Upload
nego
View
104
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Fundamentos da Matemática
Citation preview
i
Apostila de Matemtica Bsica
Assunto:
MATEMTICA BSICA
Coleo Fundamental
i
Sumrio
Unidade 1 Reviso de Tpicos Fundamentais do Ensino Mdio ........................................ 04 1.1 Apresentao ................................................................................................................... 04 1.2 Simbologia Matemtica mais usual .................................................................................. 04 1.3 Conjuntos Numricos ....................................................................................................... 05 1.4 Operaes com Nmeros Relativos .................................................................................. 07
1.4.1 Soma ou Adio ................................................................................................... 07 1.4.2 Subtrao ou Diferena ......................................................................................... 08 1.4.3 Multiplicao........................................................................................................ 09 1.4.4 Diviso ................................................................................................................. 09 1.4.5 Potenciao .......................................................................................................... 10 1.4.6 Radiciao ............................................................................................................ 11 1.4.7 Produto ................................................................................................................. 14 1.4.8 Expoente Nulo ...................................................................................................... 15 1.4.9 Expoente Negativo ............................................................................................... 15 1.4.10 Expoente Fracionrio ............................................................................................ 16 1.4.11 Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos
nmeros................................................................................................................ 16
1.5 Produtos Notveis ............................................................................................................ 16 1.5.1 Quadrado de um binmio...................................................................................... 16 1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferena entre eles ..................................... 17 1.5.3 Cubo de um binmio ............................................................................................ 17
1.6 Equaes.......................................................................................................................... 19 1.6.1 Equao do 1. grau com uma Incgnita ............................................................... 19 1.6.2 Equao do 2. grau com uma Incgnita ............................................................... 20
1.7 Progresso Aritmtica (P. A.) ........................................................................................... 22 1.7.1 Definio .............................................................................................................. 22 1.7.2 Classificao ........................................................................................................ 22 1.7.3 Termo Geral ......................................................................................................... 23 1.7.4 Propriedades ......................................................................................................... 23 1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A. ........................................................... 25
1.8 Progresso Geomtrica (P. G.) ......................................................................................... 28 1.8.1 Definio .............................................................................................................. 28 1.8.2 Classificao ........................................................................................................ 29 1.8.3 Termo Geral ......................................................................................................... 29 1.8.4 Propriedades ......................................................................................................... 30 1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G. ........................................................... 32
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano ................................................................................... 35 1.10 Equao reduzida da Reta ................................................................................................ 37 1.11 Noo de Aplicao ......................................................................................................... 42 1.12 Exerccios Propostos ........................................................................................................ 43 1.13 Respostas dos Exerccios Propostos ................................................................................. 46 1.14 Nmeros Complexos ........................................................................................................ 47
1.14.1 Introduo ............................................................................................................ 47 1.14.2 Potncias de j........................................................................................................ 50 1.14.3 Representaes e Formas de um Nmero Complexo ............................................. 51
a) Representaes ............................................................................................... 51 b) As Frmulas de Euler e suas decorrncias ....................................................... 54
ii
c) Formas ............................................................................................................ 55 c.1) Cartesiana ou Retangular ......................................................................... 55
c.2) Trigonomtrica ........................................................................................ 55
c.3) Exponencial ou de Euler .......................................................................... 55
c.4) Polar ou de Steinmetz .............................................................................. 55
c.5) Algumas Formas Polares Especiais .......................................................... 60
c.6) Complexo Conjugado .............................................................................. 60
1.14.4 Operaes com Nmeros Complexos.................................................................... 62 a) Igualdade ........................................................................................................ 62 b) Adio e Subtrao ......................................................................................... 62 c) Multiplicao .................................................................................................. 67 d) Diviso ........................................................................................................... 69 e) Potenciao..................................................................................................... 71 f) Radiciao ...................................................................................................... 74
1.14.5 Desigualdade do Tringulo ................................................................................... 82 1.14.6 Curvas e Regies no Plano Complexo .................................................................. 84
a) Circunferncia ................................................................................................ 84 b) Disco Fechado ................................................................................................ 86 c) Disco Aberto................................................................................................... 87 d) Exterior da Circunferncia .............................................................................. 87 e) Coroa Fechada ................................................................................................ 88 f) Coroa Aberta .................................................................................................. 88 g) Circunferncia Unitria ................................................................................... 88 h) Reta que une dois pontos ................................................................................ 89
1.15 Exerccios Propostos sobre Nmeros Complexos ............................................................. 90 1.16 Respostas dos Exerccios Propostos sobre Nmeros Complexos ...................................... 97
Unidade 2 Somatrios, Produtrios e uma Introduo s Medidas de Posio ............... 115 2.1 Introduo aos Somatrios ............................................................................................. 115 2.2 Definio formal de somatrio ....................................................................................... 116 2.3 Propriedades dos Somatrios ......................................................................................... 118 2.4 Somatrio Duplo ............................................................................................................ 125
2.5 Propriedade dos Somatrios Duplos ............................................................................... 127
2.6 Exerccios Propostos sobre Somatrios .......................................................................... 128
2.7 Respostas dos Exerccios Propostos sobre Somatrios.................................................... 132
2.8 Introduo aos Produtrios ............................................................................................. 134
2.9 Definio Formal de Produtrio ..................................................................................... 134
2.10 Propriedades dos Produtrios ......................................................................................... 135
2.11 Exerccios Propostos sobre Produtrios .......................................................................... 137
2.12 Respostas dos Exerccios sobre Produtrios ................................................................... 139
2.13 Introduo s Medidas de Posio .................................................................................. 140
2.14 Mdia Aritmtica Dados No-agrupados ..................................................................... 140 2.15 Mdia Aritmtica Dados Agrupados............................................................................ 141 2.16 Mdia Geral ................................................................................................................... 143
2.17 Mdia Geomtrica Dados No-agrupados ................................................................... 143 2.18 Mdia Geomtrica Dados Agrupados .......................................................................... 144 2.19 Mdia Harmnica Dados No-agrupados .................................................................... 145 2.20 Mdia Harmnica Dados Agrupados ........................................................................... 146 2.21 Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio ............................................................. 149
iii
2.22 Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio ........................................................... 151
2.23 Respostas dos Exerccios Propostos sobre Medidas de Posio ...................................... 152
2.24 Respostas dos Exerccios de Reviso sobre Medidas de Posio..................................... 152
Unidade 3 Matrizes, um primeiro enfoque........................................................................ 153 3.1. Apresentao ................................................................................................................. 153
3.2. Introduo Histrica ....................................................................................................... 153
3.3. Conceitos Fundamentais ................................................................................................ 154
3.4. Matrizes Especiais e Operaes com Matrizes................................................................ 160
3.4.1 Matriz Linha ....................................................................................................... 161 3.4.2 Matriz Coluna ..................................................................................................... 161 3.4.3 Matriz Quadrada ................................................................................................. 161 3.4.4 Matriz Triangular ............................................................................................... 164 3.4.5 Matriz Diagonal .................................................................................................. 164 3.4.6 Matriz Escalar .................................................................................................... 165 3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade ................................................................. 165 3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero ................................................................................ 166 3.4.9 Igualdade de Matrizes ......................................................................................... 166 3.4.10 Transposio de matrizes .................................................................................... 167 3.4.11 Matriz Oposta ..................................................................................................... 168 3.4.12 Matriz Conjugada ............................................................................................... 169 3.4.13 Matriz Simtrica ................................................................................................. 170 3.4.14 Matriz Anti-simtrica ......................................................................................... 171 3.4.15 Matriz Hermitiana .............................................................................................. 173 3.4.16 Matriz Anti-hermitiana ....................................................................................... 173 3.4.17 Soma ou Adio de Matrizes .............................................................................. 174 3.4.18 Subtrao ou Diferena de Matrizes .................................................................... 178 3.4.19 Produto de um Nmero Complexo por uma Matriz ............................................. 179 3.4.20 Produto de Matrizes ............................................................................................ 186 3.4.21 Matriz Peridica ................................................................................................. 204 3.4.22 Matriz Idempotente ............................................................................................ 205 3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente........................................................................ 206 3.4.24 Polinmio de uma Matriz.................................................................................... 206 3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partio de Matrizes ....................................................... 207
3.5 Exerccios Propostos ...................................................................................................... 211 3.6 Respostas dos Exerccios Propostos ............................................................................... 218
4
Unidade 1
Reviso de Tpicos Fundamentais do Ensino Mdio
1.1 Apresentao
Esta a primeira unidade da disciplina Matemtica 1 dos cursos da rea de Informtica da
Universidade Estcio de S.
