Curso mat financeira

JOÃO CANDIDO PEREIRA DE CASTRO NETO

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

CURITIBA – PR

2002

Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: [email protected] http://www.fesppr.br/~candido

i

ÍNDICE

ÍNDICE........................................................................................................................................... I

LISTA DE TABELAS ................................................................................................................... III

1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................1

2 PERCENTAGENS..................................................................................................................2

2.1 ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SOBRE PREÇOS INICIAIS E FINAIS .................................................2

2.2 ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS ...........................................................................6

3 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................10

3.1 O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA .........................................................................................10

3.2 AS TAXAS DE JUROS.......................................................................................................11

3.3 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA .......................................................................................12

4 O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES........................................................................13

4.1 JUROS SIMPLES .............................................................................................................13

4.2 MONTANTE SIMPLES .......................................................................................................14

4.3 TAXAS ..........................................................................................................................15

4.4 DESCONTOS SIMPLES .....................................................................................................15

4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial.................................................................16

4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial............................................................................17

5 O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................19

5.1 MONTANTE E JUROS DE UM ÚNICO PAGAMENTO ...................................................................19

5.2 DESCONTO ...................................................................................................................20

5.3 TAXAS DE JUROS COMPOSTOS ..........................................................................................20

5.4 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES............................................................................20

5.5 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS.............................................................................................21

5.6 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO MISTA.....................................................................................22

5.7 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA..................................................................................23

6 SÉRIES UNIFORMES..........................................................................................................26

6.1 CLASSIFICAÇÃO, ELEMENTOS E CÁLCULOS ..........................................................................26

6.2 SÉRIES ANTECIPADAS .....................................................................................................26

6.3 SÉRIES IMEDIATAS ..........................................................................................................28

6.4 SÉRIES DIFERIDAS..........................................................................................................29

6.5 SÉRIES GRADIENTES ......................................................................................................30

6.6 DECOMPOSIÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA 32


ii

7 SISTEMAS DE FINANCIAMENTO.......................................................................................33

7.1 SISTEMA DO MONTANTE ..................................................................................................34

7.2 SISTEMA DO JURO ANTECIPADO (DESCONTOS) ...................................................................34

7.3 SISTEMA FRANCÊS OU SISTEMA PRICE...............................................................................35

7.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES .........................................................................36

8 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO ..........................39

8.1 MÉTODOS DE ANÁLISE ....................................................................................................40

8.1.1 Método do Custo Anual .........................................................................................40

8.1.2 Método do Valor Presente Líquido .........................................................................45

8.1.3 Método da Taxa Interna de Retorno.......................................................................50

8.2 CLASSIFICAÇÃO DE ALTERNATIVAS ....................................................................................53

8.2.1 Alternativas Singulares...........................................................................................53

8.2.2 Alternativas Múltiplas .............................................................................................53

8.2.3 Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes ......................................................54

ANEXOS......................................................................................................................................55

BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................................62


iii

LISTA DE TABELAS

VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO .................................................................................56

VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO .....................................................................................57

VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA......................................................58

VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA..........................................................59

FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA .........................................60

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS ..............................................................61

1


1. Introdução

Tornou-se lugar comum afirmar que, no Brasil, a grande maioria das

empresas fecha suas portas ao final dos cinco primeiros anos de operação e parece

ser consenso entre professores, consultores e administradores que as dificuldades

na obtenção e administração do capital de giro respondem pela quase totalidade

dessas baixas.

Sabe-se, também, que a maior parte do tempo destinado à administração

das empresas brasileiras é dedicada à administração financeira. De fato, o ambiente

econômico e financeiro nacional não perdoa os amadores. Altos níveis de

concentração de renda, taxas de juros estratosféricas e carga tributária extorsiva

constituem entraves seriíssimos à atividade econômica que tornam o dia a dia da

gestão empresarial um desafio gigantesco.

Nesse contexto, o conhecimento da matemática comercial e financeira,

mais que nunca, é fundamental para a administração nas mais diversas áreas.

Do cálculo das comissões de vendas, à avaliação de projetos alternativos

de investimento, buscou-se, neste trabalho, apresentar as poderosas ferramentas

da matemática comercial e financeira com uma preocupação permanente com a

linguagem acessível e com a sua utilidade prática. Sempre que possível, buscou-se

utilizar uma nomenclatura idêntica à das calculadoras financeiras, de modo a

facilitar a compreensão e o uso daqueles instrumentos.

Nos anexos apresentam-se tabelas de índices que têm o objetivo de

possibilitar cálculos rápidos para algumas taxas e prazos e, ainda, uma tabela

prática para cálculo de prazos entre datas.

Espera-se oferecer um instrumento de aprendizado e consulta que possa

auxiliar nossos alunos e treinandos na ampliação e consolidação de seus

conhecimentos e na sua evolução profissional.

2


2. Percentagens

Uma percentagem é um número relativo, que pode ser utilizado para

comparar grandezas de qualquer espécie: volume, área, peso, etc.

A percentagem (r) representa parte (p) de uma grandeza que foi dividida

em cem unidades, que chamamos de principal (P).

Fazendo uma regra de três, temos:

iPpr

PrP

pr

pP ×=�×=×=�=100100100

Onde i é uma taxa e é igual à percentagem dividida por cem:

100

ri =

Exemplo: Calcular 8% de 560.

Comentário: Podemos calcular utilizando a percentagem ou a taxa.

8,4408,0560

8,44100

8560

=×=

=×=

p

ou

p

2.1 Acréscimos e abatimentos

O valor resultante de um acréscimo é chamado de valor bruto (B) e é igual

ao principal mais a parte que foi acrescida.

pPB +=

Nós já vimos que a parte é igual ao principal multiplicado pela taxa:

iPp ×=

Substituindo na equação anterior, temos:

)1( iPB

ou

iPPB

+×=

×+=

Da mesma forma, ao fazermos um abatimento, o valor resultante é o valor

líquido (L), que é igual ao principal menos a parte que foi abatida.

3


pPL −=

Como:

iPp ×=

Substituindo na equação anterior:

)1( iPL

ou

iPPL

−×=

×−=

2.2 Operações com mercadorias

Nos acréscimos como nos abatimentos, podemos considerar como

principal tanto o preço inicial (Po), que é o preço antes da operação ou preço de

custo, como o preço final (Pn) que é o preço depois da operação ou preço de venda.

Isso costuma gerar muita confusão, pois um mesmo acréscimo ou

abatimento pode ser representado por duas percentagens, uma calculada "sobre" o

preço inicial e outra calculada "sobre" o preço final.

Assim, se o principal é o preço inicial, o que é mais comum, em um

acréscimo o preço final é um valor bruto igual ao preço inicial mais o acréscimo:

)1()1( 00 iPPiPB n +×=�+×=

Em um abatimento, o preço final é um valor líquido igual ao preço inicial

menos o abatimento:

)1()1( 00 iPPiPL n −×=�−×=

Porém, em certas ocasiões como no cálculo do ICMS, por exemplo, o

principal é o preço final, isto é, o cálculo é feito sobre o preço que já inclui a

operação. Nesse caso, em um acréscimo, o preço inicial é um valor líquido igual ao

preço final menos o acréscimo:

)1()1( 0 nn iPPiPL −×=�−×=

ou

)1(0

nn i

PP

−=

Em um abatimento, o preço inicial é um valor bruto igual ao preço final

mais o abatimento:

4


)1()1( 0 nn iPPiPB +×=�+×=

ou

)1(0

nn i

PP

+=

5


EXERCÍCIOS 1) Quanto é 8% de 1.253.897,33? 2) Quanto por cento 1.200 é de 8.000? 3) 1.000,00 são 3% de quanto? 4) A cotação da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variação percentual? 5) A saca de café passou de US$ 40,00 para US$ 30,00. Qual foi a variação percentual? 6) A saca de café passou de R$ 75,00 para R$ 100,00. Qual foi a variação percentual? 7) O preço de venda de certa mercadoria representa um acréscimo de 15% sobre o preço de custo de R$ 5.800,00. Qual é o preço de venda? 8) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e representa um acréscimo de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 9) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00, o que inclui uma margem que representa 25% desse preço de venda. Calcule o preço de custo. 10) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que permite vendê-la com uma margem que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda. 11) Uma mercadoria que custou R$ 12.000,00 foi vendida por R$ 16.000,00. Qual foi a margem sobre o preço de custo? Qual sobre o de venda? 12) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e resulta de um abatimento de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 13) Uma mercadoria custou R$ 9.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Calcular o preço de venda. 14) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00 e resulta de um desconto de 25% sobre a venda. Calcule o preço de custo. 15) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda. RESPOSTAS: 1) 100.311,79 2) 15% 3) 33.333,33 4) 2,15% 5) - 25% 6) 33,33% 7) R$ 6.670,00 8) R$ 1.200,00 9) R$ 5.025,00 10) R$ 10.000,00 11) 33,33% e 25% 12) R$ 2.000,00 13) R$ 6.300,00 14) R$ 8.375,00 15) R$ 6.666,67

6


2.3 Acréscimos e abatimentos sucessivos

Os acréscimos e abatimentos podem ser feitos de forma sucessiva. Isso

quer dizer que, em uma série de Operações, cada operação é realizada de forma

acumulada, "sobre" o resultado da operação anterior. Dessa forma, o bruto de cada

acréscimo ou o líquido de cada abatimento passa a ser o principal da operação

seguinte.

Vamos imaginar uma série de acréscimos feitos de forma sucessiva, a

partir de um principal. O bruto do primeiro acréscimo seria calculado por:

)1( 11 iPB +×=

O do segundo, por:

)1()1()1( 21212 iiPiBB +×+×=+×=

O terceiro, por:

)1()1()1()1( 321323 iiiPiBB +×+×+×=+×=

E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de acréscimos,

poderíamos escrever que:

)1(...)1()1( 21 nn iiiPB +××+×+×=

E se fossem vários acréscimos iguais, teríamos:

nnn iPBiiiPB )1()1(...)1()1( +×=�+××+×+×=

Como esses acréscimos são realizados sobre principais diferentes, o

acréscimo total é sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma das

taxas. Isto nos leva à busca de uma taxa única que corresponda à aplicação de

diversas taxas de forma sucessiva. Assim, o valor bruto produzido por essa taxa

única de acréscimos (iua) será igual ao valor bruto produzido pelas diversas taxas de

acréscimos sucessivos:

nu BB =

sendo:

)1(...)1()1()1( 21 nnuau iiiPBeiPB +××+×+×=+×=

assim,

7


)1(...)1()1()1( 21 nua iiiPiP +××+×+×=+×

)1(...)1()1(1 21 nua iiii +××+×+=+

e, finalmente:

1)1(...)1()1( 21 −+××+×+= nua iiii

Se fossem vários acréscimos iguais, teríamos:

1)1(1)1(...)1()1( −+=�−+××+×+= nuaua iiiiii

Vamos imaginar, agora, uma série de abatimentos feitos de forma

sucessiva, a partir de um principal. O líquido do primeiro abatimento seria:

)1( 11 iPL −×=

O do segundo, por:

)1()1()1( 21212 iiPiLL −×−×=−×=

O terceiro, por:

)1()1()1()1( 321323 iiiPiLL −×−×−×=−×=

E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de abatimentos,

poderíamos escrever que:

