Apostila_2013 (1)

CÁLCULO III

Prof. Luly Rodrigues

Profª. Edna Alves Oliveira

- 2013 -

UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA

Cálculo III

2

FFUUNNCCÕÕEESS DDEE VVÁÁRRIIAASS VVAARRIIÁÁVVEEIISS IINNDDEEPPEENNDDEENNTTEESS

1. DEFINIÇÕES:

Considere o exemplo: "uma caixa d'água na forma retangular, com capacidade para

256 litros, sem tampa, deve ser construída com chapa de ferro galvanizado de

espessura desprezível. Calcular as dimensões da caixa de maneira que seja mínima a

quantidade de chapa metálica necessária para construí-Ia".

Figura 3 -Caixa d'água retangular

A quantidade de chapa metálica necessária para construir a caixa d'água será

determinada pela área total: Atotal = 2xz + xy + 2yz - a cada terno de valores

atribuídos a x, y, e z (domínio) corresponde um valor da área total (imagem). Dizemos

que a área total (Atotal) é uma função com três variáveis independentes.

Mas, sabe-se que xyz = 256 litros (equação), então, neste exemplo podemos diminuir

o número de variáveis independentes para duas, pois, z = 256 / xy.

Portanto,

total

512 512A xy

y x= + + .

Pelo exemplo, pode-se definir função e equação:

• Função: "é uma correspondência que associa a cada elemento de seu domínio (D)

a exatamente um elemento do seu contradomínio (I)".

z

y

x


Cálculo III

3

• Equação algébrica: "é uma igualdade com incógnitas - representadas por variáveis

(x, y, z) que pertencem ao conjunto dos reais".

“Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado

de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y).

O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possíveis de f, ou

seja, ∈f x y x y D( , ) ( , ) .” (STEWART, 2007)

Utilizando notações, pode-se definir uma função de várias variáveis da seguinte

forma:

D : Rn → I : R

Portanto, uma função de duas variáveis reais:

D : R2 → I : R

→ =D:(x,y) I:z f (x,y)

Representação gráfica:


Cálculo III

4

2. ESTUDO DO DOMINIO

Domínio de uma função de duas variáveis (f(x,y)): “é o mais amplo subconjunto

de R2 em cujos pontos a função assume valores reais bem definidos”.

Exemplos:

a) Considere a função: ( ) x yf x,y

x y += −

. Este quociente só não é definido

quando x - y = O, isto é, quando y = x. O domínio é, pois, o conjunto:

2D (x,y) R / y x= ∈ ≠ .

Geometricamente, D é o conjunto dos pontos do plano xy que não pertencem à

reta y = x.

b) Examinemos a função: ( )2 2

x y 7f x,y

1 x y

+ − = − −

O numerador é um polinômio do 10 grau nas variáveis x e y, e, como tal, é definido

em R2.

Para que o denominador seja real e não nulo, deve-se ter:

1 -x2 -y2 > 0, ou x2 + y2 < 1.

Segue-se que o domínio da função f (x, y) é Sabe-se da Geometria Analítica que D

é 2 2 2D (x,y) / x y 1= ∈ + < o disco aberto de centro na origem e raio 1.


Cálculo III

5

EXERCÍCIOS SOBRE DOMÍNIO DAS FUNÇÕES DE DUAS OU TRÊS VARIÁVEIS

1. Estude o domínio das funções (represente algébrica e geometricamente).

a) = =z f(x,y) xy

Resposta: representação algébrica ( ) = ∈ ≥ ≥ ∪ ≤ ≤2D x,y R / x 0 e y 0 x 0 e y 0 ,

representação geométrica do domínio: o primeiro e o terceiro quadrantes incluindo os eixos.

b) = = −z f(x,y) ln(y 3x)

Resposta: ( ) = ∈ >2D x,y R / y 3x

c) z=y

yxyxf12

34),( 3 +++=

Resposta: ( ) = ∈ > − ∪ ≠

2 3D x,y R / x y 0

4


Cálculo III

6

d) = =+2 2

yz f(x,y)

x y

Resposta: ( ) ( ) ( ) 0,0,/, 2 ≠∈= yxRyxD

e) ( )= =− −2 2

2xyz f(x,y)

ln 36 x 9y

Resposta: ( ) = ∈ + <

2 22 x y

D x,y R / 136 4

f) += =

+ +2 2 2

4xy zw f(x,y,z)

x y z

Resposta: ( ) ( ) ( ) = ∈ ≠3D x,y,z R / x,y,z 0,0,0


Cálculo III

7

g) = =−uv

z f(u,v)u 2v

Resposta: todos os pontos do plano uv, exceto os pontos da reta u = 2v.

h) z=2 23

( , )9

x yf x y

x y

+=− −

Resposta: ( ) = ∈ − ≠2 2 2D x,y R / x y 9


Cálculo III

8

3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES (IMAGEM)

As propriedades da função refletem-se no seu gráfico, por isso, este é um elemento de

valor no estudo da função. Ao observar o gráfico de uma função, percebe-se

imediatamente várias propriedades desta.

O gráfico de uma função de duas variáveis trata-se de um subconjunto do espaço

tridimensional R3. Esse gráfico denomina-se superfície representativa da função. A

figura 4 ilustra o gráfico de funções duas variáveis. Cada ponto P = (x, y) do domínio

D da função corresponde um único valor real z, na forma de notação tem-se: z = F (x,

y).

Figura 4 – Gráfico de funções de duas variáveis

Exemplos:

a) Represente graficamente = = − −z f (x,y) 6 2x 3y .

Solução: esta função pode ser escrita na forma + + =2x 3y z 6 o que corresponde

a equação de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um

plano, são necessários, no mínimo, três pontos, por exemplo:

= = → =

= = → =

= = → =

se x 0 e y 0 z 6

se x 0 e z 0 y 2

se y 0 e z 0 x 3

z

y

x


Cálculo III

9

b) Represente graficamente = =z f (x,y) 5 .

Solução: a superfície é um plano paralelo ao plano cartesiano XY, que intercepta

o eixo Z em 5.

c) Represente graficamente = = − −2 2z f (x,y) 100 x y e trace as curvas de nível f(x,

y)=0, f(x, y)=51 e f(x, y) = 75 no domínio de f no plano.

Solução: o domínio de f é o plano xy, e a imagem de f é o conjunto de números

reais menores ou iguais a 100. O gráfico é o parabolóide z = 100 –x2 – y2, uma

parte se encontra ilustrada na figura 5.

A curva de nível f(x, y) = 0 é o conjunto de pontos no plano xy nos quais:

2 2 2 2f (x,y) 100 x y 0 ou x y 100= − − = + =

que representa uma circunferência de raio 10 centrada na "origem. Similarmente as

curvas de nível f (x,y) 51 e f (x,y) 75= = (figura 5) são as circunferências:

2 2 2 2f (x,y) 100 x y 51 ou x y 49= − − = + =


Cálculo III

10

2 2 2 2f (x,y) 100 x y 75 ou x y 25= − − = + =

A curva de nível f(x, y)= 100 consiste apenas a origem (ainda é uma curva de

nível).

Figura 5 - Gráfico e curvas de nível selecionadas da função f (x,y) = 100 – x2 – y2

Observe que a projeção (ortogonal) da superfície S sobre o plano xy é

precisamente o domínio D da função.

d) Represente graficamente = = − −2 2z f (x,y) 1 x y .

Solução: a superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem e raio 1.

e) Represente graficamente = = +2 2z f (x,y) x y .

Solução: a superfície gerada é um parabolóide de revolução.

100

z

f(x,y)=75

10

10 f(x, y)

A superfície z = (f, x) = 100 –x2 – y2 é o gráfico de f

y

f(x,y) = 51 (uma curva de nível típica no domínio da função)

x


Cálculo III

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f) Represente graficamente = = − −z f (x,y) 6 2x 3y .

