Apostila Eletricidade e Civil Março-2011

Universidade Estadual Paulista Campus de Ilha Solteira Departamento de Engenharia Eltrica

Curso de Graduao em Engenharia Civil

Ilha Solteira-SP, Maro-2011.

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Carlos Roberto Minussi

DEE C/ISA UNESP Eletricidade Engenharia Civil C. R. Minussi

1

1. CIRCUITOS ELTRICOS DE CORRENTE CONTNUA EM REGIME PERMANENTE

1.1. Rudimentos

Os regimes operacionais de circuitos encontram-se ilustrados na Figura 1.1.1.

Os principais regimes so: (1) permanente, (2) transitrio e (3) regime subtransitrio.

Figura 1.1.1. Regimes eltricos.

Regime Permanente : Equaes algbricas (que so casos particulares das equaes diferenciais).

Regime Transitrio : Equaes diferenciais (para modelagem contnua) ou de diferenas (para modelagem discreta) e equaes algbricas.

Regime Subtransitrio: Equaes diferenciais (para modelagem contnua) ou de diferenas (para modelagem discreta) e equaes algbricas,

porm o intervalo de tempo sob anlise refere-se parte inicial

do transitrio, como indicado na Figura 1.1.1.

NB (Nota Bene Observao): Nesta disciplina (Eletricidade) o regime considerado somente o Regime Permanente.


2

Os componentes a serem usados na disciplina Circuitos Eltricos encontram-

se relacionados na Tabela 1.1.1.

Tabela 1.1.1. Componentes e simbologia usados nos circuitos eltricos.

Componente Smbolo Unidade Observao 1. Resistor ohm - 2. Resistor varivel

ohm -

3. Indutor henry - L 4. Capacitor farad - C 5. Menristor

ohm - Resistor com memria. considerado o quarto elemento passivo de circuitos eltricos / eletrnicos. Funo no-linear entre a tenso e corrente. uma juno entre a capacidade resistiva (do resistor) e a memorizao (das memrias). Os memristores so nanofios com 50 nanmetros de largura, o que compreende cerca de 150 tomos. A ilustrao abaixo contm 17 memristores.

6. Fonte de tenso independente

ampre - A Tenso terminal completamente independente da corrente que passa pela fonte

7. Fonte de tenso dependente

volt - V Tenso terminal dependente da corrente que passa pela fonte (tenso controlada)

8. Fonte de corrente independente

volt - V Corrente fornecida pela fonte completamente independente da tenso do terminal

9. Fonte de corrente dependente

ampre - A Corrente fornecida pela fonte dependente da tenso do terminal (corrente controlada)

10. Fonte de tenso contnua

volt - V Bateria

11. Transformador

12. Chave / interruptor

13. Diodo

14. Transistor

15. Corrente alternada

16. Aterramento

17. Amplificador operacional


3

Tabela 1.1.2. Sistema decimal usado nos circuitos eltricos.

Designao Simbologia Valor

atto a 10 18 femto f 10 15 pico p 10 12 nano N 10 9 micro 10 6 mili m 10 3 centi c 10 2 deci d 10 1 deca da 10 1 hepto h 10 2 quilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12

Tabela 1.1.3. Identificao de resistores.

1a. Faixa (1o Dgito)

2a. Faixa (2o Dgito)

3a. Faixa (Multiplicador)

4a. Faixa Tolerncia

Preto = 0 x 1 Marrom = 1 Marrom = 1 x 10 Vermelho = 2 Vermelho = 2 x 100 Laranja = 3 Laranja = 3 x 1.000 Amarelo = 4 Amarelo = 4 x 10.000 Prata: 10% Verde = 5 Verde = 5 x 100.000 Azul = 6 Azul = 6 x 1000.000 Ouro: 5% Violeta = 7 Violeta = 7 Ouro: x 0,1 Cinza = 8 Cinza = 8 Prata: x 0,01 Nenhuma Faixa: 20%

Branco = 9 Branco = 9

NB: 1. A primeira faixa nunca dever ser de cor preta, i.e., correspondente ao dgito 0; 2. O resistor poder conter, tambm, a 5a faixa, indicando o fator de segurana

(percentual de falhas por 1.000 horas de uso): Marrom 1%; Vermelho 0,1%; Laranja 0,01%; Amarelo 0,001%;

3. Os valores de resistncia disponveis no mercado so padronizados. Portanto, valores fracionrios nem sempre se encontram disponveis, sendo necessria a aproximao ao valor mais prximo.


4

Exemplo 1:

Figura 1.1.2. Resistor eltrico de 10 k.

1a. Faixa = Marrom : 1

2a. Faixa = Preto : 0 Total = 10 x 1.000 = 10 k, 5% de tolerncia (erro) 3a. Faixa = Laranja : x 1.000

Exemplo 2:

Figura 1.1.3. Resistor eltrico de 4,7 k.

1a. Faixa = Amarelo : 4

2a. Faixa = Violeta : 7 Total = 47 x 100 = 4,7 k, 5% de tolerncia 3a. Faixa = Vermelho : x 100

Exemplo 3:

a) 1a faixa: Cinza; 2a faixa: Vermelho; 3a faixa: Preto; 4a faixa: Ouro; 5a faixa: Marrom 8 2 0 + 5% 1% 82 x 1 = 82 + 5% (1% de fator de segurana); b) 1a. faixa: Laranja; 2a faixa: Branco; 3a faixa: Ouro; 4a. faixa: Prata; 5a faixa: Nenhuma cor 3 9 0,1 +10% 39 x 0,1 = 3,9 + 10% (sem indicao do fator de segurana).


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1.2. Bipolo

Um bipolo eltrico , por definio, um dispositivo eltrico com dois terminais

acessveis, por meio do qual circula uma corrente eltrica. Toda a iterao eltrica do

bipolo com o exterior se faz, somente, atravs destes dois terminais. Em qualquer instante,

a corrente que entra por um dos terminais igual a corrente que sai pelo outro terminal. O

bipolo eltrico representado, genericamente, pelo smbolo mostrado na Figura 1.2.1.

Figura 1.2.1. Smbolo de um bipolo eltrico.

Considerando-se um bipolo atravessado por uma corrente i(t). Durante um

intervalo de tempo (dt) o bipolo atravessado por uma carga eltrica:

dq(t) = i(t) dt (1.2.1)

sendo:

q : carga eltrica (coulomb) [Charles Augustin de Coulomb / francs].

A passagem desta corrente transfere para o bipolo uma energia dw,

relacionada carga, por:

dw(t) = v(t) dq(t) (1.2.2)

sendo:

w : energia (joule) (James Prescott Joule / ingls)

v : tenso eltrica entre os terminais do bipolo (volt) [Conde Alessandro Volta /

italiano].

A grandeza v(t), entre os terminais do bipolo, pode ser expressa por:


6

v(t) = dt

)t(dw (1.2.3)

1.3. Leis de Ohm

Considere a seguinte relao:

Efeito = oposio

causa (1.3.1)

Qualquer processo de converso de energia pode ser relacionado com esta

equao. Em circuitos eltricos, o efeito que se deseja estabelecer o fluxo de carga

eltrica ou corrente eltrica. A diferena de potencial (ou tenso eltrica), entre dois

pontos, a causa, e a oposio corrente corresponde a resistncia. Assim sendo,

adaptando-se a equao (1.3.1) ao problema de circuitos eltricos, resulta em:

corrente = aresistnci

potencialdediferena (1.3.2)

sendo:

no sistema SI (Sistema Internacional de medidas):

corrente : ampre [Andr Marie Ampre/ francs]

tenso : volt

resistncia : ohm [Georg Simon Ohm/ alemo].

A equao (1.3.2) conhecida como lei de Ohm. Esta expresso mostra que,

para uma resistncia fixa, quanto maior for a tenso nos terminais de um resistor, maior

ser a corrente. Para uma tenso fixa, quanto maior for a resistncia, menor ser a corrente


7

eltrica. Portanto, a corrente proporcional tenso aplicada e inversamente proporcional

resistncia.

Exemplo:

Calcular a resistncia do filamento de uma lmpada eltrica (tipo

incandescente) de 60W se uma corrente de 500 mA for estabelecida em funo da

aplicao de tenso de 120 V (Figura 1.3.1.):

Figura 1.3.1. Bateria alimentando uma lmpada eltrica.

Soluo:

R = IV

= A10x500

V1203

= 240 .

Porm, se a tenso abaixar para 100 V, a corrente ser:

I = 240V100

= 0,417 A

A potncia consumida pela lmpada ser:

Potncia = R I2

= 240 (0,417 A)2 = 41,73 W.

(Carga Resistiva)


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1.3.1. Grfico da Lei de Ohm

Trata-se da representao grfica da corrente, em funo da tenso, cuja

evoluo mantm-se linear, conforme mostrado na Figura 1.3.1.1.

Figura 1.3.1.1. Curva caracterstica de um resistor.

Se escrevermos a lei de Ohm, em termos da corrente:

I = R1 V + 0. (1.3.1.1)

Pode-se notar que a expresso (1.3.1.1) uma equao da reta com

deslocamento nulo e inclinao (1/R). Assim, se plotarmos a corrente em funo da

tenso usando um dispositivo qualquer, se o grfico no for linear, conclui-se que a carga

no-resistiva. Por exemplo, supondo-se o grfico mostrado na Figura 1.3.1.2, pode-se

observar que a evoluo no linear. Esta a curva caracterstica de um diodo

semicondutor.

Figura 1.3.1.2. Curva caracterstica de um diodo semicondutor.


9

Para V = +1 V:

R diodo = IV =

mA50V1

= 20 Para V = 1 V:

R diodo = IV =

A1V1

= 1 M .

1.4. Leis de Kirchhoff

As leis de Kirchhoff (Gustav Robert Kirchhoff / alemo) compreendem duas

importantes propriedades de circuitos eltricos:

(1) Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC); e

(2) Lei de Kirchhoff das Tenses (LKT).

1.4.1. Lei de Kirchhoff das Correntes

A lei de Kirchhoff das correntes possui trs verses. Em qualquer instante em

um circuito eltrico:

1. a soma algbrica das correntes que chegam em uma superfcie fechada zero;

2. a soma algbrica das correntes que saem de uma superfcie fechada zero;

3. a soma algbrica das correntes que chegam em uma superfcie fechada igual a soma

algbrica das correntes que saem de uma superfcie fechada.

O vocbulo algbrica significa que os sinais das correntes devem ser

considerados na soma. Deve-se lembrar que uma corrente que entra uma corrente

negativa que sai e que uma corrente que sai uma corrente negativa que entra. Ressalta-

se, ainda, que as correntes so arbitradas como sendo positivas que saem e negativas que

entram na superfcie fechada (vide Figura 1.4.1.1). Nas aplicaes de circuitos eltricos, as

superfcies fechadas so ns.


