Aprenda Facil Mat Financeira

7/25/2019 Aprenda Facil Mat Financeira

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SUMRIO

APRESENTAO ................................................................................. 4

INTRODUO .......................................................................................6

1. Nmeros Proporcionais ..................................................................7

2. Operaes sobre Mercadorias ....................................................... 12

2.1 - Preos de custo e venda: ........................................................ 13 2.2 - Lucros e Prejuzos: .................................................................13

3. Taxa de Juros .................................................................................. 17

3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa: .....................................18

3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: ...............................................20

4. Inao ............................................................................................ 21

5. Capitalizao Simples.................................................................... 24

5.1 - Juros Simples: .......................................................................25

5.3 - Desconto Simples:................................................................28

6. Capitalizao Composta .................................................................32 6.1 - Juros Compostos: ..................................................................33

6.2 - Montante Composto: ..............................................................34

6.3 - Desconto Composto: .............................................................36

BIBLIOGRAFIA BSICA ......................................................................40

QUESTES ..........................................................................................41

GABARITO ...........................................................................................50


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APRESENTAO

Esta apostila foi elaborada para contribuir com a honrosa prosso de Corretor de

Imveis j fazia parte de meus projetos, antes mesmo, de receber o nobre convite do

COFECI.

Desde pequeno eu acompanhava o trabalho do meu pai, um corretor de imveis que

conta hoje com praticamente quarenta anos de prosso, e que sempre se preocupou em

oferecer um excelente servio ao cliente, para assim, efetuar a venda do produto o imvel.

O servio prestado ao cliente pode ser classicado como, a parte das relaes

humanas, no processo de venda. nesta etapa que devemos mostrar o conhecimento da

linguagem da Matemtica Financeira, informando, orientando e trazendo segurana para o

comprador.

Nossa apostila comea com uma matemtica bsica e fundamental, necessria para a

construo de um alicerce bem estruturado, passando pelas operaes sobre mercadorias,pelas taxas de juros, pela inao, at chegarmos aos regimes de capitalizao. Vrios

autores foram pesquisados na tentativa de se obter bons contedos.

No primeiro tpico - Nmeros Proporcionais - foi utilizado como referncia o livro

Matemtica Comercial e Financeira com complementos de matemtica e introduo ao

clculo, de Nicolau Dambrsio e Ubiratan Dambrsio. Nessa bibliograa capturamos os

fundamentos das razes equivalentes, das propores, da diviso em partes proporcionais,

da diviso em partes inversamente proporcionais e das porcentagens.

Esses conhecimentos sero de grande valia para o entendimento e a resoluo de

alguns exerccios no nal da apostila.

No segundo tpico- Operaes sobre Mercadorias so feitos estudos (atravs de

exemplos), mostrando-se o clculo de lucros e prejuzos, referenciando-se nos preos

de compra e venda. Os livros aqui adotados, Matemtica Financeira: noes bsicas, de

Jos Lineu Marzago e Matemtica Comercial e Financeira, de Rogrio Gomes de Faria,

foram de grande valia, pois proporcionaram uma viso esclarecedora de vrios casos de

negociaes de vendas e compras.


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No terceiro tpico- Taxas de Juros- procurou-se informar como se utiliza o tempo de

aplicao e a taxa de juros em frmulas de matemtica nanceira, bem como, a diferena

entre juro exato e juro comercial.Novamente, os autores Nicolau Dambrsio e Ubiratan Dambrsio so nossos esteios

na elaborao desta lio que, possui tambm, exemplos resolvidos para a obteno de

um melhor entendimento sobre o assunto. importante compreendermos as taxas, pois as

mesmas esto presentes nos investimentos e emprstimos.

O assunto Inao (quarto tpico) utiliza-se de uma linguagem bem tranqila,

baseada no livro Guia da inao para o povo, de Paul Singer, possibilitando ao leitor um

entendimento geral deste, dito terror, do mundo econmico.

O estudo do regime de Capitalizao Simples o nosso cenrio principal no quinto

tpico da apostila. Aqui, so abordados a conceituao de juros simples, montante simples,

desconto simples, clculo de taxa acumulada, sempre com a utilizao de vrios exemplos.

Na seqncia, o sexto tpico, feito o estudo da Capitalizao Composta. Neste

regime de capitalizao so analisados os juros compostos, o montante composto e o

desconto composto. So tambm estudados o clculo do montante a partir de uma srie

de vrios depsitos e a equivalncia entre taxa anual composta e taxa mensal composta.

Sabendo-se que todas as negociaes nanceiras tm como suporte um dos regimes

de capitalizao, procurou-se dar nfase aos dois ltimos tpicos, estando os seus

respectivos exemplos de aprendizagem, digitados no estilo passo a passo. A bibliograa,

aqui utilizada, foi o livro Concursos Pblicos - Matemtica Geral e Financeira, de Benjamin

Cesar de Azevedo Costa que, muito nos auxiliou na formatao das etapas nais destes

estudos.

