Apostila de Matemática Modulo 01 Exemplo de Formatação

Matemática

Valorizar para Transformar

Conjuntos 1

A B 4

3 6

7

5

EXEMPLO 1

Conjuntos

Um conjunto é apenas uma coleção de objetos, chamadas de elemento. Para a descrição de um conjunto são uti-

lizados dois recursos principais:

1º Enumeração

Quando escrevemos entre chaves, os elementos formadores do conjunto.

A={1, 2, 3, 4, 5} B={2, 3, 5, 7, 11, ...}

2º Propriedade

Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto.

A={ x | x é divisor inteiro de 5}⟹ A={-5, -1, 1, 5} B={ x | x é vogal}⟹ B={a, e, i, o, u}

Unitário ={1} Vazio ={} Universo = {

1.1 Diagrama de Euler-Venn

Representação gráfica de conjuntos, ficando um bom modo de visualizamos suas relações. O diagrama é formado por

regiões plano interiores e uma curva fechada e simples.

A = {1, 3, 5, 7}

1.2 Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também

estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de

conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o con-

junto B é o superconjunto que contém A.

Consideremos dois conjuntos A e B. Diremos que A é subconjunto de B, se e somente se, todo elemento de A é

também elemento de B.

A = {5 ,7}

B = {3, 4, 6}

A ⊂ B (lê-se: “A está contido em B”)

B ⊃ A (lê-se: “B contém A”)

A é parte de B

Considerações Importantes

1º Todo conjunto é subconjunto dele mesmo (A ⊂ A)

2º ∅ é subconjunto de qualquer conjunto (∅ ⊂ A)

3º Se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B

Conjuntos das partes Consideramos um conjunto A. Ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A daremos o nome de conjunto das

partes de A, P(A) = { x | x ⊂ A}O total de subconjuntos que poderemos formar a partir de um conjunto constituído por n

elementos é dado pela fórmula 2n.

Se A = {a, b}, então, P(A) = {{a}, {b}, {a,b}, ∅}

Se {a} ⊂ A, logo {a} ∈ P(A)

1 3

4 5

55

7

5

2 Conjuntos

Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 3

EXEMPLO 2

EXEMPLO 4

Igualdade Dois conjuntos A e B são iguais quando tem os mesmos elementos. Isto é, quando todo elemento de A pertence a

B e todo elemento de B pertence a A.

Operações com conjuntos

União

A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B composto dos elementos que

pertencem ao menos a um dos conjuntos A e B.

Em diagramas temos Se A = {1, 2, 3, 5} e B = {2, 5, 6}, então A ∪ B ={1, 2, 3, 5, 6}

Se A = {1, 2, 4} e B = {0, 3, 5}, então A ∪ B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}

Se A = {1, 3, 4, 6} e B = {1, 4}, então A ∪ B ={1, 3, 4, 6} = A

PROPRIEDADES 1º A ∪ A = A

2º A ∪ ∅ = A

3º A ∪ B = B ∪ A

Intersecção

Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∩ B composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos

dois conjuntos A e B.

Em diagramas temos:

Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos:

A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos:

B ∩ C = { } ou B ∩ C =∅, então B e C são conjuntos distintos.

A B

U

.6

.9

8.

.5

4.

.2 1.

.3

.0

.-9

-7 . -8 .

C

-3 . -4 .

.-6 -5 .

B

http://pt.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Interse%C3%A7%C3%A3o

Matemática


Conjuntos 3

EXEMPLO 5

EXEMPLO 6

EXEMPLO 7

Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim:

E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que E ⊂ D.

1.3 Diferença

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos

de A que não pertencem a B.

O conjunto diferença é representado por A – B.

A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} a diferença dos conjuntos é:

A – B = {1, 2, 3, 4, 5}

1.4 Complementar

Se A é Subconjunto de B, a diferença B – A é dita complementar de A em relação a B (CB A)

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}, a diferença dos conjuntos é:

A – B = {1, 2, 3, 4}. Como B ∁ A podemos escrever em forma de complementar:

A – B = CA B = {1, 2, 3, 4}.

Números de elementos da união de conjuntos

Com dois conjuntos da união de conjuntos

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

D

4 .

.5

.4 3.

.5

E

A B

U

CB A B

U A

A B

U

A

1 .

3 .

2.

1

3 .

.4 5.

2.

B

8.

3 .

2.

1

9.

.10

4 Conjuntos

Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 8

EXEMPLO 9

Com dois conjuntos não distintos

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Numa classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre Ecologia, tendo sido indicado dois livros sobre o

assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. Pergunta-se:

a. Quantos alunos consultaram os dois livros?

b. Quantos alunos consultaram apenas o livro A?

Solução

a. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

48 = 26 + 28 - n(A ∩ B)

n(A ∩ B) = 6

Os livros A e B foram consultados por 6 alunos.

b. Entre 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B, logo o

número de alunos que consultaram apenas o livro A é 26 – 6 = 20.

Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes da

tabela abaixo:

Jornais A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum

Leitores 300 250 200 70 65 105 40 150

Pergunta-se:

a. Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?

b. Quantas pessoas lêem apenas o jornal A ou B?

c. Quantas pessoas não lêem apenas o jornal C?

d. Quantas pessoas foram consultadas?

Solução

Para resolver o problema iremos utilizar os diagramas.

Em A ∩ B ∩ C colocaremos 40 e na região complementar de A ∪ B ∪ C, 150

Como n (A ∩ B) = 70 elementos e já foram colocados 40, restam 30 elementos para completar a região A ∩ B.

Da mesma forma:

n(A ∩ C) – 40 = 65 – 40 = 25

n(B ∩ C) – 40 = 105 – 40 = 65

Para completar o conjunto A, devemos colocar:

300 – (30 + 40 + 25) = 300 – 95 = 25

Da mesma forma:

n( B ) – 135 = 115

n( C ) – 130 = 70

Agora, consultando o diagrama, podemos responder as questões.

a. 205 pessoas lêem apenas o jornal A.

b. 205 + 30 + 40 + 25 + 65 + 115 = 480 ou n(A ∪ B) = n(A) + n(B) + n(A ∩ B) = 300 + 250 + -70 = 480, pes-

soas lêem jornal C ou B.

c. 205 + 30 + 115 + 150 = 500 pessoas não lêem o jornal C.

d. 205 + 115 + 70 + 30 + 25 + 65 + 40 + 150 = 700 pessoas que foram consultadas.