10

Figura 1.4.1.1. Sinais das correntes.

Figura 1.4.1.2. Lei de Kirchhoff das correntes de n.

NB. Na aplicao da LKC, um n escolhido como referncia, ou terra (aterramento).

Considerando-se o n 1, a soma das correntes que saem do n (I1 + I2 + I3)

igual a corrente Is da fonte de corrente (que chega no n 1):

Is + I1 + I2 + I3 = 0 (1.4.1.1) ou:

Is = I1 + I2 + I3 (1.4.1.2)

= 1R

1 V + 2R

1 V + 3R

1 V

= G1 V + G2 V + G3 V

= GT V

sendo:

GT = G1 + G2 + G3

G1, G2, G3 : condutncias, cuja unidade siemens (S) [Werner von Siemens / alemo].

Smbolo: (mho);

G1 = 1/R1

G2 = 1/R2

G3 = 1/R3.


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Deste resultado, pode-se concluir que resistncias em paralelo podem ser

agregadas no seguinte equivalente:

GT = G1 + G2 + G3 (1.4.1.3)

RT TG

1 (1.4.1.4)

= 3G2G1G

1

=

3R1

2R1

1R1

1

TR

1 = 3R

12R

11R

1 (1.4.1.5)

Ou, genericamente, para n resistores em paralelo:

TR

1 = 1R

1 + 2R

1 + . . . + Rn1 (1.4.1.6)

GT = G1 + G2 + . . . + Gn (1.4.1.7)

1.4.2. Lei de Kirchhoff das Tenses

A lei de Kirchhoff das tenses possui trs verses equivalentes. A qualquer

instante em um lao, tanto no sentido horrio quanto no sentido anti-horrio:

1. A soma algbrica das tenses igual a zero;

4. A soma algbrica das elevaes de tenso igual a zero;

5. A soma algbrica das quedas de tenso igual a soma algbrica das elevaes de

tenso.


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Em todas as verses, a palavra algbrica significa que os sinais das quedas de

tenso ou de elevaes de tenso devem ser considerados na adio. Deve-se lembrar que

uma elevao de tenso uma queda negativa e uma queda de tenso uma elevao

negativa. Tomando-se como exemplo o circuito mostrado na Figura 1.4.2.1:

Figura 1.4.2.1. Lei de Kirchhoff das tenses.

Equao de tenso da Malha 1:

Vs V1 V2 V3 = 0 (1.4.2.1)

ou:

Vs = V1 + V2 + V3 (1.4.2.2)

= I R1 + I R2 + I R3

= I RT.

sendo:

RT : Resistncia Total = R1 + R2 + R3

Soma das quedas de tenso sobre os resistores = V1 + V2 + V3

Elevao de tenso sobre a fonte de tenso = Vs.

A partir deste resultado, pode-se concluir que n resistores dispostos em srie

possuem um resistor equivalente:

RT = R1 + R2 + . . . + Rn (1.4.2.3).


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1.5. Associao de Bipolos

O conceito de bipolo pode ser estendido para dispositivos com mais de 2

terminais (multipolo). Dentre os multipolos h especial interesse no quadripolo, ou seja,

com 4 terminais (vide Figura 1.2.2).

Figura 1.2.2. Quadripolo.

Cada par de terminais de um quadripolo pode ser ligado a um bipolo, de modo

que o quadripolo pode ser considerado como um dispositivo que interliga um par de

bipolos (Figura 1.2.3).

Figura 1.2.3. Quadripolo interligando 2 bipolos.

Assim sendo, os circuitos eltricos so concepes compostas por associaes

de bipolo / quadripolo.


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1.6. Fontes de tenso e de Corrente Independentes e Dependentes

1.6.1. Fonte de Tenso Independente

Trata-se de uma fonte que fornece uma tenso que no depende da corrente que

circula atravs da fonte.

Exemplos: Bateria [Corrente Contnua (CC)]

Gerador de energia eltrica [Corrente Alternada (CA)].

1.6.2. Fonte de Tenso Dependente

Fonte que fornece uma tenso que dependente da corrente que passa atravs da

fonte. Tambm chamada de fonte controlada.

1.6.3. Fonte de Corrente Independente

Fonte que fornece corrente eltrica que completamente independente da tenso do

terminal, ou seja, fornece uma corrente preestabelecida no importante a tenso

aplicada nos seus terminais.

1.6.4. Fonte de Corrente Dependente

Fonte que fornece corrente eltrica que dependente da tenso do terminal (corrente

controlada).

Simbologia: Corrente Contnua Corrente Alternada

Simbologia:

Simbologia:

Simbologia:


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1.6.5. Converso de Fontes

A fonte de corrente descrita anteriormente denominada fonte ideal por causa

da ausncia de resistncia interna. Na realidade, todas as fontes (de tenso ou de corrente)

possuem alguma resistncia interna, como mostrado nas Figuras 1.6.5.1 (a) (b).

Figura 16.5.1. Fontes de tenso e de corrente reais.

A partir da Figura 1.6.5.1, a corrente na carga IL dada por:

IL = LS RR

V (1.6.5.1)

sendo:

V : fonte de tenso;

RS : resistncia interna da fonte de tenso;

IL : corrente da carga;

RL : resistncia da carga.

Multiplicando-se a equao (1.6.5.1) por fator igual a 1 (RS/RS), obtm-se:

IL = LS RR

V)1(

= LS

SS

RRV)R/R(


16

= LS

SS

RR)R/V(R

= LS

S

RRIR

(1.6.5.2)

sendo:

I = SR

V . (1.6.5.3)

Deste modo, o modelo de fonte de tenso pode ser convertido no modelo de

fonte de corrente e vice-versa.

Exemplo 1. Converter a fonte de tenso de tenso mostrada na Figura 1.6.5.2 em fonte de

corrente e, tambm, determinar a corrente atravs de uma carga de 4 para cada tipo de fonte.

Figura 1.6.5.2. Representao por fonte de tenso.

Soluo:

IL = LS RR

V

= 42V6

= 1 A.


17

Figura 1.6.5.3. Representao por fonte de corrente.

Da Figura 1.6.5.3., a corrente da carga IL:

IL =

42A3x2

= 1 A (OK!).

Exemplo 2. Tomando-se o exemplo 1: (1) substituir a carga de 4 por uma de 1 k e calcular a corrente IL para a fonte; (2) repetir o clculo do item (a), considerando-se uma

fonte de tenso ideal (RS = 0 ) .

Soluo:

1) IL = LS RR

V

= 10002V6

5,988 mA 2) IL =

LRV

= 1000V6

= 6 mA.

Exemplo 3. Reduzir as fontes de corrente em paralelo (Figura 1.6.5.4) em uma nica conte

de corrente.


18

Figura 1.6.5.4. Fontes de correntes paralelas.

Soluo:

As fontes de corrente so somadas:

I = 6 A 10 A = 4 A e as resistncias em paralelo, portanto:

R =

636x3

= 2 .

Figura 1.6.5.5. Circuito equivalente do circuito da Figura 1.6.5.4.

Exemplo 4. Converte o modelo de fonte de corrente para o modelo de fonte de tenso do

circuito mostrado na Figura 1.6.5.6.


19

Figura 1.6.5.6. Circuito: fonte de corrente.

Figura 1.6.5.7. Circuito: fonte de tenso equivalente.

sendo:

VS = 4 A x 3 = 12 V.

1.7. Divisores de Tenso e de Corrente

1.7.1. Divisor de Tenso

Divisor de tenso aplica-se para resistores em srie. Esta lei fornece a tenso

sobre qualquer resistor em funo da resistncia e da tenso sobre todos os resistores em


20

srie. Tomando-se como exemplo a Figura 1.7.1.1.

Figura 1.7.1.1. Circuito srie.

Assim, a frmula de divisores de tenso pode ser expressa por:

Vi = T

iRR Vs (5.3.1.1)

sendo:

RT = R1 + R2 + R3;

Vi : tenso sobre o i-simo resistor;

Ri : resistncia do i-simo resistor.

1.7.2. Divisor de Corrente

Divisor de corrente aplica-se para resistores em paralelo. Esta lei fornece a

corrente atravs de qualquer resistor em funo da condutncia e da tenso na combinao

paralela. Tomando-se como exemplo a Figura 1.7.2.1.

Figura 1.7.2.1. Circuito paralelo.


21

Assim sendo, a frmula de divisores de corrente pode ser expressa por:

Ii = T

iGG Is (5.3.2.1)

sendo:

GT = G1 + G2 + G3;

Ii : corrente atravs do i-simo condutor;

Gi : condutncia associada ao i-simo resistor.

Exemplo. No caso de 2 resistores:

I1 = 2G1G

1G Is

= 2R/11R/1

1R/1 Is

= 2R1R

2R Is

I2 = 2R1R

1R Is

ou seja, a corrente que circula em um dos resistores paralelos igual a resistncia do outro

resistor, dividida pela soma das resistncias, com o resultado multiplicado pela corrente

que circula na combinao paralela.

1.8. Transformao Delta-Estrela (Y e Y)

Na resoluo de circuitos eltricos, em muitos casos, h necessidade de obter

formas reduzidas de circuitos (circuitos equivalentes). Uma das mais importantes regras


22

de transformao refere-se s transformaes (Y) e (Y), como descritas a seguir.

1.8.1. Transformao (Y)

As ligaes Y e podem ser visualizadas, conforme mostrado na Figura 1.8.1.1.

Figura 1.8.1.1. Representaes Estrela (Y) e Delta ().

Portanto, possvel a transformao de um circuito estrela em um circuito delta

equivalente e vice-versa. Os circuitos correspondentes so equivalentes apenas para tenses

e correntes externas ao circuito Y e . Internamente, as tenses e correntes so diferentes. Considerando-se a Figura 1.8.1.2, na qual esto sobre postos os 2 modelos (Y e ), como forma de melhor interpretao das equivalncias de circuitos:

Figura. 1.8.1.2. Circuitos equivalentes Y .

Superposio dos modelos e Y


23

Deste modo, as resistncias do modelo , a partir do modelo Y, podem ser calculadas por:

RAB = C

Y

RR

(5.4.1.1)

RBC = A

Y

RR

(5.4.1.2)

RCA = B

Y

RR

(5.4.1.3)

sendo:

RY = RA RB + RB RC + RC RA. (5.4.1.4)

Ou, em termos de condutncias:

RAB = C

Y

RR

= C

ACCBBA

RRRRRRR

GAB ABR1

= ACCBBA

C

RRRRRRR

= AB

C

BA RRR

RR1

=

ABBA

C

G1

G1

GGG

1

GAB = Y

BA

GGG

(5.4.1.5)

Assim, adaptando-se esta expresso s demais condutncias, tem-se:

GBC = Y

CB

GGG

(5.4.1.6)


24

GCA = Y

AC

GGG

(5.4.1.7)

sendo:

GY = GA + GB + GC. (5.4.1.8)

1.8.2. Transformao (Y)

Neste caso, as resistncias do modelo Y, a partir do modelo , podem ser calculadas da seguinte forma:

RA = RRR CAAB (5.4.2.1)

RB = RRR BCAB (5.4.2.2)

RC = RRR CABC (5.4.2.3)

sendo:

R = RAB + RBC + RCA. (5.4.2.4)

Exemplo. Represente o sistema conectado em estrela (Figura 1.8.2.1) em sistema conectado

em delta.

