Apostila - Revisão Operações Fundamentais

REVISO: OPERAES FUNDAMENTAISEstudo dos Sinais(+ ) (+ ) = (+ ) ( ) ( ) = (+ ) (+ ) ( ) = ( ) ( ) (+ ) = ( )

Ordem de ClculoPrimeiro so resolvidas as operaes que estiverem dentro de: PARNTESES ( ) COLCHETES [ ] CHAVES { } Antes de serem efetuadas adies e subtraes, so resolvidas: DIVISES E MULTIPLICAES Propriedades Comutativa a + b = b + a 3 + 5 = 5 + 3 = 8 Associativa (a + b ) + c = a + (b + c) (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5) = 10 Elemento Neutro (0) a + 0 = a 3 + 0 = 3

Adioa + b = c Parcelas Soma

Subtraoa + (b) = a b = c Parcelas Soma

Subtrao a Adio de parcelas negativas O resultado tem o sinal da maior parcela:

+ 10 5 = +5

10 + 5 = 5

10 + 5 20 3 + 15 = 13

+ 3 Multiplicao a Adio de parcelas iguais: 3 5 = 545 45 = 15 1 2+3 vezes o fator 5

Propriedades

Multiplicaoa b = c Fatores Produtos

Comutativa a b = b a 3 5 = 5 3 = 15 Associativa (a b) c = a (b c) (3 2) 5 = 3 (2 5) = 30 Elemento Neutro (1) a 1 = a 3 1 = 3 Distributiva a (b + c) = a b + a c 2 (3 + 5) = 2 3 + 2 5 = 16

(b + c) a = b a + c a (1 + 2) ( 3) = 1 ( 3) + 2 ( 3) = 9

Divisoa =c b

Numerador = Denominador Quociente + RestoLembre-se: No existe diviso por zero b 0 !1

FRAESDefinio 1: Divide um objeto em Partes iguais

Definio 2: Diviso de dois nmeros inteiros 3 2 x 1 ; ; ; 10 100 1000 108

Frao Decimal: Denominador com Potncias de 10 (10n)

Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do trao de frao Adio e Subtrao de Fraes

a a a 1 1 1 = = = = b b b 2 2 2

Mesmo Denominador

a c ac 3 2 3+ 2 5 = + = = =1 5 5 5 5 b b b

Denominadores Diferentes m.m.c. Menor nmero que mltiplo de todos os denominadores Multiplicao de Fraesa c ac = b d bd

a c 1 2 3 10 7 7 = = = b d 5 3 15 5 5

Diviso de Fraes Mantm a Primeira Frao e Inverte a Segundaa 2 a c b = a d 2 5 = 3 = 2 7 = 2 7 = 17 = 3 7 5 3 5 3 5 15 b d c b c 7 d o o2

(2) 5 (2) 5 10 10 = = = 3 3 33 9 9

1

NMEROS DECIMAISAdio e Subtrao Vrgula sob vrgula Multiplicao Obtm-se o produto e somam-se as casas decimais de cada fator Diviso Numerador e denominador devem ter o mesmo nmero de casas decimais2

Evite trabalhar com nmeros decimais! Se o nmero for racional, melhor escrev-lo na forma de frao!

POTNCIAExpoente Inteiro Base a e expoente n Inteiro

Para n inteiro e n > 1a n = a a ..... a3 = 3 3 3 = 273

Para n inteiro e n 1

a1 = a

21 = 2 1000 = 1

a0 = 11 n a n = 1 n a = n a a ((a 00) a )

1 20 = 1 1...... 1 = 12 2 = 2 2 = 4 3 3 9 3

1 1 1 5 3 = 3 = = 5 5 5 125 52 2 3 2 3 3 9 = = = 2 2 4 3 2 2 32

2 1 = 1 = 1 = 1 4 42 4 4 16

3 2 3 3 9 = = = + 4 2 2 2

Propriedades Mesma Base a Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes3 2 3 3 = 3 2 + 3 = 3 5 = 243

a m a n = a m+nam an = am = a m an = a m n , a 0 n a

24 1 1 2 4 2 6 = 6 = 2 4 26 = 2 46 = 2 2 = 2 = 4 2 2

(a m )n = a m n , a 0Mesmo Expoente na n b n = (a b ) n

(2 2 )3 = 2 23 = 2 6 = 64Conserva a operao das bases ( ou ) e mantm o expoente3 2 5 2 = (3 5) 2 = 15 2 = 225

an bn = Lembre-se!

a n a n = ,b 0 bn b

15 3 5 3 =

15 3 15 3 = = 3 3 = 27 3 5 5

Base a negativa e expoente n par

resultado (+)

( 2 ) 2 = ( 2 ) ( 2 ) = +4( 2 ) 3 = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = 8

Base a negativa e expoente n mpar resultado (-) Perceba a diferena!2 2 = 2 222 = 2 8 = 2563

(2 2 )3 = (2 2) 3 = 4 3 = 64

2 2 = (2 2 ) = 4

( 2 ) 2 = ( 2 ) ( 2 ) = +4

Expoente Racionalm n an =

O expoente n uma Frao Irredutvel com n 0 e n 112

a

m

2

3 3 = 32 = 9

3

3

22 =

2

21 = 2

( 32 )

2 5

1 1 2 1 1 1 5 = 5 = = 5 = = 32 32 1024 5 10 4 23

5

RADICIAO4=23

Raiz n-sima de

n

a o nmero x tal que, para n > 1

xn = a

(a = 4 , x = 2 , n = 2 )

xn = a 2 2 = 4

125 = 5

(a = 125 , x = 5 , n = 3) x n = a 5 3 = 125

4

1 1 = 16 2

(a =

1 1 , x = , n = 4) 16 2

1 4 1 xn = a = 16 2

Estudo das Razes

ndice da Raiz n Par Duas Razes Reais Simtricas Positivoa = + 9 Positivo 9 n = 2 Par( + 3 ) 2 = + 9 9=3 ( 3 ) 2 = + 9 3

mpar Uma Raiz Real e Positivaa = + 27 Positivo 27 mpar n = 3( + 3 ) 3 = + 27 27 = + 3 ( 3 ) 3 = 27 + 27

3

Radicando a

No existe Raiz Real Negativoa = 9 Negativo 9 n = 2 Par( + 3 ) 2 = + 9 9 9R ( 3 ) 2 = + 9 9 3

Uma Raiz Real e Negativaa = 27 Negativo 27 mpar n = 3( + 3 ) 3 = + 27 27 27 = 3 ( 3 ) 3 = 27

3

Propriedadesm

a

m

b=

1 m a

1 m b

= (a b ) m =1 m a 1

1

m

ab

25 16 = 25 16 = 400 = 20

Para (b 0)m

a

m

b=m

m

a bp

=

bm

a a = m =m 1 b b

360 10 =

360 10

=

360 = 36 = 6 10

n

a m n

p

p 1 a n = a n = n ap =

2 1 = 2 3 = 2 3 = 3 22 = 3 4 2

3

2

2

a =

m

1 an

1 1m a n = a nm = nm a =

1

3

3=

1 33

1 1 12 3 3 = 3 3 2 = 3 6 = 6 3 =

1

Lembre-se: melhor transformar Radicais em Potncias antes de efetuar as operaes!4

Racionalizao de denominadores

Transformar uma frao que possui no denominador raiz, no possvel de simplificao, em outra equivalente, eliminando a raiz do denominadorcom m < n , multiplica-se o numerador e o denominador porn nm n nm n n nmn

Regra Geral: Se a frao forn nm

an

b

m

b

nm

=n = = = n m n m nm n m+nm m n nm b b b b b bExemplos:3 21

a

a

b

a b

n

nm

a b

a bn

b

a b = b

=

32 1

=

3 25

22 1 22 1

=5

3 22 1 2 22 15

=

3 22 1 21+ 2 15

=

3 21 22

=

2

3 2 2

1 55 2 1 53 53 53 =5 5 =5 =5 = 5 2 5 5 52 55 2 52 53 55

Dica!Transformar Radicais em Potncias ajuda a visualizar melhor as operaes! O mesmo resultado obtido transformando a raiz do denominador em potncia e eliminado a frao desta3 3 3 3 3

55 53 = = = = = = 5 2 2 3 2 3 2 3 5 5 + 51 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 55 1 5 5 55 55

5

Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais Exemplos:a)

87 3

=4 7 3

8 3 32 1 3 4

= 3

87 3 9 34

=

8 9 3 7 33 4 1

=7

83 33 4

=7

87 34

=

81 7 7 3 4

3 32 3

8 = 1 34

3

3

3

=

81 34

3 = 1 3 = + 34 34 4 345 = 51 55 3

34

83 4

83 4

8 33 8 27 = = 4 3 3 2 1 2 1 3 =53 =3 5

4

4

b)

5 5

3

=

54 53

=

5

4 2 5 3

= 1

5

= 55 3 = 5 2

53

5

PRODUTOS NOTVEISPara quaisquer valores de a e b tem-se

(a + b ) (a + b ) = (a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2

(

3 + 2 ) = ( 3) + 2 3 2 + ( 2 ) = 3 + 2 6 + 2 = 5 + 2 62 2 2

(a b ) (a b ) = (a b ) 2 = a 2 ab ba + b 2 = a 2 2 ab + b 2

(2

2 ) = 22 2 2 2 + ( 2 ) = 4 4 2 + 2 = 6 4 22 2

(a + b ) (a b ) = a 2 + ab ba b 2 = a 2 b 2

(1

3 ) (1 + 3 ) = 1 2 ( 3 ) = 1 3 = 22

(a + b ) (a + b ) 2 = (a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2b + 3 ab 2 + b 3

( x + 2 ) 3 = x 3 + 3 x 2 2 + 3 x 2 2 + 23 = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8(a b ) (a b ) 2 = (a b ) 3 = a 3 3 a 2b + 3 ab 2 b 3

( x y ) 3 = x 3 3 x 2 y + 3 x y 2 y3 = x 3 3 x 2 y + 3 x y 2 y3

No Esquea!(a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a b ) 2 = a 2 2 ab + b 2a b = (a + b ) (a b )2 2

Fique Atento!( a + b ) 2 a 2 + b 2 e (a b ) 2 a 2 b 2 ( a + b ) 3 a 3 + b 3 e (a b ) 3 a 3 b 3

Importante!O produto notvela 2 b 2 = (a + b ) (a b )

utilizado para racionalizar fraes que contenham

no denominador operaes de adio ou subtrao com radicais de ndice dois.

