exercicios mat financeira

Centro Universitário Ítalo Brasileiro

Administração de Empresas Ciências Contábeis

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Profa Julia Satie Morita Nobre

Profa Liana Maria Ferezim Guimarães

2009

Matemática Financeira

Profa Júlia Nobre e Profa Liana Guimarães 1


O material aqui apresentado contém, resumidamente, conceitos, definições, exercícios e problemas extraídos dos textos abaixo relacionados:

a) BODIE, Z. & MERTON, R.C. Finanças, São Paulo : Bookman, 2002. b) BRANCO, A.C.C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C,

Microsoft Excel. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. c) CASAROTTO, F.N. & KOPITTKE, B.H. Análise de Investimentos. São Paulo, Atlas,

2000. d) CASCINO, Marcos Antonio Gagliardi. Apostila de Matemática Financeira. São

Paulo: Centro Universitário Ítalo Brasileiro, 2006. e) FARIA, Jorge Luís. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro

Universitário Ítalo Brasileiro, 2008. f) FORTUNA, E. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro:

Qualitymark, 2002. g) GITMAN, L.J. Princípios de Administração Financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra,

1997 h) HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. São Paulo, Atlas,

2000. i) MATHIAS, W.F.& GOMES, J.M. Matemática Financeira. Atlas, São Paulo, 2002. j) PUCCINI, A.L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo:

Saraiva, 1999. k) RAMIRO, W. Apostila de Administração Financeira e Orçamentária I e II.

Universidade Ibirapuera, 1999. l) ROSS, S. et alii. Princípios de Administração Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas,

2000. m) SECURATO, J.R. Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas. São

Paulo, Saint Paul, 2003. n) VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000.



Porcentagem 1. TAXA PERCENTUAL A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é uma deturpação da abreviatura Cto (Ciento) – usada pelos mercadores italianos do século XV nas suas transações comerciais – e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide de Negotien (O Guia do Comerciante). 47% = 47 = 47 ÷ 100 = 0,47 100 TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA (o denominador desta fração é igual a 100) (o denominador desta fração é igual a 1) Quando a taxa percentual é aplicada a um certo valor, o resultado obtido recebe o nome de porcentagem. Quando um cálculo de porcentagem é efetuado, na verdade, é realizado um simples cálculo de proporção. Exemplo: Uma fábrica tinha 600 funcionários. Este ano o número de funcionários aumentou em 15%. Quantos funcionários a fábrica tem agora? Vamos resolver essa questão de três modos diferentes: 1o modo: Calculamos 15% de 600: Observação:

15% de 600 = 90600.15,0600.10015 == funcionários

taxa percentual porcentagem 600 + 90 = 690 funcionários

Toda razão 100

a chama-se taxa percentual

de = multiplicação



2o modo: Fazemos o número inicial de funcionários corresponder a 100%. Com o aumento de 15%, o total de funcionários vai corresponder a 115%.

115% de 600 = 690600.15,1600.100115 == funcionários

3o modo: Estabelecemos uma regra de três:

Número de funcionários Taxa percentual

600

100% x 115%

Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos:

690x100

69000x115.600x.100

115100

x600 =⇒=⇒=⇒= funcionários

Exercícios 1) Transformar os números abaixo em taxa unitária: a) 37% b) 5,3% c) %53 d) 8% e) 200% f) 0,25% g) 3%

2) Transformar os números abaixo em taxa percentual: a) 0,45 b) 0,032 c) 12,35 d) 43 e) 0,03 f) 0,004 g) 7 3) Calcule: a) 37% de 1.200 b) 5,3% de 1.400 c) 180% de 540 d) 0,75% de 380 e) 53 de 600 2. DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENT UAIS: TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL ( ∆∆∆∆%) Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável com seu valor antigo, obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcentagem, ela é chamada de taxa de variação percentual. Portanto:

onde Vant = valor antigo da variável; Vnovo = valor novo da variável.

100V

VV%

ant

antnovo ×

−=∆



Exemplos: 1) Uma mercadoria que custava R$ 12,50 sofreu um aumento, passando a custar R$ 13,50. Qual a porcentagem de aumento no preço? Primeiramente, identificamos os valores novo e antigo da mercadoria: Vant = R$ 12,50 e Vnovo = R$ 13,50 Aplicamos, então, a fórmula:

%810050,12

50,1250,13100

V

VV%

ant

antnovo =×

−=×

−=∆

A mercadoria sofreu um aumento de 8% em seu preço. 2) Um investimento de R$ 20.000,00 em ações propiciou um resgate líquido de R$ 14.300,00. Qual a porcentagem de desvalorização desse investimento? Vant = R$ 20.000,00 e Vnovo = R$ 14.300,00

%5,2810020000

2000014300100

V

VV%

ant

antnovo −=×

−=×

−=∆

Esse investimento sofreu uma desvalorização de 28,5%. 3. ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS E DESCONTOS SUCESSIVOS Uma propriedade importante das taxas percentuais é aquela em que se deseja calcular a porcentagem de uma porcentagem. Neste caso, as taxas percentuais não podem ser adicionadas, mas sim devem ser multiplicadas. No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam acréscimos sucessivos a um mesmo número:

• efetuamos um primeiro acréscimo ao número; • efetuamos um segundo acréscimo ao resultado obtido e assim sucessivamente.

Em geral, se um valor V sofre n acréscimos sucessivos de taxas unitárias i1, i2, ..., in, então o novo valor R é dado por:

( )( ) ( )[ ]niiiVR +++= 1.......1.1 21

No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam descontos sucessivos a um mesmo número:

• efetuamos um primeiro desconto ao número; • efetuamos um segundo desconto ao resultado obtido e assim sucessivamente.

Em geral, se um valor V sofre n descontos sucessivos de taxas unitárias i1, i2, ..., in, então o novo valor R é dado por:

( )( ) ( )[ ]niiiVR −−−= 1.......1.1 21



Portanto, para encontrarmos o valor de taxas acumuladas por acréscimos ou descontos sucessivos, calculamos:

( )( ) ( )[ ]100.11.......1.1 21 −±±±= nac iiii

onde utilizamos (+) para acréscimos e (–) para descontos.

Exemplos: 1) Uma aplicação de R$ 1.200,00 rendeu por 3 meses consecutivos as taxas líquidas de 5%, 3% e 2%, qual o valor resgatado? R = V.[(1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3)] = 1200.[(1 + 0,05).(1 + 0,03).(1 + 0,02)] R = R$ 1.323,76 2) Sobre uma fatura de R$ 50.000,00 foram feitos dois descontos sucessivos de 7% e 4%. Qual o valor líquido dessa fatura? R = V.[(1 - i1) . (1 - i2)] = 50000.[(1 - 0,07).(1 - 0,04)] ⇒ R = R$ 44.640,00 3) Durante 5 meses consecutivos, a variação do valor das cotas de um fundo de ações foi de 12%, 7%, -6%, 1% e -2%. Qual foi a variação nesse período? iac = [(1 ± i1) . (1 ± i2) . … . (1 ± in) - 1] x 100 iac = [(1 + 0,12).(1 + 0,07).(1 – 0,06).(1 + 0,01).(1 – 0,02) - 1] x 100 iac = 11,5006% nos cinco meses.

Observação: Note que, nas fórmulas, as taxas são utilizadas sempre na forma unitária.



Problemas envolvendo porcentagem 01) O salário de um trabalhador em abril de 2000 era de R$ 1.265,00. Determine o novo salário,

após um reajuste de 8,30% em maio. [R: $ 1.370,00]

02) O preço de um determinado produto no mês passado era de $ 126,00. Se o seu preço atual é de $ 148,50, determine a porcentagem do aumento sofrido nesse período. [R: 17,86%]

03) Um vendedor ganha 3,5% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$480,00 de comissões, quanto vendeu? [R:$ 13.714,29]

04) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de $ 800,00 e comissão de 3,5% sobre as vendas que realiza. Tendo recebido um salário de R$ 1.760,00, determine quanto vendeu no mês em questão. [R: $ 27.428,57]

05) Uma pessoa gasta seu salário da seguinte maneira: 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel , 35% para a alimentação e o restante é utilizado em atividades de lazer. Qual é o salário dessa pessoa, se são gastos $ 450,00 em lazer? [R: $ 3.000,00]

06) Um investidor aplicou $ 1.100,00 em CDB, $ 1.500,00 na caderneta de poupança e $ 1.300,00 em ações. Determine a distribuição percentual de suas aplicações.

[R:28,21% (CDB); 38,46% (poupança); 33,33% (ações)]

07) Um eletrodoméstico passou a ser vendido por $ 200,00, após um aumento de 25%. Determine o preço antes da alteração. [R: $ 160,00]

08) O preço das ações da Cia. GG caiu de $ 4,20 para $ 3,15. Qual foi a variação percentual? [R: -25,00%]

09) Um investidor comprou uma casa por $ 50.000,00 e gastou 80% do custo em uma reforma. Mais tarde, vendeu a casa por $ 120.000,00. Qual foi seu lucro? De quanto foi seu lucro percentual? [R: $ 30.000,00; 33,33%]

10) Em 1990 as vendas de uma determinada companhia foram de $ 120.000,00. Em 1991 as vendas apresentaram um acréscimo de 35% e no ano seguinte, uma redução de 17%. Determine o valor das vendas dessa companhia em 1992. [R: $ 134.460,00]

11) O preço de um determinado produto sofreu dois aumentos sucessivos: 10% e 20%. Qual foi a variação percentual? [R: 32,00%]

12) O preço de um determinado produto sofreu duas reduções sucessivas: 10% e 20%. Qual foi a variação percentual? [R: - 28,00%]

13) Um objeto é oferecido por $ 600,00; este preço sofre um desconto de 20% e depois de 15%. Determine o novo preço. [R: $ 408,00]

14) Promoções do tipo “leve 3 e pague 2” têm sido cada vez mais utilizadas no comércio. Calcule o desconto percentual oferecido sobre cada unidade vendida. [R: 33,33%]

15) “O salário mínimo foi criado no século XIX na Austrália e na Nova Zelândia. No Brasil o

salário mínimo surgiu no século XX na década de 30, com a promulgação da Lei de nº185 em janeiro de 1936 e decreto de lei em abril de 1938. No dia 1º de Maio o então presidente Getúlio Vargas, fixou os valores do salário mínimo que começou a vigorar no mesmo ano. Nesta época existiam 14 salários mínimos diferentes, sendo que na capital do país, o Rio de Janeiro, o salário mínimo correspondia a quase três vezes o valor do salário mínino no Nordeste. A primeira tabela do salário mínimo tinha um prazo de vigência de três anos, mas em 1943 foi dado o primeiro reajuste seguido de um outro em dezembro do mesmo



ano. Os aumentos eram calculados para recompor o poder de compra do salário mínimo. A unificação total do salário mínimo aconteceu em 1984.” (Fonte: www.brasilescola.com) Considere os valores de salário mínimo instituídos no Brasil nos últimos anos, apresentados na tabela:

Data Salário Mínimo (R$) Data Salário Mínimo (R$)

Abril/2002 200,00 Abril/2006 350,00

Abril/2003 240,00 Abril/2007 380,00

Maio/2004 260,00 Março/2008 415,00

Maio/2005 300,00 Fevereiro/2009 465,00

Com base nesses dados, pede-se determinar a variação percentual do salário mínimo de abril/2007 a março/2008.

[R: A variação percentual do salário mínio de abril/2007 a março/2008 foi de 9,2105%].

16) O Imposto sobre a propriedade predial e territorial urbana (IPTU) é um imposto brasileiro instituído pela Constituição Federal cuja incidência se dá sobre a propriedade urbana. Ou seja, o IPTU tem como fato gerador a propriedade, o domínio útil ou a posse de propriedade imóvel localizada em zona urbana ou extensão urbana...Os contribuintes do imposto são as pessoas físicas ou jurídicas que mantém a posse do imóvel, por justo título. ...Atualmente ele é definido pelo artigo 156 da Constituição de 1988, que caracteriza-o como imposto municipal, ou seja, somente os municípios têm competência para aplicá-lo. A única exceção ocorre no Distrito Federal, unidade da federação que tem as mesmas atribuições dos Estados e dos municípios. ....A base de cálculo do IPTU é o valor venal do imóvel sobre o qual o imposto incide. Este valor deve ser entendido como seu valor de venda em dinheiro à vista, ou como valor de liquidação forçada.... A alíquota utilizada é estabelecida pelo legislador municipal, variando conforme o município.

(Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto_sobre_a_propriedade_predial_e_territorial_urbana)

Considere uma situação na qual um contribuinte pagou o IPTU devido com atraso, arcando com multa de 20% sobre o valor devido. Tendo efetuado um pagamento de $ 414,00 (multa inclusa), determinar o valor do imposto sem a multa.

[R: O valor do imposto sem multa é de $ 345,00]

17) “Promoção de férias de julho: desconto de 33% em todos os pacotes na América do Sul.” – este foi o anúncio publicado no jornal “Gazeta da Manhã” na última semana. Dentre as diversas ofertas apresentadas, destacamos o pacote de viagem para Buenos Aires, com passagem aérea ida e volta, translado e 3 dias de hospedagem com café da manhã. Determine o preço de tabela, se o valor pago pelo cliente por esse pacote com a promoção foi de $ 2.340,00. [R: O preço de tabela é de $ 3.492,54]

18) “As montadoras instaladas no país terminaram maio de 2009 com a produção total de

270.247 veículos, uma queda de 7.7% em relação a igual mês de 2008. Os dados são da Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos Automotores (Anfavea).”

