1

1

Capítulo I

Razão

Propriedade fundamental

Sejam a,b,c e d números reais diferentes de zero, tais que:

d

c

b

a ad = cb

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Série de razões iguais

n

m...

f

e

d

c

b

a

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla.

Propriedade Fundamental

n

m...

d

c

b

a

n...db

m...ca

Exemplos

1) Calcule x, y e z, sabendo que 15

z

11

y

9

x e x+y+z=420.

15

z

11

y

9

x

15119

zyx

como x+y+z=420, podemos escrever:

15

zou

11

you

9

x

35

420 108x

9

x

35

420

2

2

132y11

y

35

420

180z15

z

35

420

Exercícios

1) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e

que a razão entre eles é 3

2.

r 24 e 36

2) Calcule a, b e c, sabendo que a+b+c=180 e 135

cba .100,60 e 20

3) Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 5

8. Quais são esses números?

R:32 e 20

4) A soma de três números é igual 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre

esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? R:184,115 e 256

Capítulo II

3

3

Divisão Proporcional

Regra de Sociedade

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros

números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a

esses números.

Divisão em partes diretamente proporcionais.

Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais 2 , 5 e 11.

Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja

igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela para o número 11. Assim,

chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas, devemos verificar que:

11

z

5

y

2

x como x+y+z=180

mas 11

z

5

y

2

x

1152

zyx

ou

11

z

5

y

2

x

18

180 daí :

20x102

x e 50y10

5

y e 110z10

11

z

Sendo 20+50+110+180, concluímos que as partes procuradas são: 20,50 e 110.

Divisão em partes inversamente proporcionais.

Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3,

5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6, isto é,

determinar parcelas x, y e z, tais que:

6

1

z

5

1

y

3

1

x como o m.m.c. (3,5,6)=30 temos: 1030

3

1 e 630

5

1 e 530

6

1

4

4

Logo:

5z

6y

10x

210 sendo

210zyx

5

z

6

y

10

x

então k= 10k21

210 então x=100, y=60 e z=50

Exercícios:

1) Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5.

r:14,21 e 35

2) Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11. R:650, 910 e 1430

3) Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 4

3

3

2,

2

1e . R:48,64 e 72

4) Divida o número 260 em partes inversamente

proporcionais aos números 2, 3 e 4.

. R: 120,80 e 60

5) Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e 3, 5 ,7. r 48, 120 e 224

6) Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas por dia; o

segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto

recebeu cada um deles? R: 675,750 e 1125

5

5

7) Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720,00 para ser repartido entre três herdeiros, ao

mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 4

3 e inversamente a

5

3,

3

2 e

3

1. Quanto

recebeu cada um?R:6480,00 ,12.000 e 3.240,00

8) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00, R$ 22.500,00 e R$ 27.000,00 e

obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será a parte de cada um? R:7200, 9000 e 10.800,00

Capítulo III

Regra de Três

Definição:

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é diretamente ou

inversamente proporcional a uma ou mais grandeza.

Regra de Três Simples

Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos

valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao

segundo valor da primeira.

Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas

W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X

Y

= K e

W

Z

= K

assim

X

Y

=

W

Z

Exemplos:

1) Comprei 6m de tecido por R$126,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?

Comprimento Preço

6

6

6 126 168xx

126

8

6 Logo, o preço procurado é :

8 x R$168,00

Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter

uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas

grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de

proporcionalidade K.

A · B = K e C · D = K

segue que

A · B = C · D

logo

A

C

=

D

B

Exemplos

1) Um total 3000 insetos destrói uma

lavoura em 18 horas. Em quantas horas

3600 insetos destruiriam a mesma lavoura?

Regra de Três Composta.

Na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Neste caso, de cada

grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, qual é dado apenas um valor, relacionando

com um dos valores de cada uma das outras grandezas.

7

7

Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais,

inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que

a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os

valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2,

D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo

lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se

conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?

Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1

Z2

=

A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a

letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada

de posição com B2:

Z1

Z2

=

A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que

aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z

aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C

diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z,

deveremos resolver a proporção:

Z1

Z2

=

A1 · B2 · C1 · D2

A2 · B1 · C2 · D1

8

8

Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente

proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista

geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais às

primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?

Resolução:

Número de exemplares Rotativas Tempo

87.500 5

56

350.000 7 x

Invertendo os valores da segunda grandeza, vem:

Exemplares Rotativas Tempo

87.500 7 56

350.000 5 x

O que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras:

5350000

78750056

x , Daí: x=160 minutos ou 2h e 40minutos.