)1(...)1()1( 21 nn iiiPL −××−×−×=

E se fossem vários abatimentos iguais, teríamos:

nnn iPLiiiPL )1()1(...)1()1( −×=�−××−×−×=

Como os abatimentos sucessivos resultam em um abatimento total

diferente da (menor que a) soma das taxas de abatimento, podemos calcular a taxa

única que corresponde à aplicação de diversas taxas de abatimento sucessivas. O

valor líquido produzido por essa taxa única de abatimentos, ou taxa única de

descontos (iud) será igual ao valor líquido produzido pelas diversas taxas de

abatimentos sucessivos:

nu LL =

sendo:

)1( udu iPL −×=

e

)1(...)1()1( 21 nn iiiPL −××−×−×=

8


Assim,

)1(...)1()1()1( 21 nud iiiPiP −××−×−×=−×

)1(...)1()1(1 21 nud iiii −××−×−=−

1)1(...)1()1( 21 −−××−×−=− nud iiii

E, finalmente:

)1(...)1()1(1 21 nud iiii −××−×−−=

E, se fossem vários abatimentos iguais, teríamos:

nudud iiiiii )1(1)1(...)1()1(1 −−=�−××−×−−=

9


EXERCÍCIOS 1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 1.200,00 por unidade e que sofre os acréscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%. 2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, os acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.000,00. 3) Calcular o valor líquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, os abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 100.000,00. 4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.000,00 após sofrer os abatimentos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%. 5) Qual a taxa única que corresponde aos acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 6) Qual a taxa única que corresponde aos abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 7) Uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 15.000,00 sofre, de forma sucessiva, os acréscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preço final a R$ 21.024,36. Qual a percentagem do o último acréscimo? 8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.000,00, obtive os descontos de 15%, 20% e um terceiro. Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preço da etiqueta de R$ 42.016,81. Qual a percentagem do último desconto? 9) O acréscimo total de 27,63% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas? 10) O abatimento total de 22,62% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas? RESPOSTAS: 1) R$ 1.388,65 2) R$ 94.108,79 3) R$ 58.140,00 4) R$ 165.343,92 5) 59,39% 6) 41,86% 7) 20,00% 8) 30,00% 9) 5,00% 10) 5,00%

10


3. Fundamentos da Matemática Financeira

3.1 O Princípio da Equivalência

O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da

equivalência. O princípio da equivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda

de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados

econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambiente não

inflacionário. A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia,

situada em época futura, que tenha o mesmo significado econômico, o mesmo valor,

que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV)

equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar

que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia

conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente

equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto.

A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela

correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o

aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entre elas podemos

citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros

fatores de produção, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores

de produção, os juros correspondem à remuneração do fator capital, da mesma

forma, por exemplo, que os salários remuneram o fator trabalho. Outra teoria é a do

preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que

diz que um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem

futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem

presente, os juros compensariam essa diferença. Assim, o Valor Futuro é o

resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma de juros:

jPVFV +=

11


3.2 As Taxas de Juros

O nível de preços dos bens e serviços é função de sua escassez. Da

mesma maneira que as forças de oferta e demanda determinam o preço dos bens e

serviços, as forças de oferta de fundos e a procura de crédito determinam o preço

do crédito que é representado pela taxa de juros. Na verdade, essas forças de

mercado determinam o nível (i0) da taxa de juros pura (ip), correspondente a uma

situação de virtual equilíbrio de mercado decorrente da quantidade (Q0) de recursos

demandados (Q).

O mercado adiciona, a essa taxa pura, um conjunto de outras taxas

(spread) que visam cobrir impostos (IOF), comissões (flat) e custos de

intermediação financeira e uma taxa correspondente à remuneração do fator risco

(iρρρρ), que é variável e visa remunerar o risco específico daquele tipo de operação. O

resultado é a taxa real (ir) de juros, que corresponde ao custo real das operações

financeiras. Assim, a taxa real é:

ir = ip + IOF + flat + custos + iρ

D S

ip

io

Q0 Q

12


À taxa real pode, então, ser acumulada a expectativa de inflação (iηηηη) para

constituir a taxa efetiva (ie) de juros, como a seguir:

ie = (1 + ir) . (1 + iη) - 1

Observe que a taxa de inflação acumula-se à taxa real de juros, como nos

acréscimos sucessivos (2.3), para formar a taxa efetiva. Não basta, portanto,

somar a taxa de inflação à taxa de juros, pois os juros incidem sobre o capital já

corrigido monetariamente, i. e., já compensado pelo desgaste da inflação.

3.3 Diagrama de Fluxos de Caixa

O Diagrama de Fluxos de Caixa (DFC) é a representação gráfica das

operações financeiras. Como o valor de um fluxo de caixa (pagamento ou

recebimento) é função do tempo, necessita ser representado em uma escala

cronológica que o situe exatamente na época de sua ocorrência. Assim, o DFC é

constituído de um segmento de reta graduado de forma a representar os intervalos

de tempo entre os fluxos. Estes são representados por vetores verticais orientados

para cima (recebimentos - fluxos positivos) ou para baixo (pagamentos - fluxos

ip + flat + IOF + custos

ir

ir0

ρ0 ρ

iρ

13


negativos) com origem na escala cronológica, na graduação correspondente à

época de ocorrência. Um Diagrama de Fluxos de Caixa pode ter o seguinte aspecto:

4. O Regime de Capitalização Simples

4.1 Juros Simples

Juro é o prêmio que se paga pela utilização de um capital por certo tempo.

A capitalização simples é um regime de cálculo de juros (j) em que estes

são definidos, em cada período, como uma parte de um mesmo principal. Este

principal é o capital (C) da operação financeira. Os juros são, então, obtidos pela

aplicação de uma percentagem ou taxa, a taxa de juros (i) sobre este principal.

Como sabemos,

p = P . i

Logo,

j = C . i

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

200 200 100 100 100 50 100 100 150 200

14


Para obter o total de juros produzidos em certo número de períodos (n),

fazemos:

j = C . i . n

Exemplo: Calcular os juros simples do capital de R$ 1000,00, a 15% a.a.,

em cinco meses.

Comentário: Para todo o cálculo financeiro, é fundamental que o prazo e a

taxa de juros estejam se referindo ao mesmo período de capitalização. No exemplo

acima, temos uma taxa ao ano (a.a.) e um prazo expresso em meses. No entanto,

esse prazo pode ser expresso como uma fração do período de capitalização anual:

100 . .

50,15 . . 1000.0,15.

125

5 $62,5012

C j C i n

i a a j

n me a j R

= =

= =

= = =

4.2 Montante Simples

Montante Simples (M) é o resultado da soma do capital com os juros.

Portanto,

M = C + j

Como vimos anteriormente,

j = C . i . n

Logo,

M = C + C. i. n

ou

M = C . ( 1 + i . n)

Exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 700,00, a 10% a.me.,

em 6 meses.

15


Comentário: Nesse caso, a taxa e o prazo já se referem ao mesmo período

de capitalização (um mês). Podemos, portanto, aplicar a fórmula diretamente:

700 .(1 . )

0,10 . . 700.(1 0,10.6)

6 $1.120,00

C M C i n

i a me M

n me M R

= = += = += =

4.3 Taxas

As taxas de juros podem ser classificadas em proporcionais e

equivalentes.

Taxas proporcionais são aquelas que se relacionam com os prazos a que

se referem formando uma proporção. Assim, a taxa de 24% ao ano é proporcional a

12 % ao semestre, a 2% ao mês, etc.

Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo resultado quando

aplicadas pelo mesmo prazo. No Regime de Capitalização Simples, as taxas

proporcionais são equivalentes.

Assim, se aplicarmos um capital a 5% ao mês durante dois anos, iremos

obter a mesma quantidade de juros que obteríamos aplicando por dois anos esse

capital a 10 % ao bimestre, a 30% ao semestre ou a 60% ao ano.

A matemática financeira utiliza duas convenções para contagem do prazo

das operações financeiras (período financeiro): o ano comercial, com 360 dias e,

portanto, 12 meses com 30 dias cada, e o ano civil, com 365 ou 366 dias quando

bissexto e com os 12 meses com a respectiva quantidade de dias. Em geral, quando

o contrato não especifica se é juro comercial ou juro civil, utiliza-se a convenção

comercial por maior facilidade. No entanto, quando o contrato especifica o contrário,

ou quando o prazo é estabelecido entre duas datas, utiliza-se o ano civil. Para a

contagem de dias entre duas datas, ver a Tabela nº 4.2 - p.59 .

4.4 Descontos Simples

A operação de desconto é inversa à da capitalização e consiste em se

determinar um Valor Presente equivalente a um determinado Valor Futuro. Em

termos práticos, as operações de desconto são realizadas com os títulos de crédito

que são os instrumentos de crédito que possuem garantia legal (duplicatas, notas

16


promissórias, etc.). Possuindo garantia legal, esses títulos podem ser negociados

livremente, antes de sua data de vencimento. Assim, um título de crédito pode ser

convertido em dinheiro ou substituído por outro(s) título(s) anteriormente à data

prevista para sua liquidação. A conversão é feita pelo Valor Atual (An) ou Valor

Presente do título, que corresponde ao Valor de Face, Valor Nominal (N) ou Valor

Futuro do título, menos o desconto (d) que é a compensação em valor pela

antecipação do resgate do título.

O Regime de Capitalização Simples utiliza duas formas de cálculo para o

desconto: o Desconto Simples Comercial e o Desconto Simples Racional. Como

apenas a modalidade comercial é praticada, ainda que sua utilização seja restrita a

operações de curto prazo, nos ateremos ao seu estudo.

4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial

O Desconto Simples Comercial (dc), também chamado Desconto Simples

"Por Fora", equivale aos juros simples calculados sobre o Valor Nominal (F) do

título. Da fórmula dos juros simples:

j = C . i . n

Tiramos, substituindo j por dc e C por N,

dc = N . i . n

Exemplo: Calcular o desconto comercial de um título de R$ 500,00,

descontado 27 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 5% ao mês.

Comentário: Como o prazo não está em uma unidade de tempo compatível

com o período de capitalização da taxa, é necessário expressá-lo em função dessa

nova unidade de tempo.

500 . .

270,05 . . 500.0,05.

3027

27 $22,5030

c

c

c

N d N i n

i a me d

n d me d R

= =

= =

= = =

17


4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial

O Valor Atual é o valor pelo qual o título é resgatado ou negociado antes

do seu vencimento e corresponde à diferença entre o Valor Nominal e o Desconto:

Anc = N - dc

Porém, como

dc = N . i . n,

podemos escrever:

Anc = N - N . i . n => Anc = N (1 - i . n)

Exemplo: Calcular o Valor de Resgate de um título de R$ 1100,00, 25 dias

antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 8% a.me.

Comentário: O exemplo não especifica a modalidade de desconto simples

utilizada. Sendo assim, como norma, utilizamos o desconto comercial.

