Universidade Federal do Rio Grande -FURG

Instituto de Matemtica, Estatstica e Fsica

FURG

IMEF

Matemtica para Cincias Econmicas IProfa Elizangela Dias Pereira

Rio Grande, 2012.

Captulo 1 Funes1.1 IntroduoNosso principal objetivo ser o de mostrar como a matemtica pode ser utilizada na resoluo de problemas reais, derivados de diferentes reas do conhecimentos, tais como economia, administrao dentre outras. Independentemente do campo de conhecimento, um problema pode ser analisado por meio de um processo conhecido como modelagem matemtica, conforme ilustrado a seguir:

ProblemasO reaisVericao

Formulao

/

Modelo Matemtico Soluo do modelo matemtico

Resoluo

Soluo de problemas reais

Interpretao

o

Dado um problema real, este pode ser modelado matematicamente utilizando de tcnicas adequadas que variam de acordo com o problema em questo. Por exemplo, o modelo matemtico que expressa o montante acumulado no tempo a partir de um depsito inicial de dinheiro no Banco ABC, pode ser expresso porM = C(1 + i)t . Muitos fenmenos reais podem ser modelados matematicamente, a

saber: - o crescimento populacional na regio Nordeste; - o aumento da receita obtida pelo Imposto de Renda; - a concentrao de glicose na corrente sangunea; 1

- o salrio a receber de acordo com as horas trabalhadas; - a produo total de uma fbrica conforme o nmero de mquinas operando. Em todos os casos acima, estamos interessados em saber como uma quantidade depende de outra.

1.2 Denio de FunoConceito formalizado em 1673 por Leibnitz, e mais tarde o matemtico Euler convencionou denotar as funes por letras do alfabeto, facilitando assim a compreenso, bem como a escrita. A relao entre duas quantidades convenientemente descrita em matemtica pelo uso do conceito de funo.

1.2.1 Produto CartesianoSejam A e B dois conjuntos no vazios, o produto cartesiano de A porB o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, denotado

por:A B = {(x, y) | x A e y B}.

1.2.2 Funo real de uma varivelUma relao f de A em B uma funo se e somente se: i. Todo elemento x que pertence a A tem um correspondente y pertencente a B , denido pela relao f ; ii. A cada x pertencente a A no podem corresponder dois ou mais elementos deB por meio de f , ou seja, a cada elemento x do conjunto A est associado um

e apenas um elemento y do conjunto B . Notao:f : AB f (x) = y

2

Por exemplo, uma relao entre o peso e a idade dos estudantes do curso de Economia no necessariamente descrever uma funo, visto que podemos ter duas pessoas com a mesma idade, mas com pesos diferentes.

1.2.3 Domnio, Imagem e ContradomnioO domnio de uma funo f o conjunto A de todos os valores para a varivel independente x. O conjunto B chamado de contradomnio da funo onde esto os elementos que podem ou no corresponder aos elementos do domnio. O conjunto de todos os valores de y correspondente aos valores de x chamado de imagem da funo e est contido no contradomnio.

Exemplo 1.1. Seja a funo dada pela sentena f (x) = 2x. Determine o domnio,contradomnio e a imagem.

Observao 1.1. Note que oprximo exemplo.

CD = Im, mas nem sempre isso verdade. H

casos em que a imagem est contida no contradomnio, como pode ser observado no

3

Exemplo 1.2. Considere a funo f (x) = , encontre o domnio, contradomnio ea imagem.

1 x

Exemplo 1.3. Uma padaria vende uma torta de chocolate por R$ 27, 00 a unidade.Seja x a quantidade de tortas vendidas, determine: a) a funo receita; b) a receita nal se forem vendidas 20 unidades de torta; c) a quantidade que deve ser vendida a m de que se obtenha uma receita de R$810, 00.

1.2.4 Tipos de funesFuno Crescente e Funo DecrescenteUma funo y = f (x) crescente se e somente se para quaisquer x1 e x2 pertencentes a um intervalo do seu domnio, x1 < x2 implica em f (x1 ) < f (x2 ). Em outras palavras, medida que x cresce, a imagem y tambm cresce. Analogamente, uma funo y = f (x) decrescente se e somente se para quaisquer x1 e x2 pertencentes a um intervalo do seu domnio, x1 < x2 implica emf (x1 ) > f (x2 ), ou seja, medida que x cresce, a imagem y decresce.

Vejamos gracamente essas situaes:

4

Exemplo 1.4. Analise o comportamento da funocrescimento e decrescimento.

g(x) = x2 + 9 quanto ao

Funo Contnua e Funo DescontnuaUma funo f (x) dita ser contnua quando seu grco constitudo por uma nica curva contnua. As funes polinomiais so contnuas. Uma funo f (x) descontnua quando seu grco possui pontos de descontinuidade, ou seja, valores da varivel x que esto fora de seu domnio. Observe os grcos abaixo:

Funes AlgbricasUma funo dita algbrica quando expressa por uma regra que representa um polinmio ou que pode ser obtida a partir de um polinmio por uma das operaes: adio, subtrao, multiplicao, diviso ou potncia inteira ou racional. As funes algbricas incluem: a) funes polinomiais: p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +. . .+an xn . Ex.: f (x) = x3 2x+4. 5

b) funes racionais: f (x) =

p(x) , onde p(x) e q(x) so funes polinomiais e q(x) x2 + 2x g(x) = 0. Ex.: g(x) = 2 . x 1

c) funes

modulares:

funes

que

envolvem

o

valor

absoluto.