(1 6 ) = 2 (1 6 ) = 2 (1 6 ) = 2 (1 6 ) = 2 (1 6 ) 2 2 = 5 1 6 5 1 + 6 1 + 6 (1 6 ) 1 2 ( 6 ) 25 ( 5 + 2) 5 5 ( 5 + 2) = = = 52 5 2 ( 5 + 2) ( 5 ) 2 2 2 1 = 7+ 2

( 5)2 + 254

5

=

5+2 5 =5+2 5 1 7 2 5

( 7 2 ) = 1 ( 7 2 ) = 1 7 + 2 ( 7 2 ) ( 7 )2 ( 2 )2

7 2 = 72

6

REGRA DE TRSOperao onde se calcula propores envolvendo duas ou mais grandezasProporo a igualdade entre duas fraes e as grandezas podem ser direta ou inversamente proporcionais

Proporoa c = b da est para b assim como c est para d

Regra de trs pode ser simples ou compostaRelao de Proporo Para Duas Grandezas Variveis

Direta Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, trs ou x vezes, o valor da outra tambm aumenta ou diminui para duas, trs ou x vezes, respectivamente.

Garrafas de Refrigerante (unidade)

Quantidade (litros)

Queijo (kg)

Preo (R$)

1 2

2 4

1/2

1

8,40 4,20

Inversa Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, trs ou x vezes, o valor da outra diminui ou aumenta para duas, trs ou x vezes, respectivamente.

Pedreiros (n)

Execuo do muro (dias)

Mquina (n)

Produo de 100 velas (horas)

2Procedimentos

1

1Encontrar as grandezas

2

2Montar o raciocnio

4

6Comparar as grandezas

3

Regra de Trs Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvam quatro valores para as duas grandezas, onde trs desses valores so conhecidos. O quarto valor determinado a partir dos trs j conhecidos

Exemplo: Um Pacote de rao alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de rao sero necessrios para aliment-los por um perodo de 75 dias?Rao (pacotes) Perodo (dias)

1 x

25 75

x 75 75 = x= x = 3 pacotes de rao 1 25 25

Regra de Trs Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relao de proporo de cada grandeza separadamente.

Exemplo: Uma obra construda em 200 dias por 20 operrios trabalhando 6 horas por dia. Quantos operrios sero necessrios para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia?Operrios (n) Perodo de trabalho (horas) Durao da Obra (dias)

20 x

6 8

200 100

x 6 200 = x = 30 Operrios 20 8 1007

PORCENTAGEMPorcentagem ou percentagem uma razo centesimal representada pelo smbolo (%) e indica a diviso de um nmero por cem.Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preo percentual ao longo do perodo?

O resultado pode ser obtido atravs de uma regra de trs simples:Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%)

1994 8000 100 2006 13000 x x 13000 1300 O aumento percentual de preo no perodo foi de 62,7% = x= x = 162,5 % 100 8000 8

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDASistema Internacional de Medidas (SI)

Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar

todas as espcies de grandezas, possibilitando ainda a operao com seus mltiplos e submltiplos.

Unidades Fundamentais do SINome Comprimento Massa Tempo Temperatura Termodinmica Intensidade Luminosa metro quilograma segundos Kelvin candela Smbolo

Alguns Prefixos do SI[m] [kg][s]

Intensidade de Corrente Eltricaaa ampre

[A] [K] [cd]

Fator Prefixo Smbolo d deci 101 2 centi c 10 mili m 103 micro 106 nano n 109 kilo k 10 3 6 mega M 10

Exemplos de converso de unidades

Converso de 30 m em m , mm , cm , dm e kmmm

mmmm

cmcm

dmdm

kmkm

6 2 1 3 Conversoa 30 106 102 m 30 103 102 m 30 10 2 1023 30 101 102 m 30 10 3 1033 1 3 1 m 1 3 1 3 1m 2

Valor

3.107 m

30.000 mm

3.000 cm

300 dm

0,03 km

Outras GrandezasMassa Valor original Converter para Converso Valor convertidovv5 kg [g ] 5 103 g 5.000 g

Tempo3h [s] 3 3600 s 10.800 s

Velocidade60 km / h [m / s]

rea120 cm [m]22

Volume10 7 mm 3 [m]3

60 103 m 3600 s16,67 m / s

120 (10 2 m) 2 107 (10 3 m)3 0,012 m 2 0,01 m 38

REVISO: TRIGONOMETRIA - TRINGULO RETNGULO

Tringulo Retngulo todo tringulo que tem um ngulo reto

Catetos Hipotenusa

So os lados que formam o ngulo reto o lado oposto ao ngulo reto

A soma dos ngulos internos em um tringulo vale 180 graus Teorema de Pitgoras Em um tringulo Retngulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos igual ao quadrado da medida da hipotenusaExemplo: Determine o Valor de x no tringulo retngulo abaixo:a = 5x b = 6m c = 4x

90 o + + = 180 o

a2 = b 2 + c2

a2 = b 2 + c2

(5 x )2 = (6 m )2 + (4 x )2 25 x 2 = 36 m 2 + 16 x 225 x 2 16 x 2 = 36 m 2 9 x 2 = 36 m 2 x 2 = 4 m 2

x = 4 m2 x = 2 m

Relaes Trigonomtricas Em Um Tringulo Retngulosen (ngulo) = Cateto Oposto CO = Hipotenusa H cos (ngulo) = Cateto Adjacente CA = Hipotenusa H

tg (ngulo) =

Cateto Oposto CO = Cateto Adjacente CA

Dicas!

Cateto oposto Cateto adjacente

Lado oposto ao ngulo (lado em frente ao ngulo) Lado junto ao ngulo que no a hipotenusa (lado ligado ao ngulo)

Exemplo:Determine os valores dos catetos para o tringulo retngulo

Clculo do cateto bsen (30o ) = CO 1 b CA 1 b = b = 5 m ou cos(60o ) = = b = 5m H 2 10 m H 2 10 m

Clculo do cateto csen (60o ) = 5 3 5 3 CO 3 c CA 3 c = b= m ou cos(30o ) = = b= m H 2 10 m 2 H 2 10 m 29

VALORES DE NGULOS NOTVEIS E NGULOS SIMTRICOSEstudo dos Sinais Mximos e Mnimos das Funes seno e cosseno

Funo

Seno Cosseno Tangente

Valores Notveis 180o 45o = 60o = 30o = 4 3 6 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 23 31

310

VALORES DE NGULOS NOTVEIS (30)Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ngulo (30) com as retas horizontais tracejadas, assim, a tangente do tringulo superior igual razo entre 1 - y e x !

11

VALORES DE NGULOS NOTVEIS (45)

ngulo de 45 indica a diagonal de um quadrado, portanto x deve ser igual a y !

12

VALORES DE NGULOS NOTVEIS (60)

Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ngulo (60) com as retas horizontais tracejadas, formando um tringulo equiltero, logo, x igual a 1/2 !

13

ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMTRICASTringulo Equiltero Trs Lados e Trs ngulos Iguais Tringulo Issceles Dois Lados Congruentes (Dois Lados e Dois ngulos Iguais)

Trapzio Issceles

Dois Lados Congruentes (Dois Lados Iguais)

Trapzio Retngulo

Dois ngulos Retos

14

REVISO: CONJUNTOS NUMRICOS E INTRODUO A FUNESConjuntos NumricosConjuntos dos Nmeros Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos IN = {0, 1, 2, 3, ... } Conjuntos dos Nmeros Inteiros: Inclui nmeros inteiros negativos Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Conjuntos dos Nmeros Racionais: Todo nmero que pode ser escrito na forma de frao Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... } Conjuntos dos Irracionais: dzima no peridica I = {..., COS 45 , ...., , ... } COS 45 = 0,7071067 ... = 3,1415926 ...

Conjuntos dos Reais: Unio dos nmeros Racionais e Irracionais R=QI

Reta orientada que representa os Reais

Reta Real

Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. direita da origem esto os nmeros positivos e esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se abscissa do ponto:

Fechado:Inclui todos os nmeros reais do intervalo,

IntervalosIndica Incluso Indica Excluso = =

incluindo os extremos {x R / 3 x 7} Aberto:Inclui todos os nmeros reais do intervalo, excluindo os extremos {x R / 6 < x < 1} Semi-Abertos:Inclui todos os nmeros reais do intervalo, excluindo um dos extremos {x R / 5 x < 9}

Definio: Dados dois conjuntos A e B, no vazios, uma relao de A em B funo se cada elemento x de A possui somente um nico correspondente em y. Esta relao deve atender duas condies: Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B

Funo

Cada elemento x de A deve ter um nico correspondente y em B

No funo

Funo

No Funo

15

Sistema Cartesiano OrtogonalO sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relao. Este sistema divide o plano em quatro quadrantes: O ponto de interseo dos eixos a origem do sistema O ponto (x, y) so nmeros reais e representam as ordenadas do ponto Onde x a abscissa e y a ordenada desse ponto

Grfico de Uma Relao

Crescimento e Decrescimento de Uma Funo x aumenta e y aumenta: a funo crescente [0, 2] e [7, 10] x aumenta e y diminui: a funo decrescente [2, 7]

Raiz ou Zero da Funo So os pontos onde o grfico corta o eixo x. So chamados razes ou zero da funo, este ltimo pelo fato de suas ordenadas serem nulas So razes ou zeros da funo 0, 4 e 10

Sinal de Uma Funo Se o grfico estiver acima do eixo x: a funo positiva ]0, 4[ Se o grfico estiver abaixo do eixo x: a funo negativa ]4, 10[

16

Classificao de Uma Funo O conjunto A chamado de domnio de f: D= {1,2,3} Cada elemento do domnio representado pela letra x e a varivel independente da funo

O conjunto B chamado de contradomnio de f: B= {1,2,3,4,5} Cada elemento do contradomnio representado pela letra y ou f(x) , que a varivel dependente da funo

O subconjunto de B que possui os elementos de y que esto associados com x chamado de conjunto imagem da funo e indicado por Im: Im= {2,3,4}

A funo f possui domnio em A com imagens em B , ou seja, f:AB (l-se f de A em B) e a expresso de correspondncia do exemple : y = f(x) = x + 1