A B

U

A ∩

B

A B

U

40

150

C

A B

U

40

150

C

25 65

30

A B

U

40

15

0

C

25 65

30 20

5

11

5

7

0

Matemática


Conjuntos 5

Exercícios 1. Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4},

B = {0, -1} e C = {-2, -3, -4}, escreva os con-

juntos:

a. ∁AB

b. ∁AC

c. ∁BA

d. ∁CA

2. Sendo A = [1, 3[, B = R+ e C = [2, 3], determi-ne: a. (A U B) U CA U (B U C)

b. A – C

c. A (B U C)

d. (A B) U (A C)

e. (A U B) – C

3. USP-SP - Depois de n dias de férias, um es-

tudante observa que:

a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;

b) quando chove de manhã não chove à tarde;

c) houve 5 tardes sem chuva;

d) houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:

a. 7

b. 8

c. 9

d. 10

e. 11

4. 52 pessoas discutem a preferência por dois

produtos A e B, entre outros e conclui-se que

o número de pessoas que gostavam de B era:

I - O quádruplo do número de pessoas que

gostavam de A e B;

II - O dobro do número de pessoas que gosta-

vam de A;

III - A metade do número de pessoas que não

gostavam de A nem de B.

Nestas condições, o número de pessoas que

não gostavam dos dois produtos é igual a:

a. 48

b. 35

c. 36

d. 47

e. 37

5. UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao

Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11,

Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Ma-

naus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram tam-

bém São Paulo. O número de estudantes que

visitaram Manaus ou São Paulo foi:

a. 29

b. 24

c. 11

d. 8

e. 5

6. 4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 al-

ternativas em que uma única é verdadeira, re-

ferindo-se à data de nascimento de um famo-

so escritor, apresenta as seguintes alternati-

vas:

A)século XIX

B)século XX

C)antes de 1860

D)depois de 1830

E)nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:

a. A

b. B

c. C

d. D

e. E 7. Considerando os conjuntos: A = {0, 5, 10, 15,

20}, B = {0} e C = {10, 20, 30}, determine os conjuntos:

a) A – B b) A – C c) C – B d) (B – C) A

e) (A – B) C

f) (A – C) U C

8. Sabendo que A = {0, 3, x, 6}, B = {2, 5, 6} e

A ∩ 𝐵 = {5, 6}. Qual é o valor de x?

9. Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2}, C = {4, 5, 6} e D = {2, 4}, determinem os conjun-

tos:

a) A B

b) C D

c) A U D d) B U C e) A B C

f) A U C U D

6 Conjuntos

Matemática

Valorizar para

Transformar

FUNDAÇÃO NOKIA DE ENSINO

Sejam A, B e C três conjuntos tais que B –

(A C) = {4, 9} e (A C) B = {3, 8}. Então, o con-

junto B é igual a:

a) {4, 9} b) {3, 8} c) {3, 4, 9} d) {3, 8, 9} e) {3, 4, 8, 9} f)

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2,

3, 4, 5} e C = {-2, -1, 1, 2}, considere as afirmações:

I. CB CA

II. BA CB

III. } 2 {CBA

Podemos afirmar que:

a) Somente I é verdadeira. b) I, II e III são verdadeiras. c) Somente II e III são verdadeiras. d) Todas as afirmações são falsas. e) Somente I e III são verdadeiras.

Sejam A e B dois conjuntos. Se existem elementos de A que pertencem a B, então:

a) A B

b) B A

c) A = B

d) A e B são disjuntos.

e) A B ≠

A única alternativa que não representa o

conjunto sombreado da figura abaixo é:

a) A – b) (A – B) – C c) (A – B) – (C – B) d) (A – C) – B e) A – (B – C)

Uma pesquisa revelou que 3

2 dos alunos de

uma escola praticam algum esporte e, desse total,

9

7 praticam futebol. Os alunos que não praticam

futebol são 260. O total de alunos da escola é: a) 500 b) 520 c) 540 d) 480 e) 460

Sejam os conjuntos A = {x ℤ x2

≤ 4}, B =

{x ℤ 2x – 3 < 0} e C ={x ℤ x2(x – 2)(x + 2) = 0}.

O conjunto A B C é igual a:

a) {-2, 0, 2}

b) {-2, 2}

c) {0, 2}

d) {-2, 0}

e) {0}

Uma pesquisa foi realizada com o universo de 1300 pessoas, objetivando determinar a preferência dessas

pessoas em relação a três programas de uma determinada emissora de TV. Os pesquisadores elaboraram a seguinte

tabela.

Programas A B C A e B A e C B e C A, B e C

Número de telespectadores 800 700 400 500 300 150 70

O número de pessoas pesquisadas que não assistem a qualquer um dos três programas é:

a) 300 b) 280 c) 260 d) 240 e) 200

A B

C

Matemática


7

Conjuntos numéricos

Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os

algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indos-arábicos. No século VII, os

árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

ℕ*= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} *exclusão do zero

Inteiros

. ℤ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Subconjuntos de ℤ

O conjunto de Z possui infinitos subconjuntos entre os quais podemos destacar os seguintes:

Conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4...}

Conjunto dos números inteiros diferentes de zero ou não nulos: ℤ*= ℤ – {0} ou ℤ ×= {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...}

Conjunto dos números inteiros não negativos: ℤ + = {0, 1, 2, 3, 4...}

Conjunto dos números inteiros não positivos: ℤ _ = {... -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos números inteiros negativos: ℤ×- = {... -3, -2, -1}

Conjunto dos números inteiros positivos: ℤ×+ = {1, 2, 3, 4...}

Representação Gráfica

Sobre uma reta r, marcamos o ponto de origem associados ao número zero. Os números inteiros positivos são re-

presentados por pontos à direita da origem e os números inteiros negativos à esquerda. Os pontos representam os

números inteiros, são separados entre si pela mesma unidade:

Números Opostos ou Simétricos

Os números estão a mesma distância do zero.

