DA CALCULADORA HP-12C 1 – JUROS SIMPLES: para calcular juros simples utilizando as teclas financeiras da calculadora em questão, vamos trabalhar com as seguintes funções:

PV Capital inicial n Tempo (em dias) i Taxa de juros, expressa em percentagem (ao ano)

f i Valor dos juros simples Exemplo1: calcule os juros e o montante de um capital de $200.000,00 aplicado por 90 dias, a juros simples, a taxa de 60% ao ano.

200000 CHS PV 90 n 60 i f i 30.000,00 + 230.000,00

Exemplo2: calcule os juros e o montante de um capital de $20.000,00 aplicado por 45 dias, a juros simples, a taxa de 4% ao mês. Nesse caso, devemos transformar a taxa ao ano: 4 x 12 = 48 % a.a.

20000 CHS PV 45 n 48 i f i 1.200,00 + 21.200,00

2 – JUROS COMPOSTOS: para calcular juros compostos utilizando as teclas financeiras da calculadora em questão, vamos trabalhar com as seguintes funções:

PV Capital inicial (Valor Presente) n Tempo i Taxa de juros

FV Valor do Montante (Valor Futuro)


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Exemplo1: Calcule o valor do Montante de um capital de $500.000,00 durante 6 meses a taxa de 2,3% ao mês.

500000 CHS PV 6 n

2.3 i FV 573.091,28

Exemplo2: Calcule o valor do Montante de um capital de $23.000,00 durante 8 meses a taxa de 1,5% ao mês.

23000 CHS PV 8 n

1.5 i FV 25.909,32

Exemplo3: Calcule a taxa de rentabilidade de uma aplicação de $40.000,00 que gerou um Montante de $48.000,00 durante 4 meses.

40000 CHS PV 48000 FV

4 n i 4,6 %a.m.

Observação1: não esqueça antes de armazenar os dados do problema nas teclas financeiras de verificar se a unidade de tempo é a mesma da taxa “i”. Se não for, compatibilize o período à taxa. Para trabalhar com períodos fracionários, devemos usar as teclas STO e EEX, aparecera no visor à letra C, indicando que a máquina está pronta para períodos inteiros ou fracionários. Obeservação2: o resultado na HP-12C para o prazo é sempre um número inteiro. Exemplo: Calcule o período uma aplicação de $800.000,00 que gerou um Montante de $1.425.661,26 à taxa de 26% ao mês.

800000 CHS PV 1425661.26 FV

26 i N 3,00

Na realidade se fosse usada a fórmula: n = )1log(

loglogi

PVFV+

− , teríamos como

resposta n = 2,5 meses.


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3 – CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO: Exemplo1: Calcule o valor $ 100.000,00, daqui a 3, 7 e 12 meses, para a taxa de 1,9% a.m.

100000 CHS PV 1,9 i 3 n

FV 105.808,98 Para os demais prazos, basta mudar o período (não há necessidade de se digitar novamente o valor e a taxa), veja:

7 n FV 114.082,56

12 n FV 125.340,15

Exemplo2: Sabendo-se que em 12.11.1995 você tem $ 150.000,00, que aplicado em 17.03.1995,a taxa de 0,5% a.d., calcule:

a) o valor da aplicação inicial (em 17.03.95) b) o montante em 15.02.96. Esse problema consiste em dois casos. O primeiro é descapitalizar 240 dias e o segundo é capitalizar 95 dias. Para tanto primeiramente vamos proceder da seguinte forma: 1º) o capital inicial PV será o valor atual $ 150.000,00; 2º) para a descapitalização, como se refere a uma data passada, o prazo n será negativo: -240 dias; 3º) para a capitalização, como se refere a uma data futura, o prazo n será positivo: 95 dias; 4º) a taxa i, na forma percentual, será: 0,5% ao dia; a) vamos descapitalizar:

150000 PV 0.5 i 240 CHS n FV -45.314,42

Encontrou o capital inicial ou montante em 17.03.95


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b) agora vamos capitalizar: 95 n FV -240.916,82

