-
Exemplo: Considere o fluxo laminar, permanente, unidirecional,
de fluido incompres-svel e Newtoniano, no espao anular compreendido
entre dois cilindros (de seo reta circular) concntricos, o externo
esttico e o interno em movimento de rotao, Figura 25.
Figura 25: Esquema bsico do viscosmetro de cilindro
rotativo.
O perfil de velocidades proposto se baseia na condio de no
deslizamento. Obser-ve-se que atrito deve ser transmitido da parede
do cilindro interno at a parede do ci-lindro externo; da face
inferior do cilindro interno at o fundo do copo constitudo pelo
cilindro externo.
Deste modo cortes perpendiculares ao eixo longitudinal do
sistema iriam revelar dife-rentes perfis de velocidade, isto
haveria um efeito de extremidade importante. Tal efeito pode ser
desprezado se o sistema for longo o suficiente. Assumindo ser este
o caso, escolhendo um sistema de coordenadas cilndrico de eixo oz
coincidente com o eixo de simetria (longitudinal) dos cilindros,
Figura 26, se pode calcular o torque ne-cessrio para manter o
sistema em regime permanente.
Em geral v = v (t,r,z,) mas neste caso podem ser feitas algumas
simplificaes: 1 - regime permanente, v(r,z,); 2- simetria do fluxo
em relao ao eixo oz, isto v no se altera com , 0V r,z,t =
; 3 - desprezveis os efeitos da extremidade, isto , leva-
se em conta apenas regies longe do fundo do aparelho e, portanto
v = v (r).
Analisando termo a termo a equao de conservao de Q.M.,
componente , equao E; Tabela II,
0t
V=
; regime permanente.
0r
Vv r =
; vr nulo, fluxo unidirecional.
0Vr
V=
; condio de simetria.
0r
VVr=
; vr nulo, fluxo unidirecional.
Corte longitudinal
Corte transversal
R2
Cilindro em rotao
Esttico
Fluido
Cilindro esttico
Fluido
R1
V
-
33
0=
z
vvz
; vz nulo, fluxo unidirecional.
0z
V=
; efeitos das extremidades so negligenciveis.
0pr
1=
; condio de simetria.
( )
rV
rr
1r
, termo que contem a informao requerida, como a velocidade
varia
ao longo do raio.
0V
r
12
2=
; condio de simetria.
0Vr
2 r2 =
; vr nulo.
0z
V2
2=
; efeitos de extremidade so desprezveis.
0= g ; orientao do campo gravitacional em relao ao sistema.
resulta ( ) 0rVrr
1r
=
, a qual representa a equao diferencial que descreve o
fluxo.
Figura 26: orientao realtiva do sitema fsico e sistema de
coordenadas.
As condies de contorno pertinentes seriam: r = R1 (cilindro
interno) v = [radianos/s]. R1[m] r = R2 (cilindro externo) v = 0.
de modo que, integrando sucessivamente se encontra
( ) 212
1 21
CCr
rVeCrVrr
+==
-
34
As constantes podem ser encontradas aplicando-se as condies de
contorno, de modo que:
( ) ( )22212
112
22
1
21
22
222
2 RRRCe
RRRRC
=
=
Por outro lado a tenso de cisalhamento que age em casca
cilndrica de raio r vale:
222322 Cr
Cr
rr
Vr
rr
=
=
=
de modo que a fora e o torque fora x brao da alavanca -- atuando
sobre a mesma superfcie valem:
r
CLrL
r
CLrF r 222 4222 pipipi ===
( )212222
212 44
RRRRLr
r
CLT
==
pipi
Isto , o torque independe do valor de r, condio de equilbrio
mecnico para que o regime se mantenha permanente.
Um viscosmetro pode ser construdo, baseado nas dedues
precedentes. Entretan-to, do ponto de vista prtico, o mesmo no pode
ser feito longo o suficiente para que os efeitos de extremidade
sejam de fato desprezveis. Assume-se a validade de uma equao do
tipo
( )212222
214
RRRRLT
=
pi
onde representa uma constante de calibrao do aparelho. Como se
nota a constan-te de calibrao pode ser determinada para uma dada
geometria, se houver a disponi-bilidade de um lquido de viscosidade
conhecida e algum mtodo de medio do tor-que. Idealmente a constante
deve ser independente da velocidade de rotao.
Lei de Stokes: considera-se o movimento relativo entre um
fluido, incompressvel e Newtoniano, em regime permanente e laminar,
macroscopicamente unidirecional, e uma esfera, tal como indica a
Figura 27. Um sistema de coordenadas esfricas, centrado na esfera
pode ser utilizada para descrever o movimento do fluido. Pode-se
mostrar que, para condio em que:
=
VR2Re 1
(onde representam: Re , o adimensional de Reynolds; R , o raio
da esfera; , a massa especfica do fluido; , a viscosidade do
fluido; V , a velocidade relativa entre a esfera e o fluido), se
desenvolve um campo de presses dado por:
cos23 2
0
=
r
RRVgzPP
e um campo de velocidades especfico, ao qual est associado o
tensor:
sen23 4
=
r
RRv
r
-
35
Figura 27: Sistema de coordenada esfrico, definido para o fluxo
de um fluido em torno de uma esfera.
Considerando a rea de atuao de cada um destes esforos, a condio
de simetria, e integrando sobre a superfcie da esfera, r = R;
resulta uma fora de interao entre o fluido e esfera, devida
unicamente ao movimento relativo:
F = 6piRV Re 1 ; Lei de Stokes.
Exemplo: Determine o tempo de repouso, necessrio para que uma
incluso esfrica de alumina ( Al2O3 = 3000 kg/m3, R = 25m) flutue at
o topo de um banho de ao lquido (1600 0C, ao = 7000 kg/m3, = 7x10-3
Pa . s), de profundidade igual a 2m, Figura 28. Esta condio
representa uma condio limite de flotao, para a qual no se
consideram os efeitos benficos oriundos do choques entre as
incluses, seguidos
-
36
de coalescimento das mesmas. Justamente por isto instrutivo por
ressaltar o efeito do tamanho da incluso sobre a velocidade de
ascenso. Neste caso o balano de foras relativo ao movimento da
esfera se escreve
= foras Resultante ou
++= impuxoesoOAl FEpzR..
3.
34
32pi
.
33..
3 634
34
34
3232zRgRgRzR aoOAlOAl pipipipi +=
onde Fi representa a fora de interao entre incluso e o ao esta
pode ser estimada pela Lei de Stokes, mas uma hiptese a verificar.
Neste caso se escreve equao que pode ser facilmente integrada com
as condies iniciais que expressam a situao mais desfavorvel limpeza
interna do ao; em t=0 a incluso se encontra no fundo da panela e
esttica, portanto : 0z;0z
.
== .
Figura 28: Foras atuantes sobre uma incluso imersa em ao
lquido.
Algumas possveis solues so esquematizadas na Figura 29. VT
representa a velocidade terminal de ascenso da partcula, velocidade
mxima possvel de ser atingida durante a ascenso; portanto aquela
que corresponde acelerao nula:
TaoOAl RVgRgR pipipi 634
340 33
32+=
-
37
)(92
32
2OAlAoT gRV
=
O perodo de tempo necessrio para se alcanar tal velocidade pode
ser excessivamente longo, impraticvel para as condies industriais,
caso em que a trajetria da incluso poderia ser -- facilmente
descrita aps integrao da equao diferencial
Figura 29: Velocidade da incluso ao longo da altura.
precedente. Entretanto, no caso da soluo (c) se realizar, se
pode aproximar o movimento a um movimento no acelerado, com valor
de velocidade:
( )32
2
92
OAlaoT gRv =
desde que a poro da trajetria onde ocorre a maior parte da
acelerao seja pequena em relao altura total de lquido. Ento ( ) ( )
s/m00077,0300070008,91025
10792
v26
3T ==
que corresponde a um tempo de flutuao igual a [ ][ ] [ ]ssmm
v
Lt
T
2571/00077,0
2===
Esta resposta permanece vlida se o nmero de Reynolds for
inferior a 1: caso contrrio outra expresso para a fora de interao
precisa ser considerada.
10385,0107
00077,07000)1025(223
6
-
38
superfcie de contato e probabilidade de choque das incluses
contra esta ltima (isto , concentrao de incluses no ao), se pode
escrever ento:
CAKV dtdC
=
expresso que prev um decaimento exponencial do contedo de
incluses. A se fiar nesta anlise a agitao seria extremamente
prejudicial no que toca ao grau de limpeza interna dos aos;
entretanto prtica corriqueira agitar o ao para facilitar a separao
das incluses.