Funo Par e Funo mparUma funo f: A B Par se, para cada xA, tem-se f ( x ) = f ( x ) Exemplo:f (x) = x 4 + 1 f ( x ) = ( x ) 4 + 1 = x 4 + 1

f ( x ) = f ( x ) Funo ParUma funo f: A B mpar se, para cada xA, tem-se f ( x ) = f ( x ) Exemplo:f (x) = x 3 + x f ( x ) = ( x )3 + ( x ) = x 3 x = ( x 3 + x ) f ( x ) = f ( x ) Funo mpar

17

REVISO: FUNO DE PRIMEIRO GRAUFuno de Primeiro GrauDefinio: Uma Funo cuja expresso da forma y = f ( x ) = ax + b onde a e b so nmeros reais, com a 0 , chama-se funo de primeiro grau. Exemplos:f (x ) = 2x + 5 a = 2 e b = 5

f (x) =

2 2 x a= e b=0 3 3

Grfico de Uma Funo de Primeiro GrauExemplo: y = f ( x ) = 2 x + 1 a = 2 e b = 1 x -2 -1 0 1 2y = f (x) -3 -1 1 3 5 Par ( x , y ) (-2, -3) (-1, -1) (0, 1) (1, 3) (2, 5)

O grfico da funo y = f ( x ) = ax + b uma reta

f ( 2 ) = 2 ( 2 ) + 1 = 4 + 1 = 3 f ( 1) = 2 ( 1) + 1 = 2 + 1 = 1 f ( 0) = 2 ( 0) + 1 = 0 + 1 = 1 f (1) = 2 (1) + 1 = 2 + 1 = 3 f ( 2 ) = 2 ( 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Como o grfico de uma funo de 1 grau uma reta so, necessrios somente dois pontos para represent-lo!

Funo LinearDefinio: Se b = 0 a funo y = f ( x ) denominada de funo linear e seu grfico uma reta que passa pela origem. Exemplo: y = f ( x ) = x a = 1 e b = 0 x -1 0 1y = f (x) 1 0 -1 Par ( x , y) (-1, 1) (0, 0) (1, -1)

Se b = 0, a funo linear e seu grfico passa pela origem!

f ( 1) = ( 1) = 1 f ( 0) = ( 0 ) = 0 f (1) = (1) = 118

Funo ConstanteDefinio: Se a = 0 , a funo y = f ( x ) denominada de funo constante e seu grfico uma reta paralela ao eixo x. Exemplo: y = f ( x ) = 2 a = 0 e b = 2 x -1 0 1y = f (x) 2 2 2 Par ( x , y ) (-1, 2) (0, 2) (1, 2)

Se a = 0, a funo constante e seu grfico paralelo ao eixo x

f ( 1) = 2 f ( 0) = 2 f (1) = 2

Funo constante no uma funo de primeiro grau!

Taxa de Variao Mdia (TVM)Para a funo y = f ( x ) = 2 x + 1 a = 2 e b = 1 tem-se: x -2 -1 0 1 2y = f (x) -3 -1 1 3 5 Par ( x , y ) (-2, -3) (-1, -1) (0, 1) (1, 3) (2, 5)

Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a razo entre a diferena de dois valores quaisquer constante: 1 ( 3) 1 (1) 3 1 5 3 y 2 = = = =2 = = 1 ( 2) 0 (1) 1 0 2 1 x 1

f ( 2 ) = 2 ( 2 ) + 1 = 4 + 1 = 3 f ( 1) = 2 ( 1) + 1 = 2 + 1 = 1 f (0) = 2 (0) + 1 = 0 + 1 = 1 f (1) = 2 (1) + 1 = 2 + 1 = 3 f ( 2 ) = 2 ( 2) + 1 = 4 + 1 = 5

A esta razo chama-se taxa de variao mdia. Sendo x1 e x 2 elementos do domnio de f ( x ) e x 2 > x 1 , tem-se:TVM = y f ( x 2 ) f ( x 1 ) y 2 y 1 = = x x 2 x1 x 2 x1

Para uma funo do tipo y = f ( x ) = ax + b a TVM :

TVM =

y f ( x 2 ) f ( x 1 ) (ax 2 + b) (ax1 + b) ax 2 ax1 = = = x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x

ax ax1 a ( x 2 x 1 ) = =a TVM = 2 x 2 x1 x 2 x1

A constante a chamada de coeficiente angular

Para uma funo de 1 grau, a taxa de variao mdia (TVM) igual a a!19

Coeficiente Angular da Reta

Notar que:tag = y = TVM = a x

A tangente do ngulo que a reta faz com o eixo x fornece a taxa de variao mdia da funo ou Coeficiente Angular da reta!

Coeficiente Linear da RetaA constante b chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em x = 0 .

Em x igual a zero (x = 0), o grfico corta o eixo y em b. A constante b indica o Coeficiente Linear da reta!

Estudo do Sinal de Uma Funo de Primeiro GrauPara analisar o sinal de uma funo deve-se obter a raiz ou zero da funo, ou seja, o valor da abscissa do ponto onde o grfico corta o eixo x, em y = 0 . Assim:

20

Crescimento de Decrescimento de Uma Funo de Primeiro GrauA funo f ( x ) crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Assim, para x e y maiores que zero:y =a>0 x

A funo crescente se a > 0

A funo f ( x ) decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem. Assim, para x ou y menores que zero:y = a < 0 A funo decrescente se a < 0 x

Exemplo: a) y = f ( x ) = x + 1 a = 1 e b = 1 x -2 -1 0 1 2y = f (x) -1 0 1 2 3 Par ( x , y ) (-2, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, 2) (2, 3)

b) y = f ( x ) = x + 1 a = 1 e b = 1 x -2 -1 0 1 2y = f (x) 3 2 1 0 -1 Par ( x , y ) (-2, 3) (-1, 2) (0, 1) (1, 0) (2, -1)

f ( 2) = ( 2) + 1 = 1 f ( 1) = ( 1) + 1 = 0 f ( 0) = ( 0 ) + 1 = 1 f (1) = (1) + 1 = 2 f ( 2) = ( 2) + 1 = 3

f ( 2 ) = ( 2 ) + 1 = 3 f ( 1) = ( 1) + 1 = 2 f ( 0) = ( 0) + 1 = 1 f (1) = (1) + 1 = 0 f ( 2) = ( 2) + 1 = 1

a > 0 f ( x ) crescente

a < 0 f ( x ) decrescent e

21

REVISO: FUNO DE SEGUNDO GRAUFuno de segundo GrauDefinio: Uma Funo cuja expresso da forma y = f ( x ) = ax 2 + bx + c onde a, b e c so nmeros reais, com a 0 , chama-se funo de segundo grau ou funo quadrtica. Exemplos:f ( x ) = x 2 + 4 x + 2 a = 1, b = 3 e c = 2 f ( x ) = 2 x 2 3 x + 1 a = 2, b = 3 e c = 1 f ( x ) = x 2 + 4 x a = 1, b = 4 e c = 0 f ( x ) = 10 x 2 + 4 a = 10, b = 0 e c = 4

Grfico de Uma Funo de Primeiro GrauExemplo: y = f ( x ) = x 2 5 x + 6a = 1, b = 5 e b = 6

O grfico da funoy = f ( x ) = ax 2 + bx + c uma parbola

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = f (x) 30 20 12 6 2 0 0

Par ( x , y ) (-3, 30) (-2, 20) (-1, 12) (0, 6) (1, 2) (2, 0) (3, 0)

f ( 3) = ( 3) 2 5 ( 3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30 f ( 2) = ( 2) 2 5 ( 2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20 f ( 1) = ( 1) 2 5 ( 1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 f (0 ) = ( 0) 2 5 ( 0) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6 f (1) = (1) 2 5 (1) + 6 = 1 5 + 6 = 2 Como o grfico de uma funo de 2 grau 2 f ( 2) = ( 2) 5 ( 2) + 6 = 4 10 + 6 = 0 uma parbola necessrio determinar as 2 razes e seu vrtice para represent-lo! f (3) = (3) 5 (3) + 6 = 9 15 + 6 = 0

Concavidade da ParbolaSe a > 0 Parbola com concavidade voltada para cima Se a > 0 Parbola com concavidade voltada para baixo

22

Razes ou Zeros da Funo de Segundo GrauDefinio: Os pontos onde o grfico y = f ( x ) = ax 2 + bx + c corta o eixo x (em y = 0 ) so chamados razes ou zeros da funo. Para determinar as razes usa-se a frmula de Bhskara ou o mtodo da soma e produto de razes. Frmula de Bhskara Soma e Produto de Razes

y = f ( x ) = ax 2 + bx + cx= b 2a

Atravs da soma e produto das razes possvel determinar as razes (geralmente inteiras) de algumas expresses.Soma = x 1 + x 2 = b+ b+ + 2a 2a

= b 2 4ac x1 = b+ b e x2 = 2a 2a

S=

b + b + 2b b = = 2a 2a a

Exemplo: y = f ( x ) = x 2 5 x + 6a = 1 b = 5 c = 6

b+ b+ Produto = x 1 . x 2 = . 2a 2a b 2 ( b 2 4 ac ) b 2 b 2 + 4 ac = 4a2 4a2

= b 2 4ac = ( 5) 2 4 (1) (6)

Produto =P=

= 25 24 = 1x=x=

4 ac c = 4a2 a

b ( 5) 1 = 2a 2.15 1 2

Exemplo: y = f ( x ) = x 2 5 x + 6a = 1 b = 5 c = 6 S= ( 5) b = =5 a 1

5 +1 x1 = =3 2 5 1 x2 = =2 2

P=

c 6 = =6 a 1

As razes so 2 e 3y = f ( x ) = x 2 5x + 6 y = f ( 2) = 2 2 5 ( 2) + 6y = f ( 2) = 0

Quais so os nmeros cuja soma igual a 5 e o produto igual a 6? Os nmeros so 2 e 3, pois:Soma = 2 + 3 = 5 Produto = 2 3 = 6

y = f (3) = 3 5 (3) + 62

Assim:x1 = 2 e x 2 = 323

y = f (3) = 0

Vrtice da ParbolaO vrtice da parbola o ponto de mnimo, se a > 0 , ou o ponto de mximo, se a < 0 , da funo.