1100 (1 . )

250,08 . . 1100.(1 0,08. )

3025

25 $1.026,6730

c

c

c

N An N i n

i a me An

n d me An R

= = −

= = −

= = =

18


EXERCÍCIOS 1) Calcular os juros simples do capital de R$ 1.000,00 durante 19 dias 16% ao mês. 2) Calcular o montante a juros simples do capital de R$ 2.500,00, durante 23 dias, a 14% ao mês. 3) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00 a 20% a.a. produzirá juros simples de R$ 1.500,00? 4) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 2.500,00 a 10% ao ano produzirá o montante a juros simples de R$3.250,00? 5) Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em Letras de Câmbio no dia 15 de janeiro de 1995 e, ao resgatá-las no dia 16 de março do mesmo ano, recebeu R$ 320.500,00. Quanto recebeu de juros? Que taxa mensal remunerou seu capital nesse período? 6) Um empresário pediu um empréstimo de R$ 25.000,00 a uma instituição financeira, por certo período. Na liberação do empréstimo, pagou antecipadamente, como previa o contrato, 22% de juros. Qual o valor pago de juros? Qual a quantia efetivamente liberada? Considerando a quantia liberada como empréstimo, qual foi a taxa efetiva de juros? 7) Um título foi descontado, 47 dias antes de seu vencimento, à taxa de 7% a.me., por R$ 4.451,67. Calcular o Valor Nominal do título. 8) Uma nota promissória de R$ 7.500,00 foi resgatada, dois meses antes de seu vencimento, por R$ 5.250,00. Calcular a taxa de desconto. 9) Uma empresa descontou em um banco, no dia 26 de maio, três títulos de R$ 20.000,00; R$ 15.000,00 e R$35.000,00, vencíveis, respectivamente, em 27 de junho, 28 de julho e 24 de agosto do mesmo ano. Calcule o valor atual utilizando a taxa de desconto de 15% a.me. 10) Uma empresa devedora de três títulos de R$ 2.000,00; R$ 1.500,00 e R$ 3.000,00, vencíveis em 32, 63 e 90 dias, respectivamente, propõe ao banco credor substituí-los por dois outros, de mesmo valor nominal, para 40 e 75 dias. Calcule o valor nominal desses títulos a uma taxa de desconto de 15% ao mês. RESPOSTAS: 1) R$ 101,33 2) R$ 268,33 3) 1a6me 4) 3a 5) R$ 70 500,00; 14,10% a.me. 6) R$ 5.500,00; R$ 19.500,00; 28,21% 7) R$ 5.000,00 8) 15% a.me. 9) R$ 46.325,00 10) R$ 3.057,89

19


5. O Regime de Capitalização Composta

5.1 Montante e juros de um único pagamento

No Regime de Capitalização Composta, os juros são sempre calculados

sobre o valor bruto do período anterior. Ao contrário do que ocorre no Regime de

Capitalização Simples, no qual temos sempre o mesmo principal, neste regime o

principal muda a cada período de capitalização. O principal é sempre o Montante ou

Valor Futuro (FV) do período anterior.

É claro que para o primeiro período não temos montante do período

anterior. Assim, os juros compostos do primeiro período são iguais aos juros

simples, se usarmos a mesma taxa e o mesmo capital e, claro, o montante também

é o mesmo.

Partindo de um certo Capital Inicial (PV), os juros do primeiro período

seriam, como em juros simples:

j = PV . i

e o montante seria:

FV1 = PV . (1 + i . 1) = PV . (1 + i)

O montante do segundo período seria:

FV2 = FV1 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i)2

O montante do terceiro período seria:

FV3 = FV2 . (1 + i) = PV . (1 + i)2 . (1 + i) = PV . (1 + i)3

E assim por diante, o que nos permite generalizar assim:

FV = PV. (1 + i)n

(Ver Tabela 2 - p.64)

20


Ao trabalhar com juros compostos, é mais simples obter o montante e

depois subtrair o capital inicial para obter o valor dos juros. Assim:

j = FV - PV

j = PV . (1 + i)n - PV

e, finalmente,

j = PV . [(1 + i)n - 1]

5.2 Desconto

O desconto é a operação inversa da capitalização. Enquanto a operação

de capitalização agrega, a cada período, os juros ao capital inicial ou Valor

Presente para produzir o montante ou Valor Futuro, a operação de desconto retira,

a cada período, os juros de um determinado Valor Futuro para produzir o Valor

Presente daquele período.

Usando a fórmula do montante, basta isolarmos no primeiro membro o

Valor Presente:

FV = PV . (1 + I)n => PV = FV . (1 + i)-n

(Ver Tabela 1 - p. 63)

5.3 Taxas de juros compostos

5.4 Taxas proporcionais e equivalentes

A exemplo do que vimos em juros simples, as taxas podem ser

classificadas em proporcionais e equivalentes. Porém, ao contrário do que ocorre

nos juros simples, no Regime de Capitalização Composta as taxas proporcionais

não são equivalentes. Isso ocorre porque, nesse regime, os juros não são

calculados sempre sobre o mesmo principal, mas sim sobre o montante do período

anterior. Como as taxas incidem, a cada período, sobre um principal diferente, a

taxa equivalente ao fim de um certo número de períodos não pode ser

simplesmente o resultado do produto da taxa ao período pelo número de períodos,

como uma taxa proporcional.

21


Usando a fórmula do valor futuro e um valor presente igual a um, vamos

imaginar uma taxa (iq) que produza, no mesmo prazo, o mesmo montante em um

número de períodos (1/q) que outra taxa (i t) produziria em outro número de períodos

(1/t). As fórmulas ficariam assim:

FV = PV. (1 + iq)1/q

FV = PV . (1 + it)1/t

Como ambas dão como resultado o mesmo FV, podemos igualá-las:

PV . (1 + iq)1/q = PV . (1 + it)

1/t

e, simplificando PV, temos:

(1 + iq)1/q = (1 + it)

1/t

1 + iq = (1 + it)q/t

iq = (1 + i t)q/t - 1

Para facilidade de aplicação, podemos ler esta fórmula desta forma pouco

ortodoxa: "A taxa que queremos (iq) é igual a 1 mais a taxa que temos (i t), elevado

ao número de capitalizações que queremos (q), em um certo prazo, dividido pelo

número de capitalizações que temos (t), no mesmo prazo, menos 1." P. Ex. calcular

a taxa anual equivalente a 2% a.m..

it = 2% a.m. (a taxa que temos)

t = 1 (número de capitalizações que temos – 1 mês)

q = 12 (número de capitalizações que queremos – 12 meses)

iq = (1 + it)q/t – 1

iq = (1 + 0,02)12/1 – 1

iq = 1,0212 – 1

iq = 1,2682 – 1

iq = 0,2682 = 26,82% a.a.

5.5 Taxas nominais e efetivas

É comum que os contratos financeiros apresentem a taxa de juros relativa

a um período de tempo (geralmente ao ano), chamado de período financeiro, mas

22


que os cálculos considerem a incidência dos juros em um período diferente

(geralmente ao mês), chamado de período de capitalização. O cálculo, nesses

casos, é feito com a utilização da taxa no período de capitalização proporcional à

taxa contratada no período financeiro. P. Ex. 10% a.a. capitalizados mensalmente:

taxa contratada: 10% a.a. período financeiro: um ano

capitalização: mensal período de capitalização: um mês

taxa proporcional no período de capitalização: 10% ÷ 12 = 0,83% a.m.

Sabemos, no entanto, que, por se tratar do regime de capitalização

composta, o resultado obtido será diferente do resultado indicado pela taxa

contratada. Assim, a taxa contratada de 10% a.a. é apenas uma taxa anual

proporcional à taxa no período de capitalização, é uma taxa meramente nominal,

pois não corresponde ao resultado da operação.

A taxa que realmente reflete o custo financeiro anual da operação é a taxa

anual equivalente a 0,83% a.m.. Já vimos como calculá-la:

iq = (1 + it)q/t – 1

iq = (1 + 0,0083)12/1 – 1

iq = 1,008312 – 1

iq = 1,1043 – 1

iq = 0,1043 = 10,43% a.a.

Esta taxa de 10,43% a.a. é a taxa efetiva da operação e corresponde ao

custo anual da operação, diferentemente da taxa nominal de 10% a.a..

5.6 Regime de Capitalização Mista

Já pudemos verificar que o montante gerado pelo Regime de

Capitalização Composta é maior que o gerado pelo Regime de Capitalização

Simples. Porém, isso só ocorre para um número inteiro de períodos. Quando o

prazo é uma quantidade não inteira de períodos de capitalização, o montante

gerado na parte fracionária do prazo, e apenas nessa parte fracionária, será maior

se for calculado a juros simples. Assim, o mercado adota a Convenção Linear, que

23


calcula o montante a juros compostos pela parte inteira de períodos de capitalização

de um prazo, e o montante desse resultado a juros simples pela sua parte

fracionária. Considerando um prazo fracionário, representado pela fração mista np/q,

teríamos como valor futuro a juros compostos da parte inteira do prazo, FVn,:

.(1 )nFVn PV i= +

E para a parte fracionária do prazo, tomando FVn como valor presente no

segundo cálculo, o valor futuro a juros simples, FVnp/q,:

. 1 .p q

pFVn FVn i

q

� �= +� �

� �

Porém, como:

.(1 )nFVn PV i= + ,

.(1 ) . 1 .np q

pFVn FV i i

q

� �= + +� �

� �

5.7 Equivalência de Fluxos de Caixa

Como vimos no item sobre Desconto (2.3.2), as operações de Desconto e

Capitalização são operações inversas. Isso significa que, capitalizando um

determinado valor presente (PV) por um certo número de períodos (n) a uma

determinada taxa (i), obtendo, assim, um valor futuro (FV), se descontarmos esse

valor futuro (FV) à mesma taxa (i), pelo mesmo número de períodos (n), iremos

obter o mesmo valor presente (PV). Esse raciocínio ilustra bem o princípio

fundamental da matemática financeira: o Princípio da Equivalência.

Este princípio nos diz que capitais iguais, situados em épocas diferentes,

têm valores diferentes, mesmo no pressuposto de uma economia com moeda

constante, ou seja, mesmo com inflação nula. Assim, podemos imaginar um capital

situado em uma data futura que, embora diferente, tenha o mesmo valor que outro

capital situado no presente; da mesma forma podemos imaginar um capital no

presente que, embora diferente, possua o mesmo valor que outro colocado no

futuro. Esses capitais diferentes, colocados em datas diferentes, teriam, na mesma

data, o mesmo valor, seriam equivalentes. O mecanismo que estabelece o grau de

24


equivalência e, portanto, que capital situado em uma determinada data é

equivalente a outro em outra data é a taxa de juros.

Isso é de extrema valia quando se trata de comparar valores (fluxos de

caixa) situados em épocas diferentes, pois podemos, indiferentemente, capitalizar

um ou mais fluxos para uma data futura, ou descontar um ou mais fluxos para uma

data presente. Como só podemos comparar, operar algebricamente ou trocar fluxos

de caixa situados na mesma data, utilizamos os recursos da capitalização e do

desconto para "movimentá-los" ao longo do tempo, "atualizando-os" para a mesma

data e, então, realizando a operação que desejamos.

