Apostila Fis Exp 2014

DEPARTAMENTO DE FSICA

UFSCar

FSICA EXPERIMENTAL

(Lic. Qumica Noturno)

Prof: Michel Venet Zambrano

2

NDICE

I. INTRODUO .............................................................................................................................. 4

1. INFORMAES GERAIS .......................................................................................................................... 4

a. Finalidade desta disciplina experimental ................................................................................................ 4

b. Desenvolvimento das experincias ........................................................................................................ 5

c. Normas bsicas para elaborao de relatrios ....................................................................................... 5

2. DINMICA DO CURSO ............................................................................................................................ 7

a. Durao ................................................................................................................................................... 7

b. Contedo ................................................................................................................................................ 7

c. Avaliao da disciplina ............................................................................................................................ 8

d. Bibliografia .............................................................................................................................................. 9

II. NOES GERAIS SOBRE MEDIDAS E AVALIAO DE ERROS ...................................... 9

1. INTRODUO......................................................................................................................................... 9

a. Tipos de medidas .................................................................................................................................. 10

2. FUNDAMENTOS DE TEORIA DE ERROS ................................................................................................. 10

a. Objetivos ............................................................................................................................................... 10

b. Valor mdio de n resultados ................................................................................................................. 11

c. Tipos de erros ....................................................................................................................................... 11

d. Desvio padro experimental e do valor mdio ..................................................................................... 13

e. Incerteza sistemtica residual .............................................................................................................. 13

f. Incerteza padro (P) ............................................................................................................................ 14

g. Incertezas relativas e porcentuais ........................................................................................................ 14

h. Algarismos significativos ....................................................................................................................... 14

i. Arredondamento de nmeros .............................................................................................................. 15

j. Apresentao do resultado de uma medio ....................................................................................... 15

k. Exemplo ................................................................................................................................................ 16

l. Propagao de incertezas ..................................................................................................................... 17

III. GRFICOS .................................................................................................................................. 20

1. REGRAS BSICAS PARA A CONSTRUO DE GRFICOS ........................................................................ 20

2. ALGUMAS DEFINIES UTILIZADAS EM GRFICOS .............................................................................. 21

3. TIPOS DE GRFICOS: DETERMINAO DAS ESCALAS ........................................................................... 22

a. Escala linear .......................................................................................................................................... 22

b. Escala logartmica ................................................................................................................................. 22

4. ALGUNS TIPOS DE FUNES DE AJUSTE ............................................................................................... 23

a. Funo Linear: y = a x + b .................................................................................................................... 23

b. Funes no lineares ............................................................................................................................ 26

5. CRITRIOS PARA TRAAR A RETA DE AJUSTE MAIS PROVVEL ............................................................ 30

3

IV. ROTEIROS DAS PRTICAS ................................................................................................... 31

1. PRTICA 1: MEDIDAS: DETERMINAO E TRATAMENTO DE ERROS .................................................... 31

a. Objetivos ............................................................................................................................................... 31

b. Introduo terica ................................................................................................................................ 31

c. Material Utilizado ................................................................................................................................. 32

d. Procedimento experimental ................................................................................................................. 32

2. PRTICA 2: CONSTRUO DE GRFICOS LINEARES: DETERMINAO DA DENSIDADE DE SLIDOS ...... 33

a. Objetivos ............................................................................................................................................... 33

b. Introduo Terica ................................................................................................................................ 33



3. PRTICA 3: MEDIDAS DE TEMPO ......................................................................................................... 34

a. Objetivos ............................................................................................................................................... 34



d. Procedimento Experimental ................................................................................................................. 35

4. PRTICA 4: CALOR ESPECFICO DOS SLIDOS ....................................................................................... 36

a. Objetivos ............................................................................................................................................... 36



d. Procedimento Experimental ................................................................................................................. 37

5. PRTICA 5: ASSOCIAO DE COMPONENTES ELTRICOS ..................................................................... 39

a. Objetivos ............................................................................................................................................... 39

b. Fundamentos tericos .......................................................................................................................... 39

c. Material utilizado .................................................................................................................................. 39


6. PRTICA 6: CONDUO ELTRICA ATRAVS DE SOLUES AQUOSAS ................................................. 42

4

I. INTRODUO

1. INFORMAES GERAIS

a. Finalidade desta disciplina experimental

A observao experimental a base para decidir em Fsica se uma teoria vlida ou no. Em

geral um modelo terico (ou teoria) proposto com base em uma observao experimental de um

fenmeno fsico.

A finalidade deste laboratrio fornecer aos estudantes do curso de Licenciatura em Qumica

uma introduo metodologia de trabalho em laboratrio e alm do tratamento e analise de dados

experimentais, propriamente dito, que possibilite o entendimento de alguns fenmenos fsicos e

fsico-qumicos.

Apesar de semelhanas, h uma diferena significativa entre um laboratrio de ensino e um

laboratrio de pesquisa. Em uma pesquisa o objetivo final geralmente a observao ou

determinao, pela primeira vez ou com maior preciso, de um fenmeno fsico. Em um laboratrio

de ensino por outro lado procura-se estudar fenmenos fsicos conhecidos.

O desenvolvimento de uma pesquisa em laboratrio depende principalmente da habilidade do

experimentador, que pode comear a desenvolver-se em um laboratrio de ensino. O propsito

desta disciplina fornecer meios necessrios (no suficientes) que podem ser seguidos ao trabalhar

em um laboratrio. Para tanto utilizaremos algumas experincias bsicas que permitam ao aluno

assimilar o uso de instrumentos e tcnicas experimentais.

Para que essas metas sejam atingidas necessrio que o aluno procure familiarizar-se com a

metodologia, os equipamentos, a montagem experimental e a teoria envolvida em cada

experimento. O bom convvio com as pessoas da classe (colegas de curso, professor e tcnico),

imprescindvel para um bom aproveitamento dessa disciplina.

Os objetivos especficos desta disciplina podem ser resumidos como:

Familiarizar aos alunos com o uso de instrumentos de medidas utilizados em laboratrios

de Fsica, tais como: paqumetro, micrmetro, balana, termmetro, voltmetro,

ampermetro, osciloscpio, entre outros.

Ensinar os mtodos estabelecidos para o tratamento e apresentao dos erros envolvidos

nas medidas.

Estabelecer a metodologia de organizao e apresentao de resultados experimentais.

5

b. Desenvolvimento das experincias

Aps receber e identificar o material a ser utilizado no experimento voc pode iniciar a

experincia. A pratica deve ser realizada de preferncia na seqncia proposta, que a que se supe

ser a mais adequada para que possa ser completamente entendida.

So apresentadas a seguir algumas sugestes que podem ajudar a obter melhores resultados:

Certificar-se de que todo o grupo conhea o procedimento experimental e os conceitos

tericos pertinentes pratica a ser realizada, quando for o caso. Consultas e discusses

com o Professor e/ou com colegas do grupo podem evitar falhas e melhorar a obteno

dos resultados.

Procurar dividir o trabalho de forma que todos os componentes do grupo participem e

entendam o experimento.

Analisar criticamente os resultados de cada estgio da experincia, questionando se esto

coerentes. Caso no sejam coerentes deve-se procurar localizar as possveis fontes de

erro.

Uma das regras bsicas de um trabalho de laboratrio consiste em identificar e

estabelecer objetivos, descrever a metodologia utilizada e registrar os resultados obtidos.

Cada aluno deveria ter um caderno de laboratrio onde ficam registradas essas

informaes de forma clara e precisas, de modo que outra pessoa possa entend-las e

reproduzir o experimento.

c. Normas bsicas para elaborao de relatrios

Os itens abaixo, na ordem indicada, devem constar em todos os relatrios:

Folha de rosto: Contendo as seguintes informaes:

Nome da disciplina

Turma

Ttulo da experincia

Data

Nome e nmero dos autores

Resumo: Descrio compacta (aproximadamente 5 linhas) dos objetivos, da metodologia

empregada e os resultados experimentais mais relevantes (comparados com os da

literatura, quando for o caso).

Objetivos.

Fundamentos tericos: Caracterizao do problema experimental e descrio dos

6

fundamentos tericos envolvidos na interpretao dos resultados obtidos.

Material utilizado: mencionar marca, modelo, sensibilidade ou preciso dos instrumentos

e equipamentos utilizados.

Procedimento experimental:

Esquema das montagens.

Descrio detalhada de como foram realizadas as medidas.

Apresentao dos resultados:

Dados obtidos, organizados em forma de tabelas.

Clculos efetuados (devem ser colocados em um anexo).

Resultados finais, com os respectivos desvios e unidades.

Grficos, quando for o caso.

Concluses: Anlise e interpretao fsica dos resultados e respostas s possveis

questes existentes nos roteiros das experincias. Discusso do mtodo usado e das

provveis fontes de erros (no mximo uma pgina). Comparar os resultados obtidos com

os valores encontrados na literatura.