Valor Absoluto

Valor absoluto ou módulo de um número inteiro relativo é o número natural que o representa, sem o sinal.

Módulo de +3 é 3 ⟹ |+3|= 3 Módulo de -3 é 3 ⟹ |-3|= 3

Racionais

Número racional – é todo o número que pode ser escrito na forma b

a, onde a e b são números inteiros e b≠0.

Assim:

Todo número natural é também um número racional.

a) 1

5 5 b)

1

0 0

Todo número inteiro é também um número racional.

a) 1

5 1 b)

1

3- 3

Todo número fracionário é um número racional.

a) 2

5 b)

2

3 c)

7

2

-∞ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 +∞

8 Conjuntos numéricos

Matemática

Valorizar para

Transformar

Todo número decimal exato é um número racional.

a) 0,3 =10

3 b) -0,25 =

100

25

Todo número decimal periódico é um número racional.

a) 0, 111... = 9

1 b) 0, 2323... =

99

23

Alguns subconjuntos de ℚ

Conjunto dos números naturais: ℕ

Conjunto dos números inteiros relativos: ℤ

Conjunto dos números racionais não nulos: ℚ ×= ℚ - {0}

Conjunto dos números racionais não negativos: ℚ +

Conjunto dos números racionais positivos: ℚ +×

Conjunto dos números racionais não positivos: ℚ _

Conjunto dos números racionais negativos ℚ _×

OBSERVAÇOES

Todo número natural é um número inteiro. Todo número inteiro é um racional.

Logo: ℕ

U

ℤ ℤ

U

ℚ ℕ

U

ℤ

U

ℚ

Operações com Frações

Conversão de frações impróprias para mistas

Operações

Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equiva-

lente à inicial.

Soma

Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. OBS: O menor denomi-

nador comum é o m.m.c. dos denominadores.

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma

maneira se faz com os denominadores.

Divisão

Multiplica-se a fração dividenda pelo inverso da fração divisora.

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido atra-

vés do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

7

3?

5

2

O MMC entre 5 e 7 é 35.

153557

35:14277

5

35

Uma vez igualados os denominadores, pode-se fazer a comparação entre as frações:

7

3

5

2

35

15

35

14

Matemática


Conjuntos numéricos 9

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

EXEMPLO 3

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes

entre si, pois:

5

2

35

14 e

7

3

35

15

Decimais

Decimais exatos

5,02

1 2,0

5

1

Decimais periódicos

...66,13

5 (a) ...166,1

6

7 (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no

exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração

geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos

noves quantos forem os algarismos do período.

3

2

9

6...66,0

3

5

9

15

9

616,01...66,1

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e deno-

minador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos

são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

6

7

90

105

90

151...166,01..166,1

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período

da dízima antes da vírgula, fazemos 10×x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração:

10 × x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9×x = 21 x =9

21.


Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 4

EXEMPLOS 5

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x

= 38,07821821821... (dízima). Após a vírgula, temos os números "07"(dois dígitos) que não fazem parte do período e o

período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100×x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000×x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000×x - 100×x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900×x = 3804014, portanto x =99900

3804014, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão

de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Irracionais

Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são núme-

ros reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo 𝕀.

São números cuja representação decimal tem expansão infinita e não periódica.

2 = 1, 4142135...

3 = 1, 7320508...

Independente do número de casas decimais de cada um destes valores não encontrará valor exato ou periódico pa-

ra tais.

Logo são números irracionais.

...8,7,6,5,3,2

Reais

Conceito

A reunião do conjunto dos números racionais (ℚ) com o conjunto dos números irracionais (𝕀) denomina-se conjunto

dos números reais (ℝ).

ℝ = ℚ ∪ 𝕀

Alguns subconjuntos dos Números Reais

Conjunto dos números naturais: ℕ

Conjunto dos números inteiros relativos: ℤ

Conjunto dos números racionais: ℚ

Conjunto dos números irracionais: 𝕀

Conjunto dos números reais diferentes de zero: ℝ×= ℝ – {0}

Conjunto dos números reais não-negativo: ℝ +

Conjunto dos números reais positivos: ℝ ×+ Conjunto dos números reais não positivos: ℝ _

Conjunto dos números reais negativos: ℝ ×-

1.5 Relações de Pertinência

∈ (Pertence)

∉ (Não Pertence)

⊂ (Está contido)

⊄ (Não está contido)

⊃ (Contém) ⊅ (Não contém)

Conclusão

IRR

AC

ION

AIS

𝕀

RACIONAIS ℚ

INTEIROS ℤ

NATURAIS ℕ

ℤ

REA

IS ℝ

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais

Matemática



Exercícios

1. Qual das informações é verdadeira?

a) é um número racional

b) é um número irracional

c) Todo número racional é um número real d) Todo número racional é um número irracional e) Todo número inteiro é um número natural 2. É verdade que obrigatoriamente:

a) Se x R, então x Q. b) Se x Q, então x Z. c) Se x N, então x Z.

d) Se x Q, então x R.

e) Se x Z, então x N. 3. O número 5 é um número:

a) Inteiro, mas não racional b) Natural, mas não inteiro c) Irracional d) Real porém não inteiro e) Racional 4. Qual a afirmação é verdadeira?

a) Todo número racional é natural b) Existe número irracional que é inteiro c) Todo número real é natural d) Existe número racional que é natural e) Existe número negativo que é natural

5. O valor da expressão , para x=4, é

um número:

a) Irracional, maior que 2 b) Irracional, maior que 1 e menor que 2 c) Racional, maior que 1 e menor 2 d) Racional, maior que 0 e menor que 1 e) É um número natural

6. O valor da expressão

a) É um número irracional b) Não é um número real c) Não é um número racional d) Não pertence ao conjunto N e) É um número inteiro

7. Sabe-se que o produto de dois números irra-

cionais pode ser um número racional. Um e-

xemplo é:

a)

b)

c)

d)

e)

8. Toda dízima periódica é um:

a) Número inteiro b) Número irracional c) Número racional d) Número natural e) Número real 9. A raiz quadrada de um número negativo não

pertence ao conjunto dos números Reais, po-

rém pertence aos racionais:

a)

b)

c)

d)

e)

10. Qual a afirmação verdadeira?

a) é racional e é irracional.

b) é racional e é racional.

c) é irracional e é racional.

d) é irracional e é irracional.

e) é natural e é racional.