(Fonte: economia.uol.com.br/ultnot/valor, de 04/06/2009) Com base na informação apresentada acima, determinar a produção de veículos no ano de 2008. [R: A produção de veículos em 2008 foi de 292.792 veículos.]

19) “Após 8 meses, dólar fica abaixo de R$ 2,00. Capital externo, atraído por juro alto,

derruba cotação para R$ 1,97; empresas reduzem dívida em R$ 33 bi. Para especialistas, um dos fatores que atraem estrangeiros é o juro básico de 10,25% ao ano, entre os maiores do mundo.... Outras razões apontadas para a valorização do real são a alta no preço das commodities agrícolas e metálicas, principais produtos de exportação do país, e o fato de a economia não ter se desacelerado tanto quanto outras atingidas pela crise.” (Fonte: Folha de São Paulo, 30/05/2009)



Na Tabela abaixo você encontra alguns valores de cotação do dólar americano no ano de 2008 e 2009. Com base nos dados apresentados, pede-se determinar a variação percentual da cotação do dólar no período de 02/01/09 a 02/02/09.

Data Cotação (R$) Data Cotação (R$)

01/09/2009 1,64 02/01/2009 2,33

01/10/2008 1,92 02/02/2009 2,35

03/11/2008 2,18 02/03/2009 2,41

02/12/2008 2,34 02/04/2009 2,23

[R: A cotação do dólar variou 0,8584% no período de 02/01/2009 a 02/02/2009.] Exercícios extras ______________________________________________________ 20) A população de uma pequena cidade do interior sergipano em 1970 era de 20.000

habitantes. Em 1980, a população passou para 16.000 habitantes. Qual foi a variação percentual da população dessa cidade de 1970 para 1980? [R: - 20%]

21) A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas num concurso com 6.500 inscritos? [R: 1.170 aprovados]

22) Numa determinada turma de um curso universitário, 78% dos alunos foram aprovados, 15% reprovados e os 14 alunos restantes desistiram do curso. Qual é o número de alunos dessa turma? [R: 200 alunos]

23) Um carro foi adquirido por R$ 14.600,00. Por quanto deve ser vendido, se a margem de lucro pretendida é de 5% sobre o preço de custo? [R: $15.330,00]

24) Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lojista quiser obter um lucro de 20% sobre o preço de custo, por quanto deve vender esta mercadoria? [R: $ 9.600,00]

25) Uma mercadoria custou $ 8.000,00. Se o lucro que o lojista quer obter representa 20% do

preço de venda, por quanto deve vender esta mercadoria? [R: $ 10.000,00] 26) Certo comerciante vendeu uma determinada mercadoria com o lucro de 10% sobre a venda.

Sabendo-se que o preço de custo do produto em questão foi de $ 1.800,00, determine o valor do lucro dessa operação. [R: 200,00]

27) Uma rede de papelarias anuncia: “compre 12 e pague 10”. Sabendo-se que Mariana levou 12 cadernos e pagou $ 64,00, pergunta-se: Quanto ela pagaria se levasse apenas 3 cadernos? Qual é a porcentagem de desconto oferecida na promoção? [R: $ 19,20; 16,6667%]

28) Uma embalagem de uma determinada bolacha contendo 240 gramas era vendida a $ 5,60. O

fabricante optou por reduzir a embalagem para 180 gramas e reajustou o preço de venda para $ 5,20. Qual foi a variação percentual desse produto? [R: 23,8095%]



Matemática Financeira MATEMÁTICA FINANCEIRA : Estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa de uma operação financeira ou de um investimento é uma representação esquemática das entradas e saídas de caixa que ocorrem ao longo do tempo. Na escala horizontal é indicado o período de tempo, que pode ser: dias, semanas, meses, anos,... . As setas orientadas para baixo estão associadas a saídas de caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sinal negativo. As setas orientadas para cima estão associadas a entradas de caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sinal positivo. Exemplos: 1) Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: uma empresa fez uma aplicação de R$ 50.000,00 em um banco e, após dois meses, resgatou R$ 52.500,00.

FLUXO DE CAIXA DA EMPRESA FLUXO DE CAIXA DO BANCO (INVESTIDOR) (TOMADOR) (+) (+) 52.500 50.000 0 2 0 2 (-) (-) 50.000 52.500 2) Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: um indivíduo (pessoa física) tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 em um banco e pagará o mesmo em quatro prestações mensais de R$ 5.500,00 cada uma, a partir do mês seguinte. FLUXO DE CAIXA DO INDIVÍDUO FLUXO DE CAIXA DO BANCO (+) 20.000 (+) 5.500 5.500 5.500 5.500

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

(-) 5.500 5.500 5.500 5.500 (-) 20.000



Em matemática financeira, definimos Capital como um “valor disponível para aplicação numa certa data”. Uma pessoa ou instituição que decide aplicar (ou emprestar) um certo capital para outra pessoa ou instituição, por um certo período de tempo, espera ser remunerada por isso. A remuneração recebida pelo aplicador e chamada de Juro. Juro é, portanto, um valor que remunera um capital empregado por um determinado tempo, de acordo com uma taxa (geralmente estipulada em percentual) previamente combinada. Assim, se um capital (PV) estiver aplicado por um tempo (n) a uma taxa de juros (i), ao resgatá-lo, após findar o prazo de aplicação, o aplicador deverá receber do tomador, além do valor aplicado, um valor a mais, calculado com base na taxa (i) combinada, que vem a ser o juro ou o rendimento sobre o capital empregado. Termos básicos:

Juro (J): remuneração do capital emprestado (aluguel pago pelo uso do dinheiro). Taxa de juros: razão entre os juros recebidos pagos (ou recebidos) e o capital inicial

aplicado: PV

Ji =

Principal ou Valor Presente (PV) : capital inicial, também chamado de principal. Montante ou Valor Futuro (FV): capital inicial acrescido da remuneração obtida durante o período da aplicação, também chamado de Montante. Montante = Capital Inicial + Juros ou

Existem basicamente duas metodologias para o cálculo de juros: a capitalização simples e a capitalização composta. Capitalização Simples ⇒ a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial.

Capitalização Composta ⇒ a taxa de juros incide sobre o montante do período anterior (capital inicial + juros acumulados até o período anterior).

]1)1.[( −+= niPVJ niPVFV )1.( +=

FV = PV + J

J = PV.i.n FV = PV.(1 + i.n)

Observação: Taxa de juros (i) Como já foi visto, a taxa de juros pode ser apresentada em duas formas:

• forma centesimal (10%, 2%) • forma unitária: (0,10; 0,02)

Nos enunciados ou nas respostas de exercícios será usada a forma centesimal (%). Nas fórmulas deve ser usada a forma unitária. Na HP-12C, a entrada da taxa de juros deve ser feita na forma centesimal (%).



Capitalização Simples

No regime de juros simples, a taxa de juros cobrada na transação financeira incide sempre sobre o mesmo valor, isto é, sobre o valor inicial do capital. Isto quer dizer que os juros de um determinado período não são incorporados ao capital para efeitos de formação de uma nova base de cobrança para o período seguinte. Esse modo de aplicação é chamado de “convenção linear de cobrança de juros”. Logicamente essa taxa de juros cobrada ficará multiplicada pelo tempo de aplicação contratado. Assim temos:

Juros = Capital x Taxa de Juros x Tempo de Aplicação ou niPVJ ..=

A soma do valor dos juros (J) com o capital (PV) inicialmente aplicado é chamada de Montante (FV), isto é:

ou seja, e portanto

Podemos esquematizar os elementos acima em uma escala de tempo conforme o diagrama apresentado abaixo:

).1( niPVFV += n

).1( ni

FVPV

+=

Exemplos: 1) Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou R$ 5.000,00 por 3 meses à taxa de juros simples de 3% ao mês. Dados: Solução: PV = 5.000 Como J = PV.i.n , então, substituindo os valores dados, temos: i = 3 % a.m.

n = 3 meses J = 5000 . 0,03 . 3

J = ? J = 5000 . 0,09

J = 450,00 Resposta: Os juros recebidos nessa aplicação foram iguais a R$ 450,00.

FV = PV + J FV = PV + PV.i.n FV = PV(1 + i.n)



2) Imagine que você toma emprestado hoje R$ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização simples para a taxa de 10% a.m., qual o valor dos juros (J)? Quanto deverá ser devolvido (FV)? 1o modo: Cálculo dos juros (J): J = PV.i.n J = 1000 . 0,1 . 5 J = 500,00 Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV): FV = PV + J FV = 1000 + 500 FV = 1.500,00 2o modo: Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV): FV = PV ( 1 + i.n ) FV = 1000 ( 1 + 0,10. 5 ) FV = 1000 . (1 + 0,5) FV = 1000 . (1,5) FV = 1.500,00 Cálculo dos juros (J): J = FV – PV J = 1.500 – 1.000 J = 500,00 Nos exemplos acima podemos notar que os períodos de tempo (n) e taxa de juro (i) são homogêneos, ou seja, as variáveis estão na mesma unidade de tempo (nestes exemplos, a taxa e o prazo estão em meses). Contudo, há casos em que o prazo e a taxa de juros não são apresentados na mesma unidade de tempo.

REGRAS DE HOMOGENEIDADE ENTRE A TAXA DE JUROS E O T EMPO 1. Se a taxa ( i ) é mensal e o prazo ( n ) de aplicação é em dias, teremos a expressão:

n.30

i.PVJ = , onde n é o número de dias.

2. Se a taxa ( i ) é anual e o prazo ( n ) de aplicação é em meses, teremos a expressão:

n.12

i.PVJ = , onde n é o número de meses.

Nestes casos, é necessário adequarmos o prazo e a taxa de juros para a mesma unidade de tempo.



3. Se a taxa ( i ) é anual e o prazo ( n ) de aplicação é em dias, teremos a expressão:

n.360

i.PVJ = , onde n é o número de dias

Exemplos: Determinar o rendimento produzido por uma aplicação de R$ 20.000,00 à taxa simples de 39% a.a., pelo prazo de: a) 2 anos b) 2 anos e 5 meses c) 2 anos 5 meses e 11 dias a) Dados: Solução: PV = 20.000 Como J = PV . i . n , então, substituindo os valores dados, temos: i = 39 % a.a. n = 2 anos J = 20.000 . 0,39 . 2 J = 20.000 . 0,78 J = 15.600,00 Resposta: O rendimento (juros) obtido é de R$ 15.600,00. b) Dados: Solução: PV = 20.000 Como J = PV . i . n, então: i = 39 % a.a. n = 2 anos e 5 meses = 29 meses J = 20.000 . 0,39 . 29 J = ? 12 J = 20.000 . 0,0325 . 29 J = 20.000 . 0,9425

J = 18.850,00 Resposta: O rendimento (juros) obtido é de R$ 18.850,00. c) Dados: Solução: PV = 20.000 Como J = PV . i . n, então: i = 39 % a.a. n = 2 anos e 5 meses e 11 dias = 881 dias J = 20.000 . 0,39 . 881 360 J = 20.000 . 0,001083 . 881 J = 20.000 . 0,954417

J = 19.088,33 Resposta: O rendimento (juros) obtido é de R$ 19.088,33.



Problemas envolvendo juros simples 29) Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou um capital de $ 26.000,00 à taxa

de juros simples de 0,8% a.m. pelo prazo de 90 dias. [R: $ 624,00]

30) Calcule a taxa total (do período) de juros recebidos do exercício anterior. [R: 2,4000% no período]

31) Uma pessoa tomou um empréstimo no valor de $ 8.400,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 2,3% a.m. Quanto pagou ao final do prazo? [R: $ 13.036,80]

32) Calcule o valor dos juros pagos e a taxa total (do período) da operação descrita no exercício anterior. [R: $ 4.636,80; 55,20% no período]

33) “O cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposição dos clientes, levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade é automática, até o limite estabelecido, sempre que há um débito na conta corrente superior ao saldo disponível. A utilização está sujeita ao pagamento aos juros proporcionais ao valor utilizado durante o mês. Os encargos – juros e IOF – são calculados diariamente e cobrados mensalmente.” (Fonte: financenter.terra.com.br, de 11/06/2009) Considere que um determinado cliente tomou um empréstimo no valor de $ 6.200,00 e pagou, ao final de 21 dias, o valor de $ 6.780,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada pela instituição financeira? [R: A taxa mensal cobrada foi de 13,3641 % a.m.]

34) Calcular os juros pagos em um empréstimo no valor de $ 7.200,00 pelo prazo de 18 dias, se a taxa negociada foi de 8,4% a.m. (juros simples). [R: $ 362,88]

35) Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 48.000,00, ou por $ 54.000,00 para pagamento após seis meses. Qual é a taxa mensal de juros simples que está sendo cobrada?

[R: 2,0833% a.m.]

36) Uma instituição bancária anuncia: aplique hoje $ 5.000,00 e receba $ 6.000,00 daqui a 150 dias. Qual é a taxa mensal de juros que está sendo oferecida, considerando o sistema de juros simples? [R: 4,0000% a.m.]



Exercícios extras ______________________________________________________ 37) Determinar qual o valor do capital, que aplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.t. (ao

trimestre), produz juros de $ 600,00 ao final de um ano. [R: $ 6.000,00] 38) Uma loja financia um televisor de $ 390,00 sem entrada para pagamento em uma única

prestação de $ 420,00 no final de 3 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada ao mês? [R: 2,5641% a.m.]

