Matemática Financeira - Professor Hubert … Mat... · Web viewMatemática Financeira Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr. [email protected] Todos os direitos reservados ao programa

MBA em Gerenciamento de Projetos

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof. Hubert Chamone Gesser, [email protected]

Todos os direitos reservados ao programa CANDIDO MENDES MASTER

GESSER, Hubert Chamone.Matemática Financeira. 1ª ed. Florianópolis; MBA

em Gerenciamento de Projetos. 24p.

Bibliografia

1. Financeira 2. Administração I. Título

i

Sumário

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1

1.1 EMENTA 11.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 11.3 OBJETIVOS 11.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 11.5 METODOLOGIA 21.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 21.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 2CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR 3

2. TEXTO PARA ESTUDO 4

2.1 INTRODUÇÃO 42.2 DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA 42.3 TAXAS DE JUROS 62.4. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 82.5. DESCONTOS 122.6. ANUIDADES 142.7. AMORTIZAÇÃO 152.8. PAYBACK 162.9. VALOR PRESENTE LÍQUIDO 182.10. VALOR FUTURO LÍQUIDO 202.11. VALOR UNITORME LÍQUIDO 212.12. TAXA INTERNA DE RETORNO 212.13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 23

3. Material Complementar 24

ii

1. Programa da disciplina

1.1 Ementa Objetivos e aplicações da matemática financeira. Conceitos e conveções. Fluxo de caixa. Unidade de medida da taxa de juros. Juros simples. Juros compostos. Operações de desconto. Séries de pagamentos. Sistemas de amortização de dívidas. Princípios de avaliação de investimentos.:

1.2 Carga horária total24 horas/aula.

1.3 Objetivos

Desenvolver o raciocínio lógico matemático estruturado por meio de abordagem financeira. Compreender a aplicabilidade dos instrumentos da matemática financeira para a gestão de negócios e/ou análise das tendências do mercado financeiro.

1.4 Conteúdo programático

Vale a pena lembrar que o conteúdo programático é o detalhamento da ementa. Veja o exemplo a seguir. Compare-o com o exemplo de ementa que lhe foi oferecido.

Diagramas de Fluxo de Caixa (DFC)

- Representação do Problema financeiro;- Componentes do DFC;- Entradas e saídas de caixa.

Taxas de Juros - Taxa proporcional e Taxa equivalente;- Taxa Nominal e Taxa efetiva.

O Valor do Dinheiro no - Inflação;Matemática Financeira

1

Tempo - Taxa Real e Taxa de desvalorização da moeda;- Juros simples e Juros compostos;- Valor presente e valor futuro.

Descontos - Os tipos de descontos bancários e racionais- Cálculos em operações de descontos

Anuidades - Classificação das séries de pagamentos;- Séries uniformes antecipadas e postecipadas;- Cálculos com séries de pagamentos uniformes.

Amortização - Os sistemas de amortização;- Método SAC (Sistema de Amortização Constante);- Método Price (Prestações Constantes);- Método Americano (Juros Constantes);- Cálculos com planilha eletrônica.

Técnicas de Análise de Investimentos

- Payback Simples e Descontado;- VPL (Valor Presente Líquido);- VFL (Valor Futuro Líquido);- VUL (Valor Uniforme Líquido);- TIR (Taxa Interna de Retorno);- Cálculos em planilha eletrônica.

1.5 Metodologia

Aulas expositivas com estudos de casos e resolução de exercícios.

1.6 Critérios de avaliação. 40% referentes às atividades em equipe realizadas em sala de aula;. 60% referentes à avaliação individual, sob a forma de prova, a ser realizada após o término da disciplina.

1.7 Bibliografia recomendada

ALBERTON, A.; DACOL, S. HP12-C Passo a Passo. 3.ed. Florianópolis: Bookstore, 2006.

BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. A Matemática das Finanças: com aplicações na HP-12C e Excel. Série desvendando as finanças. 1.ed. São Paulo: Atlas, v.1., 2003.