Exercícios

1) Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias,

em quantos dias 20 operários fariam a mesma

obra?

R:3 dias

2) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias ?

R:1463

3) Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam empregados

para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia?

R: 9 dias

9

9

4) Em um navio com tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempo durarão os

viveres se o navio recebe mais 100 marinheiros?

R: 40 DIAS

5) Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilogramas de pão

serão consumidos em 5 dias, estando duas pessoas ausentes?

R: 5 k

6) Quinze homens, trabalhando 8 h diárias, cavaram um poço de 400 3m em 10 dias. Quantos homens

devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h diárias, cavem os 600 3m restantes?

R: 5 homens

7) Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas

condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 horas por dia?

R: 18 dias

8) Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h

gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual ?

R: 12 dias

9) Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias?

R: 30 tratores.

10) Uma lebre está 80 m a frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão

percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre?R: 840 m

Capitulo IV

Porcentagem

Introdução:

Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 ela é chamada razão centesimal.

Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada principalmente no universo

econômico-financeiro, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos : por cento).

%80100

80 Esse numeral 80% e denominado taxa percentual ou centesimal.

Elementos do Cálculo Percentual:

Vimos que:

100

80

15

12

Neste exemplo chamado o 12 de percentagem, o 15 de principal, e o 80 de taxa, temos:

100

taxa

pricipal

mpercentage ou

T

pr

100

T

pi

Daí, obtemos as seguintes definições:

Taxa é o valor que representa a quantidade de unidade tomada em cada 100

10

10

Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa

Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem

Taxa Unitária

Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:

%25100

25

Porém, na resolução de muitas questões, e mais prático (e, algumas vezes, necessário) tomarmos como

valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária. Assim:

25,0100

25

Exercícios:

1. Qual a taxa unitária correspondente a 3,095%? i=0,03095

2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,34? r=34%

3. Calcule 20% de 12%. P= 2,4%

4. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com lucro de 12% sobre esse valor. Quanto ganhou? R$

64,80

5. Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 14 ha. Qual a área total do terreno? R:20 há

6. Em uma turma de 60 alunos, foram reprovados 9. Quantos por cento dos alunos foram aprovados? 85% de

aprovados

7. Em um colégio compareceram 95% dos alunos, tendo faltado 35 alunos. Determine o número de alunos

do colégio.

8. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 750,00 para obter um lucro de 30%? R=975

9. De quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de

92.400 habitantes? R=37,5%

10. Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são os meninos?

R=450

11. Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da

cidade, se o número de crianças é de 8.000? r=32.000

12. Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 1.600,00 e uma de

R$ 1.800,00. Qual o preço da mercadoria? R=8800

13. Um comerciante comprou 120 aparelhos a R$ 880,00 cada um. Vendeu a metade a R$1050,00 e o restante

a R$ 1.232,00. De quantos por cento foi o lucro? R=29,66%

14. Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117

aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% de aproveitamento. Determine

quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram reprovados no segundo.

R=650 cand e 273 repro.

11

11

15. Uma prova de ciclismo foi realizada em duas etapas. Dos participantes que iniciaram a competição, 5

1

desistiu durante a 1.ª etapa. Dos restantes, que iniciaram a 2.ª etapa, 3

1 também desistiu, sendo que a

prova se encerrou com apenas 24 ciclistas participantes. Então, no início da 1.ª etapa da prova, o número

de ciclistas participantes era? R=45

16. A taxa de fumantes de uma cidade é 32%. Se 25% dos fumantes deixarem de fumar, o número de

fumantes ficara reduzido a 13200. Calcule:

a) O número de fumantes da cidade.

b) O número de habitantes da cidade. R :55000

17. Em uma população com 10.000 pessoas, 13% são fumantes e destes, 90% sofrem de problemas

pulmonares. Determine o número de fumantes que não sofrem de problemas pulmonares. R:130

Capítulo V

Operações Sobre Mercadoria

VENDAS COM LUCRO

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o

preço de venda.

Sobre o preço de custo

Consideremos o seguinte problema:

Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de

custo, sabendo que essas mercadorias foram vendidas por R$ 702,00?

Chamando de

lucro do unitária taxaa i

lucro o L

custo de preço o C

vendade preço o V

Vem: V=C+L

Como:

L= Ci

Temos:

V=C + Ci

Logo:

12

12

V= (1+i)C

Que nos dão preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo.