39) Quanto tempo você deve deixar aplicado um capital no valor de $ 8.000,00 para obter um

montante de $ 10.000,00, se a taxa de juros simples da aplicação é de 17% a.a.? [R: 1,4706 anos]

40) Um cliente de determinada loja efetuou um pagamento de uma prestação de $ 250,00 por $ 277,08. Sabendo-se que a taxa de juros simples praticada pela loja é de 5% a.m., por quantos dias esta prestação ficou em atraso? [R: 65 dias]

41) Em quanto tempo um capital aplicado dobra de valor, se a taxa de juros simples remunerada

é de 2% a.m.? [R: 50 meses] 42) Um capital de R$ 57.000,00, aplicado a juros simples gerou, depois de certo prazo, o

montante de R$ 62.130,00. Sabendo-se que a taxa da operação é 1,5% a.m., calcule o prazo da aplicação. [R: 6 meses]

43) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12

meses à taxa de juros simples de 7,5% ao mês? [R: R$ 2.430,00] 44) Que taxa de juro anual triplica um capital, no regime de juros simples, ao final de 10 anos?

[R: 20% a.a.] 45) Uma pessoa empresta a um amigo R$ 3.000,00 à taxa de juros simples de 65% ao ano, pelo

prazo de 4,5 anos. Determinar o valor do resgate. [R: R$ 11.775,00] 46) Determinar a taxa de juros simples (mensal e do período) correspondente à aplicação de

R$ 1.500,00 por 5 meses, com valor de resgate igual a R$ 1.869,30. [R: 4,92% a.m. ou 24,62% para 5 meses]

47) Qual o principal que, aplicado a juros simples durante 15 dias, à taxa de 0,12% ao dia,

produz um montante de R$ 14.000,00? [ R: R$ 13.752,46] 48) Qual o juro produzido pela aplicação de R$ 10.000,00, durante 3 trimestres, à taxa de juros

simples de 5,5% ao mês? [R: R$ 4.950,00] 49) Qual foi o capital investido em certa operação, cujo valor resgatado é de R$ 38.000,00 e foi

feita pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 13% ao bimestre? [R: R$ 21.348,31] 50) Aplique hoje R$ 55,00 e receba após um ano R$ 78,42. Qual a taxa mensal auferida nessa

aplicação, considerando o regime de capitalização simples? [R: 3,55% a.m.] 51) Foi feita uma aplicação em CDB no valor de R$ 3.500,00 pelo prazo de um ano e meio e foi

estimado que a rentabilidade será de 21% ao trimestre. Qual será o montante final tendo sido essa aplicação realizada a juros simples? [R: R$ 7.910,00]

52) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00, à

taxa de 5% ao trimestre. Calcule o prazo da aplicação em meses. [R: 48 meses]



Desconto de Títulos : Desconto Bancário ou Comercia l Simples Desconto é o nome dado a um abatimento que se faz quanto um título é resgatado antes de seu vencimento. Trata-se de uma operação rotineira no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito (duplicatas, notas promissórias, etc.) pode levantar fundos numa instituição financeira (em geral bancos), descontando o título num período de tempo n, antes do vencimento. Nas operações de desconto o valor do desconto é calculado, multiplicando-se o valor nominal (VN) do título a ser descontado pela taxa de desconto e pelo tempo que falta para o seu vencimento. Este tipo de desconto, no qual a taxa de desconto incide sempre sobre o valor de resgate, é denominado Desconto bancário ou Desconto comercial simples.

niVND D ..= DVNVA −= ).1( niVNVA D−=

onde: D = valor do desconto VN = Valor Nominal: é o valor definido para um título em sua data de vencimento. VA = Valor Atual ou valor descontado. iD = taxa de desconto. n = prazo de antecipação (a decorrer do início da operação de desconto até o vencimento do título), em dias corridos. Como o valor do juro é subtraído do valor nominal do título, o valor atual (VA) do título, após o desconto, passa a ser: Valor Atual = Valor Nominal - Desconto ou DVNVA −= tendo-se ).1( niVNVA D−= Na verdade podemos ver que o desconto comercial nada mais é que o juro simples cobrado antecipadamente sobre o valor nominal de um título realizado antes do prazo de vencimento. O esquema abaixo ilustra as operações de desconto comercial simples: VA 0 n

VN Observação: Nas operações de desconto simples, além do desconto propriamente dito, ocorrem duas outras despesas: IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito, correspondente a despesas administrativas da instituição financeira):



VA = VN – D – IOF – TAC A TAC pode ser um percentual que incide sobre o valor de face do título ou Valor Nominal (VN). Contudo, a TAC também pode ser um valor fixo. No caso de duplicatas e notas promissórias, o IOF é calculado sobre o valor descontado (VN-D), ou seja, IOF = n.(VN – D).α onde α = alíquota de IOF Exemplos: 1. Um título de Valor Nominal R$ 100.000,00 foi descontado 55 dias antes de seu vencimento à taxa simples de desconto de 3% a.m.. Calcular o valor do desconto e o valor recebido. 1o modo: Dados: Solução: VN= 100.000 Como: D = VN . iD . n , então: iD = 3% a.m.

n = 55 dias D = 100000 . 0,03 . 55 D = ? 30

VA = ? D = 100000 . 0,001 . 55 D = 5.500,00 Uma vez conhecido o valor do desconto, podemos encontrar o valor recebido, substituindo o valor do mesmo na expressão: VA = VN – D VA = 100.000 – 5.500 ⇒ VA = 94.500 Resposta: O valor recebido ou Valor Atual (VA) é de R$ 94.500,00. Poderíamos, alternativamente, utilizar a expressão VA = VN( 1 – iD . n ), daí: 2o modo: VA = 100000 . 1 – 0,03 . 55 30 VA = 100000 . 1 – 0,001 . 55 = 100000 . ( 1 – 0,055 ) = 100000 . 0,945 VA = R$ 94.500,00

D = VN – VA = 100.000 – 94.500 ⇒ D = R$ 5.500,00



2. Um título de Valor Nominal R$ 35.000,00 foi descontado num banco 45 dias antes de seu vencimento à taxa simples de desconto de 2,8 % a.m.. O banco cobrou IOF de 1,5% a.a. e TAC de R$ 80,00. Calcular o valor do desconto e o valor líquido recebido. Dados: VN= 35.000 Solução: d = 2,8 % a.m. Como D = VN . iD . n, então:

n = 45 dias D = 35000 . 0,028 . 45 30

IOF = 1,5% a.a. = 0,0082% a.d. D = 35000 . 0,000933333 . 45

TAC = R$ 80,00 D = 35.000 . 0,041999985 D = ? VA = ? D = 1.470,00 Podemos encontrar o valor do IOF, aplicando a alíquota de 0,0082% a.d. sobre o Valor Nominal (VN) menos o valor do Desconto (D) no prazo n. Então:

IOF = (VN – D).0,000082 . 45 IOF = (35.000 – 1.470) . 0,00369 IOF = 33530 . 0,00369 IOF = 123,73 TAC = 80,00

Uma vez conhecido o valor do DESCONTO, do IOF e da TAC podemos encontrar o Valor Atual, substituindo seus valores na expressão: VA = VN – D – IOF – TAC VA = 35.000 – 1.470 – 123,73 – 80 VA = 33.326,27 Resposta: O valor líquido recebido é igual a R$ 33.326,27.



Problemas envolvendo Desconto Bancário (Comercial S imples)

53) Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de $ 34.000,00, com prazo de 42 dias, sabendo-se que o banco está cobrando uma taxa de desconto comercial de 4,7% a.m. e uma taxa de serviço de $ 5,00 pela operação. [R: $ 31.757,80]

54) Um empresário deseja descontar uma nota promissória no valor de $ 80.000,00 com prazo

de vencimento de 36 dias. Se a taxa de desconto bancário (desconto comercial) negociada foi de 4,5% a.m., determinar: a) o valor do desconto; b) o valor recebido.

[R: $ 4.320,00; b) $ 75.680,00] 55) Um cliente vai resgatar dois títulos à taxa de desconto comercial simples de 8% a.m.: o

primeiro, de $ 3.480,00, com vencimento para 3 meses e o segundo, de $3.960,00, para daqui a 5 meses. Calcule o valor total recebido pelo portador se a data de resgate for: a)hoje b)daqui a 1 mês. [R: a) $ 5.020,80; b) $5.616,00]

56) Uma empresa recebe $30.000 pelo desconto de uma duplicata com valor de resgate de

$36.465,30 e com prazo de vencimento de 4 meses. Qual é a taxa de desconto comercial aplicada pelo banco? [R: 4,4325% a.m.]

57) Quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata no valor de $ 9.800,00, que sofreu

um desconto comercial simples de $ 448,50, à taxa de 18% ao ano? [R: 92 dias] 58) O desconto comercial simples de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta

de uma empresa. Calcular o valor da duplicata, sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% a.m. nessa operação. [R: $ 75.000,00]

59) Qual o valor do desconto bancário de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 30

dias, à taxa de 5% ao mês? [R: R$ 100,00] 60) Qual a taxa mensal de desconto bancário utilizada numa operação por 35 dias cujo valor de

resgate é de R$ 1.000,00 e o valor atual é de R$ 850,00? [R: 12,86% a.m.] 61) Uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 é descontada por um banco gerando um crédito de

R$ 9.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 5% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata. [R: 5 meses]

62) Um título de R$ 5.000,00 é descontado à taxa de 10% a.m., 15 dias antes do seu

vencimento. Calcular o valor depositado na conta do cliente e o valor do desconto. [R: R$ 4.750,00 ; R$ 250,00]

63) Sabendo que o desconto de uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 14 dias a vencer,

gerou um crédito de R$ 23.600,00 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto bancário utilizada. [R: 12% a.m.]

64) O banco Delta S.A. oferece empréstimos pessoais cobrando 20% a.m. de taxa de desconto

comercial. Se uma pessoa necessita de R$ 12.000,00 agora para pagar daqui a 45 dias, qual será o valor do compromisso assumido? [R: R$ 17.142,86]



65) Uma duplicata no valor de R$ 32.000,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 26.800,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 6,50% a.m., determinar o prazo (em dias) de vencimento da duplicata? [R: 75 dias]

66) Calcular a que taxa mensal um título de R$ 80.000,00, com 25 dias a vencer, gera um

desconto no valor de R$ 10.200,00? [R: 15,30% a.m.] 67) Uma empresa desconta uma duplicata no valor de R$ 44.000,00 e com 60 dias de prazo até

o vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial de 5,3% a.m., calcular o valor creditado na conta da empresa e o valor do desconto.

[R: R$ 39.336,00 ; R$ 4.664,00] 68) Uma duplicata com prazo de 43 dias foi descontada à taxa de desconto bancário de 5,4%

a.m.. O valor nominal da duplicata é de $ 2.000,00. Sabe-se que a alíquota de IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) é de 0,0041% a.d. e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito) é de 0,2% do valor nominal do título. Calcular: a) o desconto bancário (D). b) o imposto sobre operações financeiras (IOF). c) o valor da taxa de abertura de crédito (TAC). d) o valor colocado à disposição da empresa. [R: $ 154,80;$ 3,25; $ 4,00; $ 1.837,95]

69) Uma duplicata de $ 1.000,00 foi descontada num banco que cobra 0,5% de despesa administrativa. O título foi descontado 37 dias antes de seu vencimento e a taxa de desconto é de 5,1% a.m.. Considerando-se que o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) é de 0,0041% a.d., calcule: a) O valor do desconto bancário b) O IOF c) A despesa administrativa; d) O valor colocado à disposição do cliente. [R: $ 62,90; $ 1,42; $ 5,00; $ 930,68]

70) “O Desconto de Titulos ou Duplicatas é um adiantamento de recursos, feito pelo banco, sobre os valores dos respectivos títulos (duplicatas ou notas promissórias). Neste tipo de operação o cliente recebe dinheiro antecipado de suas vendas a prazo. Ao apresentar um título para desconto, entretanto, o cliente não recebe seu valor total, pois são descontados diversos encargos sobre o seu valor nominal como por exemplo: taxa de desconto, IOF e taxa administrativa.” (Fonte: Fortuna, Eduardo, Mercado Financeiro, Qualitymark, 16ª edição, Rio de Janeiro, 2007, obtido em http://pt.wikipedia.org) O gerente de uma empresa de materiais de construção realizou uma operação de desconto bancário de uma duplicata no valor de $ 41.200,00, tendo sido negociada uma taxa de desconto comercial simples de 2,7% a.m. Determine o prazo de vencimento desse título, sabendo-se que o valor recebido pela empresa foi de $ 35.900,00. Desconsiderar pagamento de IOF (imposto sobre operações financeiras) e taxas administrativas.

[R: O prazo de vencimento da duplicata é de 4,7645 meses.]