Atravs dos contedos abordados, a presente apostila tem por objetivo, dar ao

aluno uma melhor viso dos conceitos matemticos, possibilitando-o executar transaes

nanceiras e tambm prepar-lo para o exame de procincia do COFECI na disciplina em

questo.

O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois, aquele que conseguir aliar

fundamentao terica prtica, ter um poderoso instrumento de trabalho nas mos, alm

claro, de clientes para efetuar negcios.


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INTRODUO

O Capitalismo comeou aps o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do dcimosegundo sculo depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema econmico, social

e poltico.

Como importantes caractersticas do Capitalismo podemos citar:

a combinao de trs centros econmicos (produo, oferta e consumo) formatando

a economia de mercado;

o surgimento das grandes empresas;

as relaes de trocas monetrias;a preocupao com os rendimentos;

e principalmente, o trabalho assalariado.

Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases, sendo

atualmente chamado, nos pases de primeiro mundo, de Capitalismo Financeiro. Nesta

fase, as grandes empresas nanceiras so as detentoras do maior volume do capital em

circulao.

Sobre as outras trs etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar:

1)Pr-Capitalismo: fase de implantao desse sistema (sculos XII ao XV);

2)Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros

(sculos XV ao XVIII);

3)Capitalismo Industrial: o capital investido nas indstrias, transformando os

industriais em grandes capitalistas (sculos XVIII, XIX, XX). bom lembrar que esta terceira

fase ainda acontece.

Ento, para existir um melhor entendimento entre as relaes de troca, para a

utilizao das melhores taxas em emprstimos e investimentos, para se fazer previses

de movimentao de capital no mercado, para clculo de juros, montante, descontos,

dentre outros, a matemtica foi sendo gradativamente aplicada ao comrcio e s nanas;

Conseqentemente, originando o seu ramo especco, chamado Matemtica Financeira.

A Matemtica Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado econmico

que no esttico, o conhecimento e a informao representam um grande poder para a

execuo de servios.


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1Nmeros Proporcionais


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Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, denimos a razo entre a e b, nesta

ordenao, como o quociente entre a e b.

Ento, escrevemos: b

a

ou a : b. Observao: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o

seu valor, diferente de zero.

b

a

( a o numerador e b o denominador).

Exemplo: Calcule a razo entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28.

Soluo: a = 32 , ento 32 = 16 = 8. Essas trs fraes so Razes

b 28 28 14 7

Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das trs fraes,

obteremos o mesmo resultado.

Resposta:7

8=

b

a .

A igualdade de duas razes equivalentes chamada de Proporo.

Exemplo 1: 16= 8, 16 e 7 so os extremos da proporo e 14 e 8 so os meios da

14 7

proporo.

Propriedade Fundamental: Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto

dos extremos.

Exemplo 2: As razes3

21 e

4

61 so iguais, logo:

4

61

3

21= , ento: 3 x 16 = 4 x 12.

48 = 48.

Vamos trabalhar agora, com a Diviso em Partes Proporcionais, atravs da anlise

do exemplo a seguir:

Exemplo: Dividir o nmero 850 em partes proporcionais aos nmeros 1, 4 e 5.


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Observao: como a diviso proporcional trs nmeros, o nmero 850

ser dividido em trs partes.

Soluo: vamos supor que as trs partes do nmero 850 sejam representadas,

respectivamente, pelas letras X, Y e Z.

X= .851*541

850=

++

Y= .3404*541

850=

++

Z= .4255*541

850=

++

Somando-se os nmeros 85, 340 e 425 obteremos o nmero 850, provando assim,

que a diviso em partes proporcionais est correta.

No clculo de cada uma das letras ( X , Y e Z ), devemos sempre dividir o nmero

principal ( neste caso o nmero 850 ), pelo somatrio das partes proporcionais ( no exemplo

foram os nmeros 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta diviso por cada

uma das partes proporcionais.

Diviso em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplicao:

Exemplo: Dividir o nmero 1.200 em partes inversamente proporcionais aos nmeros

2 e 4.

1 passo: Deve-se inverter os nmeros, tornando-os2

1e

4

1.

2 passo: Deve-se agora, colocar as fraes em um mesmo denominador

(denominador comum). Vamos fazer o mnimo mltiplo comum e depois dividir, o

mnimo mltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado

desta diviso pelo numerador, lembrando que, estes clculos esto acontecendo com as

fraes2

1e

4

1. Como o valor do mnimo mltiplo comum ser 4, as fraes se modicaro

para4

2 e4

1 .

3 passo: Um novo problema aparecer, pois agora sero utilizados apenas


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os numeradores das novas fraes encontradas no item 2 passo. A partir daqui teremos

uma resoluo semelhante diviso em partes proporcionais , pois o nmero principal (

neste caso o nmero 1.200 ) ser dividido pelo somatrio das partes ( nmeros 2 e 1 ),

sendo o resultado desta diviso multiplicado por cada uma das partes.