Matemática Financeira

2

BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. As Decisões de Investimentos com aplicações na HP-12C e Excel. Série desvendando as finanças. 1.ed. São Paulo: Atlas, v.2., 20037

GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 11.ed. São Paulo: Harbra, 2006.

GUERRA, F. Matemática Financeira através da HP-12C. 3.ed. Florianópolis: UFSC, 2003.

HOJI, M. Administração Financeira: Uma abordagem prática. 5.ed. São Paulo: Atlas, 2005.

Currículo resumido do professor

Hubert Chamone Gesser é Doutor e Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC e Administrador pela Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC/ESAG. Sua experiência profissional inclui a Coordenação dos cursos de graduação em Administração da Faculdade Decisão e da Faculdade Estácio de Sá de Santa Catarina, docência em disciplinas de Estatística e Finanças Empresariais em cursos de graduação e de Pós-graduação, bem como consultorias em análise estatística de bancos de dados.


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2. Matemática Financeira

A Matemática Financeira tem o propósito de estudar o valor do dinheiro no tempo auxiliando o processo de tomada de decisões financeiras no ambiente empresarial.

2.1 Introdução Para facilitar a compreensão do leitor, esse texto foi segmentado nas seções expostas a seguir:

2.2 Diagramas de Fluxo de Caixa A matemática financeira se preocupa com duas variáveis: o dinheiro e o tempo.

Princípios da matemática financeira: - Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma data;- Operações algébricas só podem ser executadas com valores referenciados na

mesma data.

Conceito de Diagrama de Fluxo de Caixa:

É um desenho esquemático que facilita a representação das operações financeiras e

a identificação das variáveis relevantes.

No Diagrama de fluxo de caixa temos:

Escala temporal, Marcações temporais, Seta para cima e Setas para baixo.

Escala Horizontal à representa o tempo (meses, dias, anos, etc.) Marcações Temporais à posições relativas das datas (de “zero” a n) Setas para Cima à entradas ou recebimentos de dinheiro (sinal positivo) Setas para Baixo à saídas de dinheiro ou pagamentos (sinal negativo)


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Os componentes do DFC são:- Valor Presente à capital inicial (P, C, VP, PV – present value)- Valor Futuro à montante (F, M, S, VF, FV – future value)- Taxa de Juros à custo de oportunidade do dinheiro (i - interest rate)- Tempo à período de capitalização (n – number of periods)- Prestação à anuidades, séries, pagamentos (A, R, PMT – payment)

Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica numa reta,

dos períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se certa

taxa de juros i.

Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção:

Dinheiro recebido: seta para cima Dinheiro pago: seta para baixo

Exemplo:

Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:


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O diagrama da figura anterior representa um projeto que envolve investimento

inicial de $800, pagamento de $200 no terceiro ano, e que produz receitas de $500 no

primeiro ano, $200 no segundo, $700 no quarto e $200 no quinto ano.

Convenção: dinheiro recebido flecha para cima valor positivo dinheiro pago flecha para baixo valor negativo

2.3 Taxas de Juros

As taxas de Juros Proporcionais:

Com juros simples as taxas proporcionais são também equivalentes.Com juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.

ik = r / k

Qual é a taxa mensal proporcional para 60% a.a.?60% a.a. à ik = r / k = 60 / 12 = 5% a.m.

Qual é a taxa bimestral proporcional para 30% a.a.?30% a.a. à ik = r / k = 30 / 6 = 5% a.b.

As taxas de Juros Equivalentes:

São as que, referidas a períodos de tempo diferentes e aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzem juros iguais e, consequentemente, montantes iguais.

- Qual é a taxa anual equivalente para 5% a.m. (juros compostos)? 5% a.m. à 79,58% a.a.

(Taxa Equivalente ≠ Taxa Proporcional)

- Qual é a taxa anual equivalente para 5% a.m. (juros simples)? 5% a.m. à 60% a.a.