Figura 1.8.2.1. Sistema com ligao em estrela.


25

Figura 1.8.2.2. Sistema com ligao em delta equivalente.

YAB = 05,0067,01,0067,0x1,0

= 0,03087 siemens

RAB = ABY1

= 32,388

YBC = 05,0067,01,0067,0x05,0

= 0,01543 siemens

RBC = YBC1

= 64,7761

YCA = 05,0067,01,005,0x1,0


26

= 0,023041 siemens

RCA = YCA1

= 43,40


27

2. INTRODUO ANLISE GERAL DAS REDES EM CORRENTE CONTNUA: ANLISE DE MALHAS

2.1. Anlise de Malhas

A resoluo de circuitos eltricos (determinao das grandezas envolvidas no

problema) obtida usando uma srie de tcnicas conhecidas nesta rea do conhecimento.

Dentre elas, destacam-se as resolues por equacionamento por malhas e por ns (anlise

nodal).

Considerando-se a Figura 2.2.1, a resoluo circuito pode ser formalizada da

seguinte forma. Pela lei de Kirchhoff de malhas, tem-se:

30 V V1 V2 V3 = 0 ou:

30 V I (15 + 10 + 5 ) = 0.

Assim, a corrente da malha vale:

I = 51015V30

= 1 A.

As tenses V1, V2 e V3 so, respectivamente:

V1 = I x 15 = 15 V

V2 = 5 V

V3 = 10 V.


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Figura 2.1.1. Circuito eltrico srie.

A verificao prtica destas grandezas feita atravs do uso de instrumentos

de medidas, e.g.:

(1) Tenso : Voltmetro

(2) corrente : Ampermetro

(3) resistncia : Ohmmetro

(4) Multmetro : realiza as medidas de tenso, corrente e de resistncia (vide Figura

2.1.2 correspondendo ao um multmetro digital).

Figura 2.1.2. Multmetro digital.


29

No multmetro mostrado na Figura 2.1.2, a medida de tenso feita

conectando-se os cabos com indicao [V ] (cor vermelha) e em COM (comum: cor preta) com o ponteiro posicionado em V.

Figura 2.1.3. Medida de tenso da fonte.

Para a medida de resistncia, o procedimento o mesmo, porm, com o

ponteiro posicionado em []. Como exemplo, a medida de R1 (Figura 2.1.4).

Figura 2.1.4. Medida de resistncia.

No caso da corrente, os cabos devem ser conectados no terminal vermelho

esquerda [A] e em COM (cor preta). Estas instrues valem para o instrumento mostrado


30

na referida Figura. Contudo, os exemplares disponveis comercialmente, basicamente,

possuem as mesmas indicaes, com variaes bastante sutis.

Figura 2.1.5. Medida de corrente eltrica.

Alm destas recomendaes, deve-se tomar muito cuidado com a montagem

do experimento, ou seja, se desejarmos medir corrente eltrica, o multmetro deve ser

inserido em srie e, para o caso de tenso, o instrumento deve ser usado em paralelo.

Deve-se ressaltar, ainda, que os instrumentos de medida no interferem nas

grandezas a serem medidas. Por esta razo, o instrumento, ao emular o ampermetro,

deve apresentar uma resistncia interna nula (ou muitssimo prximo de zero) e, como

voltmetro, a resistncia dever ser muito grande.

Considerando-se, agora, o seguinte circuito (multimalhas):


31

Figura 2.1.6. Circuito multimalhas.

5. NB. 1. Pela lei de Kirchhoff das malhas, deve-se estabelecer uma

quantidade exata de malhas que o circuito comporta. Estas malhas so chamadas

malhas bsicas, ou seja, um conjunto de malhas que efetivamente podem ser

resolvidas e, portanto, a soluo do problema finalmente concluda. O vocbulo

bsico refere-se base, no sentido matemtico. Portanto, um nmero

irredutvel e suficiente para que a resoluo do problema seja obtida.

Um conjunto de malhas bsicas est indicado na Figura 2.1.7, cuja escolha da

orientao foi no sentido horrio (arbitrrio).

Figura 2.1.7. Circuito eltrico com indicao das malhas bsicas.


32

O problema, agora, constitui-se na resoluo das correntes I1, I2 e I3 (pela

aplicao de lei Kirchhoff das malhas), a partir dos dados das resistncias R1, R2, . . ., R7 e

conhecimento dos valores das fontes de tenso V1, V2 e V3, como ser abordado a seguir.

Equacionamento (Lei de Kirchhoff das Malhas):

Malha 1:

V1 R1 (I1 + I2 + I3) R2 I1 R5 (I1 + I2 + I3) = 0 (2.1.1) ou:

V1 = (R1 + R2 + R5) I1 + (R1 + R5) I2 + (R1 + R5) I3

Malha 2:

V1 R1 (I1 + I2 + I3) R3 ( I2 + I3) V2 R6 (I2 + I3) + R5 (I1+I2+I3) = 0 (2.1.2) ou:

V1 V2 = (R1 + R5) I1 + (R1 + R3 + R6) I2 + (R1 + R3 + R5 + R6) I3

Malha 3:

V1 R1 (I1+I2+I3) R3 (I2+I3) R4 I3 V3 R7 I3 R6 ( I2+I3) R5 (I1+I2+3) = 0 (2.1.3) ou:

V1 V3 = (R1 + R5) I1 + (R1 + R3 + R6 + R5 ) I2 + (R1 + R3 + R5 + R6 + R7 ) I3

Ou, ainda, matricialmente:

3V1V2V1V

1V =

7R6R5R4R3R1R6R5R3R1R5R1R6R5R3R1R6R5R3R1R5R1R

5R1R5R1R5R2R1R

3I2I1I

(2.1.4)

Esta equao da forma:

[ R ] I = V (equao matricial linear) (2.1.5)

sendo:


33

R

7R6R5R4R3R1R6R5R3R1R5R1R6R5R3R1R6R5R3R1R5R1R

5R1R5R1R5R2R1R

: matriz de resistncias de malha. uma matriz simtrica e inversvel, tendo em

vista que as malhas 1, 2 e 3 so malhas independentes (malhas bsicas);

V =

3V1V2V1V

1V

I =

3I2I1I

.

A soluo I do sistema (2.1.5) pode ser resolvido por vrios mtodos, dentre

eles via inverso de matriz:

I = [R]1 V (2.1.6).

Considerando-se os seguintes dados:

R1 = 5 R2 = 4 R3 = 1 R4 = 5 R5 = 4 R6 = 10 R7 = 8 V1 = 20 V

V2 = 5 V

V3 = 10V,

ento:

R =

33 20 9 20 20 9 9 9 13


34

R1 =

90,0769 0,0769- 0 0,0769- 0,1495 0,0503-

0 0,0503-0,1117

V =

10 15 20

I

3I2I1I

ampres

=

0,3846- 0,4684 1,4804

ampres.

As tenses vis sobre os i-simos resistores valem:

v1 = R1 x (I1 + I2 + I3)

= 5 (1,4804 + 0,4684 0,3846) A = 7,8212 V

v2 = R2 x I1

= 4 1,4804 A = 5,9218 V

v3 = R3 x (I2 + I3)

= 1 x (0,4684 0,3846) A = 0,0838 V

v4 = R4 x I3

= 5 ( 0,3846) A = 1,9231 V

v5 = R5 x (I1 + I2 + I3)


35

= 4 (1,4804 + 0,4684 0,3846) A = 6,2570V

v6 = R6 x (I2 + I3)

= 10 (1,4804 + 0,4684 0,3846) A = 0,8380 V

v7 = R7 x I3

= 8 ( 0,3846) A = 3,0769 V

Assim:

V1 = v1+v2+v5

= (6,2570 + 5,9218 + 7, 8212)

= 20 V (OK!)

.

.

.

V2 = V3 + v4 + v7

= ( 10 1,9231 3,0769) V = 5 V ( OK!).

NB. Regra de Cramer.

Outro mtodo para a resoluo de um sistema da forma (2.1.5) (sistema linear)

pode ser descrito da seguinte forma. As correntes I1, I2 e I3 podem ser calculadas por

meio de determinantes. Para melhor compreender este mtodo, considere os seguintes

dados (exemplo anterior):


36

R =

33 20 9 20 20 9 9 9 13

V =

10 15 20

.

As correntes I1, I2 e I3 podem ser calculadas da seguinte forma:

I1 = R

3320102020159920

= 23273445

= 1,4804 A

I2 = R

331092015992013

= 23271090

= 0,4684A

I3 = R

202091520920913

= 2327-895

= 0.3846 A

1a coluna = V

matriz R


37

sendo:

. : determinante R = 2327;

Ii = RRi .

Considere o seguinte circuito eltrico (4 ns, 7 resistncias e arbitrando-se o n

1 como referncia) (Figura 2.1.8):

Figura2.1.8.

Este circuito possui duas malhas bsicas (5 elementos, 4 ns, 3 ramos e 2

ligaes). Um possvel conjunto de malhas bsicas mostrado da Figura 2.1.9):

matriz R substituindo a i-sima coluna por V (segundo membro de (2.1.5))


38

Figura 2.1.9.

Equacionamento (Lei de Kirchhoff das malhas)

Malha 1:

V1 R1 I1 R2 (I1 I2) R3 (I1 I2) R4 I1 = 0 ou:

V1 = (R1 + R2 + R3 + R4) I1 + (R2 R 3) I2 (2.1.7)

Malha 2:

R5 I2 R6 I2 R7 I2 R3 (I2 I1) R2 ( I2 I1) = 0 ou:

0 = (R2 R3) I1 + (R2 + R3 + R5 + R 6 + R7) I2 (2.1.8)

As equaes (2.1.7) e (2.1.8) podem ser colocadas na forma matricial:

[ R ] I = V (2.1.9)

sendo:

R =

7R6R5R3R2R3R2R

3R2R4R3R2R1R

=

22R21R12R11R


39

R1 = )(det

1R

4R3R2R1R3R2R

3R2R7R6R5R3R2R

det(R) = (R1 + R2 + R3 + R4) ( R2 + R3 + R5 + R6 + R7) (R2 + R3) 2

I =

2I1I

V =

01V

.