Para a = 0 , tem-se que y = ax 2 + bx + c = c , isto , a parbola corta o eixo y no ponto de ordenada c. Por simetria, existe outro valor de x que resulta em y = c : Para y = c :ax 2 + bx + c = c ax 2 + bx = 0 x (ax + b ) = 0 x1 = 0 x2 = b a

Como o ponto onde x = b xv = a 2

b simtrico em relao ao vrtice: a

xv = Para x v = b 2a

b 2a

2 b 2 2b 2 + 4 ac ( b 2 4ac) b b b2 b2 + b +c= + +c= = = yv = a 4a 2a 4a 4a 4a 2a 2a

yv =

4a

24

Estudo do Sinal de Uma Funo de Segundo GrauPara>0 =0 0

a 0 . Exemplos:f (x ) = 5x f (x) = 2x

1 f (x) = 3

x

Grfico de Uma Funo ExponencialExemplo 1: f ( x ) = 2 xa = 2 a >1

Funo exponencial crescentef (x ) = 2x f ( 3) = ( 2) 3 = 1 / 8 f ( 2 ) = ( 2 ) 2 = 1 / 4 f ( 1) = ( 2) 1 = 1 / 2 f (0) = ( 2) 0 = 1 f (1) = ( 2)1 = 2 f ( 2 ) = ( 2) 2 = 4 f (3) = ( 2)3 = 8

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = f (x)

Par ( x , y )

1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

(-3, 1/8) (-2, 1/4) (-1, 1/2) (0, 1) (1, 2) (2, 4) (3, 8)

Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0,1) x + y + Analisando a tendncia dos valores de y com relao x tem-se que: x y 0

Exemplo 2: f ( x ) = 1 2

x

a = 1 / 2 = 0,5 0 < a < 1

Funo exponencial decrescentef ( x ) = (1 / 2) xf ( 3) = (1 / 2) 3 = 8 f ( 2) = (1 / 2) 2 = 4 f ( 1) = (1 / 2) 1 = 2 f (0) = (1 / 2) 0 = 1 f (1) = (1 / 2)1 = 1 / 2 f ( 2) = (1 / 2) 2 = 1 / 4 f (3) = (1 / 2)3 = 1 / 8

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = f (x)

Par ( x , y )

8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

(-3, 8) (-2, 4) (-1, 2) (0, 1) (1, 1/2) (2, 1/4) (3, 1/8)

Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0,1) x + y 0 Analisando a tendncia dos valores de y com relao x tem-se que: x y +26

Grfico de Uma Funo Exponencial

Se a > 1 Funo exponencial crescente

Se 0 < a < 1 Funo exponencial decrescente

Para f ( x ) = a x

Para f ( x ) = a x

Exemplo 3: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 + 3x A base que tem o expoente x vale 3

Outros Exemplos

a = 3 a > 1 funo crescente

Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0, 2) Exemplo 1: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 + 3x y = f ( x ) = 1 + 3x y = f (0) = 1 + 30 = 1 + 1 = 2 Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0, 2)y = f ( x ) = 1 + 3x y = f (0) = 1 + 30 = 1 + 1 = 2

Exemplo 4: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 + 5 x +1 Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: A base que tem o expoente x vale 5a = 5 x a > 1 funo crescente y =1+ 3

x + y + x y 1

Verificando o ponto onde a funo corta o eixo y (em x = 0 ) Para x + : y = 1 + 3+ = 1 + y + y = f ( x ) = 1 + 5 x +1 y = f (0) = 1 + 50 +1 = 1 + 5 = 6 1 1 Para x : y = 1 + 3 = 1 + + = 1 + = 1 + 0 y 1 3

Exemplo 5: Faa o grfico da funo f ( x ) = 2 + 3x + 2 A base que tem o expoente x vale 3a = 3 a > 1 funo crescente

Verificando o ponto onde a funo corta o eixo y (em x = 0 )y = f ( x ) = 2 + 3x + 2 y = f (0) = 2 + 30 + 2 = 2 + 9 = 1127

Grfico de Uma Funo ExponencialExemplo 2: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 2 2 x Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0, 0)y = f ( x ) = 1 2 2 x y = f (0) = 1 2 0 = 1 1 = 0 x + y Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x y 1

Para x + : y = 1 2 2 ( + ) = 1 2 + = 1 y y = 1 2 2x 1 1 2 ( ) = 1 2 = 1 + = 1 = 1 0 Para x : y = 1 2 2

y 1

Exemplo 3: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 + 5 x +1 Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0, 6)y = f ( x ) = 1 + 5 x +1 y = f (0) = 1 + 5 0 +1 = 1 + 5 = 6 x + y + Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x y 1 y =1+ 5x +1

Para x + : y = 1 + 5 + +1 = 1 + 5 + = 1 + y + 1 +1 = 1 + 5 = 1 + + = 1 + 0 y 1 Para x : y = 1 + 5 5

28

Grfico de Uma Funo ExponencialExemplo 4: Faa o grfico da funo f ( x ) = 3 + 2 1 x Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0, 1)y = f ( x ) = 3 + 2 1 x y = f (0) = 3 + 2 1 0 = 3 + 2 = 1 x + y 3 Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x y +

y = 3 + 2 1 x

1 1 1 ( + ) = 3 + 2 1 = 3 + 2 = 3 + + = 3 + = 3 + 0 Para x + : y = 3 + 2 2 Para x : y = 3 + 2 1 ( ) = 3 + 2 1+ = 3 + 2 + = 3 + y +

y 3

Exemplo 5: Faa o grfico da funo f ( x ) = 2 + 3 x + 2 Em x = 0 , o grfico corta o eixo y no ponto (0,11)y = f ( x ) = 2 + 3 x + 2 y = f (0) = 2 + 3 0 + 2 = 2 + 3 2 = 2 + 9 = 11 x + y + Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x y 2 y= 2+3x+2

Para x + : y = 2 + 3+ + 2 = 2 + 3+ = 2 + y + 1 + 2 = 2 + 3 = 2 + + = 2 + 0 y 2 Para x : y = 2 + 3 3

29

O Nmero Neperiano (ou de Napier) ou Nmero exponencialTambm chamado de nmero de Euler ou de Nper, a constante matemtica e tem grande importncia, pois est presente na formulao de vrios fenmenos naturais (desintegrao radioativa, crescimento populacional, etc.). um nmero irracional e tem valor:

e = 2,718 281 828 459 ...Associada ao nmero neperiano, a funo exponencial de base e uma das mais importantes funes da matemtica:

f(x) = e x

Equaes ExponenciaisDefinio: Uma equao exponencial possui expoentes como incgnita. So equaes exponenciais:2x = 8 3x 5 = 343 5 x + 2 5 x + 3 = 25

Antes: Lembretes de Potenciao e Radiciaoa m a n = a m+n am anan

= a mn, a 0n

(a m ) n = a m n , a 0n a n = am m

a n b n = (a b ) n

a = ,b0 n b b

Para resolver equaes exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade:

Se duas potncias tm a mesma base, ento os expoentes so iguais. Assim, para a > 0 e a 0:

am = an m = n

30

Equaes ExponenciaisExemplo 1: Resolva a equao 2 x = 32Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se:2 x = 32 2 x = 25 2 x = 25 x = 5

Se a equao exponencial tem a mesma base, possvel igualar os expoentes:

Exemplo 2: Resolva a equao 5 x + 4 = 25Reduzindo a mesma base: Igualando os expoentes:5 x + 4 = 25 5 x + 4 = 52 5 x + 4 = 5 2 x + 4 = 2 x = 2 4 x = 2

x+2 3 3x Exemplo 3: Resolva a equao 2 = 3 2

Reduzindo a mesma base:

2 3

x+2

3 = 2

3x

2 x + 2 2 1 = 3 3

3x

2 x + 2 2 3x = 3 3

Igualando os expoentes:

2 3

x+2

2 = 3

3 x

x + 2 = 3 x 5 x = 2 x =

2 5

2 Exemplo 4: Resolva a equao 32 x x = 1 27


32 x x =2

2 2 1 1 32 x x = 3 32 x x = 3 3 27 3


32 x x = 3 3 2 x x 2 = 3 2 x x 2 + 3 = 0 x 2 + 2 x + 3 = 02

a = 1 b = 2 c = 3 b c Resolvendo a equao de 2 grau x 2 + 2 x + 3 = 0 : Soma = = 2 e Produto = = 3 a a x1 = 1 e x 2 = 3 2x 2 =5

Exemplo 5: Resolva a equao

8 3x3x 1 x 2 2 2 =8 5


2

x 2

=

5

8

3x

(

)

x 2 3x 2 = 23 5 2

( )

9x x 2 2 =2 5 2


9x x 2 2 = 2 5 x 2 = 9 x 5 (x 2 ) = 2 (9 x ) 5 x 10 = 18 x x = 10 2

2

5

1331

Equaes ExponenciaisExemplo 6: Resolva a equao 3x + 3x +1 3x 1 = 11 9

Primeiramente, reduzir a equao a um membro em cada lado da igualdade:3x + 3x +1 3x 1 = 11 11 3x 11 3x + 3x 31 3x 31 = 3 x + 3.3 x = 9 9 3 9

Colocando em evidncia 3x :11 3x 11 1 11 11 3 1 x x 11 11 x 3 + 3 3 = 3 1 + 3 = 3 = 3 = 9 3x = = = 31 3 9 3 9 11 9 11 3 3 9 3x x

Com a mesma base, possvel igualar os expoentes: 3x = 31 x = 1x Exemplo 7: Resolva a equao 4 + 4 = 2 x 5x 2 4x + 4 = 2x 4x + 4 = 5 2x 22 5 2x + 4 = 0 2x 5 2x + 4 = 0 5

( )

( )

Fazendo uma mudana de varivel do tipo m = 2x e substituindo na equao:

(2x ) 2 5 2x + 4 = 0 m 2 5 m + 4 = 0 Soma = b = 5 e Pr oduto = c = 4 m a a

a = 1 b = 5 c = 4

1 = 1 e m2 = 4

Fazendo novamente a troca da varivel m = 2 x :Para m = 1 m = 2 x 1 = 2 x 20 = 2 x x = 0 Para m = 4 m = 2 x 4 = 2 x 2 2 = 2 x x = 2