Capitalização Composta

Enquanto que no regime de juros simples a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, no regime de juros compostos o rendimento gerado pelo capital é incorporado a ele e capitalizado novamente. É o que chamamos de “juros sobre juros”, ou modo exponencial de cobrança de juros já que, para a obtenção do montante (FV) de um capital aplicado nessa modalidade, a taxa de juros (i) fica multiplicada por ela mesma n vezes, sendo n o tempo de aplicação do capital inicial (PV). Dessa forma temos:

)]i1)......(i1).(i1).(i1.[(PVFV ++++= ........... n vezes ..........

de modo que o montante, no regime de juros compostos, é dado por: niPVFV )1.( += Nessa fórmula o fator (1 + i)n é o “fator de valor futuro ou de capitalização” . Logo, o seu inverso (1 + i)-n , é chamado de “fator de valor presente ou de descapitalização”. O esquema abaixo ilustra as operações:

ni

FVPV

)1( += descapitalizando

n

niPVFV )1.( += capitalizando

Cálculo de juros compostos para períodos não inteiros

Quando o prazo da operação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa considerada, são adotadas duas convenções: a exponencial e a linear:

Convenção Exponencial

• Calcula-se o montante correspondente ao prazo total da operação (n) no sistema de

juros compostos: niPVFV )1.( +=

Atenção: HP 12C C no visor: convenção exponencial.

Sem a letra C no visor: convenção linear.

Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá ou desaparecerá a letra C no visor.



Convenção Linear

• Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos (k) no sistema de juros compostos e

• Na fração de tempo não inteiro restante, calcula-se os juros segundo o sistema de capitalização simples.

).1.()1.( miiPVFV k ++= onde k é a parte inteira de períodos e m é a parte fracionária

de períodos, ou seja nmk =+ .

Exemplos de uso da HP-12C para cálculo de juros compostos 1. Imagine que você toma emprestado R$ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização composta para uma taxa de 10% a.m., quanto deverá ser devolvido (FV)? FV = PV.(1 + i)n

FV = 1000 . (1 + 0,10)5

Na HP 12C:

FV = 1000 . (1,10)5 f clear FIN

FV = 1000 . 1,610510000 1000,00 CHS PV

10 i

5 n

FV

VISOR

Resposta: O valor a ser devolvido (FV) é igual a R$ 1.610,51.

1.610,51

c

FV = 1.610,51



2. Qual será o valor de resgate (FV) de uma aplicação inicial de R$ 1.800,00 (PV) no final de 12 meses à taxa composta de 1 % a.m.? FV = PV.(1 + i)n

FV = 1800 . (1 + 0,01)12

Na HP 12C:

FV = 1800 . (1,01)12 f clear FIN

FV = 1800 . 1,126825030 1800,00 CHS PV

1 i

12 n

FV

VISOR

Resposta: O valor resgatado (FV) é igual a R$ 2.028,29.

2.028,29

c

FV = 2.028,29



3. Determinar o valor de emissão (PV) de um título que, no fim de 10 meses à taxa composta de 3% a.m., tem R$ 6.719,58 de valor de resgate (FV). FV = PV.(1 + i)n

6719,58 = PV . (1 + 0,03)10 Na HP 12C:

6719,58 = PV . (1,03)10 f clear FIN

6719,58 = PV . 1,343916379 6719,58 FV

PV = 343916379,1

58,6719 3 i

10 n

PV

VISOR

Resposta: O valor de emissão (PV) para esse título foi de R$ 5.000,00.

- 5.000,00

c

PV = 5.000,00



4. Uma pessoa aplicou R$ 13.000,00 (PV) e deseja resgatar R$ 15.000,00 (FV) ao final de 1 ano (n) para pagar uma dívida. A que taxa mensal composta deve aplicar seu capital? FV = PV.(1 + i)n

15000 = 13000 . (1 + i)12 Ou

13000 . (1 + i)12 = 15000

13000

15000)i1( 12 =+

153846154,1)i1( 12 =+

12 153846154,1i1 =+

121

)153846154,1(i1 =+

011996457,1i1 =+

1011996457,1i −= i = 011996457,0 a.m. ou (x100), ou

Na HP 12C: f clear FIN [STO] [EEX] (com a letra C no visor) f 2 (duas casas) 13000,00 CHS PV 15000,00 FV 12 n

i VISOR 1,20

Na HP 12C: f 9 (nove casas) 15000 ENTER 13000 ÷ VISOR 1,153846154

12 1/x VISOR 0,083333333

yx VISOR 1,011996457

1 - (menos) 100 x (vezes) f 2 (duas casas) VISOR 1,20

i ≈ 1,20% a.m.



5. Qual será o prazo (em anos) necessário para que R$ 10.000,00 (PV) aplicado à taxa composta de 12% a.a. se transforme em R$ 34.785,50 (FV)? FV = PV.(1 + i)n

34785,50 = 10000 . (1 + 0,12)n

Ou

10000 . (1 + 0,12)n = 34785,50

10000

34785,5012,1 n =

3,4785512,1 n =

3,47855ln12,1ln n =

3,47855ln12,1ln.n =

ln1,12

3,47855lnn =

50,11332868

24661554,1n =

ou

Na HP 12C: f clear FIN f 2 (duas casas) [STO] [EEX] (com a letra C no visor) 10000,00 CHS PV 34785,50 FV 12 i

n VISOR 11,00

Na HP 12C: f 9 (nove casas) 34785,50 ENTER 10000 ÷ VISOR 3,478550000

VISOR 1,246615540

1,12 VISOR 0,113328685 ÷ f 2 (duas casas) VISOR 11,00 n = 11 anos



6. Utilizando a convenção linear, calcular o montante (FV) produzido por R$ 1.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizados anualmente, ao final de 2 anos e 3 meses. FV = PV.(1 + i)k.(1 + i.m) k = 2 anos

25,012

3m == anos Na HP 12C:

FV = 1000.(1 + 0,40)2.(1 + 0,40.0,25) f clear FIN

FV = 1000 . (1,40)2.(1 + 0,10) [STO] [EEX] (sem a letra C no visor)

FV = 1000 . 1,96 . 1,10 1000,00 CHS PV

40 i

2,25 n

FV

VISOR

Resposta: O montante produzido (FV) é igual a R$ 2.156,00.

FV = 2.156,00

2.156,00



Problemas envolvendo Juros Compostos

71) Um capital de $ 8.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 5% a.t. Calcule o

montante para os seguintes prazos de aplicação: a) 1 ano b) 6 meses c) 90 dias [R: a) $ 9.724,05; b) $ 8.820,00; c) $ 8.400,00]

72) Considere um empréstimo no valor de $ 18.500,00 pelo prazo de 60 dias à taxa de juros de

2,5% a.m. Calcule o valor dos juros e do montante a ser pago ao final do prazo, nos sistemas de capitalização composta. [R: $ 936,56; $ 19.436,56]

73) Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 72.000,00. Como alternativa, o

vendedor oferece a seguinte condição de pagamento: 20% de entrada e o restante após 120 dias. Qual o valor do pagamento final, se a taxa de juros compostos negociada foi de 2,8% a.m.? [R: $ 64.327,24]

74) Uma pessoa aplicou um determinado capital pelo prazo de 84 dias à taxa de juros

compostos de 1,2% a.m. e obteve um montante de $ 16.800,00. Qual foi o capital aplicado? [R: $ 16.248,15]

75) O preço de um carro é de $ 36.000,00 podendo este valor ser pago até o prazo de 3 meses.

Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 10%. Qual é a taxa de juro composto cobrada nesta operação? [R: 3,5744% a.m.]

76) Um cliente tem 2 alternativas de pagamento na compra de um imóvel: $ 96.000,00 à vista

ou $ 120.000,00 após 6 meses sem entrada. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada pela imobiliária. Considerando que a taxa de juros auferida pelo cliente em suas aplicações financeiras é de 4,5% a.m., qual é a melhor opção de compra: à vista ou a prazo?

[R: 3,7891 % a.m.; a melhor opção de compra é a prazo, já que as aplicações financeiras oferecem maior rentabilidade]

77) Uma aplicação de $ 21.700,00 à taxa de juros compostos de 2,4% a.m. gerou um montante

de $ 27.900,00. Calcular o prazo da operação. [R:10,60 meses, ou 10 meses e 18 dias] 78) Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês: a) dobra seu valor? b) triplica

seu valor? c) torna-se uma vez e meio o seu valor? d) aumenta em 20% o seu valor? [R: a) 17,67 meses; b) 28,01 meses; c) 10,34 meses; d) 4,65 meses]

79) Quantos dias serão necessários para triplicar um capital aplicado a juros compostos de 6%

ao ano? [R: 6.788 dias] 80) Se um aparelho eletrônico adquirido à vista por R$ 449,80 poderia ter sido adquirido a

prazo por R$ 600,00, quanto tempo poderia ter sido disponibilizado para o pagamento, se a loja opera com uma taxa de juros composta de 5% a.m.? [R: 5,9 meses ou 5 meses e 27 dias]

81) Se você empresta a uma pessoa o valor de R$ 6.000,00, quanto você receberia de juros,

após 1 ano e meio, se a taxa de juros composta no empréstimo for de 2,75% a.m.? [R: R$ 3.777,42]

82) Se você tem uma dívida junto a uma instituição financeira cujo valor hoje é de

R$ 28.224,08 e ela foi contraída há 4 trimestres, qual o valor originalmente devido, se a taxa composta envolvida é de 7,5% a.m.? [R: R$ 11.850,00]



83) Você pretende comprar um novo computador daqui a um ano. Hoje você tem R$ 1.000,00 e espera que o computador custe R$ 1.200,00 na data compra. O banco remunera suas aplicações à taxa de 1,53094705% (juros compostos) ao mês. Com o montante obtido pela aplicação, você terá condições de adquirir o bem? Que valor você terá? [R: Sim, R$ 1.200,00]

84) Uma pessoa deixou de pagar uma fatura de cartão de crédito no valor de R$ 540,00.

Sabendo que após 1 ano e meio, o valor devido era de R$ 4.796,06, pergunta-se: qual a taxa mensal composta cobrada pela administradora do cartão? [R: 12,90% a.m.]

85) A“A cadeia automotiva responde por 23% do PIB industrial brasileiro, segundo o ministro

da Fazenda. A redução do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) dos carros novos foi uma das medidas tomadas pelo governo federal para aquecer o setor automotivo, um dos mais afetados pela crise financeira internacional.” (Fonte:economia.dgabc.com.br, de 30/03/2009, com adaptação). A redução do IPI possibilitou a redução nos preços dos carros populares, o que provocou um aumento significativo de venda no setor: no período de janeiro a março de 2009 foram vendidos mais de 600 mil carros novos, representando um crescimento de cerca de 3% em relação aos mesmos meses do ano de 2008. (Fonte: www.sitedecarro.com.br , de 28/03/2009, com adaptação)

Considere que uma pessoa procurou uma concessionária de veículos para adquirir um carro popular e constatou que, além do preço promocional do veículo por conta da redução do IPI, a loja ofereceu também uma redução na taxa de juros compostos. O carro escolhido estava sendo vendido nas seguintes condições: pagamento à vista de $ 28.400,00 ou um pagamento de $ 35.100,00 após um ano. Determine a taxa mensal de juros compostos que está sendo cobrada por essa concessionária.

[R: A taxa mensal que está sendo cobrada pela concessionária de veículos é de 1,7808% a.m.]

86) “Cadastro positivo pode favorecer aumento do crédito e queda de juros. A criação do cadastro positivo poderá favorecer a ampliação do crédito e a redução das taxas de juros e do spread bancário, segundo considera a Fecomercio (Federação de Comércio). Isso seria possível já que o cadastro criaria uma segurança e eficácia maior nos negócios, permitindo uma avaliação mais abrangente do histórico financeiro dos consumidores.” (Fonte: InfoMoney, de 19/05/2009). Um estudante do curso de administração, estimulado pela possibilidade de redução da taxa de juros, encontra, em uma determinada loja, o microcomputador com a configuração desejada com o valor à vista de $ 3.100,00. Para pagamento a prazo, o vendedor oferece a seguinte alternativa de pagamento: 18% de entrada e uma parcela de $ 2.700,00 após 54 dias. Qual é a taxa mensal de juros compostos que está sendo cobrada por essa loja?

[R: A taxa mensal cobrada pela loja é de 3,4068% a.m.]

87) “A redução do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) nos produtos chamados linha branca foi autorizada pelo Governo Federal em 17/04/2009. Por três meses o imposto ficará reduzido de 15% para 5% para as geladeiras; de 5% para 0% para os fogões; de 20% para 10% para máquinas de lavar e de 10% para 0% para os tanquinhos.”

(Fonte: band.com.br/primeirojornal de 20/04/2009).

Esta foi uma das medidas tomadas pelo Governo Federal para aquecer o mercado interno e fazer frente à redução do volume de vendas decorrente da crise financeira internacional iniciada em 2008. Com a expectativa do aumento de vendas, algumas redes de lojas de eletrodomésticos anunciaram promoções especiais nessa linha de produtos. É o caso de um determinado modelo de refrigerador, que pode ser adquirido por $ 3.400,00 para pagamento à vista, ou a prazo com taxa de juros de 1,5% a.m. Considere que um cliente deseja adquirir esse produto nas seguintes condições: entrada de $ 1.200,00 e pagamento do restante após 90 dias. Determine o valor desse último pagamento.

[R: O valor do último pagamento deve ser de $ 2.300,49.]



Taxas de Juros Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes / Taxas No minais / Taxas Efetivas Taxas Proporcionais

Duas taxas se dizem proporcionais se: 2

2

1

1

n

i

n

i = ,

onde n1 e n2 representam os períodos de capitalização de cada taxa e i1 e i2 representam os percentuais das taxas consideradas. Exemplo: As taxas 72% a.a., 36% a.s., 18% a.t. e 6% a.m. são proporcionais, pois tomando o período de um mês como unidade de tempo, tem-se:

%6i1

%6

3

%18

6

%36

12

%72mensal =⇒=== a.m.