A matriz R possui a seguinte constituio:

R11 : Somatrio das resistncias pertencentes malha 1 (R1 + R2 + R3 + R4);

R12 : Somatrio de todas as resistncias comuns s malhas 1 e 2 , considerando-se os

sinais +: (+) se as malhas esto orientadas no mesmo sentido e () se as malhas forem orientadas em sentidos opostos;

R21 : R12 (simetria);

R22 : Somatrio das resistncias pertencentes malha 2 (R2 + R3 + R5 + R6 + R7).

Assim sendo, estes resultados podem ser estendidos para o caso de circuitos

com qualquer nmero de malhas:

R [Rij] =

jipara;contrriassorientaecomjeimalhaspara)(;sorientaemesmascomjeimalhaspara)(),(sinaiscom

,jeimalhasscomunsasresistncidassomatrio

jipara,imalhaespertencentasresistncidasSomatrio

(2.1.10)

Matriz de resistncias de malhas bsicas.

Exemplo: Considerando-se o circuito mostrado ma Figura 2.1.10., determinar as

correntes de malhas. Neste circuito, as malhas bsicas (3 malhas) podem ser

arbitradas como indicadas (malha 1, malha 2 e malha 3). O n 1 foi adotado

como referncia do circuito.


40

Figura 2.1.10.

Resoluo:

Usando-se o conceito de montagem da equao matricial, referente a lei de

Kirchhoff das malhas (equao (2.1.9), obtm-se o seguinte sistema:

[ R ] I = V (2.1.11)

sendo:

R =

)85(000)4101(404)445(

I =

3I2I1I

V =

V)510(V5V20

Assim, as correntes das malhas bsicas so:

I = [ R1 ] V


41

=

0,3846- 0,0838 1,5642

sendo:

R1 =

0.0769 0 0 0 0,0726 0,0223 0 0,0223 0,0838

siemens.


42

3. TCNICAS DE SIMPLIFICAO, TEOREMA DE THVENIN E MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA

3.1. Teorema de Thvenin

Considerando-se um circuito eltrico complexo, como mostrado na Figura

3.1.1:

Figura 3.1.1. Circuito eltrico complexo.

se desejarmos conhecer a tenso e a corrente no resistor (Rab), em particular, alocado nos

terminais ab do circuito eltrico, uma forma simples de determinao destas grandezas o que se prope o teorema de Thevnin.

O teorema de Thvenin (Leon-Charles Thvenin / francs) afirma que:

Qualquer circuito de corrente contnua linear bilateral de dois terminais pode

ser substitudo por um circuito equivalente constitudo por uma fonte de

tenso e um resistor em srie, conforme mostrado na Figura 3.1.2.


43

Figura 3.1.2. Circuito equivalente de Thvenin.

NB. 1. O circuito de Thvenin fornece uma equivalncia apenas nos terminais

considerados;

2. O teorema de Thvenin bastante til para a resoluo de problemas de

Engenharia Eltrica: anlise de curto-circuito, anlise de ondas viajantes

(propagao de ondas em sistemas de energia eltrica, de comunicao, etc.),

resoluo de circuitos complexos.

Passos do Processo de Clculo de VTH e RTH:

1. Remover a parte do circuito para a qual se deseja obter o equivalente Thvenin, ou

seja, a remoo temporria;

2. Assinalar os terminais do circuito remanescente;

3. Calcular RTH, colocando primeiramente todas as fontes em zero (substituindo as

fontes de tenso por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos)

e, em seguida, determinar a resistncia equivalente entre os dois terminais

escolhidos. Se o circuito original incluir as resistncias internas de fontes de tenso

e/ou fontes de corrente, estas resistncias devem ser mantidas quando as fontes

forem zeradas;


44

4. Calcular VTH, retornando todas as fontes as suas posies originais no circuito e em

seguida determine a tenso entre os dois terminais escolhidos.

5. Concluso. Colocar em srie o circuito equivalente de Thvenin os terminais da

parte removida e resolver o circuito: determinao da tenso Vab e Iab :

Iab = abTH

TH

RRV (3.1.1)

Vab = Rab x Iab . (3.1.2)

Exemplo 1. Determine o circuito equivalente de Thvenin para a parte sombreada do

circuito mostrado na Figura 3.1.3.

Figura 3.1.3. Circuito eltrico.

Soluo:

Passos 1 e 2:

Removendo-se a parte do circuito correspondente ao resistor R4 (terminais

a b) (Figura 3.1.4):


45

Figura 3.1.4.

Passo 3. Determinao da Resistncia de Thvenin

Figura 3.1.5.

RTH =

464x6

= 2,4

Passo 4. Determinao da Tenso de Thvenin


46

Figura 3.1.6.

VTH = R1 x I1

Como:

I1 =

10x2)102(V8

102

2 (divisor de corrente)

= 0,8 A,

Logo:

VTH = 6 x 0,8 A = 4,8 V

Figura 3.1.7. Equivalente Thvenin do circuito mostrado na Figura 3.1.3.

Passo 5. Determinao da Tenso e da Corrente no Resistor R4

Deste modo, a corrente e a tenso sobre o resistor R4 podem ser calculados do

seguinte modo:


47

IR4 = 34,2V8,4

= 0,887 A

VR4 = R4 x IR4

= 3 x 0,887 A = 2,667 V .

Verificao:

A tenso e a corrente no resistor R4 podem ser resolvidas, convencionalmente,

do seguinte modo:

Figura 3.1.8.

I2 =

2363x64

2 x I (divisor de corrente)

= 1,3333 A

sendo:

I = RV8

= 5,3333 A

R = 2)4

363x6(

2x)4363x6(


48

= 1,5

I4 = I2 x

96 (divisor de corrente)

= 1,3333 A x 0,6667 = 0,8887 A

VR4 = R4 x I4

= 3 0,8887 A = 2,667 V (OK!).

Exemplo 2. Determine o circuito equivalente de Thvenin para a parte sombreada do

circuito em ponte (Figura 3.1.9).

Figura 3.1.9.

Soluo:

Passos 1 e 2:


49

Figura 3.1.10. Identificao dos terminais de interesse para a aplicao do teorema de

Thvenin.

Passo 3: Determinao de RTH:

RTH = R1 R3 + R2 R4

=

363x6 +

12412x4

= 2 + 3 = 5

Passo 4: Determinao de VTH

paralelo


50

Figura 3.1.11. Determinao da tenso de Thvenin.

V1 = 3R1R

V1R

=

36V72x6

= 48V

V2 = 4R2R

V2R

=

412V72x12

= 54 V

Vab = V2 V1 = 54 V 48 V = 6 V.

Exemplo 3. Determinar o circuito equivalente de Thvenin para a parte sombreada do

circuito mostrado na Figura 3.1.12.


51

Figura 3.1.12.

Soluo:

Passos 1 e 2. Este circuito pode ser redesenhado como mostrado na Figura 3.1.13:

Figura 3.1.13.

Passo 3. Determinao da Resistncia de Thvenin


52

Figura 3.1.14.

RTH = R4 + R1 R2 R3 = 1,4 k + 0,8 k 4 k 6 k

= 1,4 k + 48,04x8,0

k 6 k

= 1,4 k + 48,04x8,0

k 6 k

= 1,4 k + 2 / 3 k 6 k

= 1,4 k + 6

32

6x32

k

= 1,4 k + 0,6 k RTH = 2000 .

Passo 4. Determinao da Tenso de Thvenin.

Figura 3.1.15.


53

600040004000

40004000800

2I1I

A =

10

106V

2I1I

= 103 x

0,1500 0,1250- 0,1250- 0,3125

1016

Vab = R3 x I2

= 3 V.

Figura 3.1.16. Equivalente Thvenin.

Exemplo 4. Determine a resistncia de Thvenin para a parte sombreada do circuito

mostrado na Figura 3.1.17:

Figura 3.1.17.


54

Passos 1 e 2.

Figura 3.1.18.

Figura 3.1.19.


55

Figura 3.1.20.

RTH = 0,199 .

3.2. Mxima Transferncia de Potncia

O teorema da mxima transferncia de potncia afirma o seguinte:

Assim, tomando-se o circuito equivalente de Thvenin (Figura 3.2.1):

Figura 3.2.1. Circuito equivalente de Thvenin.

A potncia transferida a uma carga por um circuito de corrente contnua linear

bilateral ser mxima quando a resistncia desta carga for exatamente igual a

resistncia de Thvenin.


56

A potncia da carga pode ser expressa por:

PL = I2 RL (3.2.1)

Como a corrente eltrica I expressa por:

I = LTH

TH

RRV (3.2.2)

ento:

PL = 2LTH

L2

TH

)RR(RV

(3.2.3)

PL = L

2THR4

V

A partir da expresso (3.2.3) busca-se estabelecer a mxima potncia consumida

pela carga em funo da resistncia RL, ou seja, calculando-se a derivada parcial de PL em

relao a RL:

L

LRP

= 4

LTH

2LTHLLTH

2TH

)RR(])RR(Rx)R2R2([V

= 4LTH

2LLTH

2TH

2LLTH

2TH

)RR(]RRR2RR2RR2[V

= 4LTH

2TH

2L

2TH

)RR(]RR[V

(3.2.4)

Fazendo-se:


57

L

LRP

= 0 RL2 RTH2 = 0 (determinao de um ponto extremo), ou seja:

(3.2.5)

Calculando, agora, a segunda derivada parcial de PL em relao a RL, tem-se:

]RP[

R LL

L

= 8

LTH

L4

LTH2

TH2

L3

LTH2

TH

)RR(]R2x)RR()RR(x)RR(x4[V

(3.2.6)

THRLRL

L

L]

RP[

R

= 4

LTH

L2

TH

)RR(RV2

< 0, para RL > 0. (3.2.7)

Deste modo, considerando-se o resultado definido pela relao (3.2.7), pode-se

concluir que RL = RTH corresponde a um ponto mximo de PL, como enunciado pelo

teorema da mxima transferncia de potncia. Ento, a potncia mxima pode ser expressa

por:

PLmax = L

2THR4

V (3.2.8)

Exemplo. Determine o valor de RL do circuito mostrado na Figura 3.2.2 para que a

potncia fornecida a esta resistncia seja mxima e determine o valor desta potncia.

Figura 3.5.2.

RL = RTH


58

Soluo:

A resistncia de Thvenin vale:

RTH = R3 + R1 R2

= 8 +

363x6

= 10.

Tenso de Thvenin:

VTH = R2 x 2R1R

V

= 3 x 36V12

= 4 V.

Potncia Mxima:

RL = RTH (resistncia da carga correspondente mxima potncia de transferncia)

PLmx = L

2THR4

V

= 10x4)V4( 2

= 0,4 W.