Devido flagrante heterogeneidade dos alunos, e j tendo tido vrias turmas anteriores de
experincia, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos bsicos que
entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os
estudantes que estejam fora do bom combate h algum tempo, ou h muito tempo, possam colocar suas idias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
1.2 Simbologia Matemtica mais usual
Esperamos que o estudante conhea a seguinte simbologia:
a) = (igual )
b) (diferente de)
c) ou (conjunto vazio)
d) (pertence )
e) (no pertence )
f) (est contido)
g) (no est contido)
h) (contm)
i) (no contm)
j) (existe pelo menos um)
k) (no existe)
l) | (existe e nico)
m) | (tal que / tais que)
n) (ou)
o) (e)
p) BA (interseo dos conjuntos A e B)
q) BA (unio dos conjuntos A e B)
154
r) (para todo e qualquer, qualquer que seja)
s) (implica)
t) (implica e a recproca equivalente)
u) (donde se conclui)
1.3 Conjuntos Numricos
lgico que, para a Matemtica, os conjuntos de maior importncia so aqueles formados
por nmeros, e certos conjuntos numricos so especialmente importantes devido s propriedades
das operaes entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
a) N 4, 3, 2, 1, 0,
o conjunto dos nmeros inteiros no-negativos.
b) Z 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 ,
o conjunto dos nmeros inteiros.
c) Q
q
pxx | sendo p Z, q Z e q 0.
o conjunto dos nmeros racionais.
So exemplos de nmeros racionais: 5
3 ,
2
9 ,
3
8 , etc.
So exemplos de nmeros irracionais: 14159,3 (pi), 71828,2e (base dos logaritmos
neperianos), 41421,12 , 73205,13 , etc.
d) R o conjunto dos nmeros reais, formados por todos os nmeros racionais e irracionais, e costumamos associar tais nmeros aos pontos de uma reta que, por definio, infinita em
ambos os sentidos.
3
3 2 1 0 1 2 3
2
2
2
1
1
3
Fig. 1.1 Representao grfica de alguns elementos do conjunto R.
155
e) yxzz j |C , sendo x R, y R e 1j , o conjuntos dos nmeros complexos (voltaremos a tal assunto na seo 1.14).
Quando inclumos o smbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excludo do
conjunto. Assim, temos:
f) N* xx |5, 4, 3, 2, 1, N e 0x
o conjunto dos nmeros naturais.
g) Z* xx | Z e 0x
h) Q* xx | Q e 0x
i) R* xx | R e 0x
j) C* xx | C e 0x
Quando inclumos o smbolo + (mais), estamos indicando que foram excludos todos os
nmeros negativos dos conjunto.
k) Z xx | Z e 0x N
o conjunto dos nmeros inteiros no negativos.
l) Q xx | Q e 0x
o conjunto dos nmeros racionais no negativos
m) R xx | R e 0x
o conjunto dos nmeros reais no negativos.
Quando acrescentamos o smbolo (menos) estamos indicando que foram excludos todos os
nmeros positivos do conjunto. Assim, temos:
n) Z xx | Z e 0x
o conjunto dos nmeros inteiros no positivos.
o) Q xx | Q e 0x
o conjuntos dos nmeros racionais no positivos.
p) R xx | R e 0x
o conjunto dos nmeros reais no positivos.
156
Devemos notar que o zero elemento dos conjuntos Z , Z , Q , Q , R , R . Se exclumos o
zero destes conjuntos, teremos:
q) Z * xx | Z e 0x
r) Z * xx | Z e 0x
s) Q* xx | Q e 0x
t) Q* xx | Q e 0x
u) R* xx | R e 0x
v) R* xx | R e 0x
O conjunto R* chamado conjunto dos nmeros reais estritamente positivos e R
* o
conjunto dos nmeros reais estritamente negativos. Os outros tm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
CRQZN *
isto , todo nmero natural inteiro, todo nmero inteiro racional, todo nmero racional real e
todo nmero real tambm complexo.
1.4 Operaes com Nmeros Relativos
Ilustrao 1.1: Nmeros relativos
3 2 1 0 1 2 3
1.4.1 Soma ou Adio
Quando os nmeros tm o mesmo sinal basta conserv-lo e adicionar os nmeros;
quando os sinais so contrrios subtramos o menor do maior, e o sinal que prevalece o
deste ltimo. bom lembrar tambm que o sinal mais (+) antes de um parntese no vai
alterar o sinal do nmero que est entre parnteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes
do parntese for o de (). Se no houver nenhum sinal antes do parntese estar implcito que o sinal ser o de mais (+).
157
ILUSTRAO 1.2
a) 12210)2()10(
b) 8210)2()10(
c) 8210)2()10(
d) 12210)2()10(
Quando devemos somar mais de dois nmeros relativos o resultado obtido somando
o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante at a ltima
parcela.
ILUSTRAO 1.3
)4()3()7()3()5(
)4()3()7()2(
)4()3()5(
)4()2( 2
Podemos tambm adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as
negativas e, em seguida, somar os dois nmeros de sinais contrrios obtidos.
ILUSTRAO 1.4
Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
soma das parcelas positivas:
12)4()3()5(
soma das parcelas negativas:
158
10)7()3(
soma de ambos os resultados:
2)10()12(
1.4.2 Subtrao ou Diferena
Cumpre observar que o sinal de menos () antes de um parntese troca o sinal do nmero que est entre parnteses e, no mais, procedemos como na operao anterior.
ILUSTRAO 1.5
a) 8210)2()10(
b) 12210)2()10(
c) 12210)2()10(
d) 8210)2()10(
Para as operaes de multiplicao e diviso que viro logo a seguir vale a
seguinte regra: Nmeros de mesmo sinal do sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrrios conduzem sempre resultados negativos.
1.4.3 Multiplicao
159
Ilustrao 1.6
a) 20)2()10(
b) 20)2()10(
c) 20)2()10(
d) 20)2()10(
1.4.4 Diviso
Ilustrao 1.7
a) 5)2()10(
b) 5)2()10(
c) 5)2()10(
d) 5)2()10(
1.4.5 Potenciao
Quando, em uma multiplicao, os fatores so todos iguais, em mdulo e em sinal, esta
operao recebe o nome de potenciao. Assim sendo, a potncia de um nmero o produto de
fatores iguais a este nmero, sendo representada por:
pa
Conforme veremos a seguir, toda potncia de expoente par positiva,
qualquer que seja o sinal da base, porm, toda potncia de expoente mpar tem o
sinal de base.
expoente (n. de repeties dos fatores iguais) base ( o nmero ou fator em questo)
160
Ilustrao 1.8
a) 162)2(222 4
b) 162222)2( 4
c) 82222 3
d) 8222)2( 3
Para executar a potenciao de um nmero relativo em uma minicalculadora, a seqncia
de operaes simples:
(a) Determinar 42 :
1.) Digitamos a base (2)
2.) Pressionamos a tecla exponencial
xy
yx
(CASIO modelo fx-82LB)
ou
(CASIO modelo fx-6300 G)
,
que depende do modelo da minicalculadora.
3.) Digitamos o expoente (4)
4.) Pressionamos a tecla exponencial
EXE
(CASIO modelo fx 82LB) ou
(CASIO modelo fx 6300G)
,
que depende do modelo da minicalculadora.
5.) Vai aparecer o nmero 16 no visor da calculadora.
(b) Determinar 42 :
Primeiramente digitamos a base (2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 LB,
por exemplo) digitamos o nmero 2 e depois apertamos a tecla para trocar o
sinal para menos. Em outras (CASIO fx 6300G) apertamos a tecla e depois
161
digitamos o nmero 2. O restante da seqncia de operaes igual a do item a: tecla
exponencial, expoente...
A esta altura interessante notar a diferena entre a potenciao seqencial e
a potenciao escalonada, que sero analisadas logo a seguir.
Ilustrao 1.9
a) Potenciao Seqencial:
64 4 )2( 332 , que tambm pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes:
6422 632
b) Potenciao Escalonada:
322 que pode ser entendida como 2
2
3
, ou seja:
25622 823
1.4.6 Radiciao
a) Raiz n-sima de um nmero:
Dizemos que um nmero b a raiz n-sima exata de um nmero a quando
nba
e ela representada por
ban
Denomina-se radiciao a operao pela qual se obtm a raiz n-sima de um nmero. Nas
operaes exatas, a radiciao a operao inversa da potenciao.
162
Temos ento:
radical do ndice o "" nmero O
radicando o "" nmero O
radical o sinal O
n
a
Assim sendo
39 porque 932
283 porque 823
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e no usual escrever este ndice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cbica, mas este ndice aparece no radical.
b) Valor algbrico dos radicais:
Se o radicando considerado em valor absoluto (mdulo), a radiciao uma operao
unvoca. No entanto, se este radicando um nmero relativo a unicidade, em alguns casos,
no estar mais garantida e por isso vamos considerar trs casos:
1.) ndice par e radicando positivo.
Neste caso o radical admitir duas razes reais e simtricas no conjunto dos nmeros
reais, bem como um par complexo conjugado (vide exerccio proposto 39, item j da seo
1.15).
2.) ndice mpar.
Sendo o ndice do radical um nmero mpar, temos uma raiz no conjunto dos
nmeros reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n 1) razes no conjunto dos nmeros complexos (vide exerccio proposto 38, item f, da seo 1.15).
3.) ndice para e radicando negativo.
Neste caso no existe nenhum valor do conjunto do nmeros reais que elevado ao
ndice para seja igual ao radicando. Este assunto ser abordado na seo 1.14.