Referncias: O que segue o que tem sido usado para publicaes de artigos em revistas

cientificas, alguma variao pode existir entre uma revista e outra, mas no muda muito

do que esta sendo apresentado abaixo. Podemos seguir essas normas para nossos

relatrios. As referncias devem ser citadas no texto pelo nome do autor e nmero entre

colchetes, na primeira vez, por exemplo: Em um trabalho recente, Jones et al. [1]

propuseram..." A partir da segunda vez em que a mesma referncia citada, basta

colocar a expresso Ref. [1], por exemplo: "na Ref. [1] comprova-se que..." Numere as

citaes de forma consecutiva, segundo a ordem de referncia a elas no texto, entre

colchetes [1]. Para a redao de cada referncia observe os modelos a seguir:

Para citao de um artigo de peridico:

[1] J.S. Hunter and J.C. Hung, Development of low-cost Multifunction sensors

for lightweight fire and forget antitank weapon system, IEEE Trans. Industrial

Electronics, vol. E-30, no. 1, Feb. 1983, pp. 7-10.

Para citao de um livro:

[2] G.K. Dubey, Power Semiconductor Controlled Drives, Englewood Cliffs, NJ:

1989, p. 81.

Para citao de trabalho apresentado em um evento:

[3] J. L. Alqueres and J. C. Praca, The Brazilian power system and the challenge

of the Amazon transmission, in Proceedings of the 1991 Power Engineering

7

Society Transmission and Distribution Conference, 91CH3070-0, pp. 315-320.

Apndices: Contendo informaes complementares para um melhor entendimento do

relatrio (dedues de formulas, clculos efetuados, etc.).

Observaes:

1) Ter sempre em mente que o relatrio deve ser claro para o leitor e no apenas para o autor.

2) Ler o que foi escrito e verificar se tem sentido.

3) No copiar introduo, teoria, etc... do roteiro, internet ou de livros. Procurar entender o

fenmeno e descrev-lo com as prprias palavras.

2. DINMICA DO CURSO

a. Durao

A durao do curso est prevista para ser 60h, divididas em 15 aulas de 4h, comeando o dia

20/03/2014 e terminando o 10/07/2014.

b. Contedo

1a. semana (20/03)

Introduo e formao de equipes (1h)

Prtica 1: Medidas, erros e algarismos significativos

Teoria de erros (3h)

2a. semana (27/03)

Prtica 1: Medidas, erros e algarismos significativos

Ensinar procedimento para a correta manipulao de instrumentos de medio envolvidos na

prtica e discusso da metodologia a ser adotada no experimento (2h)

Realizao das medidas e tomada de dados (2h)

3a. semana (03/04)

Entrega do relatrio da Prtica 1 e avaliao do contedo referente prtica (2h)

Prtica 2: Determinao da densidade de slidos (grficos lineares)


prtica e discusso da metodologia a ser adotada no experimento (2h)

4a. semana (10/04)

Prtica 2: Determinao da densidade de slidos (grficos lineares)

Realizao das medidas e tomada de dados (4h)

8

5a. semana (17/04)


Prtica 3: Medidas de tempo: Pndulo simples (grficos no lineares)


prtica e discusso da metodologia a ser adotada no experimento (2h).

............

11a. semana (05/06)


Prtica 6: Conduo eltrica atravs de solues aquosas (Exerccio entregue pelo professor)

Discusso da metodologia a ser adotada em um experimento hipottico (1,5h)

Entrega de dados (simulao de medidas) para seu processamento e elaborao de relatrio

(0,5h).

12a. semana (12/06)


Reposio (se necessrio) de prtica (2h)

13a. semana (26/06)

Entrega do relatrio da Prtica de reposio.

Avaliao do contedo referente prtica de reposio (1h)

Esclarecimento de dvidas

14a. semana (03/07)

Prova escrita: Avaliao individual dos conhecimentos adquiridos (4h)

15a. semana (10/07)

Prova substitutiva da prova escrita (4h)

c. Avaliao da disciplina

Ri - Nota do relatrio referente prtica i

Ai - avaliao da prtica i

Pi - Nota da prtica Pi = 0,5Ri + 0,5Ai

Pe - Prova escrita

Nota final = 0,71

6

6=1 + 0,3Pe

Haver uma reposio de prtica para alunos que por motivo de ausncia justificada perder

alguma prtica de laboratrio, reprovar alguma prtica ou queiram melhorar sua nota.

9

Uma prova substitutiva da prova terica ser realizada para alunos que reprovarem ou queiram

melhorar a nota dessa prova.

AVALIAO COMPLEMENTAR:

Devido a especificidade da disciplina quanto ao seu carter de atividades experimentais, a

avaliao complementar no ser aplicada.

d. Bibliografia

Apostila de Fsica Experimental

Jos Henrique Vuolo "Fundamentos da Teoria de Erros"- (Edgard Blcher Ltda.)

Livros-textos utilizados nas disciplinas de Fsica A e B tais como:

H. Moyss Nussenzveig, Curso de Fsica Bsica 1 Mecnica, 3a ed. Ed. Edgard Blucher Ltda,

So Paulo, 1997.

D. Halliday, R. Resnick e J. Walker - Fundamentos de Fsica, vol 1 e 2, 4 ed. Livros Tcnicos

e Cientficos Editora, Rio de Janeiro, 1996

Chaves, Fsica-Mecnica, vol.1, Reichmann&Affonso Ed., 2001.

II. NOES GERAIS SOBRE MEDIDAS E AVALIAO DE ERROS

1. INTRODUO

Os trabalhos de laboratrio normalmente so realizados com o objetivo de quantificar ou

estabelecer possveis relaes entre duas ou mais grandezas, que intervm em um fenmeno ou

processo. Alguns critrios devem ser observados ao trabalhar em um laboratrio:

O modo correto de representar os resultados de medidas de grandezas fsicas.

Como interpretar os resultados medidos/observados atravs de equaes, frmulas ou

grficos.

Como organizar os resultados em relatrios de forma que as informaes possam ser

transmitidas e entendidas por outras pessoas.

Deseja-se que ao final desta disciplina o aluno tenha estendido sua competncia para proceder

segundo esses critrios.

Medir comparar com alguma unidade padro, ou seja, verificar quantas vezes ela contm

uma unidade adotada como padro (por exemplo, podem ser utilizados como unidade padro de

comprimento o palmo, o p, a jarda, o metro, etc.). Desta forma ao representar uma

grandeza escalar necessitamos especificar ao menos dois itens:

10

um nmero (quantidade)

uma unidade (padro)

Por exemplo: Ao definir a altura (h) de uma pessoa pode-se obter h = 1,75 m, onde 1,75 a

quantidade de unidades padro e o metro a unidade padro. No caso de uma grandeza vetorial

tambm sua direo e sentido teriam que ser indicados.

O valor numrico de uma grandeza ser sempre determinado aproximadamente, devido

ocorrncia inevitvel de imprecises durante as medidas. Os fatores que intervm na impreciso da

medida de uma grandeza podem ser de ordem objetiva (tais como: caracterstica do objeto de

medida, sensibilidade ou impreciso dos instrumentos utilizados) ou de ordem subjetiva (tais como:

escolha do mtodo de medida, habilidade do operador).

Dessa forma indispensvel na especificao de uma grandeza escalar, alm dos itens j

mencionados (nmero e unidade), especificar a confiabilidade do valor declarado (a impreciso a

ela associada).

a. Tipos de medidas

Os resultados experimentais podem ser obtidos de duas formas:

Medida direta: Aquela obtida diretamente da leitura de um instrumento, como por exemplo,

o comprimento lido com um paqumetro, o tempo medido com um cronmetro, a massa

determinada com uma balana, etc.

Medida indireta: Aquela obtida atravs de um clculo matemtico, que relaciona mais de

uma grandeza medida diretamente. Por exemplo: a densidade de um slido, o volume de

um corpo, a velocidade, etc.

2. FUNDAMENTOS DE TEORIA DE ERROS

a. Objetivos

O mensurando a grandeza a ser determinada em um processo de medio. O valor verdadeiro

do mensurando uma quantidade sempre desconhecida, ou seja, mesmo aps a medio, o valor

verdadeiro do mensurando s pode ser conhecido aproximadamente devido a ERROS DE

MEDIO.

Os objetivos da teoria de erros so:

Determinar o melhor valor possvel para a grandeza (mensurando) a partir das medies

Determinar quanto o melhor valor obtido pode ser diferente do valor verdadeiro

Denomina-se incerteza no melhor valor y estimativa de quanto este melhor valor pode diferir do

11

valor verdadeiro do mensurando.

b. Valor mdio de n resultados

Se a medio de uma determinada grandeza y repetida n vezes, os n resultados podem ser

diferentes, em geral. Isto , obtm-se um conjunto de resultados que pode ser representado por:

y1, y2, y3, y4, y5,..., yn-1, yn

O valor mdio dos n resultados das medies definido por:

=1 + 2 + 3 + + 1 +

=

1

=1

O valor mdio diferente do valor verdadeiro, mas em geral a incerteza associada ao valor

mdio menor que a incerteza em cada um dos resultados yi.

c. Tipos de erros

Os erros que podem afetar o resultado de uma medio podem ser divididos em dois grandes

grupos, que so os Erros sistemticos e Erros estatsticos ou aleatrios.