1 parte: .8002*12

200.1=

+

2 parte: .4001*12

200.1=

+

4 passo: Somando-se os nmeros 800 e 400 obteremos o nmero 1.200,

provando assim que, a diviso em partes inversamente proporcionais est correta.

Nesta parte, vamos estudar noes bsicas que sero de grande valia no trabalho

com porcentagens (percentagens).

Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitria.

Soluo: devemos dividir a taxa por 100.

14,45% = 14,45 .1445,0= 0,1445 a forma unitria.

100

Exemplo 2: Colocar a frao4

3na forma percentual.

Soluo: devemos utilizar as Razes Equivalentes e a propriedadefundamental das Propores que esto citadas no incio deste tpico.

1004

3 x=

4 . x = 3 . 100

4x = 300

x = 75, ento 3= 75 = 75%

4 100


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Exemplo 3: Calcular 27% de 270.

Soluo : transformar 27% na forma unitria e depois multiplicar o nmero

encontrado por 270.

27% = 27 = 0,27. Assim: 0,27 x 270 = 72,9. 100

72,9 corresponde a 27% de 270.


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2Operaes sobre Mercadorias


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2.1 - Preos de custo e venda:

Vamos trabalhar, nesta seo, com problemas de porcentagens relacionados soperaes de compra e venda.

Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuzo, sendo que

os mesmos, podem ser calculados sobre o preo de custo ou sobre o preo de venda da

mercadoria em questo.

Frmula bsica : PRV = PRC + LC

Onde: PRV = Preo de Venda;

PRC =Preo de Custo ou Preo de Compra;

LC = Lucro obtido na Venda.

2.2 - Lucros e Prejuzos:

O estudo desta seo ser feito com base nos exemplos a seguir:

Exemplo 1: Lucro sobre o custo.

Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00. Calcule o

lucro, na forma percentual, sobre o preo de compra.

Soluo: PRC = 3.000

PRV = 3.850 3.000 100%

PRV = PRC + LC 850 X

LC = PRV - PRC

LC = 3.850 3.000 3.000 . X = 100 . 850

LC = 850 X = 28,333%


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Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%.

Exemplo 2: Lucro sobre a venda.

Uma mesa de escritrio foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calcule

o lucro, na forma percentual, sobre o preo de venda.

Soluo: PRC = 550

PRV = 705 705 100%

PRV = PRC + LC 155 X

LC = PRV PRC 705 . X = 100 . 155

LC = 705 550 X = 21,986%

LC = 155 Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%.

Exemplo 3:

Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre

o preo da venda, calcule o mesmo.

Soluo: 430 100%

X 15%

100 . X = 430 . 15 X = 64,5

O lucro foi de R$64,50.

Sendo o lucro calculado sobre o preo da venda, este ter o valor de 100% .

Exemplo 4:

Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro,

em porcentagem, sobre o preo de custo.


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Soluo: PRV = PRC + LC 518 100%

PRC = PRV LC 152 X

PRC = 670 152 PRC = 518

518 . X = 100 . 152

X = 29,344%.

Sendo o lucro calculado sobre o preo de custo, este ter o valor de 100%.

Exemplo 5:

Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuzo de

42%, sobre o preo de venda. Calcule o preo de venda.

Soluo: 142% 1.050

100% X

142 . X = 100 . 1050

X = 739,44.

O preo de venda R$739,44.

Como o prejuzo de 42% sobre o preo de venda, este corresponder a 100%.

O preo de custo corresponder ento a 142%.

Exemplo 6:

Uns mveis de escritrio foram vendidos com prejuzo de 15% sobre o preo de venda.

Calcule o preo de venda sabendo-se que o preo de custo foi de R$445,00.

Soluo: 115% 445

100% X


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115 . X = 100 . 445

X = 386,96

O preo venda de R$386,96.

Como o prejuzo de 15% sobre o preo de venda, este corresponder a 100%.

O preo de custo corresponder a 115%.

Exemplo 7: Utilizao de ndices.

Em uma operao de compra e venda, a taxa de prejuzo para o preo de venda foi de

4 para 8. Determine o preo de venda sabendo-se que o preo de custo foi de R$2.500,00.

Soluo: Custo Prejuzo Venda

2.500

4

P 8

PRV

12

2.500 = PRV

12 8

12 . PRV = 2500 . 8

PRV = 1666,67.

O preo de venda R$1.666,67.

A relao de proporcionalidade entre o prejuzo e o preo de venda estabelecida

pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preo de venda para 4 unidades de

prejuzo e, conseqentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exerccio.


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3Taxa de Juros


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Quando pedimos emprestado uma certa quantia, a uma pessoa ou a uma instituio

nanceira, normal, aps um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi emprestada,

mais uma outra quantia que representa o aluguel pago pelo emprstimo.

Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o bnus que

se paga por um capital emprestado.

O juro que produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao ms, ao

dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama

Taxa de Juros.