Exemplo:

Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de custo, qual deve

ser o preço de venda?

Sobre o preço de Venda

Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser este

preço?

Fórmula:

Chamando de

lucro do unitária taxaa i

lucro o L

custo de preço o C

vendade preço o V

Vem: V=C+L

Como:

L= Vi

Temos:

V=C + Vi

Logo:

V- Vi =C V(1-i)=C

Logo:

i

CV

1

Que nos dão preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda.

Exercícios

1)Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650,00. Por

quanto deverá revendê-la para obter um lucro de 30%? V=845

2) Um aparelho de som foi vendido por R$ 360,00. Qual o lucro obtido,

sabendo que o mesmo foi calculado na base de 25%?

Lucro. L=72,00

3) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi revendido por R$ 104,00. Qual

foi a taxa pelo qual se calculou o lucro sobre o preço de custo?

13

13

4) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para

ganhar 20% sobre o preço de venda? R:50

VENDAS COM PREJUÍZO

Sobre o preço de Custo.

Considere o seguinte problema:

Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$

30,00, qual foi o preço de venda?

Chamando de PJ o prejuízo, vem:

V=C-PJ

Como:

PJ= iC

Temos:

V=C- iC

Logo: V=(1-i)C

.

Exemplo:

Uma pessoa, tendo adquirido um relógio por R$ 125,00, só

conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o preço

de custo. Por quanto vendeu o relógio?

Lucro sobre a venda

Sobre o preço de Venda.

Uma casa que custa R$ 96.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o

preço de venda.

Fórmula:

V=C-PJ

Como:

PJ= iV

Temos:

V=C- iV

14

14

V+ iV =C

V(v+i)=C

Logo: i

CV

1

Exercícios de revisão:

1) Um objeto que custa R$ 558,00 foi vendido com um

prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor

apurado na venda?

2) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00

com prejuízo de 20% sobre o preço de custo?

3) Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$

36,00. Quanto havia custado?

4) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre o

preço de venda, quanto custou esse carro? R:9775

5) Um objeto foi vendido por R$ 701,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado? R:

876,25

6) Uma casa foi vendida por R$ 250.000,00, dando um lucro de 15% sobre o venda. Quanto havia custado?

7) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450,00, tendo uma perda de 15% sobre o

preço de compra? R: 382,50

8) Vendi um objeto por R$ 280,00, com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Por quanto comprei?

R:224

9) O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas

duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em

2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa

G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu,

em relação a 2003?

15

15

10) Um número, aumentado de 30% resultou 65. Qual é o número? R: 50

11) O número 80 foi acrescido de 20. De quantos por cento ele foi aumentado? 25%

12) Numa loja, o preço de um determinado modelo de TV é R$ 900,00 e o preço de certo modelo de DVD é

R$ 800,00. Um comprador, ao adquirir os dois aparelhos, obteve descontos nos preços dos dois. Sabendo-

se que obteve 12% de desconto na TV e que pagou no total R$ 1536,00, calcule a taxa de desconto obtida

no DVD. R 7%

13) O aluguel mensal de um apartamento é de R$ 2.500,00 e a despesa de condomínio equivale, a 18% do

aluguel. O pagamento antecipado é premiado com um desconto de 5,5% sobre o total

(aluguel+condomínio). Uma empresa aluga este apartamento para um de seus altos funcionários,

pagando 65% da despesa total. Sabendo que o pagamento é feito antecipadamente, qual é o valor pago

pelo funcionário? R:975,712

Revisão

1) Numa fábrica, 10 máquinas funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 90 000 peças.

Quantos dias serão necessários para que 12 máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzam 192 000

peças? 80

2) Oito máquinas produzem 16000 peças durante 8 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por 4

máquinas, durante 10 horas por dia? R:10.000

3) Uma revista foi impressa com 100 páginas, tendo 36 linhas por página. Se a revista for impressa com 16

linhas a menos em cada página, qual será o número de páginas? R:180

4) Um total 3000 insetos destrói uma lavoura em 18 horas. Em quantas horas 3600 insetos destruiriam a

mesma lavoura? R: 15 horas

5) Sr. Hepaminondas deseja repartir R$ 3330,00 entre seus três sobrinhos em parcelas diretamente

proporcionais às suas idades. Sirtônio tem 15 anos, Berfôncio tem 12 anos e Nastélia tem 10 anos.