Erro sistemtico sempre o mesmo nos n resultados. Quando existe somente erro sistemtico,

os n resultados yi so iguais e a diferena com o valor verdadeiro sempre a mesma.

Erro aleatrio ou estatstico um erro tal que os n resultados yi se distribuem de maneira

aleatria em torno do valor verdadeiro. Na ausncia de erros sistemticos, quando n , o valor

mdio de y se aproxima do valor verdadeiro.

Em geral, numa medio, os dois tipos de erro ocorrem simultaneamente. Neste caso, conforme

n aumenta, o valor mdio dos resultados se aproxima de um valor definido como valor mdio

verdadeiro. A diferena entre o valor mdio verdadeiro e o valor verdadeiro o erro sistemtico da

medio.

ERROS ALEATRIOS

Variaes aleatrias no resultado da medio devido a fatores que no podem ser controlados

ou que, por qualquer motivo no so controlados.

Em certos casos os erros aleatrios podem ser reduzidos ou praticamente eliminados, mas em

outros casos isso no possvel. Por exemplo, o nmero de desintegraes que ocorre em 1 minuto

em uma amostra de material radioativo uma quantidade que varia aleatoriamente em torno de um

valor mdio, conforme uma distribuio de Poisson. Se o mensurando este valor mdio, cada

medio tem erro estatstico intrnseco, que s pode ser reduzido repetindo-se muitas vezes a

medio para melhorar a preciso do valor mdio.

12

Os erros estatsticos podem ser reduzidos, eliminando o reduzindo os fatores que interferem no

processo de medio. Quando isto no possvel, uma soluo consiste em repetir muitas vezes a

medio, como comentado no exemplo anterior, j que o valor mdio de um grande nmero de

resultados tem erro estatstico menor.

ERROS SISTEMTICOS

O efeito de um erro sistemtico no pode ser avaliado simplesmente repetindo medies. Por

isso, a incerteza relativa a erros sistemticos bem mais difcil de avaliar que a incerteza estatstica.

Erros sistemticos podem ter causas muito diversas, geralmente enquadradas nas classificaes a

seguir:

Instrumentais: Calibrao de instrumentos de medio. Por exemplo, uma rgua comum

apresenta erro sistemtico que depende da qualidade da rgua. No basta que a rgua seja

fabricada com uma calibrao muito boa, esta deve tambm ser construda com um bom

material, de forma que a calibrao no se altere ao longo do tempo e no dependa de fatores

tais como temperatura, tenses e outros.

Ambientais: Efeitos do ambiente sobre a experincia. Por exemplo, numa experincia para

medir o campo magntico de uma amostra, o instrumento de medio indica o campo

magntico total, que a superposio do campo da amostra e do campo magntico local da

terra. O resultado de uma simples medio tem erro sistemtico ambiental.

Observacionais: Falhas de procedimento ou limitaes do observador. Um erro sistemtico

deste tipo devido ao efeito de paralaxe na leitura de escalas de instrumentos, ou seja,

devido ao no alinhamento entre o olho do observador, o indicador da leitura e a escala do

instrumento.

Tericos e de grandezas: Uso de frmulas aproximadas para a obteno dos resultados e / ou

utilizao de grandezas fsicas com valores incorretos. Por exemplo, numa medio da

velocidade final na queda livre de uma esfera plstica se considera a frmula v = gt, neste

caso estamos desprezando a resistncia do ar, a qual pode ser significante, dependendo a

velocidade do ar, volume da esfera, densidade, entre outros fatores. Por outro lado, se

considerarmos a acelerao da gravidade como sendo 10 m/s2, j estamos fazendo uma

aproximao, que tambm influenciar no valor do resultado final.

Residuais: Erros sistemticos de qualquer tipo, que no possam ser reduzidos a um valor

baixo ou para os quais no seja possvel fazer correes.

ERROS GROSSEIROS

No so erros contemplados dentro da teoria de erros. So enganos que podem ocorrer na

medio ou nos clculos. inadmissvel apresentar resultados que contenham erros grosseiros. Por

13

exemplo, se para um comprimento y = 47,4 mm, o observador fez leitura e anotou y = 37,4 mm, isto

constitui um erro grosseiro. Quando existir qualquer suspeita de erro grosseiro em alguma leitura de

instrumento, esta deve ser repetida.

d. Desvio padro experimental e do valor mdio

A melhor estimativa experimental do desvio padro (e) de um conjunto de n resultados (yi) de

uma medio, feita sob condies similares, dada por:

2 =

1

1

2

=1

A equao anterior pode tambm ser escrita como:

2 =

1

1

2

=1

1 2

Esta ltima expresso pode ser demonstrada diretamente partindo da equao anterior. Embora

aparente ser mais complexa, mais simples para ser utilizada em caulos, pois envolve somente a

somatria dos valores yi.

Considerando n resultados de medies, o desvio padro do valor mdio pode ser definido,

admitindo que o conjunto de n medies repetido k vezes. Dessa forma, podem ser considerados k

valores mdios (yj) correspondentes aos k conjuntos de n medies. O desvio padro do valor mdio

definido como:

2 =

1

2 =1

onde ymv o valor mdio verdadeiro, sendo = lim

Pela prpria definio, ymv um valor desconhecido. Uma boa aproximao, adaptada para

condies experimentais reais, :

2

2

que a equao a ser utilizada nos clculos, durante o curso.

Como pode ser observado, o desvio padro do valor mdio (m) vezes menor que o desvio

padro do conjunto de medies (e). O desvio padro do valor mdio de uma grandeza a

incerteza final correspondente aos erros estatsticos nas medies.

e. Incerteza sistemtica residual

Em princpio, a maior parte dos erros sistemticos podem ser eliminados do resultado final por

melhoria no mtodo de medio, ou por correes no prprio resultado, mas uma vez realizadas

14

todas as melhorias e correes viveis restam ainda os erros sistemticos residuais.

A incerteza correspondente a erros sistemticos residuais bem mais difcil de ser determinada

que no caso de erros estatsticos.

Uma anlise cuidadosa da acurcia dos instrumentos e do processo de medio permite estimar

um limite de erro Lr. A relao a seguir ser adotada para estimar a incerteza padro devido a erros

sistemticos (s) a partir de um limite de erro sistemtico residual:

= 2 =2

f. Incerteza padro (P)

A incerteza padro ser a melhor estimativa para a incerteza do melhor valor da grandeza

medida (y) e pode ser calculada como:

2 =

2 + 2

g. Incertezas relativas e porcentuais

Uma incerteza freqentemente indicada na forma de incerteza relativa ou incerteza

porcentual. A incerteza padro relativa definida como:

=()

E a incerteza padro porcentual como:

(%) = 100 = 100()

h. Algarismos significativos

O valor de uma grandeza experimental, obtido a partir de clculos ou medies pode ser um

nmero na forma decimal e apresentar muitos algarismos, por exemplo:

0, 0 0 0 0 0 X Y....Z W A B C D

Algarismo significativo em um nmero pode ser entendido como cada algarismo que

individualmente tem algum significado, quando o nmero escrito na forma decimal.

Zeros a esquerda do primeiro algarismo diferente de zero no so significativos e s indicam a

posio da vrgula decimal.

Existe uma incerteza associada ao nmero que representa a grandeza experimental. Por isso,

todos os algarismos direita alm de certo algarismo (neste caso W) no so significativos.

No significativos No significativos Significativos

15

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS NA INCERTEZA PADRO E NA GRANDEZA

Incerteza padro

A incerteza padro deve ser representada com 2 algarismos significativos quando o primeiro

algarismo da incerteza seja 1 ou 2.

A incerteza padro pode ser representada com 1 ou 2 algarismos significativos quando o

primeiro algarismo da incerteza for 3 ou maior.

Grandeza

Se a incerteza padro dada com 1 algarismo significativo, o algarismo correspondente na

grandeza o ltimo algarismo significativo. Se a incerteza padro dada com 2 algarismos

significativos, os 2 algarismos correspondentes na grandeza podem ser considerados como os 2

ltimos algarismos significativos.