3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa:

Sempre o prazo de aplicao (representado pela letra n) deve estar na mesma unidade

de tempo (anos, meses, dias) em que est a taxa de juros (representada pela letra i ).

Consideraes Importantes:

1) - O ms comercial possui 30 dias;

- O ano comercial possui 360 dias;

- O ano civil possui 365 dias.

2) Normalmente, a taxa de juros i est expressa na forma percentual, assim, para

us-la em qualquer frmula de matemtica nanceira, deve-se antes, transform-la para a

forma unitria.

Ex.: i = 25,8% forma unitria i = 0,258.


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Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial, equivale

a quantos % (por cento) ao dia?

Soluo: ano comercial = 360 dias. i = %50,0

360

%81= ao dia. resposta: 0,05% ao dia.

Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao ms?

Soluo: i = 12% ao ano.

i =%121

%21= ao ms. resposta: 1% ao ms.

Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao ms, considerando-se o ms comercial, equivale

a quantos % (por cento) ao dia?

Soluo: ms comercial = 30 dias.

i = %1,0

03

%3= ao dia. resposta: 0,1% ao dia.

Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao ms, equivale a quantos % ( por cento) ao

ano?

Soluo: ( 4,5% ao ms) x 12 = 54% ao ano.

i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano.

Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao ano,

levando-se em considerao o ano civil?

Soluo: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano.

i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano.


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3.2 - Juro Exato e Juro Comercial:

Geralmente, nas operaes correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam oprazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no clculo do juro exato, teremos a taxa de juros

i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado o ano civil.

J, no clculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o

ano utilizado o ano comercial.

Juro Exato J = C x 365

i

x n.

Juro Comercial J = C x 360

i

x n.

Obs: As frmulas do juro exato e do juro comercial sero abordadas no tpico

capitalizao simples. Por enquanto, basta compreender que as divises feitas nas duas

frmulas foram necessrias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem iguais.


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4Inflao


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(O presente tpico visa dar ao aluno um conhecimento bsico sobre o problema

inacionrio).

De uma maneira global, a inao caracterizada por um aumento geral e cumulativodos preos. Esse aumento geral no atinge somente alguns setores, mas sim, o bloco

econmico como um todo. J o aumento cumulativo dos preos acontece de forma contnua,

prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado.

O Estado em associao com a rede bancria aumenta o volume do montante dos

meios de pagamento para, atender uma necessidade de demanda por moeda legal; mas

associado ao aumento do montante, acontece tambm, um aumento dos preos.

O aumento dos preos gera a elevao do custo de vida, popularmente chamado de

carestia.

O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econmicas.

Uma famlia pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar gneros

alimentcios. O restante do dinheiro geralmente utilizado para o pagamento de servios

de gua, luz e esgoto.

Em uma famlia abastada, alm dos gastos com alimentos, gua tratada e eletricidade,

costuma-se tambm gastar com roupas, carros, viagens, clnicas de beleza e esttica,

entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preos dos produtos de beleza e

rejuvenescimento, ter peso zero no custo de vida da famlia pobre e um acrscimo no

oramento da famlia rica.

Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um determinado

peso nas contas mensais, sofre tambm um aumento.

Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida:

Um casal gasta de seu oramento mensal 12% com alimentao, 10% com vesturio,

8% com plano de sade e 5% com o lazer.

Acontece ento uma elevao geral nos preos, acrescentando um aumento de 3%

nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vesturio, 4% nos gastos com plano de

sade e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no ms.


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Soluo:

Produtos

Gasto

nooramento

Gasto nooramento naforma unitria

Aumentodos produ-tos

Aumento dos

produtosna formaunitria

Alimentos 12% 0,12 3% 0,03

Vesturio 10% 0,10 5% 0,05

Plano de Sade 8% 0,08 4% 0,04

Lazer 5% 0,05 2% 0,02

Para o clculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o

gasto no oramento na forma unitria com o aumento dos produtos na forma unitria.

Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036.

Vesturio: 0,10 x 0,05 = 0,005.

Plano de Sade: 0,08 x 0,04 = 0,0032.

Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001.

ProdutosAumento do custo do

produto na formaunitria

Aumento do custo do pro-duto na forma percentual

Alimentos 0,0036 0,36%

Vesturio 0,005 0,50%

Plano de Sade 0,0032 0,32%

Lazer 0,001 0,10%

Com o somatrio dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o

aumento do custo de vida no ms em questo: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%.

Nesse ms, o aumento no custo de vida para a famlia do exemplo foi de 1,28%,devido elevao dos preos de quatro produtos utilizados pelo casal.


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5Capitalizao Simples


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No regime de capitalizao simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente sobre o

capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao nal do perodo de

tempo( n ).

5.1 - Juros Simples:

Juro produzido pelo capital C ao nal de um perodo de tempo: J = C x i.

Juro produzido pelo capital C ao nal de n ( vrios ) perodos de tempo: J = C x i x n.

Frmula Bsica: J = C x i x n Onde: J = juros simples.

