10 a Financeira Curso Basico Administracao

CURSO BSICO DE MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA(Indicado para as reas: Economia, Administrao, Contabilidade, Matemtica e Preparao para Concursos)

Conceitos Bsicos Aplicaes Uso de tabelas financeiras Uso da calculadora HP-12C Uso da planilha EXCEL

Prof. Ilydio Pereira de S

Curso Bsico de Matemtica Comercial e Financeira

1) Introduo:Todos ns sabemos da importncia da Matemtica Comercial e Financeira na vida de todas as pessoas. Economistas, Administradores de Empresa, Professores, Empresrios, Estudantes, Candidatos a Concursos Pblicos,... todos precisam estar familiarizados e atualizados com seus conceitos fundamentais. Normalmente o que acontece na maioria dos cursos de graduao que aprendemos, de forma muito rpida, a usar a mquina na obteno das respostas dos problemas principais e, quase sempre, no sabemos ao menos o que estamos fazendo e os conceitos que esto envolvidos na soluo do problema. Em nosso curso, procuraremos usar uma linguagem simples, com exemplos do mercado financeiro brasileiro, enfocando sempre os conceitos matemticos envolvidos em cada tpico estudado. As aplicaes da Matemtica Financeira sero abordadas atravs do uso de tabelas financeiras (mostradas em anexo, no final da apostila), da calculadora HP-12C ou do uso da planilha Excel.

HP 12 C

"Aprender descobrir aquilo que voc j sabe. Fazer demonstrar que voc o sabe. Ensinar lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto voc".

(Richard Bach)


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2) RESUMO DAS PRINCIPAIS FUNES DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C2.1) Apresentao da HP 12-C

A HP 12-C apresenta trs funes, uma na cor branca que a funo primria, onde se encontram os algarismos e outras inscries; uma na funo amarela cujas inscries encontram-se logo acima do teclado e para us-la se faz necessrio acionar antes a tecla f situada ao lado do ON, e outra na funo azul, que encontra-se na parte inferior do teclado, e para utiliz-la aciona-se a tecla g, situada ao lado da tecla f. Para facilitarmos a identificao das teclas na mquina, vamos sempre nos referir a linhas e colunas da ESQUERDA para a DIREITA. Como exemplo, a primeira coluna na mquina comea com n e a primeira linha tambm. A Quinta coluna comea com FV e a terceira linha com R/S. A oitava coluna com a terceira linha corresponde ao algarismo 2. Quando no visor surgir um asterisco piscando, significa que as baterias da mquina precisam ser substitudas sob pena de danificao dos circuitos eletrnicos. Mantenha no visor da mquina um c minsculo que conseguido pressionando STO (quarta coluna, ltima linha) e EEX (sexta coluna, segunda linha). Isso deve ser feito para que os juros calculados nas fraes de tempo sejam feitos de acordo com a conveno exponencial (juros compostos), que atende ao mercado brasileiro. PONTO E VRGULA A notao americana para nmeros decimais com um ponto separando as casas decimais da parte inteira, assim: 1 230.45 representa 1230,45. A notao brasileira com uma vrgula separando os centavos dos reais. Para passarmos a mquina para operar de acordo com a notao brasileira voc deve fazer o seguiinte: Com a mquina desligada, mantenha pressionado o ponto (oitava coluna com ltima linha) e ligue a mquina. Se estava com ponto surgiu a vrgula com este procedimento, se estava com vrgula volta para o ponto da notao americana. QUANTIDADE DE CASAS DECIMAIS Para trabalharmos com 2, 3, 4 ou mais casas decimais, devemos utilizar a tecla funo f (Segunda coluna com ltima linha). Para colocarmos no visor 6 casas decimais, pressione f e logo em seguida o algarismo 6 na funo branca. Para 2 casas pressione F e em seguida 2 na funo branca. Lembrese que este formato s arredonda no visor, para os registros internos e operaes da mquina ela continua a considerar todas as casas decimais. PILHA OPERACIONAL Na HP 12-C os registradores (memrias) da chamada pilha operacional so quatro, a saber: X, Y, Z e T. a chamada notao Polonesa. Este recursoProf. Ilydio Pereira de S 3


facilita uma cadeia de clculos que funciona mais ou menos como um rascunho atravs destes registradores adicionais. o chamado clculo do nmero pendente. Para ilustramos este enunciado observe a seguir: a b c T Z Y X 4 3 2 1 3 2 1 1

Na coluna a verificamos os quatro registradores X,Y,Z e T. Na coluna b verificamos os lanamentos que foram efetuados ocupando os diversos registradores, que foi conseguido da seguinte forma: 4 enter 3 enter 2 enter 1. Quando digitamos 4 este foi para o registrador X e ao pressionarmos ENTER o algarismo quatro foi copiado no registrador Y e continuou disponvel no visor que corresponde ao registrador X. Ao digitarmos 3 e pressionarmos ENTER o 4 foi copiado no registrador Z, o 3 para o registrador Y e continuou disponvel no visor que o X. Ao digitarmos 2 e pressionarmos ENTER, o 4 foi copiado no T, o 3 no Z, o 2 no Y e continuou disponvel no X que corresponde ao visor. Ao digitarmos agora o algarismo 1 simplesmente, teremos a substituio do 2 no registrador X pelo 1. Conferindo os nmeros nos respectivos registradores, pressionaremos agora a tecla R (terceira coluna com terceira linha). No primeiro comando veremos no visor o algarismo 2 (Y), no segundo comando o algarismo 3 (Z), no terceiro comando o algarismo 4 (T) e no quarto comando o algarismo 1 (X) que foi o ponto de partida. Na coluna c verificamos que agora o 1 foi copiado no Y. Isto significa que partindo do ltimo comando da coluna a aps a digitao do algarismo 1, foi pressionado ENTER. O 2 foi copiado para o Z, o 3 para o T e algarismo 4 foi perdido. importante a compreenso deste mecanismo para facilitar uma srie de clculos com utilizao de nmeros pendentes. Exemplo: 4+[4-(9/3)]. Na HP a sequncia utilizando os recursos da pilha operacional: 4 enter 4 enter 9 enter 3 divide menos mais visor = 5. TROCAR REGISTRO DE X POR Y E Y POR X. Por exemplo, se ao comandar na HP a diviso de 20 por 5, foi introduzido primeiro o 5 e depois o 820. Para resolver o problema evitando assim nova > digitao, deve-se pressionar a tecla x < y (Quarta coluna, terceira linha). 5 > enter 20 x < y divide visor = 4. Essa tecla pressionada faz a inverso dos valores digitados.

2.2) Teclado - Principais Funes

ON

ligar e desligar;


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Teclas Financeiras

n i PV FV PMT

prazo e/ou nmero de capitalizaes; taxa de juros; valor presente/atual/principal ou capital; (Present Value) valor futuro/montante ou valor nominal; (Future Value) prestao ou pagamento (Periodic Payment)

Teclas da Taxa de Retorno

CFo CFj Nj IRR NPV

significa fluxo de caixa do momento zero ou inicial; fluxo de caixa nos perodos seguintes; repete fluxos iguais e consecutivos; significa a taxa interna de retorno (TIR); valor presente lquido

Tabulao de Casas Decimais

Para apresentar no visor o nmero de casas decimais desejadas, pressione a tecla AMARELA - f e o nmero referente a quantidade de casas ( de 0 a 9 ); A tecla Clx - clear usada para limpar somente os nmeros do visor. Se pressionado as teclas f Clx , todos os registros sero deletados.

Inverso de sinais

Para alterar o nmero de: positivo para negativo ou vice-versa, basta pressionar a tecla CHS

Funo Calendrio

Para encontrar datas futuras ou passadas e o dia da semana correspondente, pressione as teclas g e D.My . Na seqncia introduza a data conhecida, separando o dia e o ms pela tecla ., e pressione a tecla ENTER. Digite o nmero de dias correspondente ao intervalo de tempo e pressione as teclas g DATE na seqncia.

OBS: Na primeira vez que for usar a mquina voc deve clicar na tecla g e, em seguida, a tecla D.My, para que o formato da data fique adequado ao padro Brasileiro (dia, ms, ano). Ir surgir no visor da mquina a sigla D.My, que indica tal notao. Dia da semana : Ex.:17.06.2000 - Digite 17. 062000, ENTER 0 (zero) g DATE = 17.06.2000 6 (sbado)

1 - segunda-feira; 2 - tera-feira;5



3 - quarta-feira; 4 - quinta-feira; 5 - sexta-feira; 6 - sbado; 7 - domingo

TECLAS CLEAR CLx ==> Clear x ==> Limpa O Visor

f CLEAR FIN ==> Apaga os registradores financeiros, a saber: .N, I, PV, PMT, FV f CLEAR REG ==> Apaga todos os registros. OPERAES BSICAS

+

-

x

:

yx

X

EXEMPLOS 1) 87 + 35 = ? PRESSIONAR NA HP: 2) 55 - 43 = ? PRESSIONAR NA HP: 3) 130 x 43 = ? PRESSIONAR NA HP: 4) 847,30 : 59 = ? PRESSIONAR NA HP: 5) 80 = ? PRESSIONAR NA HP: 6) 1356 = ? PRESSIONAR NA HP:3

87 ENTER 35 + ==> 122 55 ENTER 43 - ==> 12 130 ENTER 43 x ==> 5.590 847,30 ENTER 59 : ==> 14,36

80 ENTER 3 y x

==> 512.000

1356 g

x ==> 36,82

(S UTILIZAMOS ESTA FUNO QUANDO FOR RAZ QUADRADA) Ou podemos transformar a raiz em potenciao, assim: 1356 ENTER 2 1/x y x ==> 36,82 O que voc fez ao digitar o 2, seguido de 1/x foi transformar o nmero 2 na frao , que o expoente correspondente raiz quadrada.6



OBSERVAO IMPORTANTE SOBRE O CLCULO DA RADICIAO NA HP-12C O clculo das demais razes deve ser feito transformando-as em potncias de1

expoentes fracionrios. Ex: ==> 6,69

3

300 = 300 3

Na HP-12C, 300 ENTER 3 1/x y x

COMO OPERAR AS MEMRIAS DA HP-12C ?

PARA ARMAZENAR ==> STO (STORE) PARA RECUPERAR ==> RCL (RECALL) PARA APAGAR ==> COLOCAR ZERO SOBRE PARA SUBSTITUIR ==> COLOCAR O NOVO NMERO PARA APAGAR TUDO ==> f CLEAR REG PARA CALCULAR COM NMEROS NA MEMRIA: SOMENTE OPERAES ARITMTICAS COMO CONSTANTE

APLICAO

Vamos supor que eu queira guardar na memria da mquina, alguns dados (somente numricos, no esquea). Em seguida, (posso at deslig-la) e recuperar ou mesmo modificar os dados guardados. COMO FAZER ISTO NA HP-12C ? VAMOS ARMAZENAR O SEGUINTE: O valor do dlar paralelo de hoje ==> 2,70 na memria 1 O telefone do Joo ==> 22125765 na memria 2 O telefone do Maria ==> 36061234 na memria 3 FAZER NA HP-12C: 2,70 STO 1 22125765 STO 2 36061234 STO 3 (J guardou tudo)

PARA RECUPERAR O QUE FOI ARQUIVADO, FAZER: RCL 1 ==> APARECE NO VISOR 2,70 RCL 2 ==> APARECE NO VISOR 22125765 RCL 3 ==> APARECE NO VISOR 36061234

Dificuldades reais podem ser resolvidas; apenas as imaginrias so insuperveis." Theodore N. Vail


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TIPOS DE ERRO QUE PODEM APARECER NO VISOR DA HP 12C ERROR 0 => OPERAO IMPRPRIA ENVOLVENDO O ZERO ERROR 1 => ULTRAPASSAGEM DA CAPACIDADE DO REGISTRADOR DE ARMAZENAMENTO ERROR 2 => DADOS IMPRPRIOS NOS REGISTRADORES ESTATSTICOS ERROR 3 => FLUXO DE CAIXA: CLCULO MUITO COMPLEXO INTRODUZA UMA ESTIMATIVA DE JUROS E PRESSIONE RCL g R/S ERROR 4 => ENDEREAMENTO IMPRPRIO MEMRIA ERROR 5 => JURO COMPOSTO - INTRODUO ERRADA - TROCAR SINAIS ERROR 6 => ANLISE DE FLUXO DE CAIXA, DESCONTADO INTRODUO ERRADA DOS DADOS ERROR 7 => IRR - NO EXISTE SOLUO ERROR 8 => CALENDRIO - INTRODUO ERRADA DOS DADOS ERROR 9 => MAU FUNCIONAMENTO DA HP PR ERROR => MEMRIA CONTNUA APAGADA - FALHA NA ALIMENTAO

* PISCANDO NA PARTE INFERIOR ESQUERDA DO VISOR => PILHA FRACA

"H grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas o verdadeiro grande homem aquele que faz com que todos se sintam grandes." (Gilbert Keith Chesterton, escritor ingls)


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3) A Matemtica Financeira e o Dinheiro Os fatoresde correo.