(Taxa Equivalente = Taxa Proporcional)

Exemplos de Taxas de Juros Equivalentes:

TAXA MENSAL TAXA SEMESTRAL TAXA ANUAL1% a.m. 6,15% a.s. 12,68% a.a5% a.m. 34,01% a.s. 79,59% a.a.10% a.m. 77,16% a.s. 213,84% a.a.15% a.m. 131,31% a.s. 435,03% a.a.


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IMPORTANTE: Cálculos de Taxas Equivalentes na Calculadora Financeira HP12c:Com o programa abaixo é possível fazer cálculos de taxas equivalentes na Hp12c

Taxas de Juros Nominais

Refere-se aquela definida a um período de tempo diferente do definido para a capitalização.

Exemplo: 24% ao ano capitalizado mensalmente

ANO MÊS

24% a.a. capitalizado mensalmente = 2% a.m. capitalizado mensalmente 24% a.a. capitalizado mensalmente = 26,82% a.a. capitalizado anualmente Taxa Nominal Taxa Efetiva

Taxas de Juros Efetivas

Refere-se aquela definida a um período de tempo igual ao definido para a capitalização. Associada aquela taxa que efetivamente será utilizada para o cálculo dos juros.

Exemplo: 26,82% ao ano capitalizado anualmente

ANO ANO


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24% a.a. capitalizado mensalmente = 26,82% a.a. capitalizado anualmente Taxa Nominal Taxa Efetiva

Comparando os Juros Comerciais e os Juros Exatos

JUROS COMERCIAIS (válido para o ano comercial) 1 mês sempre tem 30 dias

1 ano sempre tem 360 dias

JUROS EXATOS (válido para o ano do calendário)1 mês pode ter 28, 29, 30 ou 31 dias1 ano pode ter 365 dias ou 366 dias (ano bissexto)

- Exemplo: De 10 de março até o último dia de maio teremos:JUROS COMERCIAIS (80 Dias) JUROS EXATOS (82 Dias)

20 dias em Março 21 dias em Março30 dias em Abril 30 dias em Abril30 dias em Maio 31 dias em Maio

Importante Princípio da Matemática Financeira:

2.4 O Valor do Dinheiro no Tempo

O Dinheiro tem um custo associado ao tempo, pois um valor monetário de $1000,00 hoje tem um poder de compra diferente daqui a 1 ano. Esse fenômeno ocorre em virtude da perda do valor aquisitivo da moeda ao longo do tempo – Inflação.

O processo inflacionário altera a relação salário, consumo e poupança, promovendo um deslocamento da renda que a torna mais concentrada, os seja, há um aumento no quadro


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de injustiça social e que pode ser mensurado por indicadores socioeconômicos como o coeficiente de Gini (coeficiente que varia de zero a um e que mede a concentração de renda de uma localidade).

Toda taxa de juros de uma aplicação financeira tem incluída a correção monetária, assim, quando se deseja conhecer a rentabilidade real do investimento deve-se retirar o efeito da inflação. A equação abaixo tem esse propósito:

1 + i real = (1 + i efet ) / (1 + i infl )

i real = Taxa de Juros Real no Períodoi efet = Taxa de Juros Efetiva no Período

i infl = Taxa de Juros da Inflação no Período

EXEMPLO: Um capital foi aplicado, por um ano, a uma taxa de juros igual a 22% ao ano. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 12% a.a. Qual é a taxa real de juros?

1 + i real = (1 + i efet ) / (1 + i infl ) 1 + i real = ( 1 + 0,22 ) / ( 1 + 0,12 )

i real = ( 1,22 / 1,12 ) – 1 i real = 0,0893 = 8,93% a.a.

A forma como a inflação reduz o valor da moeda pode ser mensurado pela seguinte equação:

TDM = i infl / ( 1 + i infl )

Onde: TDM = Taxa de desvalorização da moeda i infl = Taxa de inflação

Exemplo: Se tivermos uma taxa de inflação de 80% em um ano, quanto a moeda terá se desvalorizado neste mesmo ano?