A equivalência permite, na prática, a troca de um título de crédito

(duplicata, nota promissória, etc.) ou de um grupo de títulos situados em uma, ou

diversas datas, por outro título ou por outro grupo situados em outra ou em outras

datas diferentes. Para isso, é necessário que, em uma data qualquer, os seus

valores equivalentes (presentes ou futuros) sejam iguais. Tomando o seguinte

conjunto de fluxos de caixa equivalentes:

Temos que:

PV4 + FV3 + FV2 = 1000 + FV4 + PV5

EXERCÍCIOS 1) Calcular a taxa efetiva anual correspondente a 180% ao ano, capitalizados mensalmente. 2) Qual o tempo necessário para que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40, à taxa de 24% a.a. com capitalizações trimestrais? 3) No fim de quanto tempo os capitais de R$ 5.000,00, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e de R$ 15.000,00 u.m., a 10% a.a. capitalizados semestralmente produzirão juros iguais?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PV4 FV3 FV2 1000 FV4 PV5

25


4) No fim de quanto tempo o capital de R$ 500,00 a 10% a.a. e R$ 400,00 a 12% a.a. produzirão montantes iguais? 5) Qual deve ser a taxa média mensal de inflação para que os preços dupliquem em 3 anos? 6) Qual a taxa anual de juros capitalizada mensalmente que faz com que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40 em 7 meses e meio? 7) O desconto de um título, pagável em 3 meses e 18 dias, é de R$ 2.164,74. Calcular o Valor Nominal do título, sabendo que a taxa empregada foi de 30% a.a. com capitalizações mensais. 8) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00, a 40% a.a. capitalizados mensalmente produzirá R$4.500,00 de juros? 9) Duas notas promissórias, de R$ 5.000,00 para 1 ano e 6 meses e de R$ 8.000,00 para 2 anos e 3 meses, serão substituídas por uma única para 3 anos. Estipulando a taxa de 18% a.a. capitalizados mensalmente para essa operação, calcular o Valor Nominal do título. 10) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200,00 por três anos a 20% a.a. capitalizados mensalmente. Algum tempo após, propõe saldar a dívida com três pagamentos anuais realizáveis no fim do 2º, 3º e 4º anos. O primeiro pagamento será de R$ 50,00 e o segundo, de R$ 100,00. Calcular o valor do último pagamento, sabendo que a taxa do desconto real é de 12% a.a. com capitalizações mensais. RESPOSTAS: 1) 435,03% a.a.; 2) 3a1me19d; 3) 7a1me8d; 4) 12a4me19d; 5) 1,94% a.me.; 6) 122,76% a.a. cap. mens.; 7) R$ 25.450,49; 8) 1a7m18d; 9) R$ 15.683,82; 10) R$ 251,54

26


6. Séries Uniformes

6.1 Classificação, elementos e cálculos

As séries uniformes são constituídas, tanto nas operações de recuperação

de capital (amortização), como nas de formação de capital (capitalização). Nas

operações de amortização (empréstimos, financiamentos, etc.) o valor a ser

amortizado é anterior à série, é a sua causa, e recebe o nome de Valor Atual ou

Valor Presente (PV) de uma série. Nas operações de capitalização, o capital

formado é posterior à série, é a sua conseqüência, e recebe o nome de Montante ou

Valor Futuro (FV) da série. Os fluxos de caixa que constituem a série são

denominados Termos ou Pagamentos (PMT), o número de termos (n) e a taxa no

período (i) são os demais elementos de uma operação com séries uniformes.

As séries uniformes classificam-se em Antecipadas, Imediatas

(Postecipadas) e Diferidas em função da época em que ocorrem os seus fluxos.

6.2 Séries Antecipadas

Em uma Série Antecipada, os fluxos ocorrem no início dos respectivos

períodos. As séries antecipadas são mais freqüentes nas operações de

capitalização, embora sejam utilizadas, também, em operações de amortização.

O DFC de uma Série Antecipada tem o seguinte aspecto:

O Valor Presente da uma série Antecipada corresponde à soma dos

valores presentes de todos os termos (PMT) iguais que a compõem. Calculando os

valores presentes de todos os termos e somando-os temos:

1 3 2 1( ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 ) .(1 )nPV a PMT i PMT i PMT i PMT i PMT− + − − −= + + + + + + + + +

1 3 2 1( ) .[(1 ) ... (1 ) (1 ) (1 ) 1]nPV a PMT i i i i− + − − −= + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 ... n-2 n-1 n

27


Fazendo: (1 )i u+ = , temos:

1 3 2 1( ) .( ... 1)nPV a PMT u u u u− + − − −= + + + + + Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de

uma Progressão Geométrica de razão q = u. A fórmula que permite calcular a soma

dos termos de uma P.G. é:

1.

1n

n

a q aS

q

−=−

;

Substituindo os elementos, temos:

1 11.;

1

n n

n

u u u uS

u i

− + − +− −= =−

Multiplicando ambos os termos da fração por un-1:

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

. . 1.

. .

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

. .(1 )

n n n n n n

n n n n

n n

n n

u u u u u u u uS

i u i u i u

u iPV a PMT ou PV a PMT

i u i i

− + − − − + −

− − −

− −

− − −= = =

− + −= =+

O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o desenvolvimento das

fórmulas para cálculo do Valor Futuro:

3 2 1( ) .(1 ) ... .(1 ) .(1 ) .(1 )nFV a PMT i PMT i PMT i PMT i= + + + + + + + +

3 2 1( ) .[(1 ) ... (1 ) (1 ) (1 ) ]nFV a PMT i i i i= + + + + + + + + Fazendo: (1 )i u+ = , temos:

28


3 2 1( ) .( ... )nFV a PMT u u u u= + + + +

Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de

uma Progressão Geométrica Decrescente de razão q = u-1. Substituindo os

elementos na fórmula do cálculo da soma dos termos da P.G. decrescente:

1 .

1n

n

a a qS

q

−=−

1

1 1

. 1;

1 1

n n

n

u u u uS

u u

−

− −

− −= =− −

Multiplicando ambos os termos da fração por u:

1 1

1 . 1. .( 1) 1. .

1 1. . 1

1 (1 ) 1( ) . . ( ) .(1 ).

n n n n

n

n n

u u u u u u u uS u

u u u u u u i

u iFV a PMT u ou FV a PMT i

i i

− −

− − − −= = = =− − −

− + −= = +

6.3 Séries Imediatas

Em uma série Imediata, os fluxos ocorrem no final dos respectivos

períodos.

As séries Imediatas são mais características das operações de

amortização, embora possam ser utilizadas, também, em operações especiais de

capitalização na constituição de fundos de reembolso para o resgate de dívidas ou

fundos de provisão para a substituição de equipamentos.

O DFC de uma série Imediata tem o seguinte aspecto:

O Valor Presente da uma série Imediata pode ser obtido pela seguinte

fórmula:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

. .(1 )

n n

n n

u iPV i PMT ou PV i PMT

i u i i

− + −= =+

0 1 2 3 4 5 6 ... n-1 n

29


(Ver Tabela 3 - P.65) O Valor Futuro é calculado por:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

n nu iFV i PMT ou FV i PMT

i i

− + −= =


6.4 Séries Diferidas

Em uma série Diferida, os fluxos ocorrem no final dos respectivos

períodos, posteriores a um prazo de carência ou diferimento.

As séries Diferidas são praticamente exclusivas das operações de

amortização, embora sejam utilizadas, ainda que raramente, em operações de

capitalização nos mesmos casos previstos nas séries imediatas. As séries diferidas

incluem no cálculo um elemento adicional: a carência ou prazo de diferimento (m).

O DFC de uma série Diferida tem o seguinte aspecto:

O Valor Presente da uma série Diferida pode ser obtido pela seguinte

fórmula:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

. .(1 )

n n

m n m n

u iPV d PMT ou PV d PMT

i u i i+ +

− + −= =+

O Valor Futuro é calculado de forma idêntica ao das séries imediatas, já

que o prazo de carência ou diferimento não interfere nesse cálculo:

1 (1 ) 1( ) . ( ) .

n nu iFV d PMT ou FV d PMT

i i

− + −= =

Todos esses valores podem ser calculados pelas fórmulas acima, pelo

emprego de tábuas financeiras e com as calculadoras financeiras, e, ainda, por

decomposição dos fluxos de caixa.

0 1 2 3 4 ... n-1 n

0 1 2 ... m m+1 m+2 m+3 m+4 ... m+n-1 m+ n

30


6.5 Séries Gradientes

Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos

cujos termos crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro

termo também é igual a G e ocorre no segundo período.

O DFC de uma Série Gradiente tem o seguinte aspecto:

Para efeito de cálculo, a Série Gradiente é convertida em uma série

imediata equivalente, segundo o fator de conversão:

1.

1n

n i

i i u� �− � �−� �


Assim, o valor do termo (PMT) de uma Série Imediata equivalente a uma

Série Gradiente em G é:

0 1 2 3 4 5 6 ... n-1 n

G 2G 3G 4G 5G n-2G n-1G

1( ) . .

1n

n iP M T i G

i i u

� � �= − � � �−� ��

31


EXERCÍCIOS Calcule o valor equivalente das seguintes séries, usando a taxa de 10%: 1)

2)

3)

RESPOSTAS: 1) PV=R$ 1.071,16; 2) FV=R$ 14.024,93; 3) PV=R$ 2.677,23

32


6.6 Decomposição de Fluxos de Caixa

Nem todas as operações financeiras se comportam de forma uniforme. As

operações mais complexas parecem conjuntos desordenados de fluxos de caixa

quando traduzidas para um diagrama. No entanto, podemos decompô-las em dois

ou mais conjuntos de pagamentos isolados e séries uniformes, simplificando o seu

cálculo. A decomposição de fluxos de caixa é feita por "cortes" verticais ou

horizontais nos diagramas, que, assim, são decompostos em outros diagramas mais

simples e uniformes, como no exemplo a seguir:

Que pode ser decomposto horizontalmente em:

33


7. Sistemas de financiamento

São vários os sistemas utilizados para o pagamento de um empréstimo ou

de um financiamento. Trataremos dos mais freqüentes no nosso mercado. Para

exemplificarmos, utilizaremos como exemplo, o empréstimo do capital de R$

30.000,00, a 10% ao mês, por cinco meses.

34


7.1 Sistema do Montante

É o sistema no qual o devedor restitui ao credor, ao final de um prazo

estipulado, o capital e os juros correspondentes. O cálculo é feito pela fórmula do

Valor Futuro de um pagamento único:

FV = PV . (1 + i)n

FV = 30000 . (1 + 0,10)5 = R$ 48.315,30

7.2 Sistema do Juro Antecipado (Descontos)

É o sistema utilizado no cálculo dos penhores e nas operações de

empréstimo com desconto de duplicatas. É, também, a forma utilizada para cálculo

de taxas e comissões cobradas antecipadamente (flat), como os seguros de crédito,

o IOF, etc. Em geral, o desconto é calculado no regime de capitalização simples.

Porém, como os juros são pagos antecipadamente, a taxa de juros efetiva da

operação é bastante diferente da taxa de desconto anunciada, o que

freqüentemente conduz a erros de avaliação. Vejamos como ficaria a operação com

a taxa de 10% ao mês para o desconto simples:

PV

FV = ----------

1 - i.n

30000

FV = --------------- = R$ 60.000,00

1 - 0,10 . 5

Assim, para um empréstimo de R$ 30.000,00, temos um Valor Futuro de

R$ 60.000,00 em 5 meses. Substituindo esses valores na fórmula do Valor Futuro

de um pagamento único a juros compostos, temos:

FV = PV . (1 + i)n

35


60000 = 30000 . (1 + i)5

60000

--------- = (1 + i)5

30000

2 = (1 + i)5

1 + i = 21/5

1 + i = 1,1487

i = 0,1487 => 14,87% a.m.

Sendo 14,87% ao mês, portanto, a taxa efetiva de juros. Essa diferença se

acentua à medida que cresce o prazo e a taxa de desconto.

7.3 Sistema Francês ou Sistema Price

É o sistema em que o pagamento do empréstimo ou financiamento é feito

através de prestações iguais, a intervalos de tempo constantes, geralmente ao mês.

Essas prestações são compostas de duas partes: os juros mensais calculados sobre

o saldo devedor e o restante que compõe uma quota destinada a amortizar o

principal da dívida.

O cálculo das prestações é feito pelas fórmulas das séries uniformes.

Utilizando o exemplo para uma série uniforme imediata, temos:

(1+i)n - 1

PV(i) = PMT . -------------

i . (1+i)n

36


(1+0,10)5 - 1

30000 = PMT . --------------------

0,10 . (1+0,10)5

0,6105

30000 = PMT . ----------

0,1611

30000 = PMT . 3,7908

30000

PMT = --------- = R$ 7.913,92

3,7908

Através do seguinte Plano de Amortização, podemos observar a evolução

dos principais componentes da operação, período a período.