C = capital inicial ou principal.

i = taxa de juros.

n = tempo de aplicao ou prazo de tempo.

Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, taxa de 2%ao ms, qual ser o valor dos juros simples?

Soluo: J = C x i x n

C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2

i = 2% ao ms = 0,02 J = 353

n = 2 meses J = R$353,00

Obs: i e n esto na mesma unidade de tempo.

Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, taxa de 9%

ao ano, qual ser o valor dos juros simples?

Soluo: J = C x i x n.

C = 550.

i = 9% ao ano =21

%9 0,75% ao ms = 0,0075.

n = 4 meses.


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J = 550 x 0,0075 x 4.

J = 16,50.

J = R$16,50.

Exemplo 3: Calcule o capital necessrio para que haja um rendimento de R$650,00,

sabendo-se que a taxa utilizada de 5% ao ms e o perodo de tempo igual a 6 meses.

Soluo: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C =ni

J

.

J = 650.

i = 5% ao ms = 0,05. C =6*50,0

650

n = 6 meses. C = 2166,67.

C = R$2.166,67.

Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo R$105,00

de juros simples. Calcule a taxa mensal i.

Soluo: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, i = ..nC

J

J = 105.

C = 425. i =6*425

105

n = 6 meses. i = 0,04117

i = 0,04117 est na forma unitria. Para colocarmos o resultado na forma

percentual devemos multiplicar i por 100, cando ento como resposta, i = 4,117% ao

ms.

Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o ms porque o perodo de aplicao

estava, em meses.


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5.2 - Montante Simples:

soma dos juros simples (relativo ao perodo de aplicao) com o capital inicial ou

principal d-se o nome de montante simples.

Frmulas: S = J + C ou S = C x i x n + C

S = C x ( i x n + 1)

Onde: S = Montante Simples.

J = Juros Simples.

i = Taxa de Juros.

n = Perodo de Aplicao.

Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um perodo de 8 meses, taxa de 24% ao ano, no regime de capitalizao simples. Calcule o montante.

Soluo: S = J + C

C = 1550.

i = 24% ao ano ao ms = 0,02.

n = 8 meses.

J = C x i x n.

%221

%42=

J = 1550 x 0,02 x 8.

J = 248.

S = J + C.

S = 248 + 1550.

S = 1798.

S = R$1.798,00.

Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00,para obter um montante simples de R$360.000,00, taxa de 16% ao ms.


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28

Soluo: C = 200.000. S = C x (i x n + 1)

S = 360.000.

( i x n + 1 ) = C

S

i = 16% ao ms = 0,16.

(i x n + 1) =000.200

000.360

(i x n + 1) = 1,8.

i x n = 1,8 1.

i x n = 0,8.

0,16 x n = 0,8.

n = 5 meses.

A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i tambm estar em meses.

5.3 - Desconto Simples:

Toda vez que se paga um ttulo, antes da data de seu vencimento, obtemos um

desconto (abatimento).

Algumas consideraes:

Valor Nominal (VN) o valor indicado no ttulo, na data de seu vencimento.

Valor Atual (VA) o valor do ttulo no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antesda data de vencimento.

D =VN VA Onde D = Desconto.

Desconto Racional ou Por Dentro:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, taxa utilizada e ao perodo

de tempo correspondente.

Frmula:ni

NV

ni

RDAV

.1.1 +== Onde: DR = Desconto Racional;


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29

VA = Valor Atual;

VN = Valor Nominal;

i = taxa;

n = Perodo de Tempo.Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um ttulo com valor atual de R$16.000,00,

taxa de 2,6% ao ms e com prazo de 3 meses para o vencimento.

Soluo:ni

RDAV

.1= VA = 16.000

i = 2,6% ao ms = 0,026

n = 3 meses.

DR = VA x i x n

DR = 16.000 x 0,026 x 3

DR = 1.248

DR = R$1.248,00

Exemplo 2: Se um emprstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto

racional, sabendo-se que a taxa de juros de 12% ao ano e o prazo de 5 meses para o

vencimento.

Soluo:ni

RDAV

.1= VA = 750.

i = 12% ao ano %121

%21= ao ms = 0,01.

DR = VA x i x n

DR = 750 x 0,01 x 5

DR = 37,5

DR = R$37,5.

Desconto Bancrio ou Comercial ou Por Fora:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, taxa utilizada e ao perodo


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30

de tempo correspondente.

Frmula:1..1

NV

ni

BD

ni

AV==

Onde: DB = Desconto Bancrio;

VA = Valor Atual;

VN = Valor Nominal;

i = Taxa;

n = Perodo de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o desconto bancrio para um compromisso de valor nominal igual

R$2.700,00, taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar

o ano comercial).

Soluo:1.

NV

ni

BD= VN= 2.700.

i = 18% ao ano%05,0

360

%18=

ao dia = 0,0005.

DB = VN x i x n

DB = 2700 x 0,0005 x 33

DB = 44,55

DB = R$44,55.