TDM = i infl / ( 1 + i infl ) TDM = 0,80 / ( 1 + 0,80)

TDM = 0,444444 Logo, a moeda terá se desvalorizado em 44,4444%

No regime de capitalização dos juros simples a taxa incide somente sobre o capital inicial, ou seja, sobre o valor da aplicação inicial. Assim sendo, em uma aplicação de $1000 a taxa de 10% ao período em 4 períodos renderão juros de $100 em cada período, totalizando $400.


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Esse tipo de capitalização só deve ser empregado no curto prazo e em países de economia estável. Sendo que seu emprego se dá em virtude da facilidade de cálculo, quando comparado aos juros compostos.

O quadro abaixo demonstra a evolução de uma aplicação de $1000 com juros simples de 10% ao período.Período Saldo Inicial Juros Saldo Final

1 $1000 $100 $11002 $1100 $100 $12003 $1200 $100 $13004 $1300 $100 $1400

Equações empregadas com juros simples:

Onde: J = JurosP = Principal (Capital inicial ou valor presente)i = Taxa de jurosn = Período de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa de jurosF = Valor futuro

Exemplo de cálculo com juros simples:

Calcular o montante de um capital de $100.000, aplicado por seis meses, à taxa de juros simples de 2% a.m.

J = 100.000 x 0,02 x 6 = $12.000 F = 100.000 + 12.000 = $ 112.000

No regime de capitalização composta, a taxa incide sobre o capital inicial e sobre os juros acumulados, ou seja, é o popularmente conhecido “juros sobre juros”. Assim sendo, em uma aplicação de $1000 a taxa de 10% ao período em 4 períodos renderão juros superiores aos obtidos no regime de juros simples

Esse tipo de capitalização é a mais usual no mercado financeiro e é a que deve merecer maior atenção nos cálculos.

O quadro a seguir demonstra a evolução de uma aplicação de $1000 com juros simples de 10% ao período.


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Período Saldo Inicial Juros Saldo Final

1 $1000 $100 $11002 $1100 $110 $12103 $1210 $121 $13314 $1331 $133,10 $1464,10

Equações empregadas com Juros Compostos:

Onde: J = Juros

P = Principal (Capital inicial ou valor presente)i = Taxa de jurosn = Período de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa de jurosF = Valor futuro

Exemplo de cálculo com juros compostos:

Calcular o montante de um capital de $100.000, aplicado por seis meses, à taxa de juros compostos de 2% a.m.

F = 100.000 x (1+0,02)6 = $ 112.616,24

IMPORTANTE: Lembre-se que antes do primeiro período de capitalização os juros simples dão um montante maior do que os juros compostos. Os juros simples crescem linearmente e os juros compostos crescem exponencialmente.

Exercícios com juros compostos:

1) Uma empresa aplica $ 300.000 em um fundo de investimento a uma taxa de 12% a.a. Qual será o montante (valor futuro) daqui a 5 anos? Resposta: F = $ 528.702,5050

2) A empresa Alfa tem uma dívida de $ 350.000 a ser paga daqui a seis meses. Quanto a empresa deverá pagar sabendo-se que no contrato constava a taxa de juros de 5% ao mês? Resposta: F = $ 469.033,4742

3) Quanto deve ser aplicado hoje, em um fundo de investimento (i = 0,02 ao mês), para que daqui a 24 meses se tenha um montante de $ 220.000? Resposta: P = $ 136.778,7273


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2.5 Descontos É o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso, ou seja, DESCONTO É O ABATIMENTO FEITO no valor nominal de uma dívida, quando ela é negociada antes de seu vencimento.