Exemplo 8: Resolva a equao e 2 x e x +1 = 0e 2 x e x +1 = 0 e x

( ) 2 e1 e x = 0

Fazendo uma mudana de varivel do tipo m = e x e substituindo na equao:m 2 e m = 0 m (m e) = 0 m = 0 ou m e = 0 m = e ou 2 e x e1 e x = 0 m 2 e m = 0 a = 1 b = e c = 0 Soma = b = e e Produto = c = 0 m = 0 e m = e 1 2 a a

( )

Fazendo novamente a troca da varivel m = e x :Para m = 0 m = e x 0 = e x x IR Para m = e m = e x e = e x e1 = e x x = 1 Re sp {1}32

LogaritmosDefinio: O logaritmo de um nmero b na base a, com a > 0 , b > 0 e a 1 , um nmero x tal que:

log b = x a x = baOnde: b indica o logaritmandoa indica a base x indica o logaritmo Exemplo 1: Calcule o logaritmo log 8 2

O logaritmo de 8 na base 2 : log 2 8 = x 8 = 2 x 23 = 2 x x = 3Exemplo 2: Calcule o logaritmo log 3 3

O logaritmo de

3 na base 3 : log 3 = x 36

1 3 = 3 x 31/2 = 3 x x = 3

Exemplo 3: Calcule o logaritmo log

3636 = x 36 =

O logaritmo de 36 na base

6 : log

6

( 6 )x1 x

6 2 = 6 1/2

( )x

2=

1 x x=4 2

Exemplo 4: Calcule o logaritmo log 5 5

O logaritmo de 5 na base 5 : log 5 = x 5 = 5 5

x

5 =5

x =1

log a a = 1

Logaritmos decimais so aqueles cuja base 10. Nos logaritmos decimais normalmente a base omitida:

log 10 b = log bExemplo 5: Calcule o logaritmo log 100

O logaritmo decimal de 100 : log 100 = x 100 = 10 x 10 2 = 10 x x = 2Logaritmos neperianos ou naturais so aqueles cuja base e . Os logaritmos naturais so representados da seguinte forma:

log e b = ln b33

Propriedades dos Logaritmos Resultantes da DefinioPara a > 0 , b > 0 e a 1 :

log a a m = mExemplo 1: Calcule o logaritmo log 2 2 4

log a 1 = 0

a

log ba

=b

O logaritmo de 24 na base 2 : log 2 4 = x 2 4 = 2 x x = 4 2Exemplo 2: Calcule o logaritmo log 1 9

O logaritmo de 1 na base 9 : log 1 = x 1 = 9 x 9 0 = 9 x x = 0 9log 3 9

Exemplo 3: Calcule 3

Fazendo 3 3log 3 9

log 3 9

= x e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equao:log 3 9

= x log 3 33

= log 3 x log 3 9 = log 3 x3 3

log 9 = log x log 3 2 = log x 2 = log x 3 2 = x x = 93 3

Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo log 5 5

O logaritmo de 5 na base 5 : log 5 = x 5 = 5 x 5 1 = 5 x x = 1 5Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo ln e 3

O logaritmo neperiano de e 3 : ln e 3 = x log e 3 = x e 3 = e x x = 3 e

Propriedades Operatrias dos Logaritmos

log a (m n ) = log a m + log a nPara m > 0 , n > 0 , a > 0 , a 1 e p IR :

m log = log m log n a n a a

log a m p = p log a m34

Propriedades Operatrias dos LogaritmosExemplo 1: Dado log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 calcule log 6

O logaritmo decimal de 6 : log 6 = log ( 2 3) = log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778Exemplo 2: Dado log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 calcule log 12 log 4 12 log 12 log 4 = log = log 3 = 0,477 4

Exemplo 3: Dado log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 calcule log 36

log 36 = log ( 2 2 32 ) = log 2 2 + log 32 = 2 log 2 + 3 log 3 = 2 0,301 + 2 0, 477 = 1,556m 5n 23

Exemplo 4: Dado log m = 2 x , log n = x e log p = 3x , calcule log

p2

log

m5n 2

2 3 = log m 5 n 2 log p 2 = log m 5 + log n 2 log p 2 / 3 = 5 log m + 2 log n log p 3 2 3 p

(

)

2 2 5 log m + 2 log n log p = 5 2 x + 2 x 3x = 10 x + 2 x 2 x = 10 x 3 3Mudana de Base Para resolver operaes que envolvam Logaritmos com bases diferentes.

log n m =

log m log n

Exemplo 1: Dado log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 , calcule log 3 2log 3 0,477 O logaritmo de 3 na base 2 : log 3 = = = 1,585 2 log 2 0,301

Exemplo 2: Calcule log 8 log 3 log 4 log 5 3 4 5 2log 3 8 log 4 3 log 5 4 log 2 5 = log 8 log 3 log 4 log 5 log 3 log 4 log 5 log 2

Simplificando:log 8 log 3 log 4 log 5 =3 4 5 2

log 8 = log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 log 2

35

Funes LogartmicasUma funo logartmica definida como f ( x ) = log x , onde a 1 e a > 0 . A base do logaritmo x a e a o domnio da funo logartmica composto pelos IR * . +Exemplos:f ( x ) = log x3

f ( x ) = log

1/ 3

x

Grfico de Uma Funo LogartmicaExemplo 1: f ( x ) = log x 2a = 2 a >1 y = f (x)

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Par ( x , y )

f ( x ) = log x2

Funo logartmica crescente2

-3 -2 -1 0 1 2 3

(1/8, -3) (1/4, -2) (1/2, -1) (1, 0) (2, 1) (4, 2) (8, 3)

f (1 / 8) = log (1 / 8) = log 2 3 = 32

f (1 / 4) = log (1 / 4) = log 2 2 = 22 2

f (1 / 2) = log (1 / 2) = log 2 1 = 12 2

f (1) = log 1 = log 2 = 0f ( 2) = log 2 = 12

0

2

2

f ( 4) = log 4 = log 2 2 = 22 2

f (8) = log 8 = log 23 = 32 2

Em y = 0 , o grfico corta o eixo x no ponto (1, 0) x + y + Analisando a tendncia dos valores de y com relao x tem-se que: x 0 y

Exemplo 2: f ( x ) = log x 1/ 2a = 1/ 2 0 < a < 1

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

y = f (x)

Par ( x , y )

f ( x ) = log1 / 2 xf (1 / 8) = log1 / 2 (1 / 8) = log 1 / 2 2 3 = 3 f (1 / 4) = log1 / 2 (1 / 4) = log1 / 2 2 2 = 2 f (1 / 2) = log1 / 2 (1 / 2) = log1 / 2 2 1 = 1 f (1) = log1 / 2 1 = log1 / 2 2 0 = 0

Funo logartmica decrescente

3 2 1 0 -1 -2 -3

(1/8, -3) (1/4, -2) (1/2, -1) (1, 0) (2, 1) (4, 2) (8, 3)

f ( 2) = log

1/ 2

2 = 1

f ( 4 ) = log1 / 2 4 = log1 / 2 2 2 = 2 f (8) = log1 / 2 8 = log1 / 2 23 = 3

Em y = 0 , o grfico corta o eixo x no ponto (1, 0) x + y Analisando a tendncia dos valores de y com relao x tem-se que: x 0 y +36

Grfico de Uma Funo LogartmicaSe a > 1 Funo logartmica crescente Se 0 < a < 1 Funo logartmica decrescente

Para f ( x ) = log x a

Para f ( x ) = log x a

Outros ExemplosExemplo 1: Faa o grfico da funo f ( x ) = log5 (1 + x )

Em y = 0 , o grfico corta o eixo x no ponto (0, 0) :y = f ( x ) = log (1 + x ) 0 = log (1 + x ) 5 0 = 1 + x 1 = 1 + x x = 05 5

Na funo dada, o logaritmando diferente de x ( b x ). Para avaliar os valores que x pode assumir na funo, utiliza-se a condio de que b positivo ( b > 0 ). Assim: 1 + x > 0 Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: ] 1, + [ x + y + Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x 1 y x > 1

y = log (1 + x )5

Para x + : y = log (1 + ) y = log ( + ) 5 y = + 5 y = 5+ y + 5 5 Para x 1 : y = log 5 [1 + ( 1)] = log 5 (1 1) y = log 5 (0) 5 y = 0 5 y = 5 y

37

Grfico de Uma Funo LogartmicaExemplo 2: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 + log3 x

Rearranjando a funo: f ( x ) = 1 + log3 x = log3 3 + log3 x f ( x ) = log3 (3x ) Em y = 0 , o grfico corta o eixo x no ponto (1 / 3, 0) :y = f ( x ) = log (3x ) 0 = log (3x ) 3 0 = 3x 1 = 3x x = 1 / 33 3

Como b > 0 , tem-se: 3x > 0 x > 0 . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir ] 0, + [ . x + y + Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x 0 y

y = log (3x )3

Para x + : y = log 3 (3x ) = log 3[3 ( + )] = log 3 ( + ) 3 y = + 3 y = 3+ Para x 0 : y = log 3 (3 0) = log 3 ( 0) y = log 3 (0) 3 y = 0 3 y = 3

y +

y

Exemplo 3: Faa o grfico da funo f ( x ) = log1 / 4 (2 + x )

Em y = 0 , o grfico corta o eixo x no ponto (1, 0)y = f ( x ) = log1/ 4

( 2 + x ) 0 = log

1/ 4

( 2 + x ) (1 / 4) 0 = 2 + x 1 = 2 + x x = 1

Como b > 0 , tem-se: 2 + x > 0 x > 2 . O intervalo de valores que x pode assumir ] 2, + [ . x + y Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x 2 y +

y = log

1/ 4

(2 + x )

Para x + : y = log1 / 4 ( 2 + ) y = log1 / 4 ( + ) (1 / 4) y = + 4 y = 4 + y Para x 2 : y = log1 / 4 [( 2 + ( 2 )] y = log1 / 4 (0) (1 / 4 ) y = 0 4 y = 0 4 y = 4 y +

38

Grfico de Uma Funo LogartmicaExemplo 4: Faa o grfico da funo f ( x ) = 1 log3 x

Rearranjando a funo:f ( x ) = 1 log3 x = log3 3 log3 x = log3 3 x

f ( x ) = 1 log3 x = log3 3 log3 x = log3 (3 / x )

f ( x ) = log 3 (3 / x ) = log3 ( x / 3) 1 = (1) log3 ( x / 3) Fazendo uma mudana de base:f ( x ) = (1) log3 ( x / 3) = (1) f ( x ) = (1) log ( x / 3) log 3

log ( x / 3) log ( x / 3) log ( x / 3) = = log 3 (1) log 3 log 31 = log31

f (x) =

log ( x / 3) log 31

( x / 3)

f ( x ) = log1 / 3 ( x / 3) Em y = 0 , o grfico corta o eixo x no ponto (3, 0)y = f ( x ) = log1/ 3

( x / 3) 0 = log

1/ 3

( x / 3) (1 / 3) 0 = x / 3 1 = x / 3 x = 3

Para x / 3 > 0 x > 0 . O intervalo de valores que x pode assumir ] 0, + [ . x + y Analisando a tendncia dos valores de y em relao x tem-se que: x 0 y +

y = log

1/ 3

( x / 3)

Para x + : y = log1 / 3 ( + / 3) y = log1 / 3 ( + ) (1 / 3) y = + 3 y = 3+ y Para x 0 : y = log1 / 3 (0 / 3) y = log1 / 3 (0) (1 / 3) y = 0 3 y = 0 3 y = 3 y +

39

REVISO: FUNES E EQUAOES MODULARESConceitoO conceito de mdulo pode ser associado distncia de um ponto na reta dos reais em relao origem:

Apesar do bloco A estar na posio -10 unidades e o bloco B, 10 unidades, ambos esto mesma distncia: 10 unidades.