Ex.: h(x) = |x2 4|. d) funes com potncias fracionrias:5 n(x) = . 2 x+3

Ex.:

k(x) =

x, m(x) = 3 x,

Funes TranscendentesToda funo que no algbrica chamada de transcendente. So funes transcendentes as funes trigonomtricas, hiperblicas, exponencial e logartmica. Ex.: g(x) = sen(x + 1), f (x) = log(x2 + 4), h(x) = 2x .

1.3 Funo Polinomial do 1o grauUma funo cujo valor muda a uma taxa constante em relao a sua varivel independente denominada funo linear. Isto devido ao grco desse tipo de funo ser uma linha reta. Em termos algbricos uma funo linear da forma: ax + b, onde a e b so constantes. O coeciente a chamado de coeciente angular (representa a inclinao da reta) e b o coeciente linear (ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y). O domnio e a imagem da funo linear correspondem ao conjunto dos nmeros reais (R).

Raiz ou zero de uma funo polinomial do 1o grau o valor tal que f (x) = 0, ou seja, o ponto onde a reta intercepta o eixo x.b f (x) = ax + b ax + b = 0 x = . a

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Estudo do sinal de uma funo polinomial do 1o grauObserve o grco:

Esboo do grcoJ sabemos que uma funo polinomial do 1o grau representa uma reta. Para traarmos o grco necessitamos ento de pelo menos dois pontos dessa reta, usualmente se faz y = 0 e x = 0 na equao que representa a funo.

Exemplo 1.5. Aps o pagamento de todos os custos na importao de um produto,uma empresa calcula o faturamento que ter usando a lei f (x) = 8x 640, em quef (x) o faturamento lquido de x unidades vendidas. Qual a quantidade mnima

que a empresa ter de vender para obter lucro?

Inequaes do

1o

grau

So sentenas abertas que usam os smbolos , , , = para relacionar a expresso algbrica do primeiro membro com a do segundo membro. Resolver uma inequao signica encontrar todos os valores da varivel (ou variveis) que tornam a sentena aberta verdadeira. Esse conjuntos de valores denominado conjunto-soluo. As principais regras utilizadas no trabalho com desigualdades so: i) Se a > 0 e b < c, ento ab < ac; ii) Se a < 0 e b < c, ento ab > ac; iii) Se a < b, ento a + c < b + c para todo c.

Exemplo 1.6. Resolva a inequao

6(x 1) > 8x considerando como conjunto

universo o conjunto dos nmeros reais.

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1.4 Funo QuadrticaUma equao da forma y = ax2 + bx + c, onde a = 0, chamada de funo quadrtica em x. Dependendo do valor de a, a parbola poder apresentar uma das seguintes conguraes:y3 3

y

y V

2

V

2

1

1

x3 2 1 1 1

x3 2 1 1 1 V

xV

2

3

x

2

3

2

y V

2

V

3

3

a0

Figura 1.1: Grco da funo quadrtica. Em ambos os casos a parbola simtrica em torno de uma reta vertical paralela ao eixo y . Essa reta de simetria corta a parbola em um ponto chamado de vrtice (V ). Se a > 0, o vrtice o ponto mais baixo da curva e a parbola voltada para cima. Se a < 0, o vrtice o ponto mais alto da curva e a parbola voltada para baixo.

Razes de uma funo quadrticaAs razes de uma funo quadrtica so calculadas atravs de f (x) = 0. b + b2 4ac x = 2a 2 ax + bx + c = 0 , b b2 4ac x = 2a 2 onde = b 4ac.

Observao 1.2. Conforme o valor de , podem ocorrer trs casos, a saber:- Se > 0, ento a funo possui duas razes reais e distintas; 8

- Se = 0, ento a funo possui duas razes reais e iguais; - Se < 0, ento a funo no possui razes reais.

Vrtice da ParbolaO ponto que representa o vrtice da parbola dado por:) ( b V = , . 2a 4a

Observao 1.3. O vrtice um importante ponto no estudo de funes, pois:- se a > 0, ento V um ponto de mnimo da funo, - se a < 0, ento V um ponto de mximo da funo.

Domnio e ImagemO domnio de uma funo quadrtica corresponde ao conjunto do nmeros reais (R). A imagem depende do coeciente a: Se a > 0, Se a < 0, ento Im(f ) = {y R | y } 4a . ento Im(f ) = {y R | y } 4a

Grco e Estudo do sinalCom as coordenadas do vrtice e as razes da parbola, podemos esboar o grco da funo quadrtica. Podemos ainda utilizar mais um ponto para obter uma representao mais precisa. Para o estudo do sinal analisamos a variao dos valores da funo diretamente no grco, de acordo com os valores de e do coeciente a, conforme tabela abaixo:

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Tabela 1: Estudo do sinal da funo quadrtica.a>0 >0y y

a 0 f1 (x) f2 (x) ... fn (x) 0 f1 (x) f2 (x) ... fn (x) < 0 f1 (x) f2 (x) ... fn (x) 0.

Considere duas funes, f (x) e g(x), inequaes quociente so as desigualdades do tipo:f (x) > 0 g(x) f (x) 0 g(x) f (x) < 0 g(x) f (x) 0. g(x)

Para se resolver uma inequao produto ou quociente deve-se estudar o sinal de cada funo do 1o membro separadamente, transportar os resultados para um quadro, efetuar o produto e/ou quociente dos sinais e, a seguir, determinar os conjuntos que satisfazem a desigualdade dada.

1.5.2 Funes racionaisA funo racional f (x) denida por polinomiais e q(x) no uma funo constante nula. O seu domnio consiste em todos os nmeros reais, exceto as razes da funo q(x), pois no existe diviso por zero. Dadas duas funes racionais f (x) e g(x), a soma, produto, diferena e quociente entre essas funes so tambm funes racionais.p(x) , onde p(x) e q(x) so funes q(x)

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1.6 lgebra de funes1.6.1 Adio, subtrao, produto e diviso de funesCombinaes algbricas de funes podem ser obtidas de diversas maneiras. Dadas duas funes f e g , as operaes soma, diferena, produto e quociente podem ser denidas como na Tabela 3: Tabela 3: Operaes algbricas com funes. Operao Denio Soma Diferena Produto Quociente(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) ( ) f f (x) (x) = g g(x)

O domnio de uma funo resultante da operao entre funes corresponde a todos os valores de x que pertencem aos domnios das funes que esto sendo operadas, ou seja, a interseco dos domnios dessas funes. Por exemplo, o domnio de (f + g)(x) a interseco entre D(f ) e D(g). A nica exceo ) a operao de diviso. ( ) ( com f f f (x) (x) = , no far parte do domnio de (x) Considerando os valores onde g(x) = 0, para que no ocorra uma diviso por zero.g g(x) g x+1 e g(x) = 2+x, calcule as seguintes x2 9

Exemplo 3. Considere as funes f (x) =a) (f + g)(x) b) (f g)(x)( ) f d) (x). g

operaes e determine o domnio das funes resultantes:

c) (f g)(x)

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1.6.2 Composio de funesA funo composta f g de duas funes f e g denida por:(f g)(x) = f (g(x)).

O domnio da funo composta (f g)(x) corresponde ao conjunto de todos os valores de x no domnio de g(x) cuja imagem est contida no domnio de f (x), ou seja, Im(g) D(f ). A imagem de (f g)(x) o conjunto de todos os nmeros da forma f (g(x)) construda medida que x percorre o domnio de(f g)(x).

Observao 1.4. O domnio de qualquer funo polinomial sempre corresponde aoconjunto R, o que possibilita a composio de duas funes polinomiais quaisquer. No entanto, a condio Im(g) D(f ) deve ser vericada para funes em geral.

Exemplo 4. Dadas as funes f (x) = 3x 1, g(x) = 1 x2 e h(x) = x3 , encontre:a) (f g)(x) b) (g f )(x) c) (h h)(x) d) [f (g + h)](x).

Observao 1.5. A composio de duas funes no comutativa, ou seja (f g)(x)pode ou no ser igual a (g f )(x).

Observao 1.6. A propriedade distributiva no se aplica composio de funes.Assim, [f (g + h)](x) no necessariamente o mesmo que (f g)(x) + (f h)(x).

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1.6.3 Funo inversaPara se estudar as funes inversas necessrio conhecer alguns tipos fundamentais de funes, como as funes injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

Funo injetora:Uma funo f : A B injetora se cada elemento de B imagem de um nico elemento de A. Veja a representao desse tipo de funo na Figura 1.4.A f B

Figura 1.4: Funo injetora. Como para cada valor de y no domnio de uma funo injetora f existe exatamente um x, tal que y = f (x), uma reta horizontal y = c pode cruzar o grco de f no mximo uma vez. Caso contrrio, o grco no representa uma funo injetora. Na Figura 1.5, apenas o grco da direita representa uma funo injetora.

Funo sobrejetora:Uma funo f : A B sobrejetora se todos elementos de B formam a imagem de f , ou seja, Im(f ) = B . Veja sua representao na Figura 1.6.

Funo bijetora:Uma funo f : A B bijetora quando ao mesmo tempo for injetora e sobrejetora. A Figura 1.7 representa esse tipo de funo.

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y 3 3

y

2

2

X1

X1

X

x 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3

x

1

1

2

2

3

3

Figura 1.5: Teste para vericar se uma funo injetora.A f B

Figura 1.6: Funo sobrejetora.A f B

Figura 1.7: Funo bijetora. Como cada y B imagem de um nico x A, isto , x A | f (x) = y , pode-se denir uma outra funo denotada por f 1 : B A, a qual associa cada 17

y B , a um elemento x A tal que f 1 (y) = x. Ou seja, f (x) = y f 1 (y) = x.

A funo f 1 justamente a funo inversa de f .

Funo inversa:Seja f uma funo bijetora denida de A em B , com x A e y B , sendo (x, y) f . Denomina-se funo inversa de f , e indica-se por f 1 , o conjunto dos pares ordenados (y, x) f 1 com y B e x A. A Figura 1.8 representa gracamente uma funo bijetora e sua inversa.A f B A f-1

B

Figura 1.8: Funo bijetora f e sua inversa f 1 . importante observar que cada funo bijetora s possui uma funo inversa correspondente. Dada uma funo bijetora f , para se obter sua inversa f 1 basta reescrever a lei de denio de f substituindo x por y e y por x.

Exemplo 5. Determine a funo inversa da funo f (x) = x + 5. Observao 1.7. Duas funes f (x) e g(x) so inversas uma da outra se, e somentese, f (g(x)) = x e g(f (x)) = x.

Exemplo 6. Mostre que as funes f (x) = 3x e g(x) =

x so inversas. 3

18

1.7 Funes TranscendentesObservao 1.8. Reviso de potenciao:Considerando a, b > 0, ento para todos os reais x e y tem-se: a) ax ay = ax+y b) c)ax ay (ax )y = axy

d) (a b)x = ax bx e) f)( a )x b ayx

=

ax bx y ax .

= axy

=

1.7.1 Funo exponencialUma funo exponencial qualquer funo que possua a varivel independente x como um expoente de uma potncia de base a em sua lei de denio. Sua forma bsica f (x) = ax , onde a > 0 e a = 1.( )x 1 So exemplos de funes exponenciais: g(x) = , h(x) = 4x e 2

Exemplo 7.m(x) = 2x .2

Exemplo 8. Uma pesquisa mostra que o nmero de bactrias em uma dada cultura obtida pela frmula Q(t) = 300 3 4 . Sabendo que t medido em dias, estime:t

a) a populao inicial; b) a populao aps 4 dias; c) a populao aps 12 dias.

Propriedades da funo exponencial:Toda funo exponencial da forma f (x) = ax corta o eixo y no ponto(0, 1), possui domnio D(f ) = R e imagem Im(f ) = {y R|y > 0}. A funo

positiva em todo seu domnio, ou seja, f (x) > 0 : x R. Veja na Tabela 4 algumas propriedades relacionadas base a da funo exponencial.

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Tabela 4: Propriedades da funo exponencial.a>0 00

Existem duas bases de logaritmos que so mais usuais. Os logaritmos decimais, de base b = 10, indicados por log10 (N ), ou apenas log(N ), e os logaritmos naturais (ou neperianos), de base b = e, denotados por loge (N ) ou ln(N ).

Consequncias da denio de logaritmos:a) logb (1) = 0 b) blogb (N ) = N c) logb (b) = 1 d) logb (N ) = logb (P ) N = P e) logb (bm ) = m

Propriedades operacionais dos logaritmos:

(1) O logaritmo de um produto igual soma dos logaritmos de seus fatores:log(N P ) = log(N ) + log(P ).

(2) O logaritmo de um quociente igual diferena entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor:( log N P ) = log(N ) log(P ).

(3) O logaritmo de uma potncia o produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia:log(N p ) = p log(N ).

(4) O logaritmo de uma raiz de radicando positivo igual ao logaritmo do radicando dividido pelo ndice do radical: 22

log

( ) 1 p N = log(N ). p

Funo logartmica:Denomina-se funo logartmica de base b, a funo f de R+ em R denida por f (x) = logb (x), com b = 1, b > 0 e x > 0. Quando b > 1, a funo logartmica crescente, e quando 0 < b < 1, ento a funo decrescente. O domnio de uma funo logartmica da forma f (x) = logb [g(x)] a soluo da inequao g(x) > 0, e a imagem de qualquer funo logartmica formada por todos os nmeros reais. Para determinar a raiz da funo, resolve-se f (x) = 0 utilizando as propriedades dos logaritmos. O grco da funo logartmica f (x) = logb (x) pode assumir as seguintes formas, de acordo com a Tabela 6. Observa-se que o grco de f (x) = logb (x) intercepta o eixo x no ponto (1, 0), tanto na funo crescente quanto na decrescente. importante tambm destacar que esses grcos se alteram caso o logaritmando seja diferente.

Tabela 6: Grco da funo logartmica f (x) = logb (x).b>1 0 C(x) e, portanto, L(x) > 0 (Lucro positivo). x < xc , ento, R(x) < C(x) e, portanto, L(x) < 0 (Prejuzo). x = xc , ento, R(x) = C(x) e, portanto, no h lucro L(x) = 0.

Exemplo 1.8. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crtico) e esboce ogrco da funo receita e funo custo dadas respectivamente por R(x) =1 C(x) = 20 + x. Obtenha a funo lucro e faa o estudo do sinal. 4 1 x e 2

Exemplo 1.9. O lucro de uma empresa expresso por

L(x) = x2 + 10x 24,

onde x representa a quantidade de produtos vendidos por ms. a) Para quais quantidades de produto a empresa no possui lucro, nem prejuzo? b) Determine a quantidade para a qual o lucro mximo. c) Qual o valor mximo para o lucro? d) Se forem vendidas 6 unidades de produto no ms, a empresa ter lucro ou prejuzo? Qual o valor desse lucro ou desse prejuzo? 27

e) Esboce o grco da funo que representa o lucro nessa situao.

1.8.4 Funo Demanda e Oferta do 1o grauOferta e Demanda so as foras que movimentam as economias de mercado. Mercado designa um grupo de compradores e de vendedores de um dado bem ou servio. Oferta e Demanda se referem ao comportamento de compradores e vendedores, quando interagem no mercado. Oferta denida pelos vendedores e Demanda pelos compradores. Demanda ou procura a quantidade (q ou x) de produto que os consumidores querem e podem comprar. A demanda cresce com a queda no preo, uma funo decrescente. A demanda de um bem funo de muitas variveis. Supondo-se que somente o preo unitrio (P ) do produto varie, verica-se que o preo P relaciona-se com a quantidade demandada (q ou x). Chama-se funo de demanda a relao entre P e x, P = f (x). A procura de determinado produto determinada pelas vrias quantidades que os consumidores esto dispostos e aptos a adquirir, em funo de vrios nveis possveis de preo, em dado perodo de tempo. Ento, as quantidades procuradas dependem inversamente dos preos (Introduo Economia, Jos Paschoal Rossetti, 2002). A relao de dependncia, entre quantidades procuradas ou demandadas e preos, descreve uma funo linear de coeciente angular negativo. Assim, se dispusermos as quantidades demandadas ou procuradas no eixo horizontal do plano cartesiano, representando os preos no eixo vertical, teremos, para a funo demanda ou procura, uma reta descendente, resultante do princpio denido: quanto mais altos os preos, menores as quantidades procuradas correspondentes. Por exemplo: P = 10 0, 002x, representa a funo demanda do nmero de refrigerantes (x) demandados por semana, numa lanchonete. A oferta de determinado produto determinada pelas vrias quantidades que os produtores esto dispostos e aptos a oferecer no mercado, em funo de vrios nveis possveis de preos, em dado perodo de tempo (Introduo Economia, Jos Paschoal Rossetti, 2002). As quantidades ofertadas dependem diretamente dos preos. A relao 28

de dependncia entre quantidades ofertadas e preos descreve uma funo linear de coeciente angular positivo. Conseqentemente, a representao grca da curva de oferta oposta de procura. Colocando as quantidades ofertadas no eixo horizontal e os preos no vertical, teremos uma reta ascendente da esquerda para a direita. Em todas as estruturas de mercado, as posies dos produtores e dos consumidores, em relao a uma dada escala de preos, podem estar em conito. Expostos a preos considerados baixos, os produtores dispem-se a produzir menos, comparativamente s situaes em que os preos se consideram satisfatrios. J os consumidores esto em posio oposta: os preos baixos que estimulam a adquirir maiores quantidades. Essas posies conituosas resultam dos prprios conceitos e das conformaes bsicas da procura e da oferta. H, porm, uma posio de equilbrio possvel, dada pela interseco das curvas de oferta e demanda. No ponto de interseco, dene-se o ponto de equilbrio, que o preo que harmoniza os interesses conitantes dos produtores e dos consumidores (Introduo Economia, Jos Paschoal Rossetti, 2002). Ponto de equilbrio a situao onde o preo atinge um valor, onde a demanda e a oferta se igualam. o ponto de interseco da reta de oferta com a de demanda.

A relao entre quantidade demandada e preo de uma mercadoria representada pela reta P no grco acima. Esta descreve o comportamento do consumidor, que compra mais quando o preo cai e compra menos quando o preo sobe. Essa variao inversa entre preo e quantidade demandada, que se observa na reta descendente (coeciente angular negativo), chamada curva de demanda. A relao entre preo e quantidade oferecida de uma mercadoria descreve o comportamento do produtor e representada pela reta O no grco acima. A reta 29

ascendente (coeciente angular positivo), pois quando o preo sobe, signica que existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, no entanto, quando o preo cai, a oferta diminui. A reta ascendente chamada de curva de oferta. O Preo de Equilbrio, E , o preo correspondente a iguais quantidades de demanda e oferta, isto , ocorre em um dado preo no qual a quantidade procurada igual quantidade oferecida. No grco acima, o ponto de equilbrio representado pelo ponto de interseco das duas retas. Abaixo desse ponto de encontro, as quantidades procuradas ou demandadas sero superiores s ofertadas. Por outro lado, acima do ponto de encontro das duas retas, os excedentes das quantidades ofertadas em relao s procuradas conduziro a uma competio entre os produtores, provocando um natural rebaixamento do preo.

Exemplo 1.10. Num certo mercado, as equaes de oferta e demanda de um produto so dadas respectivamente por O : x = 60 + 5p e D : x = 500 13p. Qual a quantidade transacionada quando o mercado estiver em equilbrio?

Observao 1.10. (Modelo de Crescimento e Decrescimento Exponencial)O crescimento exponencial ocorre quando a taxa de crescimento de uma funo proporcional a prpria funo. isso implica que, para qualquer quantidade crescendo exponencialmente, quanto maior a quantidade existente, mais rpido crescer, se usarmos a escala de tempo correta. Uma grandeza da forma Q(t) = Q0 ekt , em que Q0 e k so constantes positivas, tem um crescimento exponencial. Por exemplo, os juros compostos.

Exemplo 1.11. Em um municpio, aps uma pesquisa de opinio, constatou-seque o nmero de eleitores dos candidatos A e B variava em funo do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funes A(t) = 2 105 (1, 6)t e B(t) = 4 105 (0, 4)t . Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao 1o de janeiro de 2012. a) Calcule o nmero de eleitores dos candidatos A e B em 1o de janeiro de 2012. b) Determine em quantos meses os candidatos tero o mesmo nmero de eleitores.

Exemplo 1.12. Um equipamento sofre) depreciao exponencial de tal forma ( umaque daqui a t anos ser V (t) = 6561 a) Qual o seu valor hoje? 301 3t

.

b) Qual o seu valor daqui a 3 anos? c) Qual ser a depreciao total at essa data? d) Faa o grco de V em funo de t.

Exemplo 1.13. Um capital de R$aplicado?

1.000, 00 foi aplicado a uma taxa de 5% aa.

O saldo nal da aplicao foi de R$ 1.340, 09. Por quanto tempo o capital cou

Exemplo 1.14. Emprestei R$ 1.000, 00 a um amigo, a uma taxa de juros compostosde 1% am. Por quanto tempo esse amigo pode sustentar o emprstimo e pagar R$1.600, 00 ao nal do perodo?

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1.9 ExercciosExerccio 1.1. Dada a equao da funo y = 3x 6, determine:a) domnio e imagem; b) raiz ou zero da funo; c) intervalos onde a funo positiva e onde negativa; d) esboo do grco.

Exerccio 1.2. Considere a funo f (x) = |x2 + 6x + 5|:a) determine seu domnio; b) escreva a funo denida por partes correspondente; c) calcule f (1); d) esboce seu grco.

Exerccio 1.3. Responda s perguntas abaixo utilizando a funo f (x) = 1 +a) Qual funo descrita por f (x2 )?( ) 1 ? x2 x5 . 2x + 3

x.

b) Qual funo descrita por f

Exerccio 1.4. Determine o domnio de f (x) =verso o conjunto dos nmeros reais. a) (x 1)(2x + 1)(2 x) > 0 b) c) d)x2 x 6 0 x+1 x+2 2 1 + 2 x1 2 (3x 1)(x + 4) 0. x

Exerccio 1.5. Resolva as seguintes inequaes, considerando como conjunto uni-

Exerccio 1.6. Sejam denidas as funes f (x) = x3 e g(x) = x2 +4 . Determine:32

a) (f g)(4) b) (f g)(2) c) (g f )(4) d) (g f )(2).

Exerccio 1.7. Sejam as funes f , g e h denidas por f (x) = 4x, g(x) = x 3 eh(x) =

x. Expresse cada uma das seguintes funes atravs das composies de

funes escolhidas entre f , g e h. a) i(x) = 4 x b) j(x) = x3

c) k(x) = 4x 12 d) l(x) = x 6 e) m(x) = 4x.

Exerccio 1.8. Sendo f (x) = 2x + 10 e g(x) = x2 100, calcule o valor de x paraque g(f (x)) = 0.

Exerccio 1.9. Determine, se existir, a funo inversa das funes seguintes, de Rem R, denidas por: a) y = 2x + b) y = c)x+2 3 3 2

d) y = e) f)

1 , x = 2 x2 x1 , x = 0 2x

g) y = 4x 1 h) y = x2 9 i)y = 4 + (x + 3)2 .

y=

y = x2 + 1, x 0

y = x3

Exerccio 1.10. Em um municpio, aps uma pesquisa de opinio, constatou-se queo nmero de eleitores dos candidatos A e B variava em funo do tempo t, em anos, de acordo com as funes A(t) = 2 105 (0, 9)t e B(t) = 6 105 (0, 3)t . Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao 1o de janeiro de 2009. a) Calcule o nmero de eleitores dos candidatos A e B em 1o de janeiro de 2009. 33

b) Determine em quantos meses os candidatos tero o mesmo nmero de eleitores.

Exerccio 1.11. Num perodo prolongado de seca, a variao da quantidade de guade certo reservatrio dada pela funo q(t) = q0 20,2t , onde q0 a quantidade inicial de gua no reservatrio e q(t) a quantidade de gua no reservatrio aps t meses. Em quantos meses a quantidade de gua se reduzir metade do que era no incio?

Exerccio 1.12. Considere as funes f (x) = 2x e g(x) = 2x , determine para cadauma delas: a) o seu domnio; b) a sua imagem; c) o comportamento quando x +; d) o comportamento quando x ; e) o esboo do grco.(ex + ex )2 (ex ex )2 . (ex + ex )2

Exerccio 1.13. Simplique a expresso:

Exerccio 1.14. Determine os zeros da funo f (x) = x2 ex + 2xex . Exerccio 1.15. Os registros de sade pblica indicam que em t semanas aps oincio de uma doena virtica, aproximadamente Q(t) = tero contrado a doena.20 mil pessoas 1 + 19e1,2t

a) Quantas pessoas tinham a doena quando ela comeou a se espalhar? b) Quantas pessoas tinham contrado a doena aps o m da segunda semana? c) Se a tendncia continuasse, aproximadamente quantas pessoas ao todo teriam contrado a doena?

Exerccio 1.16. Reescreva as expresses:a) log3 [3(x a)(x b)]( ) x2 . y3z4

b) logx

34

Exerccio 1.17. Escreva cada uma das seguintes expresses como um logaritmo:a) 2 ln(x) 8 ln(y) + 4 ln(z)ln(x + h) ln(x) h

b)

c) x ln(x) (x 1) ln(x 1).

Exerccio 1.18. O Sr. ngelo proprietrio de um hotel para viajantes com

40

sutes. Ele sabe que, se cobrar R$ 150, 00 por diria, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada R$ 5, 00 de aumento na diria, uma sute permanece vazia. a) Obtenha a funo de demanda admitindo-a como funo do primeiro grau. b) Qual o preo que deve ser cobrado para maximizar a receita?

Exerccio 1.19. O proprietrio de um salo de beleza vericou que, quando o preodo corte de cabelo era R$ 20, 00, o nmero de clientes era 100 por semana. Vericou tambm que, quando o preo passava para R$ 15, 00, o nmero de clientes dobrava. a) Obtenha a funo de demanda admitindo seu grco linear. b) Qual o preo que deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?

Exerccio 1.20. O custo de uma empresa expresso por C(x) = x2 6x + 10.a) Determine a quantidade na qual o custo mnimo. b) Qual o valor mnimo para o custo? c) Esboce o grco da funo custo.

Exerccio 1.21. Um capital de R$2.500, 00.

22.500, 00 foi aplicado a uma taxa mensal de

3,5%. Determine o tempo necessrio para que o capital tenha um rendimento de R$

Exerccio 1.22. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crtico, onde a receita igual ao custo) e esboce o grco da funo receita, R(x) = 3x, e custo, C(x) =1 10 + x. A partir dos dados determine a funo lucro e diga para que valor de x o 2

lucro positivo, negativo (prejuzo) e nulo.

35

Exerccio 1.23. O custo xo mensal de uma empresa R$a) Obtenha a funo receita; b) a funo custo total unitrio; c) o ponto de nivelamento; d) a funo lucro mensal.

30.000, 00, o preo

unitrio de venda R$ 8, 00 e o custo varivel por unidade R$ 6, 00.

Exerccio 1.24. Em certa localidade, a funo de oferta anual de um produtoagrcola P = 0, 01x 3, em que P o preo por quilograma e x a oferta em toneladas. a) Que preo induz a uma oferta de 500 toneladas? b) Se o preo por quilograma for de R$ 3, 00, qual ser a produo anual? c) Qual o ponto de equilbrio de mercado se a funo de demanda anual forP = 10 0, 01x?

36

Captulo 2 Limite e Continuidade2.1 MotivaoUma empresa fabrica uma linha de armrios para escritrios. Estima-se que o custo total de fabricao de x armrios C(x) = 100x + 200.000 reais por ano, de modo que o custo mdio da fabricao de x armrios dado por:CM (x) = C(x) . x

O que acontece com o custo mdio medida que o nvel de produo aumenta? Observe a tabela 1: Tabela 1: Valores do custo mdio de fabricao. Qtde armrios CM (x)1 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000 C(1) = 100 + 200.000 = 200.100 C(1.000) = 100 + C(10.000) = 100 + C(1.000.000) = 100 + C(10.000.000) = 100 +200.000 1.000 200.000 10.000

= 300 = 120 = 100, 20 = 100, 02

200.000 1.000.000

. . .

. . .

200.000 10.000.000

x +

C(x) = 100 +

200.000 x

= 100

O custo mdio se aproxima de um valor constante medida que o nvel de produo aumenta. Quando a produo pequena o custo muito alto. Observe o grco: 37

Figura 2.1: Grco do custo mdio de fabricao No sculo XVII estudos realizados por Newton e Leibniz levaram ao desenvolvimento do Clculo, motivados at ento pela resoluo de problemas fsicos (encontrar uma reta tangente a uma curva) e tambm por problemas geomtricos (rea de uma regio limitada por uma curva arbitrria). Esses estudos transformaram o Clculo numa poderosa ferramenta para soluo de problemas do cotidiano, tais como: - taxa de variao do lucro em relao ao tempo; - crescimento populacional; - taxa de variao de vendas de um certo produto em relao propaganda; - uxo de renda futura acumulado por uma empresa. Assim, se desenvolveu o Clculo Diferencial e Integral baseados em um conceito mais fundamental: o limite de uma funo.

2.2 Denio de Limite FinitoA noo natural de limites tem a ver com o comportamento de uma funo quando a varivel independente tende a um determinado ponto. Escreve-se o "limite de f (x) quando a varivel independente x tende a a igual a L"comoxa

lim f (x) = L.

38

Figura 2.2: Limites

Exemplo 2.1. Como ser o comportamento da funo f (x) = x2 x + 1 quando xest cada vez mais prximo de 2?

Exemplo 2.2. Observe a Figura 2.2:O que acontece com a funo f (x) quando x se aproxima de a, mantendose porm x = a? importante salientar que no importa o que acontece quando x = a, mas sim o que acontece com f (x) para x nas proximidades de a.

2.3 Limites LateraisDenio 2.3.1. Denio de limite direitaSeja uma funo f denida pelo menos em um intervalo (a, b), diz-se que o nmero L o limite de f (x) com x tendendo a a pela direita e denota-se porxa+

lim f (x) = L.

Denio 2.3.2. Denio de limite esquerdaSeja uma funo f denida pelo menos em um intervalo (c, a) , diz-se que o nmero L o limite de f (x) com x tendendo a a pela esquerda e denota-se porxa

lim f (x) = L.

Teorema 2.3.1. (Existncia do limite nito) O limite xaf (x) = L existe e limigual a L se, e somente se, os limites laterais lim+ f (x) e lim f (x) existirem e ambos forem iguais a L.xa xa

Exemplo 2.3.

2x 1, x = 3 Como ser o comportamento da funo f (x) = 5, x=3

quando est cada vez mais prximo de 3? 39

Exemplo 2.4.x1

x + 1, x < 1 Considere a funo f (x) = x2 1, x 1

a) Calcule lim+ f (x). b) Calcule lim f (x).x1

c) Determine, se houver, lim f (x).x1

Exemplo 2.5. Considere as funes f (x) =a) Calcule lim+ f (x).x0

|x| e g(x) = |x|: x

b) Calcule lim f (x).x0

c) Determine, se houver, lim f (x).x0

d) Calcule lim+ g(x).x0

e) Calcule lim g(x).x0

f) Determine, se houver, lim g(x).x0

2.4 Propriedades do Limite FinitoSejam L, M , a e k nmeros reais e lim f (x) = L e lim g(x) = M . Ento,xa xa

as seguintes propriedades so vlidas:

Limite de uma constanteO limite de uma constante a prpria constante:lim k = k.

xa

Limite da funo identidadeO limite da funo identidade f (x) = x o valor de a:lim x = a.

xa

Limite da somaO limite da soma de duas funes a soma de seus limites:lim {f (x) + g(x)} = L + M.

xa

Limite da diferena40

O limite da diferena de duas funes a diferena de seus limites:lim {f (x) g(x)} = L M.

xa

Limite do produtoO limite do produto de duas funes o produto de seus limites:lim {f (x) g(x)} = L M.

xa

Limite do quocienteO limite do quociente de duas funes o quociente de seus limites, desde que o limite do denominador no seja zero:f (x) lim xa g(x) { } = L , M = 0. M

Limite da multiplicao por uma constanteO limite de uma constante multiplicada por uma funo a constante multiplicada pelo limite da funo:lim {k f (x)} = k L.

xa

Limite da potenciaoO limite da n-sima potncia de uma funo igual n-sima potncia do limite da funo:]n lim [f (x)] = lim f (x) = Ln .n xa

[

xa

Ou ainda:lim [f (x)]g(x)

[ = lim f (x)xa

] lim g(x)xa

xa

= LM .

Limite da radiciaoO limite da raiz n-sima de uma funo igual raiz n-sima do limite da funo:lim n n f (x) = n lim f (x) = L.xa

xa

se L > 0 e n um inteiro positivo ou se L 0 e n um inteiro positivo mpar. 41

Limite de uma funo polinomialPara qualquer polinmio, p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn e qualquer nmero real a, ento:lim p(x) = p(a).

xa

Limite de uma funo racionalSeja a funo racional f (x) =lim f (x) = lim P (x) , ento seu limite dado por: Q(x)

xa

P (x) P (a) = , Q(a) = 0. xa Q(x) Q(a)

Limite do logaritmo natural de uma funoO limite do logaritmo natural de uma funo igual ao logaritmo natural do limite da funo:] lim {ln[f (x)]} = ln lim f (x) = ln(L).xa

[

xa

Exemplo 2.6. Se a demanda dada pordetermine:

p=

60 5x 27 e a oferta p = 4 + x, x6 7

a) o comportamento do preo se o nmero de unidades demandadas tender a 10. b) o comportamento do preo se o nmero de unidades demandadas tender a 7. c) o comportamento do preo se o nmero de unidades produzidas tender a 10. d) o comportamento do preo se o nmero de unidades produzidas tender a 14.

Exemplo 2.7. Se a demanda dada por p =

de p quando o nmero de unidades demandadas se aproxima de 6?

60 5x , o que acontecer com o valor x6

2.5 Limites innitos e Limites no innitoSe os valores de f (x) crescem indenidamente quando x tende a a, escreve-se lim f (x) = +. Da mesma forma, se f (x) decresce indenidamentexa

quando x tende a a, escreve-se lim f (x) = .xa

42

Denio 2.5.1. A reta vertical x = a chamada assntota vertical ao grco def (x) se pelo menos uma das seguintes condies for verdadeira:xa+

lim f (x) = + lim f (x) = +

xa+

lim f (x) =

xa

xa

lim f (x) = .

Exemplo 2.8. Calcule o limite de f (x) =

x quando x tende a 4. x4

importante saber o comportamento de uma funo f (x) quando x torna-se um valor muito grande (tendendo ao innito) ou muito pequeno (tendendo a ).1 x

Exemplo 2.9. Considerando a funo f (x) = , calcule:a) lim f (x)x+

b) lim f (x)x

c) lim+ f (x)x0

d) lim f (x)x0

Observao 2.1.x+

lim xn = +, se n = 1, 2, 3, . . . +, n = 2, 4, 6, . . . lim xn = x , n = 1, 3, 5, . . .

2.6 Indeterminaes0 , ou nas potncias 1 , 00 , 0 . 0 0 Indeterminao do tipo 0

So indeterminaes as substituies obtidas no clculo de limite que

resultam em ,

Em uma funo racional quando o denominador e o numerador forem

ambos nulos, fatoram-se o numerador e o denominador, cancelando seus fatores comuns, podemos reduzir a frao a uma outra, onde o numerador e o denominador no sejam mais nulos em x = a. Se isso acontecer, podemos obter o limite por substituio na frao simplicada. 43

Exemplo 2.10. Como o comportamento da funo f (x) =x se aproxima de 3?

x2 6x + 9 quando x3

Indeterminao do tipo

potncia de que aparece no denominador.

f (x) Se lim = , divide-se o numerador e o denominador pela maior x+ g(x) x . x3

Exemplo 2.11. Determine o valor de x lim

2.7 Continuidade de funes de uma varivelNesta unidade estuda-se o conceito de continuidade e descontinuidade em funes. Atravs do estudo dos limites, ser denida a continuidade em um ponto, que ser a base das propriedades e denies envolvendo continuidade. Na modelagem de diversos fenmenos, muitas vezes importante se investigar a existncia de pontos de descontinuidade da funo, e se possvel, encontrar uma forma de evit-los. Tambm sero analisados os tipos de descontinuidade que podem aparecer em uma funo.

2.7.1 Noo intuitivaO grco de uma funo pode ser descrito como uma curva contnua se no apresentar saltos, nem interrupes. Observe os grcos na Figura 2.3.y y y y

f (x)

g(a)

g(x)

h(x)

i (x)

L

L

L

L i (a)

a

x

a

x

a

x

a

x

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2.3: Grcos de f (x), g(x), h(x) e i(x). O grco (a) f (x) contnua, enquanto que nos demais grcos as funes no so contnuas. Em (b), lim g(x) = g(a), em (c), h(a) no est denida e emxa

44

(d), lim i(x) no existe, pois lim i(x) = lim+ i(x).xa xa xa

2.7.2 Denio de continuidadeDenio 2.7.1. Uma funo f (x) contnua em x = a (ponto de acumulao dodomnio de f ) se as seguintes condies forem satisfeitas: a) a pertence ao domnio da funo, isto , f (a) est denida; b) lim f (x) existe, ou seja, lim f (x) = lim+ f (x);xa xa xa

c) lim f (x) = f (a).xa

Caso contrrio, f (x) descontnua em a.

Exemplo 2.12. Uma companhia ferroviria cobra R$ 10, 00 por milha para transportar um vago at 200 milhas e R$ 8, 00 por cada milha que exceda 200. Alm disso, a companhia ferroviria cobra uma taxa de servio de R$ 1.000, 00 por vago. a) Escreva a funo que representa o custo de transporte de um vago em funo do nmero de milhas a serem transportadas. b) Determine o custo para transportar um vago por 300 milhas. c) Esboce o grco de C(x). d) Determine se C(x) uma funo contnua. 2 x + x 2 , se x > 1 x1 Verique se a funo f (x) = contnua 2 x, se x 1

Exemplo 2.13.em x = 1.

45

2.8 ExercciosExerccio 2.1. Determine o valor dos limites:a) lim c) lim1 x3 (x 3)2

b) lim+ ln(x 3)x3

x2 36 x6 x 6

d) lim

8x2 x 2x2 + 13

Exerccio 2.2. Suponha que uma fbrica seja capaz de produzir 15.000 unidadesem um turno de 8h de trabalho. Para cada turno existe um custo xo de R$ 2.000,00 (luz, gua, etc.). Suponha que o custo varivel (salrio, matria-prima, etc.) seja de R$ 2,00 por unidade. a) Escreva a funo que representa o custo da fbrica C(x) para a produo de x unidades, para 0 x 45.000. b) Determine o custo para produzir 30.000 unidades. c) Esboce o grco de C(x). d) Determine se C(x) uma funo contnua. 2 x + x 2 , se x > 1 x1 Verique se a funo f (x) = contnua x + 2, se x 1

Exerccio 2.3.em x = 1.

46