163
Ilustrao 1.10
1. caso
6255
6255 pois 5625
648
648 pois 864
4
4
4
2
2. caso
322 pois 232
322 pois 23255
55
3. caso
1.14 seo na abordado ser assunto tal
mencionado j conforme e, 4 j
Observao: pelo que foi exposto, se algum lhe perguntar qual o valor de 9 , a resposta e
simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algbrico do 9 teremos ento 3.
A determinao de razes atravs de minicalculadoras simples:
a) Determinar 4 625 :
a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB:
1.) Digitamos o radicando 625
2.) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operao x y
3.) Digitamos o expoente 4
4.) Pressionamos a tecla
5.) O nmero 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se
desejamos o valor algbrico da raiz a resposta completa 5.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.) Digitamos o ndice 4
2.) Pressionamos a tecla x
3.) Digitamos o radicando 625
164
4.) Pressionamos a tecla EXE
5.) O nmero 5 aparece no visor
b) Determinar 5 32 :
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla para trocar o seu sinal
2.) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operao x y
3.) Digitamos o ndice 5
4.) Pressionamos a tecla
5.) O valor 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.) Digitamos o ndice 5
2.) Pressionamos a tecla x
3.) Pressionamos a tecla e depois o valor 32
4.) Pressionamos a tecla EXE
5.) O valor 2 aparece no visor.
Observao: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas
de modelos diferentes, so totalmente diferentes. O que no esperar de modelos de outros
fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua prpria calculadora, a fim de se
familiarizar com o uso da mesma.
1.4.7 Produto e Diviso de Potncias de Mesma Base
a) Para multiplicar potncias de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potncias de mesma base, repetimos a base e subtramos o expoente do denominador do expoente do numerador.
165
Ilustrao 1.11
a) 23
2
1423
2
1
423 aaaaaa
b) 3585
8
bbb
b
c) 3525
2 xx
x
x
d) 7)4(34
3
III
I
1.4.8. Expoente Nulo
Toda potncia de expoente nulo igual unidade.
Ilustrao 1.12
10 a
Observao:
So excees 00 e 0 , que no tm qualquer significado numrico, sendo smbolos de
indeterminao, e so abordados em Anlise Matemtica na parte de Limites.
1.4.9 Expoente Negativo
Toda potncia de expoente negativo equivale a uma frao cujo numerador a unidade e o
denominador a potncia com o expoente positivo ou seja: nn
aa
1 . (1)
166
Ilustrao 1.13
a) 16
1
2
12
4
4
b) 9
1
3
13
2
2
Observaes:
1) Em conseqncia do exposto anteriormente temos:
n
n
aa
1 (2)
2) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustrao 11 por outro caminho:
743
4
3
IIII
I
1.4.10 Expoente Fracionrio
Toda potncia de expoente fracionrio equivale a uma raiz cujo ndice o denominador da
frao e cujo radicando a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
q pq
p
aa (3)
167
Ilustrao 1.14
Determinar os valores algbricos das seguintes operaes:
a) 46488 33 232
b) 4161621
c) 2
1
4
1
4
14
2
12
1
1.4.11 Emprego de Potncias de Dez para simplificar a representao de certos Nmeros
Ilustrao 1.15
No Brasil: Nos E.U.A.:
a) 3102000 2 * 3102000,2
b) 6104000 000 4 * 6104000,000,4
c) 41030003,0 41030003.0
d) 31025025,0 31025025.0
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhes, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. J h alguns anos aboliram-se
os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espao entre as mesmas.
1.5 Produtos Notveis
1.5.1 Quadrado de um binmio
a) 2)( ba :
22222 2)( )()( babababababababa
ou
168
22
2
2
2 baba
bab
aba
ba
ba
222 2)( bababa (4)
b) 2)( ba :
22222 2)( )()( babababababababa
ou
22
2
2
2 baba
bab
aba
ba
ba
222 2)( bababa (5)
1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferena entre eles
)( )( baba :
2222)( )( babababababa
ou
22
2
2
ba
bab
aba
ba
ba
22)( )( bababa (6)
1.5.3 Cubo de um binmio
169
a) )2)(())(()( 2223 babababababa
322223 22 babbaabbaa
3223 33 babbaa
ou
3223
322
223
22
33
2
2
2
babbaa
babba
abbaa
ba
baba
32233 33)( babbaaba (7)
b) )2)(())(()( 2223 babababababa
322223 22 babbaabbaa
3223 33 babbaa
ou
3223
322
223
22
33
2
2
2
babbaa
babba
abbaa
ba
baba
32233 33 babbaaba (8)
170
Ilustrao 1.16
a) 222 55 25 xxaaxa 22 2510 xaxa
b) 222222 33 52535 yyxxyx 224 93025 yyxx
c) yxyxyxyx 22
d) 32233 33 2 332 3232 yyxyxxyx 3223 2754368 yxyyxx
e) 32233 22 32 32 yyxyxxyx 3223 8126 yxyyxx
1.6 Equaes
1.6.1 Equao do 1 Grau com uma Incgnita
Toda equao do 1 grau com uma incgnita pode ser reduzida a forma
0baz (9)
em que 0a .
Sua soluo :
bazbaz 0
a
bz (10)
EXEMPLO 1.1
Resolver as seguintes equaes do 1 grau:
a) 3713 zz
b) 12
15
2
5
x
171
c) 4
6
2
3
y
d) 0 qpz (sendo p 0)
Soluo:
a) 3713 zz
1 4
4
44
3173
zz
z
zz
b) 12
15
2
5
x
230
60
6030
125152
xx
x
x
c)
4
6
2
3
y
46
24
246
12126
4326
yy
y
y
y
d) 0qpz
p
qz
qpz
1.6.2 Equao do 2 Grau com uma Incgnita
A forma geral da equao do 2 grau com uma incgnita :
02 cbzaz (11)
172
onde 0a .
Vamos ento transformar a equao em outra equivalente, de modo que o primeiro
membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equao (4).
a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:
cbzaz 2
b) Multiplicando por a4 , teremos:
acabzza 444 22
c) Somando 2b aos dois membros, resulta:
acbbabzza 444 2222
d) Verificando que o 1 membro um quadrado perfeito, teremos:
acbbaz 42 22
e) Extraindo as razes quadradas de ambos os membros, obtemos:
42
42
2
2
acbbaz
acbbaz
a
b
a
acbbz
22
42
(12)
que a conhecida frmula da Bhaskara, onde
acb 42 .....(13)
o discriminante da equao, e trs casos podem ocorrer:
1) 0 teremos duas razes reais e desiguais.
2) 0 teremos duas razes reais e iguais.
3) 0 no teremos razes no conjunto dos nmeros reais, e este caso ser abordado na seo 1.14.
Exemplo 1.2
Resolver as seguintes equaes do 2 grau:
a) 0352 2 zz
b) 0144 2 zz
173
c) 01342 zz
Soluo:
a)
3
5
2
0352 2
c
b
a
zz
4932454 22 acb
4
75
22
495
2
a
bz
2
1
4
2
4
751
z
34
12
4
752
z
b)
1
4
4
0144 2
c
b
a
zz
014444 22 acb
8
04
42
04
2
a
bz
dupla raiz
2
1
8
04
2
1
8
04
2
1
z
z
c)
13
4
1
01342
c
b
a
zz
0365216131444 22 acb
e esta equao no admite razes no campo real. Sua soluo ser apresentada na subseo
1.14.1 ( 321 jz e 322 jz so as suas razes).
1.7 Progresso Aritmtica (P.A.)
1.7.1 Definio
174
uma sucesso de termos
( , , , , , , , , , 1 termos
14321 n
n
nn aaaaaaa )
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2 termo inclusive, a diferena entre um termo
qualquer e o seu antecedente igual a uma quantidade constante r, denominada razo da
progresso, ou seja:
raaaaaaaa nnnn 112312
As seguintes seqncias so exemplos de P.A.:
a) ( 2 ) 22 17, 12, 7, 2, 1 a e 5r
b) ( xatxtxtxx 1 ) 6 ,4 ,2 , e tr 2
c) ( 5 ) 5 ,5 ,5 ,5 ,5 1 a e 0r
d) 7 9 , 2
17 ,8 ,
2
15 ,7 1
a e
2
1r
e) ( 8 ) 4 1, ,2 ,5 ,8 1 a e 3r
1.7.2 Classificao
As progresses aritmticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razo r:
0r P.A. crescente
0r P.A. constante ou estacionria
0r P.A. decrescente
1.7.3 Termo geral
A partir da definio, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:
rnaraaraararraraaraa
rarraraaraa
raaraa
nnnn 1
32
2
111
113434
112323
1212
175
Observe que cada termo obtido adicionando-se ao primeiro um nmero de razes r igual
posio do termo menos uma unidade, ou seja:
rnaa
raraa
raraa
raraa
n 1
143
132
12
1
114
113
112
O termo de ordem n da P.A. dado, portanto, pela frmula a seguir:
rnaan 11 (14)
que pode tambm ser obtida da seguinte maneira:
rnaaraa
raa
raa
raa
n
nn
11
1
34
23
12
Somando membro a membro estas n 1 igualdades obtemos a expresso do termo de ordem n.
e
rnaan 11 (14)
que a mesma equao anteriormente encontrada.