Quantos reais cada um receberá? R: R$ 1350; R$ 1080; R$ 900 reais para cada um.

6) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:

a) 35

Xb) 49

c) 56

d) 42

e) 28

7) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se

operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10

dias, o número de peças produzidas seria:

a) 1000

b) 2000

Xc) 4000

d) 5000

16

16

e) 8000

8) Para não se ter prejuízo, o preço de venda de um computador deve ser, no mínimo, 44% superior ao

preço de custo. Se ele for colocado à venda acrescendo-se 80% ao preço de custo, o maior desconto que

pode ser concedido ao cliente modo a não se ter prejuízo é ? R: 20%

9) Divida o numero 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.

R:450,270 e 150

10) Por quanto devo vender um objeto que custou R$ 400,00 pra ganhar 20% sobre o preço de venda? R$

500,00

11) Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5000,00 e ainda ficaria

com R$ 700,00. Quanto tenho? R$ 3800,00

12) Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Se os dois juntos fizeram 720

pontos, quantos pontos fez cada soldado? 420e 300

13) Vendi um objeto por R$ 120,00. Se tivesse vendido por mais R$ 20,00, meu lucro seria de 50% do preço

da nova venda. Qual foi meu lucro? R$ 50,00

14) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao

mês nos últimos meses e continuem assim nos próximos

meses. Calcule:

a) quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje

custa R$ 208,00?

b) quanto custava esse mesmo objeto há um mês?

15) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro, o preço do quilograma de mercadorias num determinado

"sacolão" sofreu um aumento de 275%. Se o preço do quilograma em 10 de novembro era R$67,50, qual

era o preço em 10 de fevereiro?R$ 18,00

16) Um vendedor recebe comissão de 0,5% sobre o preço de venda de cada unidade de certa mercadoria.

Num mês em que o preço de venda de cada unidade era Cr$30.000,00, sua comissão referente a essa

mercadoria foi Cr$255.000,00. Quantas unidades da mercadoria ele vendeu naquele mês? R 1700

17) Um feirante comprou 10 caixas de frutas por R$120,00. Se ele vendeu 4 caixas com lucro de 40%, 3

caixas com lucro de 20%, 2 caixas pelo preço de custo e se uma caixa estragou-se e não foi vendida,

então o seu lucro total na venda dessa fruta, em relação ao preço de compra, foi de? 12%

18) Oito máquinas produzem 16000 peças durante 8 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por 4

máquinas, durante 10 horas por dia? R:10000

17

17

19) Seis costureiras, trabalhando 8 horas por dia, fabricam 12 camisas. Qual é o número de costureiras

necessárias para fabricar 20 camisas em 10 horas por dia? 8 costureiras

20) Um total 3000 insetos destrói uma lavoura em 18 horas. Em quantas horas 3600 insetos destruiriam a

mesma lavoura? 15 horas

21) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é? R:49

22) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se

operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10

dias, o número de peças produzidas seria? R: 4000

23) Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma habilidade digitou o equivalente a 324 páginas. Nas

mesmas condições, se o número de secretárias fosse 50, em quantos minutos teoricamente elas digitaram

600 páginas? R:34 minutos e 29 segundos

24) A população de pobres de um certo país, em 1981, era de 4.400.000, correspondendo a 22% da

população total. Em 2001, este número aumentou para 5.400.000, correspondendo a 20% da população

total. Indique a variação percentual da população do país no período. R:35%

25) Um depósito de água tem a seguinte propriedade: quando está 40% vazio, o volume de água excede em

40 litros o volume de quando o reservatório está 40% cheio. Qual a capacidade do reservatório? 200

litros

26) Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço de quatro

canetas por três reais. Qual o lucro percentual do vendedor? R :5%

27) Um comerciante vendeu um produto X por R$ 230,00, obtendo um lucro de 15%, e um produto Y por

R$ 100,00, obtendo um lucro de 25%. Com a venda dos dois produtos ele teve um lucro de,

aproximadamente? 18%

28) Um comerciante deseja realizar uma grande liquidação anunciando 20% de desconto em todos os

produtos. Para evitar prejuízo o comerciante remarca os produtos antes da liquidação. De que taxa R

devem ser aumentados os produtos para que, depois do desconto, o comerciante receba o valor inicial das

mercadorias? R:25%

29) (Fuvest) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros,

dos quais 25% são de leite natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta

mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural? R:50 litros

31) (Unesp) A razão entre o número de homens e o de mulheres com curso universitário completo numa

certa cidade é 3/2. Se 24% da população dessa cidade têm curso universitário completo, determinar a

porcentagem de mulheres nessa cidade que têm o nível de escolaridade considerado. 9,6%