Esta aparente contradio se explica. A agitao promove o choque e
o coalescimento das incluses (coalescimento de incluses lquidas;
formao de cachos ou clusters de incluses slidas), o que implica em
maior tamanho mdio das mesmas e melhor separao.
Modelos podem ser construdos, para situaes especficas, de modo a
contabilizar o coalescimento e flotao de incluses. Por exemplo, de
acordo com a teoria de SAFFMAN&TURNER o numero de choques entre
incluses de duas classes, por e-xemplo i e i+n , seria proporcional
s concentraes de incluses em cada classe,
WnixNixN )()( + , onde W representa uma constante de
proporcionalidade depen-dente do mecanismo de choque atuante. Como
sugere a Figura 30 o choque entre partculas de classe i com
partculas de classe i+n d ensejo ao nascimento de part-culas da
classe k.
Figura 30 Esquemtico de distribuio de tamanho de incluses.
Quando os choques so devidos unicamente turbulncia devida
agitao, a cons-tante de proporcionalidade citada seria dada por
0,5
.
3n)]xR(i[xR(i){1,31W
++=
onde [m2/s3] e [m2/s] representam, respectivamente, a taxa de
dissipao de ener-gia e a viscosidade cinemtica do ao. Outros
mecanismos podem estar ativos, por exemplo movimento browniano de
incluses pequenas; choques devidos diferena
-
39
de velocidade de ascenso propiciada pelo empuxo que age sobre
partculas de dife-rentes dimetros (contribuio de Stokes). Prope-se,
para este ltimo mecanismo.
xR(i)n)xR(i3n)}xR(i{xR(i)9
g2
2W +++=
Onde, representa a diferena entre as massas especficas do ao e
incluso, g a acelerao da gravidade e a viscosidade dinmica do ao.
Ento, W = Wi
A anlise seguinte diz respeito aplicao deste modelo ao caso do
desgaseificador RH. Neste reator, aps o perodo de desgaseificao e
de queima de carbono, o qual se d por meio de oxignio soprado por
lana na cmara de vcuo, adiciona-se alum-nio para desoxidao. O
resultado um elevado contedo de incluses que precisam ser
removidas; promove-se ento a circulao do ao entre panela e cmara de
v-cuo, durante cerca de 10 minutos, para obter a separao
desejada.
De modo a contabilizar a separao das incluses na interface
metal/escria admite-se que a panela pode ser sub-dividida em dois
reatores, Figura 31; 1- o reator inferior, de mistura perfeita,
onde ocorre o choque e coalescimento de incluses de acordo com o
modelo j descrito; 2- um reator superior, de volume restrito
proximidade da interface metal-escria, que perde todas as incluses
nele contido num dado intervalo de tempo de processamento.
Como primeira aproximao se admite eficincia completa de captura
de incluses na interface. Alm do mais, o volume deste reator
virtual, e logo a quantidade de inclu-ses efluentes, depende do
tamanho de incluso a ser considerado. Por exemplo in-cluses maiores
flotam mais rpido o que implica em reator mais profundo.
Figura 31 Diviso esquemtica da panela em reator de coalescimento
e de flotao.
No reator de flotao as velocidades so significativamente
menores, caracterizando um fluxo laminar, o que permite estimar a
velocidade de flotao a partir da equao de Stokes.
O reator em questo compreende uma panela de 315 toneladas de
capacidade e a taxa de circulao da ordem de 180 ton/min; a
quantidade inicial de oxignio (no instante de adio de alumnio) era
de cerca de 600 ppm. Para este aparelho se obteve
-
40
D0,0066S0,0162100Q
0,006960,008714]/s[m 32 +=
onde Q a taxa de circulao(ton / min), S o dimetro da perna de
subida (m) e D o dimetro da perna de descida(m).
Uma comparao entre resultados industriais e modelo de
choque-coalescimento de incluses mostrada na Figura 31. Se a
circulao (que responde pela agitao do contedo da panela no se
atingiria o grau de limpeza almejado).
Figure 31 Evoluo do contedo mdio de oxignio; modelo vs
industria.
Entretanto, agitao excessiva pode promover turbulncia junto
interface metal-escria, o que pode resultar em aumento do nmero de
incluses, Figura 32. Se, para as vrias operaes retratadas, os
tempos mdios de tratamento forem da mesma ordem de grandeza, ento a
varivel no eixo das abcissas, . t [kJ/tonelada ] poder ser tomada
como uma medida direta do Aporte especfico de Energia,
[watts/tonelada], i.e. da intensidade de agitao. A figura sugere
que, inicialmente, para valores pequenos e crescentes de
intensidade de agitao o grau de limpeza interno do ao aumenta. Isto
se deveria s correntes de conveco geradas pela injeo do gs, que
arrastariam as incluses na direo da camada de escria de cobertura,
onde seriam absorvidas. Adicionalmente, das colises entre incluses
de pequeno porte, tambm ensejada pela turbulncia devida injeo de
gs, resultariam incluses de maior tamanho capazes de ascender no
lquido maior velocidade. Entretanto, excesso de agitao poderia
provocar turbulncia em demasia na interface metal/escria de
cobertura. No evento desta ltima no ser capaz de resistir aos
esforos cisalhantes o efeito prtico do excesso de agitao seria a
emulsificao da escria. Deste modo o ao seria contaminado por
incluses advindas da escria.
Exemplo: Uma das ltimas possibilidades de flotao de incluses em
ao se encontra no distribuidor do lingotamento contnuo, Figura 33.
Normalmente se emprega uma camada de escria de proteo por sobre o
ao. As propriedades desta escria devem ser tais que atendam a uma
srie de objetivos: reduo de perdas trmicas por conduo e radiao;
isolamento qumico contra a atmosfera circundantes, de modo a
reduzir o pick-up de nitrognio e oxignio, isto , reoxidao e
consequente formao de novas incluses; capacidade de absoro de
incluses.
-
41
a
ao
P
LgRTn
+= 1ln
*
; *
n (mols/s), vazo do gs; R (J/K.mol) constante dos gases; T
(K) temperatura absoluta; ao (kg/m3) massa especfica do ao; g
(m/s2) acelerao da gra-vidade; L (m) profundidade de injeo; aP (Pa)
presso ambiente ; t (s) tempo de agitao. Figura 32: Influncia da
energia de agitao sobre o nvel de limpeza interno.
Para atender este ltimo objetivo, que se traduz em maior nvel de
limpeza interna do ao, a composio da escria precisa ser escolhida
de modo que a mesma apresente algumas caractersticas, por vezes
conflitantes: a emulsificao da camada de escria deve ser evitada, o
que requer altos valores de tenso interfacial e altos valores de
viscosidade; entretanto altos valores de viscosidade dificultam o
misturamento entre a escria e as incluses porventura capturadas. A
escria deve ser lquida e de massa especfica bastante diferente da
massa especfica do ao, para que se mantenha a sepao entre os dois
lquidos. A escria deve apresentar afinidade qumica pela incluso, o
que indica, mais simplesmente, que a escria no pode ser saturada
nos componentes da incluso, caso em que no haveria fora motriz
termodinmica para a dissoluo da mesma. A temperatura influencia
todas as variveis citadas mas, modo geral, alterar a temperatura de
processo de modo a control-la no representa uma opo vivel.
Deste modo resta ainda modificar a geometria interna do
distribuidor (posicionar obstculos direcionadores de fluxo) de modo
a alterar a trajetria do ao (e logo das incluses) tal que curtos
circuitos sejam evitados. Pode-se estimar a eficiencia de flotao
num distribuidor a partir de um balano de conservao de incluses,
considerando o movimento composto da incluso, Figura 34,
-
42
Figura 33: Esquema de um sistema de lingotamento contnuo.
Figura 34: Composio de movimentos, na separao de incluses.
onde se admite, no sentido longitudinal que a velocidade de
incluso seja igual velocidode mdia do ao, e na vertical igual
velocidade de ascenso em meio esttico (Lei de Stokes, por exemplo).
No se considera choque das incluses, seguido de aglomerao; no se
considera a formao de novas incluses bem como o crescimento devido
reao de reoxidao; de modo anlogo no se leva em conta a interao
entre incluses e paredes refratrias. Ento, Figura 35, um balano
de
-
43
incluses contempla o fato que as mesmas atravessam uma rea de
seo reta igual a Hw em funo do arraste pelo ao e que,
eventualmente, uma frao destas
Figura 35: Volume de controle para balano de incluses.
ascendam at a rea de interface z.w, com velocidade Vasc.
Matemticamente o balano se escreve:
Cwzvm
CmwHs
mVm
CmwHs
mVm
CmwHzdtd
asc
zzaozao
...