1.7.4 Propriedades
I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, a mdia aritmtica entre o termo precedente e o termo seguinte.
Com efeito, se
, , 11 nnn aaa
so termos consecutivos de uma P.A., ento podemos escrever:
nnnn aaaa 11
ou seja,
112 nnn aaa
e
176
2
11 nnnaa
a (15)
II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqidistantes dos extremos constante e igual soma dos prprios extremos.
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razo r, e A e B os termos eqidistantes dos
extremos, conforme ilustrado a seguir:
(
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
p
nn
p
aaBAaa )
177
Pela frmula do termo geral,
rpaA 11 (16)
Considerando agora a progresso
termos
1 , , ,
p
nn aaB
temos pela frmula de termo geral,
rpBan 1 (17)
Subtraindo (17) de (16) resulta:
BaaA n 1
o que nos conduz a
naaBA 1 (18) C.Q.D
III) Em uma P.A. limitada cujo nmero de termos mpar, o termo mdio a mdia aritmtica dos extremos.
Neste caso temos:
(
termos12 com P.A.
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
pn
p
nn
p
aaBMAaa )
Pelas propriedades I e II temos:
2
BAM
e
naaBA 1
Logo,
2
1 naaM
(19) C.Q.D.
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
178
Com relao a P.A.:
( , , , , , , , , 1 termos
12321 n
n
nnn aaaaaaa )
podemos escrever:
nnnn aaaaaaS 12321 (20)
ou, invertendo-se a ordem das parcelas,
12321 aaaaaaS nnnn (21)
Somando (20) e (21) membro a membro obtemos:
1213223121 2 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn , onde
temos n parnteses.
No entanto, pela propriedade II todos os parnteses so iguais a naa 1 .
Logo,
naaS nn 12
e
2
1 naaS nn
(22)
Observaes:
1) Se a progresso for crescente, ilimitada, temos NSn , sendo N um nmero arbitrariamente
grande.
Poremos:
lim nS
n
ou
nS quando n
2) No caso de uma progresso decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condies:
lim nS
179
n
ou
nS quando n
Exemplo 1.3
Calcule o 17: termo da P.A. ( ,31 ,8 ,3 )
Soluo:
Temos que:
31 a e 5r
Logo,
83516316117 1117 raraa
Exemplo 1.4
Calcule a soma dos doze primeiros nmeros mpares.
Soluo:
Temos ento:
( ,5 ,3 ,1 )
Donde,
11 a e 2r , logo
23211111112 1112 raraa
144
2
12231
2
1212112
aaS
Exemplo 1.5
180
No depsito de uma firma de informtica, costuma-se empilhar as caixas de um
determinado equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas
dessas filas seriam necessrias para empilhar 171 dessas caixas?
Fig. 1.2
Soluo:
Temos uma P.A. representada por
( ,3 ,2 ,1 )
onde, 11 a e 1r
Desejamos saber o n para o qual temos 171nS .
Sabemos que:
2
12
2
1
2
1111 nrnanrnaanaaS nn
Substituindo valores,
0342
,342
,1342
,12342
,2
1112171
2
2
nn
nn
nn
nn
nn
que uma equao do 2 grau para a qual 1a , 1b e 342c .
Assim sendo,
181
19
18
2
371
2
13691
12
3421411
2
4
"
'
22
n
n
a
acbbn
Como no existe nmero de fileiras negativo, s a 1 raiz tem significado fsico.
1.8 Progresso Geomtrica (P.G.)
1.8.1 Definio
uma sucesso de termos
( , , , , , , , , , 1 termos
14321 n
n
nn aaaaaaa )
finita ou infinita, sendo que , a partir do 2 termo inclusive, a razo entre um termo qualquer e o seu
antecedente igual a uma quantidade constante q, denominada razo da progresso, ou seja:
qa
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
1
12
3
1
2
As seqncias a seguir so exemplos de P.G.:
a) (1 , 4 , 16 , 64 , ) 11 a e 4q
b) (x , 2xt , 4xt , 6xt , ) xa 1 e 2tq
c) (8 , 2 , 2
1 ,
8
1 , ) 81 a e
4
1q
d) (7 , 7 , 7 , 7 , ) 71 a e 1q
e) ( 4 , 8 , 16 , 32 , ) 41 a e 2q
1.8.2 Classificao
10e 0
ou
1 e 0
1
1
qa
qa
P.G. crescente
10e 0
ou
1 e 0
1
1
qa
qa
P.G. decrescente
182
1a e 0q P.G. alternante
1a e 0q P.G. constante ou estacionria
1.8.3 Termo geral
A partir da definio, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma:
qa
a
1
2 qaa 12
qa
a
2
3 21123 qaqqaqaa
qa
a
3
4 312134 qaqqaqaa
qa
a
n
n 1
111
n
nn qaqaa
Observe que cada termo obtido multiplicando-se o primeiro por uma potncia cuja base
a razo. Note que o expoente da razo igual posio do termo menos uma unidade, ou seja:
12
112 qaqaa
13
1
2
13
qaqaa
14
1
3
14
qaqaa
1
1 nn qaa
O termo de ordem n da P.G. dado, portanto, pela frmula a seguir:
1
1
nn qaa (23)
que pode tambm ser obtida da seguinte maneira:
183
qa
a
qa
a
qa
a
qa
a
n
n
1
3
4
2
3
1
2
Multiplicando membro a membro estas 1n igualdades obtemos a expresso do termo de ordem n
1
13
4
2
3
1
2
n
n
n qa
a
a
a
a
a
a
a
Fazendo os cancelamentos, obtemos:
1
1
nn qa
a
o que nos leva a
1
1
nn qaa (23)
conforme h havia sido deduzido anteriormente.
1.8.4 Propriedades
I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, a mdia geomtrica entre o termo precedente e o termo seguinte.
Realmente, se
1na , na , 1na
so termos consecutivos de uma P.G., ento podemos escrever:
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1
ou seja,
11
2
nnn aaa
e
11 nnn aaa . (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou () so usados de acordo com as
caractersticas da P.G.
II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqidistantes dos extremos igual ao produto dos extremos.
184
Seja ento a P.G. limitada, com n termos, razo q, e A e B os termos eqidistantes dos
extremos, conforme mostrado logo a seguir:
(
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
p
nn
p
aaBAaa )
Pela frmula do termo geral,
1
1
pqaA . (25)
Considerando agora a progresso
termos
1 , , ,
p
nn aaB
temos pela frmula do termo geral,
1 pn Bqa . (26)
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta:
B
a
a
A
n
1
o que nos leva a:
naaAB 1 . (27) C.Q.D.
III) Em uma P.G. limitada cujo nmero de termos mpar, o termo mdio a mdia geomtrica dos extremos.
Neste caso temos:
(
termos12 com P.G.
termos
1
termos
21 , , , , , , , ,
pn
p
nn
p
aaBMAaa )
Pelas propriedades I e II temos:
ABM
e
naaAB 1
logo,
naaM 1 . (28) C.Q.D.
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Com relao a P.G.
185
( , , , , , , , , , 1 termos
12321 n
n
nnn aaaaaaa )
podemos escrever:
nnnn aaaaaaS 12321 . (29)
Multiplicando ambos os membros por q resulta:
qaqaqaqaqaqaqS nnnn 12321
o que equivalente a
11432 nnnn aaaaaaqS (30)
Subtraindo (30) de (29) temos:
11 nnn aaqSS
ou j que nn qaa 11 ,
n
n qaaqS 11)1(
e
1 ,
1
11
q
q
qaS
n
n (31)
Observaes:
1.) Se a progresso for crescente, ilimitada, temos NSn , sendo N um nmero arbitrariamente
grande. Poremos,
lim nS
n
ou
nS quando n
2.) Na hiptese da progresso decrescente 1q ,
q
qa
q
a
q
qaS
nn
n
111
1 111
186
se admitirmos que n (cresa cada vez mais), a primeira parcela, q
a
11 , no sofre qualquer
modificao, enquanto que a segunda pode ser tomada to prxima de zero quanto quisermos.
Poremos:
lim
n q
aS n
1
1 (32)
Exemplo 1.6
Determine o 10 termo da P.G. (1 , 2 , 4 , )
Soluo:
11 a e 2q
Logo,
5122 1 991110
110 qaqaa
Exemplo 1.7
Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. (22 ,
12 , 02 , )
Soluo:
Temos:
4
1
2
12
2
2
1 a e
2222
2 21212
1
q
Logo,
21
214
1
1
120
20
120
q
qaS
75,143 262
187
Exemplo 1.8
Um barco patrulha est distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas
pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcaes esto seguindo o mesmo rumo (movimentos na
mesma direo e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha o dobro da velocidade do
navio, pede-se calcular a distncia que o barco deve percorrer para alcanar o navio.
Soluo:
mi 65
v2
v
0x
Fig. 1.3
Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio ter percorrido 2
65
milhas, uma vez que sua velocidade a metade da do barco. Assim o barco ter que percorrer
tambm 2
65 milhas. Quando o barco tiver percorrido estas ltimas
2
65 milhas, o navio ter
percorrido 4
65 milhas, e assim por diante, de modo que a distncia total a ser percorrida pelo barco
:
mi 4
65 mi
2
65 mi 65bx .
Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 651 a mi e 2
1q . Logo,
130
2
11
mi 65
1
1
q
axb mi.
Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema no poderia ter sido pelos
mtodos da Cinemtica aprendidos na Fsica do 2 grau?
Sim, claro! Seno vejamos:
188
As equaes horrias dos movimentos so:
Barco vtxb
Navio tv
xn2
65
No encontro nb xx
e
tv
vt2
65 ,
652
vtvt ,
652
vt
e o tempo de encontro :
vt
130 .
Voltando equao do barco, temos ento:
130130
v
vvtxb mi
e conclumos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcanar o navio.
A cabe uma outra pergunta: Por qu no termos utilizados diretamente o segundo mtodo?
A resposta simples: esta foi apenas uma ilustrao de soma de parcelas, que so termos
de uma P.G., as quais vo se tornando cada vez menores.
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano
189
Este nome em homenagem ao grande matemtico francs Ren Descartes (Renatus
Cartesius em Latim).
Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas
dimenses) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que tm a
mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir:
x
y
y
y
x
x
quadrante 2 quadrante 1
quadrante 3 quadrante 4
yxP ,
)(
)()(
0
)(
Plano
Fig. 1.4
A localizao de um ponto P qualquer de uma plano genrico, fica ento perfeitamente determinada atravs de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representao genrica
yxP , . No caso presente o ponto genrico foi representado no 1 quadrante, onde 0x e 0y mas, de um modo geral temos:
quadrante 40 e 0
quadrante 30 e 0
quadrante 20 e 0
quadrante 10 e 0
yx
yx
yx
yx
Temos tambm que se
i) 0x ponto situado no eixo y
ii) 0y ponto situado no eixo x
iii) 0 yx ponto situado origem
190
Exemplo 9
Marcar em um diagrama cartesiano as localizaes dos pontos a seguir:
3,41P ; 5,22 P ; 4,33 P ; 6,24 P ; 0,55P ; 4,06P
Soluo:
x
y
0
1
2
3
4
5 5 ,22 P
4 ,33 P
4 ,06P
6 ,24 P
3 ,41P
0 ,55P123
5
6
4
1
2
3
1 2 3 4 5
Fig. 1.5
1.10 Equao Reduzida da Reta
Em Geometria Analtica demonstra-se que toda equao do primeiro grau em x e y
representa, no plano, uma reta, ou seja:
pmxy (33)
onde tgm coeficiente angular da reta, isto , a tangente do ngulo que a mesma forma com a
direo horizontal (paralela ao eixo x), e p o coeficiente linear, sendo igual ordenada do ponto
onde a reta corta o eixo y. Por esta conveno teremos sempre 0 < 180.
191
Analisemos ento algumas situaes mostradas na figura 1.6. So evidentes as seguintes
propriedades:
1) Se agudo, ento m positivo, pois a tangente de um ngulo sempre positiva no 1 quadrante.
2) Se obtuso, ento m negativo, pois a tangente de uma ngulo do 2 quadrante negativa.
3) Se nulo, ento m nulo, pois a tg de 0 nula e, neste caso, a equao da reta se reduz a
constantey , uma vez que ela paralela ao eixo x.
4) Se reto, ento m no definido, pois 90tg , e neste caso a equao da reta tem a forma
constantex , uma vez que ela paralela ao eixo y.
90
x
y
0
umngulo agudo 900
x
y
0
umngulo
obtuso 18090
x
y
0 x
y
0
umngulo
reto 90
0
Fig. 1.6
tambm oportuno, baseados no que se viu at ento, listarmos algumas situaes na
figura 1.7, lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equao da forma y = mx.
192
x
y
0
0 e 02 pmR
p
0 e 03 pmR
0 e 01 pmR
0 e 04 pmR
0 e 05 pmR
0 e 06 pmR
Fig. 1.7
Exemplo 1.10
Representar graficamente as seguintes retas:
a) 1R : 12 xy
b) 2R : 12
xy
c) 3R : xy 2
d) 4R : 4y
e) 5R : 5x
Soluo:
As representaes das retas 4R e 5R so imediatas. Entretanto, para as retas 1R , 2R e 3R
vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substitudos nas
equaes conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar
cada reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa to somente uma reta ou, em outras
193
palavras: dois pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na
prtica, que uma equao do 1. grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger trs pontos
para cada uma delas, e concluir que, em cada caso, os trs pontos esto alinhados ao longo de uma
mesma direo, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
1R 2R 3R
X y x y x y
0 1 0 1 0 0
1 3 1 21 1 2
2 5 2 0 2 4
x
y
0
1
2
3
4
5
1R
21
1 2 3 4 5
2R
3R
5R
4R
Fig. 1.8
Exemplo 1.11
Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma
firma B cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia.
194
a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos servios de ambas as empresas.
b) Estabelecer um critrio para a escolha da melhor firma pelo usurio, sob o ponto de vista financeiro, admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competncia.
Soluo:
a) Do enunciado vem que:
Custo de A: 1000,00 R$600,00/dia R$ dCA
Custo de B: 400,00 R$800,00/dia R$ dCB
em que AC e BC representam, respectivamente, os custos dos servios das empresas e d os dias
trabalhados.
Temos ento as seguintes correspondncias:
dx
Cy
Tratam-se, portanto, das equaes de duas retas e a reta A comea em um ponto de ordenada
mais baixa (pA = 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (p
B = 1000). No entanto, o
coeficiente angular de B (mB = 800) maior do que o coeficiente angular de A (m
A = 600). Isto
significa que tgB > tg
A , ou seja
B >
A , e as retas vo se interceptar. Determinemos pois as
coordenadas do ponto de interseco:
400,00 R$800,00/dia R$R$1000,00600,00/dia R$ ddCC BA
dd 600,00/dia R$800,00/dia R$400,00 R$1000,00 R$
d200,00/dia R$600,00 R$
2800,00 R$ dias 3 BA CCd
Lembrando tambm que para 0d temos
1000,00 R$AC
e
400,00 R$BC
podemos traar as retas de custos. Assim sendo:
195
0 1 2 3
dias d
2800,00 R$
custos , BA CC
1000,00 R$
400,00 R$
A
B
Fig. 1.9
b) Uma rpida anlise dos grficos nos conduzem s seguintes concluses:
1.) d < 3 dias B mais econmica.
2.) d = 3 dias o custo o mesmo.
3.) d > 3 dias A mais econmica.
1.11 Noo de Aplicao
Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicao de A em B a toda correspondncia
em que a cada elemento x A temos associado um nico y B.
196
Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a
seguir algumas aplicaes de A em B:
87658765 8765
hg i l jhg i l jhg i l
(b)(a) (c)
Fig. 1.10
A flecha indica a correspondncia entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicao
o conjunto de pares ordenados.
{(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)}
na parte (b)
{(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)}
e na parte (c)
{(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}.
Devemos ressaltar que cada elemento de A unido pela flecha a um s elemento de B.
Assim sendo, do mesmo elemento x A no podem partir duas ou mais flechas.
Deste modo a correspondncia
197
87658765 8765
hg i l jhg i l jhg i l
Fig. 1.11
no uma aplicao.
O conjunto A denominado domnio da aplicao e o elemento y, correspondente de x,
denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos.
Elemento de A Imagem
5 g
6 h
7 i
8 j
O conjunto das imagens de uma aplicao f de A em B denomina-se imagem da aplicao
e ser representado por f(A). Devemos notar que f(A) uma sucesso, ou seja, um conjunto
ordenado. Para o exemplo (a) da figura 1.9 temos:
jihgA , ,, f e no incorreta ordem
, ,, ijgh
1.12 Exerccios Propostos
1) Calcular as seguintes expresses:
a) 125
b) 7,07,3
c) 28,072,1
d) 352472
198
e) 751269
2) Calcular as seguintes expresses:
a) 24
b) 410
c) 39
d) 57
e) 26
3) Calcular as seguintes expresses:
a) 54
b) 54
c) 12
d) 52314
e) 54132
4) Calcular as seguintes expresses:
a) 312
b) 315
c) 436
d) 642
e) 981
5) Calcular as seguintes potncias:
a) 52
b) 33
c) 32
d) 37
e) 410
6) Calcular os valores algbricos das seguintes razes:
199
a) 4 625
b) 3 8
c) 4 81
d) 3 27
e) 5 32
7) Efetuar os seguintes produtos notveis:
a) 2343 52 mbym
b)
2
52
4
3
3
2
xa
c) 25 25 aa 8) Resolver as seguintes equaes do 1. grau:
a) 52
x
b) 22132435 zzz
c) yy
5
526
9) Resolver as seguintes equaes do 2. grau:
a) 01582 zz
b) 0156 12 zz
c)
67
1
zz
d) 0442 zz
e) 03
12 zz
10) Calcular 13a na progresso aritmtica
: 1 , 5 , 9 ,
11) Calcular 1a em uma progresso aritmtica, sabendo-se que 4r e 318 a .