33) (Unicamp) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras

polares e flutuam nos oceanos. Suponha que a parte não submersa de um iceberg corresponde a 8/9 de seu

volume total e que o volume da parte submersa é de 135.000 3m

a) Calcule o volume total do iceberg. R:1.215.000 m3

b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de

"impurezas", como matéria orgânica, ar e minerais. R:1.190.700 m3

18

18

34) (Unicamp) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos últimos meses e continuem

assim nos próximos meses. Calcule:

a) quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa CR$273,00; R:416,37

b) quanto custava esse mesmo objeto há um mês. R: 210,00

Capítulo VII

Juros Simples

Introdução:

Antes de iniciar o estudo dos juros simples, há necessidade de que se recordem algumas noções básicas em

matemática financeira. São elas:

1o Capitalizar: é a maneira segundo a qual “armazenamos” um certo capital.

2o Juros: Correspondem ao “aluguel” de capital, aplicado a uma certa taxa e durante um determinado

prazo.

3o

Montante : E a soma do capital com os juros.

4o Capitalização simples: é aquele onde o único capital a produzir juros, durante todo o período de

capitalização, é o inicial.

5o Capitalização composta: é aquele onde o juro obtido no 1

o período somam-se ao capital inicial,

produzindo novos juros. E assim , sucessivamente.

Estudo dos Juros Simples

Juro é a remuneração do capital empregado. Quando aplicamos durante um período de tempo

(n),esperamos obter um rendimento (R). Após esse período, o capital se transformará em um valor

capitalizado (montante) que será o capital aplicado acrescido do rendimento obtido durante o período de

aplicação.

Os juros simples são calculados através do produto direto entre o capital, a taxa e tempo.

J = C.i.n

simples juros J

(tempo) períodos de número n

juros de

Pr

taxai

esenteValorcapitalC

Obs.

Taxa e tempo, deverão sempre ser usados na mesma unidade de medida.

19

19

A taxa representa uma porcentagem, portanto uma parte de um inteiro. Ela será utilizada nos cálculos

sempre dividida por 100.

Exemplos:

Forma Percentual Forma Fracional

20% 20,0100

20

10% 10,0100

10

1% 01,0100

1

0,3% 003,0100

3,0

Exemplos de aplicação

1-Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado por dois anos à taxa de

2% a.m. Calcular o rendimento da aplicação.

Dados:

C= 3000,00 n= 2 anos i= 25% a. a. J= ?

20

20

Solução: 225,03000 J

J=1.500,00

O rendimento da aplicação foi de R$1.500,00 no prazo de 2 anos.

2) Qual taxa de juros cobrada num financiamento de R$3.000,00 a ser

resgatado por R$3.600,00 no final de dois anos ?

Dados:

C=3.0000,00 M= 3.600,00 n= 2 anos i= ?

Solução:

M= C+J J=M-C J=3.600,00-3.000,00=600

J=C.i.n nC

ji

.

23000

600

i =0,1 ou 10% ao ano.

A taxa foi de 10% ao ano.

3) Durante quanto tempo o capital de R$ 2.000,00 renderá R$

1.200,00 de juros a uma taxa de 6% a.a.?

Dados:

21

21

C=2.000,00 J= 1.200,00 i= 6%a.a. =0,06 n=?

iC

jn

10

06,02000

200.1

n

n= 10 anos

Equação do montante

Valor Futuro

Sabemos que M=C+J

Mas J=C.i.n então M=C+C.i.n

Então

M=C(1+i.n)

Taxas Proporcionais

Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os seus

respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.

Assim, sendo teremos:

Exemplos:

1) Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 24% a.a.

2

2

1

1

n

i

n

i

2

2

1

1

n

i

n

i

22

22

a.m. %212

24

11

1 ii

Exercício

1) Ache a taxa mensal,trimestral, semestral e anual proporcional a:

a) 12 % a.t. c) 0,1% a.d.

b) 18% a.s. d) 36% a.a.

Taxas Equivalentes

Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo

período de tempo, produzem juros iguais.

Exemplos

Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:

a) taxa de 2% ao mês, durante 36 meses

b) taxa de 24% a .a., durante 3 anos.