Valor Nominal - Desconto = Valor Atual

Tipos de descontos:

DRS = Desconto Racional SimplesDBS = Desconto Bancário SimplesDRC = Desconto Racional CompostoDBC = Desconto Bancário Composto

Siglas utilizadas nas fórmulas com descontos:

Vn = Valor nominal Va = Valor atual

id = Taxa de desconto nd = Período do desconto

- DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO”

Não é muito usado no Brasil É mais interessante para quem solicita o desconto

DRS = (Vn . id . nd) / (1 + id . nd) ou DRS = Va . id . nd

- DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA”

Muito usado nas operações comerciais e bancárias

É mais interessante para quem empresta o dinheiro (Banco)

DBS = Vn . id . nd

- DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU “POR DENTRO”

Conceito teoricamente correto, mas não utilizado.

DRC = Vn . ( 1 – ( 1 / (1 + id )nd ))

- DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO OU COMERCIAL OU “POR FORA”

Conceito sem fundamentação teórica, mas utilizado no mercado financeiro.

DBC = Vn . ( 1 – ( 1 – id )nd )


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Cálculos com operações de desconto:

DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO”

Um valor nominal de $25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual é o desconto racional simples?

DADOS: Vn = $25.000,00 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês DRS = ?

DRS = (Vn . id . nd) / (1 + id . nd)

DRS = (25000 . 0,025 . 2) / (1 + 0,025 . 2)

DRS = $1.190,4761

O título será pago no valor de $23.809,5239 ($25000,00 - $1190,4761)

DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES, COMERCIAL OU “POR FORA”

Um título de valor nominal de $25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual é o desconto bancário simples?

DADOS: Vn = $25.000,00 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês DBS = ?

DBS = Vn . id . nd

DBS = 25000 . 0,025 . 2

DBS = $1.250,00

O título será pago no valor de $23.750,00 ($25000,00 - $1250,00)

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU “POR DENTRO”

Um valor nominal de $25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual é o desconto racional composto?

DADOS: Vn = $25.000,00 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês DRC = ?

DRC = Vn . ( 1 – ( 1 / (1 + id ) nd ))

DRC = 25000 . ( 1 – ( 1 / (1 + 0,025) 2))

DRC = $1204,6401

O título será pago no valor de $23795,3599 ( $25000 – $1204,6401 )

DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO OU “POR FORA”

Um valor nominal de $25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual é o desconto bancário composto?


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DADOS: Vn = $25.000,00 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês DBC = ?

DBC = Vn . ( 1 – (1 - id ) nd )) DBC = 25000 . ( 1 – (1 - 0,025) 2)) DBC = $1234,3750

O título será pago no valor de $23765,6250 ( $25000 – $1234,3750 )

2.6 Anuidades

Corresponde a toda e qualquer sequencia de entradas ou saídas de caixa com o objetivo de amortizar uma dívida ou de capitalizar um montante.

Classificação das séries de pagamentos:

1) Quanto ao Tempo:- Temporária (pagamentos ou recebimentos por tempo determinado)- Infinita (os pagamentos ou recebimentos se perpetuam – ad eternum)

2) Quanto à Periodicidade:- Periódica (intervalo de tempo iguais ou constantes)- Não Periódica (intervalos de tempo variáveis ou irregulares)

3) Quanto ao Valor das Prestações:- Fixos ou Uniformes (todos os valores são iguais)- Variáveis (os valores variam, são distintos)

4) Quanto ao Momento dos Pagamentos:- Antecipadas (o 1o pagamento ou recebimento está no momento “zero”)- Postecipadas (as prestações ocorrem no final dos períodos)

Cálculos com série uniformes (com prestações constantes):

1) Calcular o valor de um produto a ser quitado através de seis pagamentos mensais de $1800,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,2% a.m. a taxa de juros negociada na operação.