Taxas Nominais

Taxa nominal é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

É comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.

Exemplo: Se a taxa negociada é de 18% a.a. capitalizada mensalmente, a taxa aplicada é a taxa proporcional do período da capitalização, ou seja, a taxa aplicada é a taxa mensal proporcional: imensal = 18/12 = 1,5% a.m. (taxa nominal). Taxas Efetivas

Taxa efetiva é a taxa efetivamente aplicada na operação financeira. Neste caso, a unidade de tempo referida na taxa coincide com o período de capitalização. Regra:

Para se calcular a taxa efetiva quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa: a) Calcula-se a taxa simples (proporcional) correspondente a um período de capitalização; b) Potencia-se essa taxa simples ao número de períodos de capitalização existente no intervalo de tempo a que se refere a taxa nominal.

Ou seja:

1001k

i1i

k

efet ×

−

+= , onde k é o número de sub-períodos de capitalização.



Exemplos: 1. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 12% a.a. capitalizada mensalmente?

1001k

i1i

k

efet ×

−

+=

( )[ ] ( ) ( ) 100112682503,1100101,1100101,01100112

12,01i 1212

12

efet ×−=×−=×−+=×

−

+=

2. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 10% a.a. capitalizada semestralmente?

1001k

i1i

k

efet ×

−

+=

( )[ ] ( ) ( ) 10011025,1100105,1100105,0110012

10,01i 22

2

efet ×−=×−=×−+=×

−

+=

Taxas Equivalentes

Duas taxas se dizem equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.

Capitalização Simples: as taxas proporcionais são taxas equivalentes.

Capitalização Composta: as taxas equivalentes são calculadas pela expressão abaixo:

iq = [ ( 1 + i t ) q / t – 1 ] . 100

onde: iq = taxa para o período que eu quero; q = período da taxa que eu quero i t = taxa que eu tenho; t = período da taxa que eu tenho Exemplos: 1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? iq = [ ( 1 + i t )

q / t – 1 ] . 100 i12 = [ ( 1 +0,02 ) 12 /1 – 1 ] . 100 = [ ( 1,02 ) 12 – 1 ] . 100

%682503,12i efet = a.a.

%25,10i efet = a.a.

i12 = 26,824180% a.a.



2. Qual a taxa mensal equivalente a 15,39% a.a.? iq = [ ( 1 + i t )

q / t – 1 ] . 100 i1 = [ ( 1 +0,1539 ) 1 /12 – 1 ] . 100 = [ ( 1,1539 ) 1/12 – 1 ] . 100

Taxa Bruta

A taxa bruta é aquela obtida sem levar em consideração o desconto dos diversos encargos envolvidos em uma operação financeira: refere-se aos juros brutos da operação. Taxa Líquida

A taxa de juros líquida é aquela obtida após o desconto dos diversos encargos envolvidos na operação, tais como o imposto de renda (IR), imposto sobre operações financeiras (IOF), etc. A taxa de juros líquida refere-se aos juros líquidos efetivamente pagos ou recebidos em uma operação financeira. Taxa Acumulada

A composição da taxa acumulada de juros com taxas variáveis pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas. Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representado por (1 + i) e de uma taxa negativa por (1 – i). Assim, têm-se a seguinte fórmula genérica:

100]1)i1(...)i1()i1()i1[(i n321ac ×−+××+×+×+=

Exemplo: Calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada no segundo semestre de 2008, sabendo que de julho a dezembro, os valores deste índice foram, respectivamente: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% e -0,13%.

100]1)i1(...)i1()i1()i1[(i n321ac ×−+××+×+×+=

100]1)0013,01()0038,01()0098,01()0011,01()0032,01()0176,01[(i ac ×−−×+×+×+×−×+=

100]1)9987,0()0038,1()0098,1()0011,1()9968,0()0176,1[(i ac ×−×××××=

Resposta: O IGP-M acumulado no segundo semestre de 2008 foi de 2,7969%.

i1 = 1,20% a.m.

iac = 2,7969% em seis meses



Taxa Média

A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Do ponto de vista da matemática financeira, calcula-se a taxa média de um conjunto de taxas variáveis extraindo a raiz n-ésima da taxa acumulada, onde n é o número de taxas que foram acumuladas. Ou seja:

100}1)]i1(...)i1()i1()i1{[(i n1

n321média ×−+××+×+×+=

Exemplo: Calcular o IGP-M (FGV) médio para o segundo semestre de 2008, sabendo que de julho a dezembro, os valores deste índice foram, respectivamente: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% e -0,13%.

100}1)]i1(...)i1()i1()i1{[(i n1

n321média ×−+××+×+×+=

100}1)]0013,01()0038,01()0098,01()0011,01()0032,01()0176,01{[(i 61

média ×−−×+×+×+×−×+=

100}1)]9987,0()0038,1()0098,1()0011,1()9968,0()0176,1{[(i 61

média ×−×××××=

Resposta: O IGP-M médio no segundo semestre de 2008 foi de 0,4608%.

Taxa Aparente

A taxa aparente é aquela adotada normalmente em operações correntes de mercado, incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. Em outras palavras, a taxa aparente é constituída de dois componentes: um, relacionado à inflação e outro, relacionado com os juros realmente recebidos ou pagos. Taxa Real

A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação financeira, seja de aplicação ou captação, apurado livre dos efeitos inflacionários.

É calculada a partir da expressão:

)1).(1()1( inf reallaçãoaparente iii ++=+

e portanto: 11

1

inf

−

++

=lação

aparentereal i

ii

Quando se considera as operações financeiras em contexto inflacionário, pode ser utilizada a expressão: n

realn

lação iiPVFV )1.()1.( inf ++=

imédia = 0,4608% ao mês



Exemplos: 1. Uma empresa fez uma aplicação por 30 dias em CDB à taxa de 1,5% a.m.. Se a inflação nesse período foi de 0,5%, qual a taxa de remuneração real dessa aplicação?

1i1

i1i

laçãoinf

aparentereal −

++

=

1005,1

015,11

005,01

015,01i real −

=−

++=

ireal = 0,009950249 (x 100)

2. Um capital foi aplicado por 12 meses à taxa de 18,2% a.a.. Se a taxa de inflação foi de 21,5% nesse período, calcule a taxa real dessa aplicação.

1i1

i1i

laçãoinf

aparentereal −

++

=

1215,1

182,11

215,01

182,01i real −

=−

++=

ireal = - 0,027160494 (x 100)

ireal = 0,9950249% a.m.

ireal = - 2,7160494% no período



Exercícios envolvendo Taxas de Juros 88) Determine as taxas mensais proporcionais: a) 0,2% a.d. b) 15% a.a. c) 6,9% a.t.

[R: 6,00% a.m.; b) 1,25% a.m.; c) 2,30% a.m.] 89) Determine a taxa anual equivalente correspondente a um financiamento de automóvel se a taxa é: a) 2,7% a.s.; b) 0,12% a.d.; c) 0,9% a.m. d) 3,6% a.t.

[R: a) 5,4729 % a.a.; b) 53,9936 % a.a.;c) 11,3510% a.a.;d) 15,1964% a.a.] 90) O cheque especial de uma determinada instituição bancária cobra, atualmente, uma taxa mensal de 13% a.m. de um cliente. Qual é a taxa anual cobrada? [R: 333,45% a.a.] 91) Determine a taxa diária equivalente: a) 1,8% a.m. b) 14,00% a.a. c) 0,7% em 20 dias.

[R: a) 0,0595% a.d.; b) 0,0364% a.d.; c) 0,0349% a.d.] 92) Uma aplicação de $ 8.400,00 rendeu $ 730,00 de juros, pelo prazo de 51 dias. Calcule a taxa diária e mensal dessa operação. [R: 0,1635 % a.d.; 5,0241 % a.m.] 93) Uma aplicação remunera uma taxa de 6% a.a. capitalizada mensalmente. Neste caso, a taxa anunciada, de 6% a.a. é denominada taxa nominal. Determinar a taxa mensal efetiva e a taxa anual efetiva. [R: taxa mensal efetiva = 0,5% a.m.; taxa anual efetiva = 6,1678% a.a.] 94) A taxa de juros cobrada no financiamento imobiliário de uma determinada instituição financeira é de 10,5% a.a. capitalizada mensalmente, pela Tabela Price. Determine a taxa anual efetiva cobrada. [R: 11,0203% a.a.] 95) Uma aplicação cuja taxa é igual a 26% a.a. foi realizada pelo prazo de 37 dias. Qual a taxa equivalente para o prazo da aplicação? [R: 2,4038% para 37 dias] 96) A rentabilidade de determinado fundo foi de 0,79% a.m.. Qual a taxa semestral equivalente?

[R: 4,8346% a.s.]

97) Qual é a taxa mensal equivalente para a taxa de 96% a.a.? E a taxa diária equivalente? [R: 5,7681% a.m.; 0,1871% a.d.]

98) Aplicou-se um capital de $ 80.000,00 a uma taxa de 2,8% a.m. por 5 meses. Considerando que o imposto de renda (alíquota de 20% sobre os rendimentos brutos) será pago somente no final do prazo, determinar: a) os juros brutos ou nominais; b) o valor do imposto de renda; c) o valor líquido de resgate; d) a taxa mensal líquida.

[R: a) $11.845,01; b)$2.369,00; c) $89.476,01; d)2,2641 % a.m.]

99) Considere uma aplicação de $ 84.000,00 em um fundo de investimentos que remunera a taxa de 2,7% a.m. pelo prazo de 60 dias. Se essa operação financeira está sujeita ao pagamento de imposto de renda (alíquota de 20% sobre os rendimentos brutos), determine: a) o valor dos juros brutos; b) o valor do imposto de renda recolhido; c) o valor líquido recebido na operação; d) a taxa mensal líquida.

[R: a) $ 4.597,24; b) $ 919,45; c) $ 87.677,79; d) 2,1657% a.m.] 100) Uma empresa aplicou R$ 150.000,00 num RDB pré-fixado de 33 dias à taxa de 45% a.a. O IR retido na fonte é de 20% sobre os juros. Calcular:



a) a taxa bruta obtida nessa operação; b) o montante bruto resgatado; c) o valor dos juros brutos; d) o valor do imposto de renda recolhido; e) o valor líquido recebido na operação; f) a taxa líquida obtida nessa operação; g) a taxa mensal líquida; h) a taxa anual líquida.

[R: a) i = 3,4647% para 33 dias; b) R$ 155.197,00; c) R$ 5.197,00; d) R$ 1.039,40; e) R$ 154.157,60; f) 2,7717% para 33 dias; g) 2,5166% a.m.; h) 34,7502% a.a.]

101) Uma pessoa aplica $ 50.000,00 no mercado financeiro por 3 meses, obtendo as seguintes rentabilidades mensais (juros compostos): 6%, 17% e 4%, no primeiro, segundo e terceiro mês, respectivamente. Determinar o montante do resgate e a taxa total desse período.

[R: 64.490,40; 28,9808% no período] 102) Uma determinada aplicação gerou um montante de $ 18.600,00. Sabendo-se que as rentabilidades mensais (capitalização composta) auferidas foram de 2,4%, 3,1% e 1,5% no primeiro, segundo e terceiro mês, respectivamente, determine: a taxa total auferida no trimestre e o valor do capital aplicado nessa operação financeira. [R: a) 7,1580 % a.m.; bc) $ 17.357,54] 103) O preço de um carro em 4 meses consecutivos aumentou 5%, 3%, 2% e 4% respectivamente. Qual foi o aumento total acumulado nos quatro meses? Qual a média mensal de aumento? [R: O aumento total foi de 14,7255%; a média mensal foi de 3,4940%] 104) Considere que as variações do Índice de Custo de Vida (ICV) do último trimestre foram os seguintes: 2%, 5% e 8%. Determinar a taxa de inflação acumulada no período e a taxa de inflação mensal média. [R: taxa de inflação acumulada: 15,6680%; taxa mensal média: 4,9714%] 105) “Juros do cheque especial recuam pela quinta vez e atingem 8,89% a.m. Pesquisa divulgada pela Fundação Procon de São Paulo mostrou que, em maio, na comparação com abril, os juros médios do cheque especial passaram de 9,03% ao mês para 8,89% mensais - um recuo de 0,14 ponto percentual -, marcando a quinta queda consecutiva dos juros, após sucessivas altas.” (Fonte: http://economia.uol.com.br/ultnot/infomoney/2009/05/21) Considerando que a taxa mensal de juros do cheque especial, como afirma o texto acima, é, em média, de 8,89% a.m., qual é a taxa anual equivalente de juros que está sendo cobrada?