12) Somar os 15 primeiros termos da progresso aritmtica : 3 , 2
7 , 4 ,
200
13) Quantas vezes bate um relgio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas?
14) Calcular o 5. e 8. termos da progresso geomtrica :: 2 , 4,
15) Em uma progresso geomtrica, sabemos que 1284 a e 4q . Achar 1a .
16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expresses a seguir quando o nmero de radicais cresce indefinidamente.
a) xxxx
b) yxyx
c) xxxx
1.13 Respostas dos Exerccios Propostos
1) a) 7 ; b) 0,3 ; c) 44,1 ; d) 1 e) 2
2) a) 2 ; b) 6 ; c) 12 ; d) 2 e) 8
3) a) 20 ; b) 20 ; c) 2 ; d) 120 e) 120
4) a) 4 ; b) 5 ; c) 9 ; d) 7 ; e) 9
5) a) 32 ; b) 27 ; c) 8 ; d) 343 ; e) 000.10
6) a) 5 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 3 ; e) 2
7) a) 2644386 25204 mbymbym
b) 10524
16
9
9
4xxaa
c) 2225 a
8) a) 10x ; b) 4z ; c) 5y
9) a) 31 z ; 52 z
b) 31 x ; 22 x
c) 71 y ; 62 y
d) z = 2
e) No admite razes no conjunto dos nmeros reais. Voltaremos a esse assunto aps
estudar a seo 1.14 (suas razes so: 6
3
2
11 jz ;
6
3
2
12 jz ).
201
10) 4913 a
11) 31 a
12) 2
19515 S
13) 156
14) 325 a ; 2568 a
15) 21 a
16) a) x; b) 3 231
3
2
yxyx c) 2
411 x
202
1.14 Nmeros Complexos
1.14.1 Introduo
(a) Do mesmo modo que a generalizao da noo de raiz de ndice qualquer para um nmero
positivo exigiu a introduo do conceito de nmero irracional (p.ex.: 414,12 , 732,13 ),
tambm a impossibilidade da determinao de razes de ndice par de um nmero negativo levou
noo de nmero imaginrio.
(b) Os nmeros positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de nmeros reais.
Em contrapartida, denomina-se nmero imaginrio ou nmero complexo toda
expresso de forma x + jy 5, na qual x e y so nmeros reais e 1j a unidade imaginria.
(c) Conforme j vimos na subseo 1.6.2, as razes de uma equao do 2 grau,
az2
+ bz + c = 0
so dadas pela conhecida frmula
a
acbbz
2
42 . (12)
Obtemos, ento duas razes reais e desiguais quando o discriminante positivo e uma
raiz real dupla se ele for nulo.
Quando o discriminante negativo, a frmula (12) no conduz a nenhuma raiz real e o
trinmio az2
+ bz + c = 0 sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atribua z.
Por exemplo, se tentarmos resolver a equao
z2
+ 4z + 1 3 = 0
que j havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a:
2
364
12
131444 2
z
que no representa nenhum nmero real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se 1 fosse um nmero, teremos:
5 Os matemticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minscula normal, j que
estes ltimos usam a letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3, Matrizes, quase
que universal a notao ija para representar o elemento genrico. Assim sendo optamos por j
minscula em negrita e itlica para representar a unidade imaginria.
203
132
2
164
2
1364
z
ou seja
1321 z
e
1321 z
Vamos substituir tais nmeros na equao original a fim de verificar se eles so
realmente razes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o smbolo 1 como se ele fosse mesmo um nmero em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado :
11 2 .
Temos ento:
013112891124
1313241321342
1
2
1
zz
e
013112891124
1313241321342
2
2
2
zz
A partir de tais consideraes conclui-se ser possvel resolver a equao do 2 grau
mesmo quando temos 042 acb , se operarmos com o smbolo 1j como se fosse um
nmero. Conforme j mencionado ele deve ter a propriedade de que 12 j , e deve operar ao lado
dos nmeros reais com as mesmas leis que regem formalmente tais nmeros. Temos ento os
nmeros complexos da forma yx j onde, conforme j mencionado, x e y so reais e 1j , tais
como:
64 j , 23
1j ,
9
43 j ,
7
32 j
onde o novo elemento 1j denominado unidade imaginria.
Utilizando tal notao, as razes da equao que acabamos de resolver assumem as formas
seguintes:
321 jz
204
e
322 jz
e no final da subseo 1.14.3 veremos por que tais razes constituem um par complexo conjugado.
2.3.1 Temos ento de forma geral:
yxz j (34)
onde as grandezas reais x e y so denominadas as partes real e imaginria de z, respectivamente.
Podemos, inclusive, usar as notaes )Re(z e )Im(z para representar tais partes, ou seja:
)Re(zx (35)
e
)Im(zy (36)
Em particular quando 0x temos a expresso yj que ser denominada nmero
imaginrio puro ou simplesmente imaginrio, reservando-se o nome nmero complexo para o
caso geral.
Quando y = 0 o nmero complexo reduz-se sua parte real x.
(d) Uma vez que os nmeros complexos no pertencem ao corpo dos nmeros reais, alguns
desavisados de planto podem pensar que tais solues so meramente fictcias e no representam nenhum fenmeno fsico real. Para estes bom mencionar que a corrente alternada que chega s
indstrias, hospitais e residncias, representada por funes senoidais ou cossenoidais, que tm a
mesma representao grfica a menos de uma defasagem de 90. Acontece que o equacionamento
de circuitos eltricos sob excitao harmnica (senoidal) bem mais simples no domnio da
freqncia, no qual a soluo para a corrente dada por um fasor I , que um nmero complexo. A fim de relacionarmos o domnio da freqncia com o domnio do tempo utilizada a
relao
teIti jRe
i
mI
mI0
t
corrente alternada
2.4 Fig. 1.12
que bem conhecida do pessoal da rea da Eletricidade. Ora, a corrente alternada senoidal do tipo
tIti m cos tem existncia fsica real (qualquer dvida s tocar com um dedo no terminal
205
da fase de uma tomada energizada!). Assim sendo, as solues complexas ou imaginrias (sendo
este ltimo termo um tanto imprprio pois pode levar concluses erradas) esto bem longe de
serem fictcias sendo, bem verdade, artifcios engenhosos, nascidos no problema primordial de
lidar com razes de ndices pares de nmeros negativos.
Exemplo 1.12
Determine x R para que o nmero complexo 775 2 j xx seja imaginrio puro.
Soluo:
Para ele ser um nmero imaginrio puro devemos ter parte real nula, ou seja:
5
7
0
075075 2
x
ou
x
xxxx
1.14.2 Potncias de j
As potncias sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em quatro, ou
seja:
10 j
jj 1
11 22 j
jj jj .23
111. 224 j jj
jj j jj 1. 325
1. 2336 jj jj jj
jjjjj 1 . 437
111. 448 j jj
jj j jj 1. 549
206
.........................................................
Podemos escrever em geral:
144 pp jj
jjjj pp 414
12424 jjj pp
jjjj 3434 pp
Regra geral: para determinar o valor de uma potncia de j qualquer, basta dividir o expoente
da potncia por 4 e elevar j potncia determinada pelo resto da diviso.
3 Exemplo 1.13
Efetuar as seguintes potncias:
a) 7j ; b) 513j ; c) 1998j ; d) 500j
Soluo:
a) 7 4 jjj 37
3 1
b) ''' 315 4 jj 513
11 128
33
1
c) '''' 8991 4 121998 jj
39 499
38
2
d) ''' 005 4 1jj 0500
10 125
20
0
1.14.3 Representaes e Formas de um Nmero Complexo:
a) Representaes:
207
Um nmero complexo pode ser geometricamente representado por um ponto no plano
complexo ou plano de Argand-Gauss, conforme mostrado a seguir:
yxz j
)( imaginrioEixo
y
)( realEixo
xx
y
0
ComplexoPlano
Fig. 1.13
Uma representao geomtrica equivalente, conforme na prxima figura, feita por
um segmento orientado, da origem ao ponto yxz j .
yxz j
)( imaginrioEixo
y
)( realEixo
xx
y
0
Fig. 1.14
Assim a adio ou subtrao de duas grandezas complexas pode ser realizada
graficamente, conforme ilustrao nas partes (a) e (b) da figura 1.15, por meio das regras
comumente usadas para a adio e subtrao de vetores, j que tanto as grandezas complexas
quanto os vetores podem ser representados por intermdio de segmentos orientados.
Na figura 1.16 o smbolo | z | significa o comprimento do segmento orientado que
representa z, ou seja, a distncia da origem at o ponto representado pelo complexo z, e
denominado mdulo, norma ou valor absoluto de z.