Exemplo 2: Calcule o desconto por fora para um pagamento antecipado, taxa de

5,8% ao ms e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal de R$42.000,00.

Soluo:1.

NV

ni

BD= VN = 42.000

i = 5,8% ao ms = 0,058.

DB = VN x i x n

DB = 42.000 x 0,058 x 5

DB = 12.180

DB = R$12.180,00.


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31

Consideraes nais dentro da capitalizao simples:

-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que aplicada pelo perodo de n

meses:

Exemplo: No regime de capitalizao simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao

ano, aplicada durante 8 meses.

Soluo: 1) Verica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano;

2) Verica-se o nmero de meses de aplicao, neste exemplo so 8 meses;

3) Calcula-se o valor da taxa i no ms;

ex.: 36% ao ms.

12

4) Multiplica-se a taxa encontrada pelo nmero de meses;

ex.: 3% x 8 = 24%.

5) Resultado Final: 24%.


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32

6Capitalizao Composta


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33

Inicialmente temos o capital principal; aps um perodo, esse capital sofre uma

remunerao (juros), sendo ento, capital e juros somados para, assim, formarem um novo

capital (1 montante).

Esse novo capital, aps um segundo perodo, sofre uma outra remunerao (juros),

sendo ento, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante.

(E assim por diante).

Ento as remuneraes acontecero sempre, em cima do montante do perodo

anterior, caracterizando o que chamamos de capitalizao composta.

6.1 - Juros Compostos:

Frmula: j = C x ( )[ ]11 +n

i Onde: j = Juros Compostos;

C = Capital Inicial;

( 1+i ) = Fator de Capitalizao;

i = Taxa de Juros;


Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalizao composta,

por um perodo de 3 meses, taxa de 2,4% ao ms, qual ser o juro obtido?

Soluo: C = 829,30. j = C x ( ) 11 +n

i

i = 2,4% ao ms = 0,024. j = 829,30 x ( ) 1024,01 3

+

n = 3 meses. j = 829,30 x ( ) 1024,1 3

j = 829,30 x [ ]1073742,1

j = 61,15

j = R$61,15.


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34

Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56, aplicado

taxa de 6% ao ano, durante um perodo de 2 meses.

Soluo: C = 777,56.

i = 6% ao ano21

%6 = 0,5% ao ms = 0,005. j = C x ( ) 11 +

n

i

n = 2 meses. j = 777,56 x ( ) 1005,01 2

+

j = 777,56 x ( ) 1005,1 2

j = 777,56 x [ ]1010025,1

j = 7,80 j = R$7,80.

6.2 - Montante Composto:

Frmula: s = C x ( 1+i ) Onde: s = Montante Composto; C = Capital Principal;

( 1+i ) = Fator de Capitalizao.

i = Taxa de Juros;


Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado

taxa de 2% ao bimestre, durante um perodo de 6 meses.

Soluo: C = 627,43.

i = 2% ao bimestre = 0,02.

n = 6 meses

Como 6 meses correspondem a trs bimestres, o n ser igual a 3, pois o perodo de

capitalizao bimestral.


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35

s = C x ( 1+i )

s = 627,43 x (1+0,02)

s = 627,43 x (1,02) s = 627,43 x (1,061202)

s = 665,83

s = R$665,83.

Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado

taxa de 7,2% ao ms, durante 4 meses.

Soluo: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i )

i = 7,2% ao ms = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072)

n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072)

s = 15.600,70 x (1,320623)

s = 20.602,64.

s = R$20.602,64.

Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, taxa

de 18% ao ano, durante um perodo de aplicao de 4 meses.

Soluo: s = 7656,70.

i = 18% ao ano %5,121

%81= ao ms = 0,015.

n = 4 meses.


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36

Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar

um montante de R$4.800,00, em um perodo de 2 meses.

Soluo: C = 300.s = 4.800

n = 2 meses

s = C x (1+i )

(1+i ) =C

s

(1+i )300

800.42=

(1+i ) = 16.

(1+i ) = 16

1+ i = 4

i = 4 1

i = 3

i = 3 representa a taxa na forma unitria;

Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%;

Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, s lembrar que, o perodo de

tempo n est sendo usado em meses.

Resposta: i = 300% ao ms.

6.3 - Desconto Composto:

No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao

capital. Essa determinada quantia chamada de valor atual.

Nos clculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.


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37

Frmula: VN = VA x ( )ni+1 D = VN - VA

Onde: VN = Valor Nominal;

VA = Valor Atual;

D = Desconto Composto.

Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, taxa de

1,7% ao ms, 2 meses antes do vencimento.

Soluo : VN = 1.250,52. i = 1,7% ao ms = 0,017.

n = 2 meses.

VN = VA x ( )ni+1

VA =( )ni

NV

+1

VA = ( )2017,0125,250.1

+

VA =( )2017,1

52,250.1

VA =034289,1

52,250.1

VA = 1.209,06.