Fonte: Revista Veja Edio 1755 de 12 de junho de 2002 A reportagem acima, extrada da revista Veja, uma excelente entrada para a introduo do conceito de fatores correo. Aps discutirmos os seus usos, voltaremos a ela, verificando a veracidade dos dados que esto na reportagem. Ousamos mesmo dizer que o uso adequado dos fatores de correo o maior segredo da Matemtica Financeira, como procuraremos mostrar ao longo dessa Unidade de nosso curso. Muita gente acha que a Matemtica do dinheiro serve s para pagarmos nossas contas, conferir trocos, coisas desse tipo. Mas no somente isso, sabemos que o dinheiro, as transaes bancrias ou comerciais, esto cada vez mais presentes na vida de todas as pessoas. Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dlares, mais 100 marcos, mais 100 reais, ela provavelmente dir que primeiramente precisamos converter todos esses valores para uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomar cuidado com valores monetrios no tempo. Ser que 3 parcelas de 100 reais, pagas com intervalos de 30 dias, correspondem a um nico pagamento de 300 reais, numa Economia com inflao? Infelizmente, a maioria dos livros de matemtica ignora este fato, assim como ignoram tambm a inflao. Esse tipo de erro encontrado tanto em textos para o Ensino Fundamental e para o Ensino Mdio. Voc deve concordar comigo que, sem a Matemtica, no conseguiramos entender nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salrio, identificarProf. Ilydio Pereira de S 9


os produtos que aumentaram demasiadamente de preo, constatar e criticar as propagandas enganosas, reivindicar nossos direitos trabalhistas, ou mesmo escolher a opo mais rentvel para um investimento qualquer. Dessa forma, iremos agora abordar um contedo da Matemtica que normalmente ignorado na maioria das escolas ou mesmo currculos brasileiros a Matemtica Comercial e Financeira. Nossa abordagem inicial ser atravs de um importante segredo da Matemtica do dinheiro os fatores de correo. Voc ir constatar rapidamente que, este conceito, a base de quase tudo o que se estuda na Matemtica Comercial e Financeira e, com o auxlio de uma calculadora simples, voc poder entender e resolver uma grande quantidade de problemas que esto no nosso cotidiano. 3.1 ) O GRANDE SEGREDO DA MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA: OS FATORES DE CORREO Temos a certeza de que o mais simples e tambm o mais importante conceito de matemtica financeira o conceito de FATOR DE CORREO. O domnio deste conceito ser fundamental para que se possa acompanhar todo o curso. FATOR DE CORREO: Vamos imaginar que uma mercadoria ser aumentada em 23%. Voc poder descobrir o novo preo de vrios modos distintos: 1) Multiplicando o preo antigo por 23 e dividindo por 100, somando o resultado com o preo antigo; 2) Multiplicando o preo antigo por 0,23 e somando o resultado com o preo antigo; 3) Simplesmente multiplicando o preo antigo por 1,23. O nmero 1,23 do exemplo denominado fator de correo para um acrscimo de 23 % e foi obtido a partir de 100 % (preo antigo) mais 23 % (aumento). Em seguida dividimos por 100 para obter a forma de nmero decimal. A taxa 23% a taxa percentual e a taxa 0,23 (i), denominada taxa unitria. OBS: Salvo qualquer meno em contrrio, sempre que em alguma frmula de nosso curso usarmos o smbolo i, estaremos nos referindo taxa unitria e no percentual. Se, no exemplo apresentado o preo fosse diminudo em 23 %, o fator seria 0,77, pois 100 % menos 23 % igual a 77 %. Conclumos que os fatores que representam aumentos so maiores que 1 e os que representam redues so menores que 1. F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%) F = (100 - k ):100 (Fator de Reduo de k%) Vamos exercitar um pouco:Prof. Ilydio Pereira de S 10

ou F = 1 + i ou F + 1 - i


1) Transforme as taxas percentuais em unitrias e vice-versa. Taxa Percentual 23% 2,56% 0.0098 2345% 6 2) Complete o quadro agora, transformando as taxas nos respectivos fatores de correo, e vice-versa. Taxa de aumento 2,56 % 56,9 % 3 345,9 % 5,897 EXEMPLOS: Fator de Correo 1,098 Taxa Unitria 0,345

Flash N 1: O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preos de todos os produtos de um setor em 3,25 %. Qual o fator de aumento? Quanto passar a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00? SOLUO : Fator de aumento : 1,0325 [(100 % + 3,25 %) : 100] Novo preo : R$ 61,95 ( 60,00 x 1,0325 )

Flash n 2: Vincius, em Setembro, obteve uma correo salarial de 5,65 %, sobre o salrio de Agosto, passando a receber R$ 422,60. Quanto recebia em Agosto? SOLUO: A x 1,0565 = 422,60 A = 422,60 : 1,0565 = 400,00. Logo, em agosto Vincius recebia R$ 400,00

Flash n 3: Um remdio estava custando R$ 3,40, e passou a custar R$ 4,70. Qual o fator de correo e qual o percentual de aumento?


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SOLUO : 3,40 x F = 4,70 F = 4,70 : 3,40 = 1,3824 (Fator de correo) 1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento)

Flash n 4: Uma loja est vendendo um produto com um desconto vista de 15 %, ou ento com pagamento normal , sem desconto, com um cheque pr-datado para 30 dias. Quanto estar pagando de juros , em um ms, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento? SOLUO : Vamos supor que o produto custe 100 dlares. Para quem pagar vista ele custar 85 dlares (15 % de desconto). Para quem escolher o cheque pr-datado, estar, na realidade pagando 100 dlares por algo que custa 85 dlares. Logo o fator de correo inserido neste aumento : 100 : 85 = 1,1765, o que corresponde ao pagamento de 17,65 % de juros em um ms. RESUMINDO OS CONCEITOS ESTUDADOS NA UNIDADE: Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido. Exemplos: Fator de aumento 1,45 1,953 1,065 2, 86

Aumento gerado 1,45 1 = 0,45 1,953 1 = 0,953 1,065 1 = 0,065 2,86 1 = 1,86

Percentual de aumento 45% 95,3% 6,5% 186%

Dado um fator de reduo, devemos subtra-lo de 1 para conhecer a reduo ou desconto havido. Exemplos: Fator de reduo 0,45 0,95 0,76 0, 86

Reduo gerada 1 0,45 = 0,55 1 0,95 = 0,05 1 0,76 = 0,24 1 0,86 = 0,14

Percentual de reduo 55% 5% 24% 14%

Voc reparou que: Todo fator de aumento um nmero superior a 1? O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal?12



Exemplo: fator de aumento para um acrscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24. Todo fator de reduo um nmero inferior a 1? O fator de reduo pode ser obtido pela subtrao (100% - taxa de aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de reduo para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76. Aumentos ou redues (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREO, e no pela soma das taxas a eles correspondentes?

Exerccios de Fixao:1) Qual o fator de correo correspondente a um aumento de 34,5 %? a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345 2) Qual o aumento gerado pelo fator de 2,4567? a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87% 3) Um preo aumentou de 120 para 150 reais. Qual o percentual de aumento correspondente? a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34% 4) Um preo reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de reduo e qual o percentual de reduo correspondente? a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20% 5) Qual o aumento acumulado, gerado por dois aumentos consecutivos de 30 %? a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62% 6) Qual a reduo acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30 %? a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62% 7) Num certo ms, a aumento das mensalidades escolares foi de 42,7%. Se em uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 92,76, qual era o valor antes do aumento? a)R$ 53,15 b)R$ 65,00 c) R$ 58,20 d) R$49,90 e) R$ 62,40 8) O preo de uma mercadoria subiu 300 %. Calcule que porcentagem se deve reduzir do seu preo atual, de modo a retornar ao seu valor de antes do aumento? a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 % 9) Um funcionrio teve um reajuste de 34% num certo ms; no ms seguinte um novo reajuste de 38%, passando a receber R$ 221,90. Quanto recebia antes desses dois reajustes (aproximadamente)? a)R$120,00 b)R$90,80 c)R$118,00 d)R$124,80 e)R$ 132,00 10) Uma mercadoria sofreu trs redues sucessivas de 12%; 14% e 24%. Qual a reduo total acumulada? a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 %


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11) Qual a inflao acumulada de um trimestre cujas taxas mensais foram: 34%: 38 % e 40%? a) 112% b) 132,56% c) 158,88% d) 145,78% e) 122% 12) (Telerj - 1994) Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestaes, "sem juros". A primeira prestao paga no ato da compra e a segunda, um ms aps. Entretanto, um desconto de 25 % concedido se o cliente pagar vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a: a) 100 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) 12,5 % 13) (TRT - 1993) Uma loja vende seus produtos com pagamentos em duas prestaes mensais iguais, "sem juros". A primeira prestao paga no ato da compra e a segunda, um ms aps. Entretanto um desconto de 10 % concedido se o cliente pagar vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas prazo, juros mensais de : a) 10 % b) 20 % c) 25 % d) 30 % e) 50 % 14) (TRT - 1993) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 % sobre os salrios de abril, descontadas as antecipaes. Como ela havia recebido em maio uma antecipao de 20 % (sobre o salrio de abril), a percentagem do aumento obtido em junho, sobre o salrio de maio, de: a) 20 % b) 25 % c) 30 % d) 35 % e) 40 % 15) (Telerj - 1993) Aumentando-se o raio de uma esfera em 100 %, de quanto aumenta o seu volume? a) 100 % b) 300 % c) 500 % d) 700 % e) 800 % 16) (Telerj - 1993) Uma mercadoria teve seu preo aumentado em 20 %. Em seguida, o novo preo foi rebaixado em 20 %. O preo final da mercadoria, em relao ao preo inicial : a) igual b) 4 % maior c) 4 % menor d) 8 % maior e) 8 % menor 17) A inflao acumulada de um bimestre est em 13,5% e no ms seguinte acusou uma taxa de 5,6%. Qual a inflao acumulada no trimestre em questo? a) 19,856% b) 18,965% c) 21,4% d) 23,34% e) 19,65% 18) Uma bondosa loja oferece um desconto vista de 30%, ou ento o preo normal, dividido em duas parcelas iguais, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um ms aps. Quanto est pagando de juros nesse ms, a pessoa que escolheu a segunda opo de pagamento? a) 120% b) 150% c) 135% d) 145% e) 200% 19) Mostre que a taxa de ganho real (descontada a inflao) da caderneta de poupana, durante os oito anos do plano real (ver notcia na introduo da Unidade) foi de 30%. 20) Mostre que a perda do dlar, nesse mesmo perodo citado na notcia, foi de 7%.Prof. Ilydio Pereira de S 14


GABARITO: (PORCENTAGEM / FATORES DE CORREO)

1) C 6) A 11) C 16) C

2) D 7) B 12) A 17) A

3) B 8) B 13) C 18) B

4) E 9) A 14) B

5) C 10) D 15) D

Para descontrair...