59

4. MTODOS CLSSICOS PARA RESOLUO DE CIRCUITOS, FORMAS DE ONDA, VALOR EFICAZ E FASORES

4.1. Introduo

Neste captulo, sero abordadas as tcnicas de resoluo de circuitos de

corrente e tenses senoidais. Deve-se observar que as leis (1a e 2a leis de Kirchhoff),

teoremas (Thvenin, etc.), divisores de tenso / de corrente e tcnicas (resoluo por

malhas e resoluo nodal) usados no contexto de corrente contnua so igualmente

aplicados no caso de sinais senoidais, mutatis mutandis. Evidentemente, os circuitos com

sinais senoidais possuem suas particularidades. Portanto, todos estes detalhes sero

focalizados na sequncia.

4.2. Fontes de Corrente Alternada

As tenses (e correntes) senoidais podem ser geradas por diversas fontes. As

mais comuns so as que esto disponibilizadas nas tomadas residenciais, que fornecem

tenso alternada, que so produzidas em uma usina geradora. Essas usinas so, em geral,

alimentadas por quedas dgua (hidreltricas) leo, gs, fisso nuclear, etc. (termeltricas).

Em cada caso, um gerador CA (Corrente Alternada) o componente mais importante no

processo de converso de energia (energia mecnica em energia eltrica). Os tipos de

fontes, de corrente alternada, mais comuns so:

1. gerador sncrono;

2. gerador elico (mquina assncrona);

5. gerador de sinais.


60

4.3. Definies

A forma de onda da tenso eltrica senoidal, com seus parmetros, vista na

Figura 4.3.1. Deste modo, adiante, sero apresentadas as principais definies sobre sinais

senoidais.

Forma de onda : Grfico de uma grandeza (e.g., como mostrado na Figura 4.3.1 em funo da varivel independente t (tempo));

Figura 4.3.1. Parmetros importantes de uma onda de tenso.

A forma de onda da Figura 4.3.1 representa a tenso senoidal dada por:

e(t) = Em sen (wt) (4.3.1)

sendo:

e(t) : tenso senoidal em funo do tempo e da frequncia (volt);

Em : amplitude da onda de tenso;

w : velocidade angular (radianos por segundo (rad/s))

2 f; f : frequncia (hertz) (Heinrich Rudolph Hertz / Alemo)

NB. 1 hertz (Hz) corresponde a 1 ciclo por segundo (c/s).


61

Considerando-se a tenso definida pela equao (4.3.1), aplicada em um

elemento da rede eltrica e o regime permanente, a corrente eltrica, tambm, ser uma

forma de onda senoidal definida pela seguinte expresso:

i(t) = Im sen (wt + ) (4.3.2) sendo:

i(t) : forma de onda da corrente;

Im : amplitude da corrente;

: defasamento angular.

Dependendo do tipo de elemento (resistor, capacitor e indutor, os quais so os

elementos principais usados no contexto desta disciplina), o parmetro pode ser nulo (circuito puramente resistivo), negativo (circuito indutivo) e positivo (circuito capacitivo),

em relao tenso. Assim, diz-se que a corrente est atrasada ou adiantada, em relao

tenso, se for negativo ou positivo, respectivamente, conforme ser abordado adiante.

Valor instantneo : Valor da forma de onda em um instante de tempo qualquer, e.g., e(t1) e e(t2) na Figura 4.3.1.

Amplitude de pico : Valor mximo de uma forma de onda em relao a um valor mdio. Na forma de onda mostrada na Figura 4.3.1, o

valor mdio zero e a amplitude Em.

Valor de pico : Valor mximo de uma forma de onda medido a partir do nvel zero. No caso da forma de onda vista na Figura 4.3.1,

a amplitude de pico e o valor de pico so idnticos, pois o

valor mdio da funo tenso zero volt.

Valor pico a pico : Diferena entre os valores dos picos positivo e negativo, ou seja, a soma dos mdulos das amplitudes positiva e

negativa. Simbologia Ep-p.

Forma de onda peridica : Forma de onda que se repete continuamente aps um certo


62

intervalo de tempo constante. A forma de onda da Figura

4.3.1. peridica.

Perodo : Intervalo de tempo entre repeties sucessivas de uma forma de onda peridica. Simbologia: Por exemplo, as

indicaes T1, T2 e T3 (T1 = T2 = T3) mostradas na Figura

4.3.1.

Ciclo : Parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a um perodo. Os ciclos definidos por T1, T2 e

T3 podem parecer diferentes, porm, como esto contidos

em um perodo, satisfazem definio de ciclo.

Frequncia : O nmero de ciclos que ocorrem em 1 segundo. Simbologia: f.

(a) (b) (c)

Figura 4.3.2. Ilustrao do efeito da mudana da frequncia sobre o perodo de uma forma

de onda senoidal.

A frequncia da forma de onda mostrada nas Figuras 4.3.2 (a), 4.3.2(b) e

4.3.3.(c) so 1 1 c/s ( T = 1 s), 2 c/s ( T = 0,5 s) e 2,5 c/s (T = 0,4 s),

respectivamente.

Como a frequncia inversamente proporcional ao perodo, estas duas

grandezas esto assim relacionadas:


63

f = T1 (4.3.3)

sendo:

f = Hz

T = segundo (s).

ou:

T = f1 (4.3.4)

Exemplo. Determine a frequncia e o perodo da forma de onda mostrada na Figura 4.3.3:

Figura 4.3.3.

Soluo. A partir da Figura 4.3.3., tem-se:

T = 25 ms 5 ms = 20 ms

f = T1

= s10x20

13

= 50 Hz.

Polaridade : A polaridade da fonte de tenso e o sentido da corrente sero correspondentes ao semiciclo positivo da forma da

respectiva forma de onda (vide Figura 4.3.4).


64

(a) (b)

Figura 4.3.4. (a) Fonte de tenso alternada senoidal. (b) Fonte de corrente senoidal.

4.4. Espectro de Frequncia

A ttulo de curiosidade, relacionam-se, nos quadros 4.4.1 e 4 4.2, as principais

faixas de frequncia observadas no contexto da Engenharia Eltrica.

Quadro 4.4.1.


65

Quadro 4.4.2.

Modalidade Detalhe Faixa de Frequncia Gerao, transmisso e distribuio de energia

eltrica

60 Hz (Brasil) 50 Hz (Europa)

FM 88 MHz 108 MHz TV Canais 2 6 54 MHz 88 MHz TV Canais 7 13 174 MHz 216 MHz TV Canais 14 83 470 MHz 890 MHz CB Faixa Cidado 26,9 MHz 27,4 MHz

Fornos de Microondas 2,45 GHz Ondas Curtas 1,5 MHz 30 MHz

4.5. Representao de Grandezas Eltricas por Nmeros Complexos

Ser introduzido, nesta subseo, um sistema de nmeros complexos que,

quando aplicado a formas de onda senoidais, resulta numa tcnica de aplicao rpida,

direta e precisa, que facilita bastante a resoluo de circuitos eltricos.

Assim, um nmero complexo pode ser representado por um ponto em um

plano , referido a um sistema de eixos cartesianos. O eixo horizontal designado eixo real,

enquanto que o vertical denominado eixo imaginrio. Na Figura 4.5.1 ilustrado um

nmero complexo:

C = x + j y

sendo:

C : nmero complexo;

x e y : so nmero reais;

j 1 (na maioria das referncias matemticas, a representao deste operador caracterizada pela letra i. Contudo, em Engenharia Eltrica, a letra i est

reservada para indicar a varivel corrente eltrica. Da decorre o

significado do uso da letra j para indicar o nmero imaginrio unitrio).


66

Figura 4.5.1. Representao de um nmero complexo.

O nmero complexo C (equao 4.5.1) pode ser representado da seguinte

forma, a partir da ilustrao mostrada na Figura 4.5.2:

Figura 4.5.2.

1. Forma Retangular

C = x + j y (4.5.1)

2. Forma Polar

C = Z (4.5.2) sendo:

Z = 22 yx (mdulo);

= tan1 (xy ) (ngulo ou argumento).


67

3. Forma Trigonomtrica

C = Z cos () + j Z sen () (4.5.3)

4. Forma Exponencial

C = Z exp(j ) (4.5.4) sendo:

exp nmero de Neper = 2,7183.

Exemplo. Considere o seguinte nmero complexo: C= 3 + j 4. Assim, nas diversas

representaes, tm-se as seguintes equivalncias:

C = Z sendo:

Z = 22 43 = 5

= tan1 (34 )

= 53,1301o (0,9273 radiano).

Portanto:

C = 3 + j 4

= 5 53,1301o = 5 exp ( j 53,1301o )

= 5 cos (53,1301o) + j sen (53,1301o).

4.6. Principais Operaes com Nmeros Complexos

Estas vrias formas de representao de um nmero complexo servem para

simplificar os clculos. Por exemplo, quando se efetuam clculos com nmeros complexos


68

de soma ou subtrao, a melhor forma a representao retangular, enquanto que, se for

multiplicao ou diviso a melhor alternativa usar a forma polar ou exponencial.

Soma / Subtrao

A soma ou subtrao de 2 nmeros complexos:

C1 = x1 + j y1 (4.6.1)

C2 = x2 + j y2 (4.6.2)

Soma:

C1 + C2 = (x1 + x2) + j (y1 + y2).

Subtrao:

C1 C2 = (x1 x2) + j (y1 y2).

Multiplicao / Diviso

A multiplicao / Diviso entre 2 nmeros complexos C1 e C2 podem ser mais

eficientemente realizadas usando a forma polar (exponencial):

C1 = Z1 1 (4.6.3) C2 = Z2 2 (4.6.4) Multiplicao:

C1 x C2 = (Z1 1) x (Z2 2) = Z1 x Z2 (1 + 2) (igual ao resultado correspondente ao produto dos

mdulos e a soma dos ngulos).

Diviso:

2C1C = (Z1 1) / (Z2 2)

= 2Z1Z (1 2) (igual ao resultado correspondente diviso dos

mdulos e a subtrao dos ngulos).


69

Exemplo. Realizar o clculo da seguinte expresso complexa:

C = 5j 1

3)j- (2 x 4)j 3 (

= ooo

78,69015,0990)56,30993,6056 (x)53,13015(

= 099,5

6056,3x5 (53,1301 56,3099 78,6901)o

= 3,5356 81,8699 o = 3,5356 1,4289 radianos = 0,5 j 3,5

Radiciao

Qualquer nmero complexo C = Z , tambm pode ser expresso por:

C = Z ( + 2 n), (4.6.5)

sendo:

n = 0, +1, + 2, . . .