[R: A taxa anual de juros que está sendo cobrada no cheque especial é de 177,8792% a.a.] 106) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por 6 meses, à taxa de juros de 8% a.a., e a seguir, o montante obtido foi reaplicado por mais 6 meses a juros de 5% a.t. Qual será o montante ao final desse ano? [R: 11.457,52] 107) Uma aplicação em CDI em certa instituição financeira rendeu 12,27% em 2008. Se o IPCA/IBGE, que é medidor oficial da inflação no país, foi de 5,90% no mesmo período, qual foi a remuneração real de uma aplicação em CDI? [R: 6,0151%] 108) O IPTU na cidade de São Paulo teve um reajuste de 8,18% no período 2008/2009. Se o IPC/FIPE, que mede o índice de inflação na cidade de São Paulo, foi de 6,17% no mesmo período, qual foi a taxa real de aumento desse imposto? [R: 1,8932%] 109) Considerando as taxas nominais abaixo, qual é a taxa efetiva anual para cada hipótese? a) 24% a.a. Capitalização mensal [R: iefet = 26,82 % .a.a.] b) 28% a.a. Capitalização trimestral [R: iefet = 31,08 % a.a.] c) 21% a.a. Capitalização quadrimestral [R: iefet = 22,5 % a.a.] d) 40% a.a. Capitalização semestral [R: iefet = 44 % a.a.] e) 30% a.a. Capitalização anual [R: iefet = 30 % a.a.]



Equivalência de Capitais Equivalência de capitais: constitui um conceito essencial ao cálculo financeiro, isto é, dois capitais podem ser equivalentes mesmo se colocados em épocas diferentes. Mas, os capitais só podem ser comparados em uma mesma data. O conceito de equivalência de capitais é utilizado na antecipação ou prorrogação de um ou mais títulos em operações financeiras, as quais dizem respeito, de um modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma data taxa de juros. Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando tiverem valores iguais, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros. A transferência de capitais de uma data para a outra posterior é feita pela fórmula:

niPVFV )1.( += A transferência de capitais de uma data para a outra anterior é feita pela fórmula: É importante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos de capitais que sejam equivalentes em uma determinada data o serão em qualquer outra. Data Focal: também chamada de data de referência ou data de avaliação, é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Equação de valor: permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada a taxa de juros. Exemplos: 1. Um comerciante deve R$ 6.000,00 que deverá ser pago daqui a 5 meses. Entretanto, ele deseja quitar sua dívida 2 meses antes do prazo. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 5% a.m., capitalizada mensalmente?

n)i1(

FVPV

+=

2)05,01(

6000PV

+= (observe que há 2 meses entre as datas focais 3 e 5 meses)

n)i1(

FVPV

+=

PV = R$ 5.442,18



2. Uma pessoa deve R$ 5.000,00 que deverá ser pago daqui a 1 mês. Entretanto, ela sabe que não poderá honrar sua dívida nesse prazo, mas somente daqui a 6 meses. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 8% a.m., capitalizada mensalmente?

n)i1.(PVFV +=

5)08,01.(5000FV += (observe que há 5 meses entre as datas focais 1 e 6 meses)

Exercícios envolvendo Equivalência de Capitais 110) Uma pessoa deseja quitar uma dívida no valor de $ 21.000,00 com vencimento para um ano. Considerando que a taxa de juros negociada foi de 3,0% a.m., quanto deverá pagar nas seguintes datas: a) hoje; b) daqui a 3 meses; c) daqui a 6 meses.

[R: $ 14.728,98; b) $ 16.094,75; c) $ 17.587,17] 111) Um empresário deseja antecipar o pagamento de uma dívida no valor de $ 18.400,00, a vencer daqui a 7 meses. Admitindo que será utilizada a taxa de juros de 2,8% a.m. , qual deverá ser o valor pago? [R: O valor pago deverá ser de $ 15.165,82] 112) O gerente de uma pequena confecção de roupas infantis deseja renegociar uma dívida de $ 8.000,00 a vencer daqui a 90 dias. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., quanto deverá pagar nas seguintes datas: a) hoje; b) daqui a 30 dias; c) daqui a 10 meses.

[R: a) $ 7.428,80; b) $ 7.614,52; c) $ 9.509,49] 113) O valor à vista de um equipamento é de R$36.000,00. O cliente deseja dar uma entrada de 20% e pagar o restante em 2 parcelas, sendo a primeira de R$ 18.000,00. Calcule o valor do segundo pagamento, se a taxa de juros cobrada é de 3,6% a.m.. [R: R$ 12.262,92] 114) Uma dona de casa deseja antecipar o pagamento de um carnê contendo ainda 3 prestações a pagar, com prazo de vencimento para 30, 60 e 90 dias. Se o valor das prestações é de $ 600,00 e a taxa de juros negociada é de 2,0% a.m., qual o valor do pagamento único que deverá ser feito para a quitação dessa dívida? [R: $ 1.730,33]

FV = R$ 7.346,64



Séries de Pagamentos e Recebimentos Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos previstos para ocorrer em determinado intervalo de tempo. Os fluxos de caixa podem ser classificados quanto a: a) períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), b) periodicidade (períodos iguais ou diferentes), c) de duração (temporários ou perpétuos) e d) de valores (uniformes ou variáveis). As séries estudadas com maior detalhe são as séries de pagamentos uniformes, periódicas e finitas, as quais podem ser classificadas quanto ao período de ocorrência em: • Imediatas: quando o primeiro pagamento da série ocorre no 1° período.

As rendas imediatas podem ser: Postecipadas: o primeiro pagamento da série ocorre no final do 1° período. Antecipadas: o primeiro pagamento da série ocorre no início do 1° período.

• Diferidas: Nas rendas diferidas, os pagamentos são exigíveis a partir de uma data que não seja o 1° período (tem-se um período de carência). 1.) Séries ou Rendas Uniformes Postecipadas (Modelo Básico de Anuidade) Nas rendas postecipadas, os pagamentos são exigíveis no final dos períodos. Este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação, representada pela sigla “PMT”, que vem do inglês Payment.

períodos

0 PMT PMT PMT

ii

iPMTPV

n

n

.)1(

]1)1[(.

+−+= PV = PMT. an i onde an i = fator de valor presente

i

iPMTFV

n

.

]1)1[(.

−+= FV = PMT. sn i onde sn i = fator de valor futuro.

Coeficientes Financeiros = cálculo das prestações por unidade de capital.

Pode ser calculado pela expressão: Coeficiente Financeiro = nia

1=

1)1(

.)1(

−++

n

n

i

ii



Exemplos: 1. Calcular o valor de um financiamento a ser quitado por seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo a taxa de juros negociada na operação igual a 3,5% a.m..

i.)i1(

]1)i1[(.PMTPV

n

n

+−+=

035,0.)035,01(

]1)035,01[(.1500PV

6

6

+−+=

035,0.035,1

]1035,1[.1500PV

6

6 −=

035,0.035,1

]1035,1[.1500PV

6

6 −=

035,0.229255326,1

1229255326,1.1500PV

−=

043023936,0

229255326,0.1500PV =

PV = 1500 . 5,328553013

ou

PV = R$ 7.992,83

Na HP 12C: f 9 (nove casas)

1,035 ENTER

6 yx

VISOR 1,229255326

1 - (menos)

VISOR 0,229255326

1,035 ENTER

6 yx

VISOR 1,229255326

0,035 x (vezes)

VISOR 0,043023936

÷ (dividir)

VISOR 5,328553013

1500 x (vezes)

f 2 (duas casas)

VISOR 7.992,83

Na HP 12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

1500 CHS PMT

6 n

3,5 i

PV

VISOR 7.992,83



2. Dados: PV = R$ 7.992,83

n = 6 meses i = 3,5% a.m.

calcular PMT = ? 3. Dados: PV = R$ 7.992,83

n = 6 meses PMT = R$ 1.500,00

calcular i = ?

Na HP 12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

7992,83 CHS PV

6 n

3,5 i

PMT

VISOR 1.500,00

Na HP 12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

7992,83 CHS PV

6 n

1500 PMT

i

VISOR 3,50

Observação: O mesmo raciocínio pode ser aplicado quando são dadas três das variáveis FV, PMT, n, i e deseja-se encontrar a quarta variável.



2.) Séries ou Rendas Uniformes Antecipadas Nas rendas antecipadas, os pagamentos são exigíveis no início dos períodos. Este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento com entrada.

períodos

PMT PMT PMT PMT ..................... n

ii

iiPMTPV

n

n

.)1(

]1)1[().1.(

+−++=

i

iiPMTFV

n ]1)1[().1.(

−++=

]1)i1).[(i1(

i.)i1(.PVPMT

n

n

−+++=

]1)i1).[(i1(

i.FVPMT

n −++=

Observação sobre as Funções [BEG] e [END] na HP 12C Para efetuarmos os cálculos de uma série uniforme de pagamento antecipada na calculadora HP 12C, será necessário introduzir no visor da calculadora a função “BEGIN”, que é facilmente introduzida através da seqüência de letras [g] [BEG], ou seja, BEGIN = pagamento no início do período. Porém, havendo a necessidade da realização de cálculos de uma série uniforme de pagamento postecipada, basta pressionar a seqüência de teclas [g] [END], ou seja, END = pagamento no final do período.



Exemplo: Uma pessoa necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00 e acredita que, se na data de hoje aplicar R$ 500,00 mensalmente em um fundo de renda fixa que paga a taxa de 0,8% ao mês, ele terá o valor de que precisa. Pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular esse valor? i = 5 anos = 60 meses

i

]1)i1[().i1.(PMTFV

n −++=

008,0

]1)008,01[().008,01.(500FV

60 −++=

008,0

]1)008,1[().008,1.(500FV

60 −=

008,0

]1612990935,1[.504FV

−=

62386688,76504FV ⋅=

ou Resposta: O poupador não só conseguirá acumular R$ 37.500,00 como ainda sobrarão R$ 1.118,43.

FV = R$ 38.618,43


500 ENTER

1,008 x (vezes)

VISOR 540,0000000

1,008 ENTER

60 yx

VISOR 1,612990935

1 - (menos)

VISOR 0, 612990935

0,008 ÷ (dividir)

VISOR 76,62386688

x (vezes)

f 2 (duas casas)

VISOR 38.618,43

Na HP 12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

g BEG

500 CHS PMT

60 n

0,8 i

FV

VISOR 38.618,43 BEGIN



3.) Séries ou Rendas Uniformes Diferidas Nas séries uniformes de pagamentos diferidas são aquelas em que há um período de carência, ou seja, se considerarmos um período de carência qualquer como n, a primeira prestação será paga no período seguinte (n+1).

períodos

0 1 2 ... n n+1 n+2 n+3 ... n+n

PMT PMT PMT ... PMT

, onde c é o período de carência.

Exemplo: Certa loja vende determinada mercadoria à vista por R$ 850,00, em 24 parcelas mensais, devendo a primeira parcela ser paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação.

])i1(1[

)i1(iPVPMT

n

1c

−

−

+−+⋅⋅=

])04,01(1[

)04,01(04,0850PMT

24

14

−

−

+−+⋅⋅=

])04,1(1[

)04,1(34PMT

24

3

−−⋅=

]390121474,01[

124864,134PMT

−⋅=

609878526,0

124864,134PMT ⋅=

844406636,134PMT ⋅=

1c

n

)i1.(i

)i1(1.PMTPV −

−

++−=

n

1c

)i1(1

)i1(iPVPMT −

−

+−+⋅⋅=

PMT = R$ 62,71


850 ENTER

0,04 x (vezes)

VISOR 34,00000000

1,04 ENTER

3 yx

VISOR 1,124864000

x (vezes)

VISOR 38,24537600

1 ENTER

1,04 ENTER

24 CHS yx

- (menos)

VISOR 0, 609878526

÷ (dividir) f 2 (duas casas)

VISOR 62,71



4.) Rendas Perpétuas Existem casos em que os pagamentos ou recebimentos são uniformes e o número de termos tende ao infinito. Estas séries encontram aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis, na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividendos, etc. No caso das séries perpétuas, determina-se unicamente o seu valor presente, dado pela expressão:

i

PMTPV =

Na HP 12C:

f clear FIN

f 2 (duas casas)

3 n

4 i

850 CHS PV

FV

VISOR 956,13

CHS PV

0 FV

24 n

PMT

VISOR 62,71

Observação: Na HP 12C considera-se, inicialmente, o período de carência e calcula-se o valor realmente devido (FV) após a carência. Esse valor torna-se, então, o novo PV que será pago em prestações no prazo contratado e que, portanto, não gerará nenhum valor devido (FV = 0).



Exercícios envolvendo Séries de Pagamentos e Recebi mentos 115) Uma determinada empresa financia eletrodomésticos em 6 prestações mensais iguais, e deseja ganhar uma taxa de 2,5%a.m.. Qual o valor dessas prestações para um financiamento de $ 3.000,00? Considere que a primeira prestação vence 30 dias após a assinatura do contrato. [R: $544,65] 116) Um carro pode ser adquirido em 36 prestações mensais iguais de $1.720,00, vencendo a primeira 30 dias após a data da compra. Calcule o valor à vista, se a taxa de juros utilizada na operação foi de 3,44% a.m.. [R: $ 35.202,66] 117) Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de $ 100.000,00, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 7.200,00 cada uma? Considere que a primeira prestação vence 30 dias após a assinatura do contrato. [R: 2,8844 % a.m.] 118) Calcule o valor da prestação mensal de um aparelho de som, cujo preço à vista é de $5.000,00, a uma taxa de juros 6% a.m. e um total de 12 prestações. Considerar que: a) a primeira parcela vence a 30 dias após a compra. [R:$ 596,39] b) a primeira parcela vence no ato da compra. [R:$ 562,63] 119) Calcule o valor de um financiamento quitado em 36 prestações mensais de $7.500,00, se a taxa de juros aplicada foi de 10% a.m., nas seguintes condições: a) se a primeira prestação vence no ato da assinatura do contrato, [R: $79.831,19] b) se a primeira prestação vence a 30 dias. [R: $72.573,81] 120) Um terreno pode ser financiado nas seguintes condições: entrada de $ 14.500,00 e mais 18 pagamentos mensais e iguais de $ 2.400,00. Sabendo-se que a taxa de juros acordada na operação foi de 4,0% a.m., e que a primeira prestação deverá ser paga 30 dias após a compra, pede-se: a) determinar o valor à vista do terreno; b) se o cliente desejar financiar o mesmo terreno em 50 prestações mensais iguais, sendo a primeira no ato da compra, qual será o valor da nova prestação? [R: $ 44.882,31; $ 2.008,92] 121) A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: "Compre tudo e pague em 12 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses.” Se a taxa de financiamento é de 4,5% a.m., qual é o valor da prestação de um refrigerador cujo preço à vista é de $ 3.500,00? [R: $ 419,15] 122) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador. Dispõe de 4 alternativas: a) pagamento à vista de $ 2.300,00; b) pagamento de 8 prestações mensais de $ 431,11; c) pagamento de 4 prestações mensais de $965,75, sendo a 1ª paga daqui a 4 meses; d) um único pagamento de $ 4.930,26 daqui a 8 meses. Do ponto de vista financeiro, qual plano é o melhor, considerando que a taxa de juros praticada é de 10% a.m.? [R: Considerando os valores presentes dos planos de financiamento, verifica-se que as quatro alternativas são equivalentes.]