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4) MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA: CONCEITOS BSICOS JUROS E DESCONTOS4.1) Terminologias e Representaes IniciaisCapital (C) ou Valor Presente (VP) o valor envolvido em uma transao, na data focal zero. No excel (verso portuguesa) o capital representado por VP, na calculadora HP 12C ele notado por PV (Presente Value). Montante ou Valor Futuro (VF) Representa o valor resultante de uma transao financeira, sendo dessa forma referenciado a uma data futura. No Excel representado por VF e na HP-12C, por FV (Future Value). Prazo ou nmero de perodos (n) - Uma operao financeira pode envolver um nico perodo de tempo, como por exemplo o CDB (certificado de depsito bancrio). Podemos ter ainda fraes ou mltiplos desse perodo, que representaremos por n. O Excel usa a representao nper (number of periods). Juros (j) a remunerao exigida na utilizao de capital de terceiros. Os juros recebidos representam um rendimento e os juros pagos representam um custo. OBS: O montante corresponde soma do capital com os juros, ou seja, M = C + j ou ainda VF = VP + j Taxa de juros (i) a razo entre o valor do juro de um perodo e o capital emprestado ou aplicado. A taxa pode ser expressa em sua forma percentual ou unitria. Ex: 15 % (forma percentual) ou 0,15 (forma unitria). Nas frmulas que estudaremos em nosso curso, a representao i estar significando a taxa unitria ou centesimal. Na planilha Excel, podemos usar um artifcio para que a tabela apresente para nossa leitura a forma percentual (melhor de ser entendida por todos), mas que ela opere com a forma unitria em suas frmulas. Basta proceder da seguinte maneira: Digamos que voc queira representar a taxa 18%, na clula B2, da planilha: 1) digite na clula o valor 0,18 (taxa unitria correspondente) na clula B2. 2) clique no smbolo de % da barra de ferramentas do Excel. 3) O Excel vai exibir 15% e vai operar 0,15 nas frmulas que voc utilizar. No exemplo abaixo estamos representando um capital de 100 reais, aumentado de 18%. Verifique que na clula B3 ns inserimos uma frmula (isso feito clicando-se primeiro no sinal de =). Fizemos a frmula =B1*(1+B2).

Engraado, costumam dizer que eu tenho sorte. S sei que quanto mais eu me preparo, mais sorte eu tenho (Anthony Robbins)


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Note pelo resultado apresentado que na clula B3, o Excel multiplicou 100 por 1,18 ou seja, a frmula que usamos multiplicou 100 por (1 + 0,18), que nada mais do que o fator de correo para um acrscimo de 18%. OBS: A planilha Excel utiliza os seguintes operadores aritmticos:

+ para adio - para subtrao * para multiplicao / para diviso ^ para potenciao.Na calculadora HP-12C, temos uma tecla especfica para porcentagem e, poderamos ter seguido a seguinte seqncia para este exemplo: 100 15 + ENTER % 15,00 (total do acrscimo) 115,00 (Montante ou Valor Futuro)

A Matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Descartes)


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4.2) INFLAO CLCULO DE NDICES Inflao o processo de crescimento generalizado e contnuo dos preos e servios de uma economia.Dentre os principais problemas que a inflao ocasiona a uma economia esto o crescimento diferenciado dos preos, o qual beneficia uns e prejudica a outros, e o aumento dos custos de transao determinado pelas distores que o processo inflacionrio ocasiona ao sistema de preos. 4.2.1) Os nmeros ndices Mede-se a inflao atravs de indicadores ou ndices que tentam refletir o aumento de preos de um setor em particular ou de um segmento de consumidores. Efetivamente, existem diversos ndices que so calculados para o atendimento a vrias finalidades. Os ndices de preos ao ``consumidor" tentam medir a inflao mdia de um conjunto de produtos e servios que se pressupe sejam os adquiridos por um consumidor com determinadas caractersticas de renda. A) Introduo: Os nmeros ndices so um importante instrumento para sintetizar modificaes em variveis econmicas durante um perodo de tempo . Esses nmeros indicam a variao relativa no preo, na quantidade , ou no valor (preo x quantidade) entre um ponto anterior no tempo (perodo-base) e, um perodo qualquer, normalmente o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preo de um produto atualmente o quntuplo do que custava h dois anos, est fazendo uso de certo tipo de nmero ndice comparativo. Quando um s produto est em jogo, o ndice dito ndice simples, enquanto que uma comparao que envolva um grupo de artigos chamada de ndice composto. Nos ndices compostos necessrio no s incluir as variaes de preos, mas tambm as variaes de quantidades, a fim de que possamos ter um quadro mais preciso da variao global. Em resumo, podemos destacar: Um nmero ndice usado para indicar variaes relativas em quantidades, preos, ou valores de um artigo, durante um dado perodo de tempo. Um nmero ndice a razo usada para avaliar a variao entre dois perodos de tempo.


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B) Nmeros ndices Simples: Um nmero ndice simples avalia a variao relativa de um nico item ou varivel econmica entre dois perodos de tempo. Ele calculado como a razo entre preo, quantidade ou valor num dado perodo para o correspondente preo, quantidade ou valor num perodo-base. Podem-se calcular nmeros ndices, chamados de relativos de preo, quantidade e valor, mediante as seguintes frmulas:

pn .100 p0 qn .100 relativo de quantidade = q0 pn .qn .100 relativo de valor = p0 .q0relativo de preo = po o preo de um item no ano-base. qo a quantidade de um item no ano-base. pn o preo de um item em determinado ano qn a quantidade de um item em determinado ano. Exemplo: A empresa Kobra Karo S.A, em 1992 vendeu 300 unidades do produto "X", cobrando 20 dlares por pea e, em 1993, vendeu 450 unidades do mesmo produto, cobrando 25 dlares por pea. Determinar os relativos de preo, quantidade e valor em 1993, tomando como base 1992. Soluo: usual a notao 1992 = 100, para denotar que 1992 o ano base. 25 Relativo de preo - p92 93 = .100 = 125 20 450 Relativo de quantidade - q 92 93 = .100 = 150 300 450.25 Relativo de valor - v92 93 = .100 = 187,5 300.20 Obs: Devemos notar que houve um aumento de 25 % no preo, em relao ao ano base, uma aumento de 50 % na quantidade e um aumento de 87,5 % no valor. O aumento do valor , portanto, o aumento acumulado do aumento de preo pelo aumento de quantidade, ou seja , o produto dos ndices de preo e quantidade o ndice de valor: ( 1,25 x 1,5 = 1,875 ).


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C) Relativos em Cadeia: O relativo em cadeia o ndice de base fixa, ou seja, todos os relativos so calculados tomando-se por base uma determinada poca. Exemplo: Vamos supor um bem de consumo que apresentou no perodo 1990/1993 os seguintes preos (em dlares): 40 , 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomando como base o ano de 1990, sero:45 .100 = 112,5 40 50 p90 92 = .100 = 125 40 65 p90 93 = .100 = 162,5 40 p90 91 =

Poderamos compor a seguinte tabela com os preos nos referidos anos e os relativos em cadeia, ano base 1990. ANOS 1990 1991 1992 1993 PREOS 40 45 50 65 RELATIVOS 100 112,5 125 162,5 D) Elos de Relativos: Vrios relativos formam elos quando cada um deles calculado tomando por base o perodo anterior, o que chamamos de base mvel. usual, nesse caso, no representarmos o relativo do primeiro perodo, j que no existe anterior como referncia. Exemplo: Vejamos, com os mesmos dados do exemplo anterior, como ficariam os elos de relativos. 45 50 65 p90 91 = .100 = 112,5 p91 92 = .100 = 111,11 p92 93 = .100 = 130 40 45 50 Teremos agora a seguinte tabela de preos e elos de relativos: ANOS PREOS RELATIVOS 1990 40 l1991 45 112,5 1992 50 111,11 1993 65 130

E) ndices Agregativos: Os ndices que estudamos at agora servem apenas para caracterizar a marcha de preos referentes a um nico bem. No entanto a variao de preos normalmente exige a observao da variao de um conjunto de bens, como no caso do clculo da variao da cesta bsica. Para atingirmos esse objetivo, lanamos mo de um novo tipo de ndice, denominado agregativo.Prof. Ilydio Pereira de S 20


O ndice agregativo poder ser simples: Mdias de relativos (aritmtica, geomtrica ou harmnica) ou indice agregativo simples, se todos os bens tiverem a mesma importncia no seu clculo, ou ponderado: Mdias Ponderadas de relativos (aritmtica, geomtrica ou harmnica) ou ndices ponderados de Paasche, de Laspeyres ou Fischer, se os bens tiverem importncia ou pesos diferenciados no clculo do ndice. O ndice agregativo simples a razo entre a soma dos preos ou quantidades numa poca qualquer e a soma dos preos ou quantidades na poca base. qt pt x100 x100 ou I as = q0 p0 O ndice agregativo simples e as mdias simples apresentam a vantagem de um clculo simplificado e a desvantagem de considerarem todos os bens com a mesma importncia no clculo do ndice. Exemplo: Completar a tabela de preos abaixo com os relativos de preo, considerando o ano de 1993 como base, em seguida, calcular o ndice agregativo simples, referentes aos preos dos bens da tabela, 1993,1994. Mercadoria (espcie) Preo em 1993 Preo em 1994 A 40,00 50,00 B 50,00 100,00 C 120,00 200,00 Total 210,00 350,00 Soluo: Ias = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %. ndices agregativos ponderados - Frmulas de Laspeyres e de Paasche: No clculo do ndice agregativo simples, todos os itens so colocados com uma mesma importncia ou peso. Sabemos, porm, que na prtica isso no acontece; h bens de importncia maior do que outros, no clculo de um ndice . Evitamos tais distores atribuindo a cada item a importncia que lhe cabe atravs de coeficientes de ponderao e as mdias de ndices passam a ser ponderadas. De acordo com o que consideramos como peso e com o tipo de mdia utilizada, temos tambm algumas variantes de frmulas para o clculo de tais ndices agregativos. Iremos estudar , basicamente, duas dessas frmulas (Laspeyres e Paasche). "O ndice de Laspeyres" ou Mtodo da poca Bsica o ndice ponderado dos relativos (preos ou quantidades), sendo os pesos da ponderao os valores (preo x quantidade) do ano base. Ou seja, a mdia aritmtica ponderada dos relativos de preos, ponderados aos valores do ano base. A frmula para o ndice de Laspeyres, referente aos preos ser:Prof. Ilydio Pereira de S 21


Lp 0,t =Ou ento, simplificada, nos d:

pt xp 0 q 0 p0 p 0 q0

L0,t =

pt q 0 p0 q0

Obs: Poderamos obter tambm o ndice de Laspeyres referente quantidades, bastando permutar p por q na frmula simplificada. Exemplo: Considere a tabela abaixo e calcule o ndice ponderado de preos de Laspeyres, tomando 1991 como ano base. BENS 1991 1992 preos quantidades preos quantidades A 200 4 280 3 B 400 3 560 3 C 150 8 300 12

Lp 91 92 =

280.4 + 560.3 + 300.8 1120 + 1680 + 2400 = = 1,625 ou 162,5 200.4 + 400.3 + 150.8 800 + 1200 + 1200"O ndice de Paasche" ou Mtodo da poca Atual

Este ndice calculado pela mdia harmnica ponderada dos relativos (preos ou quantidades), ponderados aos valores do ano dado. O ndice de Paasche, referente aos preos, com as devidas simplificaes, ser:

Pp0 t =

pt qt p 0 qt

Vale a mesma observao que fizemos no caso anterior, ou seja, o ndice de Paasche de quantidade seria obtido permutando-se p por q na frmula anterior. Exemplo: Calcule o ndice ponderado de preos de Paasche, ano base 1991, usando a mesma tabela do exemplo anterior:

Pp91 92 =

280.3 + 560.3 + 300.12 840 + 1680 + 3600 = = 1,70 ou 170 200.3 + 400.3 + 150.12 600 + 1200 + 1800

Observao: Existe ainda o importante ndice de Fischer que a mdia geomtrica dos dois ndices anteriores: Laspeyres e Paasche.Prof. Ilydio Pereira de S 22


Para o exemplo apresentado, o ndice de Fischer seria:

Fp91 92 = 1,625.1,70 = 1,66

ou 166

OBS: A existncia de distintos ndices, significa que a seleo do ndice mais apropriado para medir a ``inflao'' relevante para uma pessoa ou empresa em si um problema complicado pois no necessariamente os ndices disponveis refletem a variao de preos relevante para cada caso em particular.