D = VN VA D = 1.250,52 1.209,06

D = 41,46

D = R$41,46.

Exemplo 2: Calcular o valor atual de um ttulo de R$753,53, taxa de 18% ao ano, 3

meses antes do vencimento.

Soluo: VN = 753,53.


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38

Consideraes nais dentro da capitalizao composta:

Clculo do montante a partir de uma srie de vrios depsitos:

Frmula: M = Dep x ( )i

i n

11 +

Onde: M = Montante;

Dep = Depsitos.

Exemplo: Calcule o montante de uma srie de 4 depsitos de R$230,00 cada um,

efetuados no m de cada ms, taxa de 2% ao ms, aps o quarto depsito.

Soluo: Dep = 230.

i = 2% ao ms = 0,02.


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39

Equivalncia entre taxa anual composta e taxa mensal composta:

Frmula: ( ) ( ) 2111ma

ii +=+ Onde: i = Taxa anual composta;

i = Taxa mensal composta.

Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente taxa mensal de 3%.

Soluo: ( ) ( ) 2111ma

ii +=+

( ) ( ) 2130,011 +=+

ai

( ) ( ) 2130,11 =+

ai

( ) ( )425760,11 =+ ai

i = 1,425760 - 1

i = 0,425760

Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtm-se o valor da referida

taxa na forma percentual, cando o valor igual a 42,5760%..


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40

BIBLIOGRAFIA BSICA

ARRUDA, J. J. A (1988) Histria Moderna e Contempornea. 3 Ed. So Paulo: Editora

tica, 263p.

COSTA, B. C. A (1996) Concursos Pblicos - Matemtica Geral e Financeira. 2 Ed.

Rio de Janeiro: Ocina do Autor, 206 p.

CRESPO, A A. (1991) Matemtica Comercial e Financeira. 6 Ed. So Paulo: Editora

Saraiva.

DAMBRSIO, N. & DAMBRSIO, U. (1977) Matemtica Comercial e Financeira

com complementos de matemtica e introduo ao clculo. 25 Ed. So Paulo: Companhia

Editora Nacional, 287 p.

FARIA, R. G. (1979) Matemtica Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc

Graw-Hill do Brasil, 219 p.

MARZAGO, L. J. (1996) Matemtica Financeira: noes bsicas. Belo Horizonte:

Edio do Autor, 173 p.

SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemtica. Srie Novo

Ensino Mdio Volume nico. So Paulo: Editora tica, 424 p.

SINGER, P. (1983) Guia da Inao para o povo. 9 Ed. Petrpolis: Vozes, 80 p.


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41

QUESTES

(Resolva todos os exerccios, retornando ao texto, sempre que julgar necessrio).

1- Escreva a frao 16 na forma percentual:

18

88,889%

86,800%

80,600%

90,889%

92,800%

2- A taxa de juros de 23,5% na forma unitria :

235,0

0,023

023,5

02,35

0,235

3- Calcular o valor do somatrio de: 42% de 350 com 16% de 102:

160,40

163,32

165,45

167,32

161,23


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42

4 - Dividir o nmero 540 em partes proporcionais aos nmeros 4, 5 e 6:

148, 180, 212.

180, 212, 148.100, 200, 240.

144, 180, 216.

200, 216, 124.

5 - Dividir o nmero 325 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4:

200, 100, 25.

50, 75, 200.

150, 100, 75.

300, 10, 15.

20, 85, 220.

6 - Uma mesa de escritrio foi comprada por R$ 275,00 e vendida por R$ 345,00.

Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preo de compra:

25,45%

25,75%

22,40%

23,45%

26,40%

7 - Uma mercadoria foi comprada por R$ 150,00 e vendida por R$ 205,00. Calcule o

lucro, na forma percentual, sobre o preo de venda:

25,20%

26,75%

25,89%

26,50%


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43

26,83%

8 - Um monitor de computador foi vendido com um prejuzo de 9% sobre o preo devenda. Calcule o preo de venda sabendo-se que o preo de custo foi de R$ 327,00:

R$ 300,00

R$ 305,00

R$ 310,00

R$ 295,00

R$ 290,00

9 - Em uma determinada operao imobiliria (compra e venda), a taxa de prejuzo

para o preo de venda foi de 2 para 6. Determine o preo de venda sabendo-se que o preo

de custo foi de R$ 705,00:

R$ 515,45

R$ 522,75

R$ 538,75

R$ 532,75

R$ 528,75

10 - A taxa de juros de 24% ao ano, considerando-se o ano comercial, equivale a

quantos % ao dia?

0,050% ao dia.

0,056% ao dia.

0,067% ao dia.

0,072% ao dia.

0,035% ao dia.

11 - A taxa de juros de 18% ao ano, equivale a quantos % ao ms?


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44

1,50% ao ms.

1,30% ao ms.

1,25% ao ms.

1,35% ao ms.1,55% ao ms.

12 - A taxa de juros de 3,75% ao ms, equivale a quantos % ao ano?