11. Qual dentre os conjuntos abaixo é constituído

somente de números irracionais?

a)

b)

c)

d)

e)

12. Qual destes números é irracional?

a)

b)

c)

d)

e)

5

4

x1

4981

4981

369.4

63.2

363.12

31.3

102.5

4 16

53 1255 644 16

10 100

10 100

10 100

10 100

10 100

12,9,6,3

18,16,14,12

21,18,15,12

20,18,16,12

9,7,5,3

25

6

16

9

25

36

49

100

81

4


Matemática

Valorizar para

Transformar

13. (PT) Considere as afirmativas a seguir:

I – Todo inteiro é racional;

II – Existe racional natural;

III – Existe racional inteiro, porém não natural.

Podemos afirmar que:

a) Somente I está correta b) Somente II está correta c) Somente III está correta d) Todas estão corretas e) Todas estão erradas 14. (EPCAR) Qual das proposições abaixo é fal-

sa?

a) Todo número real é racional b) Todo número natural é inteiro c) Todo número irracional é real d) Todo número inteiro é racional e) Todo número natural é racional 15. (PUC-SP) Qual a afirmação é verdadeira?

a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional

b) O produto de dois números irracionais distin-tos é um número irracional

c) O quadrado de um número irracional é um número racional

d) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional

e) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional

16. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e

o irracional y, pode-se dizer que:

a) x.y é irracional b) y.y é irracional c) x+y é racional

d) x-y+ é irracional

e) x+2y é irracional 17. Qual a relação correta envolvendo os conjun-

tos numéricos

a)

b)

c)

d)

e)

18. Considere as seguintes afirmações:

Quantas são verdadeiras?

a) As quatro b) Somente uma

c) Somente duas d) Somente três e) Nenhuma

19. Todas as afirmativas sobre números inteiros

estão corretas, exceto:

a) Nem todo número primo é ímpar b) Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma

, c) Todo inteiro pode ser escrito na forma

,

d) A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um inteiro par

e) Se é um inteiro ímpar, então também é ímpar

20. Assinale a afirmação verdadeira entre as se-

guintes:

a) No conjunto dos números inteiros relativos, exis-te um elemento que é menor do que todos os ou-tros.

b) O número real pode ser representado sob

a forma , onde e são inteiros, .

c) A diferença entre um número racional e um nú-mero irracional é um número irracional. d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real. e) O quadrado de qualquer número real é um nú-mero racional.

21. O número que expressa:

a) A quantidade de habitantes de uma cidade é um

elemento de , mas não de N.

b) A medida da altura de uma pessoa é um ele-mento de N.

c) a velocidade média de um veículo é um elemen-

to de Q, mas não de .

d) O valor pago, em reais, por um sorvete é um e-

lemento de .

e) A medida do lado de um triângulo é um elemen-to de Q.

22. É correto que é sempre um número natural:

a) O produto de dois números naturais b) O quociente de dois números naturais c) Uma potência, quando a base é natural d) A diferença de dois números naturais

2

RNQZ

RQZN

NZQR

RZQN

RIZN

N8

Z

4

3 R9

Qπ

2n2 Zn

q2n Zn

n2n

2

q

pp q 0q

Q

Q

Q

Matemática



23. Assinale a alternativa verdadeira:

a) *Z Inteiros positivos, ou seja

*Z =

,...3,2,1,0

b) *Z Inteiros não negativos, ou seja

*Z =

,...3,2,1

c) *Z Inteiros negativos, ou seja

*Z =

,1,2,3...,

d) *Z Inteiros não positivos, ou seja

*Z =

0,1,2,3...,

e) Z Inteiros Negativos, ou seja Z =

,1,2,3...,

24. Qual a sentença verdadeira?

a) Se Na e Nb , então Nb)(a

b) Se Za e Zb , então Zb)(a

c) Se Za e Nb , então Nb).(a

d) Se Za e Zb , então Zb):(a

e) Se Ra , então Ra

25. Dentre as alternativas abaixo, assinale a que

corresponde a um número real que não é racional

a) 3 2 b) 2 c)

2

1 d) 2,0 e)

4 16

26. Podemos afirmar que:

a) Q=I

b) R=Q I

c) I=R Q

d) Q=R I

e) R=Q I

27. Assinale a alternativa correta:

a) ZN

b) N.0,1,2,3,..

c) IR

d) Q16

e) NZ

28. Assinale a sentença verdadeira

a) 0ZZ

b) Q2...0,32332333

c) NZ*

d) R12

e) ZNZ

29 .Assinale V ou F se as sentenças abaixo são

verdadeiras ou falsas:

I. NQ

II. Q R=Q

III. N Z=N

IV. Q R Q

a) FVFV b) VVVV c) FVVF d) FVVV e) VVVF 30. (Cefet 2003) Considere as seguintes senten-

ças: I) 10 R

II) Z14,18,35

III) Q8

IV) Z1,0,1-

V) Q.2,3,4,5,..

a) Todas são verdadeiras b) Todas são falsas c) Apenas uma é verdadeira d) Duas são verdadeiras e) Três são verdadeiras 31. (Cefet 98) Considerando os conjuntos N (nú-

meros naturais), Z(números inteiros), Q(números racionais) e R(números reais), a opção errada é:

a) RZ

b) RZ

c) ZN

d) RZ

e) *NQ

32 (Nokia 2001) A raiz quadrada de 8 pertence ao

conjunto:

a) R

b) N

c) Z

d) *Z

e) Q

33. (EPCAR 2001) Assinale a alternativa falsa.