4.3) Valores nominais x valores reaisEm estudos e aplicaes prticas envolvendo anlise e comparao de valores monetrios em perodos de tempo distintos, necessrio que esses valores, antes da anlise, sejam corrigidos do efeito da inflao. o que costumamos denominar de transformao de valores nominais em reais. No clculo desses valores reais de ganhos ou perdas, poderemos usar os fatores de correo que estudamos anteriormente, como mostraremos a seguir. Dessa forma, podemos dizer que uma taxa de correo nominal a que tem inserida no seu clculo a inflao do perodo. Uma taxa real de correo aquela em que a inflao do perodo foi desencaixada, ou seja, representa a variao (ganho ou perda) sobre a inflao. Vejamos alguns exemplos: 1) No ano de 2000 o salrio de um trabalhador era de R$ 450,00 e em 2001 passou a receber R$ 549,00. a) Qual a correo nominal que este salrio recebeu? b) Qual a correo real, supondo que a inflao acumulada do perodo tenha sido de 18%? SOLUO: a) Usando os fatores de correo, temos que a taxa nominal de correo foi de (549 : 450 1 = 0,22 ou 22%. b) O salrio corrigido pela inflao seria de 450 x 1,18, ou seja, R$ 531,00. Logo, o ganho real foi o que transformou 531 reais em 549 reais, ou seja, o que se estabeleceu acima da inflao. Dessa forma, a taxa real de correo foi de (549 : 531) 1 = 0,034 (aproximadamente) ou 3,4%. Verifique que tal taxa (ganho ou perda real) pode ser obtida diretamente dos fatores de correo (nominal e de inflao), mediante a seguinte relao:

ir =No nosso exemplo, teramos: 1,22 ir = 1 0,034 1,18

(1 + 1n ) 1 (1 + ii )


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2) Vimos, na introduo do captulo (reportagem de Veja), que a inflao acumulada nos oito anos de plano real foi de 179%. Qual a taxa de perda salarial de um funcionrio pblico, que no teve qualquer reajuste nesses oito anos?SOLUO 1:

Imaginemos (para facilitar os clculos) que esse funcionrio ganhasse 100 reais, no incio do plano. Para que seu salrio acompanhasse a inflao (e sem qualquer ganho real), deveria estar recebendo agora 279 reais (100 + 179). Como ele continua recebendo os mesmos 100 reais, a sua perda est representada por 179 reais, sobre os 279 que deveria estar recebendo (no mnimo), ou seja: 179 : 279 = 0,642 ou 64,2%, aproximadamente.SOLUO 2:

Aplicando a frmula que apresentamos anteriormente, teramos: ir = 1,00 1 0,642 ou 64,2%. 2,79

bom lembrar que o fator 1,00 significa que no houve correo salarial. O fator 2,79, representa um fator de aumento para 179% (fator de inflao)

4.4) Juros Simples e Juros Compostos (Progresses Aritmticas e Progresses Geomtricas)Nesta seo introduziremos alguns conceitos elementares de matemtica financeira (e nem sempre aproveitados na escola bsica), associados a processos de crescimento que utilizam progresso aritmtica e geomtrica. Na matemtica financeira, uma srie de valores pode ter a sua variao (crescimento ou decrescimento) associada a progresses aritmticas (juros simples) ou geomtricas (juros compostos). Em qualquer um desses casos, esta srie de valores tem como ponto de partida um valor inicial (perodo 0), que denominaremos C0.

4.4.1) Crescimento em PA (Juros Simples)Os juros simples se caracterizam pelo fato de que o valor que acrescido ao valor inicial a cada perodo sempre constante e determinado por i . C0. Dessa forma, fica caracterizada na seqncia dos montantes obtidos, uma Progresso Aritmtica, de razo igual a i . C0. Temos que i a taxa unitria de juros simples (ou taxa de crescimento aritmtico). Ou seja, ao final de n perodos, teremos um acrscimo de C0.ni Sendo assim, o montante final de uma aplicao a juros simples, pode ser representado por:

M = C 0 + C 0 .ni = C 0 .(1 + ni)Vejamos alguns exemplos: 1) Qual o montante final de uma aplicao de R$ 5000,00, a juros simples contratados 1,5% ao ms, por 10 meses?Prof. Ilydio Pereira de S 24


Soluo: i = 0,015 n = 10 C 0 = 5000 M = 5000 . (1 + 0,015 x 10) = 5000 x 1,15 = 5750 reais. Comentrio: Como se trata de juros simples, poderamos ter calculado o ganho fixo mensal, que igual a 0,015 x 5000 = 75 reais, e multiplicar esse ganho pelo nmero de meses (10 x 75 = 750 reais de juros). Logo, teramos que o montante ser igual a 5000 + 750 = 5750 reais. Devemos incentivar a nossos alunos novas descobertas, para que eles no se sintam presos ao uso de frmulas, poderamos inclusive, mostrar, aps as suas tentativas que o que ocorreu nada mais foi que um acrscimo de 15% (1,5% x 10) aos 5000 reais iniciais. Isso corresponde ao fator de correo, estudado anteriormente, que igual a 1,15. 2) Qual a taxa mensal de juros simples que, em uma aplicao por 8 meses, elevou um capital de R$ 3 000,00 para R$ 3 780,00? Soluo: 3000 x (1 + 8i) = 3780 1 + 8i = 3780 : 3000 = 1,26 8i = 0,26 ou i = 0,26 : 8 = 0,0325 ou ainda 3,25% ao ms. Na realidade, o que fizemos neste exemplo, foi a obteno do fator de correo correspondente a um aumento de 3000 para 3780 reais, ou seja, 3780 : 3000 que igual a 1,26. Esse fator corresponde a uma taxa de 26 % para os 8 meses da aplicao, logo, acarreta uma taxa de 3,25% ao ms. Uso da HP 12C para o clculo de juros simples

entre com o nmero de dias n entre com a taxa anual i entre com o valor principal CHS PV tecle f INT : obtm-se os juros tecle + para obter o montante.

Obs.: esta uma regra geral para o uso da HP 12C para o clculo de juros simples: o perodo deve ser expresso em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa anual. Exemplo: Determine os juros produzidos e o montante ao final de 8 meses, de um capital de $1500,00 aplicados taxa de juros simples de 40% a.a. Na HP: 240 n 40 i 1500 CHS PVProf. Ilydio Pereira de S 25


f INT resultado no visor: 400 + resultado no visor: 1900 Resp: Juros = $400,00 e Montante = $1900,00 Juro Exato e Juro Comercial: Quando falamos que um juro exato, estamos nos referindo ao clculo efetuado considerando-se o nmero de dias exatos do calendrio. Por outro lado, quando falamos em juro comercial, estamos supondo uma conveno do mercado que considera todos os meses com 30 dias e o ano com 360 dias. No contexto dos juros simples, normalmente o que se considera o juro comercial. A calculadora HP-12C possui uma programao para o clculo do nmero de dias ocorridos entre duas datas. Voc deve verificar primeiro se no visor da mquina ela exibe o cdigo D.MY, que significa que a data est programada para o formato dia/ms/ano. Caso este cdigo no esteja apresentado no visor, voc deve digitar g D.MY, para que ela apresente este formado (vai surgir no visor D.MY). Como esta calculadora apresenta vrias memrias fixas (pilhas), o clculo do nmero de dias feito automaticamente das duas maneiras: o nmero exato de dias (memria X) e o nmero de dias na conveno do juro comercial (memria Y). Vejamos um exemplo de como feito este clculo. Vamos supor que voc queira obter o nmero de dias decorridos de 12 de maro de 2002 at 20 de abril de 2002. Na HP-12C, faramos: 12.032002 (digitao da data 12 de maro de 2002) 20.042002 (digitao da data 20 de abril de 2002) g ENTER DYS

A mquina vai indicar no visor o nmero 39, que indica o nmero de dias entre as duas datas. Caso voc queira o nmero de dias, de acordo com a conveno do ano comercial, deve calcar a tecla que passa a exibir o nmero existente > X X 51,8091% a.a. bvio que voc no precisaria dessa frmula, bastando observar que um ano corresponde a 12 meses. O uso da frmula acima tem apenas a vantagem de ser geral, para todas as situaes encontradas. Poderamos, simplesmente, ter feito na HP-12C: x 3,54 ENTER 100 : 1 + 12 Y 1 - 100 x ==> 51,8091% a.a. 2) Qual a taxa ao ms equivalente a 45% ao ano ? 30/360 - 1] {[(45,00 + 1) 100 A seqncia na HP-12C : x 45 ENTER 100 : 1 + 30 ENTER 360 : Y 1 - 100 x ==> 3,1448% a.m. Aqui podemos utilizar a tecla 1/x pois a diviso de 30/360 igual a 1/12. Toda vez que o numerador for 1, podemos utilizar a tecla 1/x, que nos fornecer o inverso do nmero que queremos. Fazemos, ento, na HP-12C: x 45 ENTER 100 : 1 + 12 1/X Y 1 - 100 x ==> 3,1448% a.m. Para o clculo de taxas equivalentes, voc pode programar uma frmula na planilha Excel, como mostraremos a seguir. Introduza: 1. a taxa percentual de juros (dada) digitar em A4 2. prazo da taxa fornecida em nmero de dias digitar em B4 3. prazo da taxa desejada em nmero de dias digitar em C4 4. Em D4, inserir a frmula (digitando o sinal de igual) = (1 + A4)^(C4/B4) 1 A taxa equivalente ser calculada e inserida automaticamente na clula D4. Esta clula deve ser formatada para exibir porcentagem, indicando o nmero de casas decimais desejado. No exemplo a seguir, pedimos 4 casas decimais. Vamos verificar o exemplo 2, resolvido anteriormente, feito agora pela frmula do Excel. Qual a taxa ao ms equivalente a 45% ao anoProf. Ilydio Pereira de S 33

x 100}


Grfico Comparativo: Juros Simples X Juros Compostos Vamos supor o crescimento dos juros (simples e compostos) relativos a um capital inicial (principal) de 100 reais, sob taxa de 10% ao ms. Normalmente as pessoas tm a impresso de que os juros compostos, por serem acumulativos, sempre superam aos valores calculados a juros simples. Se analisarmos com ateno o grfico seguinte, veremos que nem sempre essa afirmao verdadeira.

No grfico acima, percebe-se que, antes do primeiro perodo os juros simples tm valores superiores aos valores correspondentes dos juros compostos. Como confirmao, vejamos o clculo dos juros obtidos pelos 100 reais de nosso grfico, em 15 dias de aplicao (0,5 ms). a) Clculo dos juros simples j = 100 x 0,5 x 0,1 = 5 reais 0,5 b) Clculo dos juros compostos j = 100 x (1,1) 100 = 4,88 reais. Voc pode verificar que, nesse caso, como o prazo foi inferior a 1 perodo de capitalizao (no caso ms), o valor do juro simples foi maior que o valor obtido a juro composto.