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Comparando os tipos de Descontos:

DRS à Valor atual = $23.809,5239 à Maior Valor Atual DBS à Valor atual = $23.750,0000 à Menor Valor Atual DRC à Valor atual = $23.795,3599 DBC à Valor atual = $23.765,6250

Dados: P = ? n = 6 meses i = 3,2% a.m. A = $1800,00 Série PostecipadaResolução na HP-12C à f REG g End 6 n 3,2 i 1800 CHS PMT PV

Resposta: $9.686,6366

2) Calcular o valor de uma mercadoria a ser quitada através de seis pagamentos mensais de $1500,00, vencendo a primeira parcela no ato da liberação dos recursos, sendo de 4,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.

Dados: P = ? n = 6 meses i = 4,5% a.m. A = $1500,00 Série Antecipada

Resolução na HP-12C à f REG g BEGIN 6 n 4,5 i 1500 CHS PMT PV Resposta: $8.084,9651

2.7 Amortização

Quando um empréstimo é realizado/contraído, o tomador de recursos (pessoa física/jurídica) e o emprestador de recursos (normalmente Banco) combinam de que forma o empréstimo será pago (os recursos devolvidos).

Existem várias formas de amortização/pagamento:

SAC – Sistema de Amortização Constante;

Prestações Constantes ou Método Francês (Price);

Sistema Americano.

Sistema SAC (Amortização Constante)

Características:- A amortização é CONSTANTE (uniforme);- Os juros incidem sobre o saldo devedor (decai com o tempo);- O valor da prestação é decrescente (decai com o tempo).

Exemplo para um empréstimo de $60.000 com taxa de juros de 10% ao mês, durante 3 meses:

n Saldo Devedor Inicial

Juros Amortização Prestação Saldo Devedor Final

1 $60.000 ($6.000) ($20.000) ($26.000) $40.0002 $40.000 ($4.000) ($20.000) ($24.000) $20.0003 $20.000 ($2.000) ($20.000) ($22.000) -


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Sistema de Prestações Constantes (Price)

Características:- A amortização é crescente (aumenta com o tempo);- Os juros incidem sobre o saldo devedor (decai com o tempo);- O valor da prestação é CONSTANTE (uniforme).




1 $60.000,00 ($6.000.00) ($18.126,89) ($24.126,89) $41.783,112 $41.783,11 ($4.187,31) ($19,939,58) ($24.126,89) $21.933,533 $21.933,53 ($2.193,35) ($21.933,53) ($24.126,89) -

Sistema Americano

Características:- A amortização é paga no final (com a última prestação);- Os juros são CONSTANTES (uniformes);- O valor da última prestação difere das demais.




1 $60.000,00 ($6.000.00) - ($6.000.00) ($60.000.00)2 $60.000,00 ($6.000.00) - ($6.000.00) ($60.000.00)3 $60.000,00 ($6.000.00) ($60.000) ($66.000.00) -

2.8 Payback

Payback é o período de tempo necessário para que as entradas de caixa do projeto

se igualem ao valor a ser investido, ou seja, o tempo de recuperação do investimento

realizado.

Se levarmos em consideração que quanto maior o horizonte temporal, maiores são

as incertezas, é natural que as empresas procurem diminuir seus riscos optando por

projetos que tenham um retorno do capital dentro de um período de tempo razoável.


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Chama-se Payback Descontado é o período de tempo necessário para recuperar o

investimento, avaliando-se os fluxos de caixa descontados, ou seja, considerando o valor

do dinheiro no tempo.

O método payback, apesar de ser um método não exato, auxilia no descobrimento

do tempo necessário para se recuperar o capital investido em um projeto, porém é

importante fazer uma combinação dos métodos do valor presente líquido e da taxa interna

de retorno que serão vistos adiante.

.

A técnica de payback identifica o período de tempo necessário para recuperar o

custo do capital por meio das entradas de caixa produzidas pelo investimento, assim o

projeto escolhido entre as alternativas disponíveis será aquele que proporcionará a

recuperação mais rápida dos recursos desembolsados para a sua implantação, ou seja,

quanto mais rápido o período de payback, mais desejável é o investimento.