123) Uma pessoa efetua um depósito inicial de $ 30.000,00 numa conta remunerada, e seqüencialmente mais 14 depósitos mensais iguais de $ 2.000,00 cada. Determinar quanto essa pessoa terá acumulado na data do último depósito, admitindo-se uma taxa de juros de 2% a.m. [R: $71.532,24] 124) Uma pessoa depositou, anualmente, $ 500,00 numa conta de poupança, em nome de seu filho, a juros de 8% a.a.. O primeiro depósito foi feito no dia em que o filho completou 1 ano, e o último por ocasião de se 18° aniversário. O dinheiro ficou depositado até o dia em que o filho completou 21 anos, ocasião em que o montante foi sacado. Quanto recebeu o filho? [R:$ 23.588,26] 125) Uma pessoa irá necessitar de $22.000,00 daqui a um ano para realizar uma viagem. Para tanto, ela deposita mensalmente $1.250,00 em uma conta que remunera os depósitos a uma taxa de juros de 4% a.m.. Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem. (Considere que o primeiro depósito foi efetuado na abertura da conta). [R: Não, acumulou somente $ 19.533,55] 126) O gerente financeiro de uma cadeia de lojas que operam com crediário, deseja estabelecer fatores (coeficientes) que serão aplicados ao preço à vista para cálculo da prestação mensal. Considerando a taxa de juros da empresa de 6,8% a.m., calcule estes fatores por unidade de capital, nos prazos 6 meses, 12 meses e 18 meses: [R: f = 0,2085 (6 meses); f = 0,12456 (12 meses); f = 0,09798 (18 meses)] 127) Construir a tabela financeira dos coeficientes para cálculo das prestações por unidade de capital (ou seja R$ 1,00) de uma série uniforme postecipada, para as taxas de juros mensais de 3%, 5%, 7%, 10% e 12%, para prazos de até 5 meses. [R:

Coeficiente No de meses 3 % a.m. 5% a.m. 7% a.m. 10% a.m. 12% a.m.

1 1,03000 1,05000 1,07000 1,10000 1,12000 2 0,52261 0,53780 0,55309 0,57619 0,59170 3 0,35353 0,36721 0,38105 0,40211 0,41635 4 0,26903 0,28201 0,29523 0,31547 0,32923 5 0,21835 0,23097 0,24389 0,26380 0,27741



Sistemas de amortização Os sistemas de amortização são desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. As planilhas de amortização permitem acompanhar os valores referentes aos desembolsos efetuados, juros pagos, amortizações efetuadas e saldos devedores em cada período. De uma maneira geral, os seguintes dados são apresentados nas planilhas: a) Juros: calculados sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior. b) Amortização: pagamento do principal (capital emprestado). c) Saldo Devedor: é o valor do principal da dívida, em determinado momento. d) Prestação: é composta pela amortização mais os encargos financeiros devidos.

osargencoutrosJurosoAmortizaçãestaçãoPr ++=

Carência: é o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. A seguir são apresentados os sistemas de amortização mais utilizados: 1) SAF – Sistema de Amortização Francês Amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, estabelece que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas.

+−+=ii

iPMTPV

n

n

.)1(

1)1(. =tSD

+−+

−

−

ii

iPMT

tn

tn

.)1(

1)1(.

Tabela Price: variante do Sistema Francês, é caracterizado pelo uso da taxa nominal (geralmente anual), sendo que as prestações são calculadas com base na taxa proporcional ao período a que se refere a prestação (geralmente mensal). 2) SAC - Sistema de Amortização Constante Característica básica: as amortizações do principal são sempre constantes, em todo o

prazo da operação. Amortização = n

PV

Os juros são decrescentes, e as prestações periódicas e sucessivas do SAC são

decrescentes em progressão aritmética, sendo o valor periódico da redução de n

iPV..



3) SAM - Sistema de Amortização Misto Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) e o sistema de amortização constante (SAC). 4) SAA – Sistema de Amortização Americano Neste sistema, o principal é restituído por meio de uma parcela única ao final da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum), ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado. Fundo de Amortização (Sinking Fund): Constitui um fundo no qual são acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo, de modo que, ao final do prazo, o montante do fundo seja igual ao valor do empréstimo.

Exercícios envolvendo Sistemas de Amortização 128) Um empréstimo de $ 200.000,00 será pago pelo Sistema Francês de Amortização (SAF) em 6 prestações mensais postecipadas, sem período de carência. Construir a planilha de amortização, considerando-se que a taxa de juros contratada é de 2,5% a.m. 129) Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de $ 350.000,00, nas seguintes condições de amortização: 1°Mês: $70.000,00; 2°Mês: $50.000,00; 3°Mês: $80.000,00; 4°Mês: $60.000,00 e 5°Mês: $90.000,00 (Sistema de amortização variável). Sendo de 4% a.m. a taxa corrente de juros, determinar o valor dos desembolsos mensais (amortização e juros) que devem ser efetuados caso o negócio seja realizado nestas condições. 130) Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para ser liquidado em 4 pagamentos mensais pelo Sistema de Amortização Francês (SAF). Sendo a operação realizada com uma taxa de juros de 5% a.m., elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento nas seguintes condições: a) Sem carência. b) Carência de 3 meses, sendo somente os juros pagos nesse período. c) Carência de 3 meses, sendo os juros capitalizados no período de carência. 131) O banco Caravaggio emprestou $ 200.000,00 à taxa de 9% ao semestre pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Construir a planilha de desembolso, considerando as prestações semestrais, e o prazo total para a amortização do financiamento de 2 anos. 132) Um financiamento para capital de giro no valor de $ 15.000,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 anos, à taxa de 8% a.a. Sabendo-se que será adotado o Sistema Americano de amortização (SAA) e que o pagamento dos juros será efetuado no prazo de liquidação do financiamento, calcule os valores de desembolso anual. Determinar os depósitos



anuais para constituição de um fundo de amortização ("sinking fund"), considerando uma taxa de aplicação de 6% ao ano. 133) Um financiamento de $ 160.000,00 pode ser amortizado pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), SAF (Sistema de Amortização Francês) e SAM (Sistema de Amortização Misto). Considerar um prazo de 5 meses e taxa de juros de 3% ao mês. Elaborar a planilha financeira deste financiamento. 134) Um financiamento de $10.000,00 será pago pela Tabela Price em 5 parcelas mensais à taxa nominal de 12% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular a amortização do 4°mês e o saldo devedor logo após o pagamento da 3ª prestação. 135) Um empréstimo no valor de $ 80.000,00 será liquidado pelo sistema de amortização constante (SAC) em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 4% a.m.. Determinar: a) o valor de cada amortização mensal; b) o valor dos juros e da prestação referentes ao 22° pagamento; c) o valor da última prestação; d) o valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10ª prestação. 136) Um financiamento no valor de $ 900.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo sistema francês (SAF). Sendo a taxa de juros contratada de 2,8%a.m., determinar: a) o valor de cada prestação mensal; b) o valor da amortização e dos juros referentes ao 19° mês. 137) Considere um financiamento no valor de $ 100.000,00 a ser pago em 5 meses, pelo Sistema de Amortização Francês (SAF), à taxa real de 6% a.m.. mais IGPM. Construir a planilha de amortização, com e sem atualização monetária. Considere os seguintes valores de IGPM: 1° mês: 2,1%- 2° mês: 3,8% - 3° mês: 4,7% - 4° mês: 3,4% - 5° mês: 2,5%. Respostas (sistemas de amortização)

128) Planilha de amortização SAF: (Taxa de juros: 2,5% a.m.)

Período (mês)

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação mensal

0 200.000,00 0,00 0,00 0,00 1 168.690,01 31.309,99 5.000,00 36.309,99 2 136.597,26 32.092,74 4.217,25 36.309,99 3 103.702,20 32.895,06 3.414,93 36.309,99 4 69.984,76 33.717,44 2.592,56 36.309,99 5 35.424,39 34.560,38 1.749,62 36.309,99 6 0,00 35.424,38 885,61 36.309,99

Total 200.000,00 17.859,97 217.859,97



129) Planilha de amortização (Sistema de amortização variável): (Taxa de juros: 4% a.m.)

Período (mês)


0 350.000,00 0,00 0,00 0,00 1 280.000,00 70.000,00 14.000,00 84.000,00 2 230.000,00 50.000,00 11.200,00 61.200,00 3 150.000,00 80.000,00 9.200,00 89.200,00 4 90.000,00 60.000,00 6.000,00 66.000,00 5 0,00 90.000,00 3.600,00 93.600,00

Total 350.000,00 44.000,00 394.000,00 130) Planilha de amortização (SAF)

a) Sem carência Financiamento de 660.000,00, 5% a.m., 4 prestações mensais.

Período (mês)


0 660.000,00 0,00 0,00 0,00 1 506.872,19 153.127,81 33.000,00 186.127,81 2 346.087,99 160.784,20 25.343,61 186.127,81 3 177.264,58 168.823,41 17.304,40 186.127,81 4 0,00 177.264,58 8.863,23 186.127,81

Total 660.000,00 84.511,24 744.511,24 b) Carência de 3 meses - pagamento dos juros no período de carência

Período (mês)


0 660.000,00 0,00 0,00 0,00 1 660.000,00 0,00 33.000,00 33.000,00 2 660.000,00 0,00 33.000,00 33.000,00 3 506.872,19 153.127,81 33.000,00 186.127,81 4 346.087,99 160.784,20 25.343,61 186.127,81 5 177.264,58 168.823,41 17.304,40 186.127,81 6 0,00 177.264,58 8.863,23 186.127,81

Total 660.000,00 84.511,24 744.511,24 c) Carência de 3 meses - capitalização dos juros no período de carência

Período (mês)


0 660.000,00 0,00 0,00 0,00 1 693.000,00 0,00 33.000,00 0,00 2 727.650,00 0,00 34.650,00 0,00 3 558.826,59 168.823,41 36.382,50 205.205,91 4 381.562,01 177.264,58 27.941,33 205.205,91 5 195.434,20 186.127,81 19.078,10 205.205,91 0,00 195.434,20 9.771,71 205.205,91

Total 727.650,00 93.173,64 820.823,64



131) Planilha de desembolso: SAC; 2 anos, prestações semestrais, taxa de 9% a.s.

Período (semestre)


0 200.000,00 0,00 1 150.000,00 50.000,00 18.000,00 68.000,00 2 100.000,00 50.000,00 13.500,00 63.500,00 3 50.000,00 50.000,00 9.000,00 59.000,00 4 0,00 50.000,00 4.500,00 54.500,00

Total 200.000,00 45.000,00 245.000,00 132) Planilha de amortização (Sistema de amortização americano SAA):

Pagamento dos juros na data da liquidação:

Período (ano)

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação anual

0 15.000,00 0,00 0,00 0,00 1 16.200,00 1.200,00 0,00 2 17.496,00 1.296,00 0,00 3 18.895,68 1.399,68 0,00 4 0,00 18.895,68 1.511,65 20.407,33

Total 18.895,68 1.511,65 20.407,33

Exercício anterior: Fundo de amortização (para FV = 15.000,00) Valores dos depósitos do fundo de amortização: PMT = 3.428,87 (i = 6 %a.a.)

133) a) Planilha de desembolsos pelo SAC

Financiamento = 160.000,00, taxa 3% a.m., prazo de 5 meses.