Os algarismos no significativos direita nunca devem ser escritos num resultado final

Zeros esquerda devem ser evitados, em regra geral. Pode ser feito por meio de mudana de

unidades o utilizando notao cientfica, como por exemplo:

0,0012 km = 1,2 x 10-3 km ou 1,2 m

i. Arredondamento de nmeros

Quando uma grandeza medida tem algarismos significativos excedentes, estes devem ser

eliminados com arredondamento do ltimo algarismo significativo seguindo as seguintes regras:

Se X o ltimo algarismo significativo de um nmero ento:

De X000 a X499 os algarismos excedentes so eliminados (arredondamento para baixo)

De X500 a X999 os algarismos excedentes so eliminados e o algarismo X aumenta em

1 (arredondamento para cima)

Exemplo:

Supondo que 8 o ltimo algarismo significativo dos nmeros a seguir:

12,3812532 12,38 (arredondamento para baixo)

12,3850023 12,39 (arredondamento para cima)

j. Apresentao do resultado de uma medio

Uma grandeza experimental deve ser sempre apresentada com a respectiva incerteza padro e

com as unidades de medida da seguinte forma:

=

Considerando sempre os algarismos significativos a serem representados. Exemplo:

16

= 6,67259 0,00085 1011 321

Segundo as regras apresentadas para os algarismos significativos da incerteza padro, esse

mesmo resultado poderia ser representado como:

= 6,6726 0,0009 1011 321

k. Exemplo

MEDIO DO PERODO DE UM PNDULO COM UM CRONMETRO

O tempo t para 10 oscilaes de um pndulo simples foi medido 8 vezes, usando um

cronmetro digital. Os resultados das leituras ti esto na tabela abaixo, junto com os resultados Ti

= t/10, para o perodo T do pndulo.

i 1 2 3 4 5 6 7 8

ti (s) 32,75 32,40 29,82 30,22 31,57 31,59 30,02 31,95

Ti (s) 3,275 3,240 2,982 3,022 3,157 3,159 3,002 3,195

O valor mdio dos 8 resultados de Ti :

=1

8 =

25,032

8= 3,1290

8

=1

O desvio padro estatstico (e) obtido por:

= 1

8 1

2

8

=1

8

8 1 2 =

78,414

7

8

79,7906 = 0,11

O desvio padro do valor mdio dado por:

=

=

0,11

8 = 0,039

Suponhamos que depois de fazer as medidas percebemos que o cronmetro apresenta erro de

calibrao, atrasa 20 s em 1 h. Ou seja, ele indicar 3580 s para um tempo real de 3600 s. Este tipo

de erro sistemtico pode ser eliminado o corrigido multiplicando as leituras feitas no cronmetro

pela razo 3600/3580. Assim:

=3600

35803,1290 = 3,1465

Por mais correto que seja o procedimento de cronometragem, existir um erro sistemtico

residual, j que o cronmetro acionado manualmente. O tempo de reao humana da ordem de

17

0,1s. Considerando que 0,1s um nmero bastante aproximado e que existir erro tanto no

acionamento quanto na parada do cronmetro, admitiremos que o limite de erro total de 0,5s para

10 oscilaes do pndulo, ento:

2

= 0,025

A incerteza padro pode ser calculada segundo:

= 2 + 2 = 0,046

O resultado final para o perodo de oscilao do pndulo deve ser escrito como:

= 3,146 0,046

ou

= 3,15 0,05

A incerteza padro relativa:

=

= 0,013

Em geral a incerteza padro relativa dada em forma de porcentagem:

% = 100

= 1,3%

l. Propagao de incertezas

Uma grandeza w, que calculada como funo de outras grandezas x, y, z, ..., pode ser

representada por:

= (, , , )

As grandezas x, y, z, ... so admitidas como grandezas experimentais, sendo x, y, z, ... as

incertezas padres correspondentes:

Se os erros nas variveis x, y, z, ... so completamente independentes entre si, a incerteza

padro em w, em primeira aproximao, pode ser escrita como:

2 =

2

2 +

2

2 +

2

2 +

No caso de uma nica varivel x, a equao anterior se reduz a

2 =

2

2 =

As incertezas x e w so positivas por definio. Assim, deve ser considerada a raiz positiva de

w2, isto , = + 2

Exemplo: Incerteza no volume de um cilindro

18

O volume de um cilindro pode ser determinado medindo-se o comprimento L e raio R. O

volume V calculado em funo de L e R.

= , = 2

A relao entre as incertezas dada pela equao

2 =

2

2 +

2

2

Assim, obtm-se que:

2 = 2 2

2 + 2 22

Esta expresso inconveniente para se calcular V. Dividindo os termos por

2 = 2 2, obtm-se uma expresso mais simples:

2

=

2

+ 2

2

Em termos das incertezas relativas er =

, =

, =

= + ()2 + 4()2

Algumas frmulas de propagao

Soma ou subtrao de variveis: =

= 1,

= 1,

= 1,

: 2 =

2 + 2 +

2 +

Deve ser observado que o quadrado das incertezas sempre se somam, mesmo no caso de

subtrao de variveis.

Relao linear: = +

Admitindo que a e b so constantes isentas de erro ou com erros desprezveis, somente a

varivel x considerada para o clculo da incerteza.

=

ento: 2 = 2

2 =

Relao linear: =

No caso em que b=0, w = ax e a expresso para w pode ser simplificada dividindo-a por w

= ax:

2

=

2

=

No caso w = ax + b, esta simplificao no possvel.

Produto ou razo de variveis: = =

19

No caso de produto de variveis,

=

=

Pode-se chegar ao resultado de que:

2

=

2

+

2

Este mesmo resultado vale para o caso w = x / y

Produto de funes: =

Substituindo as derivadas parciais obtm-se:

2 = 1 2

2 + 1 22

Dividindo ambos os termos por 2 = 2, obtm-se:

2=

2+

2

Esse resultado pode ser generalizado para qualquer nmero de variveis.

Funo trigonomtrica: =

= cos ,

Assim, = cos

Funo logartmica: =

=

1

ln

1

ln

=

1

Assim,

2 =

1

ln

2

2

= 1

ln

A tabela a seguir resume alguns exemplos de frmulas de propagao de incertezas:

= (, , ) Expresses para w

= 2 =

2 + 2 +

= = 1

=

= =

=

= + =

= 2 = 2

2 + 22

2

=

2

+

2

=

2 = 1

2

2 +

2

2

2

2

=

2

+

2

= 2 = 1 2

2 + 1 22

2

=

2

+

2

20

= = cos

= log = 1

ln

III. GRFICOS

Ao trabalhar em laboratrios muito comum obtermos dados entre grandezas relacionadas. Um

dos recursos mais importantes para visualizar, interpretar ou determinar essa relao a

representao dessas grandezas na forma de grficos.

Atravs de um grfico possvel:

Determinar (estimar) os desvios em cada medida (atravs do distanciamento dos pontos

experimentais uma curva de ajuste mais provvel). O desalinhamento visvel de alguns

pontos sinaliza, todavia que um erro grosseiro foi cometido ao realizar a medida.

Determinar a dependncia funcional de uma grandeza em relao outra.

Determinar a expresso matemtica que as relaciona (frmula emprica), o que permite a

interpolao e extrapolao de dados na regio de validade da frmula.

Ao construir grficos, utilizando dados experimentais relacionados, normalmente so

colocados os valores da varivel dependente y (valores da funo f(x)) no eixo vertical, chamado

eixo das coordenadas; e os valores da varivel independente x no eixo horizontal, chamado eixo

das abscissas. Em cada eixo deve ser utilizada uma escala adequada para representar os pontos

desejados. Uma vez estabelecidas as escalas dos eixos lanam-se os pontos Pi (xi , yi ).

1. REGRAS BSICAS PARA A CONSTRUO DE GRFICOS

Escolher as escalas de modo que o grfico ocupe o mximo do espao disponvel. Em

grficos com escalas lineares recomenda-se que dados representados ocupem acima de

75% do comprimento dos eixos.

Escolher o passo de modo que seja fcil fazer a marcao da escala, por exemplo, mltiplos

ou submltiplos de 2 ou 5.

Usar um degrau conveniente, aqui tambm aconselhvel a utilizao de mltiplos ou

submltiplos de 2 ou 5. No necessrio usar a mesma escala para os eixos vertical e

horizontal.

Escrever ao longo dos eixos o nome e a unidade da grandeza representada.

Os pontos Pi ( xi , yi ) podem ser marcados com smbolos . O

tamanho dos smbolos pode corresponder, quando especificado, aos desvios associados

grandeza representada.

21

Os pontos Pi ( xi , yi ) devem indicar os desvios quando este for conhecido ( ).

Colocar ttulo, de preferncia, por extenso caracterizando o que representa o grfico.

Pode conter tambm uma legenda, caracterizando a experincia ou qualquer outro dado

importante para o leitor (como as legendas usadas sob os grficos e figuras em livros).

Em funo da distribuio dos pontos no grfico interessante que se trace uma linha

contnua (curva, relao funcional), que passe o mais prximo possvel de todos os pontos.

No necessrio que a linha passe exatamente sobre cada ponto. Alguns critrios para

determinao dessa curva so mostrados abaixo.

O nmero de pontos para traar uma curva depende do tipo de curva, mas geralmente 5 a 10

pontos podem ser suficientes.

As tabelas de dados devem ser colocadas no corpo do relatrio ou em anexos (sempre

indicando claramente a que grfico correspondem).

As dedues e interpretaes feitas a partir de um grfico devem ser colocadas no relatrio

prximas ao grfico, preferencialmente antes (com o intuito que o leitor possa ler e

visualizar o grfico).

2. ALGUMAS DEFINIES UTILIZADAS EM GRFICOS

Escalas: denomina-se escala a qualquer segmento de reta (ou curva), marcado por pequenos

traos que indiquem os valores ordenados de uma grandeza.

Degrau: a diferena entre os valores da grandeza, representado por dois traos consecutivos

da escala.

Passo: a distncia (em unidades de comprimento) entre dois traos consecutivos em uma

escala.

O degrau e o passo podem ser:

Constante: neste caso as escalas so chamadas lineares ou uniformes.