Payback é o tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o ganho acumulado se iguala ao valor desse investimento.

O payback pode ser:

Simples ou nominal, se calculado com base no fluxo de caixa com valores nominais, e

Descontado, se calculado com base no fluxo de caixa com valores trazidos ao valor presente líquido.

A decisão em se rejeitar ou em aceitar um projeto de investimentos é realizada

comparando-se o payback calculado com o tempo considerado como mínimo para a

recuperação do capital investido.

Critérios de tomada de decisão pela técnica do Payback Se o Período de Payback for menor que o período definido como o

máximo para o projeto se pagar devemos aprovar o projeto. Se o Período de Payback for maior que o período definido como o

máximo para o projeto se pagar devemos descartar o projeto.


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2.9 Valor Presente Líquido

O valor presente líquido (VPL), geralmente representado pelas iniciais VPL ou

VAL de valor atual líquido, ou ainda NPV, do inglês, Net Present Value, resulta da adição

de todos os fluxos de caixa na data zero.

O valor presente líquido de um projeto de investimento é igual ao valor presente de

suas entradas de caixa menos o valor presente de suas saídas de caixa. Para cálculo do

valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a Taxa Mínima de Atratividade

(TMA) como taxa de desconto. O valor presente líquido calculado para um projeto

significa o somatório do valor presente das parcelas periódicas de lucro econômico gerado

ao longo da vida útil desse projeto. O lucro econômico pode ser definido como a diferença

entre a receita periódica e o custo operacional periódico acrescido do custo de

oportunidade periódico do investimento.

Para o cálculo do VPL devemos trazer todos os fluxos financeiros para uma data

comum (que por costume é a data zero, ou seja, o presente). A fórmula a seguir traz os

valores futuros para os valores presentes:

Valor Presente = Valor Futuro

( 1 + taxa ) Prazo

Considerando uma taxa de juros arbitrária de 2% ao mês para um investimento de

$1000 que iria gerar entradas de caixa sequenciais de $300, $300, $350, $450, $100, $100

e $250 para os próximos meses, teríamos o seguinte quadro com os valores presentes e

saldos de caixa.


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VFValor Futuro

NPrazo em Meses

VPValor Presente

Saldo do Fluxo de Caixa

-1000 0 -1000 -1000300 1 294,11 -705,89300 2 288,35 -417,54-350 3 -329,81 -747,35450 4 415,73 -331,62-100 5 -90,57 -422,19-100 6 -88,79 -510,98250 7 217,64 -293,34

Podemos ver que a soma dessas operações (todas trazidas à data zero) fez com que

o saldo desse um valor negativo. A soma de todos esses fluxos trazidos a uma data comum

é chamada de Valor Presente Líquido. O Valor Presente Líquido nesse caso é de -293,34,

ou seja, a pessoa que efetuou essas operações gasta mais do que arrecada, ainda que as

operações tenham sido feitas em épocas distintas.

A Fórmula Geral então para o cálculo do VPL então seria:

VPL = Valor 1 + Valor 2 + Valor 3 + Valor 4 + ... + Valor n

(1+i1)1 + (1+i2)2 + (1+i3)3 + (1+i4)4 + + (1+in)n

Logo:

Onde:C0 é o fluxo de caixa feito na data zero. (Que no caso acima era de -1000)

Cn é o fluxo de caixa feito no período n

n é o número do período em que foi feito determinado fluxo

i é a taxa de juros corrente ao período n


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Critérios de tomada de decisão na Técnica do VPL Maior do que zero: significa que o investimento é economicamente atrativo,

pois o valor presente das entradas de caixa é maior do que o valor presente das saídas de caixa.

Igual a zero: o investimento é indiferente, pois o valor presente das entradas de caixa é igual ao valor presente das saídas de caixa.

Menor do que zero: indica que o investimento não é economicamente atrativo porque o valor presente das entradas de caixa é menor do que o valor presente das saídas de caixa.