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EXERCCIOS: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses, sob taxa de 0,5 % ao ms. Qual o montante final? a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00 2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$150,00, durante 60 dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$153,00? a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 20% 3) Qual o montante produzido por R$2500,00, aplicados sob taxa efetiva de 12% ao trimestre, em 15 meses? a)R$ 4405,85 b)R$ 6403,24 c)R$ 5405,45 d)R$ 4000,00 e) R$ 4800,00 4) Qual o tempo necessrio para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao ms, triplique de valor? a) 3 anos 4 meses b) 2 anos c) 5 anos 4 meses d) 1ano 4 meses e) 3 anos 6 meses 5) Dr. Fernandinho pagou R$1 728,00 por um emprstimo no Banco Tofer-Rado S.A. O prazo da operao foi de 3 meses e a taxa efetiva de juros compostos foi de 20% ao ms. Qual foi o valor do emprstimo? a) R$800,00 b) R$1 200,00 c)R$1 000,00 d) R$980,00 e) R$1 150 ,00 6) O preo de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou ento, uma entrada de 20% e mais um pagamento de R$ 2688,00, aps 40 dias. financiamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que est sendo cobrada pela loja? a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180% 7) Apliquei um capital a juros simples de 4% ao ms, durante 2 meses e, em seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao ms. Qual o capital inicial, se o montante final foi de R$30 888,00? a) R$20 000,00 b) R$25 000,00 c) R$18 000,00 d) R$ 20 800,00 e) R$22 000,00 8) (TRT - 1990) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$2700,00, dispondo de R$9000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro dever ser aplicado no prazo de 5 meses? a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5% 9) Um investidor aplicou R$600 000,00 a juros compostos mensais, durante 2 anos e recebeu um montante de R$3 804 708,60. Qual foi a taxa da operao? a) 8% a.m b) 9% a.m c) 10% a.m d) 5% a.m e) 6% a.m 10) O juro e o montante em uma aplicao a juros simples esto entre si, como 4 est para 20. O tempo de aplicao foi de 5 anos. Qual a taxa anual do investimento? a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 % 11) Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre? a) 120% b) 150% c) 198,60 d) 180% e) 210,6%Prof. Ilydio Pereira de S 35


12) Qual a taxa bimestral, equivalente para juros compostos, a 131,3060% ao ano? a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% e) 20% 13) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. a) 3% b) 3,1% c) 3,01% d) 2,8% e) 3,5% 14) Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos produzidos por certo capital so iguais metade deste, se usarmos a taxa de 8% a.a, com capitalizao anual? a) 6 anos b) 9 anos c) 7anos d) 8 anos e) 5 anos 15) (Banco do Brasil) Certo capital, acrescido do juro simples resultante de sua aplicao durante 8 meses, eleva-se a $ 231 000,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples resultantes de 13 meses de aplicao, mesma taxa, eleva-se a $ 234 750,00. Qual a taxa anual da aplicao? a) 1 % a.a b) 2% a.a c) 2,5 % a.a d) 3 % a.a e) 4 % a.a 16) O capital de R$ 37 500,00 colocado ao regime de capitalizao composta sob taxa efetiva de 9% ao trimestre. No fim de um certo tempo o montante atingiu R$ 62 891,25. Calcular o nmero de meses que foram necessrios. a) 12 b) 21 c) 15 d) 18 e) 19,5 17) Um investimento obteve um ganho nominal de 34%, num perodo de inflao correspondente a 28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse investimento? a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5% A tabela a seguir, se refere s questes, de 18 a 20 e se refere a preos praticados e quantidades produzidas de trs artigos, em 2005 e 2006.

2005Preo unitrio (dlares) A 3,00 B 6,00 C 4,00 Fonte: Dados hipotticos Artigos Quantidades (toneladas) 2 5 7

2006Preo unitrio (dlares) 4,00 6,00 5,00 Quantidades (toneladas) 4 6 3

18) Calcular o ndice de Laspeyres para os preos de 2006, tomando como base o ano de 2005. a) 121,63 % b) 114,06 % c) 128,32 % d) 133,44 % e) 138,28 % 19) O ndice de Paasche para os preos de 2006, tomando como base o ano de 2005. a) 121,45 % b) 134,56 % c) 113,78 % d) 109,78 5 e) 111,67 % 20) Calcular o ndice agregativo simples para os preos de 2006, tomando como base o ano de 2005.Prof. Ilydio Pereira de S 36


a) 110,26 %

b) 120,32 %

c) 116,67 5

d) 115,38 %

e) 121,67 %

GABARITO01) B 06) E 11) C 16) D 02) C 07) E 12) D 17) C 03) A 08) C 13) A 18) B 04) A 09) A 14) A 19) E 05) C 10) C 15) E 20) D

4.5) Desconto SimplesDesconto o valor a ser deduzido de um ttulo, calculado a juros simples, por antecipao do resgate. O desconto poder ser por fora, ou por dentro, conforme calculado sobre o valor nominal do ttulo ou sobre o valor atual ( valor presente ou valor de resgate ). A) Desconto por Fora (Bancrio ou Comercial) a parcela a ser deduzida do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor nominal ( ou valor de face ) do papel. Podemos resolver os exerccios de desconto por fora de modo anlogo ao procedimento que adotamos em operaes comerciais de lucro sobre o preo de venda (Regra de Trs) (Nominal = 100 %). B)Desconto por Dentro (Racional ou Real) a parcela a ser deduzida do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor de resgate ) do papel. Podemos resolver os exerccios de desconto por dentro de modo anlogo ao procedimento que adotamos em operaes comerciais de lucro sobre o preo de custo (Regra de Trs) (Atual = 100 %). Exemplo 1: Um ttulo de R$2 000,00 ser descontado a 12 % ao ms, 2 meses antes do vencimento. Determinar o valor atual ( ou valor de resgate ), considerando: a) Desconto simples bancrio. Soluo: N = 2 000 , taxa de desconto = 12 . 2% = 24% A(x) (76%) D (24%) (N-D=A) N( 2 000) (100%)


37


2 000..................... 100% x ........................76% x=

b) Desconto simples racional. Soluo: A(x) d (100%) (24%) (A+d=N)

2000 x 76 = 1520 reais 100N( 2 000) (124%)

2 000 124% x 100% 2000x100 = 1612,90 reais x= 124 Observaes: 1. Na prtica o que existe o desconto por fora (bancrio) (voc pode imaginar o motivo, observando o exemplo anterior). Logo, se em uma situao-problema qualquer no for mencionado o tipo de desconto simples utilizado , voc deve usar o desconto por fora.

Equivalncia de Capitais Operao de Descontos SimplesDois capitais representados por papis ou ttulos financeiros sero equivalentes para uma determinada data, sujeitos a juros simples, se os valores atuais, nesta data (data zero ou focal) , forem iguais. Exemplo 2: Qual o valor nominal de um papel com vencimento para 45 dias, sob taxa de 30% ao ms, e que equivalente a outro ttulo de R$ 600,00, para 15 dias, sob taxa de 40 % ao ms (descontos simples comerciais)? Soluo: A) Ttulo dado: N = 600 ; i = 40% ao ms, n = 15 dias, logo a taxa global do desconto ser de 20%. A 80% D 20% N=600 100%80x600 = 480,00 100

Logo, teremos A =

B) Ttulo equivalente procurado: A = 480, i = 30 % ao ms, n = 45 dias, logo a taxa simples corresponde a 1 % ao dia e a uma taxa global de 45 %. "No se pode ensinar tudo a algum, pode-se apenas ajud-lo a encontrar por si mesmo." Galileu Galilei, astrnomo italiano38



A = 480 55%

D 45%

N=? 100%

Ento, teremos: N =

480x100 = 872,73 reais 55

EXERCCIOS1) (Fiscal de Posturas - RJ - 1992) Um ttulo de valor nominal de $500 000,00 foi descontado 60 dias antes de seu vencimento, taxa simples de desconto de 10% ao ms. O valor lquido do ttulo : a) $ 400 000,00 b) $ 50 000,00 c) $ 100 000,00 d) $30 000,00 e) $ 300 000,00 2) (Banco do Brasil - 1992) Calcule o desconto por fora de um ttulo de valor nominal igual a $550 000,00 antecipado em 120 dias taxa de 3,5 % ao ms. a) $ 60 000,00 b) $ 58 000,00 c)r$ 77 000,00 d) $ 30 000,00 e) Cr$ 300 000,00 3) Qual o valor atual de um ttulo que, descontado por dentro a 8% ao ms, faltando 2 meses e 15 dias para vencer, produziu desconto simples de R$ 120 000,00? a) R$480 000,00 b)R$ 600 000,00 c) R$ 640 000,00 d) R$ 720 000,00 e) R$ 580 000,00 4) (Banco Central - 1990) Um ttulo de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado taxa de 18% ao ms, 15 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O banco cobrou uma comisso de 3 % sobre o valor nominal do ttulo. Qual o valor lquido recebido? a)$ 565 000,00 b)$ 549 000,00 c)$ 537 000,00 d) $ 528 000,00 e) Cr$ 465 000,00 5) (Banco Central - 1990) Um ttulo foi descontado taxa de 20 % ao ms, um ms antes do vencimento, desconto simples racional ou por dentro. Se o valor lquido recebido foi de $ 1200,00, qual era o valor nominal? a)$1970,00 b)$1800,00 c)$ 1400,00 d)$1440,00 e)$ 1600,00 6) Um ttulo, no valor de R$ 12 000,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 9 000,00. Qual foi a taxa mensal aplicada nesta operao de desconto bancrio? a) 6% b) 4% c) 5% d) 3% e) 10% 7) Um ttulo produziu desconto simples igual a 0,3 do valor nominal, faltando 2 meses e 15 dias para o vencimento. Qual a taxa do desconto? a) 10 % a.m b) 12 % a.m c) 6 % a.m d) 8 % a.m e) 5 % a.m 8) Uma promissria descontada por dentro a 3 meses do vencimento, taxa de 7% ao ms, sofreu reduo de R$630,00. Qual o valor nominal?Prof. Ilydio Pereira de S 39


a) R$3630,00

b) R$3500,00 R$ 6300,00 d) R$ 3640,00 e) R$ 5350,00

9) Um ttulo, de valor nominal de R$12 000,00, descontado racionalmente a 36% ao ms, 20 dias antes do vencimento, ser substitudo por outro, para 45 dias, sob taxa de 40 % ao ms, desconto tambm racional. Qual ser o valor nominal desse novo ttulo (desprezados os centavos)? a) R$ 15 483,00 b) R$ 16 000,00 c) R$ 18 200,00 d) R$ 23 400,00 e) R$ 14 760,00 10) (TTN - 1989) Utilizando o desconto racional (36% ao ano), o valor que devo pagar por um ttulo com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29 500,00 , de: a) $ 24 000,00 b) $ 25 000,00 c) $ 27 500,00 d) $ 18 880,00 e) $ 24 190,00 11) Qual o valor nominal (aproximado) de um ttulo, descontado a 15% ao ms, com 90 dias de antecipao, e que equivalente a um outro ttulo, de R$ 4500,00, descontado a 18% ao ms, com 45 dias de antecipao? a)R$ 5973,00 b)R$ 6780,00 c)R$ 7340,00 d)R$ 5890,00 e)R$ 4900,00 12) Qual o valor nominal de um ttulo, descontado a 6% ao ms, com 10 dias de antecipao e que substituir dois ttulos de R$4800,00 e R$5400,00, descontados sob mesma taxa e com as respectivas antecipaes de 30 dias e 45 dias, considerando todos os descontos envolvidos na operao como racionais? a)R$8900,00 b)R$9672,00 c)R$7895,00 d)R$8566,00 e)R$6790,00

GABARITO01) A 05) D 09) A 02) C 06) C 10) B 03) A 07) B 11) A 04) D 08) A 12) B

O degrau da escada no foi inventado para repouso, mas apenas para sustentar o p o tempo necessrio para que o homem coloque o outro p um pouco mais alto.