][.][.].[.. 323233
+
=
+
onde C representa a concentrao de incluses. Note-se que este
tratamento admite que existe mistura perfeita no interior de cada
volume infinitesimal de controle; neste a concentrao uniforme desde
o fundo do distribuidor at a interface com a escria. Em regime
permanente:
CwzvCwHVCwHV asczzaozao .........0 = +
a qual corresponde equao diferencial C.vdzdC
.H.V ascao =
Integradando com as condies de contorno (z = 0 ;C = C0) e (z = L
;C = CS) resulta L
VHV
CC
ao
ascS =.
ln0
De acordo com esta expresso a separao de iincluses ser tanto
mais efetiva quanto: 1- maior a velocidade de ascenso, basicamente
controlada pelo seu tamanho
-
44
desde que as outras variveis esto usualmente fora de controle; 2
maior o comprimento do distribuidor; 3- menor a distncia a ser
vencida at a camada de escria; 4- menor a velocidade de
lingotamento, isto maior o tempo de residncia.
Exemplo: em um tratamento muito comum, o distribuidor
considerado uma combi-nao de Mistura Perfeita, de fluxo Piston e
zona Morta, com caractersticas parciais destas. Um reator de
Mistura Perfeita aquele no interior do qual a intensidade de
misturamento to pronunciada que inexistem gradientes da varivel de
interesse, Figura 36. Esta restrio no implica em ausncia de variao
ao longo do tempo.
Quando uma quantidade finita e limitada de uma espcie qumica,
alcunhada de tra-ador, adicionada na entrada do reator, esta se
espalha instantaneamente no volu-me do reator e se reporta diluda
da na sada do reator. Portanto, to logo adiciona-do, comea a sair
do sistema.
Figura 36: esquemtico de reator de mistura perfeita.
Um traador, no contexto desta discusso, no altera o campo de
velocidades pr-existente no reator. Idealmente, o mesmo material
que constitui a alimentao, com algum gene modificado. Por exemplo,
um istopo radioativo. Mais comumente em modelagem a frio,
envolvendo gua como fluido de trabalho, solues salinas ou ci-das;
em aciaria, um metal de baixo ponto de fuso e solvel, como: cobre.
Ou uma incluso pode ser considerada como traador.
Outro reator idealizado o de fluxo em Piston. Geralmente,
representado na forma tubular, com um piston a controlar o fluxo,
figura 37,
Figura 37: esquemtico do reator de fluxo piston.
para ressaltar a ausncia de misturamento no sentido radial e
longitudinal. Portanto, um traador adicionado na entrada do reator
s aparece, e se reporta de uma s vez na sada, aps o intervalo de
tempo requerido para o piston atravesse todo o compri-
-
45
mento do reator. Ento, aps QVRT = , onde T representa o tempo
nominal de resi-
dncia.
A zona morta corresponde a uma parte do volume til do reator que
pouco interage do ponto de vista fsico-qumico com as demais.
Geralmente, associada a zonas de circu-lao.
Tcnicas de modelagem fsica sugerem metodologias para a diviso do
reator em fra-o de Fluxo em Piston, Mistura Perfeita e Zona Morta,
por exemplo Figuras 38 e 39.
Figura 38: Diviso do distribuidor em volumes caractersticos.
Pelas prprias caractersticas de operao, zonas Mortas e de
Mistura Perfeita so inevitveis; em geral, procura-se determinar a
configurao geomtrica do distribuidor (barreiras, diques e
inibidores de turbulncia) capazes garantir fluxo pistonado. Fluxo
pistonado a caracterstica que se procura para evitar mistura entre
diferentes tipos de ao, para se maximizar a separao (flotao de
incluses).
Figura 39: os vrios reatores em um distribuidor
Exemplo: Um distribuidor de capacidade nominal de 30 toneladas
tem a forma apro-ximada de um paraleleppedo, tal que o nvel de ao
seja H =1,2 m; a largura W = 0,8 m e o comprimento L = 4,5 m;
lingota com velocidade igual a 3 toneladas/minuto. Des-te modo, o
tempo nominal de residncia seria dado por
minutos10oton./minut3
toneladas30T ==
Este seria o tempo que uma incluso teria disponvel para se
separar do ao e ser absorvida pela camada de escria se o
distribuidor fosse um reator de Fluxo em Pis-ton. Entretanto,
modelagem fsica deste distribuidor, tendo sugerido que apenas
25%
-
46
do mesmo se comporta como fluxo em Piston indica que o tempo
crtico para a flota-o no seria to elevado. Aps um perodo de tempo
de cerca de 5,2T0,25 = mi-nutos, incluses no removidas por flotao
seriam remetidas ao molde. Incluses de alumina, de cerca de 50 m de
dimetro seriam separadas? Para responder a esta questo, vamos
admitir validade da lei de Stokes, para o clculo da velocidade
terminal de ascenso da incluso no ao:
( )inclusoao2
T 9gR2
V
=
Adotando = 6x 310 Pa.s; ao = 7000 kg/m3; incluso = 3000 kg/m3, e
desde que g = 9,81 m/s2 e R = 25 x 610 m, se observa que TV = 9,08
x
410 m/s. Como o trajeto a ser percorrido de 1,2 m, o tempo
necessrio para separao completa seria
==
Tflotao V
Ht 22 minutos >> 2,5 minutos.
Nestas condies parte das incluses seria arrastada ao molde. A
poro de ao isen-ta de incluses, pela ao da flotao, figura 40, pode
ser estimada igualando-se os tempos de trajeto nas direes vertical
e horizontal, isto ,
=
T
f
VH
150 s (2,5 minutos) ou =fH 0,136 m.
Figura 40: diviso esquemtica do distribuidor.
Segundo este raciocnio o tamanho crtico de incluso seria
( ) 2inclusoaoT R1
g2H9
v
HT0,25
== ou 2
3-
R1
4000x9,81x2106x1,2x9
150 =
Ento, incluses maiores que R ~ 75 m ( TV ~ 8x 310 m/s;Re = 1,38)
teriam a opor-tunidade de serem completamente absorvidas pela
camada de escria de cobertura.
Este resultado se encontra ligeiramente acima do que se
considera aceitvel para a validade da lei de Stokes, Re
-
47
Exemplo: Considere-se que as dimenses de um distribuidor sejam
1,5 (profundida-de) x 0,8 (largura) x 4,5 (comprimento) m3 , e que
o mesmo lingota a 5 ton/minuto. A primeira tera parte do
distribuidor se comporta como um reator no qual existe mistura
perfeita no sentido vertical, mas inexiste mistura no sentido
longitudinal; o restante do mesmo como um reator no qual no existe
mistura nas direes longitudinal e vertical. Qual a frao de incluses
de 45 m de dimetro que arrastada ao molde? A inclu-so de slica,
para a qual 2SiO = 2,32 g/cm3; considere para o ao = 7 x 10-3 Pa.s.
Na primeira poro do distribuidor(mistura perfeita) pode-se estimar
a frao de inclu-ses retiradas como:
HVt vasof
e-1r
=
onde ft representa o tempo de residncia do ao nesta parte.
Viscosidade dos fluidos mais comuns em metalurgia
A viscosidade de um fluido foi originalmente definida a partir
da proposio de Newton, para um fluxo laminar e unidirecional
dxdVy
yz = ou, Tenso de cisalhamento = Viscosidade x Gradiente de
velocidade. Deste modo, em termos de dimenses se encontra, no
sistema internacional:
[ ]
=
m
s
m
idadeVism
s
mKgcos2
2
isto , para unidade de viscosidade [ ] [ ]sPsmKg a11 = . De modo
anlogo, para o sistema CGS, [g.cm-1.s-1] = Poise, o que permite
estabelecer para fins de transformao, [kg.m-1.s-1] = [1000g .
(100.cm)-1 . s-1] = 10[g.cm-1.s-1] isto Pa . s = 10 Poise. A
viscosidade da gua a 200C e 1 atm de presso vale 1centi-poise, 1cp,
o que permite formar uma base a respeito da viscosidade relativa de
gase e de outros fluidos. Um fluido dito ser Newtoniano se a
viscosidade do mesmo funo de Estado, ou seja, funo apenas da
Temperatura, Presso e da Composio. Muitos fluidos ou misturas de
importncia industrial no o so; a Reologia trata dos casos mais
comple-xos, o que est fora do contexto destas anotaes.
Observa-se, experimentalmente, ser pequena a influncia das
variaes de presso sobre o valor da viscosidade. Os efeitos mais
significativos so devidos composio e temperatura. Independente do
fato da verdadeira relao funcional entre viscosidade e temperatura
(para uma dada compoiso do fluido) ser ou no do tipo exponencial
comum a apresentao de dados na forma de equao de Arrhenius:
RTE
e
= .0 onde representa a viscosidade; 0 um fator pr exponncial; E
a energia de ativao do fluxo viscoso; R a constante dos gases; T a
temperatura absoluta. Convencionalmente se escolhe o sinal do
expoente de modo que a Energia de Ativao resulte positiva.