Outros exemplos Somar -4 subtrair 4 a + ( 4 ) a 4-13C 13C abaixo de zero

Mdulo ou Valor AbsolutoDefinio: Mdulo ou valor absoluto de um nmero real o prprio nmero se este for positivo ou nulo, e seu oposto, caso seja negativo. Assim: x , se x 0 |x|= x , se x < 0

Lembrar que:|x| 0

|x| = x2

2

x = |x|2

Exemplos:|5| = 5 | 5 | = ( 5) = 5

Se a 0 e | x | = a , ento x = a ou x = a

| 10 1 | = 10 1

| 6 4 | = ( 6 4) = 6 + 4

x 2 , se x 2 0 x 2 |x 2| = ( x 2) = x + 2 , se x 2 < 0 x < 2

x 2 4 x + 3 , se x 2 4 x + 3 0 x 1 ou x 3 2 | x 4x + 3 | = 2 2 2 ( x 4 x + 3) = x + 4 x 3 , se x 4 x + 3 < 0 1 < x < 340

Funo Modular x , se x 0 Definio: a funo real f ( x ) = | x | onde f ( x ) = x , se x < 0

Exemplos: f ( x ) = | x |

f (x) = | x | + 2

f (x) = | x 1 |2

f ( x ) = | 2 x | + 10

Grfico de Uma Funo ModularExemplo 1: f ( x ) = | x | x -3 -2 -1 0 1 2 3y = f (x) Par ( x , y )

3 2 1 0 1 2 3

(-3, 3) (-2, 2) (-1, 1) (0, 0) (1, 1) (2, 2) (3, 3)

f (x ) = | x |

f ( 3) = | 3 | = 3 f ( 2) = | 2 | = 2 f ( 1) = | 1 | = 1 f (0) = | 0 | = 0 f (1 ) = | 1 | = 1 f ( 2) = | 2 | = 2 f (3) = | 3 | = 3

Exemplo 2: f ( x ) = | x + 2 | x -5 -4 -3 -2 -1 0 1y = f (x) Par ( x , y )

3 2 1 0 1 2 3

(-5, 3) (-4, 2) (-3, 1) (-2, 0) (-1, 1) (0, 2) (1, 3)

f (x) = | x + 2 |

f ( 5) = | 5 + 2 | = | 3 | = 3 f ( 4) = | 4 + 2 | = | 2 | = 2 f ( 3) = | 3 + 2 | = | 1 | = 1 f ( 2) = | 2 + 2 | = | 0 | = 0 f ( 1) = | 1 + 2 | = | 1 | = 1 f ( 0) = | 0 + 2 | = | 2 | = 2 f ( 1 ) = |1 + 2 | = | 3 | = 3

Grfico de Uma Funo ModularSe a funo modular for do tipo f(x) = | g(x) | possvel usar o seguinte procedimento: 1 - Identificar g(x) e fazer seu grfico 2 - Girar a parte negativa do grfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x41

Grfico de Uma Funo Modular do Tipo f(x) = | g(x) |Exemplo 1: f ( x ) = | 2 x 2 |

f ( x ) = | g( x ) | g( x ) = 2x 2

Grfico de g( x ) = 2x 2Exemplo 2: f ( x ) = | x 5 x + 6 |2

Grfico de f ( x ) = | g( x ) | = | 2x 2 |

f ( x ) = | g ( x ) | g ( x ) = x 5x + 62

Grfico de g( x ) = x 5x + 62

Grfico de f ( x ) = | g( x ) | = | x 5x + 6 |2

Exemplo 3: f ( x ) = | 4 + 2

1 x

|1 x

f ( x ) = | g( x ) | g( x ) = 4 + 2

Grfico de g( x ) = 4 + 2

1 x

Grfico de f ( x ) = | g( x ) | = | 4 + 2

1 x

|42

Grfico de Uma Funo ModularOutros tipos de funes modulares e suas representaes grficas:Exemplo 1: f ( x ) = 2 x | x |Para x 0 | x | = x f ( x ) = 2 x ( x ) = 2 x 2 f (x ) = 2x | x | = 2 Para x < 0 | x | = x f ( x ) = 2 x ( x ) = 2 x

Exemplo 2: f ( x ) = | x + 1 | + | x 1 |

f ( x ) = |1 +3| + |1 3| x21 x21f ( x )1 f (x)2

f ( x )1 = | x + 1 | raiz x = 1 f ( x ) 2 = | x 1 | raiz x = 1

assim:

2 x , para x 1 f ( x ) = | x + 1 | + | x 1 | = 2, para 1 < x < 1 2 x , para x 1

43

Equaes ModularesDefinio: So equaes que envolvem funes modulares. Exemplo 1: | 2 x + 1 | = 1

necessrio analisar as duas condies. Resolvendo:Para 2 x + 1 0 2 x + 1 = 1 x = 0 Para 2 x + 1 < 0 2 x 1 = 1 x = 1

Testes

Para x = 0 :| 2x + 1 | = 1 | 2 0 + 1 | = 1 | 1 | = 1

Para x = 1 :| 2 x + 1 | = 1 | 2 ( 1) + 1 | = 1 | 2 + 1 | = 1 | 1 | = 1

A soluo da equao S = {1, 0}Exemplo 2: | 3x 3 | = | x 5 |

necessrio analisar as duas condies escolhendo apenas uma das funes modulares para inverter o sinal. Resolvendo: Para x = 1 :Para 3x 3 0 3x 3 = x 5 x = 1 Para 3x 3 < 0 3x + 3 = x 5 x = 2 | 3x 3 | = | x 5 | | 3 ( 1) 3 | = | ( 1) 5 | | 3 3 | = | 1 5 | | 6 | = | 6 |

Testes

Para x = 2 :| 3x 3 | = | x 5 | | 3 2 3 | = | 2 5 | | 6 3 | = | 3 | | 3 | = | 3 |

A soluo da equao S = {1, 2}Exemplo 3: | 2 x 1 | = x 4

necessrio garantir a existncia do mdulo, pois | x | 0 , assim:x40 x4

Testes

Resolvendo:Para 2 x 1 0 2 x 1 = x 4 x = 3 Para 2 x 1 < 0 2 x + 1 = x 4 x = 5 / 3

Para x = 3 :| 2 x 1 | = x 4 | 2 ( 3) 1 | = 3 4 | 6 1 | = 7 | 7 | = 7 no serve , pois | x | 0

Para x = 5 / 3 :| 2 x 1 | = x 4 | 2 (5 / 3) 1 | = 5 / 3 4 | 10 / 3 1 | = 7 / 3 | 7 / 3 | = 7 / 3 no serve , pois | x | 0

A soluo da equao S =

44

Equaes ModularesExemplo 4: | x 4 | = 3x2

necessrio garantir a existncia do mdulo:3x 0 x 0

x 1 = 1 2 2 2 Para x 4 0 x 4 = 3x x 3x 4 = 0 razes x 2 = 4 Resolvendo: x = 4 Para x 2 4 < 0 x 2 + 4 = 3x x 2 3x + 4 = 0 razes 1 x 2 = 1

A soluo da equao S = {1, 4}Testes

Para x = 4 :| x 4 | = 3x | ( 4) 4 | = 3 ( 4) | 16 4 | = 12 | 12 | = 12 no serve , pois | x | 02 2

Para x = 1 :| x 4 | = 3x | ( 1) 4 | = 3 ( 1) | 1 4 | = 3 | 3 | = 3 no serve , pois | x | 02 2

Para x = 1 :| x 4 | = 3x | (1) 4 | = 3 1 | 1 4 | = 3 | 3 | = 3 serve , pois | x | 02 2

Para x = 4 :| x 4 | = 3x | ( 4) 4 | = 3 4 | 16 4 | = 12 | 12 | = 12 serve , pois | x | 02 2

Exemplo 5: | x | + | x | 2 = 02

Fazer | x | = a e substituir na equao modular: x 1 = 2 2 2 | x | + | x | 2 = 0 a + a 2 = 0 equao do 2 grau com razes x 2 = 1| x | = 2 no serve , pois | x | 0 Substituindo novamente: | x | = a | x | = 1 x = 1, pois | 1 | = 1 x = 1 , pois | 1| = 1

A soluo da equao S = {1,1}45

Equaes ModularesExemplo 6: | x 3 | + | x + 1 | = 10f ( x )1 = | x 3 | raiz x = 3 f ( x ) = | x + 1 | raiz x = 1 2

| x 3 | + | x + 1 | = 10 1 3 1 3 2 2f ( x )1 f (x)2

assim, para | x 3 | + | x + 1 | = 10 a soluo pode ser:1 Caso : 2 x + 2 = 10 x = 4 2 Caso : 4 10 No tem soluo 3 Caso : 2 x 2 = 10 x = 6