(Ruxley)


40


4.6) Descontos CompostosA) O Conceito: O desconto composto o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso financeiro antes de seu vencimento ou o valor que o banco recebe pela antecipao do resgate de um ttulo, mas sob regime de juros compostos. Na prtica o que temos o montante ou valor nominal do papel e o que queremos o capital inicial, ou valor atual, o que pode ser obtido pela prpria frmula do clculo do montante a juros compostos. A tal tipo de desconto denominamos desconto composto racional, sendo que o desconto composto bancrio praticamente s existe na teoria, j que o que utilizado em nosso Pas o desconto bancrio simples. B) Valor atual de um papel sujeito a desconto composto (racional): J sabemos que C . (1 + i) = M , agora teremos: A . (1 + i) = N Ou seja: A = N n (1 + i) ou-n n n

A = N . (1 + i)

-n

OBS: Os valores de (1 + i) voc poder encontrar diretamente na tabela 2 (final da apostila) e multiplicando-os por N, obter o valor atual A. Caso voc queira pode n tambm usar a prpria tabela 1, dos juros compostos e, dividindo N por (1 + i) obter de outra forma o valor atual A. Exemplo 1: Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dvida representada por um ttulo cujo valor nominal de R$1000,00. Sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao ms, ache o valor do desconto. SOLUO: -n -3 A = N . (1 + i) ou A = 1000.(1,03) . O fator poder ser obtido na tabela 2, na interseo da coluna de 3% com a linha de n=3. Teremos ento A= 1000.0,91514 = 915,14 , logo, o desconto ser a diferena 1000 - 915,14 = R$84,86. Na calculadora HP-12C, teramos: 1000 CHS FV 3 n 3 i PV = ? 915,14 (APARECE NO VISOR) CHS 1000 + 84,86 (APARECE NO VISOR) Na planilha Excel, optaramos pela funo financeira VP, aps clicar no smbolo fx, indicativo de funo, vejamos para esse exemplo, como ficaria a planilha, com a respectiva frmula.Prof. Ilydio Pereira de S 41


EQUIVALNCIA DE CAPITAIS REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA Exemplo 2: Um investidor, devedor de um ttulo de R$1000,00, para 6 meses, deseja substitu-lo por outro com vencimento para 10 meses, sendo que a taxa de juro composto de 4% ao ms. Achar o valor nominal do novo ttulo. SOLUO: Trata-se de um caso de equivalncia de capitais, e, como vimos em descontos simples, os valores atuais devem ser iguais. No caso do desconto composto mais simples ainda, pois no h necessidade de retroagirmos data zero, bastando atualizar o capital, de acordo com o nmero de perodos entre as duas datas. 10000 6

?104

Logo, teremos: N= 1000.(1,04) = R$ 1169,86 C) Fluxo de Caixa: Fluxo de caixa de uma empresa o conjunto de entradas e sadas de dinheiro, previstas para um determinado perodo. O valor atual de um fluxo de caixa a soma algbrica dos valores atuais das entradas (positivas) e das sadas (negativas). Numa anlise de investimentos , compras prazo, e na matemtica financeira em geral, o conceito de fluxo de caixa de grande importncia, pois, atualizando as entradas e sadas de dinheiro, fica fcil estimar se ou no compensador um determinado investimento. "Aprender descobrir aquilo que voc j sabe. Fazer demonstrar que voc o sabe. Ensinar lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto voc". (Richard Bach)Prof. Ilydio Pereira de S 42


Exemplo 2: A empresa Tar-Russo S.A tem a seguinte previso oramentria para um determinado perodo: PAGAMENTOS RECEBIMENTOS 1/4 2000 1/2 3000 1 /10 5000 1/6 6000 1 / 11 9 000 Qual o valor do fluxo de caixa para 1 de janeiro, supondo a taxa de desconto composto de 5% ao ms? AF

J

F1

A3

J5

O9

N10

AF = Valor atual do fluxo = 3.(1,05) +6.(1,05) + 9.(1,05) - 2.(1,05) - 5.(1,05) Mais uma vez, consultando a tabela 2, teremos: AF= 3.(0,952381) + 6.(0,783526) + 9.(0,613913) - 2.(0,863838) - 5.(0,644609) AF = 8,132795 . 1000 = R$ 8132,80.

-1

-5

-10

-3

-9

Na HP-12C, temos uma seqncia especfica para fluxos de caixa, atravs das teclas azuis CF0, CFj, Nj, conforme veremos para o exemplo dado.Pela HP: Limpe as memrias: [F] [REG] Entre com o valor inicial: 0 [G] [CFo] Entre com as parcelas do fluxo: 3 000 [G] [CFj] 0 [G] [CFj] 2 000 [CHS][G] [CFj] 0 [G] [CFj] 6 000 [G] [CFj] 0 [G] [CFj] 3 [G] [Nj] 5000 [CHS][G] [CFj] 9000 [G] [CFj] 5 i Calcule o valor presente lquido:[F] [NPV]

Visor: 0,00 0,00 3 000.00 0.00 -2 000.00 0.00 6000.00 3.00 -5000 9000.00 5 8132,80

Obs: Se todas as parcelas deste fluxo fossem iguais, o nosso clculo seria bastante simplificado, pois poderamos recorrer a tabelas financeiras prontas para amortizaes e capitalizaes compostas, conforme veremos nos captulos seguintes. Exemplo 3: Uma pessoa compra um aparelho eletrodomstico e paga 3 prestaes mensais iguais e consecutivas de R$500,00, cada uma, sem entrada, vencendo a primeira, um ms aps a compra. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 15% ao ms, ache o preo vista do aparelho.


43


SOLUO: ? 0 1 500-1

2 500

3 500-2

A = 500.(1,15) + 500.(1,15) Pela HP-12C, teramos:

+ 500.(1,15) = R$1141,61 (Confira)

-3

Limpe as memrias: [F] [REG] Entre com o valor inicial: 0 [G] [CFo] Entre com as parcelas do fluxo: 500 [G] [CFj] 3 [G] [Nj] 15 i Calcule o valor presente lquido:[F] [NPV]

Visor:

0,00 0,00 3.00 15 1141,61

Importante: O que vimos no exemplo anterior um caso de financiamento denominado sistema Francs ou Price, e que possui as caractersticas: - Primeiro pagamento um perodo aps a compra. - Parcelas iguais. - Taxa efetiva mensal. - Pagamentos no final de cada perodo. Estudaremos mais detalhadamente este sistema , bem como outros, no captulo final do nosso curso (Sistemas de Amortizao). Denominamos TAXA INTERNA DE RETORNO (Tir) taxa que zera o fluxo de caixa, ou seja: O somatrio de todas as entradas igual ao somatrio de todas as sadas, numa data qualquer. A determinao da taxa interna de retorno recair sempre na soluo de uma equao polinomial, na incgnita i ou na incgnita F (F = 1 + i), bastando levar todas as entradas e sadas monetrias para uma mesma data, igualando-se em seguida o somatrio das entradas, com o somatrio das sadas.

"Somos o que fazemos, mas somos, principalmente, o que fazemos para mudar o que somos."

(Eduardo Galeano)


44


Exemplo 4: (AFTN - 1991) A uma taxa de 25% ao perodo, uma quantia de 100 no fim do perodo t, mais uma quantia de 200 no fim do perodo t+2, so equivalentes, no fim do perodo t+1, a uma quantia de: a) 406,25 b) 352,50 c) 325 d) 300 e) 285 SOLUO:200 100

t

t+1

t+2

?

Este o tpico exerccio que denominamos , valor do dinheiro no tempo, onde verificamos que o valor 100 ter de ser corrigido em um perodo (multiplicado por 1,25), enquanto que o valor 200 dever ser atualizado em um perodo (dividido por 1,25). Logo, a resposta ser: 100 . 1,25 + 200 : 1,25 = 285 (opo E) Note que 25% nada mais do que a TAXA INTERNA DE RETORNO desse fluxo. DICA IMPORTANTE: Arriscamos a dizer que, tudo em Matemtica Financeira, com capitalizao composta est escorado no que vimos no exerccio anterior, ou seja, no valor do dinheiro no tempo. Podemos inclusive fixar que, quando o valor est se deslocando para a direita na linha do tempo, devemos multiplic-lo por F , sendo n o nmero de perodos deslocados e F o fator de correo da taxa fixa vigente. Nos casos em que um valor est se deslocando para a esquerda na linha do tempo, devemos atualiz-lo, dividindo-o porn

Fn

ou multiplicando-o por

F

n

.

Exemplo 5: Qual a taxa interna de retorno do fluxo representado abaixo? 1500 1000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4000 SOLUO: Fazendo-se 1 + i = F, vamos equacionar na varivel F.Prof. Ilydio Pereira de S 45


Levando-se todos os valores para uma mesma data, data 4, por exemplo e igualando-se a zero a soma algbrica das entradas e sadas, teremos: 1000 x F + 1500 x F 4000 = 0 ou ento: 2 F + 3 F 8 = 0, que uma equao biquadrada. Fazendo-se F = y . teremos: 2 y + 3 y 8 = 0 ou y =2 4 2 4 2 4 2

3 9 4.2.( 8) = 4

3 73 = 4

3 8,544 = 1,386 4

Logo, o fator de correo F ser igual a

1,386 = 1,177

Ento teremos 1 + i = 1,177 ou i = 0,177 ou 17,7% Poderamos, como fizemos no clculo do valor presente lquido de um fluxo de caixa, obter a taxa interna de retorno de um fluxo, com auxlio da tecla irr, da HP12C. Vejamos, para o exemplo acima, como seria o clculo da taxa interna de retorno.Limpe as memrias: [F] [REG] Entre com o valor inicial: 1000 [G] [CFo] Entre com as parcelas do fluxo: 0 [G] [CFj] 1500 [G] [CFj] 0 [G] [CFj] 4000 [CHS] [G] [CFj] Calcule a taxa interna de retorno:[F] [irr] Visor:

0,00 1000,00 0.00 1500 0.00 -4000.0017,73

APLICAO ANLISE DE INVESTIMENTOSA partir da montagem de um fluxo de caixa podemos facilmente calcular, com a ajuda da HP-12C, a viabilidade de um projeto. Quando uma empresa ou uma pessoa deseja investir em um projeto, ela tem paralelamente outras opes, como por exemplo, a prpria atividade produtiva, ou o mercado financeiro. Chamamos de custo de oportunidade de uma empresa ou pessoa, o retorno certo que ela teria sem investir em novos projetos. Um investimento ser vivel se seu retorno for maior que o de qualquer outro tipo de aplicao, quando empregada a mesma quantia. Para sabermos isto basta montar um fluxo com o investimento efetuado e as receitas e economias esperadas, alm da taxa mnima de retorno desejada (dever ser maior que seu custo de oportunidade). A partir deste fluxo entraremos com os dados na HP-12C e calcularemos o Valor Presente Lquido (NPV), que ser o resultado na data de hoje de todas as sadas e entradas, considerando-se taxa mnima de retorno desejada. Se o valor do NPV for positivo significa que o investimento vivel e a taxa de retorno ainda maior que a desejada. Se o valor for igual a zero, significa que o investimento retornar exatamente o desejado e, portanto, vivel. Se o valor for negativo, o retorno no ser o mnimo desejado, valendo mais a pena investir no mercado financeiro ou na produo.Prof. Ilydio Pereira de S 46


Exemplo: Ana tem R$ 10 000,00 aplicados no banco pelos quais recebe 4 % a.m.. Ela deseja abrir uma pequena confeco, mas antes quer saber se o investimento valer a pena. Ela montou o seguinte fluxo de caixa e considera que o mnimo de retorno desejvel seria de 8 % a.m. Verifique se o investimento vivel.