Plano de Amortização - Sistema Francês Capital : 30.000,00 Nº de Pagamentos : 5 Taxa de Juros : 10,00% Per. Pagamento Juros Quota de Fundo de Saldo De- (n) (PMT) Amortização Amortização vedor (PV) 0 - - - - 30000,00 1 7913,92 3000,00 4913,92 4913,92 25086,07 2 7913,92 2508,60 5405,31 10319,24 19680,75 3 7913,92 1968,07 5945,84 16265,08 13734,91 4 7913,92 1373,49 6540,43 22805,52 7194,47 5 7913,92 719,44 7194,47 30000,00 0,00

7.4 Sistema de Amortizações Constantes

É o sistema pelo qual o empréstimo ou financiamento é pago através de

prestações decrescentes. A quota destinada à amortização do principal é fixa e

corresponde à divisão do principal pelo número de prestações. A essa quota são

37


acrescentados os juros calculados sobre o saldo devedor do período anterior, para

formar a prestação do período.

O Plano de Amortização a seguir ilustra bem a solução do nosso exemplo

por esse sistema:

Plano de Amortização - Sistema de Amortizações Constantes Capital : 30000,00 Nº de Pagamentos : 5 Taxa de Juros : 10,00% Per. Pagamento Juros Quota de Fundo de Saldo De- (n) (PMT) Amortização Amortização vedor (PV) 0 - - - - 30000,00 1 9000,00 3000,00 6000,00 6000,00 24000,00 2 8400,00 2400,00 6000,00 12000,00 18000,00 3 7800,00 1800,00 6000,00 18000,00 12000,00 4 7200,00 1200,00 6000,00 24000,00 6000,00 5 6600,00 600,00 6000,00 30000,00 0,00

38


EXERCÍCIOS 1) Uma família decidiu comprar um refrigerador a crédito. O esquema de pagamento oferecido pela loja é o seguinte: 15.03.02 R$ 500,00 15.06.02 R$ 300,00 15.07.02 R$ 300,00 15.08.02 R$ 300,00 15.09.02 R$ 300,00 Sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês, determine o valor do refrigerador em 15.05.02. 2) Qual o valor presente de uma série de oito prestações mensais imediatas de R$ 5.000,00, sabendo-se que a taxa mensal de juros é de 3,0%? 3) Qual o valor da prestação mensal de um fundo de investimentos que capitaliza os depósitos à taxa composta de 10% ao ano capitalizados mensalmente, para se obter, no fim de 20 anos, o montante de R$ 500.000,00? 4) Em quanto tempo duplicará um capital aplicado a uma taxa de juros de 1,25% ao mês? 5) Logo que tenha economizado R$ 10.000,00 em valores de hoje, o Sr. Saddam Sahva pretende instalar uma quitanda. Se economizar R$ 500,00 por mês, investindo-os a 1,0% ao mês, quantos meses serão necessários para que o Sr. Saddam obtenha a importância desejada, sabendo-se que a inflação mensal é de 0,485%? 6) O Sr. Komero Toda Furuta comprou uma Kombi em 10 prestações mensais iguais. Sabendo que a Kombi tem seu preço à vista fixado em R$ 30.000,00 e que a taxa de financiamento é de 1,75% ao mês, determine: a) O valor da prestação. b) O saldo devedor após o pagamento da 5ª parcela. RESPOSTAS: 1) R$ 1.615,04 2) R$ 35.098,46 3) R$ 658,44 4) 4 anos, 7 meses e 24 dias 5) 20 meses 6) R$ 3.296,26 e R$15.650,17

39


8. Análise de alternativas de financiamento e investimento

A Análise de Alternativas de Financiamento e Investimento conta com um

conjunto de técnicas da Engenharia Econômica que permitem a comparação, de

forma científica, entre alternativas diferentes. Ao permitir que essas diferenças

sejam explicitadas de forma quantitativa, elas constituem ferramenta da maior

utilidade no processo de tomada de decisões em qualquer empresa, de qualquer

porte ou ramo de atividade.

São exemplos típicos da utilização dessas técnicas as alternativas de

investimento financeiro, de distribuição em marketing, de automatização na

contabilidade, de planos de carreira em administração de pessoal, de aquisição e

substituição de equipamentos na administração da produção, na engenharia de

produto, etc.

Para ser eficiente, a Análise de Investimentos pressupõe alguns princípios

fundamentais:

− Não existe decisão com alternativa única, todas as alternativas devem ser consideradas;

− Somente são comparáveis alternativas homogêneas, não se pode optar entre pouco retorno com pouco investimento e muito retorno com muito investimento, por exemplo;

− Apenas as diferenças entre as alternativas são relevantes, não perca tempo com o que é comum a elas;

− Os critérios para decisão entre alternativas econômicas devem levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, o princípio da equivalência é básico;

− Não devem ser subestimados os problemas relativos ao racionamento de capital, a menos que isso não seja problema para você;

− Decisões separáveis são tomadas separadamente; − As previsões são necessariamente falhas e o seu grau e tipos de incerteza

devem ser explicitados; − O evento qualitativo não quantificava monetariamente devem ser claramente

especificados; − A retroalimentação (feedback) de informações é fundamental e é a única

maneira de minimizar o impacto dos erros das previsões; − Os dados relevantes são os econômicos e gerenciais, os dados contábeis só

são importantes na avaliação após o Imposto de Renda. Não importa de um equipamento é depreciado contabilmente em 10 anos, se está obsoleto em 5 anos.

E tem, também, algumas limitações:

40


− A escolha do método, que deve considerar o aspecto mais abrangente do problema, uma vez que é impossível levar em consideração e quantificar todas as variáveis em situações reais. Premissas, restrições e limitações devem ser claramente caracterizadas;

− Os modelos estudados pressupõem taxas de juros e retorno iguais, embora no mercado as taxas de juros (empréstimos) sejam sempre maiores que as taxas de retorno (aplicação). A taxa de retorno será denominada doravante de Taxa Mínima de Atratividade, ou simplesmente TMA, refletindo a menor taxa de retorno aceitável para um investimento;

− Os modelos pressupõem taxas constantes, o que recomenda a utilização de uma média das taxas projetadas, ou a explicitação de que a solução está vinculada às circunstâncias presentes;

− Os modelos pressupõem viabilidade econômica e financeira para o fluxo de caixa real final;

− Os modelos levam em consideração que os fluxos de caixa ocorrem no final dos respectivos períodos (anos), embora a maioria possa ocorrer durante o período. Nesses casos, esses fluxos de caixa são os valores equivalentes, no final do período, dos demais fluxos ocorridos durante aquele período.

− A complexidade do modelo deve ser compatível com a confiabilidade dos dados assumidos.

8.1 Métodos de Análise

As principais técnicas utilizadas pela Análise de Investimentos são os

métodos de análise, também chamados “Métodos Equivalentes Para Avaliação de

Alternativas de Financiamento e Investimento”. Em seguida, veremos uma

apresentação desses métodos e suas principais características.

8.1.1 Método do Custo Anual

Consiste em transformar os fluxos de caixa das alternativas em séries

uniformes equivalentes, utilizando uma taxa de juros igual à Taxa Mínima de

Atratividade. É possível, então, chegar a um Custo Anual Equivalente, que servirá

de parâmetro para comparação entre as alternativas.

Cabe ressaltar que, embora chamado de Método do Custo Anual, o

método se presta a análises em períodos diferentes do ano. É importante, no

entanto que, por ora, as alternativas tenham a mesma duração de tempo, i.e., a

mesma Vida Econômica.

Vejamos o Exemplo 1, a seguir:

41


Alterna- Investimento Despesas Valor tiva Inicial Anuais Residual A - 10000,00 - B 15000,00 5000,00 - C 20000,00 4000,00 2000,00 TMA: 10% ao ano Vida Econômica: 10 anos

Solução:

. Alternativa A

Custo Anual Dado = 10000

. Alternativa B

Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):

0,10 . 1,1010

PMT(PV) = 15.000 . ----------------- = 2441

1,1010 - 1


-----

Custo Anual Total = 7441

42


. Alternativa C


0,10 . 1,1010

PMT(PV) = 20000 . --------------- = 3255

1,1010 - 1


Retorno Anual Equivalente do Valor Residual (FV):

0,10

PMT(FV) = -2000 . ------------ = - 125

1,1010 - 1

-----


A alternativa C é a mais vantajosa por apresentar os menores custos

anuais equivalentes.

Exemplo 2

Uma companhia deseja mecanizar uma operação de movimentação de

materiais em seu almoxarifado. Atualmente, esta operação é realizada manualmente

por uma equipe de operários. Os custos anuais com salários e encargos sociais são

de R$ 8000,00.

A mecanização será obtida com a aquisição de um equipamento cujo valor

é de R$ 20000,00. Espera-se uma redução nos custos com mão-de-obra a R$

2000,00 ao ano. As despesas anuais de operação são estimadas em R$ 500,00 de

energia, R$ 1.500,00 de manutenção e R$ 500,00 de seguro e demais despesas.

43


O equipamento tem vida econômica de 10 anos e um valor de revenda de

R$ 2000,00. A uma TMA de 18% a.a., qual a alternativa mais vantajosa

economicamente?

Solução:

. Alternativa A


. Alternativa B


0,18 . 1,1810

PMT(PV) = 20000 . --------------- = 4450

1,1810 - 1

Despesas Anuais = 4500

- Mão-de-Obra = 2000

- Energia = 500

- Manutenção = 1500

- Seguro, etc. = 500

Retorno Anual Equivalente do Valor de Revenda (FV):

0,18

PMT(FV) = -2000 . ------------ = - 85

1,1810 - 1

------


O maior custo anual da segunda alternativa a desaconselha como decisão

econômica.

44


EXERCÍCIOS 1) Calcular e comparar os custos anuais dos motores A e B, cuja compra é considerada para 12 anos de serviço a uma TMA de 10%a.a. Item Motor A Motor B Custo Inicial 2.500 4.000 Valor Residual Estimado - 1.000 Custo Anual de Energia 500 300 Custo Anual de Reparos 300 220 CAA = R$ 1.166,91 CAB = 1.060,29 (MELHOR COMPRA) 2) Um serviço de encanamento precisa ser executado em uma empresa. As alternativas que se apresentam são as seguintes: Item Tubo 30 cm Tubo 50 cm Custo Inicial 21.000 32.000 Custo Anual de Operação 6.700 3.850 O período de serviço esperado é de sete anos, após os quais o encanamento será removido com Valor Residual previsto de 5% de seu custo. O retorno mínimo exigido é de 8% ao ano. Comparar os custos anuais. CAA = 10.615,84 CAB = 9.817,00 (MELHOR COMPRA)

45


8.1.2 Método do Valor Presente Líquido

Consiste em se calcular a soma algébrica dos valores equivalentes de

todos os fluxos de caixa no período zero utilizando a Taxa Mínima de Atratividade. A

soma desses Valores Presentes resulta no Valor Presente Líquido da alternativa. A

alternativa mais indicada é aquela que apresenta o maior retorno em relação a um

investimento, ou o menor custo. É fundamental que se observe o sinal dos

respectivos fluxos de caixa.