a) Z – N = conjunto dos números inteiros negativos b) Q – Z= conjunto dos números racionais não in-teiros

c) ZZ =

d) *Z = conjunto dos números inteiros não nulos


Matemática

Valorizar para

Transformar

e) R – N = conjunto dos números naturais não re-ais 34. (Cefet 2003) Assinale a alternativa falsa:

a) RQ

b) ZZN

c) QQZ

d) RRN

e) ZQZ

35. Em que item temos o produto de dois números

irracionais igual a um número racional?

a) 4.7

b) 49.9

c) 5.20

d) 2.3

e) NDA 36. Qual a única afirmação falsa?

a) RZ

b) NQ

c) QZ

d) RN

e) NDA 37. Efetue:

a) ZZ = h) ZZ =

b) ZZ = i) ZZ_ =

c) 0* Z = j) **

_ ZZ =

d) 0Z* = k) ZR =

e) ZZ = l) NZ =

f) NR = m) NR =

g) ZQ = n) NQ =

38. Dê o nome dos seguintes conjuntos (siga o e-

xemplo): a) Z – N: conjunto dos números inteiros não na-

turais

b) R – Z: ____________________________

c) Q - 0 :

__________________________________ d) R – N: ____________________________

e) Z - 0 : __________________________

f) R – Q: ___________________________

g) *R : _____________________________

h) Q – N: ____________________________ i) R – I: _____________________________

39. Classifique com V ou F.

( ) O conjunto dos números irracionais é infinito ( ) A soma de dois números irracionais é um número irracional ( ) O produto de dois números irracionais pode ser racional ( ) Entre dois números racionais sempre existe um número racional ( ) A soma e a multiplicação de dois números ra-cionais sempre é racional ( ) Sempre podemos comparar dois números ra-cionais, ou seja, podemos ordenar o conjunto dos racionais ( ) Todo número inteiro tem sucessor e anteces-sor ( ) O conjunto Z é fechado em relação à subtra-ção ( ) Entre dois números inteiros sempre existe um número inteiro ( ) Somando ou multiplicando dois números in-teiros, sempre encontrarmos como resultado um número inteiro ( ) Sempre podemos comparar dois números in-teiros relativos, ou seja, podemos ordenar esse conjunto ( ) Todo número natural é inteiro ( ) Todo número inteiro é real ( ) Todo número irracional é real ( ) Todo número racional é inteiro ( ) Existem números racionais que não são reais ( ) Existem números reais que não são racionais

( ) QN

( ) ZR

( ) QZ

( ) ZN

( ) RZ

( ) IQ

( ) RQ

( ) RI

40. Complete com os símbolos: ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⊃, ⊅.

a) -5......ℤ

b) 3...... ℤ

c) -2...... ℤ*

d) -6....... ℤ

e) {0}...... ℤ*

f) √5......ℚ*

g) 3

2......ℕ

h) {2, 3}...... ℚ

i) {0,1, 2}......R*

j) 0...... ℚ

k) ℕ...... ℤ

l) ℤ...... ℤ

m) {0}...... ℤ ×

n) ℕ...... ℤ ×

o) {0}...... ℤ ×

p) ℕ...... ℕ

q) ℚ ×...... ℤ

r) ℕ...... ℤ + s) {√-4}......ℝ

Matemática



41. (CEFET-2003) Considere as seguintes sen-

tenças: I. 10 ∈ ℝ

II. {14, 18, 35} ∈ ℤ

III. -8 ∈ ℚ

IV. {-1, 0, 1} ∈ ℤ

V. {2, 3, 4, 5,...} ∈ ℚ

a) Todas são verdadeiras b) Todas são falsas c) Apenas uma é verdadeira. d) Duas são verdadeiras e) Três são verdadeiras

42. (CEFET-1998) Considerando os conjuntos N

(números naturais), Z (números inteiros), Q (números racionais) e R (números reais), a opção errada é:

a) ℤ

U

ℝ c) N ⊃ ℤ + e) Q ⊃ N×

b) ℤ + ⊂ R+ d) ℤ ⊂ R+

43. Seja ℝ o conjunto dos números reais, N o con-

junto dos números naturais e Q o conjunto dos números racionais. Qual é a afirmativa falsa?

a) (ℚ U ℕ) ⊂ ℝ

b) (ℚ ∩ ℕ) ⊂ ℝ

c) (ℚ U ℕ) = ℝ

d) (ℚ ∩ ℝ) ⊂ ℚ

e) (ℚ ∩ ℕ) ≠ ∅

44. (NOKIA-2001) A raiz quadrada de 8 pertence

ao conjunto: a) ℝ c) ℤ e) ℚ

b) ℕ d) ℤ ×

45. Aponte a afirmação verdadeira: a) Entre dois números naturais distintos sempre

existe um número natural. b) Entre dois números inteiros distintos sempre

existe um número inteiro. c) Entre dois números reais distintos existe um

número finito de números reais. d) Entre dois números reais distintos existem in-

finitos números reais. e) Entre dois números inteiros não consecutivos

sempre existe um número natural.


A expressão numérica

...),...,( 44444065555010 é igual a:

a) 1,09 b) 10,09 c) 10,9 d) 11 e) 11,9

O conjunto A =

,...} 8 , 4 , 2, 1 , 2

1 ,

4

1 ,

8

1 {..., pode ser

também representado por:

a) A = { 2n n Z*}

b) A = { (-2)n n Z}

c) A = { 2n n Z}

d) A = { (-2)n n N}

e) A = { 2n n N}

Dividindo-se 35 por b, com b N*, obtém-se quo-

ciente 5 e resto o maior possível. O valor de b é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Sendo a, b e c números inteiros com c 0,

podemos afirmar que:

a) se c < 0 e a > b, então 33 c

b

c

a .

b) se a < b, então 22 c

b

c

a .

c) se a > b, então ac3 > bc3. d) se a < b, então ac4 < bc4 e) se a > b, então ac > bc.