Pela HP: Limpe as memrias: [F] [REG] Entre com o valor inicial: 6 000 [CHS] [G] [CFo] Entre com as parcelas do fluxo: 4 000 [CHS] [G] [CFj] 2 000 [G] [CFj] 2 [G] [Nj] 3 000 [G] [CFj] 2 000 [G] [CFj] 1 000 [CHS] [G] [CFj] 2 000 [G] [CFj] 2 [G] [Nj] 3 000 [G] [CFj] Entre com a taxa de retorno esperada: 8 [i] Calcule o valor presente lquido:[F] [NPV] Calcule a taxa interna de retorno: [F] [IRR]

Visor: 0.00 -6 000.00 -4 000.00 2.00 3 000.00 2 000.00 -1 000.00 2.00 3 000.00 8.00 282.99 8.67%

Logo, este investimento vivel, pois NPV positivo e IRR maior que 8 %.

EXERCCIOS PROPOSTOS1) Calcule o valor atual de um ttulo, de valor nominal igual a R$9000,00 , liquidado 2 meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 4% ao ms. a) R$8429,00 b) R$7854,36 c) R$8321,00 d) R$6789,29 e) R$5467,80 2) O valor atual de uma nota promissria de R$4200,00. Qual o seu valor nominal, sabendo que ela vencer dentro de 120 dias e que a taxa efetiva de juro composto, utilizada no clculo, foi de 3% ao ms? a) R$4727,14 b) R$4367,90 c) R$4704,00 d) R$4678,95 e) R$5300,00 3) Um ttulo, de valor nominal igual a R$2000,00 , foi liquidado 6 meses antes do vencimento, por R$1332,68. Ache a taxa do desconto composto mensal utilizada nesta operao. a) 2% b) 3% c) 4% d) 6% e) 7% 4) Uma nota promissria, de valor de face R$71 500,00, foi paga antes do vencimento, por R$63 526,62. Ache o prazo de antecipao dessa operao, sabendo que foi utilizada uma taxa de desconto composto de 3% ao ms. a) 3 meses b) 4 meses c) 5 meses d) 6 meses e) 7 meses 5) Uma pessoa, devedora de um ttulo de R$ 8200,00 para 4 meses, deseja substitu-lo por outro com vencimento para 8 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 5% ao ms, calcule o valor nominal do novo ttulo. a) R$9967,15 b) R$9840,00 c) R$10 000,00 d) R$9876,55 e) R$8999,90Prof. Ilydio Pereira de S 47


6) Um gerente de uma pequena empresa deveria pagar, hoje, a um banco, a importncia de R$20 000,00. No podendo efetuar o pagamento , prope ao banco dois pagamentos iguais, dentro de 2 e 3 meses, respectivamente. Utilizando uma taxa de desconto composto de 7% ao ms, quais sero os valores nominais desses dois novos ttulos? a) R$12006,78 b) R$11234,56 c) R$9899,00 d) R$11836,16 e) R$11000,00 7) Uma loja est vendendo um equipamento em 2 prestaes mensais, iguais e consecutivas de R$1200,00 cada, sem entrada. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 6% ao ms, ache o valor vista desse equipamento. a) R$2520,00 b) R$3250,00 c) R$2200,00 d) R$2890,00 e) R$3100,00 8) Calcular o valor atual de um ttulo de R$7000,00, resgatado a 3 meses do vencimento, sob desconto racional composto de 4% ao ms. a) R$6222,97 b) R$6124,90 c) R$6160,00 d) R$6384,29 e) R$6494,35 9) O valor nominal de um ttulo de R$2000,00. Seu portador deseja descont-lo 1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Calcule o valor de resgate, sabendo que a taxa de desconto composto de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. a) R$1245,87 b) R$1425,97 c) R$1383,63 d) R$1300,00 e) R$1292,44 10) Calcule o desconto composto sofrido por um ttulo, de valor nominal igual a R$3800,00, resgatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 30 % ao ano, com capitalizao bimestral. a) R$685,29 b) R$673,73 c) R$678,90 d) R$621,24 e) R$601,28 11) (AFTN - 1991) Um Commercial Paper , com valor de face de US$1,000,000.00 e vencimento daqui a 3 anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional composto, obtenha o valor do resgate. a)US$751,314.80 b)US$750,000 c)US$748,573 d)US$729,000 e)US$700,000.00 12) Duas promissrias, uma de R$40 000,00, vencvel em 120 dias, e a outra de R$90 000,00, vencvel em 180 dias, devero ser substitudas por uma nica promissria, vencvel em 90 dias. Qual o valor nominal da nova promissria, no regime de juro composto, taxa de 3% ao ms?a)R$122 430,00 b)R$132 420,00 c)R$110 000,00 d)R$121 197,70 e)R$117 496,00

13) Daniela comprou um exaustor e vai pag-lo em duas prestaes: a primeira, de R$180,00, um ms aps a compra, e a segunda, de R$200,00, dois meses aps a compra. Sabendo que esto sendo cobrados juros de 25% ao ms, sobre o saldo devedor, podemos afirmar que o preo vista do aparelho era de: a)R$138,00 b)R$237,50 c)R$272,00 d) R$285,00 e) R$304,00 14) Uma geladeira pode ser comprada vista por R$2000,00 ou em 3 prestaes mensais iguais, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Se o vendedor cobra juros de 30% ao ms, sobre o saldo devedor, o valor de cada prestao , aproximadamente igual a: a)R$827,00 b)R$847,00 c) R$867,00 d) R$887,00 e) R$907,00Prof. Ilydio Pereira de S 48


15) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 6 meses, a quantia de $1000 000,00 taxa de juros compostos de 19,9% ao ms. No entanto, 1 ms antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dvida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% ao ms? (Considere que 1199 6 2,97 ) , a)$2 400 000,00 b)$2 500 000,00 c)$2 600 000,00 d)$2 700 000,00

GABARITO (Descontos Compostos)01) C 02) A 03) E 04) B 05) A 06) D 07) C 08) A 09) B 10) B 11) A 12) D 13) C 14) B 15) D

5) CAPITALIZAO E AMORTIZAO COMPOSTAS Rendas Certas ou Anuidades5.1) Introduo: Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar periodicamente certa quantia em uma caderneta de poupana, por exemplo; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos faz-lo em prestaes a serem pagas periodicamente. Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar um dvida depositando ou pagando certa quantia, em pocas distintas. No primeiro caso temos uma CAPITALIZAO e no segundo, uma AMORTIZAO. Estudaremos, neste captulo como calcular: juros, parcelas , montantes futuros ou valores atuais envolvidos nestas duas operaes. 5.2) Rendas: A sucesso de depsitos ou de prestaes, em pocas distintas, destinados a formar um capital ou a pagar uma dvida o que denominamos de RENDA. As parcelas ou depsitos so denominados termos da renda (nas calculadoras financeiras representados pela tecla PMT). O intervalo entre dois termos consecutivos denominado perodo da renda. Quando todos os perodos so iguais , a renda denominada peridica. As rendas podem ainda ser caracterizadas como Rendas Certas - Uma renda denominada certa quando todos os seus elementos: nmero de parcelas, perodo, valores das parcelas, vencimentos, etc. podem ser pr-fixados. Caso contrrio ela dita renda aleatria. A preocupao do nosso curso ser com as rendas Certas ou Anuidades. OBS: Se todas as parcelas que constituem a renda so iguais, ela denominada Constante (Srie Uniforme), caso contrrio ela dita varivel. Quanto data do vencimento de cada parcela, a renda pode ser classificada em: Imediata ou Postecipada (quando as parcelas vencem no final de cada perodo, partir do primeiro); Antecipada (quando as parcelas vencem no incio de cadaProf. Ilydio Pereira de S 49


perodo, partir do primeiro) ou Diferida (quando o vencimento do primeiro termo se d no fim de um determinado nmero de perodos, denominado carncia. 5.3) Capitalizao Composta: Neste item vamos estudar a determinao do montante constitudo por depsitos peridicos, de quantias constantes (sries uniformes) sobre as quais incide a mesma taxa. 5.3.1) Renda Imediata (Postecipada - modelo bsico) Esse o caso fundamental de capitalizao composta, sendo que os demais casos que estudaremos so meras conseqncias deste. Neste caso, o investidor deposita, no fim de cada perodo, partir do primeiro, uma parcela fixa, sob taxa constante de juros compostos, durante um nmero determinado de perodos. Inicialmente, antes de estudarmos qualquer frmula, ou tabela financeira especfica, vamos analisar um exemplo simples inicial. Sr. Charles deposita em um banco, no fim de cada ms, durante 5 meses, a quantia de R$ 1000,00. Calcule o montante da renda acumulada, imediatamente a ps o ltimo depsito, sabendo que o banco est pagando juros de 20% ao ms. O fluxo de caixa abaixo esquematiza o nosso exemplo: M

0

1

2

3

4

5

1000

1000 1000 1000 1000

Teremos o seguinte montante final (soma dos montantes produzidos por cada uma das parcelas) M = 1000 + 1000.(1,2) + 1000.(1,2)2 + 1000.(1,2)3 + 1000.(1,2)4 = M = 1000.(1 +1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 ) = 1000 . 7,4416 = R$7441,60 Na calculadora HP-12C, lembrando-se da simbologia usada para cada elemento, teramos: 1000 [CHS] PMT 5 n 20 i FV = ? 7441,60 Obs: Pelo exemplo dado, verificamos o esforo e o trabalho braal necessrios para os clculos. Vamos agora conhecer uma frmula e um fator que j se encontra tabelado para esses casos, de modo a atenuar todo esse trabalho. Consideraremos: T- Termo (Valor de cada depsito peridico) n - Nmero de perodosProf. Ilydio Pereira de S 502 3 4


i-Taxa unitria da operao F = 1 + i - Fator de correo peridico 2 3 n-1 M = T . (1 + F + F + F + .. + F ) Verificamos que a soma entre parnteses a soma dos n termos de uma progresso geomtrica de razo F. Como a soma dos termos de uma PG dada pela frmula: S = teremos , nesse caso:

a n . q - a1 q - 1

F n 1. F -1 ou ento S= F - 1 Fn - 1 S= i Fn - 1 A expresso denominada fator de acumulao de capital e irepresentado pelo smbolo sni . Desse modo, a nossa frmula para o clculo do montante de uma capitalizao composta, no modelo bsico ou imediato ser: M=T .

sni

Essa forma de calcular, exige a consulta a uma tabela especfica (veja no final da apostila), muito usada em concursos onde as mquinas no so permitidas. EXEMPLOS: 1) Deposito em um banco, no fim de cada ms, a importncia de R$800,00, a juros compostos de 3% ao ms. Quanto terei acumulado no fim de um ano? SOLUO: Como um modelo imediato ou postecipado, teremos: M = 800 .

sni , sendo que nesse caso n = 12 e i = 3%Tabe a 3

De acordo com a tabela 3, teremos: M = 800 . 14,192030 = R$ 11 353,62 Pela HP-12C, teramos: 800 [CHS] PMT 12 n 3 i FV = ? R$ 11 353,62 Na planilha Excel, teramos a funo FV, agora incluindo os valores das parcelas de depsitos (PMT), o que no ocorreu no caso dos juros compostos, que essa parcela ficou em branco.