Solução: esta função pode ser escrita na forma + + =2x 3y z 6 o que corresponde

a equação de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um

plano, são necessários, no mínimo, três pontos, por exemplo:

= = → =

= = → =

= = → =

se x 0 e y 0 z 6

se x 0 e z 0 y 2

se y 0 e z 0 x 3

3.1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

Vimos que, em duas dimensões, o gráfico de qualquer equação do segundo grau x e y,

+ + + + + =2 2Ax By Cx Dy Exy F 0


Cálculo III

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é uma seção cônica (salvo em casos degenerados). Em três dimensões, o gráfico de

uma equação de segundo grau em x, y, z,

+ + + + + + + + + =2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0

é uma superfície quádrica (salvo em casos degenerados). Por simplicidade,

limitaremos o estudo ao caso em que os coeficientes D, E, F, H, e I são todos zero. As

equações mais gerais podem reduzir-se a este caso mediante translações e rotações

adequadas de eixos.

Há três tipos de superfícies quádricas: elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. Os

nomes se devem ao fato de que os traços em planos paralelos aos planos coordenados

são em geral elipses, hipérboles e parábolas, respectivamente. A seguir, apresentam-

se algumas superfícies quádricas com os traços em cada plano cartesiano.


Cálculo III

13

ELIPSÓIDE

Traço

Equação do

Traço

Descrição

do Traço

Esboço do Traço

Traço-xy

2 2

2 2

x y1

a b+ =

Elipse

Traço-yz

2 2

2 2

y z1

b c+ =

Elipse

Traço-xz

2 2

2 2

x z1

a c+ =

Elipse

+ + =2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c

x

y

(0, b, 0)

(a,

z

z

y (0, b,

x

(0, 0,

z

y (0, b,

x

(0, 0,

(a, 0,

z

y

(0, b, 0)

x

(0, 0, c)

(a, 0, 0)

traço-yz

traço-xy traço-xz


Cálculo III

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HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA

Traço

Equação do

Traço

Descrição

do Traço

Esboço do Traço

Traço-xy

2 2

2 2

x y1

a b+ =

Elipse

Traço-yz

− =2 2

2 2

y z1

b c

Hipérbole

Traço-xz

− =2 2

2 2

x z1

a c

Hipérbole

+ − =2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c

z

y

(0, b, 0)

x

(a, 0, 0)

z

y

(0, b, 0)

x

z

y

x

(a, 0, 0)

z

y x

traço em z = -k

z = k


Cálculo III

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HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS

Traço

Equação do

Traço

Descrição

do Traço

Esboço do Traço

Traço-xz

2 2

2 2

x y1

a b− =

Hipérbole

Traço-xz

− =2 2

2 2

x z1

a c

Hipérbole

− − + =2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c

traço em z = -k

Traço em Z=K

y

z

x

z

y (0, b,

x

z

y

x

(0, 0,


Cálculo III

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- TABELA 1 –

OS SEIS TIPOS NÃO DEGENERADOS DAS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

SUPERFÍCIE

EQUAÇÕES

SUPERFÍCIE

EQUAÇÕES

ELIPSÓIDES

2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c+ + =

Os traços nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto.

CONE ELÍPTICO

= +2 2

22 2

x yz

a b

Os traços do plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos ao plano xy não elipses. Os traços yz e xy são pares de retas que se interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles.

HIPERBOLÓIDE DE

UMA FOLHA

2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c+ − =

O traço no plano xy é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano xy. Os traços nos planos yz e xz são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos x e y. Nestes interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.

PARABOLÓIDE ELÍPTICO

2 2

2 2

x yz

a b= +

O traços em plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele saião elipses. Os traços nos planos xy e xz, bem como em planos paralelos a eles são parábolas.

HIPERBOLÓIDE DE

DUAS FOLHAS

2 2 2

2 2 2

z x y1

c a b− − =

Não há traço no plano xy. Em planos paralelos ao plano xy que interceptam a superfície em mais do que um ponto os traços são elipses. Nos planos yz, xz e nos planos paralelos a eles, os traços são hipérboles.

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO

2 2

2 2

y xz

b a= −

O traço no plano xy é um par de retas que cruzam na origem. Os traços em planos paralelos ao plano xy são hipérboles. As hipérboles acima do plano xy abrem-se na direção y e as abaixo na direção x. Os traços nos planos yz e xz são parábolas, assim como os traços nos planos paralelos a estes.

Y

X

z


Cálculo III

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EXERCÍCIOS SOBRE IMAGEM DAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

1. Represente a função dada desenhando algumas curvas de nível, no mesmo plano

coordenado, e tente visualizar a superfície a partir do mapa de contorno resultante.

a) = = +2 2z f(x,y) x y : Resposta: curvas de nível – circunferências concêntricas

centradas na origem / superfície – parabolóide circular

b) = = −2 2z f(x,y) y x Resposta: curvas de nível – hipérboles que interceptam os

eixos x (se K < 0) e o eixo y (se K > 0) e retas que passam pela origem (se K = 0) /

superfície: parabolóide hiperbólico (sela)

2. Esboce a superfície definida pelas funções ou equações.

a) 2 2z f(x,y) 36 9x 4y= = − − e) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36= = − + −

b) 2 2z f(x,y) 72 4x 9y= = − + f) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36= = + +

c) 2 2z f(x,y) 9 x y= = − − g) 2 2z f(x,y) 25 x y= = − − −

d) = = − −z f(x,y) 4 4x 2y h) + + =2 2x 4y z 16

3. Ache a equação da curva ou da superfície de nível de f que contém o ponto P.

a) f(x,y) yarctg x;P(1;4)= : Resposta: y arctg x = π

b) 2 xyf (x,y) (2x y ) e ; P(0; 2)= + Resposta: (2x + y2) exy = 4

c) = + − −2 2 2f (x,y,z) x 4y z ; P(2; 1; 3) / FAÇA UM ESBOÇO DA SUPERFÍCIE DE NÍVEL

Resposta: 2 2 2x 4y z 1− − + = / hiperbolóide de duas folhas

d) 2 2f (x,y) 2x y ; P(0, 2)= + / FAÇA UM ESBOÇO DA CURVA DE NÍVEL QUE CONTÉM P

Resposta: 2 2x y

12 4

+ = / elipse

e) 2 2f (x,y,z) x 4y z; P(2; 1; 12)= − − + − / FAÇA UM ESBOÇO DA SUPERFÍCIE DE NÍVEL

Resposta: 2 2z x 4y 4= + − / parabolóide elíptico


Cálculo III

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4. Uma chapa plana de metal está situada em um plano xy, de modo que a

temperatura T (em ºC no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância do

ponto até a origem.

a) Descreva as isotérmicas; Resposta: círculos com centro na origem

b) Se a temperatura no ponto P (4, 3) é de 40ºC, ache a equação da isotérmica para

uma temperatura de 20ºC. Resposta: x2 + y2 = 100

5. De acordo com a lei da gravitação universal de Newton, se uma partícula de massa

m0 está na origem de um sistema coordenado xyz, então o módulo F da força

exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto (x, y, z) é dada por:

02 2 2

Gm mF

x y z=

+ +

em que G é a constante de gravitação universal.

a) Quantas variáveis independentes estão presentes?

b) Se m0 e m são constantes, descreva as superfícies de nível da função x, y, z

resultante. Qual o significado físico dessas superfícies de nível.

Respostas: a) cinco

b) esferas com centro na origem.

6. Se o potencial elétrico no ponto P(x, y, z) é dado por V = 6 / (x2 + y2 + 9z2)1/2,

ache a equação da superfície equipotencial (superfície de nível) quando V = 120

volts e faça um esboço desta superfície.