Simplificando a expressão ...333,144,1

...555,02,1

,

obtemos:

a) 25

12

b) 72

25

c) 36

17

d) 15

11

e) 54

13


Matemática

Valorizar para

Transformar

Simplificando a expressão numérica

124

2

2

2)3(3

2

13

, obtemos:

a) 10

1

b) 12

1

c) 12

1

d) 14

1

e) 15

1

Sejam a e b dois números reais tais que a > b > 0. Considere as seguintes afirmativas:

I. –a < –b

II. b

1

a

1

III. b – a > a Podemos afirmar que:

a) todas as afirmativas estão corretas. b) estão corretas somente as afirmativas II e III. c) estão corretas somente as afirmativas I e III d) está correta somente a afirmativa I. e) está correta somente a afirmativa II.

Numa divisão entre números naturais, o quociente excede de 20 o divisor que, por sua vez, excede de 10 o resto. Sabendo que o dividendo é 386, o resto é: a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

Certa quantidade de caixas, maior que 40 e menor que 60, quando contadas de 7 em 7, dei-xam resto 2. Cada uma dessas caixas contém 5 aparelhos eletrônicos. O total de aparelhos eletrô-nicos, quando contados de 4 em 4, não deixam res-to. A quantidade de caixas é um número divisível por: a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

As frações da forma * a com ,a

1 , são

denominadas “frações unitárias”. Toda fração uni-tária pode ser escrita como uma soma de duas fra-

ções unitárias; por exemplo: 4

1

4

1

2

1 ,

6

1

6

1

3

1 ,

4

1

12

1

3

1 . A quantidade de manei-

ras diferentes em que a fração unitária 6

1 pode ser

escrita como uma soma de duas frações unitárias é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Matemática


cubra 17

cubra

Intervalos numéricos

Os números reais e a reta numerada

Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto ℝ dos números reais e o conjunto dos pontos

da reta numerada.

Na reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que qualquer número x, colocado a

sua direita e maior que qualquer número y colocado á sua esquerda.

Intervalos numéricos

São subconjuntos de ℝ, determinado por desigualdades.

1º Intervalo Fechado Dados dois números reais a e b, com a < b, temos: [a, b] ou {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

2º Intervalo Aberto ]a, b[ ou (a,b) ou {x ∈ ℝ | a < x < b}

3º Intervalo Semi-Aberto [a, b[ ou [a, b) ou {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} ]a, b] ou (a, b] ou {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}

4º Outros tipos de intervalos

a. ℝ+ = [ 0, +∞ [ ℝ- = ] -∞, 0] ℝ+× = ] 0, +∞[ ℝ-× =] -∞, 0[

b. [ a, +∞[ ou [ a, +∞) ou {x ∈ ℝ | x ≥ a}

] -∞, a] ou (-∞, a] ou {x ∈ ℝ | x ≤ a}

c. ] a, +∞[ ou ( a, +∞) ou {x ∈ ℝ | x > a}

] -∞, a[ ou (-∞, a) ou {x ∈ ℝ | x < a}


Considere os conjuntos A = {x ∈ ℤ | 6 - 9x > -39 } e B = { x ∈ ℤ | 6 + 5(x - 2) ≥ 6}, onde ℤ é o conjunto dos números inteiros. Temos que

A B é igual a: a) {5, 6, 7, 8,...} b) {6, 7, 8, 9,...} c) {2, 3 ,4 , 5} d) {2, 3, 4} e) {3, 4}

O conjunto solução da inequação 2x -

3(a + x) 5(2a - x) + 3, em U = ℝ, é S = {x R x 4}. Logo, o valor de a é:

a) -4 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3

a

a a

a

2

1

52

3

-∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞

18 Intervalos numéricos

Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 1

Se a ≤ - 3, os valores de x tais que

)2()(2

xaxa

são aqueles que satisfa-

zem: a) x ≥ a + 2 b) x ≤ a + 2 c) x ≥ -a + 2 d) x ≤ a – 2 e) x ≥ a – 2

Um caminhão de uma distribuidora de refrigerantes, com capacidade para transportar R recipientes, faz a distribuição em três pontos A, B e C. Partindo com a capacidade máxima, deixou

10

3 do total de recipientes em A,

14

3 do que

restou deixou em B e os últimos 1650 recipientes deixou em C. Desse modo, é correto afirmar que:

a) R < 2000 b) R > 2700 c) 2600 < R < 2700 d) 2300 < R < 2600 e) 2000<R<2300

O maior número natural que satisfaz a

inequação 52

1)2(

2

1 xxx

é:

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

As inequações 3(x – 5) – 2(x + 1) ≥ 2 e

13

2k

2

1x

têm o mesmo conjunto

solução em U = IR. O valor da constante real k é igual a:

a) –18 b) –19 c) –20 d) –21 e) –22

Razões A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números a e b. É a divisão ou re-

lação entre duas grandezas. Razão de um número a para um número b, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a

por b.

a : b, a / b ou b

a

O número a é chamado de antecedente (numerador) e o b de consequente (denominador).

Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Por exemplo, para saber

quantas vezes o número 100 é maior do que o número 2 (ou em outras palavras, qual a razão entre 100 e 2), procede-

mos da seguinte forma:

100 : 2 = 50, 100 / 2 = 50 ou 502

100

Portanto, o número 100 é 50 vezes maior do que o número 2. A razão é a relação entre duas grandezas que já estão

relacionadas, é uma divisão entre dois valores, um exemplo é a razão entre um perímetro e a medida de uma lado de

um triângulo, a razão seria o perímetro dividido pela medida do lado.

Razão de duas grandezas

A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas medi-

das racionais, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos possíveis de serem compa-

radas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. A razão e uma forma de divisão,

e a razão nada mais é que uma fração.

O peso de Alberto é 80 kg e o de Valmir é de 60.000 g. Qual a razão entre seus pesos?

Devemos transformar primeiro as grandezas na mesma unidade de medida: 60.000 g = 60 kg

Assim, 80/60 = 4/3 e, portanto, a proporção entre as igualdades é de 3/5.