Varivel: neste caso as escalas so chamadas no-lineares.

Exemplos de Escalas em uma dimenso:

Linear:

onde a grandeza i a corrente eltrica, dada em Ampres.

Degrau = 2 A

Passo = 1,5 cm

No linear:

22

onde a grandeza x a distncia em metros.

Degrau = 1 m (constante) .

Passo = Varivel.

3. TIPOS DE GRFICOS: DETERMINAO DAS ESCALAS

De uma maneira geral, costuma-se utilizar trs tipos de grficos:

Linear: Quando os as escalas dos dois eixos so lineares.

Mono-Log: Quando uma escala logartmica e a outra linear.

Di-Log: Quando as duas escalas so logartmicas.

a. Escala linear

Conforme mencionado, numa escala linear o degrau e o passo so constantes. O degrau (D) de

uma escala pode ser obtido da seguinte forma:

=

=

Onde Vmax o maior valor da grandeza que desejamos representar no eixo e L o comprimento do

eixo (espao disponvel para represent-lo).

EXEMPLO: Se numa experincia de medida de foras o maior valor medido para a fora for

Fmax = 14,0 x 103 N, e desejamos ter um eixo com L = 8 cm, o degrau ser:

=14 103

8 = 1,75 103

Para uma melhor visualizao da escala, neste caso adotaramos D = 2,0 x 103 N/cm. Para a

escolha do degrau ( interessante que o degrau seja mltiplo ou submltiplos de 2 ou 5) sempre

devemos aumentar o valor calculado. Observe na figura abaixo que o maior valor de F

corresponder a mais de 70% do comprimento do eixo.

b. Escala logartmica

O fato da escala ser logartmica significa que o passo, a distncia d medida entre dois pontos,

proporcional diferena dos logaritmos desses nmeros. As escalas logartmicas se repetem em

dcadas (de 10 em 10), isto acontece devido propriedade dos logaritmos: log 20 = log 10 + log

2. Em folhas vendidas comercialmente em geral o comprimento da dcada de 10 cm.

(N)

23

Portanto, os valores marcados em uma dcada sero sempre 10 vezes maiores do que os valores

marcados na dcada anterior.

Determinao da Escala (E)

Eixos logartmicos so divididos em dcadas, cujo passo (sub-diviso) corresponde ao

logaritmo do nmero que representa multiplicado pelo comprimento da dcada.

A escala determinada no incio de uma das dcadas como sendo 10n (n-inteiro)

multiplicado pela unidade da grandeza que representa (Ex: 101 m, 10-5 N).

Definido o incio da dcada 10n as subdivises seguintes sero: 2 10n, 3 10n, 4 10n e

assim sucessivamente.

Uma vez determinada a primeira dcada as dcadas adjacentes so definidas por 10n-1 (para

valores menores que 10n) e 10n+1 (para valores maiores que 10n) e assim sucessivamente. (Ver figura

abaixo).

OBS: (a origem numa escala logartmica no o ponto ZERO)

4. ALGUNS TIPOS DE FUNES DE AJUSTE

A seguir sero apresentados alguns exemplos de como, a partir da representao grfica de duas

grandezas, podemos determinar a relao funcional entre elas. Para tanto, sempre que possvel,

interessante representar os pontos Pi ( xi , yi ) de modo que apresentem uma distribuio linear no

grfico ou proceder a um ajuste usando um programa computacional adequado.

a. Funo Linear: y = a x + b

Quando os pontos experimentais so lanados em um grfico e a curva que melhor se ajusta for

uma reta (grfico 1), a equao dessa reta a relao funcional que relaciona a grandeza y

101

102

103

10-1

100

101

Distncia x (cm)

24

(ordenada) com a grandeza x (abscissa). Observa-se no exemplo a seguir que:

A dependncia funcional entre as grandezas y e x (linear) expressa pela reta mdia (que

pode ser representada pela equao y = a x + b),

A inclinao (coeficiente angular constante) dada por =

Se a curva a reta mdia, sua inclinao representa a mdia da constante a ( )

No ponto onde a reta intercepta o eixo y (para x = 0), obtm-se o coeficiente linear da reta

y(0) = b.

Grfico 1. Dependncia da varivel y em relao varivel x. Os pontos se referem aos dados experimentais

(com seus respectivos desvios). A linha contnua representa a curva de ajuste.

Quando representamos nos eixos grandezas fsicas os coeficientes a e b possuem significado

fsico, que muitas vezes so os resultados que desejamos obter.

Assim, a partir da determinao grfica dos coeficientes a e b obtm-se a relao funcional entre

as variveis x e y como sendo: = +

EXEMPLO: Numa experincia para determinar a elongao de uma mola em funo do peso

suspenso foram obtidos os pontos mostrados na tabela. Pela lei de Hooke sabe-se que h uma

relao linear entre a fora F (fora de gravidade) atuando sobre a mola e a elongao d da mola:

= . Se a fora F marcada no eixo y e a elongao d sobre o eixo x, ento a constante da mola

k (dada pela inclinao da reta de ajuste) :

=

=

2 12 1

= 12 1 103

6 0,5 = 2 103

25

Tabela I. Peso suspenso e elongao de uma mola, medidos em um sistema massa-mola.

Fora (dinas) Elongao (cm)

0 0

2000 1,0

5000 2,5

7000 3,5

12000 6,0

14000 7,0

Grfico 2. Relao entre do peso suspenso e a elongao de uma mola em um sistema massa-mola.

Assim, a relao entre a fora atuando na mola F e a elongao dada por:

= 2 103

O coeficiente linear zero, indicando que o ponto da escala de medies estava alinhado com a

mola antes de qualquer peso ter sido pendurado nela. Note que um dos valores usados para calcular

a inclinao um ponto arbitrrio sobre a reta e no um ponto da tabela de dados.

O coeficiente linear zero, indicando que o ponto da escala de medies estava alinhado com a

mola antes de qualquer peso ter sido pendurado nela.

-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

F

d

Elongao de uma mola em

funo do acrscimo de peso

Peso

(d

inasx10

3)

Elongao (cm)

26

b. Funes no lineares

Conforme mencionado sempre interessante a representao dos dados experimentais de

forma que graficamente apresentem uma distribuio linear dos pontos, ou uma distribuio que

permita estimar visualmente a dependncia entre as grandezas lanadas. Por exemplo:

Em uma experincia de queda livre de um corpo de massa m, partindo do repouso, a equao da

posio dada por =1

22. Se for construdo um grfico de h vs t obter-se- uma parbola

(portanto uma distribuio no linear dos pontos no grfico, geralmente de anlise mais difcil).

Porm, se construirmos um grfico h vs t2 obteremos uma distribuio linear dos pontos, de onde se

pode calcular

2= =

1

2, diretamente (em analogia ao caso anterior). H que se

ressaltar, entretanto, que neste caso particular a relao funcional entre h e t j conhecida.

Nos casos onde no conhecemos a relao funcional entre as variveis x e y, uma das possveis

formas de obt-la a representao dos dados em grficos no lineares. Abaixo so mostrados

exemplos para grficos Di-log ou Mono-log. Caso nenhuma dessas duas formas de representao

fornea uma distribuio linear dos pontos, ou que pelo menos uma distribuio que permita

visualizar a forma da curva de ajuste, devem-se procurar outros mtodos para encontrar a relao

funcional entre as variveis em estudo.

Funes do tipo: = , onde a e n so constantes.

Relaes funcionais deste tipo podem ser analisadas aplicando o logaritmo, o que nos d:

log = log + log

Assumindo: = log , = log = log , obtm-se a equao de uma reta do tipo:

= + , que tem a mesma forma do caso que discutimos anteriormente.

Assim lanando os valores de log y no eixo vertical e log x no eixo horizontal, em um grfico

linear (papel milimetrado), possvel obter os coeficientes n (inclinao) e B (coeficiente linear).

Como no caso anterior (item a), podemos estabelecer a equao que relaciona Y e X e,

conseqentemente, a relao funcional entre x e y.

Outra opo para a representao dos pontos P (xi,yi) utilizar grficos com escalas no

lineares, por exemplo, escalas logartmicas.

Se os pontos experimentais forem lanados diretamente em um papel Di-log (ou Log-Log), no

qual as escalas: vertical e horizontal, so logartmicas, tambm obteremos uma reta.

Neste grfico a inclinao n obtida da relao:

= log

log =

log 2 log 1log 2 log 1

importante observar que para o clculo da inclinao necessrio calcular o logaritmo dos

27

valores xi e yi, escolhidos na curva.

Quando log x = 0 (x = 1), temos que log y = log a, conseqentemente y (x=1) = a.

EXEMPLO: Numa experincia para determinar a intensidade luminosa que incide em uma

fotoclula em funo da distncia at a fonte de luz foram obtidos os pontos mostrados na tabela

abaixo. Sabe-se que a corrente eltrica na fotoclula proporcional intensidade luminosa

incidente. Para determinar a relao funcional entre a corrente eltrica I e a distncia da fonte x

pode-se propor uma relao do tipo = 0 . Aplicando o logaritmo funo I(x) obtemos:

log = log 0 + log

Tabela II. Distncia fonte de luz e corrente eltrica numa fotoclula.