Cálculo III

19

4. DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Se z f (x,y),= então a derivada parcial de f em relação à x (também chamada

de derivada de z em relação à x) é a derivada em relação à y da função que

resulta quando y é mantido fixo e x é permitido variar. Essa derivada parcial é

denotada por xf

f (x,y)x

∂=∂

e pode ser expressa como limite:

∆ →∂ + ∆ −= =∂ ∆x x 0f f (x x,y) f (x,y)

f (x,y) limx x

Analogamente, a derivada parcial de f em relação à y (também chamada de

derivada parcial de z em relação à y) é a derivada em relação à y da função que

resulta quando x é mantido fixo e y é permitido variar. Esta derivada parcial é

denotada por ∆ →∂ + ∆ −= =∂ ∆y y 0

f f (x,y y) f(x,y)f (x,y) lim

y y

Exemplos:

a) Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função

( ) ( )= = + ⋅3 2z f (x,y) x y sen 2x :

Solução

( ) ( ) ( )∂= = ⋅ + + ⋅ ∂2 3 2

x

ff (x,y) 3x sen 2x 2 x y cos 2x y é cons tante

x

( )∂= = ⋅ ∂y

ff (x,y) 2y sen 2x x é cons tante

y

b) Exemplo de uma função de três variáveis independentes

Se os resistores elétricos R1, R2, R3 ohms são conectados em paralelo para formar um

resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação:

1 2 3

1 1 1 1R R R R

= + +

(Figura 6). Encontre o valor 2

RR

∂∂

quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms.


Cálculo III

20

Figura 6 – Resistores em paralelo

Solução: para encontrarmos 2

RR

∂∂

tratamos R1 e R3 como constantes e derivamos

ambos os lados da equação em relação a R2.

++

∂∂=

∂∂

32122 R

1

R

1

R

1

RR

1

R

0R

10

R

R

R

12

222+−=

∂∂−

2

22

2

2

2 R

R

R

R

R

R

==

∂∂

Quando R1=30, R2=45 e R3=90,

15

1

90

1

45

1

30

1

R

1 =++= ,

assim R = 15 e

9

1

3

1

45

15

R

R 22

2=

=

=∂∂

+ -

R1

R2

R3


Cálculo III

21

4.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais

A derivada parcial ( )0000 ,),( yxx

fyxf x ∂

∂= é a inclinação da tangente `a curva C1 [z =

f(x, y0)] no ponto P (x0, y0) - (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à

curva C1 em P forma com o eixo X) – ver figura 7.

Figura 7 – Interseção do plano y = y0 com a superfície z = f(x, y) vista de um

ponto acima do primeiro quadrante do plano xy – Fonte/ THOMAS, 2003.

A derivada parcial y

f)y,x(fy ∂

∂= é a inclinação da tangente `a curva C2 [z = f(x0, y)] no

ponto P – (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C2 em P forma

com o eixo Y) – ver figura 8.


Cálculo III

22

Figura 8 – Interseção do plano x = x0 com a superfície z = f(x, y) vista de um

ponto acima do primeiro quadrante do plano xy– Fonte/ THOMAS, 2003.

As tangentes às duas curvas C1 e C2 em P são, em geral, duas retas concorrentes

em P (figura 9), as quais determinam um plano que se diz plano tangente à

superfície definida pela função z = f(x, y).

Figura 9 – As figuras 7 e 8 combinadas – as retas tangentes no ponto P (x0, y0)

determinam um plano tangente à superfície z = f(x, y).


Cálculo III

23

EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

1. Em cada caso achar as derivadas parciais y

yxfe

x

yxf

∂∂

∂∂ ),(),(

das funções dadas:

a) f(x, y) = ( x³ + y³ ) ( x – y ) d) f(x, y) = ln ( x² + 3y² )

b) f(x, y) = sen ( x + y ) + cos ( x – y ) e) )y3x(

y)y,x(f

+=

c) f(x, y) = ( x² + xy + y² )³ f) xye)ylnx()y,x(f −=

g) 2xye)y,x(f =

Respostas:

a) fx=4x³ + y³ - 3x²y , fy = 3xy² - x³ - 4y³

b) fx = cos (x + y) – sen (x – y) , fy = cos ( x + y ) + sen ( x – y )

c) fx=3( x² + xy +y² )² ( 2x + y ) , fy = 3( x² + xy +y² )² ( x + 2y )

d) 232

2

yx

xxf

+= ,

2326

yx

yyf

+=

e) 23y)(x

yxf +

−= , 23y)(x

xyf

+=

f) ylny)xy(1exfxy −+= ;

−−=

y

1xlnyxeyf 2xy

2. Calcular as derivadas parciais primeiras da função f(x,y) = ln ( x tg (y) ) no ponto

4;3:π

P .

Respostas: 2)(3

1)( =

∂∂=

∂∂

Py

feP

x

f

3. O volume de uma certa quantidade de gás é determinada pela temperatura (T) e

pela pressão (P) através da fórmula 0,08T

VP

= . Calcule e interprete V V

eP T

∂ ∂∂ ∂

quando P = 20 N/m² e T = 300 K.

Respostas: 3 3

2(20;300) 0,06 (20;300) 0,04

/

V m V me

P N m T K

∂ ∂= − =∂ ∂


Cálculo III

24

4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem - )y;x(x

f

∂∂

e )y;x(y

f

∂∂

- da função

( ) 32

22 yx)y,x(f += e descreva em quais pontos as derivadas parciais de primeira

ordem deixam de existir (faça o gráfico).

5. Imagine uma chapa metálica – fina e retangular – desigualmente aquecida sobre o

plano XY, com o canto inferior esquerdo na origem x e y, conforme Figura 1:

Figura 1 - Chapa metálica sobre o plano XY (X e Y são distâncias em centímetros).

A temperatura (em graus Celsius) no ponto (x, y) é 22

5),(

yx

xyxT

+= . No ponto P (3,

4), pede-se:

(a) a taxa de variação instantânea da temperatura em relação à distância

quando uma partícula, sobre a placa, move-se para a direita e paralelamente ao

eixo X, a partir do ponto P;

(b) a taxa de variação instantânea da temperatura em relação à distância

quando uma partícula, sobre a placa, move-se para cima e paralelamente ao

eixo Y, a partir do ponto P;

(c) interprete os resultados encontrados nas letras (a) e (b).

6. Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano y = 1 corta o

parabolóide de revolução z = x² + y², no ponto P:( 2; 1; 5 ).


Cálculo III

25

Resposta: 1 4tan−α = .

7. Calcular a inclinação da tangente à curva C1, que corresponde à interseção da

superfície 2 3z f x y 4x y xy( , )= = − com o plano y = 2, no ponto P (3, 2, 48).

Resposta: ( )1 40 88 57tan ,− °α = = .

5. DIFERENCIAL TOTAL

A diferencial de uma função f em um ponto é uma combinação linear das diferenciais

das projeções x e y tendo como coeficientes as derivadas parciais da função no dito

ponto.

Se f = f (x, y), tem-se:

f fdf dx df

x y∂ ∂= +∂ ∂

Se f é uma função de n variáveis, a diferencial é dada pela expressão:

1 2 3 n1 2 3 n

f f f fdf dx dx dx ... dx

x x x x∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

Usando um somatório, pode-se escrever, de modo mais condensado:

n

kk l k

fdf dx

x=

∂=∂∑


Cálculo III

26

EXERCÍCIOS SOBRE DIFERENCIAL TOTAL

1. Determinar a diferencial total da função:

=

yz arc tg

x

a) em um ponto genérico ( x, y ), x ≠ O; Resposta: ( )= − ++2 2

1dz ydx xdy

x y

b) no ponto P:( 1,-2). Resposta: ( )= +1dz 2dx dy

5

2. Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, deve possuir

altura interna igual a 6 cm, raio interno de 2 cm e espessura de 0,1 cm. Se o

custo do metal a ser usado é de 10 centavos por cm3, encontre por diferenciação

o custo aproximado do metal a ser usado na fabricação da lata.

Resposta: custo por lata = R$ 1,00

3. Deseja-se dimensionar um vaso, na forma de um cilindro circular reto, de aço

inoxidável, cujas dimensões internas são: altura igual a 40 cm, diâmetro de 20

cm. Sabendo que a espessura da chapa é de 1 mm, qual é o volume do material

empregado? (USE O CONCEITO DE DIFERENCIAL TOTAL)

4. Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7,5 cm de

diâmetro e 15 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm.

(Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: v 4 219,∆ = π cm3

5. Utilize o conceito de diferencial total para determinar o máximo erro no cálculo da

área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa aberta retangular com

altura = 25 m, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro máximo de

0,3 cm em cada dimensão. Respostas: v 1380∆ = cm3 e A 120∆ = cm2


Cálculo III

27

6. A potência consumida numa resistência elétrica é dada por R

VP

2

= watts.

Se V = 12 volts e R = 6 ohms, determine o valor da variação da potência se V é

aumentada de 0,015 volts e R é aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do

resultado: a potência é reduzida ou aumentada? (Utilize o conceito de diferencial

total). Resposta: P 0 052,∆ = watts

7. Seja um retângulo com lados 3=x cm e 4=y cm. Utilize o conceito de diferencial

total para definir a variação aproximada da diagonal deste retângulo, sabendo que

o lado x foi aumentado 005,0 cm e o lado y diminuído 0,004 cm. Resposta:

0002,0−=dD cm

8. A resistência de um circuito elétrico é dada por E

RI

(= Ω ohms). Sabendo que

E = 18 V (volts) e I = 6 A (ampères), porém, foi feita a leitura de E = 17,985 V e

I = 6,125 A, determinar a variação da resistência. (Utilize o conceito de diferencial

total). Resposta: R 0 063,∆ = Ω (ohms)


Cálculo III

28

EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

1. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das funções e verificar que

xy yxf f=

a) xf (x,y) e sen(y) ln(xy)= +

b) 2 2x y

f(x,y) ,x 0 e y 0y x

= − ≠ ≠

c) xy y

f(x,y) e ln ,x 0 e y 0x

−= + > >

Respostas:

a) x x xxx yy xy yx2

1 1f e seny , f e seny , f f e cosy

2 y= − = − − = =

b) x x xxx yy xy yx2

1 1f e seny , f e seny , f f e cosy

2 y= − = − − = =

c) − − = + = − −

x xy y

xx yy2 2 3 2

1 1 x x 1f e , f e 2

yy x y y

− = = −

xy

xy yx 2

1 xf f e 1

yy

2. Determine o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais de 2a ordem de

cada uma das funções:

a) x

xyyyxf24

712),( 2 ++= b) 325 158),( yxxyyxf −++=

c) y

yxyxf12

34),( 3 +++= d) 22

3),( x

x

t

ttxf ++=

e) 125),( 25 +++= srsrsrf f) yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 ++=

Respostas:

a) 23

127−

−=∂∂

xyx

f 2

5

2

2

18)(

−=

∂∂

xx

f xy

y

f724 +=

∂∂

24)( 2

2

=∂∂

y

f

722

=∂∂

∂=∂∂

∂xy

f

yx

f 0/),( 2

)( >∈= xIRyxD f


Cálculo III

29

b) 354

2)15(5

1xyx

x

f −+=∂∂ −

359

2

2

2)15(25

4

)(yx

x

f −+−=∂∂ −

2238 yxy

f −=∂∂

yxy

f 2

2

2

6)(

−=∂∂

222

6xyxy

f

yx

f −=∂∂

∂=∂∂

∂ 2

)( ),( IRyxD f ∈=

c) 21

)34(2−

+=∂∂

xx

f 2

3

2

2

)34(4)(

−+−=

∂∂

xx

f 23

212

3

1 −−−=

∂∂

yyy

f 33

5

2

2

249

2

)(−−

+−=∂∂

yyy

f

022

=∂∂

∂=∂∂

∂xy

f

yx

f

≠−≥∈= 0,

4

3/),( 2

)( yxIRyxD f

d) xtxx

f22 +−=

∂∂ − 22

)(3

2

2

+=∂∂ −tx

x

f 136 −− +−=

∂∂

xtt

f 4

2

2

18)(

−=∂∂

tt

f

222

−−=∂∂

∂=∂∂

∂x

xt

f

tx

f 2

fD x t IR x 0 e t 0( ) ( , ) /= ∈ ≠ ≠

e) 2425 srr

f +=∂∂

3

2

2

100)(

rr

f =∂∂

21

)12(2−

++=∂∂

srss

f 2

3

2

2

)12(2)(

−+−=

∂∂

srs

f

srs

f

sr

f2

22

=∂∂

∂=∂∂

∂

−≥∈=

2

1/),( 2

)( sIRsrD f

f) )cos(3 xx

f =∂∂

)sen(3)( 2

2

xx

f −=∂∂

5)sen(2 2 +−=∂∂

yyy

f

)sen(2)cos(4)(

2222

2

yyyy

f −−=∂∂

022

=∂∂

∂=∂∂

∂xy

f

yx

f 2

)( ),( IRyxD f ∈=

3. Determine o domínio (algébrico e geométrico) e a derivada parcial

4

xzyx

ff

x y z x

∂ =∂ ∂ ∂ ∂

da função ( )2

f ( x,y,z ) 3xzx y z 4

= ++ + −

, no ponto P (1, -1,

1).


Cálculo III

30

6. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

6.1 Plano tangente

Seja z = f (x, y) uma função diferenciável no ponto P:(xo; yo). Quando passamos do ponto P

a um ponto próximo (x, y) o acréscimo z f∆ = ∆ da função é (eq. [1]) :

f fz f (P) x (P) y

x y∂ ∂∆ = ∆ = ∆ + ∆∂ ∂

[1]

ou

0 0 0f f

z z (P)(x x ) (P)(y y )x y

∂ ∂− = − + −∂ ∂

[2]

A equação [2] representa um plano do espaço, o qual passa pelo ponto P:(xo; Yo),

pertencente ao gráfico da função z = f(x, y). Trata-se do plano tangente ao gráfico

de f no ponto P. Observando os resultados, concluímos que o valor f (x, y) da função

em um ponto (x, y) próximo de (x0; y0) é aproximadamente igual à cota z do plano

tangente ao gráfico de f no ponto P:(x0; Y0; f(x0; y0)). Desse modo quando

escrevemos (eq.[3]):

x0

x0 Z = f (x, y)

z0

0 0f

tg (x ,y )y

∂β ≈∂

y

z

P: (x0, y0, z0)

β

x x

0 0

ftg (x y )

x∂α = −∂


Cálculo III

31

0 0f f

f (x,y) (P)(x x ) (P)(y y )x y

∂ ∂≈ − + −∂ ∂

[3]

estamos substituindo a superfície de equação z f(x, y), na vizinhança do ponto P:(x0,

y0, f(x0;y0)), pelo plano tangente neste ponto.

6.2 Reta normal

“A normal à superfície no ponto P é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano

tangente neste ponto”.

Portanto, da equação [2] do plano tangente: 0 0f f(P)(x x ) (P)(y y ) (z c) 0

x y∂ ∂− + − − − =∂

deduzimos que a direção da normal é dada pelo vetor ∂ ∂= − ∂ ∂

ur f fv (P); (P); 1

x y.

Portanto, podemos escrever a equação cartesiana da normal à superfície em P na

forma (eq. [4]):

0 0 0x x y y z zf f 1(P) (P)x y

− − −= =

∂ ∂ −∂ ∂

[4]


Cálculo III

32

EXERCÍCIOS SOBRE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

1. Achar a equação do plano tangente e a equação da normal ao parabolóide elíptico:

= = +2 2z f (x,y) 2x 5y no ponto P:( -2; 1: 13 )

Resposta:plano tangente: 8x-10y+z+13=0 reta normal: 2 1 13

8 10 1

x y z+ − −= =− −

.

2. Considere a superfície definida pela função z = f(x,y) = e3x sen(3y) e o ponto

π

P : 0,6

. Determine:

a) a inclinação do plano tangente em relação aos eixos cartesianos no ponto P e a

equação cartesiana do plano;

b) a equação da reta normal à superfície em P.

Respostas:

a) Inclinação do plano −= → α = = →1

x yf (P) 3 tan 3 e f (P) 0 plano paralelo ao

eixo Y / Equação do plano tangente: 3x – z + 1 = 0;

b) reta

x 3t

normal: y6

z t 1

=

π = = − +

→ Equação paramétrica da reta


Cálculo III

33

7. DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE

A derivada da função f = f(x, y), no ponto P, na direção de um vetor Sur

é dada pelo

produto escalar do gradiente ( )f (P)∇ur

e o vetor unitário 0S ,ur

isto é:

∂ = = ∇∂

ur

ur urur 0S

fD f(P) f(P) S

S

Sendo: 0

SS

S=

rr

r - vetor unitário;

i j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

rr r r - operador diferencial vetorial;

f f f

f i j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

rr r r - gradiente de uma função f = f(x, y, z).

EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE

1. Calcular a derivada da função 4 2 2 3z x 3x y 2y 5xy 3x 5= − + − + + z, no ponto

P:(-1,2), na direção de cada um dos vetores dados a seguir:

a) = +v v v3 1u i j

2 2 Resposta: ( )1

17 13 32

+

b) = −v v vu 6i 3j Resposta:

9

5

c) AB, sendo A :(1; 3) e B :(3; 5)− −uv

Resposta: 2 2−

d) w z(P)= ∇uv uv

Resposta: 458

2. Dada a superfície de nível: e2z (sen x - cos y) = 1 e o ponto P:(0, π , 0).

Determine:

a) o gradiente da função f (x,y, z) em P; Resposta: f (P) gradf (P) i 2K∇ = = +ur v uv

b) explique o significado geométrico do resultado obtido na letra a.


Cálculo III

34

3. Determinar a equação do plano tangente à esfera x2 + y2 + z2 = 14, no P:(3, 1, -2).

Resposta: 3x + y - 2z - 14 = O .


Cálculo III

35

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Esboce o domínio de f . Use as linhas cheias para a parte que inclui a fronteira no

domínio e linhas tracejadas para as que nãoincluem.

a) xyln y)f(x, = ;

b) 3

1y)f(x,

2

22

+−+

=y

yx;

c) 222x-25 z)y,f(x, zy −−= .

Respostas: a) primeiro e terceiro quadrante, exceto os pontos pertencentes aos

eixos cartesianos; b) os pontos pertencentes à circunferência centrada na origem

de raio 1 e os externos à essa circunferência; c) esfera centrada na origem de raio

5 e os pontos externos à essa esfera.

2. Esboce a superfície definida pela função:.

a) 22x-1 y)f(x, y−= ;

b) 1y)f(x, 22 −+= yx ;

c) 3y-2x-6 y)f(x,z == ;

d) 164x-y y)f(x, 22 −=

Respostas:

a) b)


Cálculo III

36

c) d)

3. Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k .

a) 22y y)f(x, x−= k = -4 , 0 , 9

b) yx −= 2y)f(x, k = -2 , 0 , 3

c) ( ) ( )22 32-x y)f(x, ++= y k = 1 , 4 , 9

Respostas:

a) b) c)

4. Esboce a superfície de nível de f(x,y,z) = k .

a) 222 44x z)y,f(x, zy ++= , k = 16;

b) f(x,y,z) 4x 2y z= − + , k = 1.

5. Determine o gradiente de f em P e então use o gradiente para calcular a derivada

de f na direção do vetor ur. Sendo:


Cálculo III

37

( ) kjiuPzyzyxrrrr

13

12

13

4

13

3;4,2,1;)32xln(),,(f 222 −−−=−++=

Respostas: 741

314)(;

57

24

57

8

57

2)(f grad −=++−= PfDkjiP u

r

rrr

6. Determine a derivada direcional de ( )zx

yzyxf

+=,, em P(2, 1, -1) na direção de P a

Q(-1, 2, 0).

Resposta: 11

3

7. Determine um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e

determine a taxa de crescimento de f naquela direção.

( )1,1,1;1),,(f 323 −−++= Pzzyzxzyx

Respostas: 23)(;2

1

2

1 =−= Pfgradjiurrr

8. A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y, z) de um sólido de metal é

( )221

,,zx

xyzzyxT

++=

(a) Determine a taxa de variação da temperatura em relação à distância em P(1,

1, 1) na direção da origem.

(b) Determine a direção na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente a

partir do ponto P. (Expresse a sua resposta como um vetor unitário).

(c) Determine a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo de P na direção

obtida na letra (b).

9. A temperatura (em graus Celsius) em uma região no espaço é dada por:

T(x, y, z) = 2x2 – xyz.

Uma partícula se move nesta região e sua posição no instante t é dada por x = 2t2,

y = 3t, z = -t2, onde o tempo é medido em segundos e a distância em metros.

(a) Qual é a taxa de variação máxima da temperatura “sentida” pela partícula em

graus Celsius por metro quando a partícula está no ponto P:(8, 6, -4).


Cálculo III

38

(b) Qual é a taxa de variação da “sentida” pela partícula em graus Celsius por

segundo em P?

Respostas: (a) 80,4 ºC/m ; (b) 352 ºC/s

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

10. Um prédio industrial de formato retangular com dimensões x, y, e z está

esquematizado na Fig.1 (a). Na Fig. 1 (b) fornecemos a quantidade de calor

perdida por dia através de cada uma das laterais do prédio, do teto, e do piso,

medidas em unidade apropriada de calor, por metro quadrado. Seja f(x,y,z) a

perda de calor total em um dia.

Figura 1 – Esquema do formato retangular de um prédio retangular e quantidade de calor

perdida por dia

(a) Encontre uma fórmula para f(x,y,z).

(b) Encontre a perda total de calor diária tendo o prédio o comprimento de 100 m,

largura de 70 m e altura de 50 m.

(c) Calcule x

f

∂∂

, y

f

∂∂

e z∂

∂f.

(d) Calcule )1,3,2(f

z∂∂

.

(e) Interprete o resultado obtido na letra (d)


Cálculo III

39

11. FUNÇÃO PRODUÇÃO

Os custos de um processo de manufatura podem em geral ser classificados em dois

tipos: custo de mão-de-obra e custo de capital. O significado do custo de mão-de-

obra é evidente. Por custo de capital entendemos a soma de diversos custos, como

o de prédios, ferramentas, maquinário e itens similares utilizados no processo de

produção. Usualmente um empresário tem algum controle sobre parte dos custos

de mão-de-obra e capital utilizados em seu processo de produção. Ele pode

automatizar completamente a produção, de forma a reduzir a mão-de-obra para o

mínimo possível, ou pode utilizar mão-de-obra ao máximo e reduzir os custos de

capital. Suponha que x unidade de mão-de-obra e y de capital sejam utilizadas.

Seja f(x,y) o número de unidades acabadas do produto manufaturado. Economistas

descobriram que f(x,y) é freqüentemente uma função da forma:

Ay −= 1AxC y)f(x, ,

em que A e C são constantes, 0 < A < 1. Um função desse tipo é chamada de

Função Produção de Cobb-Douglas. (SCHNEIDER, David I.; LAY, David C.;

GOLDSTEIN, Larry J. Matemática Aplicada – Porto Alegre: Bookman, 2000).

(Produção em uma empresa) Suponha que durante um certo período de tempo o

número de unidades de bens produzidos, quando utilizando x unidade de mão-de-

obra e y unidades de capital, é 4/13/4x60 y)f(x, y= .

(a) Quantas unidades do bem serão produzidas, utilizando 81 unidades de mão-

de-obra e 16 unidades de capital?

(b) Mostre que a produção será dobrada sempre que as quantidades de mão-de-

obra e capital forem dobradas. (Economistas dizem que a função produção

tem “retorno constante por escala”).

(c) Determine a curva de nível na qual 600 unidades são produzidas.


Cálculo III

40

Resposta:

Figura 2 – Representação geométrica da curva de nível definida na letra (c).

(d) Encontre x

f

∂∂

e y

f

∂∂

.

Observação: as quantidades x

f

∂∂

e y

f

∂∂

são comumente chamadas de

produtividade marginal de mão-de-obra e de produtividade marginal de

capital.

(e) Encontre x

f

∂∂

e y

f

∂∂

, em x = 81 e y = 16.

(f) Interprete os valores obtidos na parte (e).

12. A produtividade de um país é dada por 3/12/3x300 y)f(x, y= , em que x é a unidade

de mão-de-obra e y unidades de capital.

(a) Calcule as produtividades marginais de mão-de-obra e capital quando x =

125 e y = 64.

(b) Seja h um número pequeno. Utilize o resultado do item (a) para determinar

o efeito aproximado na produção, provocado pela mudança na quantidade de

mão-de-obra de 125 para 125+h unidades, enquanto o capital permanece

fixo em 64 unidades.


Cálculo III

41

(c) Utilize o resultado da letra (b) para determinar o efeito aproximado de

decrescer a mão-de-obra de 125 para 124 unidades, enquanto o capital

permanece fixo em 64 unidades.

(d) Qual seria, aproximadamente, o efeito na produtividade provocado pelo

aumento de capital de 64 para 66 unidades, enquanto a mão-de-obra

permanece fixa em 125 unidades?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed.

Porto Alegre: Bookman, 2000. (Tradução de: Calculus). V.2.

ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2v.

LElTHOLD, Luiz. O cálculo com geometria analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3

ed. São Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Tradução de: The calculus with analytic

geometry). V.2.

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Trad. Seiji Hariki. São Paulo:

McGraw-Hill, 1987. 807p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2.

SWOKOWSKI, Earl. W. Cálculo com geometria analítica. Trad. Alfredo Alves de Faria.

2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). Y.2.

Notas de aula do Prof. Edson Durão Judice – Funções de Várias Variáveis.


Cálculo III

42

IINNTTEEGGRRAALL DDUUPPLLAA

1. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de

integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de

um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

Considere uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado (FIG. 1)

R = [a,b] x [c,d] = (x,y) ∈IR2| a < x < b, c < y < d .

Figura 1 – Região retangular R.

Vamos, inicialmente, supor f(x, y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z =

f(x,y) – conforme ilustra a figura 1.

Figura 2 – Gráfico de uma superfície S definida em um retângulo fechado R.

Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou

seja,

y

b a x

d

c

R

R


Cálculo III

43

S = (x,y,z) ∈IR3| (x,y) ∈ R, 0 < z < f(x,y).

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso

dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento

∆x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo

comprimento ∆y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados

passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.

Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = (x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j cada um dos quais

com área ∆A = ∆x∆y – ver figura 3.

Figura 3 – Divisão da região retangular R em sub retângulos.

Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte

de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com

base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área

do retângulo da base (Figura 4):

Vij = f(xij , yij)∆A.

Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os

volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de


Cálculo III

44

S:

V ≈ ∑∑==

∆m

1jijij

n

1i

A)y,x(f

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no

ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e,

então, adicionamos os resultados.

Figura 4 – Volume de um prisma (Vij) interno ao sólido limitado inferiormente pela região R e

superiormente pela superfície S.

A aproximação V ≈ ∑∑==

∆m

1jijij

n

1i

A)y,x(f melhora quando aumentamos os valores de m e

de n e, portanto, devemos esperar que:

V = ∑∑==∞→

∆m

1jijij

n

1in,mA)y,x(flim .

Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região

que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f.

Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição:


Cálculo III

45

A integral dupla de f sobre o retângulo R é

=∫∫R

dA)y,x(f ∑∑==∞→

∆m

1jijij

n

1in,mA)y,x(flim

se esse limite existir.

Pode-se provar que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso,

se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da

superfície z = f(x.y) é:

∫∫=R

dA)y,x(fV .

A soma ∑∑==

∆m

1jijij

n

1i

A)y,x(f é chamada soma dupla de Riemann e é usada como

aproximação do valor da integral dupla.

2. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS:

1) ∫∫∫∫∫∫ +=+DDD

dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[

2) ∫∫∫∫ =DD

dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c é uma constante

3) ∫∫∫∫∫∫ +=21 DDD

dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f ,

se D = D1 ∪ D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras.


Cálculo III

46

3. EXEMPLO

O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do

parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em

quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada

quadrado Rij.

Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale

1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela

soma de Riemann com m = n = 2, temos:

∑∑==

∆≈2

1jijij

2

1i

A)y,x(fV = f(1,1)∆A + f(1,2) ∆A + f(2,1) ∆A + f(2,2) ∆A

= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34

Esse é um volume aproximado das caixas, como mostra a figura 5:


Cálculo III

47

Figura 5 – Sólido limitado superiormente pelo parabolóide elíptico e inferiormente pelo

retângulo R.

Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de

quadrados. A figura 6 mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido

verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando

usamos 16, 64 e 256 quadrados.

Figura 6 – Melhor precisão matemática: maiores subdivisões retangulares.


Cálculo III

48

INTEGRAIS ITERADAS

Se f for contínua no retângulo R = (x,y) | a < x < b, c < y < d , então

calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado

abaixo:

∫ ∫∫ ∫∫∫

=

=

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f

Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for

limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.

Exemplo 2: Calcule o valor da integral ∫∫R

2ydAx , onde R = [0,3] x [1,2]

Solução: ∫∫R

2ydAx = ∫ ∫

3

0

2

1

2 dxydyx = ∫

3

0

2

1

22 dx

2

yx = ∫

−3

0

22 dx2

1x

2

4x =

y

3

2

x

1

0

R


Cálculo III

49

∫

3

0

2 dxx2

3=

3

0

3

3

x

2

3

= 5,13

2

27

2

x3

0

3

==

ou

∫∫R

2ydAx = ∫ ∫

2

1

3

0

2 dyydxx = ∫

2

1

3

0

3

dyy3

x= ∫

−2

1

dy0y3

27=

( )∫=2

1

dyy9 =

2

1

2

2

y9

=

5,132

27

2

9

2

36 ==−=

O valor obtido é o volume do sólido

acima de R e abaixo do gráfico da

função f(x,y) = x2y (Veja figura ao

lado)

Exemplo 3: Calcule ∫∫R

dA)xysen(y , onde R = [1,2] x [0,π].

Solução:

[ ]

00sen0sen2

1sensen

2

1

yseny2sen2

1dy)ycosy2cos(

dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y

00

0

21

0

2

1R

=−+π+π−

=

+−=+−

=−==

ππ

ππ

∫

∫∫ ∫∫∫

Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a

resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando


Cálculo III

50

o trabalho mais demorado. Portanto, é importante observar o tipo de função que

iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração.

2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do

sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está

abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.

Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide

elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.

Solução: Observemos, primeiro, que

S é o sólido que está abaixo da superfície

z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R =

[0,2] x [0,2], como mostra a figura.

Vamos calcular o volume deste sólido

usando integral dupla:


Cálculo III

51

( )

( )

483

8.42.88

3

y4y

3

88

dyy43

88

dyy43

832

dyxy23

xx16

dydxy2x16

dAy2x16V

2

0

3

2

0

2

2

0

2

2

0

2

0

23

2

0

2

0

22

R

22

=−=

−=

−=

−−=

−−=

−−=

−−=

∫

∫

∫

∫ ∫

∫∫

INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES NÃO RETANGULARES (IRREGULARES)

Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um

intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f,

não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral,

como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que

significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma

nova função F com domínio R por

( )f ( x,y ), se x,y estáem DF( x,y )

0, se( x,y )estáemDmasnãoestáemR

=

D

RRR RRR

x x

y y

0 0


Cálculo III

52

Se a integral dupla de F sobre D existe, então definimos a integral dupla de f

sobre R por

R D

f ( x,y )dA F( x,y )dA=∫∫ ∫∫

Cálculo da integral dupla em regiões planas não retangulares (irregulares)

1) Regiões planas inscritas em faixas verticais:

Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o

gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja:

D = (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x)

onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:

A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

∫ ∫∫∫ =b

a

)x(g

)x(gD

dxdy)y,x(fdA)y,x(f2

1

sempre que f for contínua em D.

2) Regiões planas inscritas em faixas horizontais:

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

b b b a a a

y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x)

y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x)


Cálculo III

53

Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o

gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja:

D = (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y)

onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:

A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

∫ ∫∫∫ =d

c

)x(h

)x(hD

dydx)y,x(fdA)y,x(f2

1

sempre que f for contínua em D.

Exemplo 5: Calcule ∫∫ +D

dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2 e y = 1 + x2.