Ento:

k C = k Z ( + 2 n)/ k (4.6.6) Exemplo. Calcular:

P = 2 2j4 = Z

Z = 2 2 22 )24(

Z = 2 4721,4

= 2,1147


70

1 = 2

)42(tg 1

= 0,2318 rd

2 = 3,3733 rd

ou seja:

P1 = ( 2,0582 + j 0,4859) e P12 = 4 + j 2 (OK!) P2 = (-2,0582 j 0,4859) P22 = 4 + j 2 (OK!).

Como neste caso so 2 razes, tomou-se n = 0 e n = 1.

Logaritmo

O logaritmo neperiano de um nmero complexo pode ser determinado com

facilidade, a partir da forma exponencial. O resultado no nico. Contudo, usa-se, mais

freqentemente, o valor principal, quando n = 0, ou seja:

se:

C = Z exp( j ), ento, ln (C) = ln (Z) + j .

4.7. Fasores

No contexto de circuitos de corrente alternada, h necessidade de realizar

vrias operaes matemticas (adio, subtrao, multiplicao, etc.) de funes senoidais.

Estas operaes, convencionalmente, envolvem clculos complexos de funes no-

lineares. Para resolver este problema, Steinmetz (Charles Proteus Steinmetz / Norte-

americano) props uma tcnica designada Fasores que facilita bastante a resoluo de

circuitos CA, conforme ser abordado na sequncia.


71

Supondo-se que se deseja realizar o seguinte clculo de tenses:

vT = v1 + v2 (4.7.1)

sendo:

v1 = 2 sen (wt + 90o)

v2 = 1 sen (wt ).

Resoluo:

A funo vT pode ser calculada, por exemplo, usando o procedimento

apresentado no item NB 1:

vT = 2,236 sen (wt + 63,43). (4.7.2).

As formas de onda de v1, v2 e vT encontram-se ilustradas na Figura 4.7.1(b).

Figura 4.7.1.

NB 1:

Os componentes senoidais da equao (4.7.1) podem ser expressos na seguinte

forma:

NB 1

(a)

(b)


72

A sen (x + a) + B sen (x) = A sen (x) cos (a) + A sen (a) cos(x) + B sen (x)

sendo: x = w t, A = 2, B = 1 e a = 90o (1,5708 rd).

Como esta soma deve produzir um sinal senoidal, ento:

A sen (x) cos(a) + A sen (a) cos(x) + B sen (x) = C sen(x + ) = C sen(x) cos + C sen cos (x) ou:

{A cos (a) + B} sen (x) + A sen (a) cos (x) = C cos sen (x) + C sen cos(x) (4.7.3) com parmetros C e a ser determinados. Deste modo, comparando-se os

coeficientes (em ambos os lados) da equao 4.7. 3, tm-se:

{A cos(a) + B} = C cos A sen(a) = C sen, de onde se conclui que:

= tg1 (B)acos(A)a(senA

)

C = (A cos(a) + B) cos () + A sen (a) sen () Do exemplo anterior:

A = 2

B = 1

a = 90 /180 (rd.) = 1,5708 rd

ento:

= tg1 [1)1,5708(cos2

)1,5708(sen2 ]

= 1,1071 (rd.)


73

= 63,43

C = [ 2 cos(1,5708) + 1] cos(1,1071) + 2 sen (1,5708) sen(1,1071)

= 2,236

ou seja:

Como se pode notar, a execuo de uma adio simplesde duas funes

senoidais necessitou de um algebrismo razoavelmente complexo. A complexidade torna-

se ainda maior se as operaes com tais funes forem mais exigidas. Deste modo, a

seguir, ser apresentado o conceito de fasor que, certamente, constitui-se numa ferramenta

muito eficiente para a manipulao de funes senoidais, como o caso de circuitos

eltricos CA.

Considerando-se uma funo temporal complexa defina por:

f(t) r exp (j wt) (4.7.4)

sendo:

r : parmetro constante;

w : velocidade;

t : tempo.

A equao (4.7.4), usando-se a frmula de Euler, pode ser expressa por:

f(t) r cos wt + j r sen wt (4.7.5)

Fim da NB 1 1

vT = 2,2361 sen (wt + 63,4361o)


74

Analisando esta equao percebe-se que f(t) pode ser interpretada como sendo

um vetor girante de tamanho r (constante), descrevendo uma circunferncia com

movimento anti-horrio, conforme pode ser visto na Figura 4.7.2.

Figura 4.7.2. Conceito de Fasor.

O movimento anti-horrio pode ser melhor observado ao tomarmos, por

exemplo, o tempo inicial t0 = 0. Neste caso, as projees de f(t0) no eixo real e no eixo

imaginrio, valem r ( r cos 0) e 0 (r sen 0), respectivamente. Em instante ligeiramente

superior (t1 = t0 + h (h > 0 e pequeno)), a projeo real diminuir (r cos w t1 < r cos w t0)

e a projeo no eixo imaginrio ir aumentar ( r sen wt1 > r sen wt0), o que indica um

movimento anti-horrio, cuja velocidade corresponde velocidade da onda (w).

Deste modo, se representarmos a equao (4.7.1), em termos de fasores, tem-se:

vT = 2 sen (wt + 90o) + 1 sen (wt ) (notao temporal) (4.7.6)

= 2 90o + 1 0o (notao fasorial) = 0 + j 2 + 1 + j 0

= 1 + j 2

= 22 21 tg1 (12 )

= 2,2361 1,1071 rd = 2,2361 63.43o (OK !) ( ilustrao mostrada na Figura 4.7.1.(a)).

Fasor


75

Exemplo. Determine a soma de duas correntes eltricas:

iT = i1 + i2 (4.7.7)

sendo:

i1 = 5 sen (wt + 30o)

i2 = 6 sen (wt + 60o).

Resoluo. Estas correntes encontram-se ilustradas na Figura 4.7.3(b).

Figura 4.7.3.

i1 = 5 sen (wt + 30o)

= 5 30o =

i2 = 6 sen (wt + 60o)

= 6 60o iT = 5 30o+ 6 60o = 4,3301 + j 2,5000 + 3,0000 + j 5,1962

= 7,3301 + j 7.6962

= 10,6284 46,3957o, (ilustrao mostrada na Figura 4.7.3(a)).

(a)

(b)


76

Portanto, este procedimento, certamente, bem mais simples, se comparado ao

apresentado, e.g., na NB 1.

Deve-se ressaltar que o uso do conceito de fasor muito fcil de ser

empregado. Ainda que o fasor gire, no sentido anti-horrio, a uma velocidade constante, o

que importa, em termos de tenso e de corrente eltricas, o movimento relativo. Ou seja,

estas duas grandezas, relativamente, so vistas como estacionrias (tenso e corrente

giram mesma velocidade). Da decorre a importncia dos fasores na resoluo de

circuitos senoidais.

4.8. Diagrama Fasorial

A representao de grandezas eltricas (tenses e correntes) senoidais por

fasores torna a anlise de circuitos eltricos bastante simples, ou seja, trabalha-se com

operaes vetoriais simples. O diagrama fasorial a representao grfica de tais

grandezas registradas correspondentes ao instante t = t0 (tempo inicial da observao da

evoluo das curvas no tempo).

Para ilustrar o diagrama fasorial, emprega-se o problema enunciado a

seguir.

Problema 1. Obter o diagrama fasorial das seguintes grandezas eltricas:

E = V + z x I (4.8.1)

sendo:

V = 4 sen wt V

I = 1 sen (wt 30o) A Z = j 2 . j = 1 .


77

Estas grandezas podem ser assim representadas:

V = 4 0o V (fasor) I = 1 30o A (fasor) Z = 2 90o .

Assim, a tenso E pode ser determinada por:

E V + Z x I = (4 0o) V + (2 90o) x (2 30) A = 4 0o + 2 60o = 4 + j 0 + 1 + j 1,7321

= 5 + j 1,7321

= 5,291519,1066 o

Na Figura 4.8.1. ilustrado o diagrama fasorial.

Figura 4.8.1.

Deste modo, a tenso E vale (vide Figura 4.8.2):

E = 5,2915 sen (wt +19,1066 o) volts.


78

Figura 4.2.8. Evoluo da forma de onde de E.

4.9. Indutncia

Quando uma corrente em um circuito varia, o fluxo magntico que envolve

tambm varia. Esta variao de fluxo ocasiona a induo de uma f.e.m. (fora eletromotriz)

v(t) no circuito eltrico. A f.e.m. induzida v proporcional taxa da variao da corrente

em relao ao tempo. A constante de proporcionalidade chamada indutncia do referido

circuito (vide Figura (4.9.1)):

v(t) = L dtdi (4.9.1)

ou:

i(t) = dtvL1 (4.9.2)


79

Figura 4.9.1.

sendo:

v : f.e.m. induzida (volt);

dtdi = ampre/s

L volt/ampre : henry (Joseph Henry /Norte-americano)

NB. A indutncia de um circuito de 1 henry, se a f.e.m. induzida no referido circuito

de 1 volt, quando a corrente varia razo de 1 ampre/s.

NB. A equao (4.9.1) vlida para circuitos em que a indutncia assumida como

uma constante. Contudo, h casos em que tal considerao no pode ser adotada,

por exemplo, em circuitos de mquinas eltricas rotativas. Neste caso, o

comportamento da tenso pode ser expresso por:

v(t) = dtd (4.9.3)

sendo:

enlace de fluxo magntico (weber-espira) (Wilhelm Eduard Weber/Alemo) = L i (4.9.4)

Ento, a equao (4.9.3) vale:

v(t) = idtdL

dtdiL (4.9.5)


80

que corresponde expresso geral do comportamento da tenso para circuitos

magnticos.

4.10. Capacitncia

A diferena de potencial v entre os terminais de um capacitor proporcional

carga eltrica q existente no referido circuito. A constante de proporcionalidade C e

chamada capacitncia do capacitor (vide Figura 4.10.1).

Figura 4.10.1.

q(t) = C v(t) (4.10.1)

i(t) = dtdq (4.10.2)

ou:

v(t) = dtiC1 (4.10.3)

sendo:

q : carga em coulomb (Charles Augustin de Coulomb / Francs);

v : em volt

C coulomb / volt : farad (Michael Faraday /Ingls)

NB. Um capacitor possui uma capacitncia de 1 farad, se uma carga de 1 coulomb for

depositada em suas placas por uma diferena de potencial de 1 volt entre elas.


81

4.11. Valor Mdio e Valor Eficaz

s formas de onda peridicas podem ser definidos dois importantes conceitos,

que so: (1) Valor Mdio e (2) Valor Eficaz.

4.11.1. Valor Mdio

Uma funo peridica geral y(t) , de perodo T, possui um valor mdio definido

por:

(4.11.1.1)

Esta definio encontra pouca utilidade em circuitos eltricos por produzir, em

vrios casos, um valor nulo (e.g., para a funo senoidal) (vide Exerccio 1 adiante). Porm,

o conceito de valor eficaz, que ser abordado na sequncia, introduz informaes

importantes, do ponto de vista dos circuitos eltricos, no trato de formas de onda.