Distncia (cm) Corrente Eltrica (mA)

1,00 50,00

2,00 11,50

5,00 2,00

11,50 0,40

22,40 0,10

Grfico 3. Corrente eltrica em uma fotoclula em funo da distncia a uma fonte de luz.

A partir do grfico acima podemos obter o coeficiente n, que a inclinao da reta, como segue:

=

=

log 2 log 1log 2 log 1

=log 0,10 log 50,00

log 22,00 log 1,00=

2,699

1,350 2

100

101

102

10-1

100

101

Io

X

I

Corrente eltrica I em uma

fotoclula em funcao da

distancia x da fonte de luz.

Co

rren

te E

ltr

ica I (

mA

)

Distncia x (cm)

28

O coeficiente I0 obtido diretamente no grfico e igual a I(x=1), logo I0 = 50,00 mA.

Assim, a relao entre a corrente eltrica na fotoclula I e a distncia fonte luminosa dada

por: = 50,002

Funes Exponenciais: = , onde D e n so constantes

Essa uma dependncia (funo) muito comum em cincia. Essa funo pode ser linearizada

com o uso dos logaritmos naturais. Aplicando o logaritmo natural obtemos:

ln = ln +

Esta equao ser uma reta quando representarmos ln y no eixo vertical e x no eixo horizontal

de um papel milimetrado.

Ao representarmos y diretamente num eixo logartmico e x num eixo linear, como os de um

papel Monolog, tambm se obter uma reta, cujo coeficiente linear ln D e a inclinao :

= ln

=

ln 2ln 1

21 (Observe que aqui logaritmo neperiano).

Quando x = 0 temos ln D = ln y(0), ou seja, D = y(0)

Observao:

Quando se deseja utilizar o papel Monolog mais freqentemente comercializado, ou alguns

programas computacionais, deve-se atentar para o fato de que a escala logartmica encontra-se na

base 10 e no na base e dos logaritmos neperianos

Neste caso, aplicando o logaritmo na base 10 equao = se obtm:

log = log + log

A distribuio dos pontos no grfico tambm ser uma reta com coeficiente linear log =

log (0), porm, cuja inclinao : log = ln

.

EXEMPLO: Numa experincia para determinar a velocidade em funo do tempo, de uma

esfera que se desloca em um fludo, foram obtidos os pontos mostrados na tabela abaixo. Sabe-se

que a velocidade da bola sofre a ao de uma fora de atrito viscoso que deve diminuir sua

velocidade com o tempo. Para determinar a relao funcional entre a velocidade v e o tempo t pode-

se propor uma relao do tipo = 0

. A proposta de uma equao de ajuste do tipo

exponencial, neste caso, resulta do fato de que a distribuio dos pontos num grfico Monolog

uma reta (ver abaixo). Aplicando o logaritmo funo v(t) obtemos:

log = log 0 1

log

Onde e a base dos logaritmos neperianos e , o tempo caracterstico de amortecimento.

A partir do grfico podemos obter o coeficiente 1

log como segue:

29

log =

log =

2 1log 2 log 1

= log 7,0 2,5

log 0,40 log 10,00= 1,40

O coeficiente v0 obtido diretamente no grfico e igual a v (t=0), logo v0 = 60,00 cm/s.

Assim, a relao entre a velocidade da bola v e o tempo t dada por:

= 60,000,71

Tabela III: Tempo de queda e velocidade de uma esfera em um fludo.

Tempo (s) Velocidade (cm/s)

1,0 29,40

2,0 14,50

3,0 6,54

4,0 3,48

5,0 1,71

6,0 0,84

7,0 0,41

8,0 0,20

Grfico 4. Velocidade em funo do tempo de queda de uma esfera em um fludo.

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,010

-1

100

101

vo

v

t

Velocidade em funo do

tempo de uma bola

movendo-se em um leo.

Velo

cid

ad

e (

cm

/s)

Tempo (s)

30

5. CRITRIOS PARA TRAAR A RETA DE AJUSTE MAIS PROVVEL

Para determinar a curva ou relao funcional (a melhor curva de ajuste ou a curva mais

provvel) entre as variveis, que melhor representa os pontos de um grfico, o critrio mais

utilizado o Mtodo dos Mnimos Quadrados (MMQ).

Este mtodo consiste em determinar os coeficientes da funo y(x) para qual a diferena:

() 2

=1

mnima, onde Y(x) a funo proposta como mais provvel para descrever os pontos

experimentais, xi e yi so as coordenadas dos pontos P ( xi,yi ) e n o nmero de pontos. Para o caso

em que os pontos no grfico apresentem uma distribuio linear, assumimos = + .

Atravs do Mtodo dos Mnimos Quadrados (neste caso tambm denominado Regresso Linear, por

assumirmos uma reta como a curva mais provvel) determinamos os valores de a e b para os quais a

expresso: ( + ) 2

=1 mnima. Para isso, necessrio resolver as equaes abaixo:

( + )

2

=1

= 0

( + )

2

=1

= 0

Derivando essas equaes resulta:

=1

+ 2

=1

=

=1

+

=1

=

=1

De onde obtemos para os coeficientes angular a e linear b da reta proposta, as seguintes

expresses:

=

=1

=1

=1

2=1

=1

2 =

=

=

=

=1

2=1

=1

=1

2=1

=1

2 =

Onde so os valores mdios das variveis yi e xi respectivamente. De posse dos valores de

a e b podemos substitu-los na equao y(x) proposta. A partir da, atribuindo valores a x podemos

traar a reta mais provvel, que descreve a distribuio dos pontos do grfico.

Ainda atravs de tratamentos estatsticos dos dados possvel obter tambm a incerteza padro

associada de a e b como sendo:

=

2=1

= + 2

=1

2

31

= 2

=1

2=1

=1

2 2

=1

2=1

Se a melhor reta obrigatoriamente tiver que passar pela origem (b = 0) seu coeficiente angular

a e o respectivo desvio sero dados por:

=

=1

2=1

= 1

1

2

=1

2=1

Observao: Os coeficientes obtidos pelas equaes anteriores, somente so vlidos para o caso

em que a curva mais provvel uma reta. Para o caso em que a distribuio dos pontos do grfico

no pode ser descrita por uma reta deve-se assumir outro tipo de funo y(x).

O MMQ geralmente o mtodo utilizado para o ajuste de curvas nos programas computacionais

mais comuns.

IV. ROTEIROS DAS PRTICAS

1. PRTICA 1: MEDIDAS: DETERMINAO E TRATAMENTO DE ERROS

a. Objetivos

Aprender a utilizar instrumentos de medio como rgua, paqumetro, micrmetro e balana.

Usar as regras de propagao de erros e conceito de algarismos significativos no clculo da

incerteza padro e representao de grandezas indiretas.

b. Introduo terica

Esta prtica tomar por base a seo II desta apostila. Contudo, convm lembrar que medir

comparar com alguma unidade padro, ou seja, verificar quantas vezes ela contm uma unidade

adotada como padro (por exemplo, podem ser utilizados como unidade padro de comprimento o

palmo, o p, a jarda, o metro, etc.). Desta forma ao representar uma grandeza escalar

necessitamos especificar ao menos trs itens (no caso de uma grandeza vetorial tambm sua direo

e sentido)

Um nmero (quantidade)

Uma unidade (padro)

A confiabilidade do valor declarado (incerteza padro a ela associada).

Com base no exposto conclui-se que a representao do resultado da medida de uma grandeza

32

(X), ser feita na forma de um intervalo de validade, da seguinte maneira:

= (ver seo II.2)

Dessa forma, deve-se pensar num intervalo e no em um nico valor para a grandeza X, i.e.,

deve-se entender que o valor de X est situado no intervalo entre + . Esse

procedimento dever ser sempre adotado ao representar resultados experimentais, independente da

sensibilidade do aparelho.

O erro associado ao instrumento em uma medida direta, como regra geral, porm no como

dogma, igual metade da menor diviso da escala (este critrio ser adotado para todas as

medidas realizadas nesta disciplina). Os erros estatsticos e do experimentador devem ser avaliados

em cada medida.

Ao realizar uma medida indireta (volume, densidade,...), a partir de medidas diretas (comprimento,

massa,...), a influncia dos erros associados s medidas diretas, deve ser calculada segundo critrios

de propagao de erros (ver seo II - NOES GERAIS SOBRE MEDIDAS E AVALIAO DE

ERROS).

c. Material Utilizado

Pea metlica, balana, rgua, micrmetro e paqumetro.

d. Procedimento experimental

Cada grupo receber duas peas metlicas (uma barra e um cilindro) cujas dimenses devem ser

medidas atravs de trs instrumentos (rgua, paqumetro e micrmetro).

Cada integrante do grupo dever realizar suas medidas. Como as peas so irregulares, para

cada dimenso devem ser realizadas 03 medidas em pontos diferentes. Os valores medidos devem

ser apresentados em tabelas.

A seguir deve ser medida a massa da pea.