Assim, um VPL positivo significa que o Valor Presente dos retornos é

maior que o Valor Presente dos investimentos e das despesas. Quanto maior o VPL

positivo, maior essa diferença e, portanto, maior a razão entre retorno e

investimento. Se VPL=0 (nulo) o projeto oferece a mesma rentabilidade que a

alternativa de investimento financeiro remunerada pela TMA. Se VPL<0 (negativo),

o Valor Presente dos desembolsos supera o Valor Presente dos recebimentos, o

que não recomenda economicamente o projeto. No caso da escolha obrigatória

entre alternativas com VPL<0, a opção mais econômica será a que apresentar o

menor VPL negativo. Tomemos o Exemplo 1 do método anterior:

. Alternativa A

(1+0,10)10 - 1

VPLA = - PV(PMT) = - 10000 . -------------------- = - 61.446

0,10 . (1+0,10)10

. Alternativa B

(1+0,10)10 - 1

VPLB = - 15000 - PV(PMT) = - 15000 - 5000 . ----------------

0,10.(1+0,10)10

VPLB = - 15000 - 30723 = - 45723

. Alternativa C

46


VPLc = - 20000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 20000 - 4000 .

(1+0,10)10 - 1

. --------------------- + 2000 . (1+0,10)-10

0,10 . (1+0,10)10

VPLc = - 2000O - 24578 + 771 = - 43807

A melhor alternativa é C, pois apresenta o menor VPL negativo, o que

significa menor custo real.

Exemplo 2

Escolher entre os seguintes planos, com vida econômica de 10 anos,

usando uma TMA de 10% ao ano:

Item Plano A Plano B Plano C Despesas Anuais 8000 5100 4300 Custo Inicial - 15000 25000 Valor Residual - - 5000

Solução:

. Plano A

(1+0,10)10 - 1

VPLA = - PV(PMT) = - 8000 . --------------------- = - 49157

0,10 . (1+0,10)10

. Plano B

(1+0,10)10 - 1

VPLB = - 15.000 - PV(PMT) = - 15.000 - 5.100 . ----------------

0,10.(1+0,10)10

VPLB = - 15.000 - 31.337 = = - 46337

. Plano C

VPLc = - 25.000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 25.000 - 4.300 .

47


(1+0,10)10 - 1

--------------------- + 5.000 . (1+0,10)-10

0,10 . (1+0,10)10

VPLc = - 25.00O - 26.422 + 1.928 = - 49494

Neste caso, a alternativa que apresenta o menor Valor Presente negativo

é a B.

Exemplo 3

Duas alternativas de investimento estão sendo analisadas por uma

empresa. Os seguintes dados foram obtidos:

Item Alternativa A Alternativa B custo oper.anual 700 900 custo inicial 2000 2500 valor residual 300 450 receita anual 2000 2500 vida econômica 10 a. 10 a. TMA 10% a.a. 10% a.a. imposto de renda 30% 30%

Inicialmente, vamos calcular os Fluxos de Caixa líquidos:

Item Alternativa A Alternativa B receita anual 2000 2500 custo oper.anual (700) (900) receita oper.líquida 1300 1600 imposto de renda (30%) (390) (480) receita líquida anual 910 1120

Resumindo:

Item Alternativa A Alternativa B custo inicial 2000 2500 valor residual 300 450 receita líq.anual 910 1120 vida econômica 10 a. 10 a. TMA 10% a.a. 10% a.a.

Alternativa A

(1+0,10)10 - 1

48


VPLA= -2000 + PV(PMT) + PV(FV)= -2000 + 910 . ------------------- +

0,10.(1+0,10)10

+ 300 . (1+0,10)-10 = - 2000 + 5592 + 116 = 3708

. Alternativa B

(1+0,10)10 - 1

VPLB= -2500 + PV(PMT) + PV(FV)= -2000 + 1120 .------------------ +

0,10.(1+0,10)10

+ 450 . (1+0,10)-10 = - 2500 + 6882 + 173 = 4555

A alternativa B é a melhor uma vez que apresenta o maior Valor Presente

Líquido positivo.

49


EXERCÍCIOS 1) Duas máquinas estão sendo analisadas para um investimento. Os dados obtidos são os seguintes: Item Alternativa A Alternativa B Custo Inicial 4.000 5.000 Custo Op. Anual 900 1.000 Valor Residual 300 500 Vida Econômica 10 a. 10 a. Receita Anual 2.200 2.400 Imposto de Renda 30% 30% TMA 12% a.a. 12% a.a.

Qual a melhor alternativa? VPLA = R$ 1.916,32 VPLB = R$ 1.376,23 (MELHOR COMPRA) 2) Dois equipamentos estão sendo analisados para um investimento para 10 anos. Equipamento A: exige um investimento inicial de 1.000 e investimentos adicionais de 500 após três anos e 800 após sete anos. Os custos operacionais anuais são estimados em 1.600 e o valor residual do equipamento será de 800. Equipamento B: exige um investimento inicial de 1.500 e um investimento adicional de 1.000 após cinco anos. Os custos operacionais anuais são estimados em 1.900 e o valor residual será de 900. Admitindo que os equipamentos A e B proporcionarão um acréscimo anual de receita de 3.000 e 3.200 respectivamente, que a taxa mínima de atratividade do investidor é de 10% a.a. e o imposto de renda é de 30%, qual a melhor alternativa?

50


8.1.3 Método da Taxa Interna de Retorno

Consiste em se determinar a taxa para a qual o Valor Presente Líquido é

igual a zero, ou seja, a taxa para a qual o Valor Presente dos retornos do projeto é

igual ao Valor Presente dos investimentos necessários.

Uma comparação entre a Taxa Interna de Retorno (TIR) e a Taxa Mínima

de Atratividade (TMA) nos permite avaliar a alternativa. Se TIR > TMA, o

investimento propicia um retorno superior ao de uma aplicação financeira com a

rentabilidade da TMA. Se TIR = TMA, a rentabilidade é igual à da aplicação

financeira e, finalmente, se TIR < TMA, o investimento não é economicamente

recomendável, uma vez que propicia um retorno inferior ao de uma aplicação

financeira com rentabilidade da TMA. Uma análise entre diversas alternativas

economicamente viáveis conduz à escolha da alternativa com a maior Taxa Interna

de Retorno.

Assim, o método nos permite uma análise de sensibilidade do

investimento, ou seja, nos permite saber qual a Taxa Mínima de Atratividade que

viabiliza determinado investimento. Reduzida a TMA a um patamar inferior a TIR de

um determinado investimento, antes economicamente inviável, este passa a se

viabilizar por redução da TMA.

Para utilização desse método, é necessário que as alternativas tenham o

mesmo investimento e que possam ser representadas por um Diagrama de Fluxos

de Caixa Ordinário, isto é, que sejam constituídas de um único investimento feito no

período zero, seguido de uma série de retornos líquidos.

No caso dos investimentos serem diferentes, pode-se decompô-los de

forma a trabalhar com um conjunto de investimentos iguais. Já no caso de se ter

investimentos múltiplos, o método não deve ser aplicado, uma vez que serão

obtidas taxas de retorno múltiplas, uma para cada inversão de fluxo de caixa entre

investimentos e retornos.

Tomemos o exemplo representado pelo fluxo de caixa abaixo, durante sete

anos:

51


Ano Receita Desembolso Fluxo Líquido 0 0 (10900) (10900) 1 1800 (800) 1000 2 1800 (550) 1250 3 1800 (570) 1230 4 1800 (450) 1350 5 1800 (360) 1440 6 1800 (430) 1370 7 23700 (1510) 22190

Solução:

Calculando o VPL para uma taxa arbitrária de 15% a.a., teremos:

VPL = 2146

Como o Valor Presente Líquido resultou positivo, precisamos arbitrar outra

taxa que minimize o Valor Presente dos fluxos positivos, portanto uma taxa maior,

por exemplo, 20% a.a.:

VPL = (605)

O Valor Presente Líquido negativo representa uma inversão de sinal em

relação à taxa anterior, o que significa que a Taxa Interna de Retorno (que faz VPL

= 0) está entre 15% a.a. e 20% a.a.. Através de uma simplificação do processo,

estimamos a TIR por Interpolação Linear das taxas utilizadas:

2146 --> 15% 0 - 2146 i - 15%

0 --> i --------------- = ------------- => i ~ 18,9% a.a.

- 605 --> 20% - 605 - 2146 20% - 15%

Obviamente, esta forma de cálculo, trabalhosa e imperfeita devido à

utilização da interpolação linear, pode ser substituída, com vantagens, pela

utilização das funções financeiras avançadas encontradas nas calculadoras

financeiras mais completas.

É importante observar que o conceito de Taxa Interna de Retorno está

intimamente vinculado à Vida Econômica do investimento. Assim, o investimento

acima possibilita uma TIR de aproximadamente 18,9% ao ano para uma Vida

Econômica de sete anos. Isso quer dizer que o capital investido será remunerado a,

aproximadamente 18,9% ao ano e que o investimento será totalmente recuperado

em sete anos.

52


EXERCÍCIOS 1) A respeito de um projeto são conhecidos os seguintes dados: Item Valor Custo Inicial 12.000 Custo Op. Anual 1.506 Valor Residual 2.000 Vida Econômica 25 a. Receita Anual 2.590 Calcular a Taxa Interna de Retorno do investimento. 2) Uma loja vende amplificadores a R$ 2.500 cada um, mas R$ 500 deverão ser pagos de entrada e R$ 500 no fim de cada mês nos próximos quatro meses, "sem cobrança de juros". Discutindo a possível compra, você descobre que pode comprar o amplificador por R$ 2.250 à vista. Você também fica sabendo que, comprando a prazo, haverá a cobrança, no ato da compra, de R$ 50 referentes a serviços e despesas contratuais. Que taxa de juros será realmente paga se a compra for feita em prestações? 3) Duas alternativas estão sendo consideradas para um investimento de R$ 4.000 por dez anos. Os demais dados seguem: Item Alternativa A Alternativa B Custo Op.Anual 1.100 1.600 Valor Residual 400 600 Receita Anual 2.000 2.500 Determinar a melhor alternativa. 4) Uma bomba de água essencial para um processo industrial pode ser comprada de dois fornecedores. O fornecedor A vende a bomba por R$ 100.000 e a despesa mensal de operação e manutenção é estimada em R$ 12.000. A bomba do fornecedor B custa R$ 170.000 e a despesa mensal de operação e manutenção é estimada em R$ 8.000. Se ambas as bombas serão usadas por cinco anos e a taxa mínima de retorno exigida é de 10% ao mês, qual das bombas deve ser escolhida? Qual seria a resposta do problema se a TMA fosse de 4% a.m.?

53


8.2 Classificação de Alternativas

8.2.1 Alternativas Singulares

Na análise de alternativas singulares pode-se utilizar os métodos do Valor

Presente Líquido e da Taxa Interna de Retorno, como fizemos para cada alternativa

nos exemplos desses dois métodos. A análise, nesse caso, é simples. O

investimento que possua Valor Presente Líquido positivo (VPL > 0) é

economicamente viável, pois possibilita um retorno sobre o investimento superior ao

propiciado por uma aplicação financeira à taxa Mínima de Atratividade. No caso do

método da Taxa Interna de Retorno, a conclusão é a mesma para um investimento

que possua a Taxa Interna de Retorno maior que a Taxa Mínima de Atratividade.

8.2.2 Alternativas Múltiplas

Na análise de alternativas múltiplas os métodos do Custo Anual e do Valor

Presente Líquido aplicam-se como fizemos nos respectivos exemplos. Já o método

da Taxa Interna de Retorno, por pressupor investimentos iguais, exige, no caso de

investimentos diferentes, a decomposição em fluxos complementares, de modo a

ser definido o fluxo de caixa incremental de um projeto em relação a outro. Este

seria o fluxo de caixa composto apenas pelas diferenças incrementais de um projeto

em relação a outro. Para um conjunto de alternativas com investimentos diferentes,

procederíamos da seguinte maneira:

Ordenar as alternativas em ordem crescente de investimentos.