40% ao ano.

45% ao ano.

35% ao ano.

30% ao ano.

42% ao ano.

13 - Calcule os juros simples para um capital de R$ 823,00, aplicado taxa de 24%

ao ano, durante um perodo de 6 meses:

R$ 101,00.

R$ 99,40.

R$ 98,76.

R$ 95,20.

R$ 97,40.

14 - Calcule a taxa necessria para transformar R$ 15.000,00 em R$ 25.000,00 no

prazo de 3 meses no regime de capitalizao simples (juros simples):

22,22% ao ms.

22,23% ao ano.

2,22% ao ano.

2,22% ao ms.

88,22% ao ms.


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45

15 - Aplicando-se a juros simples a quantia de R$ 30.000,00 , durante 8 meses, taxa

de 5% ao ms, qual ser o montante obtido no nal do perodo?

R$ 34.000,00R$ 36.000,00

R$ 38.000,00

R$ 40.000,00

R$ 42.000,00

16 - Calcule o montante de uma srie de 3 depsitos de R$ 150,00 cada um, efetuados

no m de cada ms, taxa de 1% ao ms, aps o terceiro depsito:

R$ 450,47

R$ 454,51

R$ 460,51

R$ 458,87

R$ 465,00

17 - Calcule o montante, da aplicao de um capital de R$ 35.000,00, durante um

perodo de 4 meses, a juros compostos de 7% ao ms:

R$ 50.887,86

R$ 48.787,90

R$ 46.560,86R$ 45.877,86

R$ 42.900,86

18 - No regime de capitalizao simples, a taxa acumulada a 18% ao ano, aplicada

durante 4 meses de:

7%

4%


46/50

46

6%

8%

10%

19 - No regime de capitalizao composta, determine a taxa anual equivalente taxa

mensal de 1,5%:

19,56%

20,06%

22,07%

18,40%

18,56%

20 - Um capital C foi aplicado em um sistema de capitalizao que, pagou juros

compostos, taxa de 10% ao ms. Aps um bimestre, o montante era de R$ 1.050,00.

Calcule o valor do capital C:

R$ 850,50

R$ 855,46

R$ 867,76

R$ 870,40

R$ 872,76

21 - Um capital de R$ 2.330,00 eleva-se para R$ 2.790,00 , em 1 ano, no regime de

capitalizao simples. Calcule a taxa de aplicao ao ano.

19,50% ao ano

19,74% ao ano

18,56% ao ano

13,74% ao ano

15,64% ao ano


47/50

47

22 - Calcule o montante simples para um capital de R$11.111,00, aplicado por um

perodo de 72 dias, taxa de 18% ao ano:

R$ 11.350,60R$ 11.430,23

R$ 12.400,00

R$ 11.510,99

R$ 10.540,99

23 - Uma Letra de R$ 555,55 reduziu-se a R$ 490,00 quando foi paga um ms antes

do vencimento. Calcule a taxa de desconto comercial simples:

12,33% ao ms

11,55% ao ms

13,55% ao ms

12,40% ao ms

11,80% ao ms

24 - Sabendo-se que a taxa semestral de 3,24%, calcule o valor da taxa nominal

anual:

6,40% ao ano

6,48% ao ano5,72% ao ano

6,58% ao ano

6,48% ao ms

25 - Calcular os juros compostos de um capital de R$ 14.401,00, taxa de 8,6% ao

ano, durante um perodo de 3 anos:

R$ 4.300,00


48/50

48

R$ 3.390,15

R$ 4.100,15

R$ 4.044,15

R$ 4.032,00

26 - Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 7.702,00, a juros compostos de

6,2% ao ano, em um perodo de 3 anos:

R$ 8.340,00

R$ 8.400,65

R$ 8.686,65

R$ 8.540,70

R$ 7.680,00

27 - Calcule o valor do desconto composto para uma dvida de R$ 6.000,00 que foi

descontada 1 ano antes do vencimento, taxa de 15% ao ano:

R$ 640,00

R$ 690,61

R$ 794,61

R$ 760,60

R$ 782,61

28 - Um produto obteve dois aumentos consecutivos de 5% e 9%. No regime de

capitalizao composta, calcule o aumento nal do produto:

12,45%

13,00%

13,45%

14,00%

14,45%


49/50

49

29 - Calcule a taxa semestral proporcional a 47,42% ao ano:

4,74%

20,42%25,00%

23,71%

23,00%

30 - Calcule os juros simples para um capital de R$ 57,57, taxa de 9% ao ms,durante

um perodo de 23 dias:

R$ 4,50

R$ 5,97

R$ 3,97

R$ 2,62

R$ 3,45


50/50

GABARITO

1. A 11. A 21. B

2. E 12. B 22. D

3. B 13. C 23. E

4. D 14. A 24. B

5. C 15. E 25. D

6. A 16. B 26. C

7. E 17. D 27. E

8. A 18. C 28. E

9. E 19. A 29. D

10. C 20. C 30. C

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