Testes

Para x = 4 :| x 3 | + | x + 1 | = 10 | 4 3 | + | 4 + 1 | = 10 | 7 | + | 3 | = 10 7 + 3 = 10

Para x = 6 :| x 3 | + | x + 1 | = 10 | 6 3 | + | 6 + 1 | = 10 | 3 | + | 7 | = 10 3 + 7 = 10

A soluo da equao S = {4, 6}Exemplo 7: | x 3 | | x + 1 | = 2

| x 3 | | x + 1 | = 2 1 3 1 3 2 2f ( x )1 f (x)2

f ( x )1 = | x 3 | raiz x = 3 f ( x ) = | x + 1 | raiz x = 1 2

assim, para | x 3 | | x + 1 | = 2 a soluo pode ser:1 Caso : 2 2 No tem soluo 2 Caso : 2 x + 2 = 2 x = 2 3 Caso : 4 2 No tem soluo

Teste

Para x = 2 :| x 3 | | x + 1 | = 2 | 2 3 | | 2 + 1 | = 2 | 1 | | 3 | = 2 1 3 = 246

A soluo da equao S = {2}

REVISO: INEQUAESFuno de Primeiro GrauDefinio: Uma inequao se caracteriza pela presena dos seguintes sinais de desigualdade:

> , < , ou Exemplos:

Inequaes do 1 Grau

2x + 1 0 x 4 < 10 + x 5 2 ( x + 1) 4 < x 1 x+3 0 x1

Inequaes do 2 Grau

2x 2 8x + 6 > 0 6x 2 5x + 1 0 x 2 2x 1 < 0 1 3x 2 + 2x + 0 3

Inequaes Produto e Quociente Produto( 2x 4) ( 2 3x ) < 0

Quocientex5 0 2x

Uma inequao do tipo produto ou quociente resolvida atravs do estudo dos sinais das funes que fazem parte da inequao. Inicialmente, so

determinados os sinais de cada

funo, separadamente, na reta dos reais.

Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que satisfazem a inequao.47

Inequaes Produto e QuocienteExemplo 1: Resolva a inequao ( 3x + 6) ( 2 x 8) < 0 Primeiramente, estudam-se os sinais de cada funo ( 3x + 6) ( 2 x 8) < 0 separadamente: 1 24 1 2 3 4 3 4 4f ( x )1 f (x)2

Sinal de f ( x ) 1f ( x ) 1 = 3x + 6 3x + 6 = 0 x=2

Sinal de f ( x ) 2f (x ) 2 = 2x 8 2x 8 = 0 x=4

Na reta dos reais: Os valores de x que satisfazem a inequao, fazendo com que o produto ( 3x + 6) ( 2 x 8) seja menor que zero, so: S = { x IR / x < 2 ou x > 4} Exemplo 2: Resolva a inequao x + 3 0 1 x Muito cuidado com inequaes do tipo quociente! Nunca cancele o denominador se nele aparecer uma incgnita. Se na inequao aparecer ou , lembrar que a raiz da funo no denominador no faz parte da soluo, pois no existe diviso por zero!f ( x )1 } Estudando os sinais de x + 3 0 tem-se: 1 x { f (x)2

Sinal de f ( x ) 1f (x) 1 = x + 3 x+3=0 x = 3

Sinal de f ( x ) 2f (x) 2 = 1 x 1 x = 0 x =1

Na reta dos reais:

Os valores de x que satisfazem a inequao, fazendo com que o quociente de x + 3 seja maior 1 x ou igual zero, so: S = { x IR / 3 x < 1} . O valor 1 foi excludo da soluo, pois torna o denominador3 1 3 348

igual

zero:

Inequaes Produto e QuocienteExemplo 3: Resolva a inequao3 0 , ax 2 + bx + c < 0 , ax 2 + bx + c 0 ouax 2 + bx + c 0 , onde a, b e c so constantes com a 0 , chamada de inequao do segundo grau.

Exemplos: x 2 + 3 x + 10 0x 2 10 x + 25 0 x 2 2x 1 < 0 x 2 + 2x + 1 > 0

Uma inequao do 2 Grau resolvida atravs do estudo do sinal da funo. Exemplo 1: Resolva a inequao x 2 x 2 < 0a = 1, b = 1 e c = 2 Grfico: Soma = b = 1 e Produto = c = 2 x 1 = 1 e x 2 = 2 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) = x 2 x 2 deve ser menor que zero:

Os valores de x que satisfazem a inequaox 2 x 2 < 0 , fazendo com que seu resultado seja

menor que zero, so: S = { x IR / 1 < x < 2}

Exemplo 2: Resolva a inequao x 2 + 3x + 10 0

A soluo de f ( x ) = x 2 + 3x + 10 deve ser menor ou igual zero:

a = 1, b = 3 e c = 10 Grfico: Soma = b = 3 e Produto = c = 10 x 1 = 2 e x 2 = 5 a a a < 0 Parbola com concavidad e para baixo

Os valores de x que satisfazem a inequao x 2 + 3x + 10 0 , fazendo com que seu resultado seja

menor ou igual zero, so: S = { x IR / 2 x 5}

Exemplo 3: Resolva a inequao x 2 5x + 6 0a = 1, b = 5 e c = 6 Grfico: Soma = b = 5 e Produto = c = 6 x 1 = 2 e x 2 = 3 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) = x 2 5 x + 6 deve ser maior ou igual zero:

Os

valores

de

x

que

satisfazem

a

inequao

x 2 5 x + 6 0 , fazendo com que seu resultado seja maior

ou igual zero, so: S = { x IR / x 2 ou x 3}51

Inequaes do Segundo GrauExemplo 4: Resolva a inequao x 2 4 x + 4 0a = 1, b = 4 e c = 4 Grfico: Soma = b = 4 e Produto = c = 4 x 1 = 2 e x 2 = 2 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) = x 2 4 x + 4 deve ser menor ou igual zero:

Os valor de x que satisfaz a inequao x 2 4 x + 4 0 , fazendo com que seu resultado seja menor ou igual zero, : S = { 2}

Exemplo 5: Resolva a inequao x 2 + 2 x 5 0a = 1, b = 2 e c = 5 = b 2 4 ac = 16 x = b 2a 2 16 1 2 4 i Grfico: x = 2 16 = = 2.1 2 2 x = 1 2 i x = 1 + 2 i e x = 1 2 i 1 2 a < 0 Parbola com concavidad e para baixo

A soluo de f ( x ) = x 2 + 2 x 5 deve ser maior ou igual zero:

Lembrar que:i=

1

No existem valores de x que satisfazem a inequao x 2 + 2 x 5 0 . Isso ocorre porque a parbola tem concavidade voltada para baixo e a funof ( x ) = x 2 + 2 x 5 . Paralelo a isso, a funo tem razes imaginrias e, portanto,

seu grfico no corta o eixo real x. Sendo assim, a soluo : S = { } ou S = .Exemplo 6: Resolva a inequao 3x 2 4 x + 2 0a = 3, b = 4 e c = 2 = b 2 4 ac = 8 x = b 2a ( 4 ) 8 4 8 1 4 2 2 i = = Grfico: x = 2 .3 6 6 x = 2 2 i x = 2 + 2 i e x = 2 2 i 1 2 3 3 6 a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) = 3x 2 4 x + 2 deve ser maior ou igual zero:

Os valores de x que satisfazem a inequao 3x 2 4 x + 2 0 , fazendo com que seu resultado seja maior ouigual a zero, so os reais: S = {IR }52

Inequaes do Segundo GrauExemplo 7: Resolva a inequao 0 < x 2 5 x 14

Primeiramente, resolve-se o sistema:x 2 5x > 0 2 x 5 x 14 x 2 5x > 0 2 x 5 x 14 0 f ( x )1 = x 2 5 x 2 f ( x ) 2 = x 5 x 14

Soluo de f ( x ) 1 : f ( x ) 1 = x 2 5 xa = 1, b = 5 e c = 0 Grfico: Soma = b = 5 e Produto = c = 0 x 1 = 0 e x 2 = 5 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de

f ( x ) 1 = x 2 5x

deve ser maior que zero:

Soluo de f ( x ) 2 : f ( x ) 2 = x 2 5 x 14a = 1, b = 5 e c = 14 Grfico: Soma = b = 5 e Produto = 14 x 1 = 2 e x 2 = 7 a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) 2 = x 2 5 x 14 deve ser maior que zero:

Na reta dos reais e fazendo a interseco:

Os valores de x que satisfazem a inequao 0 < x 2 5 x 14 , fazendo com que o resultado da funo f ( x ) = x 2 5 x pertena ao intervalo

] 0, 14] , so:

S = { x IR / 2 x < 0 ou 5 < x 7 }

Exemplo 8: Resolva a inequao (x 2 + 2 x + 7 )(x 2 7 x + 6 ) 0

Estudam-se os sinais de cada funo (x 2 + 2 x + 7 ) (x 2 7 x + 6 ) 0 separadamente: 14243 14243 4 4 4 4f ( x )1 f (x) 2

Soluo de f ( x ) 1 : f ( x ) 1 = x 2 + 2 x + 7a = 1, b = 2 e c = 7 = b 2 4 ac = 24 x = b 2a 2 24 2 24 1 = x = Grfico: 2 .1 2 2 46 i 2 2 6 i = x = 2 2 x = 1 6 i x1 = 1 + 6 i e x 2 = 1 6 i a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) 1 = x 2 + 2 x + 7 deve ser menor ou igual zero:

53

Inequaes do Segundo GrauSoluo de f ( x ) 2 : f ( x ) 2 = x 2 7 x + 6a = 1, b = 7 e c = 6 Grfico: Soma = b = 7 e Produto = c = 6 x 1 = 1 e x 2 = 6 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) 2 = x 2 7 x + 6 deve ser menor ou igual zero:


Os valores de x que satisfazem a inequao do segundo grau, fazendo com que o produto

(x 2 + 2 x + 7 )(x 2 7 x + 6 ) 0

seja menor

ou igual zero, so: S = { x IR / 1 x 6} Exemplo 9: Resolva a inequaox x2 0 x 2 + 2x 3f (x)

6 8 71 2 Estudando os sinais de cada funo 2 x x 0 separadamente: x 4 2x 3 +24 1 3f ( x )2