Determinar a TIR da primeira alternativa e compará-la com a TMA. Se a

TIR < TMA, abandonar esta alternativa e repetir a análise para a alternativa

seguinte e, assim, sucessivamente até a obtenção de uma alternativa

economicamente viável.

A partir da primeira alternativa viável, calcula-se a Taxa de Retorno

incremental da próxima alternativa. A Taxa de retorno incremental é a TIR do fluxo

de caixa incremental de um projeto me relação a outro com investimento menor.

Este fluxo de caixa incremental é o fluxo de caixa composto pelas diferenças

algébricas entre os fluxos de caixa da alternativa com investimento maior e a

54


primeira alternativa viável. A Taxa de Retorno incremental é, também, comparada

com a Taxa Mínima de Atratividade. A primeira alternativa é remunerada pela sua

TIR e a segunda alternativa é remunerada, em parte pela TIR, e na parte

incremental, pela Taxa de Retorno incremental. Se a Taxa de Retorno incremental

for maior que a TMA, a alternativa é, também, viável.

8.2.3 Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes

No caso de se analisar alternativas com diversas vidas econômicas,

somente os métodos do Custo Anual e do Valor Presente são aplicáveis. O método

do Custo Anual não sofre distorções graves com a diferença de Vidas Econômicas,

o que ocorre com o método do Valor Presente Líquido. Em ambos os casos, a

diferença pode ser contornada levando-se em consideração a possibilidade de

reinvestimento. Define-se assim um prazo que seja o Mínimo Múltiplo Comum entre

os prazos das alternativas propostas e repete-se o fluxo de caixa de cada

alternativa o número de vezes necessário para preencher o prazo comum. Recai-se

então na análise com vidas iguais.

55


ANEXOS

56


VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO

n 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 0,980296 0,961169 0,942596 0,924556 0,907029 0,889996 0,873439 0,857339 0,841680 0,826446

3 0,970590 0,942322 0,915142 0,888996 0,863838 0,839619 0,816298 0,793832 0,772183 0,751315

4 0,960980 0,923845 0,888487 0,854804 0,822702 0,792094 0,762895 0,735030 0,708425 0,683013

5 0,951466 0,905731 0,862609 0,821927 0,783526 0,747258 0,712986 0,680583 0,649931 0,620921

6 0,942045 0,887971 0,837484 0,790315 0,746215 0,704961 0,666342 0,630170 0,596267 0,564474

7 0,932718 0,870560 0,813092 0,759918 0,710681 0,665057 0,622750 0,583490 0,547034 0,513158

8 0,923483 0,853490 0,789409 0,730690 0,676839 0,627412 0,582009 0,540269 0,501866 0,466507

9 0,914340 0,836755 0,766417 0,702587 0,644609 0,591898 0,543934 0,500249 0,460428 0,424098

10 0,905287 0,820348 0,744094 0,675564 0,613913 0,558395 0,508349 0,463193 0,422411 0,385543

11 0,896324 0,804263 0,722421 0,649581 0,584679 0,526788 0,475093 0,428883 0,387533 0,350494

12 0,887449 0,788493 0,701380 0,624597 0,556837 0,496969 0,444012 0,397114 0,355535 0,318631

13 0,878663 0,773033 0,680951 0,600574 0,530321 0,468839 0,414964 0,367698 0,326179 0,289664

14 0,869963 0,757875 0,661118 0,577475 0,505068 0,442301 0,387817 0,340461 0,299246 0,263331

15 0,861349 0,743015 0,641862 0,555265 0,481017 0,417265 0,362446 0,315242 0,274538 0,239392

16 0,852821 0,728446 0,623167 0,533908 0,458112 0,393646 0,338735 0,291890 0,251870 0,217629

17 0,844377 0,714163 0,605016 0,513373 0,436297 0,371364 0,316574 0,270269 0,231073 0,197845

18 0,836017 0,700159 0,587395 0,493628 0,415521 0,350344 0,295864 0,250249 0,211994 0,179859

19 0,827740 0,686431 0,570286 0,474642 0,395734 0,330513 0,276508 0,231712 0,194490 0,163508

20 0,819544 0,672971 0,553676 0,456387 0,376889 0,311805 0,258419 0,214548 0,178431 0,148644

21 0,811430 0,659776 0,537549 0,438834 0,358942 0,294155 0,241513 0,198656 0,163698 0,135131

22 0,803396 0,646839 0,521893 0,421955 0,341850 0,277505 0,225713 0,183941 0,150182 0,122846

23 0,795442 0,634156 0,506692 0,405726 0,325571 0,261797 0,210947 0,170315 0,137781 0,111678

24 0,787566 0,621721 0,491934 0,390121 0,310068 0,246979 0,197147 0,157699 0,126405 0,101526

25 0,779768 0,609531 0,477606 0,375117 0,295303 0,232999 0,184249 0,146018 0,115968 0,092296

26 0,772048 0,597579 0,463695 0,360689 0,281241 0,219810 0,172195 0,135202 0,106393 0,083905

27 0,764404 0,585862 0,450189 0,346817 0,267848 0,207368 0,160930 0,125187 0,097608 0,076278

28 0,756836 0,574375 0,437077 0,333477 0,255094 0,195630 0,150402 0,115914 0,089548 0,069343

29 0,749342 0,563112 0,424346 0,320651 0,242946 0,184557 0,140563 0,107328 0,082155 0,063039

30 0,741923 0,552071 0,411987 0,308319 0,231377 0,174110 0,131367 0,099377 0,075371 0,057309

31 0,734577 0,541246 0,399987 0,296460 0,220359 0,164255 0,122773 0,092016 0,069148 0,052099

32 0,727304 0,530633 0,388337 0,285058 0,209866 0,154957 0,114741 0,085200 0,063438 0,047362

33 0,720103 0,520229 0,377026 0,274094 0,199873 0,146186 0,107235 0,078889 0,058200 0,043057

34 0,712973 0,510028 0,366045 0,263552 0,190355 0,137912 0,100219 0,073045 0,053395 0,039143

35 0,705914 0,500028 0,355383 0,253415 0,181290 0,130105 0,093663 0,067635 0,048986 0,035584

36 0,698925 0,490223 0,345032 0,243669 0,172657 0,122741 0,087535 0,062625 0,044941 0,032349

42 0,658419 0,435304 0,288959 0,192575 0,128840 0,086527 0,058329 0,039464 0,026797 0,018260

48 0,620260 0,386538 0,241999 0,152195 0,096142 0,060998 0,038867 0,024869 0,015978 0,010307

54 0,584313 0,343234 0,202670 0,120282 0,071743 0,043001 0,025899 0,015672 0,009527 0,005818

60 0,550450 0,304782 0,169733 0,095060 0,053536 0,030314 0,017257 0,009876 0,005681 0,003284

57


VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO

n 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561

7 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717

8 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589

9 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948

10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742

11 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,853117

12 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428

13 1,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271

14 1,149474 1,319479 1,512590 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498

15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248

16 1,172579 1,372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973

17 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470

18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917

19 1,208109 1,456811 1,753506 2,106849 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909

20 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,604411 6,727500

21 1,232392 1,515666 1,860295 2,278768 2,785963 3,399564 4,140562 5,033834 6,108808 7,400250

22 1,244716 1,545980 1,916103 2,369919 2,925261 3,603537 4,430402 5,436540 6,658600 8,140275

23 1,257163 1,576899 1,973587 2,464716 3,071524 3,819750 4,740530 5,871464 7,257874 8,954302

24 1,269735 1,608437 2,032794 2,563304 3,225100 4,048935 5,072367 6,341181 7,911083 9,849733

25 1,282432 1,640606 2,093778 2,665836 3,386355 4,291871 5,427433 6,848475 8,623081 10,83470

26 1,295256 1,673418 2,156591 2,772470 3,555673 4,549383 5,807353 7,396353 9,399158 11,91817

27 1,308209 1,706886 2,221289 2,883369 3,733456 4,822346 6,213868 7,988061 10,24508 13,10999

28 1,321291 1,741024 2,287928 2,998703 3,920129 5,111687 6,648838 8,627106 11,16714 14,42099

29 1,334504 1,775845 2,356566 3,118651 4,116136 5,418388 7,114257 9,317275 12,17218 15,86309

30 1,347849 1,811362 2,427262 3,243398 4,321942 5,743491 7,612255 10,06265 13,26767 17,44940

31 1,361327 1,847589 2,500080 3,373133 4,538039 6,088101 8,145113 10,86766 14,46177 19,19434

32 1,374941 1,884541 2,575083 3,508059 4,764941 6,453387 8,715271 11,73708 15,76332 21,11377

33 1,388690 1,922231 2,652335 3,648381 5,003189 6,840590 9,325340 12,67605 17,18202 23,22515

34 1,402577 1,960676 2,731905 3,794316 5,253348 7,251025 9,978114 13,69013 18,72841 25,54767

35 1,416603 1,999890 2,813862 3,946089 5,516015 7,686087 10,67658 14,78534 20,41396 28,10243

36 1,430769 2,039887 2,898278 4,103933 5,791816 8,147252 11,42394 15,96817 22,25122 30,91268

42 1,518790 2,297244 3,460696 5,192784 7,761588 11,55703 17,14425 25,33948 37,31753 54,76369

48 1,612226 2,587070 4,132252 6,570528 10,40127 16,39387 25,72890 40,21057 62,58523 97,01723

54 1,711410 2,913461 4,934125 8,313814 13,93869 23,25502 38,61215 63,80912 104,9617 171,8719

60 1,816697 3,281031 5,891603 10,51962 18,67918 32,98769 57,94642 101,2570 176,0312 304,4816

58


VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA

n 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091

2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852

4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865

5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261

7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926

9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567

11 10,36762 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886875 7,498674 7,138964 6,805191 6,495061

12 11,25507 10,57534 9,954004 9,385074 8,863252 8,383844 7,942686 7,536078 7,160725 6,813692

13 12,13374 11,34837 10,63495 9,985648 9,393573 8,852683 8,357651 7,903776 7,486904 7,103356

14 13,00370 12,10624 11,29607 10,56312 9,898641 9,294984 8,745468 8,244237 7,786150 7,366687

15 13,86505 12,84926 11,93793 11,11838 10,37965 9,712249 9,107914 8,559479 8,060688 7,606080

16 14,71787 13,57770 12,56110 11,65229 10,83777 10,10589 9,446649 8,851369 8,312558 7,823709

17 15,56225 14,29187 13,16611 12,16566 11,27406 10,47726 9,763223 9,121638 8,543631 8,021553

18 16,39826 14,99203 13,75351 12,65929 11,68958 10,82760 10,05908 9,371887 8,755625 8,201412

19 17,22600 15,67846 14,32379 13,13393 12,08532 11,15811 10,33559 9,603599 8,950115 8,364920

20 18,04555 16,35143 14,87747 13,59032 12,46221 11,46992 10,59401 9,818147 9,128546 8,513564

21 18,85698 17,01120 15,41502 14,02916 12,82115 11,76407 10,83552 10,01680 9,292244 8,648694

22 19,66037 17,65804 15,93691 14,45111 13,16300 12,04158 11,06124 10,20074 9,442425 8,771540

23 20,45582 18,29220 16,44360 14,85684 13,48857 12,30337 11,27218 10,37105 9,580207 8,883218