Solução:

a) J= J =C.i.n

C= R$ 1.000,00 J=1000.0,02.36

i=2% a. m. J= 720,00

n= 36 meses

b) J=

23

23

C= R$ 1.000,00 J=C.i.n

i= 24% a .a . J=1000.0,24.3

n= 3 anos J=720,00

Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a .m. é uma taxa equivalente a 24% a .a

Exercícios:

2) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00 empregado à taxa de 6% a.a

. em 2 anos. R$ 120,00

3) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a

taxa anual. R:86,4%a.a

4) Determine o tempo após o qual um capital, aplicado à taxa de 20% a.a., triplica de valor.

r: 10 anos

5) Aplicando R$ 80.000,00 durante 17 meses, resgatamos R$ 140.000,00. Qual a taxa anual

de juros?

6) Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 1.750,00. Se o pagamento for à vista, a loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga 20% à vista e o restante em quatro prestações, sofrendo um aumento de 18% sobre a parte relativa às prestações.

a) Qual o preço à vista da televisão?

b) Qual o valor de cada prestação?

24

24

7) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 5

2 do seu valor? 100meses

8) Uma loja está vendendo uma câmara fotográfica digital por R$ 1.270,00 à vista, ou por R$ 1.350,00

divididos em duas parcelas , sendo que a parcela menor dada como entrada, no ato da compra, é igual à

quarta parte da parcela maior, que deverá ser paga 60 dias após a data da compra. No caso da venda

parcelada, a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja é? R: 4%

9) Certo capital foi aplicado a uma taxa de juro simples de 2,5% ao mês, durante um determinado período,

rendendo, de juros, ao final da aplicação, uma quantia igual a ¼ do capital inicial aplicado. Conclui-se que

esse capital ficou aplicado durante quantos meses? R:10 meses

9) Uma loja vende um liquidificador por R$16,00 para pagamento à vista ou em duas prestações fixas de

R$9, 00, uma de entrada e outra para 30 dias. A taxa de juros mensais cobrada pela firma está no intervalo:

a) de 10% a 14% ao mês

b) de 15% a 19% ao mês

c) de 20% a 24% ao mês

xd) de 25% a 29% ao mês

e) de mais de 30% ao mês

25

25

10) Uma loja oferece duas formas de pagamento a seus clientes: 10% de

desconto sobre o preço anunciado se o pagamento for à vista, ou o preço

anunciado, dividido em duas parcelas iguais: a primeira no ato da compra

e a segunda no trigésimo dia após a compra. A taxa mensal de juros

efetivamente cobrada, em um objeto que custa R$ 1.000,00 é?

a) 10 %

b) 15 %

xc) 25 %

d) 30 %

e) 50 %

11) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$74,20. A

taxa de juros cobrada foi de:

a) 0,6% ao mês

b) 4,2% ao mês

xc) 6% ao mês

d) 42% ao mês

e) 60% ao mês

26

26

Daniela comprou um exaustor e vai pagá-lo em duas

prestações: a primeira, de R$180,00 um mês após a compra, e

a segunda, de R$200,00, dois meses após a compra. Sabendo-

se que estão sendo cobrados juros de 25% ao mês sobre o

saldo devedor, podemos afirmar que o preço á vista do

exaustor era de ?

a) R$ 138,00

b) R$ 237,50

xc) R$ 272,00

d) R$ 285,00

e) R$ 304,00

13) Uma loja tem os dois seguintes planos de venda:

I - à vista, com 30% de desconto;

II - em duas parcelas iguais sem aumento de preço (a 1ª paga no ato da compra e a 2ª um mês após).

A taxa de juros ao mês cobrada por essa loja no plano II é de:

a) 15%

b) 30%

c) 60%

d) 100%

27

27

xe) 150%

14) A rede de lojas Sistrepa vende por crediário com uma taxa de juros mensal de 10%.

Certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de

pagamento: R$100,00 de entrada, uma prestação de R$240,00 a ser paga em 30 dias e outra de

R$220,00 a ser paga em 60 dias.

Determine P, o valor de venda à vista dessa mercadoria. P = 500

Uma loja vende um equipamento digital por R$ 1.550,00 à vista,

ou por R$ 1.925,00 divididos em duas parcelas, R$ 300,00

de entrada no ato da compra, e outra de R$ 1625,00 que deverá

ser paga 60 dias após a data da compra. No caso da venda

parcelada qual a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja?