REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS - wiki.urca.brwiki.urca.br/dcc/lib/exe/fetch.php?media=apostila_-_revisao_opera... · Transformar uma fração que possui no denominador raiz, não

REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Estudo dos Sinais

)()()( +=+⋅+ )()()( +=−⋅− )()()( −=−⋅+

)()()( −=+⋅−

Ordem de Cálculo

Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de:

PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { }

Antes de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas:

DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES

Adição

SomaParcelas

cba↓↓↓

=+

Propriedades

Comutativa → abba +=+ 83553 =+=+⇒

Associativa → )cb(ac)ba( ++=++ 10)52(35)23( =++=++⇒

Elemento Neutro (0) → a0a =+ 303 =+⇒

→ Subtração é a Adição de parcelas negativas

O resultado tem o sinal da maior parcela:

131532051055105510 −=+−−+−−=+−+=−+

Subtração

SomaParcelas

cba)b(a↓↓↓

=−=−+

Multiplicação

ProdutosFatores

cba↓↓↓

=⋅

Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 15555535fatorovezes3

=++=⋅ 43421

Propriedades

Comutativa → abba ⋅=⋅

153553 =⋅=⋅⇒

Associativa → )cb(ac)ba( ⋅⋅=⋅⋅ 30)52(35)23( =⋅⋅=⋅⋅⇒

Elemento Neutro (1) → a1a =⋅ 313 =⋅⇒

Distributiva → caba)cb(a ⋅+⋅=+⋅ 165232)53(2 =⋅+⋅=+⋅⇒

acaba)cb( ⋅+⋅=⋅+ 9)3(2)3(1)3()21( −=−⋅+−⋅=−⋅+⇒

Divisão

cba=

Numerador = Denominador × Quociente + Resto

Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 !

1

FRAÇÕES

Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais →

Definição 2: Divisão de dois números inteiros →

Adição e Subtração de Frações

Mesmo Denominador

Denominadores Diferentes

m.m.c.

Multiplicação de Frações Divisão de Frações

dbca

dc

ba

⋅⋅=⋅

910

910

335)2(

35

3)2(

−=−

=⋅⋅−

=⋅−

Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda

cd

ba

dcba

dc

ba

21

⋅==÷↓↓oo

1517

5372

57

32

7532

75

32 =

⋅⋅=⋅==÷⇒

NÚMEROS DECIMAIS

Adição e Subtração

“Vírgula sob vírgula”

Multiplicação

Obtém-se o produto e somam-se

as casas decimais de cada fator

Divisão

Numerador e denominador devem ter

o mesmo número de casas decimais

Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10n)

ba

ba

ba −=

−=−

21

21

21 −=

−=−⇒

bca

bc

ba ±=± 15

55

2352

53 ==+=+⇒

dc

ba ± 5

757

15103

32

51 −=−=−=−⇒

Menor número que é múltiplo

de todos os denominadores

Evite trabalhar com números decimais!

Se o número for racional, é melhor

escrevê-lo na forma de fração!

8101;

1000x;

1003;

102 −

Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração

2

POTÊNCIA

Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro

Para “n” inteiro e 1n >

a.....aaa n ⋅=

273333 3 =⋅⋅= 11......11120 =⋅⋅=

94

32

32

32 2

=⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

161

441

41

41

2

2=

⋅==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Lembre-se!

Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) ( ) ( ) ( ) 4222 2 +=−⋅−=−

Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=−

Propriedades

Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes

nmnm aaa +=⋅ 2433333 53232 ===⋅ +

0a,aaaaaaa nmnm

n

mnm ≠=⋅==÷ −− 41

212222

2222 2

264646

464 ====⋅==÷ −−−

( ) 0a,aa nmnm ≠= ⋅ ( ) 64222 63232 === ⋅

Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente

( )nnn baba ⋅=⋅ ( ) 225155353 2222 ==⋅=⋅

0b,ba

baba

n

n

nnn ≠⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==÷ 2735

155

15515 33

3

333 ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==÷

)0a(a1a n

n

≠

=−

n mnm

aa =

33 232

933 == 2222 12

1== ( ) 4

1

2

11024

1321

32132 5 10

555 25

2

52

===⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=− −

Perceba a diferença!

256222 82222 3

=== ⋅⋅ ( ) ( ) 644222 3332 ==⋅= ( ) 42222 −=⋅−=− ( ) ( ) ( ) 4222 2 +=−⋅−=−

Para “n” inteiro e 1n ≤

aa 1 = 221 =⇒

1a 0 = 11000 =⇒

1251

5551

515 3

3 =⋅⋅

==⇒ −

49

23

23

23

32 22

=⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒

−

49

23

23

23

32 22

+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⇒

−

)0a(a1a n

n

≠

=−

Expoente Racional O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0n ≠ e 1n ≠

3

RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de n a é o número “x” tal que, para 1n >

24 = )2n,2x,4a( ===⇒ ax n =⇒ 42 2 =⇒

51253= )3n,5x,125a( ===⇒ ax n =⇒ 1255 3 =⇒

21

1614 =

)4n,2

1x,161a( ===⇒ ax n =⇒ 16

121 4

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⇒

Propriedades

( ) mm1

m1

m1

mm babababa ⋅=⋅=⋅=⋅

2040016251625 ==⋅=⋅

Para ( )0b ≠

63610360

10

36010360 ====÷ mm1

m1m1

m

mmmba

ba

b

a

b

aba =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛===÷

n pnpp

n1pn aaaa ==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 33 23

223123 42222 ===⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

mnmn1m

1

n1m

n1

m n aaaaa ⋅⋅ ==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

661

2312

1

31

31

3 333333 ===⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== ⋅

Índice da Raiz “n”

Par Ímpar

Radicando

“a”

Positivo

Duas Raízes Reais Simétricas

⎩⎨⎧

→=→+=

⇒Par2nPositivo9a

9

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−

+=+⇒±=

93

9339

2

2

Uma Raiz Real e Positiva

⎩⎨⎧

→=

→+=⇒

Ímpar3nPositivo27a

273

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+≠−=−

+=+⇒+=

27273

273327

3

33

Negativo

Não existe Raiz Real

⎩⎨⎧

→=→−=

⇒−Par2nNegativo9a

9

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−≠+=−

−≠+=+⇒∉−

993

993R9

2

2

Uma Raiz Real e Negativa

⎩⎨⎧

→=

→−=⇒−

Ímpar3nNegativo27a

273

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

−≠+=+⇒−=−

273

27273327

3

33

ax n =

Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações!

Estudo das Raízes

4

Transformar uma fração que possui no denominador raiz, não possível de simplificação, em outra equivalente, eliminando a raiz do denominador

Racionalização de denominadores

Regra Geral: Se a fração for n m

b

a com nm < , multiplica-se o numerador e o denominador por n mnb

−

bba

b

ba

b

ba

bb

ba

b

b

b

a

b

an mn

n n

n mn

n mnm

n mn

n mnm

n mn

n mn

n mn

n mn m

−−

−+

−

−

−

−

−===

⋅=⋅=

Exemplos: 223

2

23

2

23

22

23

2

2

2

3

2

3

2

32

1

121

12

12

12

12

12

2 1=⋅=⋅=

⋅

⋅=⋅==−+

−

−

−

−

−

55

5

5

55

51

5

5

5

1

5

15 3

5 5

5 3

5 32

5 3

5 25

5 25

5 25 2==

⋅

⋅=⋅=−

−

Dica! Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações!

O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e

eliminado a fração desta

55

55

5

5

5

5

55

51

5

5

5

1

5

15 3

153

5553

53

52

53

53

52

53

5353

525 2

====

⋅

⋅=⋅=+

Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais

Exemplos:

a) 41

71

477

477

43

7 31

497 3

497 3

41

27 3 42

3

8

3

8

3

8

33

8

33

8

33

8

333

8

333

8 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

==

⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

==

⋅

=

3278

338

3

38

3

38

3

3

3

844 3

44

43

43

41

43

4343

41 =⋅=⋅=⋅=⋅=

+

b) 331

3213

2

32

21

343

4313

55555

5

5

5

5

5

5

55

5

55

5 ===⋅==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

==

⋅

=−−

5

PRODUTOS NOTÁVEIS

Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se

( ) ( ) ( ) 22222 bab2abbaababababa ++=+++=+=+⋅+

( ) ( ) ( ) 62526232232323 222 +=++=+⋅⋅+=+

( ) ( ) ( ) 22222 bab2abbaababababa +−=+−−=−=−⋅−

( ) ( ) 24622442222222 222 −=+−=+⋅⋅−=−

( ) ( ) 2222 babbaabababa −=−−+=−⋅+

( ) ( ) ( ) 231313131 22 −=−=−=+⋅−

( ) ( ) ( ) 322332 bab3ba3abababa +++=+=+⋅+

( ) 8x12x6x22x32x3x2x 2332233 +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+

( ) ( ) ( ) 322332 bab3ba3abababa −+−=−=−⋅−

( ) 322332233 yyx3yx3xyyx3yx3xyx −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−

Não Esqueça! ( ) 222 bab2aba ++=+

( ) 222 bab2aba +−=−

( ) ( )bababa 22 −⋅+=−

Fique Atento! ( ) 222 baba +≠+ e ( ) 222 baba −≠−

( ) 333 baba +≠+ e ( ) 333 baba −≠−

O produto notável ( ) ( )bababa 22 −⋅+=− é utilizado para racionalizar frações que contenham

no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois.

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )5

6125

61261

612

61612

6161

612

612

22−−=

−−=

−−=

−

−⋅=−−⋅

+=

+

( )( )

( )( )

( ) 5251525

45525

25255

2525

255

255 2

22 +=+=−+=

−

+⋅=++⋅

−=

−

( )( )

( )( ) ( ) 5

2727

2727

2712727

271

271

22−=

−−=

−

−⋅=−−⋅

+=

+

Importante!

6

REGRA DE TRÊS

Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvamquatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é determinado a partir dos três já conhecidos

Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão necessários para alimentá-los por um período de 75 dias?

Ração (pacotes) Período (dias)

1 25

x 75

Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de proporção de cada grandeza separadamente.

Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia?

Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias)

20 6 200

x 8 100

Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis

Direta → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.

Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$)

1 2 1 8,40

2 4 1/2 4,20

Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.

Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas)

1 2 4 3

2 1 2 6

↑ ↑ ↓ ↓

↑ ↑ ↓↓

Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas

↑ ↑ raçãodepacotes3x25

75x2575

1x =⇒=⇒=

30x100200

86

20x =⇒⋅= Operários

↑ ↓↓

Operação onde se calcula proporções envolvendo duas ou mais grandezas

Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser

direta ou inversamente proporcionais

Regra de três pode ser simples ou composta

Proporção

dc

ba =

“a” está para “b” assim como “c” está para “d”

7

PORCENTAGEM

Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica adivisão de um número por cem. Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período?

O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples:

Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%) 1994 8000 100 2006 13000 x ↑ ↑

%5,621x81300x8000

13000100

x =⇒=⇒= O aumento percentual de preço no período foi de 62,7%

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA

UUnniiddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddoo SSII

NNoommee SSíímmbboolloo

CCoommpprriimmeennttoo mmeettrroo ]m[

MMaassssaa qquuiillooggrraammaa ]kg[

TTeemmppoo sseegguunnddooss ]s[

IInntteennssiiddaaddee ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaaaa aammppèèrree ]A[

TTeemmppeerraattuurraa TTeerrmmooddiinnââmmiiccaa KKeellvviinn ]K[

IInntteennssiiddaaddee LLuummiinnoossaa ccaannddeellaa ]cd[

AAllgguunnss PPrreeffiixxooss ddoo SSII

FFaattoorr PPrreeffiixxoo SSíímmbboolloo 110− ddeeccii d 210− cceennttii c 310− mmiillii m 610− mmiiccrroo μ 910− nnaannoo n 310 kkiilloo k 610 mmeeggaa M

Exemplos de conversão de unidades

Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar

todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos.

Conversão de m30 em mμ , mm , cm , dm e km mμ mm cm dm km

Conversãoa

321m

66 m101030μ

−××

321mm

33 m101030 −×× 321cm

22 m101030 −×× 321dm

11 m101030 −×× 321

km

33 m101030 ×× −

Valor m10.3 7μ mm000.30 cm000.3 dm300 km03,0

Outras Grandezas Massa Tempo Velocidade Área Volume

Valor original kg5 h3 h/km60 2cm120 37 mm10 Converter para ]g[ ]s[ ]s/m[ 2]m[ 3]m[

Conversão g105 3× s36003× s3600m1060 3× 22 )m10(120 −× 337 )m10(10 −×

Valor convertidovv g000.5 s800.10 s/m67,16 2m012,0 3m01,0

8

REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO

Triângulo Retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto

Catetos São os lados que formam o ângulo reto

Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto

A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus oo 180βα90 =++

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa

222 cba +=

Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:

Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo

Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”)

Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”)

HCO

HipotenusaOpostoCateto(ângulo)sen ==

HCA

HipotenusaAdjacenteCateto(ângulo)cos ==

CACO

AdjacenteCatetoOpostoCateto(ângulo)tg ==

x5a =

m6b =

x4c =

222 cba +=

( ) ( ) ( )222 x4m6x5 += ⇒ 222 x16m36x25 +=

222 m36x16x25 =− ⇒ 2222 m4xm36x9 =⇒= ⇒ m2xm4x 2 =⇒=

Dicas!

Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo

Cálculo do cateto “b”

m5bm10b

21

HCO)30(sen =⇒=⇒=o ou m5bm10

b21

HCA)60cos( =⇒=⇒=o

Cálculo do cateto “c”

m235bm10

c23

HCO)60(sen =⇒=⇒=o ou m2

35bm10c

23

HCA)30cos( =⇒=⇒=o

9

VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS

Função

Valores Notáveis π→o180

630 π

=o

445 π

=o 3

60 π=o

Seno 21

22

23

Cosseno 23

22 2

1

Tangente 33 1 3

Estudo dos Sinais Máximos e Mínimos das Funções seno e cosseno

10

VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º)

Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontais tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre “1 - y” e “x” !

11


Ângulo de 45º indica a diagonal de um quadrado, portanto “x” deve ser igual a “y” !

12


Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo, “x” é igual a 1/2 !

13

ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Dois Lados Congruentes (Dois Lados e Dois Ângulos Iguais)

Triângulo Isósceles

Três Lados e Três Ângulos Iguais Triângulo Equilátero

Dois Lados Congruentes (Dois Lados Iguais)

Trapézio Isósceles

Dois Ângulos Retos Trapézio Retângulo

14

REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES

Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é

função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y.

Esta relação deve atender duas condições:

Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B

Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B

Conjuntos Numéricos

Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos

IN = {0, 1, 2, 3, ... }

Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração

Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... }

Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica

I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ... π = 3,1415926 ...

Conjuntos dos Reais: União dos números Racionais e Irracionais

R = Q ∪ I

Intervalos

Indica Inclusão

Indica Exclusão

∪ =

∩ =

Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo,

incluindo os extremos ⇒ }7x3/Rx{ ≤≤−∈ →

Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo,

excluindo os extremos ⇒ }1x6/Rx{ <<−∈ →

Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo,

excluindo um dos extremos ⇒ }9x5/Rx{ <≤∈ →

Reta orientada que representa os Reais

Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se abscissa do ponto:

Reta Real

Função

Não função Função Não Função

15

Sistema Cartesiano Ortogonal

O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema divide o plano em quatro quadrantes:

Gráfico de Uma Relação

Crescimento e Decrescimento de Uma Função

x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10]

x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7]

Raiz ou Zero da Função

São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São chamados raízes ou zero da função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas

São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10

Sinal de Uma Função

Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[

Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[

⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema

⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto

⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto

16

Classificação de Uma Função

Função Par e Função Ímpar

Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f −=

Exemplo:

1x)x(f 4 +=

1x1)x()x(f 44 +=+−=−

ParFunção)x(f)x(f −=

Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f −=−

Exemplo:

xx)x(f 3 +=

)xx(xx)x()x()x(f 333 +−=−−=−+−=−

ÍmparFunção)x(f)x(f −=−

O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3}

Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a variável independente da função

O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5}

Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou f(x) , que é a variável dependente da função

O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão associados com x é chamado de conjunto imagem da função e indicado por Im: Im= {2,3,4}

A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja,

f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência

do exemple é:

y = f(x) = x + 1

17

REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

Função Linear

Definição: Se 0b = a função )x(fy = é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa

pela origem.

Exemplo: 0be1ax)x(fy =−=⇒−==

Função de Primeiro Grau

Definição: Uma Função cuja expressão é da forma bax)x(fy +== onde “a” e “b” são números reais,com 0a ≠ , chama-se função de primeiro grau.

Exemplos:

5be2a5x2)x(f ==⇒+=

0be32ax3

2)x(f =−=⇒−=

Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau

Exemplo: 1be2a1x2)x(fy ==⇒+==

O gráfico da função bax)x(fy +== é uma reta x )x(fy = )y,x(Par -2 -3 (-2, -3) -1 -1 (-1, -1) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 5 (2, 5)

3141)2(2)2(f −=+−=+−=−1121)1(2)1(f −=+−=+−=−

1101)0(2)0(f =+=+=3121)1(2)1(f =+=+=5141)2(2)2(f =+=+=

x )x(fy = )y,x(Par-1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 -1 (1, -1)

1)1()1(f =−−=−0)0()0(f =−=1)1()1(f −=−=

Como o gráfico de uma função de 1º grau é uma reta são,

necessários somente dois pontos para representá-lo!

Se b = 0, a função é linear e seu gráfico passa pela origem!

18

Taxa de Variação Média (TVM)

Para a função 1be2a1x2)x(fy ==⇒+== tem-se:

Função Constante

Definição: Se 0a = , a função )x(fy = é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta

paralela ao eixo x.

Exemplo: 2be0a2)x(fy ==⇒==

x )x(fy = )y,x(Par -1 2 (-1, 2)0 2 (0, 2) 1 2 (1, 2)

2)1(f =−2)0(f =2)1(f =

Se a = 0, a função é constante e seu gráfico é paralelo ao eixo x

Função constante “não é” uma função de primeiro grau!

x )x(fy = )y,x(Par -2 -3 (-2, -3) -1 -1 (-1, -1) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 5 (2, 5)

3141)2(2)2(f −=+−=+−=−1121)1(2)1(f −=+−=+−=−

1101)0(2)0(f =+=+=3121)1(2)1(f =+=+=5141)2(2)2(f =+=+=

Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante:

212

xy

1235

0113

)1(0)1(1

)2(1)3(1 ==

ΔΔ=

−−=

−−=

−−−−=

−−−−−−

A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo 1x e 2x elementos do domínio de )x(f e 12 xx > , tem-se:

12

12

12

12

xxyy

xx)x(f)x(f

xyTVM

−−

=−−

=ΔΔ=

Para uma função do tipo bax)x(fy +== a TVM é:

12

12

12

12

12

12

xxaxax

xx)bax()bax(

xx)x(f)x(f

xyTVM

−−

=−

+−+=

−−

=ΔΔ=

axx)xx(a

xxaxaxTVM

12

12

12

12 =−−

=−−

=

Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”!

A constante “a” é chamada de coeficiente angular

19

Coeficiente Angular da Reta

Notar que:

aTVMxytag ==

ΔΔ

=α

A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x fornece a taxa de variação média da função ou Coeficiente Angular da reta!

Coeficiente Linear da Reta

A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0x = .

Em x igual a zero (x = 0), o gráfico corta o eixo y em “b”. A constante “b” indica o Coeficiente Linear da reta!

Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau

Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0y = . Assim:

20

Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau

A função )x(f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Assim, para xΔ e yΔ maiores que zero:

0axy

>=ΔΔ

A função )x(f é decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem. Assim, para xΔ ou yΔ menores que zero:

0axy

<−=ΔΔ

Exemplo:

a) 1be1a1x)x(fy ==⇒+== b) 1be1a1x)x(fy =−=⇒+−==

A função é crescente se 0a >

A função é decrescente se 0a <

x )x(fy = )y,x(Par-2 -1 (-2, -1) -1 0 (-1, 0) 0 1 (0, 1) 1 2 (1, 2) 2 3 (2, 3)

11)2()2(f −=+−=−01)1()1(f =+−=−

11)0()0(f =+=21)1()1(f =+=31)2()2(f =+=

x )x(fy = )y,x(Par -2 3 (-2, 3) -1 2 (-1, 2) 0 1 (0, 1) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1)

31)2()2(f =+−−=−21)1()1(f =+−−=−

11)0()0(f =+−=01)1()1(f =+−=

11)2()2(f −=+−=

crescenteé)x(f0a ⇒> edecrescenté)x(f0a ⇒<

21

REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU

Concavidade da Parábola

Função de segundo Grau

Definição: Uma Função cuja expressão é da forma cbxax)x(fy 2 ++== onde “a”, “b” e “c” são números reais, com 0a ≠ , chama-se função de segundo grau ou função quadrática.

Exemplos:

2ce3b,1a2x4x)x(f 2 ===⇒++= 0ce4b,1ax4x)x(f 2 ==−=⇒+−=

1ce3b,2a1x3x2)x(f 2 =−==⇒+−= 4ce0b,10a4x10)x(f 2 ==−=⇒+−=

Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau

Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−==

6be5b,1a =−==

O gráfico da função

cbxax)x(fy 2 ++== é uma parábola

x )x(fy = )y,x(Par-3 30 (-3, 30) -2 20 (-2, 20) -1 12 (-1, 12) 0 6 (0, 6) 1 2 (1, 2) 2 0 (2, 0) 3 0 (3, 0)

3061596)3(5)3()3(f 2 =++=+−−−=−2061046)2(5)2()2(f 2 =++=+−−−=−

126516)1(5)1()1(f 2 =++=+−−−=−66006)0(5)0()0(f 2 =++=+−=

26516)1(5)1()1(f 2 =+−=+−=061046)2(5)2()2(f 2 =+−=+−=

061596)3(5)3()3(f 2 =+−=+−=

Como o gráfico de uma função de 2º grau é

uma parábola é necessário determinar as raízes e seu vértice para representá-lo!

Se a > 0 ⇒ Parábola com concavidade voltada para cima

Se a > 0 ⇒ Parábola com concavidade voltada para baixo

22

Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau

Definição: Os pontos onde o gráfico cbxax)x(fy 2 ++== corta o eixo x (em 0y = ) são chamados

raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e

produto de raízes.

Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes

Através da soma e produto das raízes é

possível determinar as raízes (geralmente

inteiras) de algumas expressões.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++−=+= 2a

Δb2a

ΔbxxSoma 21

ab

a2b2

a2bbS −=−=Δ+−Δ+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+−== a2

b.a2bx.xProduto 21

2

22

2

22

a4ac4bb

a4)ac4b(bProduto +−=−−=

ac

a4ac4P 2 ==


6c5b1a =−==

51)5(

abS =−−=−=

616

acP ===

Quais são os números cuja soma é igual a 5 e o produto igual a 6?

Os números são 2 e 3, pois:

532Soma =+=

632Produto =×= Assim:

3xe2x 21 ==

cbxax)x(fy 2 ++==

a2bx Δ±−=

ac4b2 −=Δ

a2bxea2

bx 21Δ−−=Δ+−=


6c5b1a =−==

)6()1(4)5(ac4b 22 −−=−=Δ

12425 =−=Δ

1.21)5(

a2bx ±−−=Δ±−=

215x ±=

3

215x1 =+=

2

215x 2 =−=

As raízes são 2 e 3

6x5x)x(fy 2 +−==

6)2(52)2(fy 2 +−==

0)2(fy ==

6)3(53)3(fy 2 +−==

0)3(fy ==

23

Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0a > , ou o ponto de máximo, se 0a < , da função.

Para 0a = , tem-se que ccbxaxy 2 =++= , isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”. Por simetria, existe outro valor de x que resulta em cy = :

Como o ponto onde abx −= é simétrico em relação ao vértice:

2ab

x v

−=

Para a2

bx v −=

a4a4)ac4b(

a4ac4b2bca2

ba4

bca2bba2

bay222222

vΔ−=−−=

+−=++=+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=

Para cy = :

abx

0x0)bax(x

0bxaxccbxax

2

1

2

2

−=

==+=+

=++

a2bxv −=

a4yvΔ−=

24

Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau

Para 0>Δ 0=Δ 0<Δ

Duas raízes reais

e

distintas

Duas raízes reais

e

iguais (raiz dupla)

Não possui raiz

real

(raízes imaginárias)

0a >

0a <

Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau

A função cbxax)x(f 2 ++= é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para crescente ou vice-versa é o vértice.

Exemplo: 6c5b1a6x5x)x(fy 2 =−==⇒+−==

x )x(fy = )y,x(Par 0 6 (0, 6) Corta o eixo y1 2 (1, 2) 2 0 (2, 0) x1

5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice 3 0 (3, 0) x2 5 6 (5, 6)

66)0(5)0()0(f 2 =+−=26)1(5)1()1(f 2 =+−=06)2(5)2()2(f 2 =+−=

4/16)2/5(5)2/5()2/5(f 2 −=+−=06)3(5)3()3(f 2 =+−=66)5(5)5()5(f 2 =+−=

25

REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Funções Exponenciais

Definição: Uma função exponencial é definida como xa)x(f = , onde 1a ≠ e 0a > .

Exemplos: x5)x(f = x2)x(f =x

31)x(f ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

Gráfico de Uma Função Exponencial

Exemplo 1: x2)x(f =

1a2a >⇒=

Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0(

Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧

→⇒−∞→+∞→⇒+∞→0yx

yx

Exemplo 2: x

21)x(f ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

1a05,02/1a <<⇒==



+∞→⇒−∞→→⇒+∞→

yx0yx

x )x(fy = )y,x(Par-3 1/8 (-3, 1/8)

-2 1/4 (-2, 1/4)

-1 1/2 (-1, 1/2)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

3 8 (3, 8)

x2)x(f =

8/1)2()3(f 3 ==− −

4/1)2()2(f 2 ==− −

2/1)2()1(f 1 ==− −

1)2()0(f 0 ==

2)2()1(f 1 ==

4)2()2(f 2 ==

8)2()3(f 3 ==

x )x(fy = )y,x(Par

-3 8 (-3, 8)

-2 4 (-2, 4)

-1 2 (-1, 2)

0 1 (0, 1)

1 1/2 (1, 1/2)

2 1/4 (2, 1/4)

3 1/8 (3, 1/8)

x)2/1()x(f =

8)2/1()3(f 3 ==− −

4)2/1()2(f 2 ==− −

2)2/1()1(f 1 ==− −

1)2/1()0(f 0 ==

2/1)2/1()1(f 1 ==

4/1)2/1()2(f 2 ==

8/1)2/1()3(f 3 ==

Função exponencial crescente

Função exponencial decrescente

26


Exemplo 3: Faça o gráfico da função x31)x(f +=

A base que tem o expoente x vale 3

crescentefunção1a3a ⇒>⇒=


21131)0(fy31)x(fy 0x =+=+==⇒+==

Exemplo 4: Faça o gráfico da função 1x51)x(f ++=



Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0x = )

65151)0(fy51)x(fy 101x =+=+==⇒+== ++




Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0x = )

119232)0(fy32)x(fy 202x =+=+==⇒+== ++


Outros Exemplos

Exemplo 1: Faça o gráfico da função x31)x(f +=


21131)0(fy31)x(fy 0x =+=+==⇒+==

Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧

→⇒−∞→+∞→⇒+∞→1yx

yx

x31y +=

+∞→⇒∞+=+=+∞→ +∞ y131y:xPara

1y01113

1131y:xPara →⇒+=∞

+=+=+=−∞→ ∞+∞−

Se a > 1 ⇒ Função exponencial crescente

Se 0 < a < 1 ⇒ Função exponencial decrescente

Para xa)x(f =

Para xa)x(f =

27


Exemplo 2: Faça o gráfico da função x221)x(f −=


01121)0(fy21)x(fy 0x2 =−=−==⇒−==


→⇒−∞→−∞→⇒+∞→1yx

yx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→⇒−=∞

−=−=−=−=−∞→

−∞→⇒∞−=−=−=+∞→−=

∞+∞−−∞×

∞++∞×

1y01112

112121y:xPara

y12121y:xPara21y )(2

)(2x2



65151)0(fy51)x(fy 101x =+=+==⇒+== ++


→⇒−∞→+∞→⇒+∞→1yx

yx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→⇒+=+=+=+=−∞→

+∞→⇒∞+=+=+=+∞→+=

∞+∞−+∞−

∞++∞++

1y015

115151y:xPara

y15151y:xPara51y 1

11x

28


Exemplo 4: Faça o gráfico da função x123)x(f −+−=

Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0( −

12323)0(fy23)x(fy 01x1 −=+−=+−==⇒+−== −−


+∞→⇒−∞→−→⇒+∞→

yx3yx

x123y −+−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+∞→⇒∞+−=+−=+−=+−=−∞→

−→⇒+−=∞

+−=+−=+−=+−=+−=+∞→

∞+∞+−∞−

∞+∞−∞−+∞−

y3232323y:xPara

3y03132

13232323y:xPara

1)(1

1)(1



11923232)0(fy32)x(fy 2202x =+=+=+==⇒+== ++


→⇒−∞→+∞→⇒+∞→2yx

yx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→⇒+=+=+=+=−∞→

+∞→⇒∞+=+=+=+∞→+=

∞+∞−+∞−

∞++∞++

2y023

123232y:xPara

y23232y:xPara32y 2

22x

29

O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencial

Também chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “ e ” tem grande

importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa,

crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor:

Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “e ” é uma das mais importantes funções

da matemática:

... 459 828 281 2,718e =

xef(x) =

Equações Exponenciais

Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais:

82x =

3433 5x =−

25525 3xx =×+ +

Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade:

Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação

nmnm aaa +=⋅ 0a,aaa nm

n

m≠= − ( ) 0a,aa nmnm ≠= ⋅

( )nnn baba ⋅=⋅ 0b,ba

ba n

n

n≠⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

n mnm

aa =

Se duas potências têm a mesma base, então os

expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0:

nmaa nm =⇔=

30


Exemplo 1: Resolva a equação 322x =

Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se: 5xx 22322 =⇒=

Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes: 5x22 5x =⇔=

Exemplo 2: Resolva a equação 255 4x =+

Reduzindo a mesma base: 24x4x 55255 =⇒= ++

Igualando os expoentes: 2x42x24x55 24x −=⇒−=⇒=+⇒=+

Exemplo 3: Resolva a equação x32x

23

32 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+

Reduzindo a mesma base: x32xx312xx32x

32

32

32

32

23

32 −+−++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⇒⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Igualando os expoentes: 52x2x5x32x3

232 x32x

−=⇒−=⇒−=+⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−+

Exemplo 4: Resolva a equação 2713

2xx2 =−

Reduzindo a mesma base: 3xx23

xx2xx2 3331327

13222 −−−− =⇒=⇒=

Igualando os expoentes: 03x2x03xx23xx233 2223xx2 2=++−⇒=+−⇒−=−⇒= −−

Resolvendo a equação de 2º grau 03x2x2 =++− :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=

−===−=

==−=

3xe1x

3acProdutoe2a

bSoma

3c2b1a

21

Exemplo 5: Resolva a equação 5 x32x 82 =−

Reduzindo a mesma base: ( ) ( ) 5x9

22x

5x3

322x

5x3

21

2x5 x32x 22228282 =⇒=⇒=⇒=−−

−−

Igualando os expoentes: ( ) ( )1310xx1810x5x922x5

5x9

22x22 5

x92

2x

−=⇒=−⇒=−⇒=−

⇒=−

31


Exemplo 6: Resolva a equação 911333 1x1xx =−+ −+

Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade:

911

333.339

1133333911333

xxx1x1xx1x1xx =−+⇒=−+⇒=−+ −−+

Colocando em evidência x3 :

1xxxxxxx 331

113

9113

3119

1139

113

113911

313139

113

3333 −==×=⇒=⇒=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⇒=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⇒=−×+

Com a mesma base, é possível igualar os expoentes: 1x33 1x −=⇒= −

Exemplo 7: Resolva a equação xx25

44 =+

( ) ( ) 042520425225442544 x2xxx2xxxx

=+×−⇒=+×−⇒×=+⇒=+

Fazendo uma mudança de variável do tipo x2m = e substituindo na equação:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==⇒===−=

=−===+−⇒=+×−

4me1m4acodutoPre5a

bSoma

4c5b1a04m5m04252

21

2x2x

Fazendo novamente a troca da variável x2m = :

0x22212m1mPara x0xx =⇒=⇒=⇒=⇒=

2x22242m4mPara x2xx =⇒=⇒=⇒=⇒=

Exemplo 8: Resolva a equação 0ee 1xx2 =− +

( ) 0eee0ee x12x1xx2 =×−⇒=− +

Fazendo uma mudança de variável do tipo xem = e substituindo na equação:

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==⇒===−=

=−==

=⇒=−=⇒=−⇒=−

=−⇒=×−

eme0m0acProdutoeea

bSoma

0ceb1aou

em0emou0m0e)(mm0mem

0mem0eee

21

2

2x12x

Fazendo novamente a troca da variável xem = :

IRxe0em0mPara xx ∉⇒=⇒=⇒=

}1{spRe1xeeeeememPara x1xx −⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

32

Logaritmos

Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0a > , 0b > e 1a ≠ , é um número x tal que:

Onde: b indica o logaritmando

a indica a base

x indica o logaritmo

Exemplo 1: Calcule o logaritmo 8log2

O logaritmo de 8 na base 2 é: 3x2228x8log x3x2 =⇒=⇒=⇒=


O logaritmo de 3 na base 3 é: 31x3333x3log x1/2x

3 =⇒=⇒=⇒=


O logaritmo de 36 na base 6 é: ( ) ( ) 4xx21266663x63log

x1/22x6

=⇒=⇒=⇒=⇒=



Exemplo 5: Calcule o logaritmo 100log

O logaritmo decimal de 100 é: 2x101001100x100log x2x =⇒=⇒=⇒=

baxblog xa =⇔=

1aloga =

Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos

decimais normalmente a base é omitida:

blogblog10 =

Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e ”.

Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma:

bnlbloge =

33

Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição

Para 0a > , 0b > e 1a ≠ :

Exemplo 1: Calcule o logaritmo 42 2log

O logaritmo de 42 na base 2 é: 4x22x2log x442 =⇒=⇒=



Exemplo 3: Calcule 9log33

Fazendo x39log

3 = e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação:

xlog9logxlog3logx3 3339log

39log

33 =⇒=⇒=

9xx3xlog2xlog3logxlog9log 233

2333 =⇒=⇒=⇒=⇒=

Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 5log5


Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 3enl

O logaritmo neperiano de 3e é: 3xeexegolxenl x33e

3 =⇒=⇒=⇒=

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

nlogmlog)nm(log aaa +=×

nlogmlognmlog aaa −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

mlogpmlog ap

a ×=

Para 0m > , 0n > , 0a > , 1a ≠ e IRp∈ :

malog ma = 01loga = ba

bloga =

34

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 6log

O logaritmo decimal de 6 é: 778,0477,0301,03log2log)32(log6log =+=+=×=

Exemplo 2: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 4log12log −

0,4773log4

12log4log12log ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

Exemplo 3: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 36log

556,1477,02301,023log32log23log2log)32(log36log 2222 =×+×=×+×=+=×=

Exemplo 4: Dado x3plogexnlog,x2mlog === , calcule 3 2

25

p

nmlog

( ) plog32nlog2mlog5plognlogmlogplognmlog

p

nmlog 3/2253 2253 2

25−+=−+=−=

x10x2x2x10x332x2x25plog

32nlog2mlog5 =−+=×−×+×=−+

Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log == , calcule 3log2

O logaritmo de 3 na base 2 é: 585,10,3010,477

2log3log3log2 ===

Exemplo 2: Calcule 5log4log3log8log 2543 ×××

2log5log

5log4log

4log3log

3log8log5log4log3log8log 2543 ×××=×××

Simplificando:

32log32log8log2log8log5log4log3log8log 2

3222543 =×====×××

Mudança de Base

Para resolver operações que envolvam Logaritmos com bases diferentes.

nlogmlogmlogn =

35

Funções Logarítmicas

Uma função logarítmica é definida como xlog)x(f a= , onde 1a ≠ e 0a > . A base do logaritmo x é a e

o domínio da função logarítmica é composto pelos *IR+ .

Exemplos: xlog)x(f 3= xlog)x(f 3/1=

Gráfico de Uma Função Logarítmica

Exemplo 1: xlog)x(f 2=

1a2a >⇒=

Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(


−∞→⇒→+∞→⇒+∞→

y0xyx

Exemplo 2: xlog)x(f 2/1=

1a02/1a <<⇒=



+∞→⇒→−∞→⇒+∞→

y0xyx

x )x(fy = )y,x(Par1/8 -3 (1/8, -3)

1/4 -2 (1/4, -2)

1/2 -1 (1/2, -1)

1 0 (1, 0)

2 1 (2, 1)

4 2 (4, 2)

8 3 (8, 3)

Função logarítmica crescente

Função logarítmica decrescente

xlog)x(f 2=

32log)8/1(log)8/1(f 322 −=== −

22log)4/1(log)4/1(f 222 −=== −

12log)2/1(log)2/1(f 122 −=== −

02log1log)1(f 022 ===

12log)2(f 2 ==

22log4log)4(f 222 ===

32log8log)8(f 322 ===

x )x(fy = )y,x(Par1/8 3 (1/8, -3)

1/4 2 (1/4, -2)

1/2 1 (1/2, -1)

1 0 (1, 0)

2 -1 (2, 1)

4 -2 (4, 2)

8 -3 (8, 3)

xlog)x(f 2/1=

32log)8/1(log)8/1(f 32/12/1 === −

22log)4/1(log)4/1(f 22/12/1 === −

12log)2/1(log)2/1(f 12/12/1 === −

02log1log)1(f 02/12/1 ===

12log)2(f 2/1 −==

22log4log)4(f 22/12/1 −===

32log8log)8(f 32/12/1 −===

36


Outros Exemplos

Exemplo 1: Faça o gráfico da função )x1(log)x(f 5 +=

Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,0( :

0xx11x15)x1(log0)x1(log)x(fy 055 =⇒+=⇒+=⇒+=⇒+==

Na função dada, o logaritmando é diferente de x ( xb ≠ ). Para avaliar os valores que x pode assumir na

função, utiliza-se a condição de que b é positivo ( 0b > ). Assim: 1x0x1 −>⇒>+

Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: [,1] ∞+−


−∞→⇒−→+∞→⇒+∞→

y1xyx

)x1(logy 5 +=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∞→⇒=⇒=⇒=⇒−=−+=−→

+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→

∞−

∞+

y5505)0(logy)11(log)]1(1[logy:1xPara

y555)(logy)1(logy:xPara

yy555

yy55

Se 0 < a < 1 ⇒ Função logarítmica decrescente

Para xlog)x(f a= Para xlog)x(f a=

Se a > 1 ⇒ Função logarítmica crescente

37


Exemplo 2: Faça o gráfico da função xlog1)x(f 3+=

Rearranjando a função:

)x3(log)x(fxlog3logxlog1)x(f 3333 =⇒+=+=

Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3/1( :

3/1xx31x33)x3(log0)x3(log)x(fy 033 =⇒=⇒=⇒=⇒==

Como 0b > , tem-se: 0x0x3 >⇒> . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir é [,0] ∞+ .


−∞→⇒→+∞→⇒+∞→

y0xyx

)x3(logy 3=

+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=+∞×==+∞→ +∞ y333)(log)](3[log)x3(logy:xPara yy333

−∞→⇒=⇒=⇒=⇒=×=→ −∞ y3303)0(logy)0(log)03(logy:0xPara yy333

Exemplo 3: Faça o gráfico da função )x2(log)x(f 4/1 +=

Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(−

1xx21x2)4/1()x2(log0)x2(log)x(fy 04/14/1 −=⇒+=⇒+=⇒+=⇒+==

Como 0b > , tem-se: 2x0x2 −>⇒>+ . O intervalo de valores que x pode assumir é [,2] ∞+− .


+∞→⇒−→−∞→⇒+∞→

y2xyx

)x2(logy 4/1 +=

−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→ +∞− y44)4/1()(logy)2(logy:xPara yy4/14/1

+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−+=−→ −∞−− y44040)4/1()0(logy)]2(2[(logy:2xPara yyy4/14/1

38


Exemplo 4: Faça o gráfico da função xlog1)x(f 3−=

Rearranjando a função:

x3logxlog3logxlog1)x(f 3333 =−=−=

)x/3(logxlog3logxlog1)x(f 3333 =−=−=

)3/x(log)1()3/x(log)x/3(log)x(f 31

33 ×−=== −

Fazendo uma mudança de base:

3log)3/x(log)1()3/x(log)1()x(f 3 ×−=×−=

13log)3/x(log

3log)1()3/x(log

3log)3/x(log)1()x(f −=

×−=×−=

)3/x(log3log

)3/x(log)x(f 131 −== −

)3/x(log)x(f 3/1=


3x3/x13/x)3/1()3/x(log0)3/x(log)x(fy 03/13/1 =⇒=⇒=⇒=⇒==

Para 0x03/x >⇒> . O intervalo de valores que x pode assumir é [,0] ∞+ .


+∞→⇒→−∞→⇒+∞→

y0xyx

)3/x(logy 3/1=

−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒+∞=+∞→ +∞− y33)3/1()(logy)3/(logy:xPara yy3/13/1

+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=→ −∞−− y33030)3/1()0(logy)3/0(logy:0xPara yyy3/13/1

39

REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES

Conceito

O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem:

Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma

distância: 10 unidades.

Módulo ou Valor Absoluto

Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo,

e seu oposto, caso seja negativo. Assim:

⎩⎨⎧

<−≥

=0xse,x

0xse,x|x|

Exemplos:

5|5| = 5)5(|5| =−−=−

110|110| −=− 46)46(|46| +−=−−=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<⇒<−+−=−−

≥⇒≥−−=−

2x02xse,2x)2x(

2x02xse,2x|2x|

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<⇒<+−−+−=+−−

≥≤⇒≥+−+−=+−

3x103x4xse,3x4x)3x4x(

3xou1x03x4xse,3x4x|3x4x|

222

22

2

Outros exemplos

Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒ 4a)4(a −⇔−+

-13ºC ⇔ 13ºC abaixo de zero

Lembrar que:

0|x| ≥ 22 x|x| = |x|x2 =

Se 0a ≥ e a|x| = , então ax −= ou ax =

40

Gráfico de Uma Função Modular

Exemplo 1: |x|)x(f =

Exemplo 2: |2x|)x(f +=

x )x(fy = )y,x(Par-3 3 (-3, 3)

-2 2 (-2, 2)

-1 1 (-1, 1)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 2 (2, 2)

3 3 (3, 3)

|x|)x(f =

3|3|)3(f =−=−

2|2|)2(f =−=−

1|1|)1(f =−=−

0|0|)0(f ==

1|1|)1(f ==

2|2|)2(f ==

3|3|)3(f ==

x )x(fy = )y,x(Par

-5 3 (-5, 3)

-4 2 (-4, 2)

-3 1 (-3, 1)

-2 0 (-2, 0)

-1 1 (-1, 1)

0 2 (0, 2)

1 3 (1, 3)

|2x|)x(f +=

3|3||25|)5(f =−=+−=−

2|2||24|)4(f =−=+−=−

1|1||23|)3(f =−=+−=−

0|0||22|)2(f ==+−=−

1|1||21|)1(f ==+−=−

2|2||20|)0(f ==+=

3|3||21|)1(f ==+=

Função Modular

Definição: É a função real |x|)x(f = onde ⎩⎨⎧

<−≥

=0xse,x

0xse,x)x(f

Exemplos: |x|)x(f = 2|x|)x(f += |1x|)x(f 2 −= 10|x2|)x(f +−=


Se a função modular for do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte procedimento:

1º - Identificar g(x) e fazer seu gráfico

2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x

41

Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) |

Exemplo 1: |2x2|)x(f −=

2x2)x(g|)x(g|)x(f −=→=

Exemplo 2: |6x5x|)x(f 2 +−=

6x5x)x(g|)x(g|)x(f 2 +−=→=

Exemplo 3: |24|)x(f x1−+−=

x124)x(g|)x(g|)x(f −+−=→=

Gráfico de 2x2)x(g −=

Gráfico de |2x2||)x(g|)x(f −==

Gráfico de 6x5x)x(g 2 +−=

Gráfico de |6x5x||)x(g|)x(f 2 +−==

Gráfico de x124)x(g −+−=

Gráfico de |24||)x(g|)x(f x1−+−==

42


Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas:

Exemplo 1: |x|x2)x(f =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=⇒−=⇒<

==⇒=⇒≥==

2

2

x2)x(x2)x(fx|x|0xPara

x2)x(x2)x(fx|x|0xPara|x|x2)x(f

Exemplo 2: |1x||1x|)x(f −++=

32132121 )x(f)x(f

|1x||1x|)x(f −++=

1xraiz|1x|)x(f 1 −=⇒⇒+=

1xraiz|1x|)x(f 2 =⇒⇒−=

assim:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<−−≤−

=−++=1xpara,x2

1x1para,21xpara,x2

|1x||1x|)x(f

43

Equações Modulares

Definição: São equações que envolvem funções modulares.

Exemplo 1: 1|1x2| =+

É necessário analisar as duas condições.

Resolvendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒=−−⇒<+

=⇒=+⇒≥+

1x11x201x2Para

0x11x201x2Para

A solução da equação }0,1{S −=

Exemplo 2: |5x||3x3| −=−

É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o sinal.

Resolvendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒−=+−⇒<−

−=⇒−=−⇒≥−

2x5x3x303x3Para

1x5x3x303x3Para


Exemplo 3: 4x|1x2| −=−

É necessário garantir a existência do módulo, pois 0|x| ≥ , assim:

4x04x ≥⇒≥−

Resolvendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒−=+−⇒<−

−=⇒−=−⇒≥−

3/5x4x1x201x2Para

3x4x1x201x2Para

A solução da equação =S ∅

Testes

Para 0x = :

1|1|1|102|1|1x2| =⇒=+×⇒=+

Para 1x −= :

1|1|1|12|1|1)1(2|1|1x2|

=−⇒=+−=+−×⇒=+

Testes

Para 1x −= :

|6||6||51||33||5)1(||3)1(3||5x||3x3|

−=−⇒−−=−−−−=−−×⇒−=−

Para 2x = :

|3||3||3||36||52||323||5x||3x3|

−=⇒−=−−=−×⇒−=−

Testes

Para 3x −= :

0|x|pois,servenão7|7|7|16|

43|1)3(2|4x|1x2|

≥⇒−=−−=−−

−−=−−×⇒−=−

Para 3/5x = :

0|x|pois,servenão3/7|3/7|3/7|13/10|

43/5|1)3/5(2|4x|1x2|

≥⇒−=−=−

−=−×⇒−=−

44


Exemplo 4: x3|4x| 2 =−

É necessário garantir a existência do módulo:

0x0x3 ≥⇒≥

Resolvendo:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

=−=

⇒=+−−⇒=+−⇒<−

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−−⇒=−⇒≥−

1x4x

raízes04x3xx34x04xPara

4x1x

raízes04x3xx34x04xPara

2

1222

2

1222

A solução da equação }4,1{S =

Exemplo 5: 02|x||x| 2 =−+

Fazer a|x| = e substituir na equação modular:

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−+⇒=−+1x

2xraízescomgrauº2doequação02aa02|x||x|

2

122

Substituindo novamente:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−==−==

≥−=

⇒=

1|1|pois,1x1|1|pois,1x1|x|

0|x|pois,servenão2|x|

a|x|


Testes

Para 4x −= :

0|x|pois,servenão12|12|12|416|)4(3|4)4(|x3|4x| 22 ≥⇒−=⇒−=−⇒−×=−−⇒=−

Para 1x −= :

0|x|pois,servenão3|3|3|41|)1(3|4)1(|x3|4x| 22 ≥⇒−=−⇒−=−⇒−×=−−⇒=−

Para 1x = :

0|x|pois,serve3|3|3|41|13|4)1(|x3|4x| 22 ≥⇒=−⇒=−⇒×=−⇒=−

Para 4x = :

0|x|pois,serve12|12|12|416|43|4)4(|x3|4x| 22 ≥⇒=⇒=−⇒×=−⇒=−

45


Exemplo 6: 10|1x||3x| =++−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒⇒+=

=⇒⇒−=⇒=++−

1xraiz|1x|)x(f

3xraiz|3x|)x(f10|1x||3x|

2

1

)x(f)x(f 21

321321

assim, para 10|1x||3x| =++− a solução pode ser:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒=−⇒≠

−=⇒=+−

6x102x2:Casoº3soluçãotemNão104:Casoº2

4x102x2:Casoº1


Exemplo 7: 2|1x||3x| −=+−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒⇒+=

=⇒⇒−=⇒−=+−−

1xraiz|1x|)x(f

3xraiz|3x|)x(f2|1x||3x|

2

1

)x(f)x(f 21

321321

assim, para 2|1x||3x| −=+−− a solução pode ser:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒−≠−=⇒−=+−

⇒−≠

soluçãotemNão24:Casoº32x22x2:Casoº2

soluçãotemNão22:Casoº1

A solução da equação }2{S =

Testes

Para 4x −= : Para 6x = :

103710|3||7|

10|14||34|10|1x||3x|

=+=−+−

=+−+−−=++−

107310|7||3|

10|16||36|10|1x||3x|

=+=+

=++−=++−

Teste

Para 2x = :

2312|3||1|

2|12||32|2|1x||3x|

−=−−=−

−=+−−−=+−−

46

REVISÃO: INEQUAÇÕES

Função de Primeiro Grau

Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade:

Exemplos:

01x3x

1x4)1x(2

x1045x

01x2

≥−+

−<−+

+<−

≤+

031x2x3

01x2x01x5x606x8x2

2

2

2

2

≥++

<−−

≤+−

>+−

Inequações Produto e Quociente

Uma inequação do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos

sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são

determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais.

Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que

satisfazem a inequação.

≤≥<> ou,,

Inequações do 1º Grau

Produto

0)x32()4x2( <−−

Quociente

0x25x ≥

−−

Inequações do 2º Grau

47


Exemplo 1: Resolva a inequação 0)8x2()6x3( <−+−

Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função 0)8x2()6x3(

21 )x(f)x(f

<−+−4342143421

separadamente:

Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f

2x

06x3

6x3)x(f 1

==+−

+−=

4x

08x2

8x2)x(f 2

==−

−=

Na reta dos reais:

Exemplo 2: Resolva a inequação 0x13x ≥

−+

Estudando os sinais de }

{0x1

3x

2

1

)x(f

)x(f

≥−+ tem-se:


3x

03x

3x)x(f 1

−==+

+=

1x

0x1

x1)x(f 2

==−

−=

Na reta dos reais:

Os valores de x que satisfazem a inequação,

fazendo com que o produto )8x2()6x3( −+− seja

menor que zero, são: }4xou2x/IRx{S ><∈=


fazendo com que o quociente de x13x

−+ seja maior

ou igual à zero, são: }1x3/IRx{S <≤−∈= . O

valor 1 foi excluído da solução, pois torna o

denominador igual à zero:

3313

Muito cuidado com inequações do tipo quociente! Nunca cancele

o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação

aparecer ≥ ou ≤ , lembrar que a raiz da função no denominador

não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero!

48


Exemplo 3: Resolva a inequação 04x3 <−

Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o

denominador seja negativo 0)()()(

<−=−+

⇒ . Assim, determinam-se os valores de x que tornam o

denominado negativo:

Resolvendo a inequação 04x <− :

4x04x

<<−

Exemplo 4: Resolva a inequação 12x1x2 −≤

+−

Exemplo 5: Resolva a inequação 0)5x( 4 ≥+

Para qualquer valor real de x a função 4)5x()x(f += é positiva. Isso ocorre porque independente do

valor de )5x( + , essa soma tem expoente par, fazendo com que )x(f seja sempre positiva ou igual a

zero. Assim:

Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o

quociente 4x

3−

seja menor que zero, são: }4x/IRx{S <∈=


31x

01x3

1x3)x(f 1

−=

=+

+=

2x

02x

2x)x(f 2

−==+

+=

Na reta dos reais:

{02x

1x3

02x)2x(1x2

012x1x2

12x1x2

2)x(f

1)x(f

≤++

≤+

++−

≤++−

−≤+−

876

Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo

com que o quociente de 2x1x2

+− seja menor ou igual à

-1, são: { }31x2/IRxS −≤<−∈= . O valor -2 foi

excluído da solução, pois torna o denominador nulo.

Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x( 4 ≥+ , fazendo com que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: }IR{S =

49

Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações

Exemplo 6: Resolva a inequação 0)5x( 3 <+

Para que a função 3)5x()x(f += seja negativa, é necessário que a valor de )5x( + seja negativo, pois

essa soma tem expoente ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos.

Assim:

5x05x

−<<+

Exemplo 7: Resolva a inequação 137x21 ≤+<−

Para se resolver inequações do primeiro grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se

isolar x na desigualdade:

3x426x2

86x28

713x271137x21

≤<−

≤<−

≤<−−≤<−−

≤+<−

Exemplo 8: Resolva a inequação 53x1 ≤+−<

Isolando x na desigualdade:

2x235x31

53x1

≤−<−−≤−<−

≤+−<

Exemplo 9: Resolva o sistema ⎩⎨⎧

+≤−+>+5x1x2

7x10x2

Cada inequação é resolvida separadamente:

3x107xx2

7x10x2)x(f 1

−>−>−

+>+=

6x15xx2

5x1x2)x(f 2

≤+≤−

+≤−=

Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x( 3 ≥+ , fazendo com

que seu resultado seja menor que zero, são: }5x/IRx{S −<∈= .

Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo

com que a substituição de “x” em 7x2 + resulte em um valor

pertencente ao intervalo ] ]13,1− , são: }3x4/IRx{S ≤<−∈= .

O sentido da desigualdade é

invertido quando a inequação

é multiplicada por (-1).

Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 53x1 ≤+−< , fazendo

com que seu resultado pertença ao intervalo ] ]5,1 , são: }2x2/IRx{S <≤−∈= .

Multiplicando por 1)(− :

2x2ou

2x2

<≤−

−≥>+

Os valores de x devem satisfazer as

duas inequações do sistema. Para tal,

é feita uma intersecção das soluções

encontradas para cada inequação.

Os valores de x que satisfazem o sistema de

inequações, fazendo com que 7x10x2 +>+ e

5x1x2 +≤− , são: }6x3/IRx{S ≤<−∈= .

50

Inequações do Segundo Grau

Definição: Qualquer inequação do tipo 0cbxax2 >++ , 0cbxax2 <++ , 0cbxax2 ≥++ ou

0cbxax2 ≤++ , onde a, b e c são constantes com 0a ≠ , é chamada de inequação do segundo grau.

Exemplos:

025x10x010x3x

2

2

≥+−

≤++− 01x2x

01x2x2

2

>++

<−−

Uma inequação do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função.

Exemplo 1: Resolva a inequação 02xx 2 <−−

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

=−=⇒−===−=

−=−==

cimaparaeconcavidadcomParábola0a

2xe1x2acProdutoe1a

bSoma

2ce1b1,a

21

Exemplo 2: Resolva a inequação 010x3x2 ≥++−

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒<

=−=⇒−===−=

==−=

baixoparaeconcavidadcomParábola0a

5xe2x01acProdutoe3a

bSoma

10ce3b1,a

21

Exemplo 3: Resolva a inequação 06x5x 2 ≥+−

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

==⇒===−=

=−==


3xe2x6acProdutoe5a

bSoma

6ce5b1,a

21

A solução de 2xx)x(f 2 −−=deve ser menor que zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação

02xx 2 <−− , fazendo com que seu resultado seja

menor que zero, são: }2x1/IRx{S <<−∈=

A solução de 10x3x)x(f 2 ++−=deve ser menor ou igual à zero:


010x3x 2 ≤++− , fazendo com que seu resultado seja

menor ou igual à zero, são: }5x2/IRx{S ≤≤−∈=

A solução de 6x5x)x(f 2 +−=deve ser maior ou igual à zero:


06x5x 2 ≥+− , fazendo com que seu resultado seja maior

ou igual à zero, são: }3xou2x/IRx{S ≥≤∈=

51


Exemplo 4: Resolva a inequação 04x4x 2 ≤+−

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

==⇒===−=

=−==


2xe2x4acProdutoe4a

bSoma

4ce4b1,a

21

Exemplo 5: Resolva a inequação 05x2x 2 ≥−+−

Gráfico:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒<

−−=+−=⇒±−=

±−=−±−=−±−=

Δ±−=⇒−=−=Δ

−==−=

baixoparaeconcavidadcomParábola0a

i21xei21xi21x

2i42

21162

1.2162x

a2bx16ac4b

5ce2b1,a

21

2

Exemplo 6: Resolva a inequação 02x4x3 2 ≥+−

Gráfico:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒>

−=

+=⇒

±=

±=

−±=−±−−=

Δ±−=⇒−=−=Δ

=−==


6i22xe3

i22x3i22x

6i224

6184

3.28)4(x

a2bx8ac4b

2ce4b,3a

21

2

A solução de 4x4x)x(f 2 +−=deve ser menor ou igual à zero:

Os valor de x que satisfaz a inequação 04x4x 2 ≤+− , fazendo

com que seu resultado seja menor ou igual à zero, é: }2{S =

A solução de 5x2x)x(f 2 −+−=deve ser maior ou igual à zero:

Não existem valores de x que satisfazem a inequação 05x2x 2 ≥−+− . Isso

ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função

5x2x)x(f 2 −+−= . Paralelo a isso, a função tem raízes imaginárias e, portanto,

seu gráfico não corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou}{S = =S ∅.

A solução de 2x4x3)x(f 2 +−=deve ser maior ou igual à zero:

Os valores de x que satisfazem a

inequação 02x4x3 2 ≥+− , fazendo

com que seu resultado seja maior ou

igual a zero, são os reais: }IR{S =

Lembrar que:

1i −=

52


Exemplo 7: Resolva a inequação 14x5x0 2 ≤−<

Primeiramente, resolve-se o sistema:

⎩⎨⎧

−−=

−=⇒

⎩⎨⎧

≤−−

>−⇒

⎩⎨⎧

≤−

>−

14x5x)x(f

x5x)x(f

014x5x0x5x

14x5x0x5x

22

21

2

2

2

2

Solução de 1)x(f : x5x)x(f 21 −=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

==⇒===−=

=−==


5xe0x0acProdutoe5a

bSoma

0ce5b1,a

21

Solução de 2)x(f : 14x5x)x(f 22 −−=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

=−=⇒−==−=

−=−==


7xe2x14Produtoe5abSoma

14ce5b1,a

21

Na reta dos reais e fazendo a intersecção:

Exemplo 8: Resolva a inequação ( )( ) 06x7x7x2x 22 ≤+−++

Estudam-se os sinais de cada função ( ) ( ) 06x7x7x2x

2

2

1

2

)x(f)x(f

≤+−++ 44344214434421 separadamente:

Solução de 1)x(f : 7x2x)x(f 21 ++=

Gráfico:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒>

−=+=⇒±=

±=

×±−=

−±−=−±−=

Δ±−=⇒−=−=Δ

===


i61xei61xi61x2

i6222

i642x

21242

1.2242x

a2bx24ac4b

7ce2b,1a

21

2

A solução de x5x)x(f 21 −=

deve ser maior que zero:

A solução de 14x5x)x(f 22 −−=

deve ser maior que zero:

Os valores de x que satisfazem a

inequação 14x5x0 2 ≤−< , fazendo com

que o resultado da função x5x)x(f 2 −=

pertença ao intervalo ] ]14,0 , são:

}7x5ou0x2/IRx{S ≤<<≤−∈=

A solução de 7x2x)x(f 21 ++=

deve ser menor ou igual à zero:

53


Solução de 2)x(f : 6x7x)x(f 22 +−=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

==⇒===−=

=−==


6xe1x6acProdutoe7a

bSoma

6ce7b1,a

21


Exemplo 9: Resolva a inequação 03x2x

xx2

2

≥−+

−

Estudando os sinais de cada função 03x2x

xx

2)x(f

1)x(f

2

2

≥−+

−

43421

876

separadamente:

Solução de 1)x(f : 21 xx)x(f −=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒<

==⇒===−=

==−=

aixobparaeconcavidadcomParábola0a

1xe0x0acProdutoe1a

bSoma

0ce1b1,a

21

Solução de 2)x(f : 3x2x)x(f 22 −−=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

=−=⇒−===−=

−=−==


3xe1x3acProdutoe2a

bSoma

3ce2b1,a

21


A solução de 6x7x)x(f 22 +−=

deve ser menor ou igual à zero:


do segundo grau, fazendo com que o produto

( )( ) 06x7x7x2x 22 ≤+−++ seja menor

ou igual à zero, são: }6x1/IRx{S ≤≤∈=

A solução de 21 xx)x(f −= deve

ser maior ou igual à zero:

A solução de 3x2x)x(f 22 −+=

deve ser maior ou igual à zero:


fazendo com que o quociente 3x2x

xx2

2

−+−

seja maior ou igual à zero, são:

}0x1ou0x1/IRx{S <≤≤<−∈= . Os

valores -1 e 3 foram excluídos da solução,

pois tornam o denominador nulo.

54


Exemplo 10: Resolva a inequação 045x14x

22 >

+−−

Como o numerador é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também

seja negativo 0)()()(

>+=−−

⇒ . Assim:

Resolvendo a inequação 045x14x 2 <+−

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

==⇒===−=

=−==


9xe5x45acProdutoe14a

bSoma

45ce14b1,a

21

Exemplo 11: Resolva o sistema ⎩⎨⎧

<−

<−

0x3x04x

2

2

Cada inequação deve ser resolvida separadamente:

4x)x(f 21 −=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

=−=⇒−===−=

−===


2xe2x4acProdutoe0a

bSoma

4ce0b1,a

21

Como 0b = , outra forma de se determinar as raízes é: 2x4x04x 2 ±=⇒=⇒=−

x3x)x(f 22 −=

Gráfico:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>

==⇒===−=

=−==


3xe0x0acProdutoe3a

bSoma

0ce3b1,a

21

Como 0c = , outra forma de se determinar as raízes é: 3xe0x0)3x(x0x3x 212 ==⇒=−⇒=−

A solução de 45x14x)x(f 2 +−=deve ser menor que zero:

Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente

045x14x

22 >

+−− seja maior que zero, são: }9x5/IRx{S ≤<∈= .

A solução de 4x)x(f 21 −= deve

ser menor que zero:

A solução de x3x)x(f 22 −=

deve ser menor que zero:

Para determinar os valores de x que satisfazem

as duas inequações é feita uma intersecção.

Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo

com que 04x2 <− e 0x3x2 <− , são: }2x0/IRx{S <<∈= .

55

Inequações Exponenciais

Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais.

Exemplos: 06757921333151

5133 xxx1x2x

x231x3 >+×−≥+−<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤ +++

Exemplo 1: 82 2x <−

Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função

exponencial.

{3

)x(f

2x32x 2222 <⇒< −−

Como a função 2x2)x(f −= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.

{ 05x32x)x(g

<−⇒<−

A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar

os valores de x que substituídos em )x(g resulte em um valor negativo, assim:

{ 5xraizcomgrau1ºdoFunção5xg(x) =⇒−=

Solução: }5x/IRx{ <∈

Se a Inequação Exponencial for:

Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade

Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade

Testes

Um valor para 5x < pode ser 3x = , substituindo na inequação:

soluçãoàpertence3queindicando,Verdadeiro82828282 1232x

⇒<<⇒<⇒< −−

Um valor para 5x > pode ser 6x = , substituindo na inequação:

soluçãoàpertencenão6queindicando,Falso816828282 4262x

⇒<<⇒<⇒< −−

56


Exemplo 2: 008,004,0 21x4

<−

Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função

exponencial.

3

)x(f

1x431x4

321x4

22

1x4

21x4

102

102

102

102

102

102

10008

1004008,004,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

−−

−−−

43421

Como a função 1x4

102)x(f

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.

04x431x4)x(g

>−⇒>− 321

A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar

os valores de x que substituídos em )x(g resulte em um valor positivo, assim:


Solução: }1x/IRx{ >∈

Testes


soluçãoàpertence2queindicando,Verdadeiro008,00000128,0

008,0102008,0

102008,004,0

727

22

124

⇒<

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

−×

Um valor para 1x < pode ser 0x = , substituindo na inequação:

soluçãoàpertencenão0queindicando,Falso008,05

008,0102008,0

102008,004,0

121

22

104

⇒<

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

−−−×

57


Outros exemplos:

Exemplo 3: 19 2xx2

≥−

[ ] 0xx333)3(19 20xx02xx

22xx

222

≥−⇒≥⇒≥⇒≥ −−−

⎩⎨⎧

==

⇒−=1x0x

raízescomgrauº2doFunçãoxx)x(g2

12

Solução: }1xou0x/IRx{ ≥≤∈

Exemplo 4: x4xx 264222 −− ⋅>⋅

06x5xx46xx2222226422 22x46xxx46xxx4xx 222

>−+−⇒−>+−⇒>⇒⋅>⇒⋅>⋅ −+−−+−−−

⎩⎨⎧

==

⇒−+−=3x2x

raízescomgrauº2dofunção6x5x)x(g2

12

Solução: }3x2/IRx{ <<∈

Exemplo 5: 9033 x2x ≤++

02x2x33

310103310)19(33103939103339033

2x

2x2x2xxx2xx2x

≤−⇒≤⇒≤

⋅≤⋅⇒⋅≤+⇒⋅≤+⋅⇒⋅≤+⋅⇒≤++


Solução: }2x/IRx{ ≤∈

Exemplo 6: 4x2x4

278

23 ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

02x2x14x712x32x4

23

23

23

23

32

23

278

23 12x32x44x32x44x32x44x2x4

>+⇒−>⇒−>⇒−−>+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−++−+++++

{ 2xraizcomgrau1ºdoFunção2xg(x) −=⇒+=

Solução: }2x/IRx{ −>∈

58

Inequações Logarítmicas

Definição: Qualquer inequação que apresente funções logarítmicas.

Exemplos: 1)1x(log)1x(log3xlog)x3(log)1x(log5logxlog3/13/152/12/122

−>++−−≤−≥+<

Exemplo 1: 5logxlog22

<

Como a função xlog)x(f2

= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.

dedesigualdadasinalomantercrescenteFunção1a2a ⇒⇒>⇒=

Assim, para satisfazer a inequação o valor de “x” deve ser menor que 5 ( 5x < ). Por outro lado, o

logaritmando “b” deve ser positivo ( bloga

) para que a função )x(f exista (condição de existência)

{

{⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒>

=⇒<−⇒<⇒<

0xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção0xe

5xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção05x5x5logxlog

22

Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo ( 0xe05x ><− ), um sistema de

inequações deve ser resolvido. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em

)x(f resulte em um valor menor que 5log2

. Assim:

{

{⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<−

0x

05x

)x(h

)x(g


Se a Inequação Logarítmica for:

Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade

(a > 1)

Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade

(0 < a < 1)

59


Exemplo 2: 3log)1x(log2/12/1

≥+

Como a função )1x(log)x(f2

+= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.

dedesigualdadasinalonvertericrescentedeFunção1a02/1a ⇒⇒<<⇒=

Assim, para satisfazer a inequação o valor de “ )1x( + ” deve ser menor ou igual a 3 ( 51x <+ ) e o

logaritmando “b” deve ser positivo para que a função )x(f exista. Assim:

{

{⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒>+

=⇒≤−⇒≤+⇒≥+

1-xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01xe

2xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção02x31x3log1)(xlog

1/21/2

Um sistema de inequações deve ser resolvido, pois duas condições devem ser satisfeitas

simultaneamente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em )x(f resulte

em um valor maior ou igual a 3log2/1

.

{

{⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

≤−

01x

02x

)x(h

)x(g

Solução: }2x1/IRx{ ≤<−∈

Testes

Um valor para 5x0 << pode ser 1x = , substituindo na inequação:

soluçãoàpertence1queindicando,Verdadeiro322,20

322,22log02log5log2log5log1log5logxlog

1

0222222

⇒<

<×⇒<⇒<⇒<321



322,22log42log5log2log5log16log5logxlog

1

4222222

⇒<

<×⇒<⇒<⇒<321

60


Outros exemplos:

Exemplo 3: )x3(log)1x(log3/13/1

−>+

dedesigualdadasinalonverteri1a02/1a ⇒<<⇒=

Para satisfazer a inequação o valor de )1x( + deve ser menor que o valor de ( x3− ). Porém, para que as

funções logarítmicas existam, é necessário que e o logaritmando “b” de ambas seja positivo. Se

)x31x( −<+ , fazendo )01x( >+ garante um valor positivo para “b” nos lados da desigualdade.

{

{⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒>+

=⇒<−⇒−<+⇒−>+


1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção02x2x31x)x3(log)1x(log

3/13/1

Resolvendo o sistema:

{⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>−

<−

0x3

02x2

)x(h

)x(g321

Solução: }1x1/IRx{ <<−∈

Testes

Um valor para 2x1 ≤<− pode ser 0x = , substituindo na inequação:

soluçãoàpertence0queindicando,Verdadeiro585,10

585,11log)2/1(log

3log1log3log)10(log3log)1x(log0

2/12/12/12/12/12/1

⇒−≥

−≥⇒≥⇒≥+⇒≥+321



585,1)2/1(log)2(585,1)2/1(log

585,12log)2/1(log

3log4log3log)13(log3log)1x(log

1

2

2

2/12/1

2/12/12/12/12/12/1

⇒−≥−

−≥×−⇒−≥

−≥⇒≥⇒≥+⇒≥+

−

43421

61


Exemplo 4: 2xlog3

−≤

dedesigualdadasinalomanter1a3a ⇒>⇒=

Rearranjando

91logxlog

31logxlog3logxlog3log)2(xlog2xlog

333333333 22

1

≤⇒≤⇒≤⇒×−≤⇒−≤ −

321

O sistema de inequações resultante é:

{

{⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒>

=⇒≤−⇒≤⇒≤


1/9xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção09/1x9/1x

91logxlog

33


{⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤−

0x

09/1x

)x(h

)x(g321

Solução: }9/1x0/IRx{ ≤<∈

Exemplo 5: 1)1x(log)1x(log3/13/1

−>++−

dedesigualdadasinalonverteri1a02/1a ⇒<<⇒=

Rearranjando

3log)1x()1x(log)3/1(log)1x()1x(log

)3/1(log)1()1x()1x(log1)1x(log)1x(log

3/13/13/13/1

3/13/13/13/1

11

>+−⇒>+−

×−>+−⇒−>++−

−

43421

O sistema de inequações resultante é:

{

{⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⇒>+

=⇒>−

⎩⎨⎧

=−=

⇒<−⇒<+−

⇒>+−

1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01x

e


2x2x

raízescomgrauº2doFunção04x3)1x()1x(

3log)1x()1x(log

2

12

3/13/1

62



{

{⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

>−

<−

01x

01x

04x

)x(i

)x(h

)x(g

2321


Inequações Modulares

Definição: São inequações que envolvem funções modulares.

Exemplos: 3|x| ≤ 2|1x| <+ 3|1x| 2 ≥− 4|x| >

Exemplo 1: 3|x| ≤

Os valores de x que satisfaz a inequação são:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤−−⇒≤−

≤⇒≤

03x3xou

3x3|x|

Solução: }3x3/IRx{ ≤≤−∈

Exemplo 2: 4|x| >

Os valores de x que satisfaz a inequação são:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−<⇒>−

>⇒>

4x4xou

4x4|x|

Solução: }4xou4x/IRx{ >−<∈

63

Inequações Modulares

Para 0a >

Outros exemplos:

Exemplo 3: 3|1x| 2 ≥−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒−≥⇒≥−⇒≥+−

⎩⎨⎧

=−=

⇒≥−⇒≥⇒≥−

⇒≥−

realsoluçãotemNão2x2x31x

2x2x

raízescomgrauº2doFunção04x4x31x

3|1x|22

2

1222

2

Solução: }2xou2x/IRx{ ≥−≤∈

Exemplo 4: 52

3x≤

−

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−≥⇒≤+−⇒≤+−

≤⇒≤−⇒≤−

⇒≤−

7x103x52

3x

13x103x52

3x

52

3x

Solução: }13x7/IRx{ ≤≤−∈

Se a Inequação Modular for:

| f(x) | < a ⇒ - a < f(x) <a

| f(x) | > a ⇒ f(x) < - a ou f(x) > a

Lembrar que:

Só é possível multiplicar em cruz se no denominado não houver a variável “x”.

64

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REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS - wiki.urca.brwiki.urca.br/dcc/lib/exe/fetch.php?media=apostila_-_revisao_opera... · Transformar uma fração que possui no denominador raiz, não