4.11.2. Valor Eficaz

Uma funo peridica geral y(t) , de perodo T, possui um valor eficaz definido

por:

(4.11.2.1)

T

})t(y{rea 2 (4.11.2.2)

Ymed T1

T

0dt)t(y

Yrms T

0

2 dt})t(y{T1


82

A rotulao rms dada pelo significado de valor mdio quadrtico (rms root-

mean-square).

O significado do valor eficaz pode ser melhor compreendido atravs do

seguinte experimento (mostrado na Figura 4.11.2.1).

Figura 4.11.2.1.

Trata-se de um circuito com fontes de tenso em corrente alternada (CA) e em

corrente contnua (CC) alimentando uma carga resistiva (resistncia R). Cada fonte possui

uma chave (chaves 1 e 2).

Se a chave 1 for ligada com a chave 2 desligada, uma corrente ICC, que depende

da resistncia R e da tenso VCC da bateria, atravessar o resistor R. Se a chave 2 for ligada

e a chave 1 estiver aberta, a corrente eltrica alternada (com amplitude Imax) alimentar o

resistor R. A fonte alternada dever ser ajustada de tal forma que a potncia fornecida

carga (resistor R) seja a mesma, se alimentada por corrente contnua. Assim, a potncia

instantnea fornecida pela fonte de corrente alternada ser dada por:

PCA = ICA2 R

= (Imax2 sen2 wt) R (4.11.2.3)

Porm:

sen2 wt = )wt2cos1(21 ,

cos (2 A) = cos A cos A - sen A sen A = cos2 A - sen2 A = (1 - sen2 A) - sen2 A = 1 2 sen2 A. assim:

sen2 A = )A2cos1(21

Identidade trigonomtrica


83

Portanto:

PCA = Imax2 [ )wt2cos1(21 ] R

= wtcos2

RaxIm2

RaxIm 22 (4.11.2.4)

A potncia mdia fornecida pela fonte alternada corresponde apenas ao

primeiro termo (Imax2 R/2), j que o valor mdio de um co-seno zero, ainda que a

frequncia da onda seja o dobro da forma de onda da fonte. Igualando-se a potncia

mdia, fornecida pela fonte de corrente alternada, potncia fornecida pela fonte de

corrente contnua (via bateria), obtm-se:

Pmdia (CA) = PCC (4.11.2.5)

2RaxIm 2 = ICC2 R (4.11.2.6)

ou seja:

ICC = 2axIm (4.11.2.7)

= 0,7071 Imax.

Portanto:

Este , por conseguinte, o significado do valor eficaz de formas de onda

senoidais.

O valor equivalente CC de uma tenso ou corrente senoidal vale 0,7071 (1/ 2 ) do seu valor mximo.


84

4.11.3. Exerccios

Exerccio 1. Determinar os valores mdio e eficaz para a seguinte forma de onda:

y(t) = Ymax sen wt

Figura 4.11.3.1.

Considerando-se que o perodo igual a 2, ento, o valor mdio ser:

Ymed = 21

2

0)wt(dwtsenmaxY

= 21 20wtcosmaxY

= 0.

O valor eficaz vale:

Yrms = 2

0

2 )wt(d)wtsenmaxY(21

= Ymax 20]2

wtcossenwtwt[21

= 2

maxY

Yrms = 0,7071 Ymax. (valor eficaz de uma funo senoidal)

DEE C/ISA UNESP Eletricidade Curso de Graduao em Engenharia Civil C. R. Minussi

85

5. CONCEITO DE IMPEDNCIA E DE ADMITNCIA

As formas de onda de tenso e de corrente a ser abordadas neste Captulo so

essencialmente senoidais. Considerando-se este tipo de forma de onda, adiante sero

apresentados os conceitos de impedncia e de admitncia, visando beneficiar-se da tcnica

de fasores de Steinmetz.

5.1. Impedncia

A impedncia, pela Lei de Ohm, definida como sendo a relao entre a tenso

aplicada no circuito e a corrente eltrica que circula no referido circuito, ou seja:

Z correntetenso (5.1.1)

sendo:

Z : impedncia ().

Na abordagem a ser apresentada adiante, considerar-se-o formas de onda

senoidais. Assim sendo, a tcnica a ser usada refere-se anlise fasorial.

Para tenso e corrente senoidais a relao (5.1.1) ter um mdulo e um ngulo.

Na Figura 5.1.1. mostram-se as formas de onda da tenso e da corrente eltrica,

considerando-se, isoladamente, a aplicao sobre uma resistncia R, indutncia L e

capacitncia C, respectivamente, tomando-se como referncia a tenso V definida por:

V(t) = Vmax sen wt (5.1.2).

sendo:

Vmax : amplitude da tenso V(t) (V);

V = 0 (ngulo de fase da tenso).


86

Deste modo, a corrente eltrica I(t) pode ser expressa por:

I(t) = Imax sen (wt + I) (5.1.2).

sendo:

Imax : amplitude da corrente I(t) (A);

I : ngulo de fase da corrente.

Figura 5.1.1.

Na Tabela 5.1.1 apresentam-se as relaes entre tenso, corrente e impedncia

para circuitos senoidais.

Tabela 5.1.1.

Elemento Expresso da Corrente

Corrente para

V(t) = Vmax sen wt

Resistncia R IR =

R)t(V IR =

RmaxV sen wt

Indutncia L IL = dt)t(VL1 IL = )wtcos(

wLmaxV

Capacitncia C IC =

dt)t(dVC

IC = wtcosmaxVwC


87

A tenso e a corrente eltrica podem ser representadas por fasores da seguinte

forma:

V = Vmax 0o (5.1.3) I = Imax I (5.1.4)

A corrente eltrica, em termos da tenso V e da impedncia Z, vale:

I Imax I

= Z

0

Z0maxV

(5.1.5)

Assim, a impedncia Z pode ser expressa, no plano complexo, por:

Z = R + j X (5.1.6)

em que:

Z = 22 XR

X : reatncia

Z = )RX(tg 1

X = w L (para a indutncia) (5.1.7)

X : valor positivo

X = Cw

1 (para capacitncia) (5.1.8)

X : valor negativo.

NB. Quando maior for a frequncia (w = 2 f), maior ser a reatncia indutiva e menor (em mdulo) ser a reatncia capacitiva (vide Figura 5.1.2).


88

Figura 5.1.2.

A impedncia Z, no plano complexo, ilustrada na Figura 5.1.3.

Figura 5.1.3.

Por conseguinte, a partir das equaes (5.1.6), (5.1.7) e (5.1.8), conclui-se que:

I = ZZmaxV (5.1.9)

(1) Para um elemento puramente resistivo:

I = 00ZmaxV (corrente em fase com a tenso) (5.1.10)


89

Figura 5.1.4. Corrente em fase com a tenso.

(2) Para um elemento puramente indutivo:

I = 090ZmaxV (corrente fica atrasada de 90o sobre a tenso) (5.1.11)

Figura 5.1.5. Corrente atrasada de 90o em relao tenso.

(3) Para um elemento puramente capacitivo:

I = 090ZmaxV (corrente fica adiantada de 90o sobre a tenso) (5.1.12)

Figura 5.1.6. Corrente adiantada de 90o em relao tenso.


90

5.2. Admitncia

A admitncia definida como sendo uma operao inversa da impedncia, ou

seja:

Y = Z1 (5.2.1)

Considerando-se a definio da impedncia (Equao (5.1.6)), pode-se

expressar a admitncia da seguinte forma:

Y = XjR

1 (5.2.2)

Multiplicando-se e dividindo-se a equao (5.2.2), obtm-se:

Y = )XjR()XjR(

XjR

(5.2.3)

= 22 XRXjR

,

Resultando em:

Y G + j B (5.2.4)

sendo:

G : condutncia

= 22 XRR


91

B : susceptncia

= )XR

X( 22 .

5.3. Exemplos

Exemplo 1:

Num circuito srie (Figura 5.3.1) contendo R, L e C a corrente I(t) Imax sen

wt. Determine a tenso nos terminais de cada um dos elementos indicados e mostre o

diagrama fasorial.

Figura 5.3.1.

Tenso VR(t)

VR(t) = R I(t)

= R x I(t)

= R x Imax sen wt

Tenso VL(t)

VL(t) = L dt

)t(dI

= L dt

)wtsenax(Imd

R L C


92

= L x Imax cos wt

Tenso VC(t) VC(t) = dt)t(IC

1

= dt)wtsenax(ImC1

= )wtcos(axImCw

1

Tenso V(t) V(t) = VR + VL + VC

V(t) = R Imax sen wt + w L Imax cos wt - wtcosaxImCw

1 .

Representao Fasorial

RV = R Imax 0o LV = w L Imax 90o

CV = Cw1 Imax (180o + 90o)

= Cw

1 Imax 270o


93

Figura 5.3.2.

Exemplo 2:

Determine a impedncia e a admitncia do Exemplo 1, considerando-se R = 2 , L = 0,5 x 103 henry, C = 0,1 x 103 farad e frequncia igual a 1000 herts.

Z = R + j (X L + XC)

w = 2 f = 2 1000 hertz = 6283,2 rad./s

sendo:

XL = w L (reatncia indutiva)

= 6283,2 x 0,5 x 103

= 3,1416

XC Cw

1 (reatncia capacitiva)

= 310x1,0x2,62831

= 1,5915 .

Portanto:

Z = 2 + j (3,1416 1,5915) = (2 + j 1,55) (impedncia indutiva) Y =

Z1 (admitncia)

= 1,55) j (21

= ) 1,55 j (21,55) j (2

1,55 j 2


94

= )1,55 (2

1,55 j 222

= ,17

1,55 j 2

= (0,2817 j 0,2183) mhos (admitncia indutiva).

Exemplo 3:

Considerando-se os valores fixos de R, L e de frequncia do Exemplo 2,

determine o valor da capacitncia C, de tal modo que a impedncia seja exclusivamente

resistiva.

Considerando-se que:

Z = R + j (X L + XC) ,

seja puramente resistiva, a reatncia capacitiva deve, em mdulo, ser igual reatncia

indutiva, ou seja:

XC Cw

1

= 3,1416

Portanto:

C = CXw

1

= 3,1416x10x6,2832

13

= 5,066 x 105 farad.

= 0,5066 F (microfarad)


95

= 506,6 F (nanofarads).

NB. O Exemplo 3 corresponde a um caso tpico de correo do fator de potncia, o qual

um assunto de grande importncia no contexto de circuitos eltricos na

atualidade. Este assunto ser abordado, neste curso de circuitos eltricos, na Parte 7.