4 – SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS E DE DESEMBOLSOS Quando as entradas ou as saídas destinam-se ao pagamento de uma dívida, chamam-se séries de pagamentos. Quando se destinam a constituir um capital futuro, tomam o nome de séries de desembolso. É comum fazermos compras, utilizando o termo “com entrada” ou “sem entrada”. As séries sem entrada chamam-se postecipadas. Já as séries com entrada são conhecidas como antecipadas. Na calculadora HP-12C temos as teclas combinadas: g 8 : (END) postecipada g 7 : (BEGIN) antecipada Exemplo1: Compramos na loja Bom de Bico um carro em quatro prestações iguais de $ 6.240,00. Sabendo-se que os juros do mercado são aproximadamente 6% a.m., qual o preço do carro à vista? Como não foi especificado se era com ou sem entrada, vamos fazer das duas formas: 1º) Série antecipada – com entrada

g 7 BEGIN 6240 PMT

6 i 4 n

PV -22.956,32 2º) Série postecipada – sem entrada

g 8 END 6240 PMT

6 i 4 n

PV -21.656,91 Exemplo2: Calcule o montante que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de $ 4.000,00, mensalmente, à taxa de 2,2% a.m. Neste caso utilizaremos os registros n, i, PMT e FV. O registro PV deve estar limpo, caso contrário o valor que estiver armazenado irá interferir nos cálculos.


64

1º) Desembolso antecipado

g 7 BEGIN 4000 CHS PMT 2,2 i 4 n

FV 16.899,57 2º) Desembolso postecipado

g 8 END 4000 CHS PMT 2,2 i 4 n

FV 16.535,79 Exemplo3: Quanto uma pessoa tem que depositar, a partir de hoje, mensalmente, durante 11 meses, para acumular $ 2.500,00, considerando-se uma taxa de 3,20% a.m.?

g 7 BEGIN 2500 FV 3,2 i 11 n

PMT -187,20

5 - SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS COM PARCELA COMPLEMENTAR: É formada por uma série de pagamentos iguais e mais uma parcela complementar no final do último período. Os períodos são homogêneos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.). Exemplo1: Qual o preço à vista de uma máquina fotográfica que está sendo vendida em 4 parcelas de $120,00, mais um pagamento adicional de $162,71 no fim do último período, se a taxa de juros usada pela loja é de 2,5% a.m.?

g 7 BEGIN 120 PMT

162,71 FV 2.5 i 4 n

PV -610,13


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2º) Série postecipada – sem entrada

g 8 END 120 PMT

162,71 FV 2.5 i 4 n

PV -598,84

Observação: o pagamento balão (FV) é particularmente útil na repactuação de dívidas. Veja que muitos dos clientes possuem fluxos de receitas com sazonalidade – receitas maiores em determinados meses. Como por exemplo: as lojas de brinquedos nos meses de outubro e dezembro; hotéis nos meses de janeiro, fevereiro e julho; assalariados no mês de dezembro (13º salário); etc.

6 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Será apresentada uma planilha de amortização feita pelo Sistema Price. Exemplo1: O valor do financiamento é de $ 600.000,00, à taxa de 37% a.a., para ser pago em três parcelas. Para elaborar a planilha de pagamento, adotamos os seguintes procedimentos na calculadora HP-12C:

g 8 END COMENTÁRIO 600000 CHS PV Valor presente (valor financiado no período zero)

37 i Taxa de juros, na forma percentual 3 n Número de prestações

PMT 363.279,52 Valor das prestações 1 n f n 222.000,00 Valor dos juros do primeiro período

x ≤ y 141.279,52 Valor da amortização do capital do 1º per. RCL PV -458.720,48 Saldo devedor do primeiro período 1 n f n 169.726,58 Valor dos juros do segundo período

x ≤ y 193.552,94 Valor da amortização do capital do 2º per. RCL PV -265.167,54 Saldo devedor do segundo período 1 n f n 98.111,99 Valor dos juros do terceiro período

x ≤ y 265.167,53 Valor da amortização do capital do 3º per. RCL PV -0,01 Saldo devedor residual do terceiro período

Observação: após o comando PMT, os comandos 1 n f n, x ≤ y e RCL PV, entrarão num looping até que o valor de PV seja zero ou muito próximo de zero.


66

01) CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercia e Financeira Fácil.São

Paulo, Saraiva, 1999. 02) EHRLICH, P.J. Engenharia econômica. 3ª ed. São Paulo, Atlas, 1983. 03) PILÃO, Nivaldo Elias. Matemática Financeira e Engenharia Econômica.

São Paulo, Pioneira Thomson Learning, 2003. 04) SIZO, Ruy. Matemática Financeira: com uso da HP-12C e do MS-

Excel.Belém – Pará, GTR, 2002. 05) WWW.FGV.COM.BR 06) WWW.IMPA.COM.BR 07) WWW.SOMATEMATICA.COM.BR 08) ZIMA, P. & BROWN, R.L. Fundamentos de matemática financeira, São

Paulo, McGraw-Hill, 1985. 09) WWW.UFRJ.COM.BR

10) WWW.UNICAMP.COM.BR

BIBLIOGRAFIAS

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