-
48
Viscosidade de gases A literatura apresenta valores
experimentais de viscosidade de gases, na forma de Tabela ou
Grficos, por exemplo Figura 41. Observe: 1- que a viscosidade dos
gases aumenta com o aumento de temperatura; 2- que ordem de
grandeza de viscosidade dos gases ( ~ 3x10-2 cP) duas vezes
inferior da gua (1 cP)
Figura 41: Viscosidade de alguns gases em presses ordinrias.
Embora seja perfeitamente vlido retratar a dependncia
experimental entre viscosidade e temperatura por uma equao do tipo
de Arrhenius, existem proposies para o clculo da mesma. Por exemplo
(Bird, Geiger) a teoria do Par Potencial, de Lennard-Jones, permite
estimar a Energia Potencial correspondente aproximao de duas
partculas desde a distncia infinita at uma distncia genrica r, vide
Figura 42, por meio da equao
=
612
prr
4E , onde representa o distanciamento entre as partculas para
Ep
igual a zero, representa o valor mnimo de energia ou valor de
equilbrio, o qual o-corre para interespaamento igual a .
Prope-se calcular a viscosidade a partir de
=
.
.1067,2][ 25 TMpoise
onde representam: M , a massa atmica do gs [g/mol], Tabela VII;
T , a temperatura absoluta [K]; , um parmetro de Lennard-Jones
[Angstrom], Tabela VII; = integral de coliso, tambm um parmetro
advindo da teoria, a ser obtido em funo da tempe-ratura e das
caractersticas do gs, estas ltimas expressas atravs do parmetro
de
Lennard- Jones Bk
, Tabela VII. A Tabela VIII permite estabelecer o
relacionamento
citado acima.
-
49
Figura 42 Funo Potencial de Lennard-Jones potential descrevendo
a interao de duas molculas no polares.
TabelaVII Parmetros de Lennard Jones para alguns gases
Parmetros de Lennard Jones
Parmetros de Lennard Jones
Substncia Massa Molecular g/mol
[0A ] /KB [
0K]
Substncia Massa Molecular g/mol
[0A ] /KB [
0K] Gases leves Poliatmicos H2 2,016 2,915 38,0 Ar 28,97 3,617
97,0 He 4,003 2,576 10,2 O2 32,00 3,433 113,0 Gases Nobres N2 28,01
3,798 71,4 Ne 20,183 2,789 35,7 CO 28,01 3,590 110,0 Ar 39,944
3,418 124,0 CO2 44,01 3,996 190,0 Kr 83,80 3,498 225,0 SO2 64,07
4,290 252,0 Xe 131,3 4,055 229,0 F2 38,00 3,653 112,0 Cl2 70,91
4,115 357,0 Br2 159,83 4,268 520,0 CH4 16,04 3,822 137,0
Tabela VIII Valores da Integral de coliso em funo de KB.T/. KB
.T/ KB .T/
0,3 2,785 6,0 0,8963 0,4 2,492 8,0 0,8538 0,5 2,257 10 0,8242
0,6 2,065 20 0,7432 0,7 1,908 40 0,6718 0,8 1,780 60 0,6335 0,9
1,675 80 0,6076 1,0 1,587 100 0,5882 2,0 1,175 200 0,5320 4,0
0,9700 400 0,4811
Exemplo: Seja estimar a viscosidade do oxignio a 800 k. Da
Tabela VII se tem MO2 = 32,00 [g/mol], = 3,433
0A , e, ainda, sendo
BK
= 113, se obtm, para T = 800 K
-
50
T/( / kB) 6 0,8963 7,08 0,8734 (valor obtido por interpolao
linear) 8 0,8538
Portanto, T = 800k, 8734,0433,3
800321067,2]P[ 25
o2
=
,
Existem frmulas para o clculo da viscosidade de gases compostos,
isto , solues gasosas de dois ou mais constituintes. Uma que
funciona razoavelmente bem sugere estimar
21
21
ii
iiimistura
MX
MX
=
onde representam : i, o constituinte da fase gasosa ; Xi , a
frao molar da espcie i; Mi , a massa atmica de i; i , a viscosidade
da espcie i pura.
Metais lquidos e suas ligas
A viscosidade de metais (puros) pode se encontrada em diversas
fontes de literatura, por exemplo Figura 43 e Tabela IX . Observe
que parece bastante razovel caracteri-zar a dependncia versus T na
forma:
RTE
e RTE
303,2loglog; 00
+==
+
e que a viscosidade dos metais decresce com o aumento de
temperatura.
Figura 43: Valores experimentais de viscosidade de metais
-
51
Na ausncia destes dados prope-se calcular a viscosidade de
metais lquidos e puros [Geiger] a partir de Variveis Reduzidas ou
Adimensionais seguintes: Viscosidade Reduzida:
MRTN0
2*
=
Temperatura Reduzida:
=
B
*
K
TT
Volume Reduzido: 3*
n
1V
=
onde representam: , a viscosidade do metal; , o espaamento
interatmico no cris-tal a 0 k, vide Tabela X; N0 , o nmero de
Avogadro, 6,02 x 1023;; M , a massa atmica; R, a constante dos
gases; T, a temperatura absoluta;
BK , um parmetro de Len-
nard-Jones, Tabela X; n, o nmero de tomos por unidade de volume.
Sugere-se ain-
da que existe uma relao, Figura 44, do tipo BK
= 5,2 x Tfuso [K].
Figura 44: Relao entre temperatura de fuso de metais e parmetros
de Lennard-Jones.
Existiria ainda uma relao nica, vlida para todos os metais,
interligando as vari-veis reduzidas definidas acima, do tipo *
(v*)2 vs T* , tal como mostrado na Figura 45. Como indica o exemplo
a seguir a aplicao do mtodo no deve apresentar qualquer
dificuldade.
-
52
3*2**2**
)(10226,0)(
10679,015129,0)(TTT
V +=
Figura. 45: Curva de correlao para viscosidade de metais
lquidos.
Tabela IX: Viscosidade de metais; mp viscosidade no ponto de
fuso; RTE
o e
=
Metal mp mili Pa.s
o Mili Pa.s
E kJ/mol Metal
mp mili Pa.s
o mili Pa.s
E kJ/mol
Ag 3,88 0,4532 22,2 Nb - AI 1,30 0,1492 16,5 Nd - - As Ni 4,90
0,1663 50,2 Au 5,0 1,132 15,9 Os - - B - P 1,71 - - Ba - - Pb 2,65
0,4636 8,61 Be - - Pd - - - Bi 1,80 0,4458 6,45 Pr 2,80 - - Ca 1,22
0,0651 27,2 Pt - - - Cd 2,28 0,3001 10,9 Pu 6,0 1,089 5,59 Ce 2,88
- Rb 0,67 0,0940 5,15 Co 4,18 0,2550 44,4 Re - - - Cr - - Rh - - -
Cs 0,68 0,1022 4,81 Ru - - - Cu 4,0 0,3009 30,5 S ~12 - - Fe 5,5
0,3699 41,4 Sb 1,22 0,0812 22,0 Fr 0,765 - - Se 24,8 - - Ga 2,04
0,4359 4,00 Si 0,94 - - Gd - - Sn 1,85 0,5382 - Ge 0,73 - Sr - - -
Hf - Ta - - - Hg 2,10 0,5565 2,51 Te ~2,14 - In 1,89 0,3020 6,65 Th
- - - Ir - - Ti 5,2 - - K 0.51 0,1340 5,02 TI 2,64 0,2983 10,5 La
2,45 - U 6,5 0,4848 30,4 Li 0,57 0,1456 5,56 V - - - Mg 1,25 0,0245
30,5 W - - - Mn - - Yb 1,07 - - Mo - Zn 3,85 0,4131 12,7 Na 0,68
0,1525 5,24 Zr 8,0 - -
-
53
Tabela X: Valores empiricamente determinados de e /KB
Metais [] /KB Metais [] /KB Na 3,84 1970 Rb 5,04 1600 K 4,76
1760 Ag 2,88 6400 Li 3,14 2350 Cd 3,04 3300
Mg 3,20 4300 In 3,14 2500 Al 2,86 4250 Sn 3,16 2650 Ca 4,02 5250
Cs 5,40 1550 Fe 2,52 10900 Au 2,88 6750 Co 2,32 9550 Hg 3,10 1250
Ni 2,50 9750 PB 3,50 2800 Cu 2,56 6600 Pu 3,10 5550 Zn 2,74
4700
Exemplo: Estime a viscosidade do alumnio a 10000C, sabendo-se
que a massa especfica do mesmo da ordem de Al = 2700kg/m3. Da
Tabela X, se obtm = 2,86 x 10-10
m e sendo Al l = 2700 kg/m3 , resulta: 3
3
/]/[]/[
mAldemolsmolkgmkg
M AlAl
=
e
33
/]/[]/[]/[
mtomosmolatomosNmolkgmkg
M oAlAl
=
233 1002,61027
2700
=
n e ( )3102333*
1086,21002,61027
27001
== nV
A mesma Tabela X, informa 4250=BK
, isto ,
42501273
k
TT
B
*=
= , de modo que * pode
ser facilmente obtido da Figura 45, ou da relao
3*2**2**
)(10226,0)(
10679,015129,0)(TTT
V += e, deste, o valor de viscosidade
pretendido.