24 21,24338 18,91392 16,93554 15,24696 13,79864 12,55035 11,46933 10,52875 9,706612 8,984744

25 22,02315 19,52345 17,41314 15,62208 14,09394 12,78335 11,65358 10,67477 9,822580 9,077040

26 22,79520 20,12103 17,87684 15,98276 14,37518 13,00316 11,82577 10,80997 9,928972 9,160945

27 23,55960 20,70689 18,32703 16,32958 14,64303 13,21053 11,98670 10,93516 10,02658 9,237223

28 24,31644 21,28127 18,76410 16,66306 14,89812 13,40616 12,13711 11,05107 10,11612 9,306567

29 25,06578 21,84438 19,18845 16,98371 15,14107 13,59072 12,27767 11,15840 10,19828 9,369606

30 25,80770 22,39645 19,60044 17,29203 15,37245 13,76483 12,40904 11,25778 10,27365 9,426914

31 26,54228 22,93770 20,00042 17,58849 15,59281 13,92908 12,53181 11,34979 10,34280 9,479013

32 27,26958 23,46833 20,38876 17,87355 15,80267 14,08404 12,64655 11,43499 10,40624 9,526376

33 27,98969 23,98856 20,76579 18,14764 16,00254 14,23023 12,75379 11,51388 10,46444 9,569432

34 28,70266 24,49859 21,13183 18,41119 16,19290 14,36814 12,85400 11,58693 10,51783 9,608575

35 29,40858 24,99861 21,48722 18,66461 16,37419 14,49824 12,94767 11,65456 10,56682 9,644159

36 30,10750 25,48884 21,83225 18,90828 16,54685 14,62098 13,03520 11,71719 10,61176 9,676508

42 34,15810 28,23479 23,70135 20,18562 17,42320 15,22454 13,45244 12,00669 10,81336 9,817397

48 37,97395 30,67312 25,26670 21,19513 18,07715 15,65002 13,73047 12,18913 10,93357 9,896926

54 41,56866 32,83828 26,57766 21,99295 18,56514 15,94997 13,91573 12,30410 11,00525 9,941817

60 44,95503 34,76088 27,67556 22,62349 18,92929 16,16142 14,03918 12,37655 11,04799 9,967157

59


VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA

n 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984711 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 7,523335 7,715610

7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,922803 9,200435 9,487171

8 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,25980 10,63662 11,02847 11,43588

9 9,368527 9,754628 10,15910 10,58279 11,02656 11,49131 11,97798 12,48755 13,02103 13,57947

10 10,46221 10,94972 11,46387 12,00610 12,57789 13,18079 13,81644 14,48656 15,19293 15,937425

11 11,56683 12,16871 12,80779 13,48635 14,20678 14,97164 15,78359 16,64548 17,56029 18,531167

12 12,68250 13,41209 14,19203 15,02580 15,91712 16,86994 17,88845 18,97712 20,14072 21,384284

13 13,80932 14,68033 15,61779 16,62683 17,71298 18,88213 20,14064 21,49529 22,95338 24,522712

14 14,94742 15,97393 17,08632 18,29191 19,59863 21,01506 22,55048 24,21492 26,01918 27,974983

15 16,09689 17,29341 18,59891 20,02358 21,57856 23,27597 25,12902 27,15211 29,36091 31,772482

16 17,25786 18,63928 20,15688 21,82453 23,65749 25,67252 27,88805 30,32428 33,00339 35,949730

17 18,43044 20,01207 21,76158 23,69751 25,84036 28,21288 30,84021 33,75022 36,97370 40,544703

18 19,61474 21,41231 23,41443 25,64541 28,13238 30,90565 33,99903 37,45024 41,30133 45,599173

19 20,81089 22,84055 25,11686 27,67122 30,53900 33,75999 37,37896 41,44626 46,01845 51,159090

20 22,01900 24,29737 26,87037 29,77807 33,06595 36,78559 40,99549 45,76196 51,16012 57,274999

21 23,23919 25,78331 28,67648 31,96920 35,71925 39,99272 44,86517 50,42292 56,76453 64,002499

22 24,47158 27,29898 30,53678 34,24797 38,50521 43,39229 49,00573 55,45675 62,87333 71,402749

23 25,71630 28,84496 32,45288 36,61788 41,43047 46,99582 53,43614 60,89329 69,53193 79,543024

24 26,97346 30,42186 34,42647 39,08260 44,50199 50,81557 58,17667 66,76475 76,78981 88,497327

25 28,24320 32,03030 36,45926 41,64590 47,72709 54,86451 63,24903 73,10594 84,70089 98,347059

26 29,52563 33,67090 38,55304 44,31174 51,11345 59,15638 68,67647 79,95441 93,32397 109,18176

27 30,82088 35,34432 40,70963 47,08421 54,66912 63,70576 74,48382 87,35076 102,7231 121,09994

28 32,12909 37,05121 42,93092 49,96758 58,40258 68,52811 80,69769 95,33883 112,9682 134,20993

29 33,45038 38,79223 45,21885 52,96628 62,32271 73,63979 87,34652 103,9659 124,1353 148,63093

30 34,78489 40,56807 47,57541 56,08493 66,43884 79,05818 94,46078 113,2832 136,3075 164,49402

31 36,13274 42,37944 50,00267 59,32833 70,76079 84,80167 102,0730 123,3458 149,5752 181,94342

32 37,49406 44,22703 52,50275 62,70146 75,29882 90,88977 110,2181 134,2135 164,0369 201,13776

33 38,86900 46,11157 55,07784 66,20952 80,06377 97,34316 118,9334 145,9506 179,8003 222,25154

34 40,25769 48,03380 57,73017 69,85790 85,06695 104,1837 128,2587 158,6266 196,9823 245,47669

35 41,66027 49,99447 60,46208 73,65222 90,32030 111,4347 138,2368 172,3168 215,7107 271,02436

36 43,07687 51,99436 63,27594 77,59831 95,83632 119,1208 148,9134 187,1021 236,1247 299,12680

42 51,87898 64,86222 82,02319 104,8195 135,2317 175,9505 230,6322 304,2435 403,5281 37,636992

48 61,22260 79,35351 104,4083 139,2632 188,0253 256,5645 353,2700 490,1321 684,2804 960,17233

54 71,14104 95,67307 131,1374 182,8453 258,7739 370,9170 537,3164 785,1140 1155,130 1708,7194

60 81,66967 114,0515 163,0534 237,9906 353,5837 533,1281 813,5203 1253,213 1944,792 3034,8163

60


FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA

n 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 8,0% 9,0% 10,0%

2 0,497512 0,495050 0,492611 0,490196 0,487805 0,485437 0,483092 0,480769 0,478469 0,476190

3 0,993367 0,986799 0,980297 0,973860 0,967486 0,961176 0,954929 0,948743 0,942619 0,936556

4 1,487562 1,475249 1,463061 1,450995 1,439053 1,427234 1,415536 1,403960 1,392504 1,381168

5 1,980100 1,960401 1,940905 1,921611 1,902520 1,883633 1,864950 1,846472 1,828197 1,810126

6 2,470980 2,442256 2,413833 2,385715 2,357904 2,330404 2,303217 2,276346 2,249792 2,223557

7 2,960202 2,920815 2,881851 2,843318 2,805225 2,767581 2,730392 2,693665 2,657404 2,621615

8 3,447766 3,396080 3,344963 3,294434 3,244510 3,195208 3,146541 3,098524 3,051166 3,004479

9 3,933673 3,868053 3,803176 3,739077 3,675786 3,613331 3,551740 3,491033 3,431231 3,372351

10 4,417923 4,336736 4,256498 4,177264 4,099085 4,022007 3,946071 3,871314 3,797768 3,725461

11 4,900517 4,802131 4,704936 4,609014 4,514444 4,421295 4,329629 4,239503 4,150964 4,064054

12 5,381454 5,264242 5,148499 5,034348 4,921902 4,811261 4,702516 4,595747 4,491023 4,388402

13 5,860734 5,723071 5,587198 5,453288 5,321501 5,191977 5,064842 4,940207 4,818164 4,698792

14 6,338360 6,178621 6,021042 5,865859 5,713289 5,563521 5,416727 5,273051 5,132618 4,995529

15 6,814330 6,630896 6,450043 6,272087 6,097314 5,925976 5,758295 5,594460 5,434631 5,278933

16 7,288645 7,079899 6,874214 6,672000 6,473629 6,279428 6,089681 5,904626 5,724460 5,549341

17 7,761306 7,525635 7,293567 7,065628 6,842292 6,623972 6,411025 6,203746 6,002375 5,807097

18 8,232314 7,968108 7,708116 7,453002 7,203360 6,959705 6,722474 6,492028 6,268653 6,052560

19 8,701668 8,407322 8,117876 7,834156 7,556896 7,286728 7,024182 6,769688 6,523580 6,286095

20 9,169370 8,843282 8,522862 8,209125 7,902965 7,605148 7,316307 7,036948 6,767450 6,508075

21 9,635420 9,275993 8,923090 8,577945 8,241635 7,915075 7,599014 7,294034 7,000563 6,718878

22 10,09981 9,705459 9,318577 8,940654 8,572976 8,216625 7,872471 7,541181 7,223224 6,918886

23 10,56256 10,13168 9,709341 9,297292 8,897062 8,509914 8,136853 7,778626 7,435742 7,108483

24 11,02366 10,55468 10,09540 9,647901 9,213968 8,795065 8,392336 8,006612 7,638428 7,288054

25 11,48311 10,97445 10,47677 9,992523 9,523771 9,072201 8,639101 8,225382 7,831597 7,457982

26 11,94091 11,39100 10,85348 10,33120 9,826553 9,341450 8,877332 8,435184 8,015563 7,618650

27 12,39707 11,80433 11,22554 10,66398 10,12239 9,602942 9,107217 8,636268 8,190639 7,770437

28 12,85158 12,21446 11,59298 10,99091 10,41138 9,856809 9,328943 8,828883 8,357141 7,913716

29 13,30444 12,62138 11,95581 11,31204 10,69360 10,10318 9,542701 9,013281 8,515378 8,048858

30 13,75566 13,02511 12,31407 11,62742 10,96913 10,34221 9,748684 9,189712 8,665661 8,176226

31 14,20523 13,42566 12,66777 11,93710 11,23808 10,57402 9,947084 9,358427 8,808293 8,296174

32 14,65316 13,82302 13,01694 12,24112 11,50053 10,79875 10,13809 9,519675 8,943578 8,409051

33 15,09945 14,21722 13,36159 12,53955 11,75657 11,01655 10,32191 9,673702 9,071812 8,515196

34 15,54410 14,60825 13,70177 12,83244 12,00629 11,22755 10,49872 9,820753 9,193286 8,614940

35 15,98711 14,99613 14,03749 13,11984 12,24980 11,43191 10,66873 9,961072 9,308285 8,708603

36 16,42848 15,38086 14,36878 13,40181 12,48719 11,62976 10,83212 10,09489 9,417091 8,796497

42 19,04237 17,62368 16,26499 14,98278 13,78844 12,68827 11,68417 10,77440 9,954645 9,218804

48 21,59759 19,75559 18,00889 16,38322 14,89430 13,54854 12,34466 11,27584 10,33170 9,500090

54 24,09445 21,77889 19,60728 17,61671 15,82647 14,24024 12,85000 11,64025 10,59168 9,683974

60 26,53331 23,69610 21,06741 18,69723 16,60617 14,79094 13,23209 11,90153 10,76831 9,802294

61


TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS

Dias Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Dias

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30

31 31 90 151 212 243 304 365 31

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