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais

Matemática


Intervalos numéricos 19


Água e tinta estão misturadas na razão de 8 para 3. Sabendo-se que há 24 litros de água na mistura, o volume total em litros é:

a) 33 b) 32 c) 31 d) 30 e) 29

Para festejar seu aniversário, seu Nél-son resolveu fazer uma feijoada. Para isso, calcu-lou comprar 6 kg de feijão para os 48 convida-dos previstos. No entanto, com antecedência, 12 pessoas informaram que não poderiam com-parecer à festa. Sendo assim, a quantidade de feijão que seu Nélson precisou comprar foi de:

a) 4 kg b) 4,2 kg c) 4,5 kg d) 4,8 kg e) 5 kg

Em uma caixa há balas de cupuaçu e de castanha totalizando 120 doces. A razão entre as quantidades de balas de cupuaçu e de castanha é

igual a 3

5. A quantidade de balas de cupuaçu é

um número: a) par menor que 80. b) ímpar menor que 70. c) ímpar e múltiplo de 15. d) par e múltiplo de 9. e) par maior que 65.

Proporções

A igualdade entre duas razões forma uma proporção. Essa igualdade pode ser representada das seguintes formas.

d

c

b

a ou a : b = c : d lemos, a está para b, assim com c está para d.

Os termos de uma proporção são dispostos na ordem:

Termo 4º

Termo 3º

Termo 2º

Termo 1º , onde o 1º e 4º termos são extremos e o 2º e 3º termos, os meios. Está denominação

se deve a essa igualdade:

1º termo : 2º termo = 3º termo : 4º termo “em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.”

Propriedade fundamental

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

d

c

b

a ou a × d = b × c

Termo 4º

Termo 3º

Termo 2º

Termo 1º

20 Intervalos numéricos

Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 2

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o

segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo.

Então temos:

d

c

b

a ⟹

c

dc

a

ba

ou

d

c

b

a ⟹

c

dc

a

ba

ou

d

c

b

a ⟹

d

dc

b

ba

ou

d

c

b

a ⟹

d

dc

b

ba

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos

conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

d

c

b

a ⟹

b

a

db

ca

ou

d

c

b

a ⟹

d

c

db

ca

ou

d

c

b

a ⟹

b

a

db

ca

ou

d

c

b

a ⟹

d

c

db

ca

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a

proporção:

x

c

b

a

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à

propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três

simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

C

b

b

a

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7.

Quais são estes números?

Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos

números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

7575

baba

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo

estes valores na proporção teremos:

7

b

5

a 20

7

b

5

a

12

240

Portanto:

R: Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

Matemática


21


Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminuiu-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Nas novas condições, o número de páginas ocupadas pelo texto será:

a) 24 b) 21 c) 18 d) 12 e) 9

Otávio comprou uma máquina para sua empresa cujo valor de mercado era R$ 24.000,00. Esse valor decresceu linearmente com o tempo e após 3 anos o valor de mercado da máquina era R$ 16.800,00. Podemos afirmar que:

a) A cada ano a máquina depreciou R$ 2.600,00.

b) Após 7 anos da compra, o valor de mer-cado da máquina era R$ 9.800,00.

c) Após 5 anos da compra, a máquina valia a metade do valor da compra.

d) Após 9 anos da compra, a máquina valia 20% do valor da compra.

e) Após 8 anos da compra, a máquina per-deu totalmente o seu valor de mercado.

Um ônibus de uma linha interestadual passou por 7 cidades. De uma cidade para a outra, a distância percorrida sempre dobrou em relação à distância das duas cidades anteriores. Sabendo que a distância entre a 4ª e a 6ª cidades pelas quais o ônibus passou é igual a 240 km,

então, a distância percorrida entre a primeira e a última cidade foi de:

a) 630 km b) 740 km c) 520 km d) 480 km e) 700 km

O alimento levado para um acampamento com 40 pessoas é suficiente para 9

dias. Com 3

2

desse alimento será possível alimentar 10 pessoas a menos durante:

a) 8 dias. b) 6 dias. c) 10 dias. d) 4 dias. e) 9 dias.

Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra, medida a partir da superfície, aumenta aproximadamente, 3o C a cada 100 m de profundidade. Num determinado local, a 170 m de profundidade, a temperatura é de 27,6o C. Nessas condições, podemos afirmar que nesse local, a temperatura na superfície da Terra é de:

a) 22o C b) 22,5o C c) 21o C d) 21,5o C e) 20o C

22

Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

EXEMPLO 3

Divisão proporcional

Constante de proporcionalidade

Se c

z

b

y

a

x , representaremos o resultado dessas razões por um k (constante de proporcionalidade), então

kc

z

b

y

a

x ⟹

kczkc

z

kbykb

y

kaxka

x

Determine os valores de x, y e z: 532

zyx e 3x + 2y + 4z = 320

Solução

kzkz

kyky

kxkx

kzyx

55

33

22

532

Substituindo os valores de x, y e z na equação,

Teremos: 3 × 2 × k + 2 × 3 × k + 4 × 5 × k = 320 ∴ k = 10

Logo: x = 10 × 2 = 20 y = 10 × 3 = 30 z = 10 × 5 = 50

Números diretamente proporcionais

Duas sucessões de números são diretamente proporcionais ou, apenas proporcionais quando a, razão entre um

número qualquer da primeira e seu correspondente na segunda é constante.

As sucessões62

31

,

,

28

14

,

,

14

7

,

,

4

2

são diretamente proporcionais, por que:

2

1

62

31

28

14

14

7

4

2

O valor comum das frações entre os elementos correspondentes de suas sucessões proporcionais é chama-

do de coeficiente de proporcionalidade (constante de proporcionalidade).

Números inversamente proporcionais

Duas sucessões são inversamente proporcionais, quando o produto de dois termos correspondes é

constante.

As sucessões 2

15

,

,

3

10

,

,

6

5

são inversamente proporcionais, por que:

5 × 6 = 10 × 3 = 15 × 2 = 30

Matemática


23

EXEMPLO 4

EXEMPLO 6

EXEMPLO 5

Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número em partes proporcionais a varias outros significa decompô-lo em parcelas proporcionais a es-

ses outros.