No existem proposies gerais, semelhantes anterior, vlidas para
ligas metlicas, mas possvel encontrar valores experimentais para
alguns casos especficos, vide por exemplo na Figura 46 dados do
sistema Al - Si. Observe-se, do diagrama de fases, que o rpido
aumento de viscosidade, a partir e abaixo de uma certa temperatura
crtica, pode ser creditado ao aparecimento de cris-tais provindos
da solidificao. Abaixo desta temperatura crtica os dados so para
viscosidade de uma mistura mecnica entre fase lquida e cristais
dispersos na mes-ma; portanto os valores de viscosidade aparente
desta mistura so consideravelmente maiores e crescentes quando
cresce a proporo de slidos. Polpas e lamas so ma-teriais comumente
transportados em plantas metalrgicas, de modo que situaes como
estas so de interesse prtico.
-
54
Figura 46: Precipitao de cristais em ligas e a resultante
viscosidade aparente.
Escrias: As escrias mais comuns em metalurgia so aquelas em que
a slica toma parte importante. Portanto comum realizar uma anlise
da influncia da composio e temperatura tomando como ponto de
partida a estrutura da slica. Por exemplo a Figura 47 apresenta
representaes bi-dimensionais de um cristal perfeito de slica e de
slica lquida. Observa-se que : a unidade estrutural da slica
corresponde a um tetraedro onde os vrtices so
ocupados por tomos de oxignio e o centro ocupado por um tomo de
silcio; um tomo de oxignio posicionado em um dado vrtice
compartilhado por dois tetraedros, formando uma rede
tri-dimensional.
a estrutura do lquido semelhante do slido, apenas com a introduo
de des-
continuidades (de ligaes) em funo da agitao trmica; quanto maior
a tempe-ratura maior o nmero de ligaes entre tetraedros
rompidas.
resulta, em funo da existncia desta rede tridimensional, ainda
que imperfeita, que a viscosidade da slica lquida (e por
consequncia de escrias silicatadas) alta, com-parativamente a
outros lquidos.
-
55
A Figura 48 apresenta um esquema relativo introduo de um xido
bsico na estru-tura da slica. Um xido bsico seria aquele capaz de
se dissociar de acordo com a reao MO = M2+ + O2- , com relativa
facilidade. A figura sugere que a adio do xido bsico capaz de
romper as ligaes entre tetraedros, reduzindo o grau de polimeri-zao
da rede, e, em consequncia diminuir os valores de viscosidade. A
Tabela XI apresenta, tambm em forma esquemtica, a sequncia de
despolimeri-zao da rede em funo da adio do xido bsico perfeito
aquele que se dissocia completamente. Note-se a progressiva
desvinculao dos tetraedros, at que para a composio refe-rente ao
ortosilicato a escria seja estruturalmente constituda por SiO44- ,
M2+ . Ainda que, para razo O : Si > 4, seria possvel encontrar
O2- livre num banho constitudo por SiO44- , M2+, O2-. Como a
atividade de O2- uma medida da basicidade implica, de acordo com
este modelo de dissociao, que escrias bsica seriam aquelas nas
quais haveria nion oxignio livre, isto , sempre que O:Si > 4;
por outro lado escrias cidas seriam a-quelas para as quais O:Si
< 4. A composio do ortosilicato representaria a situao limite, 2
MO . SiO2 .
Figura 47: Representao esquemtica da estrutura da slica.
-
56
Figura 48: Representao qualitativa, bidimensional, dos efeitos
da introduo de xi-do bsico estrutura da slica. .
Tabela XI: Relaes estruturais em lquidos do tipo
xido-silicato
tomos oxignio tomos silcio
Frmula molecular binria
Estrutura Ion silicato equiva-lent
2:1 SiO2 todos vrtices do tetraedro comparti-lhados
rede 3-D Infinita
5:2 MO.2SiO2 uma ligao rompida, por tetraedro
(Si6O15)6- ou (Si8O20)8-
3:1 MO.SiO2 duas ligaes rompi-das, por tetraedro
(Si3O9)6- ou (Si4O12)8-
7:2 3MO.2SiO2 trs ligaes rompi-das, por tetraedro
(Si2O7)6- 4:1 2MO.SiO2
(ortosilicato) todas ligaes rompi-das
tetraedros discretos (SiO4)4-
Na realidade, para uma dada atividade de O2-, coexistem as vrias
unidades estrutu-rais, a transformao seria gradativa, sem soluo de
continuidade. Por exemplo, de acordo com a teoria de MASSON, as
reaes seguintes seriam responsveis pela destruio gradativa do
polmero ( de frmula geral )1(2 13 + +nnn OSi ): SiO44- + SiO44- =
Si2O76- + O2-
Si2O76- + SiO44- = Si3O108- + O2- Si3O108- + SiO44- = Si4O1310-
+ O2-
indicando a participao(relativa) maior das unidades estruturais
mais simples com o aumento da basicidade. O conhecimento da
atividade de O2-, isto , da basicidade, bem como das constantes de
equilbrio permite calcular as atividades (concentraes) dos anions
silicato. Por outro lado no existem xidos bsicos perfeitos, a
dissociao sendo sempre par-cial, o que sugere a necessidade de se
medir o grau de basicidade-acidez dos mes-
-
57
mos. A Tabela XII oferece uma base de classificao de xidos,
quanto basicidade, com referncia interao eletrosttica ction -
oxignio.
Tabela XII TIPOS DE LIGAES E FORA DE ATRAO ENTRE CTIONS E O2-
Oxido
( )2ac RRz
+
frao inica nmero de co-ordenao
Carter do xi-do
Na2O 0,18 0,65 6 6 to 8 rompedores de redes ou xidos bsicos
BaO 0,27 0,65 8 8 to 12 || SrO 0,32 0,61 8 || CaO 0,35 0,61 6 ||
MnO 0,42 0,47 6 6 to 8 || FeO 0,44 0,38 6 6 || ZnO 0,44 0,44 6 ||
MgO 0,48 0,54 6 || BeO 0,69 0,44 4 || Cr2O3 0,72 0,41 4 Anfteros
Fe2O3 0,75 0,36 4 || Al2O3 0,83 0,44 6 4 to 6 || TiO2 0,93 0,41 4
|| SiO2 1,22 0,36 4 4 formadores de redes
ou xidos cidos P2O5 1,66 0,28 4 4 ||
Esta tabela construda assumindo que a estabilidade estrutural do
xido pode ser medida pela fora de atrao eletrosttica entre o ction
e o anion comum O2-,
2ea )rr(
ZF+
=+
. Naturalmente quanto maior o valor de ( )2ea rrz
+ maior a afinidade M-O,
menor o grau de dissociao, maior o grau de acidez do xido.
Aps estas consideraes se pode argumentar que um grfico
qualitativo expressando a dependncia entre viscosidade/basicidade e
a composio de um silicato seria do tipo mostrado na Figura 49.
Figura 49: Variao esquemtica de viscosidade e basicidade de um
banho MO:SiO2.
Valores de viscosidades de escrias esto disponveis na literatura
(por exemplo S-LAG ATLAS, segunda edio, 1995; Thermochemistry for
Steelmaking, Addison-
-
58
Wesley, 1964) na forma grfica, Figura 50. SiO2 um xido cido por
excelncia, CaO um xido bsico por excelncia, enquanto o Al2O3 pode
ser classificado como anf-tero. Isto significa que, em escrias
relativamente bsicas, a alumina se comporta co-mo cido, formador de
rede. Nesta situao seria razovel agrupar SiO2 e Al2O3 como cidos e
CaO como bsico; deste modo o grau de polimerizao da rede, a
viscosida-de do lquido, seria definida pela quantidade relativa de
CaO. Note-se, de fato, que as curvas de isoviscosidade se
assemelham, grosseiramente, s curvas de iso-composio em CaO.