Solução:

A região D está inscrita na faixa vertical –

1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos

de intersecção das duas parábolas e podemos

escrever:

D = (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

DDD

x

y

0

d d

d

c c c

x = h1(y)

x = h1(y)

x = h1(y)

x = h2(y)

x = h2(y) x = h2(y)

x

y

–1 1

y = 2x2

y = 1 + x2


Cálculo III

54

Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas:

[ ]

[ ] [ ]

( )

( )

15

32x

2

x

3

x2

4

x

5

x3

dx1xx2xx3

dxx4x2xx21xx

dxx4x2)x1()x1(x

dxyxydxdy)y2x(dA)y2x(

1

1

2345

1

1

234

1

1

43423

1

1

43222

1

1

x1

x22

1

1

x1

x2D

2

2

2

=

+++−−=

+++−−=

−−++++=

+−+++=

+=

+=+

−

−

−

−

−

+

−

+

∫

∫

∫

∫∫ ∫∫∫

Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2

e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y

= x2.

Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto:

D = (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x

Assim, o volume é:

( ) ( )

35

216

21

128

5

32

12

16.14

21

x

5

x

12

x14dx

3

xx

3

x14

dx3

xx

3

x8x2dx

3

yyx

dxdyyxdAyxV

2

0

7542

0

64

3

2

0

64

33

2

0

x2

x

32

2

0

x2

x

22

D

22

2

2

=−−=

−−=

−−=

−−+=

+=

+=+=

∫

∫∫

∫ ∫∫∫

y = 2x

y = x2


Cálculo III

55

Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:

D = (x,y) | 0 < y < 4, yx2

y ≤≤

Portanto, o volume pode ser calculado como:

( ) ( )

35

216256.

96

13128.

7

232.

5

2y

96

13y

7

2y

15

2dyy

24

13yy

3

1

dy2

y

24

yy

3

yxy

3

xdydxyxdAyx(V

4

0

427

254

0

325

23

4

0

332

5234

0

y

2y

234

0

y

2y

22

D

22

=−+=

−+=

−+=

−−+=

+=

+=+=

∫

∫∫∫ ∫∫∫

Exemplo 7: Calcule ∫∫D

xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela

parábola y2 = 2x + 6.

Solução:

A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:

[y2 = 2x + 6] ∩ [y = x – 1] ⇒ 2

6yx

2 −= e x = y + 1 ⇒ 1y2

6y2

+=− ⇒ y2 – 2y – 8 =

0

⇒ y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 )

y2 = 2x + 6

y = x – 1


Cálculo III

56

Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4).

Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa

vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na

faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída

por mais de uma curva.

Assim, preferimos expressar D como:

D = (x,y) | -2 < y < 4, 2

6y2 −< x < y + 1

Logo:

36643

6464

3

32256

3

5121024

3

2048

8

1

y163

y8y4

6

y

8

1

dy4

y32y8y16y

2

1

dy)8

y36y12y

2

yy2y(

dyy2

xdyxydxxydA

4

2

23

46

4

2

235

4

2

3523

4

2

1y

2

6y

24

2

1y

2

6yD2

2

=

++−+−++−=

−++−=

−++−=

+−−++=

=

=

−

−

−

−

+

−−

+

−

∫

∫

∫∫ ∫∫∫

Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x

= 2y, x = 0 e z = 0.

Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do

sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está.

Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que

contém as arestas do tetraedro:

(0, 1, 0)

(0, 0, 2)

x + 2y + z = 2 x = 2y

y

z y

1

x + 2y = 2

D

T


Cálculo III

57

A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos

coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2.

Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y

= 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x

= 2y, x + 2y = 2 e x = 0.

O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D

como:

D = (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 .

Portanto o volume de T é:

( ) ( ) [ ]

( )3

1

3

xxxdxxx21

dx4

x

2

xx

4

xx1

2

xxx2

dx4

x

2

xx

2

x1

2

x1x

2

x12

dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V

1

0

32

1

0

2

1

0

2222

1

0

222

1

0

2x1

2x

21

0

2x1

2/xD

=

+−=+−=

++−−+−+−−=

++−

−−

−−

−=

−−=−−=−−=

∫

∫

∫

∫∫ ∫∫∫−

−

x 1

½

x = 2y


Cálculo III

58

EXERCÍCIOS SOBRE INTEGRAL DUPLA EM COORDENADA CARTESIANA E

POLAR

1. Faça um esboço da região R (região de integração) e calcule as integrais:

a) ∫ ∫−

2

1

2

0

32 dxdyyx

b) ∫ ∫1

0 22

y

ydydxyx

c) ∫ ∫ −4

0

2

3

0

216x

dxdyx

d) ( )∫ ∫−

++

2

1

2

221

y

ydydxx

2. Calcule a integral dupla ∫∫R

dAxy2 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx),

sendo R a região entre a parábola 2yx = e a reta xy = ,

3. Calcule a integral dupla ( )∫∫ +R

dAx21 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx). R

é a região limitada entre a parábola 2yx = e a reta 2=− yx ,

4. Calcule a integral R

I x dS= ∫∫ , sendo R a região, pertencente ao plano XY (no 1º

quadrante), limitada pelas equações 2y x= , y x= e 2 2 4x y+ = .

5. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos

2 4x y z+ + = , x = 0, y = 0 e z = 0.


Cálculo III

59

6. Calcule a integral R

I y dS= ∫∫ , sendo R a região, pertencente ao plano XY (no 1º

quadrante), limitada pelas equações 2 y x= , y x= e 2 2 16x y+ = .

7. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos

2 2x y z+ + = , x = 0, y = 2x e z = 0.

8. Use a integral dupla para calcular as áreas das regiões limitadas pelas curvas:

a) 2yx = e 2−= xy

b) 2xxy −= e 0=+ xy

c) 2−= xy e 2−= xy

d) 2yx = e xy =

e) xy = e 23 xxy −=

EXERCÍCIOS SOBRE COORDENADA POLAR E INTEGRAL DUPLA EM

COORDENADA POLAR

1. Determine as equações polares para as curvas dadas em equações cartesianas:

(a) xy = 3 Resposta: r2 sen 2θ = 6

(b) (x2 + y2)2 = x2 – y2 Resposta: r2 = cos 2θ

(c) x3 = y2 (2a – x) Resposta: r = 2a senθ tgθ

2. Esboce o gráfico das seguintes equações polares:

(a) r = a

(b) θ =6π

3. Converta a função em coordenadas polares r = 2a senθ para coordenadas

cartesianas e faça um esboço da curva definida pela função.


Cálculo III

60

4. Ache a área da menor das regiões delimitadas pelo eixo polar, pelos gráficos de r=1

e r=2 e pela parte da espiral rθ=1 de θ=21

a θ=1. Resposta: 1

5. Utilize coordenadas polares para calcular ( )∫∫ +R

dSyx 2

322 onde R é a

circunferência x2 + y2 = 4.

Resposta: 5

64π

6. Ache a área da região R exterior ao círculo r = a e interior ao círculo r = 2a senθ.

Resposta: 1,9a2 (u.a)

7. Ache o volume da região que fica no exterior do cilindro x2 + y2 = 9 e no interior da

esfera x2 + y2 + z2 = 25. Resposta: 3

256π

8. Calcule ∫∫+

R

yx dxyde22

, usando coordenadas polares, onde R é a região semicircular

limitada pelo eixo x e pela curva 2x1y −= . Resposta: 2π

(e-1).

9. Calcular a integral convertendo para coordenadas polares ∫ ∫−

+1

0

x1

0

222

dxyd)yx( .

x

r = 2 r = 1

rθ = 1

θ =6

5π

r = 2a senθ

r = a

θ =6π


Cálculo III

61

Resposta: 8π


Cálculo III

62

QUESTÕES DE PROVA DOS SEMESTRES ANTERIORES

1. Considere a integral 1 6 3

0 3( , )

x

xI f x y dydx

−= ∫ ∫ , pede-se:

(a) faça um esboço região R de integração;

(b) considere a região definida na letra (a) e, inverta a ordem de integração, isto

é, defina os limites das integrais considerando ( , )R

I f x y dxdy= ∫∫ .