Período (mês)


0 160.000,00 0,00 0,00 0,00 1 128.000,00 32.000,00 4.800,00 36.800,00 2 96.000,00 32.000,00 3.840,00 35.840,00 3 64.000,00 32.000,00 2.880,00 34.880,00 4 32.000,00 32.000,00 1.920,00 33.920,00 5 0,00 32.000,00 960,00 32.960,00

Total 160.000,00 14.400,00 174.400,00 b) Planilha de desembolsos pelo SAF

Período (mês)


0 160.000,00 0,00 1 129.863,27 30.136,73 4.800,00 34.936,73 2 98.822,44 31.040,83 3.895,90 34.936,73 3 66.850,38 31.972,06 2.964,67 34.936,73 4 33.919,16 32.931,22 2.005,51 34.936,73 5 0,00 33.919,16 1.017,57 34.936,73

Total 160.000,00 14.683,66 174.683,66



c) Planilha de desembolsos pelo SAM: 3

sacsafSAM

PPP

+=

Prestação mensal Período (mês)

Saldo Devedor

Amortização Juros Prest- SAC Prest SAF Prest SAM

0 160.000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 128.931,64 31.068,37 4.800,00 36.800,00 34.936,73 35.868,37 2 97.411,22 31.520,42 3.867,95 35.840,00 34.936,73 35.388,37 3 65.425,19 31.986,03 2.922,34 34.880,00 34.936,73 34.908,37 4 32.959,58 32.465,61 1.962,76 33.920,00 34.936,73 34.428,37 5 0,00 32.959,58 988,79 32.960,00 34.936,73 33.948,37

Total 160.000,24 14.541,84 174.541,85

134) a) $ 2.180,00 e b) $ 1.492,00 135) a) $ 2.000,00, b) $ 1.520,00 e $ 3.520,00, c) $ 2.080,00 e d) $ 60.000,00 136) a) $ 44.738,10 e b) $ 32.118,70 e $ 12.619,20 137) a) Planilha de Amortização – SAF (Taxa de juros de 6,0% a.m.) Período (mês)

Saldo Devedor

Amortização Juros Saldo Devedor Atualizado

Prestação mensal

0 100.000,00 0,00 0,00 - 0,00 1 82.260,36 17.739,64 6.000,00 - 23.739,64 2 63.456,34 18.804,02 4.935,62 - 23.739,64 3 43.524,08 19.932,26 3.807,38 - 23.739,64 4 22.395,89 21.128,20 2.611,44 - 23.739,64 5 0,00 22.395,89 1.343,75 - 23.739,64

Total 100.000,00 18.824,19 - 118.698,20 b) Planilha de amortização SAF: (Taxa de juros: 6,0% a.m. + IGPM) Período (mês)

Saldo Devedor

Amortização Juros Saldo Devedor Atualizado

Prestação mensal

0 100.000,00 0,00 0,00 0,00 1 84.486,36 17.613,64 6.126,00 (102.100,00) 23.739,64 2 69.219,01 18.477,83 5.261,81 (87.696,84) 23.739,64 3 53.081,00 19.391,30 4.348,34 (72.472,31) 23.739,64 4 34.439,26 20.446,49 3.293,15 (54.885,76) 23.739,64 5 13.678,62 21.621,63 2.118,01 (35.300,25) 23.739,64

Total 97.550,89 21.147,31 118.698,20



Introdução ao uso da calculadora HP-12C 1) O TECLADO

A maioria das teclas da HP 12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função

primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior da tecla. As funções alternativas de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em amarelo e pelos caracteres impressos em azul.

Para acionarmos tais funções, devemos previamente pressionar a tecla de prefixo f para a função amarela ou a tecla de prefixo g para a função azul. Se as teclas f e g forem pressionadas por engano, elas podem ser canceladas pressionando-se f CLEAR PREFIX. 2) INTRODUÇÃO DE NÚMEROS

Para introduzirmos um número na calculadora pressione as teclas dos dígitos em seqüência, tal como se você estivesse escrevendo num papel. A tecla do ponto decimal deverá ser pressionada se o número possuir dígitos na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto decimal é desnecessário. Para introduzirmos um número negativo, digitamos o número sem o sinal e a seguir pressionamos a tecla CHS (Change Sign). Se a tecla CHS for pressionada novamente o número ficará positivo. 3) INTRODUÇÃO DE NÚMEROS NA “NOTAÇÃO CIENTÍFICA”

O visor da HP 12C não comporta números com mais de 10 dígitos. Números com mais de 10 dígitos deverão ser escritos na “notação científica”, produto de um número por uma potência do número dez. Esses números serão armazenados fazendo uso da tecla EEX (ENTER EXPONENT). EXEMPLOS: A) 1.953.000.000.000 = 1,953.1012 PRESSIONE VISOR 1.953 EEX 12 1.953 12 B) 0,0003 = 3.10-4 PRESSIONE VISOR 3 EEX 4 CHS 3. -04 Obs: É óbvio que números com menos de 10 dígitos também poderão ser introduzidos na calculadora usando a notação científica. 4) AS TECLAS “CLEAR”: Apagar um registrador ou o visor é a operação que substitui seus conteúdos originais por zero. Ao se apagar a memória de programação, substitui-se todas as instruções nela armazenadas por g GTO 00 .



As funções para apagar são as seguintes:

TECLA

APAGA

CLx

O número que aparece no visor.

f CLEAR Σ

Os registradores estatísticos (R1 a R6), os registradoras da pilha operacional e o visor.

f CLEAR FIN

Os registradores financeiros.

f CLEAR REG

Os registradores de armazenamento de dados, os registradores financeiros, os registradores da pilha operacional, o último x LSTx e o visor.

f CLEAR PRGM

A memória de programação, somente se pressionadas no modo PRGM.

5) CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES: A operação entre dois números é feita informando à calculadora quais são os dois números e então qual a operação a ser realizada. Em resumo, devemos seguir os seguintes passos:

1. Introduzimos o primeiro número.

2. Pressionamos ENTER para separar o segundo número do primeiro, ou ainda, para encerrarmos a introdução de dígitos do primeiro número.

3. Introduzimos o segundo número.

4. Pressionamos + , - , x ou ÷ para realizarmos a operação desejada.

A tecla ENTER serve para encerrar a introdução de dígitos do primeiro número. Não há necessidade de pressionar ENTER após o segundo número porque quando pressionamos as teclas + , - , x , ÷ também encerramos a introdução de dígitos. Na verdade, todas as teclas encerram a introdução de dígitos, com exceção das teclas . CHS EEX f g STO RCL e GTO. 6) A PILHA OPERACIONAL A HP-12C dispõe de quatro registradores temporários (X, Y, Z, T) que formam a chamada pilha operacional e que pode ser representada através do seguinte diagrama:

T

Z Y X



É importante observar que: a) O registrador X é aquele cujo conteúdo está aparecendo no visor. b) Todas as operações aritméticas são efetuadas com os conteúdos dos registradores Y e X. c) Os conteúdos dos registradores sobem a pilha operacional toda vez que os valores são introduzidos na calculadora através da tecla ENTER . d) Os conteúdos dos registradores descem a pilha operacional quando são efetuadas operações aritméticas através das teclas + , - , x , ÷ . e) A tecla R quando acionada mostra sucessivamente o conteúdo dos registradores Y, Z , T , X. f) A tecla X >< Y permuta os conteúdos dos registradores X e Y mantendo o conteúdo dos registradores Z e T inalterados. 7) A TECLA ENTER Quando um número é digitado ocupa, imediatamente, a memória X, que é a única memória cujo conteúdo aparece no visor. Ao se acionar a tecla ENTER são desencadeadas as seguintes transferências de valores entre os registradores da pilha operacional:

a) O conteúdo de X (visor) é transferido para Y e mantido em X. b) O conteúdo de Y é transferido para Z. c) O conteúdo de Z é transferido para T. d) O conteúdo de T é perdido.

EXEMPLOS A) 15 – 3 – 2 + 5 = 16 SOLUÇÃO: 15 ENTER 3 - 2 - 6 + B) ( 5 + 2 + 4 ) . 7 = 11 . 7 = 77 SOLUÇÃO:

5 ENTER 2 + 4 + 7 × C) (3 x 4 ) + ( 5 x 6 ) = 12 + 30 = 42 SOLUÇÃO: 3 ENTER 4 ×

5 ENTER 6 ×

+ D) A HP 12 C comporta até 3 números além do armazenado no visor. ( 3 x 4 ) + ( 5 x 2 ) + (4 x 5 ) + 7 = 12 +10 + 20 + 7 = 12 + 10 + 27 = 12 + 37 = 49



SOLUÇÃO: 3 ENTER 4 × 5 ENTER 2 × 4 ENTER 5 × 7 + + + E) 5 = 5 = 0,125 3 + 16 + 21 40 SOLUÇÃO: 5 ENTER 3 ENTER 16 + 21 + ÷ 8) AS TECLAS ∆% e %T A tecla ∆% serve para calcular a variação percentual entre dois valores. Para o cálculo, introduz-se, primeiramente, o valor antigo e, depois, o novo valor e pressiona-se a tecla ∆%. A tecla %T serve para calcular distribuição percentual. Para o cálculo, introduz-se, primeiramente, o valor total e depois o valor para o qual se deseja encontrar a parte percentual, pressionando, a seguir, a tecla %T. Este procedimento deve ser repetido para cada valor que se deseja encontrar a parte percentual no total. EXEMPLOS A) Calcular a variação percentual entre os preços R$ 15,00 (antigo) e R$ 18,00 (novo). SOLUÇÃO: 15 ENTER 18 ∆% Visor 20,00 Acréscimo de 20%. B) Calcular a variação percentual entre os preços R$ 18,00 (antigo) e R$ 15,00 (novo). SOLUÇÃO: 18 ENTER 15 ∆% Visor -16,67 Decréscimo de 16,67%.



C) Calcular a distribuição percentual das aplicações de um investidor sabendo que o valor investido em ações é R$ 2.000,00; em renda fixa é R$ 3.000,00 e na poupança é R$ 4.000,00. SOLUÇÃO: 9000 ENTER 2000 %T Visor 22,22 9000 ENTER 3000 %T Visor 33,33 9000 ENTER 4000 %T Visor 44,44 O investidor aplica em ações 22,22% do valor total, em renda fixa 33,33% do valor total e em poupança 44,44% do valor total. 9) O NÚMERO DE CASAS DECIMAIS:

A tecla amarela f é a que determina o número de casas decimais que aparecerá no visor. Para isso, basta que se pressione a tecla f e a seguir o número de casas decimais desejadas (0 a 9).

A seqüência de teclas tecla f . apresentará o número na notação científica. Independente do número de casas decimais representadas no visor, a HP-12C trabalha sempre com números de 10 dígitos. 10) REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO: Nos registradores da pilha operacional, utilizados para armazenar números durante os cálculos e, também, num outro registrador chamado LAST X, usado para armazenar o último número contido no visor antes de realizar uma operação, os números são armazenados automaticamente. Além destes acham-se disponíveis 25 registradores para o armazenamento manual de números. Tais registradores são designados por R0 a R9 , R.0 a R.9, n , i , PV , PMT e FV. 11) ARMAZENAMENTO E RECUPERAÇÃO DE NÚMEROS: Para armazenar um número contido no visor num registrador de armazenamento:

1. Pressione STO (store). 2. Introduza o número registrador de 0 a 9 para os registradores R0 a R9 ou .0 a .9 para os

registradores R.0 a R.9 ou pressione as teclas n i PV PMT FV para os registradores financeiros. De maneira semelhante, para recuperar um número de um registrador pressione RCL

(recall) e então introduza o número ou o nome do registrador. Isto fará com que o número contido no registrador especificado seja copiado no visor, entretanto, o conteúdo do registrador permanecerá inalterado. Além disso, quando esta operação é realizada, o número anteriormente contido no visor é automaticamente mantido dentro da calculadora para um cálculo posterior. Da mesma maneira que o conteúdo do visor é mantido quando é introduzido um novo número.



12) ARITMÉTICA COM OS REGISTRADORES R0 a R4

Os registradores R0 a R4 permitem realizar uma operação aritmética entre um número no visor e o número contido num desses registradores. A seqüência é:

1. Se o número não estiver no visor você deverá digitá-lo ou calculá-lo. 2. Pressione STO. 3. Pressione + , - , x , ÷ para especificar a operação desejada. 4. Introduza o número do registrador.

EXEMPLOS

A) O registrador 1 (R1) contém o número 7.

a) Queremos multiplicar seu conteúdo por 3. SOLUÇÃO: 3 STO x 1

b) Queremos somar 5 ao seu conteúdo.

SOLUÇÃO: 5 STO + 1 c) Queremos dividir o conteúdo por 2.

SOLUÇÃO: 2 STO ÷ 1 d) Queremos subtrair 4 do conteúdo.

SOLUÇÃO: 4 STO - 1

B) ( 3 x 2 ) + ( 8 x 7 ) = 2,07 ( 2 x 15 ) SOLUÇÃO: 3 ENTER 2 x STO 0 8 ENTER 7 x STO + 0 2 ENTER 15 x STO ÷ 0 RCL 0 13) CÁLCULO DO NÚMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS EXEMPLO Quantos dias há entre 01 de Fevereiro de 2008 e 31 de Agosto de 2008. 1a forma: Com a calculadora no modo M.DY (Month.DayYear ou Mês.DiaAno).

Antes de efetuar os cálculos tecle: g M. DY



Agora, o visor da sua HP 12C deve mostrar somente 0,00

ponto Introduza a primeira data: 02.012008 ENTER Introduza a segunda data: 08.312008

Por último tecle: g ∆DYS Visor 212 Diferença de dias entre as datas = 212 dias. 2a forma: Com a calculadora no modo D.MY (Day.MonthYear ou Dia.MêsAno).

Antes de efetuar os cálculos tecle: g D.MY Agora, o visor da sua HP 12C deve mostrar 0,00 e abaixo o indicador de estado D.MY ponto Introduza a primeira data: 01.022008 ENTER Introduza a segunda data: 31.082008

Por último tecle: g ∆DYS Visor 212 Diferença de dias entre as datas = 212 dias.

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