Existem tambm relaes analticas entre viscosidade, temperatura e
composio da escria. Em geral estas relaes empregam coeficientes que
expressam o grau relati-vo de acidez/basicidade de cada componente
da escria, obtidos atravs da correla-o entre dados experimentais e
composio. Muito comum correlacionar a viscosi-dade a um ndice de
basicidade, por exemplo a basicidade binria simples %CaO/%SiO2 , ou
algum outro ndice de basicidade de definio diversa. Em geral a
faixa de composio em que estas expresses so aplicveis limitada, o
que no conspira contra sua utilidade. Mais recentemente se
introduziu o conceito de Basici-dade tica de xidos. Nesta escala o
xido de referncia o CaO, o qual apresenta basicidade tica unitria
De acordo com a proposio original a basicidade tica uma medida
direta da facilidade do xido em liberar eltrons,
Figura 50: Curvas de isoviscosidade Poise -- em sistemas
ternrios SiO2 Al2O3 CaO, a 1500 C.
(Basicidade tica) = capacidade do xido em liberar eltrons
capacidade do CaO em liberar eltrons
-
59
e pode ser medida pelo desvio de freqncia da banda de absoro
associada com a transio 6s-6p na regio UV do espectro
eletromagntico. A basicidade tica assim medida independente da
temperatura. Nem todo xido se mostra passvel de ter sua basicidade
tica medida diretamente; deste modo em alguns casos a basicidade
foi estimada por meio da relao que interliga a mesma
eletronegatividade de Pauling,
26,074,0
=X
(X representa a eletronegatividade de Pauling) e mesmo atravs de
correlaes com dados experimentais. Deste modo existe alguma
divergncia, para alguns xidos, sobre qual valor de basicidade
aplicar. Uma compilao, retirada do Slag Atlas, apresentada na
Tabela XII.
Tabela XII : valores de basicidade tica de alguns xidos.
Oxido Eletrone-gatividade de Pauling
Recomen-dado Oxido
Eletronega-tividade de Pauling
Recomen-dado
Li2O 1,0 1,0 P2O5 0,40 0,40 Na2O 1,15 1,15 As2O3 K2O 1,40 1,4
Sb2O3 Rb2O SO3 0,33 Cs2O 1,7 CrO BeO 0,605 MnO 0,59 1,0 MgO 0,78
0,78 FeO 0,51 1,0 CaO 1,0 1,0 Co 0,475 0,95 SrO 1,10 1,1 NiO 0,475
0,95 BaO 1,15 1,15 CuO 0,43 0,9 B2O3 0,42 0,42 ZnO 0,55 0,9 Al203
0,60 0,605 CdO 0,51 CO2 PbO 0,48 1,15 SiO2 0,48 Cr2O3 0,8 GeO2
Fe2O3 0,48 0,8 TiO2 0,61 CaF2 0,43 ; 0,67 VO2
No caso de escrias a basicidade tica pode ser calculada como
ii
iiiescria Xn
Xn
=
onde representam : Xi , a frao molar do xido i; Ni , o nmero de
tomos de oxignio por mol de xido i; i , a basicidade tica de i.
Argumenta-se que correlaes envolvendo propriedades fsico-qumicas
de escrias apresentam faixa de aplicabilidade maior, so mais
precisas, se realizadas em termos de basicidade tica, ao invs de
outros ndices. Por exemplo, Figura 51,
1000/)88,277,1exp(
44,015,01][ln
1
TPoise corr
++
=
A basicidade tica corrigida deve ser estimada recalculando a
contribuio dos xidos mais bsicos, considerando a neutralizao do
eltron extra do AlO45-, por exemplo Na+ + AlO45- = NaAlO44-, a qual
reduz a concentrao efetiva de espcies destruidores de rede. A
neutralizao parcial citada acima seria necessria para a formao de
espcies do mesmo estado de oxidao que o elemento estrutural de
formao de rede SiO44-.
-
60
Figura 51: parmetros para calculo de viscosidade
Exemplo: A Figura 52 representa esquematicamente as possveis
espcies silicata-das que podem estar presentes em uma escria a base
de Slica. Com base nestas espcies escreva as reaes ( 44SiO e 2O
participam das reaes) que expressam a influencia de
2Oa sobre o processo de polimerizao e justifique os efeitos
sobre a viscosidade. Com base no parmetro 2)/( ca RRz + classifique
os xidos MnO(0,83) e BaO(0,53) em ordem de basicidade crescente, e
justifique esta classificao.
Exemplo: Determine, para uma escria ternria CaO-Al2O3-SiO2, a
1773 oK, o valor de viscosidade quando a basicidade tica vale 0,6.
Identifique, nos binrios di siste-ma CaO-SiO2-Al2O3 as composies
referentes a este valor de basicidade tica e trace ento a curva de
isoviscosidade. Compare os valores preditos e experimentais.
Considere como valores de basicidade tica 1,0 ; 0,605 e 0,48 para o
CaO, Al2O3 e SiO2, respectivamente.
Figura 52: anions em escria silicatada
-
61
TURBULNCIA Nos exemplos abordados at aqui foi sempre ressaltada
uma caracterstica dos fluxos: o de ser laminar. Parte considervel
dos sistemas metalrgicos envolve turbulncia; como ficar claro ao
regime turbulento se associam altas taxas de transporte de
quan-tidade de movimento, de calor, de massa. Deste modo
turbulncia, em alguns casos, desejvel. Portanto seria conveniente
verificar se e como o tratamento dispensado aos fluxos laminares
pode ser aproveitado para analisar fluxos turbulentos. Reynolds foi
um dos pioneiros do estudo de fluxo turbulentos bem com da transio
entre os regimes laminar e turbulento. Numa experincia clssica
introduziu um filete de tinta junto ao eixo longitudinal de um tubo
transparente e de seo reta constante o qual transportava gua. No
caso de fluxo laminar observou a ausncia de intermistu-ramento na
direo radial; o filete se mantinha ntegro ao longo do tubo; no caso
do fluxo turbulento existia disperso radial e longitudinal da
tinta, o filete gradualmente se desfazia. A Figura 53 relativa a um
experimento no qual um cilindro acelerado no interior de um lquido
esttico (partculas suspensas no fluido permitem a visualizao de
linhas de fluxo). Quando a velocidade relativa fluido/cilindro
pequena instantes iniciais da acelerao o fluxo se mostra
patentemente laminar; as linhas se fluxo se acomodam ao redor do
cilindro, se partindo ao longo da linha central no ponto de impacto
e vol-tando a se encontrar na parte de trs do mesmo. Nesta situao
uma srie de partcu-las colocadas num dado ponto perto da parte
frontal descreveria sempre a mesma trajetria, ou linha de fluxo. A
partir de uma velocidade crtica o fluxo turbulento se ins-taura. O
conceito de linha de fluxo deixa de fazer sentido. Partculas
colocadas suces-sivamente em um dado ponto perto da parte frontal
no descreveriam a mesma traje-tria, embora um caminho mdio pudesse
ser definido aps a repetio do experimen-to por um nmero elevado de
vezes. Redemoinhos ou vrtices aparecem junto parte posterior do
cilindro, e se mostram variveis quanto ao tamanho, posio,
intensidade; de fato, modo geral, redemoinhos podem ser criados e
destrudos continuamente.
Figura 53: Visualizao de fluxo turbulento ao redor de um
cilindro.
De modo anlogo a Figura 54 corresponde ao fluxo turbulento de um
lquido em um canal. Como antes partculas, dispersas no fluido,
permitem a visualizao do fluxo; uma cmera fotogrfica percorre um
trajeto ao lado do canal, com velocidade constan-te. Os
experimentos permitem identificar a superposio de dois movimentos
princi-
-
62
pais: um movimento mdio global do fluido ao longo do canal,
caracterizado pela va-zo mdia e rea da seo reta; um movimento
relativo rotatrio de fluido, caracteri-zado por redemoinhos, tal
como se estes fossem transportados por conveco ao lon-go do canal.
Os redemoinhos ficam explcitos quando a velocidade de translao da
cmera se faz igual velocidade de conveco do mesmo.
Figura 54 : Visualizao de fluxo turbulento em um canal. Como se
nota caracteriza-se fisicamente a estrutura do fluxo turbulento em
termos da presena de redemoinhos, dinmicos no espao e tempo.