Soluo de f ( x ) 1 : f ( x ) 1 = x x 2a = 1, b = 1 e c = 0 Grfico: Soma = b = 1 e Produto = c = 0 x 1 = 0 e x 2 = 1 a a a < 0 Parbola com concavidad e para baixo

A soluo de f ( x ) 1 = x x 2 deve ser maior ou igual zero:

Soluo de f ( x ) 2 : f ( x ) 2 = x 2 2 x 3a = 1, b = 2 e c = 3 Grfico: Soma = b = 2 e Produto = c = 3 x 1 = 1 e x 2 = 3 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) 2 = x 2 + 2 x 3 deve ser maior ou igual zero:


Os valores de x que satisfazem a inequao, fazendo com que o quociente sejamaior ou igualx x2 x 2 + 2x 3

zero,

so:

S = { x IR / 1 < x 0 ou 1 x < 0} . Os

valores -1 e 3 foram excludos da soluo, pois tornam o denominador nulo.54

Inequaes do Segundo GrauExemplo 10: Resolva a inequao2 >0 x 2 14 x + 45

Como o numerador negativo e o quociente deve ser positivo, necessrio que o denominador tambm seja negativo ( ) = ( + ) > 0 . Assim: ( )2

Resolvendo a inequao x 14 x + 45 < 0a = 1, b = 14 e c = 45 Grfico: Soma = b = 14 e Produto = c = 45 x 1 = 5 e x 2 = 9 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

A soluo de f ( x ) = x 2 14 x + 45 deve ser menor que zero:

Os valores de x que satisfazem a inequao, fazendo com que o quociente2 > 0 seja maior que zero, so: S = { x IR / 5 < x 9} . x 14 x + 452

x 2 4 < 0 Exemplo 11: Resolva o sistema 2 x 3x < 0

Cada inequao deve ser resolvida separadamente:f ( x )1 = x 2 4

A soluo de f ( x )1 = x 2 4 deve ser menor que zero:

a = 1, b = 0 e c = 4 Grfico: Soma = b = 0 e Produto = c = 4 x 1 = 2 e x 2 = 2 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

Como b = 0 , outra forma de se determinar as razes : x 2 4 = 0 x = 4 x = 2f ( x ) 2 = x 3x2

A soluo de f ( x ) 2 = x 2 3x deve ser menor que zero:

a = 1, b = 3 e c = 0 Grfico: Soma = b = 3 e Produto = c = 0 x 1 = 0 e x 2 = 3 a a a > 0 Parbola com concavidad e para cima

Como c = 0 , outra forma de se determinar as razes : x 2 3x = 0 x ( x 3) = 0 x 1 = 0 e x 2 = 3 Para determinar os valores de x que satisfazem as duas inequaes feita uma interseco. Os valores de x que satisfazem o sistema de inequaes, fazendo com que x 2 4 < 0 e x 2 3x < 0 , so: S = { x IR / 0 < x < 2} .55

Inequaes ExponenciaisDefinio: Qualquer inequao que apresente funes exponenciais.3 x +1

Exemplos:

3

3

3

1 5

2x

0x x

Se a Inequao Exponencial for: Crescente Manter o sinal da desigualdade Decrescente Inverter o sinal da desigualdade

Exemplo 1: 2

x 2

2

3 x 12

4 x + 2 > 3x 12

7 x > 14

x > 2

x+2>0

g(x) = x + 2 Funo do 1 grau com raiz { x = 2

Soluo: {x IR / x > 2}58

Inequaes LogartmicasDefinio: Qualquer inequao que apresente funes logartmicas.

Exemplos: log 2 x < log 2 5

log 1 / 2 ( x + 1) log 1 / 2 (3 x )

log 5 x 3

log 1 / 3 ( x 1) + log 1 / 3 ( x + 1) > 1

Se a Inequao Logartmica for: Crescente Manter o sinal da desigualdade (a > 1) Decrescente Inverter o sinal da desigualdade (0 < a < 1)

Exemplo 1: log 2 x < log 2 5

Como a funo f ( x ) = log 2 x uma funo crescente, o sinal da desigualdade ser mantido.a = 2 a > 1 Funo crescente manter o sinal da desigualda de

Assim, para satisfazer a inequao o valor de x deve ser menor que 5 ( x < 5 ). Por outro lado, o logaritmando b deve ser positivo ( log a b ) para que a funo f ( x ) exista (condio de existncia)x < 5 x 5 < 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 5 log 2 x < log 2 5 e x > 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 0

Como as duas condies devem ser satisfeitas ao mesmo tempo ( x 5 < 0 e x > 0 ), um sistema de inequaes deve ser resolvido. O conjunto soluo deve apresentar os valores de x que substitudos emf ( x ) resulte em um valor menor que log 2 5 . Assim:x 5 < 0 { g(x) x >0 h { ) (x

Soluo: {x IR / 0 < x < 5}59

Inequaes LogartmicasTestes

Um valor para 0 < x < 5 pode ser x = 1 , substituindo na inequao:log 2 x < log 2 5 log 2 1 < log 2 5 log 2 2 5 pode ser x = 16 , substituindo na inequao:log 2 x < log 2 5 4 < 2,322 log 2 16 < log 2 5 log 2 2 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = -1

log 1/2 (x + 1) log 1/2 3

Um sistema de inequaes deve ser resolvido, pois duas condies devem ser satisfeitas simultaneamente. O conjunto soluo deve apresentar os valores de x que substitudos em f ( x ) resulte em um valor maior ou igual a log 1/ 2 3 .

x 2 0 { g(x) x + 1 > 0 { h(x)

Soluo: {x IR / 1 < x 2}60

Inequaes LogartmicasTestes

Um valor para 1 < x 2 pode ser x = 0 , substituindo na inequao:log 1 / 2 ( x + 1) log 1 / 2 3 log 1 / 2 (0 + 1) log 1 / 2 3 log 1 / 2 1 0 1,585 log 3 log 1 / 2 1 1,585 1 3 2 log (1 / 2)0

Verdadeiro , indicando que 0 pertence soluo

Um valor para x > 2 pode ser x = 3 , substituindo na inequao:log 1 / 2 ( x + 1) log 1 / 2 3 log 1 / 2 (3 + 1) log 1 / 2 3 log 1 / 2 4 log 1 / 2 (1 / 2)2

log 3 2 log 1 / 2 2 1,585 log (1 / 2)

1,585 ( 2) log 1 / 2 (1 / 2) 1,585 14 4 2 31

2 1,585 Falso, indicando que 3 no pertence soluo

Outros exemplos:Exemplo 3: log 1 / 3 ( x + 1) > log 1 / 3 (3 x )a = 1 / 2 0 < a < 1 inverter o sinal da desigualda de

Para satisfazer a inequao o valor de ( x + 1) deve ser menor que o valor de ( 3 x ). Porm, para que as funes logartmicas existam, necessrio que e o logaritmando b de ambas seja positivo. Se ( x + 1 < 3 x ) , fazendo ( x + 1 > 0) garante um valor positivo para b nos lados da desigualdade.x + 1 < 3 x 2 x 2 < 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 1 log 1 / 3 ( x + 1) > log 1 / 3 (3 x ) e x + 1 > 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 1

Resolvendo o sistema:2 x 2 < 0 1 3 2 g(x) 3 x > 0 { h(x)

Soluo: {x IR / 1 < x < 1}61

Inequaes LogartmicasExemplo 4: log 3 x 2a = 3 a > 1 manter o sinal da desigualda de

Rearranjando log 3 x 2 log 3 x (2) log 3 3 log 3 x log 3 3 13 21 2

log 3 x log 3

1 1 log 3 x log 3 2 9 3

O sistema de inequaes resultante :x 1 / 9 x 1 / 9 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 1/9 1 log 3 x log 3 e 9 x > 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 0

Resolvendo o sistema:x 1/ 9 123 0 g(x) x >0 h { ) (x

Soluo: {x IR / 0 < x 1 / 9}Exemplo 5: log 1 / 3 ( x 1) + log 1 / 3 ( x + 1) > 1a = 1 / 2 0 < a < 1 inverter o sinal da desigualda de

Rearranjando log 1 / 3 ( x 1) + log 1 / 3 ( x + 1) > 1 log 1 / 3 ( x 1) ( x + 1) > log 1 / 3 (1 / 3)1

log 1 / 3 ( x 1) ( x + 1) > (1) log 1 / 3 (1 / 3) 1 24 4 31

log 1 / 3 ( x 1) ( x + 1) > log 1 / 3 3

O sistema de inequaes resultante :

x1 = 2 2 ( x 1) ( x + 1) < 3 x 4 < 0 Funo do 2 grau com razes x 2 = 2 e log 1 / 3 ( x 1) ( x + 1) > log 1 / 3 3 x 1 > 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 1 e x + 1 > 0 Funo do1 grau crescente com raiz { x = 1 62

Inequaes LogartmicasResolvendo o sistema: 2 x2 3 1 4 < 0 g(x) x 1 > 0 { h(x) x + 1 > 0 { i(x )

Soluo: {x IR / 1 < x < 2}

Inequaes ModularesDefinio: So inequaes que envolvem funes modulares.

Exemplos: | x | 3

| x +1| < 2

| x 1| 32

|x|>4

Exemplo 1: | x | 3

Os valores de x que satisfaz a inequao so:x 3 | x | 3 ou x 3 x 3 0

Soluo: {x IR / 3 x 3}Exemplo 2: | x | > 4

Os valores de x que satisfaz a inequao so:x > 4 | x | > 4 ou x > 4 x < 4

Soluo: {x IR / x < 4 ou x > 4}63

Inequaes ModularesPara a > 0

Se a Inequao Modular for: | f(x) | < a - a < f(x) a f(x) < - a ou f(x) > a

Outros exemplos:Exemplo 3: | x 1 | 32

2 2 2 Funo do 2 grau com razes x 1 3 x 4 x 4 0 2 | x 1| 3 2 2 x + 1 3 x 2 x 2 No tem soluo real

x 1 = 2 x 2 = 2

Soluo: {x IR / x 2 ou x 2}x 3 5 2

Exemplo 4:

x 3 5 x 3 10 x 13 2 x 3 5 2 x + 3 5 x + 3 10 x 7 2

Soluo: {x IR / 7 x 13}

Lembrar que: S possvel multiplicar em cruz se no denominado no houver a varivel x.

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Apostila - Revisão Operações Fundamentais