2.10 Valor Futuro Líquido

De forma similar ao VPL, o VFL posiciona todos os fluxos numa mesma data, obtendo

um valor líquido do investimento inicial. Porém ao invés de trazer os fluxos para a data

zero (presente), como no caso do VPL, o método do valor futuro líquido carrega todos

os fluxos de caixa para a data terminal n.

A figura a seguir ilustra a transformação de todos os valores de um fluxo de

caixa para um único valor futuro líquido.

2.11 Valor Uniforme Líquido


20

VFL

0 1 2 3 4

i%

Diagrama de Fluxo de Caixa do VFL

O método do valor uniforme líquido (VUL), similar ao VPL e ao VFL, converte

todo o fluxo de caixa do Projeto numa série de capitais iguais e postecipados entre as datas

1 e n. Sua grande vantagem em relação aos outros dois métodos seria a de facilitar a

comparação com projetos com durações diferentes. Por exemplo, seria melhor aplicar em

um projeto com dez anos de duração e VPL igual a $8.000,00 ou em um projeto de 4 anos

de duração com VPL igual a $5.000,00? Por meio do cálculo do valor uniforme líquido

seria mais fácil responder a pergunta desse tipo.

A técnica do VUL transforma o diagrama de fluxo de caixa em uma série de

valores distribuídos uniformemente conforme pode ser visualizado na figura a seguir.

2.12 Taxa Interna de Retorno

A TIR é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao

valor ao presente das saídas de caixa do investimento. Isso quer dizer que a TIR é a taxa

que "zera" o seu investimento. É uma taxa tal que se utilizada fará com que o lucro do seu

projeto seja nulo ou VPL = 0.

Vamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é calculada. Suponha que a

empresa WYS necessita investir R$30.000.000,00 para obter fluxos futuros de

R$11.000.000,00, R$12.100.000,00 e R$13.310.000 ao longo de três anos.


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VUL

0 1 2 3 4 5

i%

Diagrama de Fluxo de Caixa do VUL

Vejamos agora como seria calculada a TIR.

Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação. Para que seja

calculada a TIR devemos considerar que Valor Presente (VP) seja igual a zero. Se VP for

igual a zero a única resposta seria 0,1. Concluímos a taxa interna de retorno do projeto é

de 10% ao ano.

Se Substituirmos i por 0,1. Teremos que VP = -30.000.000 + 10.000.000 +

10.000.000 + 10.000.000. O Valor Presente, portanto será igual a zero.

Critérios de tomadas de decisões pela técnica da TIR

Através dos cálculos chegamos a seguinte conclusão:

Se a taxa de retorno for maior que a taxa de juros do mercado, é rentável fazer o investimento.

Se a taxa de retorno for menor que a taxa de juros do mercado, não é rentável fazer o investimento.

Quando a taxa de retorno se equivale à taxa de juros do mercado, o investimento é indiferente, pois a rentabilidade é nula.

2.13 Referências bibliográficas

ALBERTON, A.; DACOL, S. HP12-C Passo a Passo. 3.ed. Florianópolis: Bookstore, 2006.


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BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. A Matemática das Finanças: com aplicações na HP-12C e Excel. Série desvendando as finanças. 1.ed. São Paulo: Atlas, v.1., 2003.

BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. As Decisões de Investimentos com aplicações na HP-12C e Excel. Série desvendando as finanças. 1.ed. São Paulo: Atlas, v.2., 20037

GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 11.ed. São Paulo: Harbra, 2006.

GUERRA, F. Matemática Financeira através da HP-12C. 3.ed. Florianópolis: UFSC, 2003.

HOJI, M. Administração Financeira: Uma abordagem prática. 5.ed. São Paulo: Atlas, 2005.


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3. Material ComplementarOs slides em Microsoft Power Point e a planilha de Cálculos Financeiros em Microsoft Excel podem ser obtidos por meio de download no site:

http://profhubert.yolasite.com/pós-graduação.php


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