Valores experimentais de velocidade longitudinal, medida em um
ponto fixo, quando um fluido atravessa um tubo, em regime
turbulento e macroscopicamente permanente, so apresentados na
Figura 55. Como citado anteriormente, fluxos turbulentos so
caracterizados pela presena de vrtices, os quais so, por natureza,
dinmicos no espao e no tempo; portanto fluxos turbulentos so
inerentemente transientes. Neste caso, por fluxo turbulento e
macroscopicamente permanente se quer indicar um no qual a vazo mdia
no tubo mantida constante. Os dados desta figura foram obtidos
pra nmero de Reynolds da ordem de 6500VRe_
=
=
D e revelam a aparente
erraticidade, caocidade da funo vx ao longo do tempo. Note-se
como as flutuaes em velocidade podem ser da mesma ordem de grandeza
que o valor mdio de veloci-dade. Este comportamento pode ser
qualitativamente explicado, Figura 56, admitindo a translao de
redemoinhos ao longo do tubo, medida que as medies prosseguem. Do
ponto de vista mecnico ao vetor velocidade mdia do fluido se
superpe a veloci-dade de rotao relativa ao vrtice. Portanto quando
um redemoinho girando no senti-do anti-horrio atinge o sensor este
marca um valor de velocidade menor que o mdio; quando um redemoinho
girando no sentido horrio atinge o sensor este marca um valor de
velocidade maior que o mdio.
Como se ver os redemoinhos podem ser responsabilizados pelo
transporte convectivo {Q.M., Calor, Massa} na direo radial, o que
justifica a disperso observada.
As equaes de Navier Stokes e da continuidade continuam sendo
aplicveis a fluxos turbulentos. Entretanto a presena de vrtices
(por natureza tridimensionais, dinmicos no espao e tempo) exclui,
modo geral, uma soluo analtica. Portanto a soluo via de regra
numrica, embora em alguns casos sejam possveis aproximaes que
permitem o clculo de valores mdios. Estas aproximaes envolvem o
emprego de modelos macroscpicos de turbulencia e no sero tratadas
aqui.
-
63
Figura 55: variao de velocidade instantnea em ponto fixo de
medio, no interior de um fluxo em regime turbulento.
Movimento macroscpico na direo OX
Composio de movimentos e Redemoinhos dinmicos
Figura 56: Superposio de movimentos num fluxo turbulento
-
64
Existem outras complicaes. Observa-se, num fluxo turbulento,
vrtices de tamanhos variados; em outras palavras uma distribuio de
tamanhos ou um Espectro de Vrtices. Considera-se que os redemoinhos
deste espectros atuam em conjunto, tal como num conjunto de
engrenagens acopladas, Figura 57. Um processo turbulento um
processo dissipativo de energia. Portanto se faz necessrio o aporte
constante de energia mecnica para sustentar a turbulncia (de outro
modo a turbulncia decai, desaparece); eventualmete esta energia
transformada em calor.
Figura 57: Acoplamento de redemoinhos.
Admite-se ento que a energia mecnica, cedida por alguma fonte
externa aos maiores redemoinhos, se transmite at os menores
redemonhos, de tamanho microscpico, onde se d dissipao em calor,
por efeito viscoso. Neste caso, para se descrever a estrutura do
fluxo turbulento, se requer refinar a malha de integrao at que a
mesma seja mais fina que o menor redemoinho a ser descrito. Esta
tarefa se mostra invivel no caso de sistemas macroscpicos, por
exemplo : fluxo no interior de gs e liquido no interior de um Alto
Forno, num LD, num conversor de refino de mate de cobre. Por
extenso, notadamente invivel quando se procura descrever o
movimento do ar atmosfrico, das gotculas dispersas, da nuvens,
necessrio para a previso do tempo. Como o mtodo numrico exige, modo
geral, esquemas iterativos nos quais os valores das variveis em um
dado estgio de simulao sejam armazenados nos ns da malha, a
capacidade de computao (memria para armazenamento e velocidade de
clculo) exigida seria proibitiva. A turbulncia no um processo
catico, probabilstico; a turbulncia um processo determinstico no
sentido em que existem e se conhecem as equaes capazes de descrever
a estrutura do mesmo. Isto , sendo conhecidas exatamente as condies
iniciais e de contorno. A determinao experimental do valor exato de
qualquer varivel impossvel; em qualquer processo de medio existem,
sempre, erros aletrios e fixos. A equao de conservao de quantidade
de movimento do tipo no linear, o que indica que alguns dos
coeficentes das variveis envolvidas no so constantes e isto impe
dificuldades adicionais. Compare-se, por exemplo o clculo do fluxo
de calor undirecional e em regime permanente atravs de uma parede
plana simples: condutibilidade trmica constante vs condutividade
trmica dependente da temperatura. No caso de fluxos turbulentos as
equaes descritivas, no lineares, se mostram extremamente sensveis
aos valores impostos de condies iniciais e de contorno. Como sugere
a Figura 58 os erros inerentes determinao dos valores de contorno e
iniciais se propagam durante o processo de clculo; existem
incertezas quanto aos dados de entrada, existem incertezas quanto
aos resultados. Na situaes normais a incerteza aceitvel.
-
65
Figura 58: Propagao de erros em sistemas comuns de
Engenharia
No caso de sistemas sistemas dinmicos no lineares, turbulncia, a
propagao dos erros catastrfica, Figura 59. Portanto seria preciso
conhecer quase com exatido os valores de condies de contorno e
iniciais, para tornar os erros aceitveis. Como o fluxo turbulento
as condies de contorno e iniciais devem ser transientes se se
deseja reproduzir a exata natureza do mesmo; tambm esta transincia
se transmite, via procedimento de clculo, resposta.
Figura 59: Propagao de erros no caso de turbulncia.
Como resultado a Simulao Numrica Direta (SND), que consiste da
resoluo numrica das equaes de conservao de quantidade de movimento
e da continuidade, para fluxos turbulentos, s vivel em sistemas de
pequenas dimenses. Na maior parte dos casos a Engenharia, por
consequncia, se contenta em conhecer valores mdios correspondentes
ao fluxo, em lugar do valor real, instntaneo.
-
66
Exemplo: Como demonstrao da instabilidade de algumas solues
matemticas, mesmo as mais simples, considere o problema da populao
de peixes em um poo . Pode-se argumentar que quanto maior a populao
do ano anterior maior a probabilidade de acasalamento e procriao;
por outro lado(de acordo com Malthus) quanto maior a populao maior
ser a competio por alimentos e outros insumos, o que representa um
freio natural ao crescimento desordenado. Portanto um modelo
simples, que permite calcular a populao de um ano, 1ix + a partir
da populao do ano anterior, ix , seria tal como )x1(xKx ii1i =+ .
Utilize uma planilha para construir grficos que fronecem a populao
anual, para valores diferentes de K.
Este tratamento envolve a aplicao do Operador Mdia sobre todos
os termos das equaes que descrevem o fenmeno em estudo. Se A(t)
representa uma varivel qualquer, funo de t, ento, por definio, o
Operador Mdia aplicado sobre a mesma produz como resultado:
=
2
1
)(112
_
t
t
dttAtt
A
onde _
A representa o valor mdio de A(t) no intervalo t1 < t < t2
. A partir deste valor mdio se pode calcular a Flutuao de A(t) em
torno da mdia, isto
Valor real, instntaneo = Valor mdio + Flutuao
A'A A _
+= Decorre da aplicao do Operador Mdia sobre ambos os membros da
equao precedente
'AAA +=
='AA + = 'AA + ou 'A =zero
que a mdia das Flutuaes igual a zero. Para se atingir este
resultado levou-se em considerao duas propriedades do Operador: 1-
a propriedade Distributiva, isto , a mdia de uma soma igual soma
das
mdias das parcelas ; 2- a mdia de uma constante igual prpria
constante.
Outras propriedades do Operador mdia seriam: 3- a mdia do
produto entre uma constante e uma varivel igual ao produto da
constante pela mdia da varivel 4- os operadores mdia e derivada
so intercambiveis na ordem, ou a mdia da
derivada de uma funo igual derivada da mdia.