2. Resolva a integral ( )G

I x y dV= +∫∫∫ , sendo G o sólido, no 2º octante, que fica no

interior do parabolóide 2 236z x y= − − e interno ao cilindro de equação

2 2 16x y+ = - obs.: região limitada por circunferência. (Determine todos os pontos

de interseção do sólido com os eixos cartesianos e as equações das curvas no plano

xy).

3. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelos planos

2 2x y z+ + = , 1

2x y= , 0y = , 0z = . (Faça um esboço do sólido)

4. Considere a integral 1

1 24

0 2( , )

x

xI f x y dydx

−= ∫ ∫ , pede-se:





5. Resolva a integral ( )G

I x y dV= +∫∫∫ , sendo G o sólido, no 1º octante, que fica no


Cálculo III

63

interior do parabolóide 2 216z x y= − − e interno ao cilindro de equação 2 2 4x y+ = -

obs.: região limitada por circunferência. (Determine todos os pontos de interseção do

sólido com os eixos cartesianos e as equações das curvas no plano xy).

6. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelos planos

2 2x y z+ + = , 2x y= , 0x = , 0z = . (Faça um esboço do sólido)

7. Considere a integral 1 1

2

02

( , )x

xI f x y dydx−

= ∫ ∫ , pede-se:





8. Dada a integral 2

1 2

0( , )

y

yI f x y dxdy

−= ∫ ∫ , pede-se:


(b) considere a região definida na letra (a) e inverta a ordem de integração, isto


I f x y dydx= ∫∫ .

9. Dada a integral 2

1 2

0( , )

x

xI f x y dydx

+= ∫ ∫ , pede-se:


(b) considere a região definida na letra (a) e inverta a ordem de integração, isto




Cálculo III

64




ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2v.



geometry). V.2.

Notas de aula do Prof. Edson Durão Judice – Funções de Várias Variáveis, 1975.




2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). Y.2.

www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII /INTEGRAL_DUPLA.doc

INTEGRAL TRIPLA

1. INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CARTESIANAS (RETANGU LARES)

Seja f(x, y, z) uma função de três variáveis independentes definida em uma região fechada e limitada

(sólido G) do espaço XYZ.

Se subdividir G em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos cartesianos e

considerar um ponto arbitrário P (xk, yk, zk) para cada paralelepípedo no interior de G, conforme

ilustra a figura 1 (FIG. 1), tem-se:

( )∑=

∆⋅n

kkkkk Vzyxf

1

,,


Cálculo III

65

Onde kV∆ é o volume do paralelepípedo no interior do sólido G.

Figura 1 – Sólido G (região fechada e limitada do espaço XYZ).

Para considerar os n paralelepípedos (cujo volume é kV∆ ), todos os pontos internos ao sólido G e

que as arestas dos paralelepípedos tendem a zero quando n → ∞, deve-se fazer:

( )∑=

∞→ ∆⋅n

kkkkkn Vzyxf

1

,,lim .

Este limite (se existir) é definido como integral tripla de f (x, y ,z) em relação ao sólido G e

representa-se da seguinte forma:

( ) dVzyxfVzyxfG

n

kkkkkn ∫∫∫∑ =∆⋅

=∞→ ),,(,,lim

1

Cujas propriedades, de forma análoga à integral dupla, são:

a. ;,),,(),,( RcdVzyxfcdVzyxfcGG

∈= ∫∫∫∫∫∫

b. ( ) dVgdVfdVgfGGG∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ±=± , sendo que f e g são funções de (x, y, z);

c. dVfdVfdVfGGG∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ±=

21

, 21 GGG ∪=

COMO CALCULAR UMA INTEGRAL TRIPLA

A integral tripla pode ser calculada através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a

uma integral dupla. Neste caso, podem-se ter diversas situações, conforme ilustram as figuras FIG.

2, FIG. 3 e FIG. 4, designadas como Região tipo I, tipo II e tipo III, respectivamente.


Cálculo III

66

REGIÃO TIPO I

Figura 2 – O sólido G é limitado inferiormente pela função h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de h2(x, y), onde h1 e h2

são funções contínuas sobre a região R pertencente ao plano XY.

REGIÃO TIPO II

Figura 3 – O sólido G é limitado à esquerda pelo gráfico p1(x, z) e à direita pelo gráfico de p2(x, z), onde p1 e p2 são

funções contínuas sobre a região R´ do plano XZ.

REGIÃO TIPO III


Cálculo III

67

Figura 4 – O sólido G é limitado na parte de trás pelo gráfico q1(y, z) e na frente pelo gráfico de q2(y, z), onde p1 e p2 são

funções contínuas sobre a região R´´ do plano YZ.

EXEMPLO: EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Determine os limites de integração para calcular a integral tripla de uma função

F(x, y, z) sobre o tetraedro, no primeiro octante, limitado pelos planos z = 0, y = x

+ z e y = 1.

SOLUÇÃO:

REGIÃO TIPO I


Cálculo III

68

1

0 0 0( , , ) ( , , )

y y x

G

F x y z dV F x y z dz dxdy−

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

ou

1 1

0 0( , , ) ( , , )

y x

xG

F x y z dV F x y z dzdydx−

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Por exemplo, se F(x, y, z) = 1, encontrar-se-ia o volume do tetraedro:

1 1

0 0

1 1

0

11 2

0

1 2

0

12 3

0

( )

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2 2 6

1( . )

6

y x

x

x

y

y x

V dzdydx

V y x dydx

V y xy dx

V x x dx

V x x x

V u v

−

=

=

=

= −

= −

= − +

= − +

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫


Cálculo III

69

REGIÃO TIPO II

1 1 1

0 0( , , ) ( , , )

x

x zG

F x y z dV F x y z dy dz dx−

+=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

ou

1 1 1

0 0( , , ) ( , , )

z

x zG

F x y z dV F x y z dy dxdz−

+=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Se considerar F(x, y, z) = 1, o resultado será o mesmo obtido na região anterior:

( )1.

6V u v= . Tente e verifique!!!

REGIÃO TIPO III


Cálculo III

70

1

0 0 0( , , ) ( , , )

y y z

G

F x y z dV F x y z dxdz dy−

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

ou

1 1

0 0( , , ) ( , , )

y z

zG

F x y z dV F x y z dxdy dz−

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫


Cálculo III

71

EXERCÍCIOS

1. Utilize uma integral tripla em coordenadas cartesianas para calcular o volume do

sólido G limitado pelos planos y = 0, z = 0, y + z = 4 e pelo cilindro parabólico

24 xz −= . (FAÇA UM ESBOÇO DO SÓLIDO)

Resposta:

50

3V = (u. v).

2. Esboçar a região de integração e calcular as integrais:

a) 1 1 1

0 0 0

y x ydzdxdy

− − −

∫ ∫ ∫ b) 2

1 2

0 0

x x y

xxdzdxdy

− −

∫ ∫ ∫

Respostas:

a) b)


Cálculo III

72

3. Resolva a integral tripla G

I dV= ∫∫∫ , onde G é o sólido, no 1º octante, delimitado

pelo cilindro parabólico 24x y= − , pelos planos 5y z+ = , 1

3y x= e x = 0. Em

seguida, defina o significado do resultado encontrado. (FAÇA UM ESBOÇO DO

SÓLIDO)

Resposta:

24V = (u. v).

4. Calcule a integral G

I dV= ∫∫∫ , onde G é o sólido, no 1º octante, delimitado pelo

cilindro 2 2 4 0x y y+ − = , pelo plano 10x y z+ + = e pelo plano z = 2. Em seguida,

defina o significado do resultado encontrado.

Resposta:


Cálculo III

73

( )127 1. .

8 12V u vπ = −

5. Resolva a integral ( )2 2

G

I x y dV= +∫∫∫ onde G é o cilindro 2 2 1x y+ ≤ e 0 4z≤ ≤ .

Resposta: ( )2 2 2G

x y dV π+ =∫∫∫ .

Bom estudo!

Edna.






geometry). V.2.




2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). V.2.

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