208
)( imaginrioEixo
y
)( realEixo
x0
21 zz
2z
1z
)( imaginrioEixo
y
)( realEixo
x0
2z
1z
21 zz
2z
Fig. 1.15
O ngulo do segmento orientado, medido positivamente no sentido anti-horrio e
negativamente no sentido horrio, a partir do semi-eixo real positivo, notado por ou arg z, sendo chamado de ngulo polar, argumento ou fase de z.
yxz j
)( imaginrioEixo
y
)( realEixo
xx
y
0
z
Fig. 1.16
Da ltima figura depreende-se que:
zzx cos (37)
zzy sen (38)
22 yxz (39)
x
yarc tg (40)
Observaes:
(1) Nos livros de origem americana encontra-se, muitas vezes, a notao 1tg ao invs de
209
arc tg para a funo inversa da tangente. Isto tambm ocorre nas calculadoras eletrnicas.
(2) Para um dado 0z , o ngulo (argumento) determinado a menos de mltiplos
inteiros de 360 ( rad 2 ), ou seja,
3600 k ; 0k , 1 , 2 . . .
ou
rad 20 k ; 0k , 1 , 2 . . .
O valor de que existe no intervalo rad rad 180180 chamado de valor principal do argumento de z, e notado por 0 nas equaes acima. Na
prtica, salvo observao em contrrio, estaremos sempre trabalhando com o argumento
principal.
Face s orientaes de ngulos j mencionadas e levando-se em conta os
intervalos entre os limites 180 e 180, teremos:
- ngulos no 1 e 2 quadrantes 1800 sero sempre positivos e orientados no sentido anti-horrio a partir do semi-eixo real positivo.
- ngulos no 3 e 4 quadrantes 0180 sero sempre negativos e orientados no sentido horrio a partir do semi-eixo real positivo.
(3) Levando em conta tais convenes e limites, conclumos que quando z for um nmero
real negativo o seu argumento principal ser 180rad ao invs de 180rad , uma vez que o valor 180 no est includo no intervalo 180180 .
210
b) As Frmulas de Euler e suas decorrncias:
Antes de passarmos s diversas formas de um nmero complexo vamos instituir as
frmulas de Euler, que so de importncia capital para o prosseguimento de nosso estudo.
Admitindo que uma funo xF pode ser representada por uma srie de potncias de x, essa srie deve ser da forma de McLaurin,
0!1
0!3
0!2
00 1132
nn
Fn
xF
xF
xFxFxF
em que a funo e todas as suas derivadas existem para 0x .
Desenvolvendo sen , cos e je em potncias de pela srie de McLaruin temos:
!7!5!3
sen753
!6!4!2
1cos642
!7!6!5!4!3!21
765432
jjjjje
Reagrupando os termos de je , temos:
sen cos
!7!5!3!6!4!21
753642
jjj e .
Assim sendo temos:
sen cos jje (41)
e
sen cos jje (42)
conhecidas como frmula de Euler, bem como suas decorrncias:
2cos
jj ee (43)
2sen
j
jj
ee (44)
211
que so de grande utilidade no trato com os nmeros complexos de um modo geral.
c) Formas
c.1) Cartesiana ou Retangular
a que j foi apresentada no incio da presente seo, na equao (34), ou seja:
yxz j . (34)
c.2) Trigonomtrica
Substituindo (37) e (38) em (34) temos:
sencos zzyxz jj
o que implica em
sencos jzz (45)
que forma trigonomtrica.
c.3) Exponencial ou de Euler
Pela equaes (41) e (45) temos que:
jezz (46)
que a forma exponencial ou de Euler.
c.4) Polar ou de Steinmetz
A equao (46) pode tambm ser colocada na forma polar ou de Steinmetz:
zz (47)
Na realidade o smbolo , simplesmente, uma notao abreviada para je , muito utilizada pelas pessoas da rea de Eletricidade em geral.
212
importante notar que uma interpretao correta do fator je necessita que o
ngulo seja expresso em radianos. Na prtica, o ngulo muitas vezes apresentado em graus
(lembrar que 1 grau = 1 180
radiano
180
rad), mas toda vez que houver chance de confuso
no emprego das equaes (41) a (47), o ngulo dever ser convertido de graus para radianos. A
notao je com expresso em graus , normalmente, considerada uma prtica inadequada,
mas escrever com em graus bastante usual.
Observaes:
1) Ao passarmos um complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma polar, devemos
utilizar as equaes (39) e (40). Acontece que quando esta ltima equao utilizada, a
determinao do quadrante onde se situa o complexo yxz j pode ser feita pela inspeo dos
sinais de x e y, a no ser que a calculadora em uso j tenha as rotinas REC POL e POL REC, que j fazem as transformaes diretamente.
2) Cumpre ressaltar que no caso da transformao acima citada, as calculadoras cientficas mais
sofisticadas fornecem diretamente z e 0 (argumento principal), seguindo para este ltimo as
regras de orientao de ngulos j descritas na 2 observao da subseo 1.14.3.a:
- ngulos no 1 e 2 quadrantes ( 1800 ou rad 0 ) sempre positivos, e orientados no sentido anti-horrio a partir do semi-eixo real positivo.
- ngulos no 3 e 4 quadrantes ( 0180 ou 0rad ) sempre negativos, e orientados no sentido horrio a partir do semi-eixo real positivo.
4 Exemplo 1.14
Exprimir cada um dos seguintes nmeros complexos na forma polar:
a) 420
j
e ; b) 32
10
j
e ; c) 65
2
j
e
5 Soluo:
a) 2020 4 j
e 4 20 45
b) 1010 32
j
e 32 10 120
c) 22 65
j
e 65 2 150
213
6
7 Exemplo 1.15
Passar os seguintes nmeros complexos da forma polar para a forma retangular:
a) 0,53 160
b) 050,0 20
c) 156,0 170
Observao: se a sua calculadora tem as rotinas RET POL e POL RET voc pode e deve fazer as transformaes diretamente, e depois voltar forma original a fim de checar seus
resultados.
8 Soluo:
Pelas equaes (34), (37) e (38) temos que:
a) 0,53 160 1,188,49160sen0,53160cos0,53 jj
b) 050,0 20 017,0047,020sen050,020cos050,0 jj
c) 156,0 170 027,0154,0170sen156,0170cos156,0 jj
9 Exemplo 1.16
Converter os seguintes nmeros complexos da forma retangular para a polar:
a) 43 j
b) 43 j
c) 43 j
10 Soluo:
Se a sua calculadora no possuir as rotinas REC POL e POL REC, voc deve tomar cuidado com os sinais das partes real e imaginria dos complexos, a fim de
identificar com acerto o quadrante onde esto situados os nmeros. A figura seguinte
de grande utilidade.
214
x
y
0
4
3
2
1
4
321
433 jz
431 jz432 jz
3
2
1
123
5
5
5
32
1
Fig. 1.17
a) Pelas equaes (39) e (40) temos que:
3
4 tgarc
543
1
22
1
z
A tangente positiva no 1 e 3 quadrantes. Uma vez que 0x e 0y , 1 pertence ao 1
quadrante (vide figura 1.17).
1,531
Temos ento:
1z 1,53
b) 543 222 z
3
4 tgarc2
215
A tangente negativa no 2 e 4 quadrantes. Sendo 0x e 0y , 2 pertence ao 2 quadrante.
Da figura 1.16 temos, em mdulo,
3
4tg
donde
1,53
e
9,1261,531802 .
Ento,
52 z 9,126
c) 543 223 z
3
4 tgarc3
Temos 0x e 0y , logo 3 do 3 quadrante. Da mesma figura tiramos:
3
4tg
logo 1,53
e
1,2331803
o que implica em
53 z 1,233 , que no uma forma usual, visto que o argumento principal deve estar entre os
valores 180180 , o que nos leva ento a escrever 53 z 9,126 (que a resposta da
calculadora CASIO fx-82LB).
Vamos a seguir apresentar as rotinas de operaes para as transformaes RET POL e POL
RET para duas minicalculadoras usuais no mercado
1.) CASIO fx-82LB
a) RET POL:
(convocamos a transformao para polares
r )
216
x a y b F 2nd a |z| b
b) POL RET:
|z| a b F 2nd b x b y
2.) CASIO fx-6300 G
a) RET POL:
SHIFT x SHIFT ( y ) EXE |z| ALFA ) EXE
b) POL RET:
SHIFT |z| SHIFT ( ) EXE x ALFA ) EXE y
(*) Em Portugus Retangular (RET)
Em Ingls Rectangular (REC)
c.5) Algumas Formas Polares Especiais
As equaes (41), (46) e (47) conduzem a uma nova interpretao para o nmero
imaginrio puro j, anteriormente definido como sendo 1j ou 12j . Se 2
rad nas
referidas equaes, jj
2e , de modo que j um nmero complexo com mdulo unitrio e fase
igual a 90, ou seja:
12
ej
j 90 (48)
por outro lado,
11
2
2
jj
j
j
je 90 (49)
entrada
s sada
entrada
s
(convocamos a transformao para
retangular xy)
sada
convocamos a
transformao
POL (
convocamo
s
a ,
entrada
s sada
convocamos
J
convocamos a
transformao
REC* (
convocamo
s
a ,
entrada
s
convocamos
J
sada
217
Finalmente,
11 0 (50)
e
11 180 (51)
x
y
0
1
j
j
1
1
1
90
90180
Fig. 1.18
c-6) Complexo Conjugado:
O complexo conjugado de yxz j definido, na forma retangular, por 6 :
yxz j* (52)
e tem a mesma parte real que o complexo z, porm, a parte imaginria simtrica.