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Observe que onde temos escrito tipo, colocamos o nmero zero que indica as sries postecipadas (que o caso), caso seja uma srie antecipada, como estudaremos em seguida, indicaramos o nmero 1. 2) (AFTN 1991) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$12 000,00, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remunerao do capital de 4% e que o primeiro depsito feito ao fim do primeiro ms? SOLUO: Verificamos que se trata de uma capitalizao composta imediata ou postecipada, com 12 perodos e taxa peridica de 4%, faltando o valor de cada parcela fixa ou termo T. Logo: T . sni = 12 000 e , de acordo com a tabela 3, teremos: T . 15,025805 = 12 000, logo T = 12 000 : 15,025805 = 798,63 Na HP-12C, teramos: 12000 [CHS] FV 12 n 4 i PMT = ? R$ 798,63 Na planilha Excel, teramos agora que escolher a funo pagamento (PGT0) :

Nunca ser um verdadeiro matemtico aquele que no for um pouco de poeta. (Karl Weierstrass)


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3) Quanto uma firma deve depositar, no fim de cada ms, a uma taxa de 60% ao ano, capitalizados mensalmente, para dispor, no fim de um ano, do montante de R$50 000,00? Soluo: Temos agora uma capitalizao composta, imediata, com M = R$ 50 000,00 , n=12 e i = 60% : 12 = 5% ao ms. Pela frmula, temos ainda: T . sni = 50 000 e de acordo com a tabela 3, dos fatores de capitalizao, para n=12 e i=5%, teremos: T . 15,917127 = 50 000 ou T = 50 000 : 15,917127 = 3141,27 Resp. Deve depositar R$ 3 141,27 mensalmente. Na planilha Excel, usando novamente a funo pagamento (PGTO), teramos:

"Quando voc precisa tomar uma deciso e no toma, est tomando a deciso de no fazer nada." William James


53


5.3.2) Montante de uma renda Antecipada. Neste caso os depsitos peridicos constantes ocorrem no incio de cada perodo, n parcelas de valor T, a uma taxa unitria i, referida mesma unidade do perodo constante de aplicao. O montante final exigvel um perodo aps a ltima aplicao. M

0

1

2

3

4

...

n-1

n

T

T

T

T

T

T

T

A maneira mais prtica de calcular o montante acumulado com os n depsitos antecipados calcular o montante como se fosse uma renda postecipada e multiplicar a resposta obtida por (1 + i), que o nosso fator de correo referente taxa do investimento. Note que ao multiplicarmos este caso pelo fator F, estaremos deslocando cada depsito T de um perodo para a direita, o que transformar este caso no anterior. Mant = T .

sni . F

EXEMPLOS: 1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no incio de cada ms, durante 5 meses, a quantia de R$1000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao ms, capitalizados mensalmente. Soluo: Como um caso de renda antecipada, teremos Mant = T . 1000 . sni . 1,02 = 1000 . 5,20404 . 1,02 = 5308,12Tabela 3

sni . F ou ento:

Na HP-12C, no caso das rendas antecipadas basta modificar o modo de trabalho para que aparea no visor a palavra BEGIN e isso feito calcando-se a tecla g, seguida da tecla BEG. (teclas azuis). Para o exemplo anterior, teramos: g BEG (para operar no modo antecipado) 1000 [CHS] PMT 5 n 2 i FV = ? 5308,12Prof. Ilydio Pereira de S 54


Na planilha Excel, procedemos como fizemos nas rendas postecipadas, escolhendo para tipo o nmero 1. Para o exemplo acima, teremos:

2) Quanto se deve depositar, no incio de cada semestre, numa instituio financeira que paga 18% ao ano, para constituir , um semestre aps a ltima aplicao, um montante de R$ 500 000,00, aps 3 anos de depsitos, sendo que os juros so capitalizados semestralmente? Soluo: Trata-se de uma capitalizao composta antecipada, onde a taxa nominal de 18% ao ano, como a capitalizao semestral, utilizaremos a taxa de 9% ao semestre. T . sni .1,09 = 500 000 , como o perodo de 3 anos corresponde a 6 semestres, procuraremos na tabela 3 a linha n=6 e i = 9% e encontraremos o valor 7,52333. T . 7,52333 . 1,09 = 500 000, ou seja T . 8,2004297 = 500 000 Teremos , T = 500 000 : 8,2004297 = 60 972,41 Resp. Cada um dos 6 depsitos dever ser de R$ 60 972,41 Na HP-12C, teramos: Colocar em modo antecipado, teclando g BEG. 500 000 [CHS] FV 9 i 6 n PMT = ? 60 972,40 Na planilha Excel, neste caso, escolheremos novamente a funo financeira PAGAMENTO (PGTO), com o indicativo de tipo 1, j que se trata de uma caso antecipado.


55


5.4) AMORTIZAO COMPOSTA: Vamos agora aprender como calcular o valor atual de uma dvida (ou de um emprstimo, ou o valor vista de uma mercadoria) , que ser paga em prestaes peridicas constantes, sobre as quais incide a mesma taxa. 5.4.1) Valor Atual de uma Renda Imediata (Postecipada) o nosso modelo bsico, como no captulo anterior, todos os demais casos recairo nesse. Para determinar o valor atual de uma dvida a ser amortizada em n parcelas iguais e peridicas postecipadas, basta retroagir cada parcela data zero, como fizemos nos fluxos de caixa dos descontos compostos. Vejamos um exemplo introdutrio, antes de estudarmos uma maneira mais prtica com as tabelas especficas para este caso. Vamos determinar o valor da dvida que est sendo amortizada em 5 prestaes mensais de R$1000,00, postecipadas, sob taxa de 2% ao ms, sobre o saldo devedor. Analisemos o fluxo de caixa desta situao: A=?

0

1

2

3

4

5

1000 1000 1000 1000 1000

Retroagindo data zero, como j estudamos anteriormente, teremos: A= 1000 .1,02 1 + 1000.1,02 - 2 + 1000.1,02 - 3 + 1000.1,02 - 4 + 1000.1,02 - 5 Consultando a tabela 2, de desconto composto, teremos: A = 980,39 + 961,17 + 942,32 + 933,85 + 905,73 = 4713,46 OBS: Verifique que, da mesma forma que na capitalizao composta, poderamos ter colocado em evidncia o termo 1000, e os valores que apareceriam somados entre parnteses constituiriam tambm uma PG. Estas somas das PGs que se obtm tambm se encontram tabeladas (Tabela 4) e so denominadas fatores de amortizao (Smbolo ni ). Generalizando o que vimos no exemplo introdutrio deste captulo, para pagamentos postecipados e peridicos sob taxa i%, teremos A = T . F -1 + F -2 + F -3 + ....F -n = T.

a

n

ani

(

)

Se ns calcularmos a soma dos termos da PG que surgiu entre parnteses, aplicando a frmula respectiva, obteremos:


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ani =

Fn - 1 i . Fn

Voc no precisa decorar esta ltima frmula apresentada, mas ela ser til para obtermos fatores de amortizao no tabelados. Exemplos: 1) Qual a quantia amortizada aps o pagamento de 20 prestaes de R$300,00, num financiamento pelo modelo Price (modelo bsico postecipado), base de 6% ao ms? Soluo: Tabela 4, n=20 e i =6% A = T.

ani = 300 . 11,469921 = 3440,98

A soluo pela HP-12C, seria: Colocar a mquina na operao pelo modelo postecipado g END. (nada aparecer no visor, j que este o padro). 300 [CHS] PMT 6 i 20 n PV = ? 3440,98 Na planilha Excel, teramos que escolher a funo financeira VALOR PRESENTE VP. Com a digitao do zero na opo tipo, j que estamos diante de um modelo postecipado.

2) Uma pessoa obteve um emprstimo de R$ 100 000,00 para ser pago em 8 prestaes iguais, mensais e postecipadas , sob taxa de juro composto de 7% ao ms. Qual o valor de cada prestao? T. an i = 100 000 Soluo: ou T . 16,628251 = 100 000Prof. Ilydio Pereira de S Tbua 4, para 7% e n = 8

57


T = 100 000 : 5,9713 = 1674,68 As prestaes sero de R$ 1674,68 Na HP-12C, teramos: 100 000 [CHS] PV 8 n 7 i PMT = ? 1674,68 Na planilha Excel, teremos agora que escolher a funo financeira PAGAMENTO (PGTO).

3) Uma copiadora est sendo vendida por R$10 000,00 vista ou em 10 prestaes mensais, iguais e consecutivas (Price) de R$ 1404,00, sem entrada. Qual a taxa de juro mensal desse financiamento?

1404 .

Se voc procurar este valor na tabela 4, na linha correspondente a n=10, no encontrar e ter de fazer um clculo aproximado, que a interpolao linear. A interpolao linear feita atravs de Regra de trs, formada a partir das diferenas entre os valores da tabela, adjacentes ao valor procurado. 6% i% 7% 7,360087 7,122507 7,023581

ani = 10 000 : 1404 = 7,122507

ani = 10 000, logo

Soluo:

Teremos, ento a seguinte regra de trs das diferenas: 1% ___________ 0,336506 (7,360087 - 7,023581) x ____________ 0,237580 (7,360087 - 7,122507) x = 0,237580 : 0,336506 = 0,71Prof. Ilydio Pereira de S 58


Logo, a taxa procurada de aproximadamente 6,71% ao ms (6% + 0,71%). claro, que na HP-12C, teramos um clculo direto, bastando fazer: 10 000 [CHS] PV 10 n 1404 PMT i = ? 6,70 % Na planilha Excel, teremos a opo da escolha da funo TAXA.

5.4.2) Valor Atual de uma Renda Antecipada: Se os pagamentos de cada parcela forem efetuados no incio de cada perodo , teremos uma renda antecipada e valem as mesmas consideraes do montante da renda antecipada, ou seja, o clculo que vimos anteriormente dever ser multiplicado pelo fator de correo F, correspondente taxa do financiamento. Aant = T .

ani . F

2000 = T. ani . 1,04 , logo , teremos: 2000 = T . 2,775091 . 1,04 ou T = 2000 : 2,88609 = 692,98

Exemplo: Uma geladeira pode ser comprada vista por R$2000,00 ou em 3 prestaes mensais iguais , sendo que a primeira delas paga no ato da compra. Se o vendedor cobra juros de 4% ao ms, sobre o saldo devedor, o valor de cada prestao ser: Soluo: Como se trata de renda antecipada, teremos:

Na HP-12C, mais uma vez, colocaramos a mquina em operao no modo antecipado (g BEG), em seguida, teclando: 2000 [CHS] PV 3 n 4 iProf. Ilydio Pereira de S 59


PMT = ? 692,98 Na HP-12C, teremos de escolher a funo PAGAMENTO (PGTO), com a identificao do cdigo 1, para o item tipo, j que agora estamos diante de uma renda ANTECIPADA.

5.4.3) Valor Atual de uma Renda Diferida: Quando uma compra ou emprstimo tem uma carncia de k perodos , ou seja, o primeiro pagamento efetuado no perodo k + 1, devemos calcular o valor atual como se a data zero (focal) fosse o perodo k, em seguida devemos retroagir ao k zero original, bastando dividir o valor obtido por F . Adif = A A

T.an i Fk

0

.....

k

k+1

k+2

k+3

T T T Obs: Tome cuidado para no confundir o prazo de carncia com a data do primeiro pagamento. Por exemplo, se o primeiro pagamento for efetuado 6 meses aps a compra, com pagamentos mensais, a carncia ser de 5 meses, pois o que nos serve como comparao o modelo bsico e, nele, o primeiro pagamento seria efetuado 1 ms aps a compra e a carncia ser igual a 5 meses que a diferena entre 6 e 1. Exemplo: Uma compra foi efetuada em 4 parcelas de R$500,00, com o primeiro pagamento feito a 3 meses da compra, sob taxa de 20% ao ms. Qual o valor vista , na data da compra?


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Soluo: uma compra com carncia de 2 meses, logo, faremos o clculo normal do valor 2 atual na data 3, com n=4 e i = 20%, depois dividimos o resultado pelo fator (1,2) . A = 500 .

ani = 500 . 2,588734 (Tabela 4) = 1294,372

A = 1294,37 : (1,2) = 898,87 EXERCCIOS(CAPITALIZAO E AMORTIZAO

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