Devero ser calculados o volume e a densidade com a respectiva incerteza padro para cada

pea. Como foram usados instrumentos com precises diferentes, calcule essas grandezas para o

caso mais preciso e para o menos preciso. Represente corretamente os resultados.

Apresente todos os clculos efetuados em apndices.

Para elaborar as concluses interessante comparar a densidade obtida com valores tabelados

para a densidade de alguns metais, o que permitir identificar o metal de que so feitas as peas.

{Valores tabelados: alumnio: 2,6989 0,0001 g/cm3, lato: 8,7 0,2 g/cm3, cobre: 8,9 0,1

g/cm3}.

33

2. PRTICA 2: CONSTRUO DE GRFICOS LINEARES: DETERMINAO DA

DENSIDADE DE SLIDOS

a. Objetivos

Obter a densidade de um material, a partir de vrias amostras.

Usar o Mtodo dos Mnimos Quadrados (M.M.Q.) para traar grficos lineares.

Usar o mtodo estatstico para representar o resultado de diferentes medidas de uma mesma

grandeza.

Comprovar a consistncia entre os dois mtodos utilizados

Identificar o material de que so feitas as amostras.

b. Introduo Terica

Na primeira prtica o volume foi tratado como medida indireta, obtido a partir das medidas

diretas das dimenses.

Nesta prtica o volume ser medido diretamente, com o uso de uma proveta com gua

(correspondendo ao volume V1). Ao se introduzir nesta proveta uma amostra cujo volume Vi se quer

medir, h o deslocamento da gua para o volume V2.

Dessa forma, Vi = V2 V1 e tambm Vi = V2 + V1

Nesta prtica, sero usadas vrias amostras de um mesmo material de densidade , sendo que

a i-sima amostra possui massa mi e volume Vi.

Como visto na seo II , uma das maneiras de se encontrar atravs da mdia dos vrios

valores medidos para esta grandeza. Outra maneira lanar as medidas (Vi, mi ) em um grfico de

massa (eixo y) em funo do volume (eixo x) e encontrar o coeficiente da reta, que ser o valor

procurado para .


Peas metlicas, proveta, gua, balana e papel milimetrado.


Cada grupo receber algumas peas metlicas do mesmo material, com diferentes

dimenses.

Medir o volume V das peas recebidas, conforme explicao acima, fazendo as combinaes

necessrias de modo a obter 6 amostras diferentes.

34

A seguir, medir massa de cada uma das 6 amostras (organizar os seus dados em forma de

tabela).

Calcular a densidade i e a incerteza i de cada uma das 6 amostras ( =

) e apresentar

resultado final utilizando o mtodo estatstico (seo II).

Construir um grfico de m (nas ordenadas, eixo y) versus V (nas abscissas, eixo x) e traar

visualmente a melhor reta que representaria a distribuio de seus pontos e determinar o

coeficiente angular dessa reta ( a densidade ).

Utilizando o MMQ, descrito na seo III, obter o coeficiente da reta ( a densidade ).

Traar as duas retas dos itens anteriores.

Compare os 3 valores de densidade obtidos.

Apresente todos os clculos efetuados em apndices.

3. PRTICA 3: MEDIDAS DE TEMPO

a. Objetivos

Estabelecer critrios para melhorar a preciso em medidas de tempo com cronmetro manual.

Construir grficos no lineares (em papel di-log).

Determinar a acelerao da gravidade local (g).

b. Introduo Terica

Um Pndulo Simples (PS) consiste de uma partcula de massa m suspensa por um fio leve, fino

e inextensvel de comprimento L, preso a um ponto fixo.

Quando a partcula afastada de sua posio de equilbrio e solta, ela oscila devido fora de

atrao gravitacional. As duas nicas foras que atuam sobre a partcula em um PS so a trao do

fio e a fora peso da partcula, a qual pode ser decomposta em uma fora normal Pn e uma fora

tangencial Pt, trajetria S (ver figura abaixo).

PnPt

T

A equao diferencial que descreve o movimento do pndulo dada por:

35

0 sen L

g

2

2

dt

d (P.3-1)

onde g a acelerao gravitacional e a amplitude (ngulo) de oscilao.

possvel mostrar que o perodo de oscilao T (tempo gasto para uma oscilao completa)

dado por:

...)2

sen6

5

4

3

2

1

2sen

4

3

2

1

2sen

2

11(/2 = 6

2

2

2

2

2

24

2

2

2

22

2

2

gLT (P.3-2)

Nos casos em que a amplitude de oscilao pequena ( 10O , sen ) pode ser usada a

relao:

gLT / 2 ou 21

2/)/( LgT (P.3-3)

A freqncia natural de oscilao f (n de oscilaes completas por segundo) dada por:

LgT

f / 2

11 (P.3-4)

Da equao (P.3-4) temos que a acelerao gravitacional g pode ser obtida pela relao:

Lg T

4

2

2 (P.3-5)

ou seja, medindo o perodo de oscilao de um pndulo simples de comprimento conhecido

podemos determinar a acelerao gravitacional local.


Pndulo simples, cronmetro, papel milimetrado e di-log, e trena.

d. Procedimento Experimental

H certa dificuldade na medida de intervalos de tempo curtos, feitos com cronmetros

disparados manualmente. A automao nem sempre simples. O aumento na preciso da medida

pode ser conseguido se o movimento for peridico, usando o processo de mltipla contagem. Este

problema ser abordado nesta experincia.

Verificar como utilizar o cronmetro para medir tempo. Determinar o desvio associado a

cada medida.

O tempo de reao do ser humano (intervalo de tempo entre a visualizao de um fenmeno

e o seu registro ou, nesta experincia em particular, o tempo gasto para ligar ou desligar o

cronmetro) da ordem de 0,2 s. , portanto, maior do que o desvio avaliado do cronmetro.

Com prtica e cuidado este tempo pode ser diminudo. Isto significa que em toda medida de

tempo, controlada manualmente, haver que se considerar o erro associado ao tempo de

36

reao. Recomenda-se que cada aluno deve medir o seu tempo de reao, no cronmetro,

ligando e desligando-o algumas vezes, do modo mais rpido que puder. A seguir, ao realizar

as medidas de tempo, deve-se levar em conta o tempo de reao do operador ao estimar o

erro cometido.

Colocar o pndulo a oscilar em um ngulo pequeno ( 10 ).

Medir o tempo de 30 oscilaes completas do pndulo simples e determinar o perodo do

mesmo com os seguintes comprimentos de fio aproximados: L = 50,0 cm; 75,0cm; 100,0cm,

150,0cm e 200,0cm.

Construir um grfico em papel milimetrado de T vs L.

Uma outra forma de determinar a dependncia de T com L assumir que a funo seja do

tipo T = K Lw, onde K e w so constantes. Aplicando a funo logaritmo em ambos os lados

da equao obtemos:

log T = log K + w log L (P.3-7)

Pode-se ver que log T diretamente proporcional ao log L. Dois procedimentos podem ser

adotados neste caso:

1- Representar log T vs log L , em papel milimetrado, que dever resultar em uma reta cuja

inclinao w e que corta o eixo log T (log L = 0) no ponto log K (coeficiente linear).

2- Lanar os valores de T e de L diretamente num papel di-log, que resultar tambm numa

reta, a partir da qual se podem determinar os valores de w (a partir da inclinao) e de K

(quando L = 1).

Nesta prtica adotaremos o segundo procedimento.

Construir um grfico di-log de T vs L. Traar visualmente a reta mais provvel.

Determinar a partir do grfico os valores de K e de w. Escrever a equao com os valores

obtidos para K e w. Por comparao relacione as constantes K e w com as constantes da

equao P.3-3.

4. PRTICA 4: CALOR ESPECFICO DOS SLIDOS

a. Objetivos

Medir o calor especfico de slidos (por exemplo: Alumnio, Lato)

b. Introduo Terica

Para aumentar a temperatura de uma substncia, deve-lhe ser fornecida uma quantidade de

calor (Q) que pode ser definida, desde que essa substncia no sofra transio de fase, como:

37

Q = m c T

Onde m a massa do substncia, c o calor especifico da substncia e T a variao de

temperatura sofrida pela substncia.

Geralmente o calor especfico de uma substncia no um valor constante e nico, ele pode

depender da forma em que se fornece calor substncia, por exemplo, se o calor fornecido a

presso constante ou a volume constante. Alm disso, o calor especifico pode depender da

temperatura. Para os slidos quando a variao da temperatura no for muito grande, geralmente ele

pode ser tomado como constante.


Termopar, substncia que se quer medir o calor especfico, balana, calormetro (garrafa

trmica/calormetro), gua e sistema para aquecimento de gua.

d. Procedimento Experimental

Nesse experimento ser medido o calor especifico de alguns slidos (a tcnica vale tambm

para lquidos), para isso ser colocado um slido a uma determinada temperatura (Ti - Temperatura

inicial do slido) em um calormetro (garrafa trmica) com paredes adiabticas (para no perder

calor para o meio externo) contendo gua em equilbrio trmico com o recipiente. Pelo fato da

parede ser adiabtica a variao de calor do sistema ser igual a zero (Q = 0), ou seja:

Qcalormetro + Qgua + Qsubstncia = 0

onde:

Qcalormetro = KT

Qgua = mguacgua (Tequilbrio Tinicial gua)

Qsubstncia = msubstncia csubstncia (Tequilbrio Tinicial substncia)

Antes de iniciar a medida do calor especifico do slido, precisamos encontrar a capacidade trmica

(K) do calormetro. Como fazer isso?