Considere-se ento o fluxo turbulento de um fluido Newtoniano e
incompressvel, para o qual se deseja determinar os valores mdios de
variveis, como P...V,V,V zyx . As equaes de continuidade e Navier
Stokes podem ser alteradas pela aplicao do operador mdia. Por
exemplo a equao de continuidade pode ser reescrita em termos de
Valor Mdio e Flutuaes:
)( zyx Vz
Vy
Vxt
+
+
=
( ) ( ) ( ))( ''' zzyyxx VVz
VVy
VVxt
+
++
++
=
-
67
Aplicando o Operador Mdia sobre ambos os membros da equao,
considerando as propriedades j citadas do operador se encontra, por
exemplo,
( ) xxxx
xxxxxx Vx
Vx
Vx
Vx
Vx
Vx
Vx
VVx
=
+
=
+
=
+
=+
'
'
'''
o que nos conduz a que a equao da continuidade em termos de
valores mdios mantm a mesma forma da equao original,
zyx Vz
Vy
Vx
+
+
=0
De modo anlogo, equao de Navier-Stokes, em termos de valores
instntaneos:
xxzxyxxxx gVVVz
VVy
VVx
Px
Vt
++
+
+
=
2
fornece, por exemplo,
( )( )[ ] [ ]''''
''''''
.
yxxyyxyx
yxxyyxyxyyxxyx
VVy
VVy
VVy
VVy
VVVVVVVVy
VVVVy
VVy
+
+
+
=
=+++
=++
=
e ento,
''''
''''
yxxyyxyx
yxxyyxyx
VVy
VVy
VVy
VVy
VVy
VVy
VVy
VVy
+
+
+
=
=
+
+
+
=
ou
''
yxyxyx VVyVV
yVV
y
+
=
Portanto fcil notar que, quando este procedimento aplicado a
todos os termos, os termos em produto de flutuaes no se anulam, de
modo que a equao de Navier-Stokes adquire a forma,
+
+
++
+
+
=
''''''
2
zxyxxx
xxzxyxxxx
VVz
VVy
VVx
gVVVz
VVy
VVx
Px
Vt
Termo em Dissipao de Energia
No fossem estes termos extras em flutuaes a equao em termos de
valores mdios seria idntica original, de modo que a mesma
metodologia empregada para a descrio de fluxos laminares poderia
ser empregada para a determinao de
-
68
valores mdios em fluxos turbulentos. Claramente o termo em
dissipao no pode ser desprezado pois as flutuaes so a traduo
matemtica da turbulncia; algum tipo de formulao deve ser proposta
para permitir que seja avaliado. A contribuio turbulenta permite
definir os tensores de Reynolds, relativos s flutuaes, por
exemplo
''
yxxytturbulento
xy vv== , etc e da, por definio, um parmetro denominado
Viscosidade Turbulenta:
dyVdVV xturbulentayxtyx .'' ==
Observe-se que: 1- a viscosidadade laminar, ou molecular, , uma
propriedade de estado do fluido,
funo da Temperatura, Presso, composio e estado fsico 2- a
viscosidade turbulenta, turbulenta, no propriedade de estado do
fluido,mas
propriedade do campo de velocidades do fluxo, de modo que seu
valor no , em geral, conhecido a priori.
Apesar desta restrio a considerao de turbulenta permite
rescrever a equao de Navier Stokes como:
xxturbulentaarla
zxyxxxx
gV
VVz
VVy
VVx
px
Vt
++
+
+
+
=
2min )(
onde, tambm por definio se encontra a Viscosidade Efetiva,
turbulentaarminlaefetiva += ou tef += .
Este algebrismo nos permite reencontrar a forma original da
equao de Navier Stokes, porm em termos de valores mdios. Tal
algebrismo no representa nenhuma soluo pois a viscosidade efetiva,
ou a turbulenta, no conhecida.
Resulta que, de modo a determinar o campo de velocidades em
regime turbulento se faz necessrio fornecer um Modelo de
Viscosidade Turbulenta, um conjunto de equaes que permita calcular
t em termos de valores mdios.
Por exemplo o modelo k - , onde k representa a energia cintica
de turbulncia,
++ 2'z
2'y
2'x VVV2
1, e representa a taxa de dissipao de energia fornece
onde C simboliza uma constante emprica, ajustvel.
2
..
KCt =
O modelo k - fornece equaes diferenciais para o clculo destas
grandezas, em termos de valores mdios, e portanto o procedimento de
clculo, ITERATIVO, se assemelha a:
1 Definio de um campo inicial de velocidades mdias; este campo
pode ser arbitrrio porm deve ser proximo da soluo de modo a
apressar a convergncia; 2 Resoluo simultnea das equaes de
Continuidade, de Navier-Stokes e do Modelo de viscosidade, para a
determinao um novo campo de velocidades mdias; 3 Repetio da etapa 2
at convergncia.
-
69
Exemplo: A Figura 60 apresenta o campo de velocidades mdias no
interior da panela de contendo ao lquido, o qual se encontra
agitado por meio de insuflao de gs inerte. O elemento injetor se
encontra posicionado no fundo da panela, no centro ou deslocado do
centro a 1/3 do raio. Destacam-se como produtos do modelo de
turbulncia, a direo de cada vetor velocidade, seu sentido e
magnitude. Poderiam ser fornecidos tambm mapas de K e .
Figura 60: Campo de velocidades no interior de panela com
insuflao de gs inerte, calculado com auxlio do modelo K-.
Modelos baseados em equaes diferenciais para avaliao da
viscosidade turbulenta so geralmente denominados modelos
MICROSCPICOS. Podem ser oferecidos modelos MACROSCPICOS de
viscosidade turbulenta. Por exemplo SAHAI e GUTHRIE realizaram
medies do campo de velocidades no interior de uma panela (modelos
de panelas, contendo vrios lquidos gua, metal de WOOD, silicone...)
agitados por gs, Figura 61. Os valores de velocidade medidos por
sensores colocados em vrios pontos da panela se mostraram funo de
parametros como: Geometria da panela: L , a altura de lquido; D, o
dimetro da panela. Propriedades do fluido : , a massa especfica do
lquido; , a viscosidade do
lquido. Fluxo de gs de agitao : Q , a vazo do gs.
Em seguida, para cada combinao de variveis, os autores ajustaram
o valor de t tal que as equaes de continuidade e Navier-Stokes (em
termos de valores mdios) reproduzissem o campo medido. Anlise
dimensional e estatstica deste confronto permitiu sugerir uma
frmula de clculo de viscosidade turbulenta em princpio vlida apenas
para este tipo de sistema- do tipo:
31
3t
DQg
L105,5
=
onde todas as variveis devem ser cotadas no Sistema
Internacional.
-
70
Exemplo: Considerando dados tpicos de aciaria como L = 2,8 m; ao
= 7000 kg/m3; D = 3,0 m; Q = 1 Nm3/minuto; se encontra t 62 kg m-1
s-1 , valor que pode ser
comparado propriedade do fluido = 7 x 10-3 kg m-1 s-1 , isto ,
410lt
o que mostra ser, neste caso, a viscosidade turbulenta muito
mais significativa que a laminar. Ressaltando portanto que o termo
em dissipao no pode ser desprezado.
Figura 61: Esquema experimental de Sahai e Guthrie.
Pelos menos nos casos mais simples, como exemplificado acima, se
torna possvel mensurar o campo de velocidades, tanto em termos de
valores mdios como em ter-mos de flutuaes. Em um certo experimento
sensores de velocidade foram imersos em gua, contida em recipiente
de forma cilndrica e agitada por injeo de ar. Foram produzidas
medidas de velocidade longitudinal, radial e azimutal as quais, aps
o tra-tamento matemtico descrito anteriormente, resultaram em
valores mdios e flutua-es; estas se mostraram dependentes de
variveis como dimetro do cilindro, nvel de lquido, posio do sensor
e vazo de gs. Uma amostra dos resultados apresen-tada na Figura 62.
Observe-se que embora a velocidade radial mdia seja pequena
comparada com a velocidade longitudinal mdia as intensidades das
flutuaes nestes sentidos so da mesma ordem de grandeza; isto as
energias cinticas de turbuln-cia, quadrado das flutuaes em
velocidade, so aproximadamente iguais. De novo ressalta-se a
importncia das flutuaes, tpicas de regimes turbulentos
De modo geral, em fluxos turbulentos se definem Propriedades de
transporte tais como:
t em termos de vx vy ; Mecnica dos Fluidos. kt em termos de vx T
; Transferncia de Calor. Dt em termos de vx C ; Transferncia de
Massa.
e sendo nico o mecanismo de transporte (convectivo via vrtices)
responsvel por estas grandezas, se pode argumentar ser a contribuio
turbulenta muito mais importante que a laminar, em todos os
casos.
-
71
Figura 62: Energia cintica mdia vs Energia cintica de
turbulncia, em sistema particular.
Exemplo: viste o site www.TMS.org, pertencente The Minerals and
Materials Society. Clique no link da JOM (Journal of Materials) e
ento procure por artigos do autor B.J. Thomas. Escolha aquele
entitulado Transient Fluid Flow in a Continuous Steel-Slab Casting
Mold ; Brian G. Thomas, Quan Yuan, S. Sivaramakrishnan, and S.P.
Vanka
(http://www.tms.org/pubs/journals/JOM/0201/Thomas/Thomas-0201.html)