96

6. RESOLUO DE CIRCUITOS ELTRICOS DE CORRENTE ALTERNADA

Neste Captulo ser abordada a resoluo de circuitos eltricos com fontes

senoidais e em regime permanente. Como na resoluo destes circuitos eltricos

empregase a maioria das tcnicas j apresentadas (lei de Ohm, leis de Kirchhoff,

equivalente de Thvenin, converso de fontes, etc.), no havendo grandes novidades de

conceitos, o desenvolvimento a seguir, basicamente, ser reservado para a resoluo de

exerccios.

6.1. Resoluo de Exerccios

Exerccio 1. Escrever as equaes das correntes de malha do circuito mostrado na Figura

6.1.1:

Figura 6.1.1.

sendo:

R1 = 5 R2 = 10 R3 = 8


97

R4 = 3 L1 = 3 m H

L2 = 3 m H

C = 100 F V1 = 14,1421 sen( wt) V

V2 = 7,071 sen (wt + 30o) V

fo = 200 Hz.

Resoluo:

1V = 10 0o V 2V = 5 30o V

w = 2 60 Hz = 1256,6 rd./s

XL1 = w L1

= 1256,6 x 3 x 103

= 3,77 XL2 = 3,77 XC =

Cw1

= 7,96.

O nmero de malhas bsicas (independentes) ser:

nb = 3.

Na Figura 6.1.2., so apresentados os dados do circuito e a escolha das

correntes das malhas (I1, I2 e I3). So 3 correntes de malhas independentes, cuja

orientao, como sendo arbitrria, foi adotada no sentido horrio. Tais correntes so:

I1 ( j 7,76 ) + (I1 I2) 10 + (I1 I3) 5 = 0 V

Valor eficaz


98

I2 (j 3,77 ) + (I2 I3) 8 + (I2 - I1) 10 = 5 30o V I3 (3 + j 3,77) + (I3 I1) 5 + (I3 I2) 8 = 100o V

Figura 6.1.2.

Estas equaes podem ser postas na forma matricial:

Z I = V (6.1.1)

sendo:

I =

3I2I1I

A

Z =

77,31685877,3j181051097,7j15

V =

o

o

301005

0 V.

Ou seja: I = (Z)1 V (6.1.2)


99

Z1 =

0,0394j) - (0,1583 0,0261j) - (0,1333 0,0349j) + (0,1231 0,0261j) - (0,1333 0,0221j) - (0,1896 0,0525j) + (0,1429 0,0349j) + (0,1231 0,0525j) + (0,1429 0,1205j) + (0,1390

3I2I1I

=

0,3198j - 2,2349- 0,3302j - 2,2326- 1,1802j - 1,6063-

A

=

o

o

o

8,14342,2577

8,41302,2569

36,30591,9933

A.

NB. No exerccio 1 a magnitude de tenso foi adotada como sendo o valor eficaz, por

conseguinte a magnitude da corrente, tambm, ser um valor eficaz. Da mesma

forma, se na tenso for considerada o valor de pico (vmx), a corrente obtida ser

um valor de pico. Ou seja, a soluo da corrente dada pela equao (6.1.3):

I = (Z)1 V (6.1.3)

Supondo-se que na equao (6.1.3) as tenses so expressas pelos seus valores

eficazes (V V / 2 ), ento, a equao (6.1.3) pode ser expressa por:

I = (Z)1 V 2

1 (6.1.4)

= 2

1 (Z)1 V

I(representao por valor de pico)

isto porque a equao (6.1.3) linear e Z uma matriz constante para qualquer

representao (valor de pico ou eficaz).

I(representao por valor eficaz) = 2

1 I(representao por valor de pico)


100

Exerccio 2. Determinar as correntes referentes s malhas bsicas do circuito eltrico

mostrado na Figura 6.1.3.

Figura 6.1.3.

Figura 6.1.4.

A equao matricial das malhas bsicas ser:

]2j)1025[()2j2(5)2j2()]25(j)102[(5j

55j)]25(j)52[(

3I2I1I

=

o

o

o

9010305010

ou:


101

Z I = V

sendo:

Z =

]2j)1025[()2j2(5)2j2()]25(j)102[(5j

55j)]25(j)52[(

I =

3I2I1I

V =

o

o

o

9010305010

Assim:

I = Z1 V

=

0,8541j - 0,4825 0,0744j + 0,0560 1,1044j - 1,2468

A

=

o

o

o

60,5369-0,98100317,350,0931

41,5341-1,6656 A

sendo:

Z1

0,0060j 0,0748 0,0045j 0,0165 0,0046j - 0,0482 0,0045j 0,0165 0,0058j - 0,0692 0,0388j 0,0325 0,0046j - 0,0482 0,0388j 0,0325 0,0373j - 0,1336

Exerccio 3. Determinar as correntes nodais do circuito eltrico mostrado na Figura

6.1.5.


102

Figura 6.1.5.

O n 3 escolhido como referncia. Assim, as correntes, associadas aos ns 1 e

2, so assim descritas:

No n 1:

10051V o +

5j)4510(1V o +

2j22V1V

= 0

No n 2:

2j21V2V

+

4j32V + 5

2V = 0

Matricialmente, pode-se escrever como:

Y V = I

sendo:

Y =

)51

4j31

2j21()

2j21(

)2j2

1()2j2

15j1

101(

=

0,09j) -0,57 ( 0,25j) + (-0,25 0,25j) + (-0,25 0,45j) - 0,35 (

V =

2V1V


103

I =

0

)5j4510

1005(

oo

A

=

0

1,4142j + 0,9142- A.

Assim:

V = (Y)1 I volt

(Y)1 =

0,2797j) - (2,4879 0,0193j) + (1,5526 0,0193j) + (1,5526 )1,5159j + 2,0309(

V =

2,1780j) + (-1,4466 1,4862j) + (-4,0005

V

=

o

o

123,59166146,2159,61752672,4

V.

Exerccio 4. Determinar a corrente fornecida por cada uma das fontes (V1 e V2).

Figura 6.1.6.

Resoluo:

As correntes eltricas fornecidas pelas fontes V1 e V2 correspondem s

correntes I1 e (I3). Portanto, o modelo, referente s malhas bsicas, pode ser descrito da seguinte forma:


104

Z I = V (6.1.5)

sendo:

Z =

106068j85j

05j5j5

(Z)1 =

0,0254j - 0,1319 0,0424j - 0,0532 0,0054j 0,0478 0,0424j - 0,0532 0,0706j - 0,0886 0,0090j 0,0796 0,0054j 0,0478 0,0090j 0,0796 0,0557j - 0,1353

V =

o

o

0200

030 V

I = (Z)1 V

=

0,6704j+1,2047- 1,1174j+ 1,3255 1,7786j- 3,1040

=

o

o

o

150,90461,378740,13101,733629,8128-3,5775

Assim:

(1) Corrente fornecida pela fonte V1:

IV1 = I1

= o29,8128-3,5775 A (2) Corrente fornecida pela fonte V2:

IV2 = I3 = - o150,90461,3787 = o29,0954)-1,3787 A.


105

Exerccio 5. Determinar as correntes das fontes (do Exerccio 4) usando transformao de

circuitos (delta-estrela).

Figura 6.1.7.

Os valores das impedncias ZA, ZB e ZC, procedentes da transformao

delta-estrela, so:

ZA = 321

21ZZZ

ZZ

=

63j25j)5j()3j2(

= -0,3125 + j 1,5625

ZB = 321

31ZZZ

ZZ

=

63j25j)6()3j2(

= 1,8750 + 0,3750


106

ZC = 321

32ZZZ

ZZ

= 63j25j)6()5j(

= 1,8750 + 1,8750

ZD = 5 + ZA = 4,6875 + 1,5625i ZE = 4 + ZB = 5,8750 + j 0.3750 ZF = ZC

= 1,8750 + j 1,8750 .

Figura 6.1.8.

Por conseguinte, as equaes referentes s malhas 1 e 2, matricialmente, podem

ser expressas por:

Z I = V (6.1.7)

sendo:

Z =

)1,8750j 500.37501,87 j (5,87501,8750)j (1,8750-

1,8750)j (1,8750-1,8750)j 1,8750 1,5625 j (4,6875


107

(Z)1 =

0,0254 j - 0,1319 0,0054 j+0,0478 0,0054 j + 0,04780,0557 j - 0,1353

I =

0,6704) j -(1.2047 - 17786) j - 3,1040(

A

I =

o

o

150,90461,378729,8128-3,5775 A

IV1 = I1

= o29,8128-3,5775 A IV2 = -I2

= o29,0954-1,3787 A.

Exerccio 6. Escreva as equaes de malha do circuito mostrado na Figura 6.1.9 e

determine a corrente que circula no resistor R1.

Figura 6.1.9.

As correntes das malhas bsicas escolhidas esto indicadas na Figura 6.1.10.

Este resultado confere com o obtido no

Exerccio 4.


108

Figura 6.1.10.

Deste modo, as correntes de malha so assim calculadas:

Z I = V (6.1.6)

I = (Z)1 V (6.1.7)

sendo:

Z =

68j46j46j444556j56j55

=

2j1046j41356j56j10

(Z)1 =

0,0398j - 0,0755 0,0308j - 0,0312 0,0483j -0,0207 0,0308j - 0,0312 0,0110j - 0,0995 0,0040j -0,0337 0,0483j -0,0207 0,0040j -0,0337 0,0281j + 0,0709

I =

1,4299 j -1,2787 - 3,3054 j - 1,6989- 0,5220 j- 0,6058

A

I =

o

o

o

131,8049-1,9183

117,2021-3,7164

40,7505-0,7997

A

IR1 = I1 I2

= o40,7505-0,7997 o131,8049-1,9183 = 2,3047 + j 2,7834 A

= 3,6137 50,3747o A (corrente circulando no resistor R1).


109

7. POTNCIA INSTANTNEA, MDIA E COMPLEXA, FATOR DE POTNCIA E CORREO DE FATOR DE POTNCIA

Em diversos equipamentos eltricos, o conceito de potncia corresponde a um

item de maior interesse. Por exemplo, tem-se interesse na potncia gerada por uma

mquina sncrona, a potncia consumida por um motor eltrico, geladeira, televisor, etc.; a

potncia de sada de um transmissor de rdio ou de televiso. Assim sendo, na sequncia,

sero abordados os conceitos de potncia e correo do fator de potncia de circuitos

eltricos monofsicos de corrente alternada.

7.1. Potncia

A potncia eltrica fornecida a uma carga (Figura 7.1.1) definida como sendo

o produto da tenso eltrica aplicada pela corrente eltrica resultante:

P = V x I (7.1.1)

sendo:

V : tenso aplicada;

I : corrente resultante;

P : potncia eltrica.

Figura 7.1.1.


110

Neste caso, como V e I so grandezas senoidais, pode-se estabelecer um caso

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Apostila Eletricidade e Civil Março-2011