6 Alguns autores preferem usar z ao invs de
*z para representar o complexo conjugado porm, na rea da
Eletricidade a notao *z uma unanimidade.
218
yxz j
imaginrioEixo
)( realEixo
x
x
y
0
y
yxz j*
Fig. 1.19
Pela definio de mdulo,
zyxyxz 2222*
e da definio de fase fica claro que o ngulo de fase simtrico.
Assim sendo, temos tambm que:
jezz* (53)
zz * (54)
zz ** (55)
Ilustrao 1.17
a) 4343 *11 jj zz
b) 33 1010 *22
jj
ezez
c) 53 z 30 5*
3 z 30
d) 24 z 2*
4 z
219
Fica agora fcil entender que as razes 321 jz e 322 jz da equao resolvida
na subseo 1.14.1 constituem um par complexo conjugado.
1.14.4 Operaes com Nmeros Complexos
a) Igualdade:
Dois nmeros complexos 111111 zezyxz jj 1 e 22222
2 zezyxz jj 2 so
iguais se, e somente se 21 xx e 21 yy ou, equivalentemente, 21 zz e 21 .
b) Adio e Subtrao:
A adio e a subtrao so facilmente efetuadas se os nmeros estiverem na forma retangular,
embora as calculadoras mais sofisticadas (HP48GX por exemplo) sejam capazes de efetuarem tais
operaes quer os nmeros estejam na forma polar ou na retangular, e ainda darem a opo de obter
o resultado final em uma forma ou outra. Na forma retangular,
2121
2211221121
yyxx
yxyxyxyxzz
j
jjjj
e
2121
2211221121
yyxx
yxyxyxyxzz
j
jjjj
ou seja,
212121 yyxxzz j (56)
e
212121 yyxxzz j (57)
A figura 1.20, logo a seguir, ilustra as operaes realizadas graficamente. Na parte (b)
da mesma fcil verificar que 1221 zzzz a distncia entre os pontos do plano complexo
definidos, respectivamente, pelos complexos 1z e 2z .
A partir das equaes (56) e (57) decorre ento que:
220
xyxyxzz 2* jj
e
yyxyxzz 2* jjj
ilustradas na figura 1.21,
x
y
0
21 yy
1y
2y
21 xx 2x1x
1z
2z
21 zz
x
y
0
1y
2y
21 xx
1z2z
21 zz 21 zz
21 zz
2z
(a) (b)
Fig. 1.20
ou seja,
zxzz Re22* (58a) 2
*zzx
(58b)
e
zyzz Im22* jj (59a) 2
*
j
zzx
(59b)
Temos tambm que:
22112121*
21 yxyxyyxxzz jjj
ou seja:
*2*
1
*
21 zzzz (60)
221
o que significa que o conjugado da soma a soma dos conjugados.
10.1.1.1 Similarmente, fcil tambm mostrar que
*2*
1
*
21 zzzz (61)
x
y
0
y
y
x x2
yxz j
yxz j*
x
y
0
y
y
x
x
yxz j
yxz j*
y2
*z
(a) (b)
Fig. 1.21
11
12 Exemplo 1.17
Somar os complexos a seguir tanto de forma analtica quanto grfica, e comparar os resultados.
a) 321 jz e 432 jz
b) 23 z 30 e 54 z 70
Soluo:
a) jj 5433221 zz = 5,1 3,11
222
x
y
0
1
2
2
1
2z
1z
21 zz
3
3
4
4 521 3
1,5
3,11
Valores obtidos
do grfico
Fig. 1.22
b) Passando inicialmente os nmeros para a forma retangular,
698,5442,3
698,4000,1710,1732,1
698,4710,170sen570cos5
000,1732,130sen230cos2
43
4
3
j
j
jj
jj
zz
z
z
Temos tambm que:
9,58442,3
698,5 tgarc
657,6698,5442,322
43
zz
223
x
y
0
3z
4z
43 zz
5
230
70
grfico do
obtidos Valores
6,7
59
Fig. 1.23
12.1 Exemplo 1.18
Resolva a equao 21 je para e verifique a soluo geometricamente
3
Soluo:
Temos que:
21 je (*)
onde sencos1 jjez e 12 z
donde,
2sen1cos2cos
2sen1cos
2sen1cos
2sen1cos21sencos
22
22
22
jj
=1
3 A verificao geomtrica da soluo talvez seja melhor apreciada aps o estudo da subseo 1.14.6.
224
rad
0 0cos
0cos2
2cos22
Substituindo na equao (*), verificamos que somente o valor rad
compatvel.
A verificao grfica imediata, visto que 21 zz a distncia entre os pontos
definidos pelos complexos 1z e 2z .
Sendo 1jez , temos que 11 z , e o lugar geomtrico representado por 1z , quando
varia ao longo do intervalo , uma circunferncia de raio unitrio centrada na origem.
Sendo 12 z , a situao a representada na figura a seguir:
x
y
012 z
jez1
21 zz
1
Fig. 1.24
fcil verificar que teremos 221 zz quando assumir o valor rad .
c) Multiplicao
A multiplicao de grandezas na forma retangular dada por:
122121221221121 .. yxyxyyxxyxyxzz jjjj
Lembramos que 12 j segue-se que:
225
1221212121. yxyxyyxxzz j (62)
J na forma exponencial,
2121212121 ..
jjj ezzezezzz
o que nos permite ento escrever:
21
21212121. zzezzzz j (63)
Concluses:
1.) Da equao (63) temos que:
2121 .. zzzz (64)
e
21. 21 zz (65)
2.) Para jj ezyxz e jj ezyxz* vale ento estabelecer a seguinte equao:
jj ezezzz .. *
ou seja,
2*. zzz (66)
3.) Tambm no difcil mostrar que
*2*
1
*
21 zzzz (67)
12.2 Exemplo 1.19
Multiplicar os seguintes nmeros complexos:
226
a) 321 jz e 312 jz
b) 353
j
ez e 624
j
ez
c) 25 z 30 e 56 z 45
Soluo:
a) 973132. 21 jjj zz
b) 663 1025. 43
jjj
eeezz
c) 2. 65 zz 30 5 45 10 15
13 Exemplo 1.20
Passar o nmero complexo 65
2
j
e para as formas polar e cartesiana.
Soluo:
Este uma excelente exemplo, pois, lembrando a forma exponencial de um complexo, jezz ,
parece que estamos diante de um absurdo, qual seja um numero com mdulo negativo. Acontece
que a no existe mdulo negativo, mas sim uma multiplicao implcita, conforme veremos a seguir:
22 65
j
e 65 2 150 21 150
1 180 2 150 2 330 2 30
180180ter
devemos pois
usual no
que a forma polar.
A forma cartesiana facilmente obtida partir da forma polar, ou seja:
2z 30 30sen230cos2 j
227
000,1732,1 j
Observao: As calculadoras eletrnicas esto em um estgio de desenvolvimento to elevado que,
aquelas que tem as rotinas RET POL e POL RET, assimilariam a transformao 2 150
diretamente para a forma cartesiana, pois, quando se entra com 2z , o software da calculadora
entende que isto no simplesmente mdulo, e que existe uma multiplicao implcita. Est
duvidando? Pois ento pegue uma e execute a operao!
d) Diviso
A diviso de duas grandezas complexas, 2
13
z
zz , definida como 321 .zzz se 02 z .
Em coordenadas retangulares temos:
22
22
22
11
22
11
2
1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
z
z
j
j
j
j
j
j
onde o processo de racionalizao foi efetuado utilizando-se o complexo conjugado do denomi-
nador.
Finalmente,
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyx
yx
yyxx
z
zj (68)
e na forma exponencial,
212
1
2
1
2
1
2
1
jj
j
ez
z
ez
ez
z
z
o que nos conduz a
21
2
1
2
1
2
1 21
z
ze
z
z
z
z j (69)
Concluses:
1) Da equao (69) conclumos que:
2
1
2
1
z
z
z
z (70)
228
e
21
2
1
zz . (71)
2) No difcil mostrar que
*
2
*
1
*
2
1
z
z
z
z
, sendo 02 z (72)
3) Fica ento evidente que a multiplicao e a diviso de grandezas complexas so mais facilmente
efetuadas na forma polar, a menos que, conforme j dito anteriormente, se tenha uma calculadora
eletrnica mais sofisticada.
4) importante notar que multiplicar uma grandeza complexa por 12 j
j e 90 no altera o
seu mdulo, mas soma 90 ao seu ngulo de fase. Raciocinando em termos da representao por
meio de segmento orientado no plano complexo, a multiplicao por j gira o segmento orientado de
90 no sentido anti-horrio. De modo anlogo, a multiplicao por 12 j
j e 90 tambm
no altera o mdulo da grandeza mas, neste caso, h uma subtrao de 90 na fase, ou seja, o
segmento orientado agora girado de 90 no sentido horrio.
5) Similarmente, se multiplicarmos um nmero complexo por 1je , no alteramos o seu
mdulo; apenas acrescentamos