Uma das possibilidades a seguinte:

Aquea aproximadamente 110mL de gua at a temperatura de ebulio.

Enquanto a gua est sendo aquecida, mea a massa do calormetro (mc).

Despeje a gua quente dentro do calormetro e mea a massa novamente (mca). A diferena

mca-mc ser igual massa de gua quente (maq) despejada no calormetro.

Mea a massa de aproximadamente 100mL de gua temperatura ambiente (maf) e a

temperatura desta (Taf).

38

Agite levemente a garrafa com a gua quente a fim de se obter o equilbrio trmico entre a

garrafa e a gua, mea a temperatura (Taq = Tc).

Adicione a gua temperatura ambiente no calormetro.

Mea a temperatura do sistema aps atingir o equilbrio trmico (Teq).

De posse desses dados e substituindo-os na equao abaixo possvel obter o valor da

capacidade trmica (K) da garrafa.

Admitindo que o sistema no perca e nem ganha energia do meio ambiente, (paredes

adiabticas):

K(Teq - Tc) + maf ca (Teq - Taf) + maqca(Teq - Taq) = 0

O calor especifico da gua (ca ) pode ser considerado como sendo 1cal/goC.

Repita esse procedimento pelo menos mais uma vez para confirmar se no esta sendo

cometido algum erro grosseiro.

De posse da capacidade trmica do calormetro (K), proceda, por exemplo, da seguinte

maneira para obter o calor especifico do slido.

Limpe o calormetro.

Mea a massa do slido (ms) que se quer medir o calor especifico e deixe-o isolado (sem

contato com as mos).

Aquea novamente gua (~110mL) at chegar na temperatura de ebulio.

Enquanto a gua est sendo aquecida, mea a massa do calormetro (mc).

Despeje a gua quente dentro do calormetro e mea a massa novamente (mca). A diferena

mca-mc ser igual massa de gua quente (maq) despejada no calormetro.

Mea a temperatura do ambiente (Ts).

Agite levemente a garrafa com a gua quente a fim de se obter o equilbrio trmico entre a

garrafa e a gua, mea a temperatura (Taq = Tc).

Coloque com cuidado o slido no calormetro, aguarde at que ocorra o equilbrio trmico

(agite levemente a gua para que o equilbrio acontea mais rapidamente), mea essa

temperatura (Teq).

Admitindo que o sistema no perca e nem ganha energia do meio ambiente, (paredes

adiabticas):

K(Teq - Tc) + ms cs(Teq - Ts) + maq ca(Teq - Taq) = 0

De onde pode ser calculado o calor especfico do slido cs.

Repita o procedimento para outro slido.

39

5. PRTICA 5: ASSOCIAO DE COMPONENTES ELTRICOS

a. Objetivos

Estudar o comportamento de resistores hmicos em corrente contnua, quando associados em

srie e em paralelo.

Treinamento de medies utilizando multmetro e fonte de tenso.

b. Fundamentos tericos

A associao de resistores ou quaisquer outros componentes resistivos em um circuito pode ser

analisada pelas leis de Kirchhoff. Ou seja, em um circuito de resistores em srie a tenso total

igual soma das tenses em cada componente, enquanto a corrente a mesma em todos os

componentes.

Do mesmo modo, em uma associao em paralelo a corrente total igual soma das correntes

em cada elemento, enquanto a tenso a mesma em todos os componentes. Isto nos leva a dizer que

em um circuito em srie a soma das resistncias igual resistncia equivalente Req

= 1 + 2 + 3 + +

e no circuito em paralelo a soma dos inversos das resistncias igual ao inverso da resistncia

equivalente do circuito.

1

=

1

1+

1

2+

1

3+ +

1

c. Material utilizado

Multmetros, fonte de tenso contnua, resistores


Circuito em srie

Escolha um resistor de 560 e um de 1 K, pelo cdigo de cores. Mea agora estes valores

com o ohmmetro.

A seguir monte o circuito:

40

Ajuste a tenso da fonte para 10,00 V usando o voltmetro. Mea com o ampermetro o valor da

corrente no circuito. Mantenha o ampermetro conectado no circuito e mea os valores das tenses

em R1 e R2 e nos terminais do ampermetro. Faa todas as medidas de tenso com dois dgitos e as

de corrente com trs dgitos de preciso depois da vrgula.

Circuito em paralelo

Usando os mesmos resistores, monte o circuito abaixo, ajuste a tenso na fonte para Vf =

10,00 V e repita o procedimento do primeiro item, medindo IR1, IR2, a corrente total no circuito It e

os valores das tenses em R1 e R2.

Levando em conta os desvios,

Faa uma anlise terica do circuito em srie, usando Vf = 10,00 V e calculando VR1, VR2 e I.

Verifique se estes valores esto de acordo com os valores medidos e explique as eventuais

discrepncias.

Faa uma anlise terica do circuito em paralelo, usando Vf = 10,00 V e calculando IR1, IR2 e

It. Verifique se estes valores esto de acordo com os valores medidos e explique as eventuais

discrepncias.

Verifique a validade da 1 e da 2. lei de Kirchhoff nos dois circuitos acima.

Calcule para os dois circuitos acima a potncia dissipada em cada resistor e a potncia total

dissipada no circuito. Compare com o valor de 1 W, que a potncia mxima admissvel

pelos resistores utilizados na experincia.

Seqncia sugerida

Circuito em srie

Valores das resistncias dos resistores medidos com o ohmmetro:

R1 = ( + )

R2 = ( + )

Valor da corrente no circuito medido com o ampermetro:

41

I = ( + ) mA

Valores das tenses medidos com o voltmetro:

VF

= ( + ) V

VR1 = ( + ) V

VR2 = ( + ) V

Vamp = ( + ) V

Verifique a validade da 2 lei de Kirchhoff, comparando o valor de VF com a soma das

tenses nos resistores:

VF = ( + ) V

Vamp + VR1 + VR2 = ( + ) V

Com base nos resultados acima, calcule o valor da resistncia interna do ampermetro na escala

utilizada.

Ramp= ( + )

Calcule R = V/I para cada resistor usando a corrente e as tenses medidas em cada resistor.

Valores das resistncias dos resistores obtidos a partir de V/I:

R1 = ( + )

R2 = ( + )

Comparando os valores das resistncias obtidos com o ohmmetro e com o resultado de V/I,

qual o mtodo mais preciso para obter a resistncia? Explique.

Utilizando os valores das resistncias medidos com o ohmmetro, calcule o valor da resistncia


Req

Calcule agora o valor da resistncia equivalente do circuito usando a expresso:

Req = VF / I

Req

Comparando os resultados, explique a diferena entre eles. Esta diferena comparvel ao valor

da resistncia interna do ampermetro que voc estimou acima?

Calcule a potncia dissipada em cada resistor e compare com o valor da potncia mxima

admissvel em cada resistor utilizado.

P1 = ( + ) W

P2 = ( + ) W

Circuito em paralelo

Valor da corrente total no circuito usando o ampermetro:

I = ( + ) mA

42

Valor das correntes nos resistores usando o ampermetro:

IR1 = ( + ) mA

IR2 = ( + ) mA

Valores das tenses no circuito medidos com o voltmetro:

VF = ( + ) V

VR1 = ( + ) V

VR2 = ( + ) V

Note que a tenso a mesma em todos os componentes do circuito (Se houver uma discrepncia

entre a tenso nos resistores e a tenso na fonte, explique).

Verifique a validade da 1a lei de Kirchhoff, comparando o valor da corrente total I que sai da

fonte com a soma das correntes que passam pelos dois resistores.

Itotal = ( + ) mA

IR1 + IR2 = ( + ) mA

Utilizando os valores das resistncias medidos com o ohmmetro, calcule o valor da resistncia


Req

Calcule agora o valor da resistncia equivalente do circuito usando a expresso:

Req = VF / I

Req

Comparando os resultados, explique se eles so compatveis entre si.

Calcule a potncia dissipada em cada resistor e compare com o valor da potncia mxima

admissvel em cada resistor utilizado.

P1 = ( + ) W

P2 = ( + ) W

6. PRTICA 6: CONDUO ELTRICA ATRAVS DE SOLUES AQUOSAS

Esta prtica ser realizada em forma de projeto, ou seja, ser proposto no dia da aula um

experimento hipottico, ser discutida a parte terica envolvida em tal experimento e

adicionalmente sero entregues os dados (simulao de medidas) para serem processados e

apresentados em forma de relatrio.

Algumas questes sero apresentadas tambm, envolvendo teoria, procedimento experimental e

processamento de resultados, as quais devero ser esclarecidas pelos estudantes, na apresentao do

relatrio da prtica.

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Apostila Fis Exp 2014