Decompor número 180 em partes proporcionais a 3, 4 e 11.

Representando as partes por x, y e z. Temos: x + y + z = 180 e pesos 3, 4 e 11

A soma dos pesos: 3 + 4 + 11 = 18

Coeficiente de proporcionalidade: k

1101110

40410

30310

1018

180

z

y

x

Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número em partes inversamente proporcionais a vários outros, é o mesmo que dividi-lo em partes proporcio-

nais aos inversos desses outros.

Dividir o número 341 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.

1º Invertem-se os números (pesos): 5

1,

3

1,

2

1

2º Igualam-se os denominadores: 30

6,

30

10,

30

15

(m.m.c (2, 3, 5) = 30)

3º Desconsideram-se os denominadores e usa-se como peso os novos numeradores.

Soma os pesos: 15+10+6=31


66611

1101011

1651511

1131

341

z

y

x

Divisão em partes simultaneamente proporcionais a várias outras

Dividir um número em partes simultaneamente proporcionais a dois ou mais números, é o mesmo que dividi-lo em par-

tes proporcionais aos produtos desses números.

Dividir o número 178 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4 e inversamente proporcionais a 3,2 e 5, é o

mesmo que dividir em partes proporcionais a:

5

14,

2

13,

3

12

, ou seja, 30

24;

30

45;

30

20

5

4,

2

3,

3

2

(m.m.c ( 3, 2, 5) = 30)

Representando as partes por x, y e z, temos: x + y +z = 178 e pesos 20, 45 e 24.

Soma dos pesos: 20 + 45 + 24 = 89


48242

90452

40202

289

178

z

y

x

24

Matemática

Valorizar para

Transformar

EXEMPLO 1


Ao dividir 70 em partes diretamente proporcionais aos números 8, 12 e 15, o maior número obtido é:

a) 32 b) 30 c) 26 d) 24 e) 16

Na promoção de uma sapataria, os calçados de um mesmo tipo estavam sendo vendidos pelo mesmo preço. Comprei dois pares de sapatos e um par de tênis por R$ 125,00, meu irmão comprou dois pares de tênis e um par de sapatos por R$ 115,00 e meu primo comprou um par de tênis e um par de sapa-tos. O valor que meu primo pagou foi:

a) R$ 70,00 b) R$ 75,00 c) R$ 80,00 d) R$ 85,00 e) R$ 90,00

Regra de três

É o método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma ra-

zão. Por exemplo:

O salário e o tempo de trabalho.

O preço e a quantidade de mercadoria adquirida.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas a outra diminui na mesma ra-

zão. Por exemplo:

A velocidade e o tempo.

O número de empregados e o tempo necessário à realização de uma obra.

Tipos de regra de três

Simples e direta É a regra de três que envolve duas grandezas diretamente proporcionais.

Duas grandezas diretamente proporcionais são indicadas por flechas no mesmo sentido.

Quatro quilogramas de farinha de trigo produzem cinco pães; quantos quilogramas de farinha serão necessários

para produzir cento e vinte pães?

Os dados podem ser dispostos sob a forma:

Farinha(kg) Pães

4 5

X 120 As grandezas são diretamente proporcionais logo, temos a proporção:

965

4120

120

54

x

x Logo: serão necessários 96 kg de farinha.

Matemática


25

EXEMPLO 2

EXEMPLO 3

1.5.1 Simples e inversa É a regra de três que envolve duas grandezas inversamente proporcionais.

Duas grandezas inversamente proporcionais são indicadas por flechas no sentido contrário.

Os dados podem ser dispostos sob a forma:

Farinha(kg) Pães

5 30

15 X

As grandezas são inversamente proporcionais, logo teremos a proporção:

1015

30530

5

15x

xLogo: Farão a obra em 10 dias.

Composta

É a regra que envolve mais de duas grandezas proporcionais.

Doze máquinas trabalhando 8 horas por dia, fazem 9.000 m de fazenda em 15 dias. Quinze máquinas, quanto ne-

cessitarão trabalhar por dia para fazer 6.000 m em 10 dias?(Resposta em horas e minutos).

Os dados podem ser dispostos na forma:

Máquinas Hora / dia Metros(m) Dias

12 8 9.000 15

15 X 6.000 10 Isolamos a razão que tem a incógnita.

Fazemos o produto dos antecedentes sobre o produto dos consequentes das razões que têm os termos conheci-

dos.

min2465

26

10900015

156000128

15

10

6000

9000

12

158hxhx

x


18 trabalhadores concluem uma obra em 12 dias. A quantidade de trabalhadores necessária para concluir 3

2

dessa obra em 16 dias é:

a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18

Certo dia, um desenhista trabalhou ininterruptamente durante 4 horas e 45 minutos fazendo a planta de

uma casa. Se ele iniciou esse trabalho quando eram decorridos 16

7 do dia, então ele encerrou sua atividade às:

a) 15 horas e 15 minutos. b) 15 horas e 10 minutos. c) 14 horas e 45 minutos. d) 14 horas e 30 minutos. e) 14 horas e 15 minutos.

26

Matemática

Valorizar para

Transformar

Para encher um reservatório d'água de 12 m3

são utilizadas duas torneiras. Uma das torneiras despeja no reservatório, 50 litros de água por minuto. Sabendo-se que o reservatório ficará completamente cheio em duas horas, então, a quantidade de litros de água por minuto que a segunda torneira despeja no reservatório é:

a) 160 b) 150 c) 140 d) 120 e) 100

Um trecho de uma rodovia com 600 m de comprimento por 10 m de largura foi asfaltado em 5 dias, por 4

máquinas que trabalharam 6 horas por dia. Para asfaltar um trecho de 700 m de comprimento por 8 m de largura, em 4 dias, trabalhando 7 horas por dia, a quantidade de máquinas necessárias será:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

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Apostila de Matemática Modulo 